Ejercicios Capitulo 4. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

1) Al estudiar las ofertas de contratos de envió, un fabricante de microcomputadoras ve que los contratos de los interesados tienen ofertas que distribuyen uniformemente entre 20 mil y 25 mil dólares. Calcule la probabilidad de que el siguiente contrato sea: a) menor que 22 mil dólares, b) mayor que 24 mil dólares, c) Estime el costo medio de las ofertas en contratos de este tipo.Datos:Ofertas entre:20000 y 25000= 22500ƛ

Solución a) Menor que 22000 dólaresPr (x<22000)

Pr (x )= λk . e− λ

k !

Pr (x )=2250022000 . e−22500

22000 !

P r (x )=0.084⇒ 8.4%

b) Mayor que 24000 dólares Pr (x>24000)

Pr (x )=1−[ λx . e− λ

x ! ]Pr (x )=1−[ 2250024000 . e−22500

24000! ]Pr (x )=1−0.077

Pr (x )=0.92≅ 92%

c) Estime el costo medio de las ofertas en contratos de este tipo.Costo medio E(x)

E ( x )=λ=n . p

λ=22500

2) Supóngase que la velocidad de los autos en un sector de una carretera sigue una distribución uniforme entre 60 y 120 km/h. ¿Cuál es la probabilidad de que un auto: a) tenga una velocidad de 80km/h? b) ¿tenga una velocidad menor que 95 km/h? c) ¿tenga una velocidad menor que 70 km/h o mayor que 100km/h?Datos:

Distribución uniforme de 60 a 120. km/h.λ=90σ=9.48X: velocidad de los autos en un sector de la carreteraSolución a) Tenga una velocidad de 80 km/h.

P r (x=80 )

Pr (x )= λk . e− λ

k !

Pr (x )=9080 . e−90

80 !

P r (x )=0.13≅ 13%

b) Tenga una velocidad menor que 95 km/h.P r (x<95 )

Pr (x )=9095 . e−90

95 !

P r (x )=0.40≅ 40%

c) Tenga una velocidad menor que 70 km/h o mayor que 100 km/h.P r (ā>70 )

1−P r ( x≤70 )

Pr (x ≤70 )=1−9070 . e−90

70!

Pr (x ≤70 )=1−0.11

Pr (x ≤70 )=0.88≅ 88%

P r (ā>100 )

1−P r ( x≤100 )

Pr (x ≤100 )=1−90100 . e−90

100 !

Pr (x ≤100 )=1−0.1185

Pr (x ≤100 )=0.88≅ 88%

3) Una llamada telefónica llego a un conmutador en un tiempo, al azar, dentro de un periodo de un minuto. El conmutador estuvo ocupado durante 15 segundos en ese minuto. Calcule la probabilidad de que la llamada haya llegado mientras el conmutador no estuvo ocupado.Datos: 1 llamada →60 seg.Conmutador permanece ocupado →15 seg.60-15 = 45 seg. Que no está ocupado el conmutador.X~Bin (p.q)60 seg.→100%x=25%→0.25p=0.25q=0.75x=1x= Número de llamadas entrantes.Solución Pr (x=1 )⇒ p−q

√ p̂∗q

Pr (x=1 )⇒ 0.75−0.25√0.25∗0.75

¿ϕ (1.15 )

0.87≅ 87%

4) La duración (en minutos) de las llamadas telefónicas de larga distancia desde Quito en una variable aleatoria con densidad f (t )={ 0c e

−t3 |sit ≤0

si t>0}Determine el valor de c y calcule le probabilidad de que una llamada dure: a) Menos de 3 minutos.b) Más de 6 minutosc) Entre 3 y 6 minutos.d) Calcule la esperanza de la variable aleatoria e intérprete su significado.e) Si el costo del minuto de las llamadas telefónicas es de 20000 sucres, ¿Cuánto esperaría un usuario pagar por una llamada?

Determine el valor de “C”∫a

b

f (x )dx

¿∫0

∞

ce−t3 dt

¿c∫0

∞

e−t3 dt

Sea:u=−t

3du=−13

¿−3c∫0

∞

eu du

¿ [−3c eu ]∞0=[−3c e

−t3 ]∞0

¿ [−3c e−t3 ]∞0

¿−3c [e−∞3 −e

03 ]∞0

¿−3c〔0−1〕

¿3c

a) Menos de 3 minutos.X: minutos de duración de una llamada Pr (x<3)

∫a

b

f (x )dx

∫0

313

e−t3 dt

u=−t3du=−13

¿−3∫0

∞

eu du

¿ [−3 13 eu]∞0=[e−t3 ]∞0

¿e−33 −e

−03

¿−0.36+1

¿0.64≅ 64%

b) Más de 6 minutos.X: minutos de duración de una llamada Pr (x>6)

Pr (x>6 )=1− [Pr ( x≤6 ) ]

¿1−[∫0

613

e−t3 dt ]

¿1−[〔−e−t3 〕0

6]=1−[−e−63 +e

03 ]

¿1−[−e−2+e0 ]

¿1−0.86

¿0.14≅ 14%

c) Entre 3 y 6 minutos.X: minutos de duración de una llamada ¿ [∫

3

6

e−t3 dt ]

¿ [〔−e−t3 〕3

6]

¿ [−e−63 +e

−33 ]=[−e−2+e−1 ]

¿−0.13+0.36

¿0.23≅ 23%

d) Calcule la esperanza de la variable aleatoria e intérprete su significado.

∫a

b

xf (x)dx

∫a

b

te

−t3

3dt

u=t dv=e

−t3

3du=dt ∫ dv=13∫e

−t3

dt

v=−e−t3

E(x )=−t . e−t3 +3∫

0

∞

e−t3 dt

E ( x )=[−t e−t3 −3e

−t3 ]∞0

E(x )=[e−t3 (−t−3)]∞

0

E ( x )=[(e−∞3 (−∞−3 ))−(e

−03 (0−3 ))]

E ( x )=(0 )−¿

E ( x )=3

La esperanza es de 3 minutos por cada llamada.e) Si el costo del minuto de las llamadas telefónicas es de 20000 sucres, ¿cuánto esperaría un usuario pagar por una llamada?

20000 sucres → 1minuto20000 sucres x 3 =60000 sucres5) En tiempo de utilización de un cajero automático de un banco sigue una ley exponencial de parámetro = 0.5. un cliente llega al cajero y encuentraƛ dos personas delante de él. Determine la probabilidad de que:

a) El primer cliente se demore menos de 3 minutos y el segundo más de 2 minutos.b) Al menos un cliente se demore menos de un minuto.c) Calcule el tiempo medio a esperar a que se desocupen los dos clientes.Solución:a) El primer cliente se demore menos de 3 minutos y el segundo más de 2 minutos.

X=minutos que sedemora el cliente: 0.5Formula distribución exponencial:

f ( x )={ 0 ,∧t<0e−t ,∧t ≥0Solución:

Pr (x<3)

Pr (x<3)=∫0

3

0.5e−0.5 x dx

Pr (x<3)=0.5∫0

3

e−0.5 xdx

u=−0.5 xdu=−0.5dx

Pr (x<3)=∫0

3

eu dx

Pr (x<3 )=[〔−eu 〕03 ]=[〔−e−0.5 x〕0

3 ]

Pr (x<3 )=1−[−e−0.5 (3)+e−0.05 (0) ]=1− [−e−1.5+e0 ] Pr (x<3 )=−0.22+1

Pr (x<3 )=0.78≅ 78%

b) Al menos un cliente se demore menos de un minuto.X: minuto q el cliente se demora

Pr (x<1)

Pr (x<3)=∫0

1

0.5e−0.5 x dx

u=−0.5 x

du=−0.5dx

Pr (x<3)=∫0

1

eu dx

Pr (x<3)=[〔−eu 〕01 ]

Pr (x<3)=[〔−e−0.5x〕01 ] = 1− [−e−0.5(1)+e−0.05 (0 )]

¿1−[−e−0.5+e0 ]

¿−0.60+1

P r (x<3 )=0.39≅ 39%

c) Calcule el tiempo medio a esperar a que se desocupen los dos clientes.E ( x )=∫

a

b

xf ( x ) dx

E(x )=∫a

b

x 0,5e−0,5x dx

E(x )=−0,5∫a

b

xe−0,5 xdx

E ( x )=−2 x e−0,5 x+2∫a

b

e−0,5x dx

u=−0,5 xdu=−0,5dx

dv=e−0,5x v=−2e−0,5x

u=xdu=dx

E ( x )=−2 x e−0,5 x−4∫a

b

eudu

E ( x )=[−2 x e−0,5 x−4e−0,5 x ]ba=[e−0,5 x(−2x−4)] ∞

0

E ( x )=[e−0,5 (∞ ) (−2∗∞−4 ) ]− [e−0,5 (0 ) (−2∗0−4 ) ]

E ( x )=[e−∞ (−∞ ) ]−[e0 (−4 ) ]

E ( x )=0−(−4)

E ( x )=4minutos por cliente

4min∗2clie=8min

Capitulo 6. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS 6) En una investigación se desea medir la magnitud de cierta constante física. Se realizan 36 mediciones independientes determinándose un valor promedio de 5x10−2 y varianza de 4x10−6. Halle el intervalo de confianza al: a) 90%, b) 95%, c) 99%, d) determine el número mínimo de mediciones que han de realizarse para que la estimación quede a menos de 1x10−3 del valor verdadero de la magnitud física.

Datos:n= 36x=5 x10−2

σ 2=4 x 10−6

a) Hallar el inérvalo de confianza al 90%α=1−0.90 α=0.1 LIC ; LSC

[(x−Z α2

σ√n );(x+Z α

2

σ√n )]

[(5 x10−2−Z 0.12

√4 x 10−6

√36 );(5 x 10−2+Z0.12

√4 x10−6

√36 )]

[(5 x10−2−1.645 √4 x10−6

√36 );(5 x10−2+1.645 √4 x 10−6

√36 )][ (5 x10−2−1.82 x10−7 ); (5x 10−2+1.82 x10−7 ) ]

⌈ 0.04999 ;0.0500 ⌉

b) Hallar el intervalo de confianza al 95%α=1−0.95α=0.05 LIC ; LSC

[(x−Z α2

σ√n );(x+Z α

2

σ√n )]

[(5 x10−2−Z 0.052

√4 x10−6

√36 );(5 x 10−2+Z 0.052

√4 x10−6

√36 )][(5 x10−2−1.96 √4 x10−6

√36 );(5 x 10−2+1.96 √4 x10−6

√36 )][ (5 x10−2−2.17 x 10−7 ) ; (5 x10−2+2.17x 10−7 ) ]

⌈ 0.04999 ;0.0500 ⌉

c) Hallar el intervalo de confianza al 99%α=1−0.99α=0.01

LIC ; LSC[(x−Z α

2

σ√n );(x+Z α

2

σ√n )]

[(5 x10−2−Z 0.012

√4 x10−6

√36 );(5 x10−2+Z 0.012

√4 x 10−6

√36 )]

[(5 x10−2−2.58 √4 x10−6

√36 );(5 x10−2+2.58 √4 x10−6

√36 )]⌈ (5 x10−2−2.86 x10−7 ); (5 x 10−2+2.86 x10−7 )⌉

⌈ 0.04999 ;0.0500 ⌉

d) Determine el número mínimo de mediciones que han de realizarse para que la estimación quede a menos de 1 x10−3 del valor verdadero de la magnitud física.LSC - LIC

[(x+Z α2

σ√n )−(x−Z α

2

σ√n )]

[ x+Z α2

σ

√n−x+Z α

2

σ

√n ]2Z α

2

σ

√n=1

√n=2(Z α2

( σ ))n=(2∗2.61∗10 )2

n=2724.84

7) Determine un intervalo en el que se pueda decir que se encuentra el valor de la media con casi toda seguridad si.a) n=36 x=100 σ=4.2b) n=44 x=53 σ 2=71c) n=81 x=86 s2=22.5d) n=121 x=−47 σ 2=84.1a) n=36 x=100 σ 2=4.2

α=1−0.99α=0.01

LIC ; LSC[(x−Z α

2

σ√n );(x+Z α

2

σ√n )]

[(100−Z 0.012

4.2√36 ); (100+Z 0.01

2

4.2√36 )]

[(100−2.58 4.2√36 ); (100+2.58 4.2√36 )]⌈ (100−1.806 ); (100+1.086 )⌉

⌈ 98.194 ;101.806 ⌉

b) n=44 x=53 σ 2=71α=1−0.99α=0.01 LIC ; LSC

[(x−Z α2

σ√n );(x+Z α

2

σ√n )]

[(53−Z 0.012

√71√44 );(53+Z 0.01

2

√71√44 )]

[(53−2.58 7144 ); (53+2.58 7144 )][ (53−9.000 ) ; (53+9.00 ) ]

⌈ 44 ;62 ⌉

c) n=81 x=86 s2=22.5α=1−0.99α=0.01

LIC ; LSC

[(x−Z α2

σ√n );(x+Z α

2

σ√n )]

⌈ (86−Z 0.012

√22.5√81 ); (86+Z 0.01

2

√22.5√8 )⌉

[(86−2.58 22.581 );(86+2.58 22.581 )][ (86−0.79 ) ; (86+0.79 ) ]

⌈ 85.21; 86.79⌉

d) n=121 x=−47 σ 2=84.1α=1−0.99α=0.01 LIC ; LSC

[(x−Z α2

σ√n );(x+Z α

2

σ√n )]

[(−47−Z 0.012

√84.1√121 );(−47+Z 0.01

2

√84.1√121 )]

[(−47−2.58 84.1121 );(−47+2.58 84.1121 )][ (86−1.793 ) ; (86+1.793 ) ]

⌈−48.793 ;−45.207 ⌉

8) Se midió la presión arterial de 25 ancianos, resultando un promedio x=140 mm de mercurio. Si se supone que estos datos son una muestra de una población con distribución normal de σ=10 mm de mercurio. Construya un intervalo de confianza para la presión arterial media μ de toda la población, a un nivel del 93%.Datos:n=25 α=1−0.93x=140 mm de mercurio α=0.07

σ=10 mm de mercurioNivel de confianza 93% = 0.93 LIC ; LSC(x−Z α

2

σ

√n );(x+Z α2

σ

√n )140−Z 0.07

2

10

√25;140+Z 0.07

2

10

√25

140−(1.81 ) 10√25

;140+(1.81) 10√25

136,38 ;143.62

9) Una fábrica produce varillas de hierro con una desviación estándar de 25 cm. La empresa recibe un pedido de varillas que indica que la longitud promedio debe tener una deviación máxima de 10 cm de la longitud requerida. ¿Cuántas varillas tendrá que producirse para cumplir con la especificación, con casi toda seguridad?Datos:

σ 1=25 mm de mercurio α=1−0.99 σ 2=10 mm de mercurio α=0.01Nivel de confianza de 99% LSC - LIC

[(x+Z α2

σ√n )−(x−Z α

2

σ√n )]

1=[ x+Z α2

σ

√n−x+Z α

2

σ

√n ]1=2(Z α

2

σ

√n )√n=2(Z α

2

( σ ))Si σ 1=25 Si σ 2=10

n1=(2(Z α2

(σ 1 )))2 n2=(2(Z α

2

( σ2 )))2

n1=(2(Z 0.012

(25 )))2 n2=(2(Z 0.01

2

(10 )))2

n1=(2 (Z0.005 (25 ) ))2 n2=(2 (Z0.005 (10 ) ))2

n1= (2 (2.58∗25 ) )2 n2=(2 (2.58∗10 ))2

n1=16641 n2=2662.56 n=16641−2662.56

n=13978.44

10) En una encuesta realizada con una muestra de 3000 personas adultas escogidas al azar, ha resultado que el 35% toma café al menos una vez al día. Con una probabilidad del 95%, ¿entre que limites variara esta proporción para el universo completo?Datos:n= 3000 personas35% toma café al menos una vez al díap= 0.35p̂=1

n p̂= 1

3000= 0.00033

q=0.65

Pr ( p̂−p

√ p∗qn

< p̂<p̂−p

√ p∗qn

)=0.95

Pr ( p̂1−0.35

√ 0.35∗0.653000

< p̂<p̂2−0.35

√ 0.35∗0.653000 )=0.95

Pr (1n−0.35

√ 0.35∗0.653000

< p̂<

1n−0.35

√ 0.35∗0.653000)=0.95

Pr ( 1n−0.35

0.00870< p̂<

1n−0.35

0.00870 )=0.95Pr ( 1−n (0.35 )

n0.00870

< p̂<

1−n(0.35)n

0.00870 )=0.95Pr ( A−n (0.35)

n (0.00870 )< p̂<

B−n (0.35)n (0.00870 ) )=0.95

Pr ( A−n (0.35)26.1

< p̂<B−n (0.35)26.1 )=0.95

Pr ( ( A−1050 )< p̂< (B−1050 ) )=24.79

A−1050+B+1050=24.79

A+B=24.79

( A−1050(26.1 )

−B−105026.1 )=1.65

( A−1050−B+1050 )=43.065

A−B=43.065

25 ;43.06

11) Supóngase que el 80% de todos los residentes den Guayaquil celebran las de Navidad (el 25 de diciembre) Se planea seleccionar una muestra aleatoria de 300 guayaquileños y determinar la proporción de ellos que celebran la Navidad.a) ¿Es el 80% un parámetro o un estadístico? ¿Qué símbolo usa para representarlo?b) De acuerdo al Teorema del Límite Central, ¿Cómo variara la proporción de quienes celebran la Navidad, de muestra a muestra?c) Determine la probabilidad que menos de las tres cuartas partes de la muestra celebre la fiesta.

d) La probabilidad calculada en c) ¿sería mayor, menor o igual si el tamaño de la muestra fuera de 800 personas? (Usted no necesita realizar cálculos.) Explique.Datos:80% celebran la navidad el 25 de diciembre n= 300p= 0.80q= 0.20a) El 80% varía de acuerdo a n.b) La aproximación es cada vez más exacta a medida que aumenta el tamaño de la muestra c) Pr ( 3

4. n) celebran la navidad

Pr ( 34 .300)=225X: número de personas que celebran la navidadX Bin(n . p)

p̂=1n

p̂=225300

=0.75

Pr (x<225 )

Pr ( p̂−p

√ p∗qn

< p̂)Pr ( 0.75−0.80√ 0.80∗0.20300

< p̂)Pr (−0.050.025

<Z )

Pr∅ (−2.17 ) 0.0150≅ 1.5%

d) La probabilidad seria mayor, ya que una muestra más grande nos da un p̂ más aproximado a la media.12) En la segunda vuelta electoral los resultados dan que el candidato ganador obtuvo el 55% de los votos. ¿Cuál es la probabilidad de que en una encuesta realizada a 169 personas el resultado no muestre una mayoría a favor del candidato?

Datos: n= 169p= 0.55q= 0.45P(x ≤55)X =% de los votos electorales p̂=0.51

Pr ( p̂−p

√ p∗qn

< p̂)Pr ( 0.51−0.55√ 0.55∗0.45169

< p̂)Pr (−0.040.038

<Z)Pr∅ (−1.05 )

0.1469≅ 14.69%

13) Un campo se riega mediante un aspersor automático. La cantidad de agua regresa en una sección transversal del lote sigue aproximadamente una ley normal con media 30 mm y varianza 16. Calcule la probabilidad de que el riego promedio en 10 surcos seleccionados al azar sea mayor que 30 mm.Datos:

= 30mmn= 10Var(x)= 16mm= 4mmSolución:X=Cantidad de aguaregadaenuna seccióndellote

Pr ( X>32 )=1−[Pr ( x≤32 ) ]

¿1−Pr ( x−μσ

≤32−304 )

¿1−Pr ( z≤0,5 )

¿1−(0,5 )

¿1−0,6914 ¿0,30≅ 30%

14) Se efectuó un análisis sobre la duración de las maquinas impresoras, de una cierta marca, que tienen las empresas públicas. Se eligió una muestra constituida por 179 maquinas utilizadas en una empresa elegida al azar. La vida media de las impresoras resulto ser de 3.33 años y una desviación estándar de 2.05 años. Con una probabilidad del 99.7%, ¿en qué intervalo de tiempo puede considerase que se encuentra la vida media de las impresoras de tal marca?Datos:n= 179= 3.33 años= 2.02 años99.7%Intervalo de tiempo a; b= ¿?

Solución:X= X−μ

σ

√n

X= X−3,332,05

√179

Pr ( X−μσ

√n

≤b−μ

σ

√n )Pr (a≤b )=0,997

Pr ( a−μσ

√n

<z< b−μσ

√n )Pr ( a−3,33

2,05

√179

<z< b−3,332,05

√179 )=0,997∅ ( b−3,330,1532 )−∅ ( a−3,33

0,1532 )=0,997a−3,330,1532

=2,76

a−3,330,1532

−2,76=0

(a−3,33)−0,420,1532

=0

a−3,33−0,420,1532

=0

a−3,750,1532

=0

a−3,75=0

a=3,75

Respuesta : [3,33 ;3,75 ]

15) La mediana de la edad de los habitantes del Ecuador es de 26 años. Si se selecciona 10 residentes en Ecuador al azar, calcule la probabilidad de que por lo menos 60 de ellos tenga menos de 26 años.Datos:

μ=26añosn= 100# de años de los residentesx=1

n

x= 1100

=0.01

P(x<26)=( x−μσ

√n

<Z< x−μσ

√n )P(x<26)=( 0.01−0.260

√100

<Z< 0.01−0.260

√100 )P(x<26)= (−0.25<Z<0.25 )

P ( x<26 )=∅ (−0.25 )−∅ (0.25)

P ( x<26 )=0.5949−0.4013

P ( x<26 )=0.19≅ 19%

Capitulo 7. PRUEBA DE HIPÓTESIS CON UNA SOLA MUESTRA16) Una muestra de n=36 observaciones de una población produjo un promedio x= -3.4 y una desviación estándar σ= 0.29. Suponga que se desea demostrar que la media μ excede a -3.5.a) Enuncie la hipótesis nula de la prueba.b) Enuncie la hipótesis alternativa de la prueba. c) Si se desea quiere que la probabilidad de decidir (erróneamente) que μ > -3.5 sea de 0.05, cuando en realidad μ= -3.5, ¿Cuál es el nivel de significación de la prueba?d) Antes de efectuar la prueba, observe los datos y utilice su intuición para decidir si la media muestral x= -3.4 implica que μ> -3.5.

Datos:n=36x=−3.4μ=−3.5

σ=0.29

a) Hipótesis nula H0: μ1 = μ2 H0: μ1 = -3.5b) Hipótesis alternativa H1: μ1 > μ2 H1: μ1 > -3.5c) nivel de significancia α=0.05

H1 = µ = -3.5N.C = 1 – α = 1 - 0.05N.C= 0.95Ver tabla Z, nivel de significancia.(0.05)/2 = -1.96Z= x−μ

σ

√n

=−3.4−(−3.5 )

0.29

√36

=¿-2.08d) Se acepta H0 el Z esta dentro de la zona de aceptación.

17) Se sospecha que las nuevas generaciones tienen, en promedio, mayor estatura que las antiguas. En estudios realizados hace dos décadas se

había determinado que la población masculina tenía una estatura media de 168 cm con una desviación estándar de 10 cm.a) Si se desea verificar la suposición anterior, formule, en símbolos y en palabras, las hipótesis nula y alternativa.b) Recientemente se tomo una muestra de 35 reclutas del servicio militar y se obtuvo una estatura promedio de 172 cm. ¿Qué conclusión se puede sacar con α=0.05y α=0.01?Datos:n = 35µ= 168 σ = 10cmx=172α= 0.05α= 0.01Solución a) Hipótesis nula H0:µ = 168Hipótesis alternativa H1:µ> 168

b) Para 0.05Ver tabla Z, nivel de significancia.(0.05) /2= 1.96

(0.05) Z= x−μσ

√n

=172−16810

√35

=¿2.366

Se acepta la hipótesis H0 ya que Z esta dentro de la zona de aceptación.Para 0.01 (0.01)/2 = 2.57

(0.01) Z= x−μσ

√n

=172−16810

√35

=¿2.366Se acepta la hipótesis H0 ya que Z esta dentro de la zona de aceptación

18) Una balanza se encuentra descalibrada y no siempre registra el peso exacto. Cuando se presenta 454 g la desviación estándar es de 10 g. con el fin de averiguar si es necesario recalibrar la balanza se realizo una serie de 50 pesajes de cantidades iguales de “una libra”, resultando un peso promedio de 451 g.a) ¿A un nivel de confianza del 10%, se puede hacer necesario recalibrar la balanza?b) Calcule el nivel de significancia de la prueba.Datos:n = 50x= 451gr H0: µ = 454σ = 10gr H1: µ< 454α= 10%= 0.10Ver tabla Z, nivel de significancia.

(0.10) = -1.64

Z= x−μσ

√n

=451−45410

√50

=−¿2.1219) Una muestra de 49 aisladores tiene una resistencia al choque de 4.952 lb-pie. Las especificaciones del fabricante dan una resistencia promedio de 4.820 lb-pie con una desviación estándar de 0.25 lb-pie. ¿excede la resistencia de la producción las especificaciones del fabricante?

Datos:n= 49µ =4.952 lib-piex= 4.820 lb-pieσ = 0.25Hipótesis nula H0:µ = 4.952Hipótesis alternativa H1: µ> 4952Nivel de significancia del 95%

Z= x−μσ

√n

=4820−49520.25

√49

=3696

Se acepta H0 debido a que Z cae en la región de aceptación.20) El voltaje de salida de un circuito debe ser 120 voltios de acuerdo con las especificaciones. Una muestra de 32 mediciones independientes de la tensión del circuito dio un promedio de 118 voltios y una desviación estándar de 5.5. pruebe la hipótesis de que la tensión promedio de salida es de 120 voltios, contra la posibilidad de que sea menor a 120, a un nivel de significancia de: a) 5%, b) 1%.

Datos:n = 32x = 118 H0: µ = 120σ = 5.5 H1: µ < 120a) α= 0.05α= 0.01 Ver tabla Z, nivel de significancia.(0.05)/2 = -1.96

(0.05) Z= x−μσ

√n

=118−1205.5

√32

=¿2.366(0.01)/2 = -2.57 (0.01) Z= x−μ

σ

√n

=172−16810

√35

=¿0.06721) Las pruebas realizadas con ocho unidades experimentales de un tipo de motor mostraron que funcionaban durante 26, 31, 28, 29, 27, 28, 27, y 25 minutos, con un litro de gasolina. La especificación propuesta indica que el motor debe funcionar por lo menos durante media hora. ¿cumple el motor la especificación, a un nivel de significancia de 0.05?

Datos:n = 8x=30 H0: µ = 27.62σ =? H1: µ ≥ 27.62Nivel de confianza = 0.95

α= 0.05 26+31+28+29+27+28+27+25 =221/8 = 27.62 σ=√n ( x−μ )=√8 (30−27.62 )=6.73

Z= x−μ

σ

√n

=30−27.626.73

√8

=¿ 0.99 Ver tabla Z, nivel de significancia.

(0.05)/2 = -1.96