CAPITULO 2: RAICES DE ECUACIONES.

Mtodos preliminares Los mtodos numricos para tratar los problemas relacionados con races de una ecuacin, sirven para obtener aproximaciones a las soluciones de ecuaciones de las cuales no es posible obtener respuesta exacta con mtodos algebraicos (Solo respuestas aproximadas). Por ejemplo, la ecuacin: 1564000=1000000*e + (435000/)*(e -1)De la cual se desear obtener . Uno de los problemas bsicos de la aproximacin numrica, es el problema de la bsqueda de las races. Races de ecuaciones no linealesUna raz de una funcin es un nmero tal que . Tambin se dice que es una raz de la ecuacin. En este curso, consideraremos solamente races reales.Geomtricamente, una raz de una funcin representa un punto donde la grfica de cruza al eje,

En esta grfica, vemos que la raz es .Ejemplos.

1. Las races de son y .2.La funcin no tiene races.3.La funcin no tiene races.4.Las races de son y . Estudiaremos varios mtodos numricos para aproximar races de ecuaciones.

Leccin 3 Mtodo de Biseccin

El mtodo de biseccin se basa en el siguiente teorema de Clculo:Teorema del Valor IntermedioSea contnua en un intervalo y supongamos que . Entonces para cada tal que , existe un tal que . La misma conclusin se obtiene para el caso que .Bsicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda funcin contnua en un intervalo cerrado, una vez que alcanz ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.En particular, si y tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente , y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir tal que , es decir, debe haber por lo menos una raz de en el intervalo.

El mtodo de biseccin sigue los siguientes pasos:Sea continua,i)Encontrar valores iniciales , tales que y tienen signos opuestos, es decir,

ii)La primera aproximacin a la raz se toma igual al punto medio entre y :

iii)Evaluar . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

En este caso, tenemos que y tienen signos opuestos, y por lo tanto la raz se encuentra en el intervalo .

En este caso, tenemos que y tienen el mismo signo, y de aqu que y tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raz se encuentra en el intervalo .

En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raz.El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

Es decir,

En otras palabras:Este es uno de los problemas de aproximacin ms antiguos y sin embargo la investigacin correspondiente todava contina. Supongamos que f(x) es una funcin contina definida en el intervalo [a, b] con f(a) y f (b) de signos diferentes. El de biseccin nos dice que de acuerdo al teorema del valor intermedio existe un nmero p en a, b tal que f(p)=0. Aunque el procedimiento en el caso en que f(a) y f(b) tengan signos diferentes y exista ms de una raz en el intervalo (a,b), por razones de simplicidad suponemos que la raz de este intervalo es nica.

El mtodo de biseccin requiere dividir varias veces a la mitad los subintervalos de [a,b] y, en cada paso, localizar la mitad que contenga a p. Para empezar se supone que a1=a y b1=b y que sea p1 el punto medio de f(a1) y f(b1), es decir:

Figura. f (p1) tiene signo diferente a f(a1) entonces ac est la raz; f(p1) tiene signo igual a f(b1) entonces esta mitad se elimina.si f(p1)=0 entonces p=p1 si f(p1) y f(a1) tienen el mismo signo, entonces p (p1,b1) y a2=p1 y b2=b1 si f(p1) y f(a1) tiene signos opuestos entonces p (a1,p1) y a2=a1 y b2=p1

Figura. reas de eliminacin.

Despus volvemos a aplicar el proceso al intervalo . As se contina hasta alcanzar algn criterio de convergencia. Un buen criterio de convergencia es el que hace referencia al error relativo aproximado (ERA).

Para Donde representa la tolerancia permitida con respecto al error relativo. Al trabajar programas de computadora conviene fijar el nmero mximo de iteraciones que se efectuaron. En la figura se ilustra grficamente el mtodo de biseccin.

Figura. Mtodo de biseccinEJEMPLO: Aproximar la raz de hasta que .SOLUCION Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la seccin anterior, que la nica raz de se localiza en el intervalo . As que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el mtodo de biseccin debemos chequear que y tengan signos opuestos. En efecto, tenemos que

mientras que

Cabe mencionar que la funcin s es contnua en el intervalo . As pues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el mtodo de biseccin. Comenzamos:i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximacin a la raz):

ii) Evaluamos iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raz, hacemos la siguiente tabla:

Por lo tanto, vemos que la raz se encuentra en el intervalo . En este punto, vemos que todava no podemos calcular ningn error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximacin. As, repetimos el proceso con el nuevo intervalo .Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximacin a la raz):

Aqu podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximacin actual y la aproximacin previa:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.Evaluamos , y hacemos la tabla:

As, vemos que la raz se encuentra en el intervalo . Calculamos el punto medio,

Y calculamos el nuevo error aproximado:

El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo.

Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:Aprox. a la razError aprox.

1.25

1.3759.09%

1.31254.76%

1.281252.43%

1.2968751.20%

1.30468750.59%

As, obtenemos como aproximacin a la raz

Ejemplo:

Encontrar la raz de: usando el mtodo de Bisecciones sucesivas en el intervalo [1,2], se sugiere trabajar con cuatro cifras significativas despus del punto decimal. Y usar a. =10-4 o =0.0001 o sea que el error relativo sea menor a 0.0001. En resumen:

NanBnPnf(pn)

1121.52.375

211.51.25-1.7068

31.251.51.3750.16214

41.251.3751.3125-0.8483

51.31251.3751.343-0.333

61.3431.3751.359-0.102

71.3591.3751.3670.029

81.3591.3671.363-0.036

91.3631.3671.365-0.0037

101.3651.3671.366-

111.3651.3661.36550.0044

121.3651.36551.365250.0003

131.3651.365251.36515-0.0021

141.365151.365251.36517-0.0009

Ejemplo:Aproximar la raz de hasta que .SOLUCIONComo vimos en el ejemplo 2 de la seccin anterior, la nica raz de se localiza en el intervalo . Para poder aplicar el mtodo de biseccin, es importante checar que s se cumplen las hiptesis requeridas.Sabemos que es contnua en el intervalo , y checamos que y tengan signos opuestos.En efecto,

Mientras que,

Por lo tanto, s podemos aplicar el mtodo de biseccin.Calculamos el punto medio del intervalo,

Que es la primera aproximacin a la raz de.Evaluamos . Y hacemos nuestra tabla de signos,

Puesto que y tienen signos opuestos, entonces la raz se localiza en el intervalo .En este punto, solo contamos con una aproximacin, a saber, , que es el primer punto medio calculado.Repetimos el proceso, es decir, calculamos el punto medio ahora del intervalo ,

Que es la nueva aproximacin a la raz de .Aqu podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo, continuamos con el proceso.Evaluamos . Y hacemos la tabla de signos:

Puesto que y tienen signos opuestos, entonces la raz se localiza en el intervalo .Calculamos el punto medio,

Y el nuevo error aproximado:

El proceso se debe continuar hasta que se logre el objetivo.Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:Aprox. a la razError aprox.

0.5

0.7533.33%

0.62520%

0.562511.11%

0.531255.88%

0.5156253.03%

0.52343751.49%

0.519531250.75%

De lo cual, vemos que la aproximacin buscada es El mtodo de biseccin por lo general es lento, y en casos como el de la siguiente grfica, puede ser demasiado lento.

En un caso como ste, el proceso de biseccin comienza a acercarse a la raz de forma muy lenta, ya que el mtodo solamente toma en cuenta que la raz se encuentra dentro del intervalo, sin importar si se encuentra ms cerca de alguno de los extremos del intervalo. Sera bueno implementar un mtodo que tome en cuenta este detalle.Esto da lugar al siguiente mtodo de aproximacin de races.

Diagramas de flujo de bisecciones sucesivas

Leccin 4 Mtodo de la Regla falsaSe trata de encontrar la raz de una ecuacin. La ecuacin tiene la forma f(x), es decir, es una funcin de x. Adems, f(x) esta definida en el intervalo [a, b].

Figura. Intervalo de f(x).El mtodo de la interpolacin lineal inversa, requiere varias condiciones: 1.- f(a)*f(b) < 0 Es decir, que el producto de la funcin de x, f(x), evaluada en a, f(a), multiplicada por la funcin de x, f(x), evaluada en b, f(b), sea negativo (menor a cero). 2.- Que la funcin f(x) se aproxime por otra funcin L(x). f(x) es aproximadamente igual a L(x)Por tanto encontramos un punto falso cDonde C es la raz que se anda buscandoDespus se calcula f(C) para ver su valor. Si se obtiene cero, no se debe avanzar ms, pero gen caso de no ser as, se realiza lo siguiente: Se calcula f(C)*f(a) si este producto es menor a cero (negativo), entonces ahora C equivaldr a b, y se repite el clculo para encontrar una nueva C. En el caso de que f(C)*f(b) sea la que haya dado el producto menor a cero, o sea negativo, entonces ahora a equivaldr a C, y se repite el clculo para encontrar una nueva C.

A este mtodo, se le conoce como: Mtodo de la falsa posicin. EJEMPLO: Encontrar la raz de f(x)=cosx por el mtodo de la falsa posicin en el intervalo [1,2] y s =0.001. SOLUCION: a=1, b=2 f(a=1)=cos 1 = 0.5403 f (b=2)=cos 2 = -0.4161 f(a)*f (b) < 0 (0.5403)*(-0.4161) < 0 si hay raz C_ant= 99999 para arrancar Itera=0 s =0.001Encontrado= False

fa=f(a=1)=0.5403 fb=f(b=2)=-0.4161

fc=f(Cact=1.5649)= cos(1.5649)= 0.005896 f(Cact)= 0.005896 no es igual a 0? no ERA (Cact=1.5649, C_ant = 99999)= 1.5649 - 99999 / 1.5649 a no es menor a sfC*f(a) < 0 (0.005896)*(0.5403) 0 es diferente a cero a = Cact= 1.5649 b = 2 Itera = 1 C_ant 0 y x 1/4 x > 1/4 - 2 x > 1/4 - 8/4 x > -7/4 x > -1.75

Figura. Races en el plano cartesianoEsto lo que quiere decir es que el despeje propuesto g2(x), nos debe de servir para poder encontrar las dos races -1 y 2. Probemos con xo=0 en g2(x): xAct=-(2+xAnt)1/2 Ecuacin iterativa x1= -(2+xo)1/2=-1.41421356237 x2= -(2+x1)1/2=-0.765366864732 x3= -(2+x2)1/2=-1.11114046604 x4= -(2+x3)1/2=-0.94279347365 x5= -(2+x4)1/2=-1.02820548839 x6= -(2+x5)1/2=-0.9857 tiende a -1, punto fijo de g(x) y raz de f(x). Probando con xo=0 en g3(x): xAct=(2+xAnt)1/2 Ecuacin iterativa x1= (2+xo)1/2=1.41421356237 x2= (2+x1)1/2=1.84775906502 x3= (2+x2)1/2=1.96157056081 x4= (2+x3)1/2=1.99036945335 tiende a 2, punto fijo de g(x) y raz de f(x). Por lo tanto xo si nos sirve para encontrar las dos races. Probando con g4(x): g4(x)=1 + 2/x g4(x)=2*(-1) / x2 g4(x)= -2 / x2

x2 > 2 x > 21/2 x > 1.4142 Esto quiere decir que el despeje hecho, nos podr servir para encontrar la raz mayor a 1.4142 o sea para encontrar la raz. Probemos ahora g5(x): Se desea saber si este despeje es vlido para encontrar la raz de -1? O bien este despeje es vlido para encontrar la raz 2? g5(x)= 2 / (x-1) = 2*(x-1)-1 g5(x)=2*(-1)*(x-1)-2 dx/dx g5(x)= -2 / (x-1)2

Probemos s esto fuese vlido para encontrar la raz igual a -1.

Y el despeje propuesto, si nos sirve para encontrar esta raz. Ahora probemos si el despeje de g5(x), nos sirve para encontrar la raz igual a 2.

Y el despeje propuesto, no nos sirve para encontrar la segunda raz.

Figura. Formas de convergencia.