Estadistica inferencial

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  • 1. PROBABILIDAD CONCEPTO Y DEFINICIN PROPIEDADES PROBABILIDAD CONDICIONADA INDEPENDENCIA DE SUCESOS DAGOBERTO SALGADO HORTA

2. CONCEPTOSPROBABILIDAD: CONCEPTOSExperiencia aleatoria: aquella experienciaafectada por las leyes del azar: impredecibilidadregularidad estadstica.Resultado elemental de una experienciaaleatoria.Suceso: conjunto de resultados elementalesde una experiencia aleatoria. A veces se lellama tambin resultado.Espacio muestral: conjunto de sucesosasociados a una experiencia aleatoria. 3. CONCEPTO DE PROBABILIDADPROBABILIDAD: CONCEPTODEFINICIN DE LAPLACE: LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO ASOCIADO A UNA EXPERIENCIA ALEATORIA ES EL COCIENTE ENTRE EL NMERO DE RESULTADOS ELEMENTALES FAVORABLES Y EL NMERO DE RESULTADOS ELEMENTALES POSIBLES QUE PUEDEN DARSE 4. CONCEPTO DE PROBABILIDADPROBABILIDAD: CONCEPTODEFINICIN FRECUENCIALISTA: PROBABILIDAD DE UN SUCESO ASOCIADO A UNA EXPERIENCIA ALEATORIA ES EL COCIENTE ENTRE EL NMERO DE VECES QUE SE PRESENTA ESE SUCESO Y EL NMERO DE ENSAYOS REALIZADOS CUANDO EL NMERO DE ENSAYOS CRECE INDEFINIDAMENTE 5. CONCEPTO DE PROBABILIDADPROBABILIDAD: CONCEPTODEFINICIN SUBJETIVA: LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO ES EL GRADO DE CREENCIA QUE SE TIENE EN QUE ESE SUCESO ES CIERTO. 6. DEFINICINPROBABILIDAD: DEFINICINUn nmero P asociado a un resultado de unaexperiencia aleatoria es una probabilidad sicumple los siguientes axiomas:Todo suceso tiene una probabilidad no negativa.P(A)0La probabilidad del suceso seguro es 1P(E)=1La probabilidad de la unin de cualquier grupo desucesos disjuntos es la suma de las probabilidadesde cada uno de esos sucesos. P(Ai)=P(Ai) con AiAj= 7. PROPIEDADESPROBABILIDAD: PROPIEDADES La probabilidad del suceso imposible es 0: P()=0 Una probabilidad nunca puede ser menor que 0 ni mayor que 1: 0P(A)1 Si un suceso A incluye a un suceso B, la probabilidad de A siempre es mayor o igual que la de B: Si BA P(B)P(A) La probabilidad del suceso complementario es: P(A)=1-P(A) La probabilidad de la unin de dos sucesos es: P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) Y en general podemos decir que: P A I = P( A i ) + P( A i A j ) + + ( 1) n 1 P A i i ii j i i=1,2,...,n 8. PROBABILIDAD CONDICIONADAPROBABILIDAD CONDICIONADA CON ELLA SE PRETENDE VALORAR EL EFECTO QUE TIENE SOBRE LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO EL HECHO DE DISPONER DE INFORMACIONES PARCIALES SOBRE EL MISMO SE DEFINE COMO PROBABILIDAD DEL SUCESO B CONDICIONADA A QUE HA OCURRIDO EL SUCESO A A LA SIGUIENTE P(B/A) = P(AB) / P(A) 9. SUCESOS INDEPENDIENTESINDEPENDENCIA DE SUCESOSDOS SUCESOS SE DICEN INDEPENDIENTES SIEL CONOCIMIENTO DE QUE HA OCURRIDO UNODE ELLOS NO MODIFICA LA PROBABILIDAD DELOTRO:P(B/A) = P(B)P(A/B) = P(A) P(AB) = P(A) P(B) 10. TEOREMA DE BAYES Si los Ai son una particin del espacio muestral y el suceso B es de probabilidad no nula, se cumple:TEOREMA DE BAYES P(A i ) P(B/A i ) P(A i /B) = P(A i )P(B/A i ) LOS Ai SUELEN INTERPRETARSE COMO LAS CAUSAS U ORGENES DE B, QUE A SU VEZ ES EL RESULTADO O CONSECUENCIA DE ALGUNO(S) DE LOS Ai EL TEOREMA DE BAYES PERMITE EVALUAR LA PROBABILIDAD DE LAS CAUSAS VISTO EL EFECTO 11. OTROS COMENTARIOS SOBRE PROBABILIDADSucesos independiente y sucesos excluyentesno es lo mismo.La reunin de sucesos equivale al o lgico, ladisyuncin no exclusiva:A B = A o B = [o A, o B, o ambos]La interseccin de sucesos equivale al y lgico,la conjuncin:A B = A y B = [A y B simultneamente]Mtodo del rbol para la solucin de problemasVARIOSde probabilidad:Es una representacin grfica de la secuencia deacontecimientos que definen el problemaestudiado 12. VARIABLES ALEATORIAS CONCEPTO Y TIPOS CARACTERIZACIN PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD APROXIMACIONES 13. VARIABLE ALEATORIALLAMAREMOS ALEATORIA AVARIABLES ALEATORIAS AQUELLA VARIABLE QUE TOMAVALORES INFLUIDA POR EL AZAR PODRAMOS CONTRAPONERVARIABLES Y FENOMENOS DETERMINISTAS CON VARIABLES YFENMENOS ALEATORIOS 14. TIPOS DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA:VARIABLES ALEATORIASToma valores de un conjunto discreto y cadavalor posible xi tiene asignada una probabilidad p(xi)CONTINUA:Toma valores en un conjunto continuo y ladistribucin de la probabilidad a lo largo del mismo viene dada por una funcin f(x) 15. FUNCIONES: p(xi) se llama funcin de probabilidadVARIABLES ALEATORIAS f(x) se llama funcin de densidad F(x) se llama funcin de distribucin:F(x) = P(X x) existe para variables discretas (F(xi)) o continuas 16. FUNCION DE PROBABLIDADAsignar probabilidades en una variableVARIABLES ALEATORIASdiscreta significa definir P(xi) en cadapunto de la variable cumplindose:P(xi) 0 iP(xi) = 1 17. Qu probabilidad hay de que aparezcan X udsdefectuosas en una muestra de 10, cuando laproduccin tiene un 30% de defectuosas?VARIABLES ALEATORIASBinomial Distribution0.3Event prob.,Tria 0.3,10 0.250.2 0.150.1 0.05 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x 18. FUNCIN DE DENSIDAD En el caso continuo la caracterizacin de laVARIABLES ALEATORIAS variable se realiza mediante la FUNCIN DE DENSIDAD f(x) Para comprender su significado puede ser til recurrir a la analoga mecnica: La distribucin de probabilidad es similar a una distribucin de masa, y en el caso unidimensional la distribucin de la masa a lo largo del eje es imagen de la distribucin de la probabilidad. Al igual que la masa en un punto es nula, tambin lo es la probabilidad en un punto: ambas requieren intervalos para tomar valores no nulos 19. Cmo se distribuye la longitud de las barras de una pata de mesa de tubo metlico cortado? El valor objetivo es 850 mm.VARIABLES ALEATORIASNormal Distribution0.1 Mean,Std. dev. 850,4 0.08 density 0.06 0.04 0.02 0820 830 840 850 860 870 880x 20. Qu porcentaje de las unidades producidas est entre 848 y 855 mm?VARIABLES ALEATORIAS 21. FUNCIN DE DENSIDAD Entre otros requisitos, una funcin deVARIABLES ALEATORIAS densidad f(x) de una variable aleatoria continua debe cumplir: f(x) 0 x + f ( x) dx = 1 22. FUNCIN DE DISTRIBUCINEn variables discretas se cumple que:VARIABLES ALEATORIASF(X) = P( x ) x i XiEn variables continuas se cumple que:xF( x ) = f ( x ) dx d F( x )f ( x) = dx 23. Binomial DistributionFuncin de cumulative probability 1Event prob.,Trial0.80.3,10 distribucin0.6en variable0.4 discreta.VARIABLES ALEATORIAS0.2 00 2 4 68 10x Funcin deNormal Distribution distribucin cumulative probability 1 Mean,Std. dev.850,4 0.8 en variable 0.6 continua. 0.4 0.2 0 830840850 860 870x 24. PARMETROS DE UNA DISTRIBUCINSon similares a los estudiados enestadstica descriptiva.Son de cuatro tipos:PARMETROS - Parmetros de Posicin - Parmetros de Dispersin - Parmetros de Asimetra - Parmetros de Curtosis 25. VALOR MEDIO (MEDIA)Describe la posicin de la variablealeatoria X (es decir, su orden de magnitud) si x es variable discretaE( x ) = xi P( xi ) iPARMETROS si x es variable continua +E( x ) = x f ( x ) dxEn la analoga mecnica es el centro degravedad de la distribucin 26. VARIANZADescribe el grado de dispersin de lavariable si x es variable discreta 2 = ( x i m) 2 P( x i ) si x es variable continuaPARMETROS + = ( x m) f ( x)dx2 2 Su raz cuadrada es la desviacin tpica En la analoga mecnica es el momento de inerciade la distribucin 27. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADALGUNAS VARIABLES ALEATORIASPRESENTAN COMPORTAMIENTOSCARACTERSTICOS QUE SONESTNDARES DE FRECUENTE USOUNA DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADSE CARACTERIZA POR UNA FUNCIN DEDISTRIBUCIN DADAen el caso discreto se caracterizan tambin por lafuncin de probabilidad,en el caso continuo por la funcin de densidad 28. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADLAS MS IMPORTANTES DENTRO DELMBITO DE LA CALIDAD SON LASSIGUIENTES: VARIABLES DISCRETAS DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA DISTRIBUCIN BINOMIAL DISTRIBUCIN DE POISSON VARIABLES CONTINUAS DISTRIBUCIN NORMAL DISTRIBUCIN 2 DISTRIBUCIN t DISTRIBUCIN F 29. DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICADISTRIBUCIONES DISCRETAS Considrese: Una poblacin formada por N individuos. Una muestra extrada al azar de esa poblacin y formada por n individuos. Una cierta caracterstica A que identifica a D de los individuos de la poblacin, con lo que p=D/N es la proporcin de individuos con esa caracterstica. La variable X que representa al nmero de individuos de la muestra que tienen esa caracterstica A. 30. DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICADISTRIBUCIONES DISCRETAS N X = H(N, n, p) N-D nA D X A 31. DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICADISTRIBUCIONES DISCRETAS EN ESTAS CONDICIONES, DIREMOS QUE LA VARIABLE X SIGUE UNA DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA DE PARMETROS N, n, p: X H (N, n, p) x = {0, 1, 2, n} SUS CARACTERSTICAS SON: D N D x n x P( x ) = E( x ) = np NNn n ( x) =2 np(1 p) N 1 32. DISTRIBUCIN BINOMIALDISTRIBUCIONES DISCRETAS Considrese:Una poblacin formada por individuos.Una muestra extrada al azar de esa poblaciny formada por n individuos.Una cierta caracterstica A que identifica a unaproporcin p de individuos de la poblacin.La variable X que representa al nmero deindividuos de la muestra que tienen esacaracterstica A.EN ESTAS CONDICIONES, DIREMOS QUE LA VARIABLE XSIGUE UNA DISTRIBUCIN BINOMIAL DE PARMETROSn, p: X B (n, p) x = {0, 1, 2, n} 33. DISTRIBUCIN BINOMIALDISTRIBUCIONES DISCRETASX = Nmero de defectuosasen la muestra X B(n,p)P P P P P PPP PPP P 34. DISTRIBUCIN BINOMIALDISTRIBUCIONES DISCRETASX B (n, p)x = {0, 1, 2, n} SUS CARACTERSTICAS SON: n xP(x) = p (1-p)n-x x E(x) = n p 2(x) = n p (1-p) 35. DISTRIBUCIN de POISSONDISTRIBUCIONES DISCRETASConsidrese:Una muestra de tamao infinito extrada al azarde una poblacin.Una cierta caracterstica A que se presentacon una probabilidad muy pequea (0) enlos individuos de la poblacin.Un promedio finito de individuos de lamuestra con esa caracterstica.La variable X que representa al nmero deindividuos de la muestra que tienen esacaracterstica A. 36. DISTRIBUCIN de POISSONDISTRIBUCIONES DISCRETASSe aplican mucho en anlisis de defectossuperficiales, donde la probabilidad de queaparezca un defecto en un punto concreto esm