ECUACIONES DIFERENCIALES

Las Ec. Diferenciales proporcionan un medio eficaz tanto para resolver numerosos problemas de ingeniería y ciencias en general como problemas puramente matemáticos, por ejemplo Newton formulo la ley de gravitación resolviendo después el sistema correspondiente de ecuaciones diferenciales para demostrar que la tierra se mueve alrededor del sol describiendo aproximadamente una elipse donde uno de sus focos es el sol. Juegan un papel importante en el desarrollo de las teorías de radio radal, televisión y electricidad en general.

ORDEN Y GRADO

Una ecuación diferencial es aquella en donde encontramos diferenciales o derivadas, si en la ec. Diferencial hay diferenciales totales, derivadas totales o ambas, pero no hay derivadas parciales estas se denominan “Ec. Diferenciales ordinarias”. Si contienen derivadas parciales estas se denominan “Ec. Entre derivadas parciales”.

Ejemplo

Ec. Difer. Ordinaria

Ec. Entre derivadas parciales

DEFINICION 1:

El orden de una Ec. Diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que interviene en ella, por ejemplo

en el orden de la Ec. Dif. Es “2” .

DEFINICION 2:

El grado de una ec. Dif. Ordinaria algebraica respecto a sus derivadas es el grado algebraico de sus derivadas de mayor orden, por ejemplo:

si elevamos a 6

El grado de la Ec. Dif. Es “4” y su orden “2”

32 += xdxdy

22 22

22 +=++ xy

dxdyx

dxydx

02

2

2

2

2

2

=¶¶

+¶¶

+¶¶

zu

yu

xu

22 22

22 +=++ xy

dxdyx

dxydx

2

3

2

2

2

1 ÷øö

çèæ+=÷÷

ø

öççè

ædxdy

dxyd

324

2

2

1 ÷÷ø

öççè

æ÷øö

çèæ+=÷÷

ø

öççè

ædxdy

dxyd

SOLUCION DE UNA EC. DIFERENCIAL

Una solución de una Ec. Dif. Ordinaria de 2 variables es una relación sin derivadas entre las variables que satisface a la ecuación.

entonces si esta es una solución a la Ec. Dif. Planteada.

reemplazando en la ecuación

Comprobar que la solución de la ecuación es

Observaciones:

1. Cualquier Ec. Dif. De 1er. orden y 1er. grado se puede escribir como expresión que hace

corresponder a cada punto una línea dependiente evaluada en .

Teorema: Una Ec. Dif. tiene en una región S una solución única satisfecho por

siempre y cuando este sea un punto interior de S y que y sean reales y continuas en S.

2. La solución general de una Ec. De 1er orden contiene una constante arbitraria, la de una Ec. De 2do. Orden contiene 2 , y la de una Ec. De orden “n” contiene n constantes arbitrarias.

ydxdyx 2= 2cxy =

cxdxdy

cxy

2

2

=

=

22

2

2222

2

cxcxcxcxx

ydxdyx

=

×=×

=

0)( =+- ydxdyxy c

yxy =+ln

0

01

ln

2

2

=-+

=×-

+×

=+

ydxdyxy

dxdyy

ydxdyxy

dxdy

y

cyxy

),( yxfdxdy

=

( )00, yxdxdy ( )00, yx

),( yxfdxdy

= )(xy d= ( )00, yx

),( yxfyyxf

¶¶ ),(

( )

( ) 0

0

=+-\

=+-

ydxdyxy

yxydxdy

SOLUCION GENERAL Y PARTICULAR

Se llama solución general a la solución de una Ec. Dif. Que contiene a todos o a casi todos las soluciones. En la mayoría de los ejercicios se encuentra un N° de constantes arbitrarias igual al N° que expresa el orden de la Ec. Dif.

Una solución particular de una Ec. Dif. Es una solución menos amplia que la general por que esta puede obtenerse o no sustituyendo en la solución general las constantes arbitrarias por determinados valores, si no se sustituyen los valores de las constantes arbitrarias la solución es llamada solución singular.

Ejemplo:

La solución de esta Ecuación es y sus soluciones singulares son y = 1; y = -1 ya que estas

satisfacen la Ec. Dif. Pero no son casos especiales de la ecuación .

Se presentan los siguientes 2 problemas:

1.- Dada la solución general o primitiva, encontrar la Ec. Dif.

2.- Dada una Ec. Dif. Hallar una solución para ella.

Ejemplo:

1. Hallar la Ec. Dif. Cuya solución general es

además sabemos que:

Por lo tanto reemplazando nos queda la igualdad: /

Ec. Dif. Cuya solución es

2. Encontrar la Ec. Dif. Si la solución es

112

2 =úúû

ù

êêë

é÷øö

çèæ+dxdyy

1)( 22 =+- ycx1)( 22 =+- ycx

xcy cos×=

senx-c y´cos ×=×=

entoncesxcySi

xyc

xcysi

cos

cos

=

×=

senxxyy ×-=

cos´ xcos×

senxyxy ×-=´cos

xcy cos×=

xecy ×=

0´cos =+ ysenxxy

Ec. Diferencial

3. Encontrar la Ec. Dif. Si la solución es:

Si

Si

/

Ec. Diferencial

4.- Encontrar la Ec. Dif. Si la solución es:

xecy ×=´

xeyc = Þ

yy

eeyy xx

=

×=

´

´

0´ =-yy

22

1 cxcy +=

22

1 cxcy += Þ 212 xcyc -=

22

1 cxcy += Þ xcy 12´= Þxyc2´

1 =

12´´ cy = Þxyy2´2´´= x×

Þ ´´´ yyx =×

Þ 0´´´ =-yxy

xececy xx ++= -2

21

Si 1)

Entonces tenemos que: 2)

Entonces tenemos que: 3)

Sumando las expresiones 1) y 2)

Sumando las expresiones 2) y 3)

Reemplazando c1 en la expresión

Tenemos que:

Ec. Dif. Buscada

5.- Encontrar la Ec. Dif. Si la solución es:

Si

Entonces

Reemplazando c

Ec. Dif.

6.- Encontrar la Ec. Dif. Si la solución es:

xececy xx ++= -2

21

12´ 22

1 +-= -xx ececy

xx ececy -+= 22

14´´

13´´ 21 ++=+ xecyy x Þ xe

xyyc 21 31´ --+

=

16´´´ 21 +=+ xecyy

16´´´ 21 +=+ xecyy

13´6´´´ 22 +÷

øö

çèæ --+

=+ xx e

exxyyyy

( )122´22´´´11´2´´´+--+=++--+=+

xyyyyxyyyy

0122´´´ =++-- xyyy

cxcxy += 2

cxcxy += 2 Þxx

yc+

= 2

)12(´2´

+=+=xcyccxy

)12(´ 2 ++

= xxx

yy

)12(´ 2 ++

= xxx

yy

)12()´( 2 +=+ xyxxy

02)´( 2 =--+ yxyxxy

xcxsencsenxy 2cos2 21 ++=

Respuesta: ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1ER. ORDEN Y 1ER. GRADO

SUSTITUCIÓN SIMPLE: Muchos problemas de resolución de Ec. Dif. Pueden ser resueltos mediante separación de variables utilizando sustituciones convenientes, en general para resolver una Ec. Dif. Por simple sustitución conviene realizar lo siguiente: 1.- Escribir las ecuaciones de sustitución. 2.- Calcular las diferenciales de ellas. 3.- Elimínese 2 de las incognitos entre la ecuación diferencial dad y los resultados de 1) y 2). 4.- Resuelva la ecuación obtenida en 3). 5.- Sustituir las nuevas variables en función de las primitivas en el resultado de 4). Ejemplo:

Sea

La nueva Ec. Es:

Solución de la Ec. Dif.

senxyy 34´´ =+

0)4()3( =+++-+ dyyxdxyx

dydxdzyxz+=

+=

0))(4()3( =-++- dxdzzdxz

0443 =-+-+- dxdzzdxzdzdxzdx

ò=++- /0)4(7 zdzdx

0)4(7 =++- òò dzzdx

2/)(2)4(72

cfzx =+

+-

czx =++- 2)4(14

cxyx =-++ 14)4( 2

cyxxyyx =++-++ 1686222

SEPARACIÓN DE VARIABLES:

En la Ec. Dif. cada parte tiene una interpretación numérica definida, por conveniencia

esta interpretación se escribe frecuentemente en la forma diferencial Si al hacer una separación de variables obtenemos:

La solución de esta Ecuac. Se obtiene integrando:

Ejercicios: Encontrar la solución de las Ecuac. Dif.: 1.- Sol. 2.- Sol.

3.- Sol.

4.- Sol.

5.- Sol. 6.- Sol. 7.- Sol. Sugerencia:

8.- Sol. Sugerencia:

9.- Sea la Ec. Dif. Encontrar el valor de c; si x = y = 1

Sol. Ec. Dif. Valor de

0),(),( =+dxdyyxNyxM

0),(),( =+ dyyxNdxyxM

0)()( 21 =+ dyyfdxxf

)()()( 21 cfdyyfdxxf =+ òò

0=+ ydyxdx cyx =+ 22

0=+ ydxxdy cxy =

011

2

2

=++

+ dxxyxydy 2

2

1)1(

xyxc

++

=

0)21()1(2 22 =+-+ dyxydxyx cyx=

++

2

2

121

0sec)1(3 2 =×++×× dyyedxtgye xx ctgyex =+ 3)1(

02 =-× - dyedxee yyx cee yx =+ -33

0)32(2 =++ dyyxdx cyxey =-+ )332( zyx =+ 32

0)(22 3223 =+-+ ydxxdydyyxdxyx cxyxyyx =++= 13322 yxu

xyz+=

=

dyxydxdyyxydxx 22232 +=+

cyyx

x =-++ ln2

1 22

25

=c

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS Una expresión homogénea de grado n-esimo en x e y es una expresión tal que si se sustituye en ella x e y por tx y ty resulta la expresión original multiplicada por “tn”, o sea: Ejemplo: Demostrar que la función: es homogénea en x e y. OBSERVACIÓN: 1.- Cualquier polinomio cuyos términos sean del mismo grado en x e y es homogénea.

2.- Cualquier función de es homogénea de grado cero.

Una Ec. Dif. es homogénea en x e y ssi M y N son funciones homogéneas del mismo grado en x e y. Para resolver la Ec. Dif. De este tipo basta realizar las siguientes sustituciones:

1.- Cuando N es más sencillo

2.- Cuando M es más sencillo

Ejercicios: Encontrar la solución de las Ecuac. Dif.: 1.- Sol. 2.- Sol.

3.- Sol.

4.- Sol.

),(),( yxfttytxf n ×=

22),( yxyxf +=

xy

0=+ NdyMdx

xdvvdxdyvxy

+==

ydvvdydxvyx

+==

02)( 22 =-+ xydydxyx cxyx =- 22

0)32()32( =+-- dyxydxyx cyxyx =-- 22 3

0)( =-+ dyxyxsendx

xyysenx cex x

y

=×cos

xyxy

dxdy

2

22 -= cxyx =+ 22

5.- Sol.

6.- Sol.

0)( 222 =-+ dxydyyx cy

yxarctgy =÷÷ø

öççè

æ --

32

332ln

yyxx

dxdy 22 ++-

= cxyx =-+ 22