52438845 Guia Basica Para El Estudio de La Estadistica Inferencial AGUILERA AGUILERA

UNIVERSIDAD MICHOACANA

DE

SAN NICOLÁS DE HIDALGO

Facultad de Contaduría y

Ciencias Administrativas

Academia de Matemáticas

Apuntes para la Materia de Estadística II

“Guía Básica para el Estudio de la Estadística Inferencial”

Elaboró:

M.A. José Rafael Agui lera Agui lera Asesor en Estrategias de Inversión

(Certificación reconocida por la Bolsa Mexicana de Valores)

Morelia Mich., Diciembre de 2009

Estadística II

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José Rafael Aguilera Aguilera F.C.C.A. - U.M.S.N.H.

ÍNDICE

TEMA 1: Fundamentos de Estadística Inferencial ..... 4

1.1.- Conceptos Básicos. .......................................................... 4

1.2.- Técnicas para Contar. ....................................................... 5

1.3.- Diagrama de la Probabilidad Estadística. ......................... 9

TEMA 2: Teoría Elemental de Muestreo ...................... 10

2.1.- Distribución Binomial. ................................................... 10

2.2.- Distribución Normal. ..................................................... 33

2.3.- Muestreo Aleatorio Simple. ........................................... 51

2.4.- Distribuciones Muéstrales .............................................. 54

2.4.1.- Distribución Muestral de Medias. ............................ 55

2.4.2.- Distribución Muestral de Proporciones .................... 56

2.4.3.- Distribución Muestral de Diferencias y Sumas. ....... 58

2.5.- Otros Ejercicios. ............................................................. 61

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TEMA 3: Teoría de Estimación Estadística............... 73

3.1.- Estimación de Parámetros. ............................................. 73

3.1.1.- Estimas Insesgadas. .................................................. 74

3.1.2.- Estimas Eficientes. ................................................... 75

3.2.- Estimas por Puntos y Estimas por Intervalos de Seguridad ....... 76

3.3.- Estimas por Intervalo de Confianza, de Parámetros Poblacionales. .. 77

3.3.1.- Sistemas de Medias por Intervalos de Confianza ..... 78

3.3.2.- Intervalos de Confianza para Proporciones. ............. 80

3.3.3.- Intervalos de Confianza para Diferencias y Sumas. . 81

3.3.4.- Intervalos de Confianza para Desviaciones Típicas. 82

3.4.- Error Probable. ............................................................... 82

3.5.- Ejercicios ....................................................................... 83

Tema 4: Teoría de la Decisión Estadística (Paramétrica). . 90

4.1.- Conceptos y Definiciones. ............................................. 90

4.1.1.- Decisiones Estadísticas. ............................................ 90

4.1.2.- Hipótesis Estadística, Hipótesis Nula. ...................... 90

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4.2.- Ensayos de Hipótesis y Significación. ........................... 91

4.2.1.- Error De Tipo I Y Tipo II. ........................................ 92

4.2.2.- Nivel de Significación. ............................................. 93

4.3.- Ensayos Referentes a la Distribución Normal. ............... 94

4.4.-Ensayos de Una y Dos Colas. ......................................... 97

4.5.- Ensayos Especiales. ....................................................... 98

4.6.- Ejercicio de Inferencia de Medias. ............................... 100

BIBLIOGRAFÍA. ....................................................... 110

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MORELIA

1, 300,000

_______

EDAD

200 ____

X

TEMA 1: Fundamentos de Estadística Inferencial

1.1.- Conceptos Básicos.

A la estadística inferencial la podemos definir a través de cuatro puntos muy importantes los

cuales son los siguientes.

1. Materia de las ciencias sociales:

- licenciado en contaduría

- licenciado en administración

- licenciado en informática administrativa

2. Tomar decisiones:

La estadística: tomar decisiones de una población con base de datos muéstrales.

Esta se requiere para tomar decisiones estadísticas.

Tomar decisiones

Diseño experimental

¿Cómo voy a encontrar esos

200 datos?

Estimar

POBLACION Inferir MUESTRA

DE DE

DATOS DATOS

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3. Probabilidad:

Estudia los experimentos y fenómenos aleatorios.

4. Que es un experimento o fenómeno aleatorio:

Tiene que ver con resultados que puedan ocurrir y que antes de que ocurran no sabemos cual

va a ocurrir.

1.2.- Técnicas para Contar.

En esta ocasión utilizaremos tres tipos de técnicas para contar las cuales son:

CASO 1: En donde: La formula de este caso seria:

- Si me importa el orden y nORr = nr

- Si se puede repetir.

Interviene el

hombre

No interviene

el hombre

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Ejemplo:

2

a,a b,a c,a d,a

a,b b,b c,b d,b = 16 resultados

a,c b,c, c,c, d,c,

a,d b,d c,d d,d

Para el caso anterior de la población de Morelia tendríamos que hacer lo mismo pero seria muy

difícil con esa cantidad.

En cambio si utilizamos la formula es mas rápido y sencillo,

nORr = n r

nORr = n r

nORr = 4 2

nORr = 1, 300, 000 200

nORr = 16 nORr =


- Si me importa el orden nOr = n !

- No se pueden repetir (n-r)!

a b

c d

------

------

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Ejemplo:

2

a,b b,a c,a d,a

,c b, a,c b,c c,b d,c = 12 Resultados

a,d b,d c,d d,d

Solución con la formula:

nOr = n ! 4O2 = 4 !

(n-r)! (4-2)!

nOr = 24 ! nOr = 1

2


- No hay orden

- No se pueden repetir nCr = n! r ! (n – r) !

Por lo tanto el resultado es:

nCr = n! nCr = 24! nCr = 6 r! (n – r) ! 2 (2 !)

nCr = 4! nCr = 24 2! (4 – 2) ! 4

a b

c d

------

------

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Ejemplo 2: realizar el siguiente ejercicio por los tres casos en el que n sea 5 y r 3.

3

Caso1: FORMULA: SUSTITUCION:

nORr = n r

nORr = 5 3

nORr = 125

Caso 2:

FORMULA: SUSTITUCION:

nOr = n ! nOr = 5 ! nOr = 120

(n-r)! (5 – 3) ! 2 !

nOr = 120 nOr = 60

2

Caso3:

FORMULA: SUSTITUCION:

nCr = n! nCr = 5 ! nCr = 120

r! (n – r) ! 3 ! (5 - 3) ! 6 ( 2 !)

nCr = 120 nCr = 120

6 (2) 12

nCr = 10

a b c

d e ------

------

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1.3.- Diagrama de la Probabilidad Estadística.

EXPERIMENTOS:

(Influyen personas)

Tienen que ver con resul-

LA PROBABILIDA tados que puedan ocurrir y

ESTADISTICA ALEATORIOS que antes de que ocurran

No sabemos cual va a ocurrir.

FENÓMENOS:

(No influyen personas)

Para estudiarlos se

Construyen.

Modelo probabilística

Que representa el compor- MODELOS

DEVIDO tamiento de un fenómeno (Distribuciones)

o experimento aleatorio.

Existen en el universo millones

de experimentos y fenomenos

aleatorios.

PERO Muchos se parecen POR LO QUE

entre ellos.

SE LE PONE Estos modelos Toman el mismo modelo

NOMBRE PROPIO o distribuciones de

EJEMPLO: distribución de probabilidad

Binomial o Bernoulli Principal 1 experimento con 2 resul-

Característica tados se repite n veces.

Normal Ejemplo:

Poisson 1 4

2 3

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TEMA 2: Teoría Elemental de Muestreo

2.1.- Distribución Binomial.

La distribución Binomial:

Si p es la probabilidad de ocurrencia de un suceso en un solo ensayo (llamada probabilidad de

éxito) y q = 1 – P es la probabilidad de que el suceso no ocurra en un solo ensayo (llamada

probabilidad de fallo), entonces la probabilidad de que el suceso se presente exactamente X

veces en N ensayos, (es decir, X éxitos y N – X fallos) viene dada por:

p(X) = NCXpxq

N-X = N !

X! (N – X) ! pXqN

– X

Algunas propiedades de la distribución binomial son dadas en la siguiente tabla.

Media

M = Np

Varianza σ 2 = Npq

Desviación típica

σ = Npq

Coeficiente de sesgo q - p

α3 =

Npq

Coeficiente de curtosis 1 – 6pq

α 4 = 3 + Npq

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EJEMPLOS:

1. Hallar la probabilidad de que lanzando una moneda 6 veces aparezcan (a) 0, (b) 1,

(c) 2, (d) 3, (e) 4, (f) 5, (g) 6 caras.

Paso 1: Describir El Experimento Aleatorio.

R= lanzar una moneda 6 veces

Paso 2: Construir El Espacio Muestral.

R= S = (s,s,s,s,s,s) (s,s,s,s,s,a) (s,s,s,s,a,a,)

NOTA: Como son muchos resultados mejor usamos la formula que es:

R= nORr = nr

nORr = 26

nORr = 64

Paso 3: Definir Una Variable Aleatoria.

R= X = numero de caras

Paso 4: Construir El Espectro De La Variable Aleatoria.

R= Sx = { 0,1,2,3,4,5,6 }

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Paso 5: Construir El Modelo O Distribución De Probabilidad Del Experimento.

R= Modelo binomial por que tiene dos resultados ya sea fracaso o éxito.

P = posible éxito. 1/2

q = probable fracaso. 1-P = 1-1/2 = 1/2

N= 6

FORMULA: P(x) = N!

X! (N-X) ! (PX) (q n-x

)

SOLUCION:

(A) P (0) = 6!

0! (6-0) ! [(1/2)0] [(1/2)

6-0]

P (0) = 720

1 (6) ! (1/1) [(1/2) 6]

P (0) = 720

1 (720) (1/1) [(1/64)]

P (0) = 720

720 (1/1) [(1/64)]

P (0) = (1) (1/1) (1/64)

P (0) = 1/64

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(B) P (1) = 6!

1! (6-1) ! [(1/2)1] [(1/2)

6-1]

P (1) = 720

1 (5)! (1/2) [(1/2) 5]

P (1) = 720

1 (120) (1/2) (1/32)

P (1) = 720

120 (1/2) (1/32)

P (1) = (6) (1/2) (1/32)

P (1) = 6/64

(C) P (2) = 6!

2! (6-2) ! [(1/2)2] [(1/2)

6-2]

P (2) = 720

2 (4) ! (1/4) [(1/2) 4]

P (2) = 720

2 (24) (1/4) [(1/2) 4]

P (2) = 720

48 (1/4) (1/16)

P (2) = (15) (1/4) (1/16)

P (2) = 15/64

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(D) P (3) = 6!

3! (6-3) ! [(1/2)3] [(1/2)

6-3]

P (3) = 720

6 (4) ! (1/8) [(1/2) 3]

P (3) = 720

(6) (6) (1/8) (1/8)

P (3) = 720

36 (1/8) (1/8)

P (3) = (20) (1/8) (1/8)

P (3) = 20/64

(E) P (4) = 6!

4! (6-4) ! [(1/2)4] [(1/2)

6-4]

P (4) = 720

24 (2) ! (1/16) [(1/2) 2]

P (4) = 720

(24) (2) (1/16) (1/4)

P (4) = 720

48 (1/16) (1/4)

P (4) = (15) (1/16) (1/4)

P (4) = 15/64

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(F) P (5) = 6!

5! (6-5) ! [(1/2)5] [(1/2)

6-5]

P (5) = 720

120 (1) ! (1/32) [(1/2) 1]

P (5) = 720

(120) (1) (1/32) (1/2)

P (5) = 720

120 (1/32) (1/2)

P (5) = (6) (1/32) (1/2)

P (5) = 6/64

(G) P (6) = 6!

6! (6-6) ! [(1/2)6] [(1/2)

6-6]

P (6) = 720

720 (0) ! (1/64) [(1/2) 0]

P (6) = 720

(120) (1) (1/64) (1/1)

P (6) = 720

720 (1/64) (1/1)

P (6) = (1) (1/64) (1/1)

P (6) = 1/64

TABLA DEL EJERCICIO:

Caras X 0 1 2 3 4 5 6

P(x) 1/64 6/64 15/64 20/64 15/64 6/64 1/64

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2. Hallar la probabilidad de (a) 2 o más caras (b) menos de 4 caras en un lanzamiento

de 6 monedas.

(A) Hallar la probabilidad de 2 o mas caras:

R= 15/16 + 20/64 + 15/64 + 6/64 + 1/64 = 57/64

(B) Menos de 4 caras:

R= 20/64 + 15/64 + 6/64 + 1/64 = 42 ÷ 2 = 21

64 ÷ 2 32

3. Si X denota el numero de caras en un solo lanzamiento de 4 monedas, hallar (a) p{X

= 3}, (b) p{X‹ 2}, (c) p{X ‹ 2}, (d) p{ 1 ‹ X ‹ 3}.


R= lanzar 4 monedas


R= S = (c,c,c,c,) (a,a,a,a) (c,c,a,a,) (c,c,c,a) (a,a,a,c) (c,a,a,a)


R= nORr = nr

nORr = 24

nORr = 16

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R= Sx = { 0,1,2,3,4 } Caras


R= Modelo binomial por que tiene dos resultados ya sea fracaso o éxito.

P = Éxito (1/2)

q = fracaso (1/2)

N = Cuantas monedas “4”

FORMULA: P(x) = N!

X! (N-X) ! (PX) (q n-x

)

SOLUCION:

(A) P (3) = 4!

3! (4-3) ! [(1/2)3] [(1/2)

4-3]

P (3) = 24

6 (1) ! (1/8) [(1/2) 1]

P (3) = 24

(6) (1) (1/8) (1/2)

P (3) = 24

6 (1/8) (1/2)

P (3) = (4) (1/8) (1/2)

P (3) = 4/16 ÷ 4 = ¼

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(B) 1.- P (0) = 4!

0! (4-0) ! [(1/2)0] [(1/2)

4-0]

P (0) = 24

1 (4) ! (1/1) [(1/2) 4]

P (0) = 24

1 (24) (1/1) [(1/16) ]

P (0) = 24

24 (1/1) [(1/16) ]

P (0) = (1) (1) (1/16)

P (0) = 1/16

2. - P (1) = 4!

1! (4-1) ! [(1/2)1] [(1/2)

4-1]

P (1) = 24

1 (3) ! (1/2) [(1/2) 3]

P (1) = 24

1 (6) (1/2) (1/8)

P (1) = 24

6 (1/2) (1/8)

P (1) = (4) (1/2) (1/8)

P (1) = 4/16

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(C) 3. - P (2) = 4!

2! (4-2) ! [(1/2)2] [(1/2)

4-2]

P (2) = 24

2 (2) ! (1/4) [(1/2) 2]

P (2) = 24

2 (2) (1/4) (1/4)

P (2) = 24

4 (1/4) (1/4)

P (2) = (4) (1/2) (1/8)

P (2) = 4/16


Caras X 0 1 2 3 4

P(x) 1/16 4/16 6/16 1/4 5/8

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4. De un total de 800 familias con 5 hijos cada una, cuantas cabe esperar que tengan

(a) 3 niños (b) 5 niñas (c) 2 o 3 niños. Suponer iguales la probabilidad de niño o Nina


R= Que nazcan 5 criaturas


R= nORr = nr

nORr = 25

nORr = 32


R= X = numero de niños que nazcan


R= Sx = { 0,1,2,3,4,5 } niños

P = Éxito (1/2/)

q = fracaso (1/2)

N = 5 niños requeridos

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FORMULA: P(x) = N!

X! (N-X) ! (PX) (q n-x

)

SOLUCION:

P (0) = 5!

0! (5-0) ! [(1/2)0] [(1/2)

5-0]

P (0) = 120

1 (5) ! (1/1) [(1/2) 5]

P (0) = 120

1 (120) (1/1) [(1/32)]

P (0) = 120

120 (1/1) [(1/32)]

P (0) = (1) (1/1) (1/32)

P (0) = 1/32 = 0.03125 x 800 = 25

P (1) = 5!

1! (5-1) ! [(1/2)1] [(1/2)

5-1]

P (1) = 120

1 (4) ! (1/2) [(1/2) 4]

P (1) = 120

1 (24) (1/2) (1/16)

P (1) = 120

24 (1/2) (1/16)

P (1) = (5) (1/2) (1/16)

P (1) = 5/32 = 0.15625 x 800 = 125

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P (2) = 5!

2! (5-2) ! [(1/2)2] [(1/2)

5-2]

P (2) = 120

2 (3) ! (1/4) [(1/2) 3]

P (2) = 120

2 (6) (1/4) [(1/8)]

P (2) = 120

12 (1/4) (1/8)

P (2) = (10) (1/4) (1/8)

P (2) = 10/32 = 0.3125 x 800 = 250

(A) P (3) = 5!

3! (5-3) ! [(1/2)3] [(1/2)

5-3]

P (3) = 120

6 (2) ! (1/8) [(1/2) 2]

P (3) = 120

(6) (2) (1/8) (1/4)

P (3) = 120

12 (1/8) (1/4)

P (3) = (20) (1/8) (1/8)

P (3) = 10/32 = 0.3125 x 800 = 25

P (4) = 5!

4! (5-4) ! [(1/2)4] [(1/2)

5-4]

P (4) = 120

24 (1) ! (1/16) [(1/2) 1]

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P (4) = 120

(24) (1) (1/16) (1/2)

P (4) = 120

24 (1/16) (1/2)

P (4) = (5) (1/16) (1/2)

P (4) = 5/32 = 0.15625 X 800 = 125

(B) P (5) = 5!

5! (5-5) ! [(1/2)5] [(1/2)

5-5]

P (5) = 120

120 (0) ! (1/32) [(1/2) 0]

P (5) = 120

(120) (1) (1/32) (1/1)

P (5) = 120

120 (1/32) (1/1)

P (5) = (1) (1/32) (1/1)

P (5) = 1/32 = 0.03125 x 800 = 25


Caras X 0 1 2 3 4 5

P(x) 1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32

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5. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 9 una vez en 3 lanzamientos de un por de

dados?


R= Lanzar un par de dados 3 veces


R= nORr = nr

nORr = 113

nORr = 1331




R= Sx = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9, }


P = Éxito (1/2/)

q = fracaso (1/2)

N = 5 niños requeridos

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FORMULA: P(x) = N!

X! (N-X) ! (PX) (q n-x

)

SOLUCION:

P (9) = 9!

9! (9-9) ! [(1/2)9] [(1/2)

9-9]

P (9) = 362880

362880 (0) ! (1/1) [(1/2) 0]

P (9) = 362880

362880 (1) (1/512) (1)

P (9) = 362880

362880 (1/512) (1)

P (9) = (1) (1/512) (1)

P (9) = 1/512

6. Hallar la probabilidad de contestar correctamente al menos 6 de las 10 preguntas de

un examen falso-verdadero.


R= Contestar correctamente 6 preguntas

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R= nORr = nr

nORr = 210

nORr = 1024




R= Sx = { 6,7,8,9,10 } Contestar 6 respuestas por lo menos


R= Modelo binomial por que tiene dos resultados ya sea verdadero y falso.

P = Éxito (1/2)

q = fracaso (1/2)

N = Cuantas monedas “10”

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FORMULA: P(x) = N!

X! (N-X) ! (PX) (q n-x

)

P (6) = 10!

6! (10-6) ! [(1/2)6] [(1/2)

10-6]

P (6) = 3628800

720 (4) ! (1/64) [(1/2) 4]

P (6) = 3628800

(720) (24) (1/64) (1/16)

P (6) = 3628800

17280 (1/64) (1/16)

P (6) = (210) (1/64) (1/16)

P (6) = 210/1024 = 105/512

P (7) = 10!

7! (10-7) ! [(1/2)7] [(1/2)

10-7]

P (7) = 3628800

5040 (3) ! (1/128) [(1/2) 3]

P (7) = 3628800

(5040) (6) (1/128) (1/8)

P (7) = 3628800

30240 (1/128) (1/8)

P (7) = (120) (1/128) (1/8)

P (7) = 120/1024 = 15/128

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P (8) = 10!

8! (10-8) ! [(1/2)8] [(1/2)

10-8]

P (8) = 3628800

40320 (2) ! (1/256) [(1/2) 2]

P (8) = 3628800

(40320) (2) (1/256) (1/4)

P (8) = 3628800

80640 (1/256) (1/4)

P (8) = (45) (1/256) (1/4)

P (8) = 45/1024

P (9) = 10!

9! (10-9) ! [(1/2)9] [(1/2)

10-9]

P (9) = 3628800

362880 (2) ! (1/256) [(1/2) 1]

P (9) = 3628800

(362880) (2) (1/256) (1/2)

P (9) = 3628800

725760 (1/256) (1/2)

P (9) = (5) (1/256) (1/2)

P (9) = 5/512

Estadística II

29 de 110


P (10) = 10!

10! (10-9) ! [(1/2)10

] [(1/2) 10-10

]

P (10) = 3628800

3628800 (1) ! (1/1024) [(1/1) 0]

P (10) = 3628800

(362880) (1) (1/1024) (1/1)

P (10) = 3628800

3628800 (1/1024) (1/1)

P (10) = (1) (1/1024) (1/1)

P (10) = 1/1024

Caras X 6 7 8 9 10

P(x) 105/512 15/128 45/1024 5/512 1/1024 = 193/512

Muestra de Dos Elementos con Reemplazo:

PARAMETRO

UNIVERSO

6 4

2 3

Estadística II

30 de 110



R= Sacar muestras de 2 elementos con reemplazo.


R= S = 2,2 3,2 4,2 6,2 (estadístico)

2,3 3,3 4,3 6,3 = 16

2,4 3,4 4,4 6,4

2,6 3,6 4,6 6,6


R= nORr = nr

nORr = 42

nORr = 16


R= X = La media de cada muestra


R= Sx = { 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 6 }

Estadística II

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Paso 6: Calcular la media de la distribución muestral de media.

2 (1/16) + 2.5 (2/16) + 3 (3/16) + 3.5 (2/16) + 4 (3/16) + 4.5 (2/16) + 5 (2/16) + 6

(1/16) =

2/16 + 5/16 + 9/16 + 7/16 + 12/16 + 9/16 + 10/16 + 6/16 = 60/16 = 3.75

Comprobación:

6 + 4 + 2 + 3 = 15/4 = 3.75

Distribución Muestral de Medias:

Media: Mx = M

Con Reemplazo:

Q

D. Estándar: Qx =

N

X 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 SUMA

Px(x) 1/16 2/16 3/16 2/16 3/16 2/16 2/16 1/16 16/16 = 1

Estadística II

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Formula De La Desviación Estándar:

n

∑ (X – μ)2

i = 1

n

X μ X- μ (X- μ)

2 3.75 - 1.75 3.0625

3 3.75 0.75 0.5625

4 3.75 0.25 0.0625

6 3.75 2.25 5.0625

8.75

μ= 3.75 4

Q = 1.4790

= 2.1875

Q = 1.4790

Q 1.4790

Qx = Qx =

N 2

1.4790

Qx = Qx = 1.04581

1.414213

Estadística II

33 de 110


X μ X- μ (X- μ)2 Px(X) (Px(x))((x- μ)

2)

2 3.75 -1.75 3.0625 1/16 0.191406…

2.5 3.75 -1.25 1.5625 2/16 0.1953…

3 3.75 -0.75 0.5625 3/16 0.1054…

3.5 3.75 -0.75 0.0625 2/16 0.0078…

4 3.75 0.25 0.0625 3/16 0.0116…

4.5 3.75 0.75 0.5625 2/16 0.0703…

5 3.75 1.25 1.5625 2/16 0.1953…

6 3.75 2.25 5.0625 1/16 0.3169…

Q2 = 1.0939

Q = 1.0939

Q = 1.0458

2.2.- Distribución Normal.

CONTINUAS

SON NORMALES SIMETRICAMENTE VALOR MAS COMUN-MEDIA

DISTRIBUCIÓN

NORMAL. NO SON NORMALES

PERO SE COMPORTAN

DE MANERANORMAL

.

1

Y = e -1/2

(x – μ) 2/ σ 2

σ 2 π

μ = Media

σ = Desviación estándar o desviación típica

Estadística II

34 de 110


μ = 0 Z X

σ = 1

Por lo tanto la formula para resolver problemas de distribución normal es:

Uno de los mas importantes ejemplos de una distribución de probabilidad continua es la

distribución normal, curva normal o distribución de gauss dada por la ecuación.

1 2 / σ2

Y = e -1/2 (X – M )

σ 2 π

TRANSFORMAR

X - μ

Z = σ

Estadística II

35 de 110


Algunas propiedades de la distribución normal se indican en la siguiente tabla:

Media μ

Varianza σ2

Desviación Típica σ

Coeficiente de sesgo α 3 = 0

Coeficiente de curtosis α4 = 3

Desviación Media

σ 2 / π = 0.7979 σ

EJEMPLOS:

1. En un examen de estadística la media fue 7.8 y la desviación típica 10 (a)

Determinar las referencias tipificadas de dos estudiantes cuyas puntuaciones fueron

93 y 62, respectivamente, (b) Determinar las puntuaciones de dos estudiantes cuyas

referencias tipificadas fueron -0.6 y 1.2 respectivamente.

X = μ + Z σ

x 2= 62 μ = 78 x1= 93 z2= -1.6 μ = 0 z1= 1.5

σ = 10 - 0.6 σ = 1

FORMULAS: x - μ

Z = σ

Estadística II

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X = μ + Z σ PROCEDIMIENTO:

(A) Z= 93 – 78 (B) Z= 62 – 78

10 10

Z= 15 Z= -16

10 10

Z = 1.5 Z = -1.6

(X1) X1 = μ + Z σ (X2) X2 = μ + Z σ

X1 = 78 + (-0.6) (10) X2 = 78 + (1.2) (10)

X1 = 78 - 6 X2 = 78 - 12

X1 = 72 X2 = 92

2. Hallar (a) la media y (b) la desviación típica de un examen en e que as puntuaciones

de 70 y 88 tienen una referencias tipificadas de -0.6 y 1.4 respectivamente.

DATOS: FORMULA: X1 = 70

Z1 = -0.6 μ = X - Z σ

X2 = 88

Z2 = 1.4

SUSTITUCIÓN:

μ = X1 - Z1σ μ = X2 - Z2σ 70 + 0.6 σ = 88 – 1.4 σ

μ = 70 – (-0.6) σ μ = 88 – 1.4 σ = 0.6 σ + 1.4 σ = 88 - 70

μ = 70 + 0.6 σ 2 σ = 18

σ = 18/2

σ = 9

Estadística II

37 de 110


μ = X1 - Z1σ μ = X2 - Z2σ

μ = 70 + 0.6 (9) μ = 88 – 1.4 (9)

μ = 70 + 5.4 μ = 88 – 12.6

μ = 75.4 μ = 75.4

3. Hallar el área bajo la curva normal entre (a) z = -1.20 y z = 2.40, (b) z = 1.23 y z =

1.87, (c) z = -2.35 y z -0.50.

RESULTADOS:

(A)

μ x z1 = -1.20 Z= 0 z2 = 2.40

Z1 = - 1.20 Tabla = 0.3849

Z2 = 2.40 Tabla = 0.4918

R = 0.8767

NOTA: Los porcentajes se sacan de la tabla de áreas bajo la curva normal tipificada de 0 a Z.

(B)

μ Z= 0 z1 = z2 =

1. 23 1. 87

Z1 = 1.23 Tabla = 0.3907

Z2 = 1.87 Tabla = 0.4693

Estadística II

38 de 110


R = 0.0786

(C)

μ z1 = z2 = Z= 0

-2. 35 - 0.50

Z1 = - 2.35 Tabla = 0.4906

Z2 = - 0.50 Tabla = 0.1915

R = 0.2991

4. Hallar el área bajo la curva normal (a) a la izquierda de z = -1.78 (b) a la izquierda

de z = 0.56 (c) a la derecha de z = -1.45 (d) correspondiente a z > 2.16, (e)

correspondiente a – 0.80 < z < 1.53, (f) a la izquierda de z = -2.52 y a la derecha de

z = 1.83. RESULTADOS:

(A) 50% 50%

μ z1 = -1.78 Z= 0

Z1 = - 1.78 Tabla = 0.4625 0.5000

0.4625

0.0375

NOTA: Los porcentajes se sacan de la tabla de áreas bajo la curva normal tipificada de 0 a Z.

Estadística II

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(B) 50% 50%

μ Z= 0 z1 = 0. 56

Z1 = 0.56 Tabla = 0.2123 0.5000

0.2123

0.7123

(C) 50% 50%

μ z1 = -1. 45 Z= 0

Z1 = -1.45 Tabla = 0.4265 0.5000

+ 0.4265

0.9265

Estadística II

40 de 110


(D) 50% 50%

μ Z= 0 z1 = 2.16

Z1 = 2.16 Tabla = 0.4846 0.5000

0.4846

0.0154

(E) 50% 50%

μ z1 = - 0. 8 Z= 0 z2 = 1. 53

Z1 = - 0.8 Tabla = 0.2881 0.2881

Z1 = 1.53 Tabla = 0.4370 + 0.4370

0.7251

Estadística II

41 de 110


(E) 50% 50%

μ z1 = - 2. 52 Z= 0 z2 = 1. 83

Z1 = - 2.52 Tabla = 0.4941 0.5000 0.5000

Z2 = 1.83 Tabla = 0.4664 - 0.4941 - 0.4664

0.0059 0.0336

R = 0.0059 + 0.0336 = 0.0395

5. Si la altura de 300 estudiantes se distribuyen normalmente con media 68.0 pulgadas

y desviación típica 3.0 pulgadas, cuantos estudiantes tienen alturas (a) mayor de 72

pulgadas, (b) menor o igual a 64 pulgadas, (c) entre 65 y 71 pulgadas inclusive, (d)

igual a 68 pulgadas. Supóngase las medidas, registradas con aproximación de

pulgada.

1 pulgada = 2.54cm x 1.30 pulg. = 3.302 cm. = 3.30 mts.


R= Seleccionar uno de los 300 estudiantes aleatoriamente y medirlo.


R= S = {e / 0 < e < 130}

Estadística II

42 de 110



R= X= estatura de los estudiantes


R= Sx = {X / 0 < X < 130}

La estatura de cualquier estudiante que mida de 0 a 130.


R= Calcular la probabilidad de interés.

(A) Mayor de 72 pulgadas.

50% 50%

μ=68. 0 72. 5 μ = 0 z = 1. 5

σ= 3.0

FORMULA: X - μ

Z = σ

Estadística II

43 de 110


SUSTITUCION:

Z = 72.5 – 68.0 Z = 1.5 Tabla = 0.4332

3.0

Z = 0.5000

Z = 4.5 - 0.4332

3.0 0.0668

x 300

Z = 1.5 20.04 = 20

(B) Menor o igual a 64. 50% 50%

64.5 μ=68. 0 z = -1. 17 μ = 0

σ= 3.0

FORMULA: X - μ

Z = σ

SUSTITUCION:

Z = 64.5 – 68.0 Z = -1.17 Tabla = 0.3790

3.0

Z = 0.5000

Z = 3.5 - 0.3790

3.0 0.121

x 300

Z = -1.17 36.3 = 36

Estadística II

44 de 110


(C) Entre 65 y 71 pulgadas inclusive. 50% 50%

64.5 μ=68. 0 71. .5 z = -1. 17 μ = 0

σ= 3.0 X = 68

FORMULA: X - μ

Z = σ

SUSTITUCION:

Z = 64.5 – 68.0 Z = 68 – 71.5 1.17 0.3790

3.0 3.0

Z = - 3.5 1.17 0.3790

Z = 3.5 3.0 0.7580

3.0 Z = - 1.17

Z = -1.17 P (65 < X < 71) = 0.7580 = 75%

N. de estudiantes = 300 (0.7580)

= 227 %

Estadística II

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(D) Igual a 68 pulgadas.

67.5 μ=68. 0 68. 5 μ = 0

σ= 3.0 X = 68

FORMULA: X - μ

Z = σ

SUSTITUCION:

Z = 67.5 – 68.0 Z = 68 – 68 0.17 0.0675

3.0 3.0

Z = 0.5 0.17 0.0675

Z = - 0.5 3.0 0.1350

3.0 Z = 0.17

Z = -1.17 P (x = 68) = 0.1350 = 13.5

N. de estudiantes = 300 (0.1350)

= 40.5

Estadística II

46 de 110


6. Si los diámetros de cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media 0.6140

pulgadas y desviación típica 0.0025 pulgadas, determinar el porcentaje de cojinetes

de bolas con diámetros (a) entre 0.610 y 0.618 pulgadas inclusive (b) mayor de 0.617

pulgadas, (c) menor de 0.608 pulgadas, (d) igual a 0.615 pulgadas.

(A) Entre 0.610 y 0.018.

0. 6095 μ=68. 0 0. 6185 μ = 0

σ= 3.0

FORMULA: X - μ

Z = σ

SUSTITUCION:

Z1 = 0.6095 – 0.6140 Z2 = 0.6185 – 0.6140 0.17 0.4641

0.0025 0.0025

Z2 = 0.0045 0.17 0.4641

Z1 = - 0.0045 0.0045 0.9282

0.0025 Z2 = 1.8

Z1 = -1.8 92.82% = 93%

Estadística II

47 de 110


(B) Mayor de 0.617.

0.6175

μ= 0. 6140 μ = 0

σ= 3.0 X = 1.4

FORMULA: X - μ

Z = σ

SUSTITUCION:

Z = 0.6175 – 0.6140 - 0.5000

0.0025 0.4192

Z = 0.0035 0.0808 x 100 = 8.08 = 8.1

0.0025

Z = 1.4

Estadística II

48 de 110


(C) Menor de 0.608 pulg.

0.608 = 0.6075 50%

μ= 0. 6140 z = -2.6 μ = 0

σ= 0.0025 X = 1.4

FORMULA: X - μ

Z = σ

SUSTITUCION:

Z = 0.6075 – 0.6140 - 0.5000

0.0025 0.4953

Z = -0.0065 0.0047 x 100 = 0.47%

0.0025

Z = -2.6 = 0.4953

Estadística II

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(D) Igual a 0.615 pulg.

x1 = 0.6145 x2 = 0.6155 50% z2 = -0.6

μ= 0. 6140 μ = 0 z1= -0.2

σ= 0.0025

FORMULA: X - μ

Z = σ

SUSTITUCION:

Z1 = 0.6140 – 0.6140 Z2 = 0.6140 – 0.6155

0.0025 0.0025

Z1 = -0.0005 Z2 = -0.0015 0.0793

0.0025 0.0025 + 0.2258

Z1 = -0.2 = 0.0793 Z2 = -0.6 = 0.2258 0.3051

Estadística II

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7. La puntuación media en un examen fue 72 y la desviación típica 9. El 10% superior

de los alumnos reciben la calificación A. ¿Cuál es la puntuación mínima que un

estudiante debe tener para recibir una A?

DE ATRÁS HACIA DELANTE:

DATOS: FORMULA:

M= 72

Q= 9 X = Z1 Q + M

Z1= 1.28 Tabla

%= ?

SUSTITUCION:

X = 1.28 (9) + 72

X = 11.52 + 72

X = 83.52

0.3997 10%

X = 84

AHORA DE ADELANTE HACIA ATRÁS:

μ= 72 X= 84 μ = 0 z = 1.28

FORMULA: X - μ

Z = σ

SUSTITUCION:

Z = 83.52 – 72 0.5000

9 0.3997

Z = 11.52 0.1003 x 100 = 10%

9

Z = 1.28 = 0.3997

Estadística II

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2.3.- Muestreo Aleatorio Simple.

Teoría De Muestreo

La teoría de muestreo es un estudio de las relaciones existentes entre una

población y muestras extraídas de la misma. Tiene gran interés en muchos

aspectos de la estadística. Por ejemplo, permite estimar cantidades

desconocidas de la población (tales como la media poblacional, la

varianza, etc.), frecuentemente llamadas parámetros poblacionales o

brevemente parámetros, a partir del conocimiento de las correspondientes

cantidades muéstrales (tales como la media muestral, la varianza, etc.), a

menudo llamadas estadísticos muéstrales o brevemente estadísticos.

La teoría de muestreo es también útil para determinar si las diferencias

que se puedan observar entre dos muestras son debidas a la aleatoriedad

de las mismas o si por el contrario son realmente significativas. Tales

preguntas surgen, por ejemplo, al ensayar un nuevo suero para el

tratamiento de una enfermedad, o al decidir si un proceso de producción

es mejor que otro. Estas decisiones envuelven a los llamados ensayos e

hipótesis de significación, que tienen gran importancia en teoría de la

decisión.

Estadística II

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En general, un estudio de inferencias, realizado sobre una población

mediante muestras extraídas de la misma, junto con las indicaciones sobre

la exactitud de tales inferencias aplicadas a la teoría de la misma, junto

con las indicaciones sobre la exactitud de tales inferencias aplicadas a la

teoría de la probabilidad, se conoce como inferencia estadística.

Muestras Al Azar. (Números Aleatorios)

Para que las conclusiones de la teoría del muestreo e inferencia

estadística sean validas, las muestras deben elegirse de forma que sean

representativas de la población. Un estudio sobre métodos de muestreo y

los problemas que tales métodos implican, se conoce como diseños de

experimentos.

El proceso mediante el cual se extrae de una población una muestra

representativa de la misma se conoce como muestreo al azar, deacuerdo

con ello cada miembro de la población tiene la misma posibilidad de ser

incluido en la muestra. Una técnica para obtener una muestra al azar es

asignar números a cada miembro de la población, escritos estos números

en pequeños papeles, se introducen en una urna y después se extraen

números de la urna, teniendo cuidado de de mezclarlos bien antes de cada

extracción. Esto puede ser sustituido por el empleo de una tabla de

números aleatorios.

Estadística II

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Muestreo Con Y Sin Remplazamiento

Si se extrae un numero de una urna, se puede volver o no el numero a la

urna antes de realizar una segunda extracción. En el primer caso, un

mismo número puede salir varias veces, mientras que en el segundo un

número determinado solamente puede salir una vez. El muestreo, en el

que cada miembro de la población puede elegirse más de una vez, se

llama muestreo con remplazamiento, mientras que si cada miembro no

puede ser elegido más de una vez se tiene el muestreo sin

remplazamiento.

Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas. Si, por ejemplo, se extraen

sucesivamente 10 bolas sin remplazamiento de una urna que contiene

100, se esta tomando una muestra de una población finita, mientras que si

se lanza al aire una moneda 50 veces, anotándose el numero de caras, se

esta muestreando en una población infinita.

Una población finita, en la que se realiza un muestreo con remplazamiento,

puede teóricamente ser considerada como infinita, puesto que puede

extraerse cualquier número de muestras sin agotar la población. E muchos

casos prácticos, el muestreo de una población finita que es muy grande,

pueden considerarse como muestreo de una población infinita.

Estadística II

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2.4.- Distribuciones Muéstrales

Considerándose todas las posibles muestras de tamaño N que pueden

extraerse de una población dada (con o sin remplazamiento). Para cada

muestra se puede calcular un estadístico, tal como la media, la desviación

típica, etc., que variara de una muestra a otra. De esta forma se obtiene

una distribución del estadístico que se conoce como distribución muestral.

Si, por ejemplo, el estadístico de que se trata es la media muestral, la

distribución se conoce como distribución muestral de medias o distribución

muestral de la meda. Análogamente se obtendría las distribuciones

muéstrales de las desviaciones típicas, etc. Así, pues, se puede hablar de

la media y desviación típica de la distribución muestral de medias, etc.

Estadística II

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2.4.1.- Distribución Muestral de Medias.

Supóngase que son extraídas de una población finita todas las

posibles muestras sin remplazamiento de tamaño N, siendo el

tamaño de la población Np > N. Si se denota la media y la

desviación típica de la distribución muestral de medias por μx y

σx y la media y la desviación típica de la población por µ y σ,

respectivamente se tiene:

Σ Np - N

y σx =

N Np - 1

Si la población es infinita o si el muestreo es con

remplazamiento, los resultados anteriores se convierten en:

σ

Μ x = μ y σx =

N

Μ x = μ

Estadística II

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Para valores grandes de N(N > 30) la distribución muestral de medias se

aproxima a una distribución normal con media Μx y desviación típica σx

independientemente de la población de que se trate (siempre que la media

y la varianza poblacional sean finitas y el tamaño de la población sea la

menos dos veces el tamaño de la muestra ). Este resultado en una

población infinita es un caso especial del teorema central del límite de

teoría de probabilidad superior, que demuestra que la aproximación es

tanto mejor conforme N se hace mayor. Esto se indica diciendo que la

distribución muestral es sintéticamente normal. En caso de que la

distribución se distribuya normalmente, la distribución muestral de medias

se distribuye también normalmente, incluso para pequeños valores de N

(es decir, N < 30).

2.4.2.- Distribución Muestral de Proporciones

Supóngase una población infinita y que la probabilidad de ocurrencia de un

suceso (conocido como su éxito) es p, mientras que la probabilidad de no

ocurrencia del suceso es q = 1 – p. Por ejemplo, la población pueden ser

todos los posibles lanzamientos de una moneda, en la que la probabilidad

del suceso (cara) es p = ½.

Estadística II

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Se consideran todas las posibles muestras de tamaño N extraídas de esta

población y para cada muestra se determina la proporción p de éxito. En

el caso de la moneda, P seria la proporción de caras aparecidas en los N

lanzamientos. Entonces se obtiene una distribución muestral de

proporciones cuya media µp y desviación t6ipica σp vienen dadas por:

Pq p(1 – p)

Μ x = μ y σx = N = N

Que pueden obtenerse de (2) sustituyendo μ por q y σ por pq.

Para grandes valores de N (es decir, N < 30) la distribución muestral se

aproxima mucho a una distribución normal. Nótese que la población se

distribuye binominalmente.

Las ecuaciones (3) son igualmente validas para una población finita en la

que el muestreo se hace con remplazamiento.

Para poblaciones finitas y muestreo sin remplazamiento, las ecuaciones

(3) pasan a ser como las ecuaciones (1) con μ = p y σ = pq.

Adviértase que las ecuaciones (3) se obtienen mas fácilmente dividiendo la

media y la desviación típica (Np y Npq) de la distribución binominal por N.

Estadística II

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2.4.3.- Distribución Muestral de Diferencias y Sumas.

Supónganse que se tienen dos poblaciones. Para cada muestra de

tamaño N1, extraída de la primera población se calcula un estudio S1. Esto

proporciona una distribución muestral del estadístico S1 cuya medida y

desviación típica vienen dadas por μs1 y σs1, respectivamente.

Análogamente, para cada muestra de tamaño N2, extraída de la segunda

población, se calcula un estadístico S2. Esto igualmente proporciona una

distribución muestral del estadístico S2, cuya media y desviación típica

vienen dadas por μs2 y σs2. De todas las posibles combinaciones de estas

muestras de las dos poblaciones se puede obtener una distribución de las

diferencias, S1 – S2 que se conoce como distribución muestral de

diferencias de los estadísticos. La medida y la varianza de esta distribución

muestral se denotan, respectivamente, por μs1- S2 y σs1 – S2 y son

dadas por

μs1 – S2 = μs1 – μs2 y σs1 – S2 = σ2S1 + σ2s2 (4)

Con tal de que las muestras no dependan de ninguna forma una de otra,

es decir, las muestras sean independientes.

Estadística II

59 de 110


Si S1 y S2 son las medidas muéstrales de las dos poblaciones, las cuales

vienen dadas por X1 y X2, entonces la distribución muestral de la

diferencias de medias para poblaciones infinitas con medidas y

desviaciones típicas μ1, σ1 y μ2, σ2, respectivamente, tienen por media y

desviación típica.

μx1-x2 = μx1 – μx2 = μ1 – μ2 y σx1- σx2 = σ2x1 + σ2x2 = σ2+ σ2

1 2 (5)

N1 N2

Usando las ecuaciones (2). El resultado se mantiene valido para

poblaciones finitas si el muestreo es con remplazamiento.

Resultados similares pueden obtenerse para poblaciones finitas en las que

el muestreo se realiza sin remplazamiento partiendo de las ecuaciones (1).

Resultados correspondientes pueden deducirse para las distribuciones

muéstrales de diferencias de proporción de dos poblaciones distribuidas

binominalmente con parámetros p1, q1 y p2, q2, respectivamente. En este

Estadística II

60 de 110


caso S1 y S2 corresponden a las proporciones de éxito, P1 y P2, y las

ecuaciones (4) dan los resultados.

μp1 – p2 = μp1 – μp2 = p1 – p2 y σp1-p2 = σ2p1 + σ2p2 = p1q1 p2q2

N1 N2 (6)

Si N1 y N2 son grandes (N1, N2 = 30), las distribuciones muéstrales de

diferencia de medias o proporciones se distribuyen muy aproximadamente

como un normal.

A veces, es útil hablar de la distribución muestral de la suma de

estadísticos. La media y la desviación típica de esta distribución viene

dada por

μs1+s2 = μs1 + μs2 y σs1+s2 = σ2s1 + σ2s2 (7)

Suponiendo que las muestras son independientes.

Estadística II

61 de 110


2.5.- Otros Ejercicios.

1) Muestra De Dos Elementos Con Reemplazo:

PARAMETRO

UNIVERSO




R= S = 2,2 3,2 4,2 6,2 (estadístico)

2,3 3,3 4,3 6,3 = 16

2,4 3,4 4,4 6,4

2,6 3,6 4,6 6,6


R= nORr = nr

nORr = 42

nORr = 16



6 4

2 3

Estadística II

62 de 110



R= Sx = { 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 6 }



2 (1/16) + 2.5 (2/16) + 3 (3/16) + 3.5 (2/16) + 4 (3/16) + 4.5 (2/16) + 5 (2/16) + 6

(1/16) =

2/16 + 5/16 + 9/16 + 7/16 + 12/16 + 9/16 + 10/16 + 6/16 = 60/16 = 3.75

Comprobación:

6 + 4 + 2 + 3 = 15/4 = 3.75

X 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 SUMA

Px(x) 1/16 2/16 3/16 2/16 3/16 2/16 2/16 1/16 16/16 =

1

Estadística II

63 de 110


Distribución Maestral De Medias:

Media: Mx = M

Con Reemplazo:

Q

D. Estándar: Qx =

N


n

∑ (X – μ)2

i = 1

n

X μ X- μ (X- μ)

2 3.75 - 1.75 3.0625

3 3.75 0.75 0.5625

4 3.75 0.25 0.0625

6 3.75 2.25 5.0625

Estadística II

64 de 110


8.75

μ= 3.75 4

Q = 1.4790

= 2.1875

Q = 1.4790

Q 1.4790

Qx = Qx =

N 2

1.4790

Qx = Qx = 1.04581

1.414213

X μ X- μ (X- μ)2 Px(X) (Px(x))((x- μ)

2)

2 3.75 -1.75 3.0625 1/16 0.191406…

2.5 3.75 -1.25 1.5625 2/16 0.1953…

3 3.75 -0.75 0.5625 3/16 0.1054…

3.5 3.75 -0.75 0.0625 2/16 0.0078…

4 3.75 0.25 0.0625 3/16 0.0116…

4.5 3.75 0.75 0.5625 2/16 0.0703…

5 3.75 1.25 1.5625 2/16 0.1953…

6 3.75 2.25 5.0625 1/16 0.3169…

Q2 = 1.0939

Q = 1.0939

Q = 1.0458

Estadística II

65 de 110


2) Muestra De Dos Elementos sin Reemplazo:

PARAMETRO

UNIVERSO


R= Sacar muestras de 2 elementos sin reemplazo.


R= S = 2,3 3,2 4,2 6,2 (estadístico)

2,4 3,4 4,3 6,3 = 12

2,6 3,6 4,6 6,4


R= nOr = 4! nOr = 24/2

(4 – 2) !

nOr = 12

nOr = 24

2 !

nOr = 24/2



6 4

2 3

Estadística II

66 de 110



R= Sx = { 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5 }



Mx = 2.5 (2/12) + 3 (2/12) + 3.5 (2/12) + 4 (2/12) + 4.5 (2/12) + 5 (2/12) =

Mx = 5/12 + 6/12 + 7/12 + 8/12 + 9/12 +10/12 = 3.75

COMPROBACIÓN:

6 + 4 + 2 + 3 = 15/4 = 3.75

Distribución Maestral De Medias:

Media: Mx = M

Sin Reemplazo:

Q

D. Estándar: Qx = NP - N

N NP - 1

X 2.5 3 3.5 4 4.5 5 TOTAL

Px(x) 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 12/12

= 1

Estadística II

67 de 110



X μ X- μ (X- μ)2 Px(X) (Px(x))((x- μ)

2)

2.5 3.75 -1.25 1.5625 2/12 0.2604166

3 3.75 -0.75 0.5625 2/12 0.09375

3.5 3.75 -0.75 0.0625 2/12 0.0104166

4 3.75 0.25 0.0625 2/12 0.0104166

4.5 3.75 0.75 0.5625 2/12 0.09375

5 3.75 1.25 1.5625 2/12 0.2604166

Q2 = 0.7291664

Q = 0.7291664

Q = 0.8539

3) Una población esta formada por los cuatro números 3, 7, 11, 15. Considerar todas la

s posibles muestras de tamaño dos que pueden extraerse de esta población con

remplazamiento. Hallar (a) la media poblacional, (b) la desviación típica

poblacional, (c) la media de la distribución muestral de medias, (d) la desviación

típica de la distribución muestral de medias. Encontrar (c) y (d) directamente de (a)

y (b) mediante las formulas adecuadas.

PARAMETRO

UNIVERSO



3 7

11 15

Estadística II

68 de 110



R= S = 3,3 7,3 11,3 15,3 (estadístico)

3,7 7,7 11,7 15,7 = 16

3,11 7,11 11,11 15,11

3.15 7,15 11,15 15,15


R= nORr = nr

nORr = 42

nORr = 16




R= Sx = { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}


X 3 5 7 9 11 13 15 SUMA

Px(x) 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16 16/16

= 1

Estadística II

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Mx = 3 (1/16) + 5 (2/16) + 7 (3/16) + 9 (4/16) + 11 (3/16) + 13 (2/16) + 15 (1/16) =

Mx = 13/16 + 10/16 + 21/16 + 36/16 + 33/16 + 26/16 + 15/16 = 144/16 = 9

COMPROBACIÓN:

3 + 7 + 11 + 15 = 36/4 = 9

X μ X- μ (X- μ)

3 9 - 6 36

7 9 - 2 4

11 9 2 4

15 9 6 36

36 + 4 + 4 + 36 = 80

Q = 80/4 M = 9

Q = 20 Q= 4.4721

Q= 4.472135955

Estadística II

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X μ X- μ (X- μ)2 Px(X) (Px(x))((x- μ)

2)

2.5 3.75 -1.25 1.5625 2/12 0.2604166

3 3.75 -0.75 0.5625 2/12 0.09375

3.5 3.75 -0.75 0.0625 2/12 0.0104166

4 3.75 0.25 0.0625 2/12 0.0104166

4.5 3.75 0.75 0.5625 2/12 0.09375

5 3.75 1.25 1.5625 2/12 0.2604166

Q2 = 10

Q = 10

Q = 3.162

4) Los pesos de 1500 cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media de 22.40

onzas y desviación típica de 0.048 onzas. Si se extraen 300 muestras de tamaño 36 de

esta población, determinar la media esperada y la desviación típica de la

distribución muestral de medias, si el muestreo se hace (a) con remplazamiento, (b)

sin remplazamiento.

CON REMPLAZO:

M = 22.40 Mx = M

Q = 0.048 M = 22.40 = 22.40

Muestra = 300 c.

Qx = Q Qx = 0.048/ 6

N Qx = 0.008

Qx = 0.048

36

Estadística II

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SIN REMPLAZO:

Q

D. Estándar: Qx = NP - N

N NP - 1

0.048

Qx = 300-36

36 300 - 1

0.048

Qx = 264

6 299

Qx = 0.008 ( 0.882943144 )

Qx = 0.008 ( 0.939650543 )

Qx = 0.0075

Qx = Menor que 0.008.

5) Resolver el problema anterior si la población se compone de 72 cojines.

Mx = M

Q = 0.048

22.40 = 22.40

Qx = Q Qx = 0.048/ 6

N Qx = 0.008

Estadística II

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Qx = 0.048

36

Qx = Q

Np – N

Np – 1

N

Qx = 0.048

76 – 36

76 – 1

36

Qx = 0.048

36

75

6

Qx = 0.008 ( 0.507042254 )

Qx = 0.008 ( 0.712068995 )

Qx = 0.0075

Estadística II

73 de 110


TEMA 3: Teoría de Estimación Estadística

3.1.- Estimación de Parámetros.

En el ultimo capitulo se vio como la teoría del muestreo podía emplearse

para obtener información acerca de muestras extraídas al azar de una

población conocida. Sin embargo, desde un punto de vista práctico, es

frecuentemente más importante es el poder inferir información sobre una

población mediante muestras extraídas de ella.

Tales problemas son los tratados en la inferencia estadística, basándose

en la teoría del muestreo.

Un importante problema de la diferencia estadística es la estimación del

parámetro de la población o brevemente parámetros (tales como la media,

varianza de la población, etc.) a partir de los correspondientes estadísticos

muéstrales o brevemente estadísticos (es decir, media muestral, varianza

muestral, etc.). En este capitulo se considera este problema.

Estadística II

74 de 110


3.1.1.- Estimas Insesgadas.

Si la media de la distribución muestral de un estadístico es igual al

correspondiente parámetro poblacional, el estadístico se llama estimador

insesgado del parámetro, si no es igual se dice estimador sesgado del

mismo. Los valores correspondientes de tales estadísticos se conocen,

respectivamente, como estimas insesgadas o sesgadas.

Ejemplo 1: La media de la distribución muestral es medias μx = μ, medias poblacional. De aquí

que la media muestral X es una estima insesgada de la media poblacional μ.

Ejemplo 2: La media de la distribución muestral de varianzas μs2 = N – 1 σ

2, donde σ

2

N

Es la varianza poblacional y N es el tamaño muestral. Así, pues, la

varianza muestral s2 es una estima esesgada de la varianza poblacional

σ2. Utilizando la varianza modificada

ŝ2= _N___ s

2,

N - 1

Se tiene que μs2 = σ2, de modo que s2 es una estima no sesgada de σ2. Sin

embargo s es una estima sesgada de σ.

Estadística II

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En lenguaje de esperanza se puede decir que un estadístico es insesgado

si su esperanza es igual al correspondiente parámetro poblacional. Así, X y

ŝ2 son insesgados, puesto que E{X} = μ y E{ŝ2} = σ2.

3.1.2.- Estimas Eficientes.

Si las distribuciones muéstrales de dos estadísticos tienen la misma media

(o esperanza), el estadístico que tenga menor varianza de llama estimador

eficiente de la media, mientras que el otro estadístico de llama estimador

no eficiente. Los valores correspondientes de los estadísticos de llaman

estimas eficientes, respectivamente.

Si se consideran todos los posibles estadísticos, cuyas distribuciones

muéstrales tienen la misma media, al que tiene menor varianza se le llama

el más eficiente o mejor estimador de esta media.

Ejemplo: Las distribuciones muéstrales e la media y de la mediana tienen

las misma media que es la media poblacional. Sin embargo, la varianza de

la distribución muestral de medias es menor que la de la distribución

muestral de medianas. De aquí que la mediana muestral de una estima

eficiente de la media poblacional, mientras que la mediana muestral de

una estima no eficiente de ella.

Estadística II

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De todos los estadísticos que estiman la media poblacional, la media

muestral proporciona la estima mejor o más eficiente. En la práctica se

utilizan frecuentemente estimas no eficientes, por la relativa facilidad con

que algunas de ellas pueden obtenerse.

3.2.- Estimas por Puntos y Estimas por Intervalos de

Seguridad

La estima de un parámetro poblacional dada por un numero se llama

estima de punto del parámetro. La estima de un parámetro poblacional

dada por dos números entre los cuales se considera que se encuentra

dicho parámetro se llama estima de intervalo del parámetro.

La estima por intervalo indican la precisión o exactitud de una estima y, por

tanto, son preferidas a las estimas puntuales.

Ejemplo: si se dice que una distancia viene dada por 5,28 pies, se esta

dando una estima de punto. Si, por otra parte, se dice que la distancia es

5,28 ± 0,03 pies, es decir, la distancia real se encuentra entre 5,25 y 5,31

pies, se esta dando una estima de intervalo.

La precisión o conocimiento del error de una estima se conoce también

como su seguridad.

Estadística II

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3.3.- Estimas por Intervalo de Confianza, de

Parámetros Poblacionales.

Sean μs y σs la media y la desviación típica (error típico) de la distribución

muestral de un estadístico S. Entonces, si la distribución muestral es S es

aproximadamente normal (lo que se ha visto, que es cierto para muchos

estadísticos, si el tamaño de muestra es N ≥ 30), cabe esperar en

muestras extraídas, que el estadístico S se encuentre en los intervalos μs -

σsa μs + σs, μs - 2σsa μs + 2σs, o μs - 3σsa μs + 3σs, el 68.27%, 95.45% y

99.73% de las veces, respectivamente.

Análogamente cabe esperar o se puede confiar en encontrar, μs en los

intervalos S - σs a S + σs, S - 2σs a S + 2σs o S + 3σs a S +3σs en el

68.27%, 95.45% y 99.73% de las veces, respectivamente.

Por esto se pueden llamar a estos intervalos los intervalos de confianza del

68.27%, 95.45% y 99.73% para la estima de μs. Los números extremos de

estos intervalos (S + σs, S + 2σs, S + 3σs) son llamados los limites de

confianza del 68.27%, 95.45% y 99.73% o, como otras veces se conocen,

limites fiduciales.

Análogamente, S ± 1,96σs y S± 2.58σs son los limites de confianza del

95% y 99% (o 0.95 y 0.99) para S. El porcentaje de confianza se llama

Estadística II

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también nivel de confianza. Los números 1.96, 2.58, etc., de los limites de

confianza se llaman coeficientes de confianza o valores críticos y se

denotan por Zc. De los niveles de confianza se pueden obtener los

coeficientes de confianza, y recíprocamente.

En la tabla 9-1 se dan los valores de Zc que corresponden a distintos

niveles de confianza utilizados en la practica. Para niveles de confianza

que no se encuentran en la tabla, los valores de Zc pueden sacarse de las

tablas de la curva normal.

Nivel de confianza 99.73% 99% 98% 96% 95.45% 95% 90% 80% 68.27% 50%

Zc 3.00 2.58 2.33 2.05 2.00 1.96 1.645 1.28 1.00 0.6745

3.3.1.- Sistemas de Medias por Intervalos de Confianza

Si el estadístico S es la media muestral X, entonces los limites de

confianza del 95% y 99% para la estimación de la media poblacional μ,

vienen dados por X ± 1.96σx, respectivamente.

Mas generalmente, los límites de confianza son dados por X ± zcσx, donde

zc depende del nivel de confianza que en cada caso se desee y pueda

Estadística II

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obtenerse de la tabla anterior. Utilizando los valores de σx, y se puede ver

que los limites de confianza para la medida poblacional vienen dados por

_

X ± zc _ σ _____

N

En el caso del muestreo de una población infinita o si el muestreo es con

remplazamiento en una población finita, y por

Np - N

X ± zc σ

N Np – 1

Si el muestreo es sin remplazamiento de una población finita de tamaño

Np.

En general la desviación típica poblacional σ es desconocida, de modo

que para obtener los limites de confianza anteriores, se utiliza la estima

muestral s o s. Esto suministra una aproximación satisfactoria para N ≥ 30.

Para N < 30, la aproximación es mala y debe emplearse la teoría de

pequeñas muestras.

Estadística II

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3.3.2.- Intervalos de Confianza para Proporciones.

Si el estadístico S es la proporción de “éxitos” en una muestra del tamaño

N extraída de una población binominal en la que p es la proporción de

éxito (es decir, la probabilidad de éxito), los limites de confianza para p

vienen dados por P _+ zcσp, es la proporción de éxitos en la muestra de

tamaño N con los valores obtenidos de σp, se tiene que los limites de

confianza para la proporción poblacional son dados por:

P ± zc pq = P ± zc p(1 - p)

N N

Para el caso de muestreo en una población infinita, o con remplazamiento

de una población finita, y por

Pq Np – N

P ± zc N Np – 1

Si el muestreo es sin remplazamiento en una población finita de tamaño

Np.

Para calcular estos limites de confianza puede utilizarse la estima muestral

P para p, que generalmente da una aproximación satisfactoria para N ≥ 30.

Estadística II

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3.3.3.- Intervalos de Confianza para Diferencias y Sumas.

Si S1 y S2 son dos estadísticos con distribución muestral aproximadamente

normales, los limites de confianza para la diferencia de los parámetros

poblacionales a S1 y S2 vienen dados por

S1 – S2 _+ zcσs1 – s2 = S1 – S2 ± zc σ2s1 + σ2s2

Mientras que los limites de confianza para la suma de los parámetros

poblacionales son

S1 + S2 _+ zcσs1+s2 = S1 + S2 ± zc σ2s1+σ2s2

Con tal de que las muestras sean independientes.

Por ejemplo, los limites de confianza para la diferencia de dos medias

poblacionales, en el caso de que las poblaciones sean infinitas, vienen

dados por

σ2 σ2

X1 – X2 ± zcσx1 – x2 = X1 – x2 ± zc 1 2

N1 N2

Donde X1, σ1, N1 y X2, σ2, N2 son las respectivas medias, desviaciones

típicas y tamaños de las dos muestras extraídas de las poblaciones.

Estadística II

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Análogamente, los limites de confianza para la diferencia de dos

proporciones poblacionales, siendo las poblaciones infinitas, son dados por

P1 (1 – p1) P2 (1 – P2)

P1 – P2 ± zcσp1 – p2 = p1 – p2 ± zc N1 N2

3.3.4.- Intervalos de Confianza para Desviaciones Típicas.

Los limites para las desviaciones típicas σ de una población que se

distribuye normalmente y que es estimada por una muestra con desviación

típica s, son dados por

σ .

s ± zcσs = s ± zc

2N

Para calcular estos limites de confianza se utiliza s o s’ para estimar σ.

3.4.- Error Probable.

Los limites de confianza del 50% de los parámetros de la población,

correspondientes a un estadístico S son dados por S ± 0.6745σs. La

cantidad 0.6745σs se conoce como error probable de la estima.

Estadística II

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3.5.- Ejercicios

La media y la desviación típica de las cargas máximas soportadas por 60 cables son

dados por 11.09 ton. Y 0.73 ton., respectivamente. Hallar los límites de confianza del

(a) 95% y (b) 99% para la media de las cargas máximas de todos los cables

producidos por la compañía.

POBLACION INFINITA.

X = 11.09 ton.

Q = 0.73 ton.

A) 95%

Q

Me = X + Z c = Media Poblacional.

- N

Me = 11.09 ton. ± 1.96 (0.73 ton. / 60

)

Me = 11.09 ton. ± 1.96 (0.73 ton. / 7.745966)

Me = 11.09 ton. ± 1.96 (0.094242603)

Me = 11.09 ton. ± 0.184715

Me = [10.90, 11.27]

Todas las

cargas

maximas de

todos los

cables.

60

Cables.

Estadística II

84 de 110


B) 99%

Me = 11.09 ton. ± 2.58 (0.73 ton. / 60 )

Me = 11.09 ton. ± 2.58 (0.73 ton. / 7.745966)

Me = 11.09 ton. ± 2.58 (0.094242603)

Me = 11.09 ton. ± 0.243145

Me = [10.90, 11.33]

C) 50%

Me = 11.09 ton. ± 0.6745 (0.73 ton. / 60 )

Me = 11.09 ton. ± 0.6745 (0.73 ton. / 7.745966)

Me = 11.09 ton. ± 0.6745 (0.094242603)

Me = 11.09 ton. ± 0.063566

Me = [10.90, 11.15]

Estadística II

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La media de la desviación típica de los diámetros de una muestra de 250 remaches

fabricados por una compañía son 0.72612 pulgadas y 0.00058 pulgadas

respectivamente hallar los limites de confianza del (a) 99% (b) 98% (c) 95% (d)

90% para el diámetro medio de todos los remaches fabricados por la compañía.

M = 250

X = 0.72642

Q = 0.00058

A) 99%

Me = 0.72642ton. ± 2.58 (0.00058ton. / 250 )

Me = 0.72642ton. ± 2.58 (0.00058 ton. / 15.8113883)

Me = 0.72642ton. ± 2.58 (0.000036682)

Me = 0.72642ton. ± 0.000095

Me = [0.726325, 0.726615

B) 98%

Me = 0.72642ton. ± 2.33 (0.00058ton. / 250 )

Me = 0.72642ton. ± 2.33 (0.00058 ton. / 15.8113883)

Me = 0.72642ton. ± 2.33 (0.000036682)

Me = 0.72642ton. ± 0.000085

Me = [0.72, 0.72]

Estadística II

86 de 110


C) 95%

Me = 0.72642ton. ± 1.96 (0.00058ton. / 250 )

Me = 0.72642ton. ± 1.96 (0.00058 ton. / 15.8113883)

Me = 0.72642ton. ± 1.96 (0.000036682)

Me = 0.72642ton. ± 0.000072

Me = [0.73, 0.73]

D) 90%

Me = 0.72642ton. ± 1.645 (0.00058ton. / 250 )

Me = 0.72642ton. ± 1.645 (0.00058 ton. / 15.8113883)

Me = 0.72642ton. ± 1.645 (0.000036682)

Me = 0.72642ton. ± 0.000060

Me = [0.7263, 0.7264]

Estadística II

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Una compañía tiene 500 cables. Un ensayo con 40 cables elegidos al azar dieron una

media de resistencia a la rotura de 2400 libras y una desviación típica de 150 libras.

(a) ¿Cuál son los limites de confianza del 95% y 99% para estimar la media de la

resistencia a la rotura de los 460 cables restantes? ¿con que grado de confianza cabe

decir que la media de resistencia a la rotura de los 460 cables restantes sea 2400 ±35

libras?

POBLACION FINITA

M = 40

X = 2400 Libras

Q = 150 Libras

Me = x ± a.C. Q

NP - N

N NP - 1

A) 95% Y 99%

Me = 2400 Lib. ± 1.96 (150/ 40 ) ( 500 - 40

)

500 – 1

Me = 2400 Lib. ± 1.96 (150/ 6.32455532 ) ( 460

)

499

Me = 2400 Lib. ± 1.96 (23.71708245) ( 0.9218…

)

Me = 2400 Lib. ± 1.96 (23.72) (0.96)

Me = 2400 Lib. ± 1.96 (22.7712)

Me = 2400 Lib. ± 44.63

Me = [2305.75, 2395.75]

500 CABLES

40 CABLES

Estadística II

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A) 99%

Me = 2400 Lib. ± 2.58 (150/ 40 ) ( 500 - 40

)

500 – 1

Me = 2400 Lib. ± 2.58 (150/ 6.32455532 ) ( 460

)

499

Me = 2400 Lib. ± 2.58 (23.71708245) ( 0.9218…

)

Me = 2400 Lib. ± 2.58 (23.72) (0.96)

Me = 2400 Lib. ± 2.58 (22.7712)

Me = 2400 Lib. ± 59

Me = [2341, 2459]

B) ? %

2400 ± 35

35 = x ± Zc Q

NP - N

N NP - 1

35 = Zc (150/ 40 ) ( 500 - 40

)

500 – 1

35 = Zc (150/ 6.32455532 ) ( 460

)

499

35 = Zc (23.71708245) ( 0.9218… )

Estadística II

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35 = Zc (23.72) (0.96)

35 = Zc (22.77)

35 / 22.77 = Zc

1.54 = Zc

50% 50% 0.4382 x 2 = 0.8764

R = 87.64%

1. 59 1..54

2400 ± 20

20 = Zc (150/ 6.32455532 ) ( 460

)

499

20= Zc (23.71708245) ( 0.9218… )

20 = Zc (23.72) (0.96)

20 = Zc (22.77)

20 / 22.77 = Zc

0.87 = Zc

50% 50% 0.88 = Tabla 0.3106 x 2 = 0.212

R = 62.12%

1.59 1.54

Estadística II

90 de 110


Tema 4: Teoría de la Decisión Estadística

(Paramétrica).

4.1.- Conceptos y Definiciones.

4.1.1.- Decisiones Estadísticas.

Muy a menudo, en la práctica, se tienen que tomar decisiones sobre

poblaciones, partiendo de la información muestral de las mismas. Tales

decisiones se llaman decisiones estadísticas.

Por ejemplo, se puede querer decidir a partir de los datos del muestreo, si

un suero nuevo es realmente efectivo para la cura de una enfermedad, si

un sistema educacional es mejor que otro, si una moneda determinada

esta o no cargada, etc.

4.1.2.- Hipótesis Estadística, Hipótesis Nula.

Para llegar a tomar decisiones, conviene hacer determinados supuestos o

conjeturas acerca de las poblaciones que se estudian. Tales supuestos

que pueden ser o no ciertos se llaman hipótesis estadísticas y, en general,

lo son sobre distribuciones de probabilidad de las poblaciones.

Estadística II

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En muchos casos se formulas las hipótesis estadísticas con el solo

propósito de rechazarlas o invalidarlas. Por ejemplo, si se quiere decir si

una moneda esta cargada, se formula la hipótesis de que la moneda esta

bien, es decir, p = 0.5; donde p es la posibilidad de cara.

Análogamente, si se quiere decir sobre si un procedimiento es mejor que

otro, se formula la hipótesis de que no hay diferencia entre los

procedimientos (es decir, cualquiera diferencia observada se debe

meramente a fluctuaciones en el muestreo de la misma población).

Tales hipótesis se llaman también hipótesis nulas y se denotan por Ho.

Cualquier hipótesis que difiera de una hipótesis dada se llama hipótesis

alternativa. Por ejemplo, si una hipótesis es p = 0.5 hipótesis alternativas

son p = 0.7: p =/ 0.5 o p > 0.5. Una hipótesis alternativa de la hipótesis

nula se denota por H1.

4.2.- Ensayos de Hipótesis y Significación.

Si el supuesto de que una hipótesis determinada es cierta, se encuentra

que los resultados observados en una muestra al azar difieren

marcadamente de aquellos que cabía esperar con la hipótesis y con la

Estadística II

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variación propia del muestreo, se diría que las diferencias observadas son

significativas y se estaría en condiciones de rechazar la hipótesis (o al

menos no aceptarla de acuerdo con la evidencia obtenida). Por ejemplo, si

en 20 lanzamientos de una moneda se obtienen 16 caras, se estaría

inclinando a rechazar la hipótesis de que la moneda esta bien, aunque

seria posible que fuera un rechazamiento erróneo.

Los procedimientos que facilitan el decir si una hipótesis se acepta o se

rechaza o el determinar si las muestras observadas difieren

significativamente de los resultados esperados se llaman ensayos de

hipótesis, ensayos de significación o reglas de decisión.

4.2.1.- Error De Tipo I Y Tipo II.

Si se rechaza una hipótesis cuando debería ser aceptada, se dice que se

comete un error de tipo I. Si por el contrario, se acepta una hipótesis que

debe ser rechazada, se dice que se comete un error de tipo II. En

cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisión

equivocada.

Para que cualquier ensayo de hipótesis o regla de decisión sea bueno,

debe diseñarse de forma que minimice los errores de decisión. Esto no es

Estadística II

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tan sencillo como puede parecer puesto que para un tamaño de muestra

dado, un intento de disminuir un tipo de error, va generalmente

acompañado por un incremento en el otro tipo de error.

En la práctica, un tipo de error puede tener más importancia que el otro, y

así se tiende a conseguir poner una limitación al error de mayor

importancia. La única forma de disminuir al tiempo ambos tipos de error es

incrementar el tamaño de muestra, lo cual puede ser o no ser posible.

4.2.2.- Nivel de Significación.

La probabilidad máxima con la que el ensayo de una hipótesis se puede

cometer un error del Tipo I se llama nivel de significación del ensayo. Esta

posibilidad de denotar frecuentemente por a; generalmente se fija antes de

la extracción de las muestras, de modo que los resultados obtenidos no

influyen en la elección.

En la práctica se acostumbra a utilizar niveles de significación del 0.05 o

0.01, aunque igualmente se pueden emplear otros valores. Si, por ejemplo,

se elige un nivel de significación del 0.05 o 5% al diseñar un ensayo de

hipótesis, entonces hay aproximadamente 5 ocasiones en 100 en que se

rechazaría la hipótesis cuando debería ser aceptada, es decir, se esta con

un 95% de confianza de que se tome la decisión adecuada.

Estadística II

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En tal caso como se dice que la hipótesis ha sido rechazada a nivel de

significación del 0.05, lo que significa que se puede cometer error con una

probabilidad de 0.05.

4.3.- Ensayos Referentes a la Distribución Normal.

Para aclarar las ideas anteriores, supónganse que con una hipótesis dada,

la distribución muestral de un estadístico S es una distribución normal con

media μs y desviación típica σs. Entonces la distribución de la variable

tipificada (representada por z) dada por z = (S - μs)/σs, es una normal

tipificada (media 0, varianza 1). Figura 10.1.

Como se indica en la figura, se puede estar con el 95% de confianza de

que, si la hipótesis es cierta,el valor de z obtenido de una muestra real

para el Estadístico S se encontrara entre – 1.96 y 1.96 (puesto que el área

bajo la curva normal entre estos valores es 0.95).

Estadística II

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Fig. 10-1

Sin embargo, si al elegir una muestra al azar se encuentra que z para ese

estadístico se halla fuera del rango – 1.96 a 1.96, lo que quiere decir que

es un suceso con posibilidad de solamente 0.05 (área sombreada en la

figura) si la hipótesis fuera verdadera.

Entonces puede decirse que esta z difiere significativamente de la que

cabía esperar de esta hipótesis y se estaría inclinando a rechazar la

hipótesis.

El área total sombreada 0.05 es el nivel de significación del ensayo.

Representa la probabilidad de cometer error al rechazar la hipótesis es

decir, la posibilidad de cometer error del Tipo I. Así, pues, se dice que la

hipótesis se rechaza al nivel de significación del 0.05 o que la z obtenida

del estadístico muestral dado es significativa al nivel de significación del

0.05.

Estadística II

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El conjunto de la z que se encuentra fuera del rango – 1.96 a 1.96

constituye lo que se llama región crítica o región de rechace de la hipótesis

o región de significación. El conjunto de las z que se encuentran dentro del

rango – 1.96 a 1.96 podía entonces llamarse región de aceptación de la

hipótesis o región de no significación.

De acuerdo con lo dicho hasta ahora, se puede formular la siguiente regla

de decisión o ensayo de hipótesis o significación.

(a) Se rechaza la hipótesis al nivel de significación del 0.05 si la z

obtenida para el estadístico S se encuentra fuera del rango – 1.96 a

1.96 (es decir, z > 1.96 o z < - 1.96). Esto equivale a decir que el

estadístico muestral observado es significativo al nivel del 0.05.

(b) Se acepta la hipótesis (o si se desea no se toma decisión alguna) en

caso contrario.

A causa de su importante papel en los ensayos de hipótesis y significación,

z recibe también el nombre de ensayo estadístico.

Debe ponerse de manifiesto que pueden igualmente emplearse otros

niveles de significación. Por ejemplo, si se utiliza el nivel del 0.01 se

sustituiría 1.96 en todo lo visto anteriormente por 2.58. (Tabla 10-1).

Estadística II

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4.4.-Ensayos de Una y Dos Colas.

En el ensayo anterior se atendía a los valores extremos del estadístico S o

su correspondiente z a ambos lados de la media, es decir, en las dos

«colas» de la distribución. Por esta razón, tales ensayos se llaman

ensayos de dos colas o ensayos bilaterales.

Sin embargo, con frecuencia, se puede estar solamente interesado en los

valores extremos a un solo lado de la media, es decir, en una «cola» de la

distribución, como, por ejemplo, cuando se están ensayando la hipótesis

de que un proceso es mejor que otro (que es diferente a ensayar si un

proceso es mejor o peor que otro). Tales ensayos se llaman ensayos de

una cola o ensayos unilaterales. En tales casos, la región crítica es una

región a un lado de la distribución, con área igual al nivel de significación.

La tabla 10-1, que da los valores críticos de z para ensayos de una y dos

colas o distintos niveles de significación, será de utilidad para propósitos

de referencia. Valores críticos de z para otros niveles de significación, se

pueden encontrar utilizando la tabla que da las áreas bajo la curva normal.

Tabla 10-1

Nivel de significación 0.10 0.05 0.01 0.005 0.002

Valores críticos de z para

ensayos de una cola

-1.28 o

1.28

-1.645 o

1.645

-2.33 o

2.33

-2.58 o

2.58

-2.88 o

2.88

Valores críticos de z para

ensayos de dos colas

-1.645

y 1.645

-1.96

y 1.96

-2.58

y 2.58

-2.81

y 2.81

-3.08

y 3.08

Estadística II

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4.5.- Ensayos Especiales.

Para muestras grandes, las distribuciones muéstrales de muchos

estadísticos son distribuciones normales (o al menos casi normales) con

media μs y desviaron típica σs. En tales casos, se pueden utilizar los

resultados anteriores para formular reglas de decisión o ensayos de

hipótesis y significación.

Los siguientes casos especiales, (sacados de la tabla 8-1), son solamente

unos pocos de los estadísticos de interés practico. En cada caso, los

resultados son para poblaciones infinitas o para muestreo con

remplazamiento. Para muestreo sin remplazamiento de poblaciones finitas

los resultados deberán modificarse.

1. Medias. Aquí S = Χ, la media muestral; μs = μx = μ, media

poblacional; σs = σx = σ/√¯N¯, donde σ es la desviación típica

poblacional y N es el tamaño de la muestra.

El valor de la z viene dado por

_

X – μ

z =

σ/√ N

Donde se utiliza la desviación muestral s o ŝ para estimar σ.

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2. Proporciones. Aquí S = P, la proporción de «éxitos» en una muestra; μs

= μp = p, donde p es la proporción de éxitos en la población y N es el

tamaño de la muestra; σs = σp = pq/N donde q = 1 – p. El valor de z

viene dado por:

P – p

Z =

pq/ N

En el caso de que P = X/N, donde X es el número real de éxitos en una

muestra, z se convierte en:

X – Np

z =

Npq

Es decir, μx = μ = Np, σx = σ Npq, y S = X.

Análogamente pueden obtenerse los resultados para otros estadísticos.

Estadística II

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4.6.- Ejercicio de Inferencia de Medias.

1.- OBJETIVO.- Comprobar la media hipotética con una muestra grande

aleatoria.

2.- DESCRIPCION DEL EXPERIMENTO.- Se desea comprobar que el

consumo promedio diario de lubricantes en una empresa es de 1,500 lts.,

mediante una muestra de 250 observaciones.

3.- HIPOTESIS: Ho: μ = 1,500 Ha: μ ≠ 1,500

4.- CARACTERISTICAS:

∙ Comprobación de media hipotética.

∙ Una sola muestra aleatoria.

∙ Muestra grande (n = 250).

∙ Medición de razón con valores continuos.

Estadística II

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5.- COEFICIENTE DE CONFIANZA:

95%, dos colas, α/2 = 0.025.

6.- DISTRIBUCION MUESTRAL.- La distribución muestral apropiada es la

normal, por tratarse de muestra grande.

7.- BASE DE RECHAZO.- Según la tabla No. 1 anexa, para el 95% de

confianza y distribución de dos colas, el valor de z = 1.96.

RECHAZAR si – 1.96 > z > 1.96.

Estadística II

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8.- RESULTADOS DE LA MUESTRA: n = 250.

1486 1473 1501 1467 1496 1498 1477 1488 1460 1479 1492 1503 1477 1493 1473

1472 1485 1497 1499 1506 1478 1499 1486 1486 1465 1438 1497 1486 1502 1471

1488 1474 1491 1492 1480 1505 1500 1473 1482 1489 1467 1483 1492 1496 1485

1458 1453 1503 1500 1486 1476 1462 1496 1499 1468 1459 1476 1466 1457 1481

1485 1477 1469 1488 1490 1495 1506 1483 1471 1492 1486 1457 1459 1489 1502

1493 1498 1477 1468 1491 1477 1475 1457 1498 1499 1472 1498 1467 1505 1481

1467 1493 1507 1502 1475 1468 1457 1482 1492 1476 1476 1475 1489 1462 1492

1490 1468 1483 1499 1467 1470 1465 1483 1492 1472 1499 1455 1482 1496 1467

1466 1473 1478 1489 1468 1477 1469 1485 1484 1471 1481 1492 1490 1474 1492

1482 1467 1467 1503 1474 1457 1497 1489 1478 1488 1477 1496 1482 1490 1499

1466 1498 1488 1467 1492 1472 1491 1490 1499 1498 1478 1496 1492 1492 1468

1487 1479 1468 1493 1483 1499 1482 1494 1496 1485 1499 1497 1478 1456 1471

1482 1468 1495 1472 1492 1472 1495 1467 1457 1487 1478 1470 1472 1459 1492

1490 1506 1482 1500 1478 1482 1490 1506 1478 1481 1489 1492 1490 1476 1468

1477 1480 1478 1492 1467 1482 1467 1492 1490 1503 1478 1475 1492 1495 1472

1498 1499 1472 1485 1492 1482 1488 1468 1482 1472 1477 1495 1472 1474 1481

1478 1490 1500 1472 1469 1482 1486 1467 1457 1489

Estadística II

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9.- PROCEDIMIENTO DE ANALISIS:

_

a.- Calculo de la media muestral: Ү = ∑Ү/n.

_

Ү = 370,586/250 = 1,482

b.- Calculo de la desviación estándar muestral:

S = [∑Y2 – (∑Y)2/n]/(n-1)

S = [549,378,852 – (370,586)2/250]/(250-1) = 13.1287

_ __

c.- Estadísticas de prueba: zc = (Y - μ)/(S/ √ n )

___

z = (1,482 – 1,500)/(13.1283/√250) = - 21.67

Estadística II

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10.- DECISION.- Con el 95% de confianza, se rechaza la Ho. Hay videncia

significativa que prueba que el promedio de consumo diario de lubricantes

en la empresa es diferente de 1,500 Litros.

ANALISIS ADICIONALES.- Estimación de la media.

_ __

d.- Cota de error. Sү = zS/√n

_ ___

Sү = 1.96(13.128)/√250 = 1.63

e.- Límites extremos: Limites inferiores de confianza.

_ _

LIC = Ү – Sү LIC = 1,482 – 1.6 = 1,480.4

_ _

Limite superior de confianza. LSC = Ү + Sү

LSC = 1,482 + 1.6 = 1,483.6

c.- Conclusiones.

Con el 95% de confianza se estima que el consumo diario de lubricantes esta entre 1,480.4 y

1,483.6.

Estadística II

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Comprobar que el contenido medio de azufre en un

compuesto es de 0.025, con el 95% de confianza y estimar la

media poblacional, con los resultados de la siguiente

muestra:

1.- OBJETIVO.- Comprobar la media hipotética con una muestra grande

aleatoria.

2.- DESCRIPCION DEL EXPERIMENTO.- Se desea comprobar que el

contenido medio de azufre en un compuesto es de 0.025, con el 95% de

confianza y estimar la media poblacional, con los resultados de la siguiente

muestra.

3.- HIPOTESIS: Ho: μ = 1,500 Ha: μ ≠ 1,500

Estadística II

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4.- CARACTERISTICAS:

Comprobación de media hipotética.

∙ Una sola muestra aleatoria.

∙ Muestra grande (n = 250).

∙ Medición de razón con valores continuos.

5.- COEFICIENTE DE CONFIANZA:

95%, dos colas, α/2 = 0.025.

6.- DISTRIBUCION MUESTRAL.- La distribución muestral apropiada es la

normal, por tratarse de muestra grande.

Estadística II

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7.- BASE DE RECHAZO.- Según la tabla No. 1 anexa, para el 95% de

confianza y distribución de dos colas, el valor de z = 1.96.

RECHAZAR si – 1.96 > z > 1.96.

8.- RESULTADOS DE LA MUESTRA: n = 250.

0.023 0.024 0.022 0.021 0.026 0.028 0.022 0.028 0.026 0.025

0.002 0.028 0.023 0.024 0.021 0.025 0.026 0.026 0.028 0.027

0.027 0.023 0.029 0.025 0.024 0.023 0.026 0.025 0.025 0.023

0.028 0.025 0.027 0.026 0.024

9.- PROCEDIMIENTO DE ANALISIS:

M = 0.025

Y = 0.875 / 35 = 0.025

Estadística II

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X - X = X - X = X - X =

0.025 – 0.023 = 0.002 0.025 – 0.021 = 0.004 0.025 – 0.026 = -0.001

0.025 – 0.022 = 0.003 0.025 – 0.024 = 0.001 0.025 – 0.026 = -0.001

0.025 – 0.027 = -0.002 0.025 – 0.025 = 0.000 0.025 – 0.028 = -0.003

0.025 – 0.028 = -0.003 0.025 – 0.026 =-0.001 0.025 – 0.026 = -0.001

0.025 – 0.024 = 0.001 0.025 – 0.026 =-0.001 0.025 – 0.028 = -0.003

0.025 – 0.028 = -0.003 0.025 – 0.021 = 0.004 0.025 – 0.026 = -0.001

0.025 – 0.023 = 0.002 0.025 – 0.024 = 0.001 0.025 – 0.028 = -0.003

0.025 – 0.025 = 0.000 0.025 – 0.024 = 0.001 0.025 – 0.025 = 0.000

0.025 – 0.022 = 0.003 0.025 – 0.028 =-0.003 0.025 – 0.025 = 0.000

0.025 – 0.023 = 0.002 0.025 – 0.025 = 0.000 0.025 – 0.027 = -0.002

0.025 – 0.029 = 0.004 0.025 – 0.023 = 0.002 0.025 – 0.023 = 0.002

0.025 – 0.027 = 0.002 0.025 – 0.022 = 0.003 0.009

R = 0.009

(X - X)2 = (X - X)

2 = (X - X)

2 =

(0.002)2

= 0.000004 (0.004)2

= 0.000016 (0.001)2

= 0.000001

(0.003)2

= 0.000009

(0.001)2

= 0.000001 (0.003)2

= 0.000009

(-0.002)2=

0.000004

(0.001)

2 = 0.000001 (0.001)

2 = 0.000001

(-0.003)2=

0.000009

(0.001)

2 = 0.000001 (0.003)

2 = 0.000009

(0.001)2=

0.000001

(0.004)

2 = 0.000016 (0.001)

2 = 0.000001

(-0.003)2= 0.000009

(0.001)

2 = 0.000001 (0.003)

2 = 0.000009

(0.002)2= 0.000004

(0.001)

2 = 0.000001 (0.002)

2 = 0.000004

(0.003)2= 0.000009

(0.003)

2 = 0.000009 (0.002

2 = 0.000004

(0.002)2= 0.000004

(0.002)

2 = 0.000004 0.00000162

(0.004)2= 0.000016

(0.003)

2 = 0.000004

(0.002)2= 0.000004

(0.001)

2 = 0.000001

R = 0.00000162 / 35 = 0.00000462 = 0.00214

Estadística II

109 de 110


EJERCICIO ADICIONAL.

.- Con el 95% de confianza, comprobar que el promedio del valor de

las acciones cotizadas en la bolsa de valores en un día

seleccionado, es mayor de 10,000 y estimar la media poblacional. La

muestra tomada indica los siguientes valores:

21,300 660 3,440 10,650 36,700 2,250 31,600 9,800 10,250 2,020

12,800 2,150 11,500 5,825 2,140 1,680 12,300 7,750 6,000 2,850

1,240 19,200 14,500 1,770 3,750 216 1,080 15,000 1,480 33,700

640 14,450 49,800 4,300 81,000

Estadística II

110 de 110


BIBLIOGRAFÍA.

KAZMIER, Leonard J. “Estadística aplicada a Administración

y Economía”. Ed. McGraw-Hill. México, 4º Edición,

2006.

LEVIN, Richard I.. “Estadística para Administración y

Economía”. Ed. Prentice Hall. México, 1º Edición,

2004.

SPIEGEL, Murray R. “Estadística”. Ed. McGraw-Hill. México, 3º

Edición, 2002.

STEVENSON, William J. “Estadística para Administración y

Economía: Conceptos y aplicaciones”. Ed. Alfaomega Grupo Editor, 1º Edición, 2002.

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