Libro matematica basica

MATEMÁTICA BÁSICA I

1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ

Vice Rectorado de Investigación

"MATEMÁTICA BÁSICA I"

TINS Básicos

DERECHO, ADMINISTRACIÓN, CONTABILIDAD Y CIENCIAS DE LA

COMUNICACIÓN

TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP

Lima - Perú

2007


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© MATEMÁTICA BÁSICA I Desarrollo y Edición: Vice Rectorado de Investigación Elaboración del TINS: • Dr. Juan José Sáez Vega

Diseño y Diagramación: • Julia María Saldaña Balandra

• Fiorella Zender Espinoza Villanueva

Soporte académico: Instituto de Investigación

Producción: Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.


3

PRESENTACIÓN

La matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto

de las Ciencias, desde los albores de la civilización humana sigue

siendo la base del desarrollo científico y tecnológico de nuestro

mundo.

De allí, que en la formación académica, la UTP privilegia el estudio

de la matemática, en la convicción de dotar a sus estudiantes

firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.

En esta proyección se ha desarrollado el presente texto de

instrucción, dirigido a estudiantes de las Carreras de: Derecho,

Administración, Contabilidad y Ciencias de la Comunicación,

para la Asignatura de Matemática Básica I.

Plasma la preocupación institucional de innovación de la

orientación del aprendizaje en educación universitaria, que en

acelerada continuidad promueve la producción de materiales

educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de

estos tiempos.

La estructura del contenido del texto permitirá lograr

conocimientos de Matemática; progresivamente modelada en

función del syllabus de la Asignatura acotada líneas arriba;

contenido elaborado mediante un proceso acucioso de


4

recopilación de temas, desarrollados en diferentes fuentes

bibliográficas.

La conformación del texto ha sido posible gracias al esfuerzo y

dedicación académica del Profesor: Dr. Juan José Sáez Vega. La

recopilación aludida de temas pertinentes, consistentes y

actualizados, para estudiantes del primer ciclo, tiene el siguiente

ordenamiento temático:

Conjuntos básicos y numéricos que permiten aclarar las nociones

de números y su clasificación en naturales, enteros, racionales,

irracionales hasta completar los reales.

Ecuaciones e inecuaciones que son básicas para el estudio del

Álgebra.

Relaciones binarias que son fundamentales para la comprensión

de las funciones básicas al estudio de la Geometría Analítica.

Los lugares geométricos: rectas y circunferencias conectadas a

nociones algebraicas con problemas diversos dentro de la

carrera.

Al cerrar esta presentación debemos reconocer el esfuerzo y

trabajo de los profesores que han permitido la elaboración del

presente texto y la dedicación paciente del Dr. José Reategui

Canga en la revisión de los contenidos.

Vice-Rectorado de Investigación


5

INDICE

CAPITULO I: LOGICA SIMBOLICA Y CALCULO PROPOSICIONAL SEMANA 01

1. Enunciados ………………………………………………………. 8 2. Proposiciones Simples …………………………………………. 8 3. Relaciones Proposicionales ……………………………………. 10

SEMANA 02 4. Proposiciones Compuestas: Leyes del Algebra Proposicional 16 5. Regla de Inferencia ……………………………………………… 20 6. Cuantificadores ………………………………………………….. 24 7. Negación de Cuantificadores ………………………………….. 25

CAPITULO II: ALGEBRA DE CONJUNTOS

SEMANA 03 1. Determinación de un Conjunto ………………………………… 31 2. Clases de Conjuntos ……………………………………………. 33 3. Relaciones entre conjuntos ……………………………………. 36 4. Representación gráfica de los Conjuntos ……………………. 40

SEMANA 04 5. Operaciones con los conjuntos ………………………………… 43

SEMANA 05 6. Problemas con los conjuntos …………………………………… 47

CAPITULO III: ALGEBRA DE NUMEROS

1. Teoría de los Números ………………………………………….. 63 SEMANA 06

2. Exponentes y Radicales ………………………………………… 76 CAPITULO IV: MATRICES

1. Definición. Generalidades ………………………………………. 113 2. Suma de matrices ……………………………………………….. 114

SEMENA 07 3. Multiplicación de matrices por una escalar……………………. 115 4. Multiplicación de matrices ………………………………………. 115

SEMANA 08 5. La matriz de identidad ………………………………….……….. 117 6. Problemas de matrices ...………………………………………… 121

SEMANA 09 7. Determinación de la matriz A …………………………………… 127 8. Problemas de determinantes ….……………………………….. 131

SEMANA 11

CAPITULO V: ALGEBRA DE ECUACIONES 1. Desigualdad: Propiedades ……………………………………… 188 2. Inecuaciones ……………………………………………………... 190 3. Resolución de ecuaciones con radicales ……………………… 194


6

SEMANA 12 4. Ejercicios: Ecuaciones Exponenciales ……………………….. 196 5. Ejercicios: Ecuaciones Logarítmicas …………………………. 203

CAPITULO VI: RELACIONES

SEMANA 13 1. Relación binaria: propiedades …………………………………. 205 2. Relaciones de equivalencia ……………………………………. 207 3. Partición de un Conjunto ……………………………………….. 208

SEMANA 14 4. Postulado de Cantor-Dedekind ………………………………… 212 5. Sistema Cartesiano Rectangular ……………………………… 214 6. Carácter de la Geometría Analítica …………………………… 218

SEMANA 15 7. Distancia entre puntos ………………………………………….. 219 8. Pendiente de una recta …………………………………………. 224 9. Discutir y graficar una recta ……………………………………. 231

CAPITULO VII: LA CIRCUNFERENCIA

SEMANA 16 1. Ecuación de la Circunferencia …………………………………. 269 2. Familias de Circunferencias .……………………………….….. 289

CAPITULO VIII: LA PARABOLA

SEMANA 17 1. Definiciones ……………………………………………………… 305 2. Ecuación de la Parábola ……………………………………….. 306

SEMANA 18 3. Ecuación de la Tangente a una Parábola ……………………. 325


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CAPÍTULO I

LÓGICA SIMBÓLICA Y

CÁLCULO PROPOSICIONAL

El autor que definió por primera vez en la historia fue Russell: “Una

proposición es todo lo que es cierto o lo que es falso”. Uno de los fines

del cálculo de proposiciones es la solución de ciertas contradicciones de

la matemática; así, apela al llamado principio del circulo vicioso de todo

lo que afecta a una colección total y no, a una parte de la misma; tal

como lo indica Burali-Forti: “Si una colección tuviera un total, tendrá

miembros que sólo se podrían definir en función de ese total, y por tanto

dicha colección no tiene total”.

Partiendo de esto, los autores de los Principia (diremos de pasada que

ese es un tipo de “descripción” ampliamente analizado en su obra)

separaron las funciones proporcionales en tipos según posibles

argumentos. Pero para los que prefieren expresar el axioma en el

lenguaje de la lógica clásica, los autores dicen que su “axioma de

reducibilidad es equivalente a la hipótesis de que „toda combinación o

desintegración de predicados es equivalente a un solo predicado„” en la

inteligencia de que “la combinación o desintegración se supone dada en

contenido”.

Algunos hechos trascendentes y singularmente importantes; como es la

estructura matemática supone la necesidad de razonar en forma válida.

Es necesaria una absoluta claridad y distinguir todo lo concerniente al


8

razonamiento deductivo válido; significado de palabras usuales,

proposiciones, definiciones, teoremas, eliminación de complicaciones,

eliminar falacias y ambigüedades.

La prestancia y calidad de la matemática es necesaria para evitar el

rechazo del estudiante a esta ciencia formal, básico para el desarrollo de

otras ciencias, denominadas fácticas. Es la misión de todo maestro:

Educar y formar sin rechazo al estudiante.

1.1 ENUNCIADOS

Son palabras que se emiten para comunicarse con otras

personas. Ej:

1. ¿Estuviste de viaje?

2. Pase adelante y siéntese.

3. El clima está fresco.

4. 8 es un número impar.

5. Vamos al estadio.

6. Antonio es amigo de Lizet.

Se trata de 6 proposiciones: una pregunta, una orden y cuatro

declarativas. Las primeras no son verdaderas, ni falsas; las cuatro

últimas pueden ser verdaderas o falsas; a las que se conocen

como: proposiciones.

1.2 PROPOSICIONES

Son enunciados de las que podemos afirmar, sin errores, que son

verdaderas o falsas.


9

Podemos decir con propiedad que: Proposición es el

significado de toda oración declarativa. Toda proposición se

representa con una letra minúscula: p; q; r; s; t ................

Ejemplos:

p : El sol está radiante.

q : Carlos es estudioso.

r : Fernando es un buen profesional.

s : Lizet es bonita.

t : La rosa es bella.

u : Está lloviendo.

De todas las oraciones declarativas podemos afirmar: si son

verdaderas o falsas.

Negación de Proposiciones.- La negación de la proposición p es

~ p (no p); obtenida anteponiendo el adverbio “no” a la primera.

Ejemplo:

p : Hace frío

~p : No hace frío.

~q : Carlos no es deportista.

q : Carlos es deportista.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Indique 10 ejemplos de enunciados.

2. Diga cuáles son proposiciones y represente con una letra.

3. Niegue las proposiciones indicadas.


10

1.3 RELACIONES PROPOSICIONALES

1.3.1 EL CONECTIVO CONJUNCIÓN ( ).- Se dice que, dos o

más proposiciones quedan relacionadas mediante el conectivo

conjunción ( ) si se les interponen la letra “y”. Ejemplo.

p : Está lloviendo.

q : Hace frío.

p q : Está lloviendo y hace frío.

q : Carlos estudia.

s : Carlos es deportista.

q r : Carlos estudia y es deportista.

Principio del valor de verdad.- La conjunción es verdadera, sí y

sólo si, ambas proposiciones son verdaderas.

Considera la corriente eléctrica; si pasa la corriente es verdadera y

sí se interrumpe es falsa.

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

La conjunción es verdadera, sí y sólo sí, ambas proposiciones son

verdaderas.

Ejemplo: Demostrar el valor de verdad de las proposiciones:

1) p ~ q 3) p q

2) ~ p ~ q 4) ~ p q


11

1.3.2 EL CONECTIVO DISYUNCIÓN ( ).- Se dice, que, dos o

más proposiciones forman una disyunción, si se les interponen la

letra “o”, con sentido incluyente. Ejemplo:

p : me compro zapatillas.

q : me compro una camisa.

p v q : me compro zapatillas o una camisa.

Principio del valor de verdad.- La relación de disyunción es

falsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son falsas.

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F


12

La disyunción es falsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son

falsas.

1.3.3 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( ).- Dos o más proposiciones

forman una disyunción exclusiva ( ) si se les interponen la letra

“o” y al final se agregan las palabras “pero no ambos” (as).

Principio del valor de verdad

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

El conectivo disyunción exclusiva; es verdadera sí y sólo sí, una

de las proposiciones es verdadera (V) y la otra es falsa (F).

1.3.4 EL CONECTIVO IMPLICACIÓN O CONDICIONAL ().-

Con las proposiciones p y q; se denomina relación de implicación

o condicional (pq); cuando se le antepone a la primera

proposición la palabra “si” y se les interponen la palabra

“entonces”.

Ejemplo:

p : Estudio mis asignaturas.

q : Aprobaré mis exámenes.

p q : Sí, estudio entonces aprobaré mis exámenes.

p : Antecedente

q : Consecuente


13


Para demostrar el principio del valor de verdad, utilicemos un

ejemplo muy humano con un niño:

p : Juanito se porta bien.

q : Le regalaré un chocolate.

p q : Sí, Juanito te portas bien entonces te regalaré un

chocolate.

- Juanito se portó bien (V); se le regala el chocolate (V) es

verdadera (V).

- Juanito se portó bien (V); no se le regala el chocolate (F); es

injusto, luego es falsa (F).

- Juanito se portó mal (F); como se le quiere y engríe, se le

regala el chocolate (V); es verdadero (V).

- Juanito se portó mal; no se le regala el chocolate; es justo,

luego es verdadero (V).

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

La implicación o condicional, es falsa (F) sí y sólo sí; la primera

proposición (antecedente) es verdadera (V) y la segunda

(consecuente) es falsa (F).


14

1.3.5 EL CONECTIVO BICONDICIONAL O DOBLE

IMPLICACIÓN ( ).- Dadas las proposiciones p y q, se denomina

bicondicional o doble implicación a la proposición

(p q) (q p).


p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

La bicondicional o doble implicación es verdadera (V) sí y sólo sí,

ambas proposiciones son verdaderas (v) o falsas (F).

1.3.6 EL CONECTIVO CONJUNCIÓN NEGATIVA ( ).- Dadas las

proposiciones p y q; se dice que forman una conjunción negativa

sí y sólo sí; en el conectivo p q se niegan ambas proposiciones:

(~p ~q) (p q)


p q p q ~p ~q ~p ~q p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

F

V

F

V

F

F

F

V

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

V

La conjunción negativa ( ) es verdadera (V) sí y sólo sí, ambas

proposiciones son falsas (F).


15


1. Dadas las siguientes proposiciones:

Si: p : Hace frío

q : La manzana es agradable

r : Juan es inteligente

s : Lorena es bonita

Representar con oraciones declarativas las proposiciones:

1. p q 7. ~p q

2. r s 8. s ~r

3. p s 9. ~p s

4. s q 10. s ~q

5. q s 11. ~q s

6. r q 12. r ~q

3. Indique (5) cinco ejemplos de proposiciones:

Niegue los (5) cinco ejemplos que propuso.

Con los ejemplos indicados represente con oraciones declarativas:

a) p q g) ~p q

b) t r h) ~r t

c) s p i) ~s ~p

d) q s j) q ~s

e) p q k) ~q p

f) s t r) ~s ~t


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1.4. PROPOSICIONES COMPUESTAS

Si una proposición compuesta, se relaciona con otras

proposiciones simples o compuestas mediante signos de

colección: paréntesis ( ); llaves { }; corchetes [ ]; o barras / / se

les separan con punto y coma (;).

Ejemplos:

p : está lloviendo.

q : La fruta es deliciosa.

r : Juan es estudioso.

(p ~q) r

Si está lloviendo y la fruta no es deliciosa; entonces Juan es

estudioso.

p (q ~r)

Está lloviendo; o, la fruta es deliciosa sí y sólo sí Juan no es

estudioso.


p : está nevando.

q : Antonio es inteligente.

r : La rosa es bella.

Representar con oraciones declarativas:

1. p (q r)

2. (r ~q) v p

3. (p ~r) v (q p)

4. (p r) (q ~p)


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TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIÓN, CONTINGENCIA Y LEYES DEL

ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

A. TAUTOLOGÍA.- Se dice que una proposición compuesta es

tautológica; sí y sólo sí; en sus tablas de verdad, todas son

verdaderas sin que interesen las tablas de verdad de las

proposiciones simples.

B. CONTRADICCIÓN.- Se dice que una proposición compuesta,

forma una contradicción, sí y sólo sí, sus tablas de verdades,

todas son falsas, sin que interesen las tablas de verdades de las

proposiciones simples.

C. CONTINGENCIA.- Se dice que una proposición compuesta, forma

una contingencia, sí y sólo sí, sus tablas de verdades, no son

tautológicas ni contradictorias.


Demostrar sus tablas de verdades, si son: tautológicas,

contradictorias o son una contingencia.

1. (~ p q) (p ~ q)

2. ~ (p q) (~p ~q)

3. ~ (p ~q) (p q)

4. [(p q) (p q)] p q

5. ~ [~ (p q)] (~p ~ q)


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1.4.1 LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

1. Idempotencia

p p p

p p p

2. Involución

~ (~p) p

3. Asociativa

(p q) r p (q r)

(p q) r p (q r)

4. Conmutativa

p q q p

p q q p

5. Distributiva

(p q) r (p r) (q r)

(p q) r (p r) v (q r)

6. Identidad

6.1 p f f 6.2 p v p

6.3 p f p 6.4 p V v

7. Complemento

7.1 p ~p f 7.2 p ~ p v

7.3 ~ ~ p p 7.4 ~f v

7.5 ~ v f


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8. Leyes de Morgan

a) La negación de la conjunción es equivalente, sí y sólo sí, a

las negaciones de la disyunción

~ (p q) ~ p ~ q

b) La negación de la disyunción es equivalente, sí y sólo sí, a

las negaciones de la conjunción ~ (p q) ~ p ~ q

c) La negación de la implicación es equivalente, sí y sólo sí, a

la primera proposición y la segunda proposición negada.

~ (p q) p ~ q

9. Implicaciones asociadas

Directa p q

Recíproca q p

Contraria ~ p ~ q

Contra-recíproca ~ q ~ p

p q Recíproca q p

~ p ~ q Recíprocas ~ q ~ p

Se puede demostrar, mediante tablas de verdades que las contra-

recíprocas: son tautológicas.

Contr

ari

as

Contr

ari

as


20

Demostrar:

1) (p q) (~ q ~ p)

2) (~ p ~ q) (q p)

Si la implicación directa es verdadera, no se puede asegurar

respecto a la verdad o falsedad de la implicación: recíproca o

contraria.

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VÁLIDO

Lo más importante en la matemática es el razonamiento

deductivo; los teoremas se enuncian mediante una implicación,

cuyo antecedente es la hipótesis y el consecuente la tesis; de

acuerdo con lo establecido al analizar las condicionales

conjugadas se puede afirmar la validez del teorema directo, el

contra recíproco también se cumple; nada se puede asegurar del

teorema recíproco y contrario.

El razonamiento es deductivo, sí y sólo sí las premisas son

evidentes para una conclusión evidente. No tiene sentido afirmar

que un razonamiento es verdadero o falso; debe expresarse que

es válido o no.

1.5. REGLA DE INFERENCIA

Se denomina Regla de inferencia a todo esquema válido de

razonamiento independientemente de la interpretación de las

proposiciones simples; es decir, toda regla de inferencia es

tautológica; y son:


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a) Inferencia de la separación (modus ponens)

p q

p .

q

b) Principio de la inferencia negativa (modus tolens)

p q

q

p

c) Principio del silogismo

p q

q r

p r


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a) Utilizando las leyes del Álgebra Proposicional, simplificar las

siguientes proposiciones:

1. (p F) (p p)

2. (p V) (p ~p)

4. (p F) (p V)

5. p (p q)

6. p (~p q)

7. Es falso que, si Carlos es estudioso entonces Juana es

inteligente.

8. No es cierto que, la fruta es madura y el árbol es alto.

9. No es cierto que, el río es caudaloso o María no es bonita.

10. No es verdad que, si las aves vuelan entonces las flores no

son bellas.

11. No es verdad que, Carlos es buen estudiante y María no es

bonita.

12. Demostrar que si el siguiente Silogismo es Tautológico:

- Si Carlos es deportista y Ana es estudiosa; entonces las

flores son bellas; y,

- Si las flores no son bellas; entonces Carlos no es

deportista y Ana es estudiosa;

Entonces:

Si, Ana no es estudiosa ni Carlos es deportista; entonces

las flores son bellas.


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13. - Si, está lloviendo; entonces hace frío o está nevando; y,

- Si, no está nevando o hace frío, pero no ambos,

entonces no está lloviendo.

Entonces:

Si, hace frío sí y sólo sí está nevando; entonces no está

lloviendo; y,

Si, no llueve ni hace frío; entonces está nevando.

14. Escriba la contrarrecíproca de la proposición:

Si, hace frío entonces está lloviendo.

Si, no está nevando entonces está lloviendo.

Si, las flores no son bellas entonces la fruta no es

agradable.

Antonio es deportista y Ana no es estudiosa.

15. Demostrar la validez de las inferencias:

15.1 [ (p q) p] ↔ p

15.2 [ (p q) ~p] ↔ ~q

15.3 [ { (p q) (q r) } { (~p q) r } ] ↔ ~p

15.4 [ {p (q ~r) } {q (r p) } ] ↔ ~ (p q)


24

1.6. FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES

Toda proposición expresa una cualidad o característica a un

sujeto particular. Una misma, cualidad, calidad o característica

puede predicarse para varios sujetos; en cada caso se obtendrá

una proposición. Si P es una cualidad, calidad o característica;

denotaremos con p(x) al conjunto de todas las proposiciones

singulares obtenidas al sustituir x por un sujeto; quedando definida

la función preposicional con una variable. p(x) no es una

proposición.

A partir de funciones preposicionales es posible obtener

proposiciones generales que se conocen como cuantificadores.

Una proposición queda cuantificada; sí y sólo sí, alguna cualidad o

característica se cumple para algunos o todos los sujetos.

1. Cuantificador Universal [ x : p(x)]

Cuando una cualidad o característica se cumple para todos

los sujetos:

x : p(x) Todos los hombres son mortales.

x : q(x) Todas las tortugas tienen caparazón.

2. Cuantificador Existencial [ x : p(x)]

Una proposición queda cuantificada existencialmente; sí y

sólo sí, alguna cualidad o característica se cumple para

algunos sujetos.

x : p(x) Algunas damas son virtuosas.

y : q(y) Algunos jóvenes son deportistas.

z : r(z) Algunos perros muerden.


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1.7. NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES

1. La negación del cuantificador universal es, sí y sólo sí,

existencial; y la proposición queda negada

~ [ x: p(x)] ↔ x : ~ p (x)

2. La negación del cuantificador existencial, es Universal y la

proposición queda negada.

~ [ x : p(x)] ↔ x: ~ p (x)

Ejemplos:

1. Negar todos los jóvenes son deportistas.

Rpta. Algunos jóvenes no son deportistas.

2. Algunas aves vuelan.

Rpta. Todas las aves no vuelan.

3. Si algunas damas son virtuosas entonces todos los días está

lloviendo.

~ [ x : p (x)] y: q(y)] x : p (x) y : ~ q (y)

Rpta. Algunas damas son virtuosas y algunos días no está

lloviendo.

4. Todos los jóvenes son deportistas y algunas aves tienen

plumas.

~ ( x: p(x) y: q(y)] ↔ x: ~ p(x) y: ~ q(y)

Rpta. Algunos jóvenes no son deportistas, o todas las aves

no tienen plumas.


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Enunciados

1. Indicar diez ejemplos de enunciados.

2. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes a la universidad.

3. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al Perú.

4. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al sistema solar.

5. Proposiciones

De los ejemplos indicados anteriormente, indique cuáles son

proposiciones y anteponga una letra: p; q; r ..................

6. Negación de proposiciones

Los ejercicios anteriormente citados, negar y anteponer: ~ p; ~ q;

~ r; ...................

7. Con los ejercicios del grupo II, relacionar mediante el conectivo

conjunción. Represente sus tablas de verdades.

8. Los ejercicios del grupo III relacionar, mediante el conectivo

disyunción. Representar las tablas de verdades.

9. Ponga ejemplos de proposiciones compuestas con los conectivos:

conjunción y disyunción. Demuestre sus tablas de verdades.

Ejemplo:

9.1. (p q) r

p (q r)

Responda con oraciones declarativas.

10. Indique ejemplos con oraciones declarativas de proposiciones

compuestas con los conectivos: conjunción, disyunción e

implicación.


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Ejemplo:

10.1. (p q) (q r)

10.2. (p q) (p r)

Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de

verdades.

11. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con los

conectivos: conjunción, disyunción, implicación y doble

implicación.

Ejemplo:

11.1. (p q) (r ↔ q) } (p r)

11.2. { p ↔ ~(q r) } (r q)

Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de

verdades.


conectivos: conjunción, disyunción, implicación, doble implicación

y conjunción negativa, ejemplo:

Ejemplos:

12.1. { (p ↓ q) (q ~ r) } ↔ (p ~ q)

12.2. { (p ↔ q) ↓ (r ~ p) } ↔ (~ q p)

Responda sus ejemplos con oraciones declarativas. Demuestre

sus tablas de verdades.


conectivos; conjunción, disyunción, implicación, doble implicación;

conjunción negativa y disyunción exclusiva.

Ejemplos:

{ (p q) ↓ (q r) } ↔ { (p ~ r) v (q ~ p)

{ (p ~q) v (r ~p) } ↓ { (r ~q) ↔ (q r) }


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CUANTIFICADORES

1. Cuantificar universalmente y existencialmente las proposiciones:

p : Las flores son bellas

q : Carlos es deportista

r : María es estudiosa

s : Antonio es libre

Representar con oraciones declarativas, utilizando las

proposiciones indicadas.

1.1 x : p(x) 1.2 x : p(x)

1.3 y : ~ q(y) 1.4 y : q(y)

1.5 z : r(z) 1.6 z : ~ r(z)

1.7 u : s (u) 1.8 u : ~ s (u)

Las proposiciones:

(1.1) y (1.3) relacionar mediante la conjunción.

(1.2) y (1.4) relacionar mediante la disyunción.

(1.5) y (1.4) relacionar mediante la implicación.

(1.6) y (1.8) relacionar mediante la doble

implicación.

(1.7) y (1.2) relacionar mediante la conjunción

negativa.

(1.5) y (1.1) relacionar mediante la disyunción

exclusiva.

Utilizar las Leyes de Morgan en las relaciones proposicionales

anteriores libremente.


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Representar con oraciones declarativas las proposiciones:

x : p(x) y : ~ q (y)

y : q (y) p z ~ r (<)

x ~ p (x) ↔ {q z: ~ r(2)}

{p y : q(y)} v { y: ~ q(y) ~ p}

{p u : ~ s(y) } ↔ {q ↓ z : ~ r(z) }

Con las proposiciones:

p : las flores son bellas.

q : El caballo es de paso.

r : Fernando es buen profesional.

s : Lizeth es bonita.

Negar las proposiciones compuestas y representar con oraciones

declarativas la respuesta:

x : p (x) y : ~ q (y)

x : ~ p(x) y : q (y)

x : p(x) ↔ z : ~ r (z)

z : r(z) y : ~ q (y)

u : s(u) z : ~ r (z)

u : ~ s(z) z : r (z)

z : ~ r(z) u : s (u)

Simplificar las proposiciones, utilizando las leyes del Álgebra

Proposicional.

1) ~ (p ~ q) 2) ~ (~ p q)

3) ~ (p ~ q) 4) ~ (~ p ~ q)

5) ~ (~ p ~ q) 6) ~ (~ p ~ q)


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Simplificar las siguientes proposiciones:

1. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las

violetas son azules.

2. No es verdad que, hace frío y está lloviendo.

3. No es verdad que, él es bajo o galán.

4. No es verdad que, hace frío está lloviendo.

5. No es verdad que, si está lloviendo entonces hace frío.

6. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las

violetas no son azules.

Con las leyes del Álgebra Proposicional simplificar:

1. (p q) ~ p

2. p (p q)

3. ~ (p q) (~p q)

Demostrar los siguientes silogismos:

1. Si, Carlos es inteligente o Lizeth es bonita; entonces Ana es

responsable; y

Ana no es responsable y Carlos es inteligente; sí y sólo sí,

Lizeth es bonita; entonces

Ana no es responsable ni Carlos es inteligente; sí y sólo sí,

Lizeth es bonita.

2. Está lloviendo o hace calor, pero no ambos; y hace frío; y

Si, no hace frío ni calor; entonces está lloviendo; entonces

hace calor o hace frío, pero no ambos; sí y sólo sí, no está

lloviendo.


31

CAPÍTULO II

ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

CONCEPTO PRIMITIVO

Son palabras que se aceptan sin definir por ser naturales al ser humano.

2.1. CONJUNTO

En 1772 Kurt Grrellng escribió el primer libro referente a la teoría

de los conjuntos. Por su resonancia mundial, el rey condecoró con

el titulo de caballero a Kurt Grrellng. Sin embargo nadie le

entendió y todos les repetían que estaba loco. Efectivamente Kurt

Grrellng llegó a un estado de esquizofrenia y murió en un

sanatorio psiquiátrico. En 1942 los aviones alemanes se apoderan

del cielo Europeo al no poder ser derribados por la artillería aliada.

Lo que llevó a la formación de un equipo de científicos que

estudiaron la cibernética y la telemetría; con lo que los aviones

alemanes fueron derribados fácilmente y el ejército Alemán y sus

aliados fueron derrotados.

La noción conjunto, es un concepto primitivo, se acepta sin

definir. Sin embargo, los jugadores de un equipo de fútbol;

lapiceros; alumnos en el aula; un cesto de naranjas; los

departamentos del Perú; los países de Europa; etc. Nos dan ideas

de conjuntos. Los conjuntos se representan con letras

mayúsculas: A; B; C; D; E; .......


32

Cada jugador; cada lapicero; cada alumno; cada naranja; cada

departamento; cada país; son elementos del conjunto y se

representa con letras minúsculas, entre llaves.

A = {a; b; c; d; e}

B = {a; b; c; d;...}

C = {a; b; c; d;...}

Se puede también representar con palabras:

D = {Jorge, Manuel, Javier, Antonio}

E = {España, Inglaterra, Francia, Holanda, Italia}

DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN

Un conjunto se determina, por extensión; nombrando a cada uno

de sus elementos.

Números pares : N = {2; 4; 6; 8;10;12;..... }

Polígonos : P = {cuadrado, rombo, rectángulo,

Trapecio,.......}

Damas : Q = {Rosa, Sara, Lizet, Alexandra,......}

DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓN

Un conjunto se determina por comprensión, mediante una

cualidad o calidad; que especifique si un elemento pertenece o no

pertenece al conjunto. Se representa con la sigla x/x y se lee: x tal

que x; la primera x representa la cualidad o calidad y el segundo,

al elemento del conjunto:


33

A = {x/x países del Asia}

B = {y/y departamentos del Perú}

C = {z/z capitales de los países Americanos}

Si representamos por extensión:

A = {Japón, China....}

B = {Lima, La Libertad, Ayacucho.....}

C = {Lima, Quito, La Paz}

2.2. CLASES DE CONJUNTOS

Para un estudio más detallado, encontramos los siguientes tipos o

clases de conjuntos:

2.2.1 CONJUNTO NULO O VACÍO: { } ,

Es aquel que carece de elemento; mediante una cualidad, calidad

o característica.

Ejemplo:

A = {x/x, Hombres que tiene alas}

Eso no significa que no exista Lima o Francia. Sin embargo con

las características del ejercicio: no existe y se representa, en

cualquiera de las dos formas:

A = { } A = ; de ninguna manera A = { }, el cual

representaría a un conjunto unitario.


34

Podemos indicar otros ejemplos:

1. A = {x/x; 7 < x < 8} para un número natural. No existe

ningún número entre 7 y 8; que sea natural. Para los

números racionales, no sería nulo.

El ejemplo dado se representa:

A = { } A =

2. B = {y/y, fábrica de aviones en el Perú}

3. C = {z/z, automóviles en el salón}

4. También se puede representar: P(x) : Un extraterrestre en

la Universidad.

D = {x/x; p(x)} D = { }

2.2.2 CONJUNTO UNITARIO

Es aquel que contiene un solo elemento,

Ejemplos:

A = { a }

B = {x/x; Bandera del Perú}

C = {y/y; Rector de la U.T.P.}

D = {z/z; g < x < 11} para los números naturales.

2.2.3 CONJUNTO FINITO

Es aquel que se puede determinar por extensión a todos sus

elementos.

Ejemplos:

A = {a, b, c, d}

B = {x/x; 2 x 10} B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

C = {y/y, países americanos}

D = {z/z, polígonos}


35

2.2.4 CONJUNTO INFINITO

Son aquellos que no se pueden determinar por extensión a todos

sus elementos (se le recomienda leer el texto: “Matemáticas e

imaginación” por Edward Cassner).

Por lo general ejemplos de conjuntos infinitos se dan con

expresiones matemáticas;

Ejemplos.

1. A = {x/x números naturales}

A = {0; 1; 2; 3 ................. + }

B = {y/y números enteros}

B = {- ...... –2; -1; 0; 1; 2 ..........+ }

C = {2/2 puntos en una Recta}

C = {a, b, c, d, e, f, g, .......}

2.2.5 CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL ( )

Es un conjunto que incluye a los conjuntos para un análisis

particular. Se deja constancia, que un conjunto universal; no es

una totalidad, mucho menos un universo.

Ejemplo:

1. Si: A = {0; 1; 2; 3}

B = {2; 3; 5; 6}

C = {4; 6; 7; 8}

= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8};ó; U = Numeros naturales

2. A = {x/x; Ayacuchanos}

B = {y/y; Piuranos}

C = {z/z; Tacneños}

= {u/u; Peruanos}


36

3. A = {x/x; estudiantes sanmarquinos}

B = {y/y; estudiantes villarrealinos}

C = {z/z; estudiantes Utepinos}

U = {u/u; estudiantes universitarios}

2.3. RELACIONES ENTRE LOS CONJUNTOS

2.3.1 SUB-CONJUNTO ( )

Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto B es

subconjunto de A; y se representa B A; si todos los elementos

de B; pertenecen al conjunto A.

Ejemplo:

1. A = {0; 1; 2; 3}

B = {0; 1; 2; 3}

2. A = {a; b; c; d}

B = {b; c; d}

A B (A no es sub-conjunto de B)

3. A = {x/x frutas}

B = {y/y naranjas, uvas, limas}

B A

2.3.2 SUB-CONJUNTO PROPIO O PARTE PROPIA ( )

Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto B es parte

propia de A; y se representa B A todos los elementos de B son

elementos de A; que contiene todos los elementos de B, que

pertenecen al conjunto A, existen elementos del conjunto A, que

no pertenecen a B.


37

Ejemplo:

A = {0; 1; 2; 3; 4} B = {2; 3; 4} C = {2; 3; 4}

En la relación sub-conjunto; no, necesariamente algunos

elementos de A pertenecen a B.

Ejemplos:

1. A = {11; 12; 13; 14} y B = {11; 12; 13; 14}

B A = {11; 12; 13; 14}

BA

Este ejemplo especifica que la relación sub-conjunto es

amplia.

2. A = {a; b; c; d} y B = {a; b}

B A

2.3.3 CONJUNTOS IGUALES (=)

Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto A es igual al

conjunto B; y se representa A = B; sí A y B tienen elementos

comunes.

{A B B A} A = B

Ejemplo:

A = {0; 1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3}

A = B

2.3.4 CONJUNTO POTENCIA (2)

Se denomina así, al conjunto formado por todos los sub-conjuntos,

del conjunto A.


38

Ejemplo:

A = {a; b; c}

2A = {A {a; b}; {a, c}; {b,c} ; {a}, {b} ; {c}; }

23 = 8 sub-conjuntos

2.3.5 CONJUNTOS COORDINABLES ( )

Dados los conjuntos A y B; se dice que existe una relación de

coordinabilidad entre los elementos de A y B; si y sólo sí, todos los

elementos de A se relacionan de uno a uno con los elementos de

B; sin que falten ni sobren dichos elementos. A este tipo de

conjuntos, se les dice que están en relación Bionívoca [No

necesariamente deben tener elementos comunes]

Ejemplo:

1. A = {0; 1; 2; 3}

B = {a; b; c; d}

A B Coordinables

2. A = {x/x ciudadanos peruanos}

B = {y/y número del DNI}

2.3.6 CONJUNTOS DISJUNTOS ( )

Dados los conjuntos A y B; se dice que los elementos de A y B;

son disjuntos, si A no contiene ningún elemento B; B tampoco

contiene ningún elemento de A.

BA

B)(Disjuntos


39

Ejemplo:

1. A = {0; 1; 2; 3}

B = {a; b}

A B Disjuntos

2. A = {x/x damas}

B = {y/y caballeros}

A B Disjuntos

2.3.7 PERTENENCIA ( )

Es la relación de elemento a conjunto.

Ejemplo:

A = {0; 1; 2}

0 A (cero pertenece al conjunto A)

1 A (uno pertenece al conjunto A)

2 A (dos pertenece al conjunto A)

3 A (tres no pertenece al conjunto A)

No se puede representar:

{1} A {no es correcto; porque, {1} es un conjunto}

{1} A {es lo correcto}

2.3.8 CONJUNTOS COMPARABLES

Dos o más conjuntos son comparables, sí y sólo si A B

B A; no son comparables si A B v B A.


40

Ejemplo:

1. Si A = {0; 1; 2} B = {0; 1} .- Entonces B es comparable

con A; pues, B es un sub-conjunto de A.

B A.

2. Si C = {0; 1} y D = {1; 2; 3}; C y D no son comparables;

pues O C y D D; 3 D y 3 C.

2.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS

2.4.1 DIAGRAMAS DE VENN - EULER

Es la representación gráfica de los conjuntos, mediante

polígonos. Estos diagramas están sujetos a las siguientes

premisas:

1 Premisa N° 1.- El conjunto Universal o Referencial se

representa con el rectángulo.

U

2 Premisa N° 2.- Los otros polígonos se pueden representar al

interior del rectángulo; jamás al contrario.

U U

A

A B


41

U

3 Premisa N° 3.- Los otros polígonos se representan

intersecados; jamás separados, así sean disjuntos.

A B

C

CORRECTO

INCORRECTO

A

B

C

A

B

A B

C


42

DIAGRAMAS LINEALES

Se utilizan para los sub-conjuntos.

Ejemplo:

1. A B B A

C 2. A B B C B

A

3. A = {1} B = {1; 2} C = {1; 2; 3}

D = {1; 2; 4}

C D B

A

4. A = {1} B = {2} C = {1; 2}

C

A B


43

5. A = {1} B = {2} C = {1;2} D = {1;2;3}

E = {1;2;4}

D E

A B

2.5. OPERACIONES CON LOS CONJUNTOS

2.5.1 REUNIÓN O UNIÓN ( )

Dados los conjuntos A y B; se denomina reunión entre los

elementos de A y B, se representa A B = C; al conjunto C, que

contiene por lo menos un elemento de A o de B. (No existe

reunión entre conjuntos nulos).

Ejemplo:

1. A = {a} B = { } A B =

A

B

2. A = {a; b; c} B = {c; d}

A B = {a; b; c; d}

A B

A B

a

b

c d c

C


44

En la reunión se marcan todos los polígonos

Por comprensión se puede definir:

A B = {x/x, x A v x B}

a) Cumplen con la propiedad conmutativa.

A B = B A

Concretamente: A (A B) B (A B)

b) Cumplen con la propiedad asociativa.

(A B) C = A (B C)

A B

A B

C C

2.5.2 INTERSECCIÓN (A B)

Dados Los conjuntos A y B; se denomina intersección entre los

elementos de A y B; y, se representa A B = C; al conjunto C,

que contiene los elementos comunes de A y B.

Ejemplo:

Si A = {a; b; c; d} y B = {d; e; f}

A B = {d}


45

A B

A B = {d/d , d A d B} por comprensión.

1. Cumplen con la propiedad conmutativa.

A B = B A (A B) A = (A B) B

2. Cumplen con la propiedad asociativa.

(A B) C = A (B C)

A B A

B

=

C C

3. Cumplen con la propiedad distributiva con relación a la

reunión.

A (B C) = (A B) (A C)

A B A

B

=

C

C

a b c

e

f

d


46

2.5.3 DIFERENCIA (–) O COMPLEMENTO RELATIVO

Dados los conjuntos A y B; se denomina diferencia entre los

elementos de A y B; y, se representa A – B = C; al conjunto C, que

contiene los elementos de A, que no pertenecen al conjunto B.

Notación: A – B, ó , A \ B, ó , C

Ejemplo:

1. A = {0; 1; 2; 3} y B = {3; 4; 5}

A – B = {0; 1; 2}

A B

2.5.4 COMPLEMENTO (A’)

Dados el conjunto Universal (U) y el conjunto A, se denomina

Complemento y se representa A‟ = U – A; a los elementos del

conjunto universal que no pertenecen al conjunto A.

Ejemplo: U = {a; b; c; d} A = {a; b}

A‟ = {c; d}

A‟ = {x/x, x U x A

U

A A‟ = U

A A‟ =

U‟ =

(A‟)‟ = A

A’

A

0 1 2

4

5

3


47

2.5.5 DIFERENCIA SIMÉTRICA ( )

Dados los conjuntos A y B; se denomina diferencia simétrica y se

representa A B = C; al conjunto que contiene todos los

elementos de (A – B) U (B – A)

A – B B – A

A B


1. Diga, por qué las nociones: Elemento “Conjunto” “pertenencia”

son términos no definidos.

2. Las afirmaciones siguientes, represente connotaciones:

A no incluye a B.

B contiene al conjunto de A.

a no pertenece a B.

e es elemento de A.

C no es sub-conjunto de B.

B es parte propia de A.

3. Discuta y aclare las siguientes afirmaciones:

3.1 Si A = {x/x, 4x = 12} b = e entonces ¿b = A?

3.2 Si se tiene A = {a; b; c; d} Qué afirmaciones son correctas y

cuáles incorrectas?


48

3.2.1. a A 3.2.5 {b} A

3.2.2. c A 3.2.6 d A

3.2.3. d A 3.2.7 c A

3.2.4 {b} A 3.2.8 b A

4. En las siguientes expresiones enuncia con oraciones declarativas;

luego, representa en forma tabular:

A = {x/x; x3 = 64}

B = {x/x; x – 5 = 8}

C = {x/x; x es un número positivo y x es un número

negativo}

D = {z/z; z es un elemento de la palabra AYACUCHO}

Representar los siguientes conjuntos, constructivamente:

A : está formado por las letras a; b; c; d

B : es un número par positivo.

C : es un país sudamericano.

D = {x/x, x – 2 = 7}

E = {x/x, Presidente del Perú luego de Alan García}

¿Cuáles son conjuntos finitos y cuáles son infinitos?

A = {2; 3; 4 ........... 99; 100}

B = {x/x, meses del año}

C = {y/y, departamento del Perú}

D = {z/z, habitantes de la tierra}

E = {u/u, número par}

F = {x/x,0 < x 5 para todo número racional}

G = {y/y, 3 y 20}


49

¿Cuáles de estos conjuntos son iguales?. Explique:

A = {x/x, es una letra de la palabra TOCATA}

B = {x/x, las letras de la palabra TACTO}

C = {x/x, es una letra de la palabra COTA}

D = {a; c; o; t}

Indique la similitud o diferencia entre las palabras: “vacío” “cero” y

“nulo”.

Entre las expresiones que siguen ¿cuáles son diferentes?

; {o} ; { }; p

Cuáles de estos conjuntos son nulos:

A = {x/x, en el alfabeto, letra después de z}

B = {x/x, x2=9 3x=5}

C = {y/y; y y}

D = {z/z, 2 + 8 = 8}

Hallar todos los sub-conjuntos de: A = {a; b; c; d}

Definir los siguientes conjuntos de polígonos en el plano Euclidiano y

cuáles son sub-conjuntos propios.

A = {x/x, es un cuadrado}

B = {x/x, es un rectángulo}

C = {x/x, es un rombo}

D = {x/x, es un cuadrilátero}


50

Todo conjunto A tiene un sub-conjunto propio?. Analice.

Conjunto vacío , entonces A = .

Si se tienen los conjuntos A = { }; B = {c, d} ; C = {a; b; c}

D = {a; b} ; E = {a; b; d}

Establecer la verdad o falsedad de las afirmaciones:

1. D C 6. E C

2. B A 7. A C

3. B E 8. D E

4. E D 9. C = B

5. E A 10. B D

Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

B = {4; 5; 6; 7; 8; 9} C = {2; 4; 8; 9}

D = {4; 5} ; E = {2; 4} ; F = {2}

Sea x un conjunto desconocido.- Cuáles de los conjuntos:

A; B; C; D; E; F pueden ser iguales al conjunto x con las

siguientes relaciones:

1. x A y x B 3. x A y x C

2. x B y x C 4. x B y x C.

Si se tienen las relaciones:

A subconjunto de B; B sub-conjunto de C; suponiendo a

A; b B y c C; además de A; e B , f C; cuáles

de las afirmaciones son verdaderas:


51

1. a C 4. d B

2. b A 5. e A

3. c A 6. e A

Graficar el diagrama lineal para los conjuntos:

A = {a; b; c} B = {a; b} C = {a; c}

Trazar un diagrama lineal para los conjuntos:

A = {a; b; c} B = {a; b} C = {b}

Trazar un diagrama lineal para los conjuntos:

R = {r; s; t} S = {s} T = {s; t; u}

Sean los conjuntos:

Q = {x/x, es un cuadrilátero}

R = {x/x, es un rectángulo}

H = {x/x, es un rombo}

S = {x/x, es un cuadrado}

Trazar el diagrama lineal.

Se tienen los conjuntos:

V = {d} ; W = {c; d} ; X = {a, b, c}

Y = {a; b} ; Z = {a; b; d}


Sean los conjuntos: V = {d} ; W = {e, d} ; X = {a; b; c} ;

Y = {a; b} y, Z = {a; b; d}



52

Sea S un conjunto cualquiera. Construir el diagrama lineal para los

conjuntos:{ }; S, y U

Si se tienen los conjuntos:

(1) A B ; (2) A B ; (3) A = B

(4) A B ; (5) A B

Trazar los diagramas de Venn-Euler correspondiente.

Examinar el siguiente diagrama lineal de los conjuntos: A; B; C y D.

A

B

C D

Determinar seis afirmaciones del ejercicio anterior.

Construir diagramas de Venn-Euler para los

conjuntos: A; B; C; D del diagrama lineal en el ejercicio

(4.23)

Qué se puede afirmar del ejercicio { {2; 3} }

Dado el conjunto A = {2; {3; 4}; 3} cuáles son

afirmaciones incorrectas y por qué?


53

1. {3; 4} A ; 2. {3; 4} A

3. { {3; 4} } A ; 4. 4 A

5. {4} A ; 6. 4 A

Hallar el conjunto potencia del conjunto

S = {3; {1; 4} }

Cuáles de las afirmaciones se definen en un desarrollo

axiomático de la teoría de conjuntos:

1. Conjunto ; 2. Sub-conjunto ; 3. Disjunto ; 4. Elemento;

5. Es igual a ; 6. Pertenece a ; 7. Superconjunto.

Representar en notación conjuntista, las afirmaciones:

1. x no pertenece al conjunto A.

2. R es subconjunto de S.

3. d es elemento de E.

4. F no es sub-conjunto de C.

5. H no incluye a D.

6. A es subconjunto de D.

7. A y B son coordinables.

8. A y B son disjuntos.

Si B = {0; 1; 2} hallar todos los sub-conjuntos de B.

Si F = {0 {1; 2} }. Hallar todos los sub-conjuntos de F.

Si A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6}

Hallar y graficar con los diagramas de Venn-Euler.


54

1. A B 2. A C 3. B C

4. B B 5. A B 6. A C

7. B C 8. U

Si A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6}

Hallar y graficar con el diagrama de Venn-Euler y el

diagrama lineal.

1. (A – B) ; 2. (C – A) 3. (B – C)

4. (B – A) ; 5. (A – A) 6. (A B)

7. (A C) ; 8. (B C)

Si U = {1; 2; 3 ………8; 9}

A = {1; 2; 3; 4} ; B = {2; 4; 6; 8}

C = {3; 4; 5; 6}

Hallar y graficar con el diagrama de Venn-Euler:

1. A‟ 2. B‟ 3. C‟

4. (A C)‟ 5. (A C)‟ 6. (A – B)‟

7. (C – B)‟ 8. (A B)‟ 9. (B C)‟

10. (A C‟)‟ 11. (A B)‟ 12. (B C‟)‟

13. (B‟ – C‟)‟

Si A = [4; 8[ ; B = [7; 12]

C = {3; 4; 7; 13; 14}

Hallar y graficar las operaciones:

1. (A‟ – B‟) 2. (C‟ A) 3. (B‟ A)‟

4. (A‟ B)‟ (A C‟)‟

5. (A‟ B)‟ (C‟ B)


55


1. Una persona consume café y té durante el mes de mayo, toma

café 20 días y té 23 días. Cuántos días consume café y té

simultáneamente. El mes de marzo tiene 31 días.

Observemos y graficamos.

Sumamos: 20 + 23 =43

x

x

x

12

3143

3143

Rpta: 12 días tomo té y café

2. Se han realizado 200 informaciones entre los estudiantes de San

Marcos, 103 estudian matemática; 90 Física y 89 Química,

Matemática y Física 32; Matemática y Química 48; Física y

Química 26. Cuántos estudian las 3 asignaturas y cuántos una

sola asignatura.

Grafiquemos y analicemos:

24

20073103

x

x

Rpta: 24 las tres asignaturas y 142 una sola asignatura

x té café

x

10+x

26-x 48-x

32-x 45+x

15-x

90 103

89

24

69 34

39

2

8

24


56

3. A y B son dos conjuntos: A B = 58, A – B = 23. Hallar A B.

4. En una Academia trabajan 72 personas. 40 hablan Inglés y 56

Alemán. Cuántos hablan un solo idioma y cuántos ambos idiomas.

5. De 120 amas de casa; 72 compran arroz; 64 verduras y 36 carne,

12 los tres productos. Cuántos han comprado exclusivamente dos

productos.

6. Se tienen los conjuntos A y B. A = 3x+ y; B = 2y + 3; y

A B = x + y = 4. Cuántos elementos tiene A B?

7. Se ha realizado una encuesta entre 10,000 personas. 70%

sintonizan radio; el 40% leen periódico, y el 10% observan

televisión. Entre los que sintonizan radio, el 30% leen periódico y

el 4% observa televisión; el 90% de los que observan televisión,

lee periódicos; del total 2% lee periódico, observa televisión y

sintoniza radio. Cuántos no leen periódico, no sintonizan radio, ni

observan televisión. Cuántos leen periódico únicamente?

8. Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3;4};

B = {1; 4; 13; 14} ;

C = {2; 8} ;

D = {10; 11; 12} ;

Hallar: graficar los resultados:

8.1) A B

8.2) A C

8.3) (D C)‟

8.4) B‟ D

8.5) (C A)‟

8.6) (C A)‟ B

8.7) (C A)‟ (C B)

8.8) C‟ (A B)

8.9) (C A)‟ (C D)

8.10) C (A D)‟

8.11) C |(A B)‟

8.12) (A B) – D‟

8.13) (A B) – D

8.14) (A – B)‟ (B – D)

8.15) (A B)‟ (B – D)‟

8.16) (A B) – (A B)‟

8.17) (A B)‟ – (C D)

8.18) (A‟ C) (B – D‟)‟

8.19) (A – B‟)‟ (C‟ – D)

8.20) (A B‟)‟ – (C‟ D)‟


57

9. Sean A y B dos conjuntos de tal modo:

A B = 34; A – B = 20; B – A = 16.

Hallar: 5 {A – 4B}

10. Se hizo una encuesta entre 200 persona: sabían 56 Español; 60

Alemán y 84 Francés. Español y Alemán 16; Español y Francés

20 y Alemán y Francés 10. Los tres idiomas 6.

a. Cuántos no estudiaban idiomas;

b. Cuántos exclusivamente Francés.

11. De 134 personas encuestadas. 94 conocen Inglés; 70 Alemán y

46 ambos idiomas. Cuántos no conocen ambos idiomas.

12. Si se tienen los conjuntos:

A = 3x + y; B = 3y + 3; y A B = x + y

Hallar: A B.

13. Entre 240 estudiantes: 144 estudian Análisis Matemático; 128

Biología; 72 Ciencias Sociales; y 24 las tres asignaturas. Cuántos

estudian exclusivamente dos asignaturas.

14. Se tienen los conjuntos:

A = {a; c; d} ; B = {e; f; g} y C = {c; e; p; k}

Hallar: A (B C)

15. Si U = {a; b; c; d; e}

A B = {a; b; c; d} ; A B = {a; c} y A – B = {6}. Hallar A y B.


A = {5; 6; 7; 8} B = {6; 7; 1; 2}

C = {4; 5; 7; 9}

Hallar:

16.1) A B.

16.2) (A B) C


58

16.3) A (B – C)

16.4) C – (A‟ B)‟

17. Si A B = {1; 2; 3; 4}

A B = {1; 3} y A – B = {2}

Hallar A y B.

18. Si A B = {a; b; c; d}

A B = {a; c} y A – B = {b}

Hallar A y B.

19. Si A = {-1; 0; 1} B = {-2; -1; 0; 1; 2}

C = {-3; 1; 2}.

Hallar y graficar.

19.1) B‟

19.2) A‟

19.3) (A B)‟

19.4) A‟ B‟

19.5) B C‟

19.6) A‟ c

19.7) (B C)‟

19.8) (A‟ B)‟

20. Se tienen los conjuntos:

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

A = {1; 2; 3; 4; 5} ; B = {2; 4; 6; 8; 10}

Hallar y graficar:

20.1) A B

20.2) A B

20.3) A – B

20.4) B – A

20.5) A‟

20.6) B‟

20.7) (A B)‟


59

20.8) A‟ B‟

20.9) (A B‟)‟

20.10) (A B‟)‟

21. Si U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

A = {1; 4; 5; 6} ; B = {2; 4; 6}

Hallar y graficar:

21.1) A‟

21.2) B‟

21.3) A‟ – B

21.4) B‟ – A

21.5) A‟ B‟

21.6) (A‟ B‟)‟

21.7) A B‟

21.8) A‟ B‟

22. Si U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10;11; 12; 13; 14}

A = {1; 2; 3; 4} B = {1; 4; 13; 14} C = {2; 8}

Hallar y graficar:

22.1) A B

22.2) A C

22.3) B D

22.4) D C

22.5) A‟

22.6) A‟ B

22.7) A‟ B‟

22.8) (A B)‟

22.9) A‟ C‟

22.10) (A D)‟

22.11) (A C)‟

22.12) (A B) – C

22.13) (A – B) (B – A)

22.14) (A B) - (A B)

22.15) (A – B) (B – A)


A = {1; 2; 5; 7; 8} B = {2; 3; 4; 7; 9}

C = {1; 3; 5; 6; 8} U = {x/x x N; x 9}

Hallar y graficar:

23.1) [ (A B) – (A C) ]‟

23.2) [ (A B) – (A C) ]‟

23.3) [ (A - B) (A – C) ]‟


60

23.4) [ (A‟ – B) (A – C) ]‟

23.5) [ (C – B‟) – (A‟ C) ]‟

23.6) (A‟ – B‟) (B‟ C)‟

24. Si se tienen las relaciones entre los conjuntos A y B

A B = {1; 2; 3; 4; 5} ; A‟ = {2; 3; 5; 7}

B‟ = {1; 4; 7} ; U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Hallar y graficar:

A y B

25. Graficar las siguientes operaciones con los conjuntos: A; B y C.

25.1) A B.

25.2) A C.

25.3) (A B) C.

25.4) (A B) C.

25.5) A‟ B‟

25.6) A – B

25.7) (A B)‟

25.8) (A B)‟

25.9) A A‟

25.10) A A‟

25.11) A (B C)

25.12) A (B C‟)

26. Demostrar gráficamente que, sí se cumplen las propiedades con

los conjuntos: A; B y C.

26.1) A B = B A.

26.2) A B = B A.

26.3) (A B) C = A (B C).

26.4) (A B) C = A (B C).

26.5) A (B C) = (A B) (A C).

26.6) A‟ B‟ = (A B)‟

26.7) A – B = A B‟

26.8) A‟ B‟ = (A B)‟

26.9) (A B) C = (A C) (B C)


61

26.10) (A B) – C = (A – C) (B – C)

26.11) (A B) – C = (A – C) (B – C)

26.12) A (A B)

26.13) B (A B)

26.14) (A B) A

26.15) (A B) B

26.16) A (B C) = (A B) (A C)

27. En un Instituto de Idiomas estudian 200 alumnos: Italiano 56;

Inglés 60; Francés 84; Italiano e Inglés 16; Italiano y Francés 20;

Inglés y Francés 20; Italiano y Francés 10; los tres idiomas 6.

1. Cuántos no estudiaban ningún idioma.

2. Cuántos estudiaban un solo idioma.

3. En un salón de 68 estudiantes 48 juegan fútbol; 25 básket; y

30 natación. 6 de ellos practican los tres deportes.

4. Cuántos practican un solo deporte.

5. Cuántos practican dos deportes.

6. De 240 alumnos, 144 estudian Matemática; 128 Física y 72

Química; 24 estudian los tres cursos. Cuántos estudian dos

cursos.


62


63

VECTORES

CONCEPTOS BÁSICOS

PAR ORDENADO.- Llamaremos par ordenado a dos objetos cualquiera

a y b; que denotaremos por (a,b), donde “a” es llamado la primera

componente y “b” la segunda componente.

Ejemplo.-

Son pares ordenados (1,4), (-2,3), (Pedro , María), (hombre, mujer).

Dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales si sus primeras

componentes son iguales y las segundas también.

En forma simbólica es:

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.-

Consideremos dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y

B, al conjunto de los pares ordenados (a,b) donde “a” pertenece al

conjunto A, y “b” pertenece al conjunto B y denotaremos por A x B.

Es decir :

Sean y , el producto cartesiano de A y B es:


64

=

Si , denotaremos y para nuestro caso tomaremos ,

es decir y a sus elementos llamaremos pares ordenados de

números reales.

Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas de ejes X e Y, y a

los puntos de este sistema de coordenadas cartesianas, denotaremos

por , etc.

Gráfico:

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.-

Consideremos dos puntos y , a la distancia de a

denotaremos por y es dado por la fórmula:

Es decir: En él , por

Pitágoras si tiene:

Además se tiene:


65

Reemplazando (2) en (1) se tiene:

SUMA DE ELEMENTOS EN RxR=R2

Dado dos puntos y de , la suma de elementos de

se define del modo siguiente:

MULTIPLICACIÓN DE UN NUMERO REAL POR UN ELEMENTO DE

R2

Sean R y , el producto de un escalar r por un elemento

de que denotamos por y se define como:

ESPACIO TRIDIMENSIONAL

EJES CORDENADOS.- Los ejes de coordenadas son generalmente

identificados por las letras X, Y, Z y hablaremos frecuentemente del eje

X, del eje Y y del eje Z.

La dirección positiva se indica por medio de una flecha, los ejes de

coordenadas tomados de dos en dos determinan tres planos llamados

planos coordenados; planos XY, plano XZ y plano YZ, estos planos

dividen al espacio tridimensional en ocho regiones llamadas octantes.


66

Considere un punto p cualquiera en el espacio tridimensional, a través de

p se construye planos perpendiculares a cada de los ejes coordenados.

Sea A el punto en el cual el plano perpendicular al eje X intercepta en

dicho eje.

Sea B el punto en el cual el plano perpendicular al eje Y intercepta en

dicho eje.

Sea C el punto en el cual el plano perpendicular al eje Z intercepta en

dicho eje.

Los números , son las coordenadas de p y representa

al punto p.


67

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.-

La distancia no dirigida entre dos puntos y en el

espacio tridimensional está dado por:

Dentro de las aplicaciones de la matemática a la física e ingeniería se

usan frecuentemente cantidades que poseen magnitudes y direcciones;

por ejemplo tenemos la fuerza, velocidad, y aceleración y

desplazamiento, a estas cantidades se representan geométricamente por

un segmento de recta dirigida al cual llamaremos vector.

Consideremos un punto P u un punto Q y al segmento de recta dirigido

de P a Q denotaremos por se llama vector de P a Q y denotaremos

por: .


68

VECTORES BIDIMENSIONALES.-

DEFINICION.-

Un vector bidimensional es una pareja ordenada de números reales

, donde “x” se llama la primera componente y, “y” se llama la

segunda componente.

a) OBSERVACION

1) A los vectores bidimensionales se le representa por letra

minúsculas y en la parte superior se le coloca un segmento de

recta o una flecha, es decir:

2) Al conjunto de los vectores bidimensionales denotaremos por ,

tal que:

3) Al vector cero simbolizaremos por .

4) Si , entonces el opuesto del vector quedará

definido por: .

5) El vector fila, sus componentes se escriben una a continuación de

la otra: .

6) El vector columna, sus componentes se escriben una debajo de la

otra:

Donde es la primera componente.

es la segunda componente.


69

REPRESENTACIÓN GEOMETRICA DE UN VECTOR

BIDIMENSIONAL

Un vector bidimensional es representado, mediante un

segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es cualquier punto

del plano cartesiano y el extremo final es el punto cuyas coordenadas

son , tal como se muestra en la figura.

VECTOR DE POSICION O RADIO VECTOR.-

Al vector cuyo punto inicial se encuentra en el origen del sistema de

coordenadas y el extremo libre puede ubicarse en cualquier cuadrante

del plano cartesiano, se denomina, vector de posición o radio vector, así

como se muestra en la figura.

OBSERVACIÓN.- Al vector lo representaremos por cualquier punto

siendo su dirección indefinida.


70

Ejemplo.- Representar gráficamente al vector , cuyo punto inicial es

, sabiendo que su representación de posición es:

1)

2)

3)

VECTOR TRIDIMENSIONAL

DEFINICION.-

Un vector tridimensional es una terna ordenada de números reales

, donde son las componentes del vector.

Así como las ternas ordenadas , determinan a los

vectores en donde 3,4,5 y 1,-3,2, son sus componentes.

a) OBSERVACIONES.-

1) A los vectores tridimensionales se denota por:

, , , …, etc.

2) Al conjunto de vectores tridimensionales denotaremos por: , de

modo que:

3) Al vector cuyas componentes son llamaremos vector cero y

simbolizaremos por: .


71

4) Si , al puesto del vector quedara definido

por: .

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN VECTOR

TRIDIMENSIONAL.-

Sea un vector en el espacio, al cual lo representaremos

mediante un segmento dirigido tal como ; donde es el punto

inicial y es el extremo libre del vector (tal como

se muestra en la figura).

VECTOR DE POSICIÓN O RADIO VECTOR.-

Un vector es de posición, si el punto inicial coincide con el

origen de coordenadas y el extremo del vector está ubicado en cualquier

punto del espacio, tal como se muestra en la figura.


72

VECTOR n-DIMENSIONAL.-

Un vector n-dimensional es una n-upla ordenada de números reales que

denotaremos por , donde ,

Al conjunto de vectores n-dimensional representaremos por , es decir:

Si

Al vector cero denotaremos por:

El vector opuesto de n-dimensiones quedara definido por:

OPERACIONES CON VECTORES.-

IGUALDAD DE VECTORES.-

Dos vectores son iguales si y sólo si, sus componentes correspondientes

toman los mismos valores.

Es decir: Si entonces escribimos:

Si , y escribiremos

así:

Si no son iguales, entonces escribiremos:

para algún


73

INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA IGUALDAD DE

VECTORES.-

VECTORES IGUALES.- Dos vectores son iguales si tienen la misma

dirección, el mismo sentido, el mismo tamaño, el mismo punto inicial y al

mismo punto terminal se denota por =

VECTORES EQUIVALENTES.- Dos vectores son equivalentes si

tienen la misma dirección, el mismo sentido, el mismo tamaño pero

diferente punto inicial y se denota

Ejemplo.- Calcular el valor M = 7x + 5y si donde =

(5x + 3y, 4x-y-4),


74

Solución

Aplicando el concepto de igualdad de vectores.

≠ ⟺ (5x + 3y, 4x – y -4) = (4x +2y + 5, 3x + y +7)

5x + 3y = 4x + 2y + 5 x = 7

4x – y -4 = 3x + y +7 de donde y = -2

M = 7X + 5Y = 7(7) + 5(-2) = 49 -10 = 39 M = 39

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.-

Sea λ un escalar (λ € R) y sea un vector cualquiera entonces

llamaremos producto de λ por denotado por: λ. , al vector

resultante cuyas componentes deben ser multiplicadas por λ, esto es:

Si € ⇒ = ( luego λ = λ.( = (λ λ

Si € ⇒ = ( , luego λ = λ.( = (λ λ

en general si € luego λ = λ.( = (λ λ

Ejemplo.- Sea = un vector donde:

1. A(1,1), B(4,3), λ = 2 graficar los vectores y λ


75

Solución

= = – A = (4,3) – (1,1)

= (3,2)

λ = 2(3,2) = (6,4)

λ = -2(3,2) = (-6,-4)

2. Si = (2,3) graficar 3 y -3

Solución

3 = 3(2,3) = (6,9)

-3 = -3(2,3) = (-6,-9)

PROPIEDADES.-

Para todo es escalar r,s € R y los vectores , se verifican las

siguientes propiedades.

1) r. es un vector. 2) (r + s) = r + s

3) r( + ) = r + r 4) r(s. =

5) 1. =


76

SUMA DE VECTORES.-

Dados los vectores y , el vector resultante suma + se obtiene

sumando sus correspondientes componentes, esto es:

Si , € ⇒ = ( , = (

= (

Si , € ⇒ = ( , = (

= (

Si , € ⇒ = ( , = (

= (

Ejemplo.-

Si = (3,5) y = (1,4) entonces: = (3,5) + (1,4) = (3 + 1,

5 + 4) = (4,9)

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE VECTORES.-

En la interpretación geométrica de la suma de vectores consideramos los

métodos siguientes:

1er. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.-

Se dibujan las representaciones de los vectores desde el mismo

punto (se hace coincidir los puntos terminal de y inicial de ) y se


77

completa el paralelogramo. La diagonal trazada desde el punto común

representa .

2do. MÈTODO DEL TRIÀNGULO.-

Los vectores se grafican uno a continuación del otro, luego el

vector resultante se obtiene del punto inicial del vector con el

punto final del vector .

3er. MÈTODO DEL POLIGONO VECTORAL.-

La resultante de la suma de varios vectores se obtiene llevando los

vectores una a continuación de otro haciendo coincidir el extremo de uno

con el origen del otro, para finalmente determinar la resultante uniendo el

origen del primer vector con el extremo del último vector.


78

PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES

Para todo vector se verifica las siguientes propiedades:

1) es un vector.

2) = , conmutativa

3) , asociativa

4) vector, existe un único vector tal que , neutro

aditivo.

5) vector, existe un único vector tal que ,

inverso aditivo.

DIFERENCIA DE VECTORES

Consideremos los vectores ; a la diferencia de estos vectores se

define de la siguiente manera:

Si = ( , = ( , de donde:

Si = ( , = ( , de donde:


79

Ejemplo.- Sean )3,1(a

y ).8,4(b

Hallar 3.( baab

26)2

Solución

)2,6()6,2()8,4()3,1.(2)8,4(2ab

)2,14()16,8()18,6()8,4(2)3,1.(626 ba

)8,4()2,14()6,18()2,14()2,6.(326)2(3 baab

INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DIFERENCIA DE

VECTORES.-

A los vectores ba

, lo representamos por los segmentos dirigidos

PQ y PR con la condición de tener el tener es decir el origen

común en el punto P, entonces la diferencia de ba

, es decir: ba

quedara representado por el segmento dirigido QR puesto que

abab

)( .

Ejemplo.- Dado la representación de a

y b

dibuje ba

, usando la

definición de resta y la regla del triangulo para la suma.


80

Solución

Dibujando los vectores ,ABa

,ACb

desde el mismo punto inicial A.

Ahora dibujamos b

Empleando la regla del triangulo para la suma se dibuja ba

LONGITUD O MÓDULO O NORMA DE UN VECTOR.-

La longitud o módulo de un vector a

es el número real no negativo,

representado por a

y es definido por la raíz cuadrada de la de los

cuadrados de sus componentes, esto es:

i) Si a

2V 1(aa

, 2a ) de donde: 2

2

2

1 aaa

cuya representación gráfica es:


81

Si 1(aa

,

2a ) es un vector de posición cuyo módulo y

representación gráfica es:

ii) Si a

3V 1(aa

, 2a , 3a ) de donde:

2

3

2

2

2

1 aaaa

cuya representación gráfica es:

Si 1(aa

, 2a , 3a ) 3V es un vector de posición cuyo

módulo y representación gráfica es:


82

Sobre el plano XY se tiene 1(ad

, 2a ) donde su módulo

es: 2

2

2

1 aad . De donde al incluir el eje Z se tiene el

módulo del vector 1(aa

, 2a , 3a ), es decir:

2

3

2

2

2

1

2

3

2

aaaada

2

3

2

2

2

1 aaaa

En general si a

nV 1(aa

, 2a , …, na ) de donde su

módulo es:

n

i

in aaaaa1

222

2

2

1 ...

Ejemplo 1.- Si 3(a

,4) su módulo es:

52516943 22a

Ejemplo 2.- Si (a

1, 3, 4) su módulo es:

261691a

Ejemplo 3.- Si (a

2, 4) y (b 3, 5) entonces:

7,5158,9415,98,45,334,2.232 ba

7449257522

Ejemplo 4.- Hallar el valor de M= 2x + 6y- 3z si el módulo

de zyzxxa 2,35,28

es igual a cero.


83

Solución

Como a

3V y 0a

0,0,00a

, es decir:

zyzxxa 2,35,280,0,0

de donde

2

Luego

PROPIEDADES DEL MODULO DE UN VECTOR

Se verifican las siguientes propiedades:

1. vector

2.

3. vector,

4. (desigualdad triangular)

Demostración

1. Si = (

, como entonces

En forma similar si

= (


84

2. Si

Si = ( entonces

. Por lo tanto

En forma similar si ⇒ = ( entonces

Por tanto

Si

Si

Si

3. Si = ( entonces: su módulo

es:

Por lo tanto

Si = ( , entonces:

. Por lo tanto:

4. La desigualdad triangular lo demostraremos posteriormente en

base a la desigualdad de CAUCHY-SCHWARZ.


85

VECTOR UNITARIO.-

Se llama vector unitario cuyo módulo es la unidad, es decir: es un

vector unitario si y solo si = 1.

Ejemplo.- El vector es unitario por que =

TEOREMA

Dado un vector entonces el vector es un vector unitario.

Demostración

Sea = ( entonces:

es unitario si

Es decir

Por lo tanto como entones es unitario.

En forma similar para los vectores

Ejemplo.- Si , por lo tanto:

es unitario.

DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN R2

Cada vector no nulo = ( y su representación como radio vector le

corresponde una dirección dad por la medida del ángulo formado por el

vector y el eje X positivo en sentido antihorario.


86

Si = (

... (1)

además y de (1) se tiene:

= (

Por lo tanto, un vector queda determinado por su magnitud y su

dirección.

Si es un vector unitario es decir

Luego si es un vector unitario se puede expresar en función de es

decir:

Y el ángulo se denomina ángulo de inclinación o ángulo de dirección

del vector

OBSERVACION.- la medida del ángulo se obtiene de la forma

siguiente.

Mediante un ángulo de referencia y haciendo uso de una tabla de

valores se halla el valor de con para el cual ,

...(1)


87

Si 1er. cuadrante:

, 2do. cuadrante:

, 3er. cuadrante:

, 4to. cuadrante:

Ejemplo.- Hallar un vector de longitud y que tiene la misma

dirección de un vector que forma un ángulo de 30° con el sentido positivo

del eje X.

Solución

=


88

Ejemplo.- Expresar el vector en términos de su magnitud y

su ángulo de inclinación o dirección.

Solución

Como , de donde

Calculando se tiene 4to. Cuadrante

Donde

Luego

Por lo tanto

CONBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.-

Sea un conjunto de vectores, llamaremos combinación

lineal de los vectores , a la expresión siguiente:

Donde

DEFINICION

Diremos que el vector esta expresado en combinación lineal de los

vectores y si existen escalares , tal que:


89

Ejemplo.- Expresar al vector en combinación lineal de los vectores y

siendo

Solución

El vector es expresado en combinación lineal de los vectores y si

existen , R tal que: .

(2,2)=

De donde resolviendo el sistema si tiene ,

Luego la combinación lineal es:

DEFINICION

Un conjunto de n vectores se dice que son linealmente

independiente, si toda combinación lineal igualada al vector nulo.

, , implica que

Cuando los vectores no son linealmente independiente se dice que son

linealmente dependientes.


90

OBSERVACION

1) Los vectores , son linealmente dependiente cuando los

vectores y son colineales.

2) Los vectores , son linealmente independiente cuando los

vectores y son no colineales.

Ejemplo

1) Determinar la dependencia o independencia lineal de los vectores

, .

Solución

Utilizando la definición correspondiente, formularemos la

combinación lineal y determinaremos las escalares respectivos

siempre que sea posible.

, de donde

por igualdad


91

resolviendo el sistema se tiene , donde es

arbitrario.

Entonces , y son linealmente dependiente.

2) Determinar la dependencia o independencia lineal de los vectores

Solución

En forma similar al ejemplo anterior expresaremos a los vectores

, y en combinación lineal.

de donde

por igualdad

resolviendo el sistema se tiene:

Entonces los vectores , y son linealmente independiente.

VECTORES FUNDAMENTALES

Consideremos los vectores y en al cual denotaremos así:

, estos vectores son unitarios y se representan a partir

del origen de coordenadas, situadas sobre los ejes coordenados en

sentido positivo al de los ejes; a estos vectores se les

denomina vectores fundamentales.


92

Todo vector de se puede expresar en combinación lineal de los

vectores fundamentales ,

Sea pero

de donde: =

A los números , se denominan componentes escalares de y los

vectores se denomina componentes vectoriales del vector .

En forma similar consideremos los vectores y en

al cuál denotaremos así:

Estos vectores son unitarios y se representan a partir del origen de

coordenadas, situada sobre los ejes coordenados en sentido positivo al

de los ejes; a estos vectores se les denomina vectores fundamentales.

Todo vector de es decir:

, puede expresarse como

combinación lineal de los vectores

fundamentales. En efecto:

Ejemplo.- Expresar el vector como combinación lineal de los

vectores y , siendo , .


93

Solución

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

El producto escalar (o producto interno) de dos vectores está dado

por la suma de los productos de sus componentes correspondientes.

Es decir: Sí

Si

En general para se tiene:

Ejemplo.- Sí y entonces

-

OBSERVACION.- El producto de dos vectores es un número real.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

Consideremos tres y un número real cualquiera; entonces:

1)


94

2)

3)

4)

5)

6)

Ejemplo.- Sí , y . Hallar

Solución

VECTORES PARALELOS Y ORTOGONALES

a) Dos vectores y son paralelos si uno de ellos es igual al otro

vector multiplicando por un número real, es decir:

tal que

Ejemplo.- Sí , , entonces , tal que

Ejemplo.- Los vectores y no son paralelos porque

, tal que


95

OBSERVACIÓN.- El vector nulo es paralelo a todos los vectores, en

efecto: , vector, , entonces: y son paralelos.

CONSECUENCIA.- Si entonces ,

, ahora si y son diferentes de cero, se tiene de la

igualdad.

de donde ,

Luego tenemos que:

es decir si entonces existe proporcionalidad entre las componentes

correspondientes.

Ejemplo.- Determinar si los vectores y son

paralelos.

Solución

Si debe existir proporcionalidad entre las componentes

correspondientes:

. Luego y son paralelos.

CRITERIO DE COLINEALIDAD.- Un conjunto de punto A, B y C son

colineales si y sólo si pertenecen a una misma recta.


96

Por lo tanto, tomando de dos en dos se obtienen vectores paralelos,

.

Ejemplo.- Determinar si los puntos y son

colineales.

Solución

Los puntos A, B y C son colineales situados de dos en dos se generan

vectores paralelos

Luego los puntos A, B y C son colineales.

b) Dos vectores y son ortogonales si se verifica la siguiente

relación.

Así por ejemplo, los vectores y son ortogonales,

en efecto:

…(1)

(2)

Comparando (1) y (2) se tiene:


97

Si los vectores y son ortogonales entonces denotaremos por

, es decir:

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA ORTOGONALIDAD DE

VECTORES

Como los vectores y son las

diagonales del paralelogramos cuyos lados

son y , entonces si los vectores y son

ortogonales esto significa que el

paralelogramos es un rectángulo, por lo

tanto sus diagonales son congruentes.

Otro modo de interpretar la ortogonalidad de los vectores y es:

TEOREMA.- Los vectores y son ortogonales sí y sólo sí

Demostración

i) Si (por demostrar)

Por hipótesis se tiene que y son ortogonales entonces

(por definición de ortogonalidad).


98

Luego desarrollando los cuadrados de la

igualdad se tiene: de donde

ii) Si (por demostrar)

Como

De donde

Esta relación nos indica que los vectores a y b son ortogonales

(por definición de ortogonalidad).

Ejemplo.- Determinar cuáles de los pares de vectores dados son

ortogonales.

1)

entonces y son

ortogonales.

2)

3) entonces y

no son ortogonales.

TEOREMA

Los vectores son ortogonales sí y solo sí


99

PROYECCION ORTOGONAL Y COMPONENTE

Consideremos dos vectores y no nulos, construyamos un triángulo

rectángulo cuya hipotenusa sea el vector y su base sea el vector

(donde ) paralelo al vector de modo que los lados del triángulo

quedará representado así:

Hipotenusa al vector y por catetos a los vectores , donde

Como o lo que es lo mismo entonces

. , de donde es el único número real, como ,

significa que el triángulo cuya hipotenusa es el vector tendrá por

catetos a los vectores: ; En consecuencia: al vector

que es paralelo al vector , llamaremos proyección ortogonal del vector

sobre el vector .

Al vector expresaremos en la forma siguiente: , de

donde es el vector unitario en la dirección del vector , en tanto que el

número es la longitud dirigida del vector proyección, al número

llamaremos componente del vector en la dirección del vector .


100

DEFINICIONES

i) Sean y dos vectores, donde , definimos la

proyección ortogonal del vector sobre el vector y los

representamos del modo siguiente:

ii) Sean y dos vectores, donde , al número que es

la longitud dirigida del vector le llamaremos la

componente del vector en la dirección del vector y

denotaremos así:

RELACIÓN ENTRE PROYECCIÓN Y COMPONENTE

Consideremos dos vectores y donde por definición sabemos

que:

Al vector expresaremos en la forma siguiente:

, como

Entonces se tiene:


101

i) Si la , la y tienen la misma dirección.

ii) Si la , la y tienen direcciones opuestas.

iii) Si la quiere que .

OBSERVACION.- La diferencia entre proyección ortogonal y

componente radica en que la proyección ortogonal es un vector y la

componente es un número real.

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES

TEOREMA.- Demostrar que el ángulo formado entre dos vectores y

no nulos corresponden a la siguiente relación.


102

Demostración

Como y son dos vectores no nulos y es el ángulo formado por estos

dos vectores , de modo que el campo de variabilidad está

dado por .

Por definición de componente sabemos que:

… (1)

del gráfico se sabe que de donde

… (2)

reemplazando (2) en (1) se tiene:

Ejemplo.- Dados los vectores , . Hallar:


103

a) La proyección de sobre .

b) La componente de en la dirección de .

c) El ángulo entre los vectores propuestos.

Solución

a)

b)

c)

LA DESIGUALDAD DE CAUCHY – SCHWARZ.-

TEOREMA.- Demostrar que: para todo vector y se verifica la

siguiente relación.

Demostración

Veremos primero para el caso en que

Por Pitágoras del gráfico se tiene:

, lo que es mismo


104

, además

por lo tanto … (1)

Ahora veremos el caso cuando es decir:

Si tal que

Por lo tanto:

Luego de (1) y (2) se tiene:

APLICACIÓN.- Como aplicación de este teorema, demostraremos la

desigualdad triangular.

, de donde

por lo tanto:

OBSERVACIÓN.- Consideremos el vector

definiremos un vector ortogonal al vector al cual denotaremos por

cuyos componentes son y que es obtenido aplicando un giro de

90° sobre el vértice del vector en sentido antihorario, el vector

así definido es ortogonal al vector .

En efecto: =

Luego


105

Ejemplos.-

Sean su ortogonal es

Sean su ortogonal es

ANGULOS DIRECTORES, COSENOS DIRECTORES Y NÚMEROS

DIRECTORES.-

Sea entonces:

Definimos los siguientes ángulos: , , ,

entonces:

a) A los números se les llama números directores del vector

.


106

b) A los ángulos formados por los ejes positivos y el vector ,

se les llaman ángulos directores del vector .

Los ángulos directores toman valores entre y es decir:

.

c) A los cosenos de los ángulos directores se les llama cosenos

directores del vector . Es decir:

Como , de donde

, de donde

, de donde

como

, tomando módulo en ambos lados se

tiene:

AREA DE: TRIANGULOS Y PARALELOGRAMOS.-

Consideremos un paralelogramo cuyos lados son los vectores y .


107

La altura del paralelogramo es:

como área del paralelogramo es:

pero

En consecuencia el área del triángulo cuyos lados son los vectores y

esta dado por:

Ejemplos.-

1) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(-3,2),

B(3,-2), C(4,5).

Solución

Si


108

PRODUCTO VECTORIAL

Para calcular un vector ortogonal a otro vector en se definió en la

forma siguiente.

Si , que se obtenía de hacer girar al vector

un ángulo de en sentido antihorario.

Pero para el caso de a un vector su ortogonal no se define por ,

puesto que, para el vector fijo , existen infinitas direcciones en las

que un vector es ortogonal al vector .

Por lo tanto definiremos una operación entre dos vectores y en , de

tal manera que resulte un vector que sea perpendicular tanto al vector

como el vector .


109

DEFINICION

Considerar dos vectores de , ; entonces el

producto vectorial de y se define por:

Ejemplo.-

Sean y

Como se puede observar es ortogonal tanto a como a .

PROPIEDADES

Sean

1) es ortogonal tanto como a .

2) (el producto vectorial no es conmutativo)

3)

4)

5)

6)

La demostración de estas propiedades son directas mediante la

definición.


110

Vectores fundamentales

del espacio

usando la definición de producto vectorial obtenemos

Usando las propiedades de (*) obtenemos la definición de .

Es decir: Si

= que es el producto esperado.


111

De igual manera podemos obtener desarrollando el determinante de

tercer orden propuesto de la propiedad (6).

Esta propiedad es muy importante, porque permite calcular el producto

vectorial sin necesidad de recordar la definición.

Ejemplo.- Sean , entonces:

OBSERVACIÓN.- El desarrollo del determinante de tercer orden es

como sigue.

Este procedimiento se denomina, desarrollo por menores

complementarios de la primera fila y es la técnica recomendada para

calcular el producto vectorial.

TEOREMA.- Demostrar que:

Donde es el ángulo entre los vectores y ;


112

Demostración

Sean y por definición de

tenemos:

Efectuando operaciones en el segundo miembro y factorizando se tiene:

… (1)

Pero , de donde: … (2)

Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:

De donde: , por tanto

NOTA.-

Cual es el significado geométrico de .

Consideremos un paralelogramo cuyos lados son los vectores y .


113

La altura h es igual a: , es decir:

, además el área de un paralelogramo es:

Por lo tanto es el área del paralelogramo formado por los

vectores y .

Ejemplo.-

1) Hallar el área del paralelogramo formado por los vectores

y

Solución


114

TEOREMA.-

Demostrar que dos vectores son paralelos si solo si

Demostración

i) Si (por demostrar)

como o

pero

ii) Si (por demostrar)

como

además , ,

Entonces o

Por lo tanto, y son paralelos.

2) Dados los vectores y . ¿Son paralelos

estos vectores?

Solución

Si , entonces:

y no son paralelos.


115

PRODUCTO MIXTO O PRODUCTO TRIPLE ESCALAR.-

Sea , y tres vectores de , al producto mixto de , y que

denotaremos por se define como el producto escalar de y .

Es decir:

PROPIEDADES DEL PRODUCTO TRIPLE ESCALAR

Consideremos los vectores , entonces se verifica:

1)

2)

3)

Ejemplo.- Si , y , entonces

mediante el producto mixto, se puede describir la orientación (tal como

se observa en los siguientes gráficos).

La flecha indica la orientación Positiva (LEVOGIRA).

La flecha indica la orientación Negativa (DESTROGIRA).


116

En general: Si , entonces decimos que están orientados

positivamente y que los vectores y tienen la misma

dirección, es decir que los vectores y están en un mismo plano P

que contiene al paralelogramo formado por y .

Si , entonces decimos que están orientados positivamente

y que los vectores y tienen direcciones opuestas, ósea que

los vectores y están en el lado opuesto del espacio con respecto

al plano P que contiene al paralelogramo formado por los vectores y .

VOLUMEN DE PARALELEPÍPEDO

Consideremos el paralelepípedo formado por los vectores .


117

por que ,

entonces:

por lo tanto si representa el volumen del

paralelepípedo de aristas para el caso en que entonces

es el volumen del paralelepípedo.

Ejemplo.-

Determinar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los vectores

, y

Solución

VOLUMEN DEL TETRAEDRO.-

Consideremos el tetraedro formado por los vectores .

,


118

Ejemplo.- Determinar el volumen del tetraedro cuyas aristas son los

vectores , y

Solución


119

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1) Dados los puntos y . Hallar las

componentes de los vectores y

Solución

De la interpretación geométrica de un vector se tiene:

2) Hallar el punto con el que coincide el extremo del vector

si su punto inicial es .

Solución

Como de donde

por lo tanto .

3) Si , hallar el valor de x sabiendo que el módulo de

es 13.

Solución

Como , de donde

entonces y por lo tanto o .


120

4) Hallar el vector que tiene la misma dirección del vector

, sí ( es el vector que tiene la misma

dirección que ).

Solución

Como y tienen la misma dirección entonces

Como

5) Si A, B y C son puntos de una misma recta, hallar el vector

sabiendo que B se encuentra entre A y C donde y

y .

Solución

Como y tienen la misma dirección entonces

Pero

=

De donde

Como

6) Demostrar para qué valores de e los vectores y

son paralelos.


121

Solución

Si tal que al reemplazar por sus

componentes se tiene:

de donde , ,

,

Luego

Por lo tanto los valores de e es:

7) Si y . Hallar para que sea

paralelo a

Solución

Si tal que: , dé donde:

por igualdad se tiene:

entonces

Igualando se tiene:

de donde

8) Para que valores de “a”, los vectores , y

son ortogonales.


122

Solución

Si (ortogonales)

son los valores de a.

9) Hallar las coordenadas de los vectores y , conociendo los

puntos y

Solución

10)Los extremos del vector coinciden con los punto y

. Determinar las coordenadas del punto , sabiendo que el

punto es el origen y sus coordenadas son

Solución

de donde:

Luego


123

11)Determinar el origen del vector si su extremo libre

coincide con el punto .

Solución

, igualando se tiene:

Por lo tanto:

12)Determinar para que valores de m y n los vectores

y son colineales.

Solución

Como y son colineales y son paralelos, es decir:

, de donde:

entonces:

13)Determinar para qué valores de los vectores ; son

perpendiculares entre sí, sabiendo que , .

Solución

Como

14)Calcular sabiendo que: , y


124

Solución

, elevando al cuadrado tenemos:

169+361+2 2

15)Los vectores y forman un ángulo , se sabe además que:

y . Determinar: y .

Solución

16)Los vectores y forman entre sí un ángulo de 45° y el módulo

de es 3. Hallar el módulo de , de modo que ( sea

perpendicular a .

Solución

Como y además por hipótesis:

También sabemos que: como

De donde


125

17)Los vectores y forman entre sí un ángulo de 45° y el módulo

de es 3. Hallar el módulo para que forme con un ángulo

de 30°.

Solución

Por hipótesis tenemos y

Determinamos , para que , de donde:

elevando al cuadrado y simplificando

, resolviendo la ecuación:

18)Sean y dos

vectores. Demostrar que y son ortogonales.

Solución

(ortogonales)

Como


126

19)Calcular los cosenos directores del vector

Solución

de donde tenemos:

20)Demostrar que: y

determinar los ángulos formados por

el vector con las

direcciones positivas de los ejes

coordenados.

Solución

Se conoce que: sí entonces

sumados se tiene:

21)Demostrar que y son ortogonales sí solo sí .


127

Solución

i) son ortogonales sí y solo sí .

Como

ii) sí

como

(ortogonales)

22)Si , y son las aristas de un paralelepípedo rectangular,

entonces determinar los ángulos formados entre las aristas y

diagonales respectivamente (caso particular del cubo).

Solución

i) Sea

como entonces:

de donde

ii) Sea


128

Luego de donde

iii) Sea

Luego de donde

En particular del cubo se tiene:

por lo tanto:

Luego:

Análogamente se puede determinar la medida de los otros

ángulos tomando cualquier otra diagonal del paralelepípedo

rectangular.

23)Un vector ha formado los ángulos de y con los ejes OX,

OZ respectivamente, determinar el ángulo formado con el eje OY.


129

Solución

Sea el ángulo por calcular

Por cosenos directores tenemos: ,

respectivamente se tiene:

reemplazando

24)Demostrar que: si dos vectores son unitarios, entonces la suma es

un vector unitario si y solo si el ángulo formado por dichos

vectores es de .

Solución

i) sean a, b vectores unitarios de modo que:

ii) Sí

Como es unitario

25)Probar que la suma de vectores es conmutativa, es decir:


130

Solución

Se observa que: por definición

de suma de donde: … (1)

por definición de

Suma de donde: … (2)

Comparando (1) y (2) se tiene

26)Demostrar que la suma de vectores es asociativa, es decir:

.

Solución

Se observa que:

Por definición de suma de

vectores, de donde:

… (1)

por definición de

suma de vectores, de donde:

… (2)

por definición de suma de vectores, de donde:

… (3)

por definición de suma de vectores, de donde:

… (4)

Comparando (3) y (4) se tiene:


131

27)Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos

lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad

de su longitud.

Solución

Sea , de modo que:

, ,

como entonces:

A continuación se debe comprobar que el segmento que une los

puntos medio de dos lados de un triangulo es igual a la mitad de la

longitud del tercer lado del triangulo, para ello sabemos que:

, por lo tanto:

28)Sean y dos vectores que tienen distinta dirección. Hallar la

expresión de cualquier vector del plano determinado por y .

Solución

Sabemos que el vector es

paralelo al Vector

análogamente el vector es

paralelo al vector , y

aplicando la regla del

paralelogramo tenemos:

que es la expresión pedida.


132

29)Demostrar que en un triángulo isósceles, la mediana es igual a la

altura.

Solución

Por hipótesis tenemos que:

Debemos demostrar que:

Según el gráfico sabemos que:

… (1)

Igualmente según el gráfico se tiene:

… (2)

30)Si los extremos de tres vectores distintos , y , de origen común

son colineales. Demuéstrese que se cumple la relación

siendo y números reales distintos de cero.

Solución

Consideremos tres vectores , y distintos con extremos

colineales y origen común.

Del gráfico se tiene: … (1)

tal que: … (2)

reemplazando (2) en (1) se tiene:


133

, de donde

en general

31) Demuéstrese que si tres vectores distintos , y , cumple la

relación siendo y números reales

distintos de cero, entonces los extremos de los

vectores , y son colineales.

Solución

Como ,

reemplazando:

de donde

se observa que es un vector que se obtiene sumando el vector

y el vector que es paralelo al vector y esto nos

implica que el extremo de se encuentra en la línea que une A y

C.

32)Demostrar que el triángulo inscrito en un semicírculo es un

triángulo rectángulo.


134

Solución

Se observa que por ser radio de un circulo.

Por demostrar que:

es decir que:

Luego

pero como entonces:

En consecuencia

33)Si k es un punto interior del triángulo MNP y M‟, N‟, P‟ son los

puntos medios de los lados del triángulo. Demostrar que

.

Solución

Por hipótesis tenemos:

y

Además en la figura se observa que:


135

Luego … (1)

Igualmente de los otros lados deducimos:

Además en la figura se observa que:

Luego … (2)

Luego … (3)

Ahora sumando (1), (2) y (3) se tiene:

Por lo tanto:

34)Sean , dos vectores de un mismo origen y sus extremos los

puntos A y B respectivamente. Expresar un tercer vector en

términos de los vectores dados, tal que comparta del mismo

origen y su extremo se encuentra en el punto medio del segmento

.


136

Solución

debe expresarse en términos de , por hipótesis se sabe que:

, además se tiene:

sumando se tiene: por los

tanto:

35)Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en

su punto medio.

Solución

Consideremos el paralelogramo OABC.

cuyas diagonales se cortan

en el punto P,

además en la gráfica se

observa que:

i) entonces y o

puesto que y son paralelos.


137

ii) y o puesto que

y son paralelos.

iii) reemplazando i), ii) y iii) se tiene:

, de donde

, como y no son paralelos

Se tiene que: por tanto

Se tiene que: por tanto

con lo que se afirma que P es el punto medio de la

diagonales.

36)Demostrar que el polígono resulta de unir los puntos medios de

los lados de un cuadrilátero, es un paralelogramo.

Solución

Consideremos el cuadrilátero OABC siendo E, F, D, G los puntos

medios de sus lados. En la figura que:


138

i) , , ,

ii) (trayectoria cerrada)

iii) de (ii)

Luego de donde

por lo tanto tenemos que: (ii), (iii)

de modo que el cuadrilátero resultante es un

paralelogramo.

37)En un triángulo cualquiera, demostrar que existe otro triángulo

cuyos lados son iguales y paralelos del primero.

Solución

La condición para que tres vectores , y formen un triangulo es:


139

En la figura (b) se tiene:

Sumando se tiene:

Luego cumple la condición de formar un triángulo.

38)Demostrar vectorialmente que: si el cuadrado de la longitud de un

lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las

longitudes de los otros dos lados entonces el triángulo es un

triángulo rectángulo.

Solución

Se sabe que:

Y como la trayectoria es cerrada entonces

, pero

de donde

por lo tanto ; como son ortogonales, por consiguiente el

triángulo es un triángulo rectángulo.


140

39)Demostrar vectorialmente que un triángulo hay dos medianas de

igual medida.

Solución

Sabemos por hipótesis que por ser

triángulo isósceles:

además del grafico se tiene:

por definición de suma de vectores

por definición de suma de

vectores.

luego demostraremos que

, como

Entonces … (1)

, como

entonces: … (2)

ahora comparando (1) y (2) se tiene:

por lo tanto las dos medianas de un triángulo isósceles, sus

medianas son iguales.

40)Demostrar que si las magnitudes de la suma y la diferencia de dos

vectores son iguales, entonces los vectores son perpendiculares.


141

Solución

Consideremos dos vectores , entonces por condición del

problema se tiene:

, de donde , desarrollando

tenemos:

, ahora simplificando

, esto indica que los vectores son

perpediculares.

41)Demostrar que si la suma y la diferencia de dos vectores son

perpendiculares, entonces los vectores tienen magnitudes iguales.

Solución

Consideremos dos vectores de tal manera que:

Ahora desarrollamos el producto escalar se tiene:

de donde:

42)Si A, B y C son puntos de una misma recta, el punto C divide al

segmento AB en la razón r, si . Determinar C, si C divide

al segmento AB en la razón r.

Solución

En el gráfico se observa que:

si


142

De donde … (1)

Como C divide al segmento AB en la razón r,

Entonces

Ósea que: … (2)


, de donde

43)Consideremos cuatro puntos A, B, C y P, de tal manera, que si P

está en la recta que pasa por los puntos A, B y C, y que divide a

los segmentos y en las razones r, s y t respectivamente.

Demostrar que r.s.t=1

Solución

De los datos del problema se tiene que:

P divide al segmento en la razón r … (1)

P divide al segmento en la razón s … (2)

P divide al segmento en la razón t … (3)

De (2) … (4)

De (3) … (5)

Ahora reemplazando (5) en (4) se tiene: … (6)


, como entonces


143

44)Los vectores , y son distintos con origen común.

Encuéntrese la condición necesaria y suficiente para que sus

puntos extremos sean coplanares.

Solución

Los puntos A, B, C y D (extremos de los vectores , y ), serán

coplanares cuando uniéndolos dos a dos, cualesquiera de ellas,

las rectas resultantes se corten o sean paralelas.

Supongamos que conectamos A con B y C; si ambas se cortan,

los puntos A, P y B estarán en línea recta (P punto de intersección

de las rectas y extremo del vector ), y lo mismo sucederá con P y

D por lo tanto.

Del ejercicio (7) se tiene:

De los sistemas se tiene: , de donde:

La condición necesaria, es pues: … (1)


144

Si las rectas AB y CD son paralelas entonces: , se

donde

, también se cumple la relación (1)

Por lo tanto si P es punto común de AB y CD, entonces A, B, C y

D son coplanares.

45)Demuéstrese que las tres alturas de un triángulo coinciden en

punto.

Solución

La relación siguiente se cumple

… (1)

Como se puede demostrar por simple desarrollo.

Si los vectores y tienen

la dirección de las alturas

correspondientes y son, por lo tanto,

perpedicular, respectivamente, y

resulta que: ,

y teniendo en cuenta

la parte (1) se tiene:

Luego es perpendicular a ; y tendrá la

dirección de la altura resultante: por tanto, las tres alturas

coinciden en el punto H.

46)Si P es el punto de intersección de las medianas del triangulo

ABC, O es punto cualquiera del espacio demuestre que:

.


145

Solución

Sea M el punto medio de A y C … (1)

Además por la propiedad de las medianas:

… (2)

Reemplazando (1) en (2) tenemos:

Luego

47)Sumar gráficamente y analíticamente los vectores , y que se

muestran en la figura.


146

Solución

Analíticamente: ,

Luego

48)Dado un paralelogramo de vértices los puntos A, B, C y D si M es

el punto medio de y P está en a de la distancia de A a P,

demostrar vectorialmente que: .

Solución

,

De donde

Por demostrar , de donde:

Por lo tanto:


147

49)Dado un paralelogramo cuyos vértices son los puntos A, B, C y D

siendo P y Q los puntos medios de los lados y

respectivamente. Demostrar que y trisecan a la diagonal .

Solución

Sean E y F los puntos de intersección de y con la diagonal

.

Por demostrar que:

Del gráfico se tiene:

… (1)

… (2)

Igualando (1) y (2) se tiene:

, de donde

Pero como y son vectores no paralelos y diferentes del

vector nulo y por el ejercicio (1) se tiene:

Por lo tanto de (1) se tiene:


148

50)Un automóvil recorre 5 km. Hacia el norte, luego 8 km. hacia el

noreste; representar gráficamente y hallar la resultante del

recorrido.

Solución

(Representa el desplazamiento

de 5 km. hacia el norte)

(Representa el desplazamiento

de 8 km. hacia el noreste)

(Representa a la resultante

del recorrido, es decir: ).

En el triangulo OAB los lados son los vectores y cuyas

longitudes son:

Para determinar la longitud de aplicamos la ley del coseno, es

decir:

, de modo que es el ángulo comprendido entre

, cuyo valor es:

. Luego reemplazando

kms.


149

CAPÍTULO III

ALGEBRA DE NÚMEROS

3.1 TEORÍA DE NÚMEROS

Los números aparecen en las diferentes civilizaciones, cuyo

estudio histórico se pierde en el tiempo.

Una de las civilizaciones más importantes fueron los Sumerios,

que se desarrollaron en la actual zona del IRAK; quienes 1700

años A.C. idearon el sistema de Numeración Decimal; utilizados

mundialmente y representados en las cuevas, mediante el arte

Rupestre. Los Babilonios invadieron y aprendieron el sistema de

Numeración Decimal y llevaron al Asia; Norte de África y Europa.

Los árabes invadieron a los Babilonios, por transculturización

aprendieron el sistema de Numeración Decimal y siguieron dando

a conocer, a los países donde comerciaban. Injustamente se les

conoce como Números Arábigos; cuando, los inventores fueron

los Sumerios.

En un principio no se pudo definir los números y se trato de

considerar como concepto primitivo. Inclusive en la Teoría de

Inducción completa; se considera: Cero, Número y sucesivo como

concepto primitivo.

Posteriormente, se descubre la “Teoría de Conjuntos” por Kurt

Grelling quien había escrito 200 años antes con relación a los

conjuntos; recién se define (1940) los números teniendo como

base los conjuntos estudiados por el inglés Kurt Grelling. Es


150

conveniente reconocer los estudios realizados por los incas (1000

años después de Cristo) referente a los números (Yupay) en el

sistema de Numeración Decimal; representados en los Quipus y el

Yupana; como estupendos representantes de la matemática del

flujo.

Los incas en los “Yachay wasi” (Casa del aprendizaje) orientaban

el aprendizaje de los números (Yupay) en base decimal, conocían

las operaciones básicas: Yapay (suma), Quechuy (resta), Merachy

(multiplicación) y Cheqta (División) se desarrollan fácilmente en el

Quipu (para anular) y el yupana (para contar números). Los niños

aprenden por tres canales: tacto (qapispa); vista (qawaspa), oido

(uyarispa). Según la moderna NEUROPEDAGOGÍA; el más

científico y completo sistema de aprendizaje para la matemática.

3.1.1 NÚMERO NATURAL (N)

Es el signo que representa a los conjuntos coordinables

A = {a} A = {a; b} A = {a; b; c}

B = {b} B = {c; d} B = {d; e; f}

C = {c} C = {e; f} C = {g; h; i} . . . . . . . . . . . . 1(uno) 2 (dos) 3 (tres) ..............

Representación lineal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ....


151

Los números naturales cumplen con la propiedad conmutativa

(cerrados) para la suma y la multiplicación. No se cumple para la:

resta y división.

3.1.2 NÚMEROS ENTEROS (Z)

Como los números naturales son cerrados, es necesario ampliar

los números y tenemos, los números enteros en Z; que contienen

a todos los números naturales con signo positivo y todos los

números negativos; son el resultado de comparar dos números

naturales por sustracción.

Representación lineal

● ● ● ● ● ● ● ●

- ...-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4.......+

Los números enteros cumplen con la propiedad conmutativa para

las operaciones de: suma, resta y multiplicación; en cambio para

la división no se cumple; por lo que es necesario ampliar.

3.1.3 NÚMEROS RACIONALES (Q)

Que son el resultado de comparar los números enteros por

división: Los números racionales cumplen con la propiedad

conmutativa (cerrados) para la: suma, resta, multiplicación y

división, siendo el segundo diferente de Cero.

Diagrama lineal

- ............... -3 -2 -1 0 1 2 3 ................... +

-2

3

8

5


152

3.1.4 NÚMEROS IRRACIONALES (Q’)

Se denomina así, a todos los números que no son racionales.

Ejemplo:

(3.1416..) 3 3 5 (3.1416..)

- ..................... -3 -2 -1 0 1 2 3............ + E (2.71) E (2.71)

Diagrama Lineal (Q’)

3.1.5 NÚMEROS REALES (R)

Se denomina así a todos los números estudiados: naturales,

enteros, racionales e irracionales.

Si en los números racionales se desarrolla la operación de

división; a estos números se les conocen como números

Racionales decimales. Ejemplo:

8

3 = 0.374999........

2

1 = 0.5

5

8 = 1.6

3.1.6 NÚMEROS IMAGINARIOS (I)

Son los números que se presentan como la raíz par (2; 4; 6........)

de los números negativos. Ejemplo:

2 = )1(2 = 2 i ; ( 1 ) = i ; 1.41 i

4 = )1(4 = 2 1 = 2i


153

Representación gráfica

I

2i

i

- R

-3 -2 -1 0 1 2 3

-i

-2i

.

.

-i

3.1.7 NÚMEROS COMPLEJOS (C)

Es un par formado por un número Real (R) y un número

imaginario (I); C (R; I).


154

Sistema Cartesiano Rectangular en el campo complejo

I

coi

.

.

.

- 3i ( 19 ; 3i)

C (- ; 2i) - 2i

- i

- 0

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-i

-2i C ( ; -2i)

-3i

C (- ; - 15 ) - 15

.

.

-i


155

SISTEMA DE NÚMEROS COMPLEJOS

Números Complejos

Números Reales N. Imaginarios

N. Racionales N. Irracionales

N. Enteros

Cero Ent. Negativos Ent. Positivos

Naturales

N. Primos


156


1. En los ejercicios siguientes reconozca si es verdadero o falso para

los números: Naturales (N); Enteros (Z); Racionales (Q);

Irracionales (Q‟); Imaginarios (i) ; Complejos (C).

1.1) -7 Є N

1.2) 2 Є R‟

1.3) 4 Є Q

1.4) 9 Є R

1.5) 3 Є Q

1.6) –6 Є Q

1.7) 11 Є C

1.8) (-3; 2 3 ) Є C

1.9) 2

1 Є Z

1.10) 5 Є Q‟

1.11) 3 8 Є N

1.12) 4

9 Є Q‟

1.13) –2 Є Z

1.14) ЄR

1.15) 4 Є R

2. Desarrollar un diagrama lineal de los conjuntos: R; N y Q‟.

3. A cuál de los conjuntos: N; Z; Q; Q‟; R; I; C; pertenecen los

números:

3.1) -4

3 3.3) 5 3.5) 13;

4

3

3.2) 26 3.4) 4 3.6) 9

4. En los conjuntos; N; P; Q‟; Q; Z y R; cuáles son cerrados a la

Suma; Resta; Multiplicación y División; indique ejemplos:

5. Con notación conjuntista, escriba las afirmaciones:

5.1) 5 es menor que 8.

5.2) a no es mayor e igual que b.

5.3) a no es menor que b.

5.4) a es mayor o igual que b.

5.5) a no es mayor que b.


157

6. Entre los siguientes números, indicar el signo de relación que los

representa adecuadamente:

6.1) -9 ....................... 7 6.5) 52 ................. 25

6.2) -12 ..................... –3 6.6) - ................. 2

6.3) 5 ........................ 32 6.7) Є ..................

6.4) -8 ....................... 8 6.8) 5

2 ................. 7

7. Representar las siguientes relaciones con los signos de

desigualdades correspondientes:

7.1) y está a la derecha de 12.

7.2) Z está a la izquierda de 5.

7.3) X está entre –9 y 9.

7.4) W está entre –4 y 6.

7.5) Y está entre –9 y –2.

8. Desarrollar los siguientes ejercicios:

8.1) /3 + 5/

8.2) /-3 –6/

8.3) /+8 + 4/ - / -3 – 2 /

8.4) / -3 / + / -8 /

8.5) / -9 / - / -7 /

8.6) - / -7+2 /

8.7) – 4 - / -7 /

8.8) /4 – 3/ + /9 – 12/

8.9) - / -6 / - / -8 /

8.10) / 4 / - / -12 + 4 /

9. Representar X; entre desigualdades:

9.1) 3 < x – 4 < 8

9.2) –1 < x + 3 < 2

9.3) –9 < 3 x < 12

9.4) –6 < -2x < 4


158

9.5) 3 < 2x – 5 < 7

9.6) –7 < -2x + 3 < 5

10. Representar sin el signo de valor absoluto:

10.1) / x / < 3

10.2) / x – 8 / < 5

10.3) /2x + 3/ < 7

11. Representar con el signo de valor absoluto

11.1) -2 < x < 6

11.2) 4 < x < 10

12. Indicar el signo de desigualdad correspondiente

12.1) 1 ............ –7

12.2) –2 ........... –9

12.3) 23 ............ 8

12.4) 3 ............. 7

12.5) 32 ............ 9

12.6) 32 ............ –11

13. Representar en forma conjuntista los intervalos:

13.1) M = [-8 ; 5 [

13.2) S = ] 7; 14 [

13.3) T = [ 4; 9 ]

13.4) W = ] -8; -3 ]

14. Desarrollar los siguientes intervalos en líneas rectas:

14.1) R = ] -9; 4 ]

14.2) S = [ -4; 4 [

14.3) T = ] 5; 8 [

14.4) W = [ 7; 12 ]


159

15. Las siguientes desigualdades representar en la recta y escribir en

conjuntos los intervalos correspondientes.

15.1) A = {x/x, x < 3}

15.2) B = {x/x, x 2}

15.3) C = {x/x, x -4}

15.4) D = {x/x, x > -1}

16. Con los intervalos:

A = [-8; 5[ y B = [-5; 8]

Representar en la misma recta A y B.

Representar en la recta:

16.2.1) A B

16.2.2) A B

16.2.3) A – B

16.2.4) A B

17. Representar en notación de intervalos: A B; A B y A – B.

18. Representar y dar ejemplos de intervalos, cuya reunión o unión

es un intervalo.

19. Representar en una recta y escribir el conjunto que resulta en

notación de intervalos.

19.1) {x/x; x -1} {x/x ; - 3 < x < 2}

19.2) {x/x; x < 2} {x/x ; x 2}

19.3) {x/x; -3 < x 1} {x/x ; x > 2}

19.4) {x/x; -2 < x 3} {x/x ; x < 1}

19.5) {x/x; -3 x 0} {x/x ; - 2 < x < 3}

20. En las siguientes expresiones, indique: cuál es Verdadero o Falso:

20.1) a Z; b Q y (a – b) N

20.2) a P; b Q‟ y ab Q.

20.3) a N; b Z y ab Z.


160

20.4) a N, b Q‟ y b

a Q.

20.5) a P, b P y (a + b) P.

20.6) a N, b Q‟ y (a + b) Q‟.

20.7) a Z, b Q y b

a N.

20.8) a P, b Z y a

b Q.

21. Representar las siguientes afirmaciones con la notación de la

relación de orden:

21.1) x no es mayor que y.

21.2) El valor absoluto de x es menor que 4.

21.3) r no es menor que y.

21.4) r es mayor o igual que t.

22. Entre los siguientes números indicar la relación correcta:

22.1) 5 .................. –8

22.2) / x / .............. –3

22.3) 23 ................. 8

22.4) - ................ 3

22.5) 23 .................. 19

22.6) - / x / .............. 1

22.7) – 7 ................. 4

22.8) – 2 ................. –5

23. Representar en la recta la relación de los números:

23.1) a está a la derecha b.

23.2) x está a la izquierda de y

23.3) r está entre –5 y –8.

24. Calcular:

24.1) / 4 – 7 / 25.6) / -2 / + / 1 – 5 /

24.2) / -4 – 7 / 25.7) / 3 – 8 / - / 2 – 1 /

24.3) / 4 + 7 / 25.8) / -3 / - / -9 /

24.4) / 3 / - / -5 / 25.9) / 2 – 6 / - / 1 – 9 /

24.5) / 2 – 3 / + / -6 /


161

25. Representar las desigualdades en función de “x”

25.1) -2 < x – 3 < 4

25.2) –5 < x + 2 < 1

25.3) –12 < 4x < - 8

25.4) 4 < -2x < 10

25.5) –1 < 2x – 3 < 5

25.6) –3 < 5 – 2x < 7

26. Representar sin el signo de valor absoluto:

26.1) / x / 8

26.2) / x – 3 / < 8

26.3) / 2x + 4 / < 8

27. Representar con signo de valor absoluto:

27.1) -3 < x < 9

27.2) 2 x 8

27.3) –7 < x < -1

28. Representar los siguientes intervalos como conjuntos y en la

recta:

28.1) A = [-3 ; 1[

28.2) B = [1: 2]

28.3) C = ]-1; 3]

28.4) D = ]-4; 2[

29. Representar como intervalos las siguientes relaciones y en la

recta:

29.1) R = {x/x, x 2}

29.2) S = {x/x, x > -1}

29.3) T = {x/x, x < -3}


162

30. Sean los intervalos. Hallar y representar como intervalos:

A = [ -4 ; 2 [

B = ] -1; 6 [

C = ]- ; 1]

30.1) A B 30.7) A - C

30.2) A B 30.8) C - A

30.3) A – B 30.9) B C

30.4) B – A 30.10) B C

30.5) A C 30.11) B - C

30.6) A C 30.12) C – B

3.2 EXPONENTES Y RADICALES

EXPONENTES

Es la operación que consiste en hallar un número; que,

multiplicado otro número, tantas veces como indica otro número

denominado exponente es igual al número buscado.

exponente

an = a x a x a ............. (n veces)

base

PROPIEDADES

1. Para multiplicar expresiones exponenciales de la misma

base, se suman los exponentes.

an x am = an + m

2. Para dividir expresiones exponenciales de la misma base; se

restan los exponentes:

an : am = an - m ; para n > m


163

3. Para elevar una expresión exponencial a una potencia

cualquiera, se multiplica el exponente por la potencia (an)m =

an x m

4. Para elevar un producto , a una potencia cualquiera; cada

una de las expresiones, se eleva a la potencia indicada.

(a x b)n = an x bn

5. Para elevar a una potencia cualquiera, un cociente; el

dividendo y divisor se eleva a la potencia indicada.

n

nn

b

a

b

a

6. Toda expresión con exponente cero; es igual al número uno.

a0 = 1 para a 0

7. Toda expresión con exponente negativo, es igual al inverso

de la expresión con exponente positivo.

8. Toda expresión positiva elevada a una potencia par o impar;

siempre es positiva.

9. Toda expresión negativa elevada a una potencia par es

positiva; y, elevada a una potencia impar es negativa.


164

3.3 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES

EXPONENCIALES

EJERCICIOS RESUELTOS

1.

2

2

324

3

43

x2

zy3

z

yx2

Solución:

6

208

6

20822

42

642

12

16124 3632

2

32

z

yx

z

yx

x

zy

z

yx

2.

3

22

63

4

32

ca4

b30

b15

ca2

Solución:

362

3

22

6

4

32

14

30

15

2cb

cb

ca

b

b

ca

3. a

a11 ; a

a 1

1

4. nnaa 22

; 1212 nnaa

5. nnaa 22

; 1212 nnaa

EJERCICIO PROPUESTO

1. aa

a

xx

x2

4

2

22

2

1

6

12


165

DESARROLLAR LAS OPERACIONES INDICADAS CON

EXPONENCIALES.


1. (2a2) (3a4) (a5) = 116a

2. (-3a2) (-5a5) = 715a |


1. 34 x 32

2. 52 x 52

3. 4

6

3

3

4. 4

5

3

3

5. 3

5

2

2

6. 2

5

4

4

7. 5

7

5

5

8. 52 x 22

9. 33 x 43

10. 2

2

5

10

11. 3

3

5

25

12.

2

4

3

13.

4

3

2

14.

4

5

1

15. 32)4(

16. (23 x 32)2

17. (24 x 3)2

18. (42 x 2)3


166

19. (3a6) (2a4)

20. (4x4) (3x

3)

21.

2

5

4

22. 5

9

b

b

23. dc

dc2

24

5

20

24. 32

75

3

18

yx

yx

25. (3x3)2

26. 3

7

a

a

27. (5a4)3

28. (-4b2)3

29. (-a3 b2 c4)2

SIMPLIFICAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:


1. 345

479

6

42

kyh

kyh= kyh 347

2.

5

34

365

zyx18

zyx36

=

10155523 322 zyxzxy


1. 232

254

3

24

zyx

zyx

2. 324

545

3

27

edc

edc

3. 342

387

4

28

dba

dba

4.

3

543

864

3

9

cba

cba


167

5.

4

23

24

6

18

ba

ba

6. 35

33

16

27

kh

kh

7.

3

2

33

2

4

y

yx

8. cba

cba45

537

32

48

9. 574

468

36

81

zyx

zyx

10. 2

23

4

32

9

4

2

3

b

ca

c

ba

11. 75

25

2

534

9

10

5

6

yy

xw

w

zyx

12. 6

34

5

43

8

15

5

12

y

kh

k

yh

13. 5

74

5

43

21

18

6

7

d

ec

e

dc

14. 522

224

12

27

tsr

tsr

15.

5

35

53

3

2

sr

sr

16.

4

1065

637

cba18

cba12

17.

5

872

945

7

14

zyx

zyx

18. (3a3)2 (4a4)2

19.

3

93

74

9

6

kh

kh

Si los exponentes son iguales se multiplican las bases y se indica

el exponen común.

20. (2a2 bc3)2 (4a 3b2c)2 21. (5h4 y3 k2)4 (h2 y4 k)4


168

Si los exponentes son iguales se dividen las bases y se indica el

exponente común.


1.

5

22

55

4

23

dc8

e3

e3

dc4=

3228

3

3

4 5555

22

5

2

23 ecce

dc

e

e

dc

2.

3

7

63

2

43

3

2

18

6

2

9

3

4

k

k

k

h

k

h18

183

6

63

7

6

2

4

3

2 82

18

6

2

9

3

4

k

h

k

h

k

k

k

h

k

h

3. a3y+2 a2y-4 a2-5y= 10a

4. n12n

1n24n3

ba

ba= 262

26

2

26

23nn

nn

nn

nn

baba

ba

ba

ba


5.

2

3

22

2

2

r3

r4

r2

r3

6.

2

22

43

3

2

ba3

c

c2

ba3

7.

4

4

54

4

23

yx2

z6

x3

yx2

8.

222

3

2

3

2

b6

a

a

b3

b

a2

9.

3

6

3

3

53

3

2

d

c

c3

d2

d

d3

10.

44

3

4

2

3

y

x2

x3

y4

y2

x3

11. 4558

42434324

)10(

)4()5(

cba

cbacba


169

12. 5666

53235234

)16(

)2()8(

kjh

kjhkjh

13. a3n + 5 a2n-5

14. b2x+3 bx-1 bx-2

15. c2x-1 cx+2 c1-5x

16. n212n

1n22n

xa

xa

17. 32

22232

)bh(

)ab()ba(

18. 2545

2242323

)zyx12(

)yzx6()zyx2(

19. n14n

1n32n

xa

xa

20. 23222

432

)xa()ax(

)xa(

21. 523

423323

)kh(

)kh()hh(

22. 332

32243

)xa2(

)ba4()xa2(

23. 3733

3423322

)edc6(

)edc2()dec4(

24. 1n2

8n34n5

a

ba

25. 4n2

22n1n

ba

)ba(

26. 33n

31n1n2

ba

)ba(

3.4 EXPONENTES NEGATIVOS

Encuéntrese el valor de las expresiones en los problemas 6 a 24.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. (-2)0 = 1

2.

0

3

2= 1


170

3. (3-2)-1 (22) – 1= 3513616123 222

4. (5-2 83)-2 =262144

625

8

585

6

464

5. (4-2)2 = 256

1

4

14

4

4


6. 4-1

7. 5-2

8.

0

4

3

9. (2-3)-3

10. (32)-1 (22) – 1

11. (32)-1 (2-2)-1

12. (3-2)-1 (2-2)-1

13. [ (3) (5)]0

14. 2-3

15. 3-4

16. (3-1) (3-2)

17. (2-4) (2-2)

18. (4-5) (42)

19. (3-8) (35)

20. (3 – 122)3

21. (42 3-3)-2

22. (2-2 43)-3

23. (32)-1

24. (5-1)2


171

Mediante el uso de exponentes negativos, escríbanse sin

denominadores las expresiones de los problemas 30 a 36.


25. 3

2

y

x4 = 324 yx

26. 23

2

3

4

zy

yx= 222134 zyx

27. 52

2

xx3

x = 513 x


30. b

a2 2

31. 32

2

jk

kh3

32. cd

ba

2

4 32

33. 530

42

4

3

ba

ba

34. 35

22

3

7

yx

yx

35. 2411

32

2

3

cba

cba

36. 242

423

3

2

jkh

kjh

37. 1241

213

2

4

tsr

tsr

38. 3241

33

4

8

zyx

zyx


172

Simplifíquense las siguientes expresiones:


1. c0z-3 = 3

1

z

2. x-2 x-3 = 5

1

x

3.

3

2

3

y

x=

69

3

23

11

yxyx

4. 3x-a + ax

2=

aaa xXx

523

5.

2

2

3

d

c= 46223

23

1dcdc

dc

6. 2x-1 + 3b-1 = bx

xb

bx

3232

7. 22

11

yx

yx =

xy

xy

xyxyxy

xyyx

yx

xy

xy

xy

yx

yx

))((

)(

11

1122

22

22

22

8. 2332

33

yxyx

xy

33

23

33

2332

33

11

11

yx

yx

yx

yx

yxyx

xx

yx

yxyxyxy

yxyx

yxyx ))((

)(

)( 22

23

3333

)( 22 yxyxy


173


9. x0 y-2

10. by-4

11. 3

10

g

fe

12. x-3 x

13. a-1 x-1

14.

2

3

2

b

a

15.

2

3

2

b

a

16. 543

424

15

24

rqp

rqp

17. 21

023

12

18

yzx

zyx

18. 2323

3212

2

4

cba

cba

19. a-1 b-2

20. 1

22

a

ca

21. 24

31

10x

yx

22. 231

32

4

32

sr

r

23. 121

222

2

3

ba

ba

24. 1

1

a

b

b

a

25. 11 a

b

b

a

26. a-1 + b-1

27. 323

1322

2

6

zxy

zyx

28. 212

120

2

5

kj

kh

29. 21

023

8

12

yzx

zyx

30. 012

231

12

9

edbc

edc

31. 322

1232

3

2

cab

cba

32. 112

112

yxy

yxy


174

33. yxyx

xy211

21

34. 1221

2112 2

yxyx

xyxy

35. 3x-1y + 2xy-1

36. a-1 b-1 c – abc-1

37. 1

23

a

ba

38. 1

21

y

yx

39. 3

12

x

yx

40. 4

23

z

zz

41. 22

11

yx

yx

42. 1221

2112 23

yxyx

xyxy

43. 112

12

yxy

xxy

44. -3 (x + 1) (x – 1)-4 + (x – 1)-3

45. -2 (2x + 5)2 (x + 1)-3 + 4(2x – 5) (x + 1)-2

46. –2 (2x – 1)2 (x – 3)-3 + 4(2x – 1) (x - 3)-2

47. 2(3x + 1)-1 (x + 2)-3 + 3(3x – 1)-2 (x + 2)-2


175

3.5 EXPONENTES RACIONALES


1. 25 2

3

= 1255525 263

2. 3

2

27

8 =

9

4

3

2

3

2

27

82

2

323

23

32

2

3. 2

1

125

27 =

9

155

3

15

3

5

3

5

3

5

33

55

27

1252

2

4. 2

1

27

125 =

25

153

5

5

5

3

5

3

55

332

2


5. 93

6. 01 3

1

7. 64 3

1

8. 64 4

1

9. 32 5

3

10. 8 5

1

11. (.001) 3

2

12. (100) 2

3

13. 16 4

3

14. 3

5

9

4


176

15. 2

5

16

81

16. 2

3

25

4

17. 8 3

1

18. 25 2

1

19. 64 2

1

20. 32 8

3

21. 81 4

3

22. (001) 3

1

23. 2

3

25

4

Escríbanse sin radicales los valores de las expresiones de los

problemas 26 a 43.


24.

2

1

42

z25

yx9

4

1

2

5

3

z

xy

25. 12189

84

yb64

xa27

2

3

4

3

2

1

3

2

3

1

4

1

12

18

12

9

12

6

12

8

12

4

12

3

2

3

2

3

yb

xa

yb

xa


177


26. 25

27. 3 64

28. 5 55

29. n n3

30. 34

31. 3 28

32. 4 4

33. 6 32

34. 5 510 kh32

35. 4 128 sr256

36. 3 23 ba25

37. 43 yx8

38. 3 305 cba16

39. 4 32 ba4

40. 62

43

z9

yx16

41. 64 yx64

42. 3 96 ba27

43. 806

43

sr16

qp9

Escríbanse en su forma más simple y sin emplear exponentes

negativos o fraccionarios, las expresiones de los problemas

47 a 59.


44.

2

1

2

6

4

3

a

ba33

4

3

4

1

2

6

2

1

4

3

333

b

a

b

a

b

a


178

45.

8

3

8

2

8

3

x

ya8

23

3

8

2

8

3

8

3

yx

a

yx

a

46. c 4

2

= cc 2

1


47. x 2

3

48. b 3

2

49.

7

3

7

3

7

4

c

bx

50.

8

7

6

2

2

3

c

ya

51. x 4

2

y 4

3

52. a 2

3

53.

3

1

2

1

2

1

3

2

2

1

x8

yx4

54. 4 2

1

a 2

3

b 2

5

55.

2

1

8

3

8

3

2

3

8

3

6

3

kh8

kh32

56. 8 2

1

x 3

2

y2

57. 8 3

2

x 3

1

y 3

1

58. 32 8

2

a 8

3

b 8

1

59. 9 2

3

x 5

1

y 5

1


179

Elimínense de los radicales en los problemas 13 a 68, todos los

factores racionales.


1. 32 = 2

1

2424216

2. 2

3

x8 = 2

3

2

3

2 2222 xx

3. 3 81 = 3

1

33 3 333333

4. 4162 = 2

1

4 4 232323

5. 3 n3n2 ba = nnba 2

6. 450 = 2

1

2152532259

7. 3 63 s3r4 = 323 633 63 125512354 xx

8. 39

7

b

a48= a

b

a

b

aa6

2629

2

39

63

9. 4 685 cba80 = 4 225 2484 5252 ccbccb

10. 5 12720 rqp243 = rqqrprrqqp 2245 1025205 33

11. )6xx()2x3x( 22 =322

2321

2 xxx

xxxx


180

12. 3 3322 )ba()ba()ba(

3 22

3 22

babababa

babababababa


13. 96

14. 128

15. 162

16. 150

17. 320

18. 588

19. 316

20. 3 250

21. 3108

22. 4 32

23. 4 384

24. 4 324

25. 3x8

26. 5y12

27. 2x2

28. 42yx5

29. 52ba27

30. 22ba7

31. 64kh3

32. 45yx45

33. 3 74ba54

34. 3 85192 yx

35. 3 107vu48

36. 3 1011sr725

37. 3 69vu6

38. 3 129qp2


181

39. 3 152ba16

40. 5 11157 zyx64

41. 4 71216 tsr625

42. 5 13109 cba294

43. 15128 zyx396

44. 5817 kjh768

45. 10119 wvu960

46. 2y4

x9

47. 6

5

b

a20

48. 37

4

b

a27

49. 35

3

y

x16

50. 36

3

c

b16

51. 12

89

t25

sr98

52. 37

65

c54

ba40

53. 48

127

z162

yx128

54. 520

69

w486

vu128

55. 412

9

c

b81

56. 39

7

b

a8

57. 8

45

g64

fe50

58. 10

76

z49

yx72

59. 37

65

c54

ba40

60. 3

4

3

x8

61. 3

3

4

a16

62. 48

126

e625

dc256


182

63. )ba()ba( 22

64. )ba4()ba2( 22

65. 8

5

3

2

yx9

66. n3n2 ba

67. n n3n2 ba

68. 4 n8n4 ba

Redúzcase el orden de los radicales de los problemas 69 a 84, y

elimínense de los radicales obtenidos todos los factores posibles.


69. 6 8 = 226 3

70. 4 6x64 = xxxx 2222 334 66

71. 9 27 = 39 3 33

72. 6 2 1x2x = 36 211 xx


73. 4 25

74. 6 4

75. 12 6x

76. 10 2x

77. 6 3x8


183

78. 4 28ba16

79. 6 63yx27

80. 4 108vu81

81. 9 123ba64

82. 8 42sr16

83. 12 96kh27

84. 4 2 4a4a

Redúzcanse los radicales de los problemas 88 a 92 a expresiones

que contengan sólo un signo de radical. Redúzcase de ser posible

el orden de los radicales obtenidos.


85. 3 3a = aa6 3

86. 53 15a32 = 315 515 155 222 aaa

87. 4 8 126 yx81 = 16 6316 63232 1264 933 yayayx


88. 43 2x

89. 4 3a8

90. 3 3a9

91. 4 6 122 ba25

92. 3 6 96 ba27


184

Simplifíquense las siguientes expresiones radicales.


1. 33 93 = 3333 3 33 2

2. 273 = 93333 243

3. 33

27

16

2

1

3

2

3

2

27

16

2

13

3

3

3

4. 23 ab6ba2 = 3412 ba bbabba 3232 2242

5. 9

128

2

1

3

28

3

22

223

1

32

2

3

2

2

1

3

6

2

8

2

8

6. xy3

2

y4

x3=

212

6

xy

x2

2

1

2

11

2

12 yyy

7. 3755

93

wv32wu27

vu72=

82

2

875

92

123227

72

wu

v

wvu

vu

8. 22 ba

ba)ba(=

2ba

baba

baba

baba

baba

ba

9. vu)vu(

vu 22

vu

vu

vu

vuvu

vu

1


185

10. 3 22

3 22

)zw()zw(

)zw()zw(3

23

22zw

zw

zwzw

zwzwzw

zw

zw

zw

zwzw 22

32


11. 82

12. 753

13. 33 544

14. 33 819

15. 328

16. 33 164

17. 32

27

3

2

18. 33 544

19. 33

8

1

4

3

20. 3

243

21. 4

4

5

80

22. 3

3

4

500

23. 5

5

9

288

24. 3

2

25. 8

5

26. 12

7

27. 5

4

28. 753 uv12uwu8

29. ba15sr15 234


186

30. kh6kh8 53

31. 375 cd12dc6

32. ba15ba5 235

33. 35 xy4yx8

34. 3 33 42 uv4vu16

35. 3 43 75 cd9dc6

36. 3 573 24 qp2qp4

37. 3 43 12 zxy12zyx9

38. 235 yx6xy10

39. 5

53

a8

b9

b3

a2

40. 7

2

8

5

c5

d10

d5

c6

41. 4

7

5

3

u27

v20

v5

u12

42. 4 25

4 93

vx6

yx243

43. 8

2412

44. 24

3218

45. 3020

60

46. 1527

30

47. 7

25

rs24

sr12

48. 35

3

yx35

yx28

49. 3 72

3 24

dc48

dc32

50. 4 26

4 6

vu64

uv48

51. 3 7

3 26

tu27

u5t72

52. 21

24

yx59

yx531

53. 3 75

3 43 2

zy12

xz9yx36


187

54. 1

53

xy52

yx416

55. abc15

cba540 235

56. edc34

dec816

31

43

57. 3 22

3

)ba()ba(

ba

58. 3 22

3 2

)yx()yx(

)yx(

59. 3 2

3 22

)dc()dc(

dc

60. yx

yx)yx( 22

Simplificar los radicales de las expresiones siguientes y efectúense las

adiciones posibles.


1. 12552045

5555525352555459

2. 3333 54128343432

33333

3 23 63 33 33

1277272324726

23227232


188

3. ba12a2b27aba12 224

babababa 33383332 2222

4. yx12xyx27xyx48 3257

xyxxyxxyxxyx

xyxxxyxxxyx

3333334

323332

2333

2224264

5. u5v

u25

v

u80

v

u52 232

v

uuuvu

v

uu

v

uv

v

u

uv

uu

v

uu

v

u

uv

u

v

uu

v

u

555452555452

5

52554

52

5

25525

2 2224

6. 3 423 723 453 102 yx24x2yx2yyx24yx54

3 2223 233 23

2223 2333 23

3 3233 623 22333 523

34222

3423223

32223223

yxyxyxyyxy

yxyxyxyxyxyyxy

yyxxyyxyyyxxyyx

7. ba

ba

ba

ba

22

22

22

2222

2222

22

2

ba

baa

ba

babababa

ba

ba

ba

ba

ba

baba

ba

baba


189

8. 312222 yxy2yxyx2yx

y

yyx

y

yyx

y

yx

y

yx

y

yx

y

yx

y

yx

y

yxyx

y

yxyx

yxyy

xyx

y

xyxyyxyxyx

1

22

2222

22222

22

2

22422

2

422

32

2

2

2312222


9. 48123

10. 50188

11. 121084875

12. 333 2505416

13. 333 25610823

14. 3333 8137519224

15. 81922450 33

16. 72125010832 434

17. 20724532

18. 3333 256163254

19. y32xyx18yx8x 242

20. vu45uvu20uvu56 224e

21. a

4

a

a9

a

a42

3

22. x2

4

x

x32

x

x182

3

23. a3b

a6

2b

a3

b

a27a 23

24. ba4ab16ab25ba9 2222


190

25. 3r33r23r273r8 2222

26. 3 423 273 2103 72 vuvvu8yvu27vu8

27. 3

dc

2

cd9

3

dc16

2

cd 2222

28. p9

q2

q2

p3

p

q2

3

4

q2

p25

29. h

k3

k2

3

k

h3

h4

k3k5

k

h3

2

h3 732

30. a2

b3

a2

1

b3

a2

b

1

a8

b33

b2

a3

33

31. 6 334 22 ba8ba4ab2

32. 9 3126 223 4 yx2yxxyx8

33. b2

a75

b4

a729

b16

a814

2

28

4

4

34. 124

449

3

336

2

22

z16

yx

z8

yx5122

z4

yx64

35. 22

22

yx

y3x

yx

yxy

yx

yxx

36. 11121 y81xy18yxx8118x


191

OPERACIONES CON EXPRESIONES IRRACIONALES


1. )532()532(

2. )327()322(

3. 3)kh(

kkhkkhhh

kkhkhh

33

333223

4. )cb2a()cb2a(

626

15105

1569

1063

532

532

3102

3412

31414

327

322

babca

bcacc

bcbab

acaba

ba

cba

222

2

222

2

62

2


192


5. )23()23(

6. )327()322(

7. )32()65(

8. 2

3

2

1

2

3

2

1

9. 4

5

4

3

4

5

4

3

10. 8

5

8

3

8

3

8

3

11. )ba()ba(

12. 2)yx(

13. )vu()vwu(

14. )rssr()rssr(

15. )yzxzxy()yzxzxy(

16. )x2xx2x()x2xx3x2(

En los problemas 19 a 29, introdúzcanse debajo del signo radical los

factores externos y luego ordénense los radicales en orden de su

magnitud.


17. 444 24,63,332

444

44

486;512;528

512;486;528

18. 137,610,176

600;612;637

637;600;612


193


19. 102,63,34

20. 333 24,62,43

21. 105,303,702

22. 1,2,2,2 3 aaaaaa

23. babbabab 23 72,33,62

24. 2

14,

3

23,

3

16

25. 333

7

37,

5

65,53

26. 1,1

,1

,1

3

3

5

5 aa

aa

aa

a

27. 58,67,22,135

28. 6 3333 28,37,174,5

29. 3333 1024;1029;1088;2560

Redúzcanse al mismo orden los radicales de los problemas 33 a 37.


30. 4 33 2 2,4 baab12 3912 84

123312

42

8;256

2;4

baba

baab

31. 8 756 53 32 4,3,2 bababa

2437524

4524832 4;3;2 bababa

32. 6

2

14

3

2

2

1

8

1

2

1

,, yxyxyx

12 212 22

312 4

3

3

12

2

2

1

12

3

3

2

2

1

12

6

8

1

2

1

;;

;;

xyyxyx

yxyxyx


194


33. 3 24,3 xx

34. 4 233 2 yx,yx3,x2

35. 6 2454 33 2 3,2, cbabcacab

36. 4

3

23

2

1

6

1

2 ,3, aaa

37. 9 576 253 2 2,3, srsrsr

Redúzcanse al mismo orden los radicales de los problemas 39 a 45

y luego efectúense las operaciones indicadas.


38. 33 2 a8a4

66666

6 12126 1394

6 946336

22

26422

2222

5121684

aaaa

aaa

aaaa


39. 3 42

40. 43 84

41. 4 23 b27b3

42. 4 3

3

x4

4x2

43. 3 2

4 53

ba4

ba8ab2

44. 6 5

4 33 2

xy243

xy27yx3

45. 6 5

3 45

ac2

ba4ab2


195

Racionalícense los denominadores de los problemas 49 a 66.


46. 72

81422

72

215710

72

72

72

814

a.

78272872

7898

2828

72

814

47. 72235

215710

72

215710

48. 321

163

123

123

321

163

a.

222

633

624

321

321

321

232232

631

2126

3183

123

163


196

b.

63234

64342412

84

64162434284

222

222

222

32242


49. 13

2

50. 23

36

51. 25

1

52. 26

2

53. 27

3

54. 51

55

55. 13

33

56. 12

714

57. 32

46

58. 35

15414

59. 52

1014

60. yx

xy2yx

61. 23

23

62. ba2

abba2


197

63. xx

xxx3

64. 321

22

65. 523

62

66. 321

136

Encuéntrese los valores de la siguiente expresiones, con una

aproximación de milésimas.

67. 3

1 71.

5

1

68. 21

1 72.

13

2

69. 31

31 73.

35

35

70. 13

5 74.

27

27


198


199

CAPÍTULO IV

ALGEBRA DE MATRICES

Se denomina “MATRIZ”, a un conjunto de números ordenados y

dispuestas en filas (horizontal), y, columnas (vertical), entre barras; que

verifican ciertas reglas del ALGEBRA. Los números o funciones a i,j se les

conoce como elementos. El primero sub – índice indica: La fila y la

segunda: La columna, esquemáticamente la matriz se puede representar

“matriz ai,j m x n” donde m representa a la fila, y n a la columna. Si no

existen dudas del orden de una matriz, se representa por una letra

mayúscula. Ejemplo: “matriz A”

1) Matrices cuadradas.

Si se tiene la matriz

nm

n

n

mmm a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

,

,2

,1

3,

3,2

3,1

2,

2,2

2,1

1,

1,2

1,1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

Además n = m se dice que es una matriz cuadrada. Se denomina

diagonal principal a los elementos a1,1; a2,2; a3,3……… an,n y la suma

de estos se conoce como TRAZA.


200

2) Igualdad de matrices.

La condición necesaria y suficiente para que dos matrices A = ai,j y

B = bi,j sean iguales: deben tener el mismo orden y cada uno de su

elementos sean iguales.

3) Matriz Nula.

Cuando todos sus elementos son nulos, o sea A = 0

4) Suma Algebraica de Matrices.

Sean las matrices: A = ai,j y B = bi,j de orden m x n; la suma o

diferencia de ambas A B es otra matriz C = i , j de orden m x n (el

producto el número de filas por columnas se denomina: orden)

Ejemplo:

3

8

5

5

2

3

6

4

2

A y

2

2

3

4

4

5

6

8

7

B

2

2

3

4

4

5

6

8

7

23

28

35

45

42

53

66

84

72

BA

1

10

2

9

2

8

12

12

5

23

28

35

45

42

53

66

84

72

BA


201

Dos matrices del mismo orden se conoce como “conformes” para la

suma algebraica de matrices.

5) Propiedades de la suma algebraica de matrices.

5.1. Conmutativa A + B = B + A

5.2. Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C

5.3. Distributiva con un escalar K (A + B) = KA + KB

5.4. Existe una matriz D; tal que A + D = B

6) Multiplicación de matrices.

Se desarrolla: Fila por columna

Ejemplo:

8453A

4

2

7

5

B

48247553BA

3283515BA

Dos o mas matrices son “conformes” para la multiplicación, sí y sólo

si, el número de elementos de la fila es igual al número de elementos

de la columna.

Ejemplo:

2,3

2,2

2,1

1,3

1,2

1,1

a

a

a

a

a

a

A 2,2

2,1

1,2

1,1

b

b

b

bB


202

2,21,3

2,22,2

2,22,1

2,11,3

2,11,2

2,11,1

1,2

1,2

1,2

2,3

2,2

2,1

1,1

1,1

1,1

1,3

1,2

1,1

ba

ba

ba

ba

ba

ba

b

b

b

a

a

a

b

b

b

a

a

a

BA

Propiedades de la multiplicación

6.1. Distributiva : A(B + C) = AB + AC

Distributiva (A + B)C = AC + BC

6.2. Asociativa: A (BC) = (BC) C

6.3. Si AB = AC, no necesariamente B = C.

7) Tipos de Matrices

7.1. Por la forma:

7.1.1. Matriz fila: Si la matriz tiene una sola fila, es decir: m =

1, su orden será: 1 x n

7.1.2. Matriz columna: Representa una sola columna: n = 1 y

su orden será: m x 1.

7.1.3. Matriz cuadrada: Si el número de filas es igual al

número de columnas, es decir: Am x n

7.1.4. Matriz transpuestas: Cuando se intercambian filas por

columnas y su representa T

mbA

7.1.5. Matriz simétrica: Una matriz cuadrada es simétrica,

cuando los elementos e la diagonal principal

permanecen fijos al intercambiar las filas por columnas.

La simetría es con respecto a la diagonal principal.


203

7.2. Con relación a los elementos:

7.2.1. Matriz Nula: Si todos sus elementos son nulos

Ejemplo:

A = 0

7.2.2. Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada, cuando los

elementos que no pertenecen, la diagonal principal son

nulos.

Ejemplo:

7

0

0

0

5

0

0

0

3

A

7.2.3. Matriz escalar: Es la matriz diagonal, cuyos elementos

de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo:

3

0

0

0

3

0

0

0

3

B

7.2.4. Matriz Identidad: Si todos los elementos de la matriz

diagonal, son iguales a uno. Se dice también que es

matriz unidad.

Ejemplo:

1

0

0

0

1

0

0

0

1

A


204

7.2.5. Matriz Triangular Superior: Es la matriz cuadrada que

presenta elementos desde la diagonal principal hacia la

parte superior.

Ejemplo:

4

3

8

0

5

3

0

0

2

A

7.2.6. Matriz Triangular Inferior: Cuando presenta elementos

desde la diagonal principal hacia la parte superior.

Ejemplo:

2

0

0

3

4

0

6

5

8

B


205


1. Si:

3

2

4

5

6

7

8

4

3

A

3

5

4

3

2

6

4

7

5

B

2

5

4

6

8

3

5

2

7

D

1.1. Hallar A + B

0

7

8

2

4

1

4

11

2

3

5

4

3

2

6

4

7

5

3

2

4

5

6

7

8

4

3

BA

1.2. Hallar C – D

5

1

2

3

6

11

2

4

2

2

5

4

6

8

3

5

2

7

3

4

2

3

2

8

7

6

5

DC

Cambie de signo mentalmente a la matriz D.

1.3. Hallar: 3A; -5B

9

6

12

15

18

21

24

12

9

3

2

4

5

6

7

8

4

3

33A

10

25

20

30

10

30

25

35

25

2

5

4

6

2

6

5

7

5

55B


206

2. Sí:

8

6

3

3

4

5

A ;

3

4

6

2

3

8

B ;

u

s

q

t

r

p

C

Hallar: A + 2B – C = 0

u

s

q

t

r

p

CBA

6

8

12

4

6

16

8

6

3

3

4

5

2

u

s

q

t

r

p

CBA

4

6

12

8

6

3

4

6

16

3

4

5

2

-11= p; 10 = r; -7 = t: 9 = q; 12 = 5; -12 = u

3. Si 365A

3

4

7

B

509 24- 35-

3

4

7

3 6- 5BA

4. Si

6

2

7

A 3 8- 4B

18

6

21

48

16

56

24

8

28

3 8- 4

6

2

7

BA


207

5. 3- 4 2-A

8

6

2

3

5

7

3

2

4

3

5

7

B

8

6

2

3

5

7

3

2

4

3

5

7

3- 4 2-BA

24- 24 4- 9- 20- 14- 9- 8- 8- 9 - 20 14

4- 43- 25- 25

6.

3

2

6

2

5

4

3

6

7

A

3

6

2

B

3

24

20

9

6

18

12

30

24

6

12

14

3

6

2

3

2

6

2

5

4

3

6

7

BA

7. Sí

3

2

1

6

5

2

3

4

3

A Hallar: A2; A3; A5.

3

2

1

6

5

2

3

4

3

3

2

1

6

5

2

3

4

32A

0

23

2

54

5

22

3

38

4

9

9

3

12

10

4

3

4

3

18

12

6

30

25

10

6

8

6

18

6

3

24

20

8

9

12

92A


208

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Sí:

1

2

3

1

0

2

1

5

1

A

0

5

2

3

2

1

2

4

3

B y

3

2

2

2

3

1

1

0

4

C

Hallar: A + B ; A – C

-2C, O x B; A + (B - C) = (A + B) – C

2. Sí:

0

1

1

1

2

1

2

3

1

A y

3

5

3

2

4

2

1

2

1

B

Demostrar: A x B = 0

A x B 0

3. Sí se tienen las matrices:

1

3

2

3

1

3

4

2

1

A ;

2

1

0

1

1

1

2

1

4

1

2

1

B y

0

1

2

1

1

1

5

2

1

2

3

2

C

Demostrar: AB = AC

4. Con las matrices:

2

3

1

1

0

1

3

2

1

A ;

4

2

3

1

0

1

B y 1

4

2

3

0

2

2

1C

Demostrar: (AB)C = A(BC)


209

5. Con las matrices:

4

5

5

4

4

3

1

1

2

A ;

5

5

5

3

3

3

1

1

1

B y

3

4

4

2

3

2

1

1

2

C

Demostrar: AB = BA = 0

AC = A

CA = C

6. Demostrar que las matrices A y B son inversas.

4

3

3

2

3

2

1

1

1

A y

1

0

3

0

1

2

1

1

6

B

AB = BA = I

7. Demostrar que las matrices A y B son transpuestas y se cumplen:

(A + B)‟ = A‟ + B‟

(AB)‟ = A‟, B‟

8. Demostrar que la matriz

6

5

3

5

4

2

3

2

1

A Es simétrica

9. Demostrar que la matriz A es idempotente de orden tres

3

4

4

2

3

2

1

1

2

A AA2


210

10. Demostrar que la matriz A es nilpotente

3

6

3

1

2

1

2

5

1

A 03A

11. Demostrar que las matrices A y B son idempotentes.

4

5

5

3

4

3

1

1

2

A y

5

5

5

3

3

3

1

1

1

A

Son idempotentes: AA2 BB2

12. Con la matriz

1

2

2

2

1

2

2

2

1

A

Demostrar: 0542 IAA

13. Con la matriz:

1

2

3

2

1

1

1

1

2

A

Demostrar: 092 23 AAA

14. Demostrar que la matriz:

3

9

6

0

2

2

2

3

1

A es periódica.


211

15. Demostrar que la matriz:

4

4

4

3

3

3

1

1

1

A es nilpotente.

16. Demostrar que A y B:

1

1

2

1A y

1

1

4

1B

No son conmutativas y se cumple:

222BABA

17. Demostrar que las matrices A y B son inversas.

5

7

3

4

5

2

2

2

1

A y

1

1

1

0

1

2

2

4

3

B

18. Demostrar que las matrices A y B son involutivas.

4

4

1

3

3

1

3

4

1

A y

3

1

3

4

0

3

4

1

4

B


321

431

422

A es Idempotente


212


|

312

625

311

A es Nilpotente de orden 3

21. Demostrar que las matrices Ay B son Idempotente

431

541

532

A y

531

531

531

B son Idempotente

22. Si

122

212

221

A demostrar que : 0542 AA

23. Si

100

010

111

A ; demostrar 4A

24. Si

302

923

621

A es una matriz de periód0 2

25. Demuestre que las matrices A y B son permutables

111

023

321

A y

411

923

612

B

26. Demuestre que las matrices A y B; son involutivas

433

434

110

A y

344

101

334

B


213

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Se denomina de una matriz A y se representa por A ; a la suma

intercalada (+; -; +; -; ……) de un elemento y sólo uno, por cada fila o

columna:

3,3

3,2

3,1

2,3

2,2

2,1

1,3

1,2

1,1

a

a

a

a

a

a

a

a

aA

3,3

3,2

1,3

1,23,1

3,3

3,2

2,3

1,22,1

3,3

3,2

2,3

2,21,1

a

a

a

aa

a

a

a

aa

a

a

a

aa

Propiedades de las determinantes:

I) Si los elementos correspondientes a toda una fila o columna son

ceros; el determinante es nulo.

II) Si una matriz cuadrada AA toda propiedad relativa a la columna

se cumple en la fila y viceversa.

III) Si los elementos correspondientes a una fila o columna se

multiplican o dividen por un número cualquiera; el determinante

queda multiplicado o dividido por dichos números.

IV) Si la determinante B se obtiene permutando dos filas o columnas

adyacentes:

AB

V) En toda determinante si dos filas o columnas son idénticas el determinante es nulo

A

VI) Si los elementos correspondientes a una fila o columna de un determinante, se multiplican por un mismo número y se suman a otra fila o columna:

BA


214


1) Hallar:

1138

4

3

1

2A

2) Hallar:

6402

6

4

5

32

7

5

5

30

7

5

4

41

7

5

2

6

4

0

5

3

1B

3.

650

201

432

A utilice la fila o columna que tenga elemento cero

= 18220)2018(1)10(265

43165

202

4. 642)2018(2302865

43276

541

765

543

201

A

5. 45931

53

314

532

001

B


215

Resolver por determinantes: 6.

23

211

13

111

12

122

22

221

12

121

12

127

123

121

112

122

122

117

x

814102

814107

621311222

441221227

112

12

84

840 x=1

221

712

zy

zy

222

27

zy

zy

42

5

zy

zy

3

93

y

y

2

35

53

z

z

z

7.

11

122

21

321

21

313

13

162

23

361

21

311

211

312

213

213

316

211

x

122341323

3629121321x


216

22

4

673

418211x

15

15

103

52

634

126

z

z

zy

zy

zy

zy

35

530

y

y

8.

31

212

51

411

53

421

35

23

55

431

53

423

531

421

211

535

423

213

x

1

3

1092

38356

23245112101

10922015112103x

3x

1

22

2106

086

253

042

y

y

y

zy

zy

zy

2

1

24

z

z


217


1) Resolver las determinantes:

3

7

4

5A ;

4

6

5

8B ;

4

3

2

6

5

3

C

2) Desarrollar los determinantes:

2

6

5

3

3

3

5

4

7

A ;

4

3

5

7

6

3

5

2

8

B

3) Desarrollo directo de una determinante cuadrada:

3,3

3,2

3,1

2,3

2,2

2,1

1,3

1,2

1,1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

3,31,22,11,32,13,21,32,23,11,33,22,13,12,31,23,32,21,1 aaaaaaaaaaaaaaaaaa

4. Desarrollar

152

403

201

A

452

321

543

B

834756

653842

382528

C

423

512

841

D

324

365

432

E


218

5. Desarrollar utilizando el método directo:

1154

932

1021

A

854

532

721

B

354

432

321

C

344

101

334

D

Desarrollar utilizando la VI propiedad

5042

4323

2123

4232

A

3513

1242

2232

2101

B

2143

1100

1212

4321

C

4311

0002

1142

2753

D

6543

5432

3412

4321

E

7242

9214

6142

6111

F

22223

52341

11211

23112

22321

G


219

CAPÍTULO V

ÁLGEBRA DE ECUACIONES

PROBLEMA.- Es una verdad matemática en la que se hallan valores

desconocidos, hallar incógnitas (se representan con las últimas letras del

alfabeto: u; v; w; x; y; Z).

ECUACIÓN.- Es un problema en la que se verifica una igualdad para la

solución de este problema.

INECUACIÓN.- Es un problema con desigualdad que verifica la

desigualdad dada (> ; ; < ; ) para la solución de dicho problema.

GRADO DE UNA ECUACIÓN O INECUACIÓN.- Depende del

exponente máximo de la variable o incógnita de la ecuación o

inecuación.

5.1 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Son aquellas cuyas variables o incógnitas son iguales a uno. En

toda ecuación, la adición para como sustracción de un miembro a otro y

viceversa. Toda multiplicación pasa como división y viceversa. La

potencia como raíz y viceversa.

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES

Primera Propiedad.- Si a los dos miembros de una ecuación; se les:

suma; resta; multiplica; divide, por un mismo número; se lleva a la misma

potencia; se les halla la misma raíz; la ecuación no altera el valor.


220

Segunda propiedad.- Para resolver una ecuación, se realiza el siguiente

proceso:

2.1 Se quitan denominadores;

2.2 Se efectúan las operaciones indicadas;

2.3 Se efectúa la transposición de términos, entre las expresiones que

tienen la incógnita y los otros de términos conocidos;

2.4 Se reducen los términos en ambos miembros;

2.5 Se despeja la incógnita y se halla el valor de la misma.

2.6 Se reemplaza en el ejercicio y se debe cumplir la relación de

igualdad (identidad).

5.2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Son aquellas que afectan la forma: ax2 + bx + c = 0 donde ax2 es

el término cuadrático; bx, el segundo término, y c, es el término

independiente. Si b, o, c son iguales a cero; se tienen ecuaciones

incompletas de segundo grado, de las formas:

ax2 + bx = 0

ax2 + c = 0

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

a. Sea la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.

b. Pasemos el término independiente al segundo miembro:

ax2 + bx = -c

c. Multipliquemos por 4a la ecuación para formar un trinomio

cuadrado perfecto:

4a2x2 + 4abx = -4ac


221

d. Formemos el trinomio cuadrado perfecto

4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac

e. Factoricemos:

(2ax + b)2 = b2 – 4ac

f. Hallemos raíces:

2ax + b = ± acb 42

g. Realicemos las operaciones indicadas:

2ax = -b ± acb 42

x = a

acbb

2

42

Es la fórmula para hallar la ecuación completa de segundo grado.

La expresión: b2 – 4ac, se conoce como discriminante; y se

presentan tres casos:

A = b2 – 4ac < 0; las ecuaciones presenta; raíces imaginarias =

b2 – 4ac = 0; la ecuación presenta una sola respuesta.

= b2 – 4ac > 0; la ecuación presenta dos respuestas.

5.3 INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Como se ha observado oportunamente, son aquellas que

presentan desigualdades, ejemplo:

a x > b

a x < b

a x b

a x b


222

Propiedades.-

1) Si, a los términos de una inecuación, se suma o resta; se

multiplica o divide; se potencia o radica; la misma expresión

positiva; se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.

2) Si se cambian de signos a todos los elementos de una

desigualdad; cambia el sentido de la desigualdad.

3) Si los dos miembros de una desigualdad tienen el mismo signo;

sus inversos forman otra desigualdad de distinto sentido al

original.

Si las desigualdades representan dos o más incógnitas; representan

inecuaciones simultánea de primero o segundo grado.- En el proceso de

desarrollo se utilizan las propiedades indicadas.

Demuéstrese, mediante sustitución directa, que el número dado ala

derecha en los problemas 5 a 12 es una raíz de la ecuación propuesta

en cada problema.


1. 6x + 1 = 8 – 8x, 2

1.

6x + 1 = 8 - 8x 6x + 8x = 8 - 1

14x = 7

x = 2

1


223

2. 5,6

5

3

1x

4

3x

4

3x -

3

1x =

6

5

121DC

3(x-3) - 4(x-1) = -

10

3x-9 - 4x+4 = -

10 -x = -5 x = 5

3. ax + bc – bx = ac, c

ax - bx = ac - bc x(a-b) = c(a-b)

x = ba

bac )(

x = c

4. a

1,

xb

bxaba

xb

1bx

xb

bx 1 + a =

xb

bxab

bx - 1 + a(b+x) = ab + bx bx - 1 + ab+ax = ab + bx

bx - bx + ab - ab +

ax = 1

ax = 1

x = a

1


224


5. 4x + 1 = 6x – 3,2.

6. 9x – 3 = 10x + 3, -6.

7. 5x – 1 = 3x + 2, 2

3

8. 17,2x4

1x

2

4x2

9. 3

8,

6

2x

4

x

3

1x2

10. 3

2,

1x

32

1x

1x

11. a2x – b = a – abx, a

1

12. ab,a

xb2

a

b

b

xa

Resuélvanse las ecuaciones de los problemas 18 a 72.


13. 4 (3x – 1) = -5 (-3x + 2)

a(3x-1) = -5(-3x+2) 12x - 4 = 15x – 10

12x -15x = -10 + 4 -3x = -6

x = 2


225

14. 8 .9x51x3

23

4

1x

2

3

4

1

2

38

x - 1

3

23

x = 5x-9

12x - 2 - 2x + 3 = 5x – 9 10x - 5x = -9 – 1

5x = -10 x = -2

15. 3

5x

3

23x

3

1

3

4

3

4 -

3

x - 3 =

3

2x -

3

5

4 - x - 9 = 2 - x - 5 -x - 2x = -5 - 4 + 9 3x = 0 x = 0

16. x – b = a

1 - abx

x - b = a

1 - abx

ax - ab = 1 -

¡Error! No se pueden crear

objetos modificando

códigos de campo.

ax - bxa2 = ab + 1

)( 2baax

= ab + 1

x = baa

ab2

1

x = )1(

1

aba

ab

x = a

1


226

17. )1x()3x(

1x

3x

x2

1x

1x

3x

1x

3

1

x

x +

1

1

x

x =

3

2

x

x +

)1)(3(

1

xx

x

dc1 =

(x-3)(x-1)

(x+1)(x-1) + (x+1)(x-

3) = 2x(x-1) + x + 1

2x -1 + 2x -2x -3 = 2 2x -2x + x + 1 2x + 2x -2 2x - 2x+2x-x = 1 +1 + 3

-x = 4 x = -4


18. 5x = 3x + 6

19. 9x + 1 = 2x – 13

20. 7x + 4 = 3x + 6

21. 5x – 1 = 2x + 1

22. 6x – 3 = 7x + 2

23. 8x – 5 = 7 + 4r

24. 7x – 3 = 2 – 3x

25. 9 – 8x = 7x + 3

26. S (x + 2) – (x – 4) = 0

27. 3 (5x – 2) + 4 (1 – 3x) = 0

28. 7x (4x + 15) – 6 (8x + 4) = 1

29. 4 )6x8(2

1

4

1x

2

1

30. 6 .5)6x12(3

2

6

1x

3

2


227

31. 9 .4x76

1x

4

312

3

2x

3

4

32. 4

15x

4

3x

2

1

33. x4

1

3

4x2

3

2x

4

3

34. 23

7x

2

3

3

2x

2

1

35. 1x6

75x

2

1

36. 7x2

15x

4

3

37. 1x2

11x

3

2

38. 5

2x

3

12x

5

3

39. ax - a

1 =

b

1 - bx

40. ax + b (1 - x) = 26 – a

41. a + b2x = a2x – b

42. 2

1x3 = 2x + 3

43. x = 2 - 3

4x2

44. 6

6x2

2

1x


228

45. 2x34

1

3

2x4

46. 32

1x

3

2x

47. 4 - 12

5x4

4

4x3

48. 6

5

3

2x3

5

5x2

49. 3

7

3

4x2

4

3x5

50. 1x9

4x2

6

3x4

51. 5

21x3

4

7x2

5

5x3

52. 2

3x2

9

2x3

6

5x2

53. 0)x26(23

3x4

5

7x6

54. a

b

a

abx

a

bax

55. cd

dc

c

cdx

d

dcx 22

56. b

ba

a

abx

ab

bxa 22

57. p

q3

q

qx3p

p

q3px2


229

58. 2x

4x

1x

3x

59. 1x6

5x3

1x4

5x2

60. 1x4

5x8

3x2

3x4

61. 5x2

4x3

1x2

3x3

62. )3x()1x(

6

3x

3

1x

2

63. )2x()1x(

10

2x

4

1x

5

64. 8x2x

10

4x

5

2x

32

65. 9x

10

3x

1

3x

12

66. 2xx

8

1x

3

2x

42

67. 9x3x2

3

3x

3

3x2

12

68. 2x3x2

5

1x2

1

2x

22

69. 04x5

5

2x

3

3x2

4


230

70. 3x6

5

3x2

1

2x3

4

71. 24x6

1

3x2

3

1x3

4

72. 3x

1

4x

2

5x4

4

Demuéstrese que las ecuaciones de los problemas 73 a 80 no tienen

solución.

73. 2x

13

2x

7x4

74. 1x

x241

1x

2

75. 2x

1

1x

1

1x

22

76. 6x5x

1

3x

1

2x

12

77. )2x()1x(

1x

1x

1x1

2x

1x 2

78. )2x()1x(

x

1x

1x

1x

x

2x

1x 2

79. )1x()2x(

1xx

1x

1x

1x

3x

2x

1x 2

5.4 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE EL USO DE

ECUACIONES

Un problema que se puede resolver mediante una ecuación,

comprende varias cantidades de las cuales unas son conocidas y otras


231

desconocidas. Igualmente contiene datos que permiten observar la

igualdad entre dos combinaciones de esas cantidades. Si el problema se

puede resolver mediante una ecuación de una variable, entonces las

cantidades desconocidas deben expresarse en términos de una sola

letra.

El procedimiento para resolver un problema mediante el uso de una

ecuación no siempre es fácil y para lograr cierta aptitud se requiere una

práctica considerable. Para ello se sugiere el siguiente esquema:

1. Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta que quede

perfectamente clara la situación que plantea.

2. Identificar las cantidades comprendidas en el problema, tanto las

conocidas como las desconocidas.

3. Elegir una de las cantidades desconocidas y representarla

mediante una letra, generalmente x. Después, expresar las otras

cantidades desconocidas en términos de esta letra.

4. Buscar en problema los datos que indiquen qué cantidades o qué

combinaciones de éstas son iguales.

5. Formular la ecuación, igualando las cantidades o combinaciones

apropiadas encontradas en el paso anterior.

6. Resolver la ecuación obtenida y comprobar la solución.

A continuación se expondrán algunos ejemplos de los varios tipos de

problemas que pueden resolverse mediante el uso de ecuaciones. El

procedimiento general que se explica en esos ejemplos se puede aplicar

a los problemas similares que se presentan, y a todos los ejercicios que

aparezcan en este trabajo y que comprendan el planteo de problemas.


232

1. Problemas que implican movimiento a velocidad uniforme.

Generalmente los problemas de este tipo establecen una relación

entre distancias recorridas, entre velocidades o entre tiempos

empleados. La fórmula fundamental para estos problemas es:

d = vt


1. Encuéntrense tres números enteros consecutivos cuya suma sea

57.

Los números son : 18; 19; 20

2. Los señores Fernández, González y Ramírez compraron una

tienda en S/.25,000. Entre Fernández y González aportaron

S/.17,000, en tanto que Ramírez puso S/.1,000.00 más que

González. Encuéntrese la cantidad de dinero que puso cada uno.

F 17,00

0 - x

10000

G x 7000

R

x + 100

0

8000

17,000 - x + x + x + 1000 = 25000 x = 25000 - 18000 x = 7000

x x + 1 x + 2

x + x + 1 + x + 2 = 57

3x = 57 - 3

3x = 54 x = 18


233

3. La renta producida por dos casas en un año fue de S/. 15,700.00.

Encuéntrese la renta mensual de cada una, si entre sí difieren en

S/. 250.00 y la más cara estuvo desocupada dos meses.

4. Un estanque se puede llenar en 3 horas con el agua que recibe de

un tubo y se puede vaciar en 5 horas abriendo la válvula del tubo

de drenaje. ¿En cuánto tiempo se llena el estanque dejando

abiertas las válvulas de los dos tubos?

En una hora 3

1 del estanque se desagua en una hora

5

1

15

1

3

1x

115

2x

Llena el estanque en 7 horas y media

5. Una persona puede remar 2 kilómetros río arriba y 6 kilómetros río

abajo en el mismo tiempo. Si la velocidad de la corriente es 2

km/hr, encuéntrese la velocidad del bote en agua estancada.

Velocidad en agua tranquila: x V= 2k/h

x - 250 x

10x + 12(x - 250) = 15700 10x + 12x - 3000 = 15700

22x = 18700

x = 22

18700

x = 850 y = 600

2x = 15 x = 7.5

2

2

x =

2

6

x 2(x+2) = 6(x-2) 2x+4 = 6x-12 16 = 4x


234

EJERCICIOS PROPUESTOS 6. Encuéntrense dos números tales que uno sea 4 veces mayor que

el doble del otro, y que la suma de ambos sea 37.

7. Encuéntrese dos números tales que uno sea 5 veces menor que

el triple del otro, y que la suma de ambos sea 19.

8. Encuéntrese la longitud de cada lado de un rectángulo, sabiendo

que su perímetro es 82 metros y que un lado es 7 veces mayor

que el otro.

9. Encuéntrese las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que su

perímetro es 84 metros y que el largo es el doble del ancho.

10. Tomás tiene S/. 13.00 más que Ricardo, ¿Cuánto dinero tiene

cada uno si entre los dos reúnen S/. 29.00?

11. Después de pagar S/. 3.00 Juan a Tomás, ambos tienen igual

cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tenía antes de que se

efectuara el pago, si el primero tenía el doble que el segundo?

12. Entre tres hermanos, Tomás, Ricardo y Enrique, compraron un

automóvil usado. Tomás contribuyó con una cantidad igual a un

cuarto del precio del automóvil. Ricardo pagó S/. 50.00 más que

Tomás y Enrique S/.50.00 más que Ricardo. Encuéntrese el

precio pagado por el automóvil.

13. Un hombre cercó un terreno rectangular de 60 metros de frente y

400 metros de perímetro a un costo de S/. 3,720.00. Si el costo

x = 4 k/h


235

de la cerca del frente fue S/. 2.00 mayor por metro que el de los

otros tres lados, encuéntrese el precio por metro en cada caso.

14. Un terreno rectangular que tiene 420 metros de perímetro está

cercado con una barda cuyo costo es de S/. 12.00 por metro en la

parte del frente y de S/. 10.00 por metro en los otros tres lados.

Encuéntrense las dimensiones del terreno si el costo total de la

barda del frente fue un quinto del costo del resto de la barda.

15. Un granjero vendió 15 cerdos, 20 novillos y 10 caballos por

S/. 31,500.00 Cada cerdo se vendió por 9

4 del precio de cada

novillo y el precio de cada caballo fue de S/. 350.00 mayor que el

precio por cerdo. Encuéntrese el precio de cada uno.

16. Una parte de S/. 7,000.00 se invirtió al 3 por ciento y la otra parte

al 4 por ciento. Si el interés devengado fue de S/. 240.00,

encuéntrese el valor de cada parte.

17. Un 1° de enero, el señor González invirtió su dinero en cierto tipo

de acciones que pagaban un dividendo anual de 4 por ciento. Al

principiar el segundo año vendió parte de sus acciones por valor

de S/. 3,000.00 y reinvirtió este dinero en un negocio que pagaba

5 por ciento anual. Si el interés devengado en estas inversiones

en dos años fue de S/. 430.00, encuéntrese el valor de la

inversión original.

18. Si se agrega 27 a un número de dos cifras, los dígitos de las

unidades y de las decenas se invierten. Encuéntrense los

números si el dígito de las unidades es doble que el de las

decenas.


236

19. En un número de tres cifras, cada dígito después del primero es

doble del que le precede. Si a ese número se agrega 297 se

intercambia el dígito de las centenas con el de las unidades.

Encuéntrese el número.

20. Un padre y su hijo tienen 30 años y 6 de edad, respectivamente.

¿En cuántos años más el padre tendrá la edad doble que la del

hijo?

21. Juan es 3 veces mayor que Roberto, y en 6 años más su edad

será el doble. Encuéntrese la edad actual de cada uno.

22. En una caja se tienen S/. 6.00 en monedas de 5, 10 y 25 centavos

respectivamente. El número de monedas de 10 centavos es doble

del de las de 25 centavos y el número de la de 5 centavos es igual

a la suma de las de 10 y 25 centavos. ¿Cuántas monedas de

cada denominación hay en la caja?

23. Un automóvil sale de Monterrey a las 13 horas con dirección a

Torreón y otro sale de Torreón a Monterrey a las 14 horas del

mismo día. En el camino se encuentran a las16 horas. La

velocidad del segundo automóvil era de 16 km/hr. Menor que la

del primero y las dos ciudades están a 392 km. Una de otra.

Encuéntrese la velocidad de cada automóvil.

24. Dos barcos se encuentran a mitad del océano y luego continúan

navegando en direcciones opuestas. Después de 7 horas están a

280 millas náuticas uno de otro. Encuéntrese la velocidad de cada

uno sabiendo que éstas difieren entre sí 5 nudos.

25. Dos personas salen del mismo hotel al mismo tiempo y viajan en

igual dirección sobre una misma carretera. Después de 5 horas

sus automóviles se encuentran a 80 kilómetros uno de otro.


237

Encuéntrense las velocidades de cada uno, si uno de ellos es 6

5

más rápido que el otro.

26. Cinco minutos después de haber ocurrido un accidente

automovilístico y de haber huido el culpable, llega al lugar del

accidente un automóvil de la policía. Este inicia inmediatamente la

persecución del culpable y lo alcanza después de 1 hr. 10 min.

Encuéntrese la velocidad de cada automóvil sabiendo que la del

automóvil de la policía fue 8 km/hr. Mayor que la del otro.

27. Un piloto vuela de un aeropuerto a otro a la velocidad de 288

km/hr y regresa a su punto de partida a la velocidad de 240 km/hr.

Si el viaje de ida empleó 1 hora menos que en el de regreso,

encuéntrese la distancia entre los dos aeropuertos.

28. Dos grupos de turistas salen de un mismo hotel, en sus

respectivos automóviles, para recorrer una carretera que forma un

circuito cerrado y a lo largo de la cual se puede contemplar el

paisaje. Al salir, cada automóvil lo hace en dirección opuesta. Un

automóvil viaja a 80 km/hr. Y el otro a 68 km/hr. Encuéntrese la

distancia recorrida si el automóvil más rápido la recorre en 54 min.

menos que el otro.

29. Un agricultor puede arar un terreno en 4 días. Su hijo, empleando

maquinaria más pequeña puede hacerlo en 8 días. ¿En cuánto

tiempo pueden arar el terreno si trabajan conjuntamente?

30. Un operario puede pintar un techo en 12 horas y su ayudante

puede hacerlo en 15 horas. ¿En cuánto tiempo pueden pintarlo

trabajando los dos simultáneamente?


238

31. El mayor de tres hermanos puede segar un prado en 3 horas; el

segundo hermano puede cortarlo en 4 horas y el menor de los tres

en 6 horas. ¿Cuánto tiempo emplearán si lo hacen

conjuntamente?

32. Si en el problema anterior el hermano menor empieza sólo el

trabajo y después de 3 horas empiezan a ayudarle los otros dos,

¿en cuánto tiempo terminan de segar el prado?

33. En una piscina la entrada de agua se hace a través de dos tubos.

Con el agua proveniente de uno de ellos se puede llenar en 12

horas y con la del otro en 8 horas. ¿En cuánto tiempo se llena si

recibe agua de ambos?

34. Si en el problema anterior se abre la válvula del menor de los

tubos y hasta pasadas 3 horas se abre la válvula del otro, ¿en

cuánto tiempo se llena la piscina?

35. Un tanque que se emplea para regar puede llenarse en 6 horas y

vaciarse en 4 horas. Si al comenzar un cierto trabajo el tanque

está lleno y al mismo tiempo se abren las válvulas de entrada y de

salida del agua, ¿en cuánto tiempo se vacía el tanque?

36. ¿Cuántos kilogramos de tabaco de precio S/. 50.00 por kilogramo

se deben mezclar con 30 kilogramos de otro cuyo precio es

S/. 60.00 por kilogramo para poder vender la mezcla obtenida al

precio de S/. 56.00 por kilogramo?

37. Una persona mezcla café de precio S/. 11.60 por kilogramo con

80 kilogramos de otro cuyo precio es de S/. 16.80 por kilogramo,

con el deseo de obtener una mezcla que pueda venderse al precio

de S/. 14.80 por kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de la variedad

más barata deben emplearse en la mezcla?


239

38. Un químico agrega una cierta cantidad de una solución de 86 por

ciento de alcohol, a 11 litros de otra solución al 71 por ciento de

alcohol. Obtiene una solución al 77 por ciento de alcohol.

Encuéntrese la cantidad de litros de la primera solución que se

agregaron a la segunda.

39. Una pieza metálica que contiene 59 por ciento de plata se agrega

a 70 kilogramos de una aleación al 83 por ciento de plata. Se

obtiene una aleación de 73 por ciento de plata. Encuéntrese

cuántos kilogramos de la pieza metálica se emplearon.

40. Se llena el radiador de un automóvil, de capacidad 24 litros, con

una solución al 25 por ciento de alcohol. ¿Cuántos litros se deben

sacar del radiador y reemplazarlos con una solución al 70 por

ciento de alcohol, para dejar en el radiador una solución al 40 por

ciento de alcohol?

41. El radiador de un automóvil tiene una pequeña rotura y se hace

necesario ponerle agua durante el viaje. El radiador de capacidad

24 litros, se llena con una solución al 30 por ciento de alcohol al

iniciar el viaje. Al finalizar éste se llena con agua y la solución

queda al 25 por ciento de alcohol. Encuéntrese la cantidad de

agua agregada.

42. Un aeropuerto B está al norte de otro A. Un piloto vuela por la

mañana de A a B y regresa por la tarde. En el curso de la mañana

soplaba viento del sur a la velocidad de 16 km/hr, y por la tarde el

viento cambió de dirección proviniendo del norte a la velocidad de

30 km/hr. Si el viaje de la mañana se hizo en 4 ½ horas y el de la

tarde en 4 horas, encuéntrese la velocidad del avión relativa al

aire.


240

43. un grupo de excursionistas recorren en igual tiempo, 160 km. En

una carretera pavimentada y 120km en un camino de herradura.

Encuéntrese la velocidad media en cada tramo de camino, si la

velocidad en la carretera pavimentada es 15 km/hr mayor que en

el camino.

44. Los aeropuertos A y C están localizados a 1240 kilómetros al

oeste y a 960 kilómetros al norte de B respectivamente. Un piloto

vuela de A a B, descansa ahí dos horas y continúa después hasta

C. Estuvo soplando viento del oeste con velocidad de 32 Km/hr,

durante la primera parte del viaje y viento del norte con velocidad

de 40 km/hr, durante la segunda parte. Encuéntrese la velocidad

del avión relativa al aire si los dos tramos del recorrido se hicieron

en igual tiempo.

45. Una persona sale de su casa y viaja en automóvil con una

velocidad de 72 km/hr hasta llegar a un aeropuerto; ahí espera 10

minutos y luego continúa su viaje en un avión con velocidad de

192 km/hr. Si durante el viaje recorre 384 kilómetros y el tiempo

total empleado es de 3 horas, encuéntrese la distancia de su casa

al aeropuerto.

46. Un vaquero cuyo caballo se rompió una pierna, camina hasta el

rancho más próximo en donde alquila otro caballo y regresa

después a su propio rancho. Si recorre en total 22.4 kilómetros,

parte a pie y parte a caballo, y si las velocidades en cada caso

son 48 km/kr y 9.6 km/kr., encuéntrese la distancia que hay entre

el lugar del accidente y su rancho si en el recorrido total empleó 3

horas.


241

47. Una persona ejerce una fuerza de 75 kilogramos sobre un

extremo de una palanca de 5 metros de largo. ¿En dónde debe

colocarse el punto de apoyo para que levante un peso de 300

kilogramos?

48. Dos niñas cuyos pesos son 25 y 30 kilogramos respectivamente,

se balancean en una tabla de 4 metros de largo. ¿A qué distancia

de la niña de menor peso está el punto de apoyo?

5.5 SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación de primer grado con varias incógnita, admite

diferentes métodos de solución. Para que se puede resolver una

ecuación simultánea con varias incógnitas; es necesario que esté

constituido por tantas ecuaciones; como incógnitas tenga. De lo

contrario serán indeterminado (varias soluciones). Se presentan

consecuentemente ecuaciones simultáneamente imposibles de solución.

MÉTODOS PARA RESOLVER ECUACIONES SIMULTÁNEAS

1. Transposición.- En una las ecuaciones se despeja una de las

incógnitas; y se reemplaza en la otra; desarrollándose como una

ecuación de primer grado con una incógnita. El mismo número

hallado al reemplazar en la ecuación despejada.

2. Igualación.- En ambas ecuaciones se despeja la misma incógnita

y se igualan, resolviéndose como una ecuación de primer grado

con una incógnita. El número hallado se reemplaza en cualquiera

de las ecuaciones despejadas.

3. Eliminación.- Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas

con signo cambiado; se suma, el resultado se reemplaza en una

de las ecuaciones; así sucesivamente.


242

4. Método de Cramer.- Mediante determinantes.

Resuélvanse los pares de ecuaciones de los problemas 3 a 16 por el

método de adición o sustracción


1. x + 2y = 5

3x – y = 1

x + 2y = 5 3x - y = 1 3 - y = 1 x + 2y = 5 - y = -2

6x - 2y = 2 y = 2 7x = 7

x = 1

2. 20x - 30y = -27

8x + 15y = 0

20x - 30y = -27

20(4

3) - 30y = -27

8x + 15y = 0 -15 - 30y = -27 20x - 30y = -27 - 30y = -12

16x + 30y = 0 y = 30

12

36x = -27 y = 5

2

x = 4

3


3. 3x – 4y = -2

x + 2y = -4

4. 4x + 3y = -1

2x – y = 7


243

5. 6 – 5y = -4

3x + y = 5

6. 2x + 3y = 3

3x + 5y = 4

7. 5x - 4y = 1

2x - 3y = 6

8. 3x + 8y = 1

2x + 7y = 4

9. 4x + 5y = 1

3x + 2y = -8

10. 2x + 4y = 11

4x - 3y = 9

11. 3x - 2y = 1

12x - 18y = -11

12. 24x + 12y = 49

3x + 8y = -2

13.

4y4

3x

3

1

1y4

1x

3

2

14.

2y5

2x

2

3

3y5

3x

2

1

15.

4

3yx

3

2

4

1y2x

4

3

16.

1y6

1x

4

1

2y3

1x

2

3

Resuélvanse por sustitución de los pares de ecuaciones de los

problemas 18 a 32.

EJERCICIO RESUELTO

17. 8x + 3y = 12

6x – y = 22

8x + 3y = 12 8(3) + 3y = 12 6x - y = 22 3y = 12 - 24


244

8x + 3y = 12 3y = -12 18x - 3y = 66 26x = 78 y = 4

x = 3


18. 2x + 7y = 3

x – 5y = -7

19. 4x + 9y = -1

5x – y = 11

20. 5x - 7y = 1

x + 3y = 9

21. 7x - 3y = -1

3x – 2y = -4

22. 4x + 5y = -14

2x – 3y = 26

23. 6x + 5y = 5

4x + 3y = 1

24. 3x - 5y = -10

4x – 3y = 16

25. x + 2y = 3

12x – 18y = 1

26. 2x - 4y = -5

4x + 2y = 5

27. 3x + 4y = 5

24x – 36y = -11

28. 5x + 2y = 3

30x – 50y = -13

29.

5y2x

2

3y

3

1x

2

1

30.

0y2x3

1y3

2x

2

3

31.

4y3x4

6

5y

4

3x

3

2

32.

1yx2

4

1y

5

2x

3

5


245


1. 2x – y + z = 7

x – 2y – z = 2

3x + 2y + z = 2

2. 3x + y + 2z = 1

2x – y – 3z = -6

x + y + 2z = -3

3. x + y + 2z = 3

x + 2y + 4z = 3

x – 3y – 5z = 5

4. 2x + 3y + z = 8

3x + 2y + z = -5

x + 3y + z = 6

5. 3x - 2y + z = -1

2x + 3y + 2z = 17

4x – 4y – z = -1

6. 5x + 2y + 2z = -9

3x - y + z = 8

7x + y + 4z = -3

7. x + 2y + 3z = 6

x + 3y + 2z = -2

2x + 5y + 7z = 10

8. 2x - 3y + 3z = -9

5x - 7y + z = -1

3x – 2y + z = 7

9. 3x + 5y + 2z = -7

2x + 4y + 3z = -2

5x + 7y + 5z = 3

10. 2x - 3y + 2z = 13

3x + 5y - 3z = 31

5x + 2y – 5z = 20

11. 4x + 2y - 6z = 10

3x - 5y + 7z = -7

5x + 3y – 5z = 17

12. 4x + 2y - 3z = 10

5x - 3y + 2z = 8

3x + 5y – 7z = 6

13. 2x + 3y + 4z = 6

3x - 6y + 2z = 2

4x + 9y – 8z = 2

14. 6x - 5y - 3z = 3

4x - 10y + 6z = 10

2x + 15y – 9z = -3


246

15. 8x - 6y + 4z = 5

4x + 9y - 8z = 5

6x + 3y + 3z = 10

16. 3x - 4y + 6z = -2

6x + 2y + 3z = 7

2x + 8y + 4z = 12

17. 4x + 3y + 2z = 6

2x - 6y + z = -7

6x + 9y - 3z = 0

18. 10x + 5y - 4z = 6

x + y + 4z = 2

6x + y – 8z = 1

19. 6x - 3y + 2z = 6

2x - y + 4z = 8

3x - 6y + 2z = 2

20. 8x - 6y - 3z = 4

16x - 2y + z = 9

4x – 3y + 6z = 7

21. x + 2z = 5

y + 3z = 14

3x + 2y – 3z = -17

22. 3x + y = 9

2x + z = 3

2x + 3y – 5z = -43

23. x + 2y = 3

y + 2z = 2

3x – 5y + 6z = 8

24. 4y + z = 4

3x + z = 5

3x – 4y + 5z = 16

25. x + 2z = -3

2y + z = 3

2x – 3y = 2

26. x - 3y = 1

y + 2z = 14

3x + 2z = 1

27. 3x + z = 1

3y + 2z = -1

4x - 3y = -1

28. 2x + 3y = -12

4x - z = 3

3y + 9z = 3


247

Resuélvanse los problemas siguientes introduciendo más de una

variable.


1. Entre dos hermanos compran una bicicleta en S/. 300.00.

Encuéntrese la cantidad que aportó cada uno, si uno de ellos

pagó S/.12.00 más que el otro.

156

3122

12

300

x

x

yx

yx

144

156300

300156

y

y

y

Rpta: Pagaron S/.156 y S/.144.

2. Un pescador fue hasta un lago y luego regresó por otro camino

que era 15 km. más largo que el de ida. Si en total recorrió 265

km., encuéntrese la distancia recorrida en cada camino.

140

2802

265

15

x

x

yx

yx

125

140265

y

y

Rpta: 140 Km. Y 125 Km.

3. Un granjero vendió 30 aves, entre gallinas y gallos, en S/. 500.00.

Si recibió S/. 10.00 por cada gallo y S/. 20.00 por cada gallina,

encuéntrese el número de cada variedad.


248

20

20

502

30

5002010

30

y

y

yx

yx

yx

yx

10

2030

x

x

Rpta: Vendió 20 gallinas y 10 gallos.


4. Después de haber pagado Jaime a Francisco S/. 5.00, aquél tenía

la mitad de dinero que éste. Si entre los dos juntaban S/. 21.00,

encuéntrese la cantidad de dinero que originalmente poseía cada

uno.

5. La colecta de la Cruz Roja en una escuela primaria fue de S/.

45.00 Si había 650 niños y cada uno aportó una moneda de cinco

centavos o una de diez centavos, encuéntrese cuántas monedas

de cada valor hubo en la colecta.

6. La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 11. Si los

dígitos se invierten, el número se incrementa en 45. Encuéntrese

el número.

7. La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 8. Si el

número se sustrae del que se obtiene al invertir los dígitos, el

resultado es 18. Encuéntrese el número.

8. Un hombre y su esposa hacen cada uno su lista de compras y

encuentran que la suma de los dos es S/. 850.00. La señora

elimina entonces un artículo cuyo costo equivalía a la novena


249

parte de su pedido y su marido a su vez elimina otro por valor de

un octavo del importe de su lista. Si con estas supresiones podían

gastar S/.100.00 menos, encuéntrese el valor del pedido original

de cada uno.

9. Durante el año de 1950, un propietario recibió S/. 18,100.00 por

concepto de rentas de dos casas, aún cuando una de ellas estuvo

desalquilada dos meses. Si la suma de las rentas por mes, fue

S/. 1,650.00, encuéntrese el valor de la renta de cada una.

10. Un contratista tiene 40 operarios en su lista de raya. A una parte

de ellos les paga a razón de S/. 8.00 diarios y a los otros a S/.

10.00 también diarios. Encuéntrese cuántos trabajadores hay con

un sueldo y cuántos con otro, sabiendo que el importe diario de

salarios es de S/. 350.00.

11. En 10 meses el propietario de una casa recibe por concepto de

renta una cantidad que es S/. 500.00 menor que el 10 por ciento

del valor de la casa. Durante los 12 meses siguientes, y cobrando

S/. 50.00 menos por mes, recibió una cantidad que fue S/. 100.00

mayor que el 10 por ciento del valor de la casa. Encuéntrese el

valor de la casa y la renta mensual durante los 10 primeros

meses.

12. Un grupo de 40 estudiantes hizo un viaje de excursión en un

autobús de alquiler y en varios de sus automóviles. El pago en el

autobús fue a razón de S/.15.00 por persona y los que fueron en

auto contribuyeron con S/. 12.50 cada uno para pagar los gastos.

Encuéntrese cuántos estudiantes viajaron en autobús, sabiendo

que el costo total por transporte fue S/. 575.00.


250

13. Dos jóvenes cuyo peso total es 156 kg., se balancean en una

viga. Si el punto de apoyo está a 2.1 mts., de uno y a 1.8 mts del

otro, encuéntrese los respectivos pesos.

14. Las cantidades que una persona ha invertido en dos compañías

distintas, difieren entre sí en S/. 250.00. La mayor de ellas reditúa

4 por ciento y la otra 3 por ciento. Encuéntrese el valor de cada

una sabiendo que el ingreso total que recibe al año es de

S/. 272.50.

15. Un piloto viajó hasta un aeropuerto 700 km. al norte y regresó al

punto de partida. Durante todo el viaje estuvo soplando viento del

norte a velocidad constante. Encuéntrese la velocidad del avión

relativa al aire y la velocidad del viento, si el tiempo empleado en

la primera parte del viaje fue 7 horas y 5 horas de regreso.

16. Un estudiante va a su casa en vacaciones. El viaje de ida lo hace

en autobús y el de regreso en automóvil, pero por un camino más

corto. Las velocidades medias del autobús y del automóvil fueron

80 km/hr., y 96 km/hr., respectivamente. Encuéntrese las

distancias recorridas en cada parte del viaje, si en total empleó 9

horas, y en el viaje de ida empleó una hora más que en el de

regreso.

17. Dos automóviles de turismo salen del mismo hotel al mismo

tiempo y parten en direcciones opuestas por un camino que

circunda un lago. Cuando se encuentra en el lado opuesto, el

automóvil más rápido ha recorrido 150 km., y el otro, 120 km.

Encuéntrese la velocidad de cada automóvil, si el más rápido hace

el recorrido completo en 1 hora 21 minutos menos que el otro.


251

18. Dos poblaciones, A y B, están a 324 km. una de otra. A las 6

horas sale de A un automóvil para hacer el viaje de ida y regreso

a B, y a las 8:15 horas sale un camión de B para hacer el mismo

recorrido. Se encuentran por primera vez a las 10 horas y vuelven

a encontrarse siete horas más tarde en el viaje de regreso.

Encuéntrese la velocidad de cada automóvil sabiendo que cada

uno perdió una hora antes de iniciar el viaje de regreso.

19. Dos pedazos de metal contienen 10 por ciento y 25 por ciento de

cobre, respectivamente. Encuéntrese el peso de cada uno

sabiendo que al fundirlos conjuntamente se obtienen 60 kg., de

una aleación con 20 por ciento de cobre.

20. Dos diferentes clases de leche, una con 4 por ciento de grasa y la

otra con 3 por ciento, se mezclaron para obtener 80 litros de leche

con 3 ¼ por ciento de grasa. Encuéntrese cuántos litros de cada

clase de leche se emplearon.

21. Dos soluciones de un ácido, una con 97 por ciento y otra con 90

por ciento, se mezclaron para obtener 21 litros de solución con 95

por ciento. ¿Cuántos litros de cada solución se emplearon?

22. Un pintor y su ayudante aplican una primera mano de pintura a

una casa en 3 5

3días. Si la aplicación de la segunda mano

requiere cuatro días de los cuales sólo tres trabaja el ayudante,

¿cuánto tiempo emplea cada uno en aplicar una mano?.

Considérese que la aplicación de cada una de las dos manos

requiere igual tiempo.

23. Un aeropuerto B está a 700 km. al este de otro A. Un piloto sale

de A hacia B al mismo tiempo que otro sale de B hacia A y sus


252

aviones se encuentran después de transcurridas dos horas. El

avión que viaja al este completa su recorrido en 1 ½ hora más

tarde, y el que viaja hacia el oeste lo hace 2 3

2 después de haber

encontrado al otro. Si estuvo soplando viento del oeste a razón de

20 km/kr., encuéntrese la velocidad relativa al aire de cada avión.

24. Una persona cerca un terreno rectangular, uno de cuyos lados

menores limita con una carretera. Al mismo tiempo lo divide en

dos partes con una cerca paralela a los lados mayores. A lo largo

de la carretera el costo de la cerca fue S/. 15.00 metro y en las

otras partes S/. 12.00 metro. El costo total fue S/. 5,400.00 y la

cerca de la orilla de la carretera costó S/.3,400.00 menos que la

del resto. Encuéntrese las dimensiones del terreno.

25. Un joven compró un “bat”, una pelota y un guante de béisbol en $

80.00. El costo del guante fue S/. 10.00 mayor que el costo de la

pelota y el “bat” juntos, y el precio de la pelota fue S/. 40.00 menor

que el del “bat” y el guante juntos. ¿Cuánto costó cada uno?

26. Un equipo de fútbol está formado con 45 jugadores de las

escuelas de Preparatoria, de Ingeniería y de Contabilidad. La

suma del número de jugadores de Ingeniería y de Contabilidad es

cinco unidades mayor que el de los de Preparatoria y la suma de

los de Preparatoria e Ingeniería es el doble de los de Contabilidad.

Encuéntrese cuántos miembros de cada escuela hay en el equipo.

27. Una colecta produjo S/. 32.00 en monedas de diez, veinticinco y

cincuenta centavos. ¿Cuántas monedas de cada clase había si en

total eran 150 y la suma de monedas de diez y de veinticinco

centavos importó S/. 22.00?


253

28. La suma de los tres dígitos de un número es 11. Si se añade 396

al número, se intercambian los dígitos de las centenas y de las

unidades. Si se agrega 27 al número original, los dígitos de las

decenas y de las unidades del número quedan intercambiados.

Encuéntrese este número.

29. La suma de las edades de un padre, de su hijo y de su hija es 65

años. Si diez años más tarde el padre tiene el doble de la edad del

hijo y hace cinco años la edad de éste era el doble de la de su

hermana, encuéntrense las edades de cada uno.

30. Un granjero camina a caballo hasta su rancho a razón de 9.6

km/hr., luego toma su automóvil y se dirige a la estación de

ferrocarril a 64 km/kr., y asciende al tren que lo lleva a 80 km/kr.,

hasta la ciudad más próxima. La distancia total recorrida fue

577.20 km. y el tiempo empleado 9 ½ horas. Si permaneció 5

horas más en el tren que en el recorrido a caballo, encuéntrense

las distancias de cada tramo.

31. Tomas, Ricardo y Enrique pueden segar un campo en 1 3

1 hora

trabajando conjuntamente. Cuando sólo trabajan Tomás y Enrique

se necesitan 2 3

2hora para hacer la misma tarea, y Ricardo y

Enrique pueden hacerlo en 2 horas. ¿Qué tanto tiempo emplearía

cada uno trabajando solo?


254

Resuélvanse por medio de determinantes los siguientes sistemas de

ecuaciones.

17. 3x – y = 5

2x + 3y = 7

18. 2x + 5y = -4

x - 3y = 9

19. x + 2y = 4

3x + y + 3 = 0

20. 4x – 5y = -3

3x + 2y + 8 = 0

Resuélvanse las ecuaciones simples de segundo grado, señaladas en

los problemas 2 a 20.

Observación:

a. Si son cuadrados perfectos, factorice y resuelva.

EJERCICIO RESUELTO

1. 25x2 – 36 = 0

065

065

06565

03625 2

x

x

xx

x

5

6

5

6

2

1

x

x


255


2. x2 – 4 = 0

3. 16x2 – 1 = 0

4. 49x2 – 9 = 0

b. Se puede simplificar convierta en cuadrados perfectos.

EJERCICIO RESUELTO

5. 7x2 – 28 = 0

022

04

;0287

2

2

xx

x

x

02

02

x

x

2

2

2

1

x

x


6. 8x2 – 32 = 0

7. 3x2 – 27 = 0

8. 2x2 – 18 = 0


256

c. Si al simplificar no encuentra cuadrados perfectos; procesa a su desarrollo:

EJERCICIOS RESUELTOS 9. 3x2 – 4 = 0

3

32x

3

32;

3

3221 xx

10. 3x2 + 27 = 0

ixix

iixx

x

xx

xx

33

1313

19

99

3

2730273

21

2

22


11. 2x2 – 9 = 0

12. 4x2 – 12 = 0

13. 10x2 – 45 = 0

14. x2 – 4 = 0

15. 5x2 + 45 = 0

16. 6x2 + 24 = 0

17. 4x2 -100 = 0

18. 16 x2 + 9 = 0

19. 8x2 + 50 = 0

20. x2 + 5 = 0

21. 3x2 + 21 = 0

3

2;

3

4

3

4

43

043

2

2

2

xx

x

x

x


257

Resuélvanse por factorización las ecuaciones siguientes:


22. x2 – x – 2 = 0

1

1

2

022

x

x

xx

1

01

2

02

2

1

x

x

x

x

012 xx

23. 2x2 + 7x + 3 = 0

7

63

11

0372 2

x

x

xx

3

03

2

1

12

012

2

1

1

x

x

x

x

x

0312 xx

24. 14x = 8x2 + 3

14

1232

214

03148

03148

3814

2

2

2

x

x

xx

xx

xx

- Se ordena. - Si el término cuadrático tiene

signo negativo, se cambiará de signo.


258

4

1

14

014

x

x

x

2

3

32

032

x

x

x


25. x2 – x – 6 = 0

26. x2 + 36 = 0

27. x2 + x = 20

28. x2 + 4x + 3 = 0

29. x2 + 2 = 3x

30. x2 + 12 = 7x

31. x2 – 6x + 5 = 0

32. 2x2 + 1 = 3x

33. 3x2 – 2x = 1

34. 4x2 = 1 – 3x

35. 2x2 + 3x + 1 = 0

36. 3x2 + 2 = 7x

37. 4x2 + 7x = 2

38. 4x2 = 11x + 3

39. 6x2 = 1 – x

40. 6x2 = 3 – 7x

41. 6x2 + 17x + 5 = 0

42. 6 = 6x2 + 5x

43. 6x2 – 6 = 5x

44. 10x2 = 3 – 13x

45. 12x2 = 3x + 2

46. 10x2 – 11x = 6

47. 20x2 + 6 = 23x

48. 16x2 = 2x + 5

49. x2 – x – 6 = 0


259

50. 40x2 + 6 = 31x

51. 21x2 = 5x + 6

52. x2 – x – 6 = 0

53. 52x = 12 + 35x2

54. 33x = 40x2 – 18

55. 7x = 15 - 36x2

56. 35x2 + 94x + 24 = 0

57. 16x2 = 54x - 35

58. 15 = 64x2 + 68x

59. 45x2 = 69x + 10

60. 36x2 + 69x + 28 = 0

61. 34x + 15 = 72x2

62. x2 + 2ax = 3a2

63. 6x2 + bx – 2b2 = 0

64. 2a2x

2 – abx – 3b

2 = 0

65. 3d2x2 + 2dcx – 8c2 = 0

66. x2 – ax – bx + ab = 0

67. abx2 + a2x + b2x + ab = 0

68. 2x2 – ax + 2bx – ab = 0

69. 3ax2 + 9ax + 2x + 6 = 0

Resuélvanse, completando el cuadrado, las ecuaciones de los

problemas 4 a 60.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. x2 = 4x + 21

612

612

622

642

242

242

242

42144

214

0214

2

1

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx- Se pasa el término

independiente al segundo término.

- Se forma el trinomio cuadrado.

- Se factoriza. - Se halla la raíz. - Se despeja y

simplifica.


260

2. x2 + ax = 2a2

axa

x

axa

x

aax

aax

aax

aa

aaxx

2;2

4

;2

2

2

3

2

4

9

2

4

9

2

42

4

22

11

2

22

22

22

3

1;

3

5

3

23

233

233

433

433

599189

5189

1859

21

2

2

2

2

xx

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

3. a2x2 – a3x + a2b – b2 = 0

a

ababax

a

ababax

a

ababax

ababaax

ababaax

ababaax

ababaxaxa

bbaxaxa

4222

2

4222

1

4222

4222

4222

42222

4224322

22322 0


261


4. x2 + 4x + 3 = 0

5. x2 + 2x – 8 = 0

6. x2 + 2x – 24 = 0

7. 9x2 + 5 = 18x

8. x2 = 2 - x

9. x2 + x – 6 = 0

10. x2 = 5x – 6

11. x2 – 4 = 3x

12. 4x2 + 15 = 16x

13. 4x2 = 8x + 5

14. 3x2 – 2x = 5

15. 2x2 + 3x = 2

16. 3x2 + 7x - 6 = 0

17. 2x2 – x = 0

18. 3x2 – 5x = 2

19. 3x2 + 10x = 8

20. 6x2 = x + 15

21. 6x2 + 2 = -7x

22. 10x2 + 3 = - 17x

23. 8x2 – 22x – 21 = 0

24. 12x2 = -11x – 2

25. 10x2 – 7x = 12

26. x2 + 6x = 5

27. x2 – 2x = 1

28. x2 + 1 = 4x

29. x2 + 7 = 6x

30. x2 = 2x + 2

31. 4x2 = 4x + 1

32. 9x2 + 1 = 12x

33. 4x2 + 1 = 12x

34. 4x2 – 2x = 1

35. 3x2 + 6x + 2 = 0


262

36. 9x2 + 9x + 1 = 0

37. 4x2 + 9 = 16x

38. 9x2 + 23 = 30x

39. x2 + 2x + 2 = 0

40. x2 + 5 = 4x

41. x + 2x + 10 = 0

42. x2 + 13 = 6x

43. 2x2 + 1 = 2x

44. 2x2 + 5 = 6x

45. 9x2 – 6x + 5 = 0

46. 9x2 – 12x + 5 = 0

47. 4x2 + 7 = 8x

48. 4x2 + 8x + 7 = 0

49. x2 + 5x + 7 = 0

50. 9x2 + 18x + 14 = 0

51. x2 – 3b2 = 2bx

52. x2 – ab = (a – b) x

53. x2 – 2ab = (b – 2a) x

54. x2 – 2ax + a2 – b2 = 0

55. b2x2 – b3x = a2 – ab2

56. abx2 – (a2 – b2) x – ab = 0

57. 6x2 + (2b - 3a) x = ab

58. (a + b) x2 – 2ax = b – a

59. a2x2 – a2x = ab + b2

60. (a2 - b2) x2 + 4abx + 1 = 0

Resolver las ecuaciones:

1. x2 – 5x + 6 = 0

2. x2 – 5x + 4 = 0

3. x2 + x – 6 = 0

4. x2 – 2x – 8 = 0

5. 2x + 3 = 7x

6. 3x2 + x = 2


263

7. 4x2 + 7x – 2 = 0

8. 5x2 + 3x – 2 = 0

9. 6x2 + 5x = 6

10. 15x2 = 14x + 8

11. 12x2 + 6 = 17x

12. 40x2 = 7x + 20

13. 16x2 + 18x + 5 = 0

14. 8x2 + 18x + 9 = 0

15. 27x2 = 12x + 7

16. 56x2 + 17x – 28 = 0

17. x2 – 2x = 1

18. x2 + 4x = - 1

19. x2 – 6x + 7 = 0

20. x2 + 6x + 4 = 0

Use la fórmula de la ecuación de segundo grado para efectuar las

operaciones que se requieran en los problemas 22 a 28.

EJERCICIO RESUELTOS

21. Resuélvase 4x2 – 9y2 - 2x + 9y – 2 = 0 para y.

22;9;9

2

4

022499

022499

029294

2

2

22

22

22

xxcba

a

acbby

xxyy

xxyy

yxyx

Ordene para “y”

Cambie de signo

Represente la fórmula de una ecuación de segundo grado.

Indique las constantes

Reemplace y desarrolle.


264

18

936369

18

936369

18

727236819

92

2294819

2

2

2

2

xxy

xxy

xxy

xxy

18

369

18

3692

xy

xy

3

2

3

1

18

66

2

1

1

xy

xy

xy


22. Resuélvase y2 – x2 – 3x + y – 2 = 0 para y.

23. Resuélvase y2 – x2 + 5x + y – 6 = 0 para y.

24. Resuélvase y2 – 4x2 + 8x - 2y – 3 = 0 para x.

25. Resuélvase 9x2 – y2 -- 3x + 3y – 2 = 0 para x.

26. Resuélvase y2 – 9x

2 + 12x - 4 = 0 para x.

27. Resuélvase x2 – 16y2 + 24y - 9 = 0 para y.

28. Resuélvase 9y2 – 16x2 + 6y + 16x – 3 = 0 para x.


265

Resuélvanse las ecuaciones de los problemas 29 a 40 empleando la

fórmula de la ecuación de segundo grado, y encuéntrense las raíces

con tres cifras decimales con ayuda de la Tabla.

29. 3x2 – 2x – 2 = 0

30. 2x2 = 3x + 18

31. 4x2 + 6x = 9

32. 6x2 + 8x = 9

33. 5x2 – 5x + 1 = 0

34. 2x2 – 9 = 4x

35. 7x2 = 2x + 1

36. 8x2 + 6x = 3

37. 10x2 – 3 = 4x

38. 3x2 = 12x – 1

39. 12x2 – 4x = 3

40. 9x2 – 3x – 4 = 0

Para resolver una ecuación que comprende radicales de segundo orden,

se efectúan los pasos siguientes:

1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al

otro miembro los demás términos.

2. Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación obtenida

y se igualan entre sí.

3. Si la ecuación que se obtenga no contiene radicales se resuelve

para x. Si por el contrario contiene uno o más radicales se

resuelve para x. Si por el contrario contiene uno o más radicales

se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación sin

radicales. Luego se resuelve esta última ecuación para x.


266

4. Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos para x

en el paso anterior y se determinan los valores de x que son

raíces y los que no lo son.

El proceso de aplicar los pasos 1 y 2, hasta liberar la ecuación de

radicales, se conoce con el nombre de racionalización de la ecuación.

PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO


1. Encuéntrense dos números consecutivos, enteros, positivos,

sabiendo que la suma de sus cuadrados es 85.

2. Encuéntrense dos números consecutivos enteros, cuyo producto

es mayor en 41 a su suma.

3. Encuéntrense un número positivo tal que su cuadrado menos

cinco veces el número, sea igual a 14.

4. Encuéntrense un número negativo talque su cuadrado más tres

veces el mismo número sea 40.

5. Encuéntrense dos números que difieran entre sí en 18 y cuyo

producto sea 144.

6. Encuéntrense dos números cuya diferencia sea 2, y cuyo producto

sea 288.

7. Divídase 40 en dos partes tales que el producto de ellas sea 256.

8. Divídase 33 en dos partes tales que el producto de ellas sea 216.


267

9. Si cada lado de un cuadrado se incrementa en 2 unidades, la

superficie se multiplica por 4. Encuéntrense la longitud original de

los lados.

10. La suma de un número y de su recíproco es 13/6. Encuéntrense el

número.

11. Encuéntrense el número que es 4 veces mayor que 12 veces su

recíproco.

12. La suma de un entero y del recíproco de su consecuente es 13/4.

Encuéntrense el número.

13. El área de un rectángulo es 36mt2 y el largo excede al ancho en 5

mts. Encuéntrense las dimensiones del rectángulo.

14. La superficie de un terreno rectangular es 9,800 mts2, y el largo

excede en 70 mts. al ancho. Encuéntrense las dimensiones del

terreno.

15. El área del piso de un cuarto rectangular es 240 mts.

Encuéntrense sus dimensiones sabiendo que el largo es 4 metros

menor que el doble del ancho.

16. El largo de un rectángulo es 7 cm. mayor que el ancho, y la

diagonal mide 13 cm. Encuéntrense las dimensiones del

rectángulo.

17. El perímetro de un rectángulo mide 40 mts. y el área 96 mts2

Encuéntrense sus dimensiones.

18. Un granjero construye un establo rectangular aprovechando para

uno de los lados la pared de un granero. La superficie del establo


268

es 200mts2, y en los otros lados emplea 40 mts. de cerca.

Encuéntrense las dimensiones del establo.

19. Encuéntrense los catetos de un triángulo rectángulo, sabiendo

que difieren entre sí y en 7 mts. y que el área es 30 mts.2.

20. El área de un triángulo rectángulo es 84 mts.2. Encuéntrense las

dimensiones de los catetos sabiendo que difieren entre sí 17

metros.

21. El lado de un cuadrado es 3 cm. menor que el largo de un

rectángulo y 4 cm. mayor que el ancho. Encuéntrense las

dimensiones de cada uno sabiendo que el área del cuadrado es el

doble de la del rectángulo.

22. Las dimensiones exteriores de un cuadro enmarcado son 20 y 18

cms. Encuéntrense el ancho de la moldura sabiendo que su área

es ¼ del área del cuadro sin marco.

23. Dos muchachos reman en una canoa y recorren 6 km. Río abajo.

Regresan a su punto de partida empleando en total 4 horas. Si la

velocidad de la corriente es 2 km/hr., encuéntrese la velocidad de

la canoa relativa al agua.

24. Un piloto hizo un viaje contra el viento y regresó a su punto de

partida en 4 ½ horas. Encuéntrese la velocidad del avión relativa

al aire, sabiendo que la velocidad del viento fue 20 km/hr. y el

recorrido total 400 kms.

25. Un avión recorrió 1,000 kms. a velocidad uniforme. Su hubiera ido

50 km/hr. más aprisa hubiera empleado 1 hora menos en el viaje.

Encuéntrese la velocidad de crucero.


269

26. Un automóvil viajó 140 kms. a velocidad uniforme. Otro recorrió

180 kms. a una velocidad mayor a la del anterior en 5 km/hr., y

empleó 30 minutos más en su recorrido. Encuéntrese la velocidad

de cada automóvil.

27. Un mensaje debe ser transportado a una distancia de 35 kms.

Una persona lo lleva durante 20 kms. a una velocidad uniforme, y

otra lo lleva el resto de la distancia a una velocidad que es menor

en 2 ½ km/hr. Encuéntrese cada velocidad si el tiempo total del

recorrido es de 4 horas.

28. Un carpintero puede hacer cierto trabajo en 2 días menos que su

ayudante. Trabajando conjuntamente puede hacer el trabajo en 2

2/5 días ¿Cuántos días empleará cada uno en hacerlo trabajando

separadamente?

29. Un hombre y su hijo pueden pintar un automóvil en dos días. ¿En

cuánto tiempo pueden pintarlo cada uno si el hijo requiere para

ello 3 días más que el padre?

30. Un hombre compró dos granjas en $ 450,000.00 cada una. Si

pagó $ 500.00 más por hectárea en una que en otra y si en total

compró 750 hectáreas, encuéntrense el precio por hectárea de

cada una.

31. Un comerciante vendió 2 lotes de huevos en $ 220.00 y $ 150.00

respectivamente, habiendo 10 docenas más en el primero que en

el segundo. Si el precio por docena del primer lote fue 50

centavos mayor que el del segundo, encuéntrense cuántas

docenas había en cada uno.


270

32. Los muchachos de cierta familia compraron a prorrata un

automóvil usado en $ 6,000.00. Después de 6 meses uno de ellos

vendió su parte a los otros en $ 900.00. Cuando este costo

adicional se repartió entre los demás hermanos, cada uno

contribuyó con una cantidad de $ 120.00 menor que la aportada

originalmente. ¿Cuántos muchachos eran?


271

CAPÍTULO VI

DESIGUALDADES: INECUACIONES

Se dice que una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la

diferencia a – b es positiva. Así 4, es mayor que –2 porque la diferencia

4–(-2) = 4 + 2 = 6 es positiva; -1 es mayor que –3 porque –1–(-3)=-1+3=2

es una cantidad positiva.

Se dice que una cantidad a es menor que otra cantidad b cuando la

diferencia a – b es negativa. Así, -1 es menor que 1 porque la diferencia

–1 –1 = -2 es negativa: -4 es menor que –3 porque la diferencia –4 – (-3)

= -4 + 3 = -1 es negativa.

De acuerdo con lo anterior, cero es mayor que cualquier cantidad

negativa.

Así, 0 es mayor que –1 porque 0 – (-1) = 0 + 1 = 1, cantidad positiva.

6.1 DESIGUALDAD

Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor

que otra.

Los signos de desigualdad son , que se lee mayor que, y que se lee

menor que. Así 5 3 se lee 5 mayor que 3; -4 -2 se lee –4 menor que

–2.


272

MIEMBROS

Se llama miembro de una desigualdad a la expresión que está a la

izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del signo de

desigualdad.

Así, en a + b c – d el primer miembro es a + b y el segundo c – d.

TÉRMINOS

De una desigualdad son las cantidades que están separadas de otras

por el signo + 0 – 0 la cantidad que está sola en un miembro. En la

desigualdad anterior los términos son a, b, c y –d.

Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sentido

cuando sus primeros miembros son mayores o menores, ambos, que los

segundos.

Así, a b y y c d son desigualdades del mismo sentido.

Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo

sentido cuando sus primeros miembros no son ambos mayores o

menores que los segundos miembros. Así, 5 3 y 1 2 son

desigualdades de sentido contrario.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1) Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta

una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía.

Así, dada la desigualdad a b, a + c b + c y a – c b – c.

podemos escribir:


273

Consecuencia:

Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un

miembro al otro cambiándole el signo.

Así, en la desigualdad b + c podemos pasar c al primer miembro

con signo – y quedará a – c b, porque equivale a restar c a los

dos miembros.

En la desigualdad a – b c podemos pasar b con signo + al

segundo miembro y quedará a b + c, porque equivale a sumar b a

los dos miembros.

2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o

dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la

desigualdad no varía.

Así, dada la desigualdad a b y siendo c ac bc y c

a c

b

una cantidad positiva, podemos escribir

Consecuencia:

Se pueden suprimir denominadores en una desigualdad, sin que

varíe el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar

todos los términos de la desigualdad, o sea sus dos miembros, por

el m.c.m. de los denominadores.

3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o

dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la

desigualdad varía.

Así, si en la desigualdad a b,


274

multiplicamos ambos miembros -ac -bc

por –c, tendremos:

y dividiéndolos por –c, o sea c

a -

c

b

multiplicando por - c

1, tendremos:

Consecuencia:

Si se cambia el signo a todos los términos, o sea a los dos

miembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad varía

porque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad

por –1.

Así, si en la desigualdad a – b - c cambiamos el signo a todos

los términos, tendremos: b – a c

4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de

signo.

Así, si a b es evidente que b a.

5) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de

signo.

Así, siendo a b se tiene que a

1

b

1.

6) Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan

a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no

cambia.

Así, 5 3. Elevando al cuadrado: 52 32 o sea 25 9


275

7) Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a

una potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no

cambia.

Así, - 3 - 5. Elevando al cubo: (-3)3 (-5)3 o sea – 27 - 125.

2 - 2. Elevando al cubo: 23 (-2) o sea 8 - 8.

8) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma

potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia

Así, -3 - 5. Elevando al cuadrado: (-3)2 = 9 y (-5)2 = 25 y queda 9

25.

9) Si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a

una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad

puede cambiar.

Así, -3 - 5. Elevando al cuadrado: 32 = 9 y (-5)2 = 25 y queda 9

25. Cambia.

8 - 2. Elevando al cuadrado: 82 = 64 y queda 64 4. No Cambia.

10) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les

extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no

cambia.

Así, si a b y n es positivo, tendremos: n a n b .

11) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o

multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del

mismo signo.

Así, si a b y c d, tendremos: a + c b y ac bd


276

12) Si dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen

miembro a miembro, el resultado no es necesariamente una

desigualdad del mismo signo, pudiendo ser una igualdad.

Así, 10 8 y 5 2. Restando miembro a miembro: 10 – 5 = 5 y 8 –

2 = 6; luego queda 5 6; cambia el signo.

Si dividimos miembro a miembro las desigualdades 10 8 y 5 4,

tenemos 5

10 = 2 y

4

8 = 2; luego queda 2 = 2, igualdad.

6.2 INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más

cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para

determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones se llaman

también desigualdades de condición.

Así, la desigualdad 2x – 3 x + 5 es una inecuación porque tiene la

incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8.

En efecto: Para x = 8 se convertiría en igualdad y para x 8 se

convertiría en una desigualdad de signo contrario.

Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que

satisfacen la inecuación.


277

PRINCIPIOS EN QUE SE FUNDA LA RESOLUCIÓN DE LAS

INECUACIONES

La resolución de las inecuaciones se funda en las propiedades de las

desigualdades, expuestas anteriormente, y en las consecuencias que de

las mismas se derivan.

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES

1. Resolver la inecuación 2x – 3 x + 5

Pasando x al primer miembro y 3 al segundo:

2x – x 5 + 3

Reduciendo: x 8. R.

8 es el límite inferior de x, es decir que la desigualdad dada sólo

se verifica para los valores de x mayores que 8.

2. Hallar el límite de x en 7 - 2

x

3

x5 - 6

Suprimiendo denominadores: 42 – 3x 10x – 36

Transponiendo: -3x – 10x - 36 – 42.

-13x - 78

Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el

signo de la desigualdad, se tiene: 13 x 78.

Dividiendo por 13: x 13

78 o sea x 6. R.

6 es el límite superior de x, es decir, que la desigualdad dada sólo

se verifica para los valores de x menores que 6.


278

3. Hallar el límite de x en (x + 3) (x – 1) (x – 1)2 + 3x.

xxxxx

xxxx

31232

3)1()1)(3(

22

2

Transponiendo:

3132222 xxxxx Simplificando

4x El límite superior es 4; se verifica el valor de x, para números menores que “4”

Hallar el límite de x en las inecuaciones siguientes:


1. 2x - 3

5

3

x + 10.

3

155

5106

1056

1033

52

x

x

xx

xx

xx

4 0

4

0

3


279

2. 6 (x2 + 1) – (2x – 4) (3x + 2) 3 (5x + 2)

1

19

0)1)(19(

01918

038362

03264812242244

32482442846126

)8126(4)7(4)12(6

2

2

2233

23232

2322

x

x

xx

xx

xx

xxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx


3. x – 5 2x – 6.

4. 5x – 12 3x – 4.

5. x – 6 21 – 8x.

6. 3x – 14 7x – 2.

7. 3x – 4 + 4

x

2

x5 + 2

8. (x –1)2 – 7 (x – 2)2

9. (x + 2) (x – 1) + 26 (x + 4) (x + 5)

10. 3(x-2) +2x (x + 3) (2x – 1) (x + 4)

11. (x – 4) (x + 5) (x – 3) (x – 2)

12. (2x – 3)2 + 4x2 (x – 7) 4 (x – 2)3

1 19

191 x


280

13. 1x3

1x2

2x3

5x2

14. 3

3x -

2x

4

3

x

15. 1x3

5 -

1x9

92

1x3

2

16. xx

12

xx

12

- xx

12

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON RADICALES QUE SE

REDUCEN A PRIMER GRADO

Vamos a estudiar la resolución de ecuaciones en las cuales la incógnita

aparece bajo el signo radical.

Ejemplos:

1. Resolver la ecuación 1x215x4 2

Aislando el radical: 1x215x4 2

Elevando al cuadrado ambos miembros para eliminar el radical:

22 )15x4( = (2x – 1)2 o sea 4x2 – 15 = 4x2 – 4x + 1.

Suprimiendo 4x2 en ambos miembros:

-15 = - 4x + 1

4x = 16

x = 4. R.

2. Resolver la ecuación: 51x4x

Aislando un radical: 1x54x


281

Elevando al cuadrado: 22 )1x5()4x(

O sea: x + 4 = 52 – 2 x 5 1x + 2)1x(

Efectuando: x + 4 = 25 – 10 1x + x – 1

Aislando el radical: x + 4 - 25 – x + 1 = - 10 1x

Reduciendo: - 20 = - 10 1x

20 = 10 1x

Dividiendo por 10: 2 = 1x

Elevando al cuadrado: 4 = x – 1

x = 5. R.

3. Resolver la ecuación : 02x21x7x

Aislando un radical: 7x + 1x = 2 2x

Elevando al cuadrado: 2)7x( + 2 ( 7x ) ( 1x ) +

)2x(4)1x( 2

Efectuando: x + 7 + 2 7x6x2 + x – 1 = 4x + 8

Aislando el radical: 2 7x6x2 = 4x + 8 – x – 7 – x + 1

Reduciendo: 2 7x6x2 = 2x + 2

Dividiendo por 2: 7x6x2 = x + 1

Elevando al cuadrado: x2 + 6x – 7 = (x + 1 )

2

O sea : x2 + 6x – 7 = x2 + 2x + 1

6x – 2x = 7 + 1

4x = 8

x = 2. R.


282



1. 8x = 2

2. 5 - 1x3 = 0

3. 7 + 92x53

4. 1x35x9 2

5. x91x2x2

6. 15 - 121x73

7. 77xx

8. 914x35x3

9. 119x10x

10. 29x2711x4

11. 1x519x5

12. 53x52x

13. 410x314x9

14. 48x16x

15. 26x531x5

16. x2x41313

17. 1x24x4x

18. 07x16x7x9

19. 2x3x210x9

20. 01x224x28x18

21. 07x234x189x8

22. 23x45x2x

23. 9x270x96x

24. a2x4axax

25. xb2ab4x

26. 11a2xa4x


283

ECUACIONES CON RADICALES EN LOS DENOMINADORES

Resolver la ecuación: 1x

21x4x

Suprimiendo denominadores: 2)1x(4x3x 22

2)1x(4x3x2

1x4x3x2

Elevando al cuadrado: x2 + 3x – 4 = x2 + 2x + 1

3x – 2x = 4 + 1

= R.



1.x

105xx

2.11x4

55x211x4

3.x

47xx

4.13x

1x

4x

2x

5. x8x5x

6

6. 9x9x

83x

7.1x

11x

2x

4x

8.3x4

93x46x2

9.1x2

5x2

2x

2x

10.7x

67x14x


284

Resolver las ecuaciones exponenciales siguientes:

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

42x

2. (105-x)6-x = 100


3. xxx aa )()( 2

4. (ab-x)x = ax

5. (43-x)2-x = 1

6. xx aa

7. 100 . 10x = x 51000

8. 2x+1 + 4x = 80

4

4

16

16

)()(

1

2

16

28

2

x

x

x

x

aa

aa

x

xx

Los resultados negativos no tienen validez en las ecuaciones exponenciales y logarítmicas

4

7

047

02811

021130

1010

10010

2

1

2

2

265

65

x

x

xx

xx

xx

xx

xx


285

9. 2x + 4x = 272

10. 2x+3

+ 4x+1

= 320

11. 3x+2 + 9x+1 = 810

Resolver las ecuaciones siguientes:


1.

2.


2. 3x = 177 147

3. 2

151

4

3x

4. 3x/2 = 768

5. 243x-2 = 10 000

1

4

014

045

595

5.77

168077

2

1

2

2

95

55

2

2

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

2

33

93103

093103

09033

08103939

81093

2

2

2

12

x

x

xx

xx

xx

xx

xx


286

6. 3 x = 243

7. 5x-3x = 625

8. x 12x72x = 1

9. 6 862x184x = 7 776

10. 2x+1 + 4x = 80

11. 3x + 9x = 6 642

12. 2x+3 + 4x+1 = 320

13. 52x – 7 . 5x – 450 = 0

14. 72x – 6 . 7x + 5 = 0

15. . 32x – 7 . 3x – 3 456 = 0

16. 2 . 5x - x5

375779 - 3 = 0

17. 3x+1 + 3x-2 - 1x3

15 =

2x3

247

18. 3x+1 - 3x-2 - 3x-3 + 3x-4 = 750

19. 32x . 52x-3 = 7x-1 . 4x+3

20. 2x+3 = 192 . 3x-3

21. (a4 – 2ª2b2 + b4)x-1 = 2

x2

)ba(

)ba(

22. a . a3 . a5 . a7 … a2x-1 = 11

Aplicación: a = 2, n = 512 ; a = 2, n = 65 536


287

LOGARITMOS

Historia: El calculo quedo muy simplificado a principios del siglo XVII

(1614) con la invención de los logaritmos. Dio las pautas Vieta (1590) lo

referente a los logaritmos.

El varon Napier o Neper de Menchistaun (Escoces, 1500-1617) invento

los logaritmos, que le costo mas de 20 años razonan las propiedades y la

existencia de los logaritmos. En la que es la base del logaritmo natural.

!

1............

!2

1

!1

1

!0

1

n

Operacional muchas tablas y 1630 los logaritmos formaban parte del

equipo de los astrónomos.

Briggs (ingles 1561-1631) publico su tabla en base diez y es utilizada

simultáneamente.

Definición: Es el exponente, a la que se debe elevar un numero llamado

base; para encontrar el número dado.

Clases: Tal como hemos indicado en la ligera historia de los logaritmos:

1. Logaritmos Naturales o Neperianos, cuya base es el numero

trascendente epsilon

)......(718281828.2 Ln

2. Logaritmos comunes vulgares de Briggs, cuya base es el numero

diez(10) (log)


288

Propiedades:

I. Los números negativos no tienen logaritmos.

II. EL logaritmo del numero UNO (1) es (0).

III. El logaritmo de los números mayores que el número uno (1) son

positivos.

IV. El logaritmo de los números mayores que cero (0) y menores que el

numero uno (1) son negativos.

V. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de

las expresiones a efectuar;

cbacba logloglog,,log

VI. El logaritmo de un cociente, es igual al logaritmo del dividendo menos

el logaritmo del divisor.

dcbacd

ablogloglogloglog

VII. El logaritmo de una potencia es igual a la potencia por el log de la

base

cubmnnc

bau

mn

loglogloglog

VIII. El logaritmo de una raíz, es igual al logaritmo de la expresión sub-

radical, dividido entre el índice de la raíz.

n

ducxbyam

dc

ban

ux

ym logloglogloglog


289

EJERCICIO RESUELTO

1.


1. x + y = 65

2. x2 + y

2 = 425

3. logx = = log24 - log 8

4. 2logx = log 192 + log ¾

5. log x = 3 log 18 – 4 log 12

6. log x – log 288 = 3 log x/2

7. log x + log y = 2

8. x4 + y4 = 641

9. 2log x + 2 log y = 2

10. log x + log y = 3

6

6

36

8

288

2888

2888

288

8

288log

2

log

288log2

log3log

2log3288loglog

1

2

3

3

3

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

xx

xx


290

11. 5x2 – 3y2 = 11 300

12. log x - log 5 = 0,5

13. log x + 2 log y = 1,505150

14. 2 log y – log x = 0,124939

15. log3+2logx+logy = 1,732393

16. logx – log 5 = log 10

17. 53x-2y = 3 125

18. 116x-7y = 14 641

19. log x + log y = 3/2

20. log x – log y = 1/2

21. 3x . 4y = 3 981 312

22. 2y . 5x = 400 000

23. 2yxx

24. (x + y) 3x = 279 936


291

CAPÍTULO VII

RELACIONES

Establecer una relación en matemática es utilizado con frecuencia; así,

como en la vida cotidiana: “es igual a”, “es menor que b”; “es congruente

a”; etc. Una de las relaciones más importantes es la:

7.1 RELACIÓN BINARIA

Si se tienen dos conjuntos A y B; se denomina relación binaria al

conjunto formado con un elemento de A y otro, de B; en ese

orden:

Ej: A = {a; b; c; d} y B = {f; g; h}

R. B. = { (a; f) ; (a; h) ; (d; f) ……. }

Las Relaciones Binarias se representan entre paréntesis.

Al conjunto A se le denomina Dominio o Primera Proyección y al

Conjunto B: Recorrido o segunda Proyección.

Se denomina Relación Inversa y se representa R-1 a la relación

que existe entre B y A.

Existen también relaciones: Ternaria; lo mismo que N-ARIA

cuando intervienen tres o más conjuntos:

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS

Una relación binaria R entre elementos de un conjunto A puede

ser:

1) reflexiva : x : x A (x; x) R.


292

2) no reflexiva : x / x A (x; x) R.

3) a-reflexiva : x : x A (x; x) R.

La propiedad 2 es la negación de la propiedad reflexiva.

En el caso 3 ninguna cupla con elementos iguales pertenece a la

relación.

4) simétrica : (a; b) R (b; a) ‟R‟

5) no – simétrica : (a; b) R / (b; a) R.

6) a-simétrica : (a; b) R (b; a) R.

7) anti-simétrica : [(a; b) R (b; a) R] a = b

8) transitiva : [(a; b) R (b; c) R] (a; c) R

9) No-transitiva : (a; b) R (b; c) R / (a; c) R

10) a-transitiva : [(a; b) R (b; c) R ] (a; c) R

11) lineal o conexa : [a A b A a b] (a;b) R v

(b;a) R

Ley de tricotomía: a A, b A: a R b v b R a v a = b

TIPOS DE RELACIONES

Las relaciones binarias definidas en un conjunto pueden cumplir o

no las propiedades anteriores. Las relaciones más usuales en

matemática son:

a) Relaciones de equivalencia.

b) Relaciones de orden.

c) Relaciones funcionales o aplicaciones.


293

7.2 RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Definición: una relación binaria R en un conjunto A es de

equivalencia si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva.

O sea, una relación binaria R (simbolizada ) en un conjunto A es

una relación de equivalencia si y sólo si posee las siguientes

propiedades:

E1 : a A a a

E2 : a b b a

E3 : [a b b c] a c

Ejemplos:

a) La relación de “congruencia módulo n” para n número

natural, definida en el conjunto de los números enteros, es

una relación de equivalencia.

Sea Z el conjunto de los enteros y a b3 a – b = 3q con

q Z.

E1 : a Z, a – a = 0 a a3

E2 : a Z, b Z, a – b = 3q b - a = 3 (-q)

o sea a b3 b a3

E3 : a Z, b Z, c Z, [a – b = eq b – c = 3q‟]

a – c = 3 (q + q‟) = 3h

o sea [a b3 b a3] a c3

b) Otras relaciones de equivalencia:

A = {a/a número natural} y R: “idéntico a”


294

B = {b/b círculo en el plano euclídeo} y R: “tiene igual radio

que”

C = {c/c triángulo en el plano euclídeo} y R: “tiene igual área

que”

D = {p/p es una proposición} y R: “sí y sólo sí”

Clases de equivalencia y conjunto cociente

Ya se ha probado que la relación de congruencia módulo n,

definida sobre el conjunto Z de los enteros, es una relación de

equivalencia.

Si se considera en especial la congruencia módulo 3, esta relación

separa a los números enteros en tres clases no vacías y disjuntas:

Z0 = {......., -9, -6, -3, 0, 3, 6.....}

Z1 = {......., -8, -5, -2, 1, 4, 7.....}

Z3 = {......., -7, -4, -1, 2, 5, 8.....}

7.3 PARTICIÓN DE UN CONJUNTO

La serie de lemas anteriores permite demostrar, según ya se ha

indicado, que toda relación de equivalencia definida en un

conjunto separa a sus elementos, de manera única, en clases no

vacías y disjuntas dos a dos, es decir, establece una partición del

conjunto dado.

Definición:

Un conjunto {A1, A2, A3, A4,......} de subconjuntos no vacíos de un

conjunto A es una partición de A si y sólo si:


295

1) A es la unión de A1, A2, A3 ...... es decir, A = U A.

2) La intersección de dos subconjuntos distintos es el conjunto

vacío.

Además, toda partición de un conjunto define sobre el mismo una

relación de equivalencia.

Se llega así, al siguiente enunciado, básico en el estudio de

relaciones de equivalencia.

7.4 RELACIONES DE ORDEN

Las colecciones ordenadas abundan en matemáticas: puntos de

una recta, números naturales, etc. La noción es tan fundamental e

intuitiva que aparece en la vida cotidiana: se ordenan libros, sillas,

alumnos, etc.

¿Cuál es el significado intuitivo de un “orden”? Simplemente,

dados dos objetos x e y, x “precede a” y, o y “precede a” x.

Usualmente en el caso de puntos de una recta horizontal

“precede” significa “a la izquierda de”; en el caso de números

naturales, significa “menor que”; en el caso de calles que corren

de norte a sur, “precede” significa “al este de”, etc.

En matemática, el concepto de orden admite distintas variantes.

Se habla de orden amplio, estricto, parcial, total, de buena

ordenación, etc.

1) Orden Amplio

Definición:

Una relación binaria R definida en un conjunto A es de orden

amplio sí y sólo sí es reflexiva, antisimétrica y transitiva.


296

Es decir, A1 : x A x R x

A2 : (x R y y R x) x = y

A3 : (x R y y R x) x R z

Ejemplos:

a) En z = {x/x número entero} se define

a b c número natural o cero tal que a + c = b

b) En z = {x/x número entero} se define a b c Z/b =

a.c

c) Sea A = {1,2,3,4,5} y la relación caracterizada por

x y x = y o el camino de x a y tiene el sentido

indicado en el diagrama:

1

2 3

5

4

2) Orden Estricto

Definición:

Una relación binaria R definida en un conjunto A es de orden

estricto sí y sólo si es a-reflexiva, a-simétrica y transitiva.

Es decir, S1 : x R y x y

S2 : x R y y R x

S3 : (x R y y R z) x R z


297

La relación R de orden estricto se indica “ ”

Ejemplos:

a) Z = {x/x número entero} y a b c N /a + c = b

b) A = {a, b, c, d}

y R = { (a;b) , (a;c), (a;d); (b;c), (b;d), (c;d) }

3) Orden parcial y total

Si un conjunto A está ordenado en forma amplia o estricta según

las condiciones anteriores, pueden existir elementos del conjunto

para los cuales a R b b R a, es decir, elementos no

comparables según la relación dada. En esta situación el orden

definido es parcial.

Es decir, el conjunto de propiedades A1, A2 y A3 es de orden

parcial amplio y el conjunto S1, S2 y S3 es de orden parcial

estricto.

Si a las propiedades de orden amplio se agrega la propiedad lineal

se obtiene un orden total amplio. Si a las de orden estricto se

añade la ley de tricotomía, el orden es total y estricto.

En ambos casos no existen elementos incomparables.

Ejemplos:

a) La relación R, definida en el ejemplo anterior, es de orden

estricto total.

b) La relación definida en el tercer ejemplo de orden amplio es

parcial, pues existen elementos incomparables. Por ejemplo:

4 R 5 5 R 4 4 5


298

Es conveniente aclarar que las denominaciones de orden varían

según los autores. Algunos prefieren considerar simplemente la

siguiente clasificación:

1) Orden parcial: relación reflexiva, antisimétrica y transitiva.

2) Orden lineal: relación a-reflexiva, lineal y transitiva.

4) Buena ordenación

Interesan especialmente los conjuntos ordenados donde cada

subconjunto no vacío tiene primer elemento o elemento mínimo.

Un elemento a, perteneciente a un conjunto totalmente ordenado

A, es primer elemento de A sí y sólo si (x A x a) a R x-

Definición:

Una relación binaria R definida en A es de buena ordenación sí y

sólo si es de orden total y todo subconjunto no vacío de A tiene

primer elemento.

7.5 POSTULADO DE CANTOR – DEDEKIND

Los puntos de una recta orientada son coordinables con los

números:

- ................ –3 -2 -1 0 1 2 3 ............ +


299

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Es igual al punto terminal menos el punto inicial, en valor absoluto.

P1(X1) P2(X2)

P1P2 = /X2 - X1/

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO

Mediante una razón:

P1(X1) P(x) P2(X2)

p1 p ----------- = r p p2 x – x1 ----------- = r x2 – x x – x1 = r (x2 – x) x – x1 = rx2 – rx x + rx = x2r + x1 x (1+r) = r x2 + x1 x1 + r x 2 x = -------------------- ; para r -1 1 + r


300

7.6 SISTEMA CARTESIANO RECTANGULAR

Es la intersección perpendicular de dos semi-rectas orientadas.

y ordenada x abscisa 0

Dibujar una figura para cada ejercicio.


1. Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

(-5) y (6); (3) y (-7); (-8) y (-12).

ubAB 115 uAB 336

uAB 187 uAB 4128

A B

-5 0 6

B

0 6 3

A

A B

-8 0 -7

A B

-12 0 -8


301

2. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento

dirigido cuyos extremos son los puntos (-7) y (-19).

3. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos

(1, -2), (4,-2), (4,2). Determinar las longitudes de los catetos,

y después calcular el área del triángulo y la longitud de la

hipotenusa.

uAC

AC

AB

BC

5

916

3

4

26

2

34

uA

A

0

1x 2x

-19 -7

16

3

43

64

3

11

3

1719

x

x

x

13

11

719

121

x

x

r

rxxx

1r

x

x

x

C(4,2)

B(4,-2) A(1,-2)

y

x


302

4. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1, 3), (7, 3),

(9,8) y (3, 8). Demostrar que el cuadrilátero es un

paralelogramo y calcular su área.

CDAB

m

m

//

6

0

39

88

6

0

17

33

2

1

BCAD

m

m

//

2

5

79

38

2

5

13

38

4

3

23056 uA


5. La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es (-

2), hallar el otro punto. (Dos casos).

6. En un sistema coordenado lineal, P1(x1) y P2(x2) son los

puntos extremos dados de un segmento dirigido. Demostrar

que la coordenada (x) de un punto P que divide a P1P2 en la

razón dada r=P1P : PP2 es:

x1 + rx2

x = --------------, r -1.

1 + r

h=5u

D=(3,8)

A=(1,3)

C=(9,8)

B=(7,3) 6u


303

7. Haciendo r = 1 en la fórmula obtenida en el ejercicio 6,

demostrar que la coordenada del punto medio de un

segmento rectilíneo es la media aritmética de las

coordenadas de sus puntos extremos.

8. Un extremo de segmento dirigido es el punto (-8) y su punto

medio es (3). Hallar la coordenada del otro extremo.

9. Los extremos de un segmento dirigido son los puntos P1(4) y

P2(-2). Hallar la razón P2P: PP1 en que el punto P(7) divide a

este segmento.

10. Un cuadrado, de lado igual a 2a, tiene su centro en el origen

y sus lados son paralelos a los ejes coordenados. Hallar las

coordenadas de sus cuatro vértices.

11. Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2, -1), (7, -1)

y (7,3). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo.

12. En el triángulo rectángulo del ejercicio 13, determinar

primero los puntos medios de los catetos y, después, el

punto medio de la hipotenusa.

13. Hallar la distancia del origen al punto (a, b).

14. Hallar la distancia entre los puntos (6, 0) y (0, -8).

15. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos

(-1, 1) y (3,1). Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos

casos).

16. Demostrar que los puntos (-5, 0), (0, 2) y (0, -2) son los

vértices de un triángulo isósceles, y calcular su área.

17. Demostrar que los puntos (0, 0), (3, 4), (8, 4) y (5, 0) son los

vértices de un rombo, y calcular su área.


304

7.7 CARÁCTER DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

La Geometría elemental, conocida ya del lector, se llama

Geometría pura para distinguirla del presente estudio. Acabamos

de ver que por medio de un sistema coordenado es posible

obtener una correspondencia biunívoca entre puntos y números

reales. Esto, como veremos, nos permitirá aplicar los métodos del

Análisis a la Geometría, y de ahí el nombre de Geometría

analítica. Al ir avanzando en nuestro estudio veremos, por

ejemplo, cómo pueden usarse, ventajosamente, los métodos

algebraicos en la resolución de problemas geométricos.

Recíprocamente, los métodos de la Geometría analítica pueden

usarse para obtener una representación geométrica de las

ecuaciones y de las relaciones funcionales.

El concepto de sistema coordenado, que caracteriza a la

Geometría analítica, fue introducido por primera vez en 1637 por

el matemático francés René Descartes (1596-1650). Por esta

razón, la Geometría analítica se conoce también con el nombre de

Geometría cartesiana. Por la parte que toma en la unificación de

las diversas ramas de las matemáticas, la introducción de la

Geometría analítica representa uno de los adelantos más

importantes en el desarrollo de las matemáticas.

En Geometría pura, el estudiante recordará que, generalmente,

era necesario aplicar un método especial o un artificio, a la

solución de cada problema; en Geometría analítica, por el

contrario, una gran variedad de problemas se pueden resolver

muy fácilmente por medio de un procedimiento uniforme asociado

con el uso de un sistema coordenado. El estudiante debe tener

siempre presente que está siguiendo un curso de Geometría


305

analítica y que la solución de un problema geométrico no se ha

efectuado por Geometría analítica si no se ha empleado un

sistema coordenado. Según esto, un buen plan para comenzar la

solución de un problema es trazar un sistema de ejes

coordenados propiamente designados. Esto es de particular

importancia en los primeros pasos de la Geometría analítica,

porque un defecto muy común del principiante es que si el

problema que trata de resolver se le dificulta, está propenso a

caer en los métodos de la Geometría pura. El estudiante deberá

hacer un esfuerzo para evitar esta tendencia y para adquirir el

método y espíritu analítico lo más pronto posible.

7.8 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DADOS

Sean P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos dados cualesquiera.

Vamos a determinar la distancia d entre P1 y P2, siendo d = /P1

P2/. Por P1 P2 tracemos las perpendiculares P1 A y P2D a ambos

ejes coordenados, como se indica en la figura, y sea E su punto

de intersección. Consideremos el triángulo rectángulo P1 EP2. Por

el teorema de Pitágora, tenemos:

d2 = P1P22 = P2

2 + EP12

Y B P1(x1,y1)

C A X‟ X

O P2(x2,y2) D E Y‟


306

Las coordenadas de los pies de las perpendiculares a los ejes

coordenados son A (x1, 0), B (0, y1), C (x2, 0), D (0, y2). Luego, por

el teorema 1 (Art. 3) tenemos:

P2E = CA = x1 - x2, EP1 = DB = y1 – y2

Sustituyendo estos valores en (1), obtenemos:

de donde, d2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)

2 ,

d = 221

221 )yy()xx(

Este resultado se anuncia como sigue:

Teorema 2. La distancia d entre dos puntos P1 (x1 , x2) y P2 (x2 ,

x2) está dada por la fórmula:

d = 221

221 )yy()xx(



1. Los vértices de un triángulo son A (3, 8), B (2, -1) y C (6, -1).

Si D es el punto medio del lado BC, calcular la longitud de la

mediana AD.

82

811

184322

2

12

2

2

d

d

d

yyxxd

M(4,-1)

A(3,8)

x x

x

B(2,-1) C(6,-1)

Y

X


307

2. Determinar la ecuación algebraica que expresa el hecho de

que el punto (x, y) equidista de los dos puntos (-3, 5), (7, -9).

02475

:

81184914251096

9753

2222

2222

yx

Rta

yyxxyyxx

yxyx

PBAP


3. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3, -

1), (0, 3), (3, 4), (4, -1).

4. Demostrar que los puntos (-2, -1), (2, 2), (5, -2), son los

vértices de un triángulo isósceles.

5. Demostrar que los puntos (2, -2), (-8, 4), (5, 3) son los

vértices de un triángulo rectángulo, y hallar su área.

6. Demostrar que los tres puntos (12, 1), (-3, -2), (2, -1), son

colineales, es decir, que están sobre una misma línea recta.

x A(-3,5)

B(7,-9) x

Y

X


308

7. Demostrar que los puntos (0, 1), (3, 5), (7, 2), (4, -2) son los

vértices de un cuadrado.

8. Demostrar que los cuatro puntos (1, 1), (3, 5), (11, 6), (9, 2)

son los vértices de un paralelogramo.

9. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos

(0, 0), (1, 2), (3, -4). Sugestión.

10. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5

es el punto (3, -2). Si la abscisa del otro extremo es 6 hallar

su ordenada. (Dos soluciones).

Ecuación de la mediatriz

EJERCICIO RESUELTO

11. Los puntos medios de los lados de un triángulo son: (2, 5),

(4, 2) y (1, 1). Hallar las coordenadas de los tres vértices.

Sean los puntos extremos

2211 ;; yxByxA y 33; yxC

Utilicemos la formula de

los puntos medios

2;

2

2121 yyy

xxx

1) 422: 21 xxAB

2) 8)4(2: 32 xxBC

3) 2)1(2: 31 xxAC

A(-1,4)

Y

X

x

x

x B(5,6)

C(3,-2)


309

Sumando las tres ecuaciones:

7

142

321

321

xxx

xxx

Resolviendo (1) (2) y (3) se tiene:

3;5;1 321 xxx

Procediendo en la misma forma para y:

2;6;4 321 yyy

Los puntos serán 2;3,6;5,4;1 CBA


12. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del

segmento cuyos extremos son los puntos (-2, 3) y (6, -3).

13. Los puntos extremos de un segmento son P1 (2, 4) y P2 (8, -

4). Hallar el punto P (x, y) que divide a este segmento en

dos partes tales que P2P : PP1 = -2.

14. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7,

8), y su punto medio es (4, 3). Hallar el otro extremo.

15. Los extremos de un segmento son los puntos P1 (7, 4) y P2

(-1, -4). Hallar la razón P1P : PP2 en que el punto P (1, -2)

divide al segmento.

16. Los vértices de un triángulo son A (-1, 3), B (3, 5) y C (7, -1).

Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del

lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la

mitad de la longitud del lado AC.

17. En el triángulo rectángulo del ejercicio 3, demostrar que el

punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices.


310

18. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios

de los lados sucesivos del cuadrilátero del ejercicio 1 forman

un paralelogramo.

19. Los vértices de un triángulo son (2, -1), (-4, 7), (8, 0). Hallar,

para cada una de las medianas, el punto de trisección más

cercano al punto medio del lado correspondiente. Demostrar

que este punto es el mismo para cada una de las medianas

y, por tanto, que las medianas concurren en un punto. Este

punto se llama baricentro del triángulo.

20. En el triángulo cuyos vértices son (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3),

demostrar que las coordenadas del baricentro son:

(1/2 [x1 + x2 + x3] , ½ [y1 + y2 + y3]

Utilizar este resultado para comprobar el ejercicio 19.

7.9 PENDIENTE DE UNA RECTA

Dos rectas al cortarse forman dos pares de ángulos opuestos por

el vértice. Por tanto, la expresión “el ángulo comprendido entre

dos rectas” es ambigua, ya que tal ángulo puede ser el o bien su

suplemento el ß, para hacer una distinción entre estos dos

ángulos, consideramos que las rectas están dirigidas y luego

establecemos la siguiente.

Se llama ángulo de dos rectas dirigidas al formado por los dos

lados que se alejan del vértice.

Se llama ángulo de inclinación de una recta el formado por la

parte positiva del eje X y la recta, cuando ésta se considera

dirigida hacia arriba.


311

Así, de acuerdo con las definiciones 1 y 2, el ángulo de inclinación

de la recta l es , y el de l‟ es ‟. Evidentemente, puede tener

cualquier valor comprendido entre 0° y 180°; es decir, su intervalo

de variación está dado por:

0° 180° (2)

Para la mayor parte de los problemas de Geometría analítica,

emplearemos más la tangente del ángulo de inclinación que el

ángulo mismo.

Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la

tangente de su ángulo de inclinación.

La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m.

Por lo tanto, podemos escribir.

m = tg (1)

Por (1) y (2) se ve que la pendiente puede tomar todos los valores

reales. Si es agudo, la pendiente es positiva, como para la recta

l; si ‟ es obtuso, como para la recta l‟, la pendiente es negativa.

Cualquier recta que coincida o sea paralela al eje Y será

perpendicular al eje X, y su ángulo de inclinación será de 90°.

Como tg 90° no está definida, la pendiente de una recta paralela

al eje Y no existe. Podemos establecer, por lo tanto, que toda

recta perpendicular al eje X no tiene pendiente. El estudiante

recordará, probablemente la igualdad tg 90° = , cuyo significado

debe considerar muy cuidadosamente ya que no es un número.

Es igualdad es una manera simbólica de expresar que, a medida

que el ángulo se aproxima más y más a 90°, tg se hace y


312

permanece mayor que cualquier número positivo por grande que

se suponga.

Si P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos diferentes cualesquiera

de una recta, la pendiente de la recta es:

m = 21

21

21 xx,xx

yy

Después, por el teorema 5, tenemos:

tg C = 7

6

827

636

9

2,

3

41

9

2

3

4

de donde, C = 40°36‟.

Dibujar una figura para cada ejercicio:


1. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que

pasa por los puntos (-3, 2) y (7, -3).

A(-3,2)

B(7,-3)

d

Y

X


313

"6'26153

;4349488.153

56505118.26180

5

1

5

1

10

5

73

32

12

12

tg

m

xx

yym

2. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son

los puntos (-2, 1), (3, 4) y (5, -2). Comprobar los resultados.

'2248;8

9

'2877;2

9

'1054;18

13

5

3;

7

3;3

;;

321

321

tgC

tgB

tgA

mmm

mmmmmm ABCACB

3. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°. Sabiendo

que la recta final tiene una pendiente de –3, calcular la

pendiente de la recta inicial.

A(-2,1)

Y

X

x

x

x B(3,4)

C(5,-2)

2

1

31

31

1135

31

3135

3

135

1

1

1

1

2

mm

m

tg

m

mtg

m


314

4. Los vértices de un triángulo son los puntos (2, -2), (-1, 4) y

(4, 5. Calcular la pendiente de cada uno de sus lados.

5. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos (9, 2),

(11, 6), (3, 5) y (1, 1) son vértices de un paralelogramo.

6. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La

abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada.

7. Una recta de pendiente –2 pasa por el punto (2, 7) y por los

puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es

6, ¿cuál es la abscisa de A y cuál la ordenada de B?.

8. Tres de los vértices de un paralelogramo son (-1, 4), (1, -1) y

(6, 1). Si la ordenada del cuarto vértice es 6, ¿cuál es la

abscisa?

9. Demostrar que los puntos (1, 1), (5, 3), (8, 0) y (4, -2) son

vértices de un paralelogramo, y hallar su ángulo obtuso.

10. Demostrar que los puntos (1, 1), (5, 3) y (6, -4) son vértices

de un triángulo isósceles, y hallar uno de los ángulos

iguales.

11. Hallar los ángulos del cuadrilátero cuyos vértices son los

puntos (2, 5), (7, 3), (6, 1) y (0, 0). Comprobar los resultados.

12. Dos rectas se cortan forman un ángulo de 45°. La recta

inicial pasa por los puntos (-2, 1) y (9, 7) y la recta final pasa

por el punto (3, 9) y por el punto A cuya abscisa es –2.

Hallar la ordenada de A.

13. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son A (1, -3), B (3,

3) y C (6, -1) empleando el seno del ángulo BAC. Sugestión.

Ver apéndice IC, 12.

14. Por medio de las pendientes demuéstrese que los tres

puntos (6, -2), (2,1) y (-2, 4) son colineales.


315

15. Una recta pasa por los dos puntos (-2, -3), (4, 1). Si un punto

de abscisa 10 pertenece a la recta, ¿cuál es su ordenada?

16. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P

(x, y) que pertenezca a la recta que pasa por los dos puntos

(2, -1), (7, 3).

Si P(x; y) ; A(2; -1) y B(7; 3) pertenecen a una misma recta;

entonces:

2

1

27

13

x

ymm APAB

Resolviendo 01354 yx

17. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P

(x, y) que pertenezca a la recta que pasa por el punto (3, -1)

y que tiene una pendiente igual a 4.

18. Demostrar que la recta que pasa por los dos puntos (-2, 5) y

(4, 1) es perpendicular a la que pasa por los dos puntos (-1,

1) y (3, 7).

19. Una recta l1 pasa por los puntos (3, 2) y (-4, -6), y otra recta

l2 pasa por el punto (-7, 1) y el punto A cuya ordenada es –6.

Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que l1 es

perpendicular a l2.

20. Demostrar que los tres puntos (2, 5), (8, -1) y (-2, 1) son los

vértices de un triángulo rectángulo, y hallar sus ángulos

agudos.

21. Demostrar que los cuatro puntos (2, 4), (7,3), (6, -2) y (1, -1)

son vértices de un cuadrado y que sus diagonales son

perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales.


316

22. Demostrar que los cuatro puntos (2, 2), (5, 6), (9, 9) y (6, 5)

son vértices de un rombo y que sus diagonales son

perpendiculares y se cortan en su punto medio.

RESUMEN DE FÓRMULAS

A intervalos apropiados el estudiante debe construir tablas que

comprendan un sumario de los resultados obtenidos. En tales

tablas se apreciará a simple vista no solamente las relaciones

importantes sino también algunas analogías o propiedades

comunes; también servirán para reducir a un mínimo los

resultados que deben aprenderse de memoria. Como ejemplo,

presentamos a continuación un resumen, en forma de tabla, de

los principales resultados obtenidos en este capítulo. El estudiante

debe tener estos resultados claramente definidos en su mente, y,

en particular, debe notar el paralelismo entre la condición

geométrica por una parte y su representación analítica por otra.

Condición Geométrica Representación analítica

Longitud P1P2 de un segmento de recta dirigido,

P1P2 con punto inicial P1 y punto final P2.

P1P2 coincidiendo con el eje X: P1 (x10), P2 (x20).

P1P2 paralelo al eje X: P1 (x1, y), P2 (x2, y), y

0.

P1P2 coincidiendo con el eje Y: P1 (0, y1), P2 (0,

y2). P1P2 paralelo al eje Y: P1 (x, y1), P2 (x, y2), x

0.

P1P2 = x2 - x1

P1P2 = y2 - y1

Distancia d entre dos puntos dados

P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) d = 221

221 )yy()xx(


317

Coordenadas (x, y) del punto P que divide al

segmento rectillíneo dirigido P1P2, con puntos

extremos dados P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en la

razón dada r = P1P : PP2.

r1

rxxx 21

r1

ryyy 21

Coordenadas (x, y) del punto medio del

segmento dirigido, P1P2 cuyos extremos dados

son los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)

2

rxxx 21

2

ryyy 21

Pendiente m de la recta que pasa por los dos

puntos dados diferentes P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) 21

21

21 xx,xx

yym

Angulo formado por dos rectas con pendiente

inicial m1 y pendiente final m2

Tg

1mm,mm1

mm21

21

12

Condición necesaria y suficiente para el

paralelismo de dos rectas dadas de pendientes

m1 y m2

m1 = m2

Condición necesaria y suficiente para la

perpendicularidad de dos rectas dadas de

pendientes m1 y m2

m1 m2 = -1.

7.10 DISCUTIR Y GRAFICAR UNA ECUACIÓN

Discutir una ecuación es estudiar la ecuación en sus diferentes

características:

a) Intersección con los ejes coordenados.- Cada una de las

variables de la ecuación se igualan a cero. Se resuelven las

ecuaciones y se hallan los puntos de intersección. En caso

r -1


318

de no obtener un número real; o se hace infinito: la recta no

tiene intersección con los ejes coordenados.

b) Simetría.- Cuando un punto de la curva, tiene otro punto a

igual distancia. Se nota a simple vista observando la

ecuación. Si la variable “y” tiene potencias pares, es

simétrico al eje “x”. Si la variable “x” tiene potencias pares,

es simétrico al eje “y”. Si ambas potencias están elevadas a

potencias pares, es simétrico al origen.

c) Extensión.- Cuando las variables toman cualquier valor: son

abiertas; caso contrario: cerrados.

d) Asintontas.- Son rectas a la que la curva se aproxima y no

tienen ningún punto común únicamente las ecuaciones que

presentan productos de variables tienen asíntotas. Para

hallar la asíntota: los denominadores se igualan a cero, al

resolverlas se hallan las asíntotas.


319


En cada uno de los ejercicios 1-25 discútase la ecuación estudiante las

intercepciones, simetría y extensión. Después trácese la gráfica

correspondiente.

Observaciones:

1ro Si la ecuación es de la forma 0cbyax ; es una recta, será

suficiente hallar dos puntos 0;;0 21 PyP y graficar:

1. 5x + 4y – 20 = 0

2045 yx

Si 0;45;0 21 PP

2. 3x – 2y = 0

2da Si la ecuación es de la forma: cayax 22 Observe que los

coeficientes son iguales y el termino independiente es positivo; se

trata de una circunferencia con centro en el origen de coordenadas:

Y

X

5x+4y=20


320

Ejemplo:

3. 3x2 + 3y2 – 10 = 0

Hallemos el radio despejando una de las incógnitas; representar

con cero a la otra:

1.10 xy

4. 3x2 + 4y2 – 12 = 0

3ra Si la ecuación es de la forma: cbyax 22 Observe que los

coeficientes son diferentes y el termino independiente positivo: se

trata de una elipse despeje cada incógnita separadamente y halle

sus vértices. Ejemplo:

5. 4x2 + 3y

2 – 12 = 0

20

7.10

1234 22

yx

xy

yx

4ta Si la ecuación es de la forma cbyax 22 Uno de los coeficientes

es negativo, se refiere a una hipérbola. Los puntos de intersección

se hallan, igualando a acero la segunda incógnita.

1.1

-1.1

-1.1

1.1

1.7

-2

-1.7

2


321

6. 4x2 - 9y2 – 36 = 0

30

3694 22

xy

yx

7. 9x2 - 4y2 – 36 = 0

5ta En los otros casos; discuta y grafique las ecuaciones:

8. 16x2 – y = 0

216xy

a) Intersección con los ejes:

00 yx pasa por el origen:

b) Simetría:

yy Varia la ecuación, uso simétrico a x

xx No varia la ecuación simétrico al eje y

c) Extensión: abierta toma todos los valores

d) Asuntotas: no tiene

Parábola

x y

0 0

1 16

Y

X

-3 3

X

Y

x x


322

9. 16y2 - x = 0

10. x2 - y

2 – 9 = 0

11. y = x3 + x2 – 9x – 9

12. 8x3 – y = 0

13. x8 – x – y = 0

14. x4 – 9x2 – y = 0

15. x – y4 + 9y2 = 0

16. x2 – y8 = 0

17. x2 + y2 – 4y = 0

18. x2 – 6x + y2 = 0

19. x2 + y

2 – 2x – 2y = 14

20. x2 – 4x – 4y + 16 = 0

21. x2 + 4x + 3y + 1 = 0

22. y2 – 2x – 8y + 12 = 0

23. x2 + 4y2 – 2x – 16y + 13 = 0

24. 4x2 – y2 – 2y = 2

25. y2 – 9x2 – 18x – 8y – 2 = 0

En cada uno de los siguientes ejercicios, construir la curva

correspondiente a la ecuación dada.


1. xy – 2y – 3 = 0

Solución Sean f (x,y):xy-2y-3=0 I. Intersecciones

a) Con el eje X: Si 03)0(200y

03 No hay intersección


323

b) Con el eje Y: Si

23,0

230320 Pyyx

II. Simetría:

a) Con el eje X: 0322:, yxyyxyxf

yxfyxf ,, No es simétrica

b) Con el eje Y: 03232:, yxyyyxyxf


c) Con el origen:

0323)(2)(:, yxyyyxyxf


III. Extensión

a) Dominio de la ecuación: )(xfy

22

3Rx

xy Dominio = ,22,

b) Rango de la ecuación: )(yfx

032

Ryy

yy Rango = ,00,

IV. Asíntotas

a) Asíntotas Horizontales: 0032 yyyx es una

A.H.

b) Asíntotas Verticales: 203)2( xyx es una A.V.

V. Tabla de Valores

2

3

xy X 3 5 1 -1

Y 3 1 -3 -1


324

Si x>2 y es (+)

Si x<2 y es (-)

VI. Trazado de la gráfica

2. xy – 3y – x = 0

Solución

Sean f (x,y):xy-3y-x=0

I. Intersecciones

a) Con el eje X: Si 00000 xxy

b) Con el eje Y: Si 000300 yyx

La curva pasa por el origen

II. Simetría:

a) Con el eje X:

033:, xyxyxyyxyxf


c) Con el eje Y:

033:, xyxyxyyxyxf


0

P

y

x 2


325

d) Con el origen:

03)()(3)(:, xyxyxyyxyxf


III. Extensión


33

Rxx

xy Dominio = ,33,


11

3Ry

y

yy Rango = ,11,

IV. Asíntotas

a) Asíntotas Horizontales: 1031 yyxy es una

A.H.

b) Asíntotas Verticales: 30)3( xxyx es una A.V.

V. Tabla de Valores

3x

xy

Si x>3, la curva se extiende encima de la recta y=1.

Si x<3, la curva se extiende debajo de la recta y=1.


x 4 6 2 -3

y 4 2 -2 -1/2

y

x 0 P

3

1


326

3. xy – 2x – 2y + 2 = 0

Solución

Sean f (x,y): xy-2x-2y+2=0

I. Intersecciones

a) Con el eje X: Si 10220 xxy )0,1(A

b) Con el eje Y: Si 10220 yyx )1,0(B

II. Simetría:

a) Con el eje X: 0222:, yxxyyxf


b) Con el eje Y: 0222:, yxxyyxf


c) Con el origen: 0222:, yxxyyxf


III. Extensión


22

22Rx

x

xy Dominio =

,22,


22

22Ry

y

yy Rango = ,22,

IV. Asíntotas

a) Asíntotas Horizontales:

2020222 yyyxy

b) Asíntotas Verticales: 202022)2( xxxyx


327

V. Tabla de Valores

2

22

x

xy

Si x>3, la curva se extiende encima de la recta y=1.

Si x<3, la curva se extiende debajo de la recta y=1.


4. x2 + 2xy + y2 + 2x – 2y - 1 = 0

Solución

Sean f (x,y): 01222 22 yxyxyx

I. Intersecciones

a) Con el eje X: Si 210120 2 xxxy

b) Con el eje Y: Si 210120 2 xyyx

II. Simetría:

a) Con el eje X: 01222:, 22 yxyxyxyxf


b) Con el eje Y: 01222:, 22 yxyxyxyxf


x 3 6 -1 3/2

y 4 5/2 4/3 -2

0

y

x

P 2

2


328

c) Con el origen: 01222:, 22 yxyxyxyxf


III. Extensión

a) Dominio de la ecuación: 01212 22 xxyxy

xxxxxxy 4211211 22

21042 xxy Dominio =

21,

b) Rango de la ecuación: 01212 22 yyxyx

2411211 22yyyyyyy

21024 xyy Rango = ,

21

IV. Asíntotas

Como los coeficientes de 2x e y 2 son constantes, la curva

de la ecuación dado no tiene asíntotas horizontales y

verticales.

V. Tabla de Valores

xxy 421


x 1/4 1/4 -1/2 -1/2

y 7/4 -1/4 7/2 -1/2

0

P

y

x


329

5. x3 + y2 – 4y + 4 = 0

Solución

Sean f (x,y): 04423 yyx

I. Intersecciones

a) Con el eje X: Si )0,4(4040 333 Axxy

b) Con el eje Y: Si )2,0(20440 2 Byyyx

II. Simetría:

a) Con el eje X: 04:, 23 yyxyxf


b) Con el eje Y: 044:, 23 yyxyxf


c) Con el origen: 044:, 23 yyxyxf


III. Extensión


xxyxy 22 32

00 xxy Dominio = 0,


yyyx 3 2 44 , es real. Rango = R

IV. Asíntotas

Como los coeficientes de las variables 3x e 2y son

constantes, la curva no tiene asíntotas horizontales ni

verticales.


330

V. Tabla de Valores

xxy 2


6. y3 – x2 + 3y2 + 2x + 3y = 0

Solución

La ecuación podemos transformarla del siguiente modo:

23223 11:,012133 xyyxfxxyyy

I. Intersecciones

a) Con el eje X: Si 111102

xxy ó 11x

2x ó 0x )0,2(A y )0,0(0

b) Con el eje Y: Si )0,0(001103

yyx

II. Simetría:

a) Con el eje X: 2311:, xyyxf


b) Con el eje Y: 23

11:, xyyxf


x -1 -1 -2 -2

y 1 3 -0.82 4.82

y

x 0

B

A


331

c) Con el origen: 23

11:, xyyxf


III. Extensión


Rxyxy ,11 3 2 Dominio =R


101113

yyxyy Rango =

,1

IV. Asíntotas

Como los coeficientes de las variables 2x e 3y son

constantes, la curva no tiene asíntotas horizontales ni

verticales.

V. Tabla de Valores

3 211 xy


x 1 3 -1 -2

y -1 0.58 0.58 1.08

y

x 0

B

A


332

7. x2y – 4y – x = 0

Solución

Sean f (x,y): 042 xyyx

I. Intersecciones

a) Con el eje X: Si 00 xy

b) Con el eje Y: Si 00 yx

La curva pasa por el origen.

II. Simetría:

a) Con el eje X: 04:, 2 xyyxyxf


b) Con el eje Y: 04:, 2 xyyxyxf


c) Con el origen: 044:, 22 xyyxxyyxyxf


III. Extensión

a) Dominio de la ecuación: 4

)(2x

xyxfy

2xy Dominio = R-{-2,2}

b) Rango de la ecuación: 04)( 2 yxyxyfx

02

1611 2

yxy

yx Rango =R-{0}

IV. Asíntotas

a) Asíntotas Horizontales: 0042 yyxyx

b) Asíntotas Verticales: 20404 22 xxxyx


333

V. Tabla de Valores

42x

xy


8. x2y – xy – 2y – 1 = 0

Solución

Sean f (x,y): 0122 yxyyx

I. Intersecciones

a) Con el eje X: Si 010y No hay intersección

b) Con el eje Y: Si 2

10120 yyx A(0,2

1 )


II. Simetría:

a) Con el eje X: 012:, 2 yxyyxyxf


b) Con el eje Y: 012:, 2 yxyyxyxf


c) Con el origen: 012:, 2 yxyyxyxf


x 1 -1 3 -3

y -1/4 1/4 3/ 3/5 -3/5

y

x 0 2 -2


334

III. Extensión


1)(

xxyxfy

1,2 xxy Dominio = R-{2,-1}

b) Rango de la ecuación: 0)12()( 2 yyxyxyfx

De donde: 00492

49 2

2

yyyxy

yyyx

1x ó 9

4y Rango = ,09

4,

IV. Asíntotas

a) Asíntotas Horizontales: 00122 yyyxyx

b) Asíntotas Verticales: 02012 22 xxyxx

1x ó 2x

V. Tabla de Valores

12

1

xxy


x 1 3 -2 -3

y -1/2 1/4 3/ 1/4 1/10

0

y

x 2 -1


335

9. x2 – xy + 5y = 0

Solución

Sean f (x,y): 052 yxyx

I. Intersecciones

Como la ecuación carece de término independiente la curva

pasa por el origen.

II. Simetría:

a) Con el eje X: 05:, 2 yxyxyxf


b) Con el eje Y: 05:, 2 yxyxyxf


c) Con el origen: 05:, 2 yxyxyxf


III. Extensión


)(2

x

xyxfy

5xy Dominio = R-{5}

b) Rango de la ecuación: yyyxyfx 202

1)( 2

00202 yyyx ó 20y

Rango = ,200,

IV. Asíntotas

a) Asíntotas Horizontales: No tiene


c) Asíntotas Oblicuas: y=mx+k (1)


336

Sustituyendo en la ecuación dada y ordenando términos se

tiene: 0551 2 kxkmxm y

101 mm y 505 kkm

Luego, en (1): 5xy

V. Tabla de Valores

5

2

x

xy


10. x2y – x2 – 4xy + 4y = 0

Solución

Sean f (x,y): 04422 yxyxyx

I. Intersecciones

Como la ecuación carece de término independiente la curva

pasa por el origen.

II. Simetría:

a) Con el eje X: 044:, 22 yxyxyxyxf


b) Con el eje Y: 044:, 22 yxyxyxyxf

x 4 6 -2 -5

y -16 36 3/ -4/7 -5/2

0 -1

5

y

x 5

2 0 y=x+5


337


c) Con el origen: 044:, 22 yxyxyxyxf


III. Extensión


2

2)(

x

xyxfy

2xy Dominio = R-{2}

b) Rango de la ecuación: 0441)( 2 yyxxyyfx

yyyyyyx 224142 2

0yx Rango = ,0

IV. Asíntotas

a) Asíntotas Horizontales: 10441 2 yyyxxy

b) Asíntotas Verticales: 20202 22xxxyx

V. Tabla de Valores

2

2x

xy


x 1 3 6 -2

y 1 9 3/ 9/4

1/4

1

y

0 x

2


338

11. x2y2 - 4x2 – 4y2 = 0

Solución

Sean f (x,y): 044 2222 yxyx

I. Intersecciones

a) Con el eje X. Si 0040 2 xxy

b) Con el eje Y. Si 0040 2 yyx

El origen es un punto que pertenece a la gráfica.

II. Simetría:

Como todos los términos de la ecuación dada son de grado

par, la curva es simétrica respecto de los ejes X e Y, y al

origen.

III. Extensión


2)(

2x

xyxfy

2404 22 xxxy ó 2x

Dominio = ,22,

b) Rango de la ecuación: 4

2)(

2y

yxyfx

2404 22 yyyx ó 2y

Rango = ,22,

IV. Asíntotas

a) Asíntotas Horizontales: 044 222 yxy

2042 yy ó 2y

b) Asíntotas Verticales: 044 222 xyx

2042 xx ó 2x


339

V. Tabla de Valores

4

22x

xy


12. x3 – xy2 + 2 y2 = 0

Solución

Sean f (x,y): 02 223 yxyx

I. Intersecciones

a) Con el eje X. Si 000 3 xxy

b) Con el eje Y. Si 0020 2 yyx


II. Simetría:

Como la variable y es de grado par, la curva es simétrica

sólo con el eje X.

III. Extensión:

VII. Dominio de la ecuación: 2

)(x

xxyxfy

x 5/2 4 -5/2 -4

y 3.3 3.2 3/ 3.3 3.2

2

-2

-2

2

y

x 0


340

002

xx

xy ó 2x

Dominio = ,20,

IV. Asíntotas

a) Asíntotas Horizontales: No tiene


c) Asuntotas Oblicuas: y=mx+k (1)

Sustituyendo en la ecuación dada y ordenando términos se

tiene: 02421 222232 kxmkkxmkmxm

Entonces: 001 1

2 mm ó 12m

10 1

2 kmkm ó 12k

Luego, en (1), las asíntotas oblicuas de la curva son

1:1 xyL y 12 xyL

V. Tabla de Valores

2x

xy


x 3 4 -1 -2

y 2.5 6.5 3/ 57.0 41.1

0

y

x

1L

2

2L


341


13. xy - 2x – 1 = 0

14. x4 + y4 = 16

15. x3 + x – y = 0

16. xy 3x – y = 0

17. x4 – 4x2 – y = 0

18. x2 – 2xy + y2 – 6x – 6y + 3 = 0

19. x3 – 3x2 – y2 + 3x – 2y - 2 = 0

20. xy2 – 9x – y – 1 = 0

21. xy2 + xy - 2x - 2 = 0

22. xy2 + 2xy – y2 + x = 0

23. x2y – x2 + xy + 3x = 2

24. xy2 – y2 – xy + y = 0

25. y3 + x2y – x2 = 0



1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1, 5) y tiene

pendiente 2.

Solución

Según la forma (1), la ecuación de la recta es:

032:)1(25 yxLxy

2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-6, -3) y

tiene un ángulo de inclinación de 45°.

Solución

Como 145TgmTgm

Según la forma (1): 03:)6(13 yxLxy


342

3. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y cuya

intercepción con el eje Y es –2.

Solución

Tenemos: m=-3 y b=-2

Según la forma (2): 023:23 yxLxy

4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos A (4, 2) y

B (-5, 7).

Solución

Según la forma (3): )4(54

722 xy

De donde: 03895: yxL

5. Los vértices de un cuadrilátero son A (0, 0), B (2, 4), C (6, 7), D (8,

0). Hallar las ecuaciones de sus lados.

Solución

Según la fórmula (3) se tiene:

AB: )0(02

040 xy AB: 02 yx

BC: )6(26

477 xy BC: 01043 yx

CD: )8(68

700 xy BC: 05627 yx

AD= 0y (Ecuación del eje X)

A

y

x D

B

C

0


343

6. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes X y Y son 2

y –3, respectivamente. Hallar su ecuación.

Solución

Tenemos a=2 y b=-3, entonces por la forma (4):

0623:132

yxLyx

7. Una recta pasa por los dos puntos A (-3, -1) y B (2, -6). Hallar su

ecuación en la forma simétrica.

Solución

Según la forma (3): )3(32

161 xy

De donde: 4: yxL

Dividiendo entre -4 se tiene, 144

:yx

L

8. Una recta de pendiente –2 pasa por el punto A (-1, 4). Hallar su

ecuación en la forma simétrica.

Solución

Por la forma (1): 22:)1(24 yxLxy

Dividiendo entre 2 se tiene, 121

:yx

L

9. Una recta pasa por el punto A (7, 8) y es paralela a la recta C (-2,

2) y D (3, -4). Hallar su ecuación.

Solución

Si 1L es la recta que pasa por C y D, entonces 5

6

23

241m

Si ,5

611 mmLL luego: 7

5

68 xy

De donde: 08256: yxL


344


10. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A (-3, 2), B (1, 6).

11. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-2, 4), y

determina sobre el eje X el segmento –9.

12. Demostrar que los puntos A (-5, 2), B (1, 4) y C (4, 5) son

colineales hallando la ecuación de la recta que pasa por dos de

estos puntos.

13. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes

coordenados determinan en la recta 5x + 3y – 15 = 0.

Los ejercicios 14 – 21 se refieren al triángulo cuyos vértices son A (-2, 1),

B (4, 7) y C (6, -3).

14. Hallar las ecuaciones de los lados.

15. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es

paralela al lado opuesto BC.

16. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el vértice B y

trisecan al lado opuesto AC.

17. Hallar los vértices del triángulo formado por las rectas que pasan

por los vértices A, B y C y son paralelas a los lados opuestos.

L

B P

0 x

y


345

18. Hallar las ecuaciones de las medianas y las coordenadas de su

punto de intersección.

19. Hallar las ecuaciones de las mediatrices de los lados y las

coordenadas de su punto de intersección. Este punto se llama

circuncentro.

20. Hallar las ecuaciones de las alturas y su punto de intersección.

Este punto se llama ortocentro.

21. Hallar las coordenadas del pie de la altura correspondiente al lado

AC. A partir de estas coordenadas hállese la longitud de la altura y

luego el área del triángulo.

22. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –4, y que pasa por

el punto de intersección de las rectas 2x + y – 8 = 0 y

3x – 2y + 9 = 0.

23. Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son 3x – 8x + 36 =

0, x + y – 10 = 0, 3x – 8y – 19 = 0 y x + y + 1 = 0. Demostrar que la

figura es un paralelogramo, y hallar las coordenadas de sus

vértices.

24. Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes

coordenados y la recta cuya ecuación es 5x + 4y + 20 = 0.

25. Las coordenadas de un punto P son (2, 6), y la ecuación de una

recta l es 4x + 3y = 12. Hallar la distancia del punto P a la recta l

siguiendo en orden los siguientes pasos: a) Hallar la pendiente del,

b) Hallar la ecuación de la recta l‟ que pasa por P y es

perpendicular a l, c) Hallar las coordenadas de P‟, punto de

intersección de l y l‟, d) Hallar la longitud del segmento PP‟.

26. El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3

y que pasa por el punto A (7, -2). Calcular la abscisa de P.


346

27. Determinar el valor de los coeficientes A y B de la ecuación

Ax – By + 4 = 0 de una recta, si debe pasar por los puntos

C (-3, 1) y D (1, 6).

28. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 5x – 7y + 27 = 0,

9x – 2y – 15 = 0 y 4x + 5y + 11 = 0. Hallar sus ángulos y comprobar

los resultados.

29. Deducir la ecuación de la recta cuya pendiente es m y determina

sobre el eje X el segmento a. Compárese este resultado con la

ecuación de una recta conocida su pendiente y su ordenada en el

origen, dada en el Artículo 27.

30. Una recta pasa por los dos puntos A (-1, 3) y B (5, 4). Escríbase su

ecuación en forma de determinante. Verifíquese el resultado

desarrollando el determinante.


347

7.11 ANGULO DE INCLINACIÓN O ÁNGULO EN POSICIÓN

NORMAL

Es el ángulo formado por el eje “x” y el lado de la recta

contrahoraria.

y

x 7.12 PENDIENTE DE UNA RECTA

Se denomina así a la tangente de la recta en posición normal.

y

x m = tgd


348

7.13 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA

En los artículos precedentes hemos visto que la ecuación de una

recta cualquiera, en el plano coordenado, es de la forma lineal.

Ax + Bx + C = 0, (1)

En donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser

igual a cero. La ecuación (1) se llama la forma general de la ecuación de

una recta.

Ahora consideraremos el problema inverso, a saber, la ecuación lineal

(1), ¿representa siempre una línea recta? Para contestar a esta pregunta

examinaremos las dos formas posibles de la ecuación (1) con respecto al

coeficiente de y, es decir, las formas para B = 0 y B 0.

Caso I. B = 0. Si B = 0, entonces A 0, y la ecuación (1) se reduce a la

forma

x = - A

C (2)

Pero (2) es de la forma x = k, de la que anteriormente se demostró que

es la ecuación de una recta paralela al eje Y (Art. 18).

Caso II. B 0. B 0, podemos dividir la ecuación (1) por B, y entonces

por trasposición se reduce a la forma:

y = B

Cx

B

A


349

Pero (3) está en la forma y = mx + b (Art. 27) y, por tanto , es la

ecuación de una recta cuya pendiente es - B

A y cuya ordenada en el

origen es - B

C.

Solución. Representemos por Ax + By + C = 0 la ecuación de todas las

rectas paralelas a l. Por el apartado (a) del teorema 6 se verifica.

A5

7B,seao,

7

B

5

A

Por tanto, la ecuación de todas las rectas paralelas a l es:

Ax - 0Cy5

A7

de donde,

5x – 7y + A

C5 = 0,

o sea,

5x – 7y + k = 0, (6)

en donde k = A

C5 es una constante arbitraria.

Si la recta (6) debe pasar por el punto (4, 2), las coordenadas deben

satisfacer (6). Por tanto:

5 . 4 – 7 . 2 + k = 0

de donde k = -6, y la recta buscada es

5x – 7y – 6 = 0


350



1. Transformar la forma general de la ecuación de una recta a la

forma simétrica. Establecer las restricciones a que deben estar

sometidos los coeficientes para permitir esta transformación.

2. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la

forma general, que pasa por el punto (-2, 4) y tiene una pendiente

igual a –3.

3. Hallar la ecuación de una recta, determinando los coeficientes de la

forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes X y

Y, es decir, sus intercepciones, son 3 y –5, respectivamente.

4. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la

forma general, que es perpendicular a la recta 3x – 4y + 11 = 0 y

pasa por el punto (-1, -3).

5. Hallar el valor de k para que la recta kx + (k – 1) y – 18 = 0 sea

paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0.

6. Determinar el valor de k para que la recta k2x + (k + 1) y + 3 = 0

sea perpendicular a la recta 3x – 2y – 11 = 0.

7. Hallar la pendiente e intercepciones de la recta 7x – 9y + 2 = 0.

8. Hallar la pendiente, ángulo de inclinación y las intercepciones de la

recta que pasa por el punto (2, 3) y es perpendicular a la recta 2x –

7y + 2 = 0.

9. Determinar el valor de k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con

los ejes coordenados un triángulo rectángulo de área igual a 2 ½

unidades cuadradas.


351

10. En las ecuaciones ax + (2 – b) y –23 = 0 y (a – 1 ) x + by + 15 = 0

hallar los valores de a y b para que representen rectas que pasan

por el punto (2, -3).

11. Demostrar que la recta que pasa por los puntos (4, -1) y (7, 2)

bisecta al segmento cuyos extremos son los puntos (8, -3) y (-4, -

3).

12. Demostrar que las rectas 2x – y – 1 = 0, x – 8y + 37 = 0, 2x – y – 16

= 0 y x – 8y + 7 = 0 forman un paralelogramo, y hallar las

ecuaciones de sus diagonales.

13. Demostrar que las rectas 5x – y – 6 = 0, x + 5y – 22 = 0, 5x – y – 32

= 0 y x + 5y + 4 = 0 forman un cuadrado.

14. Demostrar que los ángulos suplementarios formados por las dos

rectas Ax + By + C = 0 y A‟x + B‟y + C‟ = 0 están dados por las

fórmulas:

tg = 'BB'AA

'ABB'A

15. Hallar el ángulo agudo formado por las rectas 4x – 9y + 11 = 0 y 3x

+ 2y – 7 = 0.

16. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2, -1) y

que forman cada una un ángulo de 45° con la recta 2x – 3y + 7 = 0.

17. A partir del resultado del ejercicio 14, deducir las condiciones

necesarias y suficientes para el paralelismo y perpendicularidad de

dos rectas, dadas en los apartados (a) y (b) del teorema 6, artículo

30.

18. Si k es una constante cualquiera diferente de cero, demuéstrese

que todo punto que esté sobre la recta Ax + By + C = 0 también

estará sobre la recta k Ax + kBy + kC = 0. Por tanto, dedúzcase la


352

condición necesaria y suficiente para la coincidencia de dos rectas,

dada en el apartado (c) del teorema 6, artículo 30.

19. Por medio de determinantes obténgase la condición necesaria y

suficiente para que las dos rectas Ax + By + C = 0 y A‟x + B‟y + C‟

= 0 se corten en uno y solamente un punto, dada en el apartado (d)

del teorema 6, Artículo 30.

20. Si tres rectas se cortan en un punto común, se dice que son

concurrentes. Si las tres rectas A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0

y A3x + B3y + C3 = 0 son concurrentes, demuéstrese que sus

coeficientes satisfacen la condición.

A1 B1 C1 A2 B2 C2 = 0 A3 B3 C3

21. Demostrar que las tres rectas 3x – 5y + 7 = 0, 2x + 3y - 8 = 0 y 6x

– 7y + 8 = 0 son concurrentes.

22. Demostrar analíticamente que las medianas de cualquier triángulo

son concurrentes.

23. Demostrar analíticamente que las mediatrices perpendiculares a

los lados en su punto medio en cualquier triángulo son

concurrentes.

24. Demostrar analíticamente que las alturas de cualquier triángulo son

concurrentes.

25. Los vértices de un triángulo son (1, 1), (4, 7) y (6, 3). Demostrar

que el baricentro (punto de intersección de las medianas), el

circuncentro (punto en donde los signos del radical se escogen de

acuerdo con el teorema 8, Artículo 32. Por tanto, (18) es la

ecuación de la bisectriz l1.


353

Análogamente, de (17) tenemos como ecuación de la bisectriz l2,

2222 BA

'Cy'Bx'A

BA

CByAx

Este resultado conduce al siguiente.

Teorema 11. Las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos

suplementarios formados por dos rectas que se cortan, Ax + By + C = 0 y

A‟x + B‟y + C‟ = 0 son:

2222 BA

'Cy'Bx'A

BA

CByAx

2´'2'22 BA

'Cy'Bx'A

BA

CByAx

en donde los signos de los radicales se escogen de acuerdo con el

teorema 8, Artículo 32.

Ejemplo 2. Los vértices de un triángulo son A (-2, 3), B (5, 5) y C (4, -1).

Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo interior ACB.

Solución. Sea 1 la bisectriz buscada. Por el teorema 3. Artículo 27, las

ecuaciones de los lados BC y AC son:

6x – y – 25 = 0 y 2x + 3y – 5 = 0

respectivamente.

Sea P (x,y) un punto cualquiera sobre l, y representemos por d1 y d2 las

distancias dirigidas de los lados BC y AC, respectivamente, al punto P.

Entonces, como P y el origen están al mismo lado de BC y de lados


354

opuestos de AC, el teorema 10 se deduce que d1 = -d2. Por tanto, por el

teorema 11, la ecuación de la bisectriz l es

222 32

5y3x2

16

25yx6

la cual, simplificada, toma la forma

0375325y37313x372136


Dibújese una figura para cada ejercicio:

1. Hallar la distancia de la recta 4x – 5y + 10 = 0 al punto P (2, -3).

2. Hallar la distancia dirigida de la recta x + 2y + 7 = 0 al punto P (1, 4).

3. Los vértices de un triángulo.


355

CAPÍTULO VIII

LA CIRCUNFERENCIA

INTRODUCCIÓN

Después de la recta, la línea más familiar al estudiante es la

circunferencia, pues la conoce desde sus primeros estudios de

Geometría elemental. La circunferencia es como un ejemplo específico

de lugar geométrico.

8.1 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA; FORMA ORDINARIA

La ecuación de la circunferencia se obtendrá a partir de la

siguiente:

DEFINICIÓN

Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve

en un plano de tal manera que se conserva siempre a una

distancia constante de un punto fijo de ese plano.

El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia

constante se llama radio.

TEOREMA 1

La circunferencia cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo radio es la

constante, tiene por ecuación

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

Demostración.- Sea P (x, y) (fig.1) un punto cualquiera de la

circunferencia de centro C (h,k) y radio r. Entonces, por definición


356

de circunferencia, el punto P debe satisfacer la condición

geométrica

/ CP / = r, (1)

la cual, por distancia 1, esta expresada, analíticamente por la

ecuación

r k)-(y h)-(x 22

de donde,

(x - h)2 + (y - k)2 = r2 .

Recíprocamente, sea P1 (x1, y1) un punto cualquiera cuyas

coordenadas satisfacen la ecuación (2) de manera que se verifica

la igualdad

(x1 - h)2 + (y1 - k)2 = r2 .

De aquí se deduce, extrayendo la raíz cuadrada,

r k)-(y h)-(x 2

1

2

1

que es la expresión analítica de la condición geométrica (1)

aplicada al punto P1. Por tanto, demostrados los teoremas directo

y reciproco, resulta que (2) es la ecuación buscada.

Y X X C(h,k)

Para el caso particular en el centro C esta en el origen, h = K = O, y tenemos:

P(x,y)

O

r

Y


357

COROLARIO.- La circunferencia de centro en el origen y radio r

tiene por ecuación

X2 + y2 = r2

Por el teorema 1 observamos que, si se conocen las coordenadas

del centro y la longitud del radio, la ecuación puede escribirse

inmediatamente. Esto sugiere un método para obtener la ecuación

de una circunferencia en cualquier problema dado; todo lo que se

necesita es obtener las coordenadas del centro y la longitud del

radio a partir de las condiciones dadas. La construcción de una

circunferencia, en geometría elemental implica la determinación

del centro y el radio; el método allí empleado, aunque no siempre

es el mas corto, puede usarse para obtener una geometría

analítica, la ecuación de una circunferencia.

Ejemplo

Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo

cuyos vértices son P1 (-1, 1), P2 (3, 5) y P3 (5, -3).

Solución

La construcción de la circunferencia que pasa por los tres puntos

dados es un problema conocido de la Geometría elemental. El

método consiste en construir las mediatrices l1 y l2,

respectivamente, de dos cualesquiera de los lados, digamos P1 P2

y P2 P3- La intersección C de l1 y l2 es el centro y la distancia de C

a uno cualquiera de los puntos P1, P2, P3 es el radio. Ahora

determinaremos la ecuación de la circunferencia siguiendo este

mismo método analíticamente.


358

Por los métodos del Capítulo III, se puede demostrar rápidamente

que las ecuaciones de las mediatrices l1 y l2 son x + y = 4 y x – 4y

= 0, respectivamente. La solución común de estas dos ecuaciones

es x = 5

16, y =

5

4, de manera que las coordenadas del centro C

son 5

4,

5

16

Por el teorema 2 del Artículo 6, el radio está dado por

r = 4425

11

5

41

5

16CP

22

1

Por tanto, el teorema l anterior, la ecuación buscada es:

25

442

5

4y

5

16x

22

Se recomienda al estudiante que verifique el hecho de que las

coordenadas de los puntos P1, P2 y P3 satisfacen la ecuación

hallada de la circunferencia.



1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C (-3, -5) y

radio 7.

Solución

Por el teorema 1, la ecuación pedida es: 495322

yx

2. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos

A (2, 3) y B (-4, 5). Hallar la ecuación de la curva.


359

Solución

El centro C biseca al diámetro AB.

Entonces: 4,12

53,

2

42CC

10431222

ACr

Luego, la ecuación buscada es:

104122

yx

3. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (7,

-6) y que pasa por el punto A (2, 2).

Solución

Por definición: 89262722

CAr

Luego, por el Teorema 1, la ecuación de la circunferencia es:

896722

yx

4. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C (2, -4) y que es

tangente al eje Y.

Solución

Como h=distancia de C al eje Y 2hr

Luego, la ecuación de la circunferencia es:

44222

yx

5. Una circunferencia tiene su centro en el punto C (0, -2) y es

tangente a la recta 5x – 12y + 2 = 0. Hallar su ecuación.

B

y

0

AB

x

C


360

Solución

Por una propiedad de las tangentes:

213

26

14425

2)2(12)0(5, LCdr

Luego, la ecuación de la circunferencia es:

42022

yx

6. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4, -

1) y que es tangente la recta 3x + 2y – 12 = 0.

Rp. 521422

yx

7. La ecuación de una circunferencia es (x – 3)2 + (y + 4)2 = 36.

Demostrar que el punto A (2, -5) es interior a la circunferencia y

que el punto B (-4, 1) es exterior.

Solución

En efecto: 62542322

AC

Como rAC , entonces B es un punto exterior a la

circunferencia.

8. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es

el punto de intersección de las rectas

3x – 2y – 24 = 0, 2x + 7y + 9 = 0.

Solución

Si 02423),( 1 khLkhC y si 0972),( 2 khLkhC

Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos: h=6 y k=-3

Luego, la ecuación buscada es: 253622

yx

r

y

x

L

C

0


361

9. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (7, -

5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7x – 9y –

10 = 0 y 2x – 5y + 2 = 0.

Solución

Si )2,4()(),( 21 CLLkhC

57527422

ACr

Luego, la ecuación de la circunferencia es: 582422

yx

10. Una cuerda de la circunferencia x2 + y2 = 25 está sobre la recta

cuya ecuación es x – 7y + 25 = 0. Hállese la longitud de la cuerda.

Solución

Tenemos: 2522 yx (1)

257yx (2)

Sustituyendo (2) en (1) se tiene:

3012725257 1

222yyyyy ó 42y

41x ó 32x

Luego, los extremos de la cuerda son: A(-4,3) y B(3,4) y su

longitud: 25344322

AB



362

11. Hallar la ecuación de la mediatriz de la cuerda del ejercicio 10, y

demostrar que pasa por el centro de la circunferencia.

Los ejercicios 12-16 se refieren al triángulo cuyos vértices son A (-1, 0),

B (2, 9/4) y C (5, 0).

12. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el vértice A y

que es tangente al lado BC.

13. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo.

14. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo.

15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

medios de los lados del triángulo.

16. Demostrar que la circunferencia del ejercicio 15 pasa por los pies

de las alturas del triángulo.

17. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje

X y que pasa por los dos puntos A (1, 3) y B (4, 6).

18. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje

Y y que pasa por los puntos A (2, 2) y B (6, -4).

19. Una circunferencia pasa por los puntos A (-3, 3) y B (1, 4) y su

centro está sobre la recta 3x – 2y – 23 = 0. Hállese su ecuación.

20. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 9x + 2y + 13 = 0,

3x + 8y – 47 = 0 y x – y – 1 = 0. Hallar la ecuación de la

circunferencia circunscrita.

21. La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 = 50. El punto medio

de una cuerda de esta circunferencia es el punto (- 2, 4). Hallar la

ecuación de la circunferencia circunscrita.


363

22. La ecuación de una circunferencia es (x – 4)2 + (y – 3)2 = 20. Hallar

la ecuación de la tangente a este círculo en el punto (6, 7).

23. La ecuación de una circunferencia es (x + 4)2 + (y – 3)2 = 5. Hallar

la ecuación de la tangente a la circunferencia que pasa por el punto

(3, 3). (Dos soluciones).

24. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (7, -

5) y es tangente a la recta x – y – 4 = 0 en el punto B (3, -1).

25. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la

recta 6x + 7y – 16 = 0 y es tangente a cada una de las rectas 8x +

15y + 7 = 0 y 3x – 4y – 18 = 0. (Dos soluciones).

8.2 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Si desarrollamos la ecuación ordinaria

(x – h)2 + (y – k)2 = r2, (1)

obtenemos

x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0,

lo cual puede escribirse en la forma

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (2)

en donde

D = -2h , E = -2k y F = h2 + k

2 – r

2

Se deduce, por lo tanto, que la ecuación de una circunferencia

cualquiera puede escribirse en la forma (2), llamada forma general

de la ecuación de la circunferencia. El problema que se presenta

ahora es averiguar si, recíprocamente, toda ecuación de la forma


364

general (2) representa una circunferencia. Para contestar esta

pregunta, pasaremos de la forma (2) a la forma (1) empleando el

método de completar cuadrados. Ordenando los términos de (2),

resulta

(x2 + Dx) + (y2 + Ey) = - F;

y sumando 4

E4D 22

a ambos miembros, obtenemos:

4

F4ED

4

EEyy

4

DDxx

2222

22

de donde:

4

F4ED

2

Ey

2

Dx

2222

Comparando las ecuaciones (1) y (3), vemos que depende del valor del

segundo miembro es (3) el que (3) represente o no una circunferencia.

Hay tres casos posibles por considerar:

a) Si D2 + E2 – 4F 0, la ecuación (3) representa una circunferencia

de centro en el punto 2

E,

2

D y radio igual a

F4ED2/1 22 .

b) Si D2 + E2 – 4F = 0, la ecuación (3) se dice, con frecuencia, que

representa una circunferencia de radio cero; se dice también que

es un círculo punto o círculo nulo. Desde nuestro punto de vista,


365

sin embargo, la ecuación (3) representa un solo punto de

coordenadas 2

E,

2

D.

c) Si D2 + E2 – 4F 0, la ecuación (3) se dice que representa un

círculo imaginario. En nuestra Geometría real, sin embargo, la

ecuación (3) no representa, en este caso, un lugar geométrico.

Aunque el caso (b) puede considerarse como un caso límite del

caso (a), en adelante consideraremos que una ecuación

representa una circunferencia solamente en el caso (a). Por tanto,

tenemos el siguiente:

TEOREMA 2

La ecuación x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 representa una

circunferencia de radio diferente de cero, solamente si

D2 + E2 – 4F 0.

Las coordenadas del centro son, entonces, 2

E,

2

D y el radio

es F4ED2/1 22 .

Nota. Si se da la ecuación de una circunferencia en la forma

general, se aconseja al estudiante que no proceda

mecánicamente, usando las fórmulas dadas en el teorema 2, para

obtener el centro y el radio. En vez de esto, es conveniente que

reduzca la ecuación a la forma ordinaria por el método de


366

completar cuadrados, tal como se hizo en la deducción del

teorema mismo.

Ejemplo. Reducir las tres ecuaciones siguientes a la forma

ordinaria de la ecuación de la circunferencia. Si la ecuación

representa una circunferencia hállense su centro y su radio.

a) 2x2 + 2y2 – 10x + 6y – 15 = 0.

b) 36x2 + 36y2 + 48x - 108y + 97 = 0.

c) x2 + y2 – 8x + 6y – 29 = 0.

Solución.

a) Primero dividimos la ecuación por 2, coeficiente de x2, y pasamos

al término independiente al segundo miembro. Esto nos da,

después de volver a ordenar los términos.

(x2 – 5x) + (y2 + 3y) = 2

15

Para completar los cuadrados, sumamos el cuadrado de la mitad

del coeficiente de x y el cuadrado de la mitad del coeficiente de y

a ambos miembros. Esto nos da

4

9

4

25

2

15

4

9yx3y

4

25x5x 22

que puede escribirse en la forma


367

162

3y

2

5x

22

Por tanto, la ecuación dada representa una circunferencia cuyo

centro es 2

3,

2

5 y cuyo radio es 4.

b) Dividiendo la ecuación por 36, trasponiendo el término

independiente, y volviendo a ordenar los términos, obtenemos:

36

97y3yx

3

4x 22

Completando los cuadrados, resulta

4

9

9

4

36

97

4

9y3y

9

4x

3

4x 22

de donde,

02

3y

3

2x

22

Por tanto, el lugar geométrico de la ecuación (b) es el punto único.

2

3,

3

2.

c) Ordenando los términos y completando los cuadrados,

obtenemos:

(x2 – 8x + 16) + (y2 + 6y + 9) = -29 + 16 + 9

de donde,


368

(x – 4)2 + (y + 3)2 = - 4

Por tanto, la ecuación (c) no representa ningún lugar geométrico

real.

8.3 DETERMINACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA SUJETA A

TRES CONDICIONES DADAS

En la ecuación ordinaria de la circunferencia. (Art. 39),

(x – h)2 + (y – k)2 = r2 (1)

hay tres constantes arbitrarias independientes, h, k y r. De manera

semejante, en la ecuación general. (Art. 40)

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, (2)

hay tres constantes arbitrarias independientes, D, E y F. Como la

ecuación de toda circunferencia puede escribirse en cualquiera de

las dos formas (1) o (2), la ecuación de cualquier circunferencia

particular puede obtenerse determinando los valores de tres

constantes. Esto requiere tres ecuaciones independientes, que

pueden obtenerse a partir de tres condiciones independientes. Por

tanto, analíticamente, la ecuación de una circunferencia se

determina completamente por tres condiciones independientes.

Geométricamente, una circunferencia queda, también,

perfectamente determinada por tres condiciones independientes;

así, por ejemplo, queda determinada por tres cualesquiera de sus

puntos. El estudiante debe comparar estas observaciones con la

discusión análoga sobre la recta. Vemos, por lo tanto, que

además de estudiada tenemos ahora otro método para determinar

la ecuación de una circunferencia.


369

Ejemplo 1. Determinar la ecuación, centro y radio de la

circunferencia que pasa por los tres puntos A (-1, 1), B (3, 5) y C

(5, -3).

Solución. Este problema es idéntico al ejemplo anterior.

Supongamos que la ecuación buscada es, en la forma general.

X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, (2)

En donde las constantes D, E y F deben ser determinadas.

Como los tres puntos dados están sobre la circunferencia, sus

coordenadas debe satisfacer la ecuación (2). De acuerdo con

esto, tenemos las tres ecuaciones siguientes correspondiente a

los puntos dados:

(-1, 1) 1 + 1 – D + E + F = 0

(3, 5) 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0

(5, -3) 25 + 9 + 5D – 3E + F = 0

que pueden escribirse más abreviadamente así:

D - E - F = 2

3D + 5E + F = - 34

5D – 3E + F = - 34

La solución de este sistema de tres ecuaciones nos da

D = - 5

32, E = -

5

8, F = -

5

34,


370

de manera que sustituyendo estos valores en (2), obtenemos

x2 + y2 - 5

32x -

5

8 y -

5

34 = 0,

o sea,

5x2 + 5y2 – 32x – 8y – 34 = 0

como ecuación de la circunferencia buscada.

El centro y el radio se obtienen reduciendo la última ecuación a la

forma ordinaria

25

442

5

4y

5

16x

22

de donde el centro es 5

4,

5

16 y el radio es 442

5

1

Ejemplo 2. Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia

que pasa por los puntos (6, 2), (8, 0) y cuyo centro está sobre la

recta 3x + 7y + 2 = 0.

Solución. Supongamos que la ecuación buscada, en la forma

ordinaria, es

(x – h)2 + (y – k)2 = r2 (1)

Como el centro (h, k) está sobre la recta 3x + 7y + 2 = 0, sus

coordenadas satisfacen la ecuación de la recta, y tenemos

3h + 7k + 2 = 0 (3)

También, como los puntos (6, 2) y (8, 0) están sobre la

circunferencia, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación (1).

Por tanto, tenemos las dos ecuaciones.

(6 – h)2 + (2 – k)2 = r2 (4)

(8 – h)2 + k2 = r2 (5)


371

la solución del sistema formado por las tres ecuaciones (3), (4) y

(5) con las tres incógnitas h, k y r da.

h = 4, k = -2, r = 2 5

Por tanto, la ecuación buscada es

(x – 4)2 + (y + 2)2 = 20

El centro es el punto (4, -2) y el radio es 2 5 . La gráfica aparece

en la figura 55. En el Artículo 35 obtuvimos la ecuación de la

recta que pasa por dos puntos dados diferentes en forma de

determinante. Por un argumento semejante, podemos obtener la

ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados, no

colineales, P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3), en forma

determinante. El resultado está dado por el siguiente:

TEOREMA 3

La ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados

no colineales P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3) viene dada por el

determinante.

x2 + y2 x y 1

x12 + y1

2 x1 y1 1 = 0

x22 + y2

2 x2 y2 1

x32 + y3

2 x3 y3 1


372

Nota.- Esta forma es útil para determinar si cuatro puntos dados

están o no sobre una circunferencia. Se dice que tales puntos son

concíclicos.



En cada uno de los ejercicios l-3, reduciendo la ecuación dada a la

forma ordinaria, determinar si representa o no una circunferencia. Si la

respuesta es afirmativa, hallar su centro y su radio.

1. 2x2 + 2y2 – 6x + 10y + 7 = 0.

2. 4x2 + 4y2 – 28x - 8y + 53 = 0.

3. 16x2 + 16y2 – 64x + 8y + 177 = 0.

4. Hallar el área del círculo cuya ecuación es:

9x2 + 9y + 72x - 12y + 103 = 0

5. Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es:

25x2 + 25y2 + 30x - 20y - 62 = 0

6. Demostrar que las circunferencias 4x2 + 4y2 – 16x + 12y + 13 = 0

y 12x2 + 17y2 – 48x + 36y + 55 = 0 son concéntricas.

7. Demostrar que las circunferencias x2 + y + 4x + 6y – 23 = 0 y x2 +

y – 8x – 10y + 25 = 0 son tangentes.

8. Demostrar, por dos métodos, que las circunferencias x2 + y + 2x –

8y + 13 = 0 y 4x2 + 4y2 – 40x + 8y + 79 = 0 no se cortan.


373

En cada uno de los ejercicios 9-11, determinar la ecuación, centro y radio

de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados, usando el

método del ejemplo 1, artículo 41.

9. (0, 0), (3, 6), (7, 0).

10. (2, -2), (-1, 4), (4, 6).

11. (4, -1), (0, -7), (-2, -3).

12. Resolver el ejercicio 9 por el método del ejemplo del Artículo 39.

13. Resolver el ejercicio 10 por el método del ejemplo 2, Artículo 41.

14. Resolver el ejercicio 11 usando el determinante del teorema 3,

Artículo 41.

15. Por medio del teorema 3, Artículo 41, demostrar que los cuatro

puntos (-1, -1), (2, 8), (5, 7), (7, 3) son concíclicos.

16. Resolver el ejercicio 15 hallando la ecuación de la circunferencia

que pasa por tres cualesquiera de los puntos y demostrando

después que las coordenadas del cuarto punto satisfacen esta

ecuación.

17. Las ecuaciones de dos circunferencias diferentes son:

X2 + y2 + D1x + Ey + F1 = 0 y x2 + y + D2x + E2y + F2 = 0

Hallar las condiciones que deben satisfacer los coeficientes para que

sean concéntricas.

18. La ecuación de una circunferencia es 4x2 + 4y2 – 16x + 20y + 25

= 0. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica que es

tangente a la recta 5x – 12y = 1.


374

19. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia.

x2 + y2 + x – 2y – 39 = 0

en el punto (4, 5).

20. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (11, 4) y es

tangente a la circunferencia x2 + y2 – 8x – 6y = 0. (Dos

soluciones).

21. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (.-

1, -4), (2, -1) y cuyo centro está sobre la recta 4x + 7y + 5 = 0.

22. Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x – 4y – 1 =

0 en el punto (3, 2). Hallar su ecuación (dos soluciones).

23. Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia

x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0

en el punto (6, 5). Hallar su ecuación (dos soluciones).

24. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (1, 4)

y es tangente a la circunferencia x2 + y2 + 6x + 2y + 5 = 0 en el

punto (-2, 1).

25. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5, 9)

y es tangente a la recta x + 2y – 3 = 0 en el punto (1, 1).

26. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0, 2), (7, 3).

Hállese su ecuación. (Dos soluciones).

27. Demostrar, analíticamente, que cualquier recta que pasa por el

punto (-1, 5) no puede ser tangente a la circunferencia x2 + y2 + 4x

- 6y + 6 = 0. Interpretar el resultado geométricamente.


375

28. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la

recta 7x – 2y – 1 = 0 y que es tangente a cada una de las rectas

5x – 12y + 5 = 0 y 4x + 3y – 3 = 0. (Dos soluciones).

29. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo

cuyos lados son 4x – 3y = 0, 4x + 3y – 8 = 0, y = 0.

30. Una circunferencia que es tangente a un lado de un triángulo y a

las prolongaciones de los otros dos lados se llama ex inscrita al

triángulo., Hallar las ecuaciones de las tres circunferencias ex

inscritas al triángulo del ejercicio 29.

8.4 FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS

Ahora consideramos familias o haces de circunferencias de la

misma manera como consideramos familias rectas. En anterior

oportunidad demostramos que una circunferencia y su ecuación

se determinan cada una por tres condiciones independientes. Una

circunferencia que satisface menos de tres condiciones

independientes no es, por lo tanto, única. La ecuación de una

circunferencia que satisface solamente a dos condiciones,

contiene una constante arbitraria llamada parámetro. Se dice

entonces que tal ecuación representa una familia de

circunferencias de un parámetro. Por ejemplo, la familia de todas

las circunferencias concéntricas cuyo centro común es el punto

(1, 2) tiene por ecuación

(x – 1)2 + (y – 2)2 = k2

en donde el parámetro k es cualquier número positivo.


376

Consideremos ahora el caso importante de la familia de curvas

que pasan por las intersecciones de dos circunferencias dadas.

Sean, C1 y C2 dos circunferencias diferentes dadas cualesquiera,

cuyas ecuaciones son:

C1 : x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0 (1)

C2 : x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0 (1)

De (1) y (2) se deduce la ecuación

x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k (x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0 (3)

en donde el parámetro k puede tomar todos los valores reales.

Supongamos que los círculos C1 y C2 se cortan en dos puntos

distintos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2). Como las coordenadas (x1, y1) de

P1 satisfacen ambas ecuaciones (1) y (2), también satisfacen a la

ecuación (3), y ésta se reduce entonces a la forma 0 + k = 0, que

es verdadera para todos los valores de k. Análogamente, las

coordenadas (x2, y2) de P2 que satisfacen ambas ecuaciones (1) y

(2) satisfacen también a la ecuación (3) para todos los valores de

k. Por tanto, la ecuación (3) representa la familia de curvas que

pasan por las dos intersecciones de las circunferencias C1 y C2.

Para determinar la naturaleza de las curvas de esta familia,

escribimos la ecuación (3) en la forma.

k+1)x2 + (x+1)2 + (D1+kD2)x + (E1 + kE2)y + F1 + kF2 = 0 (4)

Si k = -1, la ecuación (4) se reduce a una de primer grado y, por

lo tanto, representa una línea recta. Pero, para cualquier otro valor

de k, la ecuación (4) representa una circunferencia de acuerdo a


377

lo estudiado. En particular, para k = 0, la ecuación (4) se reduce a

la ecuación C1.

La ecuación (3) se particularmente útil para obtener la ecuación

de una curva que pasa por las intersecciones de las

circunferencias dadas, ya que entonces no es necesario

determinar las coordenadas de los puntos de intersección.

Ejemplo. Las ecuaciones de dos circunferencias son:

C1 : x2 + y2 + 7x - 10y + 31 = 0

C2 : x2 + y2 - x - 6y + 3 = 0

Hallar la ecuación de la circunferencia C3 que pasa por las

intersecciones de C1 y C2 y tiene su centro sobre la recta l: x – y –

2 = 0.

Solución. La circunferencia buscada C3 es un elemento de la

familia.

x2 + y2 + 7x – 10y + 31 + k (x2 + y2 - x – 6y + 3= 0 (5)

en donde el parámetro k debe determinarse por la condición de

que el centro de C3 está sobre la recta l. El centro de cualquier

circunferencia de la familia (5) se halla fácilmente y sus

coordenadas son 1k

5x3,

)1k(2

7k. Como estas coordenadas

deben satisfacer la ecuación de l, tenemos

021k

5k3

)1k(2

7k


378

de donde k = - 7

3. Sustituyendo este valor de k en (5) y

simplificando, obtenemos para ecuación de C3:

x2 + y2 – 7x – 3y – 18 = 0

TEOREMA 4

Si las ecuaciones de dos circunferencias dadas cualesquiera C1 y

C2 son:

C1 : x2 + y2 + D1 x + E1y + F1= 0

C1 : x2 + y2 + D2 x + E2y + F2= 0

La ecuación

x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k (x2 + y + D2x + E2y + F2) = 0

representa una familia de circunferencias todas las cuales tienen

sus centros en la recta de los centros de C1 y C2.

Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, la ecuación

representa, para todos los valores de k diferentes de –1, todas las

circunferencias que pasan por los dos puntos de intersección C1 y

C2, con la única excepción de C2 misma.

Si C1 y C2 son tangentes entre sí, la ecuación representa, para

todos los valores de k diferentes de –1, todas las circunferencias

que son tangentes a C1 y C2 en su punto común, con la única

excepción de C2 misma.


379

Si C1 y C2 no tienen ningún punto común la ecuación representa

una circunferencia para cada valor de k diferente de –1, siempre

que la ecuación resultante tenga coeficientes que satisfagan las

condiciones especificadas en el teorema 2 del Artículo 40. Ningún

par de circunferencias de la familia tiene un punto común con

ninguna de las dos circunferencias C1 y C2.

8.5 EJE RADICAL

En el artículo precedente hemos considerado dos circunferencias

diferentes, C1 y C2 de ecuaciones.

C1 : x2 + y2 + D1 x + E1y + F1= 0 (1)

C1 : x2 + y2 + D2 x + E2y + F2= 0 (2)

A partir de estas ecuaciones formamos la ecuación.

x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k (x2 + y + D2x + E2y + F2) = 0 (3)

y la discutimos como ecuación de una familia de circunferencias

para todos los valores de k, excepto –1. Si k = - 1, la ecuación (3)

toma la forma.

(D1 – D2) x + (E1 – E2) y + F1 – F2= 0 (4)

Si C1 y C2, no son concéntricas, se verificará D1 D2 o E1 E2, o

ambas, de manera que por lo menos uno de los coeficientes de x

y y en (4) será diferente de cero, y la ecuación (4) representa

entonces una línea recta llamada eje radical de C1 y C2.


380

Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, se sigue, con la

discusión del eje radical que pasa por estos dos puntos y, por

tanto, coincide con su cuerda común. Si C1 y C2 son tangentes

entre sí, su eje radical es la tangente común a ambas

circunferencias. Si C1 y C2 no tienen ningún punto común y no son

concéntricas, su eje radical no tiene ningún punto común con

ninguna de las dos circunferencias.

Ahora demostraremos que el eje radical de dos circunferencias

cualesquiera es perpendicular a su recta de los centros. En efecto,

anteriormente vimos que la ecuación de la recta de los centros de

C1 y C2 es:

2 (E1 - E2) x – 2 (D1 y D2) y + D2 E1 - D1 E2 = 0

y la pendiente de esta recta es 21

21

DD

EE, si D1 D2. La pendiente

del eje radical, deducida de la ecuación (4), es - 21

21

EE

DD, si

E1 E2. Como estas pendientes son negativamente reciprocadas,

se sigue que el eje radical es perpendicular a la recta de los

centros. Si D1 = D2, entonces, por la ecuación (4), resulta que el

eje radical es paralelo al eje X, y por la ecuación anterior, la recta

de los centros es paralela al eje Y; por tanto, en este caso, el eje

radical y la línea de los centros también son perpendiculares entre

sí. Análogamente, si E1= E2, el eje radical es paralelo al eje Y y la

recta de los centros es paralela al eje X; por lo tanto, son

perpendiculares entre sí.


381

Ejemplo 1. Hallar la ecuación del eje radical de las

circunferencias.

C1 : 2x2 + 2y2 + 10x – 6y + 9 = 0 (5)

C2 : x2 + y2 - 8x – 12y + 43 = 0 (6)

Y demostrar que es perpendicular a su recta de los centros.

Solución. Si multiplicamos la ecuación (6) por 2 y la restamos de

la ecuación (5), obtenemos:

L : 26x + 18y – 77 = 0.

Como ecuación del eje radical. Su pendiente es - 9

13.

Las coordenadas de los centros C1 y C2 se encuentran fácilmente

y son 2

3,

5

5 y (4, 6), respectivamente, de manera que la

pendiente de la recta de los centros es 13

9

)2/5(4

)2/3(6, que es

negativamente recíproca de la pendiente del eje radical. Por tanto,

el eje radical es perpendicular a la recta de los centros. Las

circunferencias C1 y C2, su recta de los centros y su eje radical se

traza.

Para reducir una propiedad importante del eje radical,

estableceremos el siguiente teorema:


382

TEOREMA 5

Si t es la longitud de la tangente trazada del punto exterior P1(x1,

y1) a la circunferencia (x – h)2 + (y – k)2 = r2, entonces

t = 221

21 r)ky()hx(

DEMOSTRACIÓN

Sea T el punto de tangencia, de manera que t = P1T. Como P1T

es tangente a la circunferencia, el radio CT es perpendicular a

P1T. Por tanto, en el triángulo rectángulo P1Tc, tendremos:

t2 = CP12 – r2 (7)

Por el teorema 2, artículo 6,

CP12 = (x1 – h)2 + (y1 – k)2

valor que, sustituido en la ecuación (7), da

t2 = (x1 – h)2 + (y1 – k)2 - r2

de donde,

t = 221

21 r)ky()hx(

Ejemplo 2. Hallar la longitud de la tangente trazada del punto (-3,

2) a la circunferencia 9x2 + 9y2 – 30x – 18y – 2 = 0.


383

Solución. Para aplicar el teorema 5, es necesario hacer que los

coeficientes de x2 y y2 sean iguales a la unidad. Para ello

dividiendo por 9, resulta:

X2 + y2 - 3

10x – 2y -

9

2 = 0

Sustituyendo x por –3 y y por 2 en el primer miembro de esta

ecuación, obtenemos

t2 = 9 + 4 + 10 – 4 - 9

2 =

9

169

de donde se deduce que la longitud de la tangente es t = 3

13.

Debe observarse que, si se utilizara la ecuación de la

circunferencia en la forma original, es decir, sin dividir por 9, el

resultado sería el triple del valor correcto. Se recomienda al

estudiante que dibuje la figura correspondiente a este ejercicio.

Por medio del ejercicios anteriores, podemos demostrar

fácilmente que el eje radical de dos circunferencias no

concéntricas es el lugar geométrico de un punto que se mueve de

tal manera que las longitudes de las tangentes trazadas desde él

a las dos circunferencias son iguales. En efecto, sean C1 y C2 las

dos circunferencias no concéntricas dadas por las ecuaciones (1)

y (2), respectivamente. Sea P (x, y) el punto móvil y sean t1 y t2,

respectivamente, las longitudes de las tangentes trazadas de P a

C1 y C2. Entonces, por el teorema 5,

t12 = x2 + y2 + D1x + E1y + F1,

y

t22 = x2 + y2 + D2x + E2y + F2,


384

Como, por hipótesis, t1 = t2, de estas dos últimas ecuaciones se

deduce que

(D1 – D2)x + (E1 – E2) y + F1 – F2 = 0

que, según (4), es la ecuación del eje radical de C1 y C2.

Podemos demostrar, recíprocamente, que, si P1 (x1 , y1) es un

punto que está sobre el eje radical, las longitudes de las tangentes

trazadas de P1 a C1 y C2 son iguales.

Los resultados precedentes se resumen en el siguiente:

TEOREMA 6

Si las ecuaciones de dos circunferencias no concéntricas C1 y C2

son:

C1 : x2 + y2 + D1 x + E1y + F1 = 0,

C2 : x2 + y2 + D2 x + E2y + F2 = 0,

La eliminación de x2 y y2 entre estas dos ecuaciones da la

ecuación lineal

(D1 – D2)x + (E1 – E2) y + F1 – F2 = 0

que es la ecuación del eje radical de C1 y C2.

Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, su eje radical

coincide con su cuerda común; si C1 y C2 son tangentes entre sí,

su eje radical es su tangente común, y si C1 y C2 no tienen ningún

punto común, su eje radical no tiene ningún punto común con

ninguno de ellos.


385

El eje radical de C1 y C2 es perpendicular a la recta de los centros;

es también el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal

manera que las longitudes de las tangentes trazadas por él a C1 y

C2 son iguales.

Consideremos tres circunferencias, de las cuales no hay dos que

sean concéntricas. Cada par tiene un eje radical, y las tres,

tomadas a pares, tienen tres ejes radicales. Si las tres

circunferencias no tienen una recta de los centros común, sus tres

ejes radicales se cortan en un punto llamado centro radical. La

demostración de la existencia del centro radical de tres

circunferencias dadas se deja como ejercicio al estudiante.



1. Escribir la ecuación de la familia de circunferencias concéntricas

cuyo centro común es el punto (-3, 5). Dibujar tres elementos de la

familia, especificando el valor del parámetro en cada caso.

2. Escribir la ecuación de la familia de circunferencias cuyos centros

están sobre el eje Y. Desígnense los dos parámetros por k1 y k2.

Dibújense tres elementos de la familia conservando a k1 constante

y asignando a k2 tres valores diferentes. Dibújense otros tres

miembros de la familia haciendo que k2 permanezca constante y

asignando a k1 tres valores diferentes.


386

3. Escribir la ecuación de la familia de todas las circunferencias que

pasan por el origen. Dibujar seis elementos de la familia

asignando valores a los dos parámetros como en el ejercicio 2.

4. Determinar la ecuación de la familia de circunferencias, cada una

de las cuales pasa por el origen y el punto (1, 3). Dibujar tres

elementos de la familia, especificando el valor del parámetro en

cada caso.

5. Dibujar las dos circunferencias cuyas ecuaciones son:

C1 x2 + y2 + 4x – 8y + 7 = 0 y C2 x2 + y – 16x – 4y + 3 = 0

También dibujar tres elementos de la familia C1 + kC2 = 0 para

valores de k diferentes de 0 y –1, y demostrar que sus centros

están sobre la recta de los centros de C1 y C2.

6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (-

8, 5) y por las intersecciones de las circunferencias x2 + y2 – 8x –

6y + 17 = 0 y x2 + y – 18x – 4y + 67 = 0.}

7. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre el

eje X y pasa por las intersecciones de las dos circunferencias

dadas en el ejercicio 6.

8. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el

eje Y y pasa por las intersecciones de las dos circunferencias

dadas en el ejercicio 6.

9. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre la

recta 2x + y – 14 = 0 y que pasa por las intersecciones de las

circunferencias.

X2 + y2 – 8x – 4y + 11 = 0 y x2 + y2 – 4x + 4y – 0 = 0


387

10. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 22

5 y que pasa

por las intersecciones de las circunferencias x2 + y2 + 2x – 6y – 16

= 0 y x2 + y2 – 6x + 2y = 0. (Dos soluciones).

11. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 del

ejercicio 13 en su punto común y cuyo centro está sobre la recta

3x + y + 5 = 0.

12. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 del

ejercicio 13 en su punto común y que es tangente a la recta x – 2y

– 1 = 0. (Dos soluciones).

13. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (-

10, -2) y por las intersecciones de la circunferencia x2 + y + 2x –

2y – 32 = 0 y la recta x – y + 4 = 0.

14. Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias.

X2 + y2 – 2x – 10y + 10 = 0, 4x2 + 4y – 32x – 12y + 37 = 0.

Y demostrar que es perpendicular a su recta de los centros.

15. Hallar la ecuación y la longitud de la cuerda común de las

circunferencias x2 + y – 8y + 9 = 0 y x2 + y2 – 14x – 6y + 38 = 0.

16. Demostrar analíticamente que si dos circunferencias diferentes

son concéntricas, su eje radical no existe.

17. Hallar la longitud de la tangente trazada del punto P (-1, 3) a la

circunferencia 3x2 + 3y2 – 14x – 15y + 23 = 0.

18. Obtener las coordenadas de un punto que se encuentre sobre el

eje radical del ejercicio 19, y demostrar que las longitudes de las


388

tangentes trazadas de ese punto a las dos circunferencias son

iguales.

19. Hallar las coordenadas del centro radical de las tres

circunferencias x2 + y + 2x – 4y – 6 = 0, x2 + y – 4x – 2y = 0 y x2

+ y + 2x + 12y + 36 = 0.

20. Demostrar que las tres circunferencias x + y + 10x + 2y + 17 = 0,

x + y + 4x – 4y = 0 y x2 + y

2 – 8x – 16y + 71 = 0 no tienen centro

radical. Explicar el resultado.

8.6 TANGENTE DE UNA CURVA

En Geometría elemental solamente se estudia, en general, la

tangente a una curva: la circunferencia. La tangente se define

como una recta que tiene un solo punto común con la

circunferencia. Esta definición, suficiente para la circunferencia, es

inadecuada para las curvas planas en general, pues hay curvas

planas en las cuales una tangente en un punto corta a la curva en

uno o más puntos diferentes. Por esto, vamos a dar ahora una

definición de tangente que se aplique a todas las curvas planas en

general.

Sea la ecuación de una curva plana cualquiera C

f (x, y) = 0 (1)

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos diferentes cualesquiera de

C tales que el arco de curva que los une sea continuo; es decir, P2

puede moverse hacia P1 permaneciendo siempre sobre la curva.

La recta que pasa por P1 y P2 se llama secante. Considerare2mos

que P1 es un punto fijo mientras que P2 se mueve a lo largo de C


389

hacia P1. Entonces, a medida que P2 se aproxima a P1, la secante

gira en el sentido contrario al de las manecillas de un reloj en

torno a P1 y, en general, tiende a una posición límite representada

por la recta P1T que se define como la tangente a la curva C en el

punto P1. El punto P1 se llama punto de tangencia o punto de

contacto de la tangente. La pendiente de la curva C en el punto P1

se define como la pendiente de la tangente a C en P1.

Para determinar la ecuación de la tangente a una curva dada en

un punto particular de la curva, se conoce como un punto, el punto

de contacto; por lo tanto, queda por hallar la pendiente de la

tangente. La pendiente de la secante P1 P2 es

m8 = 21

21

21 xx,xx

yy


390


391

CAPÍTULO IX

LA PARÁBOLA

INTRODUCCIÓN

En su estudio previo de Geometría elemental, el estudiante conoció dos

líneas: la línea recta y la circunferencia. Las dos líneas ya han sido

estudiadas desde el punto de vista analítico. Ahora comenzamos el

estudio de ciertas curvas planas no incluidas, ordinariamente, en el curso

de Geometría –elemental.

9.1 DEFINICIONES

La ecuación de la parábola la deduciremos a partir de su

definición como el lugar geométrico de un punto que se mueve de

acuerdo con una ley especificada.

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve

en un plano de tal manera que su distancia de un recta fija,

situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto

fijo del plano y que no pertenece a la recta.

El punto se fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.

La definición excluye el caso en que el foco está sobre la directriz.

Designemos por F y l, el foco y la directriz de una parábola,

respectivamente. La recta a que pasa por F y es perpendicular a l

se llama eje de la parábola. Sea A el punto de intersección del eje

y la directriz. El punto V, punto medio del segmento AF, está, por

definición, sobre la parábola; este punto se llama vértice. El

segmento de recta, tal como BB‟, que une dos puntos

cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda; en


392

particular, una cuerda que pasa por el foco como CC‟, se llama

cuerda focal. La cuerda focal LL‟ perpendicular al eje se llama

lado recto. Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP

que une el foco F con el punto P se llama radio focal de P, o radio

vector.

9.2 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y

EJE UN EJE COORDENADO

Veremos que la ecuación de una parábola toma su forma más

simple cuando su vértice está en el origen y su eje coincide con

uno de los ejes coordenados. De acuerdo con esto, consideremos

la parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con

el eje X. Entonces el foco F está sobre el eje X; sean (p, 0) sus

coordenadas. Por definición de parábola, la ecuación de la

directriz l es x = -p. Sea P (x, y) un punto cualquiera de la

parábola. Por P tracemos el segmento PA perpendicular a l.

Entonces, por la definición de parábola, el punto P debe satisfacer

la condición geométrica.

/FP/ = /PA/ (1)

Reemplazando, tenemos

/FP/ = 22 y)px(

luego:

/PA/ = /x + p/

Por tanto, la condición geométrica (1) está expresada,

analíticamente, por la ecuación

22 y)px( = /x + p/


393

Si elevamos al cuadrado ambos miembros de esta ecuación y

simplificamos, obtenemos:

y2 = 4 px. (2)

Recíprocamente, sea P1 (x1, y1) un punto cualquiera cuyas

coordenadas satisfagan (2). Tendremos:

y12 = 4px1

Si sumamos (x1 – p)2 a ambos miembros de esta ecuación, y

extraemos la raíz cuadrada, obtenemos, para la raíz positiva,

2

1

2

1)( ypx = /x1 + p/

que es la expresión analítica de la condición geométrica (1)

aplicada al punto P1. Por tanto, P1 está sobre la parábola cuya

ecuación está dada por (2).

Ahora discutiremos la ecuación (2) siguiendo el método explicado

en el Artículo 19. Evidentemente, la curva pasa por el origen y no

tiene ninguna otra intersección con los ejes coordenados. La única

simetría que posee el lugar geométrico de (2) es con respecto al

eje X. Despejando y de la ecuación (2), tenemos:

y = 2 px (3)

Por tanto, para valores de y reales y diferentes de cero, p y x

deben ser el mismo signo. Según esto, podemos considerar dos

casos: p 0 y p 0.

Si p 0, deben excluirse todos los valores negativos de x, y todo

el lugar geométrico se encuentra a la derecha del eje Y. Como no


394

se excluye ningún valor positivo de x, y como y puede tomar todos

los valores reales, el lugar geométrico de (2) es una curva abierta

que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y y

hacia arriba y abajo del eje X. Esta posición, se dice que la

parábola se abre hacia la derecha.

Análogamente, si p 0, todos los valores positivos de x deben

excluirse en la ecuación (3) y todo el lugar geométrico aparece en

la izquierda del eje Y. Esta posición está indicada, y , en este

caso, se dice que la parábola se abre hacia la izquierda.

Es evidente que la curva correspondiente a la ecuación (2) no

tiene asíntotas verticales ni horizontales.

Según la ecuación (3), hay dos puntos sobre la parábola que

tienen abscisa igual a p, uno de ellos tiene la ordenada 2p y el

otro la ordenada –2p. Como la abscisa del foco es p, se sigue la

longitud del lado recto que es igual al valor absoluto de la cantidad

4p.

Si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide con

el eje Y, se demuestra, análogamente, que la ecuación de la

parábola es

x2 = 4 py (4)

en donde el foco es el punto (0, p). Puede demostrarse fácilmente

que, si p 0, la parábola se abre hacia arriba; y, si p 0, la

parábola se abre hacia abajo. La discusión completa de la

ecuación (4) se deja como ejercicio al estudiante.


395

Las ecuaciones (2) y (4) se llaman a veces la primera ecuación

ordinaria de la parábola. Como son las ecuaciones más simples

de la parábola, nos referimos a ellas como a las formas cónicas.

Los resultados anteriores se resumen en el siguiente:

TEOREMA 1

La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje X,

es:

x2 = 4 py,

en donde el foco es el punto (p, 0) y al ecuación de la directriz es

x = -p. Si p 0, la parábola se abre hacia arriba; si p 0, la

parábola se abre hacia abajo.

En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor

absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado.

Ejemplo. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje

coincide con el eje Y pasa por el punto (4, -2). Hallar la ecuación

de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de su

directriz y la longitud de su lado recto. Trazar la gráfica

correspondiente.

Solución. Por el teorema 1, la ecuación de la parábola es de la

forma

x2 = 4 py (4)


396

Como la parábola pasa por el punto (4, -2), las coordenadas de

este punto deben satisfacer la ecuación (4), y tenemos

16 = 4p (-2)

de donde, p = -2, y la ecuación buscada es x2 = -8y.

También, por el teorema l, el foco es el punto (0, p), o sea, (0, -2),

la ecuación de la directriz es

y = -p,

o sea,

y = 2

y la longitud del lado recto es /4p/ = 8.

Dibujar para cada ejercicio la gráfica correspondiente.

En cada uno de los ejercicios 1-4, hallar las coordenadas del foco, la

ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la ecuación dada,

y discutir el lugar geométrico correspondiente.


1. y2 = 12x

Solución

La ecuación es de la forma pxy 42

124p , de donde: p=3 (p>0)

a. Coordenadas del foco F(p,0) F(3,0)

b. Ecuación de la directriz: x=-p x=-3

c. Lado recto: 124 LRpLR

d. Como p>0, la curva se abre hacia la derecha del eje Y, y su eje

coincide con el eje X.

L

y

F

P

x 0


397

2. x2 = 12y

Solución

La ecuación es de l forma pyx 42

124p , de donde: 3p (p>0)

a. Coordenadas del foco F(0,p) F(0,3)

b. Directriz: y=-p y=-3

c. Lado recto: 124 LRpLR

d. Como p>0, la curva se abre hacia arriba y su eje coincide con

el eje Y.

3. y2 + 8x = 0

Solución

Si xy 82 , la curva de la forma pxy 42

84p , de donde: p=-2 (p>0)

a. Coordenadas del foco F(p,0) F(-2,0)

b. Directriz: y=-p x=2

c. Lado p<0, la curva se abre hacia la izquierda del eje Y, y su eje

de simetría coincide con el eje X.

4. x2 + 2y = 0

Solución

Si yx 22 , la curva es de la forma pyx 42

a. Como p<0, la curva se abre hacia abajo y su eje coincide con

el eje Y.

y

x

L

F

D 0

D P

F

y

0

L

x

F

y L D

0 x

P


398

5. Deducir y discutir la ecuación ordinaria x2 = 4py

Solución

Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola, F(0,p) el foco y L

su directriz. Por definición de parábola el punto P debe satisfacer

la condición:

APLPdFP ),(

pypyx22

0

De donde: pyx 42

pyL :

6. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco el

punto (3, 0).

Solución

Como el foco F(3,0) está sobre el eje X, la forma de la ecuación

de la parábola es: pxy 42 (1)

Además, si F(p,0) p=3, por lo tanto, en (1): xy 122

7. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz

la recta y – 5 = 0.

Solución

Siendo la directriz una recta horizontal, el eje de la parábola será

vertical, por lo que, su ecuación será de la forma: pyx 42 (1)

Como pyL : , entonces p=-5, por tanto, en (1): yx 202

0

y

x

P

F

A


399

8. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco el

punto (0, -3).

Solución

Como el foco F(0,-3) está sobre el eje Y, la forma de la ecuación

de la parábola es: pyx 42 (1)

Además, si F(p,0) p=-3, por lo tanto, en (1): yx 122


9. Hallar un procedimiento para obtener puntos de la parábola por

medio de escuadras y compás, cuando se conocen el foco y la

directriz.

10. Hallar un procedimiento para obtener puntos de la parábola por

medio de escuadras y compás, si se dan el foco y el vértice.

11. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz

la recta x + 5 = 0.

12. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide

con el eje X pasa por el punto (-2, 4). Hallar la ecuación de la

parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la

longitud de su lado recto.

13. Una cuerda de la parábola x2 + 4x = 0 es un segmento de la recta

x – 2y + 3 = 0. Hallar su longitud.

14. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x2 + 8y = 0 que

es paralela a la recta 3x + 4y – 7 = 0.

15. Demostrar que la longitud del radio vector de cualquier punto P1

(x1, y1) de la parábola y2 = 4px es igual a /x1 + p/.


400

16. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola y2 – 9x

= 0 cuya ordenada es igual a 6.

17. De un punto cualquiera de una parábola se traza una

perpendicular al eje. Demostrar que esta perpendicular es media

proporcional entre el lado recto y la porción del eje comprendida

entre el vértice y el pie de la perpendicular.

18. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y

los puntos extremos del lado recto de la parábola x2 – 4y = 0.

19. Los extremos del lado recto de una parábola cualquiera se unen

con el punto de intersección del eje con la directriz. Demostrar que

estas rectas son perpendiculares entre sí.

20. Una circunferencia cuyo centro es el punto (4, -1) pasa por el foco

de la parábola x2 +6 16y = 0. Demostrar que es tangente a la

directriz de la parábola.

21. Hallar la ecuación de una parábola tomando como ejes X y Y, el

eje y la directriz respectivamente.

En cada uno de los ejercicios 22-25, aplicando la definición de la

parábola, hallar la ecuación de la parábola a partir de los datos dados.

Reducir la ecuación a la primera forma ordinaria por transformación de

coordenadas.

22. Foco (3, 4), directriz x – 1 = 0.

23. Foco (3, -5), directriz y – 1 = 0.

24. Vértice (2, 0), foco (0, 0).

25. Foco (-1, 1), directriz x + y – 5 = 0.


401

9.3 ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA DE VÉRTICE (H, K) Y

EJE PARALELO A UN EJE COORDENADO

Frecuentemente necesitaremos obtener la ecuación de una

parábola cuyo vértice no esté en el origen y cuyo eje sea paralelo,

y no necesariamente coincidente, a uno de los ejes coordenados.

De acuerdo con esto, consideremos la parábola cuyo vértice es el

punto (h, k) y cuyo eje es paralelo al eje X. Si los ejes

coordenados son trasladados de tal manera que el nuevo origen

O‟ coincida con el vértice (h, k), se sigue, por el teorema 1 la

ecuación de la parábola con referencia a los nuevos ejes X‟ y Y‟

está dada por:

y ‟2 = 4 px‟ (1)

en donde la coordenadas del foco F son (p, 0) referido a los

nuevos ejes. A partir de la ecuación de la parábola referida a los

ejes originales X y Y, podemos obtener la ecuación (1) usando las

ecuaciones de transformación del teorema 1, Artículo 50, a saber,

x = x‟ + h, y = y‟ + k,

de donde,

x‟ = x - h, y‟ = y - k,

Si sustituimos estos valores de x‟ y y‟ en la ecuación (1),

obtenemos

(y – k)2 = 4p (x - h) (2)

Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto (h, k) y cuyo

eje es paralelo al eje Y tiene por ecuación

(x – h)2 = 4p (x – h)

en donde /p/ es la longitud de aquella porción del eje comprendida

entre el foco y el vértice.


402

Las ecuaciones (2) y (3) se llaman, generalmente, segunda

ecuación ordinaria de la parábola.

Los resultados anteriores, junto con los obtenidos en el teorema,

conducen al siguiente

TEOREMA 2

La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje

X, es de la forma

(y – k)2 = 4p (x – h),

siendo /p/ la longitud del segmento del eje comprendido entre el

foco y el vértice.

Si p 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p 0, la

parábola se abre hacia la izquierda.

Si el vértice es el punto (h, k) y el eje de la parábola es paralelo al

eje Y, su ecuación es de la forma

(x – h)2 = 4p (y – k)

Si p 0, la parábola se abre hacia arriba; si p 0, la parábola se

abre hacia abajo.

Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el

punto (3, 4) y cuyo foco es el punto (3, 2). Hallar también la

ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.


403

Solución. Como el vértice V y el foco F de una parábola están

sobre su eje, y como en este caso cada uno de estos puntos tiene

la misma abscisa 3, se sigue que el eje a es paralelo al eje Y,

como se indica. Por tanto, por el teorema 2, la ecuación de la

parábola es de la forma

(x – h)2 = 4p (y – k)

Como el vértice V es el punto (3, 4), la ecuación puede escribirse

(x – 3)2 = 4p (y – 4)

Ahora bien, /p/ = /FV/ = /4 – 2/. Pero, como el foco F está abajo

del vértice V, la parábola se abre hacia abajo y p es negativo. Por

tanto, p = -2, y la ecuación de la parábola es

(x – 3)2 = -8 (y – 4)

y la longitud del lado recto es 8.

Designemos por A el punto en que el eje a corta a la directriz l.

Como V (3, 4) es el punto medio del segmento AF, se sigue que

las coordenadas de A son (3, 6). Por tanto, la ecuación de la

directriz es y = 6.

Si desarrollamos y trasponemos términos en la ecuación

(y – k)2 = 4p (x – h),

Obtenemos

y2 – 4px – 2ky + k2 + 4ph =) 0,

que puede escribirse en la forma:

y2 +a1x + a2y + a3 = 0 (4)


404

en donde a1 = -4p, a2 = -2k y a3 = k2 + 4ph. Recíprocamente,

completando el cuadrado en y, podemos demostrar que una

ecuación de la forma (4) representa una parábola cuyo eje es

paralelo al eje X.

Al discutir la ecuación de la forma (4) suponemos que a1 0. Si a1

= 0, la ecuación toma la forma:

y2 +a2y + a3 = 0 (5)

que es una ecuación cuadrática en la única variable y. Si las

raíces de (5) son reales y desiguales, digamos r y r2, entonces la

ecuación (5) puede escribirse en la forma:

(y – r1) (y – r2) = 0

y el lugar geométrico correspondiente consta de dos rectas

diferentes, y = r1 y y = r2, paralelas ambas al eje X. Si las raíces

de (5) son reales e iguales, el lugar geométrico consta de dos

rectas coincidentes representadas geométricamente por una sola

recta paralela al eje X. Finalmente, si las raíces de (5) son

complejas, no existe ningún lugar geométrico.

Una discusión semejante se aplica a la otra forma de la segunda

ecuación ordinaria de la parábola:

(x – h)2 = 4p (y – k),

Los resultados se resumen en el siguiente:


405

TEOREMA 3

Una ecuación de segundo grado en las variables x y y que

carezcan del término en xy puede escribirse en la forma:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Si A = 0, C 0 y D 0, la ecuación representa una parábola

cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje X. Si, en cambio, D =

0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje X,

dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún lugar

geométrico, según que las raíces de Cy2 + Ey + F = 0 sean reales

y desiguales, reales e iguales o complejas.

Si A 0, C = 0 y E 0, la ecuación representa una parábola cuyo

eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E = 0, la

ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje Y, dos

rectas coincidentes paralelas al eje Y o ningún lugar geométrico,

según que las raíces de Ax2 + Dx + F = 0 sean reales y

desiguales, reales e iguales o complejas.

Ejemplo 2. Demostrar que la ecuación 4x2 – 20x – 24y + 97 = 0

representa una parábola, y hallar las coordenadas del vértice y del

foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

Solución. Por el teorema 3, la ecuación:

4x2 – 20x – 24y + 97 = 0 (6)

representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje Y.


406

Si reducimos la ecuación (6) a la segunda forma ordinaria,

completando el cuadrado en x, obtenemos

2

2

5x = 6 (y – 3) (7)

De esta ecuación vemos inmediatamente que las coordenadas del

vértice son 3,2

5. Como 4p = 6,

2

3p , y la parábola se abre

hacia arriba. Entonces, como el foco está sobr e2l eje y el eje es

paralelo al eje Y, se sigue que las coordenadas del foco son

2

33,

2

5, o sea,

2

9,

2

5. La ecuación de la directriz es y = 3 -

2

3, o sea, y =

2

3, y la longitud del lado recto es /4p/ = 6.

Se recomienda al estudiante que dibuje la figura correspondiente

a este ejemplo. También se recomienda resolver el problema por

traslación de los ejes coordenados.

En las dos formas de la segunda ecuación ordinaria de la

parábola, dadas por el teorema 2, hay tres constantes arbitrarias

independientes o parámetros, h, k y p. Por tanto, la ecuación de

cualquier parábola cuyo eje sea paralelo a uno de los ejes

coordenados puede determinarse a partir de tres condiciones

independientes. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo

al eje X y que pasa por los tres puntos 1,2

3, (0, 5) y (-6, -7).


407

Solución. Por el teorema 2, la ecuación buscada es de la forma

(y – k)2 = 4p (x – h)

Podemos, sin embargo, tomar también la ecuación en la forma

dada por el teorema 3, a saber,

Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Como C 0, podemos dividir toda la ecuación por C, obteniendo

así

Y2 + D‟x + E‟y + F0 = 0 (8)

En donde D‟ = C

D, E‟ =

C

E y F‟ =

C

F son tres constantes por

determinarse.

Como los tres puntos dados están sobre la parábola, sus

coordenadas deben satisfacer la ecuación (8). Por tanto,

expresando este hecho, obtenemos las tres ecuaciones siguientes

correspondiendo a los puntos dados:

(3/2, -1) , 1 + 3/2 D‟ - E‟ + F‟ = 0

(0,5), 25 + 5E‟ + F‟ = 0

(-6, -7), 49 – 6D‟ – 7E‟ + F‟ = 0

que pueden escribirse así,

3/2,D‟ - E‟ + F‟ = - 1,

5E‟ + F‟ = - 25

6D‟ + 7E‟ - F‟ = 49


408

La solución de este sistema de tres ecuaciones nos da

D‟ = 9, E „ = -2, F‟ = -15.

Sustituyendo estos valores en la ecuación (8), obtenemos

Y2 + 8x – 2y – 15 = 0,

que es la ecuación de la parábola que se buscaba.

El estudiante debe dibujar la figura para este ejemplo y verificar el

hecho de que las coordenadas de cada uno de los tres puntos

dados satisfacen la ecuación de la parábola. También debe

obtener la misma ecuación usando la forma

(y – k)2 = 4p (x – h),

Dibujar para cada ejercicio la figura correspondiente.


1. Deducir y discutir la ecuación ordinaria (x – h)2 = 4p (y – k).

2. Por transformación de coordenadas, reducir las dos formas de la

segunda ecuación ordinaria a las dos formas correspondientes de

la primera ecuación ordinaria de la parábola.

3. Demostrar que si se tiene la ecuación de la parábola en la forma

(y – k)2 = 4p (x – h), las coordenadas de su foco son (h + p, k), y la

forma de ecuación de su directriz es x = h – p.

4. Demostrar que si se tiene la ecuación de una parábola en la forma

(x – h)2 = 4p (y – k), las coordenadas de su foco son (h, k + p), y la

ecuación de su directriz es x = k – p.

5. Por medio de la primera ecuación ordinaria, deducir la siguiente

propiedad geométrica de la parábola: Si desde un punto


409

cualquiera de un parábola se baja una perpendicular a su eje, el

cuadrado de la longitud de esta perpendicular es igual al producto

de las longitudes de su lado recto y del segmento del eje

comprendido entre el pie de dicha perpendicular y el vértice. Toda

parábola, cualquiera que sea su posición relativa a los ejes

coordenados, posee esta propiedad geométrica llamada

propiedad intrínseca de la parábola.

6. Por medio de la propiedad intrínseca de la parábola, establecida

en el ejercicio 5, deducir las dos formas de la segunda ecuación

ordinaria de dicha curva.

7. Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértice y foco son los

puntos (-4, 3) y (-1, 3), respectivamente. Hallar también las

ecuaciones de su directriz y su eje.

8. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los

puntos (3, 3) y (3, 1), respectivamente. Hallar también la ecuación

de su directriz y la longitud de su lado recto.

9. La directriz de una parábola es la recta y – 1 = 0, y su foco es el

punto (4, -3). Hallar la ecuación de la parábola por dos métodos

diferentes.

10. La directriz de una parábola es la recta x + 5 = 0, y su vértice es el

punto (0, 3). Hallar la ecuación de la parábola por dos métodos

diferentes.

En cada uno de los ejercicios 11-15, redúzcase la ecuación dada a la

segunda forma ordinaria de la ecuación de la parábola, y hallar las

coordenadas del vértice y del foco, las ecuaciones de la directriz y eje, y

la longitud del lado recto.


410

11. 4y2 – 48x – 20y = 71.

12. 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0.

13. y2 + 4x = 7.

14. 4x2 – 48y + 12x = 159.

15. y = ax + bx + c.

16. Resolver el ejemplo 2 del Artículo 56 trasladando los ejes

coordenados.

17. Resolver el ejercicio 14 trasladando los ejes coordenados.

18. Discutir la ecuación Ax2 + Cy + Dx + Ey + F = 0 cuando A = E = 5

= 0 y C 0, D 0.

19. Resolver el ejemplo 3 del Artículo 56 tomando la ecuación en la

forma (y – k)2 = 4p (x – h).

20. Hallar las coordenadas del foco y el vértice, las ecuaciones de la

directriz y el eje, y la longitud del lado recto de la parábola del

ejemplo 3 del Artículo 56.

21. Determinar la ecuación de la familia de parábolas que tienen un

foco común (3, 4) y un eje común paralelo al eje Y.

22. La ecuación de una familia de parábolas es y = 4x2 + 4x + c.

Discutir cómo varia el lugar geométrico cuando se hace variar el

valor del parámetro c.

23. La ecuación de una familia de parábolas es y = ax2 + bx. Hállese

la ecuación del elemento de la familia que pasa por los dos puntos

(2, 8) y (-1, 5).

24. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y

que pasa por los tres puntos (0, 0), (8, -4) y (3, 1).


411

25. Hallar la ecuación de la parábola de vértice del punto (4, -1), eje la

recta y + 1 = 0 y que pasa por el punto (3, -3).

26. Demostrar, analíticamente, que cualquier recta paralela al eje de

una parábola corta a ésta en uno y solamente en un punto.

27. Demostrar que la longitud del radio vector de cualquier punto P1

(x1, y1) de la parábola (y – k)2 = 4p (x – h) es igual a /x1 – h + p/.

28. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola.

y2 + 4x + 2y – 19 = 0

cuya ordenada es igual a 3.

29. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto

que se mueve de tal manera que su distancia de la recta x + 3 = 0

es siempre 2 unidades mayor que su distancia del punto (1, 1).

30. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del centro de

una circunferencia que es siempre tangente a la recta y – 1 = 0 y a

la circunferencia

x2 + y2 = 9.

9.4 ECUACIÓN DE LA TANGENTE A UNA PARÁBOLA

La determinación de la tangente a la parábola no requiere la

introducción de ningún concepto nuevo. Como la ecuación de una

parábola es de segundo grado, su tangente puede obtenerse

empleando la condición para tangencia estudiada.


412

Como para la circunferencia, consideraremos tres casos:

1. Tangente en un punto de contacto dado. Vamos a

determinar la ecuación de la tangente a la parábola

x2 = 4px (1)

en un punto cualquiera P1 (x1, y1) de la parábola.

La ecuación de la tangente buscada es de la forma

Y – y1 = m (x – x1) (2)

en donde está por determinarse la pendiente m. Si el valor de y

dado por la ecuación (2) es sustituido en la ecuación (1), se

obtiene

(y1 + mx – mx1)2 = 4px.

la cual se reduce a

m2x2 + (2my1 – 2m2y1 – 4p) x + (y12 + m2x1

2 – 2mx1y1) = 0

Para la tangencia, el discriminante de esta ecuación debe

anularse, y escribimos

(2my1 – 2m2y1 – 4p)2 - 4m2 + (y12 + m2x1

2 – 2mx1y1) = 0

la cual se reduce a

x1 m2 - y1m + p = 0 (3)

de donde,

m = 1

12

11

x2

px4yy


413

Pero, como P1 (x1, y1) está sobre la parábola (1), tenemos

y12 = 4px1 (4)

de donde m = 1

1

x2

y. Si sustituimos este valor de m en (2),

obtenemos, después de simplificar y ordenar los términos,

2x1y = y1 (x + x1)

De la ecuación (4), 2x1 = p2

y2

1 y si se sustituye este valor en la

última ecuación se obtiene la forma más común de la ecuación de

la tangente,

y1y = 2p (x + x1)

Muchas propiedades interesantes e importantes de la parábola

están asociadas con la tangente en un punto cualquiera de la

curva. La deducción de tales propiedades es más sencilla, en

general, usando la forma canónica (1) y, por tanto, la ecuación de

la tangente que acabamos de obtener es especialmente útil.


414

INTEGRALES MULTIPLES

1. INTEGRAL DOBLE

Sea en el plano 0xy un dominio cerrado D, limitado por una curva

L.

Sea dada en el dominio D una función continua

Dividamos el dominio D mediante curvas arbitrarias en n partes:

, , ...,

Las que llamaremos dominios parciales o elementos. Para no

introducir nuevos símbolos designemos por …, no sólo a

los propios elementos, sino también sus áreas. En cada (en su

interior o en la frontera), elijamos un punto ; entonces

obtenemos n puntos:

, , ..,

Sean , ,…, los valores de la función en los puntos

elegidos; formemos la suma de productos de la forma :

,

Que se llama suma integral de la función en el dominio D.

(1)


415

Si en el dominio D, entonces cada sumando se

puede representar geométricamente como el volumen de un

cilindro elemental de base y de altura .

Así, es la suma de los volúmenes de los cilindros elementales

indicados, es decir, el volumen de un cierto cuerpo “escalonado”.

Examinemos una sucesión arbitraria de las sumas integrales,

formadas con ayuda de la función en el dominio dado D:

, , …, , …

Para diferentes métodos de división del dominio D en las partes

. Supongamos que el diámetro máximo de los elementos

tiende a cero, cuando . En este caso resulta válido el

siguiente teorema que citemos aquí sin demostración.

Teorema 1. Siendo una función continua en el dominio

cerrado D, la sucesión (2) de las sumas integrales (1) tienen un

límite, si el diámetro máximo de tiende a cero, mientras que

. Este límite siempre es el mismo para cualquier sucesión

de la forma (2), es decir, no depende del modo de división del

dominio en los elementos no de la elección del punto dentro

del dominio en los elementos .


416

Este límite se llama integral doble de la función extendida

por el dominio D y se designa así:

Es decir,

Aquí D se llama dominio de integración.

Si es la integral doble de extendida por el

dominio D es igual al volumen Q de un cuerpo limitado por la

superficie , el plano y la superficie cilíndrica,

cuyas generatrices son paralelas al eje y la directriz es la

frontera del dominio D.

Examinemos ahora los siguientes teoremas acerca de la integral

doble.

Teorema 2. La integral doble de la suma de dos funciones

, extendida por un dominio D es igual a la suma

de las integrales dobles extendidas por este dominio D de cada

una de las funciones por separado:

Teorema 3. El factor constante se puede sacar fuera del signo de

la integral doble:

Si = const, tenemos:


417

La demostración de estos dos teoremas se efectúa de modo

análogo al que hemos practicado para demostrar teoremas

correspondientes de la integral definida.

Teorema 4. Si el dominio D está dividido en dos dominios

parciales y , sin poseer puntos interiores comunes, y la

función es continua en todos los puntos del dominio D,

entonces:

(3)

Demostración: La suma integral por el dominio D se puede

representar en la forma:

(4)

Donde la primera suma contiene términos correspondientes a los

elementos del dominio , y la segunda, términos

correspondientes a los elementos del dominio . En efecto, como

la integral doble no depende del modo de dividir el dominio ,

dividámoslo de manera que la frontera común de y sea

también una frontera de los elementos . Pasando en la

igualdad (4) al límite, cuando , obtenemos la igualdad (3).

Es evidente que este teorema es válida para cualquier número de

sumandos.


418

2. CALCULO D LA INTEGRAL DOBLE

Sea un dominio del plano tal que toda recta paralela a uno

de los ejes de coordenadas (por ejemplo, al eje ) y que pasa por

un punto interior) del dominio, corta su frontera en dos puntos y

.

Supongamos que en el caso examinado el dominio está limitado

por las curvas: , y las rectas, , ;

que:

, ;

y además las funciones son continuas en el

segmento . Convengamos llamar tal dominio regular en la

dirección del eje . De modo semejante se determina el dominio

regular en la dirección del eje

Un dominio regular en las direcciones de ambos ejes de

coordenadas llamaremos simplemente dominio regular.

Sea una función continua en el dominio .

Examinemos la expresión


419

la que llamaremos integral iterada de segundo orden de la función

, extendida por el dominio . En esta expresión al principio

se calcula la integral entre paréntesis. La integración se realiza

respecto a , considerando constante. Como resultado de la

integración obtenemos una función continua de :

Integramos la última función respecto a entre los límites desde

hasta :

En definitiva obtenemos un número constante.

Ejemplo 1. Hallar la integral iterada de segundo orden

Solución. Calculemos al principio la integral interior, (entre

paréntesis):

Integrando la función obtenida desde 0 hasta 1 hallamos:


420

Determinemos el dominio . En el caso dado es un dominio

limitado por las líneas:

, , ,

A veces puede ocurrir que el dominio es tal que una de las

funciones , no puede ser dada por una sola

expresión analítica en todo el intervalo de la variación de (desde

hasta ). Sea, por ejemplo, , y

en el segmento ,

en el segmento ,

Donde y son funciones dadas analíticamente.

En este caso escribamos la integral iterada de la manera

siguiente_


421

La primera de estas igualdades está escrita en virtud de la

propiedad conocida de la integral definida y la segunda, porque en

el segmento tenemos y en el segundo ,

Si la función es dada por diferentes expresiones analíticas

en varias partes del segmento , la inscripción de la integral

iterada de segundo orden será análoga.

Determinemos ciertas propiedades de la integral iterada de

segundo orden.

Propiedad 1. Si un dominio regular en la dirección del eje lo

dividimos en dos dominios y , mediante una recta paralela al

eje o al eje , la integral iterada de segundo orden

extendida por el dominio será igual a la suma de integrales

semejantes extendidas por los dominios y , es decir,

(1)

Demostración. a) Supongamos que la recta

divide el dominio en dos dominios y regulares en la

dirección del eje . Entonces

b) Supongamos que la recta divide el dominio en dos

dominios y regulares en dirección del eje . Designemos

por y los puntos de intersección de la recta con la


422

frontera y . Designemos las abscisas de estos puntos por y

.

El dominio está limitado por las curvas continuas:

1) ;

2) La curva , cuya ecuación escribimos convencionalmente

en la forma

,

Teniendo en cuenta que cuando y

, y que

, cuando

3) Las rectas ,

El dominio está limitado por las curvas

, , donde

Aplicando a la integral interior el teorema sobre la descomposición

del intervalo de integración, escribamos la identidad siguiente:


423

Descompongamos la última integral en tres integrales aplicando el

mismo teorema a la integral exterior:

Como en los segmentos y , las

integrales primeras y tercera son idénticamente iguales a cero.

Por eso :

Aquí la primera integral es una integral iterada de segundo orden

por el dominio y la segunda, por el dominio . Por

consiguiente,

La demostración será semejante cualquier que sea la posición de

la secante . Si la recta divide a en tres o, incluso, en

mayor número de dominios, obtenemos una relación, análoga a la

(1) con el número correspondiente de los sumandos en el

segundo miembro.


424

Corolario. Cada uno de los dominios obtenidos podemos dividir

de nuevo en dominios regulares en la dirección del eje

mediante una paralela a o a , y aplicar a éstos la igualdad

(1). Por consiguiente, se puede dividir en cualquier número de

dominios regulares mediante paralelas a los ejes de coordenadas

En este caso también será válida la afirmación de que la integral

iterada de segundo orden extendida por el dominio es igual a la

suma de estas integrales extendidas por los dominios parciales,

es decir:

Propiedades 2. (Evaluación de la integral iterada de segundo

orden).

Sean y los valores mínimos y máximo de la función

en el dominio . Designaremos por el área del dominio . En

este caso tenemos la correlación


425

Demostración. Evaluamos la integral interior, designándola por

:

Obtenemos:

Es decir,

Análogamente tenemos:

Es decir.

De las desigualdades y se deduce la correlación (3):

En el párrafo siguiente aclaremos el significado geométrico de

este teorema.

Propiedad 3 (Teorema de la media). La integral de segundo

orden de una función , extendida por un dominio del

área es igual al producto de por el valor de la función en cierto

punto del dominio , es decir.


426

Demostración. De la correlación (3) obtenemos:

El número está comprendido entre los valores máximo y

mínimo de la función en el dominio . En virtud de la

continuidad de la función , ésta toma en cierto punto del

dominio el valor igual a , es decir.

de donde:

(5)

3. CALCULO DE LA INTEGRAL DOBLE (CONTINUACION)

Teorema. La integral doble de una función continua

extendida por un dominio regular , es igual a la integral iterasa

de segundo orden de esta función extendida por , es decir,

Demostración. Dividamos el dominio por las paralelas a los

ejes de coordenadas en n dominios regulares (rectangulares):

En virtud de la propiedad 1 [formula (2)] del párrafo anterior

tenemos: (1)


427

Transformemos cada sumando del segundo miembro utilizando el

teorema de la media para la integral iterada de segundo orden:

Entonces, la igualdad (1) toma la forma

,

donde es un punto en . A la derecha tenemos una suma

integral para la función extendida por el dominio . Del

teorema sobre la existencia de la integral doble se deduce que el

límite de esta suma existe y es igual a la integral doble de la

función por , cuando y el diámetro máximo de los

dominios parciales tiende a cero.

El valor numérico de la integral iterada de segundo orden del

primer miembro de la igualdad (2) no depende de . Por tanto,

pasando al límite en la igualdad (2) obtenemos:

(2)

(3)


428

Escribiendo la expresión de la integral iterada de segundo orden

en forma más detallada, en definitiva obtenemos:

Observación 1. Cuando , la fórmula (4) toma una

interpretación geométrica ilustrativa. Analicemos un cuerpo

limitado por la superficie , el plano y la superficie

cilíndrica cuyas generatrices son paralelas al eje y la directriz

sigue la frontera del dominio . Calculemos el volumen de este

cuerpo. Hemos indicado ya que el volumen de este cuerpo es

igual a la integral doble de la función extendida por el

dominio :

Calculemos ahora el volumen de este cuerpo utilizando los

resultado de (4). Sobre el cálculo del volumen de un cuerpo según

las áreas de secciones paralelas. Tracemos el plano secante

, que corta el cuerpo. Calculemos el área

de la figura obtenida en la sección .

(4)

(5)


429

Esta figura es un trapecio curvilíneo limitado por las líneas

, , . Por

consiguiente, esta área se expresará mediante la integral

Conociendo las áreas de las secciones paralelas, es fácil hallar el

volumen del cuerpo:

o, sustituyendo en esta fórmula por su expresión de (6),

tenemos:

Los primeros miembros de las fórmulas (5) y (7) son iguales por

tanto son iguales también sus segundos miembros:

No es difícil aclarar ahora el significado geométrico del teorema

sobre la evaluación de la integral iterada de segundo orden (las

propiedad 2 del párrafo anterior): el volumen V de un cuerpo

limitado por la superficie , el plano y la superficie

cilíndrica, cuya directriz sigue la frontera del dominio . Esto se

deduce de que la integral iterada de segundo orden es igual al

volumen de este cuerpo.

Ejemplo 1. Calcular la integral doble , si el

dominio está limitado por las rectas , , , .

(6)

(7)


430

Solución. En virtud de la fórmula tenemos:

Ejemplo 2. Calcular la integral doble de la

función , extendida por el

dominio por las líneas: , , ,

.

Observación 2. Supongamos que el dominio regular en la

dirección del eje está limitado por las líneas

Siendo

Es evidente, que en este caso tenemos:

(8)


431

Para calcular una integral doble es preciso representarla en forma

de una integral de segundo orden. Esto se puede hacer por dos

procedimientos, utilizando la fórmula (4) o la (8). En cada caso

concreto, para calcular la integral doble elijamos una u otra

fórmula según del dominio o del integrando.

Ejemplo 3. Cambiar el orden de integración en la integral

Solución. El dominio de integración está limitado por la recta

y la parábola .

Toda paralela al eje corta la frontera del dominio no más que

en dos puntos. Por tanto, se puede calcular la integral según la

fórmula (8) poniendo

Entonces:


432

Ejemplo 4. Calcular:

Si el dominio es un triángulo limitado por las rectas

Solución. Sustituyamos la integral doble dad por una integral

iterada de segundo orden, utilizando la fórmula (4). (Si usáramos

la fórmula (8), tendríamos que integrar la función respecto a ;

pero esta integral no se expresa mediante las funciones

elementales):

Observación 3. Si el dominio no es regular en la dirección del

eje (es decir, si existen rectas verticales y horizontales que

pasan por los puntos interiores del dominio y cortan la frontera del

dominio en más dos puntos), entonces podemos presentar la

integral doble extendida por este dominio en la forma de una

integral iterada de segundo orden. Si logramos dividir el dominio

irregular en un número finito de dominio regulares

en dirección del eje ó entonces, al calcular la integral doble

por cada uno de estos dominios parciales (con ayuda de la


433

integral iterada de segundo orden) y al sumar los resultados,

obtenemos la integral buscada extendida por el dominio

Ejemplo 5. Calcular la integral doble

Extendida por el dominio , encerrado entre dos cuadrados con el

centro en el origen de coordenadas y los lados paralelos a los ejes

de coordenadas, si cada lado del cuadrado interior es igual a 2 y

el del exterior a 4.

Solución. El dominio es irregular. Sin embargo, las rectas

y lo dividen en cuatro dominios regulares

Por eso:

Representando cada una de estas integrales en forma de una

integral iterada de segundo orden, hallamos:


434

Observación 4. En adelante escribamos la integral iterada de

segundo orden

Omitiendo los paréntesis de la integral interior, es decir, en la

forma:

Aquí, (igual que en el caso, en que se ponen los paréntesis)

convengamos que la primera integración se realiza respecto a la

variable, cuya diferencial está escrita primera y después, respecto

a la otra variable, cuya diferencial está escrita en el segundo lugar.

Notemos, sin embargo, que esta regla no está generalmente

aceptada. En algunas obras adoptado el procedimiento contrario:

al principio, la integración se realiza respecto a la variable, cuya

diferencial ocupa el último lugar).


435

4. CALCULO DE AREA Y VOLUMENES CON AYUDA DE

INTEGRALES DOBLES

1. Volumen. Como hemos visto en (1), el volumen V de un

cuerpo, limitado por una superficie , donde es

una función no negativa, el plano y la superficie cilíndrica,

cuyas generatrices son paralelas al eje , y la directriz sigue la

frontera del dominio , es igual a la integral doble de de la función

extendida por :

Ejemplo 1. Calcular el volumen de un cuerpo limitado por las

superficies

Solución

Donde es el dominio en forma triangular del plano limitado

por las rectas

Poniendo los límites en la integral doble, calculemos el volumen:


436

Así, unidades cúbicas.

Observación 1. Si el cuerpo, cuyo volumen se busca, está

limitado por arriba y por debajo por las superficies ,

respectivamente, siendo la proyección de ambas superficies

sobre el plano , entonces, el volumen V de este cuerpo es

igual a la diferencia entre los volúmenes de dos cuerpos

“cilíndricos”, el primero de los cuales tiene como base inferior y

la superficie como base superior, y el segundo tiene

también como base inferior y la superficie como

base superior.

Por eso, el volumen V es igual a la diferencia de dos integrales

dobles:

Es fácil demostrar que la fórmula (1) es válida no sólo cuando

y son funciones no negativas, sino también,

cuando y son funciones continuas arbitrarias que

satisfacen la correlación:

(1)


437

Observación 2. Si la función cambia de signo en el

dominio , divida nos a éste en dos dominios: 1) dominio ,

donde ; 2) dominio , donde . Supongamos

que será positiva e igual al volumen del cuerpo dispuesto por

encima del plano . La integral extendida por será negativa e

igual por su valor absoluto al volumen del cuerpo dispuesto por

debajo del plano . Por consiguiente, la integral extendida por el

dominio expresará la diferencia de los volúmenes

correspondientes.

2. Cálculo del área de un dominio plano. Si formamos una

suma integral para la función por el dominio ,

obtenemos el área

Cualquiera que sea la división. Pasando al límite en el segundo

miembro de la igualdad, obtenemos:


438

Si el dominio es regular, el área se expresará mediante la

integral interada de segundo orden

Después de la integración de la integral entre paréntesis,

tenemos:

Ejemplo 2. Calcular el área de un dominio limitado por las curvas.

Solución. Determinemos el área los puntos de intersección de las

curvas dadas. Las ordenadas de dos curvas son iguales en punto

de intersección es decir,

De donde: ,

Hemos obtenido dos puntos de intersección:

Por tanto, el área buscada es:

5. INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES

Sea dado en el sistema de coordenadas polares un dominio

tal, que todo rayo pasante por un punto interior de corta la

frontera del dominio no más que en dos puntos. Supongamos,


439

también que el dominio está limitado por las curvas ,

y los rayos , y , siendo y

. Diremos que un dominio tal es regular.

Sea dada en el dominio una función continua de las

coordenadas y :

Dividamos arbitrariamente en los dominios parciales

Formemos la suma integral:

Donde es un punto en .

Del teorema sobre la existencia de la integral doble se deduce que

cuando el diámetro máximo de tiende a cero, la suma integral

(1) tiene un límite V. Según la definición, este límite C es la

integral doble de la función extendida por el dominio D:

Calculemos aquí esta integral doble.

Como el límite de la suma integral no depende del modo de dividir

D en los dominios parciales , podemos dividirlo, para la

comodidad, mediante rayos , , , … ,

(donde , , ) y las

circunferencias concéntricas , [donde

es igual al valor mínimo de la función y , al valor máximo

de en el intervalo ; ].

(2)


440

Designaremos por el dominio parcial limitado por las líneas

. Sean aquí tres tipos de los dominio

parciales : 1) los que no se cortan por la frontera y se sitúan

dentro del dominio D; 2) los que se cortan por la frontera y se

sitúan fuera del dominio D; 3) lo que se cortan por la frontera del

dominio D.

La suma de los términos, correspondientes a los dominios

parciales cortados, tiene por límite cero, cuando y

, por lo que estos sumandos no se toman en cuenta. Los

dominios parciales que se encuentran fuera de D y no entran

en la sima integral no nos interesan por consiguiente, se puede

escribir la suma integral en la forma:

Donde es un punto arbitrario de .

El signo de suma doble significa aquí, que al principio sumamos

por el índice , considerando constante (es decir, sumamos

todos los términos que corresponden a los dominios parciales

comprendidos entre dos rayos vecinos). El signo de suma externo


441

significa que nosotros unimos todas las sumas obtenidas durante

la primera adición (es decir, sumamos por el índice ).

Hallemos la expresión del área del dominio parcial , que se

cortan por la frontera de D. El área es igual a la diferencia de las

áreas de dos sectores:

ó

, donde

Así, la suma integral tiene la forma

Donde es un punto de . Saquemos el factor fuera

del signo de la suma interior (esto se permite, puesto que es un

factor común para todos los términos de esta suma):

Supongamos que y queda constante. En este caso, la

expresión entre paréntesis tenderá a la integral

Suponiendo ahora que , definitiva obtenemos:

La fórmula (3) sirve para calcular integrales dobles en las

coordenadas polares.

(3)


442

Si la primera integración se realiza por , y la segunda, por ,

obtenemos la formula:

Supongamos que es preciso calcular integral doble de la función

, dada en coordenadas rectangulares y extendidas por el

dominio :

Si es un dominio regular en coordenadas polares , el cálculo

de la integral dada se puede reducir a la determinación de una

integral iterada de segundo orden en coordenadas polares. En

efecto, puesto que

,

,

Por tanto, tenemos

(3’)

(4)


443

Ejemplo 1. Calcular el volumen V del cuerpo limitado por la

superficie esférica

y el cilindro

Solución. Como el dominio de integración se puede tomar, en

este ejemplo la base de un cilindro , es decir,

un circulo de radio y centro en el punto (0, ). La ecuación de

este círculo se puede escribir en la forma .

Calculemos la cuarta parte del volumen V, es decir, la parte

dispuesta en el primer octante. Entonces, en la calidad del

dominio de integración debemos tomar un semicírculo, cuyas

fronteras son determinadas por las ecuaciones:

,

,

El integrado es

Por tanto,

Transformemos la integral obtenida para las coordenadas polares

:

Determinemos los límites de integración. Para esto escribamos la

ecuación de circunferencia dada en coordenadas polares: puesto

que


444

,

,

Tenemos:

,

ó

Por consiguiente, las fronteras del dominio en coordenadas

polares se determinan por las ecuaciones:

, , , ,

el integrado tiene la forma

Por consiguiente, obtenemos:


445

6. SUSTITUCION DE VARIABLES EN UNA INTEGRAL DOBLE

(CASO GENERAL)

Sea dado en el plano un dominio D limitado por la curva L.

Supongamos también que las coordenadas e son las

funciones de las nuevas variables y :

Donde las funciones y son uniformes, continuas y

que en las derivadas continuas en cierto dominio D´ que será

definido abajo. En este caso, según la fórmula (1), a cada par de

valores y corresponde un solo para de valores e .

Supongamos, ahora, que las funciones son tales que, si

damos a e los valores determinados en el dominio D,

entonces, según las fórmulas (1) determinemos los valores

definidos de y .

Analicemos el sistema de coordenadas rectangulares . De lo

expuesto arriba se deduce, que a todo punto en el plano

(1)


446

corresponde uniformemente un punto del plano

de coordenadas definidas por las fórmulas (1). Los números

y se llaman coordenadas curvilíneas del punto P.

Si un punto describe en el plano la curva cerrada L que limita

el dominio D, entonces en el plano el punto correspondiente

describirá una curva cerrada L‟ que limita un cierto dominio D´;

además, a cada punto de D‟ le corresponde un punto de D.

Por consiguiente, las fórmulas (1) establecen una correspondencia

biunívoca entre los puntos de los dominios D y D‟, o, como se dice

también, representan biunívocamente a D en D‟.

Analicemos en D‟ una recta . En general, por las

fórmulas (1) hallemos que en el plano le corresponde una

cierta curva. Del modo igual a toda recta del plano

le corresponde una cierta curva en el plano .

Mediante rectas y dividamos el dominio D‟ en

los dominios parciales rectangulares (no tomamos en

consideración los rectángulos que tocan la frontera de D‟). Las

curvas correspondientes dividen el dominio D en ciertos

cuadriláteros curvilíneos.

Analicemos en el plano un rectángulo , limitado por las

rectas , , , y el

cuadrilátero curvilíneo que le corresponde en el plano . Las

áreas de estos dominios parciales designémoslas por y ,

respectivamente. Es evidente que:

Hablando en general, las áreas y son diferentes.

Sea dada una función continua.


447

en un dominio D.

A todo valor la función del dominio D, corresponde un

mismo valor de la función en D‟, donde

Examinemos las sumas de las integrales de la función

extendidas por el dominio D. Evidentemente, se verifica la

igualdad siguiente:

Calculemos , es decir, el área del cuadrilátero curvilíneo

en el plano .

Determinemos las coordenadas de sus vértices:

Al calcular el área del cuadrilátero curvilíneo ,

consideremos que las líneas , , , son, por pares,

rectas paralelas; además, sustituyamos los incrementos de la

funciones por sus diferenciales correspondientes. De este modo,

menospreciamos las infinitesimales de orden superior en

comparación con las , . En este caso , las fórmulas (3) toman

la forma:

(2)

(3)


448

Hechas las suposiciones mencionadas, podemos considerar el

cuadrilátero curvilíneo como un paralelogramo. Su área

es aproximadamente igual al área duplicada del triángulo

y se determina mediante la aplicación de la fórmula

correspondiente de la geometría analítica:

Las líneas verticales secundarias exteriores de las determinantes

significan que ésta se toma por su valor absoluto. Introduzcamos

la designación:

Por consiguiente,

(3’)

(4)


449

La determinante I se llama determinante funcional o jacobiano (por

el nombre del matemático alemán Jacobi) de las funciones

.

Las igualdades (4) es sólo aproximada, puesto que, al calcular el

área de , hemos menos preciado las infinitesimales de orden

superior. Sin embargo, cuanto menores son las dimensiones de

los dominios parciales y tienden a cero:

Apliquemos ahora la igualdad obtenida al cálculo de la integral

doble. En virtud de la igualdad (2), podemos escribir:

(la suma integral del segundo miembro se extiende por el dominio

D‟) Pasando al límite, cuando , obtenemos la igualdad

exacta:

Esta es la fórmula de transformación de las coordenadas dentro

de la integral doble. Ella permite reducir el cálculo de una integral

(5)


450

doble extendida por el dominio D al cálculo de una integral doble

extendida por el dominio D‟, lo que puede simplificar el problema.

La primera demostración rigurosa de esta fórmula pertenece al

distinguido matemático rus M. V. Ostrogradski.

Observación. El paso de las coordenadas rectangulares a las

polares, examinado en el párrafo anterior, es un caso particular

del cambio de variables en una integral doble. Aquí tenemos

, :

Calcular el jacobino de la transformación de las coordenadas

cartesianas e en las polares y :

Por consiguiente, , entonces

7. CALCULO DE LAS AREAS DE SUPERFICIES

Supongamos que es preciso calcular el área de una superficie

limitada por una curva T; sea dada la superficie por una ecuación

, donde la función es continua y tiene las

derivadas parciales continuas.


451

Sea L la proyección de la curva T sobre el plano .

Designaremos por d el dominio del plano , limitado por L.

Dividamos arbitrariamente el dominio D en dominios

parcialmente o elementales . Tomemos en cada

dominio parcial un punto arbitrario . Al punto

corresponderá un punto en la superficie

.

Por el punto tracemos un plano tangente a la superficie. Su

ecuación será:

En este plano elijamos un dominio parcial tal que se proyecta

sobre el plano en forma del dominio elemental .

Consideremos la suma de todos los dominios elementales :

El limite de esta suma, cuando el máximo de los diámetros de

tiende a cero, llamaremos área de la superficie, es decir,

según la definición, pongamos:

(1)


452

Calculemos ahora el área de la superficie. Designemos por el

ángulo formado por el plano tangente y el plano . Basándonos

en la fórmula conocida de la geometría analítica, podemos

escribir:

ó

El ángulo también está formado por el eje y la normal al

plano (1). Por eso, en virtud de la ecuación (1) y de la fórmula

correspondiente de la geometría analítica tenemos:

Por consiguiente,

Poniendo esta expresión en la fórmula (2), obtenemos:

Como el límite de la suma integral del segundo miembro de esta

última igualdad es, según la definición, la integral doble

En definitiva, tenemos:

Esta es la fórmula que permite calcular el área de la superficie

(2)

(3)

(4)


453

Si la ecuación de la superficie es dada en la forma o en

la forma

Entonces las formulas correspondientes, para calculas las

superficies, tienen la forma:

Donde D‟ y D‟‟ son los dominios de los planos y en los

cuales se proyecta la superficie dada.

8. DENSIDAD DE DISTRIBUCION DE LA MATERIA Y LA

INTEGRAL DOBLE

Supongamos que cierta materia está distribuida en el dominio D

de modo que cada unidad del área D contiene determinada de

ésta. Se trata aquí de la distribución de la masa, aunque nuestros

razonamientos siguen en vigor cuando hablemos de la distribución

de carga eléctrica, cantidad de calor, etc.

(3’)

(3’’)


454

Examinemos un dominio parcial arbitrario de D. Sea la

masa de la materia distribuida en este dominio parcial. Entonces,

la razón se llama densidad superficial media de la materia en

.

Suponemos ahora que el dominio parcial disminuye,

reduciéndose, finalmente, al punto . Examinemos el límite

Si este límite existe, él dependerá, en caso general, de

la posición del punto P, es decir de sus coordenadas e y,

representando en sí cierta función del punto P. Este límite lo

llamaremos densidad superficial de la materia en el punto P:

Así, la densidad superficial es una función de las

coordenadas del punto examinado en el dominio.

Supongamos, ahora, inversamente que en el dominio D está dada

la densidad superficial de cierta materia como una función

continua ; es preciso determinar la cantidad total de

la materia M que se contienen en D. Dividamos el dominio en los

dominios parciales (i = 1,2, … , n), y en cada de ellos tomemos

un punto . Entonces, es la densidad superficial en el punto

.

El producto nos da la cantidad de la materia contenida en

(con la precisión de hasta las infinitesimales de orden

superior), mientras que la suma

Expresa aproximadamente la cantidad total de la substancia

distribuida en el dominio D. Pero ésta es la suma integral para la

(3’)


455

función en D. El valor preciso lo obtenemos pasando al

límite, cuando .

Por consiguiente

Es decir, la cantidad total de materia en el dominio D es igual a la

integral doble por D de la densidad de esta

substancia.

9. MOMENTO DE INERCIA DEL AREA DE UNA FIGURA PLANA

Se llama momento de inercia I de un punto material M de masa

respecto a un cierto punto al producto de la masa por el

cuadrado de la distancia entre los puntos M y :

El momento de inercia de un sistema de puntos materiales ,

, …, respecto al punto es la suma de los momentos de

inercia de los diversos puntos del sistema:

Determinemos, ahora, el momento de inercia de una figura

material plano D.


456

Supongamos que la figura D está situada en el plano de

coordenadas . Determinemos el momento de inercia de esta

figura respecto al origen de coordenadas, suponiendo que la

densidad superficial es por dondequiera igual a la unidad.

Dividamos D en los dominios parciales . En cada

dominio parcial tomemos un punto de coordenadas . El

producto de la masa del dominio parcial por el cuadrado de la

distancia , se llama momento elemental de inercia

de :

Formemos la suma de estos momentos:

la que es, al mismo tiempo, una suma integral para la función

por el dominio D.

Determinemos el momento de inercia de la figura D como el límite

de esta suma integral, cuando el diámetro de cada tiende a

cero:

Pero, el límite de esta suma es la integral doble

. Por consiguiente, el momento de inercia de la

figura D respecto al origen de coordenadas es igual a:

donde D es el dominio coincidente con la figura plana dada.

Las integrales

(1)

(2)


457

se llaman, respectivamente, los momentos de inercia de la figura

D respecto a los ejes y .

Ejemplo 1. Calcular el momento de inercia del área de círculo D

de radio R, respecto al centro .

Solución

Según la fórmula (1), tenemos:

Para calcular esta integral, pasaremos a las coordenadas polares

.

La ecuación de la circunferencia en coordenadas polares es =R.

Observación. Si la densidad superficial no es igual a 1 y es una

cierta función de e , es decir, entonces la masa del

dominio parcial será igual a (con precisión de hasta

las infinitesimales de orden superior) y por esto, el momento de

inercia de una figura plana respecto al origen de coordenadas,

será:

(3)

(1’)


458

Elipse de inercia. Determinemos el momento de inercia de una

figura plana D respecto a cierto eje que pasa por el punto

tomado por el origen de coordenadas.

Sea el ángulo formado por la recta con la dirección positiva

del eje .

La ecuación normal de la recta es

La distancia r de un punto cualquiera a esta recta es igual

a . El momento de inercia I del área D en

relación a la recta , según la definición, se expresa mediante la

integral

Por tanto,

, (4)


459

ponde es el momento de inercia de la misma

respecto al eje x, y, además:

Dividiendo todos los términos de la última ecuación (4) por I

obtenemos:

Tomemos en la recta un punto tal, que sea

Distintos valores de I y diferentes puntos A corresponden a varias

direcciones del eje es decir, a diferentes valores del ángulo .

Hallemos el lugar geométrico de los puntos A. Es evidente, que

En virtud de la igualdad (5), las magnitudes X e Y están

entrelazadas por la correlación

De este modo, el lugar geométrico de los puntos es la

curva de segundo grado (6). Demostremos que esta curva es una

elipse. Tenemos la siguiente desigualdad, llamada de Buniakovski

(matemático ruso):

ó

(5)

(6)


460

Así, el discriminante de la curva (6) es positivo y, por consiguiente,

ésta es una elipse. Esta elipse se llama elipse de inercia. La

noción de elipse de inercia tiene gran importancia en mecánica.

Notemos que las longitudes de los ejes de la elipse de inercia y su

posición en el plano dependen de la forma de la figura plana dada.

Como la distancia entre el origen de coordenadas y un punto

arbitrario A de la elipse es igual a donde I es el momento de

inercia de la figura respecto al eje , por tanto, al construir la

elipse, es fácil calcular el momento de inercia de la figura D

respecto a una recta cualquiera, que pasa por el origen de

coordenadas. En particular, es fácil ver que el momento de inercia

de la figura es máximo al eje pequeño de esta elipse, y mínimo,

respecto a su eje grande.

10. COORDENAS DEL CENTRO DE GRAVEDAD DEL AREA DE

UNA FIGURA PLANA

Hemos indicado que las coordenadas del centro de gravedad de

unos sistemas de puntos materiales (de masas

respectivamente) se determinan por las fórmulas: (1)


461

Determinemos, ahora, las coordenadas del centro de gravedad de

una figura plana D. Dividámosla en los dominios parciales muy

pequeños. Si suponemos que la densidad superficial es igual a 1,

la masa del dominio parcial será igual a su área. Si

convencionalmente suponemos que toda la masa de está

concentrada en algunos de sus puntos podemos

considerar la figura D como un sistema de puntos materiales. En

este caso, en virtud de las fórmulas (1), las coordenadas del

centro de gravedad de esta figura serán determinadas,

aproximadamente, por las igualdades:

Pasando al límite, cuando , las sumas integrales en los

numeradores y los denominadores de las fracciones se

transforman en las integrales dobles, con lo que obtenemos las

fórmulas exactas para calcular las coordenadas del centro de

gravedad de una figura plana:

Estas fórmulas deducidas para una figura plana de densidad

superficial igual a 1 son válidas, también, para cada figura, que

tiene otra densidad cualquiera, constante en todos los puntos.

Si la densidad superficial es variable:

Las fórmulas correspondientes toman, entonces, la forma:

(2)


462

Las expresiones

y

Se llaman momentos estáticos de la figura plana D respecto a los

ejes y .

La integral expresa la magnitud de la masa de la

figura examinada.

Ejemplo. Determinar las coordenadas del centro de gravedad de

la cuarta parte del elipse.

Suponiendo, que la densidad superficial en todos los puntos es

igual a 1.

Solución. Según las fórmulas (2), obtenemos:


463

11. INTEGRAL TRIPLE

Sea todo en el espacio cierto dominio V, limitado por una

superficie cerrada . Supongamos que en el dominio y en su

frontera está definida una función continua , donde

son las coordenadas rectangulares de un punto del dominio. Para

precisar las ideas en el caso en que , podemos

suponer que ésta representa la densidad de distribución de cierta

materia en el dominio V.

Dividamos el dominio V arbitrariamente en dominios parciales ,

designando con el símbolo no sólo el dominio elemental, sino

también su volumen. En cada tomemos un punto arbitrario y

designemos por el valor de la función en este punto.

Formemos la suma integral

Y aumentemos indefinidamente el número de los dominios

parciales de modo que el diámetro máximo de tienda a cero.

Si la función es continua, existe el límite de las sumas

integrales de la forma (1), donde al límite se le da el mismo

significado, que hemos dado durante la determinación de la

integral doble. Este límite, que no depende del modo de dividir el

dominio V, ni de la manera de elegir los puntos , se designa por

(1)


464

el símbolo y se llama integral triple. Así, según la

definición, tenemos:

ó

Si consideramos como la densidad volumétrica de la

distribución de una materia en un dominio V, la integral (2) nos

dará la masa de toda la substancia contenida en el volumen V.

12. CALCULO DE LA INTEGRAL TRIPLE

Supóngase que un dominio espacial (tridimensional) V, limitado

por una superficie cerrada , tiene las siguientes propiedades:

1) Toda recta paralela al eje , trazada por punto interior del

dominio V (es decir, por un punto que no pertenece a la frontera

S) corta la superficie S en dos puntos;

2) Todo dominio V se proyecta sobre el plano en forma de un

dominio regular (de dos dimensiones) D;

3) Toda parte del dominio V, separada por un plano paralelo a un

plano de coordenadas cualquiera ( ), también posee

las propiedades 1) y 2)

4) Un dominio V que tiene las propiedades indicadas se llama

dominio regular tridimensional.

Estos dominios tridimensionales regulares son, por ejemplo, un

elipsoide, un elipsoide, un paralelepípedo rectangular, un

(2)


465

tetraedro, etc. Se da un ejemplo del dominio tridimensionales

irregular. En este párrafo examinemos sólo los dominios

regulares.

Sean la ecuación de la superficie que limita el dominio

V por de debajo, y , la de una superficie que limita V

por arriba.

Introduzcamos la noción de una integral iterada de tercer orden ,

extendida por el dominio V, de una función de tres variables

por el dominio V se determina así:

Notemos que, como el resultado de la integración respecto a , y

la sustitución de los límites en las llaves, obtenemos una función

de e . Luego, se puede calcular una integral doble de esta

función extendida por el dominio D, como lo hemos hecho

anteriormente.

Demos un ejemplo del cálculo de una integral iterada de tercer

orden.

(1)


466

Ejemplo 1. Calcular la integral iterada de tercer orden de la

función , extendida por el dominio V limitado por los

planos.

Solución. Este dominio es regular: puesto que está limitado por

encima y por debajo por los planos ,

respectivamente y, además, su proyección sobre el plano

representa un dominio regular plano D que es un triángulo limitado

por las rectas . Por eso, la integral iterada

de tercer orden se calcula de la siguiente manera:

Poniendo los límites en la integral iterada de segundo orden

extendida por el dominio D, tenemos:

Analicemos, ahora, algunas propiedades de la integral iterada de

tercer orden.

Propiedad 1. Si el dominio V está dividido en dos dominios y

mediante un plano paralelo o cualquiera de los planos de

coordenadas, la integral iterada de tercer orden extendida por el

dominio V es igual a la suma de integrales iteradas de tercer

orden extendidas por los dominios y .


467

No hace falta repetir aquí la demostración de esta propiedad,

pues, es idéntica en todos los puntos a la aplicada en el caso de la

integral iterada de segundo orden.

Corolario. Cualquiera que sea el modo de dividir el dominio V en

un número finito de dominios , …, mediante planos paralelos

a los planos de coordenadas, se verifica la igualdad:

Propiedad 2 (Teorema sobre la evaluación de una integral

iterada de tercer orden). Si y son valores mínimo y máximo,

respectivamente de la función en el dominio V, se verifica

la desigualdad:

Donde V es el volumen del dominio dado y , la integral iterada

de tercer orden de la función , extendida por V.

Demostración. Evaluemos al principio la integral interior que

forma parte de la integral iterada de tercer orden


468

Así, la integral interior no supera a la expresión

. Por consiguiente, e virtud del teorema del (1)

sobre las integrales dobles, designando por D la proyección del

dominio V sobre el plano , obtenemos:

Pero, la última integral iterada de segundo orden es igual a la

integral doble de la función y, por tanto, al

volumen del dominio comprendido entre las superficies

y , es decir, al volumen del dominio V. Por

consiguiente,

De modo análogo demostremos que . La propiedad 2

queda así demostrada.

Propiedad 3 (Teorema de la media). La integral iterada de tercer

orden de una función continua extendida por el

dominio V es igual al producto de su volumen V por el valor de la

función en un cierto punto P del dominio V, es decir,

(2)


469

La demostración de esta propiedad es análoga a la que hemos

dado durante la demostración de semejante propiedad para la

integral doble. Ahora podremos demostrar el teorema sobre el

cálculo de la integral triple.

Teorema. La integral triple de una función , extendida por

un dominio regular V es igual a la integral iterada de tercer orden

extendida por el mismo dominio, es decir, orden extendida por el

mismo dominio, es decir,

Demostración. Dividamos el dominio V mediante planos paralelos

a los planos de coordenadas en dominios regulares:

Designemos con , como hemos hecho anteriormente, la integral

iterada de tercer orden de la función extendida por el

dominio V y con , la integral iterada de tercer orden extendida

por . En virtud del corolario de la propiedad 1 se puede escribir

la igualdad.

Transformemos cada sumando del segundo miembro de esta

ecuación según la fórmula (2):

Donde es cierto punto de

(3)

(4)


470

En el segundo miembro de la igualdad (4) tenemos una suma

integral. Según la Hipótesis, la función es continúa en el

dominio V, por lo cual el diámetro máximo de tiende a cero; el

límite de esta suma existe y es igual a la integral triple de la

función extendida por el dominio V. Así, pasando al límite

de la igualdad (4),


471

BIBLIOGRAFÍA

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Aires.

SEYMOUR, Lipschutz (1999) Teoría de los Conjuntos y Temas Afines.

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Editorial Iberoamericana. México.

PAPY (200) Matemática Moderna: I-II-III. Editorial Universitaria. Buenos

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REES SPARKS (2002) Algebra. Editorial Reverté Buenos Aires.

KINDLE, Joseph (2002) Geometría Analítica. Editorial Mc Graw Hill.

Bogotá


472

“El presente material contiene una compilación de contenidos de

obras de Matemática Básica para Derecho, Administración,

Contabilidad y Ciencias de la Comunicación publicadas

lícitamente, resúmenes de los temas a cargo del profesor;

constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado

en el desarrollo de las clases en nuestra institución.

Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la

Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos

en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto

Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.

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