funcoes matematica basica

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S Matemtica O seu portal matemtico http://www.somatematica.com.br FUNES

O conceito de funo um dos mais importantes em toda a matemtica. O conceito bsico de funo o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associao entre eles, que faa corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um nico elemento do segundo, ocorre uma funo. O uso de funes pode ser encontrado em diversos assuntos. Por exemplo, na tabela de preos de uma loja, a cada produto corresponde um determinado preo. Outro exemplo seria o preo a ser pago numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida. Observe, por exemplo, o diagrama das relaes abaixo:

A relao acima no uma funo, pois existe o elemento 1 no conjunto A, que no est associado a nenhum elemento do conjunto B.

A relao acima tambm no uma funo, pois existe o elemento 4 no conjunto A, que est associado a mais de um elemento do conjunto B. Agora preste ateno no prximo exemplo:

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A relao acima uma funo, pois todo elemento do conjunto A, est associado a somente um elemento do conjunto B. De um modo geral, dados dois conjuntos A e B, e uma relao entre eles, dizemos que essa relao uma funo de A em B se e somente se, para todo x A existe um nico y B de modo que x se relacione com y.

DOMNIO E IMAGEM DE UMA FUNO:

O domnio de uma funo sempre o prprio conjunto de partida, ou seja, D=A. Se um elemento x A estiver associado a um elemento y B, dizemos que y a imagem de x (indica-se y=f(x) e l-se y igual a f de x). Exemplo: se f uma funo de IN em IN (isto significa que o domnio e o contradomnio so os nmeros naturais) definida por y=x+2. Ento temos que: A imagem de 1 atravs de f 3, ou seja, f(1)=1+2=3; A imagem de 2 atravs de f 4, ou seja, f(2)=2+2=4; De modo geral, a imagem de x atravs de f x+2, ou seja: f(x)=x+2. Numa funo f de A em B, os elementos de B que so imagens dos elementos de A atravs da aplicao de f formam o conjunto imagem de f. Com base nos diagramas acima, conclumos que existem 2 condies para uma relao f seja uma funo: 1) O domnio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento de A ponto de partida de flecha. Se tivermos um elemento de A do qual no parta flecha, a relao no funo.

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2) De cada elemento de A deve partir uma nica flecha. Se de um elemento de A partir mais de uma flecha, a relao no funo. Observaes: Como x e y tm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o nome de variveis. A varivel x chamada varivel independente e a varivel y, varivel dependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x. Uma funo f fica definida quando so dados seu domnio (conjunto A), seu contradomnio (conjunto B) e a lei de associao y=f(x). EXERCCIOS RESOLVIDOS:1) Considere a funo f: A B representada pelo diagrama a seguir:

Determine: a) o domnio (D) de f; b) f(1), f(-3), f(3) e f(2); c) o conjunto imagem (Im) de f; d) a lei de associo Resoluo: a) O domnio igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A. b) f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4.

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c) O conjunto imagem formado por todas imagens dos elementos do domnio, portanto: Im = {1,4,9}. d) Como 12=1, (-3)2=9, 32=9 e 22=4, temos y=x2.2) Dada a funo f: IRIR (ou seja, o domnio e a contradomnio so os

nmeros reais) definida por f(x)=x2-5x+6, calcule: a) f(2), f(3) e f(0); b) o valor de x cuja imagem vale 2. Resoluo: a) f(2)= 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0 f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0 f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6b) Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equao

f(x)=2, ou seja, x2-5x+6=2. Utilizando a frmula de Bhaskara encontramos as razes 1 e 4. Portanto os valores de x que tm imagem 2 so 1 e 4.OBTENO DO DOMNIO DE UMA FUNO:

O domnio o subconjunto de IR no qual todas as operaes indicadas em y=f(x) so possveis. Vamos ver alguns exemplos:1) f ( x ) = 2 x 4 em IR se 2 x 4 0, ou seja, x 2, ento,

Com o 2 x 4 s possvel D ={x IR / x 2} 2) f ( x ) =

5 x +1 Com x +1 denom o inado r, ele no poder ser nulo (pois no existe diviso por zero). Portanto x +1 0, ou seja, x . Ento : 1 D ={x IR / x 1} x 2 o num erador 1) : com x - 2 est dentro da raiz, ento devem o os ter

3) f ( x ) =

3 x Vam os analisar prim eiro

x 2 0, ou seja, x 2 (condio

S Matemtica O seu portal matemtico http://www.somatematica.com.br Agora o denominador: como 3-x est dentro da raiz devemos ter 3-x 0, mas alm disso ele tambm est no denominador, portanto devemos ter 3-x 0. Juntando as duas condies devemos ter: 3-x > 0, ou seja, x < 3 (condio 2). Resolvendo o sistema formado pelas condies 1 e 2 temos:

Devemos considerar o intervalo que satisfaz as duas condies ao mesmo tempo. Portanto, D={x IR | 2 x < 3}. CONSTRUO DO GRFICO CARTESIANO DE UMA FUNO

Para construir o grfico de uma funo f, basta atribuir valores do domnio varivel x e, usando a sentena matemtica que define a funo, calcular os correspondentes valores da varivel y. Por exemplo, vamos construir o grfico da funo definida por y=x/2. Escolhemos alguns valores para o domnio. Por exemplo D={2,4,6,8}, e agora calculamos os respectivos valores de y. Assim temos: x=2 y=2/2 = 1 x=4 y=4/2 = 2 x=6 y=6/2 = 3 x=8 y=8/2 = 4 Ento montamos a seguinte tabela: x y 2 1 4 2 6 3 8 4

Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano:

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O grfico da funo ser uma reta que passar pelos quatro pontos encontrados. Basta traar a reta, e o grfico estar construdo. Obs: para desenhar o grfico de uma reta so necessrios apenas dois pontos. No exemplo acima escolhemos 4 pontos, mas bastaria escolher dois elementos do domnio, encontrar suas imagens, e logo aps traar a reta que passa por esses 2 pontos.RAZES DE UMA FUNO

Dada uma funo y=f(x), os valores, os valores de x para os quais f(x)=0 so chamados razes de uma funo. No grfico cartesiano da funo, as razes so abscissas dos pontos onde o grfico corta o eixo horizontal. Observe o grfico abaixo:

No grfico acima temos: f(x1)=0, f(x2)=0 e f(x3)=0. Portanto x1, x2 e x3 so razes da funo.PROPRIEDADES DE UMA FUNO

Essas so algumas propriedades que caracterizam uma funo f:AB:a) Funo sobrejetora: Dizemos que uma funo sobrejetora se, e somente

se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomnio, isto , se Im=B. Em outras palavras, no pode sobrar elementos no conjunto B sem receber flechas.b) Funo Injetora: A funo injetora se elementos distintos do domnio

tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos no podem ter a mesma imagem. Portanto no pode haver nenhum elemento no conjunto B que

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receba duas flechas. Por exemplo, a funo f:IRIR definida por f(x)=3x injetora pois se x1 x2 ento 3x1 3x2, portanto f(x1) f(x2).c) Funo Bijetora: Uma funo bijetora quando ela sobrejetora e

injetora ao mesmo tempo. Por exemplo, a funo f: IRIR definida por y=3x injetora, como vimos no exemplo anterior. Ela tambm sobrejetora, pois Im=B=IR. Logo, esta funo bijetora. J a funo f: ININ definida por y=x+5 no sobrejetora, pois Im={5,6,7,8,...} e o contradomnio CD=IN, mas injetora, j que valores diferentes de x tm imagens distintas. Ento essa funo no bijetora. Observe os diagramas abaixo: Essa funo sobrejetora, pois no sobra elemento em B Essa funo no injetora, pois existem dois elementos com mesma imagem Essa funo no bijetora, pois no injetora

Essa funo injetora, pois elementos de B so flechados s uma vez. Essa funo no sobrejetora, pois existem elementos sobrando em B Essa funo no bijetora, pois no sobrejetora

Essa funo injetora, pois elementos de B so flechados s uma vez. Essa funo sobrejetora, pois no existem elementos sobrando em B A funo bijetora, pois injetora e sobrejetora

FUNO PAR E FUNO MPAR

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Dada uma funo f: AB, dizemos que f par se, e somente se, f(x)=f(-x) para todo x A. Ou seja: os valores simtricos devem possuir a mesma imagem. O diagrama a seguir mostra um exemplo de funo par:

Por exemplo, a funo f: IR IR definida por f(x)=x2 uma funo par, pois f(x)=x2=(-x)2=f(-x). Podemos notar a paridade dessa funo observando o seu grfico:

Notamos, no grfico, que existe uma simetria em relao ao eixo vertical. Elementos simtricos tm a mesma imagem. Os elementos 2 e 2, por exemplo, so simtricos e possuem a imagem 4. Por outro lado, dada uma funo f: AB, dizemos que f mpar se, e somente se, f(-x)=-f(x) para todo x A. Ou seja: valores simtricos possuem imagens simtricas. O diagrama a seguir mostra um exemplo de funo mpar:

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Por exemplo, a funo f: IR IR definida por f(x)=x3 uma funo mpar, pois f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x). Podemos notar que a funo mpar observando o seu grfico:

Notamos, no grfico, que existe uma simetria em relao a origem 0. Elementos simtricos tm imagens simtricas. Os elementos 1 e 1, por exemplo, so simtricos e possuem imagens 1 e 1 (que tambm so simtricas). Obs: Uma funo que no par nem mpar chamada funo sem paridade. EXERCCIO RESOLVIDO: 1) Classifique as funes abaixo em pares, mpares ou sem paridade: a) f(x)=2x f(-x)= 2(-x) = -2x f(-x) = -f(x), portanto f mpar. b) f(x)=x2-1 f(-x)= (-x)2-1 = x2-1 f(x)=f(-x), portanto f par. c) f(x)=x2-5x+6 f(-x)= (-x)2-5(-x)+6 = x2+5x+6 Como f(x) f(-x), ento f no par. Temos tambm que f(x) f(-x), logo f no mpar. Por no ser par nem mpar, conclumos que f funo sem paridade.

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