02-RAICES DE ECUACIONES

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RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES CALCULO DE RAICES DE UNA ECUACION INTRODUCCION. DETERMINACION DE LOS VALORES INICIALES. METODO DEL PUNTO FIJO. METODO DE BISECCION O BIPARTICION. METODO DE LA REGULA FALSI. METODO DE LA SECANTE. METODO DE NEWTON-RAPHSON O DE LA TANGENTE. RAICES DE POLINOMIOS. EVALUACION DE UN POLINOMIO Y DE SUS DERIVADAS. METODO DE NEWTON PARA POLINOMIOS. RAICES DOBLES. OBTENCION DE TODAS LAS RAICES REALES DE UN POLINOMIO. DEFLACION DIRECTA E INVERSA. RAICES COMPLEJAS. METODO DE BAIRSTOW. EJEMPLOS DE APLICACIN. RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES. CALCULO DE RAICES DE UNA ECUACION. 1RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES CALCULO DE RAICES DE UNA ECUACION INTRODUCCION Deformageneralunaecuacinde lacualsequierencalcularsusracessepuedeescribirenla forma0 ) ( = x f , por lo que a las races tambin se las denominan ceros de la ecuacin. Existendiversasformasdeexpresarelproblemaanteriorsegnconvengaalalgoritmoque empleemosparasuresolucin.Esfrecuenteelpasodealgunostrminosde) (x f alsegundo miembroquedando) ( ) ( x h x g = porloqueloscerosdelaecuacinpasanaserpuntosde interseccin de dos funciones. Otra forma que puede adoptarse es lax x u = ) (bien aislando la variable en el segundo miembro o bien sumando x a ambos lados de la ecuacin0 ) ( = x f : x x ux xx u x x f= )`= += +) (0) ( ) ( El problema de su resolucin consiste para una ecuacin dada, en encontrar el valor o valores de la variable x que satisfacen la ecuacin, es decir 0xes una raz, solucin,cero de0 ) ( = x f , si y slo si. 0 ) (0= x f Salvoenelcasodeecuacionespolinmicasdegradoinferioracincoparalasqueexisten soluciones algebraicas o problemas muy sencillos en los que se puede despejar la variable x, no se pueden obtener las soluciones sin recurrir a un mtodo numrico. En general, los mtodos numricos de resolucin sern del tipo iterativo, consistiendo en obtener una sucesin de valores , , , , ,1 2 1 + n nx x x xque converjan a la solucin del problema. Paralaconstruccindelasucesinanteriorseemplearunafrmuladerecurrenciaode iteracin que en general podr expresarse como: , 1 , para ) , , , (1 1 1+ = =+ +k k n x x x F xk n n n n

quepermiteobtenerunnuevovalordelasucesinenfuncindeotrosvaloresconocidos,por supuestoparainiciarelprocesoycalcular 1 + kx esprecisoconocerloskvaloresiniciales kx x x , , ,2 1a elegir en base a las condiciones del problema o incluso de forma arbitraria. El nmero de valores iniciales y la forma de realizar las iteraciones dependen de cada uno de los mtodos particulares que describiremos a continuacin.Por otra parte, en general no podremos calcular el lmite de la sucesin anterior cuando nporloquehabremosdetruncarelprocesoenundeterminadovalor i kx+queserelvalor adoptadocomosolucindelproblemadespusdeaplicarlafrmuladerecurrenciaiveces,se dice entonces que hemos realizado un nmero i de iteraciones. RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES. CALCULO DE RAICES DE UNA ECUACION. 2Desdeunpuntodevistanumrico,escasiimposibleconseguirlaigualacinacerodela ecuacin0 ) ( = x f altrabajarconnmerosrealesredondeadosaundeterminadonmerode cifras.Porestemotivolacaracterizacindeloscerosdelaecuacin0 ) ( = x f ocualquierade sus otras formas equivalentes, se reduce a la comprobacin de la condicin: < = ) ( 0 ) ( de raiz0x f x f x en dondees la cota de error fijada de antemano y tan pequea como queramos. Obsrvese que la implicacin no es cierta en sentido contrario, pues si consideramos una cota de error410= para la resolucin de la ecuacin0 00001 . 1 22= + x x : > + = + =x x x x x f 0 00001 . 1 2 10 ) 1 ( ) (2 5 2 estaramos introduciendo valores como1 = xen los que = < = 4 510 10 ) 1 ( fy que por tanto serian considerados soluciones del problema. Porrazonamientosanlogosalosanterioresllegaramosaquelaecuacin0 =xe resueltacon unacalculadoradeochodgitosennotacincientficatieneunceroen228 = x (enrealidad cualquier valor menor que el anterior cumple la condicin), cosa que no es cierta pues se verifica que. 0 > x ex Otraformadecaracterizarlosceros,aplicablealacondicindefinalizacindelosprocesos iterativos, es la de determinar el intervalo comprendido entre dos valores sucesivos de la variable x donde necesariamente ha de encontrarse la raz, indicado mediante: < + i ix x1 queesvlidasisepuedeinterpretarcomoquelasolucinseencuentraentre 1y + i ix x conuna cotadeerror,precisinoamplituddelintervalo. Enotroscasospuedellevararesultados confusos como los indicados anteriormente. Porltimocomentarquesibienlaestimacindelerrorrelativopuedeserdegranintersy precisin, tambin plantea problemas cuando existen races distintas pero muy prximas entre si. ,como1 ) cos( x ,existeunnmerofinito de races y todas ellas son de mdulo menor de.1 En concreto puede observarse a partir de la grfica que si07958 . 0 = hay nueve races simples en el intervalo| | 4 , 4 . Raices de la ecuacin cos(x)= x alpha:=0.07958;Xmax:=1/alpha; := 0.07958 :=Xmax 12.56597135 Representacin grfica plot([cos(x),alpha*x], x=-5*Pi..5*Pi, colour=[blue,red]); RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES. CALCULO DE RAICES DE UNA ECUACION. 4 Representacin de detalle en extremo superior plot([cos(x),alpha*x], x=3.9*Pi..4.1*Pi, colour=[blue,red]); RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES. CALCULO DE RAICES DE UNA ECUACION. 5Por otra parte 51xex= tiene dos races simples, una en0 = xcomo es fcil de comprobar y otra en las proximidades de5 = xcomo se puede observar en la representacin grfica adjunta. Ademsapartirdelanlisisdelagrficaydeconsideracionesanalticaspuedededucirseque ninguna de las races es mltiple. METODO DEL PUNTO FIJO Sienlaecuacin0 ) ( = x f procedemosaaislarlavariablex,podemosescribirlaenlaforma ) (x g x =, se tratar de obtener un valor de x que sea invariante, es decir un punto fijo. Laoperacinanteriorsepuederealizardemuchasformas,sirvacomoejemploqueenla ecuacin0 6 52= + x xse pueden efectuar las siguientes transformaciones: ( )5 26 56 4 6 5566 522 22 + =+ = + + =+= =xx xx xx x x x x xxxx x en donde la ltima transformacin proviene de la igualdad ) () (x fx fx x = .Es importante advertir que segn la forma de aislar x, el mtodo iterativo puede converger ms o menos rpidamente o bien ser divergente. RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES. CALCULO DE RAICES DE UNA ECUACION. 6 Desdeunpuntodevistageomtricolaresolucinde) (x g x = sepuedeinterpretarcomola bsqueda del punto de interseccin de la rectax y =con la curva) (x g y = . Elprocedimientoseiniciaconunvalorde 0x y = conestevalorsecalcula ) ( ) (0 1 0x g x x g = procediendoasdeformareiteradaobteniendo) (1 2x g x = yengeneral ) (1 n nx g x =+. Y y = x g(x0)X x0y = g(x)x1 Lacondicindefinalizacinser < = + n n n nx x g x x ) (1,siendo lacotadeerror admitida. Si la sucesin{ }nxes tal que = nnx Lim entonces se verifica que( ) g =yser una raz de la ecuacin dada. Se puede comprobar que si( ) 1 > gel mtodo es inestable y divergente, mientras que cuanto menor sea( ) gms rpida ser la convergencia. Ejemplo1.-Consideremoslaecuacinrepresentadagrficamenteconanterioridadyordenada adecuadamente para su resolucin por el mtodo del punto fijo: ( ) ( )( ) == = =xxe Yx Ye x x g x1 5 : 2: 11 5 Se puede comprobar que esta tiene un valor bajo de( ) gen las proximidades del posible punto fijo estimado a partir de la grfica: ( ) ( ) 1 034 . 0 g 5 5 < = xe x g A continuacin se adjunta un algoritmo en MAPLE para resolver por el mtodo del punto fijo la ecuacin( )xe x = 1 5 . RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES. CALCULO DE RAICES DE UNA ECUACION. 7Funciones a evaluar > Y1:=x;Y2:=5*(1-exp(-x)); :=Y1 x :=Y25 5 e( ) x Valor de arranque y nmero de dgitos > Digits:=10;X[0]:=0.01; :=Digits 10 :=X00.01 Resolucin > for k from 1 to 20 do > X[k]:=evalf(subs(x=X[k-1],Y2)); > if abs(X[k]-X[k-1]) od; :=X10.049750832 :=X20.242667650 :=X31.077338952 :=X43.297497954 :=X54.815122168 :=X64.959468842 :=X74.964916731 :=X84.965107341 :=X94.965113991 :=X104.965114223 :=X114.965114231 :=X124.965114232 :=X134.965114232 Resultado obtenido > X:=evalf(X,10); :=X 4.965114232 RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES. CALCULO DE RAICES DE UNA ECUACION. 8Ejemplo 2.- El clculo de las races de1 2 ) (3+ = x x x fes inestable en las proximidades de 1 = si consideramos la ecuacin en la forma: ( ) 13+ = + = x x x f x x pues en este caso( ) ( ) . 1 2 1 1 3 ) ( 12 3> = = + = g x x g x x x g Sin embargo es estable el problema planteado en la forma equivalente: 1 3 1 2] 2 3 [1 2) 1 () (3 3123 + = + = + = ==x x x x xxx xxfx fx xx para el que( ) ( ) . 1 0 1 3 3 ) ( 1 32 3< = + = + = g x x g x x x g Enelalgoritmosiguienteseobservaquesielvalorinicialestcomprendidoentreceroyuno siempreseaproximaalaraz0.6180339888,paravaloresinicialesmayoresdeunodivergey paravaloresinicialesexactamenteigualesacerooaunoelalgoritmoconvergealaotraraz 1.0000000000. > Y1:=x;Y2:=x+(x^3-2*x+1); :=Y1 x :=Y2 + +x x31 Valor de arranque y nmero de dgitos Digits:=10;X[0]:=0; :=Digits 10 :=X00 Resolucin > for k from 1 to 20 do > X[k]:=evalf(subs(x=X[k-1],Y2)); > if abs(X[k]-X[k-1]) od: Resultado obtenido > X:=evalf(X,10); :=X 1. Como conclusin de lo expuesto anteriormente se deduce la conveniencia de estimar a priori ( ) ga travs de( ) f adoptando la transformacin: ( ) fx f x x g x = =1siendo ) ( ) (RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES. CALCULO DE RAICES DE UNA ECUACION. 9de este modo1 ) ( < gy se asegura la convergencia. Lo anterior slo plantea problemas en el caso de que( ) 0 fo incluso( ) 0 = fcomo es el caso de las races mltiples. METODO DE BISECCIONO BIPARTICION Se basa en la aplicacin reiterada del Teorema de Bolzano y es siempre convergente. Yf(x) X21 02x xx+=2x0x1x Si) (x f esunafuncincontinuaenelintervalo| |1 0, x x yverificaque0 ) ( ) (1 0< x f x f , podemos partir el intervalo por la mitad considerando: 21 02x xx+= puede ocurrir que exactamente0 ) (2= x fde manera que habremos obtenido una raz de forma directa,enca