Trabajo de Matematica Basica i Ciclo 01q

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    14-Sep-2015
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Matematica Basica i Ciclo 01q

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  • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

    FACULTAD DE INGENIERA QUMICA

    Escuela Profesional de Ingeniera Qumica

    ASIGNATURA: MATEMTICA BSICA

    RESOLUCIN DE EJERCICIOS

    TEMA: Lnea recta Circunferencia Parbola

    PRESENTADO POR: LEONARDO ALMEYDA TEJADA DIANA SUPO OSORIO

    ADRIAN A. RAMIREZ VERA VALERIA SALDAA QUIROZ

    RENATO BRIGGES LOAYZA THALIA TAQUIA PORRAS

    BELLAVISTA 23 DE ABRIL DEL 2015

  • LA L NEA RECTA

    8. Determinar el valor del parmetro k correspondiente a la recta de lafamilia 5x-12y+k=0, cuya distancia del origen es igual a 5. Teniendo el parmetro, hllese la ecuacin de la recta.

    Solucin: Sea la familia de rectas L: 5x 12y + k = 0

    Si d (0, L) = 5 ||

    25+144 = 5 || = 65 k = 65 v k = -65

    Luego, en L se tiene dos soluciones:

    9. La ecuacin de una familia de rectas es 2x+3y+k=0. El producto de lossegmentos de una recta de la familia determina sobre los ejes coordenados es 24. Hllese la ecuacin de la recta.

    Solucin: Sea la familia de rectas L: 2x + 3y + k = 0., cuya interseccin con los ejes coordenados es a = -k/2 y b = -k/3.

    Si a b = 24 (-k/2)(-k/3) = 24 k=12 v k= -12

    Luego, en L se tiene dos soluciones:

    5x 12y + 65 = 0 v 5x 12y 65 = 0

    L1: 5x 12y + 65 = 0

    L2: 5x 12y - 65 = 0

    2x + 3y + 12 = 0 v 2x + 3y 12 = 0

    L1: 2x + 3y 12 = 0

    L2: 2x + 3y + 12 = 0

  • 10. Usando el mtodo del parmetro, hallar la ecuacin de la recta quepasa por A(2,-3) y es paralela a la recta L1: 5x - y + 11 = 0.

    Solucin: La ecuacin que representa al haz de rectas paralelas a L1 es:

    5x - y + k = 0 (1)

    Si A(2,-3) L 5(2) (-3) + k = 0 k = -13

    Sustituyendo en (1) se tiene la recta buscada:

    11. Por el mtodo del parmetro hallar la ecuacin de la recta que pasa porel punto A(2,-1) y es perpendicular a la recta L1: 7x 9y + 8 = 0

    Solucin: L a ecuacin de la familia de rectas perpendiculares a L1 es:

    L: 9x + 7 y + k = 0 (1)

    Si A(2,-1) L 9(2) + 7(-1) + k = 0 k = -11

    Sustituyendo en (1) se tiene la recta pedida: L: 9x + 7 y - 11 = 0

    L: 5x y 13 = 0

    A (2,-3)

    L: 5x y 13 = 0

    L1: 5x y + 11 = 0

    L1: 7x 9 y + 8 = 0

    A (2,-1)

    L: 9x + 7y 11 = 0

  • 12.- La suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejescoordinados es igual a 3. Por el mtodo del parmetro hallar la ecuacin de

    la recta sabiendo que contiene al punto (2,10). (Dos soluciones).

    Solucin:

    Por la forma simtrica o segmentaria de la recta:

    :

    +

    3= 1 (1)

    Si el punto A pertenece a L:

    A (2,10) :2

    +

    10

    3= 1

    2(3)+10

    (3)= 1

    6 2 + 10 = 3 2

    2 + 5 + 6 = 0

    32

    ( + 3)( + 2) = 0

    1 = 3 2 = 2

    Al sustituir resultan 2 rectas:

    1:

    3+

    3+3= 1

    3+

    6= 1

    63

    18= 1

    1: 6 3 + 18 = 0 1: 2 + 6 = 0

    2:

    2+

    3+2= 1

    2+

    5= 1

    52

    10= 1

    2: 5 2 + 10 = 0

    Por dato del problema:

    a+3=3

    b=3-a

  • 13.- La diferencia de los segmentos que una recta determina sobre losejes coordenados es 1. Por el mtodo del parmetro hallar la ecuacin de

    la recta si se debe pasar por el punto (6,-4). (Dos soluciones).

    Solucin:

    Por la forma simtrica o segmentaria de la recta:

    :

    +

    1+= 1 (1)

    Si el punto A pertenece a L:

    A (6,-4) :6

    +

    4

    1+= 1

    6(1+)4

    (1+)= 1

    6 + 6 4 = 2

    2 6 = 0

    32

    ( 3)( + 2) = 0

    1 = 3 2 = 2

    Al sustituir resultan 2 rectas:

    1:

    3+

    1+3= 1

    3+

    4= 1

    4+3

    12= 1

    1: 4 + 3 12 = 0

    2:

    2+

    12= 1

    2+

    1= 1

    2

    2= 1

    2: 0 = + 2 + 2

  • 14.- El producto de los segmentos que una recta determina sobre los ejescoordenados es igual a -6. Por el mtodo del parmetro hallar la ecuacin

    de la recta si su pendiente es igual a 3.

    Solucin:

    Por la forma simtrica o segmentaria de la recta:

    :

    6= 1 (1)

    Resolviendo:

    :62

    6= 1

    : 6 2 6 = 0

    Si la m=3 =

    3 =6

    2 2 = 2

    1 = 2 2 = 2

    Al sustituir resultan 2 rectas:

    1:

    2

    2

    6= 1

    62

    62= 1

    1: 6 2 62 = 0 1: 3 32 = 0

    2:

    2+

    2

    6= 1

    62

    62= 1

    1: 6 2 + 62 = 0 1: 3 + 32 = 0

    Por dato del problema:

    b.a=1

    b=-6/a

  • 15.- Una recta pasa por el punto A (-6,7) y forma con los ejescoordenados un tringulo de rea igual a 10 . Hallar su ecuacin.

    Solucin:

    Por la forma simtrica o segmentaria de la recta:

    :

    +

    21= 1

    21+2

    21= 1

    : 2 + 21 21 = 0

    Si el punto A pertenece a L:

    A (-6,7) : 72 + 21(6) 21 = 0

    : 72 126 21 = 0

    2 3 18 = 0

    63

    ( 6)( + 3) = 0

    1 = 6 2 = 3

    Sustituyendo en L, tenemos dos ecuaciones:

    1:

    6+

    6

    21= 1

    21+36

    126= 1

    1: 21 + 36 126 = 0 1: 7 + 12 42 = 0

    2:

    3

    3

    21= 1

    3

    7= 1

    7+3

    21= 1

    2: 7 + 3 + 21 = 0

    Por dato del problema:

    rea=.

    2=

    21

    2

    a.b=21

    b=21

  • 16. Una recta pasa por los puntos A (2,4/3) y forma con los ejes de coordenados un tringulo de permetro igual a 12. Halle su ecuacin.

    Solucin:

    Sea la ecuacin L: 1

    Si A (2,4/3) L 1

    De donde: 4 6 3 ............ (1) Pero: 12 12 .(2) Evaluando el cuadro tenemos:

    2 144 24 Por Pitgoras: 2 144 24 126 (3)

    Sustituyendo en (1): 4 6 366 2 3 186 2 186 212 186 421

    4 . . 4 Sustituyendo (4) en (2): 12 84 16 35 24 . . 5 Reemplazando (4) y (5) en (3): 1221 45 24 126

    en donde: 10 101 225 0 5 ; 3 ;

    4

    Finalmente en L obtenemos:

    : :

  • 17. La distancia de una recta al origen es 3. La recta pasa por el punto

    A,. Hallar su ecuacin.

    Solucin:

    La ecuacin de la recta que pasa por A y de pendiente m es:

    3 35 : 35 3 0..(1)

    Si 0, 3 3 5 1 1

    Elevando al cuadrado resulta: 2 5 0 0

    Luego en (1) se tiene: : 3 0: 5 2 9 0

  • 18. la suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es igual a 10. Hallar la ecuacin de la recta si forma con los ejes coordenados un tringulo de rea 12 u2.

    Solucin:

    Si 10 10 ,::

    1

    Adems |10 | 12 10 24 0 4 6

    Sustituyendo en obtenemos las soluciones: : 3 2 12 0: 2 3 12 0

  • 19. Una recta pasa por el origen y por la interseccin de las rectas : y : . Hallar la ecuacin, sin determinar el punto de interseccin.

    Solucin:

    Ecuacin. de la familias de rectas que pasan por 3 2 14 3 1 0

    P(0,0) , reemplazando 0 0 14 0 0 1 0

    Reemplazando el valor de k en

  • 3 2 14 3 1 0

    :

    20. Una recta pasa por el punto A (-2,3) y por la interseccin de las rectas y . Hallar su ecuacin sin determinar su punto de interseccin

    Solucin:

    Ecuacin de la familia de rectas que pasan por

    5 2 3 4 5 0 ..

    A (-2,3) , reemplazamos: 2 15 2 6 12 5 0

  • 15

    Reemplazando el valor de k en 5 2 3 4 5 0 5 2 153 4 5 0

    21. Una recta pasa por la interseccin de las rectas de ecuaciones y . Hallar su ecuacin sabiendo que es paralela a la recta . Solucin:

    Ecuacin de la familia de rectas que pasan por 3 2 8 2 9 5 0 .

  • , entonces 6 2 11 0 3 3 2 8 2 9 5 0

    3

    Reemplazando el valor de k en 3 2 8 2 9 5 0 3 2 8 2 9 5 0

  • 22. Una recta pasa por la interseccin de las rectas de ecuaciones L1: 7x -2y = 0 y L2: 4x y 1 = 0 y es perpendicular a la recta L3: 3x + 8y - 19 = 0.

    Hallar su ecuacin.

    Solucin:

    a) L: 7x 2y + k(4x y 1) = 0

    L: (7 + 4k)x (2+k)y k = 0

    b) L1 n L2 = (X,Y)

    L1: 7x - 2y = 0

    2(L2): 8x 2y 2 = 0

    x = 2 ; y = 7

    c) La perpendicular a L3

    ML . ML3 = -1

    ML . -3/8 = -1

    ML = 8/3

    d) Hallando pendiente de L:

    7+ 4K = 8 2 + K 3

    K = - 5/4

    e) Hallando la ecuacion de L:

    L: (7 + 4k)x (2+k)y k = 0

    L: 2x y + 5/4 = 0

    L: 8x 3y + 5 =0

  • 23. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por la interseccin de las dosrectas L1: 3x + y 9 = 0, L2: 4x - 3y + 1 = 0 y cuya distancia del origen

    es 2.

    Solucin:

    a) Hallando la interseccin de L1 y L2:

    3(L1): 9x + 3y 27 = 0

    L2 : 4x 3y + 1 =0

    x = 2; y = 3

    b) Hallando la ecuacin de L:

    L: 3x + y 9 + k(4x 3y +1) = 0

    L: (3 + 4k)x +(1-3k)y +k 9 = 0

    c) Hallando la distancia desde el

    origen a la recta :

    (3 +4k)(0) + (1 3y) (0) + k 9 = 2 (3 + 4k)2 + (1 3k)2

    (k 9)2 = 4(9 + 24k + 16k2 + 1 + 9k2 6k)

    K2 + 81 18k = 100k2 + 72k + 40 99k2 + 90k 41 = 0 (3k - 1)(33k + 41) = 0 K1 = 1/3; k2 = - 41/3

    d) Hallando l