Matematica Basica II

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MATEMATICA BASICA II(NOCIONES DE ALGEBRA LINEAL)

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESLas matrices aparecen por primera vez hacia el ao 1850 introducidas por J.J.Sylvester, el desarrollo de la teora se debe al matemtico W.R. Hamilton en 1853 ; en 1858 A.Cayley introduce la notacin matricial como una forma abreviado de escribir un sistema de m ecuaciones con n incgnitas.Las matrices constituyen actualmente una parte esencial de los lenguajes de programacin ya que la mayora de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas . MATRIZEs un arreglo rectangular de nmeros ordenandos en filas y columnas, que presenta la siguiente estructura:

Los aij son los elementos de la matriz; las m-n uplas horizontales son las filas, y las m-n uplas verticales son las columnas.El orden de la matriz est dado por el nmero de filas y columnas (matriz de orden mxn)A= [aij]mxn Dnde: i= 1, 2,3,, m j=1, 2,3,, nObservacin:Los elementos de una matriz no necesariamente son nmeros, tambin pueden ser funciones.La matriz no tiene valor numrico, no se le puede identificar con un nmero.Igualdad de matricesDos matrices Ay B son iguales si y solo si son idnticas, es decir si son del mismo orden y sus respectivos elementos son iguales.

CLASES DE MATRICESMatriz cuadradaSe presenta cuando el nmero de filas es igual al nmero de columnas, se denota: ,

Matriz nulaEs una matriz en la cual todos sus elementos son ceros.Ejemplo:0 =

Matriz diagonalEs una matriz cuadrada en la cual los elementos fuera de la diagonal principal son ceros. Ejemplo:

Matriz escalarEs una matriz diagonal en la cual los elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo:

Matriz identidadEs una matriz escalar donde los elementos de la diagonal principal es el 1. Ejemplo:

Notacin: Transpuesta de una matrizLa transpuesta de una matriz Amxn es la matriz construida a partir de A ubicando la i-sima fila de A en la i-sima columna de la matriz transpuesta.Notacin: AtSi A=At ==

Matriz simtricaSe presenta cuando A= AtLa matriz debe ser cuadrada, los elementos de la diagonal principal permanecen fijos al efectuar la transposicin.

Matriz anti simtricaSe presenta cuando A = - AtLa matriz debe ser cuadrada, los elementos de la diagonal principal son ceros.

Matriz NilpotenteEs aquella matriz tal que si existe algn p entonces Ap = 0 ( 0 matriz nula)Se dice que el grado de nilpotencia es p.Ejemplo Determine el grado de nilpotencia de la matriz

Matriz idempotenteSe dice que una matriz cuadrada A es idempotente si A2= A.Ejemplo Determine tal que la matriz es idempotente

Matriz involutivaSe dice que una matriz cuadrada A es involutiva si A2 = I

Traza de una matrizSea A una matriz cuadrada, la traza de A: tr(A) es la suma de elementos de la diagonal principal de la matriz A.tr(A) =traz(A) = ++ann

PropiedadesSean A y B dos matrices y c un escalar tal que con A y B se puedan hacer operaciones, entonces:1) tr(A+B) = tr(A) + tr(B)2) tr(AB) = tr(BA)3) tr(c A) = c tr(A)4) tr(At) = tr(A)5) (A+B)t = At + Bt 6) (c A)t = c At7) (AB)t = BtAt8) (At)t = A9) Si A es una matriz cuadrada entonces es simtrica y es anti simtrica10) Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la suma de una matriz simtrica y un matriz anti simtrica.

Matriz triangular superiorUna matriz cuadrada se llama triangular superior si y solo si =0 para ijEjemplo:

Matriz triangular inferiorUna matriz cuadrada A=es triangular inferior si y solo si =0 para i E = E*

PROPIEDADES Sean A y B matrices con elementos complejos y z un nmero complejo.1. (A + B)* = A* + B* transpuesta conjugada de una matriz2. (zA)* = traspuesta conjugada de un mltiplo escalar3. (AB)* = B*A* traspuesta conjugada de un producto4. (A*)* = A traspuesta conjugada de una traspuesta conjugada

Matriz OrtogonalEs aquella matriz cuadrada donde se cumple: A-1 = AtObs. Donde es la matriz inversaEjemplo: A = Es una matriz ortogonal? At =

A-1 = A no es ortogonal

Matriz normal:Una matriz A es normal si conmuta con su transpuesta. Las matrices simtricas, anti simtricas u ortogonales son necesariamente normales.A. At = At. AEjemplo: Hallar todas las matrices de orden 4x4 que sean conmutables con la matriz A: A = Solucin: AB = BA = = Luego: B = Ejemplo: Dadas las matrices A = [aij] = []12x12 yB = [bij] = [ i+j ]3x12Hallar los elementos de C69 y C96 de C = ABAt = [cij]

Ejemplo: Sea A = [aij] una matriz triangular superior de orden n tal que aij = 1, si i jDe A3 = [bij] hallar el elemento bij si:a) i = 3 ; j = nb) i = n ; j = 3c) i = 3 ; j = 3

DETERMINANTES

DEFINICINA toda matriz cuadrada A sobre un cuerpo K se le asocia un escalar bien determinado, mediante una funcin llamada funcin determinante, su dominio es el conjunto de las matrices cuadradas y su rango es K (generalmente R C).

Usualmente representamos la funcin determinante por det, entonces:

det = (A; y) / y = det (A), A =

Otra notacin para det (A) es |A|

Ejemplo:

Determinante de Orden 1

|a11| = a11

Determinante de Orden 2

Ejemplo :

Determinate de Orden 3

Una de las formas de obtener la expresin anterior es:1. Se escribe al lado del determinante, las dos primeras columnas del mismo.

---+++

2. Se multiplican los elementos de los tres diagonales, en el sentido de izquierda a derecha, y de arriba abajo, afectando a cada producto del signo ms.

3. Se multiplican los elementos de las otras tres diagonales, en el sentido de derecha a izquierda y de arriba abajo, afectando a cada producto del signo menos.

Ejemplo :

= (2) (-2) (-1) + (1) (3) (-2) + (1) (1) (3) (1)(-2)(-2) (2)(3)(3) (1)(1)(-1) = 4 6 + 3 4 18 + 1 = -20

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES1. El determinante de la matriz A y de su transpuesta At son iguales.

|A| = |At|

Ejemplo Nota.- Por esta propiedad, cualquier resultado acerca del determinante de una matriz A que est relacionado con las filas de A, tiene un teorema anlogo relacionado con las columnas de A.

2. Si todos los elementos de una lnea (fila columna), son nulos, el determinante vale cero.

Ejemplo :

3. Si se intercambian dos lneas (filas o columnas); el determinante cambia de signo.

Ejemplo :

Generalizando:Si un determinante |B| se obtiene de otro determinante |A|, trasladando una de sus lneas (filas columnas) K, lugares, se cumple:|B| = (-1)K |A|Nota : Trasladar K lugares implica K intercambio sucesivos.

4. Si un determinante tiene dos lneas (filas columnas) iguales, su valor es cero.

5. Si todos los elementos de una lnea (fila o columna) de un determinante se multiplican por un escalar K, el determinante queda multiplicado por K.

Ejemplo :

Nota : Si A es una matriz cuadrada de orden n.

|KA| = Kn |A| ; K escalar.

6. Si todos los elementos de una lnea (fila columna) de un determinante se suman con los elementos correspondientes de otra multiplicados por un escalar K, el valor del determinante no vara. Ejemplo:

7. Si todos los elementos de una lnea (fila columna) de un determinante son suma de dos (o ms ) trminos, el determinante es igual a la suma de dos (o ms) determinantes. Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

8. Si A y B son matrices cuadradas de orden n.|AB| = |A|.|B|

9. Si una matriz es triangular, diagonal o escalar, su determinante es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

*|K In| = Kn ; K escalar* |diag (a1, a2, ...., an)| = a1 a2 an

10. El determinante de la inversa de una matriz es igual a la inversa del determinante de la matriz.

|A-1| =

Menor de un ElementoSea A una matriz cuadrada de orden n; se llama menor de A de |A| y se representa por Mij, al determinante de la matriz cuadrada de orden (n-1) que resulta de suprimir en A todos los trminos de la fila i y todos los de la columna j, a este, determinante se le denomina frecuentemente menor del elemento aij.

Ejemplo : Si

Entonces :

M11 =;M21 =

M33 =;M23 =

Nota.- Como existe un menor por cada elemento del determinante, por lo tanto, un determinante de orden n tiene n menores.

Adjunto de un ElementoEl menor afectado de su signo, recibe el nombre de adjunto cofactor del elemento aij y se representa por ij.

ij = (-1)i+j Mij

Ejemplo:Sea

|A| =

*11 = (-1)1+1 M11 = (1)

*21 = (-1)2+1 M21 = (-1)

*33 = (-1)3+3 M33 = (1)

Desarrollo de un determinante por los elementos de una lneaUn determinante de orden n puede ser descompuesto como la suma de n determinantes de orden (n 1).

Teorema :El determinante de la matriz A = aijnxn , es igual a la suma de los productos obtenidos multiplicando los elementos de cualquier lnea (fila columna) por sus respectivos adjuntos cofactores:

*|A| = ai1 i1+ ai2 i2 + ai3 i3 + + aik ik =

*|A| = a1j 1j + a2j 2j + a3j 3j + + aik ik =

Las frmulas anteriores, llamados los desarrollos de laplace del determinante de A por la fila i sima y la columna j sima respectivamente, proporcionan un mtodo para simplificar el clculo de |A|. Esto es, adicionando un mltiplo de una fila (columna) a otra fila (columna), podemos reducir A a una matriz que contenga una fila columna con una componente 1 y los dems 0.Desarrollando por esta fila columna, se reduce el clculo de |A| al clculo de un determinante de un orden menor que el de |A|.

Ejemplo :

= 2(-1)1+1 = 2(11) + 0 + (2) = 24