Estadistica inferencial basica

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  • 7/23/2019 Estadistica inferencial basica

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    CONCEPTOS BSICOS DE LA ESTADSTICA

    Antes de comenzar a estudiar la teora y expresiones involucradas en la estadstica inferencial que

    es el tema a desarrollar en el mdulo de estadstica II, analizaremos los conceptos mencionados en

    ella. Con stos podremos poco a poco ir abordando los temas principales del mdulo a saber

    probabilidad, estimacin e inferencia.

    Nuestro fin en el trascurso del mdulo es considerar poblaciones y muestras de ellas a partir de las

    cuales determinaremos probabilidades (que son medidas numricas) con las cuales estableceremos

    numricamente qu tan posible es que un suceso o fenmeno en la poblacin ocurra o no. Luego,

    trataremos de estimar medidas difciles de calcular de forma prctica, por ejemplo la media, la

    varianza y la proporcin poblacional. Finalmente buscaremos intervalos en dnde podamos intuir

    que las medidas mencionadas se encuentran, segn el tamao de la poblacin.

    !"#!$%&"' )$#$*+,$'

    E j e m p l o 1

    j e m p l o 1

    Una empresa tiene 4 mquinas que empacan agua en bolsa de 125 mililitros. Diariamente se

    empacan 2000 bolsas de estas y para controlar que el peso sea correcto, cada 4 horas se toman

    muestrasde 50 bolsas cuyo peso promedio debe ser como mnimo 124 mililitros y como mximo

    126 mililitros; para que la empresa no incurra en pleitos por engao al consumidor o en prdidas

    por excesos en la produccin.

    La poblacin en este contexto son las 2000 bolsas diarias, se imaginan que tuviesen que pesar

    todas las bolsas? !Se estara perdiendo tiempo valioso para la empresa, sin hablar del costo Por

    ello, es mejor tomar una muestra, 50 bolsas (cada 4 horas), y controlar la produccin con base en

    dichas muestras.

    Poblacin: es un conjunto de datos que caracteriza un fenmeno.

    Muestra: subconjunto representativo de una poblacin.

    Estadstica: cantidad que estima caractersticas de una poblacin.

    Parmetro: caracterstica desconocida de una poblacin.

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    E j e m p l o 2

    j e m p l o 2

    Continuando con el ejemplo de la empresa empacadora de bolsas de agua, un parmetro sera la

    media poblacional (el peso promedio de las 2000 bolsas con agua) y la estadstica sera la media

    muestral (el peso promedio de las 50 bolsas de agua, determinado cada 4 horas).

    Reiterando en la observacin dada en el ejemplo 1, al sacar el peso promedio de las 2000 bolsas se

    incurrir en prdida de tiempo y de dinero.

    E j e m p l o 3

    j e m p l o 3

    Supongamos que en el ejemplo 1 el peso promedio de la muestra (media muestral) es 124.7

    mililitros entonces se dice que el peso promedio de la poblacin en esas 4 horas es de

    aproximadamente 124.7 mililitros.

    Se estim la media poblacionalpor medio de la media muestral.

    E j e m p l o 4

    j e m p l o 4

    Supongamos que deseamos conocer el peso promedio necesario para no incurrir en pleitos legales

    con los consumidores, porque el peso de las bolsas con agua no es de 125 mililitros exactamente.

    El gerente de produccin decide que si el peso promedio es de 124.5 mililitros la unidad, entonces

    se continuar con el proceso de empacado. Con base en esto lo que se desea determinar es si es

    cierto que el valor de la media muestral, cuando esta se tome, es de 124.5 mililitros. Si no llega a

    serlo, entonces se detendr el proceso de empaque y se efectuarn los ajustes necesarios.

    Estimacin: es un mtodo por medio del cual se aproxima el valor del parmetro de una

    poblacin a partir de los datos u observaciones de una muestra.

    Estimacin puntual: proceso mediante el cual con las observaciones de una muestra se

    estima el parmetro de la poblacin, con un valor numrico.

    Estimacin por intervalo: proceso con el cual se determina un intervalo en el que

    posiblemente se encuentra el valor real del parmetro.

    Pruebas de hiptesis: procesos que conllevan a establecer el rechazo o no de una afirmacin

    respecto a una caracterstica desconocida de una poblacin.

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    Ahora que distinguimos los conceptos generales veamos los conceptos requeridos en cada tema

    (probabilidad, estimacin e inferencia). Comencemos con probabilidad:

    Distinguir el concepto de conjunto, elemento y las operaciones con conjuntos nos permitir abordar

    y comprender con mayor facilidad los conceptos de probabilidad. Por ello, concentrmonos en el

    tema e interioricemos todo lo que en l aparece.

    Los conjuntos pueden nombrarse de dos formas por comprensin o por extensin:

    E j e m p l o 5

    j e m p l o 5

    El conjuntoAformado por todos los nmeros del 1 al 5 puede describirse de la siguiente manera:

    A={x:xes un nmero de 1 a 5}

    Dicho cojunto se lee como el conjunto de los nmeros (representados con la letra x) tales que stos

    se encuentran entre 1 y 5. A esta forma de nombrar un conjunto se le conoce como nombramiento

    por comprensin. Si por otra parte, escribimos explcitamente los elementos del conjuntoA:

    A:{1, 2, 3, 4, 5}

    Se dice que el nombramiento es por extensin.

    Conjuntos y sus operaciones

    Conjunto: es una coleccin de objetos bien definidos; se refiere a la coherencia por ejemplo

    si voy a formar un conjunto de frutas debo tener claro que no voy a considerar verduras.

    Todo conjunto se denotan con una letra mayscula, como cuando vimos matemtica I que

    utilizbamos letras para denotar simblicamente un dato.

    Elemento: es un objeto de un conjunto. Se denotan con letras minsculas cuando se

    desconocen.

    Diagrama de Venn: es una representacin grfica de los conjuntos en la cual cada conjunto

    se encierra en un crculo o valo y aquel que los contiene a todos se encierra por un cuadrado

    o rectngulo .

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    En el anterior ejemplo el conjunto esA, los elementos son 1, 2, 3, 4 y 5, y el diagrama de Venn es:

    Para indicar que un elemento pertenece o no a un conjunto usamos la siguiente notacin.

    1 8

    1 pertenece a 8 no pertenece a

    A A

    A A

    ! "# #

    Denotamos que B es subconjunto de A con la expresin B A! y para indicar que A no est

    contenido enBescribimos B A! .

    E j e m p l o

    j e m p l o

    6

    SeanA={1, 2, 3, 4, 5} yB={1, 2} veamos algunos ejemplos de contenencia y no contenencia.

    B A! porque 1 A! y 2 A! , es decir todo elemento de B se encuentra en A.

    A B! porque 3 B! , 4 B! y 5 B! , es decir no todo elemento de A se encuentra en B.

    Subconjunto: sean A y B dos conjuntos, decimos que B es subconjunto de A si todo elemento

    de B tambin pertenece a A.

    1

    2" #

    $

    %

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    E j e m p l o 7

    j e m p l o 7

    SeanA={1, 2, 3, 4, 5} y B={1, 2} y C={1, 3, 4, 8, 9}

    observemos su representacin en diagramas

    de Venn.

    Con los conjuntos podemos establecer otros conjuntos por medio de operaciones; stas son la unin,

    interseccin y el complemento. Existen otras operaciones pero nosotros nos concentraremos en

    estas ya que son las que utilizaremos para determinar probabilidades.

    E j e m p l o 8

    j e m p l o 8

    SeanA={1, 2, 3, 4, 5},B={3, 4, 8, 9} y C={0, 2} determinemos la unin con cada pareja de ellos.

    A B! = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9} A C! = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B C! = {0, 2, 3, 4, 8, 9}

    Unin de conjuntos: sean A y B conjuntos, notamos con A B! al conjunto de los elementos

    que pertenecen a A, a B o a ambos conjuntos.

    Interseccin de conjuntos: sean A y B conjuntos, notamos con A B! al conjunto de los

    elementos que pertenecen tanto a A como a B, en otras palabras es el conjunto que contienen

    los elementos comunes a ambos conjuntos.

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    E j e m p l o 9

    j e m p l o 9

    SeanA={1, 2, 3, 4, 5},B={3, 4, 8, 9} y C={0, 2} determinemos la interseccin de A con B, de A

    con C y de B con C.

    A B! = {3, 4} A C! = {2} B C! ="

    E j e m p l o 1

    j e m p l o 1

    Sean U={1, 2, 3, 4, 5} yA={1, 2} determinemos CA .

    Como CA est constituido por todos los elementos que estn en el universal y no estn en A

    entoncesC

    A = {3, 4, 5}.

    Tngase en cuenta que para hallar el complemento de un conjunto debe existir un conjunto

    universal que lo contenga.

    Existen diversos contextos tanto matemticos como de la vida cotidiana en los se requiere

    determinar el nmero de elementos de un conjunto, por ello es necesario buscar mtodos prcticos

    que nos permitan establecerlos.

    Existen conjuntos infinitos como el conjunto de los nmeros reales y finitos como los que hemos

    trabajado en los ejemplos anteriores:U={1, 2, 3, 4, 5}.

    Para determinar el nmero de elementos de un conjunto existen tcnicas llamadas de conteo, pero

    estas sern estudiadas ms adelante. Por ahora vamos a determinar el nmero de elementos de

    conjuntos finitos pequeos y en particular de la unin e interseccin de los mismos, para luego

    utilizar las tcnicas de conteo que facilitan dicho clculo.

    Para denotar el nmero de elementos de un conjunto A usaremos la expresin ( )n A .

    Complemento de un conjunto: seaAun subconjunto de un conjunto universal U, decimos que

    el complemento deA, que notamos cA , es el conjunto que contiene los elementos de Uque no

    estn enA.

    Nmero de elementos de un conjunto

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    E j e m p l o 1 1