Ecuaciones No Homogeneas
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Cualquier funcin Yp` libre de parmetros arbitrarios que satisface la ecuacin:(7) es una solucin particular.
Ahora si Y1, Y2,. Son soluciones de:
(6) en un intervalo I y Yp es cualquier solucin particular de: (7) en I, entonces (10)
Es la solucin general de (7)
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Sea cualquier solucin particular de la ecuacin diferencial lineal no homognea de n-simo orden (7) en un intervalo , y sea un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacin diferencial homognea relacionada (6) en I.Entonces la solucin general de la ecuacin en el intervalo es
Donde las son constantes arbitrarias.
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Sea el operador diferencial definido en (8), y sean y soluciones particulares de la ecuacin no homogneas = . Si se define - , entonces por la linealidad de L se tiene
Esto demuestra que es una solucin de la ecuacin homognea En consecuencia, por el Teorema 4.5 y entonces
O bien + YP(x)
*
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Solucin General: y = c1y1(x) + c2y2 + . . . + cnyn(x)
Para resolver una ED Lineal no homognea, primero se resuelve la ecuacin homognea relacionada y luego se encuentra una solucin particular de ecuacin no homognea.
y = funcin complementaria + alguna solucin particular.y = yc +yp.
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a) Una solucin particular de y" + 9y = 27Es yp = 3 ya que yp" = 0 y 9(3) = 27b) Demuestre que yp = x3 - x es una solucin particular de x2y" + 2xy' - 8y = 4x3 + 6xyp'= 3x2 - 1yp" = 6x
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Sustituyendo en la ec. dif. x2(6x) + 2x(3x2 - 1) - 8(x3 - x) = 4x3 + 6x6x3 + 6x3 - 2x - 8x3 + 8x = 4x3 + 6x4x3 + 6x = 4x3 + 6x yp = x3 - x si es una solucin particularSolucin general de la ec. No-homogneay = yc(x) + yp(x)Donde yp(x) es la solucin particularyc(x) es la solucin complementaria (Solucin de la ec. homogna).
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