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  • LGEBRA LINEAL Y

    ECUACIONES DIFERENCIALES

    FORMACIN POR COMPETENCIAS

    Ecuaciones diferenciales:

    variables separables

  • OBJETIVOS

    Reconocer el orden y grado de una ecuacin

    diferencial.

    Comprobar si una funcin es solucin de una

    ecuacin diferencial.

    Resolver ecuaciones diferenciales de variables

    separables.

    Reconocer el cambio apropiado de variable para

    reducir una E.D.O. a variables separadas.

  • Ecuacin diferencial

    Una ecuacin diferencial (E.D.) es una ecuacin que relaciona

    una funcin (o variable dependiente) y/o su variable o

    variables (variables independientes) y necesariamente algunas

    de sus derivadas.

    a.-

    +

    + =

    b.-

    +

    =

    c.-

    + =

    d.-

    +

    =

    e.-

    =

    Variable dependiente: funcin

    Variable independiente:

    Derivadas:

    ;

    Variable dependiente: funcin

    Variables independientes: e

    Derivadas:

    ;

  • Clasificacin

    Ecuacin diferencial ordinaria (EDO)

    Es una ecuacin que contiene slo derivadas ordinarias de

    una o ms variables dependientes con respecto a una sola

    variable independiente.

    a.-

    = . b.-

    +

    = +

    Ecuacin diferencial parcial (EDP)

    Es una ecuacin que contiene derivadas parciales de una o

    ms variables dependientes con respecto a dos o ms

    variables independientes.

    a.-

    +

    = b.-

    =

  • Ecuacin diferencial

    En general una E.D.O. se puede escribir de la forma:

    ; ; () ; () ; ; () =

    donde + es una funcin definida en un conjunto +.

    Esta E.D.O. est en forma explcita (o normal) cuando la

    derivada () puede ser despejada de la ecuacin anterior, es decir

    () = ; ; () ; ; ; ()

    donde : + es una funcin definida en un conjunto +.

  • Orden y grado de una E.D.

    Orden

    Es el orden de la derivada ms alta que aparecen en la

    ecuacin.

    +

    +

    =

    +

    +

    = +

    E.D. de orden 3

    E.D. de orden 5

    =

    =

    E.D. de orden 1

  • Orden y grado de una E.D.

    Grado

    Es el grado algebraico de su derivada de mayor orden

    (siempre y cuando la E.D. pueda escribirse como un polinomio

    en la funcin desconocida y sus derivadas)

    +

    + =

    +

    =

    E.D. de grado 1 (y de orden 3)

    E.D. de grado 3 (y de orden 2)

  • Ejemplo 1

    Determine el grado y el orden de la siguiente ecuacin

    diferencial

    +

    =

    Solucin

  • Ecuacin diferencial lineal

    Se dice que una EDO de orden es lineal si tiene la siguiente forma:

    +

    ++

    + = ()

    donde y son funciones continuas definidas en un intervalo .

    Si = 0 la E.D anterior es llamada lineal homognea de orden .

    Si todas las funciones son constantes, la E.D anterior es llamada lineal con coeficientes constantes de orden .

  • Solucin explcita de una E.D.O.

    Una solucin explcita de una ecuacin diferencial ordinaria en

    un intervalo , es cualquier funcin definida en que satisface a la ecuacin, es decir, que al sustituirla la reduce a

    una identidad.

    Por ejemplo cualquier funcin

    de la forma

    = + ;

    donde es una constante real, es solucin de la E.D.

    + =

    Familia de soluciones de la E.D.

    >

    <

    =

  • Ejemplo 1

    Analice si la funcin

    () = ( +

    )

    donde representa una antiderivada cualquiera de la

    funcion y , son constantes cualesquiera, es solucin

    de la ecuacin diferencial

    =

    Solucin:

  • Ejemplo 2

    Analice si la funcin

    () =

    +

    es solucin de la ecuacin diferencial

    + =

    Solucin:

  • Solucin implcita de una E.D.O.

    Una ecuacin ; = es una solucin implcita de una ecuacin diferencial ordinaria en un intervalo , cuando sta ecuacin define una o mas soluciones explcitas de la

    E.D.O.

    Por ejemplo la ecuacin

    + + =

    define una solucin implcita de

    la E.D.

    +

    + + =

    Curva de la solucin implcita de la E.D.

  • Ejemplo 1

    Demuestre que la ecuacin

    =

    es una solucin implcita de la E.D.O.

    =

    Solucin:

    Conjunto de soluciones implcitas de la E.D.

  • Ejemplo 2

    Analice si = + es solucin de la ecuacin diferencial

    =

    +

    Solucin:

  • Ejercicio 1

    Sean , dos soluciones distintas de la ecuacin + () = ()

    Determine el valor de para que la funcin = + sea tambin solucin de la ecuacin.

    Solucin:

  • Ejercicio 2

    Considere para > 1 la ecuacin diferencial

    +

    ( + )= ( + )

    determine una solucin de la forma () = (1 + ).

    Solucin:

  • Problema de valor inicial (P.V.I.)

    Sea + una funcin definida en un conjunto +. El problema de resolver la E.D.

    ; ; () ; () ; ; () =

    con las condiciones iniciales = () =

    =

    donde ; ; ; ; es llamado un problema de valores iniciales.

  • Problema de valor inicial (P.V.I.)

    Por ejemplo para la ecuacin diferencial de primer orden

    ; ; () =

    con la condicin inicial

    =

    ;

    Grfica de las soluciones de la E.D.O.

    De entre el conjunto de soluciones de

    la E.D. ,la solucin del P.V.I. es aquella

    cuya grfica pasa por el punto (; )

  • Teorema de existencia y unicidad para

    E.D.O de primer orden

    Sea : donde es un conjunto abierto y ;

    . Si y

    son continuas en , entonces existen intervalos

    abiertos y con centro en y en respectivamente tal que el P.V.I.

    = (; )

    =

    tiene una nica solucin : .

    ;

  • Ejemplo 1

    Analice la existencia de soluciones del PV.I.

    =

    =

    Solucin:

    El dominio de la funcin es: y la derivada parcial

    =

    .

    La solucin general de la E.D es: = + y con la condicin inicial obtenemos la solucin

    =

    Luego podemos garantizar existencia de solucin nica en cualquier

    punto del conjunto (; ) = . En el punto dado = el teorema no garantiza unicidad de la solucin.

  • Ejemplo 1

    Notamos por simple inspeccin que adems podemos tener las

    siguientes soluciones

    = (funcin constante)

    =

    <

    De este modo la solucin no es nica.

  • Ejemplo 2

    Analice la existencia de soluciones del P.V.I.

    =

    =

    Solucin:

    El dominio de la funcin es: + y la derivada parcial

    =

    . Luego podemos garantizar existencia de solucin

    nica en cualquier punto dentro de la circunferencia + =

  • Ecuaciones de variables separables

    Una ecuacin diferencial de primer orden de la forma

    = . ()

    se dice que es una E.D. separable o que tiene variables

    separables.

    Una E.D. de este tipo tambin se suele presentar en la forma

    + =

    Mtodo de solucin

    Escriba la E.D.

    = . () en la forma

    1

    () =

    Integrar ambos miembros de la ecuacin respecto a cada variable

    () =

  • Ejemplo 1

    Resuelva cada una de las E.D dadas

    a.- =

    b.- + =

    c.-

    =

    +

    +

    Solucin:

  • Ejercicio 1

    La pendiente de una familia de curvas en cualquier punto

    , est dada por

    =

    + 1

    + 2 2 + 2 + 2

    Halle la ecuacin de la curva que pasa por el punto (1, 0).

    Solucin:

  • Ejercicio 2

    Sea la ecuacin diferencial

    = 832

    a) Encuentre la solucin general.

    b) Encuentre la solucin particular que verifica 2 = 3

    Solucin:

  • E.D. reducibles a variables separables

    En muchas ocasiones no es posible reparar las variables de

    una E.D. directamente. En este caso se puede realizar un

    cambio de variable para llegar a convertir la E.D. en una de

    variables separables.

    Por ejemplo la E.D.

    = + +

    No es de variables separables (las variables no pueden separarse

    de manera inmediata). Pero con el cambio de variable + + = obtenemos la E.D.

    = +

    Que es una de variables separables y puede ser resuelta por el

    mtodo anterior.

  • E.D. reducibles a variables separables

    Mtodo de solucin

    Escoger un cambio adecuado de variables. La siguiente tabla puede ayudar a escoger el cambio:

    Formar la nueva E.D. con una de las variables originales y la nueva variable.

    SI APARECE EN LA E.D. Cambio sugerido

    + = +

    + = +

    =

    + =

    =

    ( + + ) = + +

  • Ejemplo 1

    Resuelva la E.D.

    ( + ) + ( ) = Solucin:

    Descomponemos la E.D.

    + + =

    Agrupamos convenientemente

    + + =

    Realizamos el cambio: = = +

    Y obtenemos: =

    = +

    =

    + +

    Finalmente la solucin es: =

    + +

  • Ejemplo 2

    Resuelva cada una de las siguientes E.D.

    a.-

    = + +

    b.- ( + ) =

    c.- + + =

    d.- + + = +