ECUACIONES DIFERENCIALES ORDEN Y GRADO 2019. 4. 12.¢  ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS...

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  • ECUACIONES DIFERENCIALES

    Las Ec. Diferenciales proporcionan un medio eficaz tanto para resolver numerosos problemas de ingeniería y ciencias en general como problemas puramente matemáticos, por ejemplo Newton formulo la ley de gravitación resolviendo después el sistema correspondiente de ecuaciones diferenciales para demostrar que la tierra se mueve alrededor del sol describiendo aproximadamente una elipse donde uno de sus focos es el sol. Juegan un papel importante en el desarrollo de las teorías de radio radal, televisión y electricidad en general.

    ORDEN Y GRADO

    Una ecuación diferencial es aquella en donde encontramos diferenciales o derivadas, si en la ec. Diferencial hay diferenciales totales, derivadas totales o ambas, pero no hay derivadas parciales estas se denominan “Ec. Diferenciales ordinarias”. Si contienen derivadas parciales estas se denominan “Ec. Entre derivadas parciales”.

    Ejemplo

    Ec. Difer. Ordinaria

    Ec. Entre derivadas parciales

    DEFINICION 1:

    El orden de una Ec. Diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que interviene en ella, por ejemplo

    en el orden de la Ec. Dif. Es “2” .

    DEFINICION 2:

    El grado de una ec. Dif. Ordinaria algebraica respecto a sus derivadas es el grado algebraico de sus derivadas de mayor orden, por ejemplo:

    si elevamos a 6

    El grado de la Ec. Dif. Es “4” y su orden “2”

    32 += x dx dy

    22 22 2

    2 +=++ xy dx dyx

    dx ydx

    02 2

    2

    2

    2

    2

    = ¶ ¶

    + ¶ ¶

    + ¶ ¶

    z u

    y u

    x u

    22 22 2

    2 +=++ xy dx dyx

    dx ydx

    2

    3

    2

    2

    2

    1 ÷ ø ö

    ç è æ+=÷÷

    ø

    ö çç è

    æ dx dy

    dx yd

    324

    2

    2

    1 ÷ ÷ ø

    ö ç ç è

    æ ÷ ø ö

    ç è æ+=÷÷

    ø

    ö çç è

    æ dx dy

    dx yd

  • SOLUCION DE UNA EC. DIFERENCIAL

    Una solución de una Ec. Dif. Ordinaria de 2 variables es una relación sin derivadas entre las variables que satisface a la ecuación.

    entonces si esta es una solución a la Ec. Dif. Planteada.

    reemplazando en la ecuación

    Comprobar que la solución de la ecuación es

    Observaciones:

    1. Cualquier Ec. Dif. De 1er. orden y 1er. grado se puede escribir como expresión que hace

    corresponder a cada punto una línea dependiente evaluada en .

    Teorema: Una Ec. Dif. tiene en una región S una solución única satisfecho por

    siempre y cuando este sea un punto interior de S y que y sean reales y continuas en S.

    2. La solución general de una Ec. De 1er orden contiene una constante arbitraria, la de una Ec. De 2do. Orden contiene 2 , y la de una Ec. De orden “n” contiene n constantes arbitrarias.

    y dx dyx 2= 2cxy =

    cx dx dy

    cxy

    2

    2

    =

    =

    22

    2

    22 22

    2

    cxcx cxcxx

    y dx dyx

    =

    ×=×

    =

    0)( =+- y dx dyxy c

    y xy =+ln

    0

    01

    ln

    2

    2

    = -+

    = ×-

    =+

    y dx dyxy

    dx dyy

    y dx dyxy

    dx dy

    y

    c y xy

    ),( yxf dx dy

    =

    ( )00, yx dx dy ( )00, yx

    ),( yxf dx dy

    = )(xy d= ( )00, yx

    ),( yxf y yxf

    ¶ ¶ ),(

    ( )

    ( ) 0

    0

    =+-\

    =+-

    y dx dyxy

    yxy dx dy

  • SOLUCION GENERAL Y PARTICULAR

    Se llama solución general a la solución de una Ec. Dif. Que contiene a todos o a casi todos las soluciones. En la mayoría de los ejercicios se encuentra un N° de constantes arbitrarias igual al N° que expresa el orden de la Ec. Dif.

    Una solución particular de una Ec. Dif. Es una solución menos amplia que la general por que esta puede obtenerse o no sustituyendo en la solución general las constantes arbitrarias por determinados valores, si no se sustituyen los valores de las constantes arbitrarias la solución es llamada solución singular.

    Ejemplo:

    La solución de esta Ecuación es y sus soluciones singulares son y = 1; y = -1 ya que estas

    satisfacen la Ec. Dif. Pero no son casos especiales de la ecuación .

    Se presentan los siguientes 2 problemas:

    1.- Dada la solución general o primitiva, encontrar la Ec. Dif.

    2.- Dada una Ec. Dif. Hallar una solución para ella.

    Ejemplo:

    1. Hallar la Ec. Dif. Cuya solución general es

    además sabemos que:

    Por lo tanto reemplazando nos queda la igualdad: /

    Ec. Dif. Cuya solución es

    2. Encontrar la Ec. Dif. Si la solución es

    11 2

    2 = ú ú û

    ù

    ê ê ë

    é ÷ ø ö

    ç è æ+ dx dyy

    1)( 22 =+- ycx 1)( 22 =+- ycx

    xcy cos×=

    senx-c y´ cos ×= ×=

    entonces xcySi

    x yc

    xcysi

    cos

    cos

    =

    ×=

    senx x yy ×-=

    cos ´ xcos×

    senxyxy ×-=´cos

    xcy cos×=

    xecy ×=

    0´cos =+ ysenxxy

  • Ec. Diferencial

    3. Encontrar la Ec. Dif. Si la solución es:

    Si

    Si

    /

    Ec. Diferencial

    4.- Encontrar la Ec. Dif. Si la solución es:

    xecy ×=´

    xe yc = Þ

    yy

    e e yy xx

    =

    ×=

    ´

    ´

    0´ =-yy

    2 2

    1 cxcy +=

    2 2

    1 cxcy += Þ 2

    12 xcyc -=

    2 2

    1 cxcy += Þ xcy 12´= Þ x yc 2 ´

    1 =

    12´´ cy = Þ x yy 2 ´2´´= x×

    Þ ´´´ yyx =×

    Þ 0´´´ =-yxy

    xececy xx ++= -2 2

    1

  • Si 1)

    Entonces tenemos que: 2)

    Entonces tenemos que: 3)

    Sumando las expresiones 1) y 2)

    Sumando las expresiones 2) y 3)

    Reemplazando c1 en la expresión

    Tenemos que:

    Ec. Dif. Buscada

    5.- Encontrar la Ec. Dif. Si la solución es:

    Si

    Entonces

    Reemplazando c

    Ec. Dif.

    6.- Encontrar la Ec. Dif. Si la solución es:

    xececy xx ++= -2 2

    1

    12´ 2 2

    1 +-= -xx ececy

    xx ececy -+= 2 2

    14´´

    13´´ 21 ++=+ xecyy x Þ xe

    xyyc 21 3 1´ --+

    =

    16´´´ 21 +=+ xecyy

    16´´´ 21 +=+ xecyy

    1 3 ´6´´´ 22 +÷ø

    ö ç è æ --+=+ xx ee

    xxyyyy

    ( ) 122´22´´´ 11´2´´´ +--+=+ +--+=+

    xyyyy xyyyy

    0122´´´ =++-- xyyy

    cxcxy += 2

    cxcxy += 2 Þ xx

    yc +

    = 2

    )12(´ 2´

    += += xcy ccxy

    )12(´ 2 ++ = x

    xx yy

    )12(´ 2 ++ = x

    xx yy

    )12()´( 2 +=+ xyxxy

    02)´( 2 =--+ yxyxxy

    xcxsencsenxy 2cos2 21 ++=

  • Respuesta: ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1ER. ORDEN Y 1ER. GRADO

    SUSTITUCIÓN SIMPLE: Muchos problemas de resolución de Ec. Dif. Pueden ser resueltos mediante separación de variables utilizando sustituciones convenientes, en general para resolver una Ec. Dif. Por simple sustitución conviene realizar lo siguiente: 1.- Escribir las ecuaciones de sustitución. 2.- Calcular las diferenciales de ellas. 3.- Elimínese 2 de las incognitos entre la ecuación diferencial dad y los resultados de 1) y 2). 4.- Resuelva la ecuación obtenida en 3). 5.- Sustituir las nuevas variables en función de las primitivas en el resultado de 4). Ejemplo:

    Sea

    La nueva Ec. Es:

    Solución de la Ec. Dif.

    senxyy 34´´ =+

    0)4()3( =+++-+ dyyxdxyx

    dydxdz yxz +=

    +=

    0))(4()3( =-++- dxdzzdxz

    0443 =-+-+- dxdzzdxzdzdxzdx

    ò=++- /0)4(7 zdzdx

    0)4(7 =++- òò dzzdx

    2/)( 2 )4(7 2

    cfzx =++-

    czx =++- 2)4(14

    cxyx =-++ 14)4( 2

    cyxxyyx =++-++ 1686222

  • SEPARACIÓN DE VARIABLES:

    En la Ec. Dif. cada parte tiene una interpretación numérica definida, por conveniencia

    esta interpretación se escribe frecuentemente en la forma diferencial Si al hacer una separación de variables obtenemos:

    La solución de esta Ecuac. Se obtiene integrando:

    Ejercicios: Encontrar la solución de las Ecuac. Dif.: 1.- Sol. 2.- Sol.

    3.- Sol.

    4.- Sol.

    5.- Sol. 6.- Sol. 7.- Sol. Sugerencia:

    8.- Sol. Sugerencia:

    9.- Sea la Ec. Dif. Encontrar el valor de c; si x = y = 1

    Sol. Ec. Dif. Valor de

    0),(),( =+ dx dyyxNyxM

    0),(),( =+ dyyxNdxyxM

    0)()( 21 =+ dyyfdxxf

    )()()( 21 cfdyyfdxxf =+ òò

    0=+ ydyxdx cyx =+ 22

    0=+ ydxxdy cxy =

    0 1 1

    2

    2

    = + +

    + dx x yxydy 2

    2

    1 )1(

    x yxc

    + +

    =

    0)21()1(2 22 =+-+ dyxydxyx c y x =

    + +

    2

    2

    1 21

    0sec)1(3 2 =×++×× dyyedxtgye xx ctgyex =+ 3)1(

    02 =-× - dyedxee yyx cee yx =+ -33

    0)32(2 =++ dyyxdx cyxey =-+ )3