Ecuaciones homogeneas

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Una presentación sencilla en Power Point en la que se muestra los pasos para resolver las ecuaciones diferenciales homogéneas.

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  • 1. Ruz Lozano Erik Ricardo
    10310380
    Ecuaciones Diferenciales

2. Ecuaciones Diferenciales Homogneas
Son ecuaciones en las que se puede hacer un cambio de variable reducindolas para que resulte una ecuacin de variable separada.
Su forma Ordinaria es:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
3. Formas de resolucin
Existen dos formas de resolver las Ecuaciones Homogneas;

  • Por Inspeccin. 4. Por la suma de los exponentes de cada termino.

Consiste en convertir los trminos de x y de y y resolver la ecuacinusando las siguientes referencias:
M(tx, ty)
tn f(x, y)
N(tx, ty)
Mtodo de Inspeccin
5. Ejemplo
Si tuviramos la siguiente ecuacin;
F(x, y) = x - 3(xy + 5y)*
Lo primero es sustituir los trminos con x y y por sus variables con t de la siguiente manera:
F(tx, ty) = tx - 3(tx ty + 5ty)
* = toda la ecuacin entre parntesis est bajo la raz cuadrada
6. Ahora vemos si hay trminos que podamosresolver y factorizar.
= tx - 3(t^2 xy + 5ty)
Factorizamos los
dos trminos t y
los multiplicamos.
Resolviendo la raza quedara;
= tx 3t (xy + 5ty
7. Ahora volvemos a factorizar toda la ecuacin:
= t (x - 3(xy + 5y))
Se puede notar que regresamos a la ecuacin original, cuando esto ocurre se dice que nuestra ecuacin es homognea y el exponente en la letra t nos indicar de que grado es nuestra ecuacin.
x - 3(xy + 5y)
Ecuacin homognea de primer grado
8. Mtodo de Suma de exponentes
Este otro mtodo es ms sencillo pero requiere un poco ms de visualizacin.
Supongamos que tenemos la siguiente ecuacin:
F(x, y) = x2 + 2xy (y3/x)
9. Vemos fcilmente que el primer trmino es de segundo grado.
F(x, y) = x2 + 2xy (y3/x)
Para el segundo trmino vemos que es x por y, ambos de primer grado, al multiplicarlos los exponentes se suman dejando este trmino tambin en segundo grado .
Finalmente el tercer trmino se ve que es una y a la tercera potencia mientras que abajo hay una x, no se pueden dividir como tal pero sus exponentes si se pueden restar dejando esta parte hipotticamente en segundo grado.
10. Finalmente si sabemos que todos los trminos son de segundo grado entonces nuestra ecuacin es homognea y por consiguiente tambin conocemos de que grado es:
F(x, y) = x2 + 2xy (y3/x)
Ecuacin homognea de segundo grado
11. Resolucin de Ecuaciones Homogneas
Ahora bien, lo anterior no es la resolucin an, es solo una forma de saber si la ecuacin es homognea y de que grado. Para resolverla podemos emplear un mtodo en el que mezclemos la solucin de las ecuaciones de variables separables;
y = uxdy = udx + xdu
x = uydx = udy + ydu
u = x +y dy = du - dx
12. Suponga que tiene la siguiente ecuacin;
2x3ydx + (x4y4)dy = 0
Primero como en el ejemplo anterior verificamos si la ecuacin es homognea y de que grado es, la manera ms fcil es por la suma de sus exponentes:
2x3ydx + (x4y4)dy = 0
3+1=4 4
13. Resolviendo
La ecuacin es homognea de cuarto grado, podemos empezar. Lo primero es sustituir alguno de los trminos, o x o y, por las ecuaciones en u, no es realmente importante cual de las dos sustituyamos en este momento;
2x3ydx + (x4 + y4)dy = 0
Sustituyendo las x en la ecuacin nos quedara:
2u3y3y(udx +ydu) + (u4y4 + y4)dy = 0
14. Vemos en la ecuacin que hay muchos trminos elevados a una potencia por lo que podemos resolverlos al multiplicarlos o dividirlos segn nos convenga.
2u3y3y(udx +ydu) + (u4y4 + y4)dy = 0
2u3y4(udx +ydu) + y4(u4 + 1)dy = 0
En la primera parte multiplicamos los dos trminos y mientras que en la segunda parte la factorizamos.
15. Ahora que tenemos la ecuacin as podemos ver que hay un trmino en comn en las dos partes de la ecuacin; la y4 por lo que podemos dividir toda la ecuacin entre este mismo trmino eliminndolo y haciendo nuestra ecuacin ms sencilla:
2u3y4(udx +ydu) + y4(u4 + 1)dy = 0
y4
2u3(udx +ydu) + (u4 + 1)dy = 0
16. Ahora creers que ya no se puede hacer ms pero no es as, vindolo bien se puede ver que puedes multiplicar los diferenciales por cada trmino.
2u4dy + 2u3ydu + u4dy + dy = 0
Sumamos algebraicamente trminos semejantes:
3u4dy + 2u3ydu + dy = 0
17. Factorizamos una ltima vez
3u4dy + 2u3ydu + dy = 0
(3u4 + 1)dy +2u3ydu = 0
Y ahora colocamos los trminos de dy de un lado y los trminos de u en otro (la tcnica de variables separables);
(dy/y) + (2u3du/3u4+1)
18. A Integrar
(dy/y) + (2u3du/3u4+1)
El primer trmino es simple de la manera du/u:
du/u = Ln |u| + C
dy/y = Ln |y| + C
19. El segundo trmino quedara es ms complejo, quedara;
(*)2(u3du/3u4 + 1)
Donde:
m = 3u4 + 1
dm = 12u3du
(*) = sacamos el 2 como una constante
20. Nos hace falta un doce para completar la ecuacin y nos damos cuenta de que la integral nos queda tambin de la forma de du/u, entonces;
2/12 dm/m
Simplificamos la ecuacin y la unimos con la otra integral quedando como resultado.
Ln |y| + 1/6 Ln |3u4 + 1| = C
21. Resultado
Ahora, este no es el resultado final, necesitamos convertir los trmino en u, usamos para estos las ecuaciones claves (*);
x = uy
u = x/y
Ln |y| + 1/6 Ln |3(x4/y4) + 1| = C
(*) = hay que recordar al momento de sustituir u que hay que sustituirla de la ecuacin que tomamos, es decir si sustituimos x al inicio tenemos que despejar la u de esta ecuacin.
22. Centro de Enseanza Tcnica Industrial
Ruz Lozano Erik Ricardo
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Aula 212
Ingeniera Mecatrnica
Ecuaciones Diferenciales
Profesor M.E. Csar Octavio Martnez Padilla