Clase

1. Ecuaciones no lineales: método de Newton (recordatorio)

2. Generalización a sistemas de ecuaciones no lineales: Newton vectorial

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MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (escalar))

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (vectorial))

¿Podemos generalizar este método para el caso de tener más de una ecuación no lineal a la vez? Ejemplo con 2 ecuaciones no lineales

Ejercicio en clase - Implementar función vectorial

…………

Desarrollo de Taylor hasta orden 1 (caso de sistema de 2 ecuaciones)

Y de forma general, el algoritmo en el paso n-ésimo es

El algoritmo, así descrito, exige calcular la matriz jacobiana y su inversa. Por tanto, es condición necesaria para que el método se pueda aplicar que el determinante de esta matriz (el jacobiano de F) sea no se anule para cualquier aproximación al vector solución.

… ¿Y si no sabemos calcular matrices inversas de forma general?...

ALGORITMO de Newton para sistemas EN 2 PASOS

Sea el sistema F(x)=0, donde F=(f1(x

1…x

n), f

2(x

1…x

n)…, f

n(x

1…x

n)) y J la matriz jacobiana de F.

Entonces, en el paso n-ésimo del algoritmo:

1- Encuentra el vector Y que resuelve el sistema lineal

J(x(k-1))Y= - F(x(k-1))

2- La nueva aproximación al vector solución será

x(k)=x(k-1) + Y

Vector Y

Ejercicio en clase - Implementar subrutina con función vectorial - Subrutina Newton vectorial: argumentos por cabecera

CRITERIO DE PARADA

,y además, ||F(x)||<

COMENTARIOS Es necesario calcular la matriz jacobiana, es decir, realizar derivadas parciales… ¿podemos extender el concepto de derivada numérica, cuando la función es vectorial? Ejercicio para casa Igual que para el caso escalar, el Newton vectorial puede converger o no converger, y la elección de la aproximación inicial es clave. Además, si el sistema tiene varias soluciones, la aproximación inicial determina hacia cuál de las soluciones converge.

La convergencia del método es cuadrática.

Existen muchas variantes de este método (así como existen muchas alternativas para calcular raices de ecuaciones no lineales): métodos quasi-Newton (consisten en evaluar la matriz jacobiana cada m pasos únicamente, o

en aproximar la matriz jacobiana –método de Broyden-)