Ecuaciones parciales

Ecuacionesdiferenciales

5. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales

ObjetivoEl alumno conocerá las ecuaciones en derivadas parciales y aplicará el método de separación de variables en su resolución

Ecuaciones parciales

• Ecuaciones diferenciales parciales (EDP)• Tipos de EDP homogéneas con coeficientes constantes• Solución de una EDP• EDP clásicas• Obtención de una EDP a partir de una solución dada

Ecuaciones diferencialesparciales

Ecuaciones parciales

Ecuación diferencial parcial linealde segundo orden

GuFyu

Exu

Dyu

Cxyu

Bxu

A

2

22

2

2

• Los coeficientes A, B, C, D, E, F son constantes o dependen sólo de las variables independientes

• El término G es constante o depende sólo de las variables independientes

• La función u(x,y) y todas sus derivadas tienen potencia 1

Ecuaciones parciales

Tipos de EDP lineales homogéneas con coeficientes constantes

02

22

2

2

uFyu

Exu

Dyu

Cxyu

Bxu

A

Tipo de EDP Condición

• Hiperbólica

• Parabólica

• Elíptica 04

04

04

2

2

2

ACB

ACB

ACB

Ecuaciones parciales

Solución de una EDP

La forma de la solución de una EDP para el caso unidimensional puede ser de dos formas:

)()(),(

)()(),(

ygxfyxu

ygxfyxu

• Es una función de dos o más variables independientes• Satisface a la EDP en alguna región dada• El número de variables independientes en la solución depende de las dimensiones del problema• El número de funciones arbitrarias presentes en la solución indica el orden de la EDP

Ecuaciones parciales

Solución completa de una EDPSon las soluciones que contienen el mismo número de funciones arbitrarias que de variables independientes en una EDP

Solución general de una EDPEs una solución que contiene un número de funciones arbitrarias igual al orden de la EDP

Ecuaciones parciales

EDP clásicas:

• Ecuación de calor• Ecuación de onda• Ecuación de Laplace

Ecuaciones parciales

Problema de difusión de calor

f(x)

T

x

Distribución de temperatura a lo largo de la barra en un instante de tiempo cualquiera

0 ,2

2

ktT

xT

k

k es la conductividad térmica del material

Ecuaciones parciales

Ley de enfriamiento de Newton:

M

t

M

T = M

T ≠ M

M es la temperatura constante del medioT es la temperatura de un objetot es el tiempo

)( TMkdtdT

Modelo matemático:

Problema que resuelve:¿En cuánto tiempo el cuerpo inmerso adquiere la temperatura del medio?

t0

tf = ?

Ecuaciones parciales

Consolidación unidimensional de los suelos

tu

zu

Cv

2

2

Cv es el coeficiente de consolidación del suelo

Suelo compresible, Cv

H = ?

H

w0

El modelo predice la distribución de presión de poro en el suelo

Ecuaciones parciales

Problema de la cuerda vibrante

2

2

2

22

tu

xu

v

http://www.math.ubc.ca/~feldman/demos/demo6c.html

v es la velocidad de propagación de la onda

Ecuaciones parciales

Propagación de ondas sísmicas

Roca

Estrato de suelo, v

Movimiento de entrada(sismo)

Movimiento de salida(respuesta)

2

2

2

22

tu

zu

v

Ecuaciones parciales

Ecuación de Laplace

02

2

2

2

yu

xu

Este modelo se presenta en problemas independientes del tiempo relacionados con potenciales electrostáticos, gravitacionales y con la velocidad en mecánica de fluidos. También puede interpretarse como una distribución de temperatura de estado estable:

Ecuaciones parciales

Flujo bidimensional de agua en medios porosos

02

2

2

2

yu

kxu

k yx

kx, ky son las permeabilidades del suelo en las direcciones x, y respectivamente

El modelo calcula el potencial hidráulico (cabeza de agua) en la región de interés

Ecuaciones parciales

Soluciones gráficas de la ecuación de Laplace para distintas condiciones de frontera: redes de flujo

Ecuaciones parciales

Obtención de una EDP a partir de una solución dada

La EDP se obtiene mediante el proceso de eliminación de funciones arbitrarias:

• Identificar el orden de la EDP• Derivar parcialmente de acuerdo con este orden• Sumar algebraicamente aquellas derivadas que se anulen

Ecuaciones parciales

EjerciciosObtengas las EDPs a partir de las soluciones siguientes

)4(),(

)()(),(

)()(),(

2 ztfeztu

eygxfyxu

gzfzu

z

x

1

2

3