02 ecuaciones no homogeneas

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  1. 1. MATEMTICA IV. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA ESTUDIANTES DE INGENIERA, CIENCIA Y TECNOLOGA. CAPTULO 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. ECUACIONES NO HOMOGNEAS. Ing. Willians Medina. Maturn, Julio de 2015.
  2. 2. Captulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogneas. Matemtica IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2 2.6.- ECUACIONES LINEALES NO HOMOGNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES. Solucin general de una ecuacin lineal no homognea. Sea )(01 )1( 1 )( xFyayayaya n n n n una ecuacin diferencial lineal no homognea con coeficientes constantes na , 1na , ..., 1a , 0a . Si py es una solucin particular de esta ecuacin no homognea y hy la solucin general de la correspondiente ecuacin homognea, entonces hp yyy es la solucin general de la ecuacin no homognea. Mtodo de los coeficientes indeterminados (Familia). )(01 )1( 1 )( xFyayayaya n n n n . i. Obtener hy , solucin general de la ecuacin homognea1 que resulta de hacer 0)( xF . ii. Utilizar )(xF para determinar la forma de la solucin particular py . Vase la tabla siguiente: Trmino en )(xF Trminos correspondientes en py 1 C (Constante) A 2 k k k k xaxaxaa 1 110 k k k k xAxAxAA 1 110 3 xm eC xm eA 4 xmk exC xmk k k k exAxAxAA )( 1 110 5 xC cos xC sen xBxA sencos 6 xxaxaxaa k k k k cos)( 1 110 xxaxaxaa k k k k sen)( 1 110 xxBxxA xxBxxA xBxA k k k k sencos ...sencos sencos 11 00 7 xeC xm cos xeC xm sen )sencos( xBxAe xm 1 Si se proporciona el conjunto fundamental de soluciones, es equivalente a que dispongamos de la solucin de la ecuacin homognea correspondiente.
  3. 3. Captulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogneas. Matemtica IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 3 8 xexaxaxaa xmk k k k cos)( 1 110 xexaxaxaa xmk k k k sen)( 1 110 xexBxexA xxeBxxeA xeBxeA xmk k xmk k xmxm xmxm sencos ...sencos sencos 11 00 iii. Si un trmino de py coincide con un trmino de hy , multiplicar el trmino en py por la mnima potencia de x que evita la duplicacin. iv. Sustituir py y sus derivadas en la ecuacin no homognea y despejar los coeficientes. v. Formar la solucin general hp yyy . En los ejercicios siguientes, establezca si se puede aplicar el mtodo de coeficientes indeterminados a la ecuacin diferencial. Si no se puede, explique por qu. 1. xxyy sen 2. xxyy sen3 2 1 3. xxxyy ln2 4. 1 x eyy 5. x x yy cos sen 6. xyyy cosh 7. x eyxy 2 3 8. xxyy 2senh 9. x exyy 1 10. x eyyy 2 11. xxeyy x 3senh3cos3 2 12. xyyy 2 sen43 En los ejercicios siguientes, establezca la forma apropiada de una solucin particular py , pero no determine los valores de los coeficientes. 13. xeyyy x sen22 14. 52 2)3()5( xeyy x 15. xxyy 2cos34 16. x exxyyy 3 212 17. )(23 2 xx eexyyy 18. xexyyy x 2sen136 3 19. xxyyy 2cossen45)4( 20. xxyy 3sen)1(9 2)4( 21. xxx eeexyDD 2223 )4()1( 22. xxyyy cos2 2)4(
  4. 4. Captulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogneas. Matemtica IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 4 Ejemplo 2.3. Utilice el mtodo apropiado para hallar la solucin general de la ecuacin diferencial xxyy 3sen49 . Solucin. i. Obtener hy , solucin general de la ecuacin homognea 09 yy . La ecuacin caracterstica es 092 m , cuyas races son: im 32,1 . La solucin de la ecuacin homognea es: xCxCyh 3sen3cos 21 ii. Utilizar xx 3sen4 para determinar la forma de la solucin particular py . De acuerdo con los trminos presentes (el producto de un polinomio de grado 1, x, con una funcin trigonomtrica, x3sen ), los trminos correspondientes en py sern el producto de un polinomio de grado 1 con la combinacin de senos y cosenos del mismo argumento: )3sen3cos()( 10 xBxAxAAyp La cual puede ser escrita, para mayor facilidad como: xxExxCxBxAyp 3sen3cos3sen3cos 2 iii. Trminos de py ( xBxA 3sen,3cos ) coinciden con trminos de hy , multiplicar el trmino en py por x: xxExxCxBxAxyp 3sen3cos)3sen3cos( xxExxCxxBxxAyp 3sen3cos3sen3cos Sin embargo, an existen trminos repetidos incluso dentro de la expresin de py misma ( xxA 3cos , xxC 3cos ) y ( xxB 3sen , xxE 3sen ), por lo cual es necesario multiplicar nuevamente por x a los trminos repetidos. )3sen3cos(3sen3cos xxExxCxxxBxxAyp xxExxCxxBxxAyp 3sen3cos3sen3cos 22
  5. 5. Captulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogneas. Matemtica IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 5 iv. Sustituir py y sus derivadas en la ecuacin no homognea y despejar los coeficientes. xxExxCxxBxxAyp 3sen3cos3sen3cos 22 xxCxEABxxExCBAyp 3sen]3)23([3cos]3)23([ 22 xxExCBEAxxCxEACByp 3sen]9)129()26[(3cos]9)129()26[( 22 Al sustituir en la ecuacin diferencial: xxxxCxxExEAxCB 3sen43sen123cos123sen)26(3cos)26( Al igualar los coeficientes, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: 026 CB 026 EA 012 E 412 C La solucin del sistema anterior es: 0A 9 1 B 3 1 C 0E La solucin particular es xxxxyp 3cos3sen 2 3 1 9 1 La solucin general es xxxxxCxCy 3cos3sen3sen3cos 2 3 1 9 1 21 Ejercicios propuestos. En los ejercicios siguientes resuelva la ecuacin diferencial por el mtodo de los coeficientes indeterminados. 23. xxyyy sencos54 24. x exyy 32 25. xeyy x sen2 26. xxyyy cos2 27. 2 xyy 28. x exyyy 2 )1(23 2 En el orden correlativo debi usarse la letra D, sin embargo, esta letra est reservada para el operador diferencial
  6. 6. Captulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogneas. Matemtica IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 6 29. x exxyy 2cos412 30. xxyy 2sen4 2 31. xx exexyyy 223 44 Utilice identidades trigonomtricas o hiperblicas para encontrar las soluciones generales de las ecuaciones en los ejercicios siguientes. Resuelva la ecuacin diferencial por el mtodo de los coeficientes indeterminados. 32. xyyy 2cosh103 33. 22 cos xexyy x 34. xyy 2 sen4 35*. xxyy 2 sen44 36. xxyy 3 cos 37. xyy 4 sen9 38. xxyyy 3sensen Anuladores diferenciales (Operadores). Trmino en )(xF Operador anulador. C (Constante) D k k k k xaxaxaa 1 110 1k D x eC D xk k k k exaxaxaa )( 1 110 1 )( k D xC cos xC sen 22 D xxaxaxaa k k k k cos)( 1 110 xxaxaxaa k k k k sen)( 1 110 122 )( k D xeC x cos xeC x sen )(2 222 DD xexaxaxaa xk k k k cos)( 1 110 xexaxaxaa xk k k k sen)( 1 110 1222 )](2[ k DD En los ejercicios siguientes, encuentre un operador diferencial que anule a la funcin dada. 39. 2 261 xx 40. )51(3 xx 41. x e2 71 42. x exx 6 3
  7. 7. Captulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogneas. Matemtica IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 7 43. xxx 4sen913 2 44. xxx 5cos10sen8 45. xxx exexe 2 2 46. 2 )2( x e 47. xex 2cos3 48. xexe xx cossen 2 En los ejercicios siguientes resuelva la ecuacin diferencial por el mtodo de los anuladores. 49. 2 423 xyyy 50. xyy sen625 51. 2 )1(7 xyy 52. 156 2 xeyyy x 53. x exyy 54. xxyy 612 2 55. 643644 2 xeyyyy x 56*. )1()23( 3 xx exeyDD 57*. xxxyy coscos 58**. 22 sen4 xxexyy x 59. )2cos2sen(84 2 xxeyyy x 60. xxeyDD x sen72)1()1( 2 61. xxeyyyy x 2sen264 3 Mtodo de variacin de los parmetros. )(01 )1( 1 )( xFyayayaya n n n n . Mtodos de solucin. Primer mtodo. i. Hallar la solucin general hy de la ecuacin homognea: nnh yCyCyCy 2211 ii. Reemplazar las constantes de hy por variables, a fin de obtener py : nnp yvyvyvy 2211 . iii. Resolver el siguiente sistema, despejando las variables 1v , 2v , ..., nv : )( 0 0 0 )1()1( 22 )1( 11 2211 2211 2211 xFyvyvyv yvyvyv yvyvyv yvyvyv n nn nn nn nn nn
  8. 8. Captulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogneas. Matemtica IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 8 iv. Integrar para hallar 1v , 2v , ..., nv . v. Formar la solucin general: hp yyy . La solucin del sistema de ecuaciones para ecuaciones diferenciales de segundo y tercer orden es: Segundo orden. ),,( )( 0 21 2 2 1 nyyyw yxF y v ; ),,( )( 0 21 1 1 2 nyyyw xFy y v Alternativamente son aplicables las siguientes ecuaciones: xd yyyy xFy v 2121 2 1 )( ; xd yyyy xFy v 2121 1 2 )( Tercer orden. ),,( )( 0 0 21 32 32 32 1 nyyyw yyxF yy yy v ; ),,( )( 0 0 21 31 31 31 2 nyyyw yxFy yy yy v ; ),,( )( 0 0 21 21 21 21 3 nyyyw xFyy yy yy v Segundo mtodo. n k n k kp xd yyyw xFxw yxy 1 21 ),,( )()( )( , ),,()1( 21 n kn k yyyww En los ejercicios siguientes resuelva la ecuacin diferencial por el mtodo de variacin de parmetros. 62. 1 x eyy 63. x eyyyy 46116 64. xx eeyyyy 3 33 65. xyy tan 66. 13tan xxyy 67**. xyy tan 68. x x e e yyy 2 2 1 23 69. xxyy tansec Resumiendo,
  9. 9. Captulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogneas. Matemtica IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 9 1. El mtodo de coeficientes indeterminados es operativamente ms sencillo, ya que implica derivacin en vez de integracin, y debe preferirse cuando los coeficientes de la ecuacin diferencial son constantes y el trmino no homogneo )(xF est en la forma indicada. 2. Si los coeficientes de la ecuacin diferencial son constantes pero )(xF no est en la forma indicada, entonces la solucin particular puede determinarse por el mtodo de variacin de parmetros despus de resolver la ecuacin homognea relacionada. 3. Si los coeficientes de la ecuacin son variables, en general ser difcil encontrar la solucin, y usualmente implicar series infinitas. 4. Si slo est disponible una de las soluciones de la ecuacin homognea relacionada, la segunda solucin homognea puede obtenerse junto con una solucin particular aplicando el mtodo de reduccin de orden a la ecuacin no homognea dada. 2.7.- ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES. ECUACIN DE CAUCHY3 -EULER4 . Ecuacin de Cauchy Euler. Una ecuacin diferencial de la forma )(011 1 1 1 xFya xd yd xa xd yd xa xd yd xa n