Estadistica inferencial

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  • PROBABILIDAD

    CONCEPTO Y DEFINICINPROPIEDADESPROBABILIDAD CONDICIONADAINDEPENDENCIA DE SUCESOS

    DAGOBERTO SALGADO HORTA

  • CONCEPTOS Experiencia aleatoria: aquella experiencia

    afectada por las leyes del azar: impredecibilidad regularidad estadstica.

    Resultado elemental de una experiencia aleatoria.

    Suceso: conjunto de resultados elementales de una experiencia aleatoria. A veces se le llama tambin resultado.

    Espacio muestral: conjunto de sucesos asociados a una experiencia aleatoria.

    P

    R

    O

    B

    A

    B

    I

    L

    I

    D

    A

    D

    :

    C

    O

    N

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    E

    P

    T

    O

    S

  • CONCEPTO DE PROBABILIDAD

    DEFINICIN DE LAPLACE:

    LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO ASOCIADO A UNA EXPERIENCIA ALEATORIA ES EL COCIENTE ENTRE EL NMERO DE RESULTADOS ELEMENTALES FAVORABLES Y EL NMERO DE RESULTADOS ELEMENTALES POSIBLES QUE PUEDEN DARSE

    P

    R

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    B

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    :

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  • CONCEPTO DE PROBABILIDAD

    DEFINICIN FRECUENCIALISTA:

    PROBABILIDAD DE UN SUCESO ASOCIADO A UNA EXPERIENCIA ALEATORIA ES EL COCIENTE ENTRE EL NMERO DE VECES QUE SE PRESENTA ESE SUCESO Y EL NMERO DE ENSAYOS REALIZADOS CUANDO EL NMERO DE ENSAYOS CRECE INDEFINIDAMENTE

    P

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  • CONCEPTO DE PROBABILIDAD

    DEFINICIN SUBJETIVA:

    LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO ES EL GRADO DE CREENCIA QUE SE TIENE EN QUE ESE SUCESO ES CIERTO.

    P

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    C

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    O

  • DEFINICIN

    Un nmero P asociado a un resultado de una experiencia aleatoria es una probabilidad si cumple los siguientes axiomas: Todo suceso tiene una probabilidad no negativa.

    P(A)0 La probabilidad del suceso seguro es 1

    P(E)=1 La probabilidad de la unin de cualquier grupo de

    sucesos disjuntos es la suma de las probabilidades de cada uno de esos sucesos.

    P(Ai)=P(Ai) con AiAj=

    P

    R

    O

    B

    A

    B

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    D

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    :

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    N

  • PROPIEDADES La probabilidad del suceso imposible es 0: P()=0 Una probabilidad nunca puede ser menor que 0 ni mayor

    que 1: 0P(A)1 Si un suceso A incluye a un suceso B, la probabilidad de A

    siempre es mayor o igual que la de B: Si BA P(B)P(A) La probabilidad del suceso complementario es:

    P( )=1-P(A) La probabilidad de la unin de dos sucesos es:

    P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)Y en general podemos decir que:

    i=1,2,...,nPR

    O

    B

    A

    B

    I

    L

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    A

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    :

    P

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    E

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    A

    D

    E

    S

    A

    +++=

    i

    i1n

    i jji

    ii

    iI AP)1()AA(P)A(PAP

  • PROBABILIDAD CONDICIONADA

    CON ELLA SE PRETENDE VALORAR EL EFECTO QUE TIENE SOBRE LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO EL HECHO DE DISPONER DE INFORMACIONES PARCIALES SOBRE EL MISMO

    SE DEFINE COMO PROBABILIDAD DEL SUCESO B CONDICIONADA A QUE HA OCURRIDO EL SUCESO A A LA SIGUIENTE

    P(B/A) = P(AB) / P(A)

    P

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    B

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    D

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    A

  • SUCESOS INDEPENDIENTES

    DOS SUCESOS SE DICEN INDEPENDIENTES SI EL CONOCIMIENTO DE QUE HA OCURRIDO UNO DE ELLOS NO MODIFICA LA PROBABILIDAD DEL OTRO:

    P(B/A) = P(B)P(A/B) = P(A)

    P(AB) = P(A) P(B)

    I

    N

    D

    E

    P

    E

    N

    D

    E

    N

    C

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    U

    C

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    O

    S

  • TEOREMA DE BAYEST

    E

    O

    R

    E

    M

    A

    D

    E

    B

    A

    Y

    E

    S

    ))P(B/AP(A )P(B/A )P(A /B)P(Aii

    iii =

    Si los Ai son una particin del espacio muestral y el suceso B es de probabilidad no nula, se cumple:

    LOS Ai SUELEN INTERPRETARSE COMO LAS CAUSAS U ORGENES DE B, QUE A SU VEZ ES EL RESULTADO O CONSECUENCIA DE ALGUNO(S) DE LOS Ai

    EL TEOREMA DE BAYES PERMITE EVALUAR LA PROBABILIDAD DE LAS CAUSAS VISTO EL EFECTO

  • OTROS COMENTARIOS SOBRE PROBABILIDAD Sucesos independiente y sucesos excluyentes

    no es lo mismo. La reunin de sucesos equivale al o lgico, la

    disyuncin no exclusiva:A B = A o B = [o A, o B, o ambos]

    La interseccin de sucesos equivale al y lgico, la conjuncin:

    A B = A y B = [A y B simultneamente] Mtodo del rbol para la solucin de problemas

    de probabilidad:Es una representacin grfica de la secuencia de acontecimientos que definen el problema estudiado

    V

    A

    R

    I

    O

    S

  • VARIABLES ALEATORIAS

    CONCEPTO Y TIPOSCARACTERIZACINPRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADAPROXIMACIONES

  • VARIABLE ALEATORIA

    LLAMAREMOS ALEATORIA A AQUELLA VARIABLE QUE TOMA

    VALORES INFLUIDA POR EL AZAR

    PODRAMOS CONTRAPONER VARIABLES Y FENOMENOS

    DETERMINISTAS CON VARIABLES Y FENMENOS ALEATORIOS

    V

    A

    R

    I

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    A

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    I

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    S

  • TIPOS DE VARIABLE ALEATORIA

    DISCRETA:Toma valores de un conjunto discreto y cada

    valor posible xi tiene asignada una probabilidad p(xi)

    CONTINUA:Toma valores en un conjunto continuo y la distribucin de la probabilidad a lo largo del

    mismo viene dada por una funcin f(x)

    V

    A

    R

    I

    A

    B

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    E

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    A

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  • FUNCIONES:

    p(xi) se llama funcin de probabilidad

    f(x) se llama funcin de densidad

    F(x) se llama funcin de distribucin:F(x) = P(X x)

    existe para variables discretas (F(xi)) o continuas

    V

    A

    R

    I

    A

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    S

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  • FUNCION DE PROBABLIDAD

    Asignar probabilidades en una variable discreta significa definir P(xi) en cada punto de la variable cumplindose:

    P(xi) 0 iP(xi) = 1

    V

    A

    R

    I

    A

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    A

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    I

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    S

  • Qu probabilidad hay de que aparezcan X uds defectuosas en una muestra de 10, cuando la produccin tiene un 30% de defectuosas?

    Event prob.,Tria0.3,10

    Binomial Distribution

    x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    0

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    V

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    S

    A

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    S

  • FUNCIN DE DENSIDAD En el caso continuo la caracterizacin de la

    variable se realiza mediante la FUNCIN DE DENSIDAD f(x)

    Para comprender su significado puede ser til recurrir a la analoga mecnica:

    La distribucin de probabilidad es similar a una distribucin de masa, y en el caso unidimensional la distribucin de la masa a lo largo del eje es imagen de la distribucin de la probabilidad. Al igual que la masa en un punto es nula, tambin lo es la probabilidad en un punto: ambas requieren intervalos para tomar valores no nulos

    V

    A

    R

    I

    A

    B

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    E

    S

    A

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    E

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    O

    R

    I

    A

    S

  • Cmo se distribuye la longitud de las barras de una pata de mesa de tubo metlico cortado? El valor objetivo es 850 mm.

    Mean,Std. dev.850,4

    Normal Distribution

    x

    d

    e

    n

    s

    i

    t

    y

    820 830 840 850 860 870 8800

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.1

    V

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  • Qu porcentaje de las unidades producidas est entre 848 y 855 mm?

    V

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  • FUNCIN DE DENSIDAD

    Entre otros requisitos, una funcin de densidad f(x) de una variable aleatoria continua debe cumplir:

    V

    A

    R

    I

    A

    B

    L

    E

    S

    A

    L

    E

    A

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    O

    R

    I

    A

    S

    + =1)( dxxff(x) 0 x

  • FUNCIN DE DISTRIBUCIN En variables discretas se cumple que:

    V

    A

    R

    I

    A

    B

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    E

    S

    A

    L

    E

    A

    T

    O

    R

    I

    A

    S

    =Xx

    ii

    )x(P)X(F

    En variables continuas se cumple que:

    dxxFdxf

    dxxfxFx

    )()(

    )()(

    ==

  • Funcin de distribucin en variable discreta.

    Event prob.,Trial0.3,10

    Binomial Distribution

    x

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    u

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    a

    b

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    l

    i

    t

    y

    0 2 4 6 8 100

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Mean,Std. dev.850,4

    Normal Distribution

    x

    c

    u