Curso estadistica Inferencial

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UNIDAD I TEORIA DEL MUESTREO Uno de los propsitos de la estadstica inferencial es estimar las caractersticas poblacionales desconocidas, examinando la informacin obtenida de una muestra, de una poblacin. El punto de inters es la muestra, la cual debe ser representativa de la poblacin objeto de estudio. Se seguirn ciertos procedimientos de seleccin para asegurar de que las muestras reflejen observaciones a la poblacin de la que proceden, ya que solo se pueden hacer observaciones probabilsticas sobre una poblacin cuando se usan muestras representativas de la misma. Una poblacin est formada por la totalidad de las observaciones en las cuales se tiene cierto observa. Una muestra es un subconjunto de observaciones seleccionadas de una poblacin. Muestras Aleatorias Cuando nos interesa estudiar las caractersticas de poblaciones grandes, se utilizan muestras por muchas razones; una enumeracin completa de la poblacin, llamada censo, puede ser econmicamente imposible, o no se cuenta con el tiempo suficiente. A continuacin se ver algunos usos del muestreo en diversos campos: 1. Poltica. Las muestras de las opiniones de los votantes se usan para que los candidatos midan la opinin pblica y el apoyo en las elecciones. 2. Educacin. Las muestras de las calificaciones de los exmenes de estudiantes se usan para determinar la eficiencia de una tcnica o programa de enseanza. 3. Industria. Muestras de los productos de una lnea de ensamble sirve para controlar la calidad. 4. Medicina. Muestras de medidas de azcar en la sangre de pacientes diabticos prueban la eficacia de una tcnica o de un frmaco nuevo. 5. Agricultura. Las muestras del maz cosechado en una parcela proyectan en la produccin los efectos de un fertilizante nuevo. 6. Gobierno. Una muestra de opiniones de los votantes se usara para determinar los criterios del pblico sobre cuestiones relacionadas con el bienestar y la seguridad nacional. Errores en el Muestreo Cuando se utilizan valores muestrales, o estadsticos para estimar valores poblacionales, o parmetros, pueden ocurrir dos tipos generales de errores: el error muestral y el error no muestral. El error muestral se refiere a la variacin natural existente entre muestras tomadas de la misma poblacin. Cuando una muestra no es una copias exacta de la poblacin; an si se ha tenido gran cuidado para asegurar que dos muestras del mismo tamao sean representativas de una cierta poblacin, no esperaramos que las dos sean idnticas en todos sus detalles. El error muestral es un concepto importante que ayudar a entender mejor la naturaleza de la estadstica inferencial. Los errores que surgen al tomar las muestras no pueden clasificarse como errores muestrales y se denominan errores no muestrales. El sesgo de las muestras es un tipo de error no muestral. El sesgo muestral se refiere a una tendencia sistemtica inherente a un mtodo de muestreo que da estimaciones de un parmetro que son, en promedio, menores (sesgo negativo), o mayores (sesgo positivo) que el parmetro real. El sesgo muestral puede suprimirse, o minimizarse, usando la aleatorizacin. La aleatorizacin se refiere a cualquier proceso de seleccin de una muestra de la poblacin en el que la seleccin es imparcial o no est sesgada; una muestra elegida con procedimientos aleatorios se llama muestra aleatoria. Los tipos ms comunes de tcnicas de muestreo aleatorios son el muestreo aleatorio simple, el muestreo estratificado, el muestreo por conglomerados y el muestreo sistemtico. Si una muestra aleatoria se elige de tal forma que todos los elementos de la poblacin tengan la misma probabilidad de ser seleccionados, la llamamos muestra aleatoria simple. Ejemplo 1.1 Suponga que nos interesa elegir una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de estadstica de 20 alumnos. 20C5 da el nmero total de formas de elegir una muestra no ordenada y este resultado es 15,504 maneras diferentes de tomar la muestra. Si listamos las 15,504 en trozos separados de papel, una tarea tremenda, luego los colocamos en un recipiente y despus los revolvemos,

entonces podremos tener una muestra aleatoria de 5 si seleccionamos un trozo de papel con cinco nombres. Un procedimiento ms simple para elegir una muestra aleatoria sera escribir cada uno de los 20 nombres en pedazos separados de papel, colocarlos en un recipiente, revolverlos y despus extraer cinco papeles al mismo tiempo. Otro mtodo parea obtener una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de 20 utiliza una tabla de nmeros aleatorios. Se puede construir la tabla usando una calculadora o una computadora. Tambin se puede prescindir de estas y hacer la tabla escribiendo diez dgitos del 0 al 9 en tiras de papel, las colocamos en un recipiente y los revolvemos, de ah, la primera tira seleccionada determina el primer nmero de la tabla, se regresa al recipiente y despus de revolver otra vez se selecciona la seguida tira que determina el segundo nmero de la tabla; el proceso contina hasta obtener una tabla de dgitos aleatorios con tantos nmeros como se desee. Hay muchas situaciones en las cuales el muestreo aleatorio simple es poco prctico, imposible o no deseado; aunque sera deseable usar muestras aleatorias simples para las encuestas nacionales de opinin sobre productos o sobre elecciones presidenciales, sera muy costoso o tardado. El muestreo estratificado requiere de separar a la poblacin segn grupos que no se traslapen llamados estratos, y de elegir despus una muestra aleatoria simple en cada estrato. La informacin de las muestras aleatorias simples de cada estrato constituira entonces una muestra global. Ejemplo 1.2 Suponga que nos interesa obtener una muestra de las opiniones de los profesores de una gran universidad. Puede ser difcil obtener una muestra con todos los profesores, as que supongamos que elegimos una muestra aleatoria de cada colegio, o departamento acadmico; los estratos vendran a ser los colegios, o departamentos acadmicos. El muestreo por conglomerados requiere de elegir una muestra aleatoria simple de unidades heterogneas entre s de la poblacin llamadasconglomerados. Cada elemento de la poblacin pertenece exactamente a un conglomerado, y los elementos dentro de cada conglomerado son usualmente heterogneos o dismiles. Ejemplo 1.3 Suponga que una compaa de servicio de televisin por cable est pensando en abrir una sucursal en una ciudad grande; la compaa planea realizar un estudio para determinar el porcentaje de familias que utilizaran sus servicios, como no es prctico preguntar en cada casa, la empresa decide seleccionar una parte de la ciudad al azar, la cual forma un conglomerado. En el muestreo por conglomerados, stos se forman para representar, tan fielmente como sea posible, a toda la poblacin; entonces se usa una muestra aleatoria simple de conglomerados para estudiarla. Los estudios de instituciones sociales como iglesias, hospitales, escuelas y prisiones se realizan, generalmente, con base en el muestreo por conglomerados. El muestreo sistemtico es una tcnica de muestreo que requiere de una seleccin aleatoria inicial de observaciones seguida de otra seleccin de observaciones obtenida usando algn sistema o regla. Ejemplo 1.4 Para obtener una muestra de suscriptores telefnicos en una ciudad grande, puede obtenerse primero una muestra aleatoria de los nmeros de las pginas del directorio telefnico; al elegir el vigsimo nombre de cada pgina obtendramos un muestreo sistemtico, tambin podemos escoger un nombre de la primera pgina del directorio y despus seleccionar cada nombre del lugar nmero cien a partir del ya seleccionado. Por ejemplo, podramos seleccionar un nmero al azar entre los primeros 100; supongamos que el elegido es el 40, entonces seleccionamos los nombres del directorio que corresponden a los nmeros 40, 140, 240, 340 y as sucesivamente. Error Muestral Cualquier medida conlleva algn error. Si se usa la media para medir, estimar, la media poblacional , entonces la media muestral, como medida, conlleva algn error. Por ejemplo, supongamos que se ha obtenido una muestra aleatoria de tamao 25 de una poblacin con media = 15: si la media de la muestra es x=12, entonces a la diferencia observada x= -3 se le denomina el error muestral. Una media muestral x puede pensarse como la suma de dos cantidades, la media poblacional Ejemplo 1.5 y el error muestral; si e denota el error muestral, entonces:

Se toman muestras de tamao 2 de una poblacin consistente en tres valores, 2, 4 y 6, para simular una poblacin "grande" de manera que el muestreo pueda realizarse un gran nmero de veces, supondremos que ste se hace con reemplazo, es decir, el nmero elegido se reemplaza antes de seleccionar el siguiente, adems, se seleccionan muestras ordenadas. En una muestra ordenada, el orden en que se seleccionan las observaciones es importante, por tanto, la muestra ordenada (2,4) es distinta de la muestra ordenada (4,2). En la muestra (4,2), se seleccion primero 4 y despus 2. La siguiente tabla contiene una lista de todas las muestras ordenadas de tamao 2 que es posible seleccionar con reemplazo y tambin contiene las medioas muestrales y los correspondientes errores muestrales. La media poblacional es igual a = (2+4+6)/3 = 4. Ver la tabla en la siguiente pgina. Notese las interesantes relaciones siguientes contenidas en la tabla: La media de la coleccin de medias muestrales es 4, la media de la poblacin de la que se extraen las muestras. Si x denota la media de todas las medias muestrales entonces tenemos: x = (3+4+3+4+5+5+2+4+6)/9 = 4 La suma de los errores muestrales es cero. e1 + e2 + e3 + . . . + e9 = (-2) + (-1) + 0 + (-1) + 0 + 1 + 0 + 1 + 2 = 0 Muestras ordenadas (2,2) (2,4) (2,6) (4,2) (4,4) (4,6) (6,2) (6,4) (6,6) x 2 3 4 3 4 5 4 5 6 Error muestral e = x 2 4 = -2 3 4 = -1 44=0 3 4 = -1 44=0 54=1 44=0 54=1 64=2

En consecuencia, si x se usa para medir, estimar, la media poblacional , el promedio de todos los errores muestrales es cero. Distribuciones Muestrales Las muestras aleatorias obtenidas de una