Matematica Basica II

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Page 1: Matematica Basica II

MATEMATICA BASICA II

(NOCIONES DE ALGEBRA LINEAL)

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850 introducidas por

J.J.Sylvester, el desarrollo de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton

en 1853 ; en 1858 A.Cayley introduce la notación matricial como una forma

abreviado de escribir un sistema de m ecuaciones con n incógnitas.

Las matrices constituyen actualmente una parte esencial de los lenguajes de

programación ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores

como tablas organizadas en filas y columnas .

MATRIZ

Es un arreglo rectangular de números ordenandos en filas y columnas, que

presenta la siguiente estructura:

(a11a12 ⋯ a1 j⋯ a1n

a21a22 ⋯ a2 j⋯ a2n

⋮ ⋮ ⋮ai1ai2⋯ aij⋯ a¿

⋮ ⋮ ⋮am1am2⋯ amj⋯ amn

)mxn

Los aij son los elementos de la matriz; las “m-n” uplas horizontales son las filas,

y las “m-n” uplas verticales son las columnas.

El orden de la matriz está dado por el número de filas y columnas (matriz de

orden mxn)

A= [aij]mxn

Dónde: i= 1, 2,3,…, m

j=1, 2,3,…, n

Observación:

Page 2: Matematica Basica II

Los elementos de una matriz no necesariamente son números, también

pueden ser funciones.

La matriz no tiene valor numérico, no se le puede identificar con un número.

Igualdad de matrices

Dos matrices Ay B son iguales si y solo si son idénticas, es decir si son del

mismo orden y sus respectivos elementos son iguales.

CLASES DE MATRICES

Matriz cuadrada

Se presenta cuando el número de filas es igual al número de columnas, se

denota: Anxn , An

Matriz nula

Es una matriz en la cual todos sus elementos son ceros.

Ejemplo:

0 = (0 00 0)

Matriz diagonal

Es una matriz cuadrada en la cual los elementos fuera de la diagonal principal

son ceros. Ejemplo:

(1 0 00 8 00 0 5)

Matriz escalar

Es una matriz diagonal en la cual los elementos de la diagonal principal son

iguales.

Ejemplo:

(7 0 00 7 00 0 7)

Matriz identidad

Es una matriz escalar donde los elementos de la diagonal principal es el 1.

Ejemplo:

Page 3: Matematica Basica II

(1 0 00 1 00 0 1)

Notación: I n , I

Transpuesta de una matriz

La transpuesta de una matriz Amxn es la matriz construida a partir de A ubicando

la i-ésima fila de A en la i-ésima columna de la matriz transpuesta.

Notación: At

Si A=[a ij]mxn→At =[a ijt ]nxm= [a ji ]nxm

Matriz simétrica

Se presenta cuando A= At

La matriz debe ser cuadrada, los elementos de la diagonal principal

permanecen fijos al efectuar la transposición.

Matriz anti simétrica

Se presenta cuando A = - At

La matriz debe ser cuadrada, los elementos de la diagonal principal son ceros.

Matriz Nilpotente

Es aquella matriz tal que si existe algún p entonces Ap = 0 ( 0 matriz nula)

Se dice que el grado de nilpotencia es p.

Ejemplo

Determine el grado de nilpotencia de la matriz A=(0 1 00 0 10 0 0)

Matriz idempotente

Se dice que una matriz cuadrada A es idempotente si A2= A.

Ejemplo

Determine a ,b , c y d tal que la matriz A=(a 0c d) es idempotente

Page 4: Matematica Basica II

Matriz involutiva

Se dice que una matriz cuadrada A es involutiva si A2 = I

Traza de una matriz

Sea A una matriz cuadrada, la traza de A: tr(A) es la suma de elementos de la

diagonal principal de la matriz A.

tr(A) =traz(A) = a11+a22+…+ann

Propiedades

Sean A y B dos matrices y c un escalar tal que con A y B se puedan hacer

operaciones, entonces:

1) tr(A+B) = tr(A) + tr(B)

2) tr(AB) = tr(BA)

3) tr(c A) = c tr(A)

4) tr(At) = tr(A)

5) (A+B)t = At + Bt

6) (c A)t = c At

7) (AB)t = BtAt

8) (At)t = A

9) Si A es una matriz cuadrada entonces A+A t es simétrica y

A−A t es anti simétrica

10) Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la suma de

una matriz simétrica y un matriz anti simétrica.

Matriz triangular superior

Una matriz cuadrada se llama triangular superior si y solo si a ij=0 para i¿j

Ejemplo:

(1 2 30 4 50 0 6)

Matriz triangular inferior

Page 5: Matematica Basica II

Una matriz cuadrada A=[a ij]nxnes triangular inferior si y solo si a ij=0 para i<j

Ejemplo:

(1 0 0 00 2 0 01 0 3 02 1 0 4

)OPERACIONES CON MATRICES

Dadas las matrices A y B del mismo orden y el escalar k se tiene:

A + B = B + A

K (A+B) = k A + k B, k es un escalar

A - B = A + (-B)

Producto de matrices

A=[a ij]mxnB=[b jk ]nxpEntonces AB=C = [c ik ]mxpPropiedades

1) A(BC) = (AB)C

2) (A+B)C =AC + BC

3) A(B+C) = AB + AC

4) No siempre: AB = BA (no conmutan)

5) 0.A = 0

6) AB = 0 no implica A= 0 ó B = 0

7) Si AB=AC no implica B=C

POTENCIACION DE MATRICES

Se define la potenciación de matrices por inducción matemática

A0=I , A2=AA , A3=A2 A=A A2=,…,=An=A An−1=An−1 A

La potenciación de matrices es conmutativa.

Matrices con elementos complejos

Los elementos de una matriz pueden ser números complejos Z= a + bi, el

complejo conjugado se define Z=a-bi

Page 6: Matematica Basica II

Respecto a las operaciones tomemos como ejemplo:

A = (2+i 3−2 i4 5 i ), B = ( 3 2 i

1+i 2+3 i)Luego:

A+B= (5+i 35+i 2+8 i) AB= (11+4 i 10+9i

7+5i −15+18i)2A= (4+2 i 6−4 i

8 10 i )

El conjugado de una matriz denotado por Ā se obtiene al tomar el conjugado de

cada uno de los elementos de la matriz A.

La traspuesta conjugada de una matriz A se denota por A*= Āt

Ejemplo:

A = (2+3 i 1−4 i6 7 i )

Ā = (2−3i 1+4 i6 −7 i )

A* = (2−3i 61+4 i −7 i)

Se dice que la matriz cuadrada “E” es hermitiana si E = E*

Ejemplo:

E = ( 2 3−4 i3+4 i 6 )

Ē = ( 2 3+4 i3−4 i 6 )

E*= ( 2 3−4 i3+4 i 6 ) => E = E*

PROPIEDADES

Sean “A” y “B” matrices con elementos complejos y “z” un número complejo.

1. (A + B)* = A* + B* transpuesta conjugada de una matriz

2. (zA)* = z A¿ traspuesta conjugada de un múltiplo escalar

3. (AB)* = B*A* traspuesta conjugada de un producto

4. (A*)* = A traspuesta conjugada de una traspuesta conjugada

Page 7: Matematica Basica II

Matriz Ortogonal

Es aquella matriz cuadrada donde se cumple: A-1 = At

Obs. Donde A−1 es la matriz inversa

Ejemplo:

A = (1 0 05 4 02 8 7)

Es una matriz ortogonal?

At = (1 5 20 4 80 0 7)

(1 0 0 1 0 05 4 0 0 1 02 8 7 0 0 1)(1 0 0 1 0 0

0 4 0 −5 1 00 0 7 8 −2 1)

(1 0 0 1 0 0

0 1 0−54

14

0

0 0 117

−27

17)

A-1 = (1 0 0−54

14

0

87

−27

17)

A no es ortogonal

Matriz normal:

Una matriz A es normal si conmuta con su transpuesta. Las matrices

simétricas, anti simétricas u ortogonales son necesariamente normales.

A. At = At. A

Ejemplo: Hallar todas las matrices de orden 4x4 que sean conmutables con la

matriz A:

A = (0 10 0

0 01 0

0 00 0

0 10 0

)Solución: AB = BA

Page 8: Matematica Basica II

(0 10 0

0 01 0

0 00 0

0 10 0

)(a be f

c dg h

i jm n

k io p

) = (a be f

c dg h

i jm n

k io p

)(0 10 0

0 01 0

0 00 0

0 10 0

)(e fi j

g hk l

m n0 0

o p0 0

) = (0 a0 e

b cf g

0 l0 m

j kn o

) Luego:

B = (a b0 a

c db c

0 00 0

a b0 a

)Ejemplo: Dadas las matrices

A = [aij] = [|i− j|]12x12 y

B = [bij] = [ i+j ]3x12

Hallar los elementos de C69 y C96 de “C = ABAt = [cij]

Ejemplo: Sea A = [aij] una matriz triangular superior de orden n tal que a ij = 1, si

i ≤ j

De A3 = [bij] hallar el elemento bij si:

a) i = 3 ; j = n

b) i = n ; j = 3

c) i = 3 ; j = 3

DETERMINANTES

DEFINICIÓN

A toda matriz cuadrada A sobre un cuerpo K se le asocia un escalar bien determinado,

mediante una función llamada función determinante, su dominio es el conjunto de las

matrices cuadradas y su rango es K (generalmente R ó C).

Usualmente representamos la función determinante por “det”, entonces:

Page 9: Matematica Basica II

det = (A; y) / y = det (A), A = [a ij ]nxn ; y∈K

Otra notación para det (A) es |A|

Ejemplo:

det ([ 7 3−1 4 ])=| 7 3

−1 4|

Determinante de Orden 1

|a11| = a11

Determinante de Orden 2

|a11 a12

a21 a22

|=a11a22−a21a12

Ejemplo :

| 2 3−1 −2

|=(2 )(−2 )−(−1)(3 )=−4+3=−1

Page 10: Matematica Basica II

Determinate de Orden 3

|a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

|=a1b2c3+b1c2 a3+c1 a2b3−c1b2a3−a1c2b3−b1a2c3

Una de las formas de obtener la expresión anterior es:

1. Se escribe al lado del determinante, las dos primeras columnas del mismo.

|a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

|a1 b1

a2 b2

a3 b3

2. Se multiplican los elementos de los tres diagonales, en el sentido de izquierda a

derecha, y de arriba abajo, afectando a cada producto del signo más.

3. Se multiplican los elementos de las otras tres diagonales, en el sentido de derecha

a izquierda y de arriba abajo, afectando a cada producto del signo menos.

Ejemplo :

|2 1 11 −2 3−2 3 −1

|=|2 1 11 −2 3−2 3 −1

|21−2

1−23

= (2) (-2) (-1) + (1) (3) (-2) + (1) (1) (3) – (1)(-2)(-2) – (2)(3)(3) –

(1)(1)(-1)

+++---

Page 11: Matematica Basica II

= 4 – 6 + 3 – 4 –18 + 1 = -20

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1. El determinante de la matriz A y de su transpuesta At son iguales.

|A| = |At|

Ejemplo

|a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

|=|a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

|

Nota.-

Por esta propiedad, cualquier resultado acerca del determinante de una matriz

A que esté relacionado con las filas de A, tiene un teorema análogo

relacionado con las columnas de A.

2. Si todos los elementos de una línea (fila ó columna), son nulos, el determinante

vale cero.

Ejemplo :

|a1 0 c1

a2 0 c2

a3 0 c3

|=0

3. Si se intercambian dos líneas (filas o columnas); el determinante cambia de signo.

Page 12: Matematica Basica II

Ejemplo :

|a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

|=−¿|a3 b3 c3

a2 b2 c2

a1 b1 c1

|¿

Generalizando:

Si un determinante |B| se obtiene de otro determinante |A|, trasladando una de

sus líneas (filas ó columnas) K, lugares, se cumple:

|B| = (-1)K |A|

Nota : Trasladar K lugares implica K intercambio sucesivos.

4. Si un determinante tiene dos líneas (filas ó columnas) iguales, su valor es cero.

|a1 b1 a1

a2 b2 a2

a3 b3 a3

|=0

5. Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de un determinante se

multiplican por un escalar K, el determinante queda multiplicado por K.

Ejemplo :

|ka1 b1 c1

ka2 b2 c2

ka3 b3 c3

|=k|a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

|

Nota : Si A es una matriz cuadrada de orden n.

|KA| = Kn |A| ; K escalar.

Page 13: Matematica Basica II

6. Si todos los elementos de una línea (fila ó columna) de un determinante se suman

con los elementos correspondientes de otra multiplicados por un escalar K, el valor

del determinante no varía.

Ejemplo:

|a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

|=|a1+kb1 b1 c1

a2+kb2 b2 c2

a3+kb3 b3 c3

|

7. Si todos los elementos de una línea (fila ó columna) de un determinante son suma

de dos (o más ) términos, el determinante es igual a la suma de dos (o más)

determinantes.

Ejemplo 1:

|a1+x b1 c1

a2+ y b2 c2

a3+z b3 c3

|=|a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

|+|x b1 c1

y b2 c2

z b3 c3

|

Ejemplo 2:

|a1+x b1+ y c1+za2 b2 c2

a3 b3 c3

|

=|a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

|+|x y za2 b2 c2

a3 b3 c3

|

8. Si A y B son matrices cuadradas de orden n.

|AB| = |A|.|B|

Page 14: Matematica Basica II

9. Si una matriz es triangular, diagonal o escalar, su determinante es igual al producto

de los elementos de su diagonal principal.

* |K In| = Kn ; K escalar

* |diag (a1, a2, ...., an)| = a1 a2 ………an

10. El determinante de la inversa de una matriz es igual a la inversa del determinante

de la matriz.

|A-1| =

1|A|

Menor de un Elemento

Sea A una matriz cuadrada de orden n; se llama menor de A ó de |A| y se representa por

Mij, al determinante de la matriz cuadrada de orden (n-1) que resulta de suprimir en A

todos los términos de la fila i y todos los de la columna j, a este, determinante se le

denomina frecuentemente menor del elemento aij.

Ejemplo : Si

|A|=|2 3 45 6 78 9 1

|

Entonces :

M11 =|6 79 1

|; M21 =

|3 49 1

|

Page 15: Matematica Basica II

M33 =|2 35 6

|; M23 =

|2 38 9

|

Nota.- Como existe un menor por cada elemento del determinante, por lo tanto, un

determinante de orden n tiene n² menores.

Adjunto de un Elemento

El menor afectado de su signo, recibe el nombre de adjunto ó cofactor del elemento a ij y se

representa por ij.

ij = (-1)i+j Mij

Page 16: Matematica Basica II

Ejemplo:

Sea

|A| =

|4 5 60 1 2−2 3 1

|

* 11 = (-1)1+1 M11 = (1) |1 23 1

|=−5

* 21 = (-1)2+1 M21 = (-1) |5 63 1

|=13

* 33 = (-1)3+3 M33 = (1) |4 50 1

|=4

Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea

Un determinante de orden n puede ser descompuesto como la suma de n determinantes de

orden (n –1).

Teorema :

El determinante de la matriz A = aijnxn , es igual a la suma de los productos obtenidos

multiplicando los elementos de cualquier línea (fila ó columna) por sus respectivos adjuntos ó

cofactores:

Page 17: Matematica Basica II

* |A| = ai1 i1+ ai2 i2 + ai3 i3 + …… + aik ik = ∑k=1

n

a ikα ik

* |A| = a1j 1j + a2j 2j + a3j 3j + …… + aik ik = ∑k=1

n

akjα kj

Las fórmulas anteriores, llamados los desarrollos de laplace del determinante de A por la fila i –

ésima y la columna j – ésima respectivamente, proporcionan un método para simplificar el

cálculo de |A|. Esto es, adicionando un múltiplo de una fila (columna) a otra fila (columna),

podemos reducir A a una matriz que contenga una fila ó columna con una componente 1 y los

demás 0.

Desarrollando por esta fila ó columna, se reduce el cálculo de |A| al cálculo de un

determinante de un orden menor que el de |A|.

Ejemplo :

|2 0 14 2 −35 3 1

|=a11α11+a12α12+a13α 13

= 2(-1)1+1 |2 −33 1

|+0(−1)1+2|4 −35 1

|+(1 )(−1 )1+3|4 25 3

|

= 2(11) + 0 + (2) = 24

Page 18: Matematica Basica II

CALCULO DE DETERMINANTES

Para hallar el valor de un determinante de orden superior al tercero, el método general es

desarrollar el determinante por los elementos de una línea.

En algunos casos usando propiedades se transforma la matriz en una matriz triangular, o se

obtienen líneas iguales o una línea múltiplo de la otra ó una línea de ceros, con lo cual el

cálculo del determinante resulta sencillo.

DETERMINANTES ESPECIALES

Determinante de Vandermonde

Se llama determinante de Vandermonde al determinante de grado n, en el que los elementos

de sus distintas filas son sucesivamente las potencias de exponente 0, 1, 2, .... (n-1) de n

números diferentes a1, a2, ..., an; se representa por W(a1, a2, ...., an).

Teorema: El determinante de Vandermonde de grado n, w(a1, a2, ... an) es igual al producto de

las diferencias que se obtienen restando cada uno de los números a1, a2, a3, ...., an de todos los

que le preceden.

W = ¿¿

Page 19: Matematica Basica II

W = (an – an-1) (an – an-2) (an – an-3)………..( a3 – a2) (a3 – a1)( a2 – a1)

Ejemplo :

|

1 1 1 1a b c da ² b ² c ² d ²a3 b3 c3 d3

|

W = ( d – c) (d – b) (d – a) (c – b) (c – a) (b – a)

DETERMINANTE SIMÉTRICO

Un determinante se llama simétrico, cuando en su matriz todos los pares de elementos

simétricos de la diagonal principal son iguales (a ij = a ji ).

Ejemplo :

|

a b c db h k lc k m nd l n p

|

PROPIEDADES

1. Los menores de los elementos de la diagonal son simétricos.

2. Los menores y por tanto los adjuntos de dos elementos aiij y aji, son iguales.

DETERMINANTE DE LA MATRIZ ANTISIMÉTRICA (HEMISIMÉTRICA)

Page 20: Matematica Basica II

Es aquel en el que todos los pares de elementos simétricos de la diagonal principal son

números opuestos, esto exige que los elementos de su diagonal principal sean nulos (a ij + aji =

0).

Ejemplo :

|

0 a b c−a 0 d e−b −d 0 f−c −e f 0

|

Propiedades :

1. Los menores de los elementos de la diagonal principal son antisimétricos.

2. Todo determinante antisimétricos de grado impar es nulo.

SISTEMAS DE ECUACIONES

Dos o más ecuaciones se dice que forman un sistema o son simultáneas cuando tienen las

mismas soluciones.

Entendiéndose por solución de un sistema aquel conjunto de valores de las incógnitas; que

sustituidas en vez de ellas en todas las ecuaciones, las transforma en identidades.

Page 21: Matematica Basica II

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DE ACUERDO A SU

NÚMERO DE SOLUCIONES

Cualquiera que sea el grado de las ecuaciones respecto a las incógnitas y la naturaleza de las

funciones que ligan los datos con las incógnitas, los sistemas de ecuaciones admiten una

primera clasificación, atendiendo exclusivamente al número de soluciones.

I. COMPATIBLES

Aquellos sistemas que admiten por lo menos una solución, se les denomina también

sistemas posibles ó consistentes, se clasifican a su vez en :

a. Determinados

Si admiten un número finito de soluciones.

b. Indeterminados

Si admiten un número infinito de soluciones.

II. INCOMPATIBLES

Son aquellos sistemas que no admiten ninguna solución, se les denomina también

sistemas imposibles, absurdos ó INCONSISTENTES.

Ejemplo 1 :

El sistema 0x + 0y =5

x + 2y = 3

Page 22: Matematica Basica II

Es incompatible, porque la primera ecuación no puede convertirse en igualdad

numérica correcta para cualquier valor de x e y.

Ejemplo 2 :

El sistema 3x – y = 5

3x –y = 4

Es incompatible, aunque existen pares de números (por ejemplo x = 0, y = -5) que

verifican la primera ecuación y otros pares (por ejemplo x = 1, y = -1) que verifican la

segunda ecuación, no hay ningún par de valores que verifiquen ambas ecuaciones

simultáneamente.

Ejemplo 3:

El sistema 3x + 2y = 11

x – y = 2

Es compatible determinado, ya que tiene la solución x = 3; y = 1.

Ejemplo 4

El sistema 2x + y = 5

6x + 3y = 15

Es compatible indeterminado, porque tiene un número infinito de soluciones por

ejemplo: x1 = 0, y1 = 5; x2 = 1, y2 = 3; etc.

Page 23: Matematica Basica II

SISTEMAS EQUIVALENTES

Son aquellos sistemas que tienen las mismas soluciones.

SISTEMAS PARCIALMENTE EQUIVALENTES.

Son aquellos sistemas que tienen algunas de sus soluciones iguales.

TRANSFORMACIONES EN UN SISTEMA DE ECUACIONES

Si se trata de resolver un sistema de varias ecuaciones con varias incógnitas, hay que

combinar entre si las ecuaciones hasta llegar a obtener otro sistema que sea

equivalente al dado.

Antes de combinar entre si las ecuaciones, conviene para hacer más fácil el cálculo,

simplificar separadamente cada ecuación, efectuando en cada una de ellas las

transformaciones necesarias para simplificarla, quitando los denominados, haciendo la

racional.

TEOREMAS PARA LA OBTENCIÓN DE SISTEMAS EQUIVALENTES

Teorema 1.- Si en un sistema de ecuaciones, se reemplaza una ecuación, por la que

resulta de sumarle miembro a miembro otras varias del sistema, el nuevo sistema que

resulta es equivalente al primero.

A1 = B1 A1 + A2 = B1 + B2

A2 = B2 es equivalente a A2 = B2

A3 = B3 A3 = B3

Page 24: Matematica Basica II

Teorema 2.- En un sistema de ecuaciones, una combinación lineal de ellas, puede

reemplazar a cualquiera de las ecuaciones del sistema cuyo multiplicador fuere distinto

de cero.

A1 = B1 A1 + ßA2 + A3 + A4 = B2 + ßB2

A2 = B2 es equivalente a + B3 + B4

A3 = B3 A2 = B2

A4 = B4 A3 = B3

A4 = B4

Nota.- Se llama combinación lineal, de varias ecuaciones de un sistema:

A1 = B1 ; A2 = B2 ; A3 = B3 ; a la ecuación

A1 + ßA2 + A3 = B1 + ßB2 + B3, en la que , ß, son números reales cualesquiera y

pudiendo ser nulos alguno de ellos, pero no todos.

TEOREMA 3.- En un sistema de ecuaciones puede reemplazarse cualquiera de ellas,

por la que resulta de multiplicarla miembro a miembro con otras del sistema cuyos

miembros sean distintos de cero.

A1 = B1 A1 A2 = B1 B2

A2 = B2 es equivalente a A2 = B2

A3 = B3 A3 = B3

TEOREMA 4.- En un sistema de ecuaciones, puede reemplazarse una de ellas por la

que se obtiene dividiéndola miembro a miembro por otra cuyos miembros son

distintos de cero.

Page 25: Matematica Basica II

A1 = B1

A1

A2

=B1

B2

A2 = B2 es equivalente a A2 = B2 A2; B2 0

A3 = B3 A3 = B3

TEOREMA 5 .- En un sistema de ecuaciones, puede

reemplazarse una de ellas por la que se obtiene sumándole o

restándole miembro a miembro las que resultan de elevar los

dos miembros de las otras, a potencias de igual exponente

natural.

Los siguientes sistemas son equivalentes :

A1 = B1 A1 + A2n

= B1 + B2n

A1 + A2n

+ A3n

= B1 + B2n

+ B3n

A2 = B2 A2 = B2 A2 = B2

A3 = B3 A3 = B3 A3 = B3

TEOREMA 6.- Si en un sistema de ecuaciones, se reemplaza una de ellas para la

obtenida sumándole miembro a miembro la que se obtiene extrayendo la raíz enésima

(n natural) de los dos miembros de otra ecuación del sistema, el sistema que resulta no

es equivalente al primero.

Page 26: Matematica Basica II

A1 = B1 A1 +n√A2 = B1 +

n√B2

A2 = B2 no es equivalente a A2 = B2

A3 = B3 A3 = B3

SISTEMAS LINEALES

Recibe el nombre de sistema de ecuaciones lineales un conjunto de ecuaciones lineales, que

en general puede tener “m” ecuaciones y “n” incógnitas.

a11x1 + a12x2 + a13x3+.........+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3+.........+ a2nxn = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3+.........+ a3nxn = b3

:

am1x1 + am2x2 + am3x3+.........+ amnxn = bm

Los coeficientes de las incógnitas tienen dos subíndices, el primero indica la ecuación a la que

pertenece y el segundo la posición del coeficiente en relación a la incógnita, así por ejemplo en

la segunda ecuación, el coeficiente a23, indica que se trata de un coeficiente que pertenece a la

segunda ecuación, y es coeficiente de la tercera incógnita, los términos del segundo miembro

tienen un subíndice, el cual indica la ecuación a la que pertenece, como puede verse la

notación de matrices proviene de los sistemas de ecuaciones.

Matricialmente un sistema se puede escribir :

AX = B

Page 27: Matematica Basica II

¿¿donde :

A = matriz de los coeficientes de las incógnitas.

x = es la matriz de las incógnitas.

B = es la matriz de los términos independientes.

En general, en un sistema de ecuaciones lineales AX = B; se pueden presentar tres

casos:

1. Que el sistema no tenga solución (sistema inconsistente).

2. Que el sistema tenga solución única (sistema consistente determinado).

3. Que el sistema tenga infinitas soluciones (sistema consistente indeterminado).

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE “N” ECUACIONES CON “N”

INCÓGNITAS

Métodos Algebraicos.

Si tenemos un sistema de varias ecuaciones con varias incógnitas, por ejemplo, cuatro

ecuaciones con cuatro incógnitas; para resolverlo hay que hallar, combinando

convenientemente las ecuaciones del sistema (); otro sistema (ß), de modo que (ß) sea

equivalente al sistema (); conseguido este sistema (ß), llamado escalonado porque cada

ecuación tiene una incógnita menos que la anterior, es muy fácil hallar las soluciones de ()

que serán las mismas que las de (ß).

Page 28: Matematica Basica II

Una vez obtenido el sistema escalonado (ß) todo el problema se reduce a resolver ecuaciones

con una sola incógnita; pero para obtener el sistema (ß), hay que utilizar la teoría llamada de

eliminación.

F1 (x, y, z, µ) = 0 F1 (x, y, z, µ) = 0

F2 (x, y, z, µ) = 0 f (x, y, z) = 0

F3 (x, y, z, µ) = 0 g (x, y) = 0

F4 (x, y, z, µ) = 0 (x) = 0

Definición de eliminación

Eliminar una incógnita en un sistema de varias ecuaciones con varias incógnitas, es obtener

otro sistema de ecuaciones llamado resultante, que no contenga dicha incógnita y cuyas

soluciones sean todos los valores de los demás incógnitas, que en unión de los de la incógnita

eliminada formaban todas las soluciones del primer sistema.

Métodos de eliminación

Existen diversos métodos de eliminación, siendo los más elementales, el de sustitución,

igualación ó comparación y el de reducción.

Para explicar estos métodos elementales consideramos un sistema lineal de las ecuaciones con

los incógnitas.

Eliminación por sustitución

Se despeja de una de las ecuaciones una de las incógnitas, reemplazando la incógnita

despejada en la otra ecuación del sistema, obteniendo así una ecuación con una incógnita, el

valor obtenido de esta ecuación se reemplaza en la otra ecuación del sistema para obtener el

valor de la otra incógnita.

() (ß)

Page 29: Matematica Basica II

Ejemplo :

Resolver 5x – 2y = 4 ....................... (I)

3x + y = 9 ...................... (II)

Solución :

De la ecuación (II) despejamos y

y = 9 – 3x

Reemplazamos el valor de y en (I)

5x – 2 (9 – 3x) = 4

x = 2

de donde y = 9 – 3 (2) = 9 – 6 = 3

La solución del sistema será:

x = 2; y = 3

Eliminación por igualación

Reducimos el sistema a su forma normal, despejamos en las ecuaciones de la misma incógnita,

igualamos las dos expresiones de la incógnita despejada, resolvemos la ecuación obtenida, el

valor obtenido de esta ecuación se reemplaza en cualquiera de las expresiones de la otra

incógnita.

Ejemplo :

Resolver : 7x – 4y = 5 ....................... (I)

Page 30: Matematica Basica II

9x + 8y = 14 ....................... (II)

Solución :

Despejando y de ambas ecuaciones :

De (I) y =

7 x−54 ; De (II) y =

13−9 x8

Igualando :

7 x−54 =

13−9 x8

x = 1

de donde : y =

7(1)−54

=12

La solución del sistema es : x = 1; y = ½

Eliminación por reducción

Reducir el sistema a su forma normal, multiplicar los dos miembros de las dos ecuaciones por

ciertos números, de tal forma que los coeficientes de una incógnita sean opuestos, sumar

algebraicamente las dos ecuaciones miembro a miembro, resolver la ecuación obtenida,

reemplazar el valor obtenido en cualquier de las dos ecuaciones iniciales y hallar la otra

incógnita.

Ejemplo :

Resolver : 2x – 3y = 5 ........................... (I)

3x + 4y = 7 ........................... (II)

Page 31: Matematica Basica II

Solución :

Para eliminar “x” multiplicamos la ecuación (I) por –3 y la ecuación (2) por 2.

-6x + 9y = - 15

6x + 8y = 14

17 y = - 1

y = 1/17

Reemplazando en la ecuación (I)

2x – 3 (-

117 ) = 5

x = 41/17

REGLA DE CRAMER

Consideramos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas.

a11x1 + a12x2 + ....... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ....... + a2nxn = b2

:

an1x1 + an2x2 + ....... + annxn = bn

Page 32: Matematica Basica II

Representemos por |A| el determinante de la matriz A = aijnxn de los coeficientes y

representemos por |Ai| el determinante de la matriz que se obtiene reemplazando la columna

i – ésima de A por la columna de los términos constantes.

Page 33: Matematica Basica II

“El sistema anterior Ax = B

Tiene solución única si y sólo si |A| 0, la solución única esta dada por:

X1=|A1||A|

; X 2=|A2||A|

; .......................;

X n=|An||A|

;”

Demostración :

Sea el sistema :

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ................+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ................+ a2n xn = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ................+ a3n xn = b3

:

an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + ................+ ann xn = bn

como :

|A|=|

a11 a12 a13 . .. .. . .. .. . ..a1 n

a21 a22 a23 . .. .. . .. .. . ..a2 n

a31 a32 a33 . .. .. . .. .. . ..a3 n

::an 1

::an 2

::an 3 . .. .. . .. .. . ..ann

|

Multiplicamos ambos miembros por x1; hacemos que x1, multiplique a todos los elementos de

la primera columna :

Page 34: Matematica Basica II

x1|A|=|

a11 x1 a12 a13 .. .. .. . .. .. . .a1n

a21 x1 a22 a23 .. .. .. . .. .. . .a2n

a31 x1 a32 a33 .. .. .. . .. .. . .a3 n

::an1 x1

::an2

::an3 .. .. .. . .. .. . .ann

|

Agregamos a la primera columna la segunda multiplicada por x2, la tercera multiplicada por

x3...., la enésima por xn

x1|A|=|

a11 x1+ a12 x2+ . .. .. . .+a1 n xn a12 a13 . .. ..a1 n

a21 x1+ a22 x2+ . .. .. .+a2n xn a22 a23 . .. ..a2n

a31 x1+ a32 x2+ . .. .. .+a3n xn a32 a33 .. . ..a3 n

::an1 x1+

::an2 x2+

::. .. .. .+ann xn an2 an 3 . .. ..ann

|

Los elementos de la primera columna son respectivamente : b1, b2, b3,...., bn, reemplazando.

x1|A|=|

b1 a12 a13 . . .. .. . .. .. . .a1n

b2 a22 a23 . . .. .. . .. .. . .a2n

b3 a32 a33 . . .. .. . .. .. . .a3n

::bn

::an2

::an3 . . .. .. . .. .. . .ann

|

Si definimos |Ai| como anteriormente:

X1 |A| = |A1| de donde X1 =

|A1||A|

Procediendo de igual forma con las demás columnas :

Page 35: Matematica Basica II

X2 =

|A2||A| ; X3 =

|A3||A| , ....................... ; Xn =

|An||A|

OBSERVACIONES

1. Si |A| 0, existe solución y esta es única.

2. Si |A| =0, el sistema puede o no tener solución.

3. Si |A| = 0 y por lo menos uno de los determinantes |A1|; |A2|, ........|An| es

diferente de cero, el sistema es inconsistente ó incompatible.

4. Si un sistema de ecuaciones es indeterminado, |A| = 0 y todos los determinantes |

A1|, |A2|, .......|An| son cero.

El recíproco, sin embargo, no es cierto.

5. Si |A| = |A1| = |A2| = ............. = |An|, el sistema puede o no ser compatible.

Ejemplo : resolver por cramer :

2x + 3y – z = 1

3x + 5y + 2z = 8

x – 2y – 3z = - 1

Solución :

* Calculamos determinante de la matriz de coeficientes

Δ=‖2 3 −13 5 21 −2 −3

‖=−30+6+6+5+8+27=22

Como 0, el sistema tiene solución única.

Page 36: Matematica Basica II

* Determinante de las incógnitas

Δx=|1 3 −18 5 2−1 −2 −3

|=66

Δy=|2 1 −13 8 21 −1 −3

|=−22

;

Δz=|2 3 13 5 81 −2 −1

|=44

x= ΔxΔ=3 ; y= Δy

Δ=−1; z= Δz

Δ=2

SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS

Si todos los términos independientes b1, b2, ....bn del sistema Ax = b son nulos, el sistema se

llama homogéneo (Ax = 0), en este caso |A1| = |A2| = ............. = |An| = 0 y se verifica:

TEOREMA : La condición necesaria y suficiente para que un sistema de n ecuaciones

lineales homogéneas con n incógnitas tenga solución distinta de la trivial (todas las

incógnitas iguales a cero) es que el determinante de los coeficientes sea nulo, es decir, |A|

= 0.

SISTEMA DE m ECUACIONES CON n INCÓGNITAS

Un sistema de m ecuaciones n incógnitas puede ó no tener solución:

1) si m > n, se puede obtener el valor de n de las incógnitas dadas. Si estos valores

satisfacen a las m – n ecuaciones restantes, el sistema es compatible y en caso

contrario es incompatible.

2) Si m < n, se pueden determinar m de las incógnitas en función de las n – m

restantes.

Page 37: Matematica Basica II

SISTEMAS LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Como una ecuación de primer grado con dos incógnitas puede reducirse siempre a la

expresión ax + by = c, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas podrá tener

siempre su forma “normal” ó “canónica”.

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

donde x e y son las incógnitas, el conjunto solución se puede estimar por graficación,

puesto que es la intersección de los conjuntos solución de las ecuaciones, su gráfica será la

intersección de las gráficas de las ecuaciones.

Sabemos que la gráfica de una ecuación lineal es una recta por lo tanto, la gráfica de un

sistema de dos ecuaciones consiste en dos rectas.

Hay tres casos que pueden describirse geométricamente. (Aquí suponemos que los

coeficientes de x e y en cada una de las ecuaciones, no son simultáneamente cero).

I. El Sistema es compatible determinado, tiene solución única, se :

a1

a2

≠b1

b2

Las líneas que corresponden a las ecuaciones lineales se intersectan en un punto :

Ejemplo :

x - y = - 3

11≠−1

2

x + 2y = 3

L2

L1

x - y = - 3

Page 38: Matematica Basica II

II. El sistema es indeterminado, tiene un número ilimitado de soluciones, si :

a1

a2

=b1

b2

=c1

c2

L2

Page 39: Matematica Basica II

Las líneas que corresponden a las ecuaciones lineales coinciden.

Ejemplo :

x + y = 1

13=1

3=1

3

3x + 3y = 3

III. El sistema es incompatible, no tiene solución, si :

a1

a2

=b1

b2

≠c1

c2

Las líneas que corresponden a las ecuaciones lineales son paralelas:

Ejemplo :

x + y = 1

12=1

2≠1

6

2x + 2y = 6

3x + 3y = 3

L2

L1

x + y = 1

x

y

2x + 2y = 6

L2

L1

x + y = 1

Page 40: Matematica Basica II
Page 41: Matematica Basica II

Ejercicios de aplicación :

1. Calcular K en el sistema

(k + 3) x + (2k + 3) y = 18

(k + 3) x + (k -1) y = 6

Para que sea incompatible.

2. Dado el sistema

ax – 6y = 12

2x + (1 – a) y = 8

¿Qué valor de “a” hace que el sistema sea indeterminado?.

3. Determinar “a” para que el sistema.

3x + ay = 5 + a

2x + 5y = 8

Sea compatible.

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Un sistema no lineal es aquel sistema donde al menos una de las ecuaciones es no lineal.

Para resolver un sistema no lineal de ecuaciones no existe un procedimiento general, se

puede eliminar variables, usar artificios de cálculo, usar el método de sustitución, el

método gráfico.

SISTEMAS DE SEGUNDO GRADO CON DOS INCÓGNITAS

1. Resolver el sistema.

3x + y = 5

x² - y² = 3

Page 42: Matematica Basica II
Page 43: Matematica Basica II

Solución

Despejamos y de la primera.

y = 5 – 3x

Reemplazamos en la segunda

x² - (5 – 3x)² = 3

Resolviendo obtenemos

x1 = 7/4 x2 = 2

y1 = -1/4 y2 = - 1

2. Resolver el sistema

2x² + y² = 17

xy = 6

Solución :

Como las ecuaciones son homogéneas.

Sea y = Kx

2x² + k²x² = 17

x (kx) = 6

2x² (k² +2) = 17

x² (k) = 6

k ²+2k

=176

Page 44: Matematica Basica II

K = 3/2 ó K = 4/3

n 4 soluciones

x1 =

32√2

x2 = -

32√2

x3 = 2 x4 = 2

y1 = 2√2 y2 = -2√2 y3 = -3 y4 = 3

Page 45: Matematica Basica II

3. Resolver el sistema :

x² + y² + 5x = 3

x² - 2y² - xy = 0

Solución :

Dividiendo entre x² los dos miembros de la ecuación homogénea.

x ²−2 y ²−xyx ²

=0x ²

1−2 y ²x ²

−yx=0

Sea

yx=t

2 t² + t – 1 = 0

t = -1 ó t = ½

a) para t = -1 y = -x (en la funera)

X1

2x² + 5 x – 3= 0

X2

x1 = - 3 x2 = ½

y1 = 3 y2 = -1/2

b) para t = ½ y = x/2 (en la primera).

X3

5x² + 20x – 12

Page 46: Matematica Basica II

X4

x3 =

−10−4√105 x4 =

−10+4 √105

y3 =

−5−2√105 y4 =

−5+2√105

4. Resolver gráficamente el sistema :

x + 2y = 4

x² + 4y² = 16

Solución :

y=− x2+2

(Recta)

x ²16

+ y ²4=1

(Elipse)

4

2

Page 47: Matematica Basica II

x1 = 4 x2 = 0

y1 = 0 y2 = 2

5. Resolver gráficamente.

4x² - 9y² = 36

x² + y² = 25

Solución :

x ²9− y ²

4=1

(Hipérbola)

x² + y² = 5² (Circunferencia)

2

3

5

-3

-5

Page 48: Matematica Basica II

Aquí no se pueden leer con facilidad las soluciones, los leemos aproximadas.

x1 = 4,5 x2 = 4,5 x3 = -4,5 x4 = -4,5

y1 = 2,2 y2 = -2,2 y4 = 2,2 y4 = -2,2

Las soluciones que se obtienen a parte de una gráfica, son en general aproximadas además

como los puntos del plano son pares ordenados de números reales, este método no dará

soluciones complejas.

SISTEMAS NO LINEALES RESUELTAS USANDO ARTIFICIOS DE

CALCULO

1. Resolver el sistema

12 x+3 y

+36 x−4 y

=−340

14 x+6 y

−12 y−3 x

=−160

Solución :

Acomodando las ecuaciones :

Page 49: Matematica Basica II

12 x+3 y

+32 (13 x−2 y )=−3

40

12 (12x+3 y )+1

3x−2 y=−1

60

Haciendo el cambio de variable.

a= 12x+3 y

; b = 13x-2y

a+32b=−

340

12a+b=−

160

Resolviendo a = -1/5 ; b = 1/12

Finalmente : x = 2; y = -3

2. Resolver el sistema

x3 + x3 y3 + y3 = 17

x + xy + y = 5

Solución :

Sea : x + y = µ

Xy = v

Tendríamos

Page 50: Matematica Basica II

µ3 – 3µv + v3 = 17

µ + v = 5

Page 51: Matematica Basica II

Resolviendo

µ1 = 3 µ2 = 2

v1 = 2 v2 = 3

Nos quedaría

x + y = 3 x + y = 2

xy = 2 xy = 3

x1 = 1 x2 = 2 x3 = 1 + i√2 x4 = 1 - i√2

y1 = 2 y2 = 1 y3 = 1 - i√2 y4 = 1 + i√2

3. Resolver el sistema

x4 + y4 = 272

x + y = 6

Solución :

Sea x = µ + v ; y = µ - v

En la segunda : 2µ = 6 µ = 3

En la primera (3 +V)4 + (3 – V)4 = 272

V4 + 54 V2 – 55 = 0

V = ± 1 ; V = ± i√55

Finalmente :

x1 = 2 x2 = 4 x3 = 3 +√55 i x4 = 3 - i√55

Page 52: Matematica Basica II

y1 = 4 y2 = 2 y3 = 3 - √55 i y4 = 3 + i√55

DETERMINANTES

El concepto de determinante surge con el problema de solución de un sistema

de ecuaciones lineales por ejemplo dado el sistema:

ax+by=r

cx+dy=s

Donde x e y son las incógnitas, eliminando variables y despejando se tiene:

x=dr−sbad−bc

y=as−crad−bc

El número ad−bc se encuentra como denominador en x e y.

En la forma matricial se tiene:

(a bc d )( xy ) = (rs)

Se dice que el determinante de la matriz de los coeficientes denotado por:

det (A) = det A = |A| = |a bc d|=ad−bc

el sistema tendrá solución si |A| ≠ 0

Definición

El determinante viene a ser una función que aplicada a una matriz cuadrada da

un único valor numérico.

Page 53: Matematica Basica II

Sea A un matriz cuadrada

Φ :Knxn R o C (reales o complejos)

Dada la matriz A

A=(a11 a12

a21 a22

⋯a1n

a2n

⋮ ⋱ ⋮an1 an2 ⋯ ann

)Cuyas filas son:

A1 = (a11, a12,…, a1n)

.

.

An = (an1, an2,…, ann)

La matriz A por filas es:

A = (A1, A2,…,Ai , … , An) entonces el determinante es

|A| = det (A1 , A2 , …, Ai , … , An)

En el determinante se verifica que

1. det (A1 , A2 , … , Ai , … , An)=0 si Ai=A j

2. det(B) = det(A1 , A2 , … , r Ai , … , An)= r det(A1 , A2 , … ,Ai , … , An)= r det(A)

Observación: Si cualquier fila de A se multiplica por “r” , entonces |B| = r|A|

3. det(A1 , A2 ,… , Ai + Aj , … , An) = det(A1 , A2 ,… , Ai , … , An) + det(A1 , A2 ,

… ,Aj ,… , An)

para todo i , j = 1,2,3,…, n

4. det(I n) = 1

Definición

Sea Auna matriz cuadrada de orden 2x2

A=(a11 a12

a21 a22)

Page 54: Matematica Basica II

El determinante de segundo orden es el número definido por:

|A| = a11 . a22 - a12 . a21

Definición:

Sea Auna matriz cuadrada de orden 3x3

A = (a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)

El determinante de tercer orden es el número definido por:

|A| = a11 .a22 .a33+ a12 .a23 .a31+ a13 .a21.a32- a31 .a22 .a13-a32 .a23 .a11 -

a21 .a12 .a33

MENORES Y COFACTORES

Sea la siguiente matriz cuadrada de orden nxn

A=(a11 a12 ⋯a21 a22 ⋯⋮ ⋮ ⋱

a1 j ⋯ a1n

a2 j ⋯ a2n

⋮ ⋱ ⋮ai1 a i2 ⋯⋮ ⋮ ⋱a¿ an2 ⋯

aij ⋯ a¿⋮ ⋱ ⋮anj ⋯ ann

)Sea Mij la submatriz cuadrada de orden n-1 que resulta de eliminar la fila “i” y la

columna “j” de la matriz A.

Entonces:

1) |M ij| se llama menor complementario del elemento aij de A.

2) El cofactor del elemento aij que se simboliza por Aij se define por:

A ij⏟cofactor

= (−1)i+ j⏟signo

¿M ij∨ ¿⏟menor

¿

Page 55: Matematica Basica II

Como “i+j” puede ser par o impar

Aij = ±|M ij|

Desarrollo de un determinante por cofactores

El determinante de una matriz cuadrada A = [aij]nxn es igual a la suma de los

productos de los elementos de cualquier fila o columna por sus respectivos

cofactores.

Para aplicar este desarrollo es necesario elegir una fila o una columna y

efectuar el desarrollo por dicha fila o dicha columna.

a) Si elegimos la fila “k” el desarrollo del determinante es:

|A| = ∑j=1

n

¿¿¿)

b) Si elegimos la columna “j” el desarrollo del determinante es:

|A| = ∑k=1

n

¿¿¿)

Ejemplo: A = (3 6 −90 2 13 −1 2 )

Si elegimos la 1rafila:

|A| = ∑j=1

3

¿¿¿) = (a¿¿11A11)¿ + (a¿¿12 A12)¿ + (a¿¿13 A13)¿

= 3| 2 1−1 2| + 6(-1)|0 1

3 2| + (- 9)|0 23 −1| = 87

Obs:si elegimos la primera columna

|A| = ∑k=1

n

¿¿¿) = (a¿¿11A11)¿ +(a¿¿21 A21)¿ + (a¿¿31 A31)¿

= 3| 2 1−1 2| + 0(-1)| 6 −9

−1 2 | + 3|6 −92 1 | = 87

Page 56: Matematica Basica II

MATRIZ DE COFACTORES

Sea A una matriz cuadrada de orden nxn y Aij es el cofactor de aij entonces la

matriz:

Cofact A = ( A11 A12 ⋯ A1n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮An1 An2 ⋯ Ann

)Dicha matriz se denomina matriz de cofactores de A.

La transpuesta de esta matriz es conocida como Matriz adjunta de A.

Propiedades de la matriz adjunta de A

1) adj (In) = In

2) adj (At) = (adj (A))t

3) adj (An) = (adj (A))n

4) adj (AB) = adj (B) adj (A)

5) adj (A-1) = (adj (A))-1 = A

detA= A|A|

6) |adj(A )|= |A|n−1

TEOREMA

Una matriz A de orden n es no singular si y solo si el determinante no es nulo (

|A| ≠ 0).

PROPIEDAD:

Page 57: Matematica Basica II

La matriz A es invertible si y solo si el determinante no es nulo.

TEOREMA

Si A es una matriz no singular de orden n entonces:

A-1 = adj(A). 1|A| = (cofact A )t .

1|A| ; |A| ≠ 0

Ejemplo: Halle la matriz inversa de A:

A = (3 6 −90 2 13 −1 2 ) A-1 = ( 5 −3 24

3 33 −3−6 21 6 ). 1

87 = (

587

−129

829

129

1129

−129

−229

729

229

)Observación:

1. Si una matriz tiene inversa entonces esta es única.

2. Si B es una matriz inversa de A entonces también se puede decir que A es la

matriz inversa de B.

3. No siempre una matriz cuadrada tiene inversa.

4. Se dice que una matriz cuadrada A es singular si y solo si su determinante

es cero.

5. Si una fila o columna de una matriz A se le suma el múltiplo de otra fila o

columna, entonces el valor del determinante no varía.

6. Si los elementos de una fila o columna cualquiera constan de dos términos,

el determinante puede expresarse como la suma de otros dos

determinantes.

7. El determinante de una matriz triangular superior o inferior es igual al

producto de los elementos de la diagonal principal.

8. det(A + B) ≠det(A) + det(B)

Page 58: Matematica Basica II

En general el determinante de una matriz triangular superior o inferior es igual

al producto de los elementos de la diagonal principal.

9. det(AB) = det(A)det(B)

En general el determinante de un producto de matrices es igual al producto de

los determinantes de las matrices siempre y cuando las matrices sea

cuadradas del mismo orden.

PROBLEMAS

Calcule el determinante de las siguientes matrices

1. A=[1 2 3−1 0 3−1 −2 0

⋯nnn

⋮ ⋱ ⋮−1 −2 −3 ⋯ 0

] 2.B=(a−b−c 2a 2a2b b−c−a 2b2c 2c c−a−b)

3.

DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

REGLA DE CRAMER

Es un teorema en el álgebra lineal que da solución a un sistema de ecuaciones

lineales trabajando con los determinantes.

Recibe el nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 – 1752) quien público un

trabajo dando nociones sobre el método.

Si: AX = b es un sistema de ecuaciones lineales siendo: X = (x1 , x2, … , xn) el

vector de las incógnitas; b el vector de los términos independientes y A es la

matriz de los coeficientes, entonces las soluciones del sistema se representan:

xj = det ( A j )det(A )

Donde Aj es la matriz que resulta al remplazar la J-esima columna de A por el

vector columna b.

Ejemplo: Sea

Page 59: Matematica Basica II

X = (x1

x2

⋮xn) ; A = (a11 ⋯ a1n

⋮ ⋱ ⋮an1 ⋯ ann

)nxn

; B = (b1

b2

⋮bn)

Aj = (a11 ⋯ a1 , j−1

a21 ⋯ a2 , j−1

⋮ ⋱ ⋮

b1 a1 , j+1 ⋯b2 a2 , j+1 ⋯⋮ ⋮ ⋱

a1n

a2n

⋮an−1,1 ⋯ an−1 , j−1 bn−1 an−1 , j+1 ⋯ an−1 ,n

an1 ⋯ an , j−1 bn an , j+1 ⋯ ann

)Usando propiedades:

AX = B

A-1 AX = A-1B

I X = A-1 B

X = A-1 B

X = adj(A)B

|A|

X = A-1 B = adj(A)B

|A| = (cofactA )tB

|A| = ( A11 A12 ⋯ A1n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮An1 An2 ⋯ Ann

)t

(b1

⋮bn)

|A|

=

(x1

⋮xn)

|A|

Xi= ∑j=1

n

A jib j

|A|

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Dado el siguiente sistema de m ecuaciones lineales

Donde los a ij son los coeficientes, los x i son las variables o incógnitas y los b i

son los términos independientes o constantes

Page 60: Matematica Basica II

a11x1+a12 x2+…+a1n xn=b1

a21 x1+a22 x2+…+a2n xn=b2

am1 x1+am2 x2+…+amn xm=bm

Matricialmente se presenta

¿

Dónde:

A: es la matriz de los coeficientes

X: es la matriz de las incógnitas

b: es la matriz de los términos independientes

Matrices equivalentes

Se dice que una matriz A=[a ij]mxnes equivalente por filas a una matriz B=[b ij]mxn.Si

B se puede obtener de A por medio de un numero finito de las llamadas

operaciones elementales por filas.

Operaciones elementales

Se llaman operaciones elementales o transformaciones elementales por filas

sobre una matriz A:

[E1 ]: intercambiar la fila i-ésima y la fila j- ésima

[E2 ]: multiplicar la fila i-ésima por un escalar k (k≠0)

[E3 ]: reemplazar la fila i-ésima por k veces la fila j- ésima más la fila i-ésima

Ri→kR j+R i

Matriz escalonada

Se dice que una matriz se encuentra en su forma escalonada si el número de

ceros anteriores a la primera componente distinta de cero de una fila crece fila

por fila.

A X = b

Page 61: Matematica Basica II

A los números diferentes de cero que se encuentran solos en una columna se

les llaman elementos distinguidos.

Rango de una matriz

Una de las definiciones está dada por la cantidad de filas no nulas en una

matriz escalonada.

Matriz ampliada

Es aquella matriz que se forma con los coeficientes y los términos

independientes de un sistema de ecuaciones lineales.

Se denota: [A: b]

El siguiente diagrama resulta útil para resolver un sistema de ecuaciones

lineales.

Page 62: Matematica Basica II

Ejemplo: resolver

x1- 2x2+ x3- x4- x5= -6

2x1+ 2x2- x3- x5= -4

4x1- 3x2+ x3- 2x4- 3x5= -16

3x1- 6x2+ 3x3- 3x4- 3x5= -18

Solución:

Inicio

AX= b[A:b]

el sistema es incompatible

no existe solución

r(A):r(Ab)

sistema compatible

r : n

existe infinitas

soluciones

n-r = kk: numero de parametros

hallar las soluciones

fin

existe solución

única

¿

Page 63: Matematica Basica II

(1 −2 1 −1 −1 −62 2 −1 0 −1 −44 −3 1 −2 −3 −163 −6 3 −3 −3 −18

)(1 0 1 −1 −1 −60 0 −3 2 1 80 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0

)(3 0 0 −1 −2 −100 1 0 0 0 00 0 −3 2 1 80 0 0 0 0 0

)r(A) = 3 , r(AB) = 3 ,

∃ soluciones5−3=2 parametros

3x1- x4-2 x5= -10

x2= 0

-3 x3+ 2x4+ x5= 8

x4 = a

x5= b

x1=2b+a−10

3

x2= 0

x3=2a+b−8

3 ; a y b ϵ R

Ejemplo:

Resolver:

x1+ x2- x3+ x4= 0

3x1- x2+ 2x3+ 3x4= 7

x1+ 2x2- 2x3- x4= -1

3x3+ x4= 9

Solución:

(1 1 −1 1 03 −1 2 3 71 2 −2 −1 −10 0 3 1 9

)(1 0 0 0 10 1 0 0 20 0 1 0 30 0 0 1 0

)r(A) = r(AB) = 4 = n x1= 1 x2= 2 x3=3 x4 = 0

Ejemplo:

Para que valores de x el rango de la matriz es menor que 4.

Page 64: Matematica Basica II

(x 1 0 x0 x x 11 x x 0x 0 1 x

)Solución:

(x 1 0 x0 x x 11 0 0 −10 −1 1 0

)x ≠ 0 (x 0 1 x0 0 −1 −2 x0 0 2x 10 −1 1 0

)(x 0 1 x0 0 −1 −2x0 0 2 x+1 2 x+10 −1 1 0

)(1 0 0 −10 1 −1 00 0 1 2 x0 0 0 1−2x

)Observación:

Se dice que un sistema es homogéneo cuando los términos independientes

son ceros, es decir:

a11x1+a12 x2+…+a1n xn=0

am1 x1+am2 x2+…+amn xn = 0

El sistema tiene por lo menos una solución (llamada solución trivial)

x1=x2=…=xn=0 , por lo cual es consistente o compatible.

Una condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones

lineales tenga más de una solución es que r(A) =r(Ab) = k ¿n , donde n es el

número de incógnitas, en este caso el sistema posee soluciones no triviales.

OBTENCION DE LA MATRIZ INVERSA MEDIANTE OPERACIONES

ELEMENTALES (METODO DE GAUSS-JORDAN)

Se aplica el método de Gauss-Jordán.

Sea: A=[a ij]nxn(A: I) O: E (I: B)

Entonces; B=A-1

Page 65: Matematica Basica II

Siendo: “I” la matriz identidad, B es la matriz inversa.

Ejemplo:

A = (1 0 22 −1 34 1 8)

Solución:

(1 0 2 1 0 02 −1 3 0 1 04 1 8 0 0 1)(

1 0 2 1 0 00 −1 −1 −2 1 00 1 0 −4 0 1)

(1 0 0 −11 2 20 1 0 −4 0 10 0 1 6 −1 1)

A-1 = (−11 2 2−4 0 16 −1 1)

Obs: (1 0 22 −1 34 1 8)(

−11 2 2−4 0 16 −1 1) = (1 0 0

0 1 00 0 1)

Ejemplo:

Encuentre le matriz inversa de A, si existe.

A = (1 2 3 02 4 3 23 2 1 36 8 7 5

)Solución:

(1 2 3 0 1 0 0 02 4 3 2 0 1 0 03 2 1 3 0 0 1 06 8 7 5 0 0 0 1

)(6 0 0 5 3 0 5 −20 12 0 7 −15 0 −11 80 0 3 −2 3 0 1 −10 0 0 0 1 1 1 −1

)∄matriz inversa

Ejemplo:

Halle la inversa de la matriz A de orden “n”

Donde:

a ij=0 si i=j ; a ij=1 si i≠j

f 2−2 f 1f 3−4 f 1

Page 66: Matematica Basica II

APUNTES SOBRE LOS NUMEROS COMPLEJOS

Definición: El conjunto de los números complejos es el conjunto R2 de pares

ordenados de números reales, dotado con las operaciones internas de adición y

multiplicación, definidas de la siguiente forma:

Adición:

(a ; b)+(c ; d) = (a+c ; b+d)

Multiplicación:

(a ; b).(c ; d) = (ac-bd ; ad+bc)

Notación

Todo elemento de se denomina número complejo.

Definición de número complejo

Un numero complejo es todo par ordenado de números reales (x ; y) que

pertenecen a C.

El primer elemento x, se denomina parte real de z y se denota por Re(z)

El segundo elemento y, se denomina parte imaginaria de z y se denota

por Im(z)

Ejemplo:

Propiedades

Sea

a)

Page 67: Matematica Basica II

b)

c)

d)

Representación gráfica de un numero complejo

Cada número complejo z = (a ; b), se puede representar por un punto P

de un plano; las partes real “ a “ e imaginaria “ b “ son las coordenadas

de P en un sistema cartesiano ortogonal cuyos ejes se llaman eje real y

eje imaginario.

El plano usado para representar el conjunto C de los números complejos

se denomina plano complejo (diagrama de Argand).

Como también cada punto del plano representa un vector de origen (0 ;

0) y extremo P, la correspondencia anterior nos permite representar a

cada numero complejo z por un vector .

Los números complejos como una extensión de los números reales

Page 68: Matematica Basica II

Sea R' 0 un subconjunto de C, formado por los pares ordenados cuya

segunda componente es cero: R' (a,b) / b 0 .

Consideremos la función:

f : R '

x (x , 0)

Podemos observar que f es inyectiva y suryectiva y por lo tanto biyectiva, además f conserva las operaciones de adición y multiplicación:

f(a)+f(b) = f(a+b), (a ; 0)+(b ; 0) = (a+b ; 0)

f(a).f(b) = f(ab), (a ; 0).(b ; 0) = (a.b ; 0)

Como existe una función biyectiva que conserva las

operaciones de adición y multiplicación, diremos que son

isomorfos.Esto significa que operar con lleva a resultados análogos a los obtenidos al operar con x, por este motivo podemos escribir:

Forma binomica de un número complejo

La notación cartesiana de un numero complejo z como par ordenado

no es conveniente para operar, por ejemplo, si resulta

muy laborioso calcular .

Page 69: Matematica Basica II

La unidad imaginaria

Al número complejo (0,1) se le denomina la unidad imaginaria y lo

representamos por i, entonces

Usando la multiplicación de complejos y la identificación de con :

Entonces como: , podemos escribir:

Proposición

Todo número complejo puede ser representado en forma única

en la forma , denominada forma binomica de z

Potencias de la unidad imaginaria

De la tabla podemos deducir:

1) , entonces

La suma de cuatro potencias enteras consecutivas de la unidad

imaginaria es cero.

2) , , k es entero.

Page 70: Matematica Basica II

Corolario

3) , a,kenteros,

Definiciones

NúmeroReal:

Imaginario Puro:

Complejo nulo:

Opuesto de un complejo: si , su opuesto es

Conjugado de un complejo:

Si , se denomina conjugado de z al complejo definido por:

– Z

Re

ZIm

= (a; –b)

Re

Z=(a; b)Im

Page 71: Matematica Basica II

La conjugación nos permite calcular fácilmente el inverso de un complejo

en forma binomica

Complejos iguales:sea

Modulo de un número complejo

Sea , el modulo del complejo Z denotado por , se define como:

Ejemplo:

Z = 4 + 3i

Propiedadesdel conjugado de un numerocomplejo

1.

2.

3.

4.

5.

Page 72: Matematica Basica II

6.

7.

II. Del módulo de un complejo

1.

2. (Complejo nulo)3. | Z1 . Z2 | = | Z1 | | Z2 |

4.

5.

6. | Z | = | | = | – Z |

7. | Z |2 = Z .8. | Z1 + Z2 | | Z1 | + | Z2 |

(Desigualdad triangular)

9. | Zn | = | Z |n ;Operaciones en forma cartesiana

Adición:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Sustracción:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Multiplicación:

(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

División:

Potencia: ,

la potencia se vuelve laboriosa

Radicación: ,

Page 73: Matematica Basica II

la radicación se vuelve complicada

Argumento de un número complejo no nulo

El argumento de un número complejo, es el ángulo que forma el semieje positivo de abscisas, con la semirrecta que une el origen de coordenadas con el afijo de z. No se define el argumento del numero complejo (0 ; 0)

Dado , un argumento de z es cualquier tal que:

Podemos definir el conjunto de los argumentos de un número complejo z no nulo y denotarlo por arg z.

Argumento principal de un número complejo no nulo

Un número complejo , tiene infinitos argumentos si uno de

ellos es los demás están expresados por la fórmula: .Para que θ sea único, basta con imponer la condición adicional que

pertenezca a un cierto intervalo semiabierto de longitud tal como

, , etc.Entonces, de entre los infinitos argumentos de z,

se denomina argumento principal de y se denota Arg z, al

que verifica la condición .

Es decir , además

Page 74: Matematica Basica II

Nota: En otros países, el argumento principal de , es el

valor de , tal que

Propiedades

1)

2)

3)

Forma polar o trigonométrica de un número complejo

Dado el número

De la figura:

,

, ,

r = módulo de complejo Z

= argumento principal del complejo Z

Como , entonces:

, es la forma polar o trigonométrica de z.

Operaciones en forma polar o trigonométrica

Sean:

Im

r = | z |

Rea

Afijo de z

(a; b)b

Page 75: Matematica Basica II

Fórmula de “De Moivre”

Se usa para calcular senos y cosenos de ángulos múltiples

Ejemplo: Si n = 2

Identidades notables

Si

a)

b)

c)

d)

Ejemplo:

Page 76: Matematica Basica II

Si n = 6 ;

Notación fasorial

Se usa en el análisis de circuitos con corriente alterna

Notación científica

Se usa para abreviar la escritura de la forma polar:

Operaciones:

Sea: ,Entonces:

Propiedades:

1.

2.

3.

4.

Page 77: Matematica Basica II

5.

6.Forma exponencial de un número complejo

Formula de Euler

,

Como

(Forma exponencial de z)

Propiedades

1)

2)

3)

4)

5) ,

6)

Page 78: Matematica Basica II

7)

8)

Operaciones en forma exponencial

Sean: ,

a)

b)

c)

d)

Ejemplo: Sea Z = 1 – i

Raíz enésima de la unidad

Z = 1 – i

Re

Im

–1

1

El argumento

Page 79: Matematica Basica II

Si hacemos , entonces , las n raíces forman el

conjunto

w se denomina raíz enésima de la unidad.De la forma exponencial de las

raíces enésima de la unidad vemos que están en el círculo de radio uno

centrado en el origen y están uniformemente espaciadas sobre el cada

radianes. Cuando n = 2 estas raíces son , cuando las raíces corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n

lados, este polígono está inscrito en el circulo de radio uno centrado en el

origen y tiene un vértice en el punto correspondiente a la raíz ; además el eje real es eje de simetría de dicho polígono regular.

Ejemplo: Calcular

Solución:

Page 80: Matematica Basica II

Nota:

a) La suma de las raíces enésimas de la unidad es cero.

b) El producto de las raíces enésimas de la unidad es

Raíces cubicas de la unidad

Si

Si

Si

Propiedades

a)

b)

c)

d)

La exponencial compleja

Page 81: Matematica Basica II

Si

Propiedades

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Lugar geométrico de números complejos

Para graficar el lugar geométrico o identificar geométricamente los conjuntos de números complejos z que verifican determinadas

condiciones, se remplazan en las condiciones o según

convenga .

Ejemplo: Graficar los números complejos z que verifican la condición:

Solución:

Es la ecuación de una circunferencia centrada en el origen de radio r

Page 82: Matematica Basica II

Ejemplo: Graficar los números complejos z que verifican la condición:

Solución:

Es la ecuación de una circunferencia centrada en de radio r

Ejemplo: Determine la gráfica del conjunto

Solución:

Page 83: Matematica Basica II

Sea

,

Entonces , en la relación (1),

, es la ecuación de una circunferencia de centro ( -1 , 2) y radio 1.

El polinomio complejo

Sea ,un polinomio definido sobre el conjunto de los números

complejos tiene la forma: ,

Donde: , es el grado del polinomio, , son los coeficientes

complejos

Teorema fundamental del algebra

Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos un cero complejo.

Teorema

Sea , ,un polinomio complejo

de grado , P(z) tiene n raíces complejas(contando cada una según

su multiplicidad). Es decir, existen n números complejos (iguales o

distintos) , tal que:

Teorema

1) Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.

Page 84: Matematica Basica II

2) En los polinomios con coeficientes reales si es una raíz del

polinomio, entonces su conjugado también lo es.

Nota

Todo polinomio de grado , con coeficientes reales se puede factorizar:

a) como un producto de polinomios reales de grados uno y dos.

b) como un producto de polinomios complejos de grado uno.

PROBLEMAS

1. Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, fundamente su

respuesta de manera rigurosa (demostrar).

a) Sea AX=0 un sistema homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas, supongamos

que el rango o característica de A es R=n−1 entonces un vector no nulo cuyas

componentes sean los adjuntos de una fila de A es solución de AX=0

b) Si A es una matriz cuadrada de orden n y rango menor que n−1 entonces adjA=0

C) Si A es una matriz simétrica entonces también lo es la adj(A) 6 puntos

2. Discutir la compatibilidad según los valores de a∈R del sistema de ecuaciones

lineales. Determine la solución para los casos de compatibilidad.

ax+ y−z=a2

x− y+z=1

3 x− y−z=1

6 x− y+z=3 a 4 puntos

3. Usando propiedades hallar el determinante de

Page 85: Matematica Basica II

( x y x+ yy x+ y x

x+ y x y ) 3 puntos

4. Dada la matriz A¿Que relación deben satisfacer las constantes a ,b , c , d y d

Para que el rango de la matriz sea 2,3 y 4?

A=(0−1ab

1 a b0 c dcd

0e

−e0) 4 puntos

5. El sistema AX=b tiene solución por única solución (2 ;−2;3)t si la matriz

de

Cofactores de Aes ( 8 −4 −4−5 7 1−1 −1 5 ) . Determine los elementos de la matriz

columnab , si el determinante de A positivo. 3 puntos

Ejemplo 1:

Resolver utilizando la regla de Cramer el siguiente sistema de ecuaciones

lineales:

x1 + 3x2 + 3x3 = -2

2x1 + 2x2 + 3x3 = -5

x1+ 2x2 + 3x3 = 6

Ejemplo 2:

Sea: (m + 1)x + y + z = 2-m

x+(m + 1)y + z = -2

x + y + (m + 1)z= m

Halle “m” para que el sistema tenga solución única

Solución:

|A|=|m+1 1 11 m+1 11 1 m+1|=|

m+3 1 1m+3 m+1 1m+3 1 m+1|=

Page 86: Matematica Basica II

(m+3 )|1 1 11 m+1 11 1 m+1|=(m+3 )| 0 1 1

−m m+1 10 1 m+1|

¿

(m+3 ) (m )|1 11 m+1|= (m+3 ) (m ) (m )m≠0

Para m=0

x+ y+z=2

x+ y+z=−2

x+ y+z=0

(1 1 11 1 11 1 1

2−20 )→(1 1 1

0 0 00 0 0

010)

r(A)=1 r(Aa)=2

Solución

Para m=−3

(−2 1 11 −2 11 1 −2

5−2−3)→(−3 0 3

0 −3 30 0 0

010)

r(A)=2 = r(Aa) < 3 depende de un parámetro

Conclusión:

1º Para que tenga solución única: m 0m≠−¿¿3

2º Solución: m= 0

3º Más de una solución: m = -3

Ejemplo 3:

Realice un análisis de la compatibilidad del sistema para todos los valores de a

y b si:

ax+by+z=1

x+aby+z=b

x+by+az=1

Solución:

Page 87: Matematica Basica II

Analizando para la existencia de una solución:

|a b 11 ab 11 b a|=a|ab 1

b a|=|b 1b a|+| b 1

ab 1|¿b (a−1 )2(a+2)≠0

b≠0∧a≠1∧a≠−2

PROBLEMAS

1. Halle el rango de la matriz A para todos los valores de a y b.

A=(2 a ba a 0b

a+b00

b0

a+b00

a+b)

2. Determine el rango de la matriz, para cualquier valor de t

A=( 3 0 6t 2 2( t+1)

−2 4 0

3 t0

2 t−t 2)3. Halle la inversa de la matriz de orden “n” donde:

aij=0 , si i=j

aij=1 , si i j

4. Indique si es verdadero (v) o falso (f) (fundamente)

A) Si A y B son matrices cuadradas de orden “n” tal que AB=A y BA=B

A y B son idempotentes.

B) Si A es una matriz cuadrada de orden n entonces A + AT, ATA y AATson

matrices simétricas.

C) Si A y B son matrices ortogonales entonces A + B también es ortogonal.

D) Si A es nilpotente entonces es invertible.

E) Si A2 es simétrico entonces A es simétrico.

Page 88: Matematica Basica II

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Que valores debe tener m para que el sistema tenga solución

(m+1 ) x+ y+z=2−m

x+(m+1 ) y+z=−2

x+ y+(m+1 ) z=m

Solución

Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución el determinante de

la matriz de coeficientes debe ser diferente de cero. │ A│≠0

det (A )=|m+1 1 11 m+1 11 1 m+1|=|

m+3 1 1m+3 m+1 1m+3 1 m+1|=(m+3 )|1 1 1

1 m+1 11 1 m+1|=(m+3 )| 0 1 1

−m m+1 10 1 m+1|=(m+3 )m|1 1

1 m+1|=(m+3 )m2≠0

El sistema tiene solución si y solo si (m+3 )m2≠0↔m≠∨m≠−3

Si m=0 tenemos el sistema x+ y+z=2

x+ y+z=−2

x+ y+z=0es unsistema inconsistente

Si m=−3 tenemos el sistema −2 x+ y+ z=5

x−2 y+z=−2

x+ y−2 z=−3

Trabajando con la matriz ampliada (dándole una forma escalonada)

Aa=|−2 1 11 −2 11 1 −2

5−2−3|→ (f 1 x f 2 )| 1 −2 1

−2 1 11 1 −2

−25−3|→ ( f 2+2 f 1; f 3−f 1)|1 −2 1

0 −3 30 3 −3

−21−1|→ ( f 3+ f 2 )|1 −2 1

0 −3 30 0 0

−210 |→(−1

3f 2)|1 −2 1

0 1 −10 0 0

−2−1 /3

0 |→( f 1+2 f 2)|1 0 10 1 −10 0 0

−8 ∕ 3−1 ∕ 3

0 |r ( Aa)=r (A )=2<3(tienemas de unasolucion)

Depende de un parámetro la solución es z=t , y=t−13, x=t−8

3, t∈R

Page 89: Matematica Basica II

2.

ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en los reales o complejos) es un

conjunto V ϕ sobre el cual se define:

(Un espacio vectorial es un conjunto V de elementos llamados vectores, cuyas

operaciones de adición y multiplicación por un escalar se encuentran definidas

en dicho conjunto (u,v, w son vectores y c, d son escalares reales o

complejos).V es un conjunto no vacio.)

Axiomas de cerradura:

1º u+ v existe y es un elemento de V (V cerrado bajo la adición, ley de la

cerradura o clausura)

2º c.u es un elemento de V (V es cerrado bajo la multiplicación por un escalar).

Axiomas de adición:

3º u + v= v + u (propiedad conmutativa)

4º u + (v + w) = (u + v) + w (propiedad asociativa)

5ºExiste un elemento de V denominado vector cero o vector nulo tal que: u + 0

= u (0 es el elemento nulo o neutro)

6ºPara todo elemento de V existe un elemento llamado el negativo de u tal que:

u + (-u) = 0

Axiomas de la multiplicación por un escalar:

7º c (u + v) = cu + cv

8º (c + d) u= cu + du

9º c (du)= (cd) u

10º 1.u=u

Nota:

Un espacio vectorial es el conjunto V de elementos llamados vectores, cuyas

operaciones de adición y multiplicación por un escalar se encuentran definidas

en él y satisfacen los axiomas mencionados donde u, v y w son vectores de V ,

c, d son escalares.

Page 90: Matematica Basica II

Ejemplo:

Dado el conjunto A definido por:

(x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + x2 + 1; y1 + y2 +1)

(x;y)= (∝+∝ x−1;∝+∝y -1)

Verifique si dicho conjunto se puede considerar como un espacio vectorial.

Solución:

Axiomas de la cerradura

Sea:

u=(x1;y1)

v=(x2;y2)

1º u+ v= (x1 + x2 + 1; y1 + y2 +1) =( z1;z2) A

2º (x1;y1)= (∝+∝ x1−1; ∝+∝ y1−1¿= (d1,d2) A

Axiomas de la adición:

3°(x1;y1) + (x2;y2) = ( x1 + x2 + 1 ; y1 + y2 + 1) = ( x2 + x1+1 ; y2 + y1+ 1)

=(x2;y2) + ( x1; y1)

4º (u1;u2) + (( v1;v2) + ( w1;w2)) =(u1;u2) + ( v1 + w1 + 1; v2 + w2 + 1)

=(u1 + v1 + w1 + 2 ; u2 + v2 + w2 + 2)= ((u1;u2) + ( v1;v2)) + ( w1;w2)

5º Sea a = (a1;a2) el vector nulo tal que:

(u1,u2) + (a1;a2) =(u1,u2) (u1 + a1 + 1,u2+ a2 + 1)=(u1,u2)

a=(-1;-1) vector nulo de A.

6º (u1;u2) + (b1;b2)=(-1,-1)

(u1+b1 + 1; u2 + b2 + 1)= (-1;-1)⟹ (b1;b2)=(-2-u1,-2-u2)

Axiomas de la multiplicación por un escalar:

7ºc(u+v)=c(u1+v1+1;u2+v2+1)=(c+c(u1+v1+1)-1;c+c(u2+v2+1)-1)

cu+cv=(c+cu1-1;c+cu2-1)+(c+cv1-1;c+cv2-1)

=(2c+cu1+cv1-1;2c+cu2+cv2-1)

=(c+c (u1+v1+1)-1; c+c(u2+v2+1)-1)

8º(c+d) u=cu+du

(c+d+(c+d)u1-1;c+d+(c+d)u2-1)

cu+du= (c+cu1-1;c+cu2-1)+(d+du1-1;d+du2-1)

=(c+d+(c+d)u1-1;c+d+(c+d)u2-1)

Ejemplo

Page 91: Matematica Basica II

Dado el conjunto A definido por A=¿

Donde (x1 , x2 )+( y1 , y2)=(|x1+ y1|, y2)

Los siguientes ejemplos son espacios vectoriales:

1. El conjunto de n-uplas de números reales.

Rn=¿{x=(x1,x2,x3,x4,x5,…,xn-1,xn) ; x=( x i) donde 1 i n ; xi∈R}, con las

operaciones x+y = (x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)

λx=(λx1,λx2,…,λxn)

Observación

Ejemplo Sea V={1 } no es un espacio vectorial, si 1+1=2, pero 2 V no se

cumple la ley de la clausura o cerradura en la adición V no es espacio vectorial

2. El conjunto de matrices de dimensión nxm:

Mnxm ( ) ={A=(a ij )1≤i ≤n ;1≤ j≤m }

con las operaciones: suma de matrices y productos por números reales.

3. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x.

P( )={∑k=0

n

ak xk :n∈N ,ak∈R}

con las operaciones de suma y producto por números reales

4.El conjunto de todas las funciones reales:

F( )={R→R } con las operaciones suma de funciones y producto por números

reales.

5. El conjunto de todas las sucesiones de números reales:

S={ (xn )n=0∞ : xn∈R ,n≥1 }

Ejemplo:

1) Sea V={0 } satisface los 10 axiomas, es un espacio vectorial, se le conoce

como ESPACIO VECTORIAL TRIVIAL

2) Sea V={( x ; y )/ y=2 x+1 , x∈ R } (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)

=(x1+x2;2x1+1+2x2+1) = (x1+x2;2(x1+x2)+2)

No es un espacio vectorial, no cumple con el Axioma de la cerradura.

PROPIEDADES:

Page 92: Matematica Basica II

Si V es un espacio vectorial, entonces:

1° 0.u=0

2° (-1).u=-u ∀ u ∈V

SUBESPACIOS VECTORIALES

Se llama subespacio vectorial de un espacio vectorial V a cualquier

subconjunto no vacio S⊂V que es un espacio vectorial con las mismas

operaciones definidas sobre V

Si V es un espacio vectorial y S⊂V, S ≠ϕ

⟹ S es un subespacio vectorial de V ⟺ {u+v∈S ,∀u , v∈S }

{λu∈S , ∀ λ∈K , ∀u∈S }

TEOREMA:

Sea U un Subespacio de un espacio Vectorial V, U tiene como elemento al

vector cero de V.

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Sea V un espacio vectorial, se dice que v ∈ V es combinación lineal de los

vectores {v1 ,v2 , v3 ,… ,vn }∈V, si existen α 1, α 2 ,… ,α n∈K tal que:

V= ∑i=0

n

αi v i

Ejemplo:

Expresar el vector (4,4,5) como una combinación lineal de los vectores (1,2,3);

(-1,1,4) y (3,3,2)

Solución:

(4,4,5)= x(1,2,3) + y(-1,1,4) + z(3,3,2)

x – y + 3z= 4

2x + y + 3z = 4

3x + 4y + 2z = 5

Page 93: Matematica Basica II

(1 −1 32 1 33 4 2

445)⟶ (1 0 2

0 1 10 0 0

001)no existen x,y,z , el sistema no tiene solución no se

puede formar una combinación lineal.

Ejemplo

Determinar si la matriz (−1 78 −1) es una combinación lineal de las matrices

{(1 02 1),(0 1

2 0) ,(2 −30 2 )} en el espacio vectorial M2x2

Solución:

(−1 78 −1)=x (1 0

2 1)+ y (0 12 0)+z (2 −3

0 2 )Luego

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Sea V un espacio vectorial, se dice que el conjunto de vectores {v1 ,v2 , v3 ,… ,vn } es linealmente dependiente si y solo si existen α1 , α2 ,…,αn que pertenecen a K ,

con algún α i≠0 tales que la∑i=0

n

α i v i=0

En caso contrario se dice que el conjunto {v1 ,v2 , v3 ,… ,vn } es linealmente

independiente.

Si α i=0 ∀ i=1,2 ,…,n entonces los vectores son LI

Observación:

Para estudiar si un conjunto de vectores {v1 ,v2 , v3 ,…,vn } es linealmente

dependiente o independiente se plantea la ecuación ∑i=0

n

αi v i=0

Se estudian las soluciones, si admite alguna solución no nula el conjunto de

vectores es linealmente dependiente y si solo admite la solución nula es

linealmente independiente.

Page 94: Matematica Basica II

Ejemplo

v1=(1,0,-1,2) , v2=(1,1,0,1) y v3=(2,1,-1,1)

Indique sin son linealmente independientes.

Solución

x(1,0,-1,2) + y(1,1,0,1) + z(2,1,-1,1) = 0

x + y + 2z = 0

y + z = 0

-x –z = 0

2x + y + z = 0

(1 1 20 1 112

01

11

0000)⟶(

1 0 00 1 000

00

10

0001)

x=0, y=0 , z=0

Son vectores linealmente independientes

PROPIEDADES

1° {v } es linealmente dependiente si y solo si v=0

2° 0∈ A⊂V ⇒ Aes linealmente dependiente

3° {u , v } es linealmente dependiente ⟺ u = λv (λ≠0¿

4° Si A es L.I. y B⊂A ⇒B es linealmente independiente

5° A linealmente dependiente y A ⊂ B ⇒ B es linealmente dependiente.

6° A linealmente dependiente ⟺∃ v ∈ A que es combinación lineal de A.

OBSERVACIÓN

1. El conjunto {v1 ,v2 , v3 ,… ,vn } se llama conjunto dependiente o independiente

según sean los vectores LD ó LI

2. Se define al conjunto vació como independiente

3. Si dos de los vectores {v1 ,v2 , v3 ,… ,vn } son iguales entonces los vectores son

dependientes

4. Dos vectores v1 y v2 son dependientes si y solo sí uno de ellos es múltiplo

escalar del otro.

5. Todo vector no nulo de un espacio vectorial constituye un conjunto LI

6. El vector nulo de cualquier espacio vectorial constituye un conjunto LD

Page 95: Matematica Basica II

7. Un conjunto finito y no vacio de vectores es LD si y solo si algún vector es

combinación lineal de los demás

8. Un conjunto finito y ordenado de vectores al que no pertenece el vector nulo

es LD si y solo si algún vector es combinación lineal de los precedentes

DEFINICION

Los elementos del conjunto A={ai tal que i=1,2, .. , n} si son linealmente

independientes determinan una base.

Es decir el conjunto A es una base

Ejemplo:

Indique si el conjunto de vectores {2 t−1 ,t+cos2 t ,3+e3 t ,cos2 t+e3 t } es LI

SOLUCION

α (2 t−1 )+β (t+cos 2t )+θ (3+e3 t )+δ (cos2 t+e3 t )=0

t (2α+β )+cos2 t (β+θ )+e3 t (δ+θ )+ (−α+3θ )=0

2α+ β=0

β+δ=0

θ+δ=0

3θ−α=0

(2 1 00 1 00−1

00

13

0110

0000)⟶(

1 0 00 1 000

00

10

0001

0000)

α=0 , β=0 , δ=0 , θ=0

Es un conjunto L.I.

Ejemplo:

Sea V=R3, Luego ¿Es un subespacio?

W1= {( x , y , z ) talque 2

√3x+√5 y+z=0 ; x , y , z∈Z }

Solución:

El único punto que satisface es (0, 0, 0) W1 es un subespacio de R3

Page 96: Matematica Basica II

Ejemplo:

W2={( x , y , z )/2 y+3 z ≥0}¿esunsubespacio?

Solución:

Con un contraejemplo:

u W2

Para 1

(1) (3 , 2 , 0) (4) 3 (0) ≥ 0 (F)

W2 no es un subespacio

Lema:

Si V es un espacio vectorial y A v1 , v2 , … , vn está contenido en V,

entonces:

L(A) ∑i1

n

i v i, i K es un subespacio vectorial de V que se llama subespacio

generado por A. El conjunto A se llama Sistema de Generadores de L(A).

Ejemplo:

Si V R3 y A v1 (1,0,1) , v2 (1,1,1), entonces:

L(A) v v1v2 ; , Rv (,,) ; , R

Las ecuaciones:

X

Y

Z

Se llaman ecuaciones paramétricas de L(A)

Proposición:

Sea V un espacio vectorial y v1, v2, … , vn V, si vm es una combinación lineal

de v1, v2, … , vm-1 entonces L(v1, v2, … , vm) L(v1, v2, … , vm-1)

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Definicion de base de un espacio vectorial

Un conjunto finito de vectores {v1 , v2 ,…,vn } recibe el nombre de base de un

espacio vectorial V si el conjunto genera al espacio V y dicho conjunto es

linealmente independiente.

Page 97: Matematica Basica II

Ejemplo:

Halle una base del sistema:

3x1 x2 8x3 2x4 x5 0

2x1 2x2 3x3 7x4 2x5 0

x1 11x2 12x3 34x4 5x5 0

x1 5x2 2x3 16x4 3x5 0

Solución:

8x1 19x3 3x4 4x5 0

8x2 7x3 25x4 4x5 0

Sea: x3 a x1−4 c+3b+19a

8

x4 b x24 c−25b+7a

8

x5 c

(x1 , x2 , x3 , x4 , x5) (−4 c+3b+19a

8,

4 c−25b+7a8

, a , b , c)

a(19/8,7/8,1,0,0) + b(3/8,-25/8,0,1,0) + c(-4/8,4/8,0,0,1)

Una base del sistema es (19/8,7/8,1,0,0) , (3/8,-25/8,0,1,0) , (-4/8,4/8,0,0,1)

también es una base (19,7,8,0,0) , (3,-25,0,8,0) , (-1,1,0,0,2)

V (19,7,8,0,0) + (3,-25,0,8,0) + (-1,1,0,0,2) (0,0,0,0,0)

19 + 3 - 0

7 - 25 + 0

8 0

8 0

2 0

Como estos vectores son Linealmente Independientes entonces forman una

base.

Obs. Desde el punto de vista intuitivo una base es un conjunto eficiente para

representar un espacio vectorial, en el sentido de que cualquier vector se

3 1 -8 2 1 02 -2 -3 -7 2 01 11 -12 34 -5 01 -5 2 16 3 0

8 0 -19 -3 4 00 -8 7 -25 4 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Page 98: Matematica Basica II

puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base,

además los vectores de la base son Linealmente Independientes.

Definición

Se dice que un espacio vectorial V tiene dimensión finita “n” o es n-dimensional

denotado: dimV n, si existen vectores linealmente independientes e1, e2, …,

en que generan a V , el conjunto e1, e2, …, en se llama base de V y tiene como

dimensión n.

OBSERVACIONES

1. El origen es un subespacio de R3 , la dimension de este subespacio es cero

2. Los subespacios de una dimensión de R3 son rectas que pasan por el origen.

3. Los subespacios de dos dimensiones de R3 son planos que pasan por el

origen.

Definición.- Si un espacio vectorial V tiene una base que consta de n vectores

entonces la dimensión de V es n, que se denota por dim(V).

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Para qué valor de “a” o valores el conjunto: (0 a 00 1 0),(0 1 0

0 a a),(0 1 00 a 0)

es linealmente dependiente y no forma una base.

Solución:

(0 a 00 1 0) + (0 1 0

0 a a) + (0 1 00 a 0)(0 0 0

0 0 0)u + v + w 0

Es L.I. si 0

a 0

a + + 0

+ a + a 0

Page 99: Matematica Basica II

(0 0a 11 a

0 01 0a 0) (1 0

0 1a 0

a 00 01 0) , a 0

Para a1:

(1 00 11 0

1 00 01 0) (1 0

0 10 0

1 00 00 0)

+ 0 , 0

Para a -1:

(1 00 10 0

−1 00 00 0)

- 0 , 0

Para a -1, 0,1 es un conjunto L.D.

2. Sean los vectores: (1+a,1,1,1) ; (1,1+a,1,1) ; (1,1,1+a,1) ; (1,1,1,1+a)

Determine según los valores del parámetro “a”, la dimensión y una base del

subespacio que generan.

Solución:

x(1+a,1,1,1) + y(1,1+a,1,1) + z(1,1,1+a,1) + w(1,1,1,1+a) 0

x(1+a) + y + z + w 0

x + y(1+a) + z + w 0

x + y + z(1+a) + w 0

x + y + z + w(1+a) 0

, a -4 , a 0

x y z w 0

Para a -4 a 0 (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) es una base, dim4.

Es la base canónica usual.

3. Determine un vector v de R3 sabiendo que:

- La suma de sus coordenadas es 3.

1+a 1 1 11 1+a 1 11 1 1+a 11 1 1 1+a

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Page 100: Matematica Basica II

- v es combinación lineal de (2, 2,2) y (-1, 1,0)

- Los vectores (1, 0,1), (0, 1,0) y v son linealmente dependientes.

Solución:

Sea v (a, b, c) R3

a + b + c 3

x(2,2,2) + y(-1,1,0) (a,b,c)

(1, 0,1) + (0,1,0) + (a,b,c) (0,0,0)

2x – y a

2x + y b

2x c

x 1/2 , c 1 , a + b 2

Luego: (1,0,1) + (0,1,0) (a,b,c)

1 a 1 b

1 c 1 a b 1

v (1,1,1)

4. Sea F un subespacio vectorial de R3 formado por los vectores v (x, y, z)

tales que x – 2y + 4z 0. Halle una base a, b, c R3 tal que a, b F.

Solución:

F (x,y,z) / (x,y,z) R3 x -2y + 4z 0

(2y – 4z,y,z) y(2,1,0) + z(-4,0,1)

(2,1,0) , (-4,0,1)

(2,1,0) + (-4,0,1) = 0

Es una base: (2, 1,0), (-4, 0,1)del subespacio vectorial F de R3

Determina un plano que pasa por el origen y cuya ecuación está dado por

π : x−2 y+4 z=0

5. Sean S y T subespacios de R4 definidos por S (x , y, z , t) / x + y + z + t

0, 2x – y + 2z – t 0, 4x + y + 4z + t 0

T (x , y , z , t) / x a + b + 2c, y b + c, z -a + b, t 3b +3c

Obtener una base y la dimensión de T + S.

Solución:

En S: (x, y , z , t)

x + y + z + t 0

2x – y + 2z – t 0

4x + y + 4z + t 0

Page 101: Matematica Basica II

x + z 0

y + t 0

(x , -t , -x , t) x(1,0,-1,0) + t(0,-1,0,1)

(1,0,-1,0) , (0,-1,0,1)

En T:

(a+b+2c,b+c,-a+b,3b+3c) a(1,0,-1,0) + b(1,1,1,3) + c(2,1,0,3)

(1,0,-1,0) , (1,1,1,3) , (2,1,0,3)

S + T:

(1,0,0,2) , (0,1,0,-1) , (0,0,1,2)

TEOREMA

Sean U y W dos subespacios de dimensión finita de un espacio vectorial V

entonces dim (U+W)= dim (U) + dim (W) – dim (U∩W)

SUMA DIRECTA

La suma de V1 y V2 subespacios de V se llama suma directa si V1∩ V2 0, en

este caso se dice que dicha suma es directa y se denota V1V2, tanto V1 como

V2 se llaman sumandos directos.

Ejemplo:

En R3 sea U el plano xy y W el eje z, luego:

U (a, b, 0) / a, b R

W (0, 0, c) / c R

Verificar si U y W determinan una suma directa

SOLUCION

1 1 1 1 02 -1 2 -1 04 1 4 1 0

1 0 1 0 00 1 0 1 00 0 0 0 0

1 0 -1 00 -1 0 11 0 -1 01 1 1 32 1 0 3

1 0 0 20 1 0 -10 0 1 20 0 0 00 0 0 0

Page 102: Matematica Basica II

Cualquier vector (a, b, c) R3 se puede escribir como la suma de un vector

u y un vector w, es decir:

(a, b, c) (a,b,0) + (0,0,c)

En consecuencia R3 es la suma directa de U y W:

R3 U W

Ejemplo

R2se puede expresar como una suma directa de dos rectas arbitrarias, pero

distintas que pasan por el origen.

SOLUCION

Consideramos dos rectas arbitrarias que pasan por origen , dichas rectas son

subespacios de R2

L1={x (−3,7 ) tal que x ϵ R }yL2= {y (−2,5 )tal que yϵ R }

Sea (a ,b) un vector de R2 donde (a ,b )=x (−3,7 )+ y (−2,7)

a=−3 x−2 y

b=7 x+5 y

Despejando obtenemos x=−5a−2b ; y=7 a+3b

(a ,b )=(−5a−2b ) (−3,7 )+(7a+3b )(−2,5) , a y b∈ R

R2=L1+L2

Por otro lado, si (a ,b )∈ L1∩L2, entonces (a ,b )=x (−3,7) y (a ,b )= y (−2,5)

Lo cual implica que −3 x+2 y=0 y 7 x−5 y=0entonces x= y=0

L1∩L2={0 } , R2=L1⊕L2

COORDENADAS

Para indicar que [v1,v2, … ,vn] es una base del espacio vectorial definido por (V,

+, K, . ) se utiliza la notación [v], es decir cada vector “v” se puede expresar de

modo único como la combinación lineal de la base, dado que los vectores son

linealmente independientes, es decir si x V siendo x1, x2, … ,xn escalares

entonces:

x=x1 v1+ x2 v2+…+ xn vn

Respecto a la base dada el vector x V queda caracterizado por los

coeficientes de la combinación lineal.

Ejemplo: Determine las coordenadas de x=(−2,3) respecto de la base

[v ]= {(1,1 ) , (1,0)}

Page 103: Matematica Basica II

Solucion

x=(−2,3 )=α (1,1 )+β (1,0) , resolviendo α=3 , β=−5 , luego x [v ]=( 3−5) las

coordenadas de x relativas a la base dada son 3 y -5

PROBLEMAS RESUELTOS

1. En el espacio P2 de los polinomios de grado ≤3, verifique si los siguientes polinomios son linealmente independientes o linealmente dependientes

P(X)=x3-3x2-5x+1, Q(X)=-x3-x2+5x+2, R(X)=-x3-7x2+4x

SOLUCION Formamos una combinación lineal e igualamos a cero.

aP(X)+bQ(X)+cR(X)=0x3+0x2+0x+0→a(x3-3x2-5x+1)+b(-x3-x2+5x+2)+c(-x3-7x2+4x)=0x3+0x2+0x+0→(a-b-c)x3+(-3a-b-7c)x2+(-5a+5b+4c)x+(a+2b)= 0x3+0x2+0x+0

Comparando:

a-b-c=0 -3a-b-7c=0 -5a+5b+4c=0 a+2b+0c=0

Resolvemos con la matriz ampliada:

(1 −1 −1 0−3 −1 −7 0−5 5 4 01 2 0 0

)→(1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0

)Como r(A)=r(Ab)=n=3 ⇒el sistema es compatible, solución única.

∴a=b=c=0, e deduce que los polinomios P(X), Q(X) y R(X) forman un conjunto linealmente independiente.

2. Determine un base tal que en R2 un vector e encuentre en la recta L={x-y+z=0, 2x-z=0} y otros dos en el plano x+y+z=0

SOLUCION

Un vector de la base se encuentra en la recta L={x-y+z=0, 2x-z=0}

→x-y+z=0 y 2x-z=0 ⇒ x=t, y=3t y z=2t donde t es un parámetro.

Page 104: Matematica Basica II

entonces la recta está dada por L={(t;3t;2t)} → (t;3t;2t)= t(1;3;2); entonces (1;3;2) es vector contenido en L.

Dos vectores de la base se encuentran en P: x+y+z=0, si x=s y y=t

⇒ P:{(s;t;-s-t)}⇒P:{s(1;0;-1)+t(0;1;-1)}

Solo queda demostrar que el conjunto B= {(1; 3; 2), (1;0;-1),(0;1;-1)} es linealmente independiente.

→a(1;3;2)+b(1;0;-1)+c(0;1;-1)=(0;0;0) → (a+b;3a+c;2a-b-c)=(0;0;0)

Comparando

→a+b=0; 3a+c=0; 2a-b-c=0, resolvemos con la matriz ampliada:

(1 1 0 03 0 1 02 −1 −1 0 )→(1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 0 ), comor(A)=r(Ab)=n=3⇒el sistema es

compatible, solución única.

→ a=0, b=0 y c=0

∴ La base es B={(1;3;2),(1;0;-1),(0;1;-1)}

3. Dado el conjunto de matrices B, indique si determinan una base.

i) B={(1 00 0 ) ;(

1 10 0 ) ;(

1 11 0 );(

0 00 1 )} 2i) B={

(1 00 1 ) ;(

−1 −11 0 )

;(1 01 0 );(

1 10 1 )}

SOLUCION

Para saber si B determina una base se debe demostrar

a) Si el conjunto es LIb) Si el conjunto genera A2x2

Demostración de a)

a(1 00 0 )+b

(1 10 0 )+c

(1 11 0 )+d

(0 00 1 )=(

0 00 0 )

Page 105: Matematica Basica II

→(a+b+c b+c

c d )=(0 00 0 ) , por comparación:

→a+b+c=0; b+c=0; c=0 y d=0

Resolviendo: a=b=c=d=0 ∴El conjunto es linealmente independiente.

Demostración de b)

a(1 00 0 )+b

(1 10 0 )+c

(1 11 0 )+d

(0 00 1 )=(

m np q )

→(a+b+c b+c

c d )=(m np q ); por comparación:

→a+b+c=m; b+c=n; c=p y d=q, resolviendo con la matriz ampliada:

(1 1 1 0 m0 1 1 0 n0 0 1 0 p0 0 0 1 q

)→(1 0 0 0 m−n0 1 0 0 n−p0 0 1 0 p0 0 0 1 q

), comor(A)=r(Ab)=n=4⇒el sistema es

compatible, solución única.

∴El conjunto si genera a A2x2

⇒El conjunto si es una base.

2i) B={(1 00 1 ) ;(

−1 −11 0 )

;(1 01 0 );(

1 10 1 )}, utilizando un procedimiento análogo al

anterior.

Demostración de a)

a(1 00 0 )+b

(1 10 0 )+c

(1 11 0 )+d

(0 00 1 )=(

0 00 0 )

→(a−b+c+d −b+d

b+c a+d )=(0 00 0 ) , por comparación:

→a-b+c+d=0; -b+d=0; b+c=0 y a+d=0

Resolviendo: a=b=c=d=0 ∴El conjunto es linealmente independiente.

Demostración de b)

Page 106: Matematica Basica II

a(1 00 0 )+b

(1 10 0 )+c

(1 11 0 )+d

(0 00 1 )=(

m np q )

→(a−b+c+d −b+d

b+c a+d )=(m np q ), por comparación:

→a-b+c+d=m; -b+d=n; b+c=p y a+d=q, resolviendo con la matriz ampliada:

(1 −1 1 1 m0 −1 0 1 n0 1 1 0 p1 0 0 1 q

)→(1 0 0 0 m /2−n−p /2+q/20 1 0 0 −m /2+ p /2+q/20 0 1 0 m /2+n+ p/2−q/20 0 0 1 −m /2+n+ p/2+q /2

)comor(A)=r(Ab)=n=4

⇒el sistema es compatible, solución única.

∴El conjunto si genera a A2x2

⇒El conjunto si es una base.

4. A) Extender el conjunto S={(1;1;-1;1),(1;1;0;1),(1;2;1;1)} para que formen una base de R4

B) si V es un espacio vectorial de dimensión 1. ¿Cómo son sus bases?

SOLUCION

A) La base pedida será S={(1;1;-1;1),(1;1;0;1),(1;2;1;1);(m;n;p;q)}

Primero demostraremos que el conjunto S es LI

a(1;1;-1;1)+b(1;1;0;1)+c(1;2;1;1)+d(m;n;p;q)=(0;0;0;0)

→(a+b+c+md;a+b+2c+nd;-a+c+pd;a+b+c+qd)=(0;0;0;0), por comparación

→ a+b+c+md=0; a+b+2c+nd=0; -a+c+pd=0 y a+b+c+qd=0; resolviendo con la matriz ampliada

(1 1 1 m 01 1 2 n 0−1 0 1 p 01 1 1 q 0

)→(1 0 0 −m+n−p 00 1 0 −3m−2n+ p 00 0 1 −m+n 00 0 0 −m+q 0

)Pero para que tenga la forma que nos conviene hacemos:

-m+n-p=0; -3m-2n+p=0; -m+n=0 y –m+q=1, resolviendo con la matriz ampliada

Page 107: Matematica Basica II

(−1 1 −1 0 0−3 −2 1 0 0−1 1 0 0 0−1 0 0 1 0

)→(1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 1

), luego m=n=p=0 y q=1

Rpta: La base será S={(1;1;-1;1),(1;1;0;1),(1;2;1;1);(0;0;0;1)}

B) Se sabe que la dimensión de una base viene dado por la cantidad de elementos de la base.

Si dim=1 ⇒La base solo tiene un elemento. Todas las bases del espacio vectorial deben ser equivalentes( es decir, multiplicados por un escalar)

Rpta: Las bases son conjuntos cuyos únicos elementos resulta de la multiplicación escalar del elemento de otra base.

5. Sean los subespacios del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2

U={(x yz t ) tal que x-y+z-t=0}; V={

(x yz t ) , tal que x=λ, y=-λ, z=μ, t=-μ}; W{

(1 00 −1 ); (

1 11 1 )}

SOLUCION

En el conjunto U notamos: t=x-y+z, reemplazamos U={(x yz x− y+z )}

separamos según nos convenga: (x yz x− y+z )=x

(1 00 1 )+y

(0 10 −1 )+z

(0 01 1 )

⇒Una base de U es {(1 00 1 ) ;(

0 10 −1 );(

0 01 1 )}; dim(U)= 3

En el conjunto V notamos: v={( λ −λμ −μ )} separamos según nos convenga:

( λ −λμ −μ )=λ

(1 −10 0 )

+μ(0 01 −1 )

⇒Una base de V es {(1 −10 0 )

;(0 01 −1 )}; dim(V)= 2

Page 108: Matematica Basica II

En el conjunto W se debe verificar que sus elementos son linealmente independientes

→a(1 00 −1 )+b

(1 11 1 )=(

0 00 0 )→(a+b b

b −a+b )=(0 00 0 )

Comparando: a+b=0; b=0 y –a+b=0; resolviendo: a=b=0

Verifiquemos si genera a A2x2:

a(1 00 −1 )+b

(1 11 1 )=(

m np q )→(a+b b

b −a+b )=(m np q )

Comparando: a+b=m; b=n; b=p y –a+b=q

Resolviendo con la matriz ampliada:

[ 1 1 m0 1 n0 1 p−1 1 q

]→[1 0 m−n0 1 n0 0 p−n0 0 (m+q )/2−n

]; luego r(A)≠r(Ab); el sistema es

incompatible

⇒el conjunto W no es una base de A2x2

6. Dados los subespacios vectoriales de R3, s={(a;2a;a+b) tal que a y b R}, T={(x;y;z) tal que x=0, y=0}. Calcular una base y dimensión de ST, S+T

SOLUCION

ParaSᴒT: (a;2a;a+b)=(0;0;z), resolviendo a=0 y b=z ambos pertenecen a los reales

→SᴒT={(0;0;z)}, notamos

(0;0;z)=z(0;0;1)

⇒Una base de SᴒT es {(0;0;1)}, entonces dim(SᴒT)= 1

Para S+T

→S+T={(a;2a;a+b+z)} pero notamos:

(a;2a;a+b+z)=a(1:2:1)+(b+z)(0;0;1), entonces dim(S+T)=2

Page 109: Matematica Basica II

7.-Indique si los siguientes subconjuntos son espacios vectoriales: S={(x;y) tal que X≥0 y y≥0} de R2; T={(x;y)tal que ex+y=0}; W={(x;y;z) tal que x2+y2+z=0}

SOL:

Para que S sea un subespacio vectorial debe ser cerrada sobre la suma y la multiplicación escalar. Sean u y v que pertenecen a S.

u=(u1;u2) y v=(v1;v2) → u1;u2;v1;v2≥0→u1+v1≥0 y u2+v2≥0

→u+v=(u1+v1;u2+v2) pertenece a S

Sea k un escalar cualquiera →ku=k(u1;u2)=(ku1;ku2); pero si k≤0 ⇒ ku1≤0 yku2≤0

⇒ ku no pertenece a S

∴S no es un subespacio vectorial.

Para que T sea un subespacio vectorial debe ser cerrada sobre la suma y la multiplicación escalar. Sean u y v que pertenecen a T.

u=(u;eu) y v=(v;ev)

→u+v=(u+v;eu+ev), pero este vector no pertenece a T

∴T no es un subespacio vectorial.

Para que W sea un subespacio vectorial debe ser cerrada sobre la suma y la multiplicación escalar. Sean u y v que pertenecen a W.

u=(u1;u2;-u12-u2

2) y v=(v1;v2;-v12-v2

2)

→u+v=(u1+v1;u2+v2;-u12-u2

2-v12-v2

2), pero este vector no pertenece a W

∴W no es un subespacio vectorial.

8. Sea A=(5 0 01 5 00 1 5 ), para qu valores de X existe un escalar “a” tal que

AX=aX. Donde X es una matriz columna.

SOLUCION

AX=aX→ AX=aIX donde “I” es la matriz identidad

→(A-aI)X=0

Page 110: Matematica Basica II

→A-aI=(5−a 0 0

1 5−a 00 1 5−a ), formando la mtriz ampliada

→(5−a 0 0 0

1 5−a 0 00 1 5−a 0 )→(1 0 0 0

1 5−a 0 00 1 5−a 0 ) ;

si a≠5

→(1 0 0 00 1 0 00 0 1 0 ), esto genera una solución trivial.

Si a=5

→(1 0 0 01 0 0 00 1 0 0 ), este sistema tiene infinitas soluciones.

∴X(00m)

si a=5; X=(000 ) si a≠5

9. A) Determine una base y la dimensión para el conjunto W definido por las matrices simétricas de orden 2.

B) Averiguar si la matriz A=( 1 a b−a 1 c−b −c 1 ) es no singular.

SOL:

A) Sea W={(a cc b )ϵ M2x2 tal que a,b,cϵ R}; separamos la matriz

convenientemente

(a cc b )=a

(1 00 0 )+b

(0 00 1 )+c

(0 11 0 )

Page 111: Matematica Basica II

Además se prueba que {(1 00 0 ) ;(

0 00 1 ) ;(

0 11 0 )} son LI

⇒una base de W es {(1 00 0 ) ;(

0 00 1 ) ;(

0 11 0 )}; dim(W)= 3

B) A es singular si det(A)=0

Aplicando menores y cofactores a la f1

Det(A)=1(1+c2)-a(-a+bc)+b(ac+b)=1+a2+b2+c2 y esta expresión obviamente es mayor que 1

∴A es no singular.

10. Resolver el sistema XTB=XT; donde B=( 0 1 /2 1/21/3 1/3 1/31/ 4 0 3 /4 ).

SOLUCION

(XTB)T= (XT)T

→ BTX=X →(BT-I)X=0

→BT-I=(−1 1 /3 1/41/2 −2 /3 01/2 1 /3 −1/4 ), formando la matriz ampliada

(−1 1 /3 1/4 01/2 −2 /3 0 01/2 1 /3 −1/4 0 )→(1 −4 /3 0 0

0 1 −1/4 00 0 0 0 ) resolviendo el sistema.

X1=(4/3)t; x2=t y x3=4t

∴X=((4 /3) tt

4 t ), donde “t” es un parámetro lo cual no indica que hay infinitas

soluciones.

11.-Dados los subespacios vectoriales en R3. U={(x;y;z)ϵ R3 tal que x+y=0} y

W={(x;y;z)ϵR3 tal que y-z=0}.Determina una base y dimensión de UᴒW, UᴗW, U+W.

Page 112: Matematica Basica II

SOLUCION

Sea u ϵ U →u=(x;-x;z)=x(1;-1;0)+z(0;0;1) → Una base de U es {(1;-1;0);(0;0;1)}, dim(U)= 2

Sea wϵ W →w=(x;y;y)=x(1;0;0)+y(0;1;1) →Una base de W es {(1;0;0);(0;1;1)}; dim(W)=2

i) UᴒW :(x;-x;z)= (x;y;y) →x=-y=y → x=0 → (0;0;0)

Una base (UᴒW) es {(0;0;0)}; entonces dim(UᴒW)=0

ii) UᴗW: (x;-x;z) y (x;y;y); sea a=(3;-3;1) ϵUᴗW y b=(-3;1;1) ϵUᴗW

→a+b=(0;-2;2) no pertenece a UᴗW

⇒UᴗW no es un espacio vectorial. ∴no tiene base.

iii)U+W: aϵ U y bϵ W → m(1;-1;0)+n(0;0;1)+p(1;0;0)+q(0;1;1)=0

→( 1 0 1 0 0−1 0 0 1 00 1 0 1 0 )→(1 0 1 1 0

0 1 0 0 00 0 1 0 0 ) el sistema presenta solución única ,

entonces las vectores son LI

Una base de UᴗW es {(1;-1;0);(0;0;1);(0;0;1);(0;1;1)}. Dim(UᴗW)=4

12.- En R4 sean los vectores u=(1;0;-1;2); v=(λ;-1;0;1) y w=(0;λ;-1;1). Para que valores de λ el conjunto {u;v;w} es LD.

SOLUCION

Analizamos la independencia o dependencia lineal.

a.u+b.v+c.w=0 → a(1;0;-1;2)+b(λ;-1;0;1)+c(0;λ;-1;1)=0; formando la matriz ampliada.

(1 λ 0 00 −1 λ 0−1 0 −1 02 1 1 0

)→(1 1 0 00 1 −1 00 0 λ−1 00 0 0 0

); si analizamos λ=1

→R(A)=2<n=3; entonces presenta infinitas soluciones para λ=1. LD

13. Sean los subespacios S={(x;y;t;z) ϵ R4 tal que –x+y=0 y t=z} y T={(x;y;t;z) ϵ R4 tal que x=ay-at y z=-ay+at}. Determine las bases y la dimensión se S;

Page 113: Matematica Basica II

T; SᴒT; SᴗT. Hallar “a” para que S+T tenga dimensión 3 y con “a” determine una base para SᴒT

SOLUCION

Sea s=(x;y;t;z)=(x;x;z;z)= x(1;1;0;0)+(0;0;1;1)

→Una base de S es {(1;1;0;0);(0;0;1;1)}, →dim(S)=2

Sea t=(x;y;t;z)=(ay-at;y;-ay+at;t)=y(a;1;-a;0)+t(-a;0;a;1)

→Una base de T es {(a;1;-a;0);(-a;0;a;1)}, →dim(T)=2

SᴒT: (x;x;z;z)= (ay-at;y;-ay+at;t)

→ resolviendo x=y=-z →(x;x;-x;-x)=x(1;1;-1;-1)

Una base de SᴒT es {(1;1;-1;-1)} →dim(SᴒT)=1

SᴗT: {(x;x;z;z) o (ay-at;y;-ay+at;t)} si a=(2;2;1;1) ϵSᴗTy b=(a+2;4;1-a;19)ϵ SᴗT

→a+b=(a+2;4;1-2;2), pero este vector no pertenece a SᴗT∴SᴗT no es espacio vectorial.

→dim(S+T)= dim(S) +dim(T)-dim(SᴗT)→ dim(S+T)= 3

S+T: m(1;1;0;0)+n(0;0;1;1)+p(a;1;-a:0)+ q(-a;0;a;1), se construye la matriz ampliada.

(1 0 a −a 01 0 1 0 00 1 −a a 00 1 0 1 0

); por lo menos uno debe ser dependiente →det(A)=0

Det(A)=

|0 1 01 −a a1 0 1

|-

|0 a −a1 −a a1 0 1

|=-(1-a)-a(1-a)-a2=-1+2a=0

∴ a=1/2

Problemas Resueltos

Page 114: Matematica Basica II

1. En el espacio P3de los polinomios de grado ≤ 3, verifique si los

siguientes polinomios son linealmente independientes o

linealmente dependientes

P(x)=x ³−3 x ²+5 x+1 ,Q(x)=x ³−x ²+6 x+2 ,R( x)=x ³−7 x ²+4 x

Planteamos la combinación lineal

0=α 1 (x3−3 x2+5x+1 )+α2 (x3−x2+6x+2 )+α3 (x3−7 x2+4 x )

0=β3 (α1+α 2+α3 )−β2 (3α 1+α2+7α 3 )+β (5α ¿¿1+6α2+4α 3)+(α1+2α 2)¿

Igualando coeficientes

α 1+α2+α3=0

3α 1+α2+7α 3=0

5α 1+6 α2+4α 3=0

α 1+2α2=0

Llevando a una matriz.

(1 1351

162

1 0740

000)→(

0 0001

0−12

0 0210

000)

Dando forma escalonada a la matriz se obtiene que:

2α 3=0

−α 2+α3=0

α 1+2α2=0

Page 115: Matematica Basica II

¿>α3=0 yα 2=0 y α 1=0

Se cumple que son Linealmente Independientes.

2. Determine una base tal que en R3 un vector se encuentre en la

recta L =

{x− y+z=0;2 x−z=0 }y otros dos en el plano π : x+ y+z=0

Elegimos un vector (x,y,z)

( x , y , z )=( x ,3 x ,2 x )=x (1,3,2 )→Base en larecta {(1,3,2)}

( x , y , z )=(− y−z , y , z )= y (−1,1,0 )+z (−1,0,1 )→Baseenel plano {(−1,1,0 ) , (−1,0,1)}

Una base será {(1,3,2 ) , (−1,1,0 ) ,(−1,0,1)}

3. Dado el conjunto de matrices B, indique si determinan una base

i) B = {(1 00 0) ,(1 1

0 0) ,(1 11 0) ,(0 0

0 1)}Para ser bases deben ser L.I.

(0 00 0)=α1(1 0

0 0)+α 2(1 10 0)+α3(1 1

1 0)+α 4(0 10 0)

α 1+α2+α3=0

α 2+α3=0

α 3=0

α 4=0

¿>α¿=α 3=α 4=0∴si , determinanunabase deB1¿

Page 116: Matematica Basica II

2i) B= {(1 00 1) ,(−1 −1

1 0 ) ,(1 01 0) ,(1 1

0 1)}

(0 00 0)=β1(1 0

0 1)+β2(−1 −10 0 )+β3(1 0

1 0)+β 4(1 10 1)

β1−β2+ β3+β4=0

−β2+ β3=0

β2+ β3=0

β1+ β4=0

Llevando a una matriz

(1 −1001

−110

1 1 0010

1 00 01 0

)→(0 0−101

010

1 0 0110

0 00 01 0

)Dando forma escalonada a la matriz se obtiene que:

β3=0

β3=β1=0

β2+ β3=0

β1+ β4=0

¿>β1=β2=β3=β4=0∴ si , determinanunabase de B2

4. A) Extender el conjunto S={(1,1 ,−1,1 ) , (1,1,0,1 ) ,(1,2,1,1) } para que

formen una base de R4

Page 117: Matematica Basica II

S=a (1,1 ,−1,1 )+b (1,1,0 ,−1 )+c (1 ,−2,1,1 )

S= (a+b+c ; a+b−2c ;−a+c ;a+b+c )

S= (a+b+c ) (1 ;0 ;0 ;1 )+(a+b−2c ) (0 ;1 ;0 ;0 )+(−a+c)(0;0 ;1 ;0)

R4=S={(1 ;0 ;0 ;1 ) , (0 ;1 ;0 ;0 ) , (0 ;0 ;1 ;0 ) }

5. Sean los subespacios del espacio vectorial de las matrices

cuadradas de orden 2

U={(x yz t ) tal que x− y+z−t=0}

V={(x yz t ) tal que x= λ , y=−λ , z=μ , t=−μ}

W={(1 00 −1) ,(1 1

1 1)} .Calcular la base y dimensión de U,V ,W ,U∩

W,U+W

Solución

U :

U= y (1 10 0)+z (−1 0

1 0)+t (1 00 1)

U={(1 10 0) ,(−1 0

1 0) ,(1 00 1)}=¿dim (U )=3

V :

V=α(1 −10 0 )+β (0 0

1 −1)

Page 118: Matematica Basica II

V={(1 −10 0 ) ,(0 0

1 −1)}=¿dim (V )=2

W :

W={(1 00 −1),(2 1

1 0)}=¿dim (W )=2

U∩W :

(a bc d )=α1(1 1

0 0)+α 2(−1 01 0)+α3(1 1

0 1)=β1(1 10 −1)+β2(2 1

1 0)

a=α 1−α 2+α3=β1+2 β2

b=α 1=β2

c=α2=β2

d=α3=−β1

¿>U∩W={(1 11 1)};dim (U∩W )=1

U+W :

a (1 10 0)+b(−1 0

1 0)+c (1 10 1)+d (1 1

0 −1)+e(2 11 0)=(0 0

0 0)

U+W=(a−b+c+d+2e a+eb+e c−d)

¿>U+W={(1 00 0) ,(0 1

0 0) ,(0 01 0) ,(0 0

0 1)}=¿dim (U+W )=4

Page 119: Matematica Basica II

6. Dados los subespacios vectoriales de R3

S={(a ,2a ,a+b ) tal quea y bϵ R } , T¿ {( x , y , z ) ϵ R3 tal que x=0 , y=0}

Determine una base y la dimensión de S∩T , S+T

Solución

S=a (1,2,1 )+b (0,0,1 )=¿ S={(1,2,1 ) , (0,0,1 ) }=¿ dim (S )=2

T=(0,0 , x )=x (0,0,1)=¿T={(0,0,1 ) }=¿dim (T )=1

S∩T : (a ,b , c )=α1 (1,2,1 )+α 2 (0,0,1 )=β1 (0,0,1 )

a=α 1=0

b=2α1=0

c=α1+α 2=β1

¿>S∩T= {(0,0,1 ) }=¿dim (S∩T )=1

S+T :

S+T=(1 2 10 0 10 0 1)=(1 2 0

0 0 10 0 0)

S+T= {(1,2,1 ) , (0,0,1 ) }=¿dim (S+T )=2

7. Indique si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales

S={( x , y ) ϵ R2 talque x≥0 , y≥0 } de R2; T={( x , y ) ϵ R2 talqueex+ y=0 } de R2,

W¿ {( x , y , z ) ϵ R3 talquex ²+ y ²+z=0 } de R3

Page 120: Matematica Basica II

∀u∈S ,∃−u∈S /u+(−u )=0

Seau=(3,3 )∈S

¿> (3,3 )+ (−u )=0

(−u )=(−3 ,−3 )∋S=¿Noes subespaciovectorial de R2

∃!0∈T /0+a=a ,a∈T

Seaa=(x ,−ex)

0+(x ,−ex )=(x ,−ex)

0=(0 ,0 )∋T=¿Noesuns ubespacio vectorial de R2

∀w∈W ,θ∈ R ,θ∈θw∈W

W={x , y ,−(x2+ y2) }

θw=2( x , y ,−(x2+ y2 ))=(2 x ,2 y ,−(2 x2+2 y2 ))

θw=(2 x ,2 y ,−(2 x2+2 y2 ))

No tiene la forma(A , B ,−( A2+B2 ))

¿>Noes subespacio vectorial de R2

8. Sea A =(5 0 01 5 00 1 5) para que valores de X existe un escalar “a” tal

que AX=Ax donde X es una matriz columna.

X=(mnp )

Page 121: Matematica Basica II

AX=ax

(5 0 01 5 00 1 5)x (

mnp )=a(mnp )

( 5mm+5nn+5 p )=(amanap )5m=am… (1 )

m+5n=an… (2 )

n+5 p=ap…(3)

De (1 )→a=5… (4 )

(4 ) en(2)

m+5n=5 a=¿m=0

(4 ) en(3)

n+5 p=5 p=¿n=0

X={(00p) / p∈R}

9. A) Determine una base y la dimensión para el conjunto W,

definido por las matrices Simétricas de orden 2.

w={(a mb m)/a ,b ,m,n∈R }

w=a (1 00 0)+m(0 1

1 0)+b(0 00 1)

Page 122: Matematica Basica II

α (1 00 0)+β (0 1

1 0)+γ (0 00 1)=(0 0

0 0)

α=β=γ=0=¿ES L . I .

{(1 00 0);(0 1

1 0);(0 00 1)}esunabase deW

¿>Dim (W )=3

B) Averigüe si la matriz A= [ 1 a b−a 1 c−b −c 1 ] es no singular

|A|=¿1 a b−a 1 c−b −c 1

∨¿1| 1 c−c 1|+a| a b

−c 1|+(−b)|a b1 c|

|A|=1 (1+c2 )+a (a+cb )−b(ac−b)

|A|=1+c2+a2+abc−abc+b2

|A|=1+a2+b2+c2>0

|A|>0=¿esno singular

11. Dados los subespacios vectoriales de R3

U={( x , y , z )∈R3tal que x+ y=0} ,W={( x , y , z )∈ R3 tal que y−z=0 }

Determine una base y dimensión de U∩W ,U∪W ,U +W , ¿Es U⊕W=R3?

U=( x , y , z )=(− y , y , z )=(− y , y ,0 )+ (0,0 , z )= y (−1,1,0 )+z (0,0,1 )=¿ {(−1,1,0 ) , ( 0,0,1 ) }=¿ Es L . I ., es unabasedeU

W=( x , y , z)=( x , y , y )=( x ,0,0 )+ (0 , y , y )=x (1,0,0 )+ y (0,1,1 )=¿ {(1,0,0 ) , (0,1,1 ) }=¿Es L. I . , esunabase deW

U+W

Page 123: Matematica Basica II

(−1 1010

001

0¿

101¿)→(

0 1010

000

0¿

101¿)

{(0,1,0 ) , (0,0,1 ) , (1,0,0 ) }→Esunabase deU+W y su dimensión es3

Si se sabeque=¿dim (U+W )=dim (U )+dim (W )−dim (U∩W )

→Ladimensión y base deU∪W esigualaU+W

U∩W

SeaV ϵU ∩W=¿V ϵU y V ϵW

V= (a ,b , c )=α 1 (−1,1,0 )+α2 (0,0,1 )=β1 (1,0,0 )+ β2(0,1,1)

−α 1=β1; α1=β2 ;α2=β2=¿α2=α1

V=α1 (−1,1,0 )+α 1 (0,0,1 )=α 1 (−1,1,1 )= {(−1,1,1 ) }esunabase y sudimensión es1.

ComoU ∩W ≠0=¿U⊕W noexiste∄

12. En R4 sean los vectores u=(1,0 ,−1,2 ) , v=( λ ,−1,0,1 ) ,w=(0 , λ ,−1,1)

Para que valores de λ el conjunto {u , v ,w } es LD

Para que U,V,W sean LD deben formar una combinación lineal y tener una

solución no trivial.

αU +βV +γW=0

α (1,0 ,−1,2 )+β (θ ,−1,0,1 )+γ (0 ,θ ,−1,1 )=(0,0,0,0)

α+θβ=0

Page 124: Matematica Basica II

−β+θγ=0

−α−γ=0

2α+ β+γ=0

Llevando a una matriz.

(1 θ0−12

−101

0 0θ−11

000)

Llevando a la forma de la matriz escalonada.

(1 θ000

−1θ

1−θ

0 0θ−10

000)

Paraθ=1

(1 1000

−110

0 01−10

000)→(

1 1000

−100

0 0100

000)

γ=b ;β=b ;α=−b=¿ Es L. D .

13. Sean los subespacios

S={(x , y ,t , z )∈ R4 tal que−x+ y=0 ,t=z }

T={(x , y , t , z)∈R4 tal que x=ay−at , z=−ay+at }

Determine una base y la dimensión de S ,T ,S ∩T ,S∪T ,

Page 125: Matematica Basica II

Hallar a paraque S+T tenga dimensión 3 y con a determine una base

para S∩T .

S= ( x , y ,t , z )=( x , x ,t ,t )=( x , x ,0,0 )+(0,0 , t ,t )=x (1,1,0,0 )+t (0,0,1,1 )=¿ {(1,1,0,0 ) , ( 0,0,1,1 ) }

¿>Esunabase de S y dedimensión2

T=( x , y , t , z )=(ay−at , y , t , at−ay )=(ay , y ,0 ,−ay )+(−at ,0 ,t , at )= y (a ,1,0 ,−a )+t (−a ,0,1 , a )=¿{ (a ,1,0 ,−a ) , (−a ,0,1 , a ) }

¿>Esunabase deT yde dimensión2

Llevando a una matriz y a continuación dándole forma escalonada

(1 10a

−a

010

0 0101

1−aa)→(

1 1002

−11−2a

1

0 0001

100)

Paraque tenga dimensión3=¿1−2a=0=¿a=1 /2

SeaV ϵ S∩T

V= (p ,q ,r )=α 1 (1,1,0,0 )+α2 (0,0,1,1 )=β1 (1,2,0 ,−1 )+ β2 (−1,0,2,1 )

α 1=β1−β2; α1=2 β1;α 2=2 β2;α 2=β2−β1=¿α 1=−α 2

V=α1 (1,1,0,0 )−α1 (0,0,1,1 )=α 1 (1,1 ,−1 ,−1 )=¿ {(1,1 ,−1 ,−1 ) }esunabase deS ∩T

PRODUCTO INTERNOSea V un espacio vectorial, un producto interno o producto escalar sobre V es una aplicación donde se verifica:

Page 126: Matematica Basica II

1. ⟨au+bv ,w ⟩=a ⟨u ,w ⟩+b ⟨ v ,w ⟩2. ⟨u , v ⟩= ⟨ v ,u ⟩3. ⟨u ,u ⟩≥0 , ∀u∈V ; ⟨u ,u ⟩=0↔u=0dondeu , v ,w son vectores y a ,b sonescalares

Un espacio vectorial necesita de una métrica, el producto interno garantiza una métrica en un espacio vectorial, el símbolo ⟨ x , y ⟩ se lee producto interno entre los vectores x e y.Todo producto interno de un espacio vectorial real asigna a cada par de vectores un único escalar real.Ejemplo: Se define sobre R2

β (x , y )=3 x1 y1+2 x1 y2+6 x2 y2+2 x2 y1

Donde x = (x1 , y1); y = (y1 , y2)Indique si β es un producto interno.Solución: Para que β sea un producto interno se deben cumplir los axiomas:i) ⟨ x , y ⟩=⟨ y , x ⟩

⟨ x , y ⟩=3x1 y1+2x1 y2+6 x2 y2+2x2 y1

⟨ y , x ⟩=3 y1 x1+2 y1 x2+6 y2 x2+2 y2 x1

Se cumple:ii) ⟨ x+ y , z ⟩= ⟨ x , z ⟩+ ⟨ y , z ⟩ ,∀ x , y , z∈V

⟨ (x1 , x2 )+( y1 , y2 ) , ( z1 , z1 ) ⟩

¿3 (x1+ y1) z1+2 ( x1+ y1 ) z2+6(x2+ y2) z2+2 (x2+ y1 ) z1

¿ (3 x1 z1+2x1 z2+6 x2 z2+2 x2 z1 )+(3 y1 z1+2 y1 z2+6 y2 z2+2 y1 z1 )

¿ ⟨ (x1 , x2 ) , ( z1 , z2) ⟩+ ⟨ ( y1 , y2 ) , ( z1 , z2 )⟩

¿ ⟨ x , z ⟩+⟨ y , z ⟩

iii) ⟨ax , y ⟩=a ⟨ x , y ⟩ , ∀ x , y ϵ R ,a ϵ R

⟨a (x1 , x2 ) , ( y1 , y2 ) ⟩+ ⟨(a x1, ax2 ) , ( y1, y2 )⟩3a x1 y1+2a x1 y+6 ax2 y2+2a x2 y1

a (3 x1 y1+2 x1 y+6 x2 y2+2 x2 y1 )=a ⟨ x , y ⟩iv) ⟨ x , x ⟩≥0∀ xϵV ; ⟨ x , x ⟩=0⟺ x=0

⟨ x , x ⟩=3 x12+2x1 x2+6 x2

2+2x2 x1=3 x12+4 x1 x2+6 x2

2=(x12+4 x2

2 )¿ (2 x1

2+4 x1 x2+2 x22 )=(x1

2+4 x22 )+2 (x1+x1 )

2≥0

Page 127: Matematica Basica II

v) ⟨ x , x ⟩=0⟺x=0⟹ ( x12+4 x2

2 )+2 (x1+x1 )2=0 ;

x1¿0∧ x2=0

x=(0,0 )βes un producto internoEjemplo Indique si la expresión sobre R3,θ ( x , y , z )=x1 y1+2 x2 y2+3 x3 y3es un producto interno , donde u=(u1 , u2 ,u3) es un vector de R3Ejemplo Indique si la siguiente relación es un producto interno en R2 , donde α=(a1 , a2) , β (b1 , b2) y ⟨α , β ⟩=a1

2+b12+a1b1+a2b2DEFINICIÓN.-C – espacio vectorial con producto interno se llama espacio unitario, mientras R – espacio vectorial se llama espacio euclideo o espacio euclidiano.

ESPACIO EUCLIDIANO (o Euclideo)Es todo espacio vectorial real con producto interno, la adjunción de un producto interno permite establecer una métrica en él, los conceptos de distancia, módulo de un vector, ángulo de dos vectores y ortogonalidad son nociones que dependen de un producto interno.Ejemplo: Sea (R2 ,+, R , . ) y lamatriz A=( 1 −2

−2 5 )La función ⟨ , ⟩ :R2 x R⟶R❑

❑ ⟨X ,Y ⟩=X t AY ¿es un producto interno?

PRUEBA:1. ⟨ X ,Y ⟩=X t AY

⟨Y , X ⟩=YtAX

(X t AY ) t=Y t A t X=Y t AXEntonces:⟨ X ,Y ⟩= ⟨Y , X ⟩

⟨ X ,Y ⟩=( x1 x2 )1 x2( 1 −2−2 5 )

2x 2( y1

y2)2 x1

=( x1−2x2 −2 x1+5x2 )1 x2( y1

y2)2x 1

¿ (x1−2 x2) y1+(−2 x1+5x2 ) y2= x1 y1−2 x2 y1−2x1 y2+5 x2 y2… (1 )

⟨Y , X ⟩=( y1 y2 )1x 2( 1 −2−2 5 )

2 x2(x1

x2)2x 1

=( y1−2 y2 −2 y1+5 y2 )1x 2( x1

x2)2x 1

¿ ( y1−2 y2 ) x1+(−2 y1+5 y2 ) x2= y1 x1−2 y2 x1−2 y1 x2+5 y2 x2… (2 )

2. ⟨ X+Y ,Z ⟩=(X+Y )t AZ=(X t+Y t ) AZ=X t AZ+Y t AZ¿ ⟨ X ,Z ⟩+ ⟨Y ,Z ⟩

Page 128: Matematica Basica II

3. ⟨∝ X ,Y ⟩=(∝X )t AY=∝X t AY=∝ ⟨ X ,Y ⟩

4. ⟨ X , X ⟩≥0⇔X t AX= (x1 x2 )( 1 −2−2 5 )(x1

x2)

¿ x12−2x1 x2−2x1 x2+5 x2

2=x12−4 x1 x2+5 x2

2=(x1−2x2 )2+x2

2≥0

⟨ X , X ⟩=0⇔X=0

(x1−2 x2)2+x2

2=0⇔x1=0 y x2=0

NORMA DE UN VECTORLa norma de un vector v que pertenece a un espacio vectorial V se define:|v|=‖v‖=√ ⟨ v , v ⟩

OBSERVACIONPRODUCTOS INTERNOS USUALES

1. En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre un intervalo acotado por a y b:⟨ f , g ⟩=∫

a

b

f ( x )g ( x )dx

2. En el espacio vectorial de las matrices de orden mxn :

⟨ A ,B ⟩=tr (A B t)

3. En el espacio vectorialRn :⟨a ,b ⟩=⟨ (a1 ,a2 ,…,an ) , (b1 , b2 ,…,bn )⟩

¿a1b1+…+anbn4. En el espacio vectorial Cn:⟨ A ,B ⟩=a1b1+a2b2+…+anbn5. En el espacio vectorial de los polinomios de grado ≤n

⟨ p ,q ⟩=p (x1 )q (x1 )+ p (x2 )q (x2 )+…+ p (xn )q (xn )

PROPIEDAD. Sea uϵ V y λ ϵ R se verifica que:

|λu|=|λ||u|

ANGULO ENTRE VECTORESSea V un espacio vectorial, sean u y v vectores de dicho espacio, existe un único θ que pertenece [0 , π ] tal que:

Page 129: Matematica Basica II

cosθ=⟨u , v ⟩|u||v|

A este número θ se le llama ángulo entre los vectores u y v y se denota por:θ=ang (u , v )

PROPIEDADES. ‖u‖≥0

. ‖u‖=0⟺u=0

. ‖∝u‖=|∝|‖u‖

.‖u+v‖≤‖u‖+‖v‖(Desigualdad triangular)

. |⟨u , v ⟩|≤‖u‖‖v‖(Desigualdad deCAUCHY−SCHWARZ )

. ‖u+v‖2+‖u−v‖2=2‖u‖2+2‖v‖2(Ley del paralelogramo)

OBSERVACION. En todo espacio con producto interno, el producto interno de cualquier vector y el vector nulo es 0 : ⟨u ,0 ⟩= ⟨0 , u ⟩=0

. Si u y v son dos vectores ortogonales en un espacio euclideo V entonces la norma de‖u+v‖2=‖u‖2+‖v‖2(teoremade pitágoras)

ORTOGONALIDADSea V un espacio con producto interno, sean u y v vectores del espacio vectorial V, se dice que u y v son ortogonales si el producto interno de estos vectores es cero ( ⟨u , v ⟩=0 ) .

Dos vectores son ortogonales ⟺ su producto interno es nulo o cerox⊥ y⟺ ⟨ x , y ⟩=0

Ejemplo:Sean las funciones reales continuas f ( x )=√2

2y g (x )=√3

√2x , definidas en el

intervalo [−1 ,1 ], dichas funciones son ortogonales:⟨ √2

2, √3√2

x ⟩=∫−1

1 √22

√3√2

x dx=√32

x2

2¿−1

1 =0⟹ sonortogonales

Page 130: Matematica Basica II

CONJUNTO ORTOGONAL DE VECTORES Un conjunto de vectores {x1 , x2 ,…,xn } en un espacio vectorial con producto interno es ortogonal si y solo si dos vectores cualesquiera distintos son ortogonales:

{x1 , x2 ,…,xn }es ortogonal⟺ i≠ j⟹ ⟨x i , x j ⟩=0

PROPOSICIONTodo conjunto ortogonal de vectores al que no pertenece el vector nulo es L IEjemplo: {(1 ,0 ,0 ) ,(0 , 35 ,

45 ) ,(0 , 4

5,−

35 )} es un conjunto ortogonal

(1 ,0 ,0 ) .(0 , 35 ,45 )=0

(0 , 35,

45 ) .(0 , 4

5,−3

5 )=0

(1 ,0 ,0 ) .(0 , 45,−3

5 )=0

Es un conjunto ortogonalDEFINICION.- Se dice que un conjunto es ortonormal si es ortogonal y cada vector es unitario (la norma de cada vector es la unidad).DEFINICION.-Si una base es un conjunto ortogonal, se dice que es una base ortogonal. Si una base es un conjunto ortonormal se dice que es una base ortonormal.TEOREMASea {u1 ,…,un } una base ortonormal de un espacio vectorial Rn . Sea v un vector, dicho vector se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base de la manera siguiente:

v=⟨v ,u1 ⟩u1+⟨v ,u2 ⟩u2+…+ ⟨v ,un ⟩un

Ejemplo: v=(7 ,−5 ,10 )

{(1 ,0 ,0 ) ,(0 , 35 ,45 ) ,(0 , 4

5,−

35 )}base ortonormal

Solución:

Page 131: Matematica Basica II

(7 ,−5 ,10 )=⟨ (7 ,−5 ,10 ) , (1 ,0 ,0 ) ⟩ (1 ,0 ,0 )+⟨ (7 ,−5 ,10 ) ,(0 , 35 ,45 )⟩(0 , 35 ,

45 )+ ⟨(7 ,−5 ,10 ) ,(0 , 4

5,−3

5 )⟩(0 , 45,−3

5 )¿7 (1 ,0 ,0 )+5(0 , 35 ,

45 )+ (−10 )(0 , 4

5,−3

5 )DEFINICIÓN.- La proyección de un vector v sobre un vector distinto de 0 (vector nulo) se denota:

Proyu v=⟨ v ,u ⟩‖u‖‖u‖

u

PROCESO DE ORTOGONALIZACION DE GRAM-SCHMIDTSea {v1 ,…,vn } una base del espacio vectorial V , el conjunto de vectores {u1 ,…,un } definido de la siguiente manera es ortogonal:Para tener una base ortonormal, se normaliza cada uno de los vectores u1 ,…,un :

u1=v1

u2=v2−Proyu1v2

u3=v3−Proyu1v3−Proy u2

v3

un=vn−Proy u1vn−…−Proyun−1

vn

Ejemplo:Dado el conjunto {(1 ,2 ,0 ,3 ) , (4 ,0 ,5 ,8 ) , (8 ,1 ,5 ,6 ) } es L.I. en R4 , los vectores forman una base para el subespacio de 3 dimensiones de R4. Construir una base ortonormal.Solución:Sean v1=(1 ,2 ,0 ,3 ) , v2=(4 ,0 ,5 ,8 ) , v3= (8 ,1 ,5 ,6 )

Aplicando GRAM-SCHMIDTSea {u1 , u2 ,u3 } un conjunto ortogonalu1=v1=(1 ,2,0 ,3 )

u2=v2−Proyu1v2=(4 ,0 ,5 ,8 )−

⟨ ( 4 ,0 ,5 ,8 ) , (1 ,2,0 ,3 ) ⟩‖(1 ,2 ,0 ,3 )‖‖(1 ,2,0 ,3 )‖

(1 ,2 ,0 ,3 )=(2 ,−4 ,5 ,2 )

Page 132: Matematica Basica II

u3=v3−Proyu1v3−Proy u2

v3=(8 ,1 ,5 ,6 )−⟨ (8 ,1 ,5 ,6 ) , (1 ,2,0 ,3 ) ⟩‖(1 ,2 ,0 ,3 )‖‖(1 ,2 ,0 ,3 )‖

(1 ,2 ,0 ,3 )

− ⟨ (8 ,1 ,5 ,6 ) , (2 ,−4 ,5 ,2 ) ⟩‖(2 ,−4 ,5 ,2 )‖‖(2 ,−4 ,5 ,2 )‖

(2,−4 ,5 ,2 )= (8 ,1 ,5 ,6 )−(2 ,4 ,0 ,6 )−(2 ,−4 ,5 ,2 )=¿

¿(4 ,1 ,0 ,−2)

{(1 ,2 ,0 ,3 ) , (2 ,−4 ,5 ,2 ) ,(4 ,1 ,0 ,−2)} Conjunto ortogonal⟨u1 ,u2 ⟩=0 , ⟨u1 , u3 ⟩=0 , ⟨u2 , u3 ⟩=0

{( 1

√14,

2

√14,0 ,

3

√14 ) ,( 27,−

47,57,27 ) ,( 4

√21,

1

√21,0 ,−

2

√21)}Conjunto ortonormal

PROYECCIONES SOBRE SUBESPACIOS. Sea V un espacio euclideo y sea U un subespacio vectorial de V .. Se llaman ortogonal U enV →U⊥al conjunto de todos los vectores de V ortogonales a cualquiera de U .

U⊥={vϵV / ⟨u , v ⟩=0∀u∈U }

. Sea V un espacio euclideo y U un subespacio vectorial de dimensión finita, entonces todo vector vde V se puede expresar de forma única como u1+u2 , donde u1∈U y u2∈U⊥ .

. Al vector u1 se le llama “Proyección ortogonal de v sobreU” y se denota Proyu v.. El vector u2 se conoce como “Componente de v sobre ” o proyección ortogonal de v sobreU⊥ .u2=v−Proy u v

TEOREMA DE LA MEJOR APROXIMACIÓNSea V un espacio vectorial euclideo y U un subespacio vectorial de dimensión finita dado v∈V se cumple:

‖v−Proyu v‖≤‖v−u‖∀u∈U

OBSERVACIONLas series de FOURIER {1 ,cos x , sin x ,cos 2x , sin 2x ,…,cosnx ,sinnx } es un conjunto ortogonal con respecto al producto usual definido en [0 ,2π ] .

Ejemplo:

Page 133: Matematica Basica II

Considere el vector v=(3,2,6 )∈R3 , sea W un subespacio de R3 que consta de todos los vectores (a ,b ,b ) . Descomponer v en la suma de un vector que se encuentra en W y un vector ortogonal a W .

Solución:Se necesita una base ortonormal a W , cualquier vector de W se puede expresar como (a ,b ,b )=a (1,0,0 )+b (0,1,1 )

Sea el conjunto {(1,0,0 ) , (0,1,1 ) } una base (es unconjunto L. I .)Sea {u1 , u2 } una base ortonormal

u1= (1,0,0 ) , u2=(0 , 1

√2,

1

√2 )w=Proyw v=⟨v ,u1 ⟩u1+⟨v ,u2 ⟩u2= ⟨ (3 ,2 ,6 ) , (1 ,0 ,0 ) ⟩ (1 ,0 ,0 )+⟨ (3 ,2,6 ) ,(0 , 1

√2,

1

√2 )⟩(0 , 1

√2,

1

√2 )¿ (3 ,0 ,0 )+ 8

√2 (0 , 1

√2,

1

√2 )= (3 , 4 ,4 )

w⊥=V−Proyw v=(3 ,2 ,6 )−(3 ,4 ,4 )=(0 ,−2 ,2)

Luego:(3 ,2 ,6 )=(3 ,4 ,4 )+(0 ,−2 ,2 )

Ejemplo: Sea ⟨u , v ⟩=u1 v1+3u2v2+5u3 v3

u=(u1 , u2 ,u3)

v=(v1 , v2 , v3 )

Si es un producto interno, ortonormalice por GRAM-SCHMIDT {(−1 ,1 ,−1 ) , (−1,1 ,0 ) , (3 ,0 ,0 ) }

Solución: Verificando que la expresión es un producto internoi) ⟨ x , y ⟩=⟨ y , x ⟩⟨u , v ⟩=v1+3u2 v2+5u3 v3

⟨ v ,u ⟩=v1u1+3 v2u2+5 v3u3

⟨u , v ⟩= ⟨ v ,u ⟩ii) ⟨ x+ y , z ⟩= ⟨ x , z ⟩+ ⟨ y , z ⟩⟨ (x1+ y1 , x2+ y2 , x3+ y3 ) , ( z1 , z2, z3 )⟩=(x1+ y1 ) z1+3 (x2+ y2 ) z2+5(x¿¿3+ y3)z3 ¿

x1 z1+ y1 z1+3 x2 z2+3 y2 z2+5 x3 z3+5 y3 z3=⟨ x , z ⟩+⟨ y , z ⟩iii) ⟨αx , y ⟩=α ⟨ x , y ⟩

Page 134: Matematica Basica II

⟨α (x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ⟩=α x1 y1+3∝ x2 y2+5∝ x3 z3

¿∝ (x1 y1+3x2 y2+5x3 y3 )=∝ ⟨ x , y ⟩iv) ⟨ x , x ⟩≥0

⟨ x , x ⟩=x12+3 x2

2+5 x32≥0Sea u1= (−1 ,1 ,−1 ) , u2=(−1 ,1,0 ) , u3=(3 ,0 ,0)Sea b1=u1=(−1 ,1,−1 )

b2=u2−Proyb1u1=(−1 ,1 ,0 )−

⟨u2 , b1 ⟩‖b1‖

2 b1

¿ (−1 ,1,0 )−⟨ (−1 ,1,0 ) , (−1 ,1 ,−1 ) ⟩

√|(−1 ,1 ,−1 )|2(−1 ,1 ,−1 )

b2=(−1 ,1 ,0 )− 49

(−1 ,1 ,−1 )=(−59

,59,

49 )

b3=u3−Proy b1u3−Proyb2

u3

¿ (3 ,0 ,0 )−⟨ (3 ,0 ,0 ) , (−1 ,1 ,−1 ) ⟩

√|(−1 ,1 ,−1 )|2(−1 ,1 ,−1 )−

⟨ (3 ,0 ,0 ) ,(−59

,59,

49 )⟩

√|(−59

,59,49 )|

2 (−59

,59,49 )

¿ (3 ,0 ,0 )−(−13

,13,−1

3 )+ 34 (−5

9,59,

49 )=( 35

12,

112

,23)

{(−1 ,1 ,−1 ) ,(−59

,59,

49 ) ,( 35

12,

112

,23)}

Page 135: Matematica Basica II

PRODUCTO INTERNO

Sea V un espacio vectorial, un producto interno o producto escalar sobre V es

una aplicación ,:V. V C que verifica:

1. au + bv, w au, w + bv, w

2. u, vv, u

3. u, u0, u V, u, u 0 u 0

Un espacio vectorial necesita de una métrica, el producto interno, llamado

también producto escalar, garantiza una métrica en un espacio vectorial.

El símbolo ¿ x , y>¿ se lee “producto interno entre los vectores x e y”. Para que

la aplicación se llame producto interno, entonces deberá cumplir los siguientes

axiomas:

i. ¿ x , y≥¿ y , x>, ∀ x , y∈V

ii. ¿ x+ y , z≥¿x , z>+¿ y , z>,∀ x , y , z∈V

iii. ¿αx , y≥α<x , y> ,∀ x , y∈V∧α∈R

iv. ¿ x , x>≥0 ,∀ x∈V ∧< x , x≥0⇔x=0∀ x∈V

Todo producto interno en un espacio vectorial real asigna a cada par de

vectores un único escalar real.

ESPACIO EUCLIDIANO

Es todo espacio vectorial real con producto interno, la adjunción de un producto

interno permite establecer una métrica en él, los conceptos de: distancia,

módulo de un vector, ortogonalidad y ángulo entre dos vectores; son nociones

que dependen de un producto interno que se establezca en un espacio

vectorial.

Ejemplo:

Se define sobre ℝ2:

β (x , y )=3 x1 y1+2 x1 y2+6 x2 y2+2 x2 y1

Donde: x=(x1 , x2 ) ; y=( y1 , y2) Indique si β es un producto interno.

Page 136: Matematica Basica II

Solución:

Para que β se llamado producto interno, entonces deberá cumplir los 4

axiomas.

i) ¿ x , y≥¿ y , x>, ∀ x , y∈V

.¿ (x1 , x2 ) , ( y1 , y2 )≥3 x1 y1+2 x1 y2+6 x2 y2+2 x2 y1=3 y1 x1+2 y1 x2+6 y2 x2+2 y2 x1

.¿ ( y1 , y2) , (x1 , x2 )≥3 y1 x1+2 y1 x2+6 y2 x2+2 y2 x1

ii) ¿ x+ y , z≥¿x , z>+¿ y , z>,∀ x , y , z∈V

.

¿ x+ y , z≥¿ ( x1 , x2 )+( y1 , y2 ) , ( z1 , z2)≥¿ (x1+ y1 , x2+ y2) , ( z1 , z2 )≥3 (x1+ y1 ) ( z1 )+2 (x1+ y1 ) ( z2 )+6 (x2+ y2 ) ( z2 )+2 (x2+ y2 ) ( z1 )=3x1 z1+3 y1 z1+2 x1 z2+2 y1 z2+6x2 z2+6 y2 z2+2x2 z1+2 y2 z1=¿ x , z>+¿ y , z>¿

iii) ¿αx , y≥α<x , y> ,∀ x , y∈V∧α∈R

.¿ (α x1 , α x2 ) , ( y1 y2 )≥3 α x1 y1+2α x1 x2+6α x2 y2+2α x2 y1=α< x , y>¿

iv)¿ x , x>≥0 ,∀ x∈V ∧< x , x≥0⇔x=0∀ x∈V

.

¿ (x1 , x2 ) , ( x1 , x2)>¿3x12+2 x1 x2+6x2

2+2 x1 x2=(x1+2x2 )2+2 (x1

2+ x22 )≥0∧ si x1=x2=0⇒<(x1 , x2 ) , (x1 , x2)>¿0

Ejemplo:

En (Rn ,+, R , ∙) se define:

¿ ,>:Rn×Rn→R

¿ x , y>¿ x t y

Donde: x=(x1

x2

⋮xn) , y=(

y1

y2

⋮yn). Indique si es un producto interno.

Solución:

Page 137: Matematica Basica II

i) ¿ x , y≥xt y=(x1 x2…xn ) (y1

y2

⋮yn)=∑i=1

n

x i y i=∑i=1

n

y i x i=( y1 y2… yn )(x1

x2

⋮xn)=¿ y , x>¿

ii) ¿ x+ y , z≥(x+ y)t z=(x t+ y t ) z=x t z+ y t z=¿ x , z>+¿ y , z>¿

iii) ¿αx , y≥(αx)t y=α x t y=α<x , y>¿

iv) ¿ x , x≥x t x=∑i=1

n

x i2≥0

PROPIEDAD

En todo espacio con producto interno, el producto interno de cualquier vector y

el vector nulo es cero.

¿0 , x≥¿ x ,0≥0

Definición

La norma de todo vector v que pertenece a V es un número real no negativo:

‖v‖=|v|=√¿v , v>¿¿En el espacio Euclidiano Rn representa la longitud del segmento de extremo O

y v=(x1 , x2 ,…,xn) en general la distancia entre dos puntos P y Q.

ORTOGONALIDAD

Sea (V ,+, R , ∙) un espacio vectorial con producto interno, se dice que dos

vectores son ortogonales sí y sólo sí su producto interno es nulo.

ORTOGONALIDAD

Sea (V, +, R, .) un espacio vectorial con producto interno, se dice que dos

vectores son ortogonales sí y sólo sí su producto interno es nulo.

Ejemplo:

Sea el conjunto de funciones reales continuas sobre el intervalo [−1,1 ]

⟨ f , g ⟩=∫−1

1

f x gx dx

Es una función definida en dicho espacio. Indique si los polinomios √22

y √3√2

x

son ortogonales.

Solución:

Realicemos el producto interno:

Page 138: Matematica Basica II

⟨ √22

, √3√2

x ⟩=∫−1

1 √22

√3√2

xdx=√34

x2| 1−1

=0

Como vemos, el producto interno si es nulo, por lo tanto si son ortogonales.

PROPIEDADES

1.- Desigualdad de Schawrs

En todo espacio vectorial euclidiano se cumple que el valor absoluto del

producto interno es menor o igual que el producto d los módulos de dichos

vectores.

¿

2.- Desigualdad triangular

En todo espacio con producto interno, el modulo de la suma de dos vectores

cualquiera es menor o igual que la suma de sus módulos.

|x+ y|≤|x|+|y|

3.- Ángulo entre dos vectores

Sean x e y dos vectores no nulos en un espacio con producto interno. De la

desigualad de Schawrs:

¿

−|x||y|≤<x , y>≤|x||y|

−1≤¿ x , y> ¿|x||y|

≤1¿

Para 0≤θ≤π

cosθ=¿ x , y> ¿|x||y|

¿

→<x , y≥|x||y|cosθ

CONJUNTO ORTOGONAL DE VECTORES

Un conjunto de vectores {x1 ,…,xn } en un espacio vectorial con producto interno

es ortogonal sí y sólo sí dos vectores cualesquiera y distintos son ortogonales.

Es decir si ⟨ x i , x j ⟩=0 ∀ i≠ j /1≤ i≤ j ≤n

Proposición:

Page 139: Matematica Basica II

Todo conjunto ortogonal de vectores al que no pertenece el vector nulo es

linealmente independiente.

Demostración:

Sea {x1 ,…,xr } un conjunto ortogonal tal que x i≠0 ∀ i=1,2 ,…,r y sea la

combinación lineal: ∑j=1

r

α j x j=0

Entonces para cada i=1 ,2…r consideramos:

⟨∑j=1

r

α j x j , x i⟩=¿0 , x i≥0

Luego

∑j=1

r

α j ⟨x j , xi ⟩=0

Como i≠ j→ ⟨x j , x i ⟩=0, la sumatoria se reduce a un único termino que se

obtiene si i= j es decir α i ⟨x i , x i ⟩=0 siendo x i≠0 entonces ⟨ x i , x i ⟩≠0 lo que indica

que α i=0 ∀ i=1 ,2 ,…, r

Finalmente decimos que {x1 ,…,xr } es L.I.

Definición:

Un conjunto de vectores en un espacio vectorial V se dice que es un conjunto

ortogonal si cada par de vectores es ortogonal.

Se dice que es un conjunto ortonormal si es ortogonal y cada vector es unitario.

Ejemplo:

Un conjunto ortonormal es: {(1,0,0 ) ,(0 , 35 ,45 ),(0 , 45 ,−

35)} debido a que:

(1,0,0 ) ,(0 , 35 , 45 ) y (0 , 4

5,−3

5) son vectores unitarios

El producto interno, tomado de dos en dos, es 0

TEOREMA:

Un conjunto ortogonal de vectores diferentes del vector nulo en un espacio

vectorial V es L.I. en consecuencia determinan una base.

Page 140: Matematica Basica II

DEFINICIÓN

Una base que es un conjunto ortogonal se dice que es una base ortogonal. Una

base que es un conjunto ortonormal, se dice que es una base ortonormal.

Observación

Hay muchas bases para un espacio vectorial, la base que se utilice depende

del problema en consideración, se recomienda utilizar la base más

conveniente, a menudo la base más adecuada es un conjunto ortogonal o un

conjunto ortonormal.

ALGUNAS APLICACIONES DEL PRODUCTO INTERNO PARA R2

Ejemplos

01) Una recta L que pasa por P0∈R2 y en la dirección μ⃗ ≠0 es un conjunto

L= {P0+ t μ⃗/ t∈R }Si P=P0+ t μ⃗ es un punto arbitrario de L y v⃗ es un vector ortogonal a μ⃗ tal que

μ⃗= (−b ,a ) ; v⃗=(a ,b)

Entonces ¿ (P−P0 ) , v≥¿ t μ⃗ , v⃗≥t< μ⃗ , v⃗≥0

Es decir la ecuación cartesiana de L es:

SiP= (x , y ) ,P0=(x0 , y0 ) , v=(a ,b )

¿ (x−x0 , y− y0 ) , (a ,b )>¿0

ax+by+c=0

Donde: L= {( x , y )∈ R2/ax+by+c=0}

02) DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La distancia de un punto Q∈R2 a la recta L= {P0+ tμ /t ∈R } μ≠0 , μ=(−b ,a), es la

longitud del segmento QP, donde P∈L

Page 141: Matematica Basica II

d (Q ,P )=|Q−P|, vemos que Q−P=γv, con vorto gonal aμ , γ∈R

O sea Q−P /¿v de donde

P=Q−γv=(r−γa , s−γb), siendo Q=(r , s )

En la ecuación cartesiana reemplazando :a (r−γa )+b ( s−γb )+c=0

γ=ar+bs+ca2+b2

d (Q ,P )=|ar+bs+ca2+b2(a ,b)|

d (Q ,P )=|ar+bs+c|√a2+b2

03) ÁREA DEL TRIÁNGULO

h es la distancia desde el punto final del

radio vector μ a la recta L / L= {tv / t∈R }={( x , y )∈R2/– bx+ay=0} donde

w esortogonal av

h=|−bc+ad|√a2+b2

=¿¿

Dado que Área = 12h|v| , se tendrá:

Área del triangulo=12|⟨μ ,w ⟩|

04) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Page 142: Matematica Basica II

Por la ley de cosenos

|μ−v|2=|u|2+|v|2−2|μ||v|cosθ

Pero |μ−v|2=⟨ (μ−v ) , (μ−v ) ⟩=|u|2+|v|2−2 ⟨μ , v ⟩

Además vemos que w esortogonal av

Luego:

cosθ=⟨μ , v ⟩|μ||v|

,|w|=|u|

senθ=cos( π2 −θ)= ⟨μ ,w ⟩|μ||v|

senθ=⟨μ ,w ⟩|μ||v|

TEOREMA

Sea {μ1 ,…, μn} una base ortonormal, sea “ν” un vector en V , el vector ν se

puede expresar como una C.L de los vectores de las base de la manera

siguiente:

ν=(ν . μ1 )μ1+ (ν .μ2 )μ2+…+ (ν .μn )μn

Es decir ν=⟨ν ,μ1 ⟩ μ1+⟨ν ,μ2 ⟩ μ2+…+ ⟨ν , μn ⟩ μn

Page 143: Matematica Basica II

Ejemplo:

Dado el vector ν=(7 ,−5,10) se puede trabajar como C.L de los vectores:

µ1=(1,0,0 ) , µ2=(0 , 35 , 45 ) , µ3=(0 , 4

5,−35 ), que determinan una base ortonormal

donde: ν .µ1=7 , ν .µ2=5 , ν . µ3=−10.

ν=7 (1,0,0 )+5(0 , 35 ,45 )−10 (0 , 4

5,−35 )

Definición

La proyección de un vector ν sobre un vector µ≠0, denotada porProyµν se

define:

Proyµν=υ .µ

‖µ‖‖µ‖µ

PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHIMDT

Sea {ν1 ,…, νn}una base para el espacio vectorial V , el conjunto de vectores

{μ1 ,…, μn}definido de la manera siguiente es ortogonal ( ⟨µi , µ j ⟩=0 , i≠ j ) . Para

Obtener una base ortonormal de ν , se normaliza cada uno de los vectores

μ1 ,…,μnes decir:

μ1=ν1

μ2=ν2−Proyµ1ν2

μ3=ν3−Proyµ1ν3−Proyµ2

ν3

………………………………….

μn=νn−Proyµ1νn−Proyµ2

νn−…−Proyµn−1νn

Ejemplo:

El conjunto {(1,2,0,3 ) , (4,0,5,8 ) , (8,1,5,6 ) } es L.I en R4, los vectores forman una

base para el subespacio de 3 dimensiones de Vde R4. Construya una base

ortonormal para ν .

Solución:

Sean ν1=(1,2,0,3 ) , ν2=( 4,0,5,8 ) , ν3=(8,1,5,6 ), aplicando Gram-Schmidt para

construir un conjunto ortogonal.

Sea: μ1=ν1=(1,2,0,3 )

Page 144: Matematica Basica II

μ2=ν2−Proyµ1ν2=( 4,0,5,8 )−

ν2 . µ1

‖µ1‖‖µ1‖µ1

μ2=( 4,0,5,8 )− (4,0,5,8 ) . (1,2,0,3 )(1,2,0,3 ) . (1,2,0,3 )

(1,2,0,3 )=(2 ,−4,5,2 )

μ3=ν3−Proyµ1ν3−Proyµ2

ν3

μ3= (8,1,5,6 )− (8,1,5,6 ) . (1,2,0,3 )(1,2,0,3 ) . (1,2,0,3 )

(1,2,0,3 )− (8,1,5,6 ) . (2 ,−4,5,2 )(2 ,−4,5,2 ) . (2,−4,5,2 )

(2,−4,5,2 )

μ3= (8,1,5,6 )−(2,4,0,6 )−(2 ,−4,5,2 )=( 4,1,0 ,−2 )

El conjunto ortogonal {(1,2,0,3 ) , (2 ,−4,5,2 ) , ( 4,1,0 ,−2 ) } es una base ortogonal para

ν.

⟹{( 1

√14,

2

√14,0 ,

3

√14 ) ,( 27,−47

,57,27 ) ,( 4

√21,

1

√21,0 ,

−2

√21 )} es una base

ortonormal de ν.

LEMA:

Un conjunto ortonormal{μ1 ,…, μn} es L.I y cualquier vector "𝜈" que pertenece a

V , es tal que el vector ω=ν−⟨ν ,μ1 ⟩ μ1− ⟨ν , μ2 ⟩ μ2−…− ⟨ν ,μn ⟩μn es ortogonal a

cada uno de los μi .

OBSERVACION

Las bases ortonormales desempeñan un papel importante en las espacios con

producto interno, en el lema anterior se muestra que siempre existe una base

ortonormal.

Ejemplo

Se define el producto interno ⟨u , v ⟩= (u1 v1+3u2 v2+5u3 v3 )ortonormalice por Gram-

Schmidt la base {(−1,1 ,−1 ) , (−1,1,0 ) , (1,0,0 ) }

Para u=(u1 ,u2 , u3 ) , v=(v1 , v2 , v3)

Solución

Sea x1=(1,0,0 ) , x2=(−1,1,0 ) , x3= (−1,1,−1 )

Hacemos y1=x1=(1,0,0)

y2=x2−Proy y1x2=(−1,1,0 )−

⟨ (1,0,0 ) , (−1,1,0 ) ⟩⟨ (1,0,0 ) , (1,0,0 ) ⟩

(1,0,0 )=¿

Page 145: Matematica Basica II

y2=(−1,1,0 )−( (1 ) (−1 )+3 (0 ) (1 )+5 (0 ) (0 )(1 ) (1 )+3 (0 ) (0 )+5 (0 ) (0 ) ) (1,0,0 )=(0,1,0)

y3=x3−Proy y1x3−Proy y2

x3=x3−⟨x3 , y1 ⟩⟨ y1 , y1 ⟩

y1−⟨ x3 , y2 ⟩⟨ y2 , y2 ⟩

y2

y3=(−1,1 ,−1 )−( (1 ) (−1 )+3 (1 ) (0 )+5 (−1 ) (0 )(1 ) (1 )+3 (1 ) (0 )+5 (1 ) (0 ) ) (1,0,0 )−( (−1 ) (0 )+3 (1 ) (1 )+5 (−1 )(0)

(0 ) (0 )+3 (1 ) (1 )+5 (0 )(0) )(0,1,0)

y3=(−1,1 ,−1 )+ (1,0,0 )−(0,1,0 )=(0,0 ,−1)

La base ortonormal es {(1,0,0 ) , (0,1,0 ) ,(0,0 ,−1)}

TEOREMA

Sea {ν1 ,…, νn} una base arbitraria con producto interno ν entonces existe una

base ortonormal {μ1 ,…, μn} de ν talque la matriz de transición de {ν i }a {μi } es

triangular para i=1 ,…. ,n. Se cumple:

μi=ai1 ν1+ai2 ν2+…+a iiν i

Prueba:

Consideremos μ1=ν1

‖ν1‖ entonces {μ1 } es ortonormal, luego consideramos un

ω2=ν2−⟨ν2 , μ1 ⟩ μ1 , μ2=ω2

‖ω2‖⟹ω2 es ortogonal a μ1 , entonces {μ1 , μ2} es

ortogonal.

Por el lema ω2 es ortogonal a μ1 , entonces {μ1 , μ2 } es un conjunto ortogonal.

ω3=ν3−⟨ν3 , μ1 ⟩μ1−⟨ν3 , μ2 ⟩ μ2 , tal queμ3=ω3

‖ω3‖ , nuevamente por el lema ω3 es

ortogonal, en general al obtener {μ1 ,…, μn} consideramos los siguiente:

ωi+1=ν i+1− ⟨ν i+1 , μ1 ⟩ μ1−…−⟨ν i+1 , μ i ⟩ μi ,μi+1=ωi+1

‖ωi+1‖ se puede observar que

ωi+1≠0 , ν i+1∉ L(μ1 ,…,μn) , {μ1 ,…, μn} es ortonormal que forma una base de “𝜈“.

Ejemplo:

Sea {ν1=(1,1,1 ) , ν2=(0,1,1 ) , ν3= (0,0,1 ) } una base de R3 , encuentre una base

Ortonormal utilizando el proceso de ortogonalización de Gram – Schmidt.

Solución:

Page 146: Matematica Basica II

Sea μ1=ν1

‖ν1‖=

(1,1,1 )√3

=( 1√3

,1√3

,1√3 )

Hacemos: ω2=ν2−⟨ν2 , μ1 ⟩ μ1=(0,1,1 )− 2

√3 ( 1

√3,

1

√3,

1

√3 )=(−23

,13,13 )

μ2=ω2

‖ω2‖=(−2

√6,

1√6

,1√6 ), luego ω3=ν3−⟨ν3 , μ1 ⟩μ1−⟨ν3 , μ2 ⟩ μ2

ω3=(0,0,1 )− 1

√3 ( 1

√3,

1

√3,

1

√3 )− 1

√6 (−2

√6,

1

√6,

1

√6 )=(0 ,−12

,12 ) ,

μ3=ω3

‖ω3‖=(0 ,−1

√2,

1√2 )

La base ortonormal es {μ1=( 1

√3,

1

√3,

1

√3 ), μ2=(−2

√6,

1

√6,

1

√6 )μ3=(0 ,−1

√2,

1

√2 )}.

PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN SUBESPACIO

Sea W un subespacio de Rn, sea {μ1 ,…, μn} una base ortonormal para W . Si

es un vector en Rn , la proyección de ν sobre W , denotada Proyw ν se

define como:

Proyw ν=⟨ν ,μ1 ⟩ μ1+ ⟨ν ,μ2 ⟩ μ2+…+⟨ν , μn ⟩ μn

TEOREMA:

Sea Wun subespacio de Rn, cada vector ν en Rn se puede expresar de forma

única de la siguiente manera:

ν=w+w⊥

Donde w se encuentra en W y w⊥ es ortogonal a W, los vectores w yw⊥ son:

w=Proyw ν y w⊥=ν−Proyw ν

Ejemplo:

Considere el vector ν=(3,2,6 ) en R3, seaW el subespacio de R3 que consta de

todos los vectores (a ,b ,b ). Descomponga ν en la suma de un vector que se

encuentra en W y un vector ortogonal a W .

Solución:

Page 147: Matematica Basica II

Se requiere una base ortonormal para W , cualquier vector de W se pueda

expresar de la siguiente manera: (a ,b ,b )=a (1,0,0 )+b (0,1,1 ) .

El conjunto {(1,0,0 ) , (0,1,1 ) } genera a W, es L.I formara una base para W .Los

vectores (1,0,0 ) y (0,1,1 ) son ortogonales, busquemos una base ortonormal

{μ1 , μ2 }

Para W , donde μ1=(1,0,0 ) y μ2=(0 , 1

√2,

1

√2 ),

w=Pro yw ν=⟨ν ,μ1 ⟩ μ1+⟨ν ,μ2 ⟩ μ2w=⟨ (3,2,6 ) , (1,0,0 ) ⟩ (1,0,0 )+⟨ (3,2,6 ) ,(0 , 1

√2,

1

√2 )⟩(0 , 1

√2,

1

√2 )= (3,4,4 )w⊥=ν−Proyw ν=(3,2,6 )−(3,4,4 )=(0 ,−2,2, )

, luego se obtiene tiene lo pedido:

(3,2,6 )=(3,4,4 )+( 0 ,−2,2 , )

Ejemplo:

Dado los vectores:μ= (2,−1,2 ) , ν=(1,2,1 ) y w= (−2,3,3 ). Determine un vector de R3

que es la proyección ortogonal de w sobre el plano generado por μ y ν .

Solución

(2 −1 21 2 1)⟶ (1 0 1

0 1 0)Sea H= {(1,0,1 ) , (0,1,0 ) } donde h1= (0,1,0 ) , h2=(1,0,1 ); ⟨h1 , h2 ⟩=0 , H es ortogonal.

ProyHw=⟨ ⟨w ,h1 ⟩|⟨h1 ,h1 ⟩|⟩ h1+ ⟨ ⟨w ,h2 ⟩

|⟨h2 , h2 ⟩|⟩ h2=3 (0,1,0 )+ 12

(1,0,1 )=( 12,3 ,

12 ).

Otro método:

Sea μ= (2,−1,2 ) , ν=(1,2,1 ) vectores que pertenecen a H entonces

μ×ν=(−5,0,5 )=w1.

ProyHw=w−ProyHw1=(−2,3,3 )− (−2,3,3 ) (−5,0,5 )‖(−5,0,5 )‖‖(−5,0,5 )‖

(−5,0,5 )=( 12,3 ,

12 )

OBS:

Sea Vuna espacio euclideo yU un subespacio vectorial de V . Se llama

ortogonal de U en V al conjunto de todos los vectores de V ortogonales a

cualquier vector de U .

U⊥={v∈V / ⟨v ,u ⟩=0 ,∀u∈U }

Page 148: Matematica Basica II

PROPIEDADES:

1) Si v∈V es ortogonal a todos lo elementos de una base de U , entonces

v∈U⊥ .

2) Si U⊂W⟹W⊥⊂U⊥.

COMPLEMENTO ORTOGONAL

Sea un subespacioSde un espacio vectorial V , cuando los elementos de un

subespacio vectorial son ortogonales a S, se dice que dicho subespacio es un

complemento ortogonal .Se denota comoS⊥ y se denomina complemento

ortogonal porque la suma de las dimensiones de S y S⊥ es igual a la dimensión

del espacio vectorial V .

Ejemplo

Dado el subespacio vectorial N={(a −aa c ) tal quea ,c∈R} su complemento

ortogonal con respecto al producto interno ⟨ A ,B ⟩=tr (A⊥B) , en el espacio

vectorial de las matrices cuadradas de orden dos es igual al subespacio cuyos

vectores son ortogonales a cualquier base de N , entonces tomando una base

arbitraria B={(1 −11 0 ) ,(0 0

0 1)} y aplicando las condiciones de ortogonalidad con

un vector genérico del espacio vectorial, tenemos

⟨(1 −11 0 ) ,(w x

y z )⟩=0=tr (w+ y x+z−w −x )=0=w−x+ y→ x=w+ y

⟨(0 00 1) ,(w x

y z )⟩=0=tr( 0 0y z )=0=z+0

Tendremos el complemento ortogonal N⊥={(w w+ y

y 0 ) tal que w , y∈ R}OBSERVACION

En un espacio vectorial lineal complejo, un producto interno ⟨ x , y ⟩ es un número

complejo que satisface los mismos axiomas que los del producto interno real

excepto el de la simetría que se reemplaza por la relación ⟨ x , y ⟩=⟨ y , x ⟩ (simetría

hermitiana)

Ejemplo

Page 149: Matematica Basica II

Sea el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos con

elementos complejos y el producto interno definido por

⟨ A ,B ⟩=a11b11+a12b12+a21b21+a22b22

Calcular la distancia entre los vectores (−i 21+i 1−i) y (2−i −i

5 5 i)Solución

Sea (−i 21+i 1−i)−(2−i −i

5 5 i)=( −2 2+i−4+i 1−6 i)

Luego

‖( −2 2+i−4+i 1−6 i)‖=√⟨( −2 2+ i

−4+i 1−6 i) ,( −2 2+i−4+i 1−6 i)⟩=√(−2 ) (−2 )+(2+i )(2+i)+(−4+i)(−4+i¿)+(1−6 i)(1−6 i)=√4+(4+1 )+(16+1 )+(1+36 )=√63¿

Ejemplo

Dados los vectores ( i 2 1+i0 −3 i 1 ) y (−3 4 −2+ i

2 i 0 i ) , se define el producto

interno ⟨ A ,B ⟩=tr (A ¿B) .Determine el ángulo entre dichos vectores

Solución

⟨ A ,B ⟩=tr (( −i 02 3 i

1−i 1 )(−3 4 −2+i2 i 0 i ))=tr ( 3i −4 i 1+2 i

−12 8 −7+2 i−3+5 i 4−4 i −1+4 i)=7+7 i

También: ⟨ A , A ⟩=tr(( −i 02 3 i

1−i 1 )( i 2 1+i0 −3 i 1 ))=tr ( 1 −2 i 1−i

2i 13 2+5i1+i 2−5i 3 )=17

⟨B ,B ⟩=tr(( −3 −2 i4 0

−2−i −i )(−3 4 −2+i2 i 0 i ))=tr( 13 −12 8−3 i

−12 16 −8+4 i8+3 i −8−4 i 6 )=35

φ=arc cos (ℜ(7+7 i)√17√35 )=73,320

TEOREMA DE LA MEJOR APROXIMACIÓN

El teorema de la mejor aproximación resuelve el problema de la mínima

distancia de un punto a un subespacio vectorial. Dado un subespacio vectorial

Sde Rn y un vector x de Rn , se debe minimizar la distancia de xa un vector

genérico w∈S ; min {‖x−w‖:w∈S }se debe obtener un vector donde s alcanza

un mínimo.

Page 150: Matematica Basica II

Sea V un espacio vectorial euclideo y U⊂V un subespacio vectorial de

dimensión finita. Dado v∈V . Se cumple:

‖v−Proyu v‖≤‖v−u‖,∀u∈U

EJEMPLOS

1. Para el espacio vectorial con producto interno ⟨ f , g ⟩=∫−1

1

f ( x )g ( x )dxde las

funciones continuas en un intervalo [−1,1 ] .Determine el polinomio de grado

menor o igual que dos más próximo a la función f ( x )=cos(πx )

2.

Encuentre la mejor aproximación para cos x en el intervalo [0,1 ]

PROBLEMA 1

Ses f (u, v)¿6x1y1−¿ 4(x1y2 + x2y1) + 7x2y2 ; con un u¿(x1,x2), v¿(y1,y2)

¿Es un f (u, v) un producto interno?, de ser un producto interno determine la norma de (1,2).

SOLUCION

Para que f (u, v) sea un producto interno debe satisfacer las condiciones.

1. ⟨αu+γv ; z ⟩=¿<α(x1,x2)+γ (y1,y2);(z1,z2)> = < (αx1 + γy1,αx2 + γy2);(z1,z2) >

= 6(αx1 + γy1)z1 – 4[(αx1 + γy1)z2 + (αx2 + γy2)z1] + 7z2 (αx2 + γy2) ……(1)

También:

α<x,z> + γ<y,z> = α(6x1z1 – 4(x1z2 + x2z1) + 7x2z2) + γ (6y1z1 – 4(y1z2 + y2z1) + 7y2z2) ……..(2)

De (1) y (2)

⟨αu+γv ; z ⟩=α<x,z> + γ<y,z>

2. ⟨u , v ⟩ = 6x1y1−¿ 4(x1y2 + x2y1)+ 7x2y2 ……(3)⟨ v ,u ⟩ = 6y1x1−¿ 4(y1 x2 + y2x1)+ 7 y2x2 …….(4)

De (3) y (4) por definición ⟨u , v ⟩ = ⟨ v ,u ⟩

3. ⟨u ,u ⟩ = 6x21−¿ 4(x1x2 + x2x1)+ 7x2

2

= 6x21−¿ 8x1x2+ 7x2

= (2x1 – 2x2)2 + 2x21 + 3x2

2≥ 0

Page 151: Matematica Basica II

⟨u ,u ⟩ = 0 ↔ u = 0

f (u, v)¿6x1y1−¿ 4(x1y2 + x2y1)+ 7x2y2 ; es un producto interno.

La norma de u = ⟨1,2 ⟩

‖u‖=√ ⟨u ,u ⟩=√18=3√2

PROBLEMA 2

Sea el espacio vectorial R4 sobre R , se define el subespacio vectorial

W = {(x, y, t, z) / x + y – t + z = 0} y el vector v = { 1, -1, 2, 3}a) Construir una base ortogonal H para W

b)Exprese v como una Combinación Lineal de H y H⊥

SOLUCIÓN

a) (x,y,t,z) Si t = x + y + z ( x , y , x + y + z , z) = x( 1,0,1,0) + y(0,1,1,0) + z(0,0,1,1){ ( 1,0,1,0) ; (0,1,1,0) ; (0,0,1,1) } el conjunto LI y por lo tanto una base del subespacio W Si consideramos V1 = ( 1,0,1,0) , V2 = (0,1,1,0) y V3 = (0,0,1,1)

u1=¿V1 = (1, 0, 1,0)

u2=¿ V2 - Proyu1

V 2 = (0,1,1,0) - ¿V 2 ,u1>¿

¿<u1 , u1>¿u1¿

u2=¿(0,1,1,0) - ¿ (0,1,1,0 ) , (1,0,1,0 )> ¿12+02+12+02

¿.( 1,0,1,0) = (0,1,1,0) -

12

(1,0,1,0)

u2=¿ (- 12

, 1,12

,0)

u3=¿V3 - Proyu1

V 3- Proyu2

V 3= (0, 0, 1,1) - ¿(0,0,1,1) , (1,0,1,0 )> ¿12+02+12+02

¿

(1, 0, 1,0) - ¿(0,0,1,1) ,(−12

,1 ,12,0)> ¿

¿¿ ¿(- 12

, 1,12

,0)

Page 152: Matematica Basica II

u3= (0, 0, 1,1) - 12

(1, 0, 1,0) -

1232

(- 12

, 1,12

,0) = (- 12

, 0,12

,1) - 13

(- 12

, 1,12

,0)

u3= (-13

,- 13

, 13

,1)

Entonces la base ortogonal H para W es

H = { (1,0,1,0) ; (- 12

, 1,12

,0) ; (-13

,- 13

, 13

,1) }

b) Sea ( x , y , t , z )∈wtal que w⊥H

⟨ ( x , y , t , z ) , (1,0,1,0 ) ⟩=0→x+ t=0

⟨ ( x , y , t , z ) ,(−12

,1 ,12,0)⟩=0→−x+2 y+t=0

⟨ ( x , y , t , z ) ,(−13

,−13

,13,1)⟩=0→−x− y+t−3 z=0

( 1 0 1 0 0−1 2 1 0 0−1 −1 1 3 0)→(1 0 0 −1 0

0 1 0 −1 00 0 1 1 0 )

x−z=0 , y−z=0 , t+z=0( x , y , t , z )=( x , x ,−x , x )=x (1,1 ,−1,1)

Se obtiene{(1,1 ,−1,1)}Luego

(1 ,−1,2,3 )=α 1 (1,0,1,0 )+α2(−12

,1 ,12,0)+α 3(−1

3,−13

13,1)+β (1,1 ,−1,1)

Resoviendo tendremos α 1, α 2 , α3 , β

PROBLEMA 3

En R3 se define el producto interno ¿ x , y>¿x1y1+ 3x2y2 + 5x3y3 con un x¿(x1, x2,x3) y y¿(y1,y2,y3)

Mediante el proceso de Gram-Schmidt transformar la base { (1,1,1 ); (1,0,0 ) ;(1 ,−1,0)} en una base ortonormal.

SOLUCION

Page 153: Matematica Basica II

Sea v1=(1,1,1); v2=(1,0,0); v3=(1,-1,0) aplicando Gram-Schmidt para construir un conjunto ortonormal {u1,u2,u3} a partir de los vectores indicados.

Sea:

u1=v1= (1,1,1)

u2=(1,0,0)−¿ (1,0,0 ) , (1,1,1 )> ¿¿¿ ¿= (1,0,0)−1

9(1,1,1)=(

89

, −19

,−19

)

u3=(1,-1,0)

−⟨ (1 ,−1,0 ) ,( 89,−19

,−19

)⟩|⟨( 8

9,−19

,−19 ) ,( 8

9,−19

,−19

)⟩|(89,−19

,−19)−

⟨ (1 ,−1,0 ) ,(1,1,1)⟩|⟨ (1,1,1 ) , (1,1,1) ⟩|

(1,1,1)

u3=(1,-1,0)−11

8(

89

, −19

,−19

)+29

(1,1,1)=(0,−58

,38

)

{(1,1,1), ( 89

, −19

,−19

), (0,−58

,38

)} Es un conjunto ortogonal

⟨(1,1,1) ,( 89,−19

,−19

)⟩=89

- 39

-59

= 0

⟨(1,1,1) ,(0 ,−58

,38)⟩=-

158

+ 158

= 0

⟨( 89,−19

,−19) ,(0 ,−5

8,38)⟩=

1572

- 1572

= 0

Luego:

|u1|=√ ⟨u1, u1 ⟩=¿3

|u2|=√ ⟨u2, u2 ⟩=23√2

|u3|=√ ⟨u3, u3 ⟩=√ 158

La base ortonormal

{(13,

13,13

), ( 4

3√2,

−1

6√2 ,−1

6√2), (0, −5

4 √ 215

, 34 √ 2

15)}

Page 154: Matematica Basica II

PROBLEMA 4

Sea el espacio euclideo de las funciones continúas en <-1,1> (intervalo),

definido el producto interno ¿ x , y>¿∫−1

1

x( y) y(t )dt, para que valor de λ los vectores

x(t )=t 2+1 y y(t )= λ(t 2+1), son ortogonales.

SOLUCION

¿ x , y>¿∫−1

1

x(λ( t

2+1))λ(t

2+1)dt = ∫−1

1

( λ2 (t 2+1)¿+1)λ (t2+1)¿dt

= ∫−1

1

( λ3 (t 2+1)¿+λ(t2+1))¿dt

Si x e y son ortogonales: ¿ x , y>¿0

PROBLEMA 5

Sean U1,U2,U3, los siguientes subespacios de R3

U1¿{(a,b,c)/a+b+c¿0}

U2¿{(a,b,c)/a¿c}

U3¿{(0,0,c)/c ∈ R3}

Probar que R3¿U1+U2¿U2+U3¿U1+U3 e indicar en qué caso la suma es directa.

SOLUCION

En U1 a + b + c = o → a = -b –c(a,b,c ) = (-b -c,b,c) = b(-1,1,0) + c(-1,0,1) {(-1,1,0); (-1,0,1)}Luego α(-1,1,0) + β(-1,0,1) = (0,0,0)α=β=0 ; es un conjunto LI entonces es una base de U1

En U2 a = c(a,b,c ) =(a,b,a)= a(1,0,1) + b(0,1,0){(1,0,1) ;(0,1,0)}Luego α(1,0,1) + β(0,1,0)= (0,0,0)α=β=0 ; es un conjunto LI entonces es una base de U2

Page 155: Matematica Basica II

En U3

(0,0,c ) = c(0,0,1) {(0,0,1) } ; es una base de U3

En U1+U2

U1 ∩U2 ∈V → U1 ∈ V ∩ U2 ∈ VV= m(-1,1,0) + n(-1,0,1)= p(1,0,1) + q(0,1,0)= (a,b,c )-m-n=p; m=q; n=p → q=m= -2pV=(a,b,c)= (p, -2p, p) = p(1,-2,1)U1 ∩U2 ={(1,-2,1)} ; (NO HAY SUMA DIRECTA DE U1 ⊕U2 )

(−1 1 0−1 0 11 0 10 1 0

)→(−1 0 00 0 21 0 10 1 0

)→(1 0 00 1 00 0 10 0 0

) {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} ; es una base de (U1+U2)

En U2+U3

U2 ∩U3 ∈V → U2 ∈ V ∩ U3 ∈ VV= k(1,0,1) + g(0,1,0)= f(0,0,1)= (a,b,c )K=0 ; g=0 ; k=f=0 → k=g=f=0V=(a,b,c)=(0,0,0)U2 ∩U3 = 0; (SI HAY SUMA DIRECTA DE U2 ⊕U3)

(1 0 10 1 00 0 1)→(1 0 0

0 1 00 0 1) {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} ; es una base de (U2+U3)

En U1+U3

U1 ∩U3 ∈V → U1 ∈ V ∩ U3 ∈ VV= ñ(-1,1,0) + s(-1,0,1)= d(0,0,1)= (a,b,c ) -ñ -s = 0 ; ñ = 0 ; s = d → ñ = s = d = 0V=(a,b,c)=(0,0,0)U1 ∩U3 = 0; (SI HAY SUMA DIRECTA DE U1 ⊕U3)

(−1 1 0−1 0 10 0 1)→(−1 1 0

−1 0 00 0 1)→(0 1 0

1 0 00 0 1)→(1 0 0

0 1 00 0 1)

{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} ; es una base de (U1+U3)Luego del desarrollo comprobamos que se cumple que R3¿ U1+U2 ¿ U2+U3 ¿ U1+U3

Page 156: Matematica Basica II

PROBLEMA 6

Dado L = { t(1,-1,2) / tϵ IR }

Determine un plano P talque IR3 = L ⊕ P

SOLUCION

(x,y,z) pertenece a L y PDado que P es un plano tiene dimensión 2(x,y,z) = α(1,-1,2) = β(a,b,c) + θ(m,n,p) Si L y P hacen una suma directa entonces (x,y,z) = 01 = a + m (a,b,c) ; (1-a ; -1-b ; 2 - c)-1 = b + n 2 = c + p

Entonces el Plano P de dimensión 2 tiene como base a:{ (a,b,c) ; (1-a ; -1-b ; 2 - c) }

PROBLEMA 7

Si V1,V2,V3 son LI del espacio ( V, +,k, . ).Investigar la DL o IL de:

i) {V1+aV2+bV3,V2+cV3 ,V3}

ii) { V1,V2+aV3 , V3+bV2}

SOLUCION

Como sabemos que V1,V2,V3es LI

i) α (V1+aV2+bV3)+ β(V2+cV3) + γ (V3)¿0

V1(α) + V2(αa+β)+ V3(αb+γ+cβ)=0

Page 157: Matematica Basica II

α=0

αa+β=0 →α=β=γ=0 Por lo tanto es IL

αb+γ+cβ=0

ii) α (V1)+ β(V2+aV3) + γ (V3+bV2)¿0

V1(α ) + V2(β+bγ ¿ + V3(βa +γ ) = 0

α = 0

β+bγ = 0 →α=β=γ=0 Por lo tanto es IL

βa +γ = 0

PROBLEMA 8

Determine una base para el subespacio U = { A = (a ij¿4x4 / tr(A) = 0 ; a12 - 2 a13 = 0 }

SOLUCION

(a11 2a13 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

)a11+a22+a33+a44=0

(−(a¿¿22+a33+a44)¿2a13 a13 a14

a21 a22 ¿a24¿a31¿a32¿a33¿a34¿a41¿a42¿a43¿a44¿)=

a13(0 2 1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

) +

a14(0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

)+ a21(0 0 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0

)+a22(−1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0

)+

Page 158: Matematica Basica II

a23(0 0 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

)+ a24(0 0 0 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

)+a31(0 0 0 00 0 0 01 0 0 00 0 0 0

)+a32(

0 0 0 00 0 0 00 1 0 00 0 0 0

)+ a33(−1 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 0

)+ a34(0 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0

)+a41(

0 0 0 00 0 0 00 0 0 01 0 0 0

)+a42(0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 1 0 0

)+a43(0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 1 0

)+a44(

−1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1

)Entonces una base para el subespacio es:

{(0 2 1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

);(0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

);(0 0 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0

);(−1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0

);(0 0 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

); (0 0 0 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

);(0 0 0 00 0 0 01 0 0 00 0 0 0

); (0 0 0 00 0 0 00 1 0 00 0 0 0

);(−1 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 0

);(0 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0

);(0 0 0 00 0 0 00 0 0 01 0 0 0

);(0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 1 0 0

);(0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 1 0

); (−1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1

)}

Page 159: Matematica Basica II

PROBLEMA 9

¿Los polinomios 1; x-1; x2-3x+1; forman una base de P2, de ser cierto, exprese el polinomio 2x2-5x+6 como una C.L. de los vectores de dicho base?

SOLUCION

Verificar si es una base {1; x-1; x2-3x+1}

α+β (x−1)+γ(x2-3x+1)¿0

γx2 + x(β−3 γ )+(α−β+γ )=0

γ=0

β−3 γ=0 α=β=γ=0 Luego es un conjunto LI entonces es una base de P2

α−β+γ=0

Como es una base expresar el polinomio 2x2-5x+6 como una C.L. de los vectores de dicha base.

2x2-5x+6 = a(1)+b( x-1)+ c( x2-3x+1)

2x2-5x+6 = (c)x2+(b-3c)x+(a-b+c)

a-b+c =6

b-3c =-5

c=2

(1 −1 1 60 1 −3 −50 0 1 2 )→(1 −1 0 4

0 1 0 10 0 1 2 )→(1 0 0 5

0 1 0 10 0 1 2)

a=5, b=1, c=2 2x2-5x+6 = 5(1)+1( x-1)+ 2( x2-3x+1)

PROBLEMA 10

Indique si las siguientes proposiciones son V o F (fundamente)

a) Un conjunto de vectores que contenga 2 vectores iguales es LIb) Cualquier conjunto de vectores al que pertenece el vector nulo es LD

Page 160: Matematica Basica II

c) Cualquier conjunto S de vectores LD contiene un subconjunto que es LI

d) Es LI el conjunto { ex , e3 x , x2, x}e) Es W1 = { (x,y,z) / 3y – 2z = 0 } un subespacio vectorialf) Es W2 = { (A ϵV / At=A } un subespacio vectorial

a) α(a,b,c,d) + β(a,b,c,d) + θ(x,y,z,t) = (0,0,0,0)

αa + βa + θx = 0αb + βb + θy = 0 Si α = β = 0 Necesariamente θ = 0αc + βc + θz = 0αd +βd + θt = 0 Entonces es V

b) α (0,0,0,0) + β(a,b,c,d) + θ(x,y,z,t) = (0,0,0,0)

α0 + βa + θx = 0α0 + βb + θy = 0 Si β = θ = 0 No necesariamente α = 0α0 + βc + θz = 0Entonces es LDα0 +βd + θt = 0 Por lo tanto es V

c) Es V porque en un conjunto LD siempre hay un coeficiente diferente que cero y los restantes son ceros por lo cual estos coeficientes restantes forman un conjunto LI.

d) αex+θe3 x+ βx2+λx = 0

Si α = β = θ = 0 , Necesariamente λ = 0 Por lo tanto es LI

Entonces es V

e) (x,y,32

y) = x(1,0,0) + y(0,1,32

)

Tiene una base {(1,0,0) ; (0,1,32

) }

α (1,0,0) + β(0,1,32

) = 0 α = β = 0 es LI

Por lo tanto es un subespacio vectorial.

f) (a11 b cb a22 dc d a33

)= a11(1 0 00 0 00 0 0)+a22(0 0 0

0 1 00 0 0)+¿

Page 161: Matematica Basica II

a33(0 0 00 0 00 0 1)+b (

0 1 01 0 00 0 0)+c(

0 0 10 0 01 0 0)+d (

0 0 00 0 10 1 0)

Tiene base:

{(1 0 00 0 00 0 0); (

0 0 00 1 00 0 0);(

0 0 00 0 00 0 1);(

0 1 01 0 00 0 0);(

0 0 10 0 01 0 0); (

0 0 00 0 10 1 0)}

Y es LI Por lo tanto es un subespacio vectorial.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Exprese v=(1 ,−2 ,3,4 ) en funcion de w yw⊥

Sabiendo que w= {( x , y , z ,t ) tal que5 x−2 y+8 z−t=0 }

2. Dadas las matrices A=(1 33 6) y B=(0 3

1 0), indique si las siguientes

expresiones corresponden a un producto interno ⟨ X ,Y ⟩=X⊥ AY ;

⟨ X ,Y ⟩=X⊥ AY

3. Considere en R3 el producto interno de α=(a1 ,a2 , a3 ) y β=(b1 , b2 ,b3) como la relacion dada por ⟨α , β ⟩=a1b1+3a2b2+5a3b3, luego mediante el

proceso de Gram-Schmidt transformar la base {(1,1,1 ) , (1,0,0 ) ,(1 ,−1,0)} en

una base ortonormal.4. Calcule el ángulo que forman los vectores

A=(3 2 11 0 68 −1 5) y B=(1 0 −1

0 1 11 1 1 ) con el producto interno usual de

matrices

5. Sean x=(x1 , x2 ) , y=( y1 , y2 ) dos vectores, indique si las siguientes

expresiones corresponden a un producto interno (en R o en C )

a) f ( x , y )=2 x1 y1+4 x2 y2

b) g ( x , y )=x1 y1+2x1 y2+2 x2 y1+4 x2 y2

c) φ ( x , y )=x1 y1−i x1 y2+i x2 y1+2 x2 y2

6. Determine el complemento ortogonal de los siguientes subespacios

a) V=R5 ,W={(2,2,1 ,−1,0 ) , (−1,2 ,−2,2,1 ) , (0,1 ,−3,2 ,−1 ) } para el producto

interno usual

b) V=R3 ,W 1={(1,2,1 ) , (0,1,2 ) } para el producto interno definido por

⟨ x , y ⟩=x1 y1+2x2 y2+ x3 y3−x1 y2−x2 y1

Page 162: Matematica Basica II

c)

V=C4 ,W 2= {(x1 , x2 , x3 , x4 )∈C4 tal que x1+2i x2−x3+ (1+i ) x4=0 ; x2+(2−i ) x3+x4=0}

para el producto interno ⟨ x , y ⟩=x1 y1+2x2 y2+ x3 y3+3 x4 y4

TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSFORMACION LINEAL ENTRE DOS ESPACIOSVECTORIALES

SOBRE UN MISMO CUERPO

Sean (V ,+, K ,∙ ) y (W ,+, K ,∙ )dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K

.La función f :V →W es una transformación lineal u homomorfismo si y solo si:

1) La imagen de la suma de dos vectores cualesquiera de V es igual a la suma

de sus imágenes enW es decir:

f ( x+ y )=f ( x )+ f ( y )

2) La imagen del producto de cualquier escalar por todo vector deV es igual al

producto del escalar por la imagen de dicho vector:

f (αx )=αf ( x )

Ejemplo:

Sean los espacios vectoriales (R3 ,+, R , . ) y (R2 ,+ ,R , ∙ ) . La función:R3→R2

definida por f (x1 , x2 , x3 )=(x1−x3 , x2−x3 ) indique si es una transformación lineal.

Page 163: Matematica Basica II

Solución

1)f [ ( x1 , x2 , x3 )+ ( y1 , y2 , y3 ) ]=f (x1+ y1 , x2+ y2 , x3+ y3 )=(x1+ y1−x3− y3 , x2+ y2−x3− y3 )

f (x1 , x2 , x3 )+ f ( y1 , y2 , y3 )=(x1−x3 , x2−x3 )+( y1− y3 , y2− y3)=(x1+ y1−x3− y3 , x2+ y2−x3− y3 )

2)

f (α (x1 , x2 , x3 ))=f (αx1 , αx2 , αx 3 )=(α x1−α x3 , α x2−α x3 )=α (x1−x3 , x2−x3 )=αf (x1 , x2, x3 )

Se comprueba las dos condiciones por los tanto si una transformación lineal.

Observación: Una aplicación, función o transformación lineal es un conjunto de

operaciones que se realizan sobre un elemento de un subespacio vectorial,

para transformarlo en un elemento de otro subespacio, en las transformaciones

lineales se preservan las operaciones de suma de vectores y producto de un

escalar por un vector. El termino función lineal es usado incorrectamente en el

análisis matemático y en la geometría para designar una recta o en general una

variedad lineal.

Ejemplo:

Supongamos que f :R2→R3 es una transformación lineal que verifica

f (1,0 )=(1,2,3 ) , f (0,1 )= (0 ,−1,2 ) .Halle la imagen de f (2 ,−3 )

Solución:

f (2 ,−3 )=f ( (2,0 )+(0 ,−3 ) )=f (2,0 )+f (0 ,−3 )=f (2 (1,0 ) )+f (−3 (0,1 ) )

f (2 ,−3 )=2 f (1,0 )−3 f (0,1 )=2 (1,2,3 )+(−3 ) (0 ,−1,2 )=(2,7,0 )

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Sea f :V →W una transformación lineal, denotemos mediante 0V y 0W a los

vectores nulos en V yW respectivamente.

1) La imagen del vector nulo del primer espacio por toda transformación lineal

es el vector nulo del segundo espacio.

f (0v )=f (0w)=0=0W=0v

2) La imagen del opuesto de todo vector del primer espacio es igual al opuesto

de su imagen.

f (−x )=f ( (−1 ) x )=(−1 ) f ( x )=−f ( x )

NUCLÉO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Page 164: Matematica Basica II

El núcleo de una transformación lineal f , entre dos espacios vectoriales sobre

un mismo cuerpo, es el conjunto de los vectores del dominio cuyas imágenes

por f son el vector nulo del codominio. El símbolo N ( f ) se lee nucleo def , por

definición N ( f )={x∈V ∕ f ( x )=0W }. El nucleo de toda transformación lineal es la

preimagen del vector nulo del segundo espacio. x∈N ( f )⇔f ( x )=0W

Ejemplo

Sean los espacios vectoriales (R3 ,+, R , ∙ ) y (R2 ,+, R , ∙ ) , la función f :R3→R2

definida por:f (x1 , x2 , x3 )=(x1−x3 , x2−x3 ). Determine el nucleo de f .

Solución

1)

f [ (a ,b )+(c ,d ) ]=f [ (a+c ,b+d ) ]=(a+c+b+d 00 a+b+c+d)=(a+b 0

0 a+b)+(c+d 00 c+d)=f (a ,b )+ f (c ,d )

2¿ f (α (a ,b ) )=f (αa ,αb )=(αa+αb 00 αa+αb)=α (a+b 0

0 a+b)=αf (a ,b )

Si cumple las dos condiciones es una T.L

Hallando su núcleo:

N ( f )={(x1 , x2 )∈R2 ∕ f (x1 , x2 )∈ R2×2 } , (x1 , x2 )∈N ( f )⇔f (x1 , x2 )=(0 00 0)=(x1+x2 0

0 x1+x2)⇔x1+x2=0⇔x1=−x2→N (f )= {α (1 ,−1 ) ∕ α∈R }

Hallando su imagen:

I (f )= {A∈R2× 2/ f (x1, x2 )∈ A }, A=(a bc d)∈ I (f )⇔∃ (x1 , x2)∈R2/ f (x1, x2 )∈ A⇔(x1+ x2 0

0 x1+x2)=(a b

c d)⇔x1+x2=a=d ˄b=c=0

I (f )Esta dado por A=(a 00 a), La matriz (1 0

0 1) es un sistema de generadores de I (f ),

constituye una base de dimensión 1.

TRANSFORMACIONES LINEALESTRANSFORMACION LINEAL ENTRE DOS ESPACIOS VECTORIALES SOBRE UN MISMOCUERPOSean (V ,+, R , . ) y (W ,+, K , . ) dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K .

Page 165: Matematica Basica II

La función f :V →W es una transformación lineal u Homomorfismo si y sólo si:i) La imagen de la suma de dos vectores cualquiera de V es igual a la suma de sus imágenes en W, es decir f ( x+ y )=f ( x )+ f ( y ) .ii) La imagen del producto de cualquier escalar por todo vector de V es igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector.

f (αx )=α f ( x )

x f (x)y f ( y)x+ y f (x+ y )=f (x)+ f ( y)

αx f (αx)=αf (x)

Ejemplo 1:Sean los espacios vectoriales (R3 ,+ ,R , .) y (R2 ,+ ,R , . ) la función f :R3→R2definida porf ( x1 , x2 , x3 )

=( x1−x3 , x2−x3). Indique si es una transformación lineal.Solución:i) f [ ( x1 , x2 , x3 )+ ( y1 , y2 , y3 ) ]=f (x1+ y1 , x2+ y2 , x3+ y3 )=(x1− y1−x3− y3 , x2− y2−x3− y3 )

f (x1 , x2 , x3 )+ f ( y1 , y2 , y3 )=(x1−x3 , x2−x3 )+( y1− y3 , y2− y3 )=(x1+ y1−x3− y3 , x2+ y2−x3− y3 )……. si cumpleii) f ¿

Ejemplo 2:Supongamos que f :R2→R3 es una transformación lineal que verifica f (1 ,0 )= (1,2 ,3 ) yf (0 ,1 )= (0 ,−1 ,2 ) , halle la imagen de f (2 ,−3 ) .

Solución:f (2 ,−3 )=f ( (2 ,0 )+ (0 ,−3 ))=f (2 ,0 )+ f (0 ,−3 )=f (2 (1 ,0 ) )+ f (−3 (0 ,1 ) )=¿

2 f (1 ,0 )+(−3 ) f (0,1 )=2 (1 ,2 ,3 )+ (−3 ) (0 ,−1 ,2 )=(2,7 ,0)Ejemplo3:Determine una transformación lineal o aplicación lineal generado por F :R3→R4 , si las imágenes están dadas por (1,2,0 ,−4 ) y (2,0 ,−1 ,−3)Solución

Page 166: Matematica Basica II

Sea F ( x , y , z )=F (x e1+ y e2+z e3 )=xF (e1 )+ yF (e2)+ zF (e3 )=x (1,2,0 ,−4 )+ y (2,0 ,−1,−3 )+z (0,0,0,0 )=(x+2 y ,2x ,− y ,−4 x−3 y )Luego F ( x , y , z )=(x+2 y ,2x ,− y ,−4 x−3 y )Ejemplo 4:

PROPIEDADES DETRANSFORMACIONES LINEALESSea f :V →W una transformación lineal, denotemos mediante 0v Y 0w a los vectores nulos en V y W respectivamente.I) La imagen del vector nulo del primer espacio por toda transformación lineal es el vector nulo del segundo espacio.f (0v )=f (0 x )=0 f ( x )=0wII) La imagen del opuesto de todo vector del primer espacio es igual al opuesto de su imagen.f (−x )=f ((−1) x )=(−1 ) f ( x )=−f ( x )

NUCLEO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEALEl núcleo de una transformación lineal f, entre dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, es el conjunto de los vectores del dominio cuyas imágenes por f son el vector nulo del codominio.V W

El símbolo N ( f ) se lee núcleo de f , por definición N ( f )={xϵV / f (x )=0w }

El núcleo de toda transformación lineal es la preimagen del vector nulo del segundo espacio.x ϵ N ( f )⟺ f (x )=0w

Ejemplo:

N ( f ) 0w

Page 167: Matematica Basica II

Sean los espacios vectoriales (R3 ,+ ,R , .) y (R2 ,+ ,R , . ) La función f :R3⟶ R2

definida por f (x1 , x2 , x3 )=(x1−x3 , x2−x3) es una transformación lineal. Determine el núcleo de f .Solución:

N ( f )={(x1 , x2 , x3 ) ϵ R3/ f (x1 , x2 , x3 )=(0 ,0)}

(x1 , x2 , x3 ) ϵ N ( f )⟺ f (x1 , x2 , x3 )= (0 ,0 )⟺ (x1−x3 , x2−x3 )=(0 ,0 )⟺ ( x1= x3∧ x2=x3 )⟺ x1= x2=x3=a N ( f )= {a (1 ,1 ,1 ) /a∈R },el núcleo de f es el conjunto de todos los múltiplos escalares del vector (1 ,1 ,1 ) .

EjemploSea la transformación lineal f :R2→R3

IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL:La imagen de una T.L. f :V →Wes el conjunto imagen del dominio, es decir, es la totalidad de las imágenes de los vectores del primer espacio. El símbolo Ι ( f ) se lee imagen de f.

Ι ( f )= {f (x )/ xϵ V }

También se sabe que f (0v )=0w en consecuencia 0wϵ Ι ( f ) lo que significa que Ι ( f )≠ϕ , Ι ( f )⊂W

PROPIEDADLa imagen de toda T.L. entre dos espacios vectoriales es un subespacio del codominio.Ejemplo:Sea f :R2⟶ R2x 2definida por f (a ,b )=(a+b 0

0 a+b)Indique si es una T.L., halle su núcleo e imagenSolución:f [ (a ,b )+(c ,d ) ]=f [ (a+c ,b+d ) ]=(a+b+c+d 0

0 a+b+c+d)

(a+b 00 a+b)+(c+d 0

0 c+d)=f (a ,b )+ f (c ,d )

También:f (∝ (a ,b ))=f (∝a ,∝b )=(∝a+∝b 0

0 ∝a+∝b)=∝(a+b 00 a+b)=∝ f (a ,b )

Page 168: Matematica Basica II

Es una Transformación linealHallando su núcleo:N (f )={(x1 , x2 )∈R2/ f (x1, x2 )∈ R2x 2 }

(x1 , x2 )∈N (f )⟺ f (x1 , x2 )=(0 00 0)⟺(x1+x2 0

0 x1+x2)⟺x1+x2=0⟺ x1=−x2

N (f )={α (1 ,−1 )/α∈R }( el núcleo de f es el conjunto de los pares ordenados de componentes opuestos )La imagen se puede definir también por I ( f )= { y∈W talqueexiste x∈V y f (x )= y }

La imagen:I ( f )= {Aϵ R2x 2/ f (x1 , x2 ) ϵ A }

A=(a bc d)ϵ I ( f )⟺∃ (x1 , x2 ) ϵ R

2/ f (x1 , x2 ) ϵ A⟺

(x1+x2 00 x1+x2

)=(a bc d)⟺ x1+x2=a=d∧b=c=0

I ( f ) está dado por A=(a 00 a)

La matriz (1 00 1) es un sistema de generadores de la I ( f ), constituye una

base de dimensión 1.TEOREMA:Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, entonces la dimensión de V está dada por:

dim (V )=dim (N )+dim (I )

Observación Sea f una transformación lineal, entonces el rango de f se define como la dimensión de su imagen y la nulidad de f se define como la dimensión de su núcleo, es decir:

ran ( f )=dim ( I ( f ) )

nulidad ( f )=dim (ker (f ) )

Page 169: Matematica Basica II

ran ( f )+nulidad (f )=dim (V )

Ejemplos1. Determine el núcleo, la imagen y las dimensiones de ambos en la siguiente transformación lineal f :R3→R2 definida por f (x1 , x2 , x3 )=(x1+x2+ x3 , x2+x3)

SoluciónDeterminamos el núcleo de la transformación lineal: x1+ x2+x3=0,x2+ x3=0 resolviendo este sistema de ecuaciones tenemos x1=0 , x2=−x3 , luego el núcleo esta dado por t(0,1,-1) , es decir los múltiplos escalares del vector (0,1 ,−1) , se obtiene una base {(0,1 ,−1)} cuya dimensión es uno.Determinamos la imagen, sea ( x , y )∈ Imf entonces ( x , y )=(x1+x2+x3 , x2+x3)

Luego formando la combinación lineal ( x , y )=x1 (1,0 )+x2 (1,1 )+x3(1,1)

Luego (1 01 11 1)→(1 0

1 10 0)→(1 0

0 10 0) , la imagen de f es generada por {(1,0 ) ,(0,1)}

Cuya dimensión es dos.2. Ejemplo Sea la transformación lineal f :R2→R3definida por f (x1 , x2)=(x1+x2 , x1−x2 , x1+2x2) ; determine el núcleo y la imagen e indique una base y la dimensión Solución Determinando el núcleo f (x1 , x2 )=(x1+x2 , x1−x2 , x1+2 x2)=(0,0,0 )

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales x1+ x2=0 , x1−x2=0 , x1−2 x2=0

Entoncesx1=0 , x2=0 , se obtiene f ( v )=0R3 tal que v=(0,0) , cuya base {(0,0 ) } es de dimensión cero.Calculando la imagen f (x1 , x2 )=(x1+x2 , x1−x2 , x1+2 x2)=u

Donde u=x1 (1,1,1 )+x2 (1 ,−1,2 ) , llevando a la forma matricial(1 1 11 −1 2)→(2 0 3

1 −1 2)→(2 0 30 −2 1) , luego la imagen es generada por los

vectores que forman la base {(2,0,3 ) , (0 ,−2,1 ) } de dimensión dos.

Page 170: Matematica Basica II

PROBLEMAS

1.Sea la aplicación T :R2→ R2 tal que T(x,y)=(2x-y,3y-2x), y sean v=(3,4) un vector y

B1={ (1 ,2 ) ,(−1 ,1)},B2=={ (2 ,1 ) ,(−1 ,−3)} bases de R2 calcule verifique según sea el

caso :

Sean los vectores B1={ (1,2 ) ,(−1,1)}, B2=={ (2,1 ) ,(−1,3)}hacemos una combinación lineal de los vectores de la Base B2(1,2)=a(2,1) +b(-1,-3) (μ1)=[1/5 -3/5](-1,1)=c(2,1)+d(-1,-3) (μ2)=[-4/5 -3/5]

hacemos una combinación lineal de los vectores de la Base B1

(2,1)=a(1,2)+b(-1,1) (μ1’)=[1 -1] (-1,-3)=c(1,2)+d(-1,1) (μ2’)=[-4/3 -1/3]

P=(15

−45

−35

−35

) Q=( 1−43

−1−13

) Para demostrar si PQ=QP=I Reemplazamos en P y en Q

(15

−45

−35

−35

) ( 1−43

−1−13

) = (55

0

055)=I

( 1−43

−1−13

)(15

−45

−35

−35

) =(55

0

055)=I

Para verificar si [T]B2=Q[T]B1P Solamente reemplazamos lo hallado

[T]B2=(3 −11 −7) [T]B1=( 0 4

−3 5 ) por lo tanto

(3 −11 −7) =( 1

−43

−1−13

)( 0 4−3 5)(

15

−45

−35

−35

)

Page 171: Matematica Basica II

(3 −11 −7) = (3/5)( 1

−43

−1−13

)(−4 −4−6 −1)

(3 −11 −7) = (3 −1

1 −7)

2.Si Q-1AQ=B donde B es un matriz triangular cuyos elementos de la diagonal principal son valores propios de λ1, λ2, λ3, …… λn Demostrar que Bk es un matriz triangular y los elementos de la diagonal principal son los valores propios de A elevados a la K

B=(λ1 0 ⋯0 λ2 ⋯

⋮0⋯0

⋱0⋯

0⋱0

⋮0λn

) B2=(λ1 0 ⋯0 λ2 ⋯

⋮0⋯0

⋱0⋯

0⋱0

⋮0λn

) (λ1 0 ⋯0 λ2 ⋯

⋮0⋯0

⋱0⋯

0⋱0

⋮0λn

) B2=¿

→ por inducción Bn+1=¿

Bn B1=¿

Bn B1=¿ Bk=¿

por lo tanto queda demostrado por inducción que Bk es un matriz triangular y los elementos de la diagonal principal son los valores propios de A elevados a la K

3. Es posible diagonalizar la matriz A=(1 1 1 1 10 1 1 1 1000

000

100

100

111)

Solución:

Hallamos el polinomio característico P(x)=/A –λI/

Page 172: Matematica Basica II

P(x)=/ (1 1 1 1 10 1 1 1 1000

000

100

100

111)-λ (

1 0 0 0 00 1 0 0 0000

000

100

010

001)/¿

P(x)=/ (1−λ 1 1 1 1

0 1−λ 1 1 1000

000

1−λ00

1−λ

0

11

1−λ)/¿ P(x)=(1--λ)4 (-λ¿=0

λ=1 de multiplicidad 4 ; es el único que analizamos ya que tiene multiplicidad 4 nos debe de salir 4bases.λ= 0 de multiplicidad 1

Sea V(1)=¿ ( p ,q , r , s , t ) ϵ R3 ❑❑ A (

pqrst)=(

pqrst)>¿

(1 1 1 1 10 1 1 1 1000

000

100

100

111)(pqrst)=(

pqrst)

p+q+r+s+t=0q+r+s+t=0r+s+t=0t=st=0resolviendo nos sale que q=0, r=0, s=0, t=0 como no aparece p entonces es un definido con un parámetro αpor lo tanto quedaría:

Page 173: Matematica Basica II

(p,q, r,s,t)ϵV(1)⇒( p,q,r,s,t)=[(1,0,0,0,0)]por lo tanto la matriz A no será diagonlizable.4. Sea la aplicación lineal F: R3 → R3 definida como

F(-1,1,3)=(6,-4,16), F(-2,1,1)=(-2,-5,1) y F(3,2,-1)=(1,14,-12)

a) Calcule la matriz asociada con respecto a la base canónica de R3.b) Calcule el núcleo y la imagen de la aplicación.c) Calcule la aplicación inversa si es posible.

Solución:

a)F(-1,1,3)=(6,-4,16) → (-1)F(1,0,0) +(1)F(0,1,0) + (3)F(0,0,1) =(6,-4,16) ……….(1)F(-2,1,1)=(-2,-5,1) → (-2)F(1,0,0) +(1)F(0,1,0) + (1)F(0,0,1) =(-2,-5,1) ……….(2)F(3,2,-1)=(1,14,-12) →(3)F(1,0,0) +(2)F(0,1,0) + (-1)F(0,0,1) =(1,14,12) ………..(3)

Resolviendo (1),(2) y (3)

F(1,0,0)=(2,3,1) , F(0,1,0)=(-1,2,4) , F(0,0,1)=(3,-1,7)

por lo tanto la matriz asociada con respecto a la base canónica de R3

será:

A=(2 −1 33 2 −11 4 7 )

b)

A=(2 −1 33 2 −11 4 7 )( xyz )=(000)

De la matriz asociada A obtenemos. Restando filas….

(2 −1 33 2 −11 4 7 )( xyz )=(000)→(1 0 0

0 1 00 0 1)(

xyz )=(

000)

Por lo tanto el núcleo o Kerf será =¿¿

La imagen de la aplicación = F(x,y,z)=(2x-y+3z,3x+x2y-z,x+4y+7z)

Page 174: Matematica Basica II

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEALSupongamos que {e1 , e2 ,…,en } es una base de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K y para vϵ V , supongamos que v=a1 e1+a2 e2+…+an en , entonces el vector coordenado de v relativo a {e i } el cual se escribe como un vector columna a menos que se especifique lo contrario, está dado por:

[V ]e=(a1

a2

⋮an)

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN OPERADOR LINEALSea T un operador lineal en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K supongamos que {e1 , e2 ,…,en } es una base de V y por tanto se puede expresar una combinación lineal de los vectores de la base, es decir:

T (e1)=a11e1+a12 e2+…+a1n en

T (e2)=a21 e1+a22e2+…+a2n en

T (en)=an1 e1+an2e2+…+annen

DEFINICION.-La transpuesta de la matriz de los coeficientes de la representación anterior denotada por [T ]e se llama representación matricial de T relativa a la base {e i } .[T ]e=(a11 a21 … an1

a12 a22 … an2

⋮ ¿⋱ ¿ ¿a2n¿…¿ann¿)

Ejemplo 1:Sea el espacio vectorial de todos los polinomios en T sobre R de grado≤3y D :V→V el operador derivación definido por D (P(t ) )=

d P( t )

dt , sea la base

{1 , t , t2 , t3 }

D(1 )=0=0+0 t+0 t2+0 t 3

D (t )=1=1+0 t+0 t2+0 t 3

Page 175: Matematica Basica II

D( t2)=2t=0+2t+0 t 2+0 t3

D( t3 )=3 t2=0+0 t+3 t 2+0 t3

[D ]e=(0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

)Ejemplo 2:Sea T el operador lineal sobre R2 definido por T ( x, y )= (4 x−2 y ,2 x+ y ) . Calculamos la matriz de T en la base { f 1=(1 ,1 ); f 2=(−1 ,0 ) }

Solución Tenemos:

T (f 1)=T (1 , 1)=(2 ,3 )=3 (1 ,1 )+ (−1,0 )=3 f 1+ f 2

T (f 2)=T (−1 ,0 )=(−4 ,−2 )=−2 (1 ,1 )+2 (−1 ,0 )=−2 f 1+2 f 2

[T ] f=(3 −21 2 )

TEOREMASea {e1 , e2 ,…,en } una base de V y sea T un operador lineal cualquiera sobre V entonces ∀ v ϵ V se cumple que:

[T ]e [V ]e=[T (V )]eEs decir si multiplicamos el vector coordenado de v por la representación matricial de T se obtiene el vector coordenado de T (V ).

Ejemplo 3:Sea el operador lineal T :R2→R2 definido por T ( x, y )= (4 x−2 y ,2 x+ y ) y sea v=(5 ,7 ) , siendo la base { f 1=(1 ,1 ); f 2=(−1 ,0 ) }

v=(5 ,7 )=7 (1 ,1 )+2(−1,0)=7 f 1+2 f 2

T (V )=T (5 ,7)=(6 ,17 )=17 (1 ,1 )+11 (−1 ,0 )=17 f 1+11 f 2

[V ]f=(72)

Page 176: Matematica Basica II

[T (V )]f=(1711)

[T ] f [V ] f=(3 −21 2 )(72)=(17

11)=[T (V )] f

TEOREMASea {e1 , e2 ,…,en } una base de V sobre un cuerpo K y sea A el álgebra de las matrices cuadradas de orden nentonces la aplicación: T→ [T ] es un isomorfismo de un espacio vectorial A( v ) sobre A es decir que la aplicación es de 1 a 1 y sobre, para cualquier S ,T ϵ A ( v ) y para cualquier k ϵ K

[T+S ]e= [T ]e+ [S ]e y [kT ]e=k [T ]e

TEOREMAPara operadores cualesquiera S ,T ϵ A ( v ), se tiene:[ST ]e=[S ]e [T ]e

Ejemplo Sea dimV=2 , supongamos que {e1 , e2 } es una base de V, T y S son operadores sobre V tales que:

T (e1)=a1 e1+a2e2S (e1)

=c1 e1+c2 e2

T (e2)=b1 e1+b2e2S(e2)

=d1e1+d2e2

[T ]e=(a1 b1

a2 b2) [S ]e=(c1 d1

c2 d2)

(T+S )(e1)=T (e1 )+S (e1 )=a1 e1+a2 e2+c1 e1+c2 e2

(T+S )(e2)=T (e2)

+S (e2 )=b1 e1+b2 e2+d1 e1+d2 e2

[T+S ]e=(a1+c1 b1+d1

a2+c2 b2+d2)=(a1 b1

a2 b2)+(c1 d1

c2 d2)

¿ [T ]e+ [S ]e

También para k ϵ K(kT )e1

=kT (e1 )=k (a1e1+a2 e2 )=ka1e1+k a2 e2

(kT )e2=kT (e2 )=k (b1e1+b2 e2 )=kb1 e1+kb2e2

[kT ]e=( ka1 k b1

k a2 kb2)=k (a1 b1

a2 b2)=k [T ]e

Page 177: Matematica Basica II

CAMBIO DE BASEDefinición.- Sea {e1 , e2 ,…,en } una base de V y sea { f 1 , f 2 ,…, f n } otra base, supongamos que:

f 1=a11 e1+a12 e2+…+a1n en

f 2=a21e1+a22e2+…+a2n en

f n=an1e1+an2 e2+…+ann en

La traspuesta P de la matriz de los coeficientes se llama matriz de transición de la base antigua o primitiva {e i }a lanueva base { f i }. ( i=1,2 ,…,n )P=(a11 a21 … an1

a12 a22 … an2

⋮ ¿⋱ ¿a1n ¿…¿ann¿)

Como los vectores f 1, f 2 ,…, f n son linealmente independientes, la matriz P es invertible, su inversa P−1 es la matriz de transición de la nueva base a la base antigua.Ejemplo Sean las bases {e1=(1 ,0 ) , e2=(0 ,1)} y { f 1=(1 ,1 ) , f 2=(−1 ,0 ) } luego f 1=(1 ,1 )=(1 ,0 )+ (0 ,1 )=e1+e2

f 2=(−1 ,0 )=−1 (1 ,0 )+0 (0 ,1 )=−e1+0e2

P=(1 −11 0 )

e1=(1 ,0 )=0 (1 ,1 )+ (−1 ) (−1 ,0 )=0 f 1−f 2

e2=(0 ,1)=1 (1 ,1 )+1 (−1 ,0 )=f 1+f 2

P−1=Q=( 0 1−1 1)

PQ=(1 −11 0 )( 0 1

−1 1)=(1 00 1)=I

TEOREMASea P la matriz de transición de una base {e i } a una base{ f i } en un espacio vectorial V entonces ∀ v ϵ V se cumple que:

Page 178: Matematica Basica II

P [V ]f= [V ]e

Es decir:[V ]f=P−1 [V ]e

TEOREMASea P la matriz de transición de una base {e i } a una base { f i } en un espacio V entonces ∀ operador lineal T sobre V se cumple que:

[T ] f=P−1 [T ]eP

SIMILARIDADSupongamos que A y B son matrices cuadradas para los cuales existe una matriz invertible P tal que: B=P−1 AP, entonces se dice que B es similar a A o que se obtiene de A por una transformación de similaridad. La similaridad de matrices es una relación de equivalencia.TEOREMADos matrices A y B representan el mismo operador lineal T si y solo si son similares la una a la otra. Todos los representantes matriciales del operador lineal T forman una clase de equivalencia de matrices similares.Ejemplo Sea T el operador lineal sobreR2 definido por T (3 ,1)=(2 ,−4 ) y T (1 ,1)=(0 ,2 ) , por el teorema el operador lineal existe y es único, hallar T (a , b) en particular T (7 , 4) .SoluciónSea un vector(a ,b ) tal que se forma la combinación lineal: (a ,b )=x (3 ,1 )+ y (1 ,1 )

a=3 x+ y x=a−b2

b=x+ y y=−a+3b2

Expresando T (a , b) como una combinación lineal de T (3,1) yT (1,1 ) , tenemosT (a , b)=T

( a−b2

(3 ,1 )+−a+3b2

(1 ,1))=a−b

2T (3 ,1 )+

−a+3b2

T (1 ,1 )

T (a , b)=a−b

2(2,−4 )+−a+3b

2(0 ,2 )=(a−b ,−3a+5b )

Page 179: Matematica Basica II

Para el caso particular de T (7,4 ) se tieneT (7 , 4)= (3 ,−11)

VALORES Y VECTORES PROPIOSEn los diversos campos de la ingeniería y las matemáticas surge el problema de calcular los valores escalares λ y los vectores x≠0 tales que para la matriz cuadrada A se cumple AX=λX…(1)Algunos campos de aplicación son:Las Ecuaciones diferenciales, Estabilidad de sistemas lineales,

Page 180: Matematica Basica II

Sistemas eléctricos, Polos y ceros de transferencia, diagonalizacion de matrices, etc.Podemos averiguar si el problema planteado en (1) tiene solución si tenemos ( A−λI ) X=0…(2) , el problema se transforma en un sistema lineal homogéneo BX=0 , el cual tiene solución para X=0 , cuando det (B )≠0 , es justamente lo que no nos interesa .El numero λ se dice que es el valor propio de la matriz cuadrada A si y solo si det (A−λI )=0 …(3) esta es la ecuación característica de la matriz A .El polinomio que surge de la ecuación (3) resulta un polinomio en ponencias de λ , la expresión a ( λ )=det (A− λI ) se le llama polinomio característico de la matriz A .El polinomio característico de una matriz de dimensión nxn es de grado n , por lo que se tiene n valores propios λ que satisfacen la ecuación (3) .

Page 181: Matematica Basica II

VALOR PROPIOSea T :V →V un operador lineal sobre un espacio vectorial V sobre un cuerpo K . Un escalar λ ϵ K se llama valor propio de T si existe un vector diferente de cero, vϵ V talqueT ( v )=λv .

Todo vector que satisface esta relación se llama “vector propio” de T perteneciente al valor propio λ .Observación: Las transformaciones lineales del espacio como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento o cualquier combinación de las anteriores pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores .De forma geométrica los vectores se visualizan como flechas de cierta longitud apuntado en una dirección y sentido determinado. Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que no se ven afectados por la transformación.Ejemplo: Sea λ un valor propio de un operador T :V →V . Sea V λ el conjunto de todos los vectores propios de T pertenecientes al valor propio λ (llamado el espacio propio de λ ) Demostrar que V λ es un subespacio de V .DemostraciónSean v ,w∈V λ ; es decir T ( v )=λv ,T (w )=λw. Entonces para todo escalar a ,b∈K,T (av+bw )=aT ( v )+bT (w )=a ( λv )+b ( λw )=λ (av+bw) , luego av+bw es un vector propio perteneciente a λ es decir V λes un subespacio de V .TEOREMASea T :V →V un operador lineal sobre un espacio vectorial V , entonces λ ϵ K es un valor propio de T si y solo si λ Ι−T es singular, el espacio propio de λ es entonces el núcleo de λ Ι−T .

TEOREMAVectores propios diferentes de cero pertenecientes a valores propios diferentes son linealmente independientes.POLINOMIO CARACTERISTICOSea una matriz cuadrada A sobre un cuerpo K

Page 182: Matematica Basica II

A=(a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮an1 an2 … ann

)La matriz t Ι n−A se llama matriz característica, el determinante det (t Ι n−A )=0 se llama ecuación característica, el polinomio característico es de la forma:Δ (t )=( t−a11) (t−a22 )…( t−ann ) , n términosconmáximon−2 factores de la format−an

Ejemplo Sea la matriz A=(1 4

2 3)i) Hallar los valores propios de A y los correspondientes vectores propios 2i) Hallar una matriz inversible P tal que P−1 AP sea diagonalSolución:Ejemplo: El polinomio característico de la matriz A es:

A=( 1 3 0−2 2 14 0 −2)

Δ (t )= (t Ι−A )=|t−1 −3 02 t−2 −1−4 0 t+2|=t3−t2+2 t+4

Es un polinomio característico, polinomio Mónico de tercer grado.El polinomio característico de una matriz de dimensión nxn es de grado n, por lo cual tendrá n posibles valores propios.Si λ es un valor propio de A y si X es el vector no nulo tal que AX=λX⟹ X se dice vector propio de A correspondiente al valor propio de λ.OBSERVACION:λ también llamado autovalor, valor característico o “eigen valor”.Ejemplo Dada la matriz A=(3 1 −1

2 2 −12 2 0 ) determine el polinomio característico y los

valores propios de A

Page 183: Matematica Basica II

SoluciónP ( λ )=det|(3 1 −1

2 2 −12 2 0 )−λ (1 0 0

0 1 00 0 1)|=|3−λ 1 −1

2 2− λ −12 2 − λ|= (2−λ ) (2− λ ) (1−λ )=0

Entonces los valores propios son λ=2 , λ=2 , λ=1

POLINOMIO DE MATRICES Y OPERADORES LINEALESSea un polinomio f ( t )=an t

n+an−1tn−1+…+a1t+a0 , si A es una matriz cuadrada, entonces definimos:

f ( A )=an An+an−1 A

n−1+…+a1 A+a0 Ι

Se dice que A es una raíz o un cero del polinomio si f ( A )=0.

TEOREMASean f y gdos polinomios sobre un cuerpo k , y sea A una matriz cuadrada de orden n , sobre k , entonces:

i) ( f +g)(A)=f (A )+g (A )ii) ( f . g)( A )=f (A ) . g(A)iii) (kf )(A )=kf (A )

OBSERVACION1. Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que no se ven afectados por la transformación.2. El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.3. Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo que no es un vector propio.4. La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.Ejemplo: Hallar los vectores propios de la matriz A=(1 2

3 2)SOLUCION:

AX=λX

( A−λ Ι )X=0

(1−λ 23 2−λ)X=0

Page 184: Matematica Basica II

Hallando los valores propios:|1−λ 2

3 2−λ|=0

λ2−3 λ−4=0

λ1=−1 , λ2=4

Para λ1=−1 |2 23 3||x1

x2|=0

2 x1+2 x2=0

3 x1+3 x2=0

⟹ x1+x2=0⟺ x1=−x2

Vector propio: ( x1

−x2)=x ( 1

−1)⟶ vector propio( 1−1)

Para λ2=4

|−3 23 −2||x1

x2|=0

−3 x1+2x2=0

3 x1−2x2=0

3x1=2 x2

(x1

x2)=t (23)⟶vector propio(2

3)

TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTONToda matriz es un cero de su polinomio característico.Ejemplo: A=(1 2

3 2)P ( λ )=λ2−3 λ−4

P (A )=(1 23 2)

2

−3(1 23 2)−4 (1 0

0 1)=(7 69 10)−(3 2

9 6)−(4 00 4)=(0 0

0 0)TEOREMA

Page 185: Matematica Basica II

Si A es una matriz cuadrada de orden n y λ es un valor propio de A⟹ λ es una raíz del polinomio característico.MULTIPLICIDAD ALGEBRAICALa multiplicidad algebraica de un valor propio λ como cero del polinomio característico.Ejemplo: Si los valores propios de una matriz Ason 4 ,4 ,3 ,3 ,3 ,2 ,2 ,1 significan que la multiplicidad algebraica del valor propio4 es 2, la de 3 es 3, la de 2 es 2, la de 1 es 1.

(λ−4 )2(λ−3)3( λ−2)2(λ−1)=0

DIAGONALIZACIONSea T :V⟶Vun operador lineal sobre un espacio vectorial V con dimensión finita entonces T es un operador lineal que se puede representar por una matriz diagonal.

T=¿

Si y solo si existe una base {v1 , v2 ,…,vn }de V tal que:T (v1 )=k1 v1

T (v2 )=k2 v2

T (vn )=kn vn

Es decir los vectores {v1 , v2 ,…,vn }son vectores propios de T perteneciente a los valores propios k 1 , k2 ,…,kn .

OBSERVACION¿Qué es diagonalizar?Es determinar un sistema de referencia conveniente donde se tenga una simplicidad para los cálculos. Para estudiar una matriz, suele ser conveniente expresarla de la forma más sencilla posible. Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla lo más sencilla posible , diagonalizar una matriz Aes precisamente escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D ( si es posible) tal que A=PDP−1 , la matriz P se denomina matriz de paso .MATRIZ DIAGONALIZABLE

Page 186: Matematica Basica II

Una matriz n x nes diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que Aes semejantea D . Si D es una matriz diagonal entonces los valores propios son sus componentes en la diagonal .Si A es semejante a D entonces tienen los mismos valores propios , entonces si A es diagonalizable , A es semejante a una matriz diagonal.:FORMAS CUADRATICAS O CUADRICASSe llama forma cuadrática a un polinomio homogéneo de grado 2. Una forma cuadrática P tiene la siguiente expresión matricial:

P (X )=X t AX=∑i=1

n

∑j=1

n

a ij x j1 x i1

Donde X es una matriz columna de orden nx 1, A es una matriz cuadrada de orden nxnOBSERVACIONDadas las matrices A y X se presenta una forma cuadrática P ( λ )=X t AX

Ejemplo:P (X )=2x2+6 xy+ y2

P (X )= (x y )1x 2(2 33 1)( xy)2x 1

=(2 x+3 y 3 x+ y )1x 2(xy)2 x1

=2x2+6 xy+ y2

Ejemplo:P (X )=x2+ y2+2 xy+ z2−5xz+6 yz

P (X )= (x y z )( 1 1−92

1 1 2−92

2 1 )( xyz )Ejemplo:P (X )=3 x2− y2+t 2+w2−5 z2+xt+wz+ xy

Page 187: Matematica Basica II

P (X )= (x y t w z )(3

12

12

0 0

12

−1 0 0 0

12

0 1 0 0

0 0 0 112

0 0 012

−5)( xytwz )

DIAGONALIZACION DE FORMAS CUADRÁTICASUna forma cuadrática P se dice que se encuentra en su forma diagonal si en ella no aparece ningún término mixto:x i1 x j1 con i≠ j

P=a11 x12+a22 x2

2+…+ann xnn2=X t AX

Donde A es la matriz diagonal:A=(a11 0 … 0

0 a22 … 0⋮ ¿⋱ ¿0 ¿

…¿ann¿)DEFINICION.- Se dice que una forma cuadrática q ( X )=X t AX es diagonalizable si existe una matriz no singular B, tal que al hacer la transformación X=BY ,resulta:

q (Y )=(BY )t A (BY )=Y t Bt ABY=Y t DY ,donde D esunamatriz diagonal tal que

q (Y )=d11 y12+d22 y2

2+…+dnn ynn2

Es una forma diagonal en las nuevas variables y1 , y2 , y3 ,…, yn. Se dice que B diagonaliza a la matriz A, esta matriz B siempre existe, para ello A es una matriz simétrica, B es una matriz no singular.En muchos casos los elementos de la matriz diagonal en la diagonal principal son los valores propios de A.Ejemplo: Diagonalizar la forma cuadrática, considere q ( X )=x2+4 xy+5 y2

→A=(1 22 5) , considere B=(1 −2

0 1 )

Page 188: Matematica Basica II

Solución:q ( X )=( x y )(1 2

2 5)( xy )A=(1 2

2 5)Sea X=BY

( xy )=(1 −20 1 )( y1

y2)

q ( y )=(BY )t A (BY )=( y1 y2 )( 1 0−2 1)(1 2

2 5)(1 −20 1 )( y1

y2)

¿ ( y1 y2 ) (1 20 1)(1 −2

0 1 )( y1

y2)

q ( y )=( y1 y2 )1 x2(1 00 1)2x 2( y1

y2)=( y1 y2)1x 2( y1

y2)2x 1

= y12+ y2

2

OBS:A=(1 2

2 5)det (A−λ Ι )=det(1−λ 2

2 5− λ)=0⟺ λ2−6 λ+1=0

NOTA.- En el ejemplo la forma cuadrática diagonalizable es: q ( y )= y12+ y2

2

Hemos hablado de la transformación X=BY , la cual se interpreta como una rotación de coordenadas.DIAGONALIZACION ORTOGONAL DE FORMAS CUADRÁTRICASDada una forma cuadrática P (X )=X t AX, es posible hallar una matriz P ortogonal (P−1=P t ) que diagonalice ortogonalmente a la matriz A, para ello se debe tener en cuenta que:

1. Hallar los valores propios y vectores propios de la matriz A linealmente independientes.2. Los vectoresv1 , v2 ,…,vn forman una base ortonormal para lo cual se utiliza el proceso de GRAM-SCHMIDT, es decir, hacer:a. v1=

u1

‖u1‖b. vk+1=uk+1−[ ⟨uk+1 , v1 ⟩v1+ ⟨uk +1 , v2 ⟩v2+…+ ⟨uk+1 , vk ⟩ vk ]

Page 189: Matematica Basica II

Calculamos los vectores vk+1' que son ortogonales entre si, y son ortogonales a los vectores {v1 , v2 ,…,vk } , formamos la matriz P de modo que cada uno de los vectores v1 , v2 ,…,vn son vectores columna de la matriz P.

3. Se tiene la forma diagonalizable:P (X )=X t AX⇒P (Y )=Y t (Pt AP )Y=Y tDYDonde D es una matriz diagonal formada por valores propios de A.

Ejemplo: Diagonalizar ortogonalmente la forma cuadráticaP=3w2+3 x2+9 y2+6 z2+2wx−4 yz

Solución:A=(

3 1 0 01 3 0 00 0 9 −20 0 −2 6

)|A−λ Ι|=|3−λ 1 0 0

1 3−λ 0 00 0 9−λ −20 0 −2 6−λ

|=0

¿ (3−λ )|3−λ 0 00 9−λ −20 −2 6−λ|−|

1 0 00 9−λ −20 −2 6−λ|

¿ (3−λ ) (3− λ ) ( λ−5 ) ( λ−10 )−( λ−5 ) ( λ−10 )=0

¿ ( λ−5 ) ( λ−10 ) ( λ−4 ) ( λ−2 )=0

Los valores propios son:λ1=2 , λ2=4 , λ3=5 , λ4=10

Para λ1=2:

|1 1 0 01 1 0 00 0 7 −20 0 −2 4

|⟶|1 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

|x1+ x2=0

x3=0 (x1 x2 x3 x4 )=t (1 −1 0 0 )

x4=0

Page 190: Matematica Basica II

Para λ2=4 :

|−1 1 0 01 −1 0 00 0 5 −20 0 −2 2

|⟶|1 −1 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1

|(x1 x2 x3 x4 )=s (1 1 0 0 )

Para λ3=5 : (0 0 1 2 )

Para λ4=10 : (0 0 −2 1 )

v1=u1

‖u1‖=(1 ,−1 ,0 ,0 )=( 1

√2,− 1

√2,0 ,0)

v2'=u2− ⟨u1 , v1 ⟩ v1=(1 ,1 ,0 ,0 )−⟨ (1 ,1 ,0 ,0 ) ,( 1

√2,−

1

√2,0 ,0)⟩( 1

√2,−

1

√2,0 ,0)= (1,1 ,0 ,0 )

v2=v2

'

‖v2'‖=( 1

√2,

1√2

,0 ,0)

v3'=u3−[ ⟨u3 , v1 ⟩ v1+⟨u3 , v2 ⟩v2 ]=(0 ,0 ,1 ,2 )−[⟨(0 ,0 ,1 ,2 ) ,( 1

√2,− 1

√2,0 ,0)⟩( 1

√2,− 1

√2,0 ,0)+ ⟨(0 ,0 ,1 ,2 ) ,( 1

√2,

1√2

,0 ,0)⟩( 1√2

,1√2

,0 ,0)]=(0 ,0 ,1 ,2 )

v3=v3

'

‖v3'‖=(0 ,0 , 1

√5,

2√5 )

v4'=u4−[ ⟨u4 , v1 ⟩ v1+ ⟨u4 , v2 ⟩v2+ ⟨u4 , v3 ⟩v3 ]

v4'=(0 ,0 ,−2 ,1 )−[⟨ (0 ,0 ,−2 ,1 ) ,( 1

√2,−1√2

,0 ,0)⟩( 1√2

,−1√2

,0 ,0)+ ⟨ (0 ,0 ,−2 ,1 ) ,( 1√2

,1√2

,0 ,0)⟩( 1√2

,1√2

,0 ,0)+⟨ (0 ,0 ,−2 ,1 ) ,(0 ,0 , 1√5

,2√5 )⟩(0 ,0 , 1

√5,

2√5 )]=(0 ,0 ,−2 ,1 )

v4=v4

'

‖v4'‖=(0 ,0 ,−2

√5,

1√5 )

P=[1

√21

√20 0

−1√2

1√2

0 0

0 01√5

−2√5

0 02√5

1√5

]Luego:

Page 191: Matematica Basica II

D=P t AP=(1

√2−1

√20 0

1√2

1√2

0 0

0 01√5

2√5

0 0−2√5

1√5

)(3 1 0 01 3 0 00 0 9 −20 0 −2 6

)(1

√21

√20 0

−1√2

1√2

0 0

0 01√5

−2√5

0 02√5

1√5

)=(2 0 0 00 4 0 00 0 5 00 0 0 10

)

P (X )=X t AX⟺ P (Y )=Y tDY=( y1 y2 y3 y4 )(2 0 0 00 4 0 00 0 5 00 0 0 10

)(y1

y2

y3

y4

)=2 y12+4 y2

2+5 y32+10 y4

2

Forma diagonalizadaNOTAS COMPLEMENTARIASSuperficies

Definición.

Dada la ecuación φ ( x , y , z )=0 en las variables x , y , z; la gráfica de esta ecuación

en el espacio tridimensional (R3) es el conjunto de todos los puntos P(x , y , z)

cuyas coordenadas satisfacen la ecuación; a dicha grafica se denomina superficie.

Ejemplo.

El plano, la esfera, etc.

Nota.

Existen ecuaciones tales como

a) x2+( y−2)2+z2+8=0, ∄ (a ,b , c )∈R3

b) (x+2)2+9( y+1)2+5 (z−1)2=0, ∃! punto.

Que no representan a una superficie (a estos casos se denomina degenerado).

Esfera.

Definición.

Una esfera es el conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto

fijo llamado centro. La distancia de cualquier punto al centro es llamado radio.

Page 192: Matematica Basica II

Sea P ( x , y , z ) cualquier punto de la esfera c (x0 , y0 , z0) y radio r>0, luego la

distancia

d (P ,c )=r; r>0↔d2 (P ,c )=r2; c (x0 , y0 , z0)

(x−x0)2+( y− y0)

2+(z−z0)2=r2…(¿)

Si el centro es el origen, entonces la esfera es x2+ y2+z2=r2.

La ecuación (¿) es de la forma

x2+ y2+z2+Dx+Ey+Fz+G=0

Discusión y gráfica de la ecuación de una superficie.

De manera similar a la discusión que se efectúa antes de trazar la gráfica de una

curva plana, en el caso de las superficies es también ventajoso discutir previamente

su ecuación antes de construirla. Para discutir la ecuación E ( x , y , z )=0 de una

superficie se siguen los siguientes pasos:

I) INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS.

Son las intersecciones de la superficie con cada uno de los ejes coordenados.

i) Con el eje X . Se reemplaza y=z=0 en la ecuación de la superficie y

se analiza la ecuación resultante.

ii) Con el eje Y . Se reemplaza x=z=0 en la ecuación de la superficie y se

analiza la ecuación resultante.

Page 193: Matematica Basica II

iii) Con el eje Z. Se reemplaza x= y=0 en la ecuación de la superficie y se

analiza la ecuación resultante.

II) TRAZAS SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS.

La traza de una superficie sobre un plano coordenado es la intersección de la

superficie y el plano coordenado.

i) Con el plano XY . Se reemplaza z=0 en la ecuación de la superficie.

ii) Con el plano YZ . Se reemplaza x=0 en la ecuación de la superficie.

iii) Con el plano XZ . Se reemplaza y=0 en la ecuación de la superficie.

III) SECCIONES TRANSVERSALES O SECCIONES PARALELAS A

LOSPLANOS COORDENADOS.

Son las intersecciones de la superficie con planos paralelos a los planos

coordenados.

i) Al plano XY . Se reemplaza z=k en la ecuación de la superficie.

ii) Al plano XZ . Se reemplaza y=k en la ecuación de la superficie.

iii) Al plano YZ . Se reemplaza x=k en la ecuación de la superficie.

IV) EXTENSION DE LA SUPERFICIE:

Se entiende por extensión de la superficie a los valores reales que toman las

variables x , y , z en la ecuación.

El paso anterior facilita la determinación de la extensión; por ejemplo, si al

estudiar las secciones paralelas al plano XY se determina que hay intersección

con los planos z=k cuando k∈ [−3 ;3 ]. Esto indica que en la superficie z

varia entre −3y 3, es decir z∈ [−3 ;3 ].

V) SIMETRIAS CON RESPECTO A LOS PLANOS COORDENADOS,

ALOS EJES COORDENADOS Y AL ORIGEN:

Previamente, se dice que dos puntos P y Q son simétricosconrespectoaun

plano si el plano es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.

Page 194: Matematica Basica II

Por otro lado, se dice que una superficie es simétrica con respecto al plano Π ,

si el simétrico de cada punto de la superficie, respecto al plano Π , es también

un punto de la superficie.

Si P ( x , y , z ) es un punto del espacio, entonces:

a) El simétrico de P con respecto al plano XY es Q ( x , y ,−z ).

b) El simétrico de P con respecto al plano XZ es Q ( x ,− y , z ).

c) El simétrico de P con respecto al plano YZ es Q (−x , y , z ).

Considerando que el lector está familiarizado a las simetrías con respecto a una recta y

a un punto se sigue:

d) El simétrico de P con respecto al eje X es Q ( x ,− y ,−z ).

e) El simétrico de P con respecto al eje Y es Q (−x , y ,−z ).

f) El simétrico de P con respecto al eje Z es Q (−x ,− y , z ).

g) El simétrico de P con respecto al origen es Q (−x ,− y ,−z ).

Se dice que una superficie es simétrica con respecto a una recta L si el simétrico da

cada punto, respecto a la recta L, es también un punto de la superficie.

Se dice que una superficie es simétrica con respecto a una recta C si el simétrico de

cada punto, respecto a la recta C, es también un punto de la superficie.

De las consideraciones anteriores, se deduce fácilmente la siguiente tabla:

Si la ecuación de la superficie no se

altera cuando se reemplaza:

La superficie es simétrica con

respecto al:

x por – x

y por – y

z por – z

z por −z∧ y por – y

x por −x∧ z por – z

x por −x∧ y por – y

x por – x , y por – y∧ z por −z

plano YZ

plano XZ

plano XY

eje X

eje Y

eje Z

origen

Page 195: Matematica Basica II

VI) CONSTRUCCION DE LA SUPERFICIE (GRÁFICA)

Con la ayuda de los pasos anteriores se construye la gráfica de una superficie.

Ejemplo 1.

Discutir y graficar la ecuación 9 x2+4 y2−12 z=0.

Solución.

I. INTERSECCION CON LOS EJES.

i) Con el eje X .

Haciendo y=z=0 en la ecuación se obtiene 9 x2=0→x=0.

La superficie intercepta al eje X en el origen de coordenadas.

Al estudiar las otras intersecciones se comprueba que el origen es el único

punto de intersección.

II. TRAZAS SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS.

i) Sobre el plano X Y .

Haciendo z=0 se obtiene 9 x2+4 y2=0. Esta ecuación, en el plano XY ,

representa al origen de coordenadas.

ii) Sobre el plano XZ .

Haciendo y=0 se obtiene 9 x2−12 z=0. Esta ecuación, en el plano XZ ,

representa a una parábola.

iii) Sobre el plano YZ .

Haciendo x=0 se obtiene la parábola 4 y2−12 z=0.

III. SECCIONES TRANSVERSALES A LOS PLANOS COORDENADOS.

i) Al plano XY .

Haciendo z=k en la ecuación de la superficie se obtiene 9 x2+4 y2=12k

.

Se observa que hay intersección solamente cuando k ≥0 (si k=0 es un

punto, si k>0 es una elipse)

ii) Al plano XZ .

Page 196: Matematica Basica II

Haciendo y=k en la ecuación de la superficie se obtiene

9 x2−12 z+4k 2=0.

Esta ecuación representa a una parábola ∀ x∈R.

iii) Al plano YZ .

Haciendo x=k en la ecuación se tiene 4 y2−12 z+9k2=0.

Esta ecuación representa a una parábola ∀ x∈R.

IV. EXTENSION.

De III (iii) se obtiene x∈ R.

De III (ii) se obtiene y∈R.

De III (i) se obtiene z∈ [0 ;+∞ ⟩.

V. SIMETRIAS.

La superficie es simétrica con respecto al plano YZ , al plano XZ y al eje Z.

VI. GRÁFICA.

La gráfica de esta

ecuación se denomina

paraboloide elíptico.

Ejemplo 2.

Discutir y graficar la superficie cuya ecuación es y2−4 y+2 z=0.

Solución

I. INTERSECCION CON LOS EJES.

i) Con el eje X .

Haciendo y=z=0 en la ecuación se obtiene 0=0, esto significa que todo

punto del eje satisface la ecuación de la superficie, es decir, la intersección

de la superficie con el eje X es el eje X .

Page 197: Matematica Basica II

ii) Con el eje Y .

Haciendo x=z=0→ y2−4 y=0→ y=0∨ y=4.

Las intersecciones son los puntos P1(0,0,0) y P2(0,4,0).

iii) Con el eje Z.

Haciendo x= y=0→2 z=0.

La intersección es el origen de coordenadas.

II. TRAZAS SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS.

i) Sobre el plano XY .

Las trazas son las rectas: y=0 (eje X ) ∧ y=4 (paralelo al eje X )

ii) Sobre el plano XZ .

La traza es la recta: z=0 (eje X ).

iii) Sobre el plano YZ .

La traza es la parábola y2−4 y+2 z=0.

III. SECCIONES TRANSVERSALES A LOS PLANOS COORDENADOS.

i) Al plano XY .

Haciendo z=k→ y2−4 y+2 z=0→y=2±√4−2k .

Existe intersección k ≤2 (Para k=2 es una recta, para k<2 son dos rectas

paralelas)

ii) Al plano XZ .

Haciendo y=k en la ecuación de la superficie se obtiene 2 z=4 k−k2, es

una recta ∀ k∈R.

iii) Al plano YZ .

Haciendo x=k en la ecuación se tiene y2−4 y+2 z=0, es una parábola

∀ k∈R.

IV. EXTENSION

x∈ R (De III – iii)

Page 198: Matematica Basica II

y∈R (De III – ii)

z∈ ⟨−∞ ; 2 ] (De III – i)

V. SIMETRIAS

Existe simetría con respecto al plano YZ .

VI. GRÁFICA

La gráfica de esta ecuación se denomina cilindro parabólico.

Superficies cuadráticas

Una superficiecuádrica o simplemente cuádrica o cuadrática es la gráfica de una ecuación

de segundo grado en las variables x , y , z.

Algunas superficies cilíndricas o superficies de revolución son ejemplo de cuádricas. En

esta sección se dará algunas formas estándar de las superficies cuádricas cuyas ecuaciones

están en su forma más simple.

Considerando que el alumno está en condiciones de discutir la ecuación de una superficie,

nos limitaremos a describir algunas propiedades de estas superficies.

Elipsoide.

Su ecuación es de la forma:

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2=1

Dondea, b y c son números positivos.

x∈ [−a ;a ]

y∈ [−b;b ]

z∈ [−c ; c ]

Page 199: Matematica Basica II

Si a2=b2=c2, es una esfera.

Si a2=b2 (o b2=c2, o a2=c2) es un elipsoidederevolución o esferoide.

Un esferoide cuyo tercer número es mayor que los dos números iguales, se llama

esferoidealargado (la elipse que la genera gira alrededor de su eje mayor). Si el

tercer número es menor que los dos números iguales, se llama esferoideachatado (la

elipse que la genera gira alrededor de su eje menor).

Las secciones transversales a los planos coordenados son elipses o circunferencias.

(en los planos x=±a, y=±b, z=±c, se reduce a un punto).

Esta superficie es simétrica con respecto a uno de los planos coordenados, simétrica

con respecto a cada uno de los ejes coordenados y simétrica con respecto al origen.

La gráfica se muestra arriba.

El origen es el centro del elipsoide. Si el centro del elipsoide es el punto

C (x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma

(x−x0 )2

a2 +( y− y0 )

2

b2 +( z−z0 )

2

c2 =1

Hiperboloide elíptico (o circular) de una hoja.

Su ecuación es de la forma:

Page 200: Matematica Basica II

x2

a2 +y2

b2−z2

c2=1(o x2

a2−y2

b2 +z2

c2=1 , o− x2

a2+y2

b2 +z2

c2=1)En la figura de abajo se muestra la gráfica de

x2

a2 +y2

b2−z2

c2=1

A continuación se describe algunas propiedades de esta superficie.

x∈ ⟨−∞ ;−a ]∪ [a ;+∞ ⟩

y∈ ⟨−∞ ;−b ]∪ [b ;+∞ ⟩

z∈ ⟨−∞;+∞ ⟩

Si a2=b2, es una superficie de revolución (hiperboloidecirculardeunahoja)

Si a2≠b2, es el hiperboloideelípticodeunahoja.

Las secciones transversales al plano XY son elipses o circunferencias según si

a2≠b2oa2=b2

Las secciones transversales al plano XZ o el plano YZ son hipérbolas. (En los planos

y=b, x=a son dos rectas que se cortan).

Esta superficie es simétrica con respecto: a los ejes coordenados, a los planos

coordenados y al origen.

Page 201: Matematica Basica II

El centro de esta superficie es el origen de coordenadas. Si su centro es C (x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma:

(x−x0 )2

a2 +( y− y0 )

2

b2 −( z−z0 )

2

c2 =1

Hiperboloide elíptico (o circular) de dos hojas.

Su ecuación es de la forma:

−x2

a2 + y2

b2−z2

c2=1(ó x2

a2−y2

b2−z2

c2=1 , ó− x2

a2−y2

b2 +z2

c2=1)Dondea, b y c son números positivos.

En la figura de abajo se muestra la gráfica de

−x2

a2 + y2

b2−z2

c2=1

En lo que sigue, se describe algunas propiedades de esta superficie.

x∈ ⟨−∞;+∞ ⟩

y∈ ⟨−∞ ;−b ]∪ [b ;+∞ ⟩

z∈ ⟨−∞;+∞ ⟩

Si a2=c2, es una superficie de revolución (hiperboloidecirculardedoshojas).

Si a2≠c2, es el hiperboloideelípticodedoshojas.

Las secciones transversales al plano XZ son circunferencias o elipses según si

a2=c2 o a2≠c2. (En el plano y=b, es un punto).

Page 202: Matematica Basica II

Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos

coordenados y al origen.

El centro de esta superficie es el origen de coordenadas. Si su centro es C (x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma:

−(x−x0 )2

a2 +( y− y0 )

2

b2 −( z−z0)

2

c2 =1

Observación

Las tres superficies cuádricas (elipsoide, hiperboloide de una hoja e hiperboloide de

dos hojas) también se denominan cuádricascentrales. En general cualquier ecuación

de la forma:

±(x−x0)

2

a2 ±( y− y0 )

2

b2 ±( z−z0 )

2

c2 =1

Dondea, b y c son positivos, representa a una cuádrica central con centro en

C (x0 , y0 , z0 ).

Si los tres signos son positivos: elipsoide.

Si dos signos son positivos y uno es negativo: hiperboloide de una hoja.

Si dos signos son negativos y uno es positivo: hiperboloide de dos hojas.

Si los tres signos son negativos: es el conjunto vacío.

Paraboloide elíptico (o circular)

Su ecuación es de la forma

x2

a2 +y2

b2=cz(o x2

a2 +z2

b2=cy ,oy2

a2 +z2

b2=cx )Dondea, b y c son números positivos y c ≠0.

En la figura de abajo se muestra la gráfica de

x2

a2 +y2

b2=cz

Page 203: Matematica Basica II

Conc>0, (si c<0 el paraboloide se extiende hacia la parte negativa del eje Z). Las

propiedades de esta superficie son:

x∈ ⟨−∞;+∞ ⟩

y∈ ⟨−∞;+∞ ⟩

z∈ ⟨−∞ ; 0 ]

(sic<0, z∈ ⟨−∞ ; 0 ])

Si a2=b2, es una superficie de revolución (paraboloidecircular).

Si a2≠b2, es el paraboloideelíptico.

Las secciones transversales al plano XY son circunferencias o elipses según si

a2=b2 o a2≠b2. (En el plano z=0, la traza es un punto).

Esta superficie es simétrica con respecto al eje Z, al plano XZ y al plano YZ .

El vértice de esta superficie es el origen de coordenadas. Si el vértice es

V (x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma:

(x−x0 )2

a2 +( y− y0 )

2

b2 =c (z−z0)

En los otros casos, la ecuación es de la forma:

(x−x0 )2

a2 +( z−z0 )

2

b2 =c ( y− y0 )o( y− y0 )

2

a2 +( z−z0 )

2

b2 =c (x−x0)

Paraboloide hiperbólico.

Su ecuación es de la forma

Page 204: Matematica Basica II

y2

b2−x2

a2=cz (o z2

b2−x2

a2=cy ,oz2

b2−y2

a2 =cx )Dondea, b y c son números positivos y c ≠0.

En la figura de abajo se muestra la gráfica de

y2

b2−x2

a2=cz

Con c>0.

Las propiedades de esta superficie son:

x∈ ⟨−∞;+∞ ⟩

y∈ ⟨−∞;+∞ ⟩

z∈ ⟨−∞;+∞ ⟩

Las secciones transversales al plano XY son hipérbolas (En el plano z=0 son dos

rectas que se cortan). Las secciones transversales al plano XZ y al plano YZ son

parábolas.

Esta superficie es simétrica con respecto al eje Z, al plano XZ y al plano YZ .

El origen de coordenadas es el punto de silla (de montar) de esta superficie. Si el

punto de silla es S (x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma:

( y− y0 )2

b2 −(x−x0 )

2

a2 +¿c (z−z0)

En los otros casos, la ecuación es de la forma:

( z−z0 )2

b2 −(x−x0 )

2

a2 =c ( y− y0 )o( z−z0 )

2

b2 −( y− y0 )

2

a2 =c (x−x0)

Page 205: Matematica Basica II

Cono elíptico (o circular)

Su ecuación es de la forma:

x2

a2 +y2

b2=z2

c2 (o x2

a2+z2

b2=y2

c2 =, ox2

a2 +y2

b2=z2

c2 )Dondea, b y c son números positivos.

En la figura de abajo se muestra la gráfica de la superficie

x2

a2 +y2

b2=z2

c2

Esta superficie tiene las siguientes propiedades:

x∈ R

y∈R

z∈ R

Si a2=b2, es una superficie de revolución (cono circular).

Si a2≠b2 es el cono elíptico.

Las secciones transversales al plano XY son circunferencias o elipses según si

a2=b2, o a2≠b2. (En el plano z=0 la traza es el origen de coordenadas).

Las secciones transversales al plano XZ y al plano YZ son hipérbolas (En los planos

y=0 y x=0 son dos rectas que se cortan).

Esta superficie es simétrica con respecto: a los ejes coordenados, a los planos

coordenados y al origen.

Page 206: Matematica Basica II

El origen de coordenadas es el vértice de esta superficie. Si el vértice es

V (x0 , y0 , z0 ), la ecuación es de la forma:

(x−x0 )2

a2 +( y− y0 )

2

b2 =( z−z0 )

2

c2

En los otros casos, la ecuación es de la forma:

(x−x0 )2

a2 +( z−z0 )

2

b2 =( y− y0 )

2

c2 o( z−z0 )

2

a2 +( y− y 0 )

2

b2 =(x−x0 )

2

c2

PROBLEMAS

1. Reconocer y graficar con respecto a los nuevos ejes 7x2 + 6y2 + 5z2 - 4xy + 6x - 6y +

12z - 192

=0, indique los valores y vectores propios.

Solución:

Se expresa la ecuación en su forma matricial ( x y z )( 7 −2 0

−2 6 00 0 5)(

xyz ) + 6 (1 −1 2 )( xyz ) - 19

2 =0

Hallamos los valores y vectores propios de:( 7 −2 0−2 6 00 0 5)

|7−λ −2 0−2 6−λ 00 0 5−λ| = (λ−5)(λ2−13 λ+38)=0

λ1=5 , λ2=13−√17

2 , λ3 = 13+√17

2

Para λ1=5:

( 2 −2 0−2 1 00 0 0)(

xyz )=(

000)

Page 207: Matematica Basica II

x=y=0 , z=t ⇒ v1=(001)Para λ2=

13−√172

:

(1+√17

2−2 0

−2−1+√17

20

0 0−3+√17

2)( xyz )=(000)

x=y=z=0 ⇒ v2=(000)Para λ3 = 13+√17

2 :

(1−√17

2−2 0

−2−1−√17

20

0 0−3−√17

2)( xyz )=(000)

x=y=z=0 ⇒ v3=(000)Entonces:

( xyz )=(0 0 00 0 01 0 0)(

x'

y '

z ')

Luego:(x ' y ' z ' )(

5 0 0

013−√17

20

0 013+√17

2)( x 'y 'z' ) + 6(1 −1 2 )( xyz ) - 19/2 = 0

Page 208: Matematica Basica II

(x ' y ' z ' )(5 0 0

013−√17

20

0 013+√17

2)( x 'y 'z' ) + 6(2 0 0 )( x

'

y '

z ') - 19/2 = 0

5x ' 2 + 13−√172

y ' 2 + 13+√172

z ' 2 + 12x’ - 9.5 = 0

5(x '+1.2 )2 + 13−√172

y ' 2 + 13+√172

z ' 2 - 16.7= 0

Reemplazando por traslación:x '+1.2=x’’

⇒5x ' ' 2 + 13−√172

y ' 2 + 13+√172

z ' 2 - 16.7= 0

Haciendo x constante:13−√17

2y ' 2 + 13+√17

2z ' 2 - 16.7 + c x= 0

Forma elipsoideal Haciendo y constante:

5x ' ' 2 + 13+√172

z ' 2 - 16.7 + c y= 0

Forma elipsoideal Haciendo z constante:

5x ' ' 2 + 13−√172

y ' 2+c z=0Forma elipsoideal

Entonces en conjunto formarían un esferoide o un elipsoide de revolución.

Page 209: Matematica Basica II

2. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales

X (t)' = ( 2 −1 0

−1 2 −10 −1 2 )X (t ) , X (0) = ( 9

1011)

Solución:

Sea A= ( 2 −1 0−1 2 −10 −1 2 )

Luego hallamos los valores y vectores propios de A:

|2−λ −1 0−1 2−λ −10 −1 2− λ| = 0 → ( λ−2 ) (λ2−4 λ+2 )=0

λ1=2, λ2=2-√2, λ3=2+√2

Para λ1=2:

( 0 −1 0−1 0 −10 −1 0 )( xyz )=(

000) y=0, -x-z=0 ⇒ v1=( 1

0−1)

Para λ2=2-√2:

(√2 −1 0−1 √2 −10 −1 √2

)( xyz )=(000) x=z, y=√2x ⇒ v2=( 1

√21 )

Para λ2=2+√2:

(−√2 −1 0−1 −√2 −10 −1 −√2

)( xyz )=(000) x=z, y=-√2x ⇒ v2=( 1

−√21 )

Luego P=( 1 1 10 √2 −√2−1 1 1 ) , P−1=

14 (2 0 −2

2 √2 21 −√2 1 )

Se sabe:

Page 210: Matematica Basica II

e At= P. eJt . P−1 , eJt=(e2 t 0 00 e (2−√2) t 00 0 e(2+√2)t)

→ e At=14 ( 1 1 1

0 √2 −√2−1 1 1 )(e

2 t 0 00 e( 2−√2 ) t 00 0 e(2+√2)t)(2 0 −2

2 √2 21 −√2 1 )

e At= 14 ( e2 t e (2−√2) t e(2+√2 )t

0 √2e( 2−√2 ) t −√2e(2+√2)t

−e2 t e (2−√2) t e(2+√2 )t )(2 0 −22 √2 21 −√2 1 )

e At= 14 ( 2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t √2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t −2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t

2√2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t 2e( 2−√2 )t+2e(2+√2)t 2√2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t

−2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t √2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t 2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t )

X t=14 ( 2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t √2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t −2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t

2√2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t 2e( 2−√2 )t+2e(2+√2)t 2√2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t

−2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t √2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t 2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t )( 91011)

3. Determine los valores propios de A10, sabiendo que

A =(3 4 −2 80 1 −1 00 0 −1 50 0 0 4

)Solución:

Como es una matriz triangular superior, solo la diagonal principal es afectada.

A10=(310 0 0 00 110 0 00 0 (−1 )10 0

0 0 0 410) = (310 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 410)

Hallando los valores propios:

Page 211: Matematica Basica II

|310− λ 0 0 0

0 1−λ 0 00 0 1−λ 00 0 0 410−λ

|=0

(310− λ) (1− λ) (1− λ) (410−λ)=0

λ1= 310,λ2= λ3= 1,λ4=410

Para λ1=310:

(0 0 0 00 1−310 0 00 0 1−310 00 0 0 410−310)(

xyzt)=(

0000)

↪y=z=t=0 ⇒ v1=(1000)

Para λ2= λ3= 1:

(310−1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 410−1

)( xyzt)=(

0000)

↪x=t=0 ⇒ v2=(0100) y v3=(

0010)

Para λ4=410:

(310−410 0 0 0

0 1−410 0 00 0 1−410 00 0 0 0

)↪x=y=z=0 ⇒ v4=(

0001)

Page 212: Matematica Basica II

3.-Sea T :M 2 x2→R3 una transformación lineal tal como:

T (|a bc d|)=(a+2b−c ,a+4b+d ,b+8c+d)

a) Calcule una base y la dimensión del núcleob) Calcule la imagen

c) Obtener la matriz de T respecto a las bases {[1 11 1] , [1 0

1 0] ,[0 00 1] ,[0 1

1 1]}enM 2 x2

d) Hallar la imagen de [−1 32 2]

Solución:Calculamos la base canonica:

T (|1 00 0|)=(1,1,0)

T (|0 10 0|)=(2,4,1)

T (|0 01 0|)=(−1,0,8)

T (|0 00 1|)=(0,1,1)

Entonces la matriz será:

A=[1 2 −11 4 00 1 8

011]

Desarrollando se llega a:

A=[1 0 00 1 00 0 1

000]

Con lo que se puede decir que:

Dim I=3

Page 213: Matematica Basica II

Dim k=1

Además la imagen generada seria:

T={(110) ,(241) ,(−108 )}

Ahora hallaremos la Matriz T:

T (|1 11 1|)=(2,6,10)

T (|1 10 0|)=(0,1,8)

T (|0 00 1|)=(0,1,1)

T (|0 11 1|)=(1,5,10)

Por tanto la Matriz T será:

T=( 2 0 06 1 1

10 8 1

1510)

La imagen de [−1 32 2]:

[−1 32 2]=−1(1 0

0 0)+3(0 10 0)+2(0 0

1 0)+2(0 00 1)

De aquí:

T [−1 32 2]=(−1 6 −2

−1 12 00 3 16

022)

¿(1 0 00 1 00 0 1

000)

Page 214: Matematica Basica II

La imagen generada seria:

T={(−1−10 ) ,( 6

123 ) ,(−2

016 )}

5.a) Sea la matriz Aθ=|0 cosθ −senθ0 senθ cosθ1 0 0 |

Si Aθ :R3→R3describa Aθ en términos geométricos , grafique

b) Una matriz A tiene valores propios 6 y12.Además correspondiente a 6 que es de multiplicidad 2, se tiene los vectores propios (1,0,-1) y (1,1,1) y para 12 se tiene el vector propio (1,-2,1) si se sabe que A es simétrica, determine la matriz A.

Solución:

a)

|0 cosθ −senθ0 senθ cosθ1 0 0 |=cosθ2+senθ2=1

Sabes que la ecuación de la gráfica es:

cosθ2+senθ2=x2+ y2=1

Por tanto la gráfica es:

Page 215: Matematica Basica II

b)

Sabemos que:

A=P.B.P-1

Entonces los datos nos dan los vectores propios con lo cual:

P=( 1 1 10 1 −2−1 1 1 )

De este hallamos su inversa la cual es:

P−1=16∗(3 6 −3

2 2 21 −2 1 )

Además sabemos su diagonalización gracias a los valores propios dados también:

B=(6 0 00 6 00 0 12)

Por tanto reemplazando en A=P.B.P-1 nos debe salir:

A=( 1 1 1

0 1 −2−1 1 1 )∗(6 0 0

0 6 00 0 12)∗1

6∗(3 0 −3

2 2 21 −2 1 )

A=( 7 −2 1−2 10 −21 −2 7 )

Page 216: Matematica Basica II

SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDENSea el sistema

d x1

dt=g1(t , x1 , x2 ,…,xn)

d x2

dt=g2(t , x1 , x2 ,…,xn)

⋮d xndt

=gn(t , x1 , x2 ,…, xn)

Se trata de un sistema de n ecuaciones de 1er orden, se le conoce como sistema de primer orden.

Page 217: Matematica Basica II

d x1

dt=a11 (t ) x1+a12 ( t ) x2+…+a1n ( t ) xn+ f 1 ( t )

d x2

dt=a21 ( t ) x1+a22 ( t ) x2+…+a2n ( t ) xn+ f 2 (t )

d xndt

=an1 ( t ) x1+an2 ( t ) x2+…+ann ( t ) xn+ f n ( t )

Se denomina sistema lineal, los coeficientes a ij , f i se supone son continuos en un intervalo común I.Cuando f i (t )=0 ; i=1,2,3 ,…,n se dice que el sistema lineal es homogéneo.Matricialmente se tieneX '=AX+F

ddt (

x1

x2

⋮xn)=(

a11 ( t )a12 ( t )…a1n (t )a21 ( t )a22 ( t )…a2n (t )

⋮an1 (t )an2 ( t )…ann (t ))(

x1

x2

⋮xn)+(

f 1 (t )f 2 (t )⋮

f n (t ))

Es homogéneo si X '=AXEJEMPLOdxdt

=6 x+ y+ z+t

dydt

=8 x+7 y−z+10 t ⇒ X '=(6 1 18 7 −12 9 −1)(

xyz )+(

t10 t6 t )

dzdt

=2x+9 y−z+6 t

Un vector solución en un intervalo I es cualquier matriz columna de la forma que satisface al sistema.X=(

x1 (t )x2 (t )⋮

xn (t ))Cuyos elementos son funciones diferenciales que satisfacen el sistema.Un vector solución equivale a n ecuaciones escalares:

Page 218: Matematica Basica II

x1=ϕ1 ( t ) , x2=ϕ2 (t ) ,…,xn=ϕn ( t )

Y tienen la interpretación de un conjunto de ecuaciones paramétricas en el espacio.METODO MATRICIAL PARA SISTEMAS DE PRIMER ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTESSea el sistema homogéneo dx1

dt=a11 x1+a12 x2+…+a1n xn

dx2

dt=a21 x1+a22 x2+…+a2n xn …

dxndt

=an1 x1+an2 x2+…+ann xn

Donde los coeficientes a ij son constantesEl vector solución está dado por {x1=eλt x0

1 , x2=e λt x02 ,…, xn=eλt x0

n }Para λ y x0 constantes λ e λt x0

i=∑j=1

n

a ijeλt x0

j; i=1,2 ,…,nDividiendo por e λt se obtiene(a11− λ ) x0

1+a12 x0

2+…+a1n x0n=0

a21 x0

1+(a22−λ )x02+…+a2n x

0n=0…

an1 x0

1+an2 x0

2+…+(ann−λ)x0n=0

El sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas x0

1 , x0

2 ,… ,x0n es homogéneo .Por consiguiente tiene una solución no nula si y solo si se anula el determinante, es decir

Page 219: Matematica Basica II

|a11− λ a12 … a1n

a21 a22−λ … a2n

…an1

…an2

……

…ann− λ

|=0 , esdecir det ( A−λI )=0

El polinomio característico asociado con el sistema de primer orden determina las n raíces de la ecuación polinomica P ( λ )=0 , se llaman valores propios .Cada raíz determina un conjunto de números x01 , x

02 ,… ,x0

n y por lo tanto es una solución del sistema de ecuaciones diferenciales.Dos soluciones correspondientes a dos valores diferentes λ1 , λ2 son linealmente independientes, entonces para todas las n raíces distintas existirán n soluciones linealmente independientes (LI), entonces la solución del sistema homogéneo será la combinación lineal de estas n soluciones LI.PROBLEMA DE VALOR INICIALSea t 0 un punto en un intervalo I donde x que depende det 0

X (t 0 )=(x1 ( t0 )x2 ( t0 )⋮

xn (t0 )) , X=(

γ1

γ2

⋮γn)El problema consiste en resolver

X '=A (t ) X+F (t ) sujeto a X ( t0 )=X 0 , es un problema de valor inicial en el intervalo.PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

Page 220: Matematica Basica II

Sean x1 , x2 ,…, xn un conjunto de vectores solución de un sistema homogéneo en un intervalo I entonces la combinación lineal:x=c1 x1+c2 x2+…+ck xk

En las que los C i , i=1,2,3 ,…,kson constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo.TEOREMA.- Criterio para las soluciones linealmente independientes.Sean:

x1=(x11

x21

⋮xn1

) , x2=(x12

x22

⋮xn2

) ,…, xn=(x1n

x2n

⋮xnn

)n vectores, solución del sistema homogéneo en un intervalo I⟹ el conjunto de vectores solución es L.I. en I si y solo si el WRONSKIANO es diferente de cero

W (x1 , x2 ,…,xn )=[ x11

x21

⋮xn1

x12…x22…⋮

xn2…

x1n

x2n

⋮xnn

]≠0

Page 221: Matematica Basica II

SISTEMA LINEAL HOMOGENEO CON COEFICIENTES CONSTANTESSi una matriz A tiene n valores propios reales y distintos λ1 , λ2 ,…, λn siempre es posible determinar un conjunto de n vectores propios Linealmente independientes k 1 , k2 ,…,kn , donde:x1=k1 e

λ1 t , x2=k2 eλ2 t ,…, xn=k ne

λn t

El cual es un conjunto solución del sistema de ecuaciones diferenciales homogéneo.La solución general queda expresada por:x=k 1e

λ1 t+k 2eλ2 t+…+kn e

λn tEjemplo: ResolverX '=(2 3

2 1)X

Solución:Busquemos los valores y vectores propios de la matriz de los coeficientes:A=(2 3

2 1)

Page 222: Matematica Basica II

det (A−λ Ι )=|2−λ 32 1− λ|=0

λ2−3 λ−4=( λ+1 ) ( λ−4 )=0λ1=−1 y λ2=4Para λ1=−1

|3 32 2|→|1 1

0 0||x1

x2|=|00|

x1+ x2=0⟹x1=−x2

k 1=( 1−1)Para λ2=4

|−2 32 −3|→|−2 3

0 0||x1

x2|=|00|

−2 x1+3 x2=0

k 2=(32)x1=( 1

−1)e−1 t , x2=(32)e4 t

x=( 1−1)e−1 t+(32)e4 t

VALORES PROPIOS REPETIDOSCuando los valores propios de una matriz A de orden nxn no necesariamente son diferentes como por ejemplo en el sistema:X '=(3 −18

2 −9 )Xdet (A−λ Ι )=|3−λ −18

2 −9−λ|=( λ+3 )2=0

λ1=λ2=−3Es una raíz de multiplicidad algebraica 2, se obtiene el vector propio de modo que:k 1=(31)esun vector propio , x=(31)e−3 t es lasolucion del sistema

Observación:En general si m es un entero positivo y (λ−λ1 )m es un factor de la ecuación característica, mientras que (λ−λ1 )

m+1 no lo es, entonces se dice que λ1 es un valor propio de multiplicidad m.

Page 223: Matematica Basica II

Ejemplo: ResolverX '=( 1 −2 2

−2 1 −22 −2 1 )X

Solución:det (A−λ Ι )=|1−λ −2 2

−2 1− λ −22 −2 1−λ|=0

λ1=λ2=−1 y λ3=5Para λ1=λ2=−1

| 2 −2 2−2 2 −22 −2 2 |→|1 −1 1

0 0 00 0 0||x1

x2

x3|=|000|

x1−x2+x3=0

k 1=(110);k2=(011)x1=(110)e−t , x2=(011)e−t

Para λ3=5

|−4 −2 2−2 −4 −22 −2 −4|→|−1 0 1

0 1 10 0 0||x1

x2

x3|=|000|

−x1+ x3=0

x2+ x3=0

k 3=( 1−11 ); x3=( 1

−11 )e−5 t

x=(110)e−t+(011)e−t+( 1−11 )e−5 t

FORMA CANONICA DE JORDAN

Page 224: Matematica Basica II

Sea una matriz cuadrada de orden nxn dicha matriz tiene n valores propios L.I.λ1 , λ2 ,…, λnLa matriz diagonal D:

D=diag ( λ1 , λ2,…, λn )generanlos vectores propios v1 , v2 ,…,vn .

DEFINICION.- Sea λ∈R , se dice que la matriz es un bloque de Jordán si es de la forma:

B ( λ )=(λ00⋮00

1λ0⋮00

01λ⋮00

………⋱……

000⋮λ0

000⋮1λ)

B ( λ )es una matriz cuadrada de orden k con λ en la diagonal, cifras 1 como se indica y cifras 0 en el resto.Ejemplo: Sean las matrices de orden 1, 2, 3, 4 respectivamente (son formas canonícas de Jordán)

(−5 ) ,(10 10 10) ,(−2 1 0

0 −2 10 0 −2) ,(

3 1 0 00 3 1 00 0 3 10 0 0 3

)DEFINICION.- Una matriz de Jordán

B ( λ )=¿

Donde cada Bi ( λi ) es un bloque de JordanEjemplo: Matrices de orden 2 x2( λ 0

0 μ) λ y μ pueden ser iguales.Matrices de Jordán de orden 3 x 3:

(λ 0 00 μ 00 0 ϕ) ,(

λ 1 00 λ 00 0 μ) ,(

λ 0 00 μ 10 0 μ),(

λ 1 00 λ 10 0 λ)

TEOREMA: Sea A una matriz de orden nxm⟹∃una matriz C invertible de orden n tal que J=C−1 A C , donde J es una matriz de Jordan cuyos elementos en la diagonal son los valores propios de A, la matriz de Jordan J

Page 225: Matematica Basica II

es única salvo por el orden en el que aparecen los bloques. Esta matriz se llama forma canónica de Jordán.Ejemplo: Si A es semejante a la matriz de Jordán.

(2 1 0 0 0 00 2 1 0 0 00 0 3 1 0 00 0 0 3 1 00 0 0 0 3 00 0 0 0 0 5

)Tambien lo es la matriz

(2 1 0 0 0 00 2 1 0 0 00 0 3 1 0 00 0 0 3 1 00 0 0 0 3 00 0 0 0 0 5

)OBSERVACIONES

1. ¿Cómo saber si v es un vector propio de A?Calcule el vector u=Avv es vector propio si y solo si u es multiplo escalar de v , esto se puede hacer formando la matriz ampliada y reduciendo a una forma escalonada, v es el vector propio si el sistema es consistente.2. ¿Cómo saber si ∝ es una valor propio de A?Formar y reducir el sistema [A−∝ Ι ]=[0 ]∝ es un valor propio si y solo si el sistema tiene al menos una variable libre.3. ¿Cómo determinar la multiplicidad algebraica de un valor propio de A?

- Calcule el polinomio característico de AP (A )=det ( A−Ι t )

- Aplique división repetidamente para determinar cuantas veces divida r−α al polinomio característico.4. ¿Cómo determinar la multiplicidad geométrica de un valor propio de A?Formar y reducir el sistema [A−∝ Ι ]=[0 ] , el numero de variables libre es la dimensión o multiplicidad geométrica del valor propio. TEOREMA

Page 226: Matematica Basica II

1≤dimgeomde λ≤multiplicidad algebraica de λ

TEOREMASi los vectores x1 , x2 ,…, xk son vectores propios diferentes entonces {x1 , x2 ,…,xk } es L.I.Ejemplos

1. Diagonalizar la matriz A=( 2 −5−2 −1)

Solución:Calculamos los valores y vectores propios de la matriz A.|2−λ −5−2 −1−λ|=0⟹ λ1¿−3 , λ2=4

λ=−3

| 5 −5−2 2 |⟶| 1 −1

−1 1 |⟶|1 −10 0 ||xy|=|00|

x− y=0v1=(11)λ=4

|−2 −5−2 −5|⟶|−2 −5

0 0 |⟶|2 50 0||xy|=|00|

2 x+5 y=0v2=(−52 )

P=(1 −51 2 )Determinando P−1

|1 −1 1 00 0 0 1|⟶|1 0 2/7 5/7

0 1 −1/7 1/7|P−1=( 2/7 5/7

−1/7 1/7)

P−1 A P=( 2/7 5 /7−1/7 1/7 )( 2 −5

−2 −1)(1 −51 2 )=(−3 0

0 4)2. Diagonalizar para obtener la ecuación canónica de la siguiente cónica:

3 x2−10 xy+3 y2−14√2x+18√2 y+38=0

Solución: Expresar la ecuación en su forma matricial( x y )( 3 −5

−5 3 )( xy )+2 (−7√2 9√2 )( xy )+38=0…(¿)

Hallamos los valores y vectores propios de la matriz

Page 227: Matematica Basica II

( 3 −5−5 3 )

|3−λ −5−5 3− λ|= λ2−6 λ−16=( λ+2 ) ( λ−8 )=0

Ortonormalización: La matriz P=(1/√2 −1/√21/√2 1/√2 )

Planeando una rotación:( xy )=(1/√2 −1/√2

1/√2 1/√2 )(x'

y ')x= 1

√2x '− 1

√2y ' , y= 1

√2x '+ 1

√2y '

Reemplazando en (¿ )

¿ (x ' y ' )1x 2(−2 00 8)2x 2

( x'

y ')2x 1

+2 (−7√2 9√2 )1x 2(1

√2−1

√21√2

1√2

)2 x2

( x'

y ' )2x 1

¿−2 ( x '2

−2x '+1−1 )+8 ( y '2

−4 y '+4−4 )+38=0

¿−2 ( x'−1 )2+8 ( y '−2 )2+8=0

¿−(x '−1 )2+4 ( y '−2 )2+4=0

Si: x ' '=x '−1

y ' '= y '−2

¿−x ' '2

+4 y' '2

+4=0

H :x ' '

2

4− y ' '

2

=1

OBS: x ' ' y x '

y '

Page 228: Matematica Basica II

x

y ' '3. Hallar la ecuación canónica de la siguiente cuádrica o cuadrática:2 y2+4 xy−8 xz−4 yz+6 x−5=0

Solución: Expresión matricial( x y z )( 0 2 −4

2 2 −2−4 −2 0 )(xyz )+ (6 0 0 )(xyz )−5=0…(¿)

Hallamos los valores y vectores propios:|−λ 2 −4

2 2−λ −2−4 −2 − λ|=0⟹ ( λ+4 ) ( λ−6 ) λ=0

Para λ1=−4

| 4 2 −42 6 −2

−4 −2 4 |⟶|1 0 −10 1 00 0 0 ||xyz|=|

000|

x−z=0 v1=(101)y=0

Para λ2=0

| 0 2 −42 2 −2

−4 −2 0 |⟶|0 1 −21 0 10 0 0 |⟶|1 0 1

0 1 −20 0 0 ||xyz|=|

000|

x+z=0 v2=(−121 )

Page 229: Matematica Basica II

y−2 z=0

Para λ3=6

|−6 2 −42 −4 −2

−4 −2 −6|⟶|1 0 10 1 10 0 0||

xyz|=|

000|

( xyz )=(1/√2 −1/√6 −1/√30 2/√6 −1/√3

1/√2 1/√6 1/√3 )( x'

y '

z')

Luego:( x y z )(−4 0 0

0 0 00 0 6)(

x '

y'

z ')+(6 /√2 −6/√6 −6/√3 )1x 3( x

'

y '

z ')

3x 1

−5=0

−4 x '2

+6 z '2

+ 6

√2x '− 6

√6y '− 6

√3z '−5=0

−(4 x ' 2− 6√2

x'+( 32√2 )

2)+6(z ' 2− 1√3

z '+(1 /2√3 )2)

−√6 y '−5∗8

8+

98−

12∗4

4=0

−(2x '− 32√2 )

2

+6 (z '− 12√3 )

2

−√6 ( y '+ 358√6 )=0

Reemplazando por traslación:2 x'− 3

√2=x ' '

z '− 12√3

=z ' '

y '+ 35

8√6= y ' '

−x ' '2

+6 z ' '2

−√6 y' '=0

y ' ' y ' '

x ' ' x ' '

Page 230: Matematica Basica II

6 z '=√6 y ' '

z ' '

y ' '

Sea z ' '=k

−x ' '2

+6√2k−√6 y ' '=0

−x ' '2

−√6 y ' '=−6√2k

Paraboloide hiperbólicoMATRIZ EXPONENCIALEs una función definida sobre las matrices cuadradas, se parece a la función exponencial. Sea X una matriz cuadrada de orden n de números reales o complejos, la exponencial de x denotada por ex=∑

k=0

∞xk

k !,es decir

e A=limn→∞

∑k=0

nAk

k !=Ι+A+ A2

2 !+ A3

3 !+…

PROPIEDADESSean X e Y dos matrices cuadradas de orden n, a y b son reales o complejos, donde Ο es la matriz nula e Ι es identidad.

1. eΟ=Ι (identidad)2. exp (aX )exp (bX )=e(a+b) X (linealidad)3. exp (X )exp (−X )=Ι4. (e A )−1=e−A ( inversa )5. det eX=etrazX (relación traza ,determinante )6. exp X t=(exp X )t7. Si XY=YX⟹ex e y=ex+ y=e y ex ( preservaciónde laconmutación )8. SiY es invertible⟹e yx y'= y ex y−1

Page 231: Matematica Basica II

9. Acotaciónde lanorma :|e A|≤e‖A‖10. Exponencial deuna matriz nilpotente :

Definida laexponencial deunamatriz cuadrada:e A=Ι+A+ A2

2 !+ A3

3 !+…+ An

n !

Luego A tiene alguna potencia nula Ak=0 , A es nilpotente de orden k.Ejemplo: A=(0 0 0

1 0 00 1 0)

A2=(0 0 00 0 01 0 0) , A3=(0 0 0

0 0 00 0 0)

Las matrices de potencias superiores a 3 son nulas.Luego:

e(0 0 0

1 0 00 1 0)=(1 0 0

0 1 00 0 1)+(

0 0 01 0 00 1 0)+ 1

2 (0 0 00 0 01 0 0)+ 1

6 (0 0 00 0 00 0 0)+…

e(0 0 0

1 0 00 1 0)=( 1 0 0

1 1 01/2 1 1)

MATRICES DIAGONALES Y DIAGONALIZABLESSi una matriz A es diagonal

A=(a1 0 … 00 a2 … 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 … an

)Una matriz M diagonalizable entonces M=P−1DP donde D es la matriz diagonal y es una matriz no singular, P puede elegirse como una matriz unitaria, la exponencial de matrices diagonalizables se puede reducir a:

eM=P−1 e jP

EXPONENCIAL Y FORMA DE JORDAN:- Matrices que admiten formas de Jordán

Page 232: Matematica Basica II

Las matrices cuadradas reales o complejas pueden ser interpretadas como expresiones en una base dada de una aplicación lineal, mediante este hecho se puede expresar con mayor comodidad la exponencial de una matriz.Si A representa a la matriz de cierta aplicación lineal entonces la exponencial puede obtenerse a partir de la forma canónica de Jordán, es decir:

M=P−1 JP

eM=eP−1 JP=∑

k=0

∞ (P−1 JP )k

k !=∑

k=0

∞P−1 J kP

k !=P−1eJ P

e A , eJ

Entonces la expresión anterior representa la descomposición de Jordán de una matriz A , calcular e A, la exponencial de una matriz de Jordan se tiene:J=¿

⟹J n=¿

Si tenemos una matriz diagonal de bloque como la de Jordán, sus potencias resultan ser una matriz diagonal de bloque, donde cada bloque es la potencia del correspondiente bloque.Ejemplo:

1. Sea la matriz A=(1 0 01 3 01 1 1) , el polinomio característico de dicha

matriz es:P ( λ )=(1−λ )2 (3−λ )El polinomio mínimo coincide con m ( λ )=P ( λ )Los valores propios son1ma2 y3de ma1.Se puede establecer la forma de Jordán y una matriz de paso P.

J=(1 0 01 3 01 1 3) P=(0 0 0

2 0 01 1 1)

eM=eP−1 JP=P−1eJ P

eJ=(e 0 0e e 00 0 e3)

Page 233: Matematica Basica II

e A=P−1 eJ P=(−1/2 0 0−1 /12 −1/6 1 /3

1/4 1/2 0 )(e e 0e e 00 0 e3)(−2 0 0

1 0 20 3 1)=(

e2

0 −e

e4

e3 e3

3− e

2−3e

40

3e2

)2. Resolver:

x1' ( t )=3 x1 ( t )−x2 ( t )

x2' ( t )=−2 x1 ( t )+2 x2 ( t )

Con x1 (0 )=120 y x2 (0 )=150

Solución:(x1

' ( t )x2' ( t ))=( 3 −1

−2 2 )(x1 (t )x2 (t ))

Para ( 3 −1−2 2 )Buscando sus valores y vectores propios se obtiene: λ1=1 y λ2=4

v1=(12) y v2=( 1−1)Entonces:

C=(1 12 −1) yC−1=(−1 −1

−2 1 )(−13 )

J=D=(1 00 4)

eJt=(e t 00 e4 t)

Luego:e At=Ce JtC−1=−1

3 (1 12 −1)(e

t 00 e4 t)(−1 −1

−2 1 )e At=−1

3 (−e t−2e4 t −e t+e4 t

−2e t+2e4 t −2et−e4 t)x t=(x1 (t )

x2 (t ))=eAt

X0=−13 (−e t−2e4 t −e t+e4 t

−2e t+2e4 t −2et−e4 t)(120150)