Trabajo Final Matematica Basica

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Mtodo de Gauss-Jordan

1.-INTRODUCCION

Eliminacin de Gauss-Jordan

En matemticas, la eliminacin Gaussiana, eliminacin de Gauss o eliminacin de Gauss-Jordan, llamadas as debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, son algoritmos del lgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el mtodo de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reduccin del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuacin tiene una incgnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada Anlisis de ComplejidadLa complejidad computacional de la eliminacin gaussiana es aproximadamente n3. Esto es, el nmero de operaciones requeridas es n3 si el tamao de la matriz es n n. Algoritmo de eliminacin de Gauss-Jordan1. Ir a la columna no cero extrema izquierda2. Si el primer rengln tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando mltiplos adecuados del rengln superior a los renglones debajo de l4. Cubrir el rengln superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escaln)5. Comenzando con el ltimo rengln no cero, avanzar hacia arriba: para cada rengln obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de este sumando mltiplos correspondientes a los renglones correspondientesUna variante interesante de la eliminacin de Gauss es la que llamamos eliminacin de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) as para cuando estos finalicen ya se obtendr la matriz en forma escalonada reducida

22.-Mtodo de Gauss-Jordan Como hemos visto, el mtodo de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El mtodo de Gauss-Jordan contina el proceso de transformacin hasta obtener una matriz diagonal unitaria (aij=0 para cualquier ). Veamos el mtodo de Gauss-Jordan siguiendo con el ejemplo empleado en el apartado anterior. Aplicando el mtodo de Gauss habamos llegado a la siguiente ecuacin:

Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el mtodo de Gauss. Tomaremos como pivote el elemento a44=-3; multiplicamos la cuarta ecuacin por y la restamos a la primera:

Realizamos la misma operacin con la segunda y tercera fila, obteniendo:

Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuacin por y la restamos a la primera:

3

Repetimos la operacin con la segunda fila:

Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda ecuacin por y la sumamos a la primera:

El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fcil de resolver. Empleando la ecuacin(46) obtenemos las soluciones:

43.- Estudio de sistemas de ecuaciones lineales (S. E. L.)Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales empleamos dos herramientas matemticas que nos van a facilitar los clculos: las matrices y los determinantes.Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condicin de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) - Teorema de Rouch-Frbenius -.Tiene soluciones el sistema?, es decir, es compatible? Si tiene soluciones cuntas y cales son?Visto esto, estudiar un sistema es:Discutir= Averiguar si un S.E.L. tiene solucin, y si tiene, ver si es nica o no.Resolver= Hallar la solucin si es nica, o las soluciones si son infinitas.ESTUDIAR = DISCUTIR + RESOLVER4.-Preliminares:La ecuacin 2x - 3 = 0 se llama ecuacin lineal de una variable. Obviamente slo tiene una solucin. La ecuacin -3x + 2y = 7 se llama ecuacin lineal de dos variables. Sus soluciones son pares ordenados de nmeros. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra. La ecuacin x - 2y + 5z = 1 se llama ecuacin lineal de tres variables. Sus soluciones son ternas ordenadas de nmeros. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.En general, una ecuacin lineal de "n" variables es del tipo:

5 Las soluciones son las secuencias de nmeros s1, s2, s3, ..., sn que hacen verdadera la igualdad [1] Si los coeficientes valen 0 y el trmino independiente no, la ecuacin se llama incompatible. No tiene solucin y tambin se denomina ecuacin imposible, proposicin falsa o igualdad absurda. Si los coeficientes y el trmino independiente son nulos, se dice que la ecuacin es una identidad.5.-Sistemas de Ecuaciones Lineales:Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. Tambin resultan muy tiles en geometra (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posicin relativa de estas figuras geomtricas en el plano o en el espacio).Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional as :

un sistema as expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incgnitas,donde aij son nmeros reales, llamados coeficientes del sistema,los valores bm son nmeros reales, llamados trminos independientes del sistema,las incgnitas xj son las variables del sistema,y la solucin del sistema es un conjunto ordenado de nmeros reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incgnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema.Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notacin matricial tiene esta forma:

6

Donde: Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensin mn formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A. Designamos por X a la matriz columna formada por las incgnitas. Denotamos por B a la matriz columna formada por los trminos independientes. y llamamos matriz ampliada de dimensin m(n+1) a la matriz que se obtiene al aadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los trminos independientes, y la denotamos por A*, es decir

6.- Clasificacin:Atendiendo a sus soluciones: Atendiendo a sus trminos independientes :

77.- Discusin de un S.E.L.:Generalmente, para la discusin de un s.e.l., utilizamos el Teorema de Rouch-Frbenius. Un s.e.l. es compatible si, y slo si, el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con la columna de los trminos independientes. Si estos rangos son distintos el sistema es incompatible. Es decir, la condicin necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incgnitas tenga solucin es que r(A) = r(A*),

Si el nmero de incgnitas n es igual al rango h , la solucin es nica. Si el nmero de incgnitas n es mayor que el rango h , el sistema tiene infinitas soluciones. Si el sistema es compatible, el rango del sistema indica el nmero de ecuaciones linealmente independientes. Para los sistemas indeterminados la solucin puede hallarse despejando k incgnitas principales en funcin de (n-h) incgnitas denominadas parmetros y que pueden tomar cualquier valor ( grados de libertad ).Al hallar el rango en matrices que provengan de s.e.l. es preciso tener en cuenta que si se intercambian columnas en la matriz de coeficientes ha de hacerse de igual forma el cambio correspondiente de incgnitas, teniendo especial cuidado con la columna de los trminos independientes que conviene no moverla. En general, es aconsejable realizar todas las operaciones por filas.

87.1.-Caso particular: Sist. HomogneosComo un sistema homogneo es aquel que tiene todos sus trminos independientes nulos, podemos observar que r(A) = r(A*) siempre, luego siempre son compatibles, ya que tienen al menos la solucin (0, 0, 0, ... , 0) que se denomina solucin trivial. Puesto que, en la prctica, esta solucin carece de inters, suele decirse que un sistema homogneo posee solucin slo si esta es distinta de la trivial.Si un sistema homogneo presenta una solucin distinta de la trivial : (s1, s2, ... , sn) entonces se cumple que son tambin solucin todas las proporcionales a ella : ( ks1, ks2, ... , ksn) , para todo nmero real k.

8.- SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES Consideremos un conjunto de "m" ecuaciones con "n" incgnitas dado por:

. . . . . . . . . . . . . . .

Dondeson coeficientes conocidos,son incgnitas yson trminos conocidos que se denominan trminos no homogneos. El sistema de ecuaciones lineales anteriores pueden expresarse de la forma compacta como:

donde A, x , y estn definidos respectivamente por: 9

Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar el valor de las incgnitas "x". Una forma de resolver este sistema de ecuaciones es utilizando la formulamultiplicndola por la matriz inversa de A por ambos lados de la igualdad; de la siguiente manera:

(I es la matriz identidad)

De esta manera encontramos que si calculamos la inversa de A y la multiplicamos por el vector "y", obtendremos el vector "x" con las soluciones al sistema de ecuaciones. Los sistemas de ecuaciones pueden presentar tres casos: Es el ms comn, ya que el nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas. El nmero de ecuaciones es menor que el de incgnitas y tenemos lo que se conoce como problema subdeterminado. El nmero de ecuaciones es mayor que es de incgnitas y tenemos lo que se conoce como problema sobre determinado. Esto ocurre en el ajuste de rectas y curvas. Un conjunto de ecuaciones lineales no siempre tiene solucin numrica. Los siguientes tres conjuntos de ecuaciones son ejemplo de ello: 10Ejemplo 1:

En este caso las dos rectas se encuentran en el mismo sitio por lo que la sol