SESION N° 16 ED HOMOGENEAS - LINEALES

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  • 8/19/2019 SESION N° 16 ED HOMOGENEAS - LINEALES

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     ANÁLISIS

    MATEMÁTICO II

    ECUACIONES

    DIFERENCIALES

    HOMOGÉNEAS

  • 8/19/2019 SESION N° 16 ED HOMOGENEAS - LINEALES

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    PROPÓSITO

    Resuelve E.D homogéneas

  • 8/19/2019 SESION N° 16 ED HOMOGENEAS - LINEALES

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    Una E.D. ordinaria de primer orden y de primer grado de la forma

    Es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado en x e y  Ejemplo:

     HOMOGÉNEAS

    ( , ) ( , ) 0 M x y dx N x y dy+ =

    3 3 2

    /

    3 2 2 2 2 2

    2 2

    ( ) 0

    2

    ( ) 0

    ( ) cos( )

     y x

     x y dx y xdy dy

     x y xe dx

     x y x y dx xy x y dy

     y y  x y yarcsen dx x dy

     x x

    • − + = • = +

    • + + − + =

    • − − =

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    La E.D.H. siempre se puede representar en la forma

    ntroduciendo una nue!a !aria"le inc#gnita $ la

    ecuaci#n diferencial homogénea se reduce a la ecuaci#n con  !aria"le separa"le

    %"s. &l resol!er las E.D.H. no es indispensa"le reducirlas a la forma general mostrada al inicio. 'e puede hacer inmediatamente la sustituci#n .

    SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA

    ( )dy y

    dx x ψ  =

     y u

     x =

    ( ) du

     x u u dx

    ψ  = −

     y ux=

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    SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA

    Ejemplo () *esol!er la ecuaci#n diferencial

    4 3 (2 3 ) 0 x y y y x′− + − =

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    SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA

    Ejemplo (+ *esol!er la ecuaci#n diferencial

    2 22 4 3 dy

     xy x y dx

    = +

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    SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA

    Ejemplo (, *esol!er la ecuaci#n diferencial

    ( 2 )

    ( 2 )

    dy y y x

    dx x x y

    − =

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    SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA

    Ejemplo (- *esol!er la ecuaci#n diferencial

    2 2 2 24 ( 4 ) 0 dy

     x xy y x xy y dx

    − + + − + =

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    SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA

    Ejemplo ( en la siguiente ED hallar el !alor de /a0$ de tal manera 1ue dicha ecuaci#n sea homogénea y resol!er dicha ecuaci#n con la condici#n de 1u e y2)3 4 +

    3 2 3 1 4 1

    2 ( ) 0 a a a

     xy dx a x y x y dy − −

    + − =

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    SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA

    Ejemplo (5 *esol!er la ecuaci#n diferencial

    ( ) xdy xsenx y dx= −

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    SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA

    Ejemplo (6 *esol!er la ecuaci#n diferencial

    2 2

    2

    3

     xy  y

     x y ′ =

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    SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA

    Ejemplo (7 *esol!er la ecuaci#n diferencial

    2 2 xy y y x′ = + −

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    13/40

    SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA

    Ejemplo )( *esol!er la ecuaci#n diferencial

    2 2 xy y x′ = −

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    SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA

    Ejemplo )) *esol!er la ecuaci#n diferencial

    2(tan ) cos y x y x′ + =

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    SOLUCIÓN DE UNA ED HOMOGÉNEA

    Ejemplo (, *esol!er la ecuaci#n diferencial

    2 2 2( 3 ) 0 x xy y dx x dy+ + − =

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    POR TU TIEMPO …

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     ANÁLISIS

    MATEMÁTICO II

    ECUACIONES

    DIFERENCIALES

    LINEALES DE PRIMER

    ORDEN Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE

    BERNOULLI

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    PROPÓSITO Resuelve E.D lineales de

    primer orden por el método del a!tor integrante.

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      ORDEN Las ecuaciones diferenciales de la forma

    8 2)3

    donde son funciones continuas de /x0 $ se llama ecuaci#n diferencial lineal de primer orden 

    'i $ la ecuaci#n 2)3 se llama E.D. lineal homogénea yes de !aria"le separa"le y su soluci#n es dada por

     'i $ la ecuaci#n 2)3 se llama E.D. lineal no homogénea

     y su soluci#n es dada por la expresi#n:

    ( ) ( )

    dy

     P x y Q xdx + =

    ( ) P x dx  y ce

    −∫ =

    ( ) ( ) P x y Q x

    ( ) 0Q x   =

    ( ) 0Q x   ≠

    ( ) ( )

    ( )  P x dx P x dx

     y e e Q x dx c −  ∫ ∫ = +  ∫ 

    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE

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    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE PRIMER ORDEN

    Ejemplo () *esol!er la ecuaci#n diferencial

    64   x dy

     x y x e

    dx

    − =

    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE

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    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE PRIMER ORDEN

    Ejemplo (+ *esol!er la ecuaci#n diferencial

    2

    2 2   x y xy xe′ − =

    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE

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    22/40

    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE PRIMER ORDEN

    Ejemplo (, *esol!er la ecuaci#n diferencial

    22 2 y y x x′ + = +

    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE

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    23/40

    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE PRIMER ORDEN

    Ejemplo (- *esol!er la ecuaci#n diferencial

    3ln (3ln 1) dy

     x x y x x

    dx

    − = −

    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE

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    24/40

    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE PRIMER ORDEN

    Ejemplo ( *esol!er la ecuaci#n diferencial

    cos cos , (0) 1 y y x senx x y′ + = =

    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE

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    25/40

    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE PRIMER ORDEN

    Ejemplo (5 *esol!er la ecuaci#n diferencial

    2 xy y x senx′ = +

    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE

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    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE PRIMER ORDEN

    Ejemplo (9 *esol!er la ecuaci#n diferencial

    22 3 xy y x′ − =

    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE

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    27/40

    SOLUCIÓN DE UNA ED LINEAL DE PRIMER ORDEN

    Ejemplo (6 *esol!er la ecuaci#n diferencial

    2( 9) 0 dy

     x xy

    dx

    − + =

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     ANÁLISIS

    MATEMÁTICO II

    ECUACIONES DE

    BERNOULLI

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    PROPÓSITO Resuelve E.D lineales de

    primer orden de"ernoulli

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    E.D. DE BERNOULLI Las ecuaciones diferenciales de ernoulli

      8 2)3

    Donde $ para resol!er esta ecuaci#n se transforma en una ecuaci#n diferencial lineal$ mediante la sustituci#n

    ); & la ecuaci#n 2)3 se multiplica por

    ( ) ( )   ndy  P x y Q x y dx

    + =

    1   n z y   −=

    0;1n ≠

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     BERNOULLI ); & la ecuaci#n 2)3 se multiplica por $ es decir

    +; & la ecuaci#n diferencial del primer paso se multiplica por $ es decir

    ,; 'ea

    -; 'e reempla

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    SOLUCIÓN DE UNA ED DE BERNOULLI

    Ejemplo () *esol!er la ecuaci#n diferencial

    32 2 dy

     x y xy

    dx

    + =

    SOLUCIÓN DE UNA ED DE

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    33/40

    SOLUCIÓN DE UNA ED DE BERNOULLI

    Ejemplo (+ *esol!er la ecuaci#n diferencial

    2 3 2 22 (1 2 ) x y x y y x′ + = +

    SOLUCIÓN DE UNA ED DE

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    SOLUCIÓN DE UNA ED DE BERNOULLI

    Ejemplo (, *esol!er la ecuaci#n diferencial

    3

    2 3 2

      x  xy y

     y

    ′ − =

    SOLUCIÓN DE UNA ED DE

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