S4 edo homogeneas-exactas-bernoulli

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  • LGEBRA LINEAL Y

    ECUACIONES DIFERENCIALES

    FORMACIN POR COMPETENCIAS

    EDO: homogneas, exactas,

    lineales y de Bernoulli.

  • OBJETIVOS OBJETIVOS

    Reconocer e identificar las E.D.O. homogneas

    Aplicar un cambio de variable adecuado para resolver

    ecuaciones diferenciales homogneas.

    Reconocer e identificar las E.D.O. exactas

    Resolver ecuaciones diferenciales exactas.

    Aplicar los mtodos estudiados a diferentes

    problemas aplicativos del contexto real

  • Funcin homognea

    Si una funcin : tiene la propiedad

    ; = ; ; : ; con ;

    para algn nmero real , entonces se dice que es una funcin homognea de grado

    Por ejemplos las siguientes funciones son homogneas

    ; = +

    ; = ()

    ; = +

    ; =

  • E.D.O homognea

    Una E.D.O de primer orden en su forma diferencial

    ; + ; =

    Se dice que es homognea si las dos funciones y N son homogneas del mismo grado.

    Una E.D.O de este tipo puede ser escrita en la forma

    =

    donde es una funcin real de variable real

    OBSERVACIN

  • E.D.O homognea

    Mtodo de solucin

    Hacer una cambio de variable =

    o equivalentemente

    =

    Resolver la E.D.O. de variables separables obtenida

  • Ejemplo 1

    Resuelva la E.D.O.

    + + =

    Solucin:

    Esta ecuacin es homognea. Hacemos el cambio de variable

    = = +

    Y obtenemos:

    + = + +

    + =

    = +

    Y regresando a las variables originales

    = +

  • OBSERVACIN

    En ocasiones suele ser til un cambio de variable alternativo

    dependiente de la naturaleza de las funciones y

    Cambio = si es de estructura ms simple que

    Cambio = si es de estructura ms simple que

  • Ejemplo 2

    Resuelva la E.D.O.

    + =

    Solucin:

    Esta ecuacin es homognea. Como = y = ( ), hacemos el cambio de variable

    = = +

    Y obtenemos:

    + =

    =

    =

    Y regresando a las variables originales

    =

  • Ejercicio 1

    Resuelva cada una de las siguientes E.D.O.

    a.- + =

    b.- + + =

    c.- +

    +

    =

    Solucin:

  • Ejercicio 2

    Resuelva cada una de los siguientes P.V.I.

    a.-

    =

    ; =

    b.-

    =

    ; =

    Solucin:

  • E.D.O. reducibles a homogneas

    Las E.D.O de la forma

    =

    + +

    + +

    donde es una funcin real de variable real, pueden reducirse a una E.D.O. homognea con un cambio apropiado de variable.

    Si las rectas + + = y + + = se intersectan en el punto (; ), hacer el doble cambio de variable

    = y =

    Que reduce la ecuacin anterior a una homognea.

    CASO 1

    Mtodo de solucin

  • E.D.O. reducibles a homogneas

    Si las rectas + + = y + + = son paralelas, hacer el cambio de variable

    = +

    Que reduce la ecuacin anterior a una de variables separables.

    CASO 2

  • Ejemplo 1

    Resuelva cada una de las E.D.O.

    a.- =+

    +

    b.- =

    Solucin:

  • E.D.O. exactas

    Una E.D.O. en su forma diferencial

    ; + ; =

    Se dice que es exacta si la expresin del lado izquierdo es una

    diferencial exacta, es decir si existe una funcin = (; ) de dos variables tal que

    ; = ; + ;

  • TEOREMA: Criterio de exactitud

    Sea la E.D.O.

    ; + ; =

    donde ,: son funciones continuas con derivadas parciales continuas en un conjunto conexo .

    La E.D.O. es exacta si y solo si se cumple la igualdad

    ; =

    ; ; ;

    Por ejemplo las siguientes E.D.O. son exactas

    a.- + +

    =

    b.-

    =

    +

  • E.D.O. exacta

    Mtodo de solucin

    Sea la E.D.O. exacta

    ; + ; =

    A partir de la igualdad

    = , integre respecto a para

    obtener

    ; = ; + ()

    Derive respecto a el miembro derecho de sta igualdad, iguale a y halle la expresin para ()

    Integre () para obtener ()

    Reemplazando en la ecuacin * obtenemos la funcin (; )

    La solucin de la E.D.O. es: ; =

    ()

  • Ejemplo 1

    Resuelva la E.D.O.

    + +

    =

    Solucin:

    Esta ecuacin es exacta donde ; = ; ; = +

    .

    Tenemos

    ; = = + ()

    Derivamos el lado derecho respecto de e igualamos a (; )

    + = +

    =

    Integramos y obtenemos: = .

    La funcin (; ) toma la forma: ; = +

    La solucin de la E.D.O. es: + =

  • Ejemplo 2

    Resuelva las siguientes E.D.O.

    a.- + =

    b.- + + + =

    c.- + + =

    Solucin:

  • Ejercicio 1

    Considere la ED: 2 + + 2 = 0

    a.- Calcule el valor de para que la ecuacin diferencial sea exacta.

    b.- Resuelva la ecuacin diferencial para dicho valor de

    Solucin:

  • Ejercicio 2

    Determine la solucin particular de la ecuacin

    ln()

    +2

    33 + 6 +

    + 22 + 42 = 0

    que pasa por el punto (1;1

    2)

    Solucin:

  • Factor integrante

    Un factor integrante de la E.D.O.

    ; + ; =

    es una funcin de dos variables = ; de modo que al multiplicar ambos miembros de la ecuacin anterior por se obtiene un E.D.O. exacta.

    No hay un mtodo general para obtener factores integrantes.

    En general no es fcil encontrar factores integrantes, sin

    embargo podemos dar algunas sugerencias dependiendo de

    algunas condiciones que cumplen las funciones y

  • Ejemplo 1

    Considere la E.D.O.

    + + =

    Determine un factor integrante si se sabe que ste solo

    depende de . Solucin:

    Esta ecuacin no es exacta ya que = y = .

    Por dato sabemos que existe un factor integrante = entonces la siguiente E.D. es exacta

    () + + () =

    y en consecuencia se cumple = es decir

    = + ()( )

    = ()( )

  • Ejemplo 1

    ()

    ()=

    Integrando ambos miembros obtenemos el factor integrante:

    =

  • CASO I

    Si la funcin

    es una funcin que depende nicamente de , la que denotaremos por (), entonces un factor integrante es:

    ; =

  • Ejemplo 1

    Resuelva la E.D.O.

    + +

    + () =

    Solucin:

  • CASO II

    Si la funcin

    es una funcin que depende nicamente de , la que denotaremos por (), entonces un factor integrante es:

    ; =

  • Ejemplo 1

    Resuelva la E.D.O.

    + + + =

    Solucin:

  • CASO III

    Si existen constantes y tales que

    =

    entonces un factor integrante es:

    ; = +

  • Ejemplo 1

    Resuelva la E.D.O.

    + =

    Solucin:

  • CASO IV

    Si existen funciones () y () que satisfacen la condicin

    = ; ; ()

    entonces un factor integrante es:

    ; =

  • E.D.O. lineales de primer orden

    Una E.D.O. lineal de primer orden es de la forma

    + = ()

    donde ; son continuas en un intervalo

    Mtodo de solucin

    Una forma de resolver estas E.D.O. es hallando un factor

    integrante como se describe en los siguientes pasos:

    Calcule el factor integrante de la forma: = Multiplique ambos miembros por () y obtenga:

    () = ()

    Integre ambos miembros de la ecuacin para obtener la

    solucin general

    = () +

  • Ejemplo 1

    Resuelva cada una de las E.D.O. dadas

    a.- + + =

    b.-

    + =

    c.-

    =

    d.-

    + =

    Solucin:

  • Ejercicio 1

    Resuelva la siguiente E.D.O.

    =

    Solucin:

  • Ecuacin de Bernoulli

    Una E.D.O. De la forma

    + =

    donde y son funciones reales de variable real y es un nmero real es llamada ecuacin de Bernoulli

    OBSERVACIN

    Cuando = o = la ecuacin de Bernoulli se convierte en una E.D.O. lineal.

  • Ecuacin de Bernoulli

    Mtodo de solucin

    Cuando y

    Realice el cambio de variable

    =

    Obtenga la E.D.O. lineal

    + = ()

    Resuelva esta ecuacin por el caso anterior (E.D.O. lineales)

    Se obtiene la solucin general (implcita):

    () = ( ) () +

  • Ejemplo 1

    Resuelva cada una de las E.D.O.

    a.- =

    b.- =

    c.- + =

    Solucin:

  • Bibliografa

    2. Ecuaciones diferenciales tcnicas de solucin y aplicaciones-

    Jos V. Becerril Espinoza y David Elizarraraz Matrtnez

    3. Calculus - James Stewart

    4. Calculus_12th Edition George B. Tomas, Jr.

    1.Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado-

    Dennis G. Zill

    5. Calculus Larson Edwards