Ecuaciones Homogeneas y Reducibles a Estas

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    ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGNEAS

    MATEMTICA II Pgina 1

    DE L PROMOCIN DE L INDUSTRIRESPONS BLE Y DEL COMPROMISO CLIMTICO

    UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO

    FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS

    ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA AGRICOLA

    CURSO : MATEMATICA II

    TEMA : ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS Y

    REDUCIBLES A ESTAS.

    INTEGRANTES: - AQUINO CHVEZ JHONSTON

    - ONCOY LAZO DANNY

    - CHACPI CERNA ANDREY

    DOCENTE: MINAYA SALINAS OSCAR SEGUNDO

    CICLO : III

    FECHA : 09/04/2014

    ANCASH-HUARAZ

    http://www.primerapaginaperu.com/article/ancash/296/
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    INDICE:

    Presentacin pg. 2

    A) Ecuaciones homogneas pg. 3

    A.1) Funcin Homognea pg. 3

    A.2) Definicin de Ecuacin Diferencial Homognea pg. 4

    A.3) Ejercicios Desarrollados pg. 6

    A.4) Problemas Propuestos pg. 9

    B) Reduccin a ecuaciones diferenciales homogneas pg.10

    B.1) Ejercicios resueltos pg. 10

    B.2) Ejercicios propuestos pg.19

    C) Bibliografa Pg.20

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    PRESENTACIN

    El presente trabajo consta de dos secciones, en la primera se desarrolla sobre las ecuaciones

    diferenciales homogneas y la solucin a estas, para ello luego se presentan ejercicios

    resueltos ilustrando el procedimiento de resolucin, finalmente se presenta ejercicios

    propuestos para que el lector pueda practicar y familiarizarse con el tema presentado.

    En la segunda seccin se desarrolla sobre las ecuaciones reducibles a homogneas, para ello

    se utiliza la misma metodologa de la primera seccin (se presentan ejercicios resueltos ypropuestos).

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    A) ECUACIONES HOMOGNEAS

    Ciertas ecuaciones diferenciales de primer orden no son separables, pero pueden llevarse a

    esa forma mediante un sencillo cambio de variable. Esta afirmacin se cumple para

    ecuaciones diferenciales de la forma:

    (1)(Donde f es una funcin cualquiera dada de

    ) o bien reducible a ella, se llama ecuacinhomognea. As por ejemplo: ,al escribir en la forma:

    =>

    resulta claramente de este tipo y es, por definicin, homognea. Antes de discutir la

    ecuacin (1) enunciemos, previamente, algunas definiciones y teoremas importantes.

    A.1) FUNCIN HOMOGNEA

    DEFINICIN: Una funcin f(x,y) es homognea de grado n en sus argumentos si se

    cumple la identidad f(tx,ty) tn

    f(x,y) (1)

    Es decir que una expresin homognea de grado n-simo en x e y es una expresin tal que

    si se sustituye en ella xe ypor tx y ty resulta la expresin original multiplicada por tn.

    Por ejemplo f(x,y) = 2x2-xy es homognea en x e y, ya que se tiene que

    , es decir f es una funcin homognea degrado 2.En general, cualquier polinomio cuyos trminos (monomios) sean del mismo grado en x ey, es homogneo. As, es homognea en xe y, puesto que:F(tx,ty) = a+b(tx)(ty) + c Obsrvese que cualquier funcin de y/x es homognea de grado 0, pues evidentemente

    Por ejemplo: si , entonces:

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    TEOREMA: es homognea y de grado n, se verifica que:(xfx + yfy +zfz + )= nf(x, y, z, )

    Este teorema, sobre funciones homogneas se debe a Euler y lleva su nombre.

    A partir de la definicin; expresin (1), podemos obtener una relacin bastante interesante,

    haciendo uso la sustitucin , es decir, si f es una funcin homognea, de grado n,entonces:

    Demostracin: si f es una funcin homognea de grado n, entonces:

    Hagamos que: Reemplazando (1) y (2) en (I): Es decir que: , si f es homognea de grado n(II)A.2) DEFINICIN DE ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA: una ecuacindiferencial: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (III)

    Es homognea en x e y si M y N son funciones homogneas del mismo grado en x e y.

    Por ejemplo: es homognea de segundo grado, porque al expresar enforma equivalente la ecuacin dada, resultara que: , donde: O sea M y N son funciones homogneas del mismo grado.

    Ahora bien, como, segn (I), y/x desempea un papel importante en una expresinhomognea, es de esperar que la sustitucin:

    Resulte el cambio de variable adecuado para resolver una ecuacin homognea. Vamos a

    probar, ahora, que la sustitucin (3) en una ecuacin homognea de primer orden y de

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    primer grado conduce a una ecuacin del tipo de variables separables. Supongamos que la

    ecuacin diferencial homognea (III) sea de grado n, entonces teniendo en cuenta (II)

    logramos que:

    y

    Luego, si: , entonces: De (3): [ ( )] =>

    Expresin en la que se encuentran las variables separadas y se har la sustitucin (3)

    siempre y cuando la expresin N sea ms sencilla que M cuya solucin se obtiene entoncespor integracin

    (*)

    OBERVACIN: En lugar de la sustitucin (3) podemos utilizar el cambio de variablesiguiente: Se har este cambio cuando al tratar de resolver (III), M es ms simple que N.

    Demostracin: Como: Hagamos que:

    (

    ) =>

    ()

    Reemplazando () y () en (I): Luego si: son funciones homogneas de grado n, entonces: y Como: => + (7)(5) en (7):

    Expresin en la que se encuentran las variables separadas; y cuya solucin se logra por

    integracin de (8):

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    Ejemplo:las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias son homogneas.

    1. 2. ( ) 3. 4. A.3) EJERCICIOS DESARROLLADOS:

    1. Resolver: (I)Hagamos: , entonces: (1) Y (2) en (I): => 2.- Resolver:

    Solucin:podemos expresar que (II)Ecuacin que es homognea, luego hagamos: De (I) y (II):

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    3.- Resolver: Solucin:

    Sea:

    , luego la ecuacin resultar:

    => => =>

    4.- Prubese que si cambia a coordenadas polares una ecuacin homognea (es decir,hacemos en ella , las variables quedan separadas en laecuacin resultante.

    Solucin: sea , la ecuacin dada, luego si es homogneatendremos que: (1)Si: (2) y (3) en (1): =>

    Ecuacin en la que estn separadas las variables y cuya solucin la obtenemos por

    integracin directa.

    5.- Resolver: ()Solucin: Apreciando la ecuacin propuesta, vemos algunos trminos que nos indica autilizar coordenadas polares, donde:

    (1) => {

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    => ( => => =>

    => => => * +

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    A.4) PROBLEMAS PROPUESTOS:

    1.-

    2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- ( )8.- 9. 10.-

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    B) ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCTIBLES A HOMOGNEAS:

    Una transformacin especial x =

    o y =

    , cambio que permite transformar algunas

    ecuaciones diferenciales a ecuaciones homogneas as por ejemplo:

    B.1) Ejercicios resueltos:

    Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

    a.- (y + y ) dx + 2xdy = 0Sol:

    Hagamos x = , dx = , donde por ahora es un nmero arbitrario que se elegira continuacin. Sustituyendo x y dx en la ecuacin dada, por sus expresiones, obtenemos,

    si:

    (y + y ) dx + 2xdy = 0 (y + y )+ 2dy = 0 ( ) 2dy = 0..(1)Y para que la ecuacin (1) sea homognea debe cumplirse que = , donde:Si: N(x, y) = 2= Si: M(x,y)= ( ), entonces el grado de Es 1+ 1 = , adems para su grado ser: = = , (para que (1) sea homognea) = -2De (1) : ( ) 2dy = 0.(2)Ecuacin que resulta homognea, hagamos entonces: y = vz..(3)

    (3) en (2): -(v

    +

    )dz +

    (vdz + zdv) = 0

    : -(v + )dz + vdz + zdv = 0 -( )dz + zdy = 0 = 0 * que al integrar resulta:-Lnz +

    = C

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    ( = C( 1 = Tal que: z = y v = = y - 1 =

    b.- 2(y + dx + dx = 0Sol:

    Si: 2(y + dx + dx = 0, siendo x = 2(y + )dz + dy = 0

    2

    (

    y +

    )dz +

    dy = 0 (1)

    Si esta ecuacin debe ser homognea, entonces:

    3- 1 + 1 = = = = 3 =- .(2)De (1): - ( )dz + dy = 0Hagamos: y = vz (