APUNTES DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES ...
155
Transcript of APUNTES DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES ...
"!#$
%&%('*),+-/.021,34'*0/5769871:),'
!"#
$&%' ()
+*#,#".-0/21 -4365!, 75!"-0/8-0:9;-<>=71 7/@?A5!BCB-0/
DFEG IHKJK
LNM7OQPSRUTVXW8Y PSRZM7[!P\7]_^ W&`ba&cW Ld ,#/<="feg, ehCijd+i!k "ilm-4no!-prqF1 -0Cseg-0 k milm-+.i, iutNilm7/
v.w DFEG x Gzy (
d C|F-<i~Cm-0/ehCijd+i!prqF1 -0Cseg-0 k milm-+.i, iC>="-< ?j-<i-0 CBX+"/Ku+1 l", -0
AG JxH< E HgI yE7y
?j-<i-0+QBijeh@="-<
F G) H y8DFEG)KG.%
9;B5!B-0X|#i-1 -7""
E H (zJ vIv %J G J E HK( !#"$&%'()*,+-./0)1.235463%17 398p3ge 7.HJUHK(: H y HK(<HKJS EG E H (zJ;mH % H< J,=s( G H y (zHKJ?><H y v y IH H H EG JS G y J EG J G v( G y J KG H %'A@ y JB7 y ( Gz <v()J y G DC HKJS G2EyKG HKJ F y J E HNHKJIvH KG y ( G JS y J~H HJI y J EG J G v( G y JG>0H v y SH ()H E y F H % IHJ HJIxH @7 70( yLK 3 +n3 398Xp3ge vNM( GzKy xHO0J E %y @ J JIPMxH y v( G ~HJxv"H xx E H H y J ( G H y ()HKJ E H E y G H %HJUH HKJ y J EG J G v( G y J HD JIJHO0JHKJI %y G H yE J_ y x y2G C HKJS GQE!yE IHKJ y HKJS EGzy HJ><H>0 G HK y G G)KG y xJxH H ( y 2y HK y8E H&vH J y ( G H y ( H ( E J E HAHJIJ HO0xJR:HKI HKJ G J~v C G J G y xHKJ E H 398p3ge wJx HK( IHKJx() y E E Hx y J G M G B7 y vHo GzG.% E H( J 2G %H DFEG x Gzy (7"( y JNv"S< H KG y JsIH y ( G2TKyE7y J E y xHNJI C G J G y H$ E J (zJsHO0xJ E H HJI yUK 3A+no3 JI G)E7yE J y H H JIHK()H KG yE JAv"HK( J G %H DFEG x Gzy (w+Jx H GzE J y vI HKJx E H y VM G x y F H HW y vXM( G)yG.% JxH xH y ( GQTyYE yG y J y ( y v".w5>0H ( y J 0 EG yG.% E H ( yYZ DC HKJ[< GQE!yKG% J G H %'Q@ KyE H ( y\ =s9]^M G Eyy 398p3ge HS7 G EG xH y H xH7y (# I.wH E H`_6xva_-bPcSdbPef< D 7g] y H b%y Gzy Jh=( G H y ()HKJsH ( y ; %' J GzKy w( yLZ E H G HK %' y 7 E H( Jji = J w $ H
e@pnBk 3 369 nBk8@+n,lm!nGo#pqsrftXuvwyxnqz m!nu3o#xX|uPnup!uPnDzXu m!no~wSnDfz
m!nuoaNuo#|x!uPnPS~wSnD m!no#DntDqnNwXuPnDXuXr2)P))RXs sV s ¡1¢B£¤¥ £ §¦ ©¨fª*«©¬V¯®«¯¬V°± £² £³´ ¶µR· ¸¹¸ · ¢º² ©R· ¯¨»¼¼¾½ ª ¦1¦¿¿¿À· ± £² £³ · ¢B² VR· ¯¨
! #" $&%'%( ! )+*,,- # %/.0#132 *4 5"76+89:<;7- #=," 0
>?@>?BA+CED<FHGC,FHI<JKLNM I L D<C M)O DQPRSI@TUD!R K R O D L ??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q??Q?Q??Q??Q?V? >>?XWY?[ZVD K T\DH]SR<J^ C O D M C,_`FaCbRcCFH]dD!R<J^ _e]dIfFaC_U?Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q??Q?Q??Q??Q?V? g>? h?Bi L I@FaI O C ONj3O If_dFaG_dI!JK,LNO D M C_`_ KM GFaI K,L D!_ O D M CUD!FHG5CFHI<JKLkO DQPRSI@TUD!R K R O D L >!l>? m?Bn&FHGC,FHI<JKL3M I L D!C MoO DQ_eD!pG L5OYK\K R O D L F K,L F!CbRcCFq]SDaRrJ^ _s]SI@F!C_t?Q??Q?Q??Q??Q?V? ><W>?XuY?Bi L I@FaI O C OkO D M C_`_ KM GFHI KL D<_vPCbRcC M C\D!FaGCFaI!JK,L O D K,LO C ?Q??Q?Q??Q??Q?V?wWbh
x)1Ny "!!["U+z,*+, #+"7, 5,Yb<,Y-| "a<" x5WY?@>?Bn M PR K,~M DaT7C O D M C,_ M J^ L D<C_ O DV]dRcC L _eT\If_eI<JKL ?Q??Q?Q?V?Q??Q??Q?Q??Q??Q?V?wWbWY?XWY?B9R K PCbp:CFHI<JKL O D KLO C,_D L Cbp,GC??Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q??Q?Q??Q??Q?V?hhWY? h?BA+C_D!FaGCFaI K,L D!_ O DCY&D MM ?V?Q??Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q??Q?Q??Q??Q?V?h
o132 *4 5"7:=d-| 8!4" h?@>? L ]dR KYO GF!FHI<JKLNj C M pG LK _PR K~M DaT7C,_9]rJ^ PI@F K _&?Q??Q?Q?V?Q??Q??Q?Q??Q??Q?V?m,
h?>,?>,?n&FHGC,FHI<JKLNO DQG L CUT\DaT ~ RSC L CUD M JC_e]dIfFaCED L D!:GI M I ~ RSI K ?Q?Q??Q??Q?V?m,h?>,? W?n&FHGC,FHI KL D<_vD M J^ P]dIfFaC_vD L T\D<F)JC L I@F!C O D5GI OK _??Q??Q?Q??Q??Q?V?wubh
h?XWY?[ K,M G5FHI KL D<_`CUC M p,G LK _&PR K,~M D!T7C_D M J^ PY]dIfF K _?Q??Q?Q?V?Q??Q??Q?Q??Q??Q?V?wuuh? W?>,?9R K,~M DaT7C_ O DIRSI@Fc M Da]??Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q??Q?Q??Q??Q?V?wuuh? W? W?A+CEbJK RSTG M C O D K If_d_ KL ??Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q??Q?Q??Q??Q?V?>h? W? h?9R K,~M DaT7C O DDaGT7C LL ??Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q??Q?Q??Q??Q?V?,Wh? W? m5?n M PRSI L FaIPI K7O D M TJCYIT K PCRSC M CUD<FHGC,FHI<JKLkO DAoCP M C,FHD??Q??Q?V?bmh? W? u?9R K,~M DaT7C_&D M J^ PY]dIfF K _?V?Q??Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q??Q?Q??Q??Q?V?,uh? W? ?9R K,~M DaT7C O D O IRcCF!FHI<JKL ??Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q??Q?Q??Q??Q?V?
1Ny ,8Y,,- # +k¡r4Y;="\8r*, #+" ¢ 0m?@>?[D!PCbRcCFaI!JK,L O DQ£CRdIfC ~M D!_vPCRSC M C\D!FHG5CFHI<JKL ?Q??Q?Q?V?Q??Q??Q?Q??Q??Q?V?¤g>m?XWY?[D!PCbRcCFaI!JK,L O DQ£CRdIfC ~M D!_vPCRSCEG L _dI@_e]dD!T\C O DQD<FHGC,FHI KL D<_¥??Q?Q??Q??Q?V?¤gg
¦
¦
m? h?BAoCE]dRcC L _s K RdT7C O C O DA+CbP M CFaD??Q??Q?Q??Q?V?Q??Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q?wgb 1 2 ,*+,,- # z 5+ a"7+4[+"< #:"
uY?@>?B R K PCp,C,FHI<JKL3O D K,LO C,_v_ KLK RcC_\?Q??Q?Q??Q?V?Q??Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q?,huY?XWY?BAoCEbJK RSTG M C O D K I@_S_ K,L j _dGNI L ]dD!RdPRdDa]SCFaI!JK,L ?Q??Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q?,uY? h? P M IfFaCFaI K,L D!_ O D M CEbJK RSTG M C O D K I@_S_ K,L ?Q?V?Q??Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q?guY? m?Bn M PR K,~M D!T7CEF KL £rC MK RdD<_I L I@FaI@C M D<_ ?Q?Q??Q?V?Q??Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q?:W
)1 2 ,*+,,- # z+/*"<,- # 5?@>?B R K PCp,C,FHI<JKL3O DF!C M@K R ?Q?Q??Q??Q??Q?Q??Q?V?Q??Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q?,?XWY?BIf_dP5D!RS_dI!JK,LzO DQF KL ]cCbT\I L C L ]dD<_ ?Q??Q?Q??Q?V?Q??Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q?>!l,l? h?Bn M DaD!FH] K7O D M C_vGD L ]SD!_7?Q??Q??Q??Q?Q??Q?V?Q??Q?Q??Q??Q??Q?Q?V?Q??Q?>!l:W
8E-+, " 5[ o #*+r4: 0#0#0
8E-+, " 5[ 98=4 0#0 ¢
8E-+, o*+, #+"7"! r 0x)0
# <" 0Y ¢E;=4 #$c-| 0Y#-( +4 = Y;E-:< 0
GI@DaR K CpRcC O D<FHD!RVCk CRdI vCbRST\D LK Rdp,DEP K R M C RSDaD O IfFHI<JKL O D7D!_e]SC_ LK ]SC,_ j _eG T\D K RcCD L TEGFc K _`C,_eP#D!FH] K _a?pRcC O D!F K ]cCbT ~ IHJD L C3 CbRcF K L ] KL I K 'p M D!_dIfC_P K R_dGzRdD!D!_SFHRSI]SGRcC j T\D K RSCTUI@D L ] K _dG_]cC L FaI@C M:O D M C_pGRcC_ jO D M CPRdD<_eD L ]SCFaI!JK,L ? pRcC O D!F K M C_+T JG M ]SIP M D!_T\D K RSC,_+:GD`ZVI M~ DaR] KM@K RSD!_ j C? O D M vCbRSTUD L,K RSpD&IfFHI@DaR KL CD<_s]cC L GDa£CV£DaRc_dI!JK,LO D M C_ LK ]SC_C M G_SCbR M C_F K T K T7Cb]dDaRSIfC M)O DCP Kj,K D L _dG_ FaGRS_ K _ O D M C C,FHG M ]SC O O D &I@D L FHIfC_!?n M PJD LO IfFHD O D G L FaI K,L D!_ O D ZVRSDaD L :GD F K T\P M DH]SCkD<_s]cCkPRSD!_dD L ]SC,FHI<JKL GD D!_SFHRSI] K P K RRe]SGR K! M £DaRcC?pRcC O D!F K C] KYOYK _9T\If_F KM Dap:C_ O D M D!PCbRd]SCT\D L ] KUO DVC]dD!TJC]dIfFaC,_ j zD<F)JC L I@F!C M C_ L G"T\DaR K _SC_&_eGpDaRSD L FHIfC_9:GDC L D L RdIf:GD!FaI OK D!_e]dD]dRcC ~ C# K ? I L C M TUD L ]dDC M T7C$ KYO RrJ^ p,GDj L C7\JDaRSDT\IoCpRcC O D<FHI@T\ID L ] K P K R M@K _JG M ]SIT K _v] K ,GD!_ CUD!_e]SCUD O I@FaI!JK,L ?
¦
¦
¤
n M PR K P JK _eI] K O D9D!_e]SC,_ LK ]SC,_)D<_)D MO D&PRdD<_eD L ]SCbRC M pG LK _]SDaT7C_ O D M C]SD K RrJ^ C`F M JC_dI@F!C`D M DaT\D L ]cC MO D M C_D!FaGCFaI K,L D!_D LO DaRSI£C O C_ P5CbRcFHIfC M D!_!?# K,~ RdDED!_e]dD]dDaT7C C j G L C3pRcC L FaC L ]dI O C OO D M I ~ R K _:GD7FHG ~ RdD L p,RSC L PCRe]SD O D M T7C]SDaRSI@C MO DED<_s]cC_ LK ]SC_P K RTUD L FHI KL CbRQC M pG LK _]SD L D!T K _D M&O D D!I L~ DaRSpDaR ,K L +Da]dR K £_I K P_ KL OYKLO D D MvM D<Fq] K RI L ]dD!RdD<_dC OYK P K O R#JCUF KL _eG M ]SCR`TGFc K _ O D M@K _v]dD!T7C_]SRSCb]SC OK _vD L D!_e]SC,_ LK ]cC_!?n M T\Cb]dD!RdIfC M C,,G+J^ ]dRcC]SC OYK7O I DaRSD O D MoO D MK _v]dDH] K _`CbRSRSI ~ CET\D L FaI K,L C OK _ j C\:GDD L D M@MK __dD]dRcC]cC L YD L K RdT7C\D M D!TUD L ]SC M C M p,G LK _v]SDaT7C_F K T K _dI@_e]dD!T\C,_I@P5D!R ~ JK,M IfF K _D!FHG5CFHI KL D!_O D CbvD M@M bJK RdTEG M C,_ O DV K I@_S_ K,L PCbRcC M CD<FHGC,FHI<JKL3O D K,LO C YC,_!J^ F K T K CbP M IfFaCFaI K,L D!_v:GDG_dGC M T\D L ]SD_dDV]dRcC]cC L D L FHGRc_ K _vTJC_`Cr£C L <C OYK _a?n L D M PRSIT\D!R FaCbP+J^ ]SG M@K _dD O If_dFaGY]dD M CD<FHGC,FHI<JKL M I L D!C MO DzPRSI@TUD!R K R O D L j _dDzRSD!_dGD M £DG_SC L5OYK D M T JDa] KYOYKQO D M C_9FaCbRcCFH]dD!R<J^ _e]dIfFaC_!?D O If_dFaGY]dDF KL7O Da]SC M@M D M Cp,D K T\Da]dRrJ^ C O D M C_9FaCbRC,Fq]dD!RrJ^ _e]dIfFaC,_ j T7C L DaRcC_&C M ]dDaR L Cb]dI@£rC,_ O D K P#DaRcCbR9F KL D MM C_ M C_vCbP M IfFaC,FHI KL D<_ F K,L D M G# KUO DF K FcD!_`P K RG L C F!CbRSRdDa]dDaRcC?YD K T\I]dDD M PR K~M DaT7C O DED!FaGCFaI K,L D!_ LK M I L D<C M D!_PCbRcC\D!_e] K _PR K~M D!T\C,__dD3PR K P K RcFHI KL C C MvM D<Fq] K R M C M I]dD!RSCb]dGRcC?D O I@_SFHGY]SDNF KLO DH]SC MM D M C D<FHGC,FHI<JKLM I L D!C M+O D_dDapG LOYK\K R O D L F KL FaCRSC,Fq]SDaRrJ^ _e]dIfFaC,_ M C\D<FHGC,FHI<JKLzO DPR K PCbp:CFHI<JKLNO D K,LO C_ jM@K _`£CRdI K _PR K~M D!T\C,_ F K,L £rC MK RdD<_`I L I@FaI@C M D<_ jkO DQR KL ]dD!RSC\C_ K FHIfC OYK _`F K,L D M@M C?5D O C G L CI L ]dDaRSPRSDH]cCFHI<JKL O DH]SC MM C O C O D M PCP5D MO D M C_VFaCRSC,Fq]dD!RrJ^ _e]dIfFaC,_D L F!C O C FaC_ K ? I L C M T\D L ]SDU_dDO If_SFHGY]SD M C\G L IfFHI O C O O D M C_`_ KM GFaI K,L D!_vPCRSC M CED<FHGC,FHI<JKLkO D KLO C?n L D M _dDap,G LOYK FaCPoJ^ ]dG M@K _dD O I@_SFHGY]SD L C M pG LK _E_dIf_s]SDaT7C_UI@P5D!R ~ JKM I@F K _U_eI@T\P M D<_ G]dI M I !C L OYK DsD!T\P MK _ O D M J^ L D<C_ O D]SRSC L _dTUIf_dI!JK,L D M JD!FH]dRSI@F!C_ j PR K PCp,CFaI!JK,L O D KLO C_ D L CbpG5C?,G+J^ ]SCbT ~ IHJD L _eD O If_SFHGY]SDF KL FHI@DaRd] K7O Da]SC MM DD M PCP5D MoO D M C_`FaCRSC,Fq]SDaRrJ^ _e]dIfFaC,_a? I L C M T\D L ]SD_dDRSD!_dGT\D L M@K _DHYP#DaRSIT\D L ] K _V:GD M@M D!£CbR KL C M C,_D<FHGC,FHI KL D<_ O D\ CYvD M@Moj _dD O If_SFHGY]SD LJD<_s] K _ F KL FHI@DaRd] K O DH]SC MM DD L FaC_ K __eI@T\P M D<_a?# GD!£CbT\D L ]dD MK _`PR K~M DaT7C,_ _eDRdD<_eGD M £,D L G_C LOYK D M T JDa] KYOYK7O D M C,_`FaCRSC,Fq]dD!RrJ^ _e]dIfFaC,_a?n M ]dDaRcFHD!R FaCPoJ^ ]dG M@K ]SRSCb]SC O D M ]dI@P K7K PGD<_s] KUO DQD<FHGC,FHI KL D<_`C M C,_v]dRcC]SC O C_vD LNM@K _PRdI@T\DaR K _OYK _a?)D\]SRSCb]SC O D7D!FaGCFaI K,L D!_ O D\D<,GI M I ~ RdI K ,GD LK PR K PCbp:C L _dDL C M D<_a?)D7I L ]dR KYO GFHD L C MD<_s]SG O IfCbR M C,_ O DH5DHYI K,L D!_ O DQG L CUTUD!T ~ RcC L C ~ C K\M CUCF!FHI<JKLkO DQ_eGNPR K PI K P5D<_ K C_<J^ F K T K]cCbT ~ IHJD L C]SRSCr£&JD<_ O DVPR K~M DaT7C_ O DGI OYK _ j F K T K CbPR K YIT7CFaI K,L D!_9C M C_&D!FaGCFaI K,L D!_ O D CbY&D MM D L D M D<Fq]SR K _s]#JC]dIfFaC?5 CRSC _dG_ KM GFHI<JKL _eDEI L ]dR KYO GFaD M C ]JD!F L I@F!C O D\_eD!PCbRcCFaI!JK,LzO D
£CbRSI@C ~M D<_ jM C,_V_dDaRSI@D!_ O D K GRdI@DaR<?YD O I@_SFHGY]SD L £CbRSI K _PR K~M D!T\C,__eI@T\P M D<_ O D\£rC MK RdD<_D LM CER KL ]dD!RSC? I L C M T\D L ]SD_dD O I@_SFHG]dD L PR K,~M D!T7C_`D L RdD!pI KL D<_I L L I]cC_D L PCbRd]dIfFHG M CbR`D M PR K~M D!T\C O DO IRSC,FaFHI<JKL O D\G L C KLO C3P#DaRSI!JK:O IfFaC P K RVG L K,~ _s]#JCFaG MK I M G_e]dRcC LOYK D!_e] KNM C _dDaPCRSC,FHI<JKLO D£CbRSI@C ~M D<_vD L RdD!pI KL D<_vI L L I]cC_!?n L D M F!CbPoJ^ ]dG MK FHI L F K _dD\D!_e]dG O IfC M CND<FHGC,FHI<JKL O DUPR K PCbp:CFHI<JKL O D KLO C,_D L ]dRSD!_ O I@T\D L _eI KL D!_!?+D7I L ]SR KYO G5FHD3F K T K G L C CPR K YI@T7CFHI<JKL C M C,_QD!FaGCFaI K,L D!_ O D3Cr£I@DaR:] K D<_ M C_D!FaGCFaI K,L D!_ O D M CT\D!FoJC L IfFaC O D5GI OK _ FHG5C LOYKMK _9T K £IT\I@D L ] K _9_ KL P#D!:GDLK _,F K T K D LD M F!C_ KUO D KLO C,_`_ K,LK RcC_!?YDQRdD<_eGD M £D M CUD<FHGC,FHI<JKL D L ]JD!RdT\I LK _ O DQG L CUI L ]dD!pRcC M G_SC L5OYKG L C F K T ~ I L CFaI!JK,L[O D ]dRcC L _e K RST7C O C,_ O DNAoCbP M C,FHD j K GRSI@DaR<?D K~ ]dI@D L D M CbJK RSTG M C O D K If_d_ KLNM C FHG JC M _dDQI L ]SDaRSPRdDa]SC7F KL O Da]SC M@M D j _dDCP M IfFaC\D L £CbRSI@C,_`_eI]dG5CFHI KL D!_ O DCFJG_s]SI@F!Cj O DE_dIf_eT KM@K p#J^ C?5DUD!_e]dG O I@C L £CbRSIfC_CPR K I@T7CFaI K,L D!_ j _dD O I@_SFHG]dD L M C,_ O I 5FaG M ]SC O D!_VpDK T JDa]dRSI@F!C_v,GDQC j PCRSC K~ ]SD L D!R`I L K RST\C,FHI<JKL C\PCbRd]dI@R O D M CEbJK RdTEG M C O D K I@_S_ KL ?n9_e]SC L GDa£CUD O IfFHI<JKL _eDF K TUP M Da]5JK C L C O ID LOYK G L F!CbP+J^ ]SG MK _ K,~ RSDD<FHGC,FHI KL D<_ O D O IG_dI!JK,L jF K,L £,D!F!FHI<JKL ?DVC L C O I<JK ]SCbT ~ IHJD L G L C_eD<FaFHI<JKL D<_dFaRdI]SCP K R Rd]dGR K M £DaRcC_ K,~ RSD G L FaI K,L D!_O DZVRSDaD LNj F KL _e]dRSGFaFaI!JK,L DI L ]dDaRSPRSDH]cCFHI<JKL D L ]dD K RrJ^ C O D M P K ]dD L FHIfC M ?n9_e]SC,_C O IfFHI KL D<_+P#DaRST\I]SD L G_SCbRD!_e]SC,_ LK ]cC_D L G L PRSIT\DaR FaGRc_ KO D`n9FaGCFaI K,L D!_ CbRcFHIfC M D!_!?i L M I ~ R K ,GDF K,L ]dI L JGCF KL D<_s]SD ]dI@P KEO DT\Cb]dD!RdIfC M D!_ D M5M I ~ R K RdD<FHI@D L ]dD O D $`IfFcCR O C ~ D!RT7C L ? CbRcCF KL F M GIR RdD<F K,LK FHDaT K _+5C ~ DaR K TUI]dI OYK ]SDaT7C_ O D`I@T\P K Re]cC L FaI@C F K T KVM CD!FaGCFaI!JK,LUO DPR K PCp,CFaI!JK,L7O D M F!C M@K R b]SCT\P K F K _dD O D<_dCRdR KM@M JKO DH]cC M@M C O CbT\D L ]SD M C]JD!F L IfFaC O DV_dDaPCRSC,FHI<JKLO DQ£CbRSI@C ~M D!_vD L PR K~M DaT7C,_&TJC,_`F K T\P M IfFaC OK _!? ]dR K _&]dD!T7C_ O DQp,RSC L GY]SI M I O C O F K T K D M D!_e]dG O I K O D_ K,M GFaI K,L D!_C L C M J^ ]dIfFaC_CPR K YI@T7C O C,_ jJK PY]SI@F!C7pD K T JDa]dRSI@F!C _dD K T\I]dI@DaR KL F K TUP M Da]SCbT\D L ]SD?# CbRcC[JD!_e] K _ D MM D<Fq] K R P KO R5JC F KL _dG M ]SCRM C M I]SDaRcC]SGRSC\:GDQ_dD L C M CT K _C:GoJ^ ? MKkM CbRSp KkO D7D!_e]SC,_ LK ]cC_Q_dD7C ] K T7C OYK D M PG L ] K O D7£I@_e]SC O D\RSD!_ KM £DaRPR K~M D!T\C,_VRSC K,L C LOK D L K RdT7CBp,D K T JDa]dRSI@F!C K P K RNC L C M@K p#J^ C F KLK ]SR K _ PR K~M D!T\C,_a?&AoC_ _ K,M G5FHI KL D<_ K RST7C M D!_ K~ ]dD L I O C,_`C_<J^ PR K~ CR K,L _dDaR _ KM GFHI KL D<_ O D MK _PR K~M DaT7C_`FaGC L5OYK _eD_SC]SI@_eCFaD LF K,LO IfFHI KL D<_]JD<F L IfFaC,_QCbPR K PI@C O C_Q:GDsG5_s]SI 5F!C ~ C L D M TJDH] KYOYK _dDap,GI OK PCbRcC K~ ]SD L D!R M C_ K,M G5FHI<JKL K RdT7C M ? D M I ~ DaRcC O CT\D L ]dD7_dD K TUI]dD L M@K _ O DH]SC MM D!_]JD!F L I@F K _ O C LOK C,_!J^ M C 5DHYI ~ I M I O C O3O DG_SCbR MK _ TJDH] KYOYK _9PCbRcCpRcC L FaC L ]dI O C O O D PR K~M DaT7C_£,DaRSI #FaC L5OYK CQP K _e]dDaRSI K RSIM CN_ KM GFHI<JKL K~ ]SD L I O C? A+C! L C M I O C OO D\D<_s]cC3T7C L DaRcC O D\PRSD!_dD L ]SCRD M T\Cb]dD!RdIfC M D!_:GD\D MM D<Fq] K R_dDQCbT\I M IfCbRSIfFHDF KLzM@K _`PR K~M D!T\C,_`TJC__eI@T\P M D<_ O D M C,_`D!FaGCFaI K,L D!_ PCbRcFHIfC M D!_ j F K,LM C,_v]JD<F L IfFaC,_vPCbRcC K,~ ]dD L DaR jNO If_dFaGY]dI@R _ K,M G5FHI KL D<_a?ZVRSC L P5CbRd]dD O D M T7Cb]dDaRSIfC M O DQD!_e]SC,_ LK ]cC_`_dD K,~ ]dG£ K D LNMK _`FHGRc_ K _ O D£D!RSC LK D L K RSD M I@C zIfFc)?D L >!gg j D L JDaRSI O C GFb? D L ><:g?
Q
!"#$&% ! $ %(' *)+,!-.+ # + ' $DNDaT\P#D<CbR#JC D!_e]SC _dD!FaFaI!JK,L I L ]dR KO GFHI@D LOK M CD<FHGC,FHI<JKL[M I L D!C MO DNPRdI@T\DaR K R O D L F KL G LDsDaT\P M@K0/ D M ]SR5JC L _eI] KkO D7F K FcD<_P K RQG L C F!CbRSRdDa]dD!RSC?#D7_dGP K,L D\PCbRcC D<_s] K G L CkFaCbRSRSDH]dD!RSCRSD!FH]SCUC MK\M CbRSp K\O D M DsD 1k]SC M F K T K _dDV£,DD LkM Cp,GRcCE_dIp,GI@D L ]dD /
x0
x
2436587,987:9
$`D!PRSD!_dD L ]dD!T K _ P K R<; =1?>A@ M C O D L _eI O C OO D&F K FcD!_oD L D M PG L ] K 1 O D M CF!CbRSRdDa]dD!RSCC M ]dI@DaT\P K@ D M PR K~M DaT7CND!_D L F K,L ]SRSCRD M F K T\P K Re]cCbT\ID L ] KzO DB; C1?>D@ D M ]dR#JC#5F K D L M CzF!CbRSRdDa]dDaRcC CN]SID!TUP K _GY]SGR K __eI&D!_E,GD3_eD F KLK FaDE; C1?>Sl oD!_ O D!FaIRED M ]dR#JC#5F K I L IfFHIfC M T\D L ]dD,? CRSCD<_s] KO D ~ DaT K _3D L F K,L ]SRSCR G L C[D!FHG5CFHI<JKL P5CbRcCF;5? K T K D<_s]cCG L FaI!JK,L O D!P5D LO D O D OYK _£CbRSIfC ~M D!_ M CD<FHGC,FHI<JKL :GD D L F K,L ]SRSCRdD!T K _\_eD!R5JC G L CBD!FaGCFaI!JK,L O IDaRSD L FHIfC M P5CbRcFHIfC M ? AoCD<FHGC,FHI<JKLO D!_dD!C O C M CND L F KL ]SRSCT K _F KL _eI O DaRcC L5OYK M CkRcCbPI O D O D F!CbT ~ I KzO D M CzFaC L ]dI O C OO DQF K FcD!_D L ]SRdDG10H j 1o?n&_s] K D!_ /
>
W
$CbPI O D O DF!CbT ~ I K\O D M)L JGT\DaR K7O DF K FcD<_D L ]dRSDG1 H j 1 @ ; >D@ K R K ]SRSCEPCRe]SD_SC ~ DaT K _`,GD
@ ; >D@ JGTUD!R K7O DF K FcD!_`:GDD L ]SRSC L D L 1 H P K R`G L I O C OkO D]SID!T\P K
JGT\DaR K7O DF K FcD<_`:GDQ_dC M D L P K R 1zP K R`G L I O C OkO D]dI@DaT\P K M G# K O DF K FcD!_`:GDQD L ]SRSC M G# K7O DF K FcD<_`,GD_SC M D?
I O D LK ]cCbT K _VD M 5G# K TUD O IfC L ]dD #]dD LO RSDaT K _Q:GD M C3D<FHGC,FHI<JKL O D7F KL _eD!Rd£CFaI!JK,LO D M CFaC L ]SI O C ONO DF K FcD<_&D<_ / @ ; >D@ ! =10H >A@ C1 >A@ " s>,?>
AoC D!FaGCFaI!JK,L s>,?> D<_VG L C D!FHG5CFHI<JKL F K,L OYK _I L FoJK p L I]cC_# j ;#?oI L DaT ~ CbRSp K D!_VG L D Fc K DHYP#DaRSIT\D L ]cC M MK F K T\PR K~ CT K _`_eI@DaT\PRSDQ:GD£I@C eCbT K _F KL ]dR#JC#5F K :GDQD M G# K3O DF K FcD<_D L G L PG L ] K O D!P5D LO D O D M C O D L _dI O C O ; D L D!_dD PG L ] K ?n9_e]SC O DaP#D L5O D L FaI@C _dDD L FaGD L ]SRSCEDHYP#DaRSIT\D L ]cC M TUD L ]dD j G L CUpR#JC#5F!CQ]rJ^ PI@F!C O D =;_dDTGD<_s]SRSCED LNM C I@p? >,? W?
ρ
(ρ)Q
ρo ρm
I@p? >,? W
AoC Ip5? >?XW LK _I L5O I@F!CE:GDC j G L C O D L _dI O C O ;%$ PCbRcC M C\FHGC M#j C LK P5C_SC L F K FcD!_ G LDaT ~5K ]dD M@M CbT\ID L ] K j G L C O D L _eI O C O ; H PCbRcC M C\FHG5C M D M G# K O DQF K FcD<_D!_TJCYI@T K ?AoCUD!FaGCFaI!JK,L P5CbRcC;3_dDD L FaGD L ]SRSCUPGD<_`_eG5_s]SI]SG j D LOYK C; vD LkM C s>?@> j D!_ @ ; >A@ ! C; C1 H8>D@ C; C1 >A@ & s>,? W
hA+C\D!FHG5CFHI<JKL e>?XW D<_`I L ]SDapR KYO IDaRSD L FaI@C M ? CRSCED L F KL ]SRSCR G L C\D<FHGC,FHI<JKLzO IDaRSD L FaI@C M PCRSC;7D<_`F KL £,D L I@D L ]dD O D!RdI@£CbRRSD!_dP5D<Fq] K C 1CT ~#K _vT\ID!T ~ R K _ O D e>?XW j K,~ ]dD L DaR /
@ ; =1?>D@
1 C; C1 >A@ ; C; ; l e>? h
CRSCF K T\P M DH]cCbR M C K RSTG M C,FHI<JKL O D M PR K~M DaT7C LK _ ~ C_e]SC O D<FHI@R M C O I@_dP K _dI@FaI!JK,LNO DF K FcD<_D L M CEF!CbRSRdDa]dD!RSCEC M ]dI@DaT\P K @ l YD!_ O D!FHI@R :D<_eP#D!FaI #FaCbR ; C1 >dl C1 OYKL5O D =1 vD<_G L CG L FHI<JKL F KLK FaI O C? CbRcCED L F KL ]dRcCbR M C O I@_e]dRSI ~ GFHI<JKLkO DF K FcD<_ O D ~ DaT K _ RdD<_ K,M £,DaR
; C; ; l > 1 > @ l0>; =1?>Sl C1 " e>? m KLO D M CG L FHI<JKL _dD O DH]SDaRSTUI L CEDHYP#DaRSIT\D L ]cC M TUD L ]dD j ]dI@D L DVG L CE K RdT7CP5CbRSD!FHI O CUC M CO D M C Ip5? >?XWY?$`D<_ K,M £,DaR M CQD!FaGCFaI!JK,L s>? m D!_9F K T\P M I@F!C OYKQj F K T K PRSIT\DaR9PC_ K ]dRcC]cCbRSDaT K _ O D RdD<_ K,M £,DaR M CFaGC LOK ; > LK C j M C\P K _dI ~ I M I O C OkO DQDaT ~5K ]dD MM CbT\I@D L ] K :GDF K T\P M I@:GD LNM C7_ KM GFHI<JKLO D M PR K~M DaT7C q?bn L D!_e]dD F!C_ K P KYO DaT K _ CbPR K YIT7CR =;F K T K G L CVG L FHI<JKL\M I L D<C M =; l ;#?$_<J^ e>? m v_eDQCPR K YI@T7CP K R
; ; l0> 1 >; C1 >dl =1 > l & e>?Xu
CRSC ~ C eC_ O D L _dI O C O D<_ O D ~ D!T K _RdD<_ K,M £,DaR e>?Xu P5CbRcC`D L F KL ]dRcCbR+D M ]dR#JC##F K D LM CFaCRdRSDH]SDaRcC?I@Fc5C _ KM GFHI<JKL _eD K~ ]dI@D L D LK ]SC L5OYK :GD M CD<FHGC,FHI<JKL e>?Xu U_dD D<_dFaRdI ~ DND L M C K RdT7C _eI p,GID L ]dD / =; >A; >!> l e>? :GD LK _ O I@FaD :GD ;z]dI@D L D M C O DaRSI@£rC O C O I@RdD<FaFHI KL C M FHD!R K C MKzM CbRSp KNO D M £D!FH] K R >!> q?)n&_O D<FHI@R ; @ _ K,~ RSD M C_ RdD<Fq]SC,_PCbRcC M D M C_C >a> q?i L CT7C L D!RSC O IDaRSD L ]dD O D D!_SFHRSI ~ IR e>? D<_
; ; @ ; C1 =@ >D@ l OYK,LO D 1 =@ @ i ]dI M I !C LOYK D!_e] K _D!Fc K _P KYO D!T K _`F K,L _e]dRSGIR M C\_ K,M G5FHI<JKLkO D s>?Xu C,_<J^ /I kYC ~ DaT K _:GD ; F KL _e]SC L ]dDC M@KEM CbRSp KEO D M C,_&RSD!FH]SC,_ #D!_ O D<FHI@RC M@KEM CbRSp KO D M CzCTUI M I@C O D3RSD!FH]SC_1 ! @" Y? K RD!_e] K O I ~ G#eCbT K _ M CzCbT\I M IfC O D3RSD!Fq]cC_ j]dD L DaT K _ M C Ip5? >? h? ~ D!Rd£,DaT K _U:GD P5CbRcCFaC O C PG L ] K$# =1?>D@ UPC_SC G L C j _5JKM@K G L CRSD!FH]SC O D M CCbT\I M IfC? O DaTJC_ M C_RSD!FH]SC,_ 1 @%EI L ]dDaRc_dD!Fq]cC L C M DsD 1zD LkMK _PG L ] K _ >Sl q?
m
Q
(ξ,0) (ξ,0)
P(x,t)
x=ct+ ξ
t
x
I@p? >,? h
I@I YC ~ D!T K _:GD ; F KL _e]SC L ]dDC M@K7M CRdp K\O D 1 @ "P K R D<_s] K D LzM C Ip5?o>? h\D M£C M@K R O D ;zD L$# D<_D M £C M@K R O D ;ND L 7? K RD<_s] K PCRSC O DH]SDaRSTUI L CR ; C1 >A@ ~ C,_s]cC£,DaR FHGJC M D!_ D M PG L ] K >Sl OYK,LO D M C\RSD!FH]SC # I L ]dD!RS_dD!FH]SCED M DsD 1 j3O D<FHI@R; C1 >A@ ; >dl &
n M £rC MK R O D ; >Sl v_dDF KLK FaD j CE:GDVD!_ M CEF KLO I@FaI!JK,L I L I@FaI@C M H? CbRcCF K T\P M Da]SCRL GD<_s]SRSCN_ K,M G5FHI<JKLLK _VC M ]SCNDaPRdD<_dCR D L ]JD!RdT\I LK _ O D 1 j @q?)n9_e] K _dDU5CFHDUD L M C I@p?)>,? h j ]SD LO RSDaT K _ M C\_ KM GFHI<JKL
; C1 >A@ C1 @ & s>,?Xg D PGD O D£DaRSI 5FaCR9:GD s>,?Xg D!_9DHD<Fq]dI@£CbT\D L ]SD_ KM GFHI<JKL7O D s>?Xu P K R&_dG_s]SI]SGFHI<JKL O IRSD!FH]SC?AoCNI L ]SDaRSPRSDH]SC,FHI<JKL O D M Ck_ KM GFHI<JKL D L ]JD!RdT\I LK _ O DU]SR5JC 5F KNM CNP KYO DaT K _ K,~ ]dD L DaR_dI pRcC# FaCT K _e>? g vF K T K G L FaI!JK,LNO D 1kPCRSC OYK _&]SID!TUP K _ O IDaRSD L ]SD!_`F K T K _dDV£,DD L M C I@p? >,? m5?
D!CT K _+:GD M C pR#JC##FaC O D ;QC M ]dI@DaT\P K @ H D!_ M C p,R5JC 5FaC ;QC M ]SID!T\P K @ l O D!_dP M C !C O C C,FHIfCM CkI !:GI@DaR O CNG L C O If_e]SC L FHIfC @ H _eI L FaCT ~ IfCbR O D7 K RdT7C?)n9_e] KkLK _ O I@FaD ,GD7D M ]SR5JC 5F K _dDT K £DaR#JCVCFaI@C M C O D!RdD<FcCQF K,L £,D M@K FHI O C O `_dI L F!CbT ~ I@CR M C O If_dP K _eIfFHI<JKL O D M@K _&F K FcD<_a?n&_s] K_eD K~ _eD!Rd£CF K T JG L T\D L ]SD j CU:GDFHGC LOYKULK 5C j DaT ~#K ]SD M@M CT\ID L ] K _&G L pRSGP KUO DQF K FcD<__eD O D!P M C !CD LU~MK :GD_eI L F!CbT ~ I@CRCPRSD!FHIfC ~M D!TUD L ]dD O D9 K RdT7C?rAoCV_ KM GFHI<JKL C,_<J^ F KL _e]dRSGI O CD!_e]5JCUPGD<_ O DQCFaGDaR OYK F K,L L GD<_s]SRSCEDHYP#DaRSID L FHIfC? L ]dD<_ O D`RSD!_ KM £D!R K ]dR K _PR K~M DaT7C_ LK ]dD!T K _ C M pG LK _ O Da]SC M@M D!_ O D M TJDH] KOKO D _ K,M GFaI!JK,LUO Ds>,? u q?D M C I@p?5>? hV£DaT K _ :GD M C_ K,M GFaI!JK,L D<_9F KL _e]SC L ]SD`C MKM CbRSp KO DFaID!Re]cC_RSD!FH]SC_9,GD_JK,MKO D!P5D LO D L7O D M CVD!FaGCFaI!JK,L 4C]SRSCr£&JD<_ O D jLKQO D M C =1 H?,n9_e]SC,_RdD<Fq]SC,__eD M@M CT\C LEM C_
u
t=0(x,0)
x
ρ
x
ρ 0(x,t )
t=t 0
x=ct 0
I@p?o>? m
,Yb<,Y-| "a<" O D M CED<FHGC,FHI<JKL s>? g H? MK\M CbRSp K\O D M C,_`FaCRSC,Fq]dD!RrJ^ _e]dIfFaC,_ £D!T K __eI@DaT\PRSDD M T\I@_dT K £C M@K R O D ? I L C M T\D L ]SDD M £C M@K R O D;3D L # _JK,MK3O DaP#D LO D O D M £C M@K R I L IfFHIfC M D L P K R9D!_e]dD`T K ]SI£ K F!CbT ~ I K _D L7M@K _£C M@K RSD!_I L I@FaI@C M D<_ D L PG L ] K _ O If_e]dI L ] K _ O D LK C M ]dDaRcC L;7D L # ? ]SR K PR K,~M DaT7C O DEI L ]dDaRJD<_D<_VC,:GvJD M D L D M FaGC MM C F!CbRSRdDa]dDaRcC3_dDUDH]dI@D LO DED L D M I L ]dD!Rd£C MKl 1 jzLK C j F K FcD<_I L IfFHIfC M TUD L ]dD P#DaR K D L D M DH]SRdD!T K 1 l D!_e]5JC L D L ]SRSC LOYKF K FcD!_vF KL G L C O D L _dI O C O ; l0>A@ =@ 9:GDVD!_&G L CG L FaI!JK,L F KLK FHI O C?, L ]dD!RdD<_dC]SCT ~ IHJD LF KLK FHD!R M C O I@_e]dRSI ~ GFHI<JKLkO DQF K FcD<_C M@KEM CbRSp KUO D M CUFaCRdRSDH]SDaRcC?n M PR K~M DaT7CUCRSD!_ KM £D!R&D<_
; ; l >Sl 1 >D@ l >; C1 >dl l >Sl 1 >; 4l >A@ C@ >D@ l > =@ l @l e>? CRSCURSD!_ KM £DaR s>? PR K FaD O D!T K _F K T K D L s>,? u j £D!T K _:GD; D<_F KL _e]SC L ]SDC M@K M CbRSp KO D M CUCbT\I M IfC O DQRdD<Fq]cC_ 1 @%\,GD_dD£D L D L M C Ip5? >?XuY?n L M C Ip5?#>,? u£D!T K _9:GD_eI # D<_s]#JCC M C O DaRSD!FcC O D M CRSD!FH]SC C1 @ ,; l j C:GDD M £C M@K R O D ;UD L # D<_9D M £C MK R O D ; OYK,LO D M CEFaCbRcCFH]dD!R<J^ _e]dIfFaC # F K Re]cCQD M DsD 1 j D M £C M@K RO D ;NCb+J^ D!_FaDaR K ?n&_s] K D!_e]5JC O DC,FHGD!R OK F KL D M D<Fc K7O D:GD_dI ]dD L DaT K _ G LzK,~ _eD!Rd£C OYK RD L 10H vJD<_s]SD LK £D!RrJ^ C L I L pJG L F K FcDVC_e]SCU:GDG@(10H ]dI@DaT\P K :GDV]cCbR O CD L M@M D!p,CR&D MPRSI@TUD!R&F K FcD:GD_SC M I<JKO D 1lC M ]SID!T\P K @ l?D M C Ip5?5>,? uP KYO DaT K _9£,DaRSI 5F!CbR&D!_e]dDD<Fc K j C7:GDD L 1 10H 0; l _dI?@ 1 H ? K R K ]dR K PCbRd]dD 5_dI 1 @ D<_ O D<FHI@RCbRSRdI ~ CO D M CRdD<Fq]cC ;\_dDaR#JC O IDaRSD L ]dD O DFaDaR K ?, CRSCQF!C M FHG M CbR&D M £C M@K R O D ;\D L T K _e]dRcC OK D LM C I@p? >,? u ~ C_e]SCURSD!F K R O CbR:GD
; C1 >A@ ; 4l > > e>? OYK,LO D 4l > D!_D M PG L ] K3OYK,LO D M C F!CbRcCFq]SDaRrJ^ _s]SI@F!C I L ]SDaRc_eD<Fq]cC7C M DsD@q?5 CRSCURSD!F K R O CbRD M £rC MK R O D ~ C_e]SC LK ]SCbR`:GD
l > >OYK,LO D 1 @ 0> @ 1 s>,?><l
(x ,x /c)00
(0,τ)= S
t
xA Q
(0,t)=g(t)ρP
ρ=0ρ=0 ρ=0
Bx=ct
ρ=0x0
R
I@p? >,? u
n L s>,? j s>,?><l &£D!T K _,GD M C\_ KM GFHI<JKLkO D s>,? &D!_e]5JC O C O CEP K R; C1?>D@ C@ 1 & s>?@>>
KYO DaT K _Cb K RSC I L ]dD!RdPRdDa]SCbR M C3D!FaGCFaI!JK,L s>?@>> O DUD!_e]SC K RST7C / D L G L PG L ] K K 1 H ]dD L DaT K _Q,GDB; =1 H >A@ # C@ 1 H P K RQD!_e] K _dI @ 1 H # ; tl? &GC L5OYK @ 1 H M CO D L _eI O C O :GD K~ DaRS£CbT K _VD<_ M CNT\I@_dT7C O If_s]SRdI ~ GFaI!JK,L C@ :GD\D!_e]5JCND L ]SRSC LOYK D L 1 l F M CbR K D<_s]#JC\RdDa]dRcC_SC O CG L ]dI@DaT\P K 1 H ?n&_s] K D!_e]5JC O DCFaGDaR OYK F K,L D M D<Fc K ,GDQG LkK~ DaR£C OYK R3PCRSC OYK D L M C[F!C M@M D £D MM Dap:CbR3C MK _ F K FcD!_&FHG5C LOYK C j P K F K _F K,LM CT\I@_dT7CO If_eP K _dI@FaI!JK,L F K,L M C:GDD L ]dRcCbR KL C M CF!C M@M D,?:n L D!_e]dDFaC,_ K £,DaT K _ ]SCT ~ IHJD L :GD M@K _ £C MK RdD<_O D ; _dDQPR K PCbp:C L CU£,D M@K FaI O C O F KL _s]cC L ]dDQC MK\M CbRSp K\O D M C_`FaCRSC,Fq]SDaRrJ^ _e]dIfFaC,_a? C L ] K D L3M C I@p?>?XuF K T K D L3M C I@p?>? h£,DaT K _v:GD ; =1?>A@ v_5JKM@KEO D!P5D LO D O D MK _9£C MK RdD<_; 4l > 7JK ; >Sl :GD_ KL7M@K _ £rC MK RdD<_ O D; OKLO D M CQF!CbRcCFH]dDaRrJ^ _s]SI@F!CCQ]dRcCr£9JD!_ O D # F K Rd]SCQC MDsDVF KL3MK _ O Cb] K _ I L I@FaI@C M D<_ KUO D R KL ]SDaRcC?,n&_s] K _9PG L ] K _4l > >dl _dD M@M CT7C L 5 + +:89+4 O D =1?>A@ H?YA K _9PG L ] K _9C M@KM CbRSp KO D M CEFaCRSC,Fq]dD!RrJ^ _e]dIfFaC 1 @ ",F K T KMM Da£C L D M £C M@K R ; >dl _dD MM CbT7C L 5:- 5z*+, O D M PG L ] K >dl H? GD O CUF K T K DsD!RSFaI@FaI K RdD<_ K,M £,DaR M@K _PR K~M DaT7C,_ ;=[ 0#10#10
; ; l > 1 > @ l0>; =1?>dl =1 "
" g 5;=4: 0514051 x
; ; l > 1 l0> @ l >; C1?>Sl l > 1 l0>; l >D@ C@ > @l 3 7
# - +G" ' % ! + <+G" " ! ! n&_vF KL £D L I@D L ]dD ]SC M F K T K _eDC,FHDD L D<FHGC,FHI KL D<_ O ID!RdD L FHIfC M D!_ K R O I L CRdIfC_,I L ]dD!RdPRSDH]cCbR`Ce>?Xu vF K T K G L PR K~M DaT7CUpD K T JDa]dRSI@F K PCRSC M C\_dGP#DaR5FHI@D$# ; C1 >A@ H? CbRcC O CR M CE K RdTEG"M CFaI!JK,LEO D<_eD<C O C£D!T K _ :GDRdD<_ K,M £,DaR s>?Xu +D<_D L F KL ]dRcCbRG L C_dGP#DaR5FHI@D%BFaG j CD!FaGCFaI!JK,L D<_; ; =1?>D@ r,GD FHGT\P M D9F K,LM CD<FHGC,FHI<JKLO ID!RdD L FHIfC Mj :GD PC,_dCvP K R M C`FHGRd£CPCRSCTUDa]dRSI <C#O CUP K R >dl > q?n&_s] K _dD£DD LkM C I@p?o>?
c= (ξ,0, f (ξ))
0ξ=ξ η=η0
t
x
ρ
ξ
Q
R
I@p?o>?
A+C I L ]SDaRSPRSDH]SC,FHI<JKL p,D K TJDH]dRSIfFaC O D M CD<FHGC,FHI<JKL e>? D!_ M C O DkG L C RSD!_e]dRSI@F!FHI<JKL _ K~ RSD M C_dGP#DaR5FHI@D&%?rn L K RdT7CTJC_FHG5C L ]dI]SCb]dI@£rC RdD<F K R O D!T K _ :GD9D M £,D!Fq] K R LK RST\C M C% D!_e]5JC O C OYKP K R =; >A; > > j :GDQG_SC L5OYK D!_e] K M C Ip5? >? U_dDQI L ]SDaRSPRSDH]SCUF K T KC; >D; > > (' >a> >Sl l s>,?>rW
AoCD!FaGCFaI!JK,L e>?@><W LK _ O I@FaD:GD`_dI ;QD!_G L CV_ KM GFaI!JK,LEO D s>,? u D L ] KL FaD!_D M £,D!FH] K R LK RdT7C MC % D!_P5D!RdP#D LO I@FaG M CRVC >!> >Sl q?DECb+J^ :GDUD M PR K~M DaT7C e>?Xu D!_D MO DD L F K,L ]SRSCRG L C_eGP5D!R5FaIDV]cC L p,D L ]dDQC M £D!FH] K R >a>8>dl j ,GDQPC_dDP K R M C\FHGRd£C >dl0> q? CbRcC&F KL _e]dRSGI@R M C`_dGP#DaR5FHI@D O D<_eD<C O CRSD!FaGRdRSI@T K _C M C I@p?b>,? ?an9_)F KL £D L I@D L ]dDPCRSCTUDa]dRSI <CbRC %D LkM CE K RST7C =1 > >A@ > >D; > s>?@>!h OYKL5O DQPCbRcCUFaC O CE£C MK R K O D M CUPCRSCTUDa]dRSI <CFaI!JK,L s>,?><h LK _ O C F K T K G L FHI<JKL O D G L C O D M C,_FHGRS£C_ ? &GC LOYK eCbT K _ H LK _vT K £D!T K _&F KL M C s>,?><h &F K T K G L FaI!JK,LO D C M@KM CRdp K O DzG L C FaGRS£rC ? n L PCRe]SI@FaG M CR\D!_ O D<_eD<C ~M Dz,GDkFaGC L5OYK l LK _T K £rCT K __ K,~ RSD YD<_ O D!FaIR :GD!RdD!T K _`:GD
=1 >Sl >A@ >Sl >A; >dl >Sl > " s>?@>am K T K :GD!RdD!T K _9:GD % _dD!C]cC L p,D L ]dDVC >!> >Sl LK _ ~ C_e]SCP#D O IR:GD M C_&FHGRS£C_ ,GD M CpD L DaRcC L MK _dD!C L ?n9_e] K _eDDaPRdD<_dC\F K T K
@ 1 > > @ @ > >8> @ ; > l > s>?@><u PCbRcC] KO CY?YAoC,_9D<FHGC,FHI KL D<_ s>,?>!m /uY?@><u 9_ K,L M CDHYPRSD!_dI<JKL O D s>,? u D L PCbRcCbT JDa]dRSI@F!C_ j_eGk_ KM GFHI<JKLNLK _ O CbR#JCEG L CUDHYPRSD!_dI!JK,L PCRSC %D L K RST7CP5CbRcCbTJDH]SRdIfFaC?AoC,_D!FHG5CFHI KL D!_ s>,?>!m j 4uY?@><u LK _ O I@FaD L :GD7D M RSD!_ KM £D!R M CkD<FHGC,FHI<JKL PCbRcFHIfC M e>?Xu VD!_D!:GI@£C M D L ]dDCRdD<_ K,M £,DaR G L _eIf_s]SDaT7C O DD!FaGCFaI K,L D!_ K R O I L CRdIfC_!? KYO D!T K _ Cb K RcCRdD<_ K,M £,DaR M C4u?>ru vF K,L M C_`F KLO IfFHI KL D!_I L I@FaI@C M D<_ O D M C e>?@>am j K~ ]SD L D!R
1 > > @ > > ; > & s>?@>! AoC s>,?>< j LK _ O C M CDaYPRdD<_eI<JKL PCbRcCbT JDa]dRSI@F!C O D % LK _ O IfFHDQ:GDG;7D!_F K,L _e]SC L ]SDVFaGC LOK1 " @ D!_ O D!FaIR9C M@KQM CbRSp KO D M C,_ RSD!Fq]cC_ 1 @ Y?bn9_e]dD`D<_ D M TUIf_dT K RSD!_dG M ]SC OYK:GD K~ ]SG£IT K _ O D s>? H? CbRcC K,~ ]dD L DaR O D s>?@>! ; =1?>A@ ~ C,_s]cC O D!_dP5DeCbR >D L ]JDaRSTUI LK _O D @ >A1+?n9_e] KULK _ O C ; C1 >A@ C1 @ > s>?@>rg :GDD!_ M C\_ K,M GFaI!JK,L :GD j C K,~ ]dG£:I@T K _D L e>? g H?n L D<_s]SDFaC,_ K PG O IT K _9PC,_dCR9_dI L O I 5FaG M ]cC O O D M C K RST7CPCbRcCbT JDa]dRSI@F!C e>?@>! C s>,?>g O D ~ I OYK CE,GD M CQG L FHI<JKL =1 > >D@ > vRdD<_eG M ]5JK I L £,DaRd]dI ~M D,?ZVD K T JDa]dRSI@F!CbT\D L ]dD`D L D M P M C LKC1 >A@ D!_ MK TUIf_dT K G_dCRF K:K R O D L C O C_ 1 >A@:GD > #D!_e] K _dD O D ~ DEC3:GD #F K T K £I@T K _D LM C I@p? >,? h )P K RF!C O CkPG L ] K C1 >A@ PC,_dCkG L Cz_ K,M CkRSD!FH]SC 1 @ Y?+n L DsDaT\P M@K _QTJC_F K TUP M IfFaC OYK _ M C]dRcC L _s K RdT7CFaI!JK,L LK _eI@DaT\PRSDVD!_vI L £,DaRd]dI ~M D j D!_e] K _vDsDaT\P M@K _vRSD!:GI@DaRSD L G LD!_e]dG O I K D!_dP#D!FHIfC M ? GD O CF K T K DsDaRcFHIfFHI K RSD!_ KM £DaR MK _vPR K,~M DaT7C_>?@>?@> j >,?>,? WG_dC LOYK D!_e]dDVTJDH] KYOYKEj F K TPCbRcCbR M C_`_ KM GFHI KL D!_ K~ ]SD L I O C,_D L CbT ~5K _`FaC_ K _!?
" L ]SD!_ O Dv]dD!RdT\I L CbRD<_s]cC_dD!F!FHI<JKL £,DaRSDaT K _+F)JK T K D M T JDa] KYOYK pD K TJDH]SRdIfF K I L ]dR KYO GFHI OYK PGD O DG_SCbRc_dDPCRSCERSD!_ KM £DaR K ]SR K ]SIP K O DQPR K~M DaT7C,_vC,_ K FaI@C OYK _F K,L M CUD!FaGCFaI!JK,L
; ; l s>,?>< KYO D!T K _`P#D L _SCbRD L RSD!_ KM £DaR M C e>?@>! _eG#sDa]SC C M C D!_dP5D<FHI 5FaC,FHI<JKL O D MK _ £C M@K RSD!_ O D ; CM@K\M CRdp K\O DC M pG L C\FaGRd£C D L D M P M C LK =1?>D@ j :GD LK _eD<C M C\RSD!Fq]cC @ l Y]SC M F K T K _dDTEGD!_e]dRcCD LkM Cp,GRSC\_dIp,GI@D L ]dD,?
(p(ξ), q(ξ),0)C=
t
x
C’
ρ
I@p?o>? g
n LM C I@p? >? g MK _£C MK RdD<_ O D ; C MKNM CbRSp K O D _ KL O C] K _ O D M PR K,~M DaT7C j P K RQD<_s] K M CF KLO IfFHI<JKL :GD ;7] K T\DQD L M@K _£C MK RdD<_D!_dP5D<FHI 5FaC OYK _`_dDV]dRcC O GFaD L D L D M :GD % PC_dDP K RM C\FHGRS£C ?i L DsDaT\P M@K3O DQD<_s]cCU_dI]dGC,FHI<JKLkj C M@K O I@_SFHG]dI@T K _`D LkM C s>,? OKLO D M C7FHGRd£C D<_s]cC ~ CE K RdT7C O CP K R M C_RSD!FH]SC_ 1 l @l? CRSCRdD<_ K,M £,DaR M C s>,?>< M C_7FHGRd£C_ O D M C I@p? >,?Xg O D ~ D!R5JC L _dDaR7PCRSC M D M C,_\C M £D<Fq] K R >a>8>dl H?I PCRSCTUDa]dRSI <CbT K _C % F K T K D L e>?@>!h 9]SD L D!T K _ :GD
@ 1 > > @ @ > > > @ ; > l s>,?>< K R K ]SRSCPCRe]SDFHG5C LOYK l M CEFHGRS£C C1 >Sl >D@ >Sl >D; >dl ]dI@D L DV,GD_eD!R M CFaGRd£C ?DC:GoJ^ £,DaT K _:GD M C_`F K,LO IfFHI KL D<_vI L IfFHIfC M D!_ PCbRcCe>?@>! &_ KL
1 >Sl @ >Sl > ; >dl ; > @% s>,? Wl A+C_ G L FHI KL D<_ j )]SCbT ~ IHJD L _ KL F KLK FHI O C,_ j PCbRcCbT\Da]dRSI <C L C ?rAoC RSDaPRdD<_eD L ]cCFaI!JK,LPCRSCTJDH]SRdIfFaC O D % _eD K,~ ]dI@D L DRdD<_ K,M £I@D LOYK s>,?>< vF K,LkM C,_ F K,LO IfFHI KL D<_I L IfFHIfC M D!_ O C O C,_D L
>!l s>,? Wl q?DC:G+J^ K,~ ]dD L DaT K _ /
1 >4@ >,; ; > & s>?XWY> AoC,_QD!FaGCFaI K,L D!_ e>?XWY> LK _ O IfFHD L :GDB;D<_F K,L _s]cC L ]dD C M@KzM CbRSp KzO D M C_QRSD!FH]SC,_ C1?>D@ >!> > `D!_ O D!FaIR; F KL _e]SC L ]SDQC MK7M CbRSp K\O D M C_`F!CbRcCFq]SDaRrJ^ _s]SI@F!C_!? O DaTJC_s>,? W> LK _ O IfFHDz:GDND M £C M@K R ; C1?>D@ ED!_\D M £C MK R O D;BD L OYK,LO D D<_UD M PG L ] KO DI L ]SDaRc_eD<FaFHI<JKL O D F K,L M CUFaCRSC,Fq]SDaRrJ^ _e]dIfFaC,_ C]dRcCr£9JD!_ O D =1?>A@ H?n9_e] K _eDVTGD<_s]SRSCEF K,L O Da]SC M@M DD LkM C I@p? >,? ?
(p(ξ), q(ξ))
(c,1)+(p(η ξ ξ),q( ))
t
x
ρ
P
(x,t)=
I@p? >,?
GD O CNF K T K G L DsDaRcFHIfFHI K D M RSD!_ KM £D!RD M PR K~M DaT7C P M C L ]dD<C OYK D L M C D<FHGC,FHI<JKL s>,? P K RD!_e]dDTJDH] KYOYK ? GD O CE]SCT ~ IHJD L F K T K DsDaRcFHIfFHI K RSD!_ KM £D!R&D M PR K~M DaT7C
;=[ 0#1fx)10
; ; l0> 1 l > @ l >; =1?>Sl l >; =1 =@ >A@ C@ > @ l 1 C@ @ > l 3 3 3 3 C1 >A@ 3 7B $ !! ' ' ' ! < <!"#$ ' % ! # % ! # $ ' %
! "# $' *)+,!-.+ # + ' $ ~ _dDaRS£DaT K _ ,GD`PCbRcCRdD<_ K,M £,DaR D M PR K~M DaT7C s>,? u _ KM CbT\D L ]dD L D!FHD<_eI]SCT K _ G L CQF KL5O I@FaI!JK,LI L I@FaI@C M P K R`DsDaT\P M@K FaGC L5OYK @ l j D<_s] K7LK _ M@M Da£C7CUG L C7_ KM GFHI<JKL JG L IfFaC?i L C\T7C L DaRcC
>,>O D sG_e]dI 5F!CbR M C\_dG"5FaID L FHIfC O DVG L C\_ K,M CUF K,LO IfFHI<JKL I L IfFHIfC M PCRSCEp,CRSC L ]dI !CbR M CUG L I@FaI O C O D<_F K T K _dI@pGD,?n L D M P M C LK C1 >A@ F KLK FaDaT K _ ; C1 >dl =1 q? $`D<_ K,M £,DaR e>?Xu _dIp L I 5FaCD L F K,L ]SRSCR D M £C M@K RO D ; P5CbRcC @ ¥l? $`DRSIHJD LOYK,LK _EC M C Ip5?&>,? £DaT K _E:GD RdD<_ K,M £,DaR e>?Xu QD<_D L F K,L ]dRcCbR; C1 > P5CbRcC FaGC M :GID!RE£C MK R O Do? CbRcC F!C M FHG M CbR ; C1?> _eI D<_UP5D<,GD L C P KYO D!T K _O D<_dCRdR KM@M CbR4; C1 > D L _dDaRSID O D C jMK RvD L M C\£CbRSI@C ~M D @ j ]dD L DaR
; C1 > ; =1?>dl %F; C1 >dl C1?> s>,? W,W OYK,LO D C1 > D<_D M RSD!_dI O G K ? A+C G L FHI<JKL ; =1?>Sl # C1 VD<_G LBO C] KNO D M PR K~M D!T\C? AoCG L FHI<JKL ; C1 >dl ]cCbT ~ IHJD L _dDkPGD O D O DH]dD!RdT\I L CbRUD L ]JDaRSTUI LK _ O D; C1 >dl j C :GD O D M CD<FHGC,FHI<JKL e>?Xu _dDQ_eI@pGD
; C1 >dl ; =1?>dl 1 C1 C1 & s>,? Wh D s>,? W,W j s>,? Wh v_dD_dI@pGDQ:GDFHG5C LOYK ND<_P5D<,GD LK
; =1?> C1 =1 s>,? Wbm CRSCTUD K RcCbR M CBCbPR K YIT7CFaI!JK,LO D e>?XWm EG_SCbT K _ED MO D<_dCRdR KM@MK O D C j:M@K R7C_dDapG LOYKK R O D L3j £DaT K _v:GD
; =1?> ; =1?>Sl ; =1?>dl >W ; C1 >dl
vC M FaG M CT K _Cb K RSC; 9D L ]JDaRSTUI LK _ O D C1 O DaRSI£C L5OYK\M CUD!FaGCFaI!JK,L e>?Xu j3K,~ ]dD L DaT K _; C1 >dl ; 1 ; =1?>dl
1 C1 C1 &
9R K FHD O I@D LOYKO D M CT\If_eT7C K RST7CVP KYO D!T K _ FaC M FaG M CR O DT\C L DaRcCBJG L IfFaC M C_ O D!RdI@£C O C,_ ; @ ?DPGD O DQ£,DaRSI 5F!CbR`:GD M C7CPR K I@T7CFaI!JK,L3O D K R O D L C M C\_ K,M G5FHI<JKL ; D!_e]5JC O C O CUP K R; C1?>
H =1
n&_s]SD PR K FaD!_ K PGD O D F KL ]dI L GCbRc_dDzI LO D L I O CTUD L ]dD j £,DaT K _ :GD O C O CBG L CF K,LO IfFHI<JKLI L IfFHIfC M LK _ MM Da£C7C\G L C3_ K,M GFaI!JK,L K RdT7C M JG L IfFaC j :GD] KYO C,_ M C,_ O D!RdI@£C O C,_ :GD O C LO Da]dD!RdT\I L C O C,_vD L ]JD!RdT\I LK _ O D =1 H?A+CU_ KM GFaI!JK,L K RST7C M; =1?>A@
H =1 @ s>,? W,u
F KL _e]dRSGI O C P K RD M PR K FHD<_ K :GD`CFaC ~ CbT K _ O D O D<_dFaRdI ~ I@R_dDaR#JCG L C_ KM GFHI<JKL RdD<C MYO D M PR K,~M D T7C b_dI M CF KL £D!Rdp,D L FaI@C O D s>?XWu )D<_ MK _dG"5FaID L ]SDaT\D L ]SD&GDaRd]dD F K T K PCRSCP KO DaR sG_e]dI 5FaCR
><W MK _PC_ K _v K RdT7C M D<_`,GD LK _ M@M D!£CbR KL C\D M@M C?n9_e]SC\F K,L £DaRSpD L FHIfC O D!_ O D M GDap K7O D!P5D LO D O DM C,_PR K PID O C O D!_ O D M O Cb] K I L IfFHIfC M =1 q?)n L D M F!C_ K3O D\:GD =1 V_dD!C7]cC M :GD\_eG _eD!RdI@D O D C jM@K R`F K,L £DaR eCC\D MM C ]SD LO RdD!T K _`:GD s>?XWu v_eDQPGD O DQ_dGT7CbR`D LkM CE K RST\C
; =1?>D@ =1 @ :GDED<_PRSD!FHIf_SCbT\D L ]dD M CN_ KM GFHI<JKL O D M C s>,? u q? n9_e]SC O If_dFaG_eI<JKL LK _VTEGD!_e]dRcC3FoJK T K D<__eG"5FHI@D L ]SDUG L _ KM@KkO C] K I L IfFHIfC M P5CbRcC! eCR O D\T7C L D!RSC JG L IfFaC M@K _£C M@K RSD!_ O D M Ck_ K,M GFaI!JK,L O Ds>,? u q? L JC M@K p:CbT\D L ]dD\C M FaC_ KkO D7D!FaGCFaI K,L D!_ K R O I L CRdIfC_5D M TJDH] KYOYKzO D _eD!RdI@D!_ O I@_SFHGY]SI OKP5D!RdT\I]dDF KL _e]dRSGI@R_ KM GFaI K,L D!_v K RdT7C M D!_vPCRSCED!FaGCFaI K,L D!_P5CbRcFHIfC M D!_!?n L D!_e]SCN_eD<FaFHI<JKL £IT K _:GD7FHG5C LOYK G L C D!FaGCFaI!JK,L ]SID L D7FaCbRcCFH]dD!R<J^ _e]dIfFaC__dG__ K,M G5FHI KL D<__eDEI L ]SDaRSPRdDa]SC L F K T K KLO C_V,GDU_dDPR K P5Cbp,C L ?5A+C_VFaCRSC,Fq]dD!RrJ^ _e]dIfFaC,_]SCT ~ IHJD L PR K £,DaD L G LTJDH] KOK pD K T JDa]dRSI@F K j C L C M J^ ]SI@F K PCbRcC3F KL _e]dRSGI@R j O I@_SFHGY]SIR M C_VPR K PI@D O C O D<_ O D M C__ K,M G FHI KL D<_a?
!"#$ % ! $ % ' < $' # # + ' $ #$ + <+G" " ! !
M Ip,GC M :GD D L\M CQ_dD!F!FHI<JKL C L ]dD!RdI K R eCRdD!T K _ L GD<_s]SRSCC]SD L FaI!JK,L D L G L DsD!T\P MKEO D`PR K PC p,C,FHI<JKL O D KLO C,_`:GDD!_dP5D!RSCT K _vD!_e]JDQC_ K FHIfC OYK F K,L F!CbRcCFH]dDaRrJ^ _s]SI@F!C_!? KYOYK _QD!T K _ K~ _eD!Rd£C OK FoJK T K C M&O DH K RdT7CbRQP K F K j D L K RST7C MK FaC M I !C O C G L C FHGDaR O C]dD L _dC M C_ O DH K RdT7C,FHI KL D<_ :GD_dDPR K P5Cbp,C L C MKEM CRdp KO D M CFaGDaR O CF KL _dDaRS£C L I L C M ]dD!RSC O C_eG\ K RdT7CQI L IfFHIfC M ? D!RdD!T K _9:GD D<_s]SDF K T\P K Re]cCbT\I@D L ] K D<_s]#JCC_ K FHIfC OYKQj _eDPGD O D O D<_dFaRdI ~ I@RFHGC L ]dI]SC]SI£CTUD L ]dDEF KL M C,_F!CbRcCFq]SDaRrJ^ _s]SI@F!C_ O D M C3D!FaGCFaI!JK,L :GDEp K~ I@DaR L C7D M T K £I@T\ID L ] KO DQG L C\FaGDaR O CE]dD L _dC?n T\P#D!CT K _`D L F K,L ]SRSC LOYK7M C\D!FaGCFaI!JK,L O D!_dD!C O C? CRSCUD<_s] K ] K T7CT K _ G L C7P K RSFaI!JK,LzO D M CFHGD!R O CED L ]dRSD 1 j 1 N]cC M F K T K _eDQ£,DVD LzM C I@p?)>,? OYKL5O D D<_ M CGDaR !C O D]SD L _dI!JK,Lj =1?>A@ RdD!PRSD!_dD L ]SCC M5O D<_eP M C !CbT\I@D L ] KEO D M CFaGDaR O C O DV_eG3P K _eIfFHI<JKL O DD!:GI M I ~ RSI K C M DsD1 H?AoCzD<FHGC,FHI<JKLBO D<_eD<C O Cz_dD K~ ]dI@D L D3C M CP M IfFaCR M C M D j O D D!] K,L C M C P K RSFaI!JK,LO D FHGDaR O CD L ]dRSDG1 j 1 o?i_SC LOYK\M C M D j O DQ D!] K,L F K,L ; O D L _dI O C O O D M C\FHGDaR O C ]SD L D!T K _
; @ N_dI L z_dI L s>?XWb K T KzM@K _ O D!_dP M C !CTUI@D L ] K _Q_ KL P#D!:GDLK _Q]SD L D!T K _:GD3_dI L ]cC L ?i_SC LOK D!_e] K s>,? W v_eDV]SRSC L _s K RdT7CED L
; @ 1 1 s>?XW,g
:GDPCbRcC NP5D<,GD LK _`_eD]SRSC L _s K RdT7CED L; s>?XWb
>!h
2θ
θ1
θ )2
u(x,t)
T
θ1
T
Tsen (
x x+h
Tsen( )
I@p?o>?
j L C M T\D L ]dD > s>,? W OYK,LO D ?A+C&D<FHGC,FHI<JKL s>,? m#D!_ M C`:GD _dGP K,LO RSDaT K _oF KL ]SR K,M C&D M T K £I@T\ID L ] K`O D O If_s]SGR ~ I K _P5D<:GDLK _D LUM CFHGD!R O C?b CbRcCVF K T\P M DH]cCbR M CVD!_dP5D<FHI 5FaC,FHI<JKL7O D M PR K,~M DaT7C L D!FaD!_dI]cCbT K __SC ~ DaR M CP K _eI FaI!JK,Lj £,D M@K FaI O C OO D M CNFHGD!R O CNFHG5C LOYK @ l? K,L D<_s] K D M PR K~M DaT7C O D O DH]dD!RdT\I L CbRD MT K £IT\I@D L ] K\O D M C\FHGD!R O CUD<_D MoO DQRSD!_ KM £D!R > 1 > @ l > C1 >dl C1 O D!_dP M C !CT\ID L ] K I L IfFHIfC M > =1?>Sl =1 £,D M@K FHI O C O I L I@FaI@C M
s>,? h,l
A+C PRdI@T\DaRcC O ID!RdD L FHIfCk,GD LK ]cCbT K _VD L ]SRdD e>? hl j e>?Xu VD<_Q,GD M CkD<FHGC,FHI<JKL D L £:GD M £DC K RcC OYK _ O DaRSI£C O C_D L D M ]dI@DaT\P Kkj ,GD O CT K _ OYK _F KLO IfFHI KL D!_I L IfFHIfC M D!_!? n9_dP5D!RSCT K _:GD]dD L p,CU_ K,M G5FHI KL D<_9D L K RdT7C O D KLO C,_&:GDQ_dDPR K PCbp:C L j CE,GD e>? hl D<_&G L T KYO D M@KO DD<_dC\_dI]SGCFaI!JK,L ? L ]SD!_ O DRSD!_ KM £DaR e>? hl £D!RdD!T K _ F)JK T K _eDPGD O DUF K,L _s]SRdGIR G L C _ KM GFHI<JKL K RST7C M JG L IfFaCO D M PR K,~M DaT7C r_eIYD<_,GDvF KLK FHD!T K _ OYK _F K,LO IfFHI KL D<_oI L IfFHIfC M D!_!? CbRcC`D L F KL ]dRcCbR M CV_ KM GFHI<JKLPR K FHD O DaT K _F K T K D L s>?XWbh j £D!T K _:GDFHGC LOYK >
C1?> C1?>Sl =1?>Sl C1 C1 >dl s>,? h> n L s>,? Wh PG O I@T K _D L F KL ]dRcCbR C1 >dl j C:GDvD!_e]SC ~ C RSD M CFHI KL C O C C ]dRcCr£9JD!_ O D M C D<FHGC,FHI<JKLF KL D MO C] K I L IfFHIfC M C1 q?AoCD<FHGC,FHI<JKL s>? hl LK PR K P K RcFHI KL CVI L K RST7CFaI!JK,L _ K~ RSD =1?>dl
>am j Cz:GD7]SID L D _dDap,G LO C,_ O D!RdI@£C O C,_)P K RED!_e] KO D ~ DaT K _PR K P K RSFaI K,L CbRQD<_dCkI L K RdT7CFaI!JK,L C]dRcCr£9JD!_ O D C1 q? DaRSDaT K _9,GD O C OK _ j FaGC LOK @ lP KYO D!T K _ O DH]dD!RdT\I L CbR9D L K RST7CJG L IfFaC M CN_ KM GFaI!JK,L K RST7C M O D e>? hl H? CbRcC I M G_e]dRcCbRD M PR K FaD O I@T\ID L ] K F KL _eI O DaRSDaT K _G L CCbPR K YIT7C,FHI<JKL CE]dD!RSFaDaR K R O D L ?
C1?>Sl C1 C1 >W =1?>Sl >
h C1 >dl s>? h,W n L s>,? h:W v_eD O Da]dD!RdT\I L C\CEP5CbRd]dI@R O D s>,? h,l &D LNM CU K RdT7C
C1 >dl C1 >dl =1 >j C L JC M@K p,CT\D L ]dD
C1 >dl =1?>dl 1 C1 >dl C1 1 C1 K~ ]SD L I@D L5OYK C_<J^
=1?> C1 C1 >W C1
>h C1 s>? hh
GD O CEF K T K DsDaRcFHIfFHI K D M F KL £D L FHD!RS_dD:GD] KYO C,_ M C,_vCPR K I@T7CFaI K,L D!_ PGD O D L DaYPRdD<_dCRS_dDD L ]JD!RdT\I LK _ O D j ? O D!T JC,_\FHGC LOYK l :GD O CF K T K DsD!RSFaI@FaI K PR K~ CRE:GD M C__eD!RdI@D!_I L L I]SC__eGT\C L C C1 >A@ C1 @ =1 @ \:GDD<_ DHD<Fq]SI£CbT\D L ]SDG L C_ K,M G5FHI<JKLzO D M PR K~M DaT7C?5n9_e]SC O If_dFaG_dI!JK,LNjNM C7C L JC MK p,CUPCbRcC M C D!FHG5CFHI<JKLzO DQPRdI@T\DaR K R O D LLK _ K,L TJC,_ :GDG L C\I M G_e]dRcCFaI!JK,L D LkOK _`FaC,_ K _PCbRd]dIfFHG M CRdD<_ O D M ]dD K RSDaT7C O DQDHYIf_s]SD L FaI@C jG L IfFHI O C OkO D vCGFc jK £C M Da£Y_ I h ?n M TJDH] KYOYKNO D O D!_SCbRSR K,MM@K D L _eD!RdI@D C L JC M@K p,CT\D L ]dDUC M@K ,GDU_dGFHD O D\D L D!FHG5CFHI KL D!_ K R O I
L CbRSIfC_ O C P K FaC3I L K RST\C,FHI<JKL _ K~ RSD M C L C]dGRSC M D!C O D M C_V_ K,M GFaI K,L D!_ O D M PR K~M D!T\C?# K RD!_e] K RSD!_ KM £DaRSDaT K _e>? hl O D K ]dRcC K RdT7C? CbRcCRSD!_ KM £D!R e>? hl LK ]dD!T K _`:GD M CUD<FHGC,FHI<JKL PGD O DQD!_SFHRSI ~ I@Rc_eDVD LkM C K RdT7C @
1 @ 1 l
@ 1 @ 1 s>? hbm
D M C s>,? hm _eDU_eI@pGDU:GDERSD!_ KM £D!R s>,? h,l D!_RdD<_ K,M £,DaR_dGFHD<_eI@£CbT\D L ]SD OYK _PR K~M D!T\C,_ O DM C K RdT7C s>,? u q? $`D<F K R O D!T K _Q:GD M@K _PR K~M DaT7C,_ s>?Xu ]SID L D L P K R_ KM GFHI KL D!_VG L FaI K,L D!_ =1 @ =1 @ H?: K R s>? hbm£D!T K _]SCT ~ IHJD L :GD e>? hl +]SID L D_ KM GFHI KL D!_ O D M CV K RST7C =1?>A@ C1 @ % C1 @ s>? h,u D!_ O D<FHI@R KLO C,_&:GDQ_dDPR K PCbp:C L C,FHIfC M C O DaRSD!FcC j C,FHIfC M CI !:GI@DaR O C?A+C_&G L FaI K,L D!_ j _ KL CbR ~ I]SRSCRdIfC_ j3O D ~ D!R5JC L _dDaR O DH]dD!RdT\I L C O C_G_SC LOKUM C_`F KLO I@FaI K,L D!_vI L I@FaI@C M D<_a?n T\P#D!CT K _vP K R D!_e]dG O I@CR`D M PR K~M D!T\C > 1 > @ l0> C1 >dl C1 > C1 >dl l0> s>? h
><u:GD O D<_dFaRdI ~ DD M T K £:I@T\ID L ] KQO DG L CQFaGDaR O C O D!_dP M C !C O CI L IfFHIfC M T\D L ]dD`D L G L C K RST7C =1 H?i_dC LOYK s>,? h:u O D ~ DaT K _ D L F KL ]dRcCbR j O D]cC M K RdT7CU:GD
C1 >dl C1 C1 C1 > s>,? hg C1 >dl =1 =1 l D M C\_dDap,G LO CUD!FaGCFaI!JK,L e>? h:g 9]SD L D!T K _`:GD
C1 C1 > s>,? h, j _dG_e]dI]dG j D LOK e>? h 9D LkM CUPRSIT\D!RSCUD!FaGCFaI!JK,L e>? h:g 9]SD L D!T K _`:GD
C1 C1 W W s>,? h, L JC M@K p:CbT\D L ]dD
=1 C1 W W s>,? m:l D s>,? h, j s>,? m:l &£D!T K _:GD M C\_ KM GFHI<JKLkO D s>,? h, &D!_
C1 >A@ >W C1 @ %
>W =1 @ s>,? m5>
RSD!_dG M ]SC OK :GDF KL FaGDaR O CUF KL D MoK~ ]SD L I OYK C M _dGT7CbR M C\_eD!RdI@D? CRSCkI L ]dDaRSPRSDH]cCbR e>? m> D!_UF K,L £,D L I@D L ]SD pRcC#5F!CbR M CkP5CbRcC O CbRE£C M@K RSD!_ O D ]SC M F K T KM@KIfFHI@T K _D LNM C Ip5? >? m?n L D!_e]dDF!C_ KEM CUpR#JC#5F!C O D s>? m> &D!_ M C I@pz>?@>!l?
1/2f(x+ct0)
u(x,t 0)
t=0
u(x,0)=f(x)
x x−ct 0 ct 0
0)1/2f(x−ct
I@p?)>,?><l
n L M C Ip5?)>?@>!lU£D!T K _`:GD M C O DH K RST7CFaI!JK,L I L IfFHIfC M _dDQPR K PCp,CECFaI@C M C O DaRSD!FcC j 5CFHIfCM CNI <,GID!R O CkF KL £D MK FHI O C O @ +_eI L FaCbT ~ IfCbR O D\ K RdT7C P#DaR K RSD O GFaID LOYK _dGC M ]SGRcCNC M CT\I]SC O ?)n9_e]dDUD!Fc KNLK _D<_VCbT\I M IfCbRD L M C PR5JC,Fq]dIfFaC? D!T K _QC O DaTJC_:GDUD M £C M@K R C1?>D@ O D!P5D LO D_ K,M CT\D L ]dD O D M £C M@K R O D M CUF K,LO IfFHI<JKL I L IfFHIfC M kD L MK _9PG L ] K _ O DVI L ]SDaRc_eD<FaFaI!JK,L O D
>!
x=ct+ ξ(x,t)
(x,t)
t
x(ξ,0)
ηx=−ct+
(η,0)
I@p?o>>
M C,_RdD<Fq]cC_ 1 @" 1 @% NF KLNM CERSD!FH]SC @ l ]SC M F K T K _eDQ£,DD LNM C I@p? >?@>>,?AoC Ip5? >?@>> LK _ O I@FaDQ,GDQPCbRcCD L F K,L ]dRcCbR =1?>D@ ~ C_e]SCE]dRcC <CbR OYK _RdD<Fq]SC,_ O DP5D LO I@D L ]dD M@M CbT7C O C,_]SCT ~ IaJD L D L D!_e]dD FaC,_ K F!CbRcCFH]dDaRrJ^ _s]SI@F!C_ CN]SRSCr£&JD<_ O D C1 >A@ D L F KL ]SRSCR M C_I L ]SDaRc_eD<FaFHI KL D!_ >Sl >dl O DzD<_dC,_7RdD<Fq]cC_7F K,L D M DsD 1 j ] K T7CbR7D M PR K T\D O I KBO D M@K _£C M@K RSD!_ j F K T K C1 >A@ q? GDa£CbT\D L ]SDQ£DaT K _ :GDD MO IfCbpRcCbT7C C1 >A@ sGDap,C G LPCbP#D M IT\P K Rd]SC L ]SDVP5CbRcCD L ]SD LO DaR M C_`_ KM GFHI KL D<_ O D s>,? h, q?i_SCbRSDaT K _Cb K RSCUD M P M C LK =1?>D@ PCRSC O D!_SFHRSI ~ I@R D LO DH]cC M@M D M C _ KM GFaI!JK,L e>? m> q?5 CRSCUD<_s] KG_SCbRSDaT K _ M C I@p?)>,?>rWY?
D e>? m> j O D M CkF KL _e]dRSGFaFaI!JK,L O D M C Ip5? >?@>>\£D!T K _:GD lk_eI =1?>A@ VD<_s]#JCkCM C O DaRSD!FcC O D M C RdD<Fq]SCE1 @
JK _eI+D!_e]5JC C M C7I !:GI@DaR O C O D 1 @ j C7:GD M C_FaCRSC,Fq]dD!RrJ^ _e]dIfFaC,_&I L ]dD!RS_dD!FH]SC LzM C RSD!FH]SCB@ l D L PG L ] K _ OYKLO D M C F K,LO IfFHI<JKL I L I@FaI@C M l?AoCI L ]dDaRSPRSDH]cCFHI<JKL\O D D<_s]cCQ_eI]dG5CFHI<JKL D<_ C_<J^ /MK _ PG L ] K _ C M C O DaRSD!FcC O D 1 @ O I@_e]SC LO D >dl G L C MK,L pI]dG O T7C jK RV:GD @q?)n M D!Fc KkO D7:GD M Ck_ KM GFHI<JKL _eD<C FaDaR K P5CbRcC3D<_ K _PG L ] K _ LK _`I L5O I@F!C7:GDQD MO I@_e]dGR ~ I K :GD_SC M D O D LK7MM Dap:C7C\D!_ K _PG L ] K _`D L G L ]dI@DaT\P K@ M@K FHGC MoO IfFHD:GD M@K _ O I@_e]dGR ~ I K _ _dDQPR K PCp,C L PRSD!FaI@_SCbT\D L ]SDQF KL £,D M@K FaI O C O ? CbT ~ IHJD L£D!T K _:GDUD M PRSI@TUD!RV]dI@DaT\P K D L D M :GD C1 H >A@ l D!_VPRSD!FaI@_SCbT\D L ]SD@
:GDUD!_D M ]SID!T\P K :GD]cCbR O C\G LzO If_s]SGR ~ I K :GD£:IfC#eC\F KL £D MK FHI O C O PCRSCUI@R O D<_ O D C_e]SC 1 H,?D M C Ip5? >?@>!l j O D s>? m> v_eDQ_dIp,GD:GD =10H >A@ l\_eI @ ,GDQD!_`D M ]dI@DaT\P K ,GD]SCR O CED M)O I@_e]dGR ~ I K pD L DaRcC OYK D L D LNM@M D!p,CbRC,_s]cC 10H? GD O CUCb K RcCEF K T K G L DsDaRcFHIfFHI KD M RdD!P5Da]dI@R&D M C L JC M I@_dI@_9DH]dD!RdI K R9PCbRcC M CRdD!pI<JKL 1 l?,n L7M C ~ C LO CCF K ]SC O CP K R 1 @ j CbRSRSI ~ C O D M CURdD<Fq]SC M C\_ K,M G5FHI<JKL D!_
=1 @ q?n L[M C RSDap,I!JK,L ]dRSI@C L pG M CR > > M C _eI]dGC,FHI<JKL D<_TJC,_EF K T\P M I@F!C O C j C :GD3PCRSC FaC O CPG L ] K O DD MM C PC,_dC L OYK _VFaCRSC,Fq]SDaRrJ^ _e]dIfFaC,_ j :GDI L ]dD!RS_dD!FH]SC L @ l3D L PG L ] K _OYKL5O D l? GD O C3F K T K DsDaRcFHIfFHI K D M F K,L £,D L FaDaRc_eD:GD l D L M C RdD!pI<JKL ]dRSIfC L p,G M CR
>rg
(x )/c),(a−x11
(x , (x0−a)/c)0
x=−ct−a
u=0
Q
u=0
u=0
P
a−a
t
x
A
x0u=0u=0
x=ct−a
x=ct+a
x1c+ c−
x=−ct+a
u=0u=0
u=0R
Ip5? ><W
C,F K ]cC O CEI L DaRSI K RdT\D L ]SDP K R M C,_RdD<Fq]SC,_ 1 @ 1 @%
? ]SR K PR K~M DaT7C O D`PR K P5Cbp,C,FHI<JKLUO D KLO C_ D L G L CQFHGD!R O CD<_ FHG5C LOYK G LKO D M@K _ Da:]SRdD!T K _D<_s]#JC K D L G L CBP5CbRSD O ?vn L D!_e]dD FaC,_ K _SC ~ DaT K _ :GD M@K _ O I@_e]dGR ~ I K _ _eD RdDaDeC Lj LK _I L ]dDaRSD!_SCED!_e]dG O IfCbR FaGC L ]SI]cC]dI@£CbT\D L ]SDVD M PR K FHD!_ K ?Yn M PR K,~M DaT7CUD!_RSD!_ KM £DaR
>dl(1 > @ l0> l0>A@ l >D@"lUFaGDaR O C eCUD L Vl > C1?>Sl C1 > =1 l\PCbRcC1 H 1 > =1?>Sl l s>,? mW $`D<_ K,M £,DaRSDaT K _vCb K RcCe>? m:W &G_SC L5OYK D M P M C LK =1?>A@ ,GD_dD£DD LkM C I@p?o>?@>!h?n L PRSI@TUD!R M Gp,CR K~ _dDaRS£D!T K _,GD`PCbRcCVPG L ] K _ C M C O D!RdD<FcC O D 1 vj ]dI@DaT\P K _ P#D!:GDLK _D M DaD!Fq] KO D M C`PCbRSD OO D ~ Dv_dDaR+I L CbPRSD!FaI@C ~M D j C:GD9D M:O I@_e]dGR ~ I K p,D L D!RSC OYK D L 1 H (1 1 ]cCbR O C7G L FHI@DaRd] K ]SID!T\P K D L M@M Dap,CRC M C PCbRSD Okj RSDH5DeCbRc_dD?5 K RD<_s] K lNC M C O DaRSD!FcCO D G5_dC LOYK s>,? m5> q? O DaTJC_
C1 @ D L ]dRSD j ?5n LkM C\T\I@_dT7CU K RST\C M@K _ O I@_e]dGR ~ I K _&:GD£IfC#eC L C,FHIfC M CPCRdD O C MKEM CRdp KO D M C_&FaCRSC,Fq]dD!RrJ^ _e]dIfFaC,_ LK _dID L ]SD LM C3PRdD<_eD L FHIfC O D M CNPCbRSD O C_e]SCN:GD\D M O If_s]SGR ~ I K :GD7_dC M D O D 10H M@M D!p,CNC3D MM CkC M ]dI@DaT\P K@ 1 H ?#n L M C RSDapI<JKL D L ]dRSD j j GD!RSC O D MK _ ]SRdI<JC L p,G M@K _1 H8> 1 > > >
=1 @ H?, CbRcCFaC M FaG M CR D M £C M@K R O D D L > > :GD D<_ M CQRdD!pI<JKL7O D I L ]dD!RSC,FaFHI<JKLD L ]SRdD M C KLO CQI L FHI O D L ]dD j7M CRSDHDeC O C £D!T K _v,GD =10H 9C MKEM CRdp KO D j F K T K:GD!RdD!T K _`:GD l\D L 1 lU] K T\CT K _ C1 H `C M@K7M CbRSp K7O D ?n LzM C\T\If_eT7C K RdT7C£DaT K _:GDP KYO DaT K _ _SC]SI@_eCFaDaR M CVF KLO I@FaI!JK,LUO DvR KL ]dD!RSC _eI] K T7CbT K _ C MKNM CbRSp K O D ?)n M £C MK R O D M C _ KM GFaI!JK,L GD!RSC O D M C,_VRdD!pI KL D<_ O D<_dFaRdI]SC,_ M@K ] K T\CT K _F K T K FHD!R Kj :GD O CF K T K DsD!RSFaI@FaI K D M F KL £D L FHD!RS_dD bP#D L _dC LOYK D L D M PR K FaD!_ KO D RSDHDaYI!JK,L
>!
t=t 2
u=(1/2)f(x+ct)−f(ct−x)
(1/2)f(ξ)=(1/2)f(x+ct)
f=0f=0 P x0 ξ x1
u=0
W
S
u=(−1/2 )f(x−ct)
u=(1/2)f(x−ct)t=t 1Ru=0
I@p? >?@>!h
:GDD!_dDQD!_D M FaC_ K ?CT K _Cb K RSC M CbJK RSTG M CE,GDVD<_eP#DaRcCbT K _&_dD!CE_ K,M GFaI!JK,L O D L GD<_s]SR K PR K,~M DaT7C?Y CbRcC =1?>A@ O D L ]SR KO D M CRdD!pI<JKL CF K ]cC O CP K R > > > :DHFaDaPY] K P K R9D M ]SRdI<JC L p,G M@K > > ]dD L DaT K _ >
W C1 @ %>W =1 @
:GD D<_ M C _ K,M G5FHI<JKL D L CG_eD L FHIfC O DNP5CbRSD O ?D<_ O D M GD!p K l GDaRcC O DND!_SC RdD!pI<JKL[j_dCb]dIf_sC,FHD M C_`F K,LO IfFHI KL D<_vI L IfFHIfC M D!_!?n L D M ]SRdI<JC L pG M@K > > M C7_ KM GFaI!JK,L D!_ M C\_dGT7C O D M C KL5O CUI L FaI O D L ]dD C1 @ 4,GDD!_ O I@_ L ]dI L ]SC O DNFHDaR K _JK,MK D L ]dRSD > jO D M C K,LO CkRSDHDeC O C @ 1 q?n LBM CRdD!pI<JKL GD!RSC O D > > j C,F K ]cC O CkP K R j M C _ KM GFHI<JKL D!_ M C K,LO CRdDaDeC O C @ 1 q? $`D<_eGTUI@D L5OYK >
W =1 @ %>W C1 @ >
W @ 1 s>? m,h OYKL5O D M@K _`C,Fq] K RSD!_ O D M C _eGT\C3_ K,L _JK,MK3O I@_e]dI L ] K _ O DEFaDaR K D L M C_RdD!pI KL D<_`T7CbRcFaC O C_`D LM C I@p?)>,?><h? I L C M T\D L ]SD LK ]SCT K _:GDUG L K~ DaRS£rC OYK RD L G L PG L ] K # F K T K D M :GD\_eDE£DUD L M C I@p?>?@>!h )PRSIT\DaR K £,D PC_SCbR M C KLO C DaT\I]SI O CzD L 1 H 1 1 O D<_ePGJD!_EC M ]SID!T\P K @ @ M C PRdI@T\DaRcC7PCRe]SD O D M C KL5O C7RSDHDeC O C j FHG5C LOYK @ @ £GD M £,DC M RdD!P K _ K ? GD O C F K T K
>!DsDaRcFHIfFHI K D M FaC M FaG M CR @ j @ D L ]JDaRSTUI LK _ O D 10H j 1 ? KYO D!T K _ F K TUPR K,~ CbR O I@RSD!Fq]cCbT\D L ]SD ,GD s>,? m:h D!_9_ K,M GFaI!JK,L7O D s>,? mW F KL\M C,_ F K,LO IfFHI KL D<_I L IfFHIfC M D!_ jO D9R KL ]SDaRcC D!_dP#D!FHI 5F!C O C,_a? O D!T JC,_ M C O I@_SFHG_dI<JKL C L ]SDaRSI K R LK _ O CD M _eI@p L I 5F!C OYKO D MK _`]dRSD!_ ]JD!RdT\I LK _ j G L C7T7C L D!RSC\p,R5JC 5FaC O DEF KL _s]SRdGI@R M C _ KM GFHI<JKL _dI+_dDF K,LK FHD =1 H?D ~ DaT K _ LK ]SCRQ,GD M C_QF!CbRcCFq]SDaRrJ^ _s]SI@F!C_ M@M D!£C L _eI@DaT\PRSD\G L £C MK RF KL _e]SC L ]dD O D 5C_e]SC:GD_ KL RdDaDeC O C_\D L M C R KL ]SDaRcC j M C_3F!CbRcCFH]dDaRrJ^ _s]SI@F!C_ERdDaDeC O C_ MM Da£C L G L £C M@K RF KL _e]SC L ]SD O D P5D!R K7O D_dIp LK F K,L ]SRSCRdI K C M £C M@K R :GD MM Da£C LNM C_I L FaI O D L ]dD!_!? K RcCRSD!_ KM £D!T K _ s>? m:W v_eI L RdD<FHGRSRdI@R`C M C Ip5?)>?@>!h?YC ~ DaT K _`:GD
C1?>D@ C1 @ =1 @ s>,? m,m j PR K FHD O DaT K _F K T K D L s>,? hg O Da]dDaRST\I L C LOYK j G_SC L5OYKM C,_ F KL5O I@FaI K,L D!_ O DR KL ]SDaRcC?G5_s]SI]SG j D LOYK s>,? m,m &D L s>,? mW K~ ]dD L DaT K _
=1?>Sl C1 C1 C1 >A1 l > l0>A@ @ @ l >D@"l > =1?>dl C1 C1 l0>A1 l s>,? mu A+CEPRdI@T\DaRcC j ]dDaRcFHD!RSCED!FaGCFaI K,L D!_ e>? m:u LK _ O C L
>W >! l s>,? m:
A+CU_dDap,G LO CED!FaGCFaI!JK,LNO DH]dD!RdT\I L C\C PCbRcCU£C M@K RSD!_ L Dap:C]SI£ K _ j CU:GD > l0> > l0> > l s>,? mYg
D s>,? m: e>? mg j s>? mm9]dD L DaT K _`:GD M C7_ K,M GFaI!JK,L D<_
C1 >A@ >W C1 @ C1 @ >
W C1 @ C1 @ > _dI 1 @ l > @ 1 > _dI 1 @ l
D!_ O D M GDap K\M C\_ K,M GFaI!JK,L F K I L FHI O DQF K,LkM C\:GD K~ ]SG£IT K _pD K TJDH]SRdIfFaCTUD L ]dD?D M C O If_dFaG_dI!JK,L C L ]dD!RdI K RF KL F M GIT K _E:GD D L D M PR K,~M DaT7C O D3RSDH5DHYI!JK,L M C _ KM GFHI<JKL D<_F KL _e]SC L ]SDQC MK M CbRSp K\O D M C_FaCbRcCFH]dD!R<J^ _e]dIfFaC_ j FaGC L5OYK G L C F!CbRcCFH]dDaRrJ^ _s]SI@F!CD L FHGD L ]dRcC\G L CPCRdD O JD!_e]SC _dDURdDaDeC jzM CN_ K,M G5FHI<JKL F KL ]dI L JGC3Ip,GC M P#DaR K F K,L _dIp LK F KL ]dRcCbRSI K ? D!RdD!T K _C K RcCFoJK T K D!_e]dDkPR K FaD!_ K LK _\P#DaRSTUI]dD F KL _e]dRSGI@R M C,_7_ K,M GFaI K,L D!_\P5CbRcCPR K~M D!T\C,_UT JC,_F K T\P M I@F!C OYK _YF K T K FaGC L5OYK C j RSDHDaI<JKL PCbRcC OYK _`P5CbRSD O D<_a? K RcC O I@_SFHG]dI@T K _ F K,L O DH]SC MM DzD M PR K,~M DaT7C O DzRSDHDaI<JKLO D K,LO C_7FaGC L5OYKBM CFaGDaR O CD<_s]#JC eCED L 1 ?n M PR K~M DaT7CUD!_RSD!_ KM £D!R
Wbl ;=[ 0#1 10
> 1 > C1 >dl C1 > C1 l 1 > C1 >dl l >D@ >D@ l0>A@"l
n L PC M C ~ RSC,_ O D ~ D!T K _`D L F KL ]SRSCR`D M T K £I@TUI@D L ] K O DG L C3FHGD!R O C eC O D!_dP M C <C O CUI L I@FaI@C M T\D L ]dDUD L M C3 K RST7C C1 q?)n&_ O D\D<_eP#DaRcCbRc_eDE,GDED M T K £I@TUI@D L ] K _dD!C O DU£CI£&JD L O DEPG M _ K _P K R M C\FaGDaR O C?A+C\_ K,M GFaI!JK,L _dDDHCbT\I L CUD LkM C I@p? >,?>!m?
u=(1/2)f(
u=−(1/2) f(η) +f(ξ)
x=−l x=l
u=(1/2)f( η)
ηu=−(1/2)f( )
η
ξ)
x=0
ξ
P3)ξu=−(1/2)f(
I@p? >?@>am
AoC_ KM GFaI!JK,L D!_ O I@_e]dI L ]SC O DFHD!R K _5JKM@K D L7M C,_ ~ C LO C,_ M I@T\I]cC O C,_9P K R M C,_9F!CbRcCFq]SDaRrJ^ _s]SI@F!C_!?rn LM CURSDap,I!JK,L ]dRSIfC L p,G M CR`_ K T ~ RSD!C O C£,DaRd]dIfFaC M T\D L ]SD]SD L D!T K _ /
=1?>A@ >W =1 @
>W C1 @ &
CbRcC PG L ] K _ # M Ck_ KM GFHI<JKL D!_D M £C M@K R O D _ K~ RSD :GD\D!_ C1 @ H?on L M CRdD!pI<JKL FHGC O RSI@FaG M C O CV]dD L DaT K _ M CI L ]dD!RSC,FaFaI!JK,L\O D M C K,LO CI L FHI O D L ]SD j\O D M C KLO CRdDaDeC O C
WY>:GD O D!_SFHRSI ~ IT K _D L M C Ip5?>?@>!h? CbRcC\PG L ] K _ # M C3_ KM GFHI<JKL D!_VD M £C M@K RC M@K3M CbRSp K O D D L D M FaC,_ K3O D M C I@p?>?@>am q? n L M C RSDap,I!JK,LOYK,LO DD<_s]#JC # #]SD L D!T K _ M CI L ]dDaRcCF!FHI<JKLNO D M PG M _ K RSDHDeC OYK P K R M CUPCbRSD OkO D!RdD<FcC jNO DC:GJD M RSDHDeC OYK P K R M CUPCbRSD OI !:GI@DaR O C?bn L# D<_ M CQ_dGT7C O D M@K _PG M _ K _ :GD`£IfC#eC L C M@KQM CRdp KQO D j jEO D j ?n M PG M _ K :GD M@M D!p,CP K R F KL ]SRdI ~ G j D j D M :GD MM Dap:CP K R F KL ]dRSI ~ G j DF KL OYKL5O D # H?on9_e]SCkF K,L _e]dRSGFaFaI!JK,L O Da]dDaRST\I L C3D M £C M@K RO D D L ] KYO C_ M C_RSDap,I K,L D!_!? GD O CUF K T K DsD!RSFaI@FaI K F K,L ]dI L G5CbRD M PR K FHD O IT\I@D L ] K\j D L F K,L ]dRcCbRC M pG LK _v£rC MK RdD<_FHGC LOYK
=1 1 W
? CbT ~ IHJD L :GD O C3£D!RdI 5FaCR_dI M C _ KM GFHI<JKLzK,~ ]dD L I O C pD K T JDa]dRSI F!CbT\D L ]dDF KL C j G O C O D M C I@p?5>?@>amF K I L FHI O DF KL7M C_ KM GFHI<JKL C L C M J^ ]dIfFaC? DaR DaI L:~ DaRSpD!RPCRSCETJC_ O Da]SC MM D!_ j DsDaT\P M@K _ q?
]SR K DsD!RSFaI@FaI K I L ]SDaRSD!_SC L ]dDVD!_ D M)O DQC,FHD!R`£DaR`:GD M C_`_ KM GFHI KL D!_ O D M PR K,~M DaT7C > 1 > @ l0> C1 >dl C1 =1 1 l >
1 1l > C1 >dl l > s>,? m: _ KL PCRSC 1 l :_ K,M G5FHI KL D<_ O D e>? m:W H?,n&_s] KQLK _ O CQG L CT7C L D!RSCQC M ]SDaR L C]SI£C O DVF KL _s]SRdGI@RM C_&_ K,M GFaI K,L D!_9PCbRcCD M PR K~M D!T\C O DRSDHDaYI!JK,L ? GD O CF K T K DsD!RSFaI@FaI K DHCbT\I L CbR M CDH]dD L _dI!JK,LNO D M TJDH] KYOYK FHGC LOYK _eDV]SID L D LzOYK _vR K,L ]SDaRcC_!? CRSCF K T\P M DH]cCbR L GD!_e]dRcC O If_dFaG_eI<JKL _ K~ RSD M CVD!FaGCFaI!JK,LEO D K,LO CF K,L _eI O D!RSCT K _oD M PR K~M DaT7C
> 1 > @ l > C1 >dl l > C1 >dl =1 & s>,? m:
G_SFaCT K _vG L C\_ K,M G5FHI<JKLkO D M CE K RdT7C C1?>D@ C1 @ =1 @ s>,? ul
j ]SRSCb]SCT K _ O D O DH]SDaRST\I L CR j G5_dC LOYKVM C,_ F K,LO IfFHI KL D<_+I L IfFHIfC M D!_ D L e>? m, q?G_e]dI]dG j D L OYK e>?Xubl &D L e>? m, 9]SD L D!T K _ /
C1 >dl C1 =1 l0> =1?>Sl C1 C1 =1 & s>,? u> D s>,? u> 9£DaT K _`,GD
=1 >W C1 >
W H
>W H > s>,? u,W
WW j3O D e>?XuW K,~ ]dD L DaT K _
C1 >A@ =1 @ % C1 @ >W s>?Xubh
:GD LK _ O C M C\_ K,M G5FHI<JKLkO D s>? m, vF K T K PGD O DQ£D!RdI 5F!CbRc_eDP K R _eG_e]dI]dG5FHI<JKLzO I@RdD<Fq]SC?i L CI L ]SDaRSPRdDa]SC,FHI<JKL JGY]SI M`O D s>,? uh Q_dD K~ ]SID L D O D L GDa£ K DaYCT\I L C LOYK M C I@p?>?@><u?+A+C
x=−ct+η
xg=0
P2P=(x,t) P1
x=ct+ξ
(x−ct,0) (x+ct,0)g=0
I@p? >?@><u
D!FaGCFaI!JK,L s>,? uh LK _ O IfFHDz:GDNPCbRcC D L F KL ]dRcCbR =1?>D@ ~ C_e]SC]dRcC !CR M C_\F!CbRcCFq]SDaRrJ^ _s]SI@F!C_C ]dRcCr£9JD!_ O D =1?>D@ 9£,DaR O JKLO DzI L ]dD!RS_dD!FH]SC LM CRdD<Fq]cC @ l &DzI L ]dD!pRcCbR7D L D M I L ]dDaRS£C M@KF K TUPRdD LO I OYK D L ]SRdD M C_ OYK _9I L ]SDaRc_eD<FaFHI KL D!_ M CF KL5O I@FaI!JK,L I L I@FaI@C M ?,n M £C M@K R O D M CQI L ]SDap,RSC MD!_ C1 >A@ H? D!T K _ :GD C1 >A@ O D!P5D LO DV_ K,M CTUD L ]dD O D M@K _ £C MK RdD<_ I L I@FaI@C M D<_ O D D L7M C ~ C_dDO D M ]dRSI!JC L pG MK F KL £9JDaRd]dIfFHDQD L # jNLK _eI@D L ]SD MK _`£C M@K RSD!_ O D M C3F KL5O I@FaI!JK,L I L I@FaI@C M GD!RSC O DD!_SCURdD!pI<JKL ? GD!£CbT\D L ]dD M CPR K PID O C O O DQ:GD M@K _ O If_e]dGR ~ I K _vD L _eDPR K PCp,C L F K,L £D MK FaI O C O L I]cC_eDT7C L I D!_e]SC?:n&_s] K _dD O D ~ DC:GD_dI =1 lPCRSC 1
D L ] KL FaD!_ lC M C O D!RdD<FcCO DG1 @ j C M CEI !:GI@DaR O C O D @
F K T K PGD O DQ£DaRc_dD O D e>?Xubh j3O D M C Ip5?)>!h? I L C M T\D L ]SD M C\_ KM GFHI<JKLkO D s>,? h vD!_e]5JC O C O CUP K R M C\_dGT7C O D s>? m> j s>,? uh &D LkM C K RdT7C
C1?>D@ >W C1 @ %
>W =1 @ % >
W s>?Xum
AoCbJK RdTEG M C s>?Xum _dD O D ~ DC M CbT ~ D!Re]<?,n L D M P M C LK C1 >A@ M CQD<FHGC,FHI<JKL s>,? ubm LK _ O I@FaD:GDD M £C M@K R C1?>D@ O D!P5D LO D\_ K,M CT\D L ]dD O D M@K _ O C] K _I L IfFHIfC M D!_D LM C ~ C_dD O D M ]SRdI<JC L pG M@K K RST7C OYK P K RD M PG L ] K =1?>D@ M C RdD<Fq]SCE@ l jNM C,_F!CbRcCFq]SDaRrJ^ _s]SI@F!C_C\]dRcCr£9JD!_ O D C1 >A@ ,GDI L ]SDaRc_eD<Fq]SC L C M CERSD!FH]SC @ l?A+CURdD!pI<JKL O D M CURdD<Fq]cC@ lD L ]SRdDG1 @ j 1 @v_eD M@M CT7COYK T\I L I KO D O D!P5D LO D L FHIfC O D C1 >A@ H?:n&_s] K _eD O D ~ DCQ,GD =1?>D@ LK _dD C M ]dDaRcCQ_dI_eDFaCbT ~ IfC LMK _ O Cb] K _ I L I@FaI@C M D<_ GD!RSC O D M CQRSDapI<JKL 1 @ 1 @q?,D e>?Xum£D!T K _]SCT ~ IaJD L ,GDG L F!CbT ~ I K D L M CF KLO IfFHI<JKL I L IfFHIfC M D L G L PG L ] K _5JKM@K PGD O DI L GIRD L3M CE_ K,M GFaI!JK,L D L
% WbhPG L ] K _ O D M F K,LK :GDE]dI@D L DEP K R£&JD!Re]SI@FaD!_ C j FHG j,K _ M C OYK __ K,L M C,_F!CbRcCFq]SDaRrJ^ _s]SI@F!C_`C]SRSCr£&JD<_ O D\?n L D!_e]SC_dD!F!FHI<JKL D!T K _ D L F K,L ]dRcC OYK G L C_ KM GFHI<JKL C M PR K~M D!T\CPCbRcC M CQD!FaGCFaI!JK,L O D K,LO CD L O I£,DaRc_dC,_`_eI]dG5CFHI KL D!_!?AoC _ KM GFaI!JK,L D L F K,L ]dRcC O CURSDHDeC L GD!_e]dRcC\DHYP#DaRSID L FHIfC\D L PR K P5C#p:CFHI<JKL O D PG M _ K _QC M@KzM CRdp KNO D7G L CzFHGDaR O C j _dGRdDaDHYI<JKL P K RPCbRSD O D!_!?oI L D!T ~ CRdp K PCRSCVF K T\P M Da]SCR L GD!_e]dRcC O I@_SFHG_dI<JKL7O D ~ DaT K _ PR K~ CR:GD M C_ _ KM GFaI K,L D!_ K,~ ]dD L I O C_ _ KLUM C,_JG L I@F!C_P K _dI ~M D!_!?n L FHGC L ] K C M C G L I@FaI O C O D<_s]cCbT K _RSC KL C ~M DaT\D L ]SDF KL £,D L FaI OYK _5F KL~ C_dDD L MK _F!C_ K _PCRe]SI@FaG M CbRSD!_ O D M ]SD K RSDaT7C O D vCbGFc j K £rC M D!£Y_ I O I@_SFHGY]SI OK _D LzM@K _F!C_ K _`D L :GD j ]SD L p:C L7O D!_SCbRSR KM@MK _ O D C jM@K R<?I L DaT ~ CbRSp K LK _ I L ]dD!RdD<_dCPR K~ CbR M CQG L IfFHI O C O P5CbRcC O C] K _I L IfFHIfC M D!_`TJC_pD L DaRcC M D!_C_<J^ F K T K ]SCbT ~ IHJD L PCRSC\PR K~M D!T\C,_`T\I] K _ O DE£C M@K RSD!_I L I@FaI@C M D<_j3O DR K,L ]SDaRcC?Yn9_e]dDD<_D M)K,~ sDH] K\O D M C\_dIp,GID L ]dDQ_eD<FaFaI!JK,L ?
$ !! ' ' ' % ! #% ! # $ ) + % ! "# $&' #$'
K,L _eI O D!RdD!T K _vD M PR K~M DaT7C > 1 > @ l0> C1 >dl C1 > C1?>Sl =1 > (1 >A@ >A@ l > @ l s>,? u,u
A+C_ KM GFHI<JKL3O D e>?Xuu GDF KL _s]SRdGI O CD L3M C_v_dD!FaFaI K,L D!_vC L ]SDaRSI K RdD<_a?:D<_ O D M GDap K D L ]SD LO DT K _ P K R G L C_ KM GFaI!JK,L\O D s>?Xuu G L CG L FHI<JKL F KL OYK _ O D!RdI@£C O C,_ ,GD_dCb]dIf_sCp,C L e>?Xuu H? K R D!_e] K 5PCRSC3,GD M C3F K,L _e]dRSGFaFaI!JK,L O C O C3D L M C I@p?>?@>am7£C M p:C O D ~ DaT K _V_dGP K,L DaR:GD]cC L ] K F K T K ]SID L D OYK _ O DaRSI@£rC O C_ M@K ,GD _eGP KL5O RdD!T K _CkPCRe]SIR O D Cb K RSC? D!_ O DM GDap K _dDEPGD O DUCbT\P M I@CRD M F KL FaDaPY] K3O D\_ K,M G5FHI<JKL P#DaR K D<_s] K3LK LK _I L ]SDaRSD!_SC7P K RD M T K T\D L ] K q? CRSCPR K~ CbR M C[G L I@FaI O C O O D e>?Xuu GY]dI M I <CbRSDaT K _ D M PRSI L FaIPI KO D M C F KL _eD!Rd£CFaI!JK,LO DD L DaRSp5J^ C b:GDD!_9G L CbRSpGTUD L ] K pD L DaRcC M CbP M IfFaC ~M DCTGFcC,_ D<FHGC,FHI KL D<_ K R O I L CbRSI@C,_ j PCbRFaI@C M D<_vF K T K £D!RdD!T K _C M@K7M CbRSp KEO DQD!_e]SC_ LK ]SC,_a? CRSCT K ]dI@£CbR M CEPRdGD ~ C\F K,L _eI O D!RdD!T K _ M CUD!FaGCFaI!JK,LNO D M C,_ K _SFHI M C,FHI KL D<_
=@ =@ l0> l
> l > s>,? u :GDz]SID L D P K RN_ K,M GFaI!JK,L =@
F K _ @_dI L @q? GDaRSDaT K _7PR K,~ CbR M CG L IfFHI O C O ?v CRSCPR K~ CbR M C] K T7CbT K _# OYKL5O D j _ KLkOYK _v_ KM GFaI K,L D!_ O D s>,? u :D L ] KL FaD!_#_SC]SI@_eCFaD# # l > # l # l l0> s>,? u:g
j :GDaRSDaT K _ PR K~ CR:GD # l? J^ _eIfFaCTUD L ]dD:GD # l D<_ M CJG L IfFaC _ KM GFHI<JKL O De>?Xu,g j CN:GD # l # 4l l LK _ O IfFHD :GD M CkD L D!Rdp#J^ C ] K ]SC M&O D M T K £IT\I@D L ] K D<_FHD!R K ?) K R
Wm F K,L _eD!Rd£C,FHI<JKL7O DD L DaRSp#J^ CJD<_s]cC O D ~ D_eD!pGI@R&_dID LOYK FaDaR K PCRSC] KYOYK D M ]SID!TUP K O DVC:GoJ^ ,GD# l\_dI @ l? K RSC O CT K _vG L CUDHYPRSD!_dI!JK,L C L C M J^ ]SI@F!CPCRSCED M CRdp,GT\D L ] K C L ]dD!RdI K R<?AoCUD L D!Rdp#J^ C C@ O DG L C\_ KM GFHI<JKLkO D s>,? u:g &D!_
=@ >W C@
>W =@ &
DaRSDaT K _`:GD =@ l M@K FHGC M)LK _ O I@FaD:GD M C\D L D!Rdp#J^ CU_dDF KL _eD!Rd£C\_eI #7D!_ _ KM GFaI!JK,LkO Ds>,? u:g q?n L DaD!FH] K C@ # # # l s>?Xub
D e>?Xub ]SD L D!T K _`:GD>W #
>W # =@ l >
W # l %>W # l l s>?Xub
O D OYK,LO DQ_eDQ_dIp,GDQ:GD$# lUPCRSC@ l\:GDQD!_D M RSD!_dG M ]cC OYK\O D<_eD<C OYK ?n ]dD LO D!RdD!T K _9C K RcCD M CbRSpGT\D L ] K C L ]SDaRSI K R9C M CD<FHGC,FHI<JKL O D KLO C?: CRSCD<_s] KL D<FHD<_eI]SC T K _D L F KL ]SRSCR M CUD L D!Rdp#J^ CFHI L JDa]dIfFaC j P K ]SD L FaI@C MoO D M C7FaGDaR O C?D L _dDaT K _ M C FaGDaR O C O I£I O I O C7D L ]SRSCT K _ F K T K _eD£,DD LzM C I@p?o>,?>< j RSD!F K R O DaT K _`,GD 9D!_ M CU£D M@K FHI O C ONO D M C7FHGD!R O CED LkM C O IRSD!F!FHI<JKL £D!Re]SI@F!C M ?D M C I@p? >,?>!mU£,DaT K _:GD M CUD L D!Rdp#J^ CEFHI L JDa]dIfFaCED L D M ]SRSCT K 1D> 1 D!_e]5JC O C O CUP K R
x +hi
x=−l x=lx=0 xi
u(x,t)ut(x i,t)
Tuxx(x i,t)
I@p? >?@>!
>W ; C1?>D@
j M C\D L D!Rdp#J^ CEFHI L JDa]dIfFaC] K ]cC MoO D M C7FHGDaR O CD<_s]#JC O C O CUP K R>W ; >A@ s>? l
% WuA+C D L DaRSp5J^ C7P K ]dD L FHIfC M :GD\C O :GI@DaRSD M CNFHGD!R O C C M _dG ~ I@R O D M C3P K _dIfFHI<JKL l C M ]dI@DaT\P K@ l C M CEP K _eIfFHI<JKL =1?>D@ C M ]dI@DaT\P K @ YD!_D M ]SRSC ~ C# K RSD!C M I !C OK PCRSCE£D L FHD!RC M CGDaR !CO DV]SD L _dI!JK,L ? CRSC M C\FHGDaR O CUD L ]dRSDG1 j 1 D!_e]dD]SRSC ~ C# K D!_
H C1 > =1 > s>,? > :GD D!_ M CI L ]dDap,RSC MVO D M CP K ]SD L FaI@C? D s>,? > K~ ]SD L D!T K _ M C D L DaRSp5J^ CBP K ]dD L FHIfC M ] K ]SC MI L ]dDap,RSC LOYK _ K,~ RSD] KO C M C7FHGDaR O C?n&_s] K D<_ /
H C1 > C1 > 1 s>,? :W
CRSC L GD!_e]dR K _\PR K PJK _dI] K _\D!_ F K,L £,D L I@D L ]SDNRSDaD<_dFaRdI ~ I@R s>,? :W UD M I@TUI L C LOYK C ?&n9_e] KBM@KC,FHD!T K _C_<J^
H =1?> C1?> 1 H
1
H VW C1?> 1
W C1 >A@ 1 s>,? ,h
j C7,GD >D@ >D@ C1 >dl l?5D s>? h j e>? l D!_dP5D!RSCT K _`:GD M C FaC L ]dI O C O:GDQ_dDF KL _dDaRS£DVPCRSC\_ KM GFHI KL D<_ O D s>,? u,u &_eD<C C@ ;
>W =1?>A@ 1 W
=1?>D@ 1 s>,? m
CRSCUPR K~ CR M C7G L IfFHI O C O PR K FaD O D!T K _F K T K D L s>,? u:g M@M CT7C LOYK # M C O IDaRSD L FaI@C O D OYK __ KM GFHI KL D!_ O D s>,? u,u j PR K~ CbRSDaT K _v:GD$# l? CbRcCD<_s] K £DaRSDaT K _&:GD =@ ; W
# 1 W
# 1 s>,? :u
_SC]SI@_eCFaD =@ l q?n9_e] K _dD K~ ]SID L DQFaC M FaG M C LOYK C@
; # # 1
# # 1 ;
# # 1
# # # #
; # # # 1 l s>,? ,
j C7,GD # >D@ # >A@ l?5De>? _eD_dI@pGD:GD C@ 4l j F K T K l l ]SD L D!T K _`:GD ;W # 1 W
# 1 l0> @ l s>,? g
Wb D e>? :g F K,L F M GI@T K _,GD # # l PCbRcC7] KO C_ M C,_ M J^ L D<C_PCbRcC M D M C_C 1 ?n9_e] KNLK _Vp:CbRcC L ]dI !C ,GD # F K,L _e]SC L ]SD j F K T K # l D L M C M J^ L D<C3I L IfFHIfC M ]dD L DaT K _Q,GD# lUPCRSC 1 > @ l? GDVD<_D M RSD!_dG M ]SC OYKUO D!_dD!C OK ? JK ]dD!_dD\,GDED<_s]cC3PRSGD ~ C O DUG L I@FaI O C O G5_dC3GDaRd]dD!T\D L ]dD\D M D!Fc KNO D7,GDED M T K £I@T\ID L ] K_eD MM Da£C C3FaC ~5K D L G L C RSDap,I!JK,L CF K ]SC O C?#CRdD!T K _C K RcC7G L C PRSGD ~ C O DUG L IfFHI O C O PCbRcCG L CURSDapI<JKLNLK CF K ]cC O C? CbRcC`PR K~ CR+D<_s]SD&RSD!_dG M ]SC OYK RSD!F K R O DaT K _:GD M CbJK RSTG M C O Dv M CbT ~ DaRd] s>,? ubm LK _+TGD<_]dRcC`:GD M C`_ KM GFaI!JK,L D LQM CRdD!pI<JKL O D M C I@p?>?@>rg&_JK,MK O DaP#D LO D O D M@K _ O Cb] K _I L IfFHIfC M D!_D LkM CERSD!FH]SC 3?
x=( − )/2β αA=( ,0)
x= α +t
α B=( ,0)
x= β −t
β
V=(x,t)
A’ B’
I@p? >?@>rg
K R`D<_s]SDT K ]dI@£ K D<_eP#DaRcCbT K _ :GDFHG5C M ,GID!R_ K,M G5FHI<JKLzO D e>?Xuu ,GD O DG L J^ £ K FaCTUD L ]dD O D ]dD!RdT\I L C O CED L P K R M@K _ O Cb] K _vI L IfFHIfC M D!_vD L ?n L PCRe]SI@FaG M CbR :_dI MK _ O C] K _&I L IfFHIfC M D!__ K,L FaDaR K D L ! O D ~ DaR#JC\_eD!R FHDaR K D L ] KYO C ? K RSCPR K~ CRdD!T K _+D!_e]dD`RSD!_dG M ]cC OYK ? JC_PRSD!FaI@_SCbT\D L ]SD / _dGP K,L p,CT K _ # =1?>D@ G L C_ K,M G5FHI<JKLO D
# # > # # l E>D L ] K,L FHD<_ # l D L 3? CbRcC\PR K,~ CbRD M RdD<_eG M ]SC OYK F KL _dI O DaRSDaT K _ O D L GD!£ K M C D L DaRSp5J^ CO D M CU_ KM GFaI!JK,L D L M CURdD<Fq]SC F K T K G L FHI<JKLzO D M ]dI@DaT\P K ?n9_e] K D<_
C@ >W #
>W # 1?> l @ W
n9_ O D7D!_dP5D!RSCRS_dD7,GD C@ LK FHRSD<FaC j Cz:GD M CzRSDapI<JKL @ 1 @ OYK,LO D C j
% W,gT K £IT\I@D L ] K _dD£GD M £,DFaC O C£D TJC_ P5D<:GDL CFHGC LOYK @ ? CbRcC PR K,~ CbR3D!_e] KF!C M FHG M CbT K _ C@ j ]dD L DaT K _ /
=@ # # # # 1 >
W # # @ >D@ # # @ >A@
# # # 1 # #
>W # # @ >D@ >
W # # @ >A@ >W # # @ >A@ >
W # # F@ >D@ l s>? D s>,? , UF K,L F M GI@T K _7:GD C@ lD L O D OYKL5O D _eDz_dIp,GD :GDzl =@ 4l l?DEC:GoJ^ :GD =@ l\D L ] KYO C_ M C_ M J^ L D!C,_ K RSI KL ]cC M D!_ D L ?#n9_e] KLK _VTGD<_s]SRSCN:GD # # l D L j F K T K # l D L ]SD L D!T K _Q:GD # l D L] KOK 3?n9_e] K PRSGD ~ C L GD<_s]SRSCUC#5RdT7CFaI!JK,L ?n&_s]SD`RdD<_eG M ]SC OYKLK _ O C M CQG L I@FaI O C O PCRSCD M PR K~M DaT7C O D M CFHGD!R O CI L L I]cCCbP M IfF)JC LOYKM@K C] KOK _ M@K _`PG L ] K _ ? GD O C7F K T K G L DsDaRcFHIfFHI K D M PR K~ CR F K,L D<_s]SDTJDH] KYOYK7M C\G L I@FaI O C OO D M C_ KM GFaI!JK,L O D M PR K,~M DaT7CFHG5C LOYK _JK,MK C j G L CPCbRSD O :GD RSDH5DeC?D O D ~ DC,FHDaR9D!_e] KF KL G L C\F K T ~ I L CFaI!JK,LNO D e>? j s>,? , q? CRSC3T\C j,K RSD!_ O Da]SC M@M D!_QF K,L _dG M ]cCbR K GRSC L ] I M~ DaRd] h ? ? RdI@D L5O RdIfFc_ g j ,K RSpD !D /?
Wb
t
n L D!_e]SC_dD!F!FHI<JKL _dD O If_SFHGY]SIR#JC L _dI@_e]dD!T7C_ O DD<FHGC,FHI KL D<_ M I L D<C M D!_v,GD ]dI@D L DFaCRSC,Fq]SDaRrJ^ _e]dIfFaC,_a?D`C L C M I <CbR#JC L PR K,~M DaT7C_F K,L £C MK RdD<_+I L IfFHIfC M D!_ jEO DR K,L ]dDaRcCVCP5CbRd]dI@R O D£rCRdI K _DsDaT\P M@K _!?DF KL F M GIR#JC M C_eD<FaFHI<JKL F KL C M pG LK _PR K~M D!T\C,_ _dIT\P M D!_9PCbRcC M C,_ D!FaGCFaI K,L D!_ O D CYvD M@M:GD7_dDEDaP M IfFaC L j _dD O If_dFaGY]dD L F KL FHI@DaRd] KkO DH]cC M@M D,?) GD<_s]SRSC PRSD!_dD L ]SC,FHI<JKL _dI@pGDUTG j O DFaDaRcFaC M C,_ LK ]cC_ O D RdI@D O RSIfFc_ O DQPR K PCp,CFaI!JK,L3O D K,LO C_vD M D<Fq]dR K T7Cp L JDa]dIfFaC,_a?
B % )+ # % - ' % ! % " $ ! ' <+ $ -.! <!"#$n&_+G L D<Fc K F KLK FaI OYK P K R] KYOYK _:GD M C__dD L C M D<_oD M JD<Fq]SRdIfFaC,_o£IfC#eC L C M@KVM CRdp KO D M@K _C M CbT~ RSD!_`F KL FHI@DaRd]SC\£,D M@K FHI O C O ?$ K RcC\£D!RdD!T K _F)JK T K _dDQPGD O D O D<_dFaRdI ~ I@RFHGC L ]dI]SC]SI£CTUD L ]dDD M D L JK T\D LK G_SC LOYK n9FHG5CFHI KL D!_D L DaRSI£C O C_ CRSFaI@C M D<_a?) CRSCkD<_s] K _dGP K,LO RSDaT K _G LF!C ~M DRSD!FH] K RdD!PRSD!_dD L ]SC OYK P K RD M DsDG1 F K T K D M :GDQ_dDI LO IfFaCUD LNM C I@p?WY?@> YF KL FaCbP5CFHI ]cC L FaI@C\F K,L _e]SC L ]SD j G L C\I LO GFq]cC L FaI@C P K R G L I O C O O D M@KL pI]dG O ?I_dDCP M I@F!CG L £ KM ]SC sD C@ G L CF K RSRdI@D L ]dD C@ +GIR#JCVCFaI@CD MM C OKO DaRSD!Fc KVjLK _I L ]dD!RdD_SCF!C M FHG M CbR&D!_SCF K RdRSI@D L ]dD =1?>D@ D L ] KYOYK _ M@K _vPG L ] K _ O D M F!C ~M DVF K T K G L FHI<JKLNO D M £ K,M ]cC#sDCP M IfFaC OYK C@ vD L 1 l?D O D ~ D L D L F KL ]dRcCbR M C,_D!FaGCFaI K,L D!_v:GDRdD M C,FHI KL C L C j C D LD M FaC ~M D,?A+C_D!FaGCFaI K,L D!_`:GD L D!FHD<_eI]SCT K _D L D<_s]SDFaC_ K _ K,L M C M D j O DF KL _eD!Rd£CFaI!JK,LNO D M C\FaCRdp:C jM C M D j3O D CRSC O C j ?A+C M D jBO DkF KL _eD!Rd£CFaI!JK,L[O D M C FaCbRSp,C LK _ O IfFHDk,GDN_dI ; C1 >A@ ED!_ M C O D L _dI O C OO DNFaCRdp:C ]SD L D!T K _D L ] K,L FHD<_`:GD
@ ; > # C1 >A@ C1 >D@ & /WY?@>
Wb
hl
x=0 x x+h
t
x
g(t)=V(t)
I@p?W?>
K ]dDaT K _:GD 4W?> )D<_ M CT\I@_dT7CV:GD s>,?> q?n L D!_e]dD`FaC,_ K P K R O D L I@FaI!JK,LEO D jO D M £ K,M ]cC#sD ]dD L DaT K _`:GD /WY?@> v_dD]SRSC L _e K RST\CED L l > 1 l > @ l 4W? W
AoCzD<FHGC,FHI<JKL 4W? W D!_G L C _ KM CkD!FaGCFaI!JK,L PCbRcC OYK _I L F)JK p L I]SC_!?on L s>?XW ]dD L J^ CT K _QG L CRdD M C,FHI<JKL C M pD ~ RSCI@F!C C; D L ]dRSD M C,_ OYK _ I L F)JK p L I]SC_!?bn L D M FaC,_ KQO D M D M D!FH]dR K T7Cbp L DH]SI@_dT KLKC j ]SC M RdD M C,FHI<JKL C M pD ~ RcCbIfFaC jEM C_dDap,G LO CQD<FHGC,FHI<JKL PCRSCF!C M FHG M CbR j LK _ M C O CR5JC M C M D jO D CbRcC O C j ?5 CRSC\G_SCbR O IfFcC M D j DaYCT\I L D!T K _ M C3F!CJ^ O C O D£ K,M ]cC#sD C1 ?>A@ =1?>A@ D L ]dRSD 1 j 1+?YC ~ D!T K _`P K R M C M D jNO D CbRcC O C j :GDD<_ DHYP#DaRSIT\D L ]cC M :GDD!_SC F!CJ^ O CD!_PR K P K RcFHI KL C M C M CURcCbPI O D O DF!CbT ~ I K ?n L FaC L ]SI O C O D<_D!_e] K D!_
=1 >D@ C1 >A@ =1?>A@ 4W? h OYKL5O DBD<_ M CI LO GFH]SC L FHIfCQP K RvG L I O C O O D MK,L pI]dG O ? K T7C LOYK D L 4W? h D M#M J^ T\I]dDFaGC LOK l ]dD L DaT K _`:GD l 4W? m K R M@K ]cC L ] K M C,_D!FaGCFaI K,L D!_`:GDQ:GDaRSDaT K _&D<_s]SG O IfCbR _ KL
l > 1 l > @ l > 4W? u l > 1 l > @ l > C1?>Sl C1?>Sl l > 1 l0> l0>A@ =@ > @ l
JK ]dD!_dD,GDD M £C MK R l0>A@ LK _eDVD!_dP5D<FHI 5FaC j C:GD O D ~ D_dDaR`F K,L _eIf_e]dD L ]SDF K,L D M £rC MK R O D 4l >D@ j _dG O Da]dD!RdT\I L CFaI!JK,L D!_VPCRe]SD O D M PR K,~M D!T7C?AoC_D!FaGCFaI K,L D!_ 4W? u F K RSRdD<_eP KLO D LC\G L FaC ~M D:GDD L @ l7D<_s]#JC7_eI L FaCRdp:C j _dI L F K RSRdI@D L ]dD,? O DJT7C_D L 1 l7_dD M DECbP M I@F!CG L C _dDL C M+O D£ K,M ]cC#sD C@ q?# K _ I L ]SDaRSD!_SC7F K,LK FHDaR j C M@K M CbRSp K O D M F!C ~M D?#n9_dP5D!RSCT K __ K,M G5FHI KL D<_&D L K RST\C O D K,LO C_`:GD_dDPR K PCp,C L CFaI@C M C O DaRSD!FcC?
h> M I@pGC M :GDED L D!FHG5CFHI KL D!_ K R O I L CRdIfC_ D!_VF KL £,D L I@D L ]dDD!_SFHRSI ~ I@R /WY?Xu F K T K T\Cb]dRSI #F KLM@K ,GD_dD K~ ]dI@D L D
@ l
l 1 ll >D1 l0>A@ l0>
H ll >D1 l0>
H =@ l >D@ >D@ l /WY?
D!T K _:GD M C D!FaGCFaI!JK,L 4W? D<_C L JC MK p,C7C M C3D!FHG5CFHI<JKL O DEPRdI@T\DaR K R O D L OYK,LO DUCb K RSCD M ]JDaRSTUI LK O DE£D MK FHI O C O :GDTG M ]dI@P M I@F!C3C LK D!_G L D!_SFaC M CR _eI LK G L C7T7C]SRdI ? L ]dD<_O DRSD!_ KM £D!R /WY? vF K,L _dI O D!RdD!T K _vD M _dI@_e]dD!T7C @
# ll 1 # ll > /WY? g
D<_ O D<FHI@RvG L _dI@_e]dD!T7C OYKL5O D M CBT7C]SRdI D!_e]5JCD L K RdT7C O I@Cp KL C M ? DaT K _N:GD /WY? g 7D<_D<,GI£C M D L ]SDC OYK _D!FaGCFaI K,L D!_vI LO DaP#D L5O ID L ]dD!_ O D<_dC,F K P M C O C_ l ># # l
:GDQ_dDVRSD!_dGD M £,DVI L T\D O I@Cb]SCbT\D L ]SDQF KL C1 @ # C1 @ q? D!T K _QPGD<_E:GD3PCbRcCkG L _dI@_e]dD!T\CF K T K /WY? g LK C j O I 5FaG M ]cC O D<_a? K RD<_s] K oC M I@pGC M:GDkD L D!FaGCFaI K,L D!_ K R O I L CRdIfC_]dRcC]cCbRSDaT K _ O Dk]SRSC L _s K RdT7CR /WY? UC_eG K RST7C O I@Cp KL C MT\D O I@C L ]SDG L FaCbT ~ I K\O DV£CRdIfC ~M D!_ O DaP#D LO I@D L ]SD!_!? L ]dR KYO GFaIT K _vD L ] KL FaD!_D M FaCT ~ I KUO DQ£rCRdIfC ~M D<_
# /WY? OYK,LO D D<_ G L C[T\Cb]dRSI I L £D!Re]SI ~M D :GD_dD O Da]dD!RdT\I L CbR#JCD L D M PR K FHD!_ K[O D RSD O GFaFaI!JK,L ?G5_s]SI]SG j D LOYK 4W? vD L 4WY? g Y]dD L DaT K _`,GD
@
# l l 1 # l
l > @
# l l 1 # l
l /WY? CRSCE,GD /WY? _dD!C\F K T K /WY? g O D ~ D!T K _ O DQD!_SF K pD!R O D]cC M K RST7C\,GD
l l l
l 4W?><l
h,W CbRcC_SC]SI@_eCFaDaR 4W?><l ~ C_e]SCUD L F K,L ]SRSCR MK _£rC MK RdD<_vPR K PI K _ O D l
l :GDQ_ K,L " \j ?n L ] KL FaD!_ /WY?@>!l &:GD O C7F K T K /
>W >
>
l l > >
" l
l RcC L _s K RdT7C L5OYK ]SCbT ~ IHJD LBM C_EF KL5O I@FaI K,L D!_I L IfFHIfC M D!_ED L /WY? O D3CFaGDaR OYK C 4WY? Q£DaT K _:GD 4WY? vD<_D!:GI@£C M D L ]dDQC M _eIf_s]SDaT7C O IfCbp K,L C M
@
# l
l 1
# ll > # H l
l >A1 l >
# H C@ l >D@ >
W C@
l0>A@
=@ % 4l >A@ n L 4W?><l +£D!T K _ :GD M C_D!FaGCFaI K,L D!_P5CbRcC j #_eD O D<_dC,F K P M C LEjEM CQ_dI]dGC,FHI<JKL _eD`TEGD!_e]dRcCD L D M P M C LK C1?>D@ O D M C I@p?W? W?
x=(LC) −(1/2)tx=(LC) −(1/2)t +ξ
x=−(LC) −(1/2) η
z=0
z=0 z=0
w=z=0
w=0w=0w=0
+
I@p?W? W
hhYC ~ D!T K _:GD VF KL _s]cC L ]dD j # VF K,L _e]SC L ]SD _ K,~ RdD M C_RdD<Fq]SC,_ 1 @ j 1 @ URdD<_eP#D!FH]dI@£CbT\D L ]dD,?, K R D!_e] K £,DaT K _ :GD # ! lQP5CbRcC C1?>D@ C ~ C# KO D M C M J^ L D!C 1 @ "r?,n&_s] KLK _ O I@FaD ,C M I@pGC M ,GD M CD<FHGC,FHI<JKL\O D`PRSIT\D!R K R O D L :GD M C,__dDL C M D<_`DaT\I]dI O C_D L 1 l7£IfC#eC L F KL £,D M@K FHI O C O :GD O D!P5D LO D O D M C_ PR K PID O C O D!_O D M FaC ~M D,? M@K7M CbRSp K O D M C_FaCbRcCFH]dD!R<J^ _e]dIfFaC_v:GD£IfC#eC L C,FHIfC M C I <,GID!R O CU]SD L D!T K _:GD$# l D LPCRe]SI@FaG M CbR # l\_ K~ RSD M C\RSD!FH]SC 1 l?n9_e] K7O Da]dDaRST\I L C 4l >A@ j CU:GD
l # =@ % 4l >A@ > 0>A@ =@ &
"!#$&%' (!#) * #)+, - 1 @ " $ =1?>A@ C@ 1 > # C1?>D@ . 0/2133
45 0/2133 6 78 89 ) +2$:));, $:<, ;,2 =/1 > :? +!#$;27 =@ C@ " 1 > C@
=@ " 1 " 0/213/ @A 5B%7C<2 0/213/ # 6 $#;D! E;,, FD<2GH) 9I( ;KJ, ") L M$ J, E();N)(!##)&%;O;H), 1P <2&2 -"7<2;MQIQ$))$R#&(: 6 #+2$7S G;M";T));2$8);2)") $
> 1 >A@U0>
H C1
C1 V P <8%W";,)");2&-2+X;Y"<27 6 ) =1 G? C1 C6 OFD<2W;2Z( 6 6 <2$;[)Q!<2+2)DJ, ") C )\$FD<2) 2 ] 1 (!#<T) 8;^"! $ 6 ;2^_ 1 >A@(`"1B a + # ) ! "# $&' # $' ! $ b ;,()$#$7-Dc J, ^!# 6 #+27S dFD<2E, K#)$;e d<2;U()Q!7S K2L$<, );2$G7C< ?6 #&")O $(!#<,2) O$;f_ /1hg`"1 *Q!^()Q!7S i 6 #&"E j ;, )\$ G 6 # 6 D )$%;e;,2 R;c <, 1 ; 6 )7k<2D 6 ;!$ #$7-Dl $<, );2$ ? & 6 <:%$l R#&(7<2;T 7 ;2 G7C< ? ()7) m%' ;,$ 8! ;,#7-)#)$%; 1@A 8$<, );2$nc79H)7);D!#S#;M<2;d ( 6 #!#)"<2 jC $<, );2$Go
@ p6 5;2D(!#k q2$<,)7Dq2)$"! 7$;! 19r j&Q!s;,#)7A<2;Gt,<2)FD<2u#v7C<2$u;$")2 5J,)\$;D! p #!#) cp$? "< ? (< 6 $(wT)v)+2#v&Q!X% $")! 6 _ 1 >A@(` ! ,7x(8; xyq) 1/21 z,1 < 6 ;,2#$7-Dv $7Y% vFD<22B|;,x 6 ?
z
x0
w
u
η (x,t)
z
xz=−h
xnivel medioz=0
yq) 1,/21 z!#);2x<,;, 6 #B|<2;,)2 W;,(! ;D!# 15# ;,;W -yq) 1T/21 z - ? x -;,#9 )$%;Ex -7 # -$;!# ? M!#$;27D!!#" $&%
%(' _*),+.-_0/21 " `(` ! / 3 6 )2\xc 7C+2)x $ ;D!#)2 Wc <, G;D!#4 ? 3 5j<T -FD<2x$;D!# G$; 7685n<, FD<2c s$;3 yq<9IQS;946 yA<9IQS$;;: _ /13$zD`
=< 6 $ ;,2C;Z_ /13$z` $t,<9IQ;W!2%7);2D8?> ? -S!;2$7jFD<2!!@" $ %
% ' _A),+B-_0/21 " `#` ! /,3> _0 1 " `DC ),+.-_0 1 " `DE 6F>q_GH1 " `DC ),+.-_0;1 " `IE _ /13H`*);, ;,5;W_ /13H` 6 <,"!#;>J-L_ ? nFD<2(< 6 ;27A q;2s7C< ? ! q<< ? ;LK-B|;j%7;2Dx#7 6 )7);D!# ` !#;,7 _ /13H` FD<2
-#MN+O)L> % 3 : _ /13&g`Pj<2$9 7;D!#x_ /13&g` $q<2;, s&"<, ")&%; 6 5q);,R%;2)! 1 @A n!# j$<, )$%;G#*$;,"<,;D!# x -2);j% 7)$ G<T# ;, - ? ?PjQ8!; 1 u;,;D!# 7*;D!;,$FD<2
> MR3 "$$ ")&%;EJ2)\$;D! 93S6j 7C+2)-2 6 #&()&%;E;93S6=T % 1 _ /13VUD`W MR3 "$$ ")&%;E#!#) X3Y6j 7C+2)-2 6 #&()&%;W;9Z?6 [\3]6=T ^76_[`:
@k 8$"<T ");,$8FD<2c";!# ;L k7-9H)7)$;!-2Rm%' F<,)S#;- M +O)L> % 3 1 > M +aT % 3 1 W M +XT ^ +.[b3 1 _ /13dc`
N zg&Q!u$k<2;C#)(!#$7 nu!#&R$<, );2$ 6 "<, !#j);,R%;2)! 1 45+X7DA H()Q!7S ?N6 K$(!#iJ, 7C<2;, i 6 d<)7S ")&%;Z7C< ? 2T% Q!)$ d; %<2!#)7S K&"<, ")&%; _ /13dc`"1 < 6 ;,7-FD<2E K "$$ ")&%;Z$(!)$ W M 3E? FD<2,T ^ +, ;,"& K O dB|<2\$ O $2 p &$) TJ^ 3]6[`: _ /213&>`;E!# 6 +, :2$")7FD<2k7-9H)7)$;!;W S)$)$%;L#!#) &:! ; 6 $FD<2;2FD<2O 6 #&()&%; &Q!X% e2 2 6 W e ? J,)(!T% !#) _ /13$>D` 1 us ET e!;2$7-D);D!# ;,M_ /213&>` ;D!#x #< 6 #wT"))+2 ? <2; 6 <2;D!#S$t,<2) p +!;2);TS &%'TA_0;1 -`1 " ` 6Tq_0H1 Z41 " ` 3 $ % M
^ T_GH1 Z 1 " ` ! / 3S6 $ % M^ [ ! /3]6[_0-_0;1 " ` 6 Z ` : _ /213`
b 7-^$*9 C Tq_0;1 -`1 " ` 3 6 #&()&%;e !#7(B&%) p $;D!#;T"$C 6 $7-Dx!7S C7 ? !#;, TA_GH1 Z 1 " ` 3[l_G-_0H1 " ` 6 Z ` _ /21 /`FD<2$8 ? x 6 $#)$%;EJ2)(!T% !#) 12 <TQ!) !< ? $;,d_ /21 /` ;N_ /213 c` !#$;27D- M +O)L> % 3 1> M +.[ - % 3 1
FD<2 #;N $<, );2$ 6 M 6 6 ")&%;K2 ;,, 1 4n&#L<2$^$+T$;e($C(< 6 K7;D! 2 6 j;,2));2$8);2)") $ ? 25B|;D! 1n; 6 #+27S cFD<2j$#$#$7-D J2 &ulj<,; 6 <2(GF<,n( 6 #<T"j$;S<2; $(! ;,FD<2 <, ? H) 9I( 6 #!#sJ, ") c G$#& J, C2$(! ;,FD<2 ?S6 #!#sJ, ) C G)\$FD<2) 2 p ;,$;,"<2$;D!# 6 #&$ ? (W#t,QI( 1 Pn-);!$ K!#$#7);, - i !#<, O <, ^$; 2 6 <,;!SR&Q! ;,FD<2x7-B|<2;,")&%;^$l!#)7 6 1 6 +27S 6 #&(8$ -> M + )[ -> % 3 1 ! 1 "#" 1 -> %$ 3 -_ 1 " ` % -> %$'& 3 -_ 1 " ` 1 "(" 1 -> M $ 3 ) _G ` : _ /21 /23&`Pn!#$7A;E_ /1h/3` FD<2:;GDA<H!#7 p $H q2 -C2+X:!#$#7);, (:"7- 6 (!*$6 +,$7 1D < 6 ;,7* $7U% FD<2 ) _0 ` $(!T% G";T";D! 2 ; $X;D!#C$T&Q! ;,FD<2 1r x$#$s_ /1h/3`u6 "&7:"7G$;i_ /1 >` 5);D!#<,")7:R$ 7G+2)9 ) +2$ W Z* 3+ ->% +]3 3 6 3, -. , -. % +0/21 3 3/435 3 6 .-6 376 .-
8+!#$;278$R()(!#7S ) ;,
z#U
W Z M + [L) 6 [L) W Z % 3 1 W Z* 3 +0/'1 ) 1 " 3 1 _ /1h//` W Z %$ 3 + /'1 -_ 1 " ` % W Z %$'& 3+ /'1 -l_ 1 " ` 1 "(" ;T :B|<2;,");,$ -_ 1 " `:? -_ 1 " ` 2+X;^"!7);, #;W #<,")&%;M _ /1h//`"15jA$(!#<,) G_ /1h//` <, 78$ 6 ;,K_0;1 " `? +,#9 7FD<2 W $5";TQ! ;D!#c s *$"! 3 [2) " +_/ pH? Z-$8";,Q! ;D!#s CC -s $"! 3Y6 [L) " + 1@k #) !<, )$%;W#7C<2&Q! -;^! ;M yq) 1T/21 T1b ;,Q!#<,)7: J, c G#<,")&%;E$7[%"!#) 7;D!# p ! R"7--GJ2)")78$;LR$ #-2
z=−η/2
w=η/2
C 2
C 1 C+1
C 2 z=−η/2w=η/2
u=0
F’
D’
x=0 x=l
E’− −
z=0
H’
G’
H
G
−
z=cte C
A Bw=f/2z=−f/2
+
E
D
F
u=0
C+1
C−
yq) 1,/21 -&"<, ")&%;Mx;,, 1 u7 6 \& 7 6 j -\;T G$;D!# 1 ?
% 7 W $j;,(! ;!!#$;27FD<2x$;E&# -\$;, GB|<2$ x:!#)&% ;2<25 b ? 45*y p #<,")&%;W$W 3 3/ ) _G 6 , [L) " ` 1 Z 3 :
N z c45;D!#Sl!T% ;2<,\5 b !#;,7jFD<2
W 3 3/ ) _0 6 , [L) " ` 1 Z,3Y6 3/ ) _0b+ , [2) " ` :5nJ2 x <2 7-);2$7-DGFD<2#<,"&5<, ;,2G$ 6 <,#G G c 6 #&d_093 =` 1 78FD<2$R)(!#<,#+2)SFD<2xD 6 !%' (!#) !#7);T 9 -_ 1 " `:? GFD<2
-_ 1 " ` 3 / W _ 1 " ` 3 ) _ 6 , [2) " ` :*Q!*9 v#:!# ;, 6 (! 5 s5 / ? ;2 2 FD<28; n)$%; p s#<,")&%;&
ZX_0H1 " ` 3Y6 3/ -l_ 1 6 [L) + " ` 3]6 3/ ) _ / 6F 6 , [L) " ` 1 W _GH1 " ` 3 :;E$!#)$% ;2<,45*yZ!;2$7-DFD<2
ZX_0;1 " ` 3S6 3/ ) _ / 6F 6 , [L) " ` 1 W _GH1 " ` 3 3/ ) _0 6 , [L) " ` :;- )&%; )\&F<,)$2 75 ( 6 )!#$,7)(7 6 "$# ? !;2$7-DuFD<2;S )&%;5 b 4
ZT_GH1 " ` 3Y6 3/ ) _0 + , [2) " ` 1 W _0;1 " ` 3 :q 7G+2)"%;L !#$%' (!#) 1/ J2 ;D!# C 6 #& ;93 -? !#7);T G$R9
-l_ 1 " ` 3]6 3/ ZX_ 1 " ` 3 ) _ , [2) " `? 2x$(! -$<, )$%;W#x()<2xFD<2k j W ; 1 &
W _GH1 " ` 3 3/ ) _ , [2) " 6F ` :;E$!#)$% ;2<,4 y2 -#<,)$%;E&
ZX_0;1 " ` 3]6 3/ ) _0b+ , [L) " ` 1 W _GH1 " ` 3 3/ ) _ , [2) " 6F ` :yq);, 7;D!#;M -#$)&%; 2 (<,)$%;E&
ZX_0;1 " ` 3S6 3/ ) _ / 6F 6 , [L) " ` 1 W _GH1 " ` 3 3/ ) _ , [2) " 6_ ` :@A 5#<,")&%;G;G A9 #) +2$q#));, $ 6 <2&:+!;2$#*7G<2!#) 6 ) ;,S_ W 1 Z `W6 #+ /'1 1P <2&2 n7s<2;G(IQ ")")5) wX FD<2: s(<T")&%;GFD<28J2$7q+!;2)s$q"B|& !)9 7$;!
z> <2;, #<,)$%;dL_ /21 /23&`"1 45C)<, R7S ;2$ #C(I( "7 QIQ$))S$;,";! j (<T")&%;x$(!# 6 +,$7 6 C!#)7 6 6 (!#$#)$ 1 !#G(IQ ")")$$;,";! * S#<,")&%;W 6 #+2$7S -> M + )[ -> % 3 1 0 1 "(" 1 -> %$ 3 ) _ " `> _ 1 " ` % -> %$'& 3 -_ 1 " ` 1 "(" 1 -> M $ 3 1;Tj xB|<2;,)$%; ) $*";,H), ? uB|<2;,);2$>q_ 1 " `v? -_ 1 " ` $(!T% ; 6 *!#7);T ( 1V b <j% & -);D!# 6 "! ")&%;Wx -#<,)$%;M]u;W$;2 p D()Q!7S 2x$"<T ");,$8x CB|#7S
>JM`+7> % 3 1 > _0;1 ` 3[l_G ` 1;T9>U&<2;U$"!# ? <,;, i7 !#)\Z_0F<,W7&) ;D!#M<2;, K!# ;,(B|7S )$%;e);2& j#6 <2&; 6 # W<2;OB|7S M) ;, ` p #- 7S ;N()(!#7S x()7[%"!#)"DnJ2) 6 +j%) 1 @k #& ! 3 1 " +/ p 3
+- p ;, 1 1 #;v9 $ 6 # 6 )Dv # 7S ;- !#$%' (!#) s2*#)Q!7S 1 u7 %!#dFD<2 $7 6 & 7 6 ^";,Q!#<,)c G(<T");2&6 <2+, (< <)(!#$;,") ? <,;2)), 1j iQI( U"7- <2; (IQ ")")e 6 ;2$E EJ2) 6 %!$#) 6 6 ) 2 x#+2 ) ? , C$*! ELDC <,7-$;D!# 1Rr W7S ? $x2"! $ ? <2;!# 9! 7)$;D!#-7U% j 9 ;2\& ? 7 6 "!#"B|$#)78 R$"!#8 8;,! 8L: Z >
!"$#&%!'(*) ,+.-/010
4n)"<!)7 J2 j$2()Q!7S 8$<, );2$ 6 ") $ FD<28$")+T$;G$2"7 6 #! 7-);LK!#xv$ 7 6 Dq"%$"!#) ? 7S ;:%"!) 6 H2<,") 6 u$ ? #);D!$ 1 @A &"<, K");2&5232d <2Q*$ (;d $#<27; ? B|#7G<2 ")&%;d<, ;D!) ! 9!#)D52G < 6 );,) EF<,( !#);2L;e$ p "#);D!#& ? #<,c);D!#$ ");,$ 1 (! c$"<T ");,$x;2O(L2$<,; 1u;i$"!#))2 p (;O$v$FD<2)9 ;D!# W E ? \PjVQ8!#;O$;i7&R% ;,)$ 1 5 ";D!);H<, ")&%;$")+2)7D $F<,7Y% 9!)$ 7;D!#8 <,;2 < 6 )7-$;D!#vFD<2);-); s ? &vF<,J2 ? B|#7G<2 7:;W!2%7-);2D:2s 8&"<, ");2&2d <2Q: 1u; 6 )7<2D $"27:FD<2xR$ 7 6 $"%& !#)"4G_65=1 " ` &<2;W$"!#jF<,2 6 ;,j 6 #))$%; ? $2!#)7 6 1 v<,;SJ2$ J2x< 6 $#)7;D! TFD<2j$2t,<9IQGX 7 6 c%& !#)" 9! *%&j-<2;, L#< 6 #wT")" 2 SFD<2-;,)$# S<2;T E$ .7 p $ 6 6 ");, A E) JT #D 1 (! s$u ? 2 <, 1 u;S ;!), & p #)98O$ x(< 6 $(wT)jFD<2j "! s x$ 7 ?;: R$"!#8;2#7S R 8 p !#$;27FD<2
$<4>= : ! 8 3 tT<9IQ ?4 -!# %$:?8.3 7
@ _ /1h/zD`
z? $")+,)$;N_ /1h/zD`
7 3 $
_0;1 " ` ! ;,
&8 $;,()2 W2$ p !;2$78<, ;,2-$ A7S -x -45)$;,") p FD<2
= 4 3 @ _ /21 /D`FD<2$8 < 6 $#)&%;E<, ;D!) ! 9!#)9 x - ? <, 1q 7G+2)"%;d&5<,;OJ2& J2W < 6 $#)7;D! qFD<2 sm%' ;,$ sGB|<2\$ W<2;i 7 6 E7S ;8%!#)"#;Y()7 6 ^"$# 2 1u ) $S$j& !#Sd 7 6 N7S ;8%"!) p jJ,$ J2Z ;D!)#< 6 #&# G7S 9!#$7Y% 9!#) 7;D!#x"7
= 3 5nJ2 6 78 -$(!#<,2) : 8 ? $FD<2x";D!# ;L -);D! )$%;Ex$ 7 6 D8"%$"!#)? 7S ;8%!#)"D 1 (! A ? $v ;!$ 2d <2Q*$H ;- 5 ? y, , ?s? s ? 25n7 6 $# 17 6 \& 7 6 j$ 2 : - ? 2cy, , ?1 (! G ? $#<27J2& J2 < 6 $#)7;D! xFD<2x#)Rlt,<IQ <2;^ 7 6 7 ;8%"!#)" G!# %$:<2;, & 6 ) Gx$ +2x 7G+2) -;$,!)$7 6 p $;L$ +25#5);,<T"s<2; ! 9IQsF<,5& 6 6 ");T ? #);2C";D!# )C $ 7C+,)C2Tt,<9IQ 1 @A c < 6 $#)&%; "<T ;D!#)! !#) Gn&Q! c ? _|$;L$X;,<, IQj7H2;2G5D$ !$ p $";2") 6 GyT 2 ?2` $
S3Y6 ! !#" 1 _ /21 /g`;, &u$, ! 9IQ$;S x& 6 ) ? $2t,<9IQG !# %$ 8 1 ")+2)$;,x S_ /21 /g`$;L!2%7);2D8xD 7 6 4 ? !#$;27
$4 =H3]6 !!@" $ < = : ! 81 _ /21 /#U`
;, $L e<2 ZFD<2dB|7 N Z& 6 ) 1 5# ;,Z k$7S Z !#$S$;_ /21 /#U`!;2$7-DFD<2 M +!4 3 _ /21 / c`FD<2$8 < 6 $#)&%;L7S !#7Y% !#) x G ? cy, 2 ?1r K%<2 !)7 )"<!)7j ? 5j7 6 CFD<2x$j < 6 #&()&%;M"<, ;D!#)! 9!)9 2RJ2& J2< 6 )7-$;D! X5FD<2s 6 <2;, C#);D!j"%$"!#)$ 6 *<,;L +2 p #B|#7S c<,;L 7 6 7S ;8%!#)"L $&S) J2M +,S"< ? W")<2 ")&%;d& 6 # 6 );, E W);!;,#)2 S"#)$;D!# 1 *Q! G#) !<, )$%;W#x7C<,$(!# C&#FD<2$7U% !#) 7-$;D!#;M -yq) 1,/21 g21b <, ;D!#)! !#)9 7;D!#x - ? 5n7 6 c#s< 6 #&# - &%'
$ = 3 ")<2 ")&%;W $&
3 Nx);D!#;T()2 Wc#);D!#3 N ,3 $<N!!= : ! 81
I
B B
B
B
C
I
yq) 1,/21 g;T !d&* c);D!#$;,()2 ")$;!nFD<2 6 6 8l 7G+2# 1 5# ;,C;H<2$9 7;D!#sk$7S - !# &8+!;2$7-D
3 !=: _ /1h/>D`@k 8 ? $2$"!#7S ;2"!)#7-;2)2 8 ;D!#&?2d <2Q:R(;2 =14 3 @ 1 _ Q` = 3 1 _ Q`,M + !4 3 1 _ Q` _ /1h/ D`
3 !=: _ ` 6 ;, +, FD<2v&Q! &"<, ");2& 6 k%' ;2$")+2)lB|$;j%7;,R$$"!#7S ;2"!)#7 1u;c$ )2 x n ? 5j7 6 $#*B|<2:;,;D!# , j,% 6 n#);D!#&R&Q! ");T ) u_ = !X3` );T 6 ;,2)$;!$x$ !#)7 6 pR6 E! ;D!#W;2MJ, ? ;2);2<2;, W \k%; 6 W(< 6 ;, 8% )2 x"<, ;, = !3 M? !. 7G+2) W;N!#)7 6 1q );N7G+, p <2 ;D!#S7G<, J2D ;2D8(s<, ;L&Q! :$<, );2$ ? 8$#<2! 2*+!;2)8;, 2 +, ;L";E$ < 6 K)7$;! 1 @A M)2$ ^$ 6 H$#^F<,S# 6 #&($;D! ;i $<, );2$S_ /1h/ D` _FD<2 J,$ J2M$ -7S ;, C;, !#<2 R2x#&( ` &jFD<2 !i!#$#7);, C! *%&*2_) ` x7S ;2
,3);,(! ;D!X% ;2& 1 @kC$ 7G+2)Dc ! 6 <,;e d#<Z$\L 7C+2)x$; FD<2L7-&) ;D!#i_|))) `6 <,;M 7G+2):;(4 1n;S <2 7;S7Y% "<,)2 #x7C<,$(!# xF<,C_|) `v? _|) ` #;S);,";,()(!#;D!$u;S x ? 2n";2K#9 ")&%; 25 #D
M + = !3 2p FD<2s# +T$7-D9 6 c#) !<, );2$: 6 ;T)$;D!#$:$!)$7 6 1 *Q! s);,;,#)Q!;,) s($+Tj FD<2x_|) ` ;2 2 = !X3 2p x"<, $v";,#$"<,;,) FD<2n G ? 5n7 6 x,%C 6 G")$;!$$(! );, ) 1 @k C \k%;E5%<H)!#G_ /1h/ ` $nF<,<, ;TS(x<, +T C ";T($#9 )$%;Ec$ C;2 (<, +T W_) `:? H)"$ 1y,<22d <2Q:vuFD<2S7) wXR%M W ? 2 5n7 6 $#d_) `s6 W($c";,()(!#;D!-;iD < K6 )7$;! 1 5 _) ` M ;, 2)$%i<2;U;D<,K!2%$#7);2 p FD<2^#8%<,; %$ 6 ;T# +, p #W$+k%' O 79H)7);D!#d2%"!O_0FD<2 J2 ? # +T$7-Dx;2d<)(!# ` 1Ar c ;, T%' W MKFD<2 6 W;!# C#)!#<, ");2& p !#7U%O$ K#);D!#E"7 6 # 6 );, * M % 7) B ;,i K ? 5n7 6 6 G!#$;2$;M<2;D! - -&# "#);D!#s;M CB|#7S
3 _ ! + @ 4M ` : _ /21 z`$7) !)7 ,$"!# ! +, 9IQx#));, 22d < Q: 33 _|$2) ! 6 459$ `q6 <2;, $"!#<2 G#+,#s$(!#D: #<27;D!#D 1 b ;O_ /21 z` :$<, );2$8$$ !#7S ;,"!#)#7-FD<2J2 ? ;277-*"<, ");2&8?2d <2Q:R(;2
=14 3 @ 1$_ Q` = 3 1&_ Q`
M + !4 3 1&_ Q` _ /21 z,3&`@ N 4 M 6 3S6 N !=1$_ `
FD<2C2+X;K&Q! s(< 6 $7-$;D! , 6 s";,)");2&j);2)) & ? CB|#;D!# 1 P <2$2 L J2 7n<2;-QIQ$))57(!# F<,:#) 4 ? 9!)(B ;E_))) ` ? _|) ` ? 7Y% 1 !L 9!)(B ; L&"<, ")&%;K2-;D!#);H<2), p ;D!;,$ 4 ? 9!)(B ;i <!7Y% 9!)$ 7;D!#W_|) ` ? _))) ` 1*Q!G;2D:7C<2&Q! -FD<2c2 ,
? !OFD<2x"<,7 6 $;W -$<, )$%;Ex";D!#);D<,)2 p $+T$7-D$#$s_))) ` ? _) ` 6 -"!7-);, D 7 6 1Pn!#$7:F<,-_) ` J, (! W_|) ` )7 6 ) ;L<2; 6 H$#C)B|;D!#$;L C;2$ ")&%; 4 ? FD<25l2 6 s_) ` J, (! L_|) `"1 =<2 7);, ;,2L_|) ` $7FD<25;E;, 3 ! ?FD<2:$(!#&(+, ;," 6 <,"8<2; 7C+2) 4MR$2FD<2 5#<G\ p96 q7&)xx_))) ` p6 #<T"<2;M 7C+2); 1P <2&2 x$ 6 +,$7 Cn< 7);, 6 8F<8%j u&"<, ");2&n_) ` K _) ` 2 ;S+2<,;2D$#<2! 2<, ;,2S $<, );2$8$ &(;e_|) ` K _) ` 1Tr )"<!)j&Q!S$(!#<,2) #$7-D;d2"! <2;M ( 6 (!)<2 FD<2! 7C+2)"%;E;2#H)X% 6 C)<,Q! 7S ;,QIQ S_|) ` K _|) ` 1b ;,()$#$7-D 6 <2&c 6 +27S ^L2"!#$#7);, C*$ 7 6 d"%$"!#) ? 7S ;8%!#)" 6 K<T") 6 <2;T -#);D!sFD<2c) "<2 -;W<2; 6 ;2S$D S"7-$Rx -yq) 1T/21 U,1 < 6 ;,7xFD<2 D_ " ` &x) B|$#$;D!#S"W;i LB| ;9I( F6
? ,% 6 "(" ,1 < 6 ;,7! 7C+2)%$;LFD<2
3 2p $8&"):FD<2s;2-J, ? ;T()2 Ls$ p? FD<2s 7 6 ,4 3 3 i#) " 3 21 4n$+2)E WFD<2C;2WJ, ? 6 $;,;T") ;`1 Z 6 $7-D+2<T#$ C<,;, K#<,")&%;e2O_|))) ` ? _) ` vFD<2W 6 ;,, K# 7;D!#W ? " 1 ;e$(!#W (
D/
J3(t) k
J3(t) k
J3(t) k
J3(t) k
ε/2
E
B
−ε/2
z
y
x
yq) 1,/21 U!#$;27:!7S ;T
4 3 _ 1 1 1 ` 1 3 _ 1 1 1 ` 1!#$;27FD<2x 8&"<, ");2&_ /1 z23` ;^"7 6 ;,;D!#&(;
3` 1% 3 1/` 1% 3 1zD` 1M 3 1H` M 6 % 3 1 _ /1 z/`g`
M + % 3 1UD` @ 1M 3 1c` @ N M 6 % 3 1>D` @ N M 6 % 3Y6 N _ " ` :
4n$+2) F<,K W)9 2 E"; #& 6 $"!#[ OZ ? .(; "$# 1 557Y% W +X7EF<,4 3 3 O; " 3 ,1 45 3&` pR/` pz`"p`UD` ;,<,)7FD<2 1 3 1 3 E6 " " _#
z(I( "7QIQ$))$J, ! $ ` 1 45 g`*?9c` 7DF<,
M M 3 @ %V% 1
_GH1 D` 3 M _GH1 D` 3]6 _GH1 D` 3 1
$+2)s s ";,)");2&q);2)") $ 19r D!7S s8<2;2)")2 6 5 5$<, )$%;G8;,2 75F<, 3 () " " 21 45G 7)(7S B|7 L$7-D5FD<2 3 % F<,$2 ;,E7(IQ ")")-7 6 +, :&Q! 1 @A 8$<, );2$_ /1 z/` ##&<,"$;^ M 6 % 3 1
@ M 6 % 3 6 _GH1 " ` 1 _ /21 zz` _0;1 D` 3
_0;1 ` 3 1FD<2$8<,;M#)Q!7S -J2) 6 +j%)";2SJ27v%;2$ 6 #&")- - ? G&Q!<,) D 15n;!$*n$#$n_ /21 zz` J, #$7v<2;T C 6 #d<)7 ")&%;-7C< ? 7 %<2;S;L7 !#$7U% !#) 6 ) K$ 2 1l -;,#) X% <2;, L$% 7-);, EG ;, J2E pT? E")$;!x!#! qFD<2-")<2 6 $ (7S ;D!#$;,X% Gw,;2)! 1 @RS ;D!#$#)8#x c!7S ;,2
_0;1 " ` 3 1 _ " ` 6
1 "
1
? WFD<2L;Z$(!# $ #^ ^$ ;D!#)2 i2L"#)$;D!#SFD<2L") "<2 W$ _ " ` 1 ;D!#;T"$ 6 $7-D$7 6 \$ : S($<2;,, C&"<, ")&%;N_ /1 zzD`*6 @ M 6 % 3 :
);M7G+, G GB|<2;,)$%; ;2 #X% G;D!#);H<, -;3 2p? FD<2);! ;,G!#;,7@ $
M ! 6 $ % ! 3Y6 $
_ " `@! ;1
x;,c#x()<2xFD<2@ N $
M ! 6 _ @/ 1 " ` + _ 6 @/ 1 " ` 3]6 N _ " `? !7S ;TRm%' 7-)!#x<, ;,2 @ 2p #< 6 ;2);T M ! p +!#$;,7FD<2
_ 1 " ` + _ / 1 " ` 3 N _ " ` :45x -7)(7S GB|7S G 6 )7 -$<, )$%;O_ /21 zz` ;2D2 _ 1 " ` + _ /1 " ` 3 :
# yq);, 7$;!x 8$<, );2$ 6 Gk$ 7 6 ? #;
M 6 % 3 1 Y 1 / M 6 % 3 1 Y 1 3 N @ #1 3 3 1 " 3 1 _ /1 zH`
_ 1 " ` 6 _ /1 " ` 3 1 "(" 1
_ 1 " ` 6 _ / 1 " ` 3 _ " ` 1 "(" :r 7s$#$-_ /1 zD` ) ;, )\$ ;,L W7S 9!#)\ ?K6 #$);,2M7W;Y_ /1 >`"1k );7G+, E$c;H$;2)$;D!#-)$;D!#)wT x x)$$");2& "!#$&%' (!#) 5)#& ! 7;D!#S $<, )$%;[_ /21 z#D` 1Xr S$(!#W(<,7 7 ? $(! 7j 5$<, );2$G_FD<2-$5$FD<2)9 ;D!#- 7C<2!#) 6 )$ 6 7 `8? 7 ;, 3 ? 3 p +!#$;27DF<,
_ /21 " + ` _ ]6 ` 3 _ /21 " 6 ` _ + ` 3 _ ` 3 1 " 3 1 _ /1 zg`_ ` _ 1 " ` 6U_ ` _ / 1 " ` 3 _ " ` 1 "(" :
4nc "<2$2-;N_ /1 zg` 7D8;W 6 ;,M_GH1 " ` Syq) 1,/21 FD<2 6 3 " @: -S #G?93 " +B/21 + 3 " @: G #-2?3Y6 " +B-J:
u;Z Kyq) 1v/1 7DCFD<2L$;e ^#$)&%;e ^ K2$ J, ^ 3 " ? ^ d)\$FD<2) 2 d23S6 " p S3 3 -? FD<2x j$ "!#%' Q!)$ * C! *%&8x$# 6 <,;!8$9 ;MR9 );,)) T"$# 1 b ;,"<2)7-D 6 <,$:F<,jD$ 7 6 Du$"%& !#)"D ? 7 ;8%"!#)"Dv( 6 6 ;";$")2 3 @ 1 b "<27s J, S 9 - W(<T")&%;d$; 1 5! *%&n6 G S$ !%' Q!)$ / p ";E "<T + 3 ; _GH1 " ` 3: _ /1 z#UD`
A 7C+2)%$; 6 j s "!#$&%' (!#) ? 55 #5: 5#u!)$;2F<,X6 & ";TQ! ;D!# 14nc FD<k%' FD<2 _ ]6 ` _GH1 " ` 3_ 6 ` _ 1 " 6 ` : _ /1 z c`
PjDB ! E <2 Y6 SL G S$"! \3 21Tr &Q! <, 7n #$ ")&%;FD<2C;2D5, )#;D!#);H<2), dY6 ;a_3 21 4n- Eyq) 1l/21 c 75FD<2G<, ;,2 ,p ]6 3 ,p c;T+!;2$7-DFD<2_ ]6 ` _ 1 ` 3Y6 N _ ` :
Dg
+E cB = 0+E cB = 0 x=−ct+ η
ξx=ct+
C−
x=ct
C+
P=(x,t)
(0,t−x/c)t
xyA) 1X/1 c5# ;,$(! -$<, )$%;E $%' 7 8$"<T ");,$_ /21 z@U`*? _ /1 z c`"p +!;2$7
_ + ` _0;1 " ` 3 1 _ 6 ` _0H1 " ` 3Y6 N _ " 6 ` :
x;,c#;,<2;D!# FD<2 _0;1 " ` 3S6 / _ " 6
` 1 L_0;1 " ` 3 / _ " 6
` : _ /21 z>`
;LB|#7S ()7) x_0F<,$2 S7QIQ ")")-R) wT$ ` !;2$7FD<2 6 , UL_0H1 " ` 3]6 N/ _ " +
` 1 L_GH1 " ` 3Y6 N/ _ " +
` : _ /21 z `
@A &"<, ");2&c_ /21 z>`:? _ /1 zD` # 6 $#;D! ;E;,2 nF<,C( 6 # 6 D ;M";^")2 3 @ NdJT ") i [$ J, ? J, ) N N)\&FD<2)$, N#& 6 $"!#) 7;D!# 1 (! S(;U ;,2 $& !#7S ;8%!#) sFD<2E(;Z 6 $2)$")&%;e C$<, );2$c2.2d <2Q: ? <2;2K2 D&#<2+2)7);D!#Dj7Y% 5 ;T$5 () 6 1 Pd%!#&(-F<,C;K<2; 6 <,;! wIQ4 p 3 3 JT (! KFD<2 " 3 p !#)7 6 NFD<2E! 2 ^$;[$ C 6 )7-$ K(;, 1 *Q!K;2D7G<2$(!# LFD<2 7 6 s;2M# 6 #<,;O);,(! ;D!T% ;,$ 7$;! p #);2MFD<2H) I( ;K;i<2;, H), SwT;2) ! 1 -QI( W"7 <2;K(IQ ")")L$A$#$j n&"<, ");2&52&2d < Q: "<, ;,E#c!)$;2-<2;, 6 #&^;F 3 (1 ) #< 6 ;2$7 L 6 $O";T<, ! p !#$;27FD<2 3 $;.3 (1
@U @k 8$"<T ");,$ 6 #&(#;2
M 6 % 3 1 6 O 1 & 1 " Y 1 M 6 % 3 1 6 O 1 & 1 " Y 1
S3 3 1 " 3 1 _ 1 " ` 6 _ / 1 " ` 3 1 "#" 1L_ 1 " ` 6 L_ / 1 " ` 3 _ " ` 1 "(" :
< 6 ;2);T FD<2 _ " ` !#);2x GB|7S
t
j(t)
yq) 1,/21 >4n)"<! d; "! WDC$ 7 6 D 6 Q1 r W!#$#7);, G$(! K#$$")&%;Z$ 7DR%7-O c&"<, ");2&E_) ` K _) ` (;e<2;, O 6 d<)7S )$%;Z [_|) ` K _|) ` v;e$($;!)2OFD<2L (<T");2&xd_|) ` K _) ` A# 6 $;N E C(<,);2$O_|) ` K _|) `s6 W)$(!9 $x2_0;1 " ` 1 78_ /21 z>` F<,s<, ;,2 % " _|$:&") W$(!T% -"$$ c$+IQ!#C$7)# `v6 7 6 d<)7S s_ /1 z>`*6 j#<^($#)s2 A ? 8;M CB|#7S
3 N/ _ " ` + 3 1 3 6 N/ _ " ` + N/ _ " ` + 3 : _ /1 D`
+,#7DAFD<2c_ /1 ` #;(<T");2&vc_|) ` K _|) ` 6 6 ) 2 q $(! #) !<, )$%; 1 v&") p(<T");2&:2 M 6 % 3 1 % 3 1
_ 1 " ` 6 _ / 1 " ` 3 1 L_ 1 " ` 6E_ / 1 " ` 3 N _ " ` :u;ER (b " _FD<2$*B|$<2;D!# ? GFD<2 &: ;, 6 ($8 G$")2 L C<2\ ` u&"<, ");2&n_|) ` K _|) `u6 #9;S<,;, c+2<,;, G$") 6 ")&%; 2TB|;j%7-$;2 1 u; 6 #!#)"<2 p 2
c_ /1 ` 7DGFD<2 ? <2 #; 6 #<,)2c);,(! ;!X% ;2& 7;D! 1v ); 7G+, p &"<, ");2&G_) ` K _) ` ;2 6 <2&;N$")+2)$ B|;j%7-$;2M 6 # 6 D )$%; 6 Z ;T " 1 j$#<2 ! X% dW);D!2%$ 6 ^:$ !"7 6 c&Q! K)#<,#)$%;[";e O 1$l)+2 #@k$"!#<2$*; r J ? #) cy2 ? ;27S ;2; g ;,(s)#<!#s$(!# 6 +27S C; #<27;D!#DuB(%' #) 1
>
"!$# %&
(' ) %+*-, #.' ! "/.#&%10 ?032& (%!#&546, #+7(0$98 :*.; 4("1 # @A x&"<, ");2&xm%' 6 !#) c$")+T$;N#)!#<, ");2&CFD<2 ;2d$ 7G+2) ;Z;Z$u!#)7 6 p ^+2);#) !<, );2$CF<,L(;Z;[)$(! WB|7S 6 $#)&%2)$ ? "< ? d 6 $;,;T") M!#$7 6 6 <2&$)7);, #x$<,)"%;,D(c <2; 6 +27S &Q!X% 9!#)" 1 5 6 $;^;^9 #)5 7 6 j2G 6 ) K$ ")&%; p? ;,#!#v2)"<!)7Du <2;, 6 +,$7 !%' 6 )"Dv;S$ Q!)), p 7&R% ;,)$ xt,<,)D ? $"!#(!T% !#) 1 ;E&Q! (&")&%;M)#<!#)7 <2;2 6 +,$7 :!#) 6 1<>=@?A=B?A= CEDFHGADIKJLNMPO9Q F M GSR Q RUT9VWG M G QYX JG[Z]\WIBDG Q^MPQY_ F9I X I`TVaI LA7S 7DS<2;, [7-$7C+2 ;T Z&% (!#) e; <,;, ZB|<2$#\& eO#&Q!) !<,")&%;cb 6 E<2;2)2 ;2) !<, 1 PjE);!$ e +XEFD<8%^B|7S e 6 ! e Z7$7C+2 ;, e+, 9IQ[#< 6 6 ) 6 $#<, ;,2#;,<2;D! p &%' )2 7-$;D!#5#<9IQ! ;^#<E+X p G 6 #))$%;W&F<,))+,#) 1yq) I( 7Gj#)(!#$7S K^"H$;, , x! "7O#E7G<2$(!# d$; ^w,<2 pq? ;,! 76 ed E#$)&%;OFD<2"< 6 L W77C+, ;, L<, ;,2M#+,#G W;2M "!l%<, W;2);2<,;, B|<,\$ $+2)^ 6 $# 1Rr s!#M p #$ d $u+T2- W77C+, ;, p? 2;2!#7D! 7C+2)"%;6 Z,3> _0;1 ` CB|7S GFD<2s C77G+2 ;, c!#7S -"<, ;,(B|7 C+, 9IQ- G ")&%;E#< 6 # 6 ) 6 $# 1 $ Syq) 12z2131@k 5)& n& +!;2$ <2;, s$<, )$%;GFD<28;2 ) 5 nB|#7S s8 577G+2 ;, sF<,82"!#$#7);, C CB|<2;,)$%; > _0H1 ` <, ;,2G B|<2\$ *2n!;,#)$%;O_0F<,s#5 6 ;2;E C G2"B|7S )$%; L7$7C+2 ;, `? $ 6 &(N_FD<2SB|7 ` p $(!T% ;K$;O&F<,))+,#) 1 P <2$, E7E(IQ ")")L$<!))\$ ($<2;T2 - ? PjVQ8!#; 6 C+!#$;2 -$"<T ")&%; 6 ,>q_GH1 `"1Pn#!#j+!;,7Dj $<, )$%; 6 \>i<!))\& ;,2L 6 );T") 6 )WC7^%' ;2)7S ;,T%' p$A"<T k;,s)CFD<2 #<2;d#)(!#$7 7-&R% ;2)L#c;,<2;D! S$;K#< 6 D()")&%;dG$FD<2))+2) p<, ;,25#<C;,T%' j";w,<2 ")&%; _ 6 !;,) ` $q7^%' ;2)7 1 4n$+T$7 6 <2&A$;,";D!# <2;T G< 6 #&()&%; 6 - -$;2T%' C2x -77G+2 ;, -;E!2%$#7);28c#<EB|7 b> _0;1 ` 1;U;H<2&Q!#D (D N$;2X%' NK;wT<2 )$%;e!#);,K 6 #!#& 1 j;, Z&S N&% (!#)
g
Ω
g
Ω
z
x
y
+,)i *!# +, IQd$ )\$ 2 6 G ^B|<2$#\& b 1 G<2;, KJ2) 6 %!#&()-F<,E#E$+TW$#)wT < 6 )7;D! 7-$;D!# p FD<2x -;2$#X%' c&% (!#) -&Q!X% -, 2 6 u;,T%' c$$% Q!)$ %5n#& -2s -77C+, ;, ();W2"B|7S 3bC_ %5j$ 7-$7C+2 ;T GB|7S 2 K %5j$ #);MB|7 ` %5j$ #);MB|7 :u;E!2%$#7);28x GB|<2;,)$%;>M!;2$7jFD<2u;2$#X%' C&% (!#) %5j$ #);M"B|#7S 3 b C _ 3 +B> % +.> ` 6 3E : _ z,13`@k $;2T%' 6 !#$;,") A D)! ");, 6 j<2;2)2 ^2e% $ $+2)2L S $, p &j$) 6 $#W- L77G+2 ;, p &
[ >Z;,
$s E7S L- L77G+2 ;, 6 5<2;,)2 O2% $ 1 @k S$;2T%' C!#! q(c+!#);,C(<,7 ;,d_ z213&`8? _ ` C);D!#$ ;,2 1 b ;^L ;!)+!;2$7FD<2
_0> ` 3 $ b C _ 3 +.> % +.> ` 6 3#E +
[ > ! ! `: _ z,1 /`
5 6 ) 7D 6 <,$q 6 );T") 6 )s:7^%' ;2)7S j$;2T%' -_ z21h/`"1&r j+!;2$A >FD<2:7-);2)7)\& E2) J, E$<, )$%; p ;,;D!# 7D 6 )7$#W<2;, M";,)")&%;O;2$$ ) 6 LFD<2EJ, p?^6 DQ!)#7$;! 6 #+, 7n;N <2;,s #5m%' 7)!#&s2M_ z21h/` FD<2GB|$"!#) 7;D!# 7);2)7)\& 1r i+!;2$ [";T))$%;Y;2$$ ) N&(& 2 N+,($#9 7-DSFD<2K#)> 7);2)7)\& e p;D!#;,"&8 GB|<2;T")&%; . _ " ` 3 L_0>J + " ) `;T )S&u<2;T B|<2;,)$%;SwI( ! lF<, ) 3 ; d ? " <2; 6 X% 7"!# p ;2\$ <2;L7^%' ;2)7"7--B|<2;T")&%;^ " $; " 3 21 *Q!G&j")#!# 6 C!#2 ) p ! kFD<2 ) 3 ; d 1 4nx&Q! +,#9 )$%;d!#$;27D p u)<, uFD<2$;Nk% "<2 p FD<2S<,;, M";T))$%;O;,$"&# #) 6 MF<,> 7);2)7)"c ^_ z21h/` $FD<2
. _ D` 3 )H1 ! kFD<2 ) 3 $; d: _ z,1 zD`
b H g3RR% "<,SS_ z,1 zD` (x(I( "7<2;MQIQ$)) p x7S ;2$ -FD<2x+2!#;,7
. _ ` 3 $ bC_ 3 +B> +B> ` / ,> = b)b+
[L) ! ! J: _ z21 D`
*";H;,)$;!j! ;,QB|#7S n_ z,1 H` );! ;, 6 6 #!#&u$ 6 #)7*!2%$#7);2c+2!#;,)$;, $%' . _ ` 3 $
6 =_ 3 +.> % +B> ` / b >J+
[ `) ! ! \3 : _ z21hg`
b 7-W_ z,1 g` &* 6 b) 3 ,p $!#CB !*!#);2FD<2($! 7C+,)"%$;L"$# 1 45x FD<k%' FD<2 -$"<T ")&%; 6 ,> & b C _ 3 + > % +.> ` / > % E % + C _ 3 +.> % +B> ` / > E 3
[ % _0H1 ` d1
> 3 1 _0H1 ` d: _ z21 U`@A E&"<, ")&%;U_ z21 U` &<2;, M&"<, ")&%;i;2M);2$ u"7 6 ) 2 ?K6 x7-7;D!#^$+T$7-D;B|#7S ;2D";E C7;2D8 7C+,))D( 1 j;M (-);D!2%$*$8"<T ;,G 6 $;,);D!#&G 7-$7C+2 ;T \> % ? > #; 6 $FD<2;T p &Q!E 6 $;,X% $A+T ;,C;D!#c jB|<2\$ $$% Q!)$ p $ 6 $#2x -77G+2 ;, p &%' 7S(<M)7;,#)$%;^ "!#$&%' (!#) 1 4nc FD<k%' FD<2<2;T $#)&%;^()7 6 ) wT$ 2 EE_ z21 U` $-_& 6 $) ;, j!2%$#7);2> % ? > ` S&"<, ")&%;);,$
> %V% +B> 3 [b 1 d1 _ z21 c`
> 3 1 d:*Q! < 6 $#)$%;N_ z21 c` #c 7S S&"<, ")&%;^ r )#; 1 +T($#9 7DF<,L_ z,1 c` ;2n)FD<2x ";T H), W?>^$JT ") #)+, p <, &Q!X% Sc <2 S";E;H<2&Q! -);!<2)")&%;? < 6 $#);,) 1&(7n J2 <2;O # & 6 $) AW_ z21 c`"p $A$ #L"<, ;, df&n<,;K%' "<2 C 2) 1 u;W$(! S#)!#<, ")&%;W$";H;,)$;!5<T# j"H ;T 2 6 $ ? &##)+2)3
_ >J ` + 3
> 73 [b 1 1 Y/ 1
> _ 1 ` 3 1 ./ :45+2)L S#)7"!%' S$ 6 +,$7 6 7n+2<, n(<T");2&F<,c;2L 6 $;,$;d ? +!#$;2j &%' > _ 1 ` 3 [ b _ 6 ` _ z21 >`FD<2O$ e&"<, ")&%; O<2; 6 +T)2 1 *LO);D!2%$L <2 7);, L<j% ;T[ e#<,")&%;_ z21 >` &*;,#)(!#$;D!#n;S cJ2) 6 %!$#)*n);2$ )\$ ")&%; 1 4n) J, C;,#)Q!;,) c2 6 ;,sn &Q!)7S )$%; 7Y% < > 3 [ / b @ :
g/ b <, ;T @ 3 "B|& !)9 7$;!x S#<,)$%;W&j";,#)(!#$;!c";W J2) 6 %!$#)nc<2;, -!&%' );2& 1 v();2)wT$ W @ &s $ 6 $ 1 PjD52)FD<2 6 L7-$7C+2 ;T n2-<,;K )wIQ p 6 $;,);D!#5$ 6 $FD<2;, c"<T ;,C B|<2\$ v&% (!#) u#;S ;T$v7 6 , v"; 6 $#S 7$7C+2 ;, p ) 1 1 &)B(%' )A"B|#7S 8<2;T G7$7C+2 ;, 6 $FD<2;, 1@k W$<, )$%;U_ z21 >` ;2D 6 #<,+, W M <)(!#$;,") M #<,");2& 6 O_ z21 c` $;i<,;N$ # 6 K!#)"<2 1 @A 6 #<,+, 2x <)(!#$;,") S$;M$ #7Y% $;2 $8&+IQ!#L2x!# 6 #!#&j"<2 # 1 @kWFD<2-() 6 75J, "s$ 6 +, n <2;,))2 K#<,");2&nM_ z,1 c` <, ;,2> _ d ` ;,2 d $<2;T G)$%;EFD<2c;D!#);2x d d 12r c&Q!S+, (! G$jF<, %<2;,)$ S(<,)$%; > _ d ` $ 6 +27S
> 3 d1> 3 d1 _ z,1 D`
$>J 3 ,1(!#J2& J2$";,#$"<,;,) -);27$) 9! -2!7S -s; ? FD<2
$ >J ! ! +
$ > D_ >J ` ! ! \3 $
=D_0>J ,> ` ! ! \3 $ >J
> ! 3 ? "7b> 9!#)(B "_ z,1 D` !#$;27
$ >J ! ! \3 1 >J73 d1
x;T?> 3 21 $#$7-D J2 -FD<2 #<,")&%;M _ z21 c` p #)$FD<2x -J, ? $; _ d ` p"B|& !#)9 7;D!s7);2)7-)\$ G -$;2T%' 6 !;,) l#& 6 ;T)$;D!#5FD<2$;E&Q!$ #C&8<2;$ - 6 #)7 $;W _ z21h/` _G> ` 3 $
b / _G> % +B> ` +
[ > ! ! `: _ z213$D`
r -7-DQ! nFD<2 _G> ` $n7^%' ;,)7L _0> ` $;^ ( _ d ` 2xB|<2;,);2$5F<,C(;"$#-; d p +, (! $ "<2 L_0>J + ) ` 3 $
b / _0>J % +B> ` +
[ > ! ! +
$ b7> % ) % + b7> ) + +
[L) ! ! + $
b / ) ! ! L_0> ` _ z2133`
6 G!#2 ) _ d ` p ";X)3 $; d ? SFD<2x$k#<,;,-!2%$#7);2S _ z,133&` &j"$# p6 FD<2& 6 $) 7;D! . _ ` ? # !#)QB " $"<T ")&%; r )#;G &%' "7 x";T))$%;sB|#;D!# 1 (!#$#<2! 2CJ, #) 6 +, -+, 9IQ";,)");2&*7G< ? $(!#)"!#)9 ? 6 #& )(! 1v );[$7C+, # p ( 7-$;D!#E# 6 #!#$;,)&%O)<TQ! - i()!#<, ")&%;[2W<,;, K7S ;2 ()7 6 1 b ;,)");2&*7Y% 6 $") ? $ )Q! 8(c2)"<!)X% ;W;W! 6 #!#&8k<2 ( 1
b H gz<>=@?A=>= CEDFHGADI LNM9Q Z QYX J \ I@DGAZ QYM R Q D JG M IBDG O9Q F9I OHL Z < 6 ;2 7-Dn<,;Kt,<,)^FD<2$(!T% E79H)"%$;,D(G;O!#$)7-$;,#);2$ ? < ? W79D)7)$;D!#&8$(! );, ) 1 j2$") p ;^ 2 6 <2;D!#5Z$R$ 6 ") p ")2 _65 ` $j 7)(7S <, ;!n!l!#)7 6 1 ;E&Q!x #-<2;, 6 #!%' <2 GRt,<2)S# !#)QB "s 8$"<T ");,$
5u_ " ` 3_ 5u_ " `(`? #<G!# ? $"!##) n#8 7S sm%' ;2& 52*tT<9IQ 1 45$#$ 7q;,;D!# &"<, ");2&qFD<28;2D 6 $#7) K! ;-;,;D!# v $"!#M$;#)!#<, ");2&v);D!2%$ 1 j;, &Q! v#) !<, );2$ &v"<, ;,$lt,<2)S;2-!#);2x7);2 p ;,2))$%;WFD<2x#x < 6 $ 6
_3 H: _ z,13/`557Y% nL_ z,13/` ;,$"&()! 7 $<, )$%;M2C";,($#9 ")&%;MC 7S 1 %*Q! S+!#K;2$7j;,#)2 ;,S<,;, #< 6 $(wX")x!#<2+,<2 ,8 1 B|7S 2 6 5=%' ;2& jct,<9IQ ? ! 2 $; (<, <H!#7D 6 8 ? 8 1D < 6 ;2 7u 7Y% F<,n;S$,);D!#)$,!<2+XcJ, ? <2;, #< 6 #wT") 8 6 q sFD<2:;D!# j# t,<2)";G<2;, 5$")2 _3 F<,*&k<2;T jB|<2;T")&%;2 2 1 ;M<2;, ()!#<T ")&%;M&Q! ");T ) p S ;!), Wxt,<2)SFD<2x;D! R!#<2+X -!# %$ 8
? 8 x& -7)(7S SFD<2c 6 ,8 p2? F<, 6 8 1 ;2S$;! -;2)A# t,<,) 2+2) FD<2 = : 3 $; 8 1 p ;,2 : $ -;27S R 8 1 1 n ");,2SR+, ;,"+!#$;27 p #)
&8 S$;,#)2 E2t,<,) p FD<26 $< (= : ! 3 7S -25tT<2)2 F<,x;D!# 6 8
; 3 ($<2;,2L1
$<
(= : ! 3 7S -25tT<2)2 F<,x;D!# 6 8 ; 3 ($<2;,2L1$<
/= : ! 3 7 # st,<,) FD<2$;! 6 8 $; 3 #<2;,41x;,
6 $< (= : ! + $
< = : ! 3 $
< (= : ! + $
< (= : ! :
5# ;,l!7S S)$;,") c+!#$;27FD<2 =_ ` 3 =_
`
? "7 $8;2")2 p? GFD<2j!)$;2sFD<25$:; c);D!#;T()2 L5 xB|<,;D!# p !;,2#$7-DFD<2x"7 % #)_3 p ;D!;,$d 9!)(B =_ ` 3 ) _ z,13&z`
;, sB|<2;,)$%; ) &v );D!#$;,()2 -2j sB|<,;D!#C_c(<,7-)$# ` F<,j$v<,;, sB|<2;,)$%; ";,K)2 1 @k 5$<, )$%;W_ z213$z` $+Tj#< 6 7;D! (8";-;,)");,$ 8B|;D!#$ 19 < 6 ;2 7
g FD<2 $C 6 !;,) :2 ;[<2;Nt,<2)K;,dH)"D( 1 u;Z$(!#W (d#L +XLFD<2L#+2<2;, -(< 6 $(wT)s%' ), *m%' ;2$ 5t,<9IQS#; 6 G p x FD<k%' F<,s#+2 6 $&%' )2 ";,)")&%;M 6 6 ) , C& = : 3.= : 3
3 21u; u<H!#7), &vj<2;!<2+T-+Xj& 6 $) wT$ (8$2t,<9IQ p &&")u$ 6 wT")
1r QIQ$7 6 p kt,<9IQS$(! ");, #)-;^<2;M!<2+T dfFD<2&2 S"7 6 ! 7$;!x$ 6 &")wT 6 j (<T")&%;M &"<, ")&%;_ % ` % + _
` + _
J^ ` ^ 3 d1
3 1 6 $E&%' )2 1
3 ) 1 1 <H!#7);,)) kl!<2+X 1 _ z213H`
3 )1 <H!#7-w,;, kl!<2+X :
u;d$q$ #EG<2;, E;,#)2 d;,(! ;D!# p K_ z,131 /` &n &"<, ")&%;d- L77C+, ;, ";3 2p <2 6 !FD<2x F<A%' ";,)");2&:2B|#;! G#;M)Q!);D! 1 !# Z()!#<T ")&%; 2d7C<, J,e);D!2%$ 2;,O 6 #&";Y S&"<, ");2& $=%' 6 !)$ p $L;. 6 d<)7S ")&%; - :$"<T ");,$:2d <2Q: 1 u;W$"!#(!T% !#) C<, ;T34 M 3 M 3 p $$) p D*$ 7 6 *;2-2 6 ;,$;W2X!#)7 6 % !#$;27D:FD<25 :$"<T ");,$:,2K <2Q*$l##&<,;M
= 4 3 @ 1 = 3 1 ;4 3 1 3 N !=1
(< 6 $7;D! 2 6 5;,)");,$sCB|;D! L 6 # 6 ) 2 1 +T%$#$#cFD<2G$;K$ $ #$(!T% !#)" 8$<, );2$ 6 34 ? 6 #;W);T 6 ;,2)$;!$ 1 < 6 ;2D 7FD<2cFD<2$#$78"!7);, k$ 7 6 S"%$"!#)G$;W<,;, #$)&%;W"7 SF<,(Gc$;d Lyq) 1Xz,1 /21 2;,C E(< 6 #wT)8Y$s";,<,"!# 1 u;d&(- #.4= : 3 21 @k $<, );2$8FD<2c!#7);T ;M 34 (; = 4 3 @ 1 !4 3 H14>= : 3 8=:b 7 !4 3 p !;2$7-DjFD<24 3 p2? K 9!)(B 5$ 6 +27S ?Pj$<27S ;2;
3 @ 1 $;!# 1
3 1 ; 1FD<2n&<2;T C&"<, ")&%;Sm%' 6 !#) C)<, X c Cs c77G+2 ;, cFD<2s)"<2!#)7-D8 6 #);,) 6 )G2$(! #$)$%; 1
Y , H gg
E (x)
n
S
ρ (x)
yA) 1Tz21h/ .#&0 !"$#&%! ?0323 (%!# 46, #+7(0$98 0 .; 4 * "1 # 4 # ,
4! , "/.#&% '( , "$e7(0$<>= >=B?A= V L T X`Q R GAZ O9Q I`VaI@D XBQ \b 7- 6 #)75QIQ7 6 E;,#) 7j 6 +27S -4n)) J2"! 6 S<2;O)"WC 2) p 3
_ > ` + 3
> 3 1 1 ./ 1 _ z,13g`
>q_ 1 ` 3 ) _ ` % ) _ ` 3 ) _ /k` 1 ./ :@A )$ L$5#&<,")_ z213&g` <,; 6 +27S EC&"<, ");2&5)B|;T") $j2);, #) 1Tr s&Q!^+,#9 7FD<2 > _ 1 ` & 6 $#)&%2)$ ^"7WB|<2;,)$%;e pA6 c$(!#S7!#)6 <,$x&# # #n$;W#)2cy2<,#)x GB|7 > _ 1 ` 3 D_ ` +
$ 1
_ ` ($; +
_ ` "D 1 _ z,13(U`;,
D_ ` 3 3/ $ > _ 1 / ` ! /21
_ ` 3 3$ >q_ 1 / ` #; N/ ! /21
_ ` 3 3$ >q_ 1 / ` N/ ! /2: _ z,13 c`
;E_ z,13(U` D "H"wT)$;D!#$ #;CB|<2;,");,$v8<2;, s# n9 ) +2*FD<28$ 6 7q"!7);, 6 #!#)v* 5$"<T ")&%; 6 ") ? 5;,)")&%;-*B|#;! 19 <,(!#)!#< ? ;,2-_ z213VU` ;W_ z,13g`+!#$;273_ &` 3 1 3
_
$` 6
3 1 3_
$` 6
3 : _ z,13&>`
gU @k ";,)")&%;MB|;D!#$ ? kJ2$ J2SFD<2) _ ` 3[ +
$ 1 )
_ ` #; +.[
_ ` ;2, -;,2));2$B|;D! 6 W_ z,13&>` ;M GB|7
_ ` 3[#1
_ ` 3 )
1
_ ` 3[
: _ z213D`j;, ;,)")&%;M 2));, RFD<2x)7 6 ;27#+,#s -B|<,;,")&%;>d$FD<2x#$ ! 2 1@k ^&"<, ")&%; 6 L!#);2 6 G#<,");2& 93 " : ? X3 ; 1vr W 9!)(B c ";,)");2&5CB|#;D!# ? -<, #)2 p !#$;27D5FD<2 ,3][ 1 @A 5$<, );2$ 6
?
#;W$<, );2$8c<2$j GB|#7S
+
6
3 1";N#<,);2$ 1 / 1 b 7^$#$ 7x#<,");2&#$<2 $ 6
?
!#$;27FD<2
3 )
%
3 [
: _ z21h/D`!))\& ;,2M_ z21h/D` !;2$7<2;T -#<,)$%;LB|#7S
>q_ 1 ` 3 [ + $ 1 )
#; + [
: _ z21h/3`r -)wT nFD<2E_ z21h/3&` $jB|$"!#) 7;D!#G<2;, L#<,)$%;dE_ z213&g` J, ? FD<2 6 #&")# jFD<2x(x$;!)$;, 6 <2;T -#<,)$%;WS_ z213&g`"1r s<2;, W(<T")&%;K^_ z213&g` ;D!;,$#$75<2;, LB|<2;,")&%;F> _ 1 ` 2s&"$s)B|;,) +26 p ";D!);H<, 6 ! kFD<2
> 3 1 ./ 1> _ 1 ` 3 ) _ ` 1 ./ :
n ? !#Dn";," 6 !#Dj-(<,)$%; % 6 sQIQ$7 6 6 $7n2$")F<,>O&n#<,")&%;d2C _ z,13g` p ()>i$n25$$5)9 +2 6 ? m%' 7
>q_ 1 ` 3 ) _ ` ();K# >K;2&" K# #) 7$;!n";D!#);D<T 6 3 12 <T");2&*s$(!#5!#) 6 -#n 7S ;E#<,);2$*"&% #)$ 1b 7;D!#R!#) 6 L2c(<,)$%;E+,<,#$ 2 6 $;,c7G<, J2 $k2 !# ) _ ` 1 Pn#!#D 6 ##K+, 7Dv FD<k%' FD<2n<, ;,2s$,2 !# ) _ ` $u2 &"&v";D!);H<, 7-$;D!#j$#)9 +2 ?C6 )$%D) K" p % ? #<,c2)9 , p ;D!#;,"&> _ 1 `6 9$S<2;, d#<,")&%;Z$% () ^L e_ z213&g` F<,$S;D!#);H<, iJ, (! i KB|;D! 1 u; _ z,1 /23&` $7-DF<,^ N)B|;,) +2))2 UM Z($#) 6 ;TW2E d 6 )$\L";[ K"<T :DGDwT");D!$ )
? [
$$ $;[ K 1 Pj#!#D6 +, #$7-D5FD<2S<, ;,2 ) 1 / u? $ 6 )$%D) p M($#)-;H$#G-! B|7S FD<2 6 $#7)!#j#<2)9 )$%;c!2%7);2x 5!2%7-);2 6 ? 2"w,;28<2;T sB|<2;,")&%;S;D!#);H<, 6 1
Y , H g@cr 6 +, x ^;H$#;,) Wd_ z,1 /23&` ;2&"&()! 7-D$(!#)7S ccH"wT)$;!$ )
? [
1A7S 7D 6 (IQ7 6 )
3 3$ ) _0/ ` #); N/ ! /3Y6 3
N/
) _G/ ` + 3
$ " N/ ) _0/ ` ! /
3 3
$ "D N/ ) _G/ ` ! / 3Y6 3
$ ) _0/ ` (); N/ ! /
x;, )
7Y% d< )
3
:
5n;j% D 7;D!#[
3 3$ ) _ ` "D N/ ! /21 [
:
r 6 +, RFD<25_ z21h/3&` &kDR$"&R$#)9 +2 6 $", 7FD<2u<,;, j";,)")&%;#<wT)$;! 6 CF<,n c) 2 C2n<2;, G($#)j<2;,) B|#77$;!5;H$#;D!#<H)(! p $:FD<2 j#)u+!#$;2)2 j H$#)9 !2%7);25 8!2%$#7);2n#$ <,;, j#)u<,;2) B|#7$7-$;D!#*;H$#;D!#sB|<2;T");2&j";!);H<, 1*C" KFD<2i_ z21h/3` &C<2;,) B|#77$;!E;H$#;D!# 6 1 *Q!K(W+XM KFD<2&Q!X% O7);, 2 6 S<2;, i($#)W;H$#;D!# pA?[6 KSFD<2W$S$#)9 +2 6 < 7);, 7 6 QIQ$7 6 S ($#)
$ u_ 6 3&`
/ )
#; +.[
" _ z,1 //`+!#$;2), e ) O_ z21h/3&` !2%$#7);2e Z!2%7);2e; $ 6 $ 
g> (<T")&%;W$d%<2;2) -$;W&(x$ # 1@k E(<,)$%;[_ z,1 /23&` 2G &"<, ")&%;[_ z213&g` B|<2-+!;2)2 <2!#))\$ ;,WqJ2$ J2E7C< ?^6 #!#) K"<2 vFD<282, 9!#&A<,;, 5B|<2;,")&%; 6 )$%D) ?c6 $#:7!#)$ # +,u$;S($#):2y2<2#) 1T );^7G+, -<2;^< 7;^7Y% j2"! 2 _ z,1 /23&` ;2D7C<2&Q! S)$(!J,$ J2DFD<2;2 6 7) !)X% ;i#&(s!#D 6 +,$7 1Rr #)7EFD<2;, 2 N_ z21h/3` &<2;, M#<27S 6 <, !8x GB|7
_ `
_ ` _ z21h/zD`;TG$ 2 6 #<,"!#W# !#)QB "c &"<, ")&%; ? #&")+TGq;27G+2G-(<,)$%;d( 6 +, 15n$7Y% A nB 7)) C
E !#);,* 6 # 6 )&2 x2:FD<2*!#2 jB|<2;,")&%;-:<2;, s" #* 6 # 6 ) 2 6 <2&x$")+,) (s;M GB|7 ) _ ` 3
$ $ ) _G/ `
_0/ ` ! /
_ ` :4n&Q! :+,#9 );2$*$<T")7-DFD<2s<, ;TG$R2 9!-2 6 +27S 6 <2$2s< 6 #&# #";K<2;, LB%7C<, E ;j% E W- ($#)$sy2<,#) p $;K!2%7);,n2GB|<,;,");2&F<,(;KB !$xS<2;T W#<,)$%;i# 6 +2 p 6 #+27S M( 6 <2&S$#x v7-$;2xB| K7S 7-$;D!#xx G7)(7S 7S ;, GFD<2x$ 6 #+27S ;D!#$#) 1j;, c!2%&";2) 6 x$#$u$<, );2$ 6 ") $$* -n+,<,#$ *!#2 6 D()+2$:(<LK");2&x( 6 +,& pX? #$);, $;!#$ s<2;, M#<2+l" #FD<2 6 <,$2 M< 6 #&# 5$u2 9! 6 #+27S 1 n;, $\s$;,";D!# 2 *&# (<T");2&8<2;, S#<27S - ;j% D G M_ z,1 /z` ;22 X% <,;, M(<,)$%;dB|#7S v$ 6 +27S 1 @A !2%$;2)$ E2$") ! E# 7S E : 1b 7<2;MQIQ$7 6 Sc 6 ) ")&%;M";,()$#$7-D$ 6 +27S -7(!# -;W SyA) 12z,1 z
> 3 C _0;1 ` L O 1 E 1>q_ 1 ` 3 >q_ 1 ` 3 1 d1> _0H1 ` 3 >q_GH1 ` 3 1 :
:<,#$ 7n(<,);2$5( 6 +,&j 6 +27S G SB|7 >q_GH1 ` 3[_G ` _ `"pX? $ 6 $ ;2\$ M&CFD<2 $#<2!#S<2;T MB 7)) dLB|<2;,");,$ C
_G `IE FD<2 ;2D 6 7) ! ;e&# K# : -B|<2;T")&%; ) _0 `"1X <TQ!) !< ? $;,;M G&"<, ")&%;E!#$;27 + 3 1
+ 3 1c;,
3 =1
3Y6 =1 _ z21h/ H`;T $s<2;, W";,(! ;D!G$ 1lr LFD<2b>N#&(<2$9 E 6 +27S p LB|<2;,")&%; $+T# !#)QB "$! _ ` 3"[_ ` 3 _ ` 3 ,1 4n$+T$; 6 <2$8$#$#G_ z21h/ H` ;W ";,)");2&
Y , H g
∇2 u = 0
u=0
u=0u=0
u=f x=a
y=b
y
x
sB|;D!#$ - 6 # 6 ) 2 12 < 6 ;2D 78FD<2 a3 Y21 u;D!;,$ 6 3 1 [_ D` 3 [_ ` 3 1[_G ` 3 ($;)94;1 6 $#Y#;7)9 3 1 6 <,$ 3
6 8! ;D!# ;2S&8 6 # 6 ) 1 #)R(< 6 ;,7FD<2 a3Y6 2p ;D!;,$
_0 ` 3 ($;
1
3 1
3S6
:@A 8"#$ 6 ;,);D!#&*B|<2;,");,$
9!)(B ;
+
3 1
_ ` 3 1x;,c#x()<2xFD<2
3 #;)
_ b6 ` ? 6 $;,cFD<2 #<,");2&( 6 +,&:#; >
_0;1 ` 3 #; #;)
_ b6 ` 1 a3 3 1 / 1::V:
;e_ z213&g` k!#$7S -y2<,#)jD ;D!#)\$ +, - 6 D()+2))2 ^G&# # q2 9!L$6 +,$7 $;!2%$#7);2v2j B|<2;,);2$
1 ;S$(!#n$ # 6 6 $<!))\& *,7 %!#;2&"&()! 7-D:<2;^$ #G2x GB|7S ) _0 ` 3 $ 1
($; _ z,1 /g`
;,
#$ ;WDwT");D!$ 6 j"!7);, # 1 @A G<)(!#$;,") <2;^$ #G2s B|#7S M_ z,1 /g` ;2$+HD) ;2);2<2;T 7 ;2 1 5 ? ")#! -& 6 ;2\& xF<,c(& G8% )2 ? dFD<2E cB|<2;,);2$#;c_
` (;e") #& 1A < 6 ;2 7-F<,O_ z,1 /g` $G:% )2 ?
U !# 9!7 !#$#7);,
1 b 7M;N$u #M ($#)$ y,<2)7C<2!#) 6 )$ ;,26 j();c_
` x);D!# ;,-+!;2$7$ ) _G/ ` ($; / ! /?3
$ #;
/ ! / 3 /
: _ z21h/UD`!))\& ;,2M_ z21h/UD` +!#$;27DF<,x<2;, (<T")&%;EB|7 R 6 #+27S C&
>q_GH1 ` 3 $ 1
#;2J
_ ,6 ` ($; _ z21h/@c`
;T
3Y6 / #;2J
$ ) _0/ ` #;
/ ! /()7 6 xFD<2 _ z,1 /g` (& G8% )2 1uH$(!#<T)x: n9 )\&# #DR"75$22 s;W_ z,1 /g` p (") 2q";-(<T");2&( 6 +,&Li$<, );2$ 6 ") $ p &W+IQ!# 2O A%' Z !<27,K @R)<,D)iF<,7 6 \k%N K2$ # ( K7$) DG2() 6 1 Pn#!#C;2K);D!#$;! 7-2 <2;, E < 6 #))$%; ? EF<,-#<O&Q!<,)E7 6 ;,-9 )Dn9%<27;2& 1 j;T L+2G)"<,#)$%;6 <2&M;,;D!# (L;[$)+2i2i);H+T$# 3&g m1 PjDG)7-)! #$7G;U$(! -;2! e<2;,E+2#$&L"7;D! #) ? [7-DQ! E ;, X%' S"; i% $+2 e);2$ p W"<, &B )) ! X% ;Ek " 6 ! j#);W$7(!# ")&%; p 9 )2\xc&# #D*2s GB|7S W_ z21h/g` 1r cJ, "$ ;T X%' G";Wx% +2 G);2$ R+T($#9 7D*FD<2x :B|<2;T");2&
_G ` 3 #; # !#)QB "$; ! !
_0 ` 3]6
_G ` 1
_ ` 3
_ ` 3 : _ z21h/>D`@k &"<, ")&%;M_ z21h/>D` );T)$ xFD<2j B|<2;T");2&
#;)$;H$"!##&q2j s! ;,(B|7 ")&%;);2& 1 ;,2 3 C ) 1 ) _ D` 3 ) _ ` 3 2EDp "w,;,)2 6 ) _0 ` 3 ) _0 ` :
uD";IQ<2;D!# &k<,;C(<,+T& 6 ")& !##) 1 H? ;N%$# 6 <2&*2"w,;2)k<,; 6 H2<, !$ ) 1 [ 3 $
) [ ! H: _ z21h/ D`4nx "<2$ 6 <,"!#-$ 2 -;W W_ z,1 /` p $ 6 f$#<2 ! G#j#)7[%"!#)"? FD<2 6 ) 1 [ (x 9!#)(B "
) 1 [ 3 $ ) [ ! 3 $
) [ ! 3 ) 1 [ :
Y , H U23,7)#7G #<27;D!#c$5% +2 );2& T7C<2&Q! cFD<25Du$);H& !##&uf"#$ 6 ;2K);D!$ -)$;D9 #&:2)(!#);D!##;W#!#;, $ p &$)
$
_0 ` -_G ` ! 3 1 3 =:557Y% j#&" 2 7-D8A#&(<2! e% +2 -);2& k$;^qF<,c(C2)CFD<2c$);H&IK!$un<2;, ! ;,QB|#7S ")&%;()7[%"!#) 5B|7S ;<2;, c+, #n$,$ 6 ") 1 ;U% +2 );2& p$+2)e eFD<2^5$ 6 )N&LK2)7;T()&%;Uw,;2)! p T%N!#$;27 <2;.;5%<27Zw,;,) !e$);H& !##& % ; ;H<2&Q!#- #x!;2$7-D<,;L;s%<27$#G);wT;2) ! pH? GFD<2 $:s2)7;T()&%;);w,;2)! 12r 7:)7S );, :<,;, - <H!#$;,()&%;W;2+HH) 6 -#);, !#<2 p x% +2 G);2$ 6 $;,# cFD<2D);H$ !$
B|#7S ;i<2;, M+T #2u& 6 ") $;i$u($;D!#)^FD<2s!#2 ) 6 <,$c&# # ( p "7-$; % +, G);2& p ;M GB|#7S ) 3 $ 1 ) 1
1
_ z,1 z`;,E O";H;T") W2E K#)W+XL$;D!#;T (E;e<,;, dB|#7S d 6 6 ) 2 1 $7-DFD<2N_ z,1 /g` IQ<TQ!) wT$ 6 ;, X%' M$ d7DQ! K$; _ z,1 z`"1 :&Q!<,)ZE ;H$#;,) 88($#)$A: jB|7 G_ z,1 z` &k+IQ"!5* n!#$%' !<27,K @R)<,D) 1 n;, \C&Q! +2$), S E 6 )\-G#&")7)$;!E-s"H"wT)$;D!#$
# 6 "& p "7-L;$R #x($#)$8xy2<2)$ p -$#)wT * -9 )$\x :#<,);2$*B|7S $:+2!#;,)2 6 En7 %!#[2K( 6 )$%;.d9 ) +2$ 1 j;T Z < 6 #))$%;.7U% L! 2 [d$(!#D$#<2! 2:$(!T% -;M$)+22 O$);H+X 3g m1P <2&2 -"7-QIQ$))$#$B|#7S 7;D! pH? !# 9! c7 6 +, * - )$\2s #<,")&%;W 6 #+27S -);,2)$ ;W SyA) 12z,1 T1
∇2 u = 0u=fy(y)
u=f
y
x1(x)
u=f2(y)
u=f3(x)
<>= >=>= eG-JL VaR F X G OHQ L I@Z Z LNM ) #c#&"<2$, FD<2C$;d #) +,C7 6 QI( L B|<2;,);2$s 7Y%;2) j#; 6 (!c#& qB|<2;T");2&S ;, =%' !#) p & M$ 6 $ # 6 O <2;, N 6 $#;D! ")&%;[!#) 6 b <, J ? ;
U/ !2%$#7);2*s<2;, c);D!#$ lF<,n);D<,"n#<,:9 $u$; cB|;D!#$ 1 b <2 #$7 J2 $(! C < 6 $#)$%; <, ;,W_ z,1 /23&` p FD<2 X$")+,) C<, ;,G -w,;2)")&%;E2s#<,:"H"wT)$;D!#$$
> _ 1 ` 3 3/ $ ) _G/ ` ! /+ 3
$
$ 1 u_ ?6F/ ` ) _0/ ` ! /3 3
$ 3/ +
$ 1 u_ ?6F/ ` ) _0/ ` ! /2:r
3/ + $ 1 "D u_ ?6_/ ` 3 3/ +
$ 1 / 3 3/ 6
6 / "DR_ ?6F/ ` + :
4nc2;,>q_ 1 ` 3 3/ $
_ 6 ` ) _0/ ` ! /
6 / R_ ?6F/ ` + : _ z21 z23`
@k e_ z21 z23` $C MB%#7G<2 d r )#; 1 *c)7 6 #! ;D!#L+,# cFD<2L$ K2$ J2K2_ z,1 z,3&` $(!T% w,;2) 6 #)$7 6 #xFD<2$ ) _G/ ` ! / :
5n$7Y% x WB%7C<2 N_ z,1 z,3&` "wT;2S<2;, WB|<2;T")&%;e 7Y%;2) i_ >O3 `s6 p :%<2;() ) ;2e!#);2d#)d2Ky2<2#) 1 6 D()+2 6 +, FD<2O"<, ;, ) $ # 7;D!d";LK!#);H<, p _ z21 z23`n6 #9-<2;, ^#<,")&%;N"&% #)$ M 6 +27S M 45)) J2!c;N*($;!)2dF<,m%' 7
> _ 1 ` 3 ) _ `"1<>=>= <>= V L T X`Q RSG O9Q Q F9RSG M9Mb ;,#)7s J, u$ #E;,;i B|;D!#$ E;2M( 6 &##)+X;Ks9 $s B|<2;,)$%; p #);2q9 $ j#<-2)9 , 5;,7 1 7 6 \& 7v;,#) ;,2n 6 #+27S 6 G<2;^%' <2 1 3
_ > ` + 3
> 3 1 1 Y/ 1
> _ 1 ` 3 ) _ ` 1 ) _ ` 3 ) _ /k` 1 0 Y/ : _ z21 z/`
Y , H Uzr #"&7D*7 6 C$ 6 +27S x45)) J,!n$ # ;T >d7
>q_ 1 ` 3 _ ` + $ 1
_ ` (); +
_ ` "D ;,
1
#;M#<,");2& ! 2 *; 3 $R()(!#7S 3_
` 6
3 1
_ ` 3 )
1 " 3 13_
` 6
3 1
_ ` 3[
1 " 3 13_ ` 3 1 _ ` 3[
:r " 3 #<,")&%;MR#)Q!7S $
_ ` 3 )
1
_ ` 3 [
:
);M7G+, p6 X3 ;T";D! 7-D _ ` 3 " @: p c;, $"<T ")&%; _ ` 3 3 [
#x# !#)QB "x,%#)[ 3 3/ $
) _0/ ` ! / 3 : _ z,1 zz`*5&") 6 +27S L2bPn<27S ;,;O;2E!#);,-#<,")&%;dB|7 6 <2;i2 9!W #+,) ! #) p#);,CFD<2n$T2 !#G2+X5 9!#)(B "$u C";,)")&%; s"7 6 9!#)+2))2 n _ z21 zz`"1D )Xl2 !# 9!)(B s) J, -$<, )$%; p ;D!;,$8<2;, #<,")&%;EB|7S &Q!X% -, 2 6
> _ 1 ` 3 $ 1 )
#);c_ ` + [
R_ ` _ z,1 z#D`
;,- M;H$#;,) 2- W($#)-2 6 ;,SSFD<8%G! ;OX% 6 )M& $;K"HwT");D!#&)
1[
1 @k L(<,)$%;d2 , S;^ d_ z,1 z#D` ;, $N%<2;2) ? SFD<2c n;,(! ;D!#$j! 7C+2)"%;^#;#<,");,$ 6 #+27S 1 P <2&2 W"7MQIQ$))M$u$#)wT xF<,#) ) 1 / u? &6 )$%D) p $;!;,$> 6 ? > 1 6 145n x7)#7S B|7S cFD<2j$; 6 +27S xs4n)#) J2"! p6 7*(<,7 c#)C_ z21 zH` ()<2);D!s7S ;2 > _ 1 ` 3
$ 1 3
$ ) _G/ ` "D u_ ?6_/ ` ! /
3 $ ) _0/ `
$ 1 3
! /
U 3
$ ) _0/ ` ; 3 6
! /3
$ ) _G/ ` ;
3 6
! / _ z21 zg`
FD<25& CB%7C<2 c r )##; 6 c 6 +27S GPn<27S ;2; 1 *);D!$ ;D!#5;2! 8F<,_ z,1 zDg` "wT;2x<2;, GB|<2;,)$%;^";D!);H<, -J, Q! 3 6 2 9! ) _ ` ";D!);H<2D 1<>=>=H= C X V I M DI I L OHQYX R JGHIBR L G-VaG X G Q DFHGADIKJL M5O9Q eG X G[D Q < 6 ;2D 7:<2;T S(<,)$%;E$% () ?> _ d ` _ d ` $ 6 +27S
>3 1 U 1 _ d ` 1>3 ) d:
y8%' #) 7$;!5&" -FD<2 GB|7 b>^x -7-$7C+2 ;T G#<9IQ"! G GB|<2\$ p T% 6 <2$2($jR%;, 9 GJ, ) )+, ?L6 -! ;D!b>O ;,\$ -(<W7Y% <)7;M GB|#;! 1PjD 6 6 ;,7 6 #+, kB|7S 7-$;D!#u&Q!*J2& J2 1 b 7>-$q";D!#);D<T j;D!;,$k $ ;2\& (<E7Y% <)7-; d 1, < 6 ;2D 7:FD<25 ;,\$ c$; d 1 ;L$ 6 <2;D!#b4s!#$;27D 6 R% <2SFD<2Y3 > x;,?>d $ ;2\& G#<M7U% <)7;W -B|;D! 1b ;,#)78 J2 C$ 6 +27S >3 d1 >3 ) d1
6 +, #$7-D*FD<2c#)N>^$j<2;, (<T")&%;M"&% #)$ C$;!;,$>d 9!)(B > 7U% <% ) 1 d:
r 6 +T 8$(!#-!#7S 7 3 >b+ @ _G + `;D!#;,"& 3 @? 6 j$#&(<2! S ;D!#$#)
7Y% <% >b+ @ ;T $8$R )-2x<2;^%' <2GFD<2c";D!#);2x d 1 5n27Y% > 7U% <% >b+ @ : _ z21 z#UD`
b 7^_ z,1 z@U` $88% )2 6 c!2 @ Y !;,2#$7-D8R$#<2! -2$#$ 2 1u 6 );,") 6 )ej7Y% <H)7 6 <2$2^<!#))\$ # 6 6 +, - i<2;2)")2 Y^<,;, Z(<T")&%;
Y , H Ug$% () _> _ d ` _ d ` 2^ N&"<, ")&%;Y^@k 6 " 1 ;Y"B|$"!# p (< 6 ;, 7D<2;, #<,")&%;W"&% #)$ 6 +,$7 c45)#) J2"!
>3 d1 >3 d:r n 6 );,") 6 )E$q7Y% <H)7L!;2$7 > f ; d 1r n!# 6 (! 6 > 2p ;,>3 21 (!# 6 <2+, SFD<2x %<2;2) #<,")&%;M"&% #) x ^_ z213&g` p <, ;T ) 1 / A?& 6 $#)&%) p $(!T% 2 2 6 #)S_ z,1 /23&`"1<>= >=>= V L T X`Q R GAZ Q^X J \WIBD L Zb 7- 6 #)7sQIQ$7 6 M";,()$#$7-Dj$ 6 #+2$7S 4n)#) J2"!;d$v($7-) 6 ;2Z f,p;e2 !#KLB|#;D!# 9> _0H1 ` 3 ) _G ` ; 6 7K# 7C<2&Q! d;Z Kyq) 1z,1 g21 @k d)& 6 d#&(x 6 +27S ^&G2L;H<2K&# # x a> $;Z!2%$#7);2C
∇2 u = 0
z
u=f(x)
0u si z − 8yA) 1Tz21hgB|<2;T");2&c7Y% G($;,") 1 ;Z$(!#L$ #d ^J2 7)$;D! M;, !#<2 *$c M! ;,QB|#7S 2 My,<2)$
) _ ` 3 $ / ) _0 ` / % ! ;1) _0 ` 3 3/ $ / ) _ ` % ! : _ z,1 z c`r #"&7Dv J2 "7c;S$T (c2j#$);2&qw,;2)! ? $")+,)7> _0;1 Z ` ;L sB|#7S
>q_GH1 Z ` 3 3/ $ / > _ 1 Z ` % ! ? $;,";D!# 7 6 >q_ 1 Z ` -&"<, ")&%;W );T )
> _ 1 Z ` ^D^ 6 >A_ 1 Z ` 3 1 Z 1>A_ 1 Z ` #)FZ 6 1>q_GH1 ` 3 ) _G ` 3 $ / > _ 1 ` % ! :
U#U $#H)$;,- &"<, ")&%;L!#;,7
>A_ 1 Z ` 3 ^ ) _ ` 1>q_GH1 Z ` 3 3/ $ / ^ ) _ ` % ! : _ z21 z>D`
u;U_ z21 z>D` #G-FD<2"<T ;, )
_ ` $S# 6 #!#-"7 6 ! p >q_GH1 Z ` $s);2w,;2)! K7;D!# $#)9 +2 6 9Z ,1 5n27Y% c7M Z_ z21 z c` B|$"!#) 7;D!# &x8% ), E$;Z$ ()!#<T ")&%; p !;,7Dc d <)Q!;,) OW<2;, K#<,)$%;e"&% #)$ K$ 6 +,$7 6 K2 !#D)
_ ` ";M# 6 #!#"7 6 "!# 1$#<2! x);D!#$#&# ;!j$")+2)5_ z21 z>D` ; B|7 C ;j% x xB%7C<, c2 r )##;+!#$;2) K2 6 N$5%' "<2 1ur O$(!#[+, (! N$ 2 n!#$7S Nd e";D<,")&%; 6 i !# ;,(B|7S 2 Gcy2<2)$ ? +!;,2#$7-D8;D!#;,"&
> _0H1 Z ` 3 $ / _0 6F/21 Z ` ) _G/ ` ! /21[_G-J1 Z ` 3 3/ $ / ^ ! 3 3
Z- +BZ 1
c;,> _0;1 Z ` 3 3
$ /
Z_0 6F/ ` +&Z ) _0/ ` ! /2:P <2$, c"7-x<,; QIQ$))x$ 6 ;D!$ ? $#$u 6 #+27S x Pn<27S ;2; 6 $T#7) K6 ;2 1b ;,#)78 J2 -<2; 6 #+27S x ;W)7 6 #! ;,") ;^ 6 ) ");2&:FD<2c, ); -<2; 6 #+27S -m%' 6 !#)"x<2;, -)&%;W);w,;2)! p # +T$ p $ 6 #+27S c)B| ")&%; 1<>=>=>= V L T X`Q RSG O9Q O I VWGADDIKJLNMj;, G()!#<T ")&%;En ;S);D!#$2%$v$;L 6 ) );2$; :FD<25 6 $;$<, );2$m%' 6 !#) $x$; 6 #+27S x 2) B| $")&%;NS;,, 6 x+,Q!X% <2D 1 ;N$(!# (M &"<, ");2&m%' 6 !#) 6 $"$;L"7C<2;, G()7 6 ) wT$ )$%;Es C$<, )$%;Ls7-9H)7)$;!C#));, 1 ;$(! A;,! ";T() 7DkT%5<2;-QIQ$7 6 x#)7 6 % <2;2DA(IQ7 6 7Y% 7 6 )$ D? <2;, L2)"<,#)&%;d7Y% 5"! 2 L2C L#<,")&%;d#X% ;^+IQ"!EG!#5 6 %' !#<2n;d&Q!"<2 # 1 b ;T()7DG Z)B| )$%;U^<,;, N;,, 6 ;, ZFD<2^);T")d(+2W<,;Y));,);2w,;2)!#d"< ? WQIQS$ 6 E v(IQ Z 1r E()7 6 )wT$ x 6 #+2$7S W#< 6 ;,2#$7-DF<,q& !#e 6 6 )$%;W2G S;T2 6 ;, L$(!T% S$;d 6 ;2i_0;1 `? ;K$(!#G$ # 6 +27S -$8+2))7;,#);, 1@k -$<, )$%; 6 $#$*&8 &"<, ")&%;Wx;,,
> %V% +B> 3 3 >JM M _ z21 zD`
Y , H U c? $; 6 );T") 6 )W+X;N2 #G;,)");,$5);2)") $ pl? 2 9!sGB|#;! L 6 # 6 ) DnFD<2 6 $#;D!;M! ;D!#L A+,Q!X% <2E"7W B|<2;D!-FD<2G;, S L;,, 6 ;, );,)2;D!# 1@A ";,)");2&B|;D!#$ -FD<2x# 6 $#;D! ;Lk+,(!T% "<2S(;LB|$<2;D!#$7;D!#?>3 +2); >
3 ; 6 $&$T+,(!T% <2 ? ;2 6 $#;D! ;S7S ? *) wX"<2! Sl$)2) $;c , # 1 @RnFD<2u$#<2! 87Y% A)B(%' )$k#&(l 6 +27S ";x9 $l);2)) & p$6 &Q!s7!#)S(x+,<,#$ -<2;, S#)7 6 ) wX )$%;E$;M "<n% k##&<2\$$ -R;s%<,7-$#Sx9 #) +2$ 1r Rs ;D!#$#) p $;C<2 A:";T() k jB|<2;D!#:;G"! p #*;,#)2 <2;, n;,2 6 ;, / / M FD<2LD) 9I( MJT ") M*+IQ!# pR? <,;2d( 6 #$<2;D! ^"<j% ;!^9 S*$ 7 6 d)B| )$%;S , J2$ ) J, ;,2 6 ;T x";D! $,+2IQ"!# 1 b 7c x#) !<, )$%;S$ 6 )$%D) $;cD!#)7 6 p (:$ 6 jFD<2 j;,2 n2) B| "! , !#$;2 ! 7G+2)"%;c<,;, n 6 $;,$;,") M 1 45L ;D!)#7;D!c < 6 <2&Q! p $s" LFD<2G$+T$75+2<, 5<2;, E(<,)$%;d- S&"<, ")&%;_ z21 z` ;M GB|7 >3 / M + M _ z,1 D`;, & G;,2 S)B| ! 2 1 4n$+T$7$;,";! J2 -<2;, -&"<, ")&%; ? ";,)");2&GB|;D!#$ E 6 6 ) , 6 X1 @A L&"<, ")&%; 6 #C+2!#);2S#<,Q!) !< ? $;,E i_ z,1 D`6 : W_ z,1 z `? #&"2 ;,CFD<2 = 3 3 pH? GFD<2 C;,2 6 ;, C$:<2;, -#<,")&%; $<, )$%; 1 @k - < 6 $#)$%; 6 &
+ 3 1 B|<2 R+,(!T% <2 1 _ z,1 T3&`@A -;,2))$%;WsB|;D!#$ -#+2R+,Q!X% <2-$
3Y6 1 6 ,^;M GB|;D!#$ -$R+,(!T% "<2 1@kFD<2x$#<2! <2; 6 "S7Y% j7 6 )$ & < 6 #&()&%;M$RJ2$ J, F<, #c"7 6 #! 7K<2;T d;T2 KB|$"!#) 7;D!#W#t,QI( 2 1 @R 6 )7$#KFD<2M#W$+T 6 $)$FD<2EQIQD$ +,(!T% "<2 p # 6 #&($;D!#c<2;T L;,2 LFD<2#- (IQ 1 (!#W( 6 <2$2-< 6 #&# p () &5 D2;, 2 ) p 2))$;,F<, M ) _ 6 " `k6 ;T$ 1 557Y% 6 qHJ2& J2&Q! ;M<2;T -#)!#<, ")&%;W$(! );, ) p $;2T%' c 2) 2 G -(IQj$R+TQ!X% "<, 6 ;,, S#t,QI( 2 2+XG#j<2;T ";,Q! ;D!# 1 b 7- $j<,;, S7$)2 2c L;,#)2 $;2T%' p $+T$7:!#$;2jFD<2? M / M 6 p? -FD<2c2s&Q! -7 ;2
$ / ;2T%' x ) , !@" 3 $ / $ ! 3 ";,Q! ;D!# p6 :
b ;E&Q! 8+T($#9 );2$ p -$<, )$%; ? ";,)");2&:2B|#;! 6 #; + 3 1 B|<, -2+TQ!X% "<, p
3 6 / 1 ;M CB|;D! G$R+TQ!X% "<, p _ z,1 H/` M
) _ 6 " `
6 : 6 #+2$7S _ z,1 H/` $^";2") 7 6 #+2$7S i ) )$%; 6 e $"<T ")&%; n7-J,!#\ 1 @k N";,)")&%;Y(+2#M$n"7 6 #! 7)$;!i2 Tp <, ;T p #M 7S
U> ";,)")&%;Mx ) ")&%; ? B|<2x<!))\$ , 6 77#B|E 6 );,") 6 )x&Q!#) 1r -#&(c_ z,1 H/` &n;H$;2)$;D!#c 7C+2) 5 "H $;, 2 6 #& p $")$;, 7QIQ 6 8k$"!# 3
_ ` + 3
+ 3 % " 1 0 Y/ 1
3 6 / 1 3 1 U/ 1 _ z21 zD` M
) _ 6 " `
1 6 ::<,#$ 7:<2;T S(<,)$%;E _ z21 zD` $;E -B|7S
_ 1 ` 3 $
_ ` "Dk_ ` +
_ ` #);C_ ` ;: _ z21 #H`b 7x c";,)")&%;SB|;D!#$ & 6 p ,%x;2&"&()! 7-DvuDwT");D!$
_ `"p &&") p
_ ` 3 ,p " 31 5nA#<,Q!) !<2)C_ z,1 @D` ;e_ z21 z`"p ;,;D!# 7D8 j()<,)$;!$8&"<, ");2& );, ) 6 GH"wT)$;!$3_
` 6
+
3 : _ z21 Dg`@k ";,)")&%;W;M+,(!T% <2-;,2
_ ` 3 $ / "DR_ ` ! ,3 / _ Q`
_ ` : _ z21 @UD`@k O_ z21 Dg` &n<,;, L&"<, ")&%;d7G< ? $(!#<T) 2 % #G 7S L&"<, ")&%;K :$($ 1 8);2(<T");2&n);,$ 7;D!#-);, 6 ;T)$;D!#$ s"<T $(-"7 6 #! ;O7O_ ` d? _ ` / 6 6 $FD<2;2 1 n ? D*#<,");,$u&Q! ;,, )\& 2 us<2;, c7S ;2 c#)(!#$7U% !#) GF<,5# 7S ;E :B|<2;T");2&j :$($ p <, $#x;2! ; 6
_ ` _ ` 1 1
_ ` _ ` / 1 :r c!#7);T : *;,(! ;!$: +2)!# ) $+T$7-D:<,# G;,2))$%;L; 3 ? 1r n&Q!x;2$$#) ! 7q!;2$v);B|#7S ")&%;(+2#8$T"7 6 (! 7)$;D!# B|<2;,);2$
?
12r C+!#$;2&Q! G);B|#7S )$%;L!7S 7D
_ ` 3 / )
_ `? +2!#;,7)
+ )
+ 3
_ 3 6 ` )
3 _ z21 c`;,257:FD<2s<, ;T 6 $78$ 6 $) *$T! "$!2%7);2-_ z21 c`v?+!;2$
_ `
R_ `
+
#);c_ `
1 _ z21 >D`
_ `
"DR_ `
+
#);c_ `
:
Y , H U45 _ z,1 D>` 7DF<,s& 6 #)+2$"8<2;T G;H<2$9 S"7G+2);, )$%;L);2&
+
/
1 1 _ z,1 `FD<2x 9!#)(B G -;,2))$%;
/ / M
1 : _ z,1 g`@A ^(<,)$%;eK_ z21 Dg` ";Z$:7 6 #! 7);D!#^7DQ! M; _ z21hg` ";H;2);D!#$7;D!#;2#7S )\$ 2 #2;2! 6
? ( 7S B|<2;T")&%;N5 ; vS#<,;,2 W" # 1 u;&Q! G;H<2$9 G;,! ")&%;W #<,")&%; 6
_ ` $
_ ` 3Y6
_ `
_ `
_ ` :@A -#<,)$%; B|7S R 6 #+27S -$8;D!;,$
>q_ 1 ` 3Y6 _ ` _ ` _ ` + /
$ 1 _ 6 Q`
_ `
_ `
_ ` "Dk_ ` : _ z,1 g23&`b <, ;, 6 H2<, ! 3p $M&") p [;2) !<, 2O;,2 e&M"7 6 2 e; $! 7S ;2d2+IQ"! p ;D!#;,"&c e_ z,1 g23&` ";H7G< ? X% 6 )2 7;D!# ?i6 x!2%7);,#;M(<2wT");D!#& 6 -+2!#;,j<2;T +2<2;T )& Sx S(<,)$%; 1 b <, ;, 3 ^_ z,1 g23&`2 6 H$ W);B|#7S ")&%; ?^6 xE! ;D!M#+X#&"<2#) L!2%$;2) 57Y% & 6 $%' wX 6 +!#$;2);B|7S )$%;f%<!) 1@A G)"<,#)$%;W2s -9 )$\xS_ z21hg3` $8($7QI( ;D! -!# 8($#)$8xy,<2)$ 1 @A 6 #<2$+, 5<2;2)")2 L5 C#<,)$%; G_ z21 z` $(!T% G"! 2 ? )#<!#)2 c$;L$T)+,#- b <2 ;D! Kn)+T$(!/ z =1
c9
! 1 " ! 1 1 & # # %&
;Z$(! ^#$)$%;e ;, )\$ #$7x <,;2 6 #+2$7S ? M#&(<2$ !x$;Z C#$$");2&c ;D!#K)#& p <, ;,2W L!2%&";2) W # 6 ")&%;K9 ) +2$FD<2 ? E7!#)9 7 ? )"<2!#)7-D6 d$"<T ");,$c$m%' 6 !)$ 1 @A d)$ i:7[%"!K&C$<T")G$ 6 +,$7 O d$#$c<2;#)(!#$7S G);w,;,) ! x$<, );2$: );, ) :);T 6 ;,2)$;!$ 1 45)"<!)7D8 G!2%$";,)$ -;9 ):QIQ$7 6 D ? "7 6 7* -#<,)$%;E+!#$;2), 6 j$ "!#%' Q!)$ 1 (' .94! , "/.#3% '( , "1e7(0$ 4! , *01 !"H.#&% '(
2& (%!'(# # , '(%7 6 $7 6 $#$*$ 6 +27S
> M M 3 > %(% 1 1 " " 1> _0H1 ` 3 ) _0 ` 1 1> M _GH1 ` 3 1 1> _ 1 " ` 3 >q_ 1 " ` 3 1 "(" :
@A s#<,)$%;-$ 6 +27S ;D!) ? (j);^_ 31 @D`"1 5jJ2 s$#$#$7-Dk$ 6 +27S # 6 ;,G #) +,& 1 +T$7xFD<2S"<, FD<2)B|<,;,")&%;i)7 6 [l_G ` _0(<2wT");D!#$7;D!#<, ` ( 6 <2$S&# K# :;M$);D!#$#9 vp $;M#)2y,<2)jc#;2D8x GB|#7S [l_G ` 3
$ 1 / #);c_ N ` $ #);c_ N/ ` [_0/ ` ! / : _ ,13&`
cH3
c/ N ; N7 u; 6 #!#)"<, p (<,)$%;E+,<,#$ 2 G -#< 6 ;2$78)7 6 ? 6 $7&##)+2)87
> _0;1 " ` 3 $ 1
_ " ` #);c_ N ` 1
_ " ` 3 /$ #);c_ N/ ` > _0/21 " ` ! /21 _ T1 /`
;TD?
_ " ` (;N2$<2$^&#;2")D ? D9 7x ^!#$#7);, <, ;,2W ";,)");2&*$ 6 #+27S 6 ;D!$ 2C;W$(! G(&)$%; p 57S ;2 x! FD<2-_ ,1h/` (& cB|$IK!#)9 7;D!#x<,;, (<,)$%;i_0"<, ;,7;2D:B|7S ` 1r !#7);T sD
_ " ` (<TQ!) !<2)7D-_ ,1h/` ;O 6 +27S L ;D!#$57;,);, 2 pX6 +!;2$
$ 1 _
_ " ` +
_ " `(` #);G_ N ` 3 1 1 "(" 1
$ 1 _ D` ();c_ N ` 3 > M _0;1 ` 3 1 1 _ T1 zD`
$ 1
_ D` ();x_ N ` 3 > _0;1 D` 3 ) _0 ` 3 $ 1 )
#);c_ N ` 1 1;T )
3 /$ ) _0/ ` #);c_ N/ ` ! /2:
4n _ ,1 z` #!#);2A()Q!7S -);2w,;2)!# x&"<, ");2&*);, 6 $;,);D!#&
_ " ` +
_ " ` 3 p "#" 1 X3 3 1 / 1V::: _ T1 H`
_ ` 3 1
_ ` 3 )
:@k #<,")&%;MS_ T1 H` $x GB|7
_ " ` 3 )
"k_ " ` 1Pd%!#$#EFD<2 6 $") 7;D!#L GDG;,2));2$C);2)") $-#+2 > ? > M (;e CFD<2E;22 ;N<2;T d(<T")&%; %<2;2) 6 M x&"<, ");2& );, ) _ ,1 D`"1 @k ^#<,)$%;OB|#7S 6 +27S FD<2x( 6 ;D!#A%));, 7$;!5&>q_GH1 " ` 3
$ 1 )
"DR_ " ` ();c_ N ` 3 3/ $ 1 )
#);? u_0b+ " ` + 3/ $ 1 )
#);? u_0 6 " ` :_ T1 g`4n<2GFD<2s()l C";H$;,") xs$(! G($#)n&-#<wT)$;D!#7$;!nB|<,#!# p C< 6 #K()&%;N_ T1 g` ;2S$T%G<,;, S(<T")&%;EB|7 p #);2SF<,s&8 S#<,)$%;E$ 6 +27S 1P <2$, ^"7^(IQ ")") 6 Mu$"!#C)wT cF<, () ) &x);2w,;2)! 7$;!L)B|;,) +2? ) 3 d6 vp ;D!#;,"&L_ T1 g` &CB|$ !)9 7-$;D!#W d#<,)$%;[6 +27S 15jJ2 s&Q!<,) 7 x(<T")&%;F<,+!<2H)7 6 nJT "$u$uFD<2c_ T1 g` ;2$v7Y% F<,! K# 6 #&($;D! )$%;[W i#<,")&%;U 6 +,$7 31 ,131 Pj!#7D-FD<2^) J, i(<T")&%;
N7 ] H N 7 c9z(ξ)f w (ξ)
π −2π −π π 2πξ
ξ
yA) 14,13!)$;25 xB|#7S Gs2*;,2 *FD<2sH) I( ; $;E)$);2$* 6 <2$(! 1H +X78 7Y% :FD<2
$ 1 )
#); N/3 W _0/ ` $* C <H!#$;,#)$%;S)7 6 6 )$%D) c 6 $%' / ) 1 (!#G(5$;E Syq) 12,13 ;L!2%7);,8x CB|<,;,")&%; W p _ ,1hg` #$")+Xx"7>q_GH1 " ` 3 3/ W _0\+ " ` + W _06 " ` : _ ,1 U`
;^ 6 ;2K_0;1 " ` 7DnFD<2> _0;1 " ` &j$ 6 7$2)L2cDj9 $n W FD<2G 6 #&";$;E Syq) 12,1 z2p $2$") p$j&") p>q_GH1 " ` 3 3/ W _ ` + 3/ W _ ` 3 3/ W _0/ ` 3S6 3/ ) _G- `;,- $:$ 6 <2;D!#S"$ -()7[%"!#) 7-$;D!#5;E#& 6 $"!# /- v1 (!#s$:7)(7$#<2! 2NFD<2^+!#<,D)7 6 O$ 6 +27S 31 ,13 ";Y$ "!#%' Q!)$ 1 $7 FD<2^$6 +,$7 x2j#t, <)&%; ; D 6 #&$v&u&F<,)9 ;D!n 6 #+27S x";S #&v);2)) &6 i<2;T Z";T))$%;Y);2)") sFD<2d$ 6 $#)&%) p MB|#7S i! 5FD<2^ 6 $& ()7 6 #$ ;L;2D *;,2 87) !), 6 $ -";T))$%;E);2)") 1 (!#-$8SF<,s$;LB#%' #)$ G#;2"G"7 $A7 %!# G n)7Y% ;2& p2? < 6 #&()&%;^"<T ;D!#)! !#) EC 6 #))$%;d);D!#;T()2 Wx 8)7Y% $;2$8 ) _G ` &Q!X% -, 2 6 S($#)S_ ,1hg`"1P <2&2 - J2 -"7-(IQ ")")-$#$ 6 j# 6 ")&%;Wx9 ) +2$:D 6 +27S
> M M 3 > %V% 1 6 & 1 "(" 1> _0;1 D` 3 6 O 1> M _0;1 D` 3 [_0 ` 1 6 1> _ 1 " ` 3 > _ 1 " ` 3 1 " " :
cd N ; N7
(ξ)w
p
u=0u=0
t
xBA
(x,t)
w
ξ
ξ
C−
f(x)
yA) 1X/@c
> M M +e#); 5(); " 3 > %(% 1 1 "(" 1>q_GH1 D` 3> M _0H1 ` 3 1 1>q_ 1 " ` 3 >q_ 1 " ` 3 1 "(" :
P <8%(<T"$2c";W -#<,)$%;W$R($<2;T 6 #+27S "<, ;, " 1$#<8%$9 (5! 7C+2)"%;E &"<, ")&%;Wx;,, - 7#!#)<, 2
> M M +B> M 3 > %V% 1 1 "(" 1>q_GH1 D` 3 ) _G ` 1 0 1> M _0;1 D` 3 1 0 1> _ 1 " ` 3 > _ 1 " ` 3 1 "#" :
V P <:% 6 ";W #<,");2&8"<, ;, " []
N7 ] H N 7 cg*Q!<,) 75 J2 L 6 +27S 6 <2;, M<2 2 );w,;,) ! 1 @k W#<,")&%; ? L#G+!#<,<, ;T jB%7C<2 :4 5j 7G+T$(! 1 +!;,2#$7-Dk J2 8$(! 8B%#7G<2 <, ;,5( 6 )$%;9 ) +2$ 1 u 6 +,$7 6 j$#$*&
>JM M 3 > %(% 1 6 & 1 "(" 1> _0;1 D` 3 ) _G ` 3 1 6 O 1 _ ,1 c`
> M _GH1 ` 3 [l_G ` 1 6 :;e8 (Kw,;2)!#K< 6 #&# 7>U;[!2%$#7);2GE#< #)LMy2<,#) 1qr M$ 6 #+2 K7S U_ ,1 c` J, "7DCN7-)#7- 6 6 -!# 9! (EM<2; );D!#$#9 K);w,;,) !i<T# #$7-DC ! ;,QB|#7S 2 Ccy,<2) 1 8$) p < 6 #&# #$7-D
> _0H1 " ` 3 3/ $ / C_ " 1 ` / % ! 1 C_ " 1 ` 3 $ / > _0/21 " ` ! /2:r #"&7D* J2 G7-;Z_ T1 H`? $#$7-D8F<, G_ " 1 ` 9!#)(B "
_ " 1 ` + C_ " 1 ` 3 1 6 1 "(" 1C_ 1 ` 3 1 _ 1 ` 3 [l_ ` : _ ,1 >`
@A s#<,)$%;2C_ T1 >D` $(!T% x2 2 6 C_ " 1 ` 3 [X_ ` M
p? w,;T 7-$;D!#j x(<T")&%;GB|7 &
>q_GH1 " ` 3 3/ $ / [X_ ` / % (); "! : _ ,1 `
)[_0 ` $);w,;2)! 7-$;D!# )B|;,) +2 ? 2) B|$#$;!SS"M,%W;i<2;i);D!#$#9 Ew,;2)!# p$;!;,$ # 6 <,$8$#)wT$ F<,_ ,1 ` $ B|$ !)9 7-$;D!#8 s#<,")&%;-x_ ,1 c`"1 (!#(:J, "6 +T ;,NFD<2d# 6 <2$$;.);D! 7G+2) S) 2 -^);D!# &-; _ T1 D` 1 @A O<,;2)), ;2DE2) 6 <,$MFD<2U_ ,1 ` ;2U$W7Y% WF<,i!# [ !;, 9!)9 6 e < 6 $ E eB%7C<2 O4 5j 7G+T$(! p #);.7C+T Z$W";H;,)$;!^9 <, # 6 Z+!#$;2W &%' NB%7C<2 &(& 2 1r xS ;!) p $"27:FD<2 G!# ;TQB|#7S , c);D # G 6 #<T !#-$8 ;H<,)$%;Lx :! ;,QB|#7S 2 *);H # s_$75 6 %$;,)" ` 1 u;W ^_ ,1 ` !;2$7-DFD<2>q_GH1 " ` 3 $ / S_G 6F/21 " ` [l_G/ ` ! /
;, CB|<,;,")&%;S_0-`1 " ` ( 7S CB|<,;,")&%;^s$;W$ 6 +27S pD? $(!T% 2 2 6 S_G-J1 " ` 3 3 $ /
/ / M 6 / M
! : _ T13&`r <2 n );D!#$ _ ,13$` 7DnFD<2C$A);D!#$ ;,L$j<,;, SB|<2;T")&%;K ;, m%' !#) p,? FD<2 3 $C<2; 6 <2;D!#K#$<2 1 4n$+2)K ^&Q!d( 6 <2$L#$7 6 \$ x d);D!#$ u ^
c U N ; N7
Re(k)
Im(k)
S
C
yq) 12T1 z #L$A(IQG$ 6 s E(<,7 E-);D!#$ $5 L L$v";D!;2 p ! ? "7E#);T)$ -;M yq) 1LT1 z,1 +2!#;,78$;!;,$8FD<2
S_0-`1 " ` 3 3 $ / M! 6 3 $ : / / M
! _ ,133`r c <2 _ ,133` +,($#7*FD<2 6 - + " 2p $;!;,$ -6 " G? ;L&Q!s$ #Dx);! ;,& ;N < 6 ;2$;,") 7;D!#S ^"$# 6 ! C E M? u<,#d$u$7S 2 ;N(+2-$";D!#;2(8 ;2x2 S_G-`1 " ` 3 ,p - 6 " 1A < 6 ;2D 7x J2 WF<,-N+ " U,1 *k&Q!* (nJ, ? 2 6 D()+2))2 2$ % 6 )7-$ 7-;6 " ? n#<2;,2 7-;6 " 21b <, ;T-+ " s? - 6 " ,p "$# 7A2;D!##;,s8 6 #)7v);D!# $; C E ? $kx S($<2;,, G$;( C E Y21 +!#$;27 S_G-`1 " ` 3 1
p 6 " O- " 1 yq);, 7$;!c()-+ " Yx? -6 " Y "$# 7Dv;. C E C? +!#$;27D*FD<2S_G-`1 " ` 3 x6 " &- 1
$#<27);,-!;2$7-DjFD<2S_0-`1 " ` 3 1 - 6 " 11
1 6 " &- " 1 1 " O-J: _ ,13&/`
n ;,2M_ ,13&/` +!#$;27DF<,>q_GH1 " ` 3 $ / S_0-`1 " ` [l_G 6F- ` ! - 3 3/ $
M/ M [l_G\6_- ` ! - 3 3/ $ % M% / M [_ ` !
N7 ] H N 7 S c#cFD<2$ 6 #&")# 7-$;D!# GB%#7G<2 c4 5j 7C+X#! 1*x )7 6 #! ;,") M;2! cFD<2L x);D! $xFD<2 2"w,;2$;e S_0-`1 " ` 7C+2) ;N;iB|#7S )";D!);H<, ? c";D!#);D<,)2 $C(L, ;eT%^;Z C$ "!#%' Q!)$ 1 *Q! ^()!#<T ")&%;e#6 $#;D! L#)$7 6 #FD<2-#-#&(<2$;d 6 +,$7 5;i "!#$&%' (!#) 87&) ;D!#-!# ;, KB|#7S , 1P <2&2 -"7QIQ$))$#$ p <, ;, -!# ;,(B|7S 2 Gcy2<2)$ p 6 #+27S
> M M 3 > %(% 1 6 1 "(" 1> _0;1 ` 3 ) _0 ` 1 6 O 1> M _0H1 ` 3 1 6 :
2^<,$(!#5! 7G+2)"%; p <, ;,2- -!# ;TQB|#7S , Ccy,<2)$ p FD<2x$;W$ 6 +27S >JM M 3 > %(% 6F>1 6 & 1 "#" 1
>q_GH1 D` 3 ) _G ` 1 ) _G ` 3 1 1> M _GH1 D` 3 1 6 #)7 M(;, uFD<2$ M 6 <2;D!#9 &x FD<8%$ WF<, # S ? ! 2 W<2;i!#)7 6 " 3 6 1 ;,"<,;D!#7)#7S#&(<, ! -<, ;, $ !%' Q!)$ 1 .94! , "/.#3% '( , "$e7(01 4! , (% "1K* 98 '( !
"$#3%!
;LR$ #Gx#)(!#$7S p C!2%&";2) G$: G7)(7S -FD<2 6 c<2;T -# c&"<, ")&%; pH? T%CJT ?FD<2G!#$;2x"<,)2 M";is& !##& 1 &(7i%<2;2) 7$;!G<,;O(IQ7 6 W$;i2"! FD<2 ? #xQI2% 7G(IQ ")") 6 -#&(:7-&) ;D!#x !%' (!#) 1 u 6 #+2$7S C& M + /21
/'1 % 3 1 6 1 "(" 1
M $ 3 ) _G `[l_G ` : _ T13&z`&(7G_ T13&z` );D!#<,");TE 5! ;,QB|#7S 2 5-y,<2) ? Xpl6 L+!;2$;W^_FD<2&2 ;TS"7QIQ$))$)wT :2"! $ ` p
M 3 /'1 /'1
1 6 1 "(" 1 M $ 3 ) _ `
[X_ ` : _ T13VD`
c9> N ; N7 @k ^_ ,13D` &j<2;d#)Q!7S c&"<, ");2& );, ) _ ? ;2 <2;T ( &"<, ")&%;^"7S;^ (x $<, )$%;2;,2 ` 1 *Q! $v x)B|;,) x;-X #x<2;, x# $<, )$%; 1 u()(!#7S E(G#&(<2$C- L7S ;2$ SJT +2)!#<, p ) ;, )\$ ;,S 7S 9!#)\G2v()(!#7S EF<,$5W7)#7EFD<2(-J, "G 6 #"& 6 x !#$%' (!#) % $%' !#$;27FD<2G W(<T")&%; _ T13VD` $
3 + M / M + /'1 )[ _ &g`
+ !)\n _! "D`#Dr $ !$ 1 %& *) (') #!#)5_ *g`+(! -, . $/Y% ")*-) !0 ,) ' ) % WZ 3 + /'1 )
[ % W Z 3 + /21 ) [ _ VUD`1 % ! ) +0/21
3 M "" / M WZ ) #)*2) .3
3 + W _G 6 " `ZX_0,+ " ` 45 ,")&% 5 6 )% ) 3 3 6 62 /, )7s)8 3 2) K p %& # 2 ) 1 [ !09 0 3 Z93 " +(! 2)0W()[3 6 6 ) +(!0.%!#) ")&% .)% !#) : _ VUD` 1 _! *;"` *-, ?%!4< # , 8 '( '(*e4(01 5=X 6$ ' ) % p 6 )% ') > ")&% ? )*@ )6), !00 K@ 0 ' #)(! ?e) w ) ! AB ) ) ) #)?6$C@D ") 3 6 E :!#) ?6 u F ') G ) , ") 1 2 HK ) I ) (' ) #! G!00 J@ )% ! )"% $%' *,)$%) I% ,# 5=K ' L6 )% M6 ; 6 : 5 0? ! 9!) ' G!$ F@ 0 ' ) % !#) ?6 ON v)*2) 3 ? C ) ) ) #)P6$L!$ F@ 00 Q K") 92 % $)$R 1 )% ! 9 )$%) ? )S@ ") ) )P6$:-@D ")&% !00 K@ 0 r (! #) 0 ! '7 (!0 ")&% p 1 ) (' ) (! x!$ J@ :6$% ! Ti *,)$%) O% , ##)6X)$%) G !0 p &%' UJVJ ?6 I Q!$!2% )S !$ W W X) % Y ) (%& 02 g Z !$9!$) ! Y%P ' 8 00 * M) % b $ ! K j) %& #! z 1 [ r 1 \ ? V]P ! M)-)!0 M?,0MG!2% ) ()!") 1 ) ") +9?6 =6 )#!#) X6 % ? 5 , 3 !00 6 P ! $ +*Q!
c 6 % ? 3 ; % ! W N R 3 )$%) C )) ) x) ) K) 1 @D ! 0- )
M + % 3 " 1R " " 1 "(" " 1N H1 " R 3 " 1 "(" " 1N " 1 " R 3 [ N0" R 1 " " : N * c R
!00 F@ 0? 6 N' 5=68% ) R N * c R ! 3 % (!009!)F@ N H1 RH+ % N H1 R 3 " 1 " " 1
N " 1 R 3 [ N RI: N * R
3 !00 F@ 0? 6 , L (') #!#) HN * c R @)*) / K) ) ) ) 3 . 6 H 6X% !0 ,")&% [N * R N ;1 R3*[ N R / % 1 " " 1 N * R3 C E " c 1 @ "!#) ' ! x!00 J@ 6 + 53 C ,)$%) YN * R T 1 0/G C E ( ! ) ! %' = E) #)Q! ) 1 3 5 (!0 n6 ) 3
!#) !$ F@ K 6 + ) , Z *T()&% E 3
!#) !00 F@ 0?
6 1 6 \ !$ ! 5%&7 ?6 7 !$!2% ).60: ' N * c R ) % 02 Q! I / I6T% !) W *,)$%) BWN dc R )% ! ) , Y@% 0/ ) (' #)$%) 60 N * R N ;1 " R 3 $ [ N R M / ! : N " R
5 ! N " R ! 3 6$. 6 ! VJN 4 1 " R3 " #) " %(' 1 3 B Q! Y v) ! 2$ T <(6 )* ! 6$ C E " 1 [ N R m%' !#) & ? U M !$ [3 3 " +*Q! [ ' ! 5 P )S@ Q!$)$%) T 3 M 6 )% j!) $"! &%' (!#) 1 )2 3 M T , -:!00 J@ ) JV % ) % 0,# ' ) ! 2$ 6 ) X()2 . <(6 ! =3 6 \ ? P ! * ! 73 6 )")&% !$ F@ 0 6 N " R* :') N ;1 " R 3 [ NG" 6 % R 3 : !0 T)% ! ) 6 K[% ! $"! &%' (!#)
! ; C 5JVJ ")") 5 !$\@% T " 57 %& #!MT G!$ F@ 0 6 ,(!$ M , $ X, 0 J@ 6 . W A 6 )% m%' !00 -)#)$%) + ") #) $ X6 )%
M + % 3 " 1 " " 1 "(" " 1 M + % 3 " 1 " " 1 "(" " 1
N ;1 " R 3 N ;1 " R 3 " 1 " " 1 N " 1 " R 3 [ N0" R 1 "(" " : N R
" G!$ F@ 0 N R % ! A()Q! : ) ) ) #)
+ % 3 " 1 " " 1 + % 3 " 1 " " 1 N " 1 R 3 [ N R 1 N )R3 Y 2 H 6 Y 6T% ! 5 Y%c 6 ) 1 !00 K@ 0 6 %& % , ,") N )R 3 !$ *
1 !0 3 C E " +#)(! ? N R- ') 0 ,! ? 3 / 1/ %1 ! 0) / 1 1 / 1 ")&% 6 6 6 6 / 1/
3 "" : N R
$W! *T") !0#) ' ) N )R ()!0 3 3 1 3 3 1 () C E E" 1 ! ! 3]6 *T")&% 3"! N R , / % N R ! N R %&W ! 0) T i ) )")&% A @D ! $ 3 " "7[ Q!$ 0- .)% !#) :3 3 [ N R *, / % : (' )#!#) WN R: : !$ 3
3$# [ " 6 1 3[ NG" 6 &R3 7 )F !0 % ! ) , 0 ! %' (!#) &% U% !)*T6) K")&% T q!$ F@ 0 6 <-) 4 6 )% *T")&% % , !) ) ) !) 2) V 6 ! @D ")&% 5 D!) 56 N 5JVJ ,K6 ?. (! ) 1 N RFR +9 6 % 56 ' , $
> M M 3 > %(% 1 1 "#" " 1> N H1 " R 3 > M#N ;1 " R 3 " 1m%'
C > N @ 1 " R6F> N 6 @ 1 " R E 3 " 1 "#" " 1=%' C > % N @ 1 " R6_> % N 6 @ 1 " R E 3 [ N0" R 1 "#" " 1 N ')R
) [ N0" R M@D ")&% ) ") 8) ! 06 !0")&% - 3 =N ')R ) %& ' )) K! Y ?6 ') 6 P )*@ ") ! #)$%) [ NG" R a3 " T 1 #)-) =T ()F 2T%' 56$ (! ) ) ") H A! BN3 6 !$ 6 )# !#) 2) 0R 1 ' l!#)6 - :$%' -) 3 - \6 ( , -!$ J@ 6 P QN ')Ru!
> 3 > %V% 1 6 & " 1 " & 1m%' C > N @ 1 R6> N 6 @ 1 R E 3 " 1=%'
C > % N @ 1 R6 > % N 6 @ 1 R E 3 [ N RI: N U R - ,)$%) I N U R > 3 N R / % 1 " 1> 3 N R % 1 " 1) L@D ") N R N R: . ! 0) I R ?6 (!$) ! ? > 3 " "PN U Ru! 3 N R3 N R 3Y6-
(' )#!#) G!$ F@ 0 C! 3 > N H1 " R 3 $ 6 [ N R M / % ! 1 E" 1> N H1 " R 3 $ 6 [ N R M % ! 1 " : N c R
5 k! ) (' ,)$%) 6$-!$ F@ 0 6 4N 5=68% ) R )% ! K M <6 ()&% K6$,> N H1 " R T@ 0> N ;1 " R 3 6 $ M / %
[ N R ! 1 " 1 "(" " 1> N ;1 " R 3 6 $ M %
[ N R ! 1 " 1 "(" " : N R% $ ! -N R > ,")&% ? 6 )% 5 6 ; ' #) 6 u % (!#)!T")&% ) !$ ! ! C WFVJ ")") H L ') (! 6 )% [,0 W L % ! *$"! %' Q!) 1 56$C ,)$%) BN R % )"% ') N R,0 !00 F@ 0? 6 % %!#) QFVJ ")") B3 ') /6 -!00 J@ 1 6 $"! %' Q!) 6 % ?
> M M 3 > %(% 1 6 " 1 " O 1 "(" " 1> N H1 " R 3 > M#N ;1 " R3 " 1m%'
C > N @ 1 " R6F> N 6 @ 1 " R E 3 [ NG" RI1 "#" " 1m%' C > % N @ 1 " R6_> % N 6 @ 1 " R E 3 " 1 "(" " :
# 1
+ W (!0L $")&% H Q!0 ) P2 6 % ?= ) ) j ) 6 62)")&% [) T 6) : ! ) #) ) 3 ) / 1 ' #) 6 )% 3 - #)2 ")&% YP 6 V (!$/! ")&% 6 % 6 62 )$%) 5P ) ) 3 !$:@))\! ! v!2% )3 56 u c % ) )$%) 5 !$ F@ 0 6 1 ) P / ) K!#) 9!2% ) 0 ! %' (!#)>* * ) #)&% Y 6) 1 3 !#) ? 1 M!)*) [ S ) (!0,)$%) ,) ) 6 <) 0/ %)() . (! 6 ! M ) !)* \ ! = % $ ! K j) % (! Z(' , #+4! 2 "/.#3% '(*#3%!'( #&%!# , +56 8; >6 !$ ) ) 3 ) !0 .6 62)")&% ? 0 0 Q! 3 7 ) = 9 2) 1 3 u $u bK% ) 7 () 1 6 ()&% 1 6 * :? $ 7 ##) % ) ) , ) ; ) ! ") P7 ' ) K ! +*Q!$ ") u % Q!$ ! 96 ") L. 3 1 )2!#) l T 6 6 K2 ")&% H/ 2 T% I3 T H Q! , 1 3 ! !$ 3 / 4)* * ?6 #) % 1 3 #) .6 ! T' /G % ): ") ' )*) ! ) !$ \6
/ #) T T6 #)$%) 1 >[ ' ") Y &2 ! 3 ") :
M + = N
> R 3 " 1 % ' ")&% 0
N > M + >=,> R6_> = N
> R 3Y6 T,+ % M 1 K 1 P Q8! ) N ' * R+ ON ' R , 1 ! ) ) M60S) ) R% 2 )!0 P #) !$ = )$%) Y%6$ 6 C $. N ' * R " ) , [ ")&% C <6 )* !$ <(6 (! H 2) x0 %& )$%) = (!0 T3 T N
R + = 6 0 3 6$ )*@ ! K") Q!$ ! X% )*@ ) [6 62 )$%) B ) ") N ' * R % 6 !0 : ) )") *) )") 1 @D ! 0 (!#)! 1 6 % .@ ) % 1 *% T Q!X%C ?6 !0 ! F ! (! M6 <) K @ 56 62) /60 ##) % ) ) ) + 6)* 7*2 M ) T% 6 T 6 3 ' )") #) K 1 6 #)&% [:3 2)) % ) 1 T 5 U% 2) )*2) * ! 7 6 3 2) % ) ! ') ) 6 3 M ! ) % , : ,) ) T@ 0
3
+ 1 T3 T
+*T;1 >3 1 N ' )R
1 TH1 !0 3 6 F6 )SF, 6 T ! "P )2 0 ,0 WN ' R ! 3 ")&% [. (!0 5
T3 T+*T3.T N
+ R 3BT N
RH+aT N
R + N R % T3BT N
R
N ' R T N R E" 1 3 !$L () !0 % )"% !0//6 #)$%) ,Q!) K! 1 [N ' R 1 N ' )RL6 N ' R )% ! 3
MN+ = 3 " M 3 6=T N
R + % M N ' R1 F6 $ 3 N ' Ru : .6 <)?")&% -6$ ) ) +*Q! () K! ? M ") 4) >6$
1 !0s (') ) ! 60 (! 46 6j% ()! <6 0 !2% )
3 sF ' 8 >6 6 ") ) T +(! \)% !#) ! ) ' 6 ! T6)* 0 ) ) N ' R &%' ) ' 02 ") - 2) % ! -)!#) :!#) 3
M M 3S6
= M 3BT
NR 6 = % M N ' ')R?% ) T N
R M M=3 + ) N 5=1FRI:
"7 * 2 [, 1 3 Y C ) )") ) )") /6$ N ' ')R 6 FVJ ?6 Q!$ H 6 3M 3 " % _3 " 1 6 ") ) N 5=1FR 3 C IG@D ! C3 6 , C ) ) P ! EN ' 'R 3 T N
Rn!#) ? ) #) ) ?') ) 1 ' #)&% ) ) #) ) (! A $ ? ' ) [ 6 62))$%) I
') +6 0 *!0 % )"% [3 : N ' ')R: 6 ! ' ") )Q!0 % ) T N
R 3 X6 )% /6 '
M M 6
3 ) N 5=1 FRI1 " " 1
N 5=1 " R 3
M#N 5=1 " R 3 " 1 N ' U R) N 5=1FR 3 " 5 1 " 1)
3 X6 6 ") =T ) ! 06 !0j j) ! () . H ) ) 6 ( ,") 6 )
') N ' U R! !00 F@ 0? 6 9 1 ) 5 ! ) 3 N != + R 3 )
3 )N ;= + R N ' c R1 *T")&% [ N ' U R Q!X% -) (' )#!#) N ' c R 5@ 0
N 5=1FR 3 N R $ /
$
) N =1 RN != + R / M : N ' R 0 N ' R ) (' ) ! 6)* ) ') #!#)9!$ F@ 0 #) 1 !
N 5=1 R3 N R $
) / N != + R =: N ' R
3 : N ' R6 ,0 ! ? S ) ') ,")&% 1 ! N 5=1 R3 $
N 5X6 5 1 R ) N 5 1 R 5 ) Y@D )$%) N -`1 R K3 Y @D ")&% C - B 6 % Q!X% 6
N -J1 R3 N R $
/ N ;= + R =: N ' *;" R N ' *;" Rk , ) % ) -\' #) % s ( 6 2) b-E 5JVJ 1 )% ! ) () = X3 3
N -`1 R 3 N R $
$
/ N + R () 3 N R $
$ / > N + R - 3 N R $
() N - R - N + R
3 N R - $
() N - R + 3 N R - $ / #)
+ - 3 N R - $ / %
+ - : N ' *) R
#U N ' R [ #) N j%x BFV GFVJ ")") R 1 B)% !#) <6 #)$%) 60 N -J1 R T@
N -J1 R3 / - 1 C E E" N ' )R
) * ! ,0 [N ' * R ")&% QN ' R: . !$ 3 N 5=1FR3 $ /
$
) N 5 1 R 596 5 M / / 5 : N ' R
+ N ' )RT6 ) (' (!)*?K!00 F@ 0? 6 , Q ) !0 ! ))$%) 1 6 !0 ! ! 3 N 5=1FR 3
$ ) N 5 16 56 5 R 596 5 5 N ' R
3 : *,)$%) I% ,# % %& ") 3 ) , T@% 0/ .% ) ) < .# , 8 (0$ '( #3"$ #3%0 "1%+* H, 46, >* "H.#&% ! 06 !$ P , 0 N ' R !2% 0-) 5 (!$5) 5 % 6 62 ")&% H ) ) $ (! B 5 @ #) 5H )2 ' ) d TU 2)$%) O 6 H6 5@D ! 5 K6 ! .% ' )$%) 1
56(!))$%) d ∆ xi’
xi’
o
x0’ x
observador
x−xi’
)2 ' *
4 c 0S) ! 6 !$: N ' R x (' ) ! 6 I@D ! d ) !#)8 16 <)\-) ! 2)0&6 SF?
N 5=1FR 3
$ 1 ) N 5 16 596 5
R 56 5
5 : N ' * 'R
5 , $.6 ( M )*8; N ' ')R -#)*2)2) ! $ H 2)$%) 5 -)! ) ) T@D ! ) N 5 1FR + 6 ! 5 R ) ?3 : , , Tl!#) ?6 6 ") ! \ )!#) : 5 !) ?6 @6 56 5 1 3 M ) ) 5N 1 ') ") 6,#) R!$ U' ) V 5 .5G !) 56 56 5 (! CN ' * 'R ) 3 : R ) 5 T , T 5 M ) ) !) 5 !) ?6 6 62) 6$ 3 * 2) 5 "7 ? Q!$) ! 6 !0)$%) #),!#) ?6 =3 ", 1 3 2) ! ! ) 7 6) ) 3 2) : 3 8% * )!#) Y6 ,5 &) 5
6 ! 5@D ! Y% T35 \ !0 ! #) 56 5 ! 3
3 "
, $ 3 Q!00M) ! 6 !$)$%) B C ) #)(! ! ) ")&% N ' * R K ! ) : #)*2) () ##) % ) N ' * )R T@ N 5=1FR3
$
5 596 5 $ / ) N 5 1 R M / / : N ' *(U R"P.N ' VU Rk ()2 \3 #6 5 6 5 #6 5
6 5 605 d * #) #6 5
6 5 " ! <6 ) ") T) ! 2)0 / 60 C E " + ! ) 6$! 5 d !#) 3
$ / ) N 5 1 R M / / 3 ":) #)*2) -3
3 " !0 T F6 X% % ! 5 , 0G 5JVJ )) 60 ! j ) ') -3 N ' RL ' )* "!0 ! )F F !$
5JV L!0 % )% YJVJ ")") ' 7 N ' U Rj B (! % ! 6$ v ) ) K () 1 G) ! 6 !$)$%) I *,)$%) I [ 6 WN 1FR 4(0 "$ "$#3%! '( 0$ <e.# , 8 (0$ '( #&"1 #&% 3 CN ' VU R (!T%H F !$ <6m%' ")!0 ! !2% ) BN ' R ) O % 2 )% ! s) @ 0?")&% H !0* Y6$?@D ") ) F6 %' = F!0E 56) 1 3 %&/ ! ) =?6(! d 3 ) !0#) % 1 ? N ' R\6$T !#) ?6 !00 ' % / )$%) ) H6 5 6 5 S +(! 6 % - 6 !0- !00!0 -I@ 0 &%' ) ) !) :6 : Y@ ! 0 3 =j!$ ' % @D ")&% ) N 5=1FR Q! !) ')7%& 0#) =6 <H)) ) ) ! 2)0")&% / % #) N ' R 5 , $ )!)* 2 6 <)*") 3
X% JVJ ! )*) ! K, 1 M)*)!0) ) 5) + 6)* 2 j ) #) k T 3 ) N 5=1 FR 5@ 0) N 5=1FR 3 N 5XR [ N FR N ' dc R .@D ")&% N 5XR*T% / \6 ") % 7 !0 T F@ $ $ ) @ FVJ ?6
N 5XR3 5 ) N 5XR % ) N 5XR 3 1
1 5 @ 1" 1 5 @ :
$: )(!) % ,")&% I ) ! () .@D ! : G / UN ' dc R N @D ! K!$ I )*2 Ru! 3 5@% T N ' * R! TT@ 0 N 5=1 FR3
@$
[ N ;6 56 5 R 56 5 5 5 : N ' R% @ " 1 5 3 ,0 ? l! ' M ; ) ! 3 m%'
N 5=1FR3 m%'
[ N 6 56 5 R 56 5 $ N 5 R 5 3 [ N 6 5 R 5 : N ' R
N ' R YL) ! #) H ) ) Y 5 )!#) 6 7 @D ! 6 !0 N / 1 ) !00 5O3 R 3 T' &%' [ N FR P ! 3 6 -% 2 1 3 Z()!")&% F@&% ) ! #)* % !) % ' G!0 % )"% 3 W s ) ) ") % ) 5HT!#) ?6 [ N `6 5 R 9! 6 1
6 / -)?@ 0?[ +* )* ?, 1 )(! #)$%)
!$n#) !0)$%) T ) ! ,% s ,)$%) YN ' * R ) N 5=1 FR Q!X%5 !$ n 5 2)$%) I K6 6 FVJ ?6 ) N 5=1FR 3 1[ N 1 `1FR 1 21 1 Z
1 " 1" 1 21 1 Z 1 : N ' " R+(!0I@D )$%) 6 !0 I@D ! Y ) ) !$ W 96 Z3 " 1 - ' #)&% #)*?6 ? , @D ") #)F 2X%' ) ) ) ! 06 !0M @D 8; W@ v! 1 ^ ,")&% 6 !$Y &%' ) 5 2)&% ) 3 " :'. )*2 '
$ ) 5 CN ' " R KN ' * R 3 #)*2)2) ! 0 N 5=1FR3
@$ / $ 1/'1 $ [ N 1 16 596 5 R 56 5 Z : N ' R
% @ " 96 ! 5 3 9!$ % = &6 Z 3 " 1 ! / m%' ) ! @ " -)% !#) 3 N 5=1FR 3
$ / $ 1/21 [ N 1 16 596 5 R 56 5 : N ' )R
4
y x
z zε/2 ε/2
)2 ' c#)*?6) N ' ) Rx#):6 3 )Q!$ ) 5 \6 ! H[@D ! 7T, , 1 3 )* () @D ! +* ") 5 5 + H (! 6 <) 596 5
596 5 3 N 596 5 R = N 596 5 R 3 , 5 6Q 5;=15 + 5 3 5 6 =15
3 %!#)6 <)*")&% N ' ) R: : ##) % N 5=1 FR3
5 $ / $ 1/'1 [ N 1 1 ;6 5 + =$5 R N ' )R 0 N ' )R : (') ) ! ! 6 5 3 )* \3 " T!#) ?6 3 2)5 5 3 W 6 ! 5 3 =@ 0
N 5=1FR 6 !$ ' % *% 2 P% ' )$%) % x ) O !$ N ' R 3 N 1 " 1 " R [B3 ) + O ) , ' )Q!$-6 ) #) !0)$%) )*,(!$ )2 '
"PCN ' R ' 3 N 5=1FR T6 ")0 ! Y M% *!#) ?6 U 2)&% O "!T% 2 % 3 [ 3 " "7% -6 ) !$ Q!$- 2) @D ")&% W !#) ?6 T6#!#) ")&% QN ' " R "P. ') 3 [ 3 " #)67 L1 6 ' 1" + 1 6 64: N ' R
N ' R ) 3 [ 3 " 6$- 6 ! !0 "!T% 2 1 Q!X% ! M "!0 1 3 1 3 6 !#) 3 = , 05 2) ) ) 67 ! 3 U !$ 1 3 BH , 3 (! [B3 " 1 3 " #)
67 $ 67 ? 2)$%) I) [ 3 " M- % )*2 '
"
y=1
x=2
(x’,y’)
x
)2 '
x’=−τ x’=1−τ
L1 L2
x
)2 ' )
3 N 7+ R +*Q!$()!")&% 6 ' :, (!0 3
2)? 3 ") 3Y6 ) 0j!#) ?6 5 1 3 6 !) =3 - 2)$%) T3 ) !0#) % 1 3 % )*2 ' '
"7 2)0U ! #) x! 3 60 6 3 +(! F, I, (!0 3 1* 2 H 3 67 3 Y G 3 $W!#) ?6 4 W% 3 ) !0#) % 1 (!T% % )2 ' U+ [ (! ! 3
3 N \6 )RM6$ " %
3 " 1 3
4 L1 L2
x’=−τ x’=1−τ
x
)2 ' 'L1 L2
x’=−τ x’=1−τ
x
)2 ' U % "!T% 2 F-) ?' 3
5 N 5=1 FR3
" 1 67 21 N 7+ RI1 67 6 1 21 6 21 N 6 )R 1 41" 1 L:
T2)T% 5?6)! ) ) / (!$ )*2 ' c(
τ= t− x−2 −1 1 2 3
)2 ' c+ )*2 ' c ' 3 /6) 0G 5 M 3 8% * 3 -' ) - / 2)$%) Y , \ !X% 2) H3 Y /UY%C W\6 ! BY)% ' ")&% +*Q!$G /* 2 6$ " 1 3 * 2 ! 3 @D Q )!#) 5 3 Z 1 !#) ?6 2) H(5 , 2) 3 " 5 !#) ?6 56 (! ) c !) % 1 2) \U%M JV , (!0 3 % !)* * 2 T@D0 V ()! 5 3S67 3 : 56#! Y% FV 5@D ! ! [ JVJ ")")
N 5=1FRW 3 N " 1 1 " R 1 3 N 1 1 1 1 " R 5 Y%M ) 3 * 2 T5 6 ! JV /@D ! : )* +* )*j! ? ON ' R[ N 1 1 FR3 () + " " 1 [\3 " @D 0 0\ 2) % ?6 M F!0 %&
0 46, # 7(0$8 #3% ?01# , >"1%("1"$?01c4! , 0$ !"/.#&%'(*#&%!'( % *[, ' "(8 %! "1#&%!
$x! 0-) Q!00 % ')- ),#)$%) % )$%) I:) ! ) #) ) ) () 0 K6 % ) I' *) )") > M M 3 >;1
> N 1 " R 3 " 1> M$N 1 " R 3 [ N RI: N ' ')R
) [ N R T@D ")&% W % () $ N ' ')R 1 3 . 6 )%
M M 3 1 N 1 " R 3 [ N RI1 M N 1 " R 3 " 1 N ' U R
!) 6 *,)$%) 3 >JM > /O *T")&% BN ' ')R +*Q! 6 ; ' #) % (!#)! 1 > M9 QN ' U R )% ! ) M M 6 3 > M M M 6 > M 3 N > M M 6 > R M 3 " 1
N 1 " R 3 > M$N 1 " R3[ N R 1 MN 1 " R 3 > M M$N 1 " R 3 > N 1 " R 3 " 3 " :
F !$C!$ % )"% ) ! ! ?6 % Q! :, ,? ")&% . / ) )* K#) ) 6$L ) *,) ) <6m%' ")!0 N ' ')R 1 N ' U R (!0$8A% T% ') N ' &'R =!$ F@ 0 ) GN ' &'R > N =1FR73 > N 5=1FR 5 1 /)% K!) 6$ >W )$%) I ) #)
> M M + != >3 " 1 > N =1 " R 3 " 1 > M#N =1 " R 3 [ N XRI13 !#) 6 j *,)$%) > N =1FR 3 [ N XR #) N != XR N (= XR : N ' c R
"P N ' c Ru! *T")&% @ 0? N ' &'R /@ > N 5=1FR 3 N R $
[ N XR #) /N != XR N != XR / =: N ' R
+*n)?6 (!$ ! 5% ! : I 6 !0)$%) Y%Z%!#) [N ' R 0 Q! I <6 [ N XR !2% ) [ 1 % ! 68% ) (' (!)* B ) ! 2$")&% ON!3 M 2T%' !#) #)N[ N 5XR 3 " 6$ 5 R
> N 5=1FR3 =%'
N R $
[ N /R $
() N != XR N != XR / /2: N ' R 0G N ' R* % ) .' ) % P, ") / 3>5 +B- $ 3
> N 5=1 FR 3 m%'
N R $
[ N 5 +&-R $
() N != XR N != XR -`: N ' " R
+ N ' " R: \) ! 2$ 6 ! i) !0 T") ( L6 ) JVJ -I6$ )% ! =&%'
$
#) N != XR N != XR 3 $
$ #) N FR,()
3 - $
() N - R2#) N FR 3 - N - 1 I1 CRI: N ' R
n) ! 2$ N ' R 45 ) j) ! 2)0 " )*) , ! 1 0 %& 3 6$n 3 ,) @D )$%) ) N - R8 !#) :3 m%' $
N - 1I1 CR ) N - R - 3 ) N FR : N ' ) )R
!)*)*8; / (!0U%!#)?G) !#) N ' " R +** (' ) ! ) ! ,")* ( K M6 - 3 - 3 - N #) u H1() u#) ;1# )R % 3 1 !$ J@ N ' " R: 1 N ' R
> N 5=1FR 3 m%'
N R $ - $
$ 1 [ N 5 + - R N - 1I1 CR - : N ' R
0 [N ' ) )R9 ) N - R 3 - $ 1 [ N 5 + - )R 3 : T@D )$%) 60T- ' %) N ' ) )R 3
> N 5=1FR 3
$ $ 1 [ N 5 + R N ' R
3 ? - <(6 ()&% B% , Y60> !2% ) ! s) )") +(!0Y@% 0/!0 % )"% %& ) N ' R,!) 8) ! 6 !$)$%) T 1 )) ! $ k (') ) ! @ #) 5 )*2 ' 5= !) 56 3 " 0 %& 3 [ 3 " T% Y ) (!$Y 2)$%) B3 T (!$ )2 ' 5@% 0/ N ' R ) T3 6$ !$ > N 1FR % (!0-!008 F@ $8 M 0 ) 7 ; 5 ' 3 8%T' ! [M % / ) , F@ $ ) ! 2)0 ' [ + )2 ' ' 3 5 2 $ ,% I6#! 5 8 M ) ! !$ 2)&% 6 (!0 % 6 ?[ * >&3 " 60 1 "7 [)I@ 0?[%!#) 2) 8 M ) ! !0?5T 2)$%) [ 3 " N ' R 3 : K6 % ?T60T ') \ ")&% I. - -, -!$ F@ K 5 6 )% 2 % !) /3 ) ()(! - Y ) !$8 @D )$%) X!#) ?6
'
g = 0
x1
St2
St1
x2
St
r=t1
x
)2 ' i) ! $")&% 8 M ) Q 2)&% ) [ 3 " +*Q! Q 2 0 6 % 2 % !) % Q!$ ! 56 FVJ53 :%& ') 7 G + T 1 %' () )?6 () % P' * N ' R @ 0?G $ ) Y % 2 5 T, , 1 3 )* () Y 2)$%) H [ 3 " 6 )PI 6 <)")&% + ? (! 6 6 <)? 8`M 6 6 /3 !) 6 0 W') "! = 02 m%' 3 5Z W A ! ?@D ! +*Q! 6 j F68 I, )5T@D ! [' ) 0:)*,(!$ (!0=6 <)")&% ! H> M N 1 " R 3 [ N R 3 6$ 5 1 % , > N
1FR
S -#)!")&% / (!$ )*2 '
+6 3 6 * T ')7, ")C)8 3 2) 1 G) ! 2$ N ' R* 6 <)?6 c% % )2 ' !0 % )"% [3 6$ "
6 >93 "1 3 M9 ) ! "!0/ F@ $ ) G ))$%) ) )) / 8 0s!) ?6
6
+ -% L % / !)*6) 6 ' > % ') )2 ' C% S % Q!X% ?6 C 6 N 6 FR E ) * ! ! 3 > N 1 FR 3 M
C 6 N 6 FR E 1 6
+ 1" 1 ;6 " : N ' 'R
#U
x0
x=x0−t
Pt
a
)2 ' P !0 N ' 'R 3 [ ; ) 3
FV @D ! [2)T% >[ ' ' ') 8-U%M 2 (!0 1 Y%\ !$ +(!0-#) !0)$%) Y 2 ) 6 ) ! #) !0")&% E 1 3 N() !%' F@&% ) ! ; N JVJ )) Q ) ') -. (! . !0*
%!#) JVJ ")") ? ) !00M!#))8 WN ' RL- ,)$%) K6 % >JM M3 >1
> N 1 " R 3 [ N R3 C () 5 (!T% [ )*6T )
+
+Z
3 E N ' U R 6 ! /P% ' ")&% 5 (!T%/ JV )*6T ) 1 (!T%c % JVJ 1 J1 Z F6 "!#) ' ! + W Q!$ )T()&% ) Q!0 1 ' )j ,") M6$? )$%) [ ! ) #) ) P 6 % % H )") 6 d) /H)F 3 B,0 H6$ - )$%) T60 % !0 P Q! , , 8 - !00 \) % 5 ) (%& 02 ' Z !00!0) ! Y% ' 8 6 T% !0 P !0 8 &%' W ) % % $ ! K n)* % (! Z P 1 60 % 6 ") 60? ) ) 2H<2Q * !0 ) ) , c ] $x ) 2) Q!$C $")&% !0 3 -, 1 [% ! L! !#) ' 6$ ' 9 )$%) H ) @D ") ) =6 ; ) J@% ) 1
c6 ! ) ) !08 +(! 5 )#!#) 3 k%' 1 -)!#) L& ! L. L) % % 0 ! K j) %& #! ), " 1 % 6, ) ]
S 1
+ H (! 6A%' !0 / !00 2 JVJ ?6 6 62))$%) W 1 T ! 6 )*@D,#)$%) X -6 )*@D,#)$%) / 1 )S@ ! . , )6 % % ) 3 ) () 0 ) 6#) )*62) H Q!$ !0 + )*@D,#)$%) c *T") x K@ 1 ?6 - V C 3 2)) % ) !00C6(! ") )*@D,#)$%) !$ % )"% !0 T6 62 ")&% I ) (!0 % )*) . )S@ ! :!)*6 + Q! 6A%' !0 . <) 2 JVJ 56 =6 ! !&%' 62) (' , #+4! 2 "/.#3% '(* ?01# , )8! 06 ) ) #) ) E j) ! ' " 1 !0 56 b N 1 FR4! ?6 $9!0 5 6 ! 2!#) ?6 6 u % = % !) I l!$
+&) (!T% 56
% !#) 3 % 6 %' 0L! ?6 0!$ % 3 03 $ % ' .
%(' N R )
N R M () &%' 3 - !) I !0 1
+B) $ %(' .%V'
N R N R`b N 1FR 1 3 F6 %'
!$Y6(! T % ? N ' )$%) B? 02T%' )R ) 3 ? v % ) S !#) [ !0 1 + )3 3 . !$96f 3 0 +
")" 3 F) )Q!00 2 ! <H! 5n&%' ! !0 6 7 N R VJ 3
$ %(' .% '
N R N R`b N 1FR 37 N +&)&R6 7 N
RH+[ 8) )(!$
!$ ") VJT * x! ?6 0!$ 1 Q! 7% !#) : 5 <6 K)* !$ +=<6 )* !$ ! ! ) %3 7 N R3Y6 N R b N 1FR N R T !#) ' ) !2% ) !00:6(! M , u) )(!$ 6 9 @D ! . <H! 6 . ) % )
$ %(' .% ' N 1FR 1 6$52 T@D ")&%
% % ) ' #) % +O)[6 !) 3
$ %%V' N /R N /R b N /21FR /,3Y6 N R b N 1 FR + $ %
%(' N /21 FR /2:"7 #) ' F6 "! =%' ) ! 6 #) A! 3 ! ?6 $9!05!#)J@ ")&%
N R N R b`M N 1FR 3Y6
N R b N 1FR + N 1FR : N U* R
+(!0 9 )$%) ) ' ")&% ")&% [N U* R %& ' ))$%) ) ))b N 1 " R=3 ) N R 1 )") @D ) ! $ 3 " 1 3 F ) c! ?6 0!$ VJ? (!T% W T@D ) ! $- b N " 1FR 1>b N 1FR % ) % N " 1FR 1 % N 1FR !00 6(! <D!0 6 ; E! ?6 0!$ 1 Q ! [ VJ ) ) () 0TT 1 - @D)-) ! 5 P Q8! ) )")&% [ @D ) ! $ 3 % ) )$%) b 1 b % @D )$%) N 1FR ")&% IN U R / ! - (6 %
"1-4 H, "/.#3% '(* #&%+* e8 " %!?%+* 6 % ) ! 0 ! 3 A6#) $E6 <H))$%) 6 ; 6) )$%) A W )*@D,#)$%) E !0-) ! $ (! F6 ) 3 ) !00")&% !$) ! -6 ! n!#) ?6 N 1FR + ! ) L ?6
$ ;" )")&% [ S !) I !0) ! 3 VJ !$) ! + 56 T")&% [ X2 ! )*
$ %% ' N /21FR / 37 N 1 FR6 7 N 1FR;+ 6 ,$")&% [ X2 !
+ VJ 7 N 1 FR : ! 0-) <6 )* !$ ! +X T ) ! 2% : 5, 1 ' ) ! ) I') ") + 1 ? VJ 6 ; 6 <)* 6 7 N 1FR 3
N 1 FRH+!+ N 1FR :) 6)* !2% 0) - )*@D,#) ') 1 T 2 - @ ! 2!$ 6 (! 6 ' ) ! + ! \ ")&% 6$ )*@D,#)$%) 1 !$ 6 #! : !$) ! Q!X% (!0 ! 6
M3 %(% + + % : N U R ' #)$%) Y% 2 $ A ( ") ! )S@DT()&% ' ) % 6 ! ? 2)&% ) !$ #)*2)2) ! @ 0
N R N R b 3
N R b + N 1 FR1 1 " " 1b N 1 " R3cb N R3 ! ?6 $9!0s) )) 3 v ) 1 C )") @D ! 0 b N 1FR 1 b N d1 FRI: +*Q!$.6 Y' ) !#)6 G b N 1 FR 1 b N d1FR #) !$) ! H Q!X%H6 )! 9 ; E
VJ % 3 1 1 3 d: % )% 6 / H <H!0 VJ 1 W ! -! ?6 $9!00
0 ##) % )7 1 / @D)-) ! Y P Q8! H @D ) ! $ T L % ) ")&% % + N b 6 b4R?3 " b .L! ?6 $9!0 % ) ! +9 !0 ,") 7 (! !#)6 [ 6 % (!T% U ) % ) (%& 02 + H Q! 6k%' ! T ##) %& 6 % ?5 1 E *T")&% #) % ) U !0 5JV 60 ! <H! PU% ' 8
0 (! ) 6 )% 7 )F6 #)$%) ? !$) ! 6 9 x , )* x 3 " !#) N 1FR3 [ N FR [ N FR .[6 ,$")&% !0-) ! ) K)* ! 6 6 ") )56,) )* N 1 " R 3 " : )$%) I3 :%& ' 7 M 3 %V% +!+ % 1 " 1 E" 1 N 1 " R3 " 1 N " 1 FR 3[ N FR :
" ! 6 % )F6 ()&% !0-) ! H3 F !0Z) )") ! U 3 " : ,")&% :% T#5 , $ ! 5? !0 1 ) )")&% ) )")
N 1 " R 3 7 21 @ 1" 1 @ 13 0 6 ) - !0 !#) ! !0 7 !0) ! - [ #)2 0=< * # '( 01 < !%+* / 1 )*?6 #!0 ! - 6 )% 8 !#) /@D ! % ) T@D ! 7 1 ")&% !#) T@ 0
b M 3 b %(% +7\1 ) ) )") :) )") 1 @D ! 0T6 6,) + T, , :#) !0) ) 7 6 C! ?6 0!$37Y37 N bPR :+(!0 6 ) 2 $ : ) 1 )2 /, , %' #) L@ % ' ) ! 0 ! 3 55@ , Q!X% ?6 !$ ! ! ) JVJ ?6 T ) ) < !2% 0) + Q! 7 N bPR=3 : 0 ") W \2% 2) ) L6 x! 7 N bPR,3 Yb7:4+* " I@D ! ) !$ 3 " 0 F6 Y ) + B >6)* x )$%) W ) ) 3 !0k! 3 " ) T3 b]3 " n) (!0 % -) !003 6$ " Q!$ % 5n&%' ")&% ) A" 1 3 " ) % G) ! $$")&% )*@D,()&% ) ) (!0 % )*) + 6 62)")&% W 6") K=! ?6 $ 6 % ") [ 62) ) " v!2% 0-) [ ")-) ! 1 ")&% Q ) % ' *T")&% 6) K0! ?6 $ ) @ $")&% 6,) ) +9v " v) ! 6 !0 b B') !0 VJ5 % 6() ' 6 !$ )) ! ') !0 VJ 5 02 ? k % .% ) 5M6:% ) \ #)(!#) ' 5 ) !) ")&% ') \2 . (! M6 % % 8 M6 6 )% / )*@D,#)$%) H !0) ! N #) W' ) ! R3 . ) %& ")&% [ R j )) ) :) )") 6 62) )) ) @D ! $ ) )") 6 W ?6))$%) Y F6 %' % !) )(!) % ,")&% ) )") ! ?6 $9!00 b N 1 " R 3 ) N R 1 6 62) ; X ; ) ) (!0 ! 6 % 56 '
b M 3
b %V% 1 6 1 E" 1
b N 1 " R 3 ) N RI16 : ,")&% : !$TT G!00 J@ ) b b 3
;" b N 1 FR 3 $ / % b N 1FR 1
b M#N 1 FR 3Y6 b?1 b N 1 " R 3 ) N RI1 3
:
' ) ")&% 60 b 1 FTQ!) !0 1 ? G) ! 2$X! b N 1FR 3 $ / ) N R / M % :
+*) ! 0 ! >% ' 3 ' #)) ) X%62) N 2$ Rl #!#)2 T%62) ! !$T6#! ' )") L !$M 5, Y% 6) !#))8 O P !0 O N!$ J@ ) 2 ,#) O 576:% ) 5 ') 3 / M 3 ) N 1FR\60 ) N 1FR3 1
/ % 3 A%' 3
b N 1FR 3 $ / % ) N 1FR ) N R :5 , $T6) R! (' *T")&% 6$ ##) % )b N 1 JR3 $ / ) N /R / % / M /21 N U )R
) 3 I: ) /@D ")&% ) N R\ 6 !$ <2")!0)$%) )8 TT!) ?6 ) )") ) N R3 1
#) @ ) N R3 " 6$ @ ! 3 @ "
b N 1 FR 3 / % M : N U R 3 b N 1FR " +9>Y% <) ? !$W() ?6 ? 3 " )6 #)&% Q2)T##) 1 W, ' 8WY%?2$ @ 0 [ !) 56 60 +u) ! ! !$(!0 (!0G *,)$%) ) G *T")&% )$%) ) c / ' ) )! ') ") )!0 +* c I )S@D )6 ()&% 3 +9KY% <) ) )") / ' ( &%' T6 6)* 0' )Q!$ 3 x 6 62 B' ") ) )!0 1 3 b N 1FR 3 "60L! - ' ! " +*Q! I [ ) 2 M !$ ))$%) 1 % (!$ , )*6j% ! () F6 (!0-) Q!$ !T% VJ 3 6
% !$T6#! M <6 ) ") ! 6 3 W#) + [6 <)*")&% B? )S@D,#)&% T% ! U !0 V ")&% U 9! #) 1 L) ")
" 3 P T% ' ") )!0 6 62)")&% +9& ! ) ! 0 6 X% ' 6 %
> M M +B> M 3 \> %(% 1> N 1 " R 3 ) N RI1! ? Km%' ) ! " 1 (') - W !0 3 ) ") 6 ;3 k 8 )*@D () !)*5 ') ) )!0 6 62)")&% )% ! ) ,")&% 6 A 0 %& W#)d% Q!$ % ) $ (! ) )") T, 1 )*@ ! ) 5 3 A%' <6 $ % ! : !0 6k%' )H! ,") )$%) T 2 3 s - ! )*@ ")b N 1FR 3cb N 1FR=6b 1 N 1FR:!) )2 3 b % :+ ! ) bf09!)F@ )$%)
b`M3 b %V% 1b N 1 " R 3 " : !0 6k%' k()(! (!T% 56
$ / XN + bPR () 3 b " " : 6 2 3 b " : N %' () ! -! ?6 $9!00 3 . ) )) K ! % *2! ? 6 ; $R +9R b " X%c!00!0 ? 68%
$ / N + bPR 3 $ /
b M + b 3 $ /
b + b
3 6 $ /
b %N + b-R " :"7 3 k%' 3 !0 6k%' M T@D ")&% [ ? 2)!#) ' ) ! 1 -) 8 6 !$ !
$ / XN + bPR 3 " #) E" :"7 b 3 " #) A" 1 3 #)b " -) ! 2)0R &%' )(!#) !0 +(!0 ! 6k%' -#) 2)60 b " : W)FK) H6 , YI !00[@ % #) $ ")&%
b M 3 b %(%1 / !)*6) 6 /b !
;" '
b 3 bHb %(% :
! 2$ T)% !
$ /
b 3 $ / bHb %V% 3S6
$ / b % ".) ()2 .3 b 3 " :+(! 60 % 5? )") *,)$%) + 6 )% )S@DT()&% W !0-) ! M 3
%(% +!+ % 1 N 1 " R 3 ) N RI1!) ,")&% N 1FR 3 / % / M M :+ ! 6 X% ' #) (! ) B@% T N U )R ,0 Q n % ) ' ) % 3 6 + 760L!$ J@ : ")&% N U )R ")&% AN U R +(!0 ,")&% E <6)CC@ ")&% Q6* 3 S !0-) ! ?6 , ) K6 ? \)* W8 ) ^ ) !0) W8 ) <(6 )u!#) <(6 ! 3 "7 3 A%' 3 N 6+ FR 3 MT@D ! 0 . (!058
>@D ! 0 .6*G ) 3+ H + &6 YN 1FR (!0.8 C T (!$ )*2 U*) )*2 U* / Q!00OR% B ' ) ! !00 J@ !$) ! ') ") ) + : 5 Y%7 )S@DT()&% <6 $62) 8. )*2 56*? ! ; C IFVJ ")") 6$ "! 6 )% -, L/6*56 ,") T6 - , )* % ) () 0 M , 0 6 % 6 ") @D ! T3 / 6 / -! bK6 $9!00 % #) $ \6 M ")&%
b M 3 b %V% + Kb71 6 1 "b N 1 " R 3 1 " 1" 1 E" :
"@U
1/22 (Dt)
1/22 (Dt)t
x
pluma
U
x=Ut+
x=Ut−
)2 LU*+9k " X6 )% ) ' ()&% ??8 " ) (!0 % )*) b 3 )*8; =8 ) " + / (! )*@D,#)$%) )7 ) ) !#) ,) 6 ' Y6 (!0 % ")&% W " 3 / 7?6) 6 Y8 " :&+*Q! 6 62)! 1 G) (!0 % )*) ' 8 0 !$\ ' ") Y ' % ) .' ) % b 3 M 1 % !
M=3 %(% 1 N 1 " R3 1 " 1" 1 A" : ,")&% (!T% 56 T@% 0/ N U R + I Q! !
N 1FR3 $ / / % / M /21% % ) 5' ) % /?3 +B> ! b N 1 FR 3 M $ / %/ / M >: $ Q!0 ) A ?6 #!0-) ! 5. Q!$T@D ")&%
b % N 1 FR3]6 M / % M :"7 O@% TE ! ) Y6 ( M ) 2) 3 b % <6 ) ") ! 6 ;3 U() " ! 2)0 ! 3
;" cb N 1FR 3S6 $ % b %
1 *,)* 3 b N 1 FR <6 ") ! , )560 " I:
!$Y6(! #) PW *,)$%) + 6 ! 3 5 6$ (!0 2) 1 6 !$- @D ! 7 ) Q!$ % )) ?3 ) (' :. 2)$%) 573 2) ! + )2 U x! 3
2 tD
quietud
inestabilidadt
)2 U ) (!0 )$%) )* !2% ) : 09!0$")&% 6 Kb 1 )% ! 4 ")&% ) ,
b`M=3 b %(% + Kb N 6bPR G) Q!$ % )) !$ b 3 1 % ! \ @D ! 3 6 62 C ) ' ) VJ $x!0k / Q!00 )*2 LU
"
v
v= 2 D
T=1
)2 LU +(! @D ! 6 62) 1 ') ) /08k% L2$ 1 )*@D,#)$%) [ M2$ +*Q! T : 6 0 6 5@(%' #) K6 % % % !)* JVJ ?6 (! ) 7 6 62)")&% H E) 1 $")&% H ) ! / % 6#) ' + U (! I (!0 3 " (!0 % 6 s!$9!$ 5 )* ,) ! % 6() ' )$%) 6 '
M=3 %(% 6 1 " " 1 A" 1 % N " 1FR 3 ) N FR 3 6 0#) ! ) 1 "!0 T 3 " 1
N 1 " R3 " 1 N 1FR " 1 : N U ')R ' (! 6 )% c! C!$ F@ 0 6 ?N 5768% ) MR 3 A" :45n&%'
N 1FR 3 $ M N 1 R 3 $ / M N 1 R :
+9q !
!00 Y , 5() 2#) @D ")&% U ,(!#)! 1 5 ) !$ \ ")&% 6$ N 1 R %(% N 1 R 6 N + R
N 1 R3 " 1 a1 A" 1 % N " 1 R 3 ) N R 1 E" 1 N 1 R " 1 #) :
;" - ,)$%) Y
N 1 R3 N R , % + N R / , % :+ )*) ! 6$ )56) 3 N R3 " 1 W ))$%) U 3 " )*?6)) N R3S6 , N + R N R 6 = !0 ! N 1 R3S6
+ ) N R / , %L:5 , $ !) /3 ) (' (!)* !$ J@ 6 -!$ J@ ) N R 6 )!0)
) N R 3 11 " @ 1" 1 " @ 1 ) N R 3 @ " : % ! ! #) ,")&% [ N U 'R (!T% 56
N 1FR3 6 $ / % M +
3 / M $ M
6 0 %&:3 /'1 1 % / 3 1 M / % / M )*?6) N 1FR3Y6 . / M
/ % M3 / M #
/ % M - 0#) ! 5 02 ? k % : % 1 (!T% T6
% N 1FR 3 / M / % M 6 3 U ) ! C E?6) !0 / M % ) AY68% ) #)(!#) ' + Y% <)* 5' 0#) ! P (!T% I 6 ! ) N FR8!#)J@
%(% N N FR 1FR 3 " : % ! N FR 3 +6 T ) ! ' ) V x ) ' ") ) % 02 ?6)! 1 , P ! ) $ (!0.$8A% m%' !00 -)#)$%) 6#) ' %& ?6 K!$ G ! ? !) ') N 56) $R 3 ?6 G ! #) B M6 9!0$ 8 F ') (! 6 % 7< N3 ) , 0#) ! / H
;" ()(! ' ) R , ") 53 - ) (!0 ! #) ?3 6 ' !0 VJ- W $[6 62) "P , , 2 D) 2 1 =2< 1 6 Q!0 ) H ) ,$")&% !) ' , ) 6 ") ! - 6 ') !0 VJ -)% ! ' ) *LK") P Q!$ ")&% I ) R @ 0 : 3 -' ) V #) 6 ?6) !0 ') 8 % ! ) Q!$ ,") 56 ) E ! = )F Q % 0 F6 % = C ) ,$")&% !#) ' +(! 7 % )-) ! @D @D !$ 1 H) 21 =2< 1 )% ! ' ) H 6 ) P )% 1 3 % ) W Q!00E 56 ()&% B 6 / ))$%) Y !0 ?6 ) ! A()Q! ' ) Z
! %
1
+ (!05 ")&% / <6) 2 6 62) n!$ F@ 0 ) 3 , , W ! <H! <6 ()")&% W/ (! = F!0 n 6 ) !$ 3 2) \) % T %)#) P= Q!00/6 !0")&% #)*2) T 1 / ) % 5 ) (% 2 +56 8; L6 3 G!$ F@ 0 #) T@D ")&% ) N R N!3 6 L F ") ! ! 2) ) ! 2$ % R: :
) N R3 $ / / % ) N R : N 5 * R% ) ") ) N R8 6 ; 6 0 ) N R8 T@% T ) (' #)$%) ) N R 3 $ / % ) N R : N 5 )R F !$ !#)) Lc!$ F@ 0 ) N R !2% 0-) C!$ F@ 0 ) N R +(! ) ' WN 5 R 1 % ! ) ) N R3 $
% ) N R : N 5 R % ' 3 -N 5 R K/ (!$ 3 ) N R Xj!$ F@ 0 :) (' 0 ) N R Q! N 5 R*! 3 G!00 J@ ) N R M6 ") ! ) N R JV FVJ ")") 7 ) !00K!$ J@ K% () ) ' ) !2% 0) ) N R T@% 0/ N 5 R ) .3 3 2) M@D )$%) ) N R\6 . ##) % ) C P 96 % ) N R 1 /?6) !0 ) N R 1 % 57) 5 % 2 ! 6 . ) G!00 J@ ) M6$T@D ) ) !0 ' K) % +*Q! , 6) N 5 * R>x ' #) % 6$ ! s!$ F@ 0 )
#) - @D ")&% C ! ' ) % N! ' ! XR 1 T ? E()22) ! 0
) N XR3 $ / $ /
$ / ) N 5XR / 5=: N 5 R )X6) M N 5 R\-!$ J@ c) ') ' ) % 6 ' #) % ! ) N 5XR3 N R $ /
$ / $ / ) N XR =: N 5 'R
! - [JVJ )) 6$ "! )% ! W !$ N 5 ')R 9 % , 0\) !) 3 ,0 6$ :!00 J@ ) ) N 5XR + 6)* 2 % ') 3 3 1 N 5 U R 3 = 3 3 = 3Y6 ;= :
$ - !$ F@ 0 ) 6 P6 - 2X%' S EN 5 )R 1 ,0 N 5 ')R*! 3 ) 3 = ) 3 N R $
=3 ) N XR 1 % ) N 5 U R
) 3 N R $
6 ;= ) N XR =: N 5 c R"7IN 5 c R ' 3 -!00 F@ 0? ) 6 ) N XR N % ?6j% : Q!$5@% 0/ ) 0 6 ) ) ! 6$5 2) #) ' @D ) ) S ' ) % R ) * ! P )!)* T! C (' *,)$%) 6$!$ F@ 0 ) 3 S ) ') ,")&% I \@D ") !$ T6 ) [ . N ) [R N 5XR3 $
) N 56F/R [ N /R /2: N 5 R
! 7 , $ <6 0=S!00 J@ ) [ !2% 0-) ) 1 [ $ (! N 5 R8 \G!00 J@ ) [ $ 3 N ) [R N XR3 $
/ $
) N 56F/R [ N /R / 5=: N 5 R
% % ) ?.' ) % 5a3 / +B- ! N 5 RN ) [R N XR3 $
/ / $
) N -R [ N /R / -
3 $ / [ N /R / $
/ ) N -R - N 5 " R
3 ) N XR [ N XRI:
) 3 ?N 5 *;" R ) :3 x!00 J@ - ) ') ,")&% : 9@D ") 46 ,"! n!$ @ 0? ? ) , 7@D ") +*Q! !0 %!#) v!00 J@ *) (') @D !)*)8 5 [' #) () (! ! <H! % M , 0T G!00 J@ ")&% %2!#) 3 : T@D ")&% 2),##) ) N R 3 / % 1 E" : )8 N 6 8 ) ') ) "):6 Q! ) $R Q!$.@D ")&% Y # 2) 6$ 3
$ / ) 3 3 $ / / % /'1 :
5 , $c! 3-
! 3 3
$ / / - /21 3
/'1 3 :
:@D )$%) Y% , ) N R3 / % :(+9 ,/ ) L6 <H) ! 1 [Y% <)* ? 3 ) " ! - ') 8:Y% 2 (! 1 Y% ! ? 3 " :+x% C! !$ ) !#) )2K5 C!00 F@ 0? #) ) N R8
$ / ) N R / % 3> $ / / % / % :% 56 !0 k $ 5 [ <6 ) ! 1 !
+ 3 N + R +
$ / ) N R / % 3 $ / / / 3 / $ / / % 3 / $ / / % +*Q!$e% !)*x) ! 2$, @ . X ! N :6 ! 6 % , , 1 R JVJ 0 3 2) $ 8) ! 6 !$) ) *! 3
$ / / % 3 $ / ^ Z
PYm%' 6$ JVJ 3 !) 6#! )*2) )
1 T (!$ 2$,5 *
x
kG2
)2 5 *X0 X ! .. 2)&% 6 1! 3 $
/ ^ Z 3 " 7 c ' 3 u 2) ! 1
1 N 6 71 LR 1 )* $")&% ) !00#): V
"7 3 k%' 3 $ / ^ Z 3 $ / / % + $
/ ^ Z + $ / ^ Z :
Km%' )! % ' 3 j) ! 2$ % j ! 1 ' &%' 3 -) ! 2)0 % ,#
$ / / ^ Z 3$ / / % 3 :
3 -!$ J@ ) (!T% 56 / 3 N R 1 1 / :+C) 2),##) i ) C/ !)*6) Q ' #) % :L+*Q! ) )3 I@D ")&% / 1 !00 N " Rj!#) !00 F@ 0? ) :/ 1 <H! ) % )% #)R! 3 ! 3 3 1 3 2:&+ W Q! 5' 3 ) N R3 /21 / % 1 ) N R3 1 / ") 1 ) N R P@D )$%) 6 62) !00 J@ ) x B' :6 62)
: ) 0?)8 S!00 J@ ) 76$ 3 6 '. 6 ,"! K , 1 3 = ) ' ) ) ) N R46 1 :#55$%' 3 ; 3 -2 ,() 4@D ")&% 6 6,)
) '!00 J@ #) u ?' 96 62) ) ! x FVJ ")") ) ! ! 60 ! ' #) 3 :, 1 .' 6 62) 3 ) 16 1 16 : % ' 6 6,) !) ) )!0=@D ") 76 62) 1 n @D ) ) )! +(! F !$ =% !#) 7 ) ' ) F6 "! 1 ! ) G Tk% % )"% ,0 5@D )$%) 2 $9!)8 M6 ) ) )!
(U
! %
! "
+ O $")&% ! ) ' ) 3 6$K5K!00 F@ 0? ) @D ")&% C #) !X% % 3 % (!0Y@D $W) ! 2$ % ) C % 02 T, , () G (' ) ! 6 !$ H@D ")&% A U #) ! !0 !2% ) <(6 ) +(! : 6 #) % ,0 G!$ F@ 0 6 !00!0) ! / 1 % : H! 1 2)0 !#) 5 6)) ) 6 T ) K!00 [ K) % H 1 L ? Z P ! M)*)!0 = )#!#)M6 6,) ; \U%()?6 ()2,) / 1 K) % ) (%& 02 / ' Z+56 8; / H3 d!$ F@ 0 6 W@D ")&% ) N FR N F K) ! ! 2)#R ) ?60 " " 1 !$ 5@ 0?
) N FR M 1 " " 1 " 1 " N * R .
) N R3 $ / M ) N FR I: N )R
+ EN R 1 N )R ' 3 W) ! 2$ 3 ) N R <)Q! 6$ C E 1 W ? 2)$%) ) , S) ! 2)0R (') 02 )*@ 0 ! !$ % )"% ?@D K)$%) m%' !) 6$ C E 5 2)&% . ))$%) W ) N R8 / (!$ )2 *)
c
Res=K
f(s) analitica
Res
Ims
,^
)2 5 Y%n C E C E ! YN R 1 N R 3 ) N R
5n&%' )F 6$ C E d) ! 2$ N R JV Y <)(!#) 6 U 2 $ ) N R!#) M !) ")&% m%' !#)I6$ C E ) 6 1 6 ! :0? " ) , ) !) ") m%' !) %& A ! ) K 6(!) ! ; K JVJ )) ? A :!$ F@ 0 M 1 )8,j#) 2) K6 +9l()2,) ! 6 <6 0\ ) N FR !2% 0-) ) N R 0 Q! /)% ' 3 () 3 + 1 ! N R: 6 . ) % )j
[ N R3 ) N R3 ) N + R 3 $ / M ) N FR / M I: N R
)$%) UN )R \/ (!$ 3 [ N R3 ) N + R \c!00 F@ 0? ) T@D ")&% [ N FR3 / M ) N FRI1 " " 1" 1 A" :
0 CN )R 1 @% T ) ') ()&% AN 5 R 6 <6 0: [ N FR !2% 0-) [ N R T@ 0?[ N FR 3 / M ) N FR 3 $ / M [ N R 3
$ / M ) N + R : N R2W!#)6) N RL6 M % ! 3 ) N FR 3 $ / M ) N + R : N ')RN 'R M5 6 !0")&% 6$[% !0#) ) N FR 3 $ M ) N R N U R
)) /Hm%' N 6$ H FVJ )2) #) C E 3 R 6 ; ' ) 3 N U R 8) 6 ) ! . G ' () ?6 :3 % Q!$C ! : !0 ? T 2)&% I ) !)) ) N R (! 6 ) % )* N U R 5@ ) N FR 3 $ M ) N R ) 8 3 2) 8 ' 6$ JVJ )?2) ) /3 P Q!X%T/G)8 3 2) ! #) 2) ) N R ! S FVJ ")") ?6 % N U R\60?M@D ") I1M I1 M F !$!0 % )% (') ) ! <6 0X!00 F@ 0? 6 ) N FR !2% 0) -!$ F@ 0 ) N FR (! 53 ) N R 3 $
) N FR / M =3 / M ) N FR + $
/ M ) N FR
.) ()2 .3 ) N R3 ) N R=6 ) N " R .FV "! j ) !2% 0) ) % % !)*=6 62) ; : 8!00 F@ 0? 6 %& X ") ! ) ') ,")&% % 2 R!$ F@ 0 ) $MX@D ") ) I R) ! ' " ) ') ,")&% 6 6,) Q!X% ) N ) [R N FR3 $ M
) N 6_-R [ N -R -`1 " " : N c R
% G!00 J@ 6 : N c R*! 3 N ) [R N R3 $
/ M $ M
) N ;6F-R [ N -R -
3 $
$ / M ) N 6F-R J[ N -R -3 $
/ $
/ M ) N FR [ N -R - 3 ) N R[ N RI: N R
")&% CN R T <6 #)&% I G!$ J@ $ M[ N -R - N R !2% 0) [ N R 1 3 .% Q!$ % ' 3
$ M[ N -R - 3 N [R N FR
.) ()2 .3 N [R N R3 [ N R 3 - +*Q!$C) !) ,T%? [ ! <H! )2!#)= *T") \5 )$%) I.)
"
! %
1
+ /, , =6 )% %' () :) 2T%' 5) ! L P @ 0? B3 #)(! 6 ) ! ) (! / Q!%' T T @ 0?/Y%\2 $ ! G S ) / (!&%' / <2")!0") =k#)Q! ?@ / ! (! !)*6 6 )% X ) () 0 x ,")&% 6 % ?x cF? ,") % ) >- <) !$)$%) "7M (!0P@ s()?6) > 6 % s s ' #) >6 % ?v ") +*Q!$sx 6 <H! L: x) ) !$ .% ) -) ! 2)0\ V ! *,) ) ? $- !) +*Q!$Y $ 6 0s!) 6))$%) U M *,)$%) B :6 % ? 3 K6 !0 L6 )$%) I 6 -? , !8 )# 5 ) !#) ")&% (!$ 5k% 6 : ') (! !)*6 H ) ) !0 ! ) )") @D ) ! $ " )*) , ! P ? !)*)*8; L ,")&% U )$%) H q!)*6 )?6 K] 6 Q!$ 5 % $ L@D ")&% [ - C X V L T X`Q RSG O9Q X G Q DF9G[DIYJLNM OHQ eG X GAD Q QYM F M G O I@R QYM Z IKJL M 0O 8 (! ) O 5@D ") - E' C6 6 ? 6 )% K 6 ! )% ! :E ,")&% C )$%) U )*@ ) ) ) 2) 5 ) )) ) @D ! $ !)*6 " )) , !
>
3 " " 1 ' T@D ! 0,> N " R 3 > 1 1 > N R 3>
+ 2 0 M@%)* ') 6 % ? ") ) )8 )") . @D ! $ + C (! [ c#)*?6 ) ' ) .^ *T")&% 6 (! H3 T) 5 !$ k : ##) %.. Q!$T@ 0?
> N R3 >6_> 1 +.> 1 :
) 5 , 0 ' /U6 6 / W@ 0?B! !#) ' ' (! 6 % ^) ) !00? C@D )$%) 3 i ,)$%) E )$%) E )S@ ") > 3 "6 (!0 % 56 [ #&% I 6 ! ") 1 ) )") @D ) ! $
N 1 /
1 / 1 R 3 " " O/
1 /
/ 1 1" / 1 1 ) 6 ; ) 3 N " 1 / 1 / 1 R3 N 1 / 1 / 1 R3 " +* T3 8 *T") ) ! ' " /
1 / 1 ) ) !0 1 C u) ! ' / / 1 6 ) 5 56X% %& "P. (!0T@ 056 6 ) LS#)*2)2) ! *T")&%
N 1 /1 / 1 R 3 " O/
1
+ + / / 1 1
N 6 R / 1 ! :"7% 46 ; ) !#) 2) (!0s ,")&% Y% q )) ) @D ) ! $ ) )")&% )) ) 3 ) 3 6 3 EA#)*2 ) 3 )*@ ") ) ' 6 ! /
1 / 1 ' Q!$ .6 <)?")&% ' 2) #) ' [ (! M6 ! () 2) K : ( ) ! 1 H6 ; [ ) % )* 7 @D ")&% [ 6T% ! -()22) ! @ 0
3 N / 6_/ 1 RH+ N / 6_/ 1 R6 N /
6_/ 1 + R 1
3 N / 6F/ 1 RH+ N / 6F/ 1 R=6_/
N /6F/ 1 + R 1
93 N / 6_/ 1 RH+ N / 6_/ 1 R6F/
N /6_/ 1 + R N / 1 6 R6;/ 1 6 H/ 1 :
P R) ! 0j ) #) 0 )m%' )! = ( ,= $%) 6 ! )!) j )*x /3S/ 1 3S/ 5=v ) #) 0 Q! m%' -)! ") ! 1 3 ) ! * 3 / && 1 3 & "7P (!0@ 0?/.@D ")&% N 1 /RL 6 !0 9&%' N 1 /R3 / && " &/R1 & N 6 R / :
P= Q!0 6 6n% #) ! , $ L Q!008 6 6 ' , (!0 ,")&% () 26$I ') 96 )% ' :[I@D ! 0 3 (!$ :6#) )*62) W )$%) "7 ) x *T")&% ? ")&% > 3 " v ) )") @D ! 0n!#)6 " )) , ! 5@ 0G#)22) !
> N /R 3 > N " R N " 1 /R +&> N R N 1 /R 1
") \' IO@D ")&% > N R N 1 /R ' IAO@D ! 0 1 Y Q! ! ' /@D ) ! $ +9& F!0 > N /R 3N >6.> 1 R / +&> 1 E <"!0 ! ,")&% H3 , % ) P ) ' ) 6 % ?G) )) +*u)56 #!0 ! P3 P & ! M6 ) .@ c#)Q! Y%9!) ') 6 % ? ")&% I 6 : ) #)&% ' @D ! 0 !)*6 " )) , !
4 % ) I6 #) % C% ! (! !#)6 E ,")&% ! [6 % ?E )") @D ) ! $i!#)6 P L (! @D )$%) > N /R H ##) %B Q!$/@ > N /R 3Y6 > N " R N " 1 /RH+ > N R N 1 /R )
% ' 5 " 1 Q!$ )) ) @D ! $ "PJV = ! 7 6 !)* (! 3 ? ,")&% 6 , 0560? )$%) W ) )
>
3 ) N R " ! 1 A )) ) @D ! $ ) !)*6 " )*) , ! > N " R 3 > 1 1 > N R 3> !)*) M)\@D ")&% N 1 /R 3 !00 6$ )6 )% 6 ) )* () 1 ,")&% [ ()22) ! @
> N /R3> N " R N " 1 /R;+.> N R N 1 /RH+ $ &) N R N 1 /R 1!)*) 60 , Q! -FVJ ")") ? k#)*2)2) ! 6 ! ") ) N R3>5 XN R
F M DIYJLNM IBR F X Z L V Q Z F Q Z \ G% ) () 6 )% )! 6 I )$%) ) ) ) )% %' ) !$) 1 )") @D ! 0 " )*) , ! L)* @ ) ) !$)
> N 1 )R 3 ) N 1 )RO1 1 " E N %P* R1> N 1 )R 3 " 1 " :
Y6(! 5 , )$%) W #) $ 5 ) Q!$ ! !0 3 ) N 1 )R3 6 H 6 )% ! (!T%!#) N >O 6 !0 ' ') !0 VJ R % ) ) N 1 )R3 6 & - 6 % ? 5 (!#)") !0v I, (!0 % ") I
")&% N c R ' )(! 3 A 5 $%Q!) ? % 0 G! ?? ?@ 0R%) ' , ")H % VJH $^())*- Y @ 0%' I H % $ % VJ $")&% A , B )* O ' ) O C % $ S ) (!0 ! I ! (6 ! + P3 ) N 1 )R 7 7@D ")&% ) Q!$ ! ! n ) ' ) / 7 ,K% $ % ) 6 ! :6 ! % #) , $ 3 -@D ")&% ) N 1 )R4 6 !$T$")&% YLV \/ % $ ,% 6 ! & L Q!$T")&% )*?6 5@D ! YN 6 ) ! ! ) R j#)*?6)") 6 K 3 (! )?6 W @D ! Q * !0 W %' ) !$) x#)* !0%' B@D ")&% > 1 , ) ' C 6 N U$ ) "P VJ W ' #) ' >[ % ^F6 ) 00 ND ' S 00 56$ q 3 Q!$ <) R +9 VJ ! !0 N Rn )% !#) ) ! 2$ : VJ % ! .xF6 ) 7 ' x 0$ + ? (! ) () ") @ ") $ )
N R 3]6 $
> N R b3Y67 > N R :
+9 VJ ! !$ % ) ) ) ) T@D ! . #)2 ) N 3 " 1 )R 3 - R 6 ; ) ! 06 !0\ R% ) ! 5@D 0856 ; )
67 > N R3 b :
+ ! ) > N R 3
[ b XN R 1 N %P )R B') 3 C (!0[ ,)$%) W#) 2) )*2 x *,)$%) G6 ! j #) V $ L ? % $ -") [6 ! ) )(!0 ")) )!0 !0R .'): 2)$ N %P*) R
'
+ G j B3 [ (!#) @ 0K) )!0CU % $ E !0 6 ! Q )Q!) ! #)2 % ! %' U *,)$%) 1 Q@ [ %' e / (!$ 20N %P*) % R . !0$ : % $ -:6 6 !0>6 9-@D ")&% N 1 L1GT;1 R ) QN 1 )RT 6 !0HN ( ; )* TC!$ C % $ ) \ Q!)$% Q!)*$ - % 0 +*Q!$=@D ")&% ? *T")&% ? ")&% IN %P* R ?@D ")&% ) N 1 )R= 6 !0? ?@D ! 6 !0 5 (!0?@D ")&% ? "!##$ /!)*) 3 !) : (!0/@D )$%) I' ) : , ,?. 56 Q6#! H , ")&% N %P RS V ! ) !) O @D ! L3 ( W6 5H@D )$%) ) N 1 )R &%' K ,")&% 0 F6 KG! s *T") % ) -E @D ! 6 !0> )8 B >6 ! CN
1 R ) 3" 1::V: 1&% ) M6 T@D ")&% ) N 1 )R
> N 1 )R 3 $ N 1 L1 1 R ) N 1 R N %P R
+*Q!$ <6 #)&% V ,Q!) XY%> ! () / % 2 6 ( % ' 3 \ (!0 )$%) T #)*)L6 % ) ?3 6 6, 60 l ) )* () S )$%) ! ) ' JQ \ L/O9LSO9Q)( R JG+* QYMHQ Z% ) () 6 % ? / % $ 6) \ /@D ! ND? Q!)*X% ) )! R 6 ! 1 6 ) 3 . % $ 7 @ 0 = .m%' - !$ 6 % ) #) 9 % $ x) ) !$ 1 /m%' . !$ 3 ) ") c FVJ )&6) Y (!#)T%) 28% 6 ! T N 1 R 1 ) !#) ?6 / Q!)*$
U ) ")&% ) !00#).6 T)-) ! #) I 6 ! FV )% T "!0 N 6 1 RI:>+ ! ) .6 ( ' 6 G#)* !%' 3 H % $ I @ 0? !$ 3 " 1H!$k 6 )% ' 2)$ N %P )R
:M *,)$%) AN %P )R :6 ! N 1 R 1 N 6
1 R 1 ! : *T")&% Q! 6 )% (!T% )! S#)22) ! @
> N 1 R 3 XN R6 XN R 1 3 NFN 6
R + N 6
R R 1 1 3 NN +
R + N ,6
R R 1 :+(!0E *,)$%) T, % ! ) ) 1 B Q!)*X% U' )#! B 46 ! QN 6 1 RI1 (! B (!#)T%) !0 % )"% 6 Y*Y @D ! )?2 e *T")&% > N 1 R 6 ) 5T@D )$%) W - [ R ) 6) " :
! ?JVJ ?6 )* ? K, X[% ! )Y%2 X ') K6 )% P@D ! . (!#)T%) T %' : $ ) )!0) ")&% ?3 =%& > ' M()22) ! > N 1 R 3 ) N 6
1 6 RO1 + :
C@D ")&% ) N 1 R-!#) i) )! O E #)2 1 ' @D $ )*2 Q!$@D ) 6 !$? H Q!)*X% ) )! I H )2 % () 6 )% (!#)T%) A 6 ! O !0 Q n%' ) !$) 6 JVJ ?6 6 ! N 1 " R 1" :45 , 0- ) #) \ T@D ! )*2 ") (!#)T%) I I K6 ! N
1 " R: ) N (! 6 ! 5 Q!X%T@D $ ) ) )$%) R
c
x
RoRo
Po
2$ %P ?/ Q!00?S ")&% W =@D ! "7 ) = 6 ! S)* K@ ") $ ) )!0#) 1 )(!0 ") 1
6 ! ?M@D ! ,")&% 3 6 6 M Q! 6 %
> N 1 R3 4N R6B XN
R) 1 / )(!0 ") @D ! 5d 3 2) T6 ! U O ) ) + 53 : (! 6 ! . ! : 5@D ! 0 ) ) 6 ( M (!$ 3 #)
3 ! 4N
R6C XN R 3 XN
R3 ! :+*Q! 6 ;:% ! ) % ) )(!0 ") #)*2)2) ! @ 0
3 , N ?6 R + ,3 , + 6Q 1
3 # N
6N )R + ,3 #
+ 6
R1
!$ @ 3
3 1% + % + 6 3 #
:+*Q!$ % !)* <(6 ()&% E L) 6 ) ! U e ( L1 ") <6 ()&% ' 60 3 ,) 6 !
S") @ ") +*Q! 02 ! ? 8!$ % )"% I' %) @D ! M U !$ )% 3 2) I !$ 3 6 6 #)2 5n#)kFTQ!) !02)* 6 )(!0 ") 5@D ! #)2 BN R :
r=1R R
,")&% [: (! 6 )% (!T% 6 T@D )$%) [ - QN )*2 %P R N 1 L1 1 &R 3 XN
R1
3 , 6 IT N ?6 RH+ 1 3 # 6Q
N ?6 R;+
: ) * ! #) ! : )(!) % ,")&% ) !#) @D 8; (!#) ) 3 "!% )% I % 0 1 3 T (!T% ( P6 - @D ")&% ) N 1 R L ,)$%) Q! 6 % 5 6 <6 !2% ) T@D ")&% W -
> N 1 )R 3 $ 1
$
N 1 L1 1 &R ) N 1 R :+9 "! 96 ; 6 !#) Q! =JVJ )) 60 T !0#) ) #) ) . ) ) . J@ 0 0 ) )!0) + (! @D ! 6 96 * 02) "% "!) 1 > K6 ! ") "% !0#) F M DIKJLNMPO9Q V QKQ^M+ ? (!0 $")&% PV ,Q!) >: )$%) N %P R 1 ! )* () 5 6#!#) :,# ! 0) V ! Y ) ) K%!)* 76$ * !
(!$5R% 6 <6 7L ,")&% B/ ") k!)*6 6 ) ) * , !08.!#))*8; T@D ")&% W - 6 62) % ) () / ) ) !0 d 1&:@D ) ! $M !$ R d: @D ")&% ' "! #) d N d RI:+9X! :, M 2)$ 3
$ $ $ = 3 $ $
= 1 N %P R) ! [' 1 ') "! 9I^6 ") T!#) K6) 6 ! U % TW6 6 3 [@D )$%) ) % !2% 0) @D ") # > 1 1)* (!T% ) d 1 ) N d RI:
]3 N > 1 > 1 > Z R :+*k = ! 3 % VJ7 (!0 ))$%) = 3 > + ,> = :+ ! AFTQ!) !0 1 N %P R*! R#)*2)2) ! F !$
$ $ $ N > + ,>= R 3 $ $
> +B> ?+.> Z Z : N %P ')R
5 , $ M/@D ")&% [' ! ) S()2,) ! @ 0? 3
> 1
> 1 > Z :576) P :,#4P=@D ")&% \% !#) !0 #)*)4 N %P 'R
$ $ $ N > + ,>= R 3 $ $
> +
> + > Z Z N %P U R
Q!$ BN %P 'R [N %P U R % ! PI ")&% ) E L 2 ) !) - $ $ $
N > 6 > R 3 $ $ > 6
> 1)
1
) ' P6 ") 1 >Q F6 "! ' ! 0? 6 ") d:+ C [% ) ) #) ) !)*)8 ! - X (!0 @ K @D ") > 1 ) -) ) 0$ 1 I@D ! 0M M ' )% !#) !0 #)-) ? 2) G) !#) [ - +X ! P6 6 !#)- nR% =6$ % ) ) #) ) 1 % ! #)*2)2) ! !0
" $ $
<N > 6 ,> R 3 $
> > 6 > 1 ! % 1 M? 2) !0 I )% S ' 5 , 0 )#!#) s )% T q!#)6 [ @D ") 3 ) ! 0 ! P!#))8 L K2 -) !#) [ - 8 N R\-#)22) ! @D ")&%
3 N 1
R 3
6
6 (!$ 3 N R*?6 ")&% Y 6 N R 3 " #) 3 (! 6 ?6 % ! j [JVJ ")")
5 , 0- (!$ Ak% 6 <6 04-@D ")&% > N R !2% ) -@D )$%) N R :
B
Ω
(x )ε o
% #) ) ) d 1 6 ! d: N
R4 % $ ) @ ) !0 !$v T')T 2$ N %P ')R 576) 3 PW 2 L) !) B
- I ) ) dB6 N RI12 %& $ 3 P I Q! ! L@D ! 0 d15@D ) ! $ <H! ) d 1 -) ! ) 3 . N
R($ $ $
/ %(' N > N R=6 > R 3
$ $ > - N R6
- > 6 $ $ % ' > - N R=6
- >
6 ) @ 6 3 L ! ) N 1 R ' C@D ! 0 N R-! ()2,) ! :'
- N R 3 N R $ 3
@ "7. Q!$5? $ 6 ' M) ! 2$#)*2)2) !
$ $
> - N R 3 @
$ $
> 3 @ @
&> 3 O> ) > 6 !$ ' .6 ) H > %& N R :;5n#)u!$ % )"% !2% 0) 1 8)2K 1
/@D ! $ %& 6 !$ !
$ $
> - 3 @$ $ > - 3 @ > -+ H 4m%' )! @ " 1 <(6 ()&% ! ) 5 /, T 1 =%'
> 3]> N
R :
3 N 1R 3 " dO6
N R 1 ! L 2) ) !) H - 3 ; ) !$ ()2,) ! @ 0?
> N R 3 6 $ $
> -
N 1 R 6 N 1 R > -
6 $ $ $
> N 6
R :
N %P c R+*Q!$ <6 #)$%) ' > N R G L6 !
? $ <(6=%' ")!0K ! ")&% )*@ )6 ") > 7 Q!2% ) ') ,$ . 6") >: +*Q!$d()!")&% d! ")&% O 6 UN! K 2) ^) ! 2$ 6 R ")&% H ) ) + W (! n 6 ?@D ")&% > N R)?6m%' ) !$ ! : S 2 C) ! 2$ 1 6 ' 0 ! ( -) ) +L "! 56 ; ' ) 3 () M6 !
6 #! BH@D ) ! $ d1 ! ) <(6 ()&% H E 2) S) !) U - T' ! $ 6 v % ) Y @ ! ? I K6)* 8!2% ) 5 <6 #)&% +s G% ) ) #) ) M ?6 !0 ! ())*W G ! ) #) 1 )% !#) : k()2,) ! F!0
> N R3 $
> - 6_> -
6 $ $<N > R(
: 0 Q! ?68k% U@D )$%) 6 M XN R 1 K G ,")&% A ")&% I 6 : K6 3
:
% ) () U v !0#) ) #) ) 3 @D )$%) > N Rn?6 ")&% 6 - d1 ! ) > N
R 3Y6 $ $ > -
N 1 R 6 N 1 R > - :
"7 Q!$-@ 0 ! >x ,")&% ? > 3 2) 6 ! d[#), ' > 1 @D ! $ d: + I2$ 1 %' s Y )6 ) ' > @D ) ! $ N )) ) !#)6 " )*) , !$R T '
N ) )") !#)6 P ? R % % 6 6) ! (!0M@% T - M 6 Q!$ (!T% !0)8 @D )$%) 2 Y%92 $ 3 N 1 R Y (!$ <6 #)$%) 55()6 2)0 3 ' Y Q!$[@D )$%) U% ) O ' ) ' )% 5@D ! 0 df "P (!0?@ S #) !$ 7>%
T@D ! 0 d: $ (! ! Y <6 #)$%) e 2 N) !#) - 6) @D ) ) \> N R 1 W N R : 6 ! )*?6 #!0 ! [ 3 6 ) 3 B@D ")&% W N R?6 ) )$%) 6 - [ -) ) d:45n#)!
$ $ $ N > W 6 W > R 3 $ $
N > W 6 W > R N %P R+ B (!0f% !)* ")&% ! 3 W 3 " ! d: Q!$ <6 #)&% N %P Rn L) !#) H - U% ! ) GN %P c R "7T (!0 $ L) !#) H- [3 G!00 J@ #)*2)2) ! : )$%)
> N R 3 6 $ $
N 1 R 6 W > 6_>
N 1 R 6 W
6 $ $ $ >
N 1
R + W :
P % / 1 % %(' + W [@D )$%) O - d9 !0 c N 1
RI: H08k% )*T @D ")&% W /6$[ 2$ )) / U !2% ) G) ! 2)0 6 ") - (!0/@ 0G / ()!0 8 % ' >;1 % ) C ' ) '
I@D ! 0 5 , $ %& $") :I@D )$%) W 3 ?6 ()22) ! ) )") W 3 " d: /@D ")&% 6 ; ! j#) 2) L@D $ d: 1 % % ' + W 3 " d: % )
1 % %V' + W 3 " d:5n#)! M <(6 () % ) ) T@D ")&% W - 6$ ! K) ,")&% [ > ) ) d ) )) ) @D ! $c!)*6 P
> N R $ $
N 1 RI1 > 6 $ $ $
N 1 R > 1 60 R " )#) , !
> N
R 3S6 $ $
> d N 1
R 6 $ $ $
N 1 R > :
+ Y R /% ) ) #) ) 6 M6 ; 0G())* l T !0 )* K#) ) ( K !0 53 :% !) . k#)*2)2) ! 0G ) )") P > N R3 $ N 1
R > 6 $ $
< N 1
R > 8
1 ) )") " )#) , !> N R 3S6 $ >
N 1 R 6 $ $
< N 1
R > 8 :+ %& T@D ")&% W - I Q!X% ) S#)*2)2) ! @ 0
N 1 R 3
N 1 R + W
% % 6 ( ! ! 0-) -@D ")&% W 3 Q!0 6 % + W A Y3 ! 2 5 )) ) " )*) , ! @D ")&% W %& ! )F ' 3 1 % %(' C@D ! 0 $B 2)0 (! H, , 6 6 ') , % ! ? )*Y%2 3 :' )&%5 )$%) ! ) ? JVJ ?6 !0 ) #) ) d J@ 0 0 ) 1 3 ' K6 % -()22) !
> 3 " d 1> 3 ) N R d ) d :X 6)* = ! ) 4=@D )$%) / - /3 FVJ 4 (! 6 % ? 6 ) .@D )$%) W c)2 Y .@D !
d: +** 3 L 6 ! )2 /%L (!0K@D 0 ) ) dC60 3 W 565 ")&% 6 P W ) , ? 2)&% 0 S#)* !%' T$ ) K6 % 6 ! )*2 %P (!0: % m%' . "!0 3 )2 .@D ! - !0l -'7 2)$ %P U ) @D !
(!T% )(!0 ")1 ! ) 6 ! )*2 B%& Q!$ 5 )Q!$ )
F6 "! #)2 +9 "! M6 ?6 % 3 (!0 2)$")&% T@D ")&% W - ) S
x xρ
/1 ρ
oo
N 1 R 3
6 6
6 1
@D ! $ F@ $ + I (! /@D ")&% W 0 F6 T5$")&% -02)C)*2 /'1 % / % ' :+(!0T@D )$%) ?6 ")&% [ 6 : d 6 Q! 3 (!T%5@D 0 d:
! GFVJ ?6 G M d 0 F6 O ")) $ ) : #) !%' 6 % 96 0) ! ,)*0 .% ) )* () 0 9:@D )$%) Y - ) B O $")&% G ) BM[% ! Q )*Y%2 56$ j C ) ) )* 0 ) ) T@D )$%) ! )
N 1 R 3 6
6 6
() 6 ! )*2 !0R :'- 2$ %P c( + I Q! T@D ")&% W 6 ) 6 ! )*2 ? K6 !
:
&'
x
x
ρ1/ ρ
o
o
"P. (!05@ ' 3 X[% ! )Y%2 M ?@ 0T6T% !#) . ) !$@D ")&% Q - B3 >6 % ? )$%) U 6 / ) ) 3 5 (!2%T% T# I 1 <6))$%) % / , @D ")&% Q - 1B6)")&% !$ ) ) , !8?Y6 !$ @ ") N 1 2 1 ) ! KZR 1 N 8) VJ) ' 1 1 R %!#) !$) )% @D ")&% Q - 6) I ! !)*6 W? ") )(!#) !$:I 6 5 ) v [ )$%) B * , !08 R : ) %&.. (!0T@ 0
>b+ >3 ) d :
U
#
% 6k%' ! # + JVJ 56 . VJ , 1 s 0 6 ) ) ! M )#,()&% 5 (!T% ! ! ! , )! , N , .)* 1 R <6 #))$%) H$ ! %' Q!)j#)*2) ? I -) % ! !&$ % 6, N % % #) 2 ) ' 9 0R 1 ! !&$ $ ) (%& 02 N s) \) * R @ ")f%!)* 4) % ! $!&$ $ ! ' H) 60 % )") Q!X% ! ? =) % ! " ! $# % 0 !% j) % (! N ! #) R % 6k%' ! # 6 !$")&% ()2 / 1 !0 ! $# ! " % #$ ! # $ # $ &# #) ) , N('7$) ) ' #)! 1 R 3 00 * q = (! ! * ) 1 !$ )T()&% L6 % ? Y 2) / 1 >) % ! + ! N ! ") R 4 % )"% $* 6 ()")&% % ") 2H *)L * #)*2) L !$ #) ) , 2 % @ ") % #)(! , )*6 % % ) 5 / !$ H U -, >) % I % $ !.0/n)* % (! 0?S! %' Y%P ( !0 8 1 P @ ) 3 , %' ) 0-/ 1 ' ) 6)") ()Q! , )*6 % % ) ) % 1 324 + % 0 ! ) ; #) , N ! ") R 1 ! 5 ! , )! , % 6k%' ! # +* 6k%' ! / 1 #! -6 !0")&% 5 ") ! ) %& 02 0\ )#,#)$%) . !06 7 !0 6 )% !06 ) ' )* 1,X6)") X7+") " )S@ ") ") 6 ) F !$ 9 )) % ! !1 ! 87 ! 9 ! $#: , % , , )* N(; =< $ ) /j)* R + :6#! 60")&% 5M' #) % >) % 8)?> ,) ' 1 >H)D!$ ),#)&% U% ' 8 1 F ') 6 )% ) ! 0 ! % :6$ M 2 "!$ $? L) ! ,$")&% Y 7 % ! %' ! ") +") +=%' 6!) 3 ? ! )!#) 6 F!0 5 9) % W % 6, ) ) * ! C) ! ( ,)$%) /C! %' .Y% +") \+9m%' 62!#)6 ;: !$ !$ 8 0T ),#)$%) W !$ 1 / 1 % ) W ##)!0 X6 % $ ))$%) @ )* ) % $! + ! > % 6k%' ! , 6(! @ ! ")&% Y 2 / #)*2) 7 ) (% 2 1 A@
#)Q! !0 ) ) , % 3 8 ., 1 !0* $ 0 J@ 6 1 ,:6)") 7 @ #) -q!$9!$ ! !# ,9 U 1 5 % )% -, % $ ! /j) %& #! )$%) ! $ ! $#5 $! $ A ? @ ) !$ ) % ! ! $# , % , ) N(; < 0 ) /n)* R ; T , ?6)") 56 62 )$%) Y. -!$ F@ 0 6 : Q!X% ! $# ! " / 1 N % % ) 2 ) ' 9 0R % 6A%' !0 , + % ! )$%) 5 -@% T )# 6$ 6 )% ., 2v% #)*2) 5 % $ !.0/n)* % (!8, # !$9!$) ! * ! #) ')I? (! ! 3 / 1 ' 8; : Q!X% 1 ) ; N % % ) 2 ) ' 9 0R )T()&% / 6 )% n ' R) )") q#)*2) ) (% 2 1 % $ ! /j) %& #! " ),#) ) ) ! ! s )% )$%) B? M C % ! W 6 ! ") ) !8 !#) % 6, ; % ! ( ! 9!#) ' 6 ) F@&% ) 1 !00 F@ 0? Q!X% )#!#) % ') ! % 0 !.0/n)* %& #! , # , %' 7 T, , @ )8 )% - (! ! ) * ! 5 @ )// 1 %2!#) 3 Y%M ' 8; ) % ! $!&$ $ ), BN 6) 2 , 02 R !#) 2$ 6#! - 9! ),!00!0 T (!0 !$ 1 ) - 2 5 !00 % 6A%' !0 , # + W (! 6A%' !0 ),Q!00 ) 2 )F 6?m%' ) ! ' ")&% C ) (!0 % )*) @D ! )*@D,()&% [)Q!$ 6 % .Y% % ) 6 !0!#) ' @ 0? 9!06 % 6 62)")&% @D ! )*@D,#) ') 3 M ?6 ) ! 2% \/ 1 !0
c
"
c
% , , )* , +) ) ) = 1 ,9 9 % '= ) .> ; < 0 ) /n)* A@ % 6, ) + #!#) " ) !)X+ 3 !#) % % #) 2 ) ' #) ! 1 A@' % 0 ! /n)* %& #! " ;W ! , @ ; 9! , 9!) , 1 () '7$) .> ! #) 9 % ) , % 0 ! ) ; #) , T , &> C ') '=$) 3> ) ' 1 K )*2 , ! ; 1 !0 ) , 1 () , %; ) 1 +9 "! 2 !) ; 9!#! ) 2 ; # ) F 1 #) <5 % % ) 2 ) ') ()! 1 =@ @ #) ) , T +; ! , ?!#) ;W ! , q) + ! 2 !#)F % '= ! '7$)
.> ) ' #) ! 1 < 2 < ) %& #! ;H( % ,)$%) ?6 [+9"% "!)
'7 ' ) ' )(!0 ) % ) ) 4; ) , @ 6j%2 +J ) 8 ") ? ) ' 46) 1 , 6)") &%' \$* )(! ) 6$ ") . #) ' 6) ; %* ) ; A@ N % / )") E% ) #) , '= ;" R
" @D 1 / ; 9! , 9!) ;W ! , @ , 1 #) % % #) 2 ) ' #) ! 1 , (!) " ) & !)X+ 3 !#) '= ) .> 6) 2 , 02 A@ ; *)L * %P X !#) : +9 "!)) ! 1 ; 2 !) '= ) .> "P ' ' ! ' .>H) # <5 (!) " ) & !)/+ 3 !#) , ) *6 , ) =@
8) > , ' ' >H) / #!#) " ) !#)L+ 3 9!) ) @ ; 9! , 9!) , 1 #)$ 0 ") / " 1 ' 1 ; 1 ) ! #!#) " ) & !#).+ 3 !#) @ ; 9! , 9!) , 1 () ) + ) !) ) '= (! , / )" ,9 H ? / 6 $9!#) % *, % [) ! , ! )L m#)
6 ! 2$ ; % % ) 2 ) ') ()! 1 &'&' @ ) %& 02 / (!W ) #!#) " ) & !)-+ 3 9!) ) Q! ,
) * &' , )! , <5 ) = '=) ) C ') '= ) .> .)* 1 A@
6)") T@% T ) ) @% . 6)
% 6#) ') " ?6 ? "% !0#) ' $ ! %' Q!) =@ $ ! %' Q!) ' " @ ) @ @ @ )")&% [ $ ))$%) ' ")&% I 50 ' % ) ' ")&% Y (' 2 ) ) L6 % 0 ! /j) %& #! @ C * !0 Q!X% VJ @" %& #! ) )$%) I 6 &' k *,) ) ")&% . 6)* ;" #) I 02) #) I. 2X%' A@ #) I #) I ,) ' )*@D,#)$%) " )*@D,#)$%) !$) ! ")" ;" ' ) #)&% $"! &%' (!#) ' )6 #)$%) I !0) ! " ) ) 6 ") ")&% I #
")&% [ ) ' ")&% ")&% [ ) !) 2) ")&% [. (!0 ")&% [ ) , " @ ")&% [ / * , !08 A@ ")&% [. ")&% [. 5 #!#)2 @ +*")&% YP ! ) #) ) ")&% [ )# ' ' +*")&% ? : % 0 &%(!#) 3 2)) % ) ")&% ) 6)* +*")&% ) 2 5 ") %! #"%$&(' +*") ; *)\ ") ; *)\ ' ' ") ' ' ) ! > +*") m%' 6!) +*") m%' 62!#) R% ) ) '+*") , )*6 % % ) )*2 (' )*2 (' ! " +6) )*6,) = Y% * ) 6$M ")&% 6 +46 )% ) H' 5) )") P60 ")&% :9) !0 )? #) ) ) +6 % m%' !$ F)()&% 02T%' C) % !) 02T%' ,")&%
2X%' &%(!#) ' " 2X%' 6 ! ") &' ' 2X%' 6 ! ")X2$ ' )!0") ' " ! 6A%' ;" * )Q! ) - ,)$%) $%() * ! #)$%) )?6 6 )$% ) @@% 0/ ) @% 0/ " % (! @' @ @ @ @% 0/ )# VJ "" VJ , @D ! ;" '@D ! " @D )$%) [ < @ ' '@D )$%) [ /P > @D )$%) 6 62) @D ) ) # @D ) ) / 0) ! ) '2),##) ) / >H) 2 1 /= * 1 ;") ") " ) ! 2$ " )#) , ! ) ! 2$ 56 ! ") &') ! 06 !0")&% 2 [% !) @m%' VJ ' ") ; *A)\ @ @ 1 56 1 ' ")&% 2 1 ' ")&% S02) 1 . @D#)) ! '7$) ! ;" 1 $ 1 " 1 < ,# 1 ' )$%) I 50 K 1 '= ) ! ) 1 '7$) ! ) 1 , ) (!T%9!) ' 1 ! 2 !#)F "
^%' )* 2X%' ' "[% ! 5 8)*Y%2 @[% ! 5 6$)$%) Y.' ) % ' -) ) ! 1 5 JV @ $%' -) ' ) VJ 0 " @ "! 2 % !#) ' 8&%' ) #! 2 ) ) ) 6) ")62) - 5 ' )$%) \ 2X%' 6) ")62) ^%' )? 02T%' 9 % ? . )*@D0)$%) 6 % " )*) , ! &'6 % m%' !00 -)#)$%) @ 9 % ? '= ) 6 % '= ' 6 % $* )&% @6 % $* )&% [: 6 % T6$5 %' ) 9 % ? " )#) , ! ' '6 ? * )&% @6 , ! ? "6 62)")&% Y 6 62)")&% Y:) @9 62)")&% .) 2 9 62)")&% .) : $ 60 % )) '=@6 JV $") $* !2% 0-) " 2)&% ) ") 6 (!0G) Q!$ !T% " 60")&% Y.' #) % ' ' @ @ ' 6$)$%) P9' #) % 6$L ()Q! - ") @ @ ) : ) '&' ' ) @ @ ' ) : 4 1 ) )*@ 0 ! (' 2 ! '=@
' ) #) " #)(! , )*6 % % ) ? ?, 2v% )(! ) ) 0 ! %' (!#)? ,")&% &%#) ,")&% @ 0 @ ,")&% 6$ % ' ,") 8&%#) ' ,") 60 6 )% $* )&% ? F@ 4 1 ! % T , 1 : ' ' >H) ! ) (' ,)$%) " ! $* )(! ") 1 )") . % , , 1
: ' ' >H) ! ) ' ! < ' ! E (' *T")&% 60 !$ @ 0? ) ) ? " ) ' 2 ) ! ) ') 02 ") ' ' @ ? ! > "! )") 6$[ ")&% : !0T% 5 -0 ! 0 !00 J@ ")&% #)* % !) 0 F@ 0? #) !00 J@ ) &' @' @ @
' ;" ) !00 J@ #) M2 ,() " !00 J@ ) ') ,")&% ) !00 J@ 6 @ @ ' ;"!00 J@ c) (' 0 )!00 J@ ) @ @ @ !00 J@ 6 "
)) ;" )) "
)) . R ,) ) 60\ )$%) . )) [ ,")&% &%#) ' \6 6,) ',9 [ 1 ? @ ') ) )!0 ) (% 2 @
![[v.P.mijailov] Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales](https://static.fdocuments.net/doc/165x107/55cf9b5c550346d033a5c4ab/vpmijailov-ecuaciones-diferenciales-en-derivadas-parciales.jpg)