Matematica Basica UTP

MATEMATICA BASICA I

1

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL PER

Vicerrectorado de Investigacin

MATEMTICA BSICA I

TINS Bsicos

INGENIERA INDUSTRIAL, INGENIERA DE SISTEMAS, INGENIERA ELECTRNICA, INGENIERA MECATRNICA,

INGENIERA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERA AUTOMOTRIZ, INGENIERA AERONUTICA,

INGENIERA MARTIMA, INGENIERA TEXTIL, INGENIERA NAVAL, INGENIERA DE SOFTWARE, INGENIERA ECONMICA,

INGENIERA MECNICA

TEXTOS DE INSTRUCCIN BSICOS (TINS) / UTP

Lima - Per

MATEMATICA BASICA I

2

MATEMTICA BSICA I Desarrollo y Edicin : Vicerrectorado de Investigacin

Modificacin y Complementacin : Dr. Jos Reategui Canga

Diseo y Diagramacin : Julia Saldaa Balandra

Fiorella Espinoza Villafuerte

Soporte acadmico : Instituto de Investigacin Produccin : Imprenta Grupo IDAT

Tiraje 3 A / 1600 / 2008-II

Queda prohibida cualquier forma de reproduccin, venta, comunicacin pblica y

transformacin de esta obra.

MATEMATICA BASICA I

3

El presente material contiene una compilacin de contenidos

de obras de Matemticas publicadas lcitamente,

acompaadas de resmenes de los temas a cargo del

profesor; constituye un material auxiliar de enseanza para ser

empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institucin.

ste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes

de la Universidad Tecnolgica del Per, preparado para fines

didcticos en aplicacin del Artculo 41 inc. C y el Art. 43 inc.

A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de

Autor.

MATEMATICA BASICA I

4

MATEMATICA BASICA I

5

PRESENTACIN

La matemtica, ciencia de la ms alta jerarqua, en el concierto de las

Ciencias, desde los albores de la civilizacin humana sigue siendo la

base del desarrollo cientfico y tecnolgico de nuestro mundo.

La Ingeniera como expresin de la tecnologa, se erige sobre la base de

los diferentes espacios de la creacin matemtica y del pensamiento de

la humanidad.

De all que, en la formacin acadmica de Ingenieros, se debe privilegiar

el estudio de la matemtica, en la conviccin de dotar a sus estudiantes

firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.

En esta proyeccin se ha desarrollado el presente texto de instruccin,

dirigido a estudiantes de Ingeniera, de las Carreras de Ingeniera de:

Sistemas, Industriales, Electrnica, Mecatrnica, Telecomunicaciones,

Automotriz, Aeronutica, Martima, Textil, Naval y de Software; para la

Asignatura de Matemtica Bsica I.

El texto en mencin plasma la preocupacin institucional de innovacin

de la enseanza-aprendizaje en educacin universitaria, que en

acelerada continuidad promueve la produccin de materiales educativos,

actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos.

MATEMATICA BASICA I

6

Esta segunda edicin modificada y complementada por el Dr. Jos

Reategui Canga, prolijamente recopilada de diversas fuentes

bibliogrficas de uso frecuente en la enseanza-aprendizaje de la

Matemtica, est ordenada en funcin del sillabus de la Asignatura arriba

mencionada; presenta la siguiente estructura temtica:

Conjuntos y Lgica Matemtica Bsica. Conjuntos numricos que permiten aclarar las nociones de nmeros y su clasificacin en naturales,

enteros, racionales, irracionales hasta completar los reales.

Ecuaciones e Inecuaciones que son bsicas para el estudio del lgebra.

Relaciones Binarias que son fundamentales para la comprensin de las funciones bsicas al estudio de la Geometra Analtica.

Los Lugares Geomtricos: rectas y circunferencias conectan a nociones algebraicas que permiten entrar en los delicados temas de las

cnicas: parbolas, elipses e hiprbolas; y de las familias bsicas de

rectas y circunferencias.

MATEMATICA BASICA I

7

Se completa el texto con una Introduccin a las Coordenadas Polares.Todo este material permitir conectar a problemas varios dentro de la carrera.

Finalmente el reconocimiento Institucional al Dr. Jos Reategui Canga

por su meritoria dedicacin, a la preparacin de esta segunda edicin.

Su esfuerzo y dedicacin acadmica ser identificada al glosar las

pginas del texto, en el camino de entendimiento de la matemtica

universitaria.

Lucio Heraclio Huamn Ureta

VICERRECTORADO DE INVESTIGACIN

MATEMATICA BASICA I

8

MATEMATICA BASICA I

9

NDICE

I. Conjuntos y Lgica .............................................................. 15

II. Breve presentacin de los Conjuntos Numricos ................. 43

III. Nmeros Reales................................................................... 67

IV. Recta y Circunferencia ......................................................... 109

V. Cnicas................................................................................. 141

VI. Miscelanias de Ejercicios...................................................... 187

VII. Coordenadas Polares........................................................... 201

Bibliografa ...................................................................................... 233

MATEMATICA BASICA I

10

MATEMATICA BASICA I

11

DISTRIBUCIN TEMTICA

CLASE N CONTENIDO SEMANA

1

Captulo I. CONJUNTOS Y LGICA 1.1 DEFINICIN 1.2 IGUALDAD 1.3 SUB-CONJUNTOS 1.4 CONJUNTO DE LAS PARTES 1.5 UNIVERSOS 1.6 FAMILIA COLECCIN SISTEMA CLASE 1.7 OPERACIONES DE CONJUNTOS 1.7.1 Unin 1.7.2 Interseccin 1.7.3 Complemento 1.7.4 Diagramas 1.7.5 Grafos

1

2

1.8 LGEBRA DE CONJUNTOS 1.9 LGICA 1.9.1 Enunciados 1.9.2 Proposiciones 1.9.3 Conectivos 1.9.4 Valor de la verdad 1.9.5 Tautologa y Contradiccin 1.9.6 Relaciones del lgebra Proposicional 1.9.7 Funciones Proposicionales 1.9.8 Cuantificadores EJERCICIOS PROPUESTOS N01 Captulo II. BREVE PRESENTACIN DE LOS CONJUNTOS NUMRICOS 2.1. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS NATURALES: N 2.2. CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS: Z 2.3 EL CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES: Q 2.4. EL CONJUNTO DE NMEROS IRRACIONALES: Q II

2

3

2.4.1 Irracionales algebraicos 2.4.2 Nmeros trascendentales 2.5. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES: IR 2.6 RELACIONES 2.6.1 Las relaciones se presentan en todas las reas del

conocimieno 2.6.2 Relaciones binarias 2.6.3 Propiedades 2.6.4 Relaciones de equivalencia 2.6.5 Clases de equivalencias 2.6.6 Relaciones de orden 2.6.7 Buena ordenacin 2.6.8 Relaciones funcionales 2.6.9 Funcin

3

MATEMATICA BASICA I

12

EJERCICIOS PROPUESTOSN02 Captulo III. NMEROS REALES 3.1. EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES 3.1.1 Definicin 1 3.1.2 Proposicin 1 3.1.3 Proposicin 2 3.1.4 Proposicin 3 3.1.5 Colorario 1 3.1.6 Proposicin 4 3.1.7 Ejercicios 3.1.8 Proposicin 5 3.1.9 Proposicin 6 3.1.10 Proposicin 7 3.1.11 Ejercicio 3.1.12 Proposicin 8 3.1.13 Proposicin 9

4

EJERCICIOS RESUELTOS N01 EJERCICIOS PROPUESTOS N03 3.2. DESIGUALDADES E INTERVALOS 3.3. PROPIEDADES GENERALES

4

5

3.4. INTERVALOS EN R 3.5 OPERACIONES CON INTERVALOS EJERCICIOS RESUELTOS N02 3.6. INECUACIONES DE 2 GRADO

3.6.1 Mtodo de factorizacin 3.6.2 Mtodo por complementacin de cuadros

EJERCICIOS RESUELTOS N03 EJERCICIOS RESUELTOS N04

5

6

3.7. VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO REAL 3.7.1 Definicin 3.7.2 Propiedades generales de valor absoluto

EJERCICIOS RESUELTOS N05 3.8. INTRODUCCIN A LA GEOMETRA ANALTICA

6

7

3.9. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 3.10. SISTEMA CARTESIANO DEL PLANO EJERCICIOS PROPUESTOS N04 3.11. DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZN DADA EJERCICIOS PROPUESTOS N05 EJERCICIO PROPUESTOS N06 EJERCICIOS RESUELTOS N06

7

8 3.12. NGULO DE INCLINACIN DE UNA RECTA Y

PENDIENTE DE UNA RECTA EJERCICIOS PROPUESTOS N07

8

9

Captulo IV. RECTA Y CIRCUNFERENCIA 4.1 LA ECUACIN DE LA RECTA: DIVERSAS FORMAS

DE SU ECUACIN 4.2 ECUACIN GENERAL DE UNA RECTA

9

MATEMATICA BASICA I

13

CLASE

N CONTENIDO SEMANA

10 EXAMEN PARCIAL 10

11

4.3 FAMILIAS DE RECTAS 4.4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EJERCICIOS PROPUESTOS N08 EJERCICIOS RESUELTOS N07 EJERCICIOS PROPUESTOS N09 EJERCICIOS PROPUESTOS N10

11

12

4.5 LA CIRCUNFERENCIA 4.5.1 Definicin 4.5.2 Elementos 4.5.3 Ecuaciones de la circunferencia 4.5.4 Familias de circunferencias EJERCICIOS PROPUESTOS N11

12

13

Captulo V. CNICAS 5.1 SECCIN CNICA O CNICA 5.2 PARBOLA 5.2.1 Elementos 5.2.2 Ecuaciones de una parbola 5.2.3 bservaciones 5.2.4 Ecuaciones general de la parbola

13

14

5.3 LA HIPRBOLA 5.3.1 Definicin 5.3.2 Observaciones 5.3.3 Ecuaciones de la hiprbola 5.3.4 Hiprbolas conjugadas 5.3.5 Ecuacin general de la hiprbola

14

15

5.4 LA ELIPSE 5.4.1 Definicin 5.4.2 Elementos 5.4.3 Ecuaciones de la elipse 5.4.4 Observaciones 5.4.5 Forma general 5.4.6 Casos que se presentan 5.4.7 Ejercicios propuestos

15

16 y 17

Captulo VI. MISCELANEA DE EJERCICIOS 6.1 LNEAS RECTAS. EJERCICIOS RESUELTOS 6.2 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.3 CIRCUNFERENCIA 6.4 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.5 PARBOLA

16 y 17

MATEMATICA BASICA I

14

Captulo VII. COORDENADAS POLARES 7.1 CONCEPTO 7.2 REPRESENTACIN DE PUNTOS EN COORDENADAS

POLARES 7.3 DEFINICIN 7.4 PASAR DE UN SISTEMA DE COORDENADAS A

OTRO 7.5. ECUACIN DE LA TRAYECTORIA

18

7.6 GRAFICAS DE FUNCIONES EN COORDENADAS POLARES

18

19 EXAMEN FINAL 19

4

MATEMATICA BASICA I

15

I. CONJUNTOS Y LGICA

1.1 DEFINICIN.- Un conjunto se describe como una lista o coleccin de objetos llamados elementos o miembros, siendo nmeros;

letras; funciones, etc.

De la nominacin ya sea de la lista o coleccin se desprende un

criterio de pertenencia que permite establecer una relacin

denotada , escribindose: aA si a es elemento o miembro de A o de lo contrario: aA si a no es miembro de A

Ejemplos:

A = {a, b, c, d, e}; aA, bA, etc. B = {b1 , b2 , ....... , b12}; b1B, b2B, etc. C = {p es un nmero primo}; 5C, 7C, 8C, 12C, etc.

De ordinario los conjuntos se denotan con letras maysculas A, B,

X, Y, Z, ... y los elementos con minsculas a, b, x, y, t, u, v, ..

1.2 IGUALDAD.- Dos conjuntos A y B son iguales:

A = B

Si consisten de los mismos elementos. De lo contrario:

MATEMATICA BASICA I

16

A B

1.3 SUB-CONJUNTOS.- A es subconjunto de B o es parte de B, (o

est contenido) se denota: A B B A si cada elemento de A es tambin elemento de B. De lo contrario A B B A.

Podemos observar que:

i) La relacin es de contenido amplio de modo que todo conjunto est en la relacin consigo mismo: A A. Esto es, una relacin reflexiva.

ii) Cuando B A pero B A se restringe a la relacin contenido restringido o propio : B A. Luego A es sub-conjunto impropio de si mismo.

iii) (A B y B A) A = B propiedad antisimtrica iv) (A B y B C) A C propiedad transitiva v) Es conveniente introducir el conjunto vaco que se

considera sub-conjunto de cualquier otro: A: A

1.4 CONJUNTO DE LAS PARTES.- Todas las partes de un conjunto A son elementos de un nuevo conjunto P(A) que se llama el

conjunto de las partes de A o conjunto potencia.

Esto es:

B A B P(A)

MATEMATICA BASICA I

17

En particular:

A A A P(A) A es elemento de P(A)

Lo que nos dice que todo conjunto es elemento de alguno otro.

Esta restriccin se conoce como el axioma de las partes: A todo

conjunto A le corresponde otro conjunto, sea P(A) cuyos

elementos son todas las partes de A

La inoperabilidad de esto da lugar a las Clases.

Ejemplos

1. Si A={a,b}:

{ } { }{ }

P(A) a , b

a, b

=

Hay 22 = 4 sub-conjuntos de A que forman P(A).

2. B={, , } :

{}, {}, {}

P(B) ={,}, {, }, {, }{,, } = A

Hay 23 = 8 sub-conjuntos de B que forman P(B).

MATEMATICA BASICA I

18

1.5 UNIVERSOS. Para las aplicaciones los conjuntos concernientes a un estudio o proceso son mirados como sub conjuntos de uno

mayor U X que contiene a todos los del estudio, al que se le

llama el Universo del discurso o simplemente un universo.

Ejemplo:

Cuando se trabaja con nmeros y conjuntos naturales, el universo

apropiado es N. Cuando entran los enteros positivos y negativos

tomamos a Z (todos los nmeros enteros). Para procesos

discretos se suele tomar como universo a Q (los racionales) y a

veces a R (los reales).

Es decir, para un mismo sistema se puede considerar ms de un

universo. Veremos como en cada universo se puede hablar de un

lgebra de conjuntos con propiedades de inters.

1.6 FAMILIA COLECCIN SISTEMA CLASE. Cuando los miembros de un conjunto S son a su vez conjuntos se suele usar

el trmino de familia, de sistema, coleccin o an clase.

Ejemplo:

La familia de topologas separadas, la coleccin de

circunferencias de centro ; el sistema de intervalos semi-

cerrados.

MATEMATICA BASICA I

19

Aunque la clase, se reserva para una extensin de los conjuntos,

sin embargo se puede usar para determinar algunas colecciones.

As, se puede decir: la clase de los espacios Rn, la clase de los

conjuntos finitos, etc.

1.7 OPERACIONES DE CONJUNTOS. Se tienen 3 operaciones bsicas:

Unin con smbolo Interseccin Complemento C

1.7.1 Unin: A B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A a B

Ejemplo:

A = los nmeros impares

B = los pares

A B = {impares o pares} = {todos los nmeros enteros}

1.7.2 Interseccin: A B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B al mismo tiempo.

En el ejemplo anterior de impares y pares A B = se dice en este caso que los conjuntos son disjuntos.

MATEMATICA BASICA I

20

Las operaciones de unin e interseccin pueden

extenderse a familias de conjuntos.

Si {Ai}iJ es una familia finita o infinita se define: iJi

A = conjunto de elementos que pertenecen a uno por lo menos de los Ai

iJiA = conjunto de los elementos que pertenecen a todos los Ai

Ejemplo:

Sea Bi = intervalo abierto ( )i1i1 2, i 2 Aqu J = los enteros 2

Se tiene:

iJiB =(0, 2) intervalo abierto

( )2321iJi ,B = intervalo abierto

1.7.3 Complemento. Supongamos que el conjunto A est dentro de un universo X. Se define el complemento:

CA=A=XA los elementos de X que no pertenecen a A

Ejemplo:

Tomemos como universo X: los habitantes de una regin y

por A los analfabetos. Su complemento es: A=X-A est

formado por los que saben leer.

MATEMATICA BASICA I

21

Ejercicios para Resolver

1. Sea A el conjunto de los rabes, C el de los chinos.

Determinar un universo X en el cual esten sumegidos

A y B. Cul seran A, C, AC y AC? 2. Sea L el conjunto de leones, T los tigres y A las

guilas. Dar un universo X que no contenga los peces

ni las aves de corral. Cul es L, TA?

3. Dar dos universos diferentes donde se pueda incluir a

los enteros Z.

1.7.4 Diagramas. Para tener un esquema visual Venn ide diagramas: los conjuntos A, B, ..., del discurso dentro de

un rectngulo grande que represente un universo:

X X

X

A B A B

A AB B

A

A

MATEMATICA BASICA I

22

1.7.5 Grafos: Cuando se trata de los sub conjuntos o partes de un conjunto A, el universo puede ser el conjunto potencia P(A)=B, el

cual con las operaciones , y complemento forman una Algebra de Boole, con representacin de grafo de Hasse. (Ver ejemplos).

Si el nmero de elementos de A es pequeo, su Algebra de

Boole P(A) puede representarse por un grafo de Hasse

simple. (Ver ejemplos).

Ejemplos:

2. A={1} tiene un solo elemento:

B=P(A)=P{1} tiene 2 elementos: y A={1}. Su Hasse es el par 0 que representa a y 1: 1

0| B es el soporte bsico de la lgica bivalente

2. A={a, b} tiene 2 elementos

B2=P{a, b}={, {a}, {b}, A={a, b}} tiene 4=22 elementos... Los tomos son 2: a y b que cubren a

=0. Su Hasse es:

a y b son elementos complementarios.

A 1

a b

MATEMATICA BASICA I

23

B2 es isomorfo a B2 el cuadrado de B:

(1, 1)

(0, 1) (1, 0)

(0, 0)

3. A={, , } ejemplo 1.4.2 B3=P(, , )={, , , , {, }, {, }, {, }, {, , }=A} Los tomos son los subconjuntos de 1 elemento

{, , }=A. El nmero de elementos de B3 es 2|A|=23= 8. El grafo de Hasse:

{, }{, }{}

{}{}0

{,}

1 ={, , }

Son complementarios los elementos diametralmente

opuestos como {} con {, }, etc.

B3 es isomorfo al producto B3.

MATEMATICA BASICA I

24

1.8 LGEBRA DE CONJUNTOS. La igualdad =; las operaciones , y el complemento hacen de todo universo X un lgebra que satisface las leyes o propiedades:

Dual

1) A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Asociatividad

2) A B = B A A B = B A Commutatividad

3) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) Distributividad

4) A=A AX=A Unidades: y X (el universo usado).

5) =X X= Complemento de unidades (Recprocas)

6) AX=X A= Accin de recprocas

7) AA=X AA= Complementos. Accin doble y rgida.

MATEMATICA BASICA I

25

8) AA=A AA=A dem potencia

9) AJiiJi

B =

(ABi) y AJiiJi

B =

(ABi) Distributividad generalizada de la propiedad 3

10) jLjjLj'A'A =

jLjjLj 'A'A =

Leyes de Morgan.- Para 2 conjuntos dan:

(A1A2)=A1A2 (A1A2)=A1A2

1.8.1 Dualidad. Toda expresin tiene su dual que se obtiene

intercambiando las operaciones, y el universo X con y viceversa.

Esto aparece a derecha en la Leyes de 1.8.


Si A B : Probar por diagramas 1. AB=A 2. AB=B 3. BA 4. AB= 5. AB=B; AB=A

MATEMATICA BASICA I

26

1.9 LGICA Los conjuntos emplean la lgica clsica o bivalente cuyo soporte o

rango es el par:

L2 = {0, 1}

Donde 1 representa la verdad o validez y 0 la falsedad o

contradiccin.

La matemtica exige un razonamiento vlido deductivo o inductivo

de absoluta claridad de modo a comprender y aplicar

debidamente las definiciones, proposiciones y teoremas libres de

complicaciones y ambigedades.

En esta seccin vamos a revisar elementos bsicos de la Lgica

simblica y el Calculo Proposicional.

1.9.1 Enunciados Son fraces que sirve para comunicarnos.

Ejemplos:

1. Dnde estuviste?

2. Sintate a ver la televisin.

3. Los nios son traviesos.

4. 51 es un nmero primo.

Las 2 primeras no son verdaderas ni falsas: i es una

pregunta y ii es una indicacin. Las 2 ltimas pueden ser

verdaderas o falsas; frases de este tipo se conoce como:

MATEMATICA BASICA I

27

1.9.2 Proposiciones Una proposicin es toda frase sobre la cual podemos

afirmar que es verdadera o falsa. Las representaremos con

letras minsculas p1, p2, ., q1 , r, s, t,

Ejemplos:

p1. Los alumnos de la U.T.P son estudiosos.

p2. Los nmeros primos terminan en 2 como: 12, 32,

q1. Rosa es bella.

r. Est garuando.

s. 2 1.5=

Cada una es una proposicin pues podemos afirmar su

verdad o falsedad.

Negacin de proposiciones. La negacin de la

proposicin p es p que se lee no p (Se denota tambin por 7p).

Ejemplos:

q : Rosa es bella.

q : Rosa no es bella. s : =2 1.5 s : 2 no es 1.5 o simplemente 2 1.5 .

MATEMATICA BASICA I

28


1. Dar 10 enunciados.

2. Cules son proposiciones? Representar con letras.

3. Negar las que son proposiciones. Cul es la negacin

de q?

Proposiciones Compuestas.- Las proposiciones se enlazan

o relacionan unas con otras para generar las llamadas

proposiciones compuestas mediante los elementos de

enlace llamados conectivos.

1.9.3 Conectivos Para relacionar 2 o ms proposiciones se emplean los

llamandos enlaces conectivos entre los cuales estn:

1. Conjuncin con smbolo y que enlaza proposiciones con la letra y. Por ejemplo:

p : Juan estudia msica.

1. q : Juan es menor de edad.

p q: Juan estudia msica y es menor de edad.

r : Est nevando.

2. s : Hace mucho fro.

r s: Est nevando y hace mucho fro.

MATEMATICA BASICA I

29

2. Disyuncin con smbolo , enlaza proposicones con la letra o.

Ejemplos: t : Compro diez cuadernos.

1. u : Compro un pantaln.

v : Voy al concierto.

tuv: Compro diez cuadernos o compro un pantaln o voy al concierto.

p1 : tomas t

2. p2 : tomas caf

p1p2 : tomas t o tomas caf

3. Implicacin o condicional con smbolo ; enlaza 2 proposiciones p y q con las palabras: si p entonces

q.

Ejemplos:

p : =4 2.5 1. q : 7 + 3 = 11

p q: Si =4 2.5 entonces 7 + 3 = 11

r : Maana va llover.

2. s : No iremos al campo.

r s: Si maana va llover entonces no iremos al campo.

MATEMATICA BASICA I

30

4. Biconcional o doble implicacin o equivalencia con

smbolo ; enlaza las proposiciones p y q con las palabras: p si y slo q; lo cual se puede expresar

tambin por la frase: si p entonces q y si q entonces

p, esto es:

p q = (p q) (q p) Ejemplos:

p: m > n

q: n < m

p q = m > n n < m : m > n si y slo si n < m.

EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. Dadas las proposiciones:

p : Estamos en primavera

q : Las uvas son dulces

r : Pedro es deportista

s : Berta es hermosa

Relacionar con oraciones las siguientes

composiciones:

1. p q 2. p q 3. q r 4. p s 5. p r 6. p q

7. p s 8. r q 9. p (q r) 10. q (r s) 11. q r 12. r s

MATEMATICA BASICA I

31

2. Indicar 7 ejemplos de proposiciones simples y

compuestas

3. Negar las proposiciones anteriores.

4. Se da las proposiciones:

p: El mundo es amplio

q: Las frutas son agradables

r: La demostracin es interesante

s: Fany es bella

t: 32 + 42 < (3 + 4)2

Representar con oraciones las proposiciones:

a) pr ; q s ; t r b) q r ; p s ; r t c) r (q s) ; p (s) t d) r t ; (s t) r

1.9.4 Valor de la verdad Para evaluar el valor de verdad de una proposicin

compuesta, es decir, de un enlace de proposiciones

simples s, q, v, por medio de los conectivos, se emplea

la tabla de verdad con 3 o ms columnas, tomando las

primeras columnas para poner los valores de verdad V y F,

, 1 0. lo que diremos verdadero y falso de las

proposiciones simples, y las dems columnas para los

valores resultantes de las proposiciones compuestas, como

sigue:

MATEMATICA BASICA I

32

p q pq

1. Conjuncin

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

pq es verdadero slo en el caso en que las 2 p

y q son verdadero.

p q pq

2. Disyuncin

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

pq es verdadero o valido en todos los casos

de validez de p q salvo

cuando los 2 son falsos

en cuyo caso pq es falso.

p q pq

3. Implicacin

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

pq es verdadero en todos los casos a

excepcin de aquel en

que p es valido y q falso.

p q pq

4. Bicondicional

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

pq es verdadero en los 2 casos en que ambos p

y q son iguales validos o

ambos falsos. En los 2

casos desiguales el

bicondicional es falso.

MATEMATICA BASICA I

33

EJERCICIOS 1. Construir la tabla de verdad de las proposiciones

compuestas:

a) p (q s) ; (r t) s b) (p s) (r t) ; (r t) q c) (q s) (s q) ; (p r) (p r)

2. Dar las tablas de verdad de las proposiciones:

1. p (q r) 2. q r p 3. (p q) (p r) 4. r s r s 5. (p s) (q r) p 6. (r s) (p q s) 7. (p s) (p s) 8. (r q s) (r q s) 9. (q s) (p r)

10. (q s) (q s)

1.9.5 Tautologa y Contradiccin 1. Una proposicin compuesta es tautolgica o es una

tautologa si en su tabla de verdad para todas las

combinaciones V F de sus proposiciones simples,

resulta ella siempre vlida.

MATEMATICA BASICA I

34

Ejemplos:

p q pq p(pq) 1. p(pq) 1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

2. El silogismo: (pq) (qr) (p r) tambin es tautolgica

3. El modus ponens: (pq) p q y el modus tolens o principio de inferencia

negativa: (pq) q p son tautologas.

Los 3: el silogismo, el modus ponens y el modus

tolens son bsicas en las pruebas matemticas.

2. Una contradiccn es lo opuesto a una tautologa

esto es: siempre falsa para todas las combinaciones

de las proposiciones simples.

Ejemplo:

p p p p

P p 1 0

0

1

0

0

[p(pq)] ; etc., son contradicciones.

MATEMATICA BASICA I

35

1.9.6 Relaciones del lgebra Proposicional. Ejercicios para Resolver

1. Por medio de las tablas de verdad verificar las

siguientes relaciones: (muestre las tautologas):

1.1. Idempotencia : p p pr r r

1.2. Involucin : (p) p

1.3. Asociatividad : (p q) r p (q r)(p q) r p (q r)

1.4. Conmutatividad : p q q pp q q p

1.5. Distributividad : (p q) r (p r) (q r)(p q) r (p r) (q r)

1.6. Identidad : p F F ; p F pq V V ; q V q

1.7. Complemento : p p V ; p p F

( q) q ; F V

2. Dar ejemplos verbales de las 7 relaciones.

3. Verificar las 2 Leyes de Morgan:

a) (r s) r s(r s) r s

b) (p q) p q 4. Verificar tambin que:

i) (p q) (q q) ii) (p q) (q p)

MATEMATICA BASICA I

36

5. Dar ejemplos verbales de 1, 2, 3, 4

6. Construir 5 ejemplos de tautologas y 5 ejemplos de

contradicciones.

Si T es una tautologa y C una contradiccin, que da:

a) T C b) T C c) T C d) C T e) (T C) C f) C T

1.9.7 Funciones Proposicionales Las proposiciones en general expresan alguna

caracterstica o cualidad.

Ejemplos

1. Pedro es deportista

2. Mara es bella

3. 41 es un nmero primo

El primero da la caracterstica o cualidad deportista; la

segunda la belleza; la tercera la caracterstica de ser

divisible slo por la unidad y por si mismo.

MATEMATICA BASICA I

37

La caracterstica o cualidad genera una funcin de un

dominio de sujetos en el conjunto {V, F} que se representa

por una mayscula como funcin de una variable como la

x, r, s, t, . en la forma P(x), Q(r), . Por ejemplo: el ser

deportista: P(x): x es deportista, R(t): t es primo, etc., en

P(x) el dominio son los seres humanos: x: juan es

deportista; x=Berta es deportista, etc. En R(t) el dominio

son los nmeros enteros t=25, es primo; t=37, es primo, .

etc.

1.9.8 Cuantificadores Hay 2 smbolos que permiten transformar las funciones

proposicionales en proposiciones, es decir: suceptibles de

ser verdaderas o falsas.

I. Operador Universal: que expresa: para todo y que debe traducirse segn las caractersticas de la funcin.

Por ejemplo:

P(x): (ser hombre mortal)

x.P(x): todos los hombres son mortales Q(y): (mujer hermosa)

y.Q(y): todas las mujeres son hermosas R(t): (ser nmero entero primo)

t.R(t): todos los nmeros son primos

MATEMATICA BASICA I

38

II. Operador Existencial: que expresa: existe uno o algunos y que debe traducirse segn la caracterstica

de la funcin. As, en los ejemplos anteriores:

x.P(x): existen hombres mortales y.Q(x): existen, o algunas mejeres son hermosas t.R(t): existen o hay enteros que son primos

Negacin de Cuantificadores

I. La negacin del cuantificador universal es: existencial

con la funcin proposicional negada:

[x.P(x)] x: P(x) ()

Si P(x) es: ser hombre mortal, la negacin () dice: Es falso que todos los hombres sean mortales equivale

a: existe un hombre que no es mortal.

Si R(t) es ser nmero entero primo la negacin de:

t.R(t) es: [t.R(t)] t: R(t)

Es falso que todo entero sea primo, equivale a existe

uno o varios enteros que no son primos.

II. La negacin del cuantificador existencial es: universal

con la funcin proposicional negada:

MATEMATICA BASICA I

39

[x. P(x)] x: P(x) En los ejemplos anteriores: es falso que existan

hombres mortales equivale a todo hombre no es

mortal.

En: t. R(t) t: R(t) Es falso que exista un nmero entero primo equivale

a: todo entero no es primo.

Ejercicios

1. Dada las proposiciones:

p: El da est clido

q: El profesor viene hoy

r: La luna est llena

s: 9 3= t: 32 + 52 = (3 + 5)2

formar proposiciones compuestas con los conectivos:

, y . 2. Formar 5 funciones proposicionales y

cuantificarlas.

3. Negar las proposiciones cuantificadas anteriores.

Para concluir la lgica proposicional veamos la

importancia del:

MATEMATICA BASICA I

40

Razonamiento Deductivo.- Es un razonamiento muy importante en la Matemtica con el cual se establecen

numerosos teoremas, llamados tasmbin

Proposiciones.

Estos se enuncian mediante una implicacin cuyo

antecedente es la hiptesis y el consecuente es la

tesis.

Por ejemplo la proposicin: si la raz cuadrada de un

nmero natural n, no es un entero, entonces no es un

racional o fraccin, si no un irracional.

Aqu la hiptesis o antecedente es: si la raz cuadrada

del natural n, no es entero. La tesis, implicacin o

conclusin es: la raz cuadrada es irracional y no

racional.

A lo largo del TINS se tendr diversos razonamientos.

Completemos los conjuntos y pasemos en el captulo II

a los conjuntos numricos.

Los conjuntos emplean la lgica clsica o bivalente

cuyo soporte o rango es el par:

L2={0, 1}

MATEMATICA BASICA I

41

Donde 1 representa la verdad o validez y 0 la falsedad

o contradiccin.

Las relaciones 7 de 1.8:

A A = X ; A A = Expresan que un punto pertenece a un conjunto o a su

complemento pero no a ambos.

En esta lgica es valido el tercio excluido, as como el

principio de contradiccin:

p 7 p 1 y p 7 p 0 7 p= no p

El primero expresa que una proposicin o es

verdadera o es falsa pero no hay una tercera

posibilidad. El segundo completa al anterior

expresando que la proposicin no puede ser verdadera

y falsa a la vez.

Igualmente son vlidos:

(p q) (q r) . . (p r) silogismo y el caso que genera algunas pruebas por

absurdo

( p p) p Se sugiere hacer el anlisis de tablas y valuaciones.

MATEMATICA BASICA I

42

EJERCICIOS PARA RESOLVER

1. Si un conjunto finito tiene k-elementos Cuntos tiene su conjunto

potencia?

2. Si A={, , }, cmo es el grfico o grafo de P(A)

3. Y si G={a, b, c, d} , cmo es el grafo de P(G)

4. Por medio de un grfico cmo el que se muestra:

A B

Verificar la Ley de Morgan: (A B) = A B donde A, B son los complementos.

5. Verificar las leyes de distributividad 3) de 1.8

6. Si 2 conjuntos son infinitos: son ambos isomorfos? Es decir:

Tienen el mismo nmero de elementos?

7. Probar que el silogismo es siempre vlido en la lgica de los

conjuntos.- Igualmente probar el modus ponens: p(p q)..q

8. Por tablas verificar si la equivalencia: (pq) ( q p) es vlida.

(A B)

MATEMATICA BASICA I

43

II. BREVE PRESENTACIN DE LOS CONJUNTOS NUMRICOS

2.1 CONJUNTO DE LOS NMEROS NATURALES: N Se ha convenido en llamar nmeros naturales a cada elemento

del siguiente conjunto:

N = {0, 1, 2, 3, , n .}

2.1.1. Observaciones: o En N existen dos subconjuntos notables: el conjunto de

los nmeros pares y el conjunto de los nmeros

impares.

Pares = {2,4,6,8,} Impares = {1,3,5,7,9,.}

o Si n N 2n: representa un nmero par 2n 1: representa um nmero impar

o En N se definen las operaciones de adicin y multiplicacin, donde si x, y N (x + y) N (x . y) N (Ley de Clausura)

o La sustraccin no siempre es posible en N. La sustraccin no est totalmente definida en N xN tal que 7+ x = 3? No! Pues x = 4 N por esta razn se amplian los naturales en un nuevo conjunto de

nmeros, el cual ser definido seguidamente.

MATEMATICA BASICA I

44

2.2 CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS: Z Z = {., 3, 2, 1, 0, 1, 2,3, .}

2.2.1. Observaciones: o En Z se tienen los siguientes subconjuntos notables Enteros positivos Z+ = {1,2,3,.} = N+ Enteros negativos Z- = {1,2,-3,.} = N+ Enteros no negativos ,...}3,2,1,0{Z 0 =+ Enteros no positivos ,.....}3,2,1,0{Z

0=

Z = Z- {0} Z+ o En Z siempre es posible restar, veamos una manera

prctica de interpolar la adiccin y/o sustraccin de

nmeros enteros

Nmeros positivos ganancia Nmeros negativos prdida Ejemplos:

1. N N ?pierdooganonegociodelluego131gano3pierde

+

2132pierdo2

=+

2. -9 -3 = -12

o En Z no siempre se puede dividir, i.e. la divisin no

est totalmente definida en Z

xZ tal que 3. x = 1? No! Pues Zx =

31

MATEMATICA BASICA I

45

Por esta razn se amplian los enteros en el siguiente

conjunto de nmeros.

2.3 CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES: Q

= 0bZb,a/baQ

{ }aQ . a,b Z b 0b=

Todo y nmero que puede escribirse en forma de fraccin se llama

nmero racional.

EJEMPLOS

1. ; ; , ; ;= = =8 3 1 1 24 3 0 52 1 2 3 5

son racionales

2.

= ...,

nm,2,

45,

21,

31,...,

21,1,

nm...,Q

3. 0,666 , 0,75 , 0,78888 , -3.452 , -36 , +100, Q Propiedad 1: Los nmeros racionales abarcan a los N y a los Z,

pues nn N1

= y aa Z1

= Propiedad 2: Si el nmero dado es decimal peridico, su transformacin a fraccin es por el siguiente cociente:

MATEMATICA BASICA I

46

Sea: N=a1 ,, am b1 ,, bn c1 ,, cjci ,, cj ,,

donde c1 ..cj es elperodo decimal, a1, am estn a la izquierda del

punto decimal y b1, , bn estn a la derecha del punto. Entonces el

siguiente cociente da el nmero N:

NNn1 m 1 1 j 1 m 1

nj

a ..a b ..b c ..c a ..a b ..bq..q 0..0

Para simplificar la prueba supondremos m=n=1, j=2:

N1 2 1 224

N a bc c c c ...=

Multipliquemos N por N N4 2

1000 10 :

abc1c2c1c2c1c2X(1000-10)

= abc1c2c1c2...c1c2...-abc1c2c1c2

= abc1c2-ab

Despejando N tendremos:

abc c abN = 1 2

1000 10

es decir: N=abc1c2c1c2=NN1 2

j n

abc c ab990

que da la prueba.

Para cualquier otrol N la prueba es semejante.

MATEMATICA BASICA I

47

Ejemplos

1. 999abcabco, = donde abc abc= es el entero o producto por

1000 (3 ceros)

2. 999

eeabcabce, = donde eabc eabc=

3. 0,abcbc= abc a0,abcbc990

= aqu J=2, n=1, m=0

4. m,abcbc.. = mabc mam,abcbc990

= anloga a la prueba

5. 32

966,0...666,0 === m=n=0, j=1

6. 1,222= 12 1 119 9 = m=1, n=0, j=1

7. 99

36499

3367...6767,3 ==

8. 3013

9039

90443...4333,0 ===

9. 99

36499

3367...6767,3 ==

10. 0,34747= 347 3 344990 990

=

11. 4,32121= 4321 43 4278990 990

= Para m=1, j=2, n=2

12. 1,234545 = 12345 123 122229900 9900

= Para m=1, j=2, n=3

MATEMATICA BASICA I

48

13. 3,1235454= 312354 3123 30923199000 99000

=

Todos los nmeros pueden escribirse en forma de fraccin? No!

Pues no existe xQ/x2 = 2 por tal motivo se crea el siguiente conjunto de nmeros.

2.4. CONJUNTO DE NMEROS IRRACIONALES: Q II Se da el nombre de nmero irracional a todo nmero que no es

racional.

i.e. I = {x / x nm , m, n ; n 0}

Veamos por que, por ejemplo 2 no es un racional mn

Supongamos que lo fuera: 2 = mn

, donde mn

ha sido reducido y

no tienen factores comunes.

Tendremos elevando al cuadrado:

22

22

m2 m 2nn

= = lo que nos dice que m2 y por lo tanto m es par o mltiplo de 2.

Sea m=2r, r un entero. Reemplazando: 2 2 2 2 2m 4r 2n n 2r= = =

lo que muestra que n es tambin par.

MATEMATICA BASICA I

49

Luego m y n siendo pares tienen un factor comn, el 2, contrario a

la hiptesis.

Por consiguiente 2 no puede ser racional.

De modo semejante se puede probar que todo radical: 3 , 5 ,

..., 3 32, 3, ..., de un nmero que no es una potencia, no es

racional.

Ejemplos:

1. 2 = 1,4142

2. 3 = 1,73 205

3. 5 = 2,23 606

4. 21 + 5. 32

6. 32

,21

,32 +

Propiedad 3. Un nmero irracional se caracteriza por tener parte decimal no peridica, con infinitas cifras decimales. Por qu?

En efecto: si el nmero tuviera parte decimal peridica, por

propiedad 2 de 2.3 podra expresarse como el cociente de 2

enteros, esto sera un racional.

MATEMATICA BASICA I

50

IN Z IR II IR

Los nmeros irracionales son de dos tipos:

2.4.1 Irracionales algebraicos. Son races de polinomios de coeficientes enteros.

* ,...32,7,2 3

2.4.2 Nmeros trascendentales. No son races de ningn polinomio de coeficientes enteros.

* ...718281,2

...14159,3==

e

= 3,141592 infinito no peridicas. -=-3.141592... e = 2,7182 81 82 infinito no peridicas. e=-2.71828...

2 = 1,4142 1356 infinito no peridicas. - 2 =-1.4142135

2.5. CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES: IR Es el conjunto delos nmeros racionales y el de los irracionales.

Las propiedades y/o relaciones se desarrollan en el Captulo III.

IR : Q I , IR = IR+ {0} IR IR+ : Reales positivos.

IR : Reales negativos.

Graficamente:

MATEMATICA BASICA I

51

1) IN Z Q 2) Q I = IR 3) Q I =

EJERCICIOS RESUELTOS Transformar a Radicales Simples

1. 8410 + A=10 ; B=84

Solucin:

Cmo se sabe: A2 B es un cuadrado perfecto = C2, entonces:

22CACABA +=

En nuestro caso: C2 = 102 84 = 16 cuadrado perfecto

C = 4 asumiendo C = 4

372

4102

4108410 +=++=+

2. 13 160 Solucin:

Como en el caso anterior: C2 = 132 160 = 9 cuadrado perfecto

C = 3 asumiendo C = 3

13 3 13 313 160 8 5 2 2 52 2+ = + = + = +

MATEMATICA BASICA I

52

3. Si 80945214 +=n ; hallar le menor valor de x cuando: x2 nx + n +1 = 0

Solucin:

Como: 535945214 +=+=+

252

192

1918081809 2 =+== c

52553 =++ = n x2 5n + 6 = (x-3) (x-2)=0 que da x=3 y x = 2

Luego el menor valor de x es 2.

4. Si 33 5252 ++=x . Hallar el valor numrico de 5186 3 ++ xx Solucin:

Como: ( ) ( )baabbaba +++=+ 3333 Entonces:

3333 5252

++=x

( ) +++++= 333 5252135252x

++= 333 525234x

55252185252346 3333 +

++++

+++

29552521852521824 3333 =+

++++

+++

MATEMATICA BASICA I

53

5. Si a > 0; a R 21 +a

a

Solucin: Cmo a > 0 010 >a

a

aa

2

10

21021 ++a

aa

a l.q.q.d.

6. Si a, b > 0 ( ) 411 +

+ baba

Solucin: Como a, b > 0 a b 0 a b ( ) 020 222 + bababa abba 222 + 2

22

+abb

aba

4112 ++++ab

ba

ab

ba

Lo que implica:

44 ++++++a

bab

baaa

ab

bb

ba

( ) 411 +

+ baab

l.q.q.d.

7. Si x 71;

111

3214,2 + x

Solucin: Como x 424,2

MATEMATICA BASICA I

54

71

321

111

MATEMATICA BASICA I

55

Entonces: P = 25,20261012 ++ und. 9. El punto medio del segmento entre P1 (x1; y1) y P2(x2, y2) es:

++2

;2

2121 yyxx

1) Se pide hallar las coordenadas (x, y) del punto P en trminos de

las coordenadas de P1; P2.

Para ello traemos desde los puntos P1; P2 segmentos paralelos al

eje y y corten al eje x en los puntos A, B, C.

2) Por la geometra plana elemental; se sabe que la ruta paralela al

eje y que pasa por el punto P biseca el segmento AC en el punto

B; esto es; B es punto medio del segmento AC.

Si B es punto medio del segmento AC entonces se cumple que:

x x1 = x2 x d (A a B) = d (B a C) luego:

x = 2

21 xx +

de manera similar por los puntos P1;P; P2 trazamos segmentos

paralelos al eje x, obtenindose y2 y = y y1

P2(x2; y2)

P1(x1; y1) P(x; y)

A(x1; 0) B(x; 0) C(x2; 0) x

y

MATEMATICA BASICA I

56

2

21 yyy +=

Luego la frmula del punto medio es x x y y,+ + 1 2 1 2

2 2

10. Hallar los puntos de triseccin del segmento cuyos extremos son

los puntos (-2, 3) (6, -3)

Solucin:

Se pide hallar las coordenadas

de P; Q que dividen al segmento

Cmo:

______

21PP en tres segmentos de igual

longitud.

rPP

PP ==21

_____

2

_____

1

Entonces: p1 p2px rx

x1 r+= + ,

p1 p2p

y ryy

1 r+= +

p12 6 22x 1 312

+= =

+;

( )p

13 32y 111

2

+ = =

+

( )23p ,1=

Clculo del Q

P1 P2

(-2, 3) P Q (6, -3)

P1 P2

(-2, 3) P (6, -3)

1 2

MATEMATICA BASICA I

57

1 6 1 3 103Q ; ; 12 2 3

+ = =

EJERCICIOS PARA RESOLVER [1] Probar las siguientes desigualdades:

1) a2 + b2 +c2 ab + ac + bc; a,b,cR 2) a,bR+ a b ab

2+

3) Si a2+b2=1; c2+d2 = 1 entonces 1 ac+bd; a,b,c,d R 4) Si a+b+c=1, donde a,b,c > 0 (1-a)(1b)(1c) 8abc 5) a4 + b4 + c4 + d2 4abcd; a,b,c,d R 6) Si a > 0; aR a+ 1a 2

7) Si a,b,c R+ + + + +bc ac ab a b ca b c

8) Si a > 0, b > 0 tal que a + b = 1 ab 9) Si a, b, c R a2 + b2 + c2 + 3 2 (a + b+ c)

10) Si a, b > 0 /a b 2

2

a 3b b 3b a a

+ +

11) Si a, b, c > 0 ( )1 1 1 a b c 9a b c

+ + + +

12) si a > 0 ; a 1; a R 3 23 21 1a aa a+ > +

13) ( ) ( )( )2 2 2 2 2a by a b y ; a,b, ,y R+ + + x x x 14) (a + b + c+ d)2 4(a2 + b2 + c2 + d2) ; a, b, c, d R 15) (a x + by + cz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2)

16) Si x 5 2,2 x 3,7

MATEMATICA BASICA I

58

17) Si x 2 1 1 11,3 ,x 3x 1 19 5 + +

[2] Resolver las siguientes inecuaciones

1) 3(3x 17) + 5 (5 3x) 3(3x 11) 2(4x 3) 2) 13 (2x 3) 7 (3x 5) < 3 (2x 11) + 13x

3) 3x 2 3x 7 3x 5 7 x5 2 2 3 + <

4) ( ) ( )3x 7 8 43 x 7 2x4 3 7 < <

5) 9x 5 3x 1 5x 44 2 3 +

6) 7x 2 5x 6 9x 342 3 5 ++ <

7) 2x 1 3x 2 2x 1 2>5 6 2 3 ++ +

8) 2 2x 3x 5 ;a>b>0

a b a b a b+ 5 512 6 3

x>3

MATEMATICA BASICA I

59

2.6. RELACIONES

2.6.1 Las relaciones se presentan en todas la reas del conocimiento. Por ejmplo: San Isdro es mas grande que San Borja; Pedro es menor que Pablo; es congruente

con etc.

En matemtica nos interesan las relaciones entre 2

conjuntos.

2.6.2 Relacin Binaria Dados 2 conjuntos no vacios A y B, una realcin binarias

de A y B es dado por todo conjunto R del producto A x B.

Al conjunto A se le denomina: Dominio o primera

proyeccin y al B el rango o segunda proyeccin.

Si invertimos: B x A se obtiene la relacin inversa R-1 entre

B y A.

Cuando el conjunto B = A es una relacin en el conjunto A.

2.6.3 Propiedades Una relacin R en un conjunto A puede tener las siguientes

propiedades:

1) Reflexiva : x A R 2) No reflexiva : x A R 3) Simtrica : R R 4) No simtrica : R R 5) Asimtrica : R R 6) Anti simtrica : [ R] a = b

MATEMATICA BASICA I

60

7) Transitiva : [ R R] R 8) No trasitiva : [ R R] R 9) Intransitiva : [ R R] R

Las relaciones en un conjunto A pueden cumplir algunas

propiedades. Las ms importantes relaciones son:

2.6.4 Relaciones de equivalencia Son las reflexivas, simtricas y transitivas.- Si R

denotamos simplemente por , debe cumplir: E1 a A a a .............................reflexiva E2 a, b A : si a b b a......... simtrica E3 a b b c a c ................... transitiva

Ejemplos:

1. A = conjunto de las circunferencias en el plano c, si

tienen igual radio. Es una relacin de equivalencia.

(se trata de las circunferencias. Ver Captulo IV)

2. Relaciones de congruencias mdulo m en los

enteros Z. Por ejemplo m = 5

a, b Z son cogruentes a b mod 5 si: a b es multiplo de 5. As:

1 6 mod 5; 2 7, 3 8 13, 4 9 14 19, etc

MATEMATICA BASICA I

61

3. Rectas en el plano de igual pendiente:

y x = 0 2y 2x 3 = 0; y 1 = 0 y + = 0 etc. x (se tratar las rectas y propiedades. Ver Captulo

IV).

2.6.5 Clases de Equivalencias Toda relacin de equivalencia en un conjunto A, lo separa

en sub-conjuntos A1, A2, formado por los conjuntos

equivalentes. Es lo que denominamos una particin de A.

Por ejemplo, en Z los enteros congruentes modulo m, sea

m=5 forma m=5 clases de equivalencia:

Z0={.., -10, -5, 0, 5, 10, 15, ..}

Z1={.., -9, -4, 1, 6, 11, ..}

Z2={.., -8, -9, 2, 7, 12, ..}

Z3={.., -7, -2, 3, 8, 13, ..}

Z4={.., -6, -1, 4, 9, 14, ..}

2.6.6 Relaciones de Orden Son las que cumplen la reflexividad, la antisimetra y la

transitividad.

Si la relacin la denotamos por

MATEMATICA BASICA I

62

Ejemplos:

1. En los nmeros enteros o reales el orden se denota

por y se define:

a b si cR+ (si existe un real positivo o cero c) tal que a+c=b

2. En una circunferencia

centrada en el origen

del plano cartesiano, un

punto , si partiendo del punto horizontal a

en sentido contrario al

reloj est antes que .

2.6.7 Buena Ordenacin

Una relacin de orden en un conjunto A se dice que da una buena ordenacin, o que A, queda bien ordenado, si

cada subconjunto Ai no vaco posee primer elemento, es

decir:

aA xA (ax) Ejemplos:

1. El conjunto N de nmeros naturales con el orden es bien ordenado. Todo subconjunto de N posee primer

elemento.

2. El conjunto R de los reales con el orden no es bien ordenado. Los subconjuntos 0

MATEMATICA BASICA I

63

mltiplos de 5, 7, etc.; los irracionales positivos y

numerosos otros ms no poseen primer elemento.


1. Los pares y los impares determinan una relacin de

equivalencia en los nmeros enteros Z?

2. Los tringulos de igual rea dan una relacin de

equivalencia en el conjunto de triangulos de un

plano?

3. Y otras figuras?

4. Dar 3 relaciones de equivalencia diferentes a los ya

visto.

5. La relacin de las letras del alfabeto es de orden?,

de buen orden?

6. En un saln en elque no hay nios con el mismo

apellido la lista que se confecciona es de orden?

7. Dar relaciones de orden en conjuntos finitos e

infinitos.

2.6.8 Relaciones Funcionales Una relacin F entre 2 conjuntos A y B se dice ser funcional

si para cada elemento aA hay a lo ms un elemento bB tal que F(a,b).

Por ejemplo si A es el conjunto de los nios de un pas y B

el de los hombres mayores, la relacin ser padre P:

aA bB b es padre de a, P(a,b), es una relacin funcional.

MATEMATICA BASICA I

64

El sub conjunto A1 A de los elementos de A que estn relacionados constituye el dominio de la relacin y el B1 B que estn relacionados forma el co-dominio o rango de la

relacin.

Cuando B=A la relacin F se dice ser funcional en A.

Ejemplos:

1. El ser madre es tambin funcional.

2. La relacin ser duplo de p en los nmeros enteros Z

es funcional:

pZ: F(p)=2p El dominio es todo Z y el rango es el conjunto de los

elementos pares.

3. El cuadrado de p es tambin una relacin funcional

en Z.

2.6.9 Funcin Se denomina as a toda relacin funcional de un conjunto A

en el conjunto B.

Por ejemplo el ser padre es funcin. Las relaciones

F(p)=2p, G(p)=p2 son funciones en Z.

En los captulos siguientes veremos otros ejemplos de

inters.

MATEMATICA BASICA I

65


1. Dar 2 relaciones de orden en el conjunto N de los

naturales.

2. Qu propiedades tienen la relacin de vecindad?

3. La relacin xR x , valor absoluto, es funcional? 4. Hermana, hermana de padre y madre que clase de

relaciones son?

5. Cul es el dominio y rango de las relaciones 3x , x ; sen; cos?

6. La relacin en los enteros Z es de buen orden?

MATEMATICA BASICA I

66

MATEMATICA BASICA I

67

III. NMEROS REALES

Hemos visto en 2.5 que el conjunto R de los nmeros reales est

formado por la unin de los racionales o fraccionarios y de los

irracionales. Los naturales y enteros quedan includos por estarlo dentro

de los racionales.

Las operaciones de adicin y multiplicacin e inversas y la relacin de

orden < se extienden a todo R formando el Algebra de los Reales.

En este captulo vamos a introducir los reales y propiedades desde un

punto de vista formal.

3.1 EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES

3.1.1. Definicin 1: El sistema de los nmeros reales es un conjunto R, provisto de dos operaciones: adicin y multiplicacin,

y una relacin de orden, denotada por

MATEMATICA BASICA I

68

A5) Existe un nico elemento al que denotamos por -a tal

que a+(-a)=(-a)+a=0; aR (existencia y unicidade del elemento inverso aditivo)

De la multiplicacin:

M1) a, bR ; a.bR (clausura) M2) a, bR ; ab = ba (ley conmutativa) M3) a,b,cR : (ab)c = a(bc) (ley asociativa) M4) Existe um nico elemento al que denotamos por 1 diferente

de 0 tal que: a.1 = 1.a = a; aR (existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo)

M5) Existe um nico elemento al que denotamos por a-1 tal que:

aR; a 0; a.a-1 = a-1.a = 1 (existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo)

D) a,b,cR ; a (b + c) = ab + ac (ley distributiva) En R, existe definida la relacin menor

MATEMATICA BASICA I

69

3.1.2. Proposicin 1: a R , a.0 = 0

Prueba:

a 0 = a 0 + 0 (A4) = a 0 + [a + (-a)] (A5) = [a 0 + a] + (-a) (A3) = (a 0 + a 1) + (-a) (M4) = a (0 + 1) + (-a) (D)

= a . 1 + (-a) (A4)

= a + (-a) (M4)

a 0 = 0 (A5)

3.1.3. Proposicin 2: a R , a + a = 2a Demostracin

a + a = a . 1 + a . 1 (M4)

= a (1 + 1) (D)

= a . 2 (A1)

= 2a (M2)

3.1.4. Proposicin 3: a R , a = (1) a

Prueba:

Si demostramos que a+(1)a = 0, el teorema quedar probado,

puesto que (a) y (1)a resultan ambos el inverso aditivo de a,

que como sabemos es nico (A5).

i.e. a + (1) a = 1.a + (-1) a (M4)

= (1+(1)) a (D)

MATEMATICA BASICA I

70

= 0.a (A5)

= 0 (Prop. 1)

Luego: -a = (1) a (A5)

3.1.5. Corolario 1: a, b R , a (-b) = (ab) = (a) b En efecto: a (b) = a ((1) b) (Prop. 3)

= a (b (1)) (M2)

= (ab) (1) (M3)

= (1) (ab) (M2)

= (ab)

3.1.6. Proposicin 4:

(Sustraccin) a, b R , a-b = a + (-b) (Multiplicacin) a, b R; (-a)(-b)=ab

(Divisin) a, b R , b 0 ; 1a abb

=

3.1.7. Proposicin 5: a, b R ; a 0 ; b 0 ; (ab)-1 = a-1 b-1

Prueba:

Si probamos que (ab) (a-1 b-1) = 1, la tesis queda demostrada

puesto que (ab)-1 y (a-1 b-1) resultan ambos el inverso

multiplicativo de (ab), que como sabemos debe ser nico por (M4)

MATEMATICA BASICA I

71

(ab) (a-1 b-1) = (ab) (b-1 a-1) (M2)

= a [b (b-1 a-1)] (M3)

= a [((bb-1) a-1] (M3)

= a (1.a-1) (M5)

= a . a-1 (M4)

= 1 (M5)

Por lo tanto (ab)-1 = a-1b-1 (M5)

3.1.8. Proposicin 6:

1) a, b, c, d R ; b, d 0 se tiene a c ad bcb d bd

++ =

2) a c ac.b d bd

=

3)

aadb

c bcd

=

En efecto:

1) a cb d

+ = ab-1 + cd-1 (definicin cociente) = (ab-1) (dd-1) + (cd-1) (bb-1) (M1)

= (ab-1) (d-1d) + (cd-1) (b-1b) (M2)

= a (b-1 d-1) d + c (d-1 b-1) b (M3)

= (ad) (bd)-1 + (cb) (bd)-1 (M2)

= (ad + bc) (bd)-1 (D)

= ad bcbd+ (definicin cociente)

MATEMATICA BASICA I

72

2) a c.b d

= (ab-1) (cd-1) (definicin cociente)

= a (b-1c) d-1 (M3)

= a (cb-1) d-1 (M2)

= (ac) (b-1 d-1) (M3)

= (ac) (bd)-1 (Prop. 6)

= acbd

(definicin cociente)

3.1.9. Proposicin 7: Si a, b, c R ; a + c = b + c a = b

Se tiene:

1) a + c = b + c (hiptesis)

2) (a + c) + (-c) = (b + c) + (-c) (1)

3) a + [c + (-c)] = b + [c + (-c)] (A3)

4) a + 0 = b + 0 (A5)

5) a = b (A4)

3.1.10. Proposicin 8: a, b, x R ; b 0 x . b = a x = a.b-1

Implicacin directa:

(=>) 1. x . b = a (hiptesis)

2. (x.b)b-1 = ab-1

3. x (bb-1) = ab-1 (M3)

4. x.1 = a.b-1 (M5)

5. x = a.b-1 (M4)

MATEMATICA BASICA I

73

Implicacin inversa:

()

1. ab = 0 (hiptesis)

2. Supongamos que b 0 (hiptesis auxiliar) 3. Existe b1 (M5)

4. (ab)b1 = 0b1 (3, Prop. 1)

5. a (bb1) = 0 (M3)

6. a.1 = 0 (5, M5)

7. a = 0 (M4)

8. Supongamos que a 0 (hiptesis auxiliar) 9. Existe a1 (M5)

10. (ab)a1 = 0a1 (3, Prop. 8)

11. a (ba1) = 0 (M3, Prop. 1)

12. a (a1) b = 0 (M2)

MATEMATICA BASICA I

74

13. (a.a1) b = 0 (M3)

14. 1.b = 0 (I3, M5)

15. b = 0 (I4, M4)

(

MATEMATICA BASICA I

75

23

2 + x = 2 = ( )22

x 3 32 22 2

< > + = + = x

-3 32 22 2

< > = + = x x EJERCICIOS PARA RESOLVER

1. Demostrar las siguientes propiedades de nmeros reales:

a) ab = (a + b)

b) Si a 0 ; ac = ab c = b

c) Si a = b y a, b 0 1 1a b

=

d) (a b)c = ac bc

e) (a b) = a + b

f) Si b 0 , a c a bcb

= =

2. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 13x 7 = 5x + 3

b) 3x + 7 = 11x + 3

c) (x + 2)2 + (x 4)2 = (x 3)2 + (x 7)2

d) (2x + 1) (3x 4) + x + 3 = (x 3) (6x + 5) 3x + 7

e) x2 4x 21 = 0

f) 3x2 11x+ 6 = 0

g) 5x2 + 3x + 2 = 0

h) 9x2 + 54x + 9 = 0

MATEMATICA BASICA I

76

ALGEBRA DE LOS REALES A continuacin trataremos algunos problemas ms bsicos de los reales

R desde un punto de vista algebraico:

3.2. DESIGUALDADES E INTERVALOS La correspondencia entre los nmeros reales y los puntos de una

recta permite observar otra propiedad fundamental del conjunto de

los nmeros reales referentes a la existencia de un ordenamiento

en este conjunto.

Este concepto de orden se introduce en el sistema de los

nmeros reales mediante la definicin siguiente:

3.2.1 Definicin 1: Si a y b son nmeros reales, diremos que a es menor que b si y slo si b-a es un nmero positivo.

Simblicamente:

a 0}

Equivalencias de las relaciones y . 1) a a 2) a b a 0

a es positivo si -a < 0

3.2.2 Definicin 2: Una proposicin de la forma ab, ab, ab; es una desigualdad.

MATEMATICA BASICA I

77

3.3. PROPIEDADES GENERALES DE DESIGUALDADES 3.3.1. Si a b 3.3.3. Si a 0 3.3.5. Si 0 a 0 b > 0) (a < 0 b < 0) 2) ab < 0 (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0)

3.3.7. a1 tiene el mismo signo que a 3.3.8. Si a y b tienen el mismo signo y ab-1

En efecto:

Si a b1

3.3.9. Proposicin 10: Si a 0 b 0 entonces a2 > b2 a > b 3.3.10 Proposicin 11:Si a2 > b ; b 0 a > b a b = ( )2b a > b 2) Si a < 0 a > 0

MATEMATICA BASICA I

78

Hemos demostrado que si aba b a > b a 0 entonces a2 < b b < a < b

3.4. INTERVALOS EN R

Sean a, b R; a < b , definimos: 3.4.1 Intervalo abierto de extremos a y b; y se denota al

conjunto de nmero reales: = {x R / a < x < b}

3.4.2. Intervalo cerrado de extremos a y b, y se denota [a,b] al

conjunto: [a,b]={xR / a x b}

a b

3.4.3. Intervalo semiabierto de extremos a y b y se denotan: a los conjuntos:

={xR / a x < b}

a b

MATEMATICA BASICA I

79

Ejemplos:

1. = {xR / x > a}

2. [a, +>={xR / x a}

a

3. =R

3.5 OPERACIONES CON INTERVALOS. Se tiene las siguientes:

3.5.1 = {b} 3.5.2

MATEMATICA BASICA I

80

Ejercicios Resueltos

Resolver las inecuaciones:

1) 7x 10 < 4

(7x 10) + 10 < 4 + 10

7x < 14

x < 2

Solucin: =

2) (x + 1)2 + (x+4)2 (x+3)2 + (x+5)2 (x2+2x+1) + (x2+8x+16) x2+6x+9+x2+10x+25 2x2 + 10x + 17 2x2 + 16x + 34 10x + 17 16x + 34 -17 6x 17

6 x

x 176

conjunto solucin x 17 ,6

+

3) Resolver:

7 4x 3x + 5 < 9x + 11 Primero resolveremos 7 4x 3x + 5 4x 3x 5 7 7x 2 7x 2 x 2

7

MATEMATICA BASICA I

81

Solucin: 12s ,7

= +

Ahora resolveremos 3x + 5 < 9x + 11

3x 9x < 11 5 6x < 6 6x > 6 x > 1

Solucin 2s 1,= +

Solucin general: s = s1s2 = 2 ,7 +

3.6. INECUACIONES DE 2 GRADO 3.6.1. Mtodo de Factorizacin. Consideramos los 2 casos

siguientes:

Proposicin 12. Dados a, b R 1. ab > 0 a > 0 b > 0 a < 0 b < 0 2. a.b < 0 a > 0 b < 0 a < 0 b > 0

Ejemplo:

Resolver:

1. 4x2 11x 12 > 0

Factorizando (4x + 3) (x 4) > 0

(4x + 3 > 0 x 4 > 0) (4x + 3 < 0 x 4 < 0) (x > 3

4 x > 4) (x < 3

4 x < 4)

MATEMATICA BASICA I

82

x > 4 x < 34

3.6.2 Mtodo por Completacin de Cuadrados Recordemos los siguientes 2 casos:

Dado a, b R; b > 0

I. a2 ia b a b II. a2 > b > < a b a b

Ejemplos:

Resolver:

1. 4x2 + 12x 3 > 0

x2 + 3x > 0 x2 + 3x > x2 + 3x + 9/4 > + 9/4 (x + 3/2)2 > 3 3 33 3

2 2+ > + < x o x

3 33 32 2

+ > + < x o x

2. 4x2 16x + 13 < 0

x2 4x + 13/4 < 0 x2 4x < 13/4 x2 4x + 4 < 4 13/4

MATEMATICA BASICA I

83

(x - 2)2 < 3

( 2)2 3 3

2 22 2

3( 2)

2

< < > >

x

y x x

x

3. Resolver 4x2 4x + 7 0 x2 x + 7/4 0 x2 x 7/4 x2 x + 7/4 + (x )2 3/2 Conjunto Solucin: R

Pues xR: 21 3

02 2

x : (todo cuadrado 0)

3.7. VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO REAL 3.7.1. Definicin: El valor absoluto de un nmero real a se

define como aquel nmero real no negativo que se denota

por:

|a|

donde: |a|=a si a0 |a|=-a si a

MATEMATICA BASICA I

84

3.7.2. Propiedades generales de valor absoluto

1. | a | 0 ; a R | a | = 0 a = 0 2. | a |2 = a2 ; a R 3. | a | = | a | ; a R 4. | a b | = | b a | ; a, b R 5. | a b | = | a | | b | ; a, b R 6. | a | = | b | a = b a = b 7. | a | = b b 0 ( a = b a = b ) 8. a | a | ; a R 9. | a | 0 (b < a b a > b a < -b 12. | a | b a b a b 13. | a + b | | a | + | b | ; a, b R 14. || a | | b || | a b | ; a, b R 15. || a || = | a |; a R

Prueba de 13 y 14:

| a + b | 2 = ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2

= a2 + b2 + 2ab

| a |2 + | b |2 + 2| a b | = | a |2 + 2 | a | | b | + | b |2 = (| a | + | b |)2

| a + b |2 ( | a | + | b | )2 | a + b | | a | + | b |

MATEMATICA BASICA I

85

| a | = | b + (a b) | | b | + |a b| | a | | b | |a b| (I) | b | = | a + (b a) | | a | + | a b | | b | | a | |(a b)| (| a | | b |) | a b | (II) De (I) y (II)

| a | | b | | a b | (| a | | b |) | a b | a b} Ejemplos: 1. | 3x + 4 | = | 7x 3 |

3x + 4 = 7x 3 3x + 4 = (7x 3) 4x = 7 10x = 1 x = 7

4 x = 1

10

1 7,10 4

2. | 10x + 7 | = 17

10x + 7 = 17 10x + 7 = -17 10x = 10 10x = -24 x = 1 x = 12

5

12,15

3. | 5 3x | < 7

7 < 5 3x < 7 12 < 3x < 7 12 > 3x > 7

MATEMATICA BASICA I

86

7 < 3x < 12

73

< x < 4

x 7 ,43

4. | 7x + 3 | > 17

7x + 3 > 17 7x + 3 < 17 7x > 14 7x < 20

x > 2 x < 207

5. | x2 16 | > 9

x2 16 > 9 x2 16 < -9 x2 > 25 x2 < 7 (x > 5 x < 5) o ( )7 7 < 0

5) 3x2 10x + 3 < 0

6) x(3x + 2) < (x + 2)2

7) 5x2 14x + 9 > 0

8) 1 2x 3x2 0 9) 3x2 5x 2 0

MATEMATICA BASICA I

87

2. Resolver las siguientes inecuaciones: (3er grupo)

1) x4 4x3 x2 + 4x 6 < 0

2) 2 x3 + 3 x2 11 x 6 0 3) x 3 3 x2 13x + 5 > 0

4) x4 4x3 x2 + 16x 12 > 0

5) x 5 + 3x4 5x3 15x2 4x + 12 > 0

6) x4 3x2 6x 2 < 0

7) ( )( )( )3x 1 x 1

02x 1 (x 8)

+ +

8) ( ) ( ) ( )

( ) ( )23 2

2 7

3 x x 1 1 5 x0

6x 3 3x 5

>+

9) ( ) ( ) ( )

( ) ( )7 8 103 2

4 2

x 8 x x 1 x 10

x 3 x 25 7

+ + +

10) ( )( ) ( )72

4 2 8

x 2x 1 x 3 x 90

x 2x + + >

11) x4 2x2 + 8x 3 > 0

12) (x 7) (x + 3) (x + 5) (x + 1) 1680

3. Resolver las siguientes inecuaciones: (4to grupo)

1) ( )( )22x 3x 3 1

x 2 2x 3 2 + > +

2) x 4 x 2x 5 x 3

+

MATEMATICA BASICA I

88

5) 2

2

x 2x 3 3x 4x 3

+ > +

6) 27 6 5

x 1 x 1

MATEMATICA BASICA I

89

10) 2

2x 3x 4 1x 3x 2

+ +

11) |2x3 3| |4x + 1|

5. Resolver la siguiente inecuacin: (6to Grupo)

1) Dados los conjuntos A = {4x + 7 > 17}

B = {4x2 13 |x| + 9 0}, hallar CA B ; A CB. 2) Si D={3x2-(x+9)>0} ; E={x2+4x-2

MATEMATICA BASICA I

90

7. Hallar el mayor valor de la expresin dada en el intervalo indicado.

(8vo Grupo)

1) 4 1 1

E si 0,1+ = x x x

x R. 5

2) 7 2 3 2

E si 0,3+ += x x x

x R. 4

3) 3 3 8 5 24

E si 5, 42

+= x x xx

4) Hallar el menor valor de m que satisface:

i) 2x 1 1 mx 2 2

+ donde [ ]x 4,7 . ii) 3 2x m

x 1 donde

2 1 1,x 6 2

R. i) 4 ii) 2111

5) Para los siguientes conjuntos hallar A B a) x 2 2x 3A x R /

x 2 4x 1 = > +x x x x x 4B R /

1 X =

xxx

R. 2, 0,13

=

MATEMATICA BASICA I

91

d) 2 6 7 2A R /

1 1 + =

x xxx x

2 3B R /4 6

+= + x xxx x

R ] { }, 3 6 + .

e) 3 3

2 2

2 4A R /1 2

=

MATEMATICA BASICA I

92

Los sistemas de coordenadas fueron introducidos por el filsofo-

matemtico francs Ren Descartes en 1637. Por ello es que

tambin se llama la Geometra Analtica como la Geometra

Cartesiana.

Para introducir esta rama matemtica a un problema geomtrico,

un buen plan es primero, trazar un sistema apropiado de

coordenadas.

A continuacin trataremos algunos problemas bsicos

geomtricos con ayuda de la Geometra Analtica.

3.9. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 3.9.1 Proposicin 12. La distancia d entre 2 puntos P1(x1 , y1) y

P2(x2 , y2) est dado por la frmula:

( ) ( )2 22 1 2 1d y y x x= +

En efecto:

En el tringulo recto P1 Q P2,

El teorema de Pitgoras

asegura que:

( ) ( )2 22 2 1 2 1d y y x x= +

x2-x1

MATEMATICA BASICA I

93

Sacando la raz cuadrada positiva:

( ) ( )2 22 1 2 1d y y x x= +

3.10 SISTEMA CARTESIANO DEL PLANO Hemos estado viendo problemas sobre rectas. Para analizar

diversas relaciones sobre el plano debemos introducir un sistema

apropiado.

El sistema cartesiano plano es la interseccin de 2 rectas

orientadas perpendiculares de conformidad a la figura:

Cada punto del plano tiene 2

coordenadas: una sobre el eje

horizontal X, la abcisa, y otra sobre

el vertical Y, la ordenada. Pasemos a

ver diversos casos:

EJERCICIOS PROPUESTOS N04

1. Verificar que los puntos A(3,8) , B(11,3) y C(8, 2) son los

vrtices de un tringulo issceles.

2. Verificar que los puntos A(7,5) , B(2,3) y C(6,7) son los vrtices

de un tringulo rectngulo.

3. Determinar un punto que equidiste de los puntos A(1,7), B(8,6) y

C(7,1).

4. Verificar que los puntos A(2,4) , B(8,6) y D(4,8) son los vrtices de

un paralelogramo.

y

MATEMATICA BASICA I

94

3.11. DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZN DADA 3.11.1 Proposicin 13. Si P1(x1 , y1) y P2(x2, y2) son los extremos

de un segmento ; las coordenadas (x,y) de un punto P que

divide a este segmento en la razn dada.

2

1

PPPPr = son 1r;

r1ryyy,

r1rx 2121 +

+=++= xx

Prueba:

- Por los puntos P1, P2 , P tracemos perpendiculares a los

ejes coordenados.

- Por Geometra Elemental, las tres paralelas P1 A1, PA y

P2 A2 interceptan segmentos proporcionales sobre las dos

transversales P1P2 y A1A2. Por lo tanto:

)(AAAA

PPPPr

2

1

2

1 ==

Las coordenadas de los pies de la

perpendicular al eje X son A1(x1,0),

A(x,0) y A2(x2,0).

Luego: xxxx == 2211 AA;AA En:

( ) 1r;r1r

xr 212

1 ++=

= xxxx

xx

P

MATEMATICA BASICA I

95

De manera similar, podemos comprobar

1r;r1ryyy 21 +

+=

3.11.2 Observaciones: 1. Si r > 0, el punto P es interno al segmento dirigido .

2. Si r < 0, el punto P es externo al segmento dirigido

(pero siempre en la recta que contiene al segmento).

a) Estar ms cerca al punto P1 si | r | < 1.

b) Estar ms cerca al punto P2 si | r | > 1.

3. En el caso particular en que r = 1, tenemos el siguiente

corolario:

Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido

cuyos puntos extremos son: (x1 , y1) y (x2 , y2) esta dado

por:

1 2 1 2y y, y .2 2+ += =x xx

EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. El lado desigual de un tringulo issceles tiene por extremo los

puntos A(2,-1) y B(-1,2), y los lados iguales miden 17 unidades.

Hallar el vrtice opuesto al lado desigual.

2. Hallar las coordenadas de los vrtices de un tringulo sabiendo

que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son

(-2,1), (5,2) y (2, -3).

3. Dos vrtices de un tringulo equiltero son los puntos A(1,0) y

B(1, 32 ). Hallar las coordenadas del tercer vrtice C(x,y).

MATEMATICA BASICA I

96

4. Hallar las coordenadas de un punto P(x,y) que divida al segmento

P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en la razn 2

1

PPPPr = .

donde:

a) P1(4,3) , P2(1,4) , r = 2

b) P1(5,3) , P2(-3,3) , r = 1/3

c) P1(0,3) , P2(7,4) , r = 2/7

d) P1(5,2) , P2(1,4) , r = -5/3

e) P1(2,1) , P2(3,-4) , r = 8/3

3.11.3 rea de Polgonos de lados rectos. Los vrtices de un tringulo orientados en sentido antihorario son (x1,y1),

(x2,y2) y (x3,y3). Entonces el rea del tringulo cuyos

vrtices son dados es:

yA y

y =

x

x

x

1 1

2 2

3 3

12

; la mitad del valor del arrego.

El valor dado de arreglo se obtienen adjuntado x, y, luego hay 3

flechas hacia abajo positivas y las 3 flechas hacia arriba

MATEMATICA BASICA I

97

(punteadas) negativas. Se hace las operaciones y al final se toma

la mitad del valor absoluto:

= ( ) ( )x y x y x y x y x y x y+ + + +1 2 2 3 3 1 1 3 3 2 2 1

Ejemplo: Los vrtives de un tringulo son , y

Cul es su rea? El valor del rea es:

12

( ) ( )= + + + +1 21 0 0 0 56 02

.= =1 21 56 17 52

Slo se ponen las flechas a la derecha.

Nota.- En esta forma, la frmula se puede generalizar para hallar el rea de cualquier polgono. Se puede comenzar de cualquier

vrtice y en cualquier sentido teniendo cuidado de no saltarnos.

Para 4 lados o cuadrilteros:

1 1

2 2

3 3

4 4

x yx y1Ax y2x y

=,

MATEMATICA BASICA I

98

Ejemplos:

1. Determinar el rea:

Del tringulo DCE:

A = 12

= [ ]+ + + + =( ) u21 3 30 9 6 9 15 62

(3 obticuas)

Del rectngulo ABCD:

A = 12

= ( ) + + + + + + = u21 1 15 15 1 3 3 5 5 82 (4 obticuas)

Del pentgono ABCED

A = 12

= ( ) + + + + + + + + = u21 1 15 30 9 1 3 6 9 5 5 142 (5 obticuas)

MATEMATICA BASICA I

99

2. rea de la figura ABCDE que debe dar aproximadamente 14

de

circulo de radio1: aprox. 4

.

rea de polgono = Ap inscrito en el 14

de crculo.

Ap = 12

= + + = = 1 1 3 1 1 6 32 2 4 2 4 8 4

= .3 0 754

= .0 7854

rea 14

de crculo

de radio 1


1. Hallar el rea de los polgonos cuyas coordenadas de los vrtices son:

a) (2,5) , (7,1) , (3,-4) y (-2,3) R. 39.5u2

b) (0,4) , (1,-6) , (-2,-3) y (-4,2) R. 25.5u2

c) (1,5) , (-2,4) , (-3,-1) , (2,-3) y (5,1) R. 40u2

d) (1,1), (7,1), (7,3), (7,6) y (1,3) R. 21u2

e) (-4,2), (-6,-2), (-2,-8), (5,-9), (10,-2) y (5,6) R. 153u2

132

12

00

0 0012

3210

MATEMATICA BASICA I

100

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Hallar las coordenadas del baricentro de un tringulo cuyos

vrtices son A(x1 , y1), B(x2 , y2), C(x3, y3)

Solucin Las medianas de un tringulo se cortan en un punto P(x,y)

llamado baricentro, situado de los vrtices a 2/3 de la distancia de

cada uno de ellos al punto medio del lado opuesto.

Consideramos la mediana APD, siendo D el punto medio de BC.

Las coordenadas de D son 2 3 2 3x x y y,2 2+ +

Como AP 2AD 3

=

resulta AP 2r 2PD 1

= = =

2 31

1 2 3

22

1 2 3

+ + + + = =+

x xxx x xx

2 31

1 2 3

y yy 2y y y2y

1 2 3

+ + + + = =+ ,

luego las coordenadas del baricentro son

1 2 3 1 2 3y y yP ,3 3

+ + + + x x x

D P

A(x1,y1)

MATEMATICA BASICA I

101

2. Hallar las coordenadas del baricentro de los tringulos cuyos

vrtices son:

a) (5,7) , (1 ,3) y (5,1)

b) (2,1) , (6,7) y (4,3)

c) (3,6) , (5,2) y (7,6)

d) (7,4) , (3,6) y (5,2)

e) (-3,1) , (2,4) y (6,2)

3. Demostrar que los 3 puntos siguientes son colineales:

A(3,2) , B(5,2) y C(9,4)

Debe de verificar que el rea de los 3 puntos es 0.

3.12. NGULO DE INCLINACIN DE UNA RECTA Y PENDIENTE DE

UNA RECTA 3.12.1 Definicin. Si L es una recta que pasa por el punto

P0(x0,y0), entonces el ngulo formado por la recta L y el eje x positivo en sentido antihorario se llama ngulo de

inclinacin de L. Variacin de es 1800 . Llamaremos pendiente de una recta L a la tangente de su

ngulo de inclinacin y denotaremos por mL = tan . 3.12.2 Observaciones:

Si 90 0 < >L m Si 90 0 >

MATEMATICA BASICA I

102

Proposicin 14. La pendiente de una recta L que pasa por los

puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) est dado por =

2 1L 2 1

2 1

y ym ; x xx x

.

La prueba de deja como ejercicio.

3.12.3 Rectas paralelas; perpendiculares: 1. Dos rectas L1 y L2 no verticales son

paralelas si y slo si m1 = m2.

En efecto:

Si L1 // L2 1 2 1 2 = =tan tan i e = m1 = m2.

2. Dos rectas son perpendiculares . 1 2m ,m 1 = Esto es, si los ngulos de inclinacin son x y , se tiene:

90 = + - ( )90 = +tan tan - 1= =tan cot

tan

tan tan = 1 esto es: m1 . m2 = 1

MATEMATICA BASICA I

103

3.12.4 ngulo entre 2 rectas Supongamos que tenemos 2 rectas

L1 y L2 que se cortan y queremos la

medida del ngulo que forman.

Sean las pertinentes segn figura:

m1 = tan m2 = tan

tg tgtg1 tg tg

= + = = +

2 12 1

2 1

m mi e tg ; m m 11 m m

= + . (Suponemos que las

rectas no son perpendiculares, este es 2

)

EJERCICIOS RESUELTOS 1) El rea de un tringulo es 8 und2 y los vrtices son los puntos A(1, -2),

B(2, 3) y el tener vrtice C esta en la recta 2x + y 2 = 0.

Determinar las coordenadas del vrtice C.

Solucin: Cmo:

B(2, 3)

A(1, -2)

C(x, -2x + 2)

L: 2x + y 2 = 0

MATEMATICA BASICA I

104

Se tiene:

=+

= 8

111

2232

21

21

xxArea

41

==

yx

x = (-1, 4)

2) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por los vrtices del

tringulo A (5, -4) B(-1, 3) C(-3, -2) y son paralelas a los lados

opuestos.

Solucin:

Calculo de L1

Cmo L1 // =____

ABAB m mL1

mL1 = mB-A = ( ) = = 3 4 7 7

1 5 6 6

Punto de paso: (-3, -2)

Ecuacin L1 Ecuacin punto pendiente: + = +

yx

2 73 6

B (-1, 3)

A (5, -4) C (-3, -2)

L1

L3

L2

MATEMATICA BASICA I

105

Se tendr: ( )+ = +y x72 36

7x + 6y + 33 = 0

Clculo de L2

Como L2 // 2____

____ mLmBCBC

= ( )( ) 4

531

23=

== BCBC mm

Ecuacin punto pendiente: yx

+ = 4 55 4

Entonces: ( )5454 +=+ xy ;

Es decir: 0945 =+ yx

Clculo de L3

Como L3 // 3____

_____ mLmACAC

= ( )

41

82

5342

____ ==== CA

ACmm

Ecuacin punto pendiente: yx

= +3 11 4

Entonces: ( )1413 += xy

x + 4y 11 = 0

3) Dadas las ecuaciones de dos lados de un paralelogramo

8x+3y+1=0; 2x+y-1=0 y la ecuacin de una de sus diagonales

MATEMATICA BASICA I

106

3x+2y+3 = 0; determinar las coordenadas de las vrtices de este

paralelogramo.

Solucin:

Calculo vrtice A1 L1= L2: 8x + 3y + 1 = 0

3x + 2y + 3 = 0

Clculo vrtice B:

L1 L3: 3x + 2y + 3 = 0 2x + 0y - 1 = 0

Clculo vrtice C:

L1 L3: 8x + 3y + 1 = 0 2x + y - 1 = 0

Para calcular D: se recurre ________CBAD =

( ) ( ) ( )5,29,53,1____ +=+== CBACBAD D = (8, -17)

L1: 3x + 2y + 3 = 0

L2: 8x + 3y + 1 = 0

L3: 2x + y - 1 = 0

C

B

A

D

(x, y) = (1, -3)

(x, y) = (5, -9)

(x, y) = (-2, 5)

MATEMATICA BASICA I

107

4) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por los vrtices del

tringulo A(-4, 3) B(6, -4) C (-8, -2) y son paralelas a los lados

opuestos.

Solucin:

Calculo de L1:

Como: L1 // ____AC mL = = +1

2 3 58 4 4

Ecuacin punto de paso pendiente: y y0 = (x x0)

donde: (x0, y0) = (6, -4) mL1; 5/4

( ) 046456454 ==+ yxxy

y (x ) x y+ = =54 6 5 4 46 04

Calculo de L2:

Como: L2 // ( )

107

6443

2

____

== mLBC

( )y x x y = + + + =72 8 7 10 36 010

A(-4, 3)

C(-8, -2) B(6, -4)

L2

L3

L1

MATEMATICA BASICA I

108

Calculo de L3:

Como: L3 // ( )

71

142

6842

3

____ === mLBC

( ) 017741013 =++= yxxy

EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. Dado el tringulo de vrtices A(-2,5) , B(-6,-3) y C(4,7). Hallar el

ngulo que forma la mediatriz del lado AB con la mediana trazada

desde C.

2. Hallar el radio de la circunferencia inscrita al tringulo issceles

ABC sabiendo que A(-7,-1), B(5,4) y C(5,-6). R. 10/3 3. Tres rectas L1, L2 y L3 se interceptan en el punto M(-6,4). Si L1 y L2

contienen los puntos (2,2) , (0,0) respectivamente y L2 es bisectriz

del ngulo que hacen L1 con L3. Hallar la pendiente de L3. R. 3/2 , 19/2

4. Encuentre los ngulos interiores del tringulo ABC cuyos vrtices

son A(2,3), B(5,4) y C(6,1).

5. Si P(3,6) y Q(3,4) son los puntos de triseccin del segmento AB,

hallar el ngulo ACB donde C = (7,3).

6. Hallar el rea del exgono regular inscrito en una circunferencia

de radio 1.

MATEMATICA BASICA I

109

IV. RECTA Y CIRCUNFERENCIA 4.1 LA ECUACIN DE LA RECTA: DIVERSAS FORMAS DE SU

ECUACIN Forma punto pendiente.

La ecuacin de la recta L que pasa por el

punto P0(x0,y0) y cuya pendiente es m

esta dado por:

L : y y0 = m(x - x 0)

Forma pendiente-ordenada en el origen.

La ecuacin de la recta L de pendiente m

y que corta al eje Y en el punto P0(o,b)

(siendo b la ordenada en el origen) est

dado por L: y = mx + b.

Forma cartesiana.

La ecuacin de la recta que pasa por 2

puntos P1(x1,y1) y P2(x2, y2) est dado por:

1 2 1

1 2 1

y y y yx x x x

=

MATEMATICA BASICA I

110

Ecuacin simtrica de la recta.

La ecuacin de la recta L corta a los

ejes coordenados X e Y en los puntos

A(a,o) y B(o,b) est dado:

L : y 1a b

+ =x

4.2 ECUACIN GENERAL DE UNA RECTA.

La forma general de la ecuacin de la recta L est dado por L :

Ax + By + C = 0, A, B, C son constantes con la condicin que A, B

y C no son simultneamente nulas.

4.2.1 Observaciones:

1. Si A = 0, B 0, C 0 CyB

= , que es una recta // al eje x.

2. Si A 0, B = 0, C 0 CxA

= , que es una recta // al eje Y.

3. Si A 0, B 0 A CyB B

= x , que es la ecuacin

de la recta con pendiente AmB

= , sigue de las relaciones vistas:

4.2.2 Consideremos 2 rectas:

L 1: A1 x + B1y + C1 = O; L 2 : A2x + B2 y + C2 = 0

MATEMATICA BASICA I

111

las relaciones siguientes son condiciones necesarias y

suficientes para:

1. L1, sea paralela a L 2:

L 1// L 2 1 12 2

A BA B

= en efecto: las pendientes

deben ser iguales o: A A A BB B A B

= =1 2 1 11 2 2 2

2. L 1, sea perpendicular a L 2:

L 1 L 2 A1A2 + B1B1 = 0 aqu las pendientes perpendiculares o:

A B A A B BAB AB

= = + =

1 21 2 1 2

21 2

2

10

4.3 FAMILIAS DE RECTAS Todo conjunto de rectas que satisfacen una nica condicin

geomtrica se llama familia de rectas o haz de rectas.

Sean las rectas L 1 : = A1x , B1 y + C1 = 0 ,

L 2 : = A2x , B2 y + C2 = 0 que se cortan en el punto P0(x0 , y0) = 0 . La familia de rectas. Que pasan por el punto

de interseccin de L 1 y L 2 es L 1 + k L 2 = O; K se denomina

un parmetro: es un valor constante para cada recta, variando de

una recta a otra.

MATEMATICA BASICA I

112

En efecto:

Si ( )x y y es el punto de interseccin de L1 y L2 tendremos: A x B y C yA x B y C

+ + =+ + =

1 1 1

2 2 2

0

0

Luego, para cada valor de K, la recta:

L1+KL2 = [A1 x + B1 y + C1 + K (A2 x + B2 y + C2)] =0

pasar por ( )x,y puesto que:

L KL A x B y C K A x B y C + = + + + + +

1 2 1 1 1 2 2 2

0 0

0

MATEMATICA BASICA I

113

Ejemplos

1. Dar la familia de rectas que pasan por el punto (2,2)

Tomemos 2 rectas que se cortan en (2,2): sean y=x y y=2

La familia solicitada puede darse por: y-x+K(y-2)=0

2. Familia de rectas paralelas de pendiente 3:

Daremos 2 rectas paralelas de pendiente 3 y con ellas

formamos la familia pedida:

y = 3x

y = 3x + 2

Estas dos rectas paralelas se intersectan en el , luego la familia pedida puede ser dada por:

y - 3x + (y - 3x - 2) = 0

MATEMATICA BASICA I

114

Nota. En un sistema coordenado lineal la distancia no dirigida entre 2 puntos se define como el valor absoluto de la longitud del

segmento rectilneo que une estos dos puntos.

EJERCICIOS PARA RESOLVER 1) Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje y

disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje x.

Hallar la ecuacin del lugar geomtrico:

Resp. x 2y 3 = 0

2) Hallar la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se mueve

de tal manera que la suma de sus distancia a los dos puntos A

(3, 0) y B (-3,0) es siempre igual a 8.

Resp. 7x2+ 16y2 = 112

4.4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 4.4.1 La distancia no-dirigida de un punto

Q(x0,y0) a una recta:

L : Ax + By + C = 0 est dado por la frmula

d (Q , L ) = 0 02 2

A By C

A B

+ ++

x

MATEMATICA BASICA I

115

4.4.2 Observacin: Si dos rectas L 1 : = Ax + By + C = 0 ,

L 2 : = Ax + By + D = 0

Son paralelas entonces la distancia entre estas dos rectas,

esta dado por:

d (L 1, L 2) =2 2

C D

A B

+

Verifiquemnos en la forma siguiente:

Distancia de un punto a una recta Preposicin 15: Si L: Ax + By + C = 0 es una recta y P1 = (x1; y1) es un punto de R2; entonces la distancia de P1 a L es:

1 1

2 2

+ +=+

Ax By Cd

A B

Prueba:

[: RQP1 d = PR.cos (porque)es un segmento vertical

Como RL Ax1+By0+C=0

y

x1

x

R (x1; y0)

P (x1; y1)

d

L: Ax + By + C = 0 Q

MATEMATICA BASICA I

116

Cmo B

CAxByBCx

BAyRP

++=++= 11111

cos11B

CAxByd

++=

Ahora: BAtg = pero = (porque los lados de son

perpendiculares a los lados de ) B

ABAtg ==

; A > 0

Tambin:

Si B < 0 > 90 y cos > 0 0cos22

>+

=BA

B

Si B > 0 < 90 y cos > 0 0cos22

>+

=BA

B

Ax By CdA B

+ +=+

1 1

2 2

A

B

MATEMATICA BASICA I

117

EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2,4) y es

perpendicular a la recta que pasa por los puntos (7,3) y (5,1).

2. Los vrtices de un tringulo ABC son A(2,1) , B(4,7) y C(6,3).

Hallar la ecuacin de sus lados.

3. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por e

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