2.1. DIFERENCIABILIDAD2.1. DIFERENCIABILIDAD En el sentido anterior podemos decir que las filas de...

2.1. DIFERENCIABILIDAD 95

así como 8v f(a) := ~~ (a) := Dvf(a). (c) Si f = (JI,'" , fn) tiene derivadas parciales en todos los puntos de U y ~ : U ---> lR., 1 'S j 'S m, 1 'S i 'S 71., existen y resultan continuas en U

J

entonces se dice que f es de clase el en U. Se escribe fE el(U,lR.n ).

Proposición 2.1.13 Supongamos f : U ---> lR.n , a un punto del abierto U ~ lR.m , Of; v E lR.m y f = (JI , '" , f n). Entonces la derivada direccional Dv f (a) existe sí y sólo si las derivadas direccionales de las componentes de f , Dvfi(a), 1 'S i 'S 71. , existen; si es el caso ,

D"I(a) := (DvI, (a) , · .. , Dvln(a)).

En particular para v = ei , 1 'S i 'S m se tiene

8f 8fl 8fn-(a) = (-(a) , ,, · , -. (a)) (2.18)8Xi 8xj 8xj

2.1.3. La matrÍz jacobiana de la derivada

Determinemos ahora la representación mat.ricial de la derivada df (a) en las bases canónicas de lR.m y lR.n .

Definición 2.1.14 La matr'ÍZ de la deTivada df(a) E L(lR.m,lR.n ) de una aplicación f : U ---> lR.n con respecto a las bases canónicas de lR.m y lR.n se denota por l' (a) y se llama la matriz jacobiana de f en a. Si f = (JI,'" , f n) se escribe también para la matriz de 71. filas y m columnas f'(a)

8(J,,'" , fn ) (0.):= J' (a) 8(XI,'" ,xm )

Si n = m entonces det l' (a) se llama el jacobiano de f en a. Se esc'ribe

l¡(a) := det J'(a)

Teorema 2.1.15 Sea f : U ---> lR.n una aplicación d~ferenciable en el punto a del abierto U e lR.m . Entonces, si I = (JI,' .. , fn) (a) Para todo v f; o E lR. m existe la derivada direccional Dv f(a) E lR.n y se tiene

df(a)v = Dvf(a). (2.19)

En particular todas las derivadas parciales Djf(a) E lR.n existen en a y

dfi(a)ej = DJf;(a) =: 8~fl (a), para 1 'S j 'S m, 1 'S i 'S 71. (2.20) x·]

r UlI' "fD'!lLIN JEPTO. DE SfBLTOTECA!::.

/:31 H:~ lnTr ~ \ .FrF" G . " 'v 1E:Z

96 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES

(b) Se tiene, con las 'identificaciones IRm = M (m, 1) , IR" = M (n, 1) Y f = (J¡, . . . , f,,)t , para todo v E IRm

dJ¡ (a)v) ( ~~~ (a) :!.~: (a) ) ( ~¡ ) (2.21)df(a)v = : = : (

dfn(a)v Mt(a) ~(a) Vm

Por lo tanto f' (a) = (~(a)) , donde i es el índice de fila y j el índice de columna, f'(a) E M(n x m). Para (2.19) podemos escribir también

m of df(a)v = Dvf(a) = .L OX (a)vi (2.22)

i=¡ ,

es decir Dvf(a) es combinación lineal de las derivadas parciales en a.

Demostración. (a) Para O i- v E IRm , t > O y df(a) lineal se obtiene

f(a + tv) - f(a) - df(a)(tv) = ~ [f(a + tv) - f(a) - df(a)v] . t Ivl Ivl J

Como f es diferenciable en a, el límite del lado izquierdo para t ----. O es O. Se sigue (2.19) y con eso (2.20). (b) Determinamos la componente i , 1 S i S m, de la matriz columna df(a)v , es decir (df(a)vk Entonces por (2.19): (df(a)v)i = (Dvf(a))i. Ahora por Lema 2.1.9 , (2.18), .Y v = v¡e¡ + ... + vmem obtenemos para 1 S i S m

m

(Dvf(a))i = Dvfi(a) = df;(a)v = .L vjDf;(a)eJ

j=¡

m (Ofi of; )= .L vjDjfi(a) = O:1;¡ (a),··· , oX

j=l m (:J

y con lo cual (2.21) se obtiene en forma inmediata. _

Definición 2.1.16 La matríz fila en (2.22) , vista como vector, es decir

of Of)~(a),··· , -;:;-:-(a) =: gradf(a) = : \7 f (a) (2.23)( UX¡ UX m

se llama el gradiente de la función Teal valuada f en la base canónica de IRm .

2.1. DIFERENCIABILIDAD

En el sentido anterior podemos decir que las filas de la matríz jacobiana f'(a) son los gradientes de las componentes de f = (J¡, . .. ,fn). Para (2.22) podemos escribir con el product.o interno canónico

df(a)v = (\1 f(a)), v)

Se concluye del Teorema 2.l.15 para f = (JI,' .. , fn) : U ------+ ~n diferenciable en a que todas las derivadas parciales de cada una de las componentes de f existen en a sí y sólo si las derivadas direccionales existen en a para todo v E ~m, v =1- O.

Corolario 2.1.17 Si f : U ------+ ~n es diferenC'iable en U y a E U, entonces df : U ------+ L(~m, ~n) es continua en a sí y s610 si las derivadas parciales ~ : U ------+ ~n, 1 ~ i ~ m son continuas en a sí y s610 si las derivadas direccionales Dvf : U ------+ ~n son continuas en a

Demostración. Se sigue con Teorema 2.l.15. Observar que df es continua en a si para todo v =1- °la aplicación a' f-----> Df(a' )v , a' E U es continua en a. _

Recíprocamente vemos, con un ejemplo, que la existencia de la derivada direccional Dvf(a) , para todo v E ~n y hasta en una vecindad de a, no implica que f sea diferenciable en a, ni siquiera continua en a.

Ejemplo 2.1.18 Sea f : Ifl!2 ------+ Ifl! dada por f(O, O) y f(x, y) = x 3yjx6 +y2 para (x, y) =1- (O, O) . En (x, y) =1- (O, O), f es claramente continua. Para todo x =1- O tenemos f(x,x 3 ) = ~ y así f es discontinua en (0,0). Calculando las derivadas direccionales para v = (VI, V2) =1- (O, O) obtenemos

~f(O,O):= lím f (tv J ,tv2) = lím t4vrV2 ov t~O t I.~O t 7V) + t3v~

= lím tvrv2 = O t~O t4v~ + v~

Además resulta que la derivada direccional de f es incluso lineal en v, es decir

of ot af o f o f o(tv) (x, y) = t ov (x, y), o(v + w) (x, y) = ov (x, y) + OW (x, y)

'í/t E lR, v, W E ~2 Y u = (x, y) E ~2 fijo. En efecto es obvio para (x, y) = (O, O) y se sigue en el otro ca..c:¡o, por cálculo de una variable con y(t) := f(u + tv) de ~;(u) = y'(O).

97


Se concluye así que es necesaria una condición adicional, a la existencia de las derivadas parciales de f , para que la función sea diferenciable en un punto a. Se probará ahora un criterio muy práctico .

Teorema 2.1.19 (Criterio de diferenciabilidad) . Sean f : U -----> IR", a un punto interior de U e IRtm y f = (JI,· · . , fn ). Si todas ¿as derivadas parciales de f existen en una vecindad de a y son continuas en a , entonces f es diferenciable en a .

Demostración. Por Lema 2.1.9 basta considerar el ca.so n = 1, es decir, f realvaluada. Como Djf es continua en a, para é > O existe r > O tal que B(a; r) e U(norma euclídea en IRtm ) y

I Djf (x ) - Djf(a)1 < ~, '

2.1. DJFERENeJABJLIDAD

Ejemplo 2.1. 20 (D~[erenciación de una aplicación rotacionalmente simétrica). Sea

100 CAPÍTULO 2.

para 1 < i S; n, de df : U en U. (c)

En un sentido geométrico se dice que una f : U rn;m ----> rn;m es, o un campo vectorial en U Si f : U rn;m ---> rn; una función con

de primer orden en U entonces

vf :U rn;n x f(x),· ,. ,

se llama el campo vectorial gradiente de f. Se escribe

gradf

y si introducimos el "vector - V = , Dm) con las componentes , ... , Dm entonces escribir formalmente grad! Vf

como producto interno de V con f := v' f.

Introduzcamos además algunos y notaciones de amplio uso:

Si f : U ----> rn;m, U e rn;m, es un campo vectorial que tiene derivadas ~. en todo 1 S; i, j m, entonces el campo divf .

por

para x U

vergencia del campo f, div f (x) es la traza de la matriz

\Ix E U.

Si usamos el V = (DI,' " Dn) se escribir

V f = DI/¡ + .. + = d'ivf

Para m = 3, f ) X2, X3) se introduce además el campo vectorial rotf ' U definido por

rotf (D2h f¡) = V x f (2,27)

y donde x se usa en el del vectorial en . rotf se llama la rotaci6n del campo vectorial f : U ,Uc


2.1.4. El teorema de las derivadas cruzadas

Derivadas parciales de orden superior

Definimos derivadas parciales de orden superior, de una función f : U ----> IR sobre un ab ierto U e IRffi, por recurrencia: Si i, j E {l, . . . ,m} y la derivada parcial Di! (que se llR.ma una derivada parcial de orden 1) está definida en U y si ex iste Dj (DJ)(a) para algún a E U decimos que f tiene derivada parcial de segundo orden, Dij f (a), en a dada por

Si Dijf(a ) está definida para todo a E U dec imos que f tiene derivada de segundo orden Dijf en U. Para i = j escribimos también Drf. Recursivamente se definen para k ;::: 2 derivadas parciales de orden k en a E U, para ]1,'" , ]k E {l , ··· ,m}, si Djl · · · jk - If está definida en una vecindad de a, por

si el lado derecho en (*) existen y Dj¡ .. jk se llama un a derivada de orden k de f en a.

Definición 2.1.22 Si todas las derivadas parciales hasta el orden k (k;::: 1) de f : U ----> IR existen en U y son continuas decimos que f es de clase e k

en U. Si las derivadas parciales existen para todo k ;::: 1 decimos que f es de clase eoo en U. Se escribe f E eOO(U) := n ek(U). Una derivada

kEl'I parcial de orden O de f es la fun ción f . Para una func ión f : U ----> IRn , f = (JI,'" , fn) se dice que es de clase e k (1 ~ k ~ ()()) en U si cada componente Ji lo es. Se escribe f E ek (U, IRn ).

Observación 2 .1.23 (a) En general Di( Dj!) no será igual a Dj (Di!) para i 1= j, es deci r las derivadas parcia les pueden depender del orden en que se formen . (b) Por Teorema 2. 1.21 se sigue, s i todas las derivadas pa rciales de orden k existen y son continuas en U entonces también lo son las derivadas parciales de orden econ O~ e< k y son funcion es diferenciables en U. Claramente para O~ k ~ ()()

eOO(U) e ek+1 (U) e ek(u) e ... e eO(U) := e(u)

Además f E ek(U), k ;::: 1, sf y sólo si para todo 1 ~ j ~ m Djf E ek- 1(U).

101


Ejemplo 2.1.24 Para la forma cuadrática f : ]R.m -----t]R. definida por m

lA 1 ~ mf(x) := X X = :2 0 ajkXjXk , X E IR = M(m , 1) j ,k=l

con A = (ajk) una matriz m por m simétrica, se tiene que f es de clase coo(IRm),df(a)h = atAh y para la matríz de las segundas derivadas parciales

fXlxl fXIX2 fXlx", ) J"(a):= (JXiXj(a)) := : : (a)

( fX 1n X l fX m xm

se tiene J"(a) A. En realidad las derivadas parciales de orden > 3 se anulan en ]R.n.

Ejemplos de funciones de clase C k

Ejemplo 2.1.25 Con las reglas de diferenciación de funciones de una variable obtenemos, si f, 9 : U -----t ]R. son real valuadas de clase Ck en el abierto U e ~m, que también f + g, f·.9, Y (si, g(x) f. O en U) f /g son de clase C k en U.

Ejemplo 2.1.26 Todo polinomio en dos variables, es decir p : ~2 ----t ]R., definido por

2p(x, y) = ¿ aijXky€ aij E]R., (x, y) E ~ k,e=U

k/5:n

es obviamente una función continua, por ser suma finita de productos de potencias de las proyecciones canónicas 'ir¡ (x, y) = x, 'ir2(X, y) = y. Claramente p posee derivadas parciales D¡p(x, y), D2P(x, y) que también son polinomios y por tanto continuos. Por el Teorema 2.1.21 se sigue pE C¡ (~2). Como DIP y D2P son polinomios y con eso de clase C l en ~2 , se sigue que P E C2(~2) . Recursivamente obtenemos P E Ck (~2), \fk 2 O, es decir P E coo(]R.2). Análogamente, todo polinomio en m variables y valores en ~n, P : ]R.m ----t ]R.n dado por

. i l i m( ) ¿ k

"'2 xP X a '¡ rn I ···xm it,··· ,im= O

con x = (XI," . ,Xm ) E ]R.m, ai¡ ... i m E ~n cumple P E coo (~m).

2.1. DIFERENeIABILIDAD 103

Ejemplo 2.1.27 Toda función bilineal ! : )Rm X )Rn ----+)R es una función de clase eoo en )Rm+n = )Rm X )Rn. En efecto, basta observar que para

m n X = L Xie Y y = L Yjej a )Rn se sigue

i=J j=J

n n

!(x,y) = L LXiYj!(ei,ej) (*) i= J j=J

de donde es inmediato con Ejemplo 2.1.26 que! E eOO()Rm+n). En realidad, las derivadas parciales de orden ~ 3 se anulan. Ya se sabía de Proposición 2.l. 6 que ! era de clase el. Así el producto interno en )Rn, el producto de matrices M (p, n) x M (n, m) M (p, m) si se identifican M (p, m) = )Rpn,f-----+ M(n, m) = )Rnm y M(p, m) = )Rpm lleva para la función bilineal


El Teorema de las derivadas cruzadas o Teorema de Schwarz

Supongamos f : U ~ ]Rm --> ]R, donde U es abier to y a E U. Si para 1 :s: i , j :s: m , i 1= j existen las derivadas parciales de segundo orden Dij f := Dj(DiJ) y DjiJ en a, cabe preguntarse si el orden en que se han tomado las derivadas parciales es relevante. Resulta que en general (DijJ)(a ) 1= (DJiJ)(a) aún si las derivadas Dijf , DjiJ existen en todo U . En efecto,

Ejemplo 2.1.29 Sea f : ]R2 --> ]R dada por

xy(x2 _ y2 ) SI X2 + y2 > Of (x, y) = O x2 + y2

{ si (x,y) = (0,0)

Obviamente f E coo(]R2 '-. (O, O)). En (O, O) se verifica, por cálculo directo , que (DuJ)(O,O ) = (D22 J)(0 ,0) = O. Para (D12J) (0,0) obtenemos : Si y 1= O entonces f (O,y) = O con lo cual

, xy(x2 _ y2) (D¡f)(O,y) = limo (2 + 2) = -y, y 1= O

x~ x x y

y con eso

(D12J)(0, O) = D2 (D¡f)(0, O) = lím (D1f)(0 , y ) = -1 y~o y .

En forma análoga se obtiene (D21 f)(0 ,O) = +1. Luego (D 12f) (0, O) 1= (D21J)(0 ,0). Observe que D12f y D21f existen en todo JR2 Por el teorema que seguirá se tiene que (D 12 f) (X,y) = (D21f)( X,y), para todo (x , y) =f. (O, O).

Por lo tanto es importante tener condiciones que impliquen que el orden en que se toman las derivadas parciales sea irrelevante. Hay diferentes condiciones que garantizan ésto.

Teorema 2.1.30 (de Schwarz generalizado). Sea f : U --> ]R con U un abier-to en ]Rm. Supongamos que i , j E {1,· .. , m} y las derivadas par-ciales DiJ, Djf existen en U. Además la derivada par-cial Dijf := Dj (DiJ) exista en U y sea continua en e E U. Entonces DjiJ existe en c y se tiene Dijf(c) = DjiJ(c).

Demostración. Como el enunciado involucra sólo dos variables, mientras i las otras permanecen fijas, podemos suponer que m = 2, es decir U ~ ]R2 , i =


1,j = 2,c = (a,b) E U. Sea h -=1= O,k -=1= O Y Q ~ U el rectándulo cerrado determinado por los puntos (a, b) Y (a + h, b + k). Si ponemos

6.(f, Q) := f(a + h, b + k) - f(a + h, b) - f(a, b + k) + f(a, b), (*) o

entonces exis te (x, y ) E Q tal que

6.(f, Q) = hk(D 12 f)(X , y ).

En efecto , poniendo u(t) := f (t, b+ k) - f (t, b), a ::; t ::; a+h Y aplicando dos veces el teorema de valor medio para funciones de una variable, obtenemos

6.(f, Q) = u(a + h) - u (a) = hUf (x) = h [( D 1f) (.1:, b + k) - (D 1f) (x, b) 1 = h· k . (D I 2f)(.1:, y)

Ahora bien, D¡2! es continua en e = (0., b) con lo cual, para e > O dado, existe o> O tal que si Ihl , Ikl < o, tenemos

I(D 12f)(a, b) - (D¡2.f)(X , 71)1 < e , V(x, y) E Q.

En particular

Tomamos O < Ihl < O fijo y hacemos k ---+ O. Por hipótesis D2f existe en U y se obtiene de (*) y (**),

!(D2f)(a + h , b~ - (D2!)(a, b) _ (~12f)(a , b)! ::; e ,O < Ihl < o

Como e > Oera arbitrario, se sigue por definición de la derivada parcial, que D¡(D2f)(a,b) existe y es igual a (D 12f)(a,b),.

En la mayoría de las aplicaciones la siguiente versión es suficiente:

Corolario 2.1.31 Si f E C 2(U) entonces Dij f = Djd en U ~ IRm , para todo 1 ::; i, j ::; m.

Como toda permutación (k l ,k2,'" ,kr ) de (1,2, .. · ,r) se puede obtener por transposiciones de dos elementos, una aplicación sucesiva de . Teorema 2.1.30 permite obtener

105


Corolario 2.1.32 Sea f: U ~]Rm ----t ]R,f E Cr(U),r:::: 2 y (jI,'" ,]r), una r-tupla de números naturales con 1 ::; jI, ... , jr ::; m. Si (k¡,' .. ,kr ) es cualquier permutación de (1,2, ... ,T), Y ponemos ('tI, ... ,ir) := (jk¡, ... ,.7k,..), entonces

Di1,j = D j ¡j2'-Jr f en U,

y en escritura más tradiczonal,

éY f 8r f en U.

8.Ti, .. ·8Xi28x;¡ 8Xjr .. ·8xJ2 8xj[

Como ilustración consideremos una función f : U ~ ]R:2 ----t]R, (x, y) ----t f (x, y) de clase C 3 en U. Tenemos 23 = 8 derivadas parciales de orden 3. Aparte de Dlllf =: Dy! y Dy tenemos las derivadas mixtas de tercer orden

D 211 f , D 12¡f D l12 f D122 f D 21 2! D221f (*)

Veamos, como afirma Corolario 2.1.32, que las primeras tres son iguales. En efecto, usando Teorema 2.1.10 se obtiene D 211 f = DI (D21 J) = D¡ (D I2 J) = D l21 f Y D l21 f = DI [D2(DIJ)] = D 21 (D¡f) = D 12 (D 1J) = Dll2f.

Análogamente se verifica que las tres últimas derivadas parciales en (*) también son iguales. Conclufmos con eso que a lo sumo cuatro derivadas parciales de tercer orden son diferentes.

Otro enunciado que garantiza la independencia de las derivadas parciales del orden en que éstas se formen lo da el Teorema que sigue.

Primeramente, vamos a definir, por inducción sobre k, cuándo una función es k veces diferenciable en un punto de su dominio. Para eso sea, como siempre, U ~ ]Rm un abierto, a E U Y f : U ----+ ]Rm.

Definición 2.1.33 Para k = 1 : f se dice una vez diferenC'lable en a si f

es diferenC'lable en a.

Para k = 2 : f se d'ice dos veces diferenciable en a si existe una vecindad V

de a tal que f es diferenciable en V y las denvadas parC'lales if, 1 ::; i ::; m,

(q'líe existen en V), son diferenciables en a.

Para k :::: 2: Decimos que f es k + 1 veces diferenciable en a si existe

vecindad V de a tal que f diferenciable en V y tI" 1 ::; 'Í, ::; rn son k veces

diferenciables en a. '.

f se d'ice k veces d'iferenC'lable en D e U S'l es k veces diferenciable para

todo a E D.


Como ilustración, anotemos el caso particular k = 3 · : f es tres veces diferenci ab le en a si f es diferenciab le en una vecindad de V de a y las derivadas parciales ~ (que existen en V) son diferenciables en V (lo que garantiza existencia de las derivadas 8~i~fXj en V) y las derivadas parciales de segundo orden son diferenciables en a (lo que garantiza la existencia de las derivadas parciales de t.ercer orden en a).

Nota 2.1.34 a) f E Ck(V) implica f es k veces diferenciable en U. (b) Si f E C k - 1(V) y las der ivadas parciales de orden k-l son diferenciables en a entonces f es k veces diferenciable en a. (c) f k veces diferenciable en vecindad W de a entonces f E Ck- ¡(W) .

Teorema 2.1.35 Sea f : V ------+ ~ con V e ~m abierto, a E V, Y f dos veces difeTenciable en el punto a E V. Entonces para todo 1 :S i, j :S m se tiene

Demostración. Como en la prueba de Teorema 2.l.30, para simplificar la notación y si n perder generalidad , podemos suponer V e ~2 y a := (b, e) E U. Consideramos la función

cp(t) := f(b + t, c + t) - f(b + t, e) - f(b, e + t) + f(b, e)

para t E (-é, é) Y é > O suficientemente pequeño. Con

r¡(x) = f (x, e + t) - f(x, e) (*)

es claro que cp(t) = r¡(b + t) - r¡(b) (* *)

Aplicamos el teorema de valor medio para funciones de una variable a (**): existe O < e < 1 tal que cp( t ) = r¡'(b + et)t y con (*) obtenemos cp(t) [O¡J(b + et, e + t) - D¡ f(b + et, e)]t. Ahora bien, como D¡J : V ------+ IR es diferenciable en a = (b, e) se siguen

D¡f(b + et, e + t) = D¡J(a) + Dllf(a)et + D2¡J(a)t + T¡(t) con T¡ (t)lt ------+ O, para t ------+ O, y

D¡f (b + et, e) = D¡f(a ) + Dllf(a)et + T2(t)

con T2 (t )/t ------+ O, para t ------+ O. Por Jo tanto cp(t) = D21f (e) t2 + T(t)t con T(t) = T¡ (t ) - T2(t).y se sigue lím ~ = D2¡f(a).

I.~O .

Similarmente se obtiene con i)(t) := f(b + t , y)- f(b,y) que t~/ii2 D 12 f(a) . Se sigue la afirmación del Teorema. _

107


Observación 2.1.36 Del Teorema anterior se deduce en forma similar como se hizo con Teorema 2.1.30 un resultado análogo al Corolario 2.1.32 de dicho teorema, si la función f es k veces diferenciable en a (k ~ 2).

2.1.5. Gradiente, diferencial y l-formas

Sea en lo siguiente f : U ~ IR una función definida en el abierto U e IRm .Entonces se tiene , si f es diferenciable en U, para la derivada o el diferencial de f en a E U, si v = (Vi,'" , vm ) E IRm,

df (a)v = J'(a) = Lm

Dd(a)vi (2.28) i=l

o también si, V se escribe como columna, v E M (n x l),

df(a)v = J' (a) . v (producto matricial)

Aquí J' (a) = (D¡f(a)··· Dmf(a)) E M(l x m), visto como vector, es el único z de IRm que, con respecto al producto interno canónico (-, '), cumple

(z, v) = df(a) v, para todo v E IRm .

Como df(a) E L(IRm , IR) = (IRm )*, la anterior igualdad es una representación de df (a) por z con respecto a (-, .). El vector z = (D¡f(a),· .. , Dmf (a)) se llama (Definición 2.1.16) el gradiente de f en a, con respecto al producto interno canónico.

Más general se define, si e,') =: B es un producto interno arbitrario en IRm como gradiente de f en a , con respecto a B, al único vector de IRm , denotado ahora por gradBf(a) que cumple

(gradBf(a), v) = df(a)v, para todo v E IRm (2.29)

Si (-,.) está dado por (x, y) := L0=¡ CijXiXj con una mat rfz (invertible) simétrica, entonces es fácil determinar la relación que existe entre grad f (a) y gradB f (a) )0 cual dejamos como ejercicio.

Propiedades geométricas del vector grad f (a)

Supongamos f : U ~ IR con grad f(a ) -::¡. O en U. Como propiedades IR1TIgeométricas mas importantes de grad f : U ~ anotamos:

(a) grad f (a) apunta en la dirección donde f es creciente y entre todas las d'irecciones pam las cuales f es creciente, la dirección del gmdiente es la de crecimiento más rápido.

2.1 . DIFERENeIABILIDAD

Precisemos estas afirmaciones: Como w = grad f(a) .¡:. o,se tiene

Dwf(a) = grad f(a) . w = [ grad f(a)[2 > O.

Esto nos dice, si usamos la regla de la cadena, que se probará más adelante, que para un camino diferenciable, A : (-é, é) ---+ U, A(O) = a, en el dominio de f, la función real f o A: (é,é ) ---+ IR tiene derivada

df(a)w = Dwf (a) = (f o A)'(O) > O (*)

y si f y A son de clase el, entonces (fOA)'(t) > O en una vecindad de t = O. Por lo tanto f o A es una función creciente en esa vecindad de O. Esto es lo que se quiere decir cuando se afirma que f crece en dirección del gradiente. Ahora bien (*) vale también para todo v E IRm con grad f(a)v > O pero el crecimiento en dirección de v = grad f(a) es más rápido en el siguiente sentido, si v E IRm con [v [ = [grad f( a) [ , entonces

Dvf(a) ~ Dwf(a) , donde w = grad f(a) .

En efecto, con Cauchy-Schwarz se sigue

Dvf(a) = grad f(a) , v ~ Igrad f(a)1 Iv[ = Igrad f(a)1 2

= Dwf(a)

(b) grad f (a) es ortogonal o nonnal a la "superficie de nivel" de f que pasa por el punto a E U.

Sea c := f (a) y

f-I(C) = {x [xEU, f(x)=c}CU

el conjunto f- I (c) se llama conjunto de nivel de f. Con grad f(a) .¡:. o y continuo sobre f-l(C), se puede probar que f-l(c) tiene en todo punto un plano tangente, generado por "vectores velocidad" y la afirmación que grad f(a) es ortogonal a f-l(C) quiere decir que es ortogonal a los vectores velocidad en el punto a de cualquier camino, diferenciable en t = O tal que A(O) = a y f (A(t)) = e, si t E (-e:,é). En efecto se sigue de f (A(t)) = O para tE (-é,é) Y la regla de la cadena (que se probará más adelante) que

0= (f o A)'(O) = Lm

Dd(a)A~(O) = grad f(a) • A'(O) ;=1

109

110 CAPÍTULO 2, APLICACIONES DIFERENCIABLES

lo que significa grad f(a) -.l >/(0) y donde >/(0) E IRm es el "vector velocidad" del camino en a = '\(0),

El diferencial de f en a

Demos ahora, para una función diferenciable f abierto U E IRm un sentido preciso a las fórmulas

U ----; IR, sobre un

df(a) = m

¿ D;f(a)dxi i=l

(2,30)

rn

df = ¿D;f dXi (2,31) ,:=1

que, en textos de cálculo, sólo son expresiones formales, Sabemos que para a E U Y x E IRm se tiene

m

df(a)x = ¿ D;f(a)xi' (2,32) i=1

Sea el,' , , , en la base canónica en IRm y e7, , , , ,e;" E (IRm)* := L(IRm , IR) la base dual, es decir ei ej = bij para 1 ~ i, j ~ rn, Todo f E (IRm )* se deja escribir como f = al e~ + ' , , + ane~con coeficientes únicos ai E IR, Para x = (Xl,'" ,Xm ) E IRm se tiene eix = ,Ti, 1 ~ i ~ 'm, es decir ei = 'ir;, donde 'iri es la proyección canónica sobre la componente i en IRm ,

Como las proyecciones 'iri E (IRm)* son funcionales lineales (continuos) se tiene para su derivada (o diferencial) en cualquier a E IR m , d'iri(a) = 'ir; Y así d'iri : IR'" ----; (IRm ) * es de valor constante 'ir;,

Con abuso de notación se escribe 'iri(X) = x;(x) = Xi, es decir se escribe también Xi para la función 'ir; (algo de frecuente uso en los textos de Cálculo cuando se escribe y = y(x), ahorrando así un símbolo extra para la función); Xi adquiere por 10 tanto doble significado, Con esta identificación se tiene dXi (a) = Xi para todo a E IRn (igualdad en IRm) *) y

dx; : IRm ------? (IRmr, a ------? dXi(a) = Xi, (2,33)

Con eso (2,32) se escribe, correctamente, como

m m

df(a)v = ¿ D;f(a)vi = ¿ D;f(a)dxi(a)v ti E IRm , a E U i-=J


o, en forma equivalente a nivel de funciones sobre rn;.m,

m

df(a) = L DJ(a)d:r:i(a) a E U i=1

y, con otro abuso de notación, por tener dXi valor constante Xi E (rn;.m) * según (2 .33), se escribe (en forma incorrecta)

df(a) = LIn

DJ(a)dxi para a E U (E rn;.m)*? (2.34 ) 'i=1

lo cual es (2.30). Se debe interpretar aquí a dXi como una proyección. Con esa interpretación los dTi, 1 ~ i ~ m, son una base del espacio dual, la base dual a la base canónica e1, ... , em . Se obtiene de (2.34) una fórmula correcta si se escribe

df = Lm

DJ dXi : U -+ (rn;.m)* (2.35) i=1

lo cual es (2.31) y donde los dXi tienen el significado verdadero. Es común

usar las escrituras (2.30) y (2.31).

Definamos ahora en forma más general:

Formas diferenciales de grado 1

Definición 2.1.37 Una forma diferencial de grado 1 o una l-forma sobre un conjunto n w(x) E (rn;.m)*

Como fue explicado anteriormente (y la interpretación descrita) dX1, ... , dX m forman la base dual a la base canónica el," . , em de (rn;.m), es decir dXiV = Vi si V = (VI,'" ,Vm ) E rn;.m. Toda l-forma w se escribe entonces

w(:r:) = a1(T)dT1 + ... + an(x)dx m , x E n

donde ai : n --+ rn;., 1 ~ i ~ m, son funciones reales únicas, es decir

(2.36)

(ahora los dXi en su significado correcto).

111

112

Supongamos Q U e IR: m un abierto. dice qlte es de clase en U, O S;; k S;; 00, si y sólo si para todo x f-----t es de clase en U sí y sólo las

1r1Pr¡tp< al,'" ,am en (2.36) son de clase ek en U.

El ejemplo más simple de una 1-forma de clase se obtiene por el diferencial de una j : U ---t IR: de cla.'le En efecto, para cada

E IR:17lx E U , v se tiene dj(x)v 1D;j(X)Vi, lo que por lo anteriormente es dj con f E (U), l.:Si m.

Es una natural, si toda 1 w en U es la de una función j : U IR: , es decir dj w en U.

2.1.39 Una sobre el abierto U


F = (a], . .. ,am ) de clase C] en U tenga un potencial en U, es necesario que se satisfagan en U las condiciones de integrabilidad

oaj oa'i - - - = O, para 1::; i, j ::; m (2 .37)0.1:, ox j

Para m = 3 esto significa, por (2,27), rotF = O, es decir V x F = o. Resulta que se requieren hipótesis topológicas sobre U para que las condiciones de integrabilidad (2.37) sean también suficientes. No se considerará este asunto aquí. Se puede probar que la forma de clase Coo en JR:2" {o}, y definida por w = ad,1: + bdy, d.x = dx], dy = d.X2, con coeficientes

-y ,x 2a(x, y) = 2 2' b(x, y) = 2 2 para (x,y) EJR: " {o}

x +y x + Y

es cerrada pero no exacta en JR:2 " {o}. Esto muestra que las condiciones de integrabilidad no son suficientes.

2.1.6. La regla de la cadena

La versión intrínseca de la regla de la cadena que demostraremos a continuación dice, en esencia, que la derivada de la ap licación compuesta 9 o f, es la compos ición de las derivadas de f y 9 tomadas en puntos adecuados. Este resultado justifica también la definición de derivada que se ha dado. Para derivadas parciales no es válida la regla de la cadena.

Teorema 2.1.41 (regla de la cadena). Sean U ~ JR:m, V ~ JR:n abiertos, f : U -----> JR:n diferenciable en el punto a E U con f (U) ~ V Y 9 : V -----> JR:P diferenciable en el punto f (a) . Entonces 9 o f : U -----> JR:P es diferenciable en a y se tiene para d(g o 1) (a) E L (JR: m , JR:P),

d(g o 1)(a) = dg(J(a)) o df(a) (2.38)

Demostración. Sean b = f(a), A := df(a), B := dg(b). Veamos que con

r(h) := (g o 1)(a + h) - (g o 1)(a) - BAh Ihl < 8

se cumple r( h) / Ihl ----> O para h ----> O. Sean

rJ(h) = f(a + h) - f(a ) - Ah Ihl < 8 (a)

rg(k) = g(b + k) - g(b) - Bk Ikl < 8'. (b)

113

114 2.

Por hipótesis tenemos (h)/Ihl opara h -----+ O Y rg Ikl O para k -----+ O. Sea

k

6 y > IIAII. la última se oDtlene, observando que T g (h)) = O para

k = = O,

Tg -----+ O para h -----+ O

Podemos con (a), y (el

o flla+h.)-(q o J) + k) - g(b) = Bk +

+ T¡(h)) +

Se si!:rue r(h) B (h) + , y el estimativo

$IIBII +

de donde usando (d) y la /Ihl opara h -----+ O, que /(h) -----+ O para h -----+ O. 111

Nota 2.1.42 Es fácil ver de la prueba que el teorema es válido si se reemplazan IRm y IRn por normados E y F. Además es fácil ver, si f E (U, y g E el ( , que la aplicación

:U

es continua en U, es decir f g E IR").

dice que Teorema 2.1.41 es una versión intrínseca de la de la cadena dado que en su formulación no se hace uso de base y con eso de coordenadas. A continuación reformularemos el Teorema 2.1.41 introduciendo lo cual es importante para el cálculo concreto de derivadas.

Corolario 2.1.43 las condiciones del teorema antenor se tiene: Si f es de clase ek en U y g de en V, entonces g o f es de clase en U.

2.1. DIFERENeIABILIDAD ll5

Demostración. La fórmula (2.38) en el teorema anterior se escribe, a nivel funcional, como

d(g o f) = (dg o f) o df: U ~ L(lR,m,II~.p),

o equivalentemente,

(g o f)1 = (gl o f) . !' : U ~ M (p, m), (2.39)

donde o indica composición de funciones y . producto de matrices. Si definimos la función bilineal

1-'- : M(p, n) x M(n, m) ~ M(p, m)

por I-'-(T, S) := T· S (producto de matrices), entonces (2.39) se escribe como

(g o f)1 = J-L o (g 0.[, !') (2.40)

donde (g o f , 1' ) : U ~ M(p, n) x M(n , m) es la función con coordenadas glo f y 1'. Veamos que el lado derecho en (2.4 0) es de clase ek en a . En efecto, se sigue con Ejemplo 2.1.27 que 1-'- : IR,np X IR,nm ~ IR,pm es de clase eoo , es decir 1-'- E ek para todo k :2 O. Procedemos inductivamente: Sean f de clase el en U y 9 de clase el en V. Entonces, por definición, l' es de clase eo en U y gl de clase ea en V. Se sigue gl o f E ea en U y con eso 1-'- o (gl o f, 1' ) E eo en U, con lo cual (g o f)1 E eo en U lo que significa 9 o f E el en U. Sea ahora k :2 2 Y la afirmación cierta para

lk - 1. Se tiene l' E ek- en U, por hipótesis de inducción. Se sigue de 1 l(2.40) que (g o f)1 E ek - en U, gl o f E ek - en U por hipótesis y con eso

1-'-0 (gl o f , 1' ) E ek- 1 en U. Por hipót.esis de inducción se sigue de (2.40) que (g o f)1 E ek- 1 en U, es decir 9 o f E ek en U.•

La regla de la cadena es de gran utilidad tanto para consideraciones teóricas como para el cálculo concret.o de derivadas. Para esto último expresémosla en términos de derivadas parciales. Escribimos x = (Xl,'" ,Xm ) E U, Y = (Yl,'" ,Yn) E V, f = (f¡, ... , fn ) : U c;: IR,m ~ V c;: IR,n , 9 = (gl,'" ,gp) : V c;: IR,n ~ IR,P, 9 o f = (gl o f ,··· ,gp o f) de manera que (g o f)i = gi o f, 1 :::; i :::; n. Como a la com posición de operadores lineales corresponde la multiplicación de sus matrices, obtenemos directamente del teorema anterior.

Corolario 2.1.44 Bajo la hipótesis de Teor-ema 2.1.41, las matrices jacobianas f'(a), gl(f(a)) y (g o f)1(a) de las aplicaciones f, 9 y 9 o f en los

116 2.

puntos están bien definidas y se en términos de producto de matrices

o f)1(a)

Equivalentemente, en términos de der"lvadas y en escr'itura tradise tiene pa.ra la. entrada (i,J) de o f)'(a), 1 :S í:S p, 1 j:S m,

w' ., (a) (a) (2.42)

para m n pIe identificando matrices 1 x 1, con se tIene. en términos de producto de números reales,

o

que es la conocida de la cadena para funciones de una variable.

Nota 2.1.45 l' es una matríz n por m y una matriz p por 11, con lo cual, en es una matriz p por m. En una notación clásica del cálculo pero

errores, es común formular la forma: Se escribe. introduciendo "variables",

1 k:Sn Zj l:Sj p

y la fórmula en suprimiendo los

1 :Si :S p, 1:S j :S m

Esta escritura está demasiado comprometida con el de lI variable ll para de vista funcional actual. que Zi en el lado

en realidad otra cosa que Zi en el lado derecho. Esto errores, particularmente cuando se calculan derivadas de orden Para mayor familiarización anotemos algunos casos de la explícitamente, en forma de corolarios: El primero, teniendo en cuenta que una función h : D lRm -7 ~p diferenciable sí sus funciones h 1, ... , hp son es en

esencial de la regla de la cadena y la que basta recordar.

2.1. DJFERENCJABJLIDAD 117

Corolario 2.1.46 Sean f = (JI,' . . , f n) : U IRn, 9 : V IR, o o

f (U) - : 1 --> V, con V - = (A 1, . . . , '>- n), un camino en V, diferenciable en a. Sea x = (X I ,'" ,.xn) E V, 9 = (gl,'" ,gp) : V IRP una función

o

diferenciable en .>-(a) E V. Entonces gOA es diferenciable en a, (g o A),(a) = g/(.>-(a) )· X (a) es una matriz p x 1, producto de las matrices X (a) E M (n, 1) y g/(A (a)) E M (p ,n) y sus componentes son

d(g¡ o A) (a) = t Ogi (A(a)) . dA k (a) l ~i~ p (2.44 ) dt OXk dt

k=l

Si escribimos .>- (t) = (X ¡(t), ... ,xn(t)) = x(t), obtenemos una escritura aún más tradicional

d(gi o A) (a) = t Ogi (x( a)) . dXk (a)

dt OXk dt

k=1

Nota 2.1.48 9 o A es, geométricamente, un camino en IRP, diferenciable en a. La ecuación (g o .>- )/(a) = g/(A (a)) . X(a ) nos dice que el operador lineal dg (A(a)) E L(IRn, IRP) , cuya ma tríz es g/(.>-(a)) E M(p,n ), lleva el vector tangente A/ (a) a la curva A en el punto .>- (a) , en el vector ti?-ngente (go A)'(a) a la curva 9 o A en el punto (g o A)(a ).

Si 9 : V IRP tiene derivada direccional Dvf(a), para a lgún a E V, v E IRn, entonces si A : (-E,E) ---> U es el camino A(t) = a+tv y escribimos el vect.or Dvg(a) E IRP como matríz p x 1 se tiene Dvg(a) = (g o A)'( O) . Si 9 es diferenciable en a, entonces la regla de la cadena nos da,

Dvg(a) = g/(A(O)) . '>-/ (0) = g/ (A(O))V v E IRP = M(p, 1)

= dg(a)v

UNlVllJlSIDAO NA ' lONA!. DI! COLOW'~ .a:u~ ",u~.oa.LlN

r>E PTO . DE BrB U OTECA' RI III .f Tr-e ,\ "FFE" Glh lEZ


En el numeral 2.1.5 apelamos al caso particular p = 1 de ésta fórmula. La regla de la cadena nos muestra además, si 9 es diferenciable, que

para calcular a Dvg(a ), podemos tomar cualquier camino diferenciable con A(O) = a y >.'(0) = v.

Para la derivada tenemos las siguientes reglas de diferenciación .

Teorema 2.1.49 Supongamos f , g : U

2.1 . DIFERENCIABILIDAD

Estas son las entradas de la matríz 1 x m que representa n a d(J g) (a) ,

d U) (a) en las bases canónicas de IR m y IR. Se sigue (b), (c). También tenemos que f . 9 y f / 9 son de clase C k en U si f y 9 lo son , por Corolario 2.l.44, ya que Tn y q son de clase Coa. Veamos (d ): Sabemos que!{J, por ser bilineal en IR n x IR n , es de clase Coa en su dominio. Además

d!{J(a, b)(v, w) = !{J(v, b) + !{J(a, w) , V(v, w) E IR n x IR n (*)

Aplicando la regla de la cadena a !{J(J, g ) := !{J o (J, g) obtenemos para todo v E IR n

d!{J(J, g)(a) . v = d(!{J o (J, g))(a) . v = d!{J (J(a ) , g(a )) . (df (a) . v, dg(a) v)

= !{J( df(a ) . v, g(a)) + !{J(J(a) , dg(a) . v),(.)

lo que queríamos probar. Se s igue además, s i f , 9 son de clase C k en U, entonces también !{J(f, g) lo es. Observemos que m: IR x IR ----> IR, m(u, v) = u . v en la demostrac ión de (b) es una función bilineal, de ma nera que (d) da otra vez (b) .

(e) Sólo fa lta demostrar la afirmación para f +9 y c· f. Basta observar que 1R 2nla apli cación a : IR n x IR n = ----> IR n dada por a(x, y) = x + y es bilinea l

y con eso Coaen su dominio. También (3 : IR n ----> IRn , (3x = c . x es lineal y con eso coa. Con f + 9 = a o (J, g) y cf = (3 o f se sigue la afirm ación, si f , 9 son de clase C k en U.•

Es importante anotar que en la regla de producto , (d) , se debe respetar el orden de los factores f , 9 si !{J no es simétrica.

Corolario 2.1.50 Toda fun ción racional en m variables es de clase Coa en su dominio.

Ejemplo 2 .1.51 Apliquemos la regla del producto en unos casos concretos: (a) Sea!{J: 1R3 x 1R 3 ----> 1R3 , (a, b) ----> a x b el producto vectorial en 1R3

y f , 9 : J ----> 1R3 funciones diferenciables en el intervalo J e IR. Entonces f x g:=!{JO (J,g) : J ----> 1R 3 , con

!{Jo (J,g )(x) = !{J(J(x) , g(x)), x E J

es diferenciable en J y se tiene (J x g)' = l' x 9 + f X 9' (por ser 1 ~ IR podemos cancela r h en (d))

119


(b) Sean U ~ ~m abierto, f : U -- ~ (real valuada), F U __ JR.11 diferenciables en a E U; entonces el producto

fF: U -- ~m, (JF)(x) = f(x)· F(x), x E U

es diferenciable en a y para h E ~m se tiene

(JF)'(a)h = (J'(a)h)· F(a) + f(a)(F'(a)h) = [F(a)J'(a) + f(a)F'(a)] h

es decir, a nivel matricial, (J F)'(a) = F(a)J'(a) + f(a)F'(a) . (c) Calculamos la derivada de la "Inversión en O", es decir

xi : ~n " {o} __ ~" " {o} con i(x) = Ix1 2 '

La función x f---7 Ix /2 = (x, x) tiene en a E ~11 = M (n, 1) la derivada 2a, y asf para f(x) = dP en a f. o se obtiene J'(a) = -~. Para i = f · id se sigue, con el ejemplo anterior,

i'(a) = 2(a,a) + _1_. E = --;'(la/ 2 . E - 2 (a , a)) lal4 lal 2 lal

donde E es la matrfz unitaria en ~n. Con eso es claro que i' (a) es una matrfz simétrica.

Definición 2.1.52 Sean U, V E ~n abiertos y f : U -+ V biyectiva. Deci- ' mos que f es un dijeomorfismo (de abiertos) si j y f-l son diferenC'iables. Si f y j-l son de clase ek , k ~ l,decimos que f es un difeomorfismo de clase ek . Para k = O, f se llama un homeomorfismo de U sobre V.

Para posterior uso y como una aplicación de la regla de la cadena, extendamos el resultado obtenido en Ejemplo 2.1.6 referente a la operación de inversión de matrices o, equivalente, a la inversión de operadores lineales. Usamos la identificación canónica M(n, n) = ~n2.

Proposición 2.1.53 Sea U := GL(JR.l1 ) ~ JR.n2 el conjunto de las matrices invertibles en M(n, n) y f : U -- ~n2 la apl-icación f(X) = X- 1 para X E U. Entonces f es un difeomorfismo de clase eoo de U sobre U.

Demostración. Por ejemplo 2.1.6 sabemos que f es diferenciable en U y

dj(X)V = -X- 1VX- 1 , para X E U y V E ~n2.

http:GL(JR.l1


Se sigue que la derivada direccional existe y está dada, para X E U y V E ]Rn

2 , por

Dvf(X) = -X-IVX- 1

Sean V E ]Rn2 fijo y tpv : ]Rn2 x]Rn2 ----; ]Rn2 la aplicación bilineal tpv(X, Y) = XVY, para X, Y E ]Rn2. Si (1,1) : U ----; ]Rn2 X ]Rn2 es la aplicación dada por (1,1)(X) = (X-I,X- I ), X E U, entonces tenemos

Dv f = tpv o (1,1) : U ----; ]Rn2

.

Por el Teorema 2.1.21 se sigue, con la continuidad de f, que f E Cl(U~. Por lo tanto (1,1) E e1(U). La aplicación tpv es de clase eoo en ]Rn2 x]Rn . Con eso se sigue que Dv f = -tpv o (1,1) es de clase el en U y se concluye que f E e 2 (U).Obtenemos así, inductivamente, que f E ek(U), I¡Jk E N, es decir f E eOO(U) .•

2.1. 7. El teorema del valor medio

Para una función continua f : [a, b] ~ ]R ----; ]R, diferenciable en el intervalo abierto (a, b), se sabe, del análisis en una variable, que existe un punto x E (a, b) tal que

f(b) - f(a) = f'(x)(b - a) (*)

Este teorema, conocido bajo el nombre de teorema del valor medio, es muy útil en muchas situaciones. En particular se sigue de (*), si l' es acotada en (a,b) y M := sup {I1'(x)1 I x E (a,b)}, la desigualdad ..

If(b) - f(a)1 S /VI lb - al· (**)

El valor de la igualdad (*) es limitado dado que sobre el punto x no se sabe más que encontrarse en el intervalo (a, b) y así, en realidad, no se conoce. Para aplicaciones lo importante es poder deducir la desigualdad (**).

Para funciones de m variables, pero IR-valuadas, se puede obtener con la regla de la cadena, el análogo de (*) Mientras que, para funciones ]Rn-valuadas sólo se obtiene una desigualdad (**). Comenzamos con el caso de funciones ]R-valuadas.

Teorema 2.1.54 Sea U ~ ]Rm un abi.eno y a, b E U tal que el segmento S [a, b] := {x Ix = tb + (1 - t)a, O S t SI} esté contenido en U. Sea f : U ----; ]R una función continua sobre el segmento S [a, b] y diferenciable en

121


los puntos del segmento con O < .A < 1, es deciT en el segmento abieTto S(a, b). Entonces existe O < e < 1 tal que

f (b) - f(a) = Lm

Dif(a + eb)(bi - ai) = df(a + eb)(b - a), i= l

= (\lf(a +eb), b-a)

lo que es una generalización de (*). En paTticular, lJ(b) - f(a)1 ::; M lb - al si IIdf( x) II ::; M en S(a , b)

Demostración. Basta considerar la aplicación 9 = f o, : [0 , 1] ----7 IR, donde ,(t) = tb + (1 - t)a = 0.+ t(b - a), O ::; t ::; 1 Y aplicar el teorema de valor medio para funciones de una variable. En efecto, con la regla de la cadena (m = 1,n E N,p = 1) obtenemos dg(t ) = df(g(t)). d,(t) Y con el teorema de valor medio g(O) = f(b), g(l) = f(b) se obtiene un e, O < () < 1, tal que

f(b ) - f(a) = g(l) - g(O) = dg(O) . 1 = df(a + eb)(b - a)

= f'(a + eb) . (b - a) = Lm

Dif(a + eb)(bi - ai). i=1

lo que basta para probar el teorema. _

Nota 2.1.55 En el caso f : U t;;;; IRm ----7 IR n , n > 1, se muestra fácilmente con un ejemplo, que en general no se tiene una igualdad f(b) - f(a ) = df(x)(b - a), donde x es un punto adecuado del segmento S (0., b) t;;;; U.En efecto, consideremos el caso m = 1, n = 2, f = (/1,12) : IR ----7IR2 , f(x) = (f¡(x),h(x)) = (cos x,sen x), [a , b] = [0,27r] t;;;; IR. Entonces f(27r)-f(0) = (O, O) Y f'( x) = (-sen x, cos x) con lo cual 1f'(x)1 = 1, es d ecir f'(x) =f. O para todo x E IR, de donde resulta que f(27r)- f(O) = dI(x)(27f) = f'(x)(27r) es imposible , con x E (O, 27r).

Para funciones IRn-valuadas se cumple el siguiente resultado, también conocido como teorema de valor medio.

Teorema 2.1.56 Sea U t;;;; IRm abierto y convexo, M ~ O Y f : U ----7 IRn . Si f es diferenciable en U y tal que" df (x)" ::; M, para todo :r E U, entonces

If(b) - f(a)1 ::; M lb - al , Va, b E U, (2.45 )

es decir la función f es L'ipschitz en U.


Demostración. Si f(b) = f(a) la afirmación es trivial. Sean a, b E U con f(a) -1- f(b) . Si


{x Ix + t(y - x), O::; t ::; 1} está contenido en U. Entonces, si se define la matriz n x m , A = (aij), por

.1 A := f' (a + t(b - a))dt (*)!C. O

es decir aij = .I~l ~~; (a + t(b - a))dt, 1 ::; i ::; n, 1 ::; j ::; m, entonces para b - a E IRm = M(m , 1) se tiene, con f = (JI, '" ,fn)t,

f(b) - f(a) = A · (b - a) (**)

Demostración. Tomamos el camino de clase el, rectilfneo, cp(t) := a + t(b - a), O ::; t::; 1. Entonces cp(t) E U para O::; t ::; 1 Y cp(O) = a, cp(l) = b. Con f = (JI,'" , fn) y g(t) := fj (cp(t)) = fj(a + t(b - a)) es claro, con la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo, que

fj(b)- fj(a) = g(l)-g(O) =./0t dd~ (T)dT = /\./0t \7 fj(a + t(b - a))dt, b - a) para 1 ::; j ::; n. Claramente esto, con (*) , es equivalente a (**). _

Como aplicación anotamos:

Lema 2.1.59 Si f : U --) IR es 'una función de clase el en el abierto convexo U S;;; IRm ya E U, entonces existen funciones continuas ql , ... ,qm de U en IR tal que

m

f(x) - f(a) = ¿ qi(X)(Xi - ai ), \::jx E U (+ ) i=l

y en el punto a se tiene DJ(a) = qi(a) , para 1 ::; i ::; m.

Demostración. Usamos la fórmula de Hadamard con n = l. Entonces, con a,x E U,

f(x) - f(a ) = \7 f(a + t(x - a)), x - a)(ll = t [ll DJ(a + t(x - a))dt] (Xi - ai)

i=l . O

y basta poner qi(X):=.J~ DJ(a + t(x - a))dt, 1 ::; i ::; m, x E U. Por continuidad de DJ se sigue fácilmente que qi es una función continua. Se obtiene la representación (+) y es trivial que qi(a) = DJ(a). _

2.1 . DIFERENCIADILIDAD

Para m = 1 el Lema es trivial ya que se siguc de la definición de diferenciabiliclad de j en a.

Como otra aplicación de la regla de la cadena y de los resultados anteriores probemos, si j : U ---- V es un difeomorfismo entre abiertos U, V ~ IRn y j E Ck, con k ~ 1, entonces también j-I, que por definición se sabe quc es diferenciable, es de clase C k en V. Además se prueba sin dificultad (ejercicio) que la dimensión es una invariante para difeomorfismos.

Proposición 2.1.60 Sea f : U ---- V un homeomorfismo entre abiertos U, V ~ IRn. Si j E Ck(U), con k ~ 1, Y j-I e8 dijerenciable en V, entonces j-I E Ck(V).

Demostración. Sean :r E U, Y := j( x) E V, Y 9 = j-I. De Iv = 9 o j y Iv = j o 9 se sigue, con la regla de la cadena,

IIR" = dg(y) o dj(x ) y IlRn = dj(x) o dg(y),

con lo cual dg(y) y df(x) resultan invertibles. Por lo tanto

dg(y) = [dj(g(y))¡-I , "iy E V (*)

Sea G L(lRn) ~ M (n, n) el conj unto de las matrices in vertibles y I nv : GL(lRn) ---- GL(lRn ) la aplicación L Inv(L) := L- 1 . A nivel de funt--t ciones podemos escribir a (*) como

g' = Inv o l' o 9 : V ---- GL(lRn). (**)

En Proposición 2.1.53 se probó Inv E Coo(GL(lRn)). Ahora bien 9 E CO(V) y l' E CO(U) por ser k ~ 1. Esto implica con (**) que g' E CO(V) con lo cual 9 E C1(V). Procediendo recursivamente con (**) se sigue 9 = j-I E Ck(V) si j E Ck(U) .•

Nota 2.1.61 (a) Como muestra el ejemplo j : IR ---- IR, j(x) = x3 , X E IR, existen homeomorfismos de IR sobre IR con j E COO(IR) donde j - l no es diferenciable . (b) Como se sigue de la primera parte de la demostración, si j es un difeomorfismo de U sobre V, es decir j es un homeomorfismo de U sobre V con j y j-l apenas diferenciable, en tonces dj(x), x E U, es invertible, es decir un isomorfismo de IRn sobre IRn o, equivalente, }¡(x) := det(f'(x)) es diferente de cero en U. El Teorema de la aplicación inversa, que se demostrará más adelante , nos dará un recíproco local de este hecho, si dj es continua.

125


2.1.8. La fórmula de Taylor

Probaremos en este numeral, como una generalización del teorema de valor medio, la fórmula de Taylor para funciones de m variables. Hay diferentes versiones que difieren en la representación del denominado resto de la fórmula. Para formularla en forma concisa y similar a l caso de una variable real usaremos la escritura con multi-índice introducida por L. Schwartz y de amplio uso en ecuaciones diferenciales parciales.

Una m-tupla de números enteros no negativos o: = (O:¡,'" ,O:m) E Nmse llama un multi índice y se define 10:1:= O:¡ + ... + O:m, o:! = O:¡! 0:2! ... O:m.!, x a := X~l X~2 ... x~m, Da f := Dr l D~2 ... D~m f, así como

(=) :=~ parax=(x¡,'" ,xm)E~m, kEN. Claramenteparax=(x¡,··· ,xm.) E IRm y k ~ 1 entero se tiene

m

(x¡ + ... + xm)k = L Xjl'" (*)xJk JI o" ,Jk

Todo sumando de la suma se puede escribir (por conmutatividad del producto en ~) en la forma estandar

x · ... x · = xa: 1 xa:2 ... xa:m = JI Jk ¡ '2 m

x a (**)

donde el multi-índice o: está dado por O:i = card {f Ue = i, 1 ~ f ~ k} para 1 ~ i ~ m. Claramente 10:1 = k y para todo o: con 10:1 = k habrá varios productos en la suma para los cuales se tenga (**). Podemos escribir la suma en (*) como

(x¡ + ... + xm)k = L aa:xa 1a: I=k

y donde los coeficientes se siguen de

Lema 2.1.62 (Fórmula polinomial). Para x = (X¡, ... , x m ) E IRm y todo k, m E N se tiene

xa:(x¡ + ... + xm)k = k! L -, == L (k) xa: (2.46)0:. o:

, 1a:I =k 1a: I=k


Demostración. Sea k E N Y (.T¡, . .. .Tm) E IRm . La afirmación es trivial si m = 1 Y en el caso m = 2 t enemos la conocida fórmula binomial. Hacemos inducción sobre m. Sea.T = (b,.Tm ), X = (.T¡" .. ·.Tm-¡) Y a = (;3,am),{3 = (a¡,··· , am-¡) y la fórmula válida para m - 1 (m;::: 2). Se tiene para m

(.T¡ + ... + xm)k = t (a:) (x¡ + ... .Tm_ ¡)k - dm.T~m Cl'm =O

k

=¿

Por lo tanto la fórmul a (2.46) vale para todo m ;::: 1. •

Para funciones 1 : U --> IR, U e IRm abierto y h E IRm introduzcamos el operador diferencial. h· \7 := h¡D¡ + .,. + hmDu definido por (h· \7)1 = h¡ DI! + ... hmDm1 así como sus potencias definidas recursivamente por

y (h· \7)n1 = (h· \7)((h· \7t-¡ 1) , n;::: 1

para funciones 1 con derivadas parciales hasta el orden n en U. En particular se tiene (h· \7)n : cn(u) --> C(U). Claramente (h· \7t tiene la forma

(h. \7 )n = (h¡ D¡ + +hm · .. Dm )n m

¿ h i¡' " h i" D i¡".i", n;::: 1 (2.47) i1,,··in=1

Si aplicamos la fórmula polinomial, vemos que para cada multi índice a = (a¡,· .. a m ) con lal = n ex isten

n-tuplas (j¡, ... ,jn)

con 1 ::; jr ::; m,l ::; r ::; m donde el número 1 aparece a¡ veces, ' " , el número m aparece a m veces. Probamos ahora

Teorema 2.1.63 (Fórmula de Taylor con resto de Lagrange). Sean U e IRm un abierto , a E U Y h E IRm tal que el segmento S (a, a + h) esté contenido en U (caso particular U convexo) . Sea 1 : U --> IR de clase

127

128 CAPÍTULO 2. APLICACIONES

en u, r 2: 0, y las derivadas de orden r sean el segmento abierto S a + h) particular J E C 1'1-¡ existe (J, 0< (J < 1, tal que

1 + . \1tJ(a) + +

n=ü n!

con R,.(a + h) = y, en escrítum con

J + h) ha: + +

donde + h) =

Demostración. Es una directa de la fórmula de con resto de para funciones de una variable. En a+hEU con h y definimos 1+;:: con;:: adecuado. Entonces 9 es de clase es diferencíable en (0,1) La fórmula de Tavlor para funciones de una variable implica

J ~ -' ~ + -(7' + 1)[ con O (J 1

de la cadena y

+ . \1)f(a + th)

g" + hj= Lm

j=1

(h· \1)2 f(a + th)

y recursivamente con i¡,' .. ,ik E {1,· .. m} se obtiene, en general,

m g(k)(t) O S t S 1

i1!""Jk=1

+


si 1 ::::; k < r + 1 Y para k = r + 1 la fórmula es válida para O < t < 1. Por otro lado g(k)(t), 1 ::::; k ::; r + 1 se escribe, con la fórmula polinomial, en la forma

Q

(h. \7)k f(a + th) = k! ~ D f(a + th)L- a!

IQ I=k

con O ::::; t ::::; 1 para 1 ::::; k < r + 1 Y O < t < 1 para k = r + 1. Con (*) se obtienen las afirmaciones del teorema. _

El polinomio de Taylor.

Si ponemos en las fórmulas de Taylor (2.48), (2.49) x = 0.+ h entonces el primer término en el lado derecho queda

r 1 Trf [a; xl := L"I ((x - a) . \7)n f(a) (2 .51 )

n.n=O

El polinomio T r f [a, xl se llama el polinomio de Taylor de orden r de f en a. Dejamos para el lector la prueba de

Proposición 2.1.64 El polinomio de Taylor Tr f [a ;xl es el único polinomio P(x) = ¿ aQ(x - a)Q , lal ::::; r, de grado::::; r que, en el punto a coincide con f y todas sus derivadas parcia.les hasta el orden r.

Con hipótesis algo más fuertes obtenemos la siguiente versión de la fórmula de Taylor, la cual es útil en muchas situaciones y se reduce a la fórmula de Hadamard (Teorema 2.1.58) en el caso r = O..

Teorema 2.1.65 (Fórmula de Taylor con resto integral). Sean U un abierto en IRm y f: U ~ IR con f E Cr + 1 (U), r 2:: O. Si a E U Y hE IRm

son tal que el segmento S [a ,0.+ h] está contenido en U (por e.templo si U es convexo), entonces existe un (), O < () < 1, tal que

r 1 f(a + h) = L -:;;(h. \7r f(a) + Rr (a + h)

n=O

= TrJ[a; a + h] + Rr(a + h)

129


donde

1 {1Rr(a + h ) = r! Jo (1 - t f (h . V f +1 f(a + h )dt (2.52 )

= (r + 1) .ll (1- t)" ( L ~!DO f(a + Bh)hO ) dt lo l=r+1

Demostración. Es similar al teorema anterior aplicando la fórmula de Taylor con resto integral del análisis en una variable. Se omiten los detalles .

• Para ilustrar el ahorro en términos a calcular en la fórmula (2.49) com

parada con (2.48) escribamos la fórmula (2.49) explícitamente en el caso m = 3, r = 3. Para eso ponemos a = (x , y , z) , h = (u, v, w) y Dx := DI, Dy := D2 , Dz := D3. Se sup rimen los argumentos en el lado derecho de la fórmula. Si ex = (al,ex2,ex3) se tiene para lexl::; 3.

lexl = O: ex = (0,00) ex! = 1 lexl = 1: ex = (1, O, O) , (O, 1, O) , (O, 0,1) ex! = 1, 1,1 lexl = 2: ex = (2, O, O) , (0,2, O), (O, O, 2) ex! = 2, 2,2

(1 , 1,0), (1 , 0, 1), (O , 1, 1) 1,1 , 1 lexl = 3: ex = (3,0,0),(0 , 3, 0) , (0,0 , 3), (2, 1, 0) ex! = 6, 6,6,2

(2 ,0,1) , (1,2,0), (1,0 , 2), (0, 2, 1) 2, 2, 2, 2 (0, 1, 2) 2

Con eso podemos escribir para (2.49)

f(x + u, y + v, z + w) = f + (Dx f u + Dyfv + Dzfw) 1 2 1 2 1 2+ '2Dxx fu + '2Dyyfv + '2Dzz fw

+ Dxy fuv + D xz fu .w + Dyzfvw 1 . 3 3 3+ 6(Dxxx f u + Dyyyfv + D:m fw )

+ ~ (Dxxyfu2V + Dxxz fu2w + Dxyyfuv2 + DX2Z fuw2+ + Dxu fuw 2 + Dyyzfv2w + Dy2Z fuw 2) + R3

Se ve fácilmente que hay una economfa de 24 términos comparado con fórmula (2.48) .

La siguiente versión de la fórmula de Taylor da solo un comportamiento asintótico del resto y no un estimativo en t.érminos de f. Para eso observemos

2.1 . DIFERENCIABILIDAD 131

primeramente el caso donde f es diferenciable en e l punto a del abierto U ~ IRm y f : U --> IR. Entonces, para Ihl suficientemente pequeño,

m

f(a + h) = f (a) + ¿ Dd(a) h i + Rl (a + h ) (2.53) i = 1

donde las derivadas parciales Dd(a), 1 :s i :s n, están definidas en a y R 1(a + h )j Ihl O para Ihl '-> O Queremos obtener un a fórmula que generalice ésto para f con mayor grado de dife renciabilid ad . Obtendremos (2.53) como caso particular del teorema . Supondremos para eso, que f es k veces diferenciable en un punto (Definición 2.1.33).

Teorema 2.1.66 (Fórmula de Taylor cualitativa). Sean U ~ IRm un abierto , a E U Y f : U --> IR 1'- veces diferenciable en a con l' > 1. Entonces , para Ihl sufic ientemente pequeño se tiene

r 1 f(a + h ) = ¿ I (h"ilt f (a) + Rr(a + h) (2.54 )

n. 71=0

donde R r( a+h )j Ihlr --> O para h --> O o, equivalentemente, con x = a+h,

f( x) = Trf [a, xl + R,.(x)

y Rr(x) j Ix - a,j" -->, para x --> a.

Demostración. A d iferencia de las dos fórmulas anteriores no podemos usar , para su demostración, el caso particular en IR. Sea V una bola de radio o> O centrada en a , con V ~ U. La función

Rr(a +. ) : V --> IR ,

dada implícitamente por (2.54 ) es 1'-veces diferenciable en a y todas las derivadas parciales hasta el orden l' se anulan en a En efecto, basta observar la forma explícita de los términos del polinomio de Taylor en la demos trac ión de Teorema 2.1.63. P ar a probar (2.53) usamos inducción sobre l' . Para l' = 1 se tiene (2. 523 que es la diferenciabilidaid de f en a. Sea cierta la afir mación para 1 :s 1'. Si se dan las hipótesis de diferenciabilidad para l' + 1 entonces, como ya se mencio nó , Rr+l (a + .) se anula para todas las derivadas pa rciales de orden menor o igual a l' + 1 en a . Diferenciando la expresión para R r+ 1(a+·) obtenemos que D iRr+l (a+·) satisface las hipótesis de diferenciabilidad con l' (1' 2 1) en a y todas las derivadas parciales de

~I~.'-·IONAL DE C OLO m {A (fOI. \IH __ u 1',:

":: !' TC) . DE B I BLTUTE AS . , I lTF.(' .. r F" G l EZ


orden hasta r se anulan en a . Como DJ4+1 (a + .) es el resto de la fórmula de Taylor para Di! en a , se tiene, por hipótesis de inducción

Di RT+l (a + h) ----> O para h ----> O Ihl

r

Aplicamos el teorema de valor medio (Teorema 2.1.54 ) a R,.-1. 1(a + .) y obtenemos, para h --t O,

1 Rr+ 1(a + h) 1 IdRr+¡(a + eh) . hl _ IdR1"+1 (a + eh)Pii 1

IhI T+1 Ihl'+1 - Ih¡r

< IIdRr+1(a+eh)II' I ~1 < IIdRT +1(a + eh)1I Ihl

T Ihl - Ihl T

< ~ 1 Di Rr+1 (a + eh 1 < ~ 1 D i R1'+ J (a + eh) 1----> - L Ihl T - L lehlr o .

•=1 .=1

Se sigue la afirmación del teorema. _

Nota 2.1.67 Estimativo para RT (en la fórmula de Taylor con resto de Lagrange) . Observe que si se co nsideran sólo los dos primeros términos del lado derecho en Teorema 2.1.63, se obtiene la aproximación afín h ----> f(a) + df(a)h de la función h o-----; f(a + h). Si ignoramos el resto en 2.48, el lado derecho es un polinomio en las m variables h 1,'" , hm de grado?:: r. El polinomio de Taylor de f en a , da una aproximación de f(a+h) para h pequeños. Para que (2.48) en Teorema 2.1.63 sea de utilidad práctica, es necesario obtener un estimativo explícito del resto Rr . Esto es posible si se pueden acotar las derivadas parciales de orden r + 1 en el segmento S(a , a + h)


dondeusamos (lh'II+lh;I+"'+lh~W+ l =. f Ih~11Ih~21 " 'lh~r+ ll 1.1,'" ,1. r +l=l

m

para r E N. Con la relación L Ih~1 :; vm' Ih'I obtenemos finalmente i=¡

Cmr+I /2 1R,.(a + h')1 < . Ih'l r+l, h' = a + sh o< s < 1 (*)- (r+ 1)1

y tenemos una cota explíci ta para Rr (a + .) sobre S (a, a + h ) que se puede hacer tan pequeña como se quiera para Ihl suficientemente pequeño. Obsérvese que en lo anter ior r ~ 1 es fijo

Nota 2.1.68 (f real analítica) Si suponemos ahora que f E COO(U) y existe una constante M > O tal que para todo x E S(a , a + h) ~ U

entonces el estimat. ivo (*) en Nota 2.1.67 es válido con C = Mr+l, es decir Mr+lmr+I/2

11R,.(a +- h')1 :; Ih' lr+ , Vr ~ ro, h' = a + sh, O< s < 1

(r + 1)!

Y se sigue lím R,.(a + h') = O, Vh' = a + sh, O::; s :; 1. Se obtiene r - oo

00 1 f(·x) = ~ -((x - a) . 'VT f(a) '

,...


la cual es también de utilidad para ciertas construcciones en el análisis (particiones de la unidad), Se verifica con facilidad f E COO(IR) , f(k)(O) = O, para todo k 2: Oy f (x) > O para x =1- O. Con eso f no es real analítica en ningún intervalo abierto que contenga a O

2.1.9. Puntos críticos y extremos relativos

Sea f : U IR y A


directa del cálcu lo diferencial no es posible. Veremos a continuación , si f y A sat isfacen hipótesis adecuadas, son suficientemente "suaves", los posibles extremos relativos pueden ser determinados usando cálcu lo diferencial. Se su pondrá inicia lmente que A = U es un conj unto abierto en IRm.

Formas Cuadráticas

Para la determinación de extremos relat ivos de fun ciones f : U --; IRm --; IR es útil considerar formas cuadráticas las cuales están relac ionadas con derivadas de segundo orden de .f.

Definición 2.1.72 Una función Q : IRm --; IR definida por

m

Q(x) = L h~jXiXj para x = (X l ,' " , X m ) E IRm ',j= 1

y donde (h; j) es una matriz real simétrica m por m, se llama una forma cuadrática y A := (hij ) se llama la matriz de la forma Q.

Usando escritura ma tricial e identifi cando a IRm con M (m , 1),es decir escribiendo los elementos de IRm como "vec tores columna", se puede escr ibir toda forma cuadrática en la form a

Q( X) = x t Ax, para X E IRm = M(m, 1)

Claramente Q y A se corresponden en forma biunívoca.

Una forma cuadrática Q es un polinomio homogéneo de grado 2 en m var ia

bles y con eso Q E C O, '


Ejemplo: Sea Q : IRm ~ IR dada por Q(x) = xI+" ,+ x; - (X;+ I+.. ·+x;,.) con 1 :S i :S m. La matriz de Q es una matriz diagonal cuyas primeras i entradas son 1 y el resto -1. P ara i = m , Q es definida posi t iva y para todo 1 :S i < m, Q es indefinida.

Es fácil ver , si Q es una form a cuadrática definid a (positiva o negativa), entonces su matriz A es necesariamente inverti blc, es decir a lo sumo matrices invertibles determinan form as cuadráticas definidas. En efecto, de Q (x) = x tA x =1= O para x =1= O se sigue Ax =1= O para x =1= o. Es decir Ay = O sólo tiene la solución trivial y con eso A es invertible.

Por medio de los valores propios Al ,' .. , Am de la matr iz A = (hij ) de la forma cuadrática, es decir las rafees del polinomio caracterfstico p(A) = det(A - AI) , que son todos reales, por la simetrfa de A = (hiJ),se obtiene fácilmente un criterio sobre el comportamiento de Q :

Proposición 2.1. 74 (Criterio 1). Sea Q : IRm ~ IR una forma cuadrática con matriz A (simétrica) y Al , ... , Am los valores propios reales de A (a) Q es definida positiva ~ Ai > O , 1:S i :S m. (b) Q es definida negativa ~ Ai < O, 1:S i :S m. (e) Q es sem idefinida positiva (respectivamente semidefinida negativa) ~ Ai ~ O , 1 :S i :S m (respectivamente Ai :S O, 1 :S i :S m). (d) Q es indefinida existe un valor propio positivo y un valor propio negativo.

Demostración. Basta observar que para A simétrica existe una matriz ortogonal T tal queT- IAT = 6 , donde 6 es una matriz diagonal que tiene como entradas los valores propios Al, ... , Am de A Observando qu e T- l = T t e introduciendo nuevas coordenadas por x = Tu se sigue con Q(x) = x tAx

Q(u) = Q(Tu) = (Tu)t ATu = u/Tt ATu = utT- l ATu 111

= u t 6u = LAiUr i=l

Es fác il ver que (U I ,' " ,um ) son las coorrtienadas del punto .Y = (X I,'" ,xm ) en la base ortonormal (VI,' .. ,vm ) de IRm formada por los vectores propios de A normalizados, IVi l = 1, 1 :S i :S m , correspondientes a los valores propios Al ,' .. , Am E IR . Además T = (VI , ' .. )vm ). Como T es invertible y con eso x = O~ u = O para x = Tu, se siguen las propiedades de Q de las propiedades de Q, que son obvia.s. _

Aparte de este criterio que requiere, en principio, el cálculo de las rafces de un polinomio de grado m , el polinomio característico de A, hay también un criterio, debido a A. Hurwitz, que requiere sólo métodos algebraicos.


Proposición 2.1.75 (Criterio lI). SeaQ:]R,m ------>]R, una forma cuadrática con matriz simét'r1.ca A = (h ij ) E M (m, m). Sean A n , 1 :::; n :::; m las matrices menores principales de A , es decir

1 :::; i, j :::; n, 1 :::; n :::; m.

Entonces:

(a) Q es definida positiva O, 1:::; n :::; m (b) Qesdefinidanegativa 0, l:::;n :::; m (c) Q es indefinida. si no se cumple ( a) ni (b), es decir e:r:iste 1 :::; n :::; m/2 con det. A2n < O.

Demostración. Escribimos A = (~n ~) en bloques. Para h = (h¡,'" ,hn)E ]R,n = M (n, 1) sea h = (h, O) E ]R,m = M (m, 1). Se tiene entonces

Ah = (~n ~) h = (~n ~) y con eso para la form a cuadrática Q A:

(*)

(a) ==}: Si A E ]R, es valor propio de An , entonces existe h E ]R,n con Ihl = 1 Y Anh = Ah. Con (*) se sigue A = (h, Anh) = (h, An ) > O. Como det An es el producto de sus valores propios se obt.iene det An > O. (a)~: Procedemos por inducción: para n = 1 la afirmación es obvia. Sea cierta para n - l. Como dct A > O, a lo sumo un número par de valores propios pueden ser negativos. Supongamos vectores propios ortonormales u, v E,]R,m correspondientes a valores propios negativos. Entonces se tiene QA(W ) < O para W =¡I:. O y W E span {u , v } . Como dimspan {u , v} = 2 existe un vector O =¡I:. h E ]R,m -l con h = (h, O) E span {u, v}. Por hipótesis de inducc ión se tiene que Am - 1es definida positiva y con (*) se sigue Q A (h) = QA m -l (h) > O Y así una contradicción. Hemos probado (a) . La afirmación (b) se sigue en forma inmed iata de (a) pasando a - A y la hipótesis en (c ) implica que para algún n 2: 1, A2n tiene valores propios positivos y nega tivos y con eso, por (*) resulta también A indefinida. _

Este cr iterio sólo es práctico para m pequeño por el a lto número de operaciones que requiere el cálculo de determinantes para m "no pequeño" . En este último caso es preferible basarse en el Criterio 1, usando un método numérico. P or s u importancia práctica para la determinación de extremos de fun ciones de dos variables consideramos en form a completa el caso m = 2.

http:sim�t'r1.ca


Proposición 2.1. 76 para m 2). Para la forma cuadrática

(a b)Q(x, y) = ax" + , (x, E IR:2 , cuya matnz. es A be' tiene

2 a ac° y > °b

(b) ~ a < O Y ac b2 > O ~ a? 0, e? ° Y oc b2 > O ~ a O, ü y ac b2 ? Ü 2

ac b < ° Demostración. Las aC1VIH:!:::i se de la

para y=ü

Q(x, ala (~ + %) 2 + para y t 0, atO {

Y2 2b'!:. + para y t 0, 0=0 y l1li

Definición 2.1. 77 Sea f : U IR: dos veces en el abier. to U


parciales Di! (a), 1 :::; i :::; m, se anulan. Si f es dos veces diferenciable en a, donde a es un punto crítico de f , decimos que a es un punto crítico no degenerado, .si la matriz Hessiana (Dijf(a)) es invert'ible (o no singular), es decir det(Dij f (a)) :f O.

Sabemos del cálculo de funciones de un a variable , que si f t iene un extremo local en a,entonces todas las derivadas parciales de primer orden se anulan en a, es decir a es un punto cr íti co de f. Por lo tanto, s i U ~ IRm es un ab ierto y f d iferenciable en U, los posibles extremos locales deben buscarse entre los puntos críticos de f en U. Desafortunad amente no todo punto crítico a de f da un valor extremo local de f.

P ara m = 1, si a E IR es un punt.o crítico de f , 1'(0,) = °y si 1" (0,) :f 0, es decir s i la ma triz Hcss iana con la única entrada f"(a ), que identificamos con el número f"(a) , es invertible, entonces f tiene en a un extremo local; si 1"(0, ) > ü un mínimo local y s i 1"(0, ) < ü un máx imo local. Con eso, en todo punto crítico no degenerado se tiene un ext remo loca l de f. Observamos que en este caso se tiene pa ra el Hessiano de f en a: 1" (0, ) :f ° f" (a) h2 > 0, o bien f" (a) h2 < O, si h :f O. Así para m = 1 no existe el caso indefinido .

Para m > 1, la situación es diferente: en un punto crítico a, aún si es no degenerado, f puede no tener un ext remo loca l. Como condición suficiente reconoceremos que el Hess iano de f en a sea definido (positivo o negativo).

Observación 2.1.79 Se puede mostrar para f : U S; IRm ~ d e clase C2 en U, que los punt.os críticos a E U no degenerados, tienen la propiedad de ser a is lados, es dec ir existe un a vecindad V(a) de a que no contiene otro pu nto crítico . Se sigue de es to que los puntos críticos no degener ados en U son cont.ables y a lo sumo se pueden ac umula r en la frontera de U. Dejamos estas afi rmac iones como ejercicio.

Para extremos rel a tivos se tiene el siguiente criterio, cuya demostración se basará en la fórmula de Taylor cualitativa.

Teorema 2.1.80 Sea U S; IRm un abierto, f : U ~ IR dos veces diferenciable en a E U (en particular f E C2 (U)) y a un punto crítico de f. Si H (a) = HJ (a) es el Hessiano de f en a , entonces

(a) H (a) definida positiva, implica que f tiene en a un mínimo local estricto y a es un punto crítico no degenerado.

(a') Si f tiene 1m, mlnimo local en a, entonces H (a)u ;::: O, l::Ju EIRm , es decir H (a) es sernidefinida positiva, (condición necesaria).

139

140 2. APLICACIONES

que f tzene en alm mú:úmo local

Si f tiene un má.Timo local en

decir

(c) H(a) es entonces f no tiene en a un extremo local.

Demostración. la fórmula de cualitativa. Para O < Ihl r5 se tiene en el punto crítico a.

1 + h) = + 2H(a)h + R?(a + (*)

= e~J+ ........-"-'-.....,,--'donde R2 O para h ---> O. H(a) es continua y por definida c;;: lP!.m para H

la existencia de un 1] > Otal que ~H(a) (¡~I) 1J para todo O Ihl < oo. Por otro lado existe O< 6' < 6 tal que

-'---;,,---'- < 1J, 1::1 O< Ih I < 6'.

eso, para todo O < Ihl < /jI, la entre corchetes en (*) es Se

/jI< + 1::10<

es deCIr] la) valor mínimo relativo estricto. Sabemos que para toda forma cuadrática definida o la matriz de es necesariamente

un Dunto crítico no degenerado. Se sigue en forma similar a Probemos (c): Si es existenu,'u lP!.m, u.,v::j= O tal que H > O Y < O. H (a) como forma cuadrática es homogénea de

2. Con eso I::It ::j= O :

O Y (tu I < o. de (*), para t ::j= O suficientemente + f(a) y < . Por lo tanto f no tiene en a un valor extremo locaL Las

afirmaciones y se de la demostración de (c). l1li


Observación 2.1.81 Si f E C2 (U) podemos usar en la demostración anterior la fórmula de Taylor con resto de Lagrange o resto integral. Así, en este caso, si la forma Hessiana es semidefinida positiva en una vecindad de a se tiene un mínimo relativo, no necesariamente estricto, en a.

Ejemplo 2.1.82 Si la forma Hessiana es sólo semidefinida en el punto crítico a no se puede deducir un ext.remo relativo en a. Basta considerar en IR2

las funciones

f( X,y)=X2 + y4 ,g(x, y ) =x2 y h(x,y)=x2 +y3

las cuales tienen como punto crítico a = (O, O) y la matriz Hessiana (~ ~), la cual es semidefinida positiva. Se ve claramente que (O, O) es punto minimizante aislado para f, no aislado para 9 y para h, y ni minimizante ni maximizante local.

En el caso rn = 2, una aplicación de Proposición 2.l. 76 Y del teorema anterior, da el siguiente result.ado:

Teorema 2.1.83 Sea U ~ IR2 un abierto, f : U ----> IR dos veces diferenciable en a E U (en particular f E C2(U)) y a 'un punto crítico de f, es decir D x f(a) = Dyf(a) = O. Entonces (a) Si para el Hessiano de f se tiene en a = (xo, Yo)

entonces f tiene en a un máximo relativo estricto si D."C."Cf(a) < O Y un mínimo relativo estricto si Dxx f (a). > O. El punto a es un punto crítico no degenerado . (b) Si f tiene en a = (xo, Yo) un extremo relativo entonces se cumple en a.

y además se tiene en a Dxx f ~ O Y Dyyf ~ O si el extremo relativo es un máximo relativo y D."Cxf ~ O Y Dyyf ~ O, si el extremo relativo es un mínimo relativo . (c) Si se tiene en a = (xo,Yo), Dxx f' Dyyf - (Dxyf)2 < O, entonces f no tiene en a un extremo relativo . Decimos q1J.e a es punto de silla de f.

Ejemplo 2.1.84 Sea f : (x, y ) = (x+y)2 -12xy, para (x, y) E IR2. Se tiene, en escritura abreviada, Dxf = 3(x, y)2 - 12y,Dyf = 3(x + y)2 - 12x .

141


Dxf = Dyf = °lleva a x = y y entonces a las dos soluciones x = y = 0, x = y = l. Ahora bien, con Dxxf = 6(x + y) , Dxyf = 6(x + y) = 12, Dyyf = 6(x + y) se obtiene

Dxxf . Dyyf - (DXyf)2 = 144(x + y - 1) y con eso S"¿ x=y=O~ {-144 < ° Dxx f . Dyyf - (Dxyf) = +144 > O S2 x=y= l.

Por lo tanto, en x = y = 0, f no tiene un extremo local y en x = y = 1 se tiene un extremo el cual , por D xx f(l, 1) = 12 > 0, resulta ser un punto minimizante de f·

Observación 2.1.85 Es claro, como mostra mos con ejemplos simples y se sabe del caso particular m = 1, si el Hessiano de f en un punto crítico es semidefinido (positivo o negativo) , entonces en ese punto crítico puede haber ci no un extremo relativo. Se podría pensar en considerar más términos en la fórmula de Taylor para poder decidirlo. Pero las cosas se complican en el caso m > l.

Apliquemos las condiciones necesarias para un valor extremo de Teorema 2.l.? para probar el principio del máximo débil para [unciones armónicas.

Definición 2.1.86 Sea U ° tal que máx [f + c( xi + ... + x;J] < M. Claramente el máximo de fE. en

au ' v " J.

U es ~ M. Por lo tanto el valor máximo de f, es tomado en alglin punto a E U. Aplicamos condición (b') de Teorema 2.1.80. Sc tiene

H(a)u := u t j"(a)u ::; 0, Vu E ]Rn = M (n, 1)


Esto significa, por el Criterio 1 (Proposición 2.1.74), que todos los va lores propios de f~/(a) so n S Ü. Eso equivale a que la traza de .f" (a) es ~ O, pues es la suma de los valores propios. Así

Por otro lado claramente 6j,, (a) = 2n . é > O ya que j es armónica en U. Por lo tanto J.L > M lleva a una contradicción. Se tiene máx j = máxj _

V Bu.

Aplicación 2.1.88 (Problema de Dirichlet). Sea n ~ IRn un dominio acotado. Entonces dada f : an -----> IR continua, se busca una función continua h : n -> IR tal que (1) hin es a rmónica y (2) h I an = f. Se escribe

en (P D ) { 6~ :.~ en

El resultado anterior (Principio del máximo débil) nos dice que el problema (PD) tiene a lo s llmo un a solución (clás ica) ya que la diferencia de dos soluciones se a nula sobre an y con eso tambien sobre n.

2.1.10. Integrales con parámetro

Importa ntes fun ciones del Aná lisis se definen o se pueden expresar por integra les que dependen de uno o varios parámetros. Más preciso : consideramos una fun ción j(x, t) de valores reales q ue depende de una variable real t y además de varios "parámetros" X I, " ' , X m , los cua les reunimos para obtener X = (X I , '" ,xm ) E U e IR m . Si t t-----> j (x,t), para X fij o, tE [a, b] , es integrable (Rieman n) podemos considerar la función

'b F(.r) := j (x, t)dt, xEUI. o

Se darán cond icio nes suficientes que impliquen la diferenciabilidad de F y permitan obte ner las de rivadas parciales de F por "diferenciación bajo el signo de la integral" . El teorema correspondi ente se conoce también como regla de Leibniz. Resultados de este tipo son de impor tanc ia básica, por ejemplo, en el cálculo de variaciones. No consideraremos aquí el caso de integrales impropias ya que el marco adecuado para ese caso es la integral de Lebesgue. (Ver Cap ít ulo 5).

Teorema 2.1.89 (Regla de Leibniz) . Sean U e IR un conjunto abierto en IRn y f: U x [a , b] -----> IR una función que satisface

143


(a) Para todo x E U la fu.nción t >----> f (x, t) es integrable pa.ra [a , b]

(b) Para algún i , 1 S i S m , la derivada parcia.l #f existe para todo 8J(x, t) E U x [a , b] y a : U x [a, b] - lR es continua. x,

Entonces la función F (x) := J: f (x, t)dt, x E U, tiene derivada parcial g:, para todo x E U, la cual es continua en U, y se cu.mple

oF /'6 Of~(x) = ~(x, t )dt . v X, . a v X,

Demostración. Sean X o E U y E > O dado. Se tiene

F (xo + s e;) - F(xo) _ /'0 ~( )d I ~ x o , t t (*)

s . Q v X;1

= li6 [f (xo + s e;'st) - f (xo, t) - :~; (x o, t )] dt I ,6 I [ Of Of ] IS .

/ a OXi (~o + eS ei, t) - O,T; (xo, t) dt con o

2.1. DIFERENCIABILIDAp 145

Demostración. Consideramos sobre [e, d] las funciones

Sabemos que el integrando de 01 es una función continua de x y por el teorema fundamental del Cálculo 0; (y) = 1: f(y, t)dt, para e < y < d. La [unción 02 se puede diferenciar para e < y < d por el teorema anterior y se obtiene 0;(y) = J~ f(y , t)dt. Por lo tanto 0 '1 (y) = 0;(Y) en e < y < d. Se sigue 01 (y) - 02 (y) = constante en e < y < d y por continuidad también en e y d; por tan to 01 = 02 en [e, d] ya que 01 (e) = 02(e) = O.•

Otra aplicación concreta de Teorema 2.1.89 lo da

Ejemplo 2.1. 91 (Aplicación Regla de Leibniz) . Consideremos la función definida por

._ j'l e-(I+y"2):¡;2 F (x) .- 2 dy para x E IR

. O 1 + Y

Claramente podemos ap licar la regla de Leibniz:

j'l _(1+y2)x2

F'( x) = -2.x( 1 + y2) e 2 dy . O 1 + y

,1 "2 "2 2 1 "2o

= -2 .x e-(l+y )x dy = -2e- x 10+ e-u duo o / O

Por otro lado para G(x) := (.i; e- u "2 duf se tiene G'(.x) = 2.r;e- u2 du,

e-x. 2

Por lo tanto (F + G)' = O y así F + G = e con e E IR.. Evaluando en x = O se obtiene e = F(O) = .101 1!~2 = arctan 1 = ¡. Obtenemos así

x2(l:e- u2 du)2 = ¡ - F(x), para x E]R.. Como O :::; F(x) :::; c se sigue u2 con x -> +00, (/~coe- duf = :;¡: Se obtiene así el valor de una de laso

integrales más famosas del análisis y la teoría de probabilidades:

Podemos dar aquí un a respuesta parcial a la existencia de un potencial para un campo vectorial f : U ---> ]R.n (Ver Proposición 2.l.40 y lo que sigue) .

146 CAPÍTULO 2, APLICACIONES DIFERENCIABLES

Definición 2.1.92 Sea U E IR n un conjunto abierto, Decimos que U es un conjunto estelar, si existe X o E U tal que pam todo x E U el segmento

S [xo, x] := {(1 - t)xo + tx I O::; t ::; 1}

está contenido en U; decimos tamb'ién que U es estelar con respecto a xo' Claramente, si U es convexo, entonces U es estelar con respecto a todo X o E U.

Proposición 2.1. 93 Sean U E IRn un abierto estelar con respecto a Xo y f E Cl (U, IRn) un campo vectorial que satisface en U las condiciones de integrabilidad

ofj _ oh = O j ,k=l ,"' ,n (*)OXk OXj

( rot f = O en UJ. Entonces f posee un potencial en U, es decú', existe FE C2 (U, IR) con f = grad F y está dado por

j'l

F(x) := f(x o + t(x - xo)) . (x - xo)dt (**) , O

Demostración. Por la regla de Leibniz se sigue F E el (U, IR) Y con h = (h l ," . ,hn ) := x - X o obtenemos

8F j 'l 8 (n )8x (x ) = ~ L fJ(x o + th)h j dt (***) k O VX k )=1

Con ~ = 6jk y las condiciones (*) se sigue de (***)

8F j'1 [ n aj 1-(x) = h(xo + th) + L ~1 J (,2'0 + th)th) dt 8 Xk . O j=! VXk

= ./0{Id

dt [t h(xo + th)] dt

= [t h(xo + th) 1 : ~6 = h(xo + h) = ,h(x)

lo cual queríamos probar. _

Observación 2.1.94 (1) Si U e IRn es un dominio (abierto , conexo), en· tonces el potencial de un campo continuo f : U ----> IRn está determinado (si existe) salvo una constante , Observe que dos puntos en U se pueden unir con una curva poligonal sobre un dominio U.


(2) Se necesitan condiciones topológicas adicionales (U debe ser simplemente conexo) para r¡ue (*) sea necesario y suficiente para la existencia de un potencial. (3) Nótese que (**) da una manera concreta para determinar un potencial F de J en u. Observación 2.1.95 Podemos usar el Teorema 2.1.90 para definir la integral de Riemann de una función continua sobre un rectángulo Q := [al, b¡] x ... x [am , bml e ~n por integrales iteradas (de una variable real). Sea para eso J : Q -->~, (y¡,' .. Ym) --> J(y¡, . .. ,Ym) continua. Integrando sucesivamente sobre los interva los [a¡ ,b¡ ] , . , , , [am , bml se define con y = (y¡, , , . , Ym) E ~m

;' ¡'bm( ¡'b2(¡'bl ))J(y)dy:= ' , , J(y¡,. , . , Ym)dYI dY2." dYm , Q . Qm . 0.2 , a l

y el teorema anterior garant.iza que esta definición es independiente del orden de las integraciones sucesivas, Se puede extender así el teorema de diferenciación a funcion es cont.inuas J : U x Q --> R Aplicamos esta extensión:

Ejemplo 2.1.96 Tómese sobre el cubo Q S; ~3 una funci ón (densidad) continua J-i : Q --> ~ y la función No : ~3 "Q --> ~ dada por No(x) = l/ lxl (norma euclídea); defínase

J-i( x):= /" J-i(Y) No(x - y)dy , x E IR 3 " Q . ./Q

Se prueba, por cálculo directo, aplicando repetidamente el Teorema 2,1.90 que /l. E C2(~3 " Q ) y 6.u = O en ~3 " Q es decir J-i es armónica en ~3 " Q. (Observe que la fun ción.1: >---> No(."C-Y) es armónica en IR3 " {y}). Dejamos los (simples) detalles como e.iercicio,

U S; IR ffiEjemplo 2.1.97 (B,A, Schwar:t), Sea J : U --> IRm con abierto una función que sat.isface

a 2 l(a) Las derivadas parciales Ha , !!.L y aa existen en U.a . X l. a)1 X l. aX J

ar afk2(b) ~a y a son continuas en U,Xl X f Xj

a2 r a2 r' 2Entonces: a 'a ' = --'=....L-' en U.existe en U y vale --'=....L- a-ifdx.Xl aXl ~ XlX l, I X'1 a

Indicación: Se pueden suponer m = 2 Y U un rectángulo. Se aplica el teorema fundamental del cálculo y el teorema de diferenciación bajo la integral. Es éste el resultado que, originalmente, se debe a B,A. Schwarz (1873) y con la prueba que se indica,

147

148 CAPÍTULO 2. APLICACIONES

2.2. El Teorema de la función inversa

abiertos. Por un difeomorfismo f : U ----. V es una blyecclón que junto con su inversa es difereneiable. En f es un homeomorfismo de U sobre V.

Como muestra el f : IR ,IR, ' .r E un homeomodismo puede ser diferenciable, hasta de clase coo. sin que su inversa sea diferenciable. Por la proposición 2.1.60 se si f : U ----. V es un difeo

1 E (V). Además la de dos un y si ambos son de CA: 1 entonces también la composición lo es.

Sea f : U V un difeomorfismo entre abiertos V C;;; IR71 . Con la : IR71de la cadena obtenemos que df IR" es, para todo

lo que equivale a decir que la matriz de f, , es no para todo .r E U. que una necesaria para

---1que f . U V sea un si f es difcrenciable en U, es que .... ,-- -....,.,

sea un Cabe oreguntar si vale el recíproco, es decir si l' (:t) es no singular para

que f . U ---1 f(U) V es un Se darían así de f a de de su derivada lo que

que un número, det(f' , sea diferente de cero para x E U. relación a esta pregunta consideramos:

Ejemplo 2.2.1 f : IR" IR" dada por cos y, eX sen Para f¡(x,y) eL' cos y, = eL' cos y se tiene .f¡, h E con lo

fE . Para la matriz obtenemos

cos y sen y y) E(eeX eL' )sen y cos y

y para el Jf(x, y) ,y)) > O. Por otro lado es fácil ver que f no es

1, Y¡) , Y2) Xl X2 1\ Y2 YI + 2krr kEZ

2.2. EL TEOREMA DE LA F UNCIÓN INVERSA

Además f (IR 2 ) = IR2 " {(O, O)}. Pero f es inyect iva en una vecindad de cualquier (x, y) E IR2 , por ejemplo en IR x (y - 11", Y + 7T). En términos de variab le compleja se t.iene f( z) = cZ , Z E e = IR 2.

El ejemp lo anterior muestra que la respuesta a la pregunta planteada es negativa, pero resu lta positiva s i la plan teamos en un sentido local.

Definición 2.2.2 Sea f : U --> IR m con U ~ IRm abierto. Decimos que f es un difeomorfismo local, si para todo x E U exis t e un abierto Vx con x E Vx ~ U,tal que f I Vx : Vx --> IRm es un difeomorfismo sobre un abierto Wx ~ IRm , Si f E Ck(U) y f es un difeomorfismo local, decimos que f es un difeomorfismo local de clase C k en U.

Sabemos, por Proposición 2.1.?, que para un difeomorfismo local de clase C k en U, (f ¡Vx)- 1 : Wx --> Vx , x E U, es también d e clase ck en Wx ' Clarament.e todo d ifeomorfismo de U sobre V es un difeomorfismo local.

IR mLema 2.2.3 Sea.f: U ~ --> IRm con U abiert o. Entonces: (a) Si f es 71,n difeomorfismo local, entonces f es una aplicación abierta, es decir V U' ~ U abierto, f ( U') es 71,11. abierto en IR m . E n particular se tiene que f (U) = : V es un abierto en IR m . (b) Si f es un dif eomor:fismo local, entonces f es un difeomorfismo (glo bal) de U sobre el abierto V := f(U) sí y sólo si f es inyectiva.

Demostración. (a) Sea U' ~ U a biert.o. Si U' ~ Vx para algún x E U tal que f I Vx es un difeomorfismo, entonces f (U ' ) es un ab ierto en IRm . En efecto, si f I Vx : Vx --> W x un homeomorfismo sobre el a biert.o Wx tenemos f(U' ) ~ Wx abier t.o en Wx y con eso también en IRm . Si U' ~ U es abierto arbitrario , entonces tenemos U' = U (V-r n U') y f (U ' ) = U f(Vx n U' ),

xEU x EU

donde VI n U' ~ Vx es un ab ierto. Se sigue f(U ' ) es abierto en Rm . Para (b) oasta observar, con (a), que V := f(U) es ab ierto en Rm .•

Para la d emost. rac ión dcl t.eorema de la func ión inversa usaremos el s iguiente resultado q ue, a pesar de su simplicidad, es de gran u t ilidad para proba r la existencia.Y unicidad de solucioncs de muchos problemas del AnáliS IS.

Teorema 2.2.4 (de punto fijo para contr·acciones). Sea (X, d) un espacio métrico completo y f : X --> X una contracci6n de X en X, es decir, existe una constante A E ,O ~ A < 1 tal que

d(f (x), f (y )) ~ Ad(x, y) Vx, y E X.

149


Entonces, dado X o E X arbitrario, la sucesión X n = f (x n - ¡), n E N, converge hacia un x E X , que es el único punto en X con f(x) = x (punto fijo de f J.

Demostración. De la propiedad de contracción se sigue por inducción d(Xk+I, Xk) ~ )..kd(Xl, xo), para k E N y con esto

p-I (P-I )d(Xk+p, Xk) ~ ~ d(Xk+I+1Xk+i) ~ ~ )..k+i d(XI, xo)

)..k < --d(XI,X o ) Vk,p E N. - 1-)..

Como O ~ ).. < 1 se sigue que (xn ) es una suceslOn de Cauchy, y con la completez de X obtenemos que (xn ) es convergente. Sea x = lím Xn' De

n-->CXl

X n = f(x n -¡) y la continuidad de f se sigue

x = lím X n = f( lím x n - ¡) = f(x). n ----+00 n ----+ 00

Si Y E X es otro punto fijo de f obtenemos d(x, y) = d(J('f), f(y) ~ )..d (x, y), es decir (1 - )..)d(x,Y) ~ °y con (1 - ).. ) > °que d(x, y) = 0, es decir x = y.•

Teorema 2.2.5 (de la función inversa) . Sean U 'un abierto en [Rm y f : U --> ~m con f E Ck(U), k 2: 1. Si a E U, b := f(a) y df(a) E L(~m, ~m) es invertible, entonces (a) Existen abiertos V, W ~ ~m con a E V, bE W y tal que f : V --> W, una función de clase C k , es biyectiua en V (b) Si 9 : W --> V es la inversa de f IV, entonces 9 E Ck(W).

Observación 2.2.6 Si escribimos la ecuación vectorial y = f (x) en componentes f = (JI,' .. , f m), se obtiene la siguiente formulación clásica de la conclusión del teorema: El sistema de m ecuaciones en 111, variables

YI = .f¡ (Xl. ... , X m )

{ Ym = fm (X 1 , .. , , Xm )

puede ser resuelto o despejado hacia las variables Xl,'" , Xm, en términos de las variables YI, .. . , Ym, si nos restringimos a vecindades suficientemente pequeñas de a y b. Las soluciones Xl = 91 (YI, ... ,Ym), ... ,Xm 9m(Yl ,' .. ,Ym) son únicas y también de clase Ck si f lo es .

2.2. EL TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA

Demostración. (Teorema 2.2.5). (a) Sean a E U, A := df(a) y ex := (2 1IA-III )- l > O. Como df: U -----; L(~m,~m) es continua, existe una bola abierta B(a)


Con eso se tiene IRm es inyectiva sobre U, es un problema topológico y no un problema del cálculo diferencial. Se puede consultar [ J al respecto .

2.3. EL TEOREJ\!IA DE LA FUNCI6N IMPLÍCITA 153

2.3. El teorema de la función implícita

2.3.1. Funciones implícitas

En textos element.ales de Cálculo se usa a menudo un resultado, en formulación poco precisa, según el cual una ecuación f (x ,y) = e define implícitamente a una de las variables, x ó y, como función de la otra, incluyendo propiedades de diferenciabilidad. Sin hip ótesis bien definidas sobre f una tal conclusión es en general falsa como mu estran ejemplos simples. Es nuestro objetivo demostrar un teorema de esa índole para funciones f : n -----) ]Rn donde n e ]Rm X ]Rn

Comenzamos con unas consideraciones preliminares en

2.1. DIFERENCIABILIDAD2.1. DIFERENCIABILIDAD En el sentido anterior podemos decir que las filas de...

Documents

Transcript of 2.1. DIFERENCIABILIDAD2.1. DIFERENCIABILIDAD En el sentido anterior podemos decir que las filas de...