Las Matrices Homogeneas

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  • 7/24/2019 Las Matrices Homogeneas

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    Fundamentos de RobticaHerramientas Matemticas para la Localizacin Espacial

    Matrices de Transformacin Homogneas

    Ricardo-Franco Mendoza-Garciarmendozag@uta.cl

    Escuela Universitaria de Ingeniera MecnicaUniversidad de Tarapac

    Arica, Chile

    May 12, 2014

    R. F. Mendoza-Garcia (Mecnica, UTA) Matrices de Transformacin Homogneas May 12, 2014 1 / 26

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    Outline

    Outline

    1 Coordenadas y matrices homogneas

    Coordenadas homogneas

    Matriz de transformacin homognea

    2 Aplicacin de matrices homogneas

    Traslacin

    Rotacin

    Traslacin junto con rotacinRotacin seguida de traslacin

    Traslacin seguida de rotacin

    3 Composicin de matrices homogneas

    Rotaciones sobre sistema fijoRotaciones sobre sistema mvil

    4 Grficos de transformacin

    5 Referencias

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    Coordenadas y matrices homogneas Coordenadas homogneas

    Coordenadas homogneas

    Permiten la representacin conjunta de traslacin y rotacin.

    Un vectorp(x, y, z)ser representado porp(wx, wy, wz, w).

    wes un valor arbitrario; factor escala.

    As, el vector 2i+3j+4kpuede ser representado en coordenadashomogneas como: [2, 3, 4, 1]T, o tambin como[4, 6, 8, 2]T,[6,9,12,3]T, etc.

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    Coordenadas y matrices homogneas Matriz de transformacin homognea

    Matriz de transformacin homognea

    Matriz de dimensin 4x4 que representa la transformacin de unvector de coordenadas homogneas de un sistema de

    coordenadas a otro.

    Se puede considerar que una matriz homognea se hayacompuesta por 4 sub-matrices:

    R3x3, matriz de rotacin; p3x1, vector de traslacin; f1x3, transformacin de perspectiva; y w1x1, escalado global.

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    C d d i h M i d f i h

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    Coordenadas y matrices homogneas Matriz de transformacin homognea

    Matriz de transformacin homognea

    Matriz de dimensin 4x4 que representa la transformacin de unvector de coordenadas homogneas de un sistema de

    coordenadas a otro.

    Se puede considerar que una matriz homognea se hayacompuesta por 4 sub-matrices:

    R3x3, matriz de rotacin; p3x1, vector de traslacin; f1x3, transformacin de perspectiva; y w1x1, escalado global.

    R. F. Mendoza-Garcia (Mecnica, UTA) Matrices de Transformacin Homogneas May 12, 2014 5 / 26

    A li i d t i h

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    Aplicacin de matrices homogneas

    Outline

    1 Coordenadas y matrices homogneas

    Coordenadas homogneas

    Matriz de transformacin homognea

    2 Aplicacin de matrices homogneas

    Traslacin

    Rotacin

    Traslacin junto con rotacinRotacin seguida de traslacin

    Traslacin seguida de rotacin

    3 Composicin de matrices homogneas

    Rotaciones sobre sistema fijoRotaciones sobre sistema mvil

    4 Grficos de transformacin

    5 Referencias

    R. F. Mendoza-Garcia (Mecnica, UTA) Matrices de Transformacin Homogneas May 12, 2014 6 / 26

    Aplicacin de matrices homogneas

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    Aplicacin de matrices homogneas

    Aplicacin de matrices homognea

    Considerando la transformacin de perspectiva nula y el escalado

    global unitario:

    As, una matriz de transformacin puede representar: posicin y orientacin de un sistemaOUVWgirado y trasladado

    con respecto aOXYZ;

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    Aplicacin de matrices homogneas

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    Aplicacin de matrices homogneas

    Aplicacin de matrices homognea

    Considerando la transformacin de perspectiva nula y el escaladoglobal unitario:

    As, una matriz de transformacin puede representar: transformacin de las coordenadas de un vectorrdesde sus

    coordenadas enOUVWa sus coordenadas en OXYZ; o

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    Aplicacin de matrices homogneas

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    Aplicacin de matrices homogneas

    Aplicacin de matrices homognea

    Considerando la transformacin de perspectiva nula y el escaladoglobal unitario:

    As, una matriz de transformacin puede representar: rotacin (R) y traslacin (p) de un vectorrcon respecto a un

    sistema de referencia fijoOXYZpara transformarlo enr.

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    Aplicacin de matrices homogneas

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    Aplicacin de matrices homogneas

    Aplicacin de matrices homognea

    Considerando la transformacin de perspectiva nula y el escalado

    global unitario:

    As, una matriz de transformacin puede representar:

    R. F. Mendoza-Garcia (Mecnica, UTA) Matrices de Transformacin Homogneas May 12, 2014 7 / 26

    Aplicacin de matrices homogneas Traslacin

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    Aplicacin de matrices homogneas Traslacin

    Traslacin

    matriz de traslacin

    un vectorruvw descritocomorxyz

    un vectorrxyzdesplazado segnT

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    Aplicacin de matrices homogneas Traslacin

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    p g

    Ejemplo de traslacin

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    Aplicacin de matrices homogneas Rotacin

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    p g

    Rotacin

    matrices homogneas bsicas

    de rotacin

    descrito en OXYZ rotado en OXYZ

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    Aplicacin de matrices homogneas Rotacin

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    Ejemplo de rotacin

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    Aplicacin de matrices homogneas Traslacin junto con rotacin

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    Traslacin junto con rotacin

    Cmo ejecutamos una traslacinpjunto a una rotacin de 180o

    alrededor del ejeOZ?

    Habr que tener en cuentra si primero se realiza la

    rotacin y despus la traslacin, o viceversa.

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    Aplicacin de matrices homogneas Rotacin seguida de traslacin

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    Rotacin seguida de traslacin

    rotacin(phi) sobre ejeOX

    seguida de traslacinpxyz

    rotacin (theta) sobre eje

    OYseguida de traslacinpxyz

    rotacin (psi) sobre ejeOZseguida de traslacinpxyz

    R. F. Mendoza-Garcia (Mecnica, UTA) Matrices de Transformacin Homogneas May 12, 2014 13 / 26

    Aplicacin de matrices homogneas Traslacin seguida de rotacin

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    Traslacin seguida de rotacin

    traslacinpxyzseguida

    de rotacin(phi) sobre

    ejeOX

    traslacinpxyzseguidade rotacin(theta)

    sobre ejeOY

    traslacinpxyzseguida

    de rotacin (psi) sobreejeOZ

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    Aplicacin de matrices homogneas Traslacin seguida de rotacin

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    IMPORTANTE

    Ntese que las transformaciones se definen con respecto al

    sistema fijo. De definirse con respecto al sistema mvil se

    deberanintercambiar los resultados!Las matrices que representan traslacin seguida de rotacin

    representaran rotacin seguida de traslacin, y viceversa.

    R. F. Mendoza-Garcia (Mecnica, UTA) Matrices de Transformacin Homogneas May 12, 2014 15 / 26

    Aplicacin de matrices homogneas Traslacin seguida de rotacin

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    Ejemplo de rotacin seguida de traslacin

    R. F. Mendoza-Garcia (Mecnica, UTA) Matrices de Transformacin Homogneas May 12, 2014 16 / 26

    Composicin de matrices homogneas

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    21/30

    Outline

    1 Coordenadas y matrices homogneas

    Coordenadas homogneas

    Matriz de transformacin homognea

    2 Aplicacin de matrices homogneas

    Traslacin

    Rotacin

    Traslacin junto con rotacinRotacin seguida de traslacin

    Traslacin seguida de rotacin

    3 Composicin de matrices homogneas

    Rotaciones sobre sistema fijoRotaciones sobre sistema mvil

    4 Grficos de transformacin

    5 Referencias

    R. F. Mendoza-Garcia (Mecnica, UTA) Matrices de Transformacin Homogneas May 12, 2014 17 / 26

    Composicin de matrices homogneas Rotaciones sobre sistema fijo

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    Considerando que XYZ es el sistemafijo, una

    rotacinsobre eje OX; seguida de una

    rotacinsobre eje OY; y seguida de una

    rotacin sobre eje OZ,

    se rep