Matematica Basica Monografico 1

UNIVERSIDAD SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO

ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las

distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.

Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un

plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz

respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor

genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su

eje principal genera un esferoide alargado.

ELEMENTOS DE UNA ELIPSE

CURSO: MATEMATICA BASICA Página 1

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:ElipseAnimada.gif


ELEMENTOS DE UNA ELIPSE

La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a ), y un «eje menor»,

trazo CD (que equivale a ); la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre

de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje

menor», respectivamente.

Sobre el «eje mayor» existen dos puntos y que se llaman «focos».

El punto es uno que pertenezca a la «elipse».

PUNTOS DE UNA ELIPSE

Si F1 y F2 son dos puntos del plano y d es una constante mayor que la distancia F1

F2, un punto Q pertenecerá a la elipse, si:

Donde es el semieje mayor de la elipse.

EJES DE UNA ELIPSE


http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:WIKI_elipse_TT.JPG


Eje mayor (2 a) es la distancia mayor entre dos puntos adversos. En la figura,

longitud del segmento AB. La medida a es la mitad del eje mayor, o sea es el

semieje mayor. La distancia del centro de la elipse al punto A o al punto B.

El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos

equivale al eje mayor.Obsérvese que d(AF2) + d (AF1) = d(AF2) + d (BF2)= AB

La medida b es la mitad del eje menor, o sea es el semieje menor, la distancia del

centro al punto C o al punto D.

EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE

La excentricidad de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento

que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra 'c', y su

semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

, con (0 < e < 1)

Dado que , también vale la relación:



o el sistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada

cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.

CONSTANTE DE LA ELIPSE


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En una elipse, por definición, la suma de la longitud de ambos segmentos (azul +

rojo) es una cantidad constante, la cual siempre será igual a la longitud del «eje

mayor».

En la elipse de la imagen, la constante es 10. Equivale a la longitud medida desde

el foco al punto (ubicado en cualquier lugar de la elipse) sumada a la longitud

desde el foco a ese mismo punto . (El segmento de color azul sumado al de

color rojo).

El segmento correspondiente, tanto trazo (color azul), como al (color

rojo), se llaman «radio vector». Los dos «focos» equidistan del centro . En la

animación, el punto recorre la elipse, y en él convergen ambos segmentos (azul

y rojo).

ECUACIONES DE LA ELIPSE

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen.

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las

abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF'].

La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e

la excentricidad y a el semieje mayor.

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:



En coordenadas polares una elipse (centrada en uno de sus focos) viene definida

por la ecuación:

También en coordenadas polares una elipse (con centro en el origen) viene

definida por la ecuación:

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) es:

con , y donde el ángulo θ se puede interpretar como el ángulo polar.

ÁREA INTERIOR DE UNA ELIPSE

El área de la superficie interior de una elipse es:

Siendo a y b los semiejes.

LONGITUD DE UNA ELIPSE

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas

de segunda especie.

Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación más simple que se

aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la

obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su formula, entre otros



valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”. Ecuación de la longitud de

una elipse:

PROPIEDADES NOTABLES

La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se

puede ver en Analogía de Michelson y Morley.

LA ELIPSE COMO CÓNICA

La elipse surge de la intersección de una superficie cónica

con un plano, de tal manera que la inclinación del plano no

supere la inclinación de la recta generatriz del cono,

consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada.

En otro caso el corte podría ser una hipérbola o una

parábola. Es por ello que a todas estas figuras

bidimensionales se las llama secciones cónicas o simplemente cónicas.

LA ELIPSE COMO HIPOTROCOIDE

La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de

la circunferencia directriz, y r el radio de la circunferencia generatriz.

En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira

tangencialmente por el interior de la circunferencia directriz.


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La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10, r = 5, d = 1.

Construcción paramétrica de una elipse ,Se dibujan dos circunferencias

concéntricas cuyos diámetros equivalen a la medida de los ejes ortogonales de la

futura elipse. Si trazamos segmentos palalelos a los ejes principales X e Y,

partiendo del extremo de los radios alineados, la intersección de dichos

segmentos son puntos de la elipse.

Anamorfosis de un círculo en una elipse Cierta trasformación de la circunferencia

(al deformar ortogonalmente el plano cartesiano asociado a ella), se denomina

anamorfosis. Se corresponde a una perspectiva especial. El término anamorfosis

proviene del idioma griego y significa trasformar.

CURVAS CIRCULARES

Las curvas circulares simples son arcos de circunferencia de un solo radio, que

constituye la proyección horizontal de las curvas reales o espaciales,

especialmente al unir dos tangentes consecutivas.


http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Ellipse_as_hypotrochoid.gif

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Parametric_ellipse.gif


ELEMENTOS DE UNA CURVA CIRCULAR

Punto de vértice (PI): Es el punto de intersección de las tangentes.

Punto de curvatura (PC): Es el punto en donde termina la tangente de

entrada e inicia la curva.

Punto de tangencia (PT): Es el punto en dónde termina la curva y comienza

la tangente de salida.

Angulo de deflexión (D): Es el ángulo central subtendido entre las dos

tangentes.

Tangente (T): Es la distancia del PC al PI o desde el PI al PT.

T = R tan (D/2)

Cuerda larga (CL): Es la distancia recta entre el PC y el PT.

CL = 2R sen (D/2)

Externa (E): Es la distancia desde el PI al punto medio de la curva.

E = T tan (D/4)

Ordenada media (M): Es la distancia desde el punto medio de la curva, al

punto medio de la cuerda larga.

M = R [1 - cos (D/2)]

Centro de la curva circular (RP): Es el mismo punto de radio.

Radio de la curva circular (R): Es la distancia del RP al PC o al PT.

R = T / tan(D/2)

Longitud de la curva circular (L): Es la distancia del PC al PT por el arco de

la curva.

L = c D /G D = Delta


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GRADO DE UNA CURVA CIRCULAR (G)

El ángulo específico de una curva, se define como el ángulo en el centro de

un arco circular subtendido por una cuerda específica c, ésta es la

definición por cuerda. La definición por arco es el grado específico de una

curva, que es el ángulo central subtendido por un arco específico.

Sistema arco –grado

R = 180 s / pi G

L = pi R D / 180

Sistema cuerda - grado (es el mas utilizado en carreteras)

G = 2 arcsen ( c / 2 R )

L = c D / G

Existen también curvas circulares compuestas que están formadas por dos

o mas curvas circulares, pero su uso es muy limitado, en la grán mayoría de

los casos se utilizan en terrenos montañosos cuando se quiere que la

carretera quede lo más ajustada posible a la forma del terreno, lo cual

reduce el movimiento de tierra. También se pueden utilizar cuando existen

limitaciones de libertad en el diseño, como, por ejemplo, en los accesos a

puentes, en los pasos a desnivel y en las intersecciones.

CURVAS ESPIRALES

Las curvas espirales se usan para proporcionar una transición gradual de la

curvatura en curvas horizontales. Su uso más común es para conectar tramos

rectos de un alineamiento con curvas circulares, disminuyendo así el cambio

brusco de dirección que ocurriría en los puntos de tangencia.



En la figura, se aprecia una curva espiral con longitud Le, que conecta la tangente

de entrada con una curva circular de radio R. La longitud L, es la longitud de la

curva espiral desde su origen a un punto cualquiera P de radio conocido.

CURVAS REVERSAS

Existen cuando hay dos curvas circulares con un punto de tangencia común y con

centros en lados opuestos de la tangencia común. En general estas están

prohibidas por toda clase de especificaciones, y por tanto, se deben evitar en

carreteras y ferrocarriles, pues no permite manejar correctamente el peralte en las

cercanías del punto de tangencia; además, en ese punto puede haber dificultades

en el funcionamiento de los vehículos. Sin embargo, se encuentran

frecuentemente en terrenos montañosos y en carreteras urbanas. Las curvas

reversas pueden tener aplicaciones importantes en el diseño de intersecciones,

utilizando pequeños radios para ampliación de calzadas, carriles, etc.

DESPLAZAMIENTO DE UN VEHICULO SOBRE UNA CURVA CIRCULAR

Con el fin de proporcionar seguridad, eficiencia y un diseño balanceado entre los

elementos de la vía desde el punto de vista geométrico y físico, es fundamental

estudiar la relación existente entre la velocidad y la curvatura.


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Cuando un vehículo circula sobre una curva horizontal, actua sobre el una fuerza

centrífuga que tiende a desviarlo radialmente hacia afuera de su trayectoría.

(1) F = W V 2 / g R

F = Fuerza centrífuga desarrollada

W = Peso del vehículo

V = Velocidad del vehículo

g = Aceleración de la gravedad

R = Radio de la curva circular horizontal

Se aprecia con claridad en la expresión anterior como al incrementarse la

velocidad con un mismo radio, la fuerza centrífuga es mayor.

La única fuerza que se opone al desplazamiento lateral del vehículo es la Fuerza

de Fricción desarrollada entre las llantas y el pavimento, esta fuerza no es lo

suficientemente capaz de impedir el desplazamiento lateral del vehículo en la

mayoría de los casos, por esto es necesario buscarle un complemento inclinando

tranversalmente la calzada. Dicha inclinación se denomina PERALTE.

Si sobre una curva horizontal de radio "R" un vehículo circula a una velocidad

constante "V", según la ecuación anterior, el peso "W" y la Fuerza centrífuga "F"

son también constantes, pero sus componentes en las direcciones normal y

paralela al pavimento varían según la inclinación que tenga la calzada, tal como se

aprecia en la figura 1.



Para la situación anterior las componentes normales de las fuerzas "W" y "F" son

siempre del mismo sentido y se suman, actuando hacia el pavimento,

contribuyendo a la estabilidad del vehículo. En cambio las componentes paralelas

de dichas fuerzas son de sentido opuesto y su relación hace variar los efectos que

se desarrollan en el vehículo.

Las componentes normales y paralelas de las fuerzas "W" y "F" se definen como:

Wn , Fn : Componentes normales al pavimento

Wp , Fp : Componentes paralelas al pavimento

De esta manera se presentan los siguienes casos:

1. Wp = 0

La calzada es horizontal, es decir que no hay inclinación transversal y "Fp"

alcanza su valor máximo "F".

2. Wp = Fp

La fuerza resultante ( F + W ) es perpendicular a la superficie del pavimento, por lo

tanto la fuerza centrífuga no es sentida en el vehículo, esta velocidad se denomina

velocidad de equilibrio. (Figura 2).


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3. Wp < Fp La fuerza resultante ( F + W ) actua en el sentido de la fuerza

centrífuga "F", por lo tanto el vehículo tiende a deslizarse hacia el exterior de la

curva. Volcamiento en este caso es típico en vehículos livianos. (Figura 3)


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http://1.bp.blogspot.com/__qYR6f-Ig10/Sgc5WjrxKuI/AAAAAAAAAHg/-2c1_NI_wWs/s1600-h/peralte3.JP


4. Wp > Fp La resultante ( F + W ) actua en sentido contrario de "f", por lo tanto, el

vehículo tiende a deslizarse hacia el interior de la curva. Volcamiento es típico en

vehículos pesados. (Figura 4).

VELOCIDAD, CURVATURA, PERALTE Y FRICCION

Dos fuerzas se oponen al desplazamiento lateral de un vehículo, la componente "Wp" del peso y la fuerza de fricción transversal desarrollada entre las llantas y el pavimento. Para evitar que exista desplazamiento se acostumbra en las curvas darle cierta inclinación transversal a la calzada la cual se denomina peralte "e", que de acuerdo a las figuras anteriores:(2) e = tan Ø

A la velocidad de equilibrio (figura 2)

Wp = Fp

W sen Ø = F cos Ø

sen Ø / cos Ø = F / W

tan Ø = F / W

Reemplazando las ecuaciones 1 y 2


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(3) e = V 2 / g R Teniendo en cuenta que la gravedad es igual a 9.81 m/seg2 se tiede que:

(4) e = 0.007865 ( V 2 / R )

"V" se expresa en Kilometros / hora y "R" en metros.

Para Wp < Fp (figura 3) Wp < Fp , o lo que es lo mismo Fp - Wp > 0

En la figura 3 se aprecia que la resultante (Fp - Wp) actua hacia la izquierda, por lo

que es resistida por una fuerza de fricción transversal "Ff" desarrollada entre las

llantas y el pavimento y que actua hacia la derecha.

Fp - Wp = Ff

Se sabe que,

Fuerza Fricción = Fuerza normal (coeficiente de fricción)

Ff = (Fn + Wn) f

f = Coeficiente de fricción transversal

Fp - Wp = (Fn + Wn) f

f = (Fp - Wp) / (Fn + Wn)

En la práctica para valores normales del peralte, la componente "Fn" es muy

pequeña y se puede depreciar, entonces reemplazando:

f = (F cos Ø - W sen Ø ) / W cos Ø



f = (F cos Ø / W cos Ø) - (W sen Ø / W cos Ø ) = (F / W) - tan Ø

f = (F / W) – e

Reemplazando la ecuación 1

(5) e + f = ( V 2 / g R )

Convirtiendo unidades

(6) e + f = 0.007865 ( V 2 / R )

Para Wp > Fp (figura 4)

Por homología se tiene que

(7) e - f = 0.007865 ( V 2 / R )

La situación mas común que se presenta es cuando los vehículos van a una

velocidad mayor que la de equilibrio, por esto la expresión más usada para efectos

de diseño es la ecuación 6.El radio mínimo "R min", o el máximo grado de

curvatura "G máx", es el límite para una velocidad de diseño "V" dada, calculado a

partir del peralte máximo "e máx" y el coeficiente de fricción transversal "f máx".

Por lo tanto para una determinada velocidad de diseño y una vez establecidos los

valores máximos del peralte y del coeficiente de fricción transversal, el radio

mínimo se calcula según la ecuación 6, como:

(8) R min = 0.007865 ( V 2 / (e máx + f máx) )

De esta manera a las curvas que tienen el radio mínimo les coresponde el peralte

máximo

Un procedimiento bastante utilizado para calcular el peralte "e" de cualquier curva

de radio "R", siendo R > R min, consiste en realizar una repartición inversamente

proporcional así:

e máx = 1 / R min

e = 1 / R

De donde:



(9) e = ( R min / R ) e máx

TRANSICION DEL PERALTE

La sección transversal de la calzada sobre un alineamiento recto tiene una

inclinación llamada BOMBEO, el cual tiene por objeto facilitar el drenaje o

escurrimiento de las aguas lluvias lateralmente hacia las cunetas. El bombeo varía

dependiendo de la intensidad de las lluvias en la zona del proyecto del 1% al 4%.

Así mismo la sección transversal de la calzada sobre un alineamiento curvo tendrá

una inclinación asociada con el peralte, el cual tiene por objeto, como se vió

anteriormente, facilitar el desplazamiento seguro de los vehículos sin peligros de

deslizamientos.

Para pasar de una sección transversal con bombeo normal a otra con peralte, es

necesario realizar un cambio de inclinación de calzada. Este cambio no puede

realizarse bruscamente, sino gradualmente a lo largo de la vía entre este par de

secciones. A este tramo de la vía se le llama Transición del peraltado.

Si para el diseño de la vía de las urvas horizopntales se han empleado espirales

de transición, la transición del peraltado se efectua conjuntamente con la

curvatura. Cuando se dispone unicamente de curvas circulares, se acostumbra

realizar una parte de la transición en recta y la otra parte en curva. Se ha

determinado empirícamente que la transición del peralte puede introducirse dentro

de la curva hasta en un 50%, siempre que por lo menos la tercera parte central de

la longitud de la curva quede con el peralte completo.

Para realizar la transición del bombeo al peralte se pueden utilizarse tres

procedimientos:

1. Rotando la calzada alrededor de su eje central (es el más conveniente) (figura 5).

2. Rotando la calzada alrededor de su eje interior.



3. Rotando la calzada alrededor de su eje exterior.

Donde:

Lt = Longitud de transición

N = Longitud de aplanamiento

L = Longitud de la curva circular (PC - PT)

La longitud de transición "Lt" se considera desde aquella sección transversal

donde el carril exterior esta a nivel o no tiene bombeo, hasta aquella sección

donde la calzada tiene todo su peralte "e" completo. N es la longitud necesaria

para que el carril exterior pierda su bombeo o se aplane.

Por comodidad, se recomienda que la longitud del tramo donde se realiza la

transición del peralte debe ser tal que la pendiente longitudinal de os bordes

relativa a la pendiente del eje de la vía no dene ser mayor que un valor "m". En

este sentido "M" se define como la máxima diferencia algebraica entre las

pendientes longitudinales de los bordes y el eje de la misma.En la figura 6

aparecen las mitades de las secciones transversales en bombeo y en peralte, lo

mismo que el perfil parcial de transición.


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En el triángulo B´E´G : B´G / E´G = 1 / m

Pero, B´G = Lt

y E´G = Carril (e), entonces:

Lt = carril (e) / m

En el triángulo A F B : N / A F = 1 / m

Pero A F = Carril (BOMBEO), entonces:

N = carril (bombeo) / m

CONCEPTOS

El diseño geométrico en perfil, o alineamiento vertical, es la proyección del eje real

de la vá sobre una superficie vertical paralela al mismo. Dicha proyección mostrará

la longitud real del eje de la vía. A este eje tambien se le denomina rasante o sub-

rasante .


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ELEMENTOS QUE INTEGRAN EL ALINEAMIENTO VERTICAL

Al igual que el diseño en planta, el eje del alineamiento vertical esta constituído por una serie de tramos rectos deniminados tangentes, enlazados entre sí por curvas.

TANGENTES

Las tangentes se caracterizan por su longitud y pendiente y estan limitadas por

dos curvas sucesivas. La longitud "Tv" es la distancia medida horizontalmente

entre el fin de la curva anterior y l principio de la siguiente. La pendiente "m" de la

tangente es la relación entre el desnivel y la distancia horizontal entre dos puntos

de la misma.

En la expresión que se aprecia en la figura la pendiente "m" esta expresada en

porcentaje.

Existen pendientes máximas y mínimas, la pendiente máxima es la mayor

pendiente que se permite en el proyecto, su valor queda determinado por el

volumen de tránsito futuro y su composición, por el tipo de terreno y por la

velocidad de diseño; la pendiente mínima es la menor pendiente que se permite

en el proyecto, su valor se fija para facilitar el drenaje superficial longitudinal,

pudiendo variar según se trate de un tramo en terraplén o en corte y de acuerdo al

tipo de terreno.


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CURVAS

Una curva vertical es aquel elemento del diseño en perfil que permite el enlace de

dos tangentes verticales consecutivas, tal que a lo largo se su longitud se efectua

el cambio gradual de la pendiente de la tangente de entrada a la pendiente de la

tangente de salida, de forma que facilite una operación vehícular segura y

comfortable, que sea de apariencia agradable y que permta un drenaje adecuado.

La curva que mejor se ajusta a estas condiciones es la parábola de eje vertical.

ELEMENTOS GEOMETRICOS DE UNA CURVA VERTICAL

PARABOLICA

CURVAS VERTICALES SIMETRICAS

La parábola utilizada para el enlace de dos tangentes verticales consecutivas debe

seguir ls siguientes propiedades:

La razón de variación de su pendiente a lo largo de su longitud es una constante.

La proyección horizontal del punto de intersección de las tangentes esta en la

mitad de la línea que une las proyecciones horizontales de los puntos de

tangencia extremos, donde empieza y termina la curva.

Los elementos verticales de la curva (cotas) varían proporcionalmente con el

cuadrado de los elementos horizontales (abscisas). La pendiente de una curva

de la parábola es el promedio de las pendientes de las líneas tangentes a ella en

los extermos de la cuerda. Los principales elementos que caracterizan una

parábola son (figura 2):

A = PIV : Punto de intersección vertical.

B = PCV : Principio de la curva vertical.

C = PTV : Principio de tangente vertical.



BC = Lv : Longitud de la curva vertical, medida en proyección horizontal.

CA = Ev : Externa vertical. Es la distancia vertical del PIV a la curva.

CD = f : Flecha vertical.

P (X1,Y1) : Punto sobre la curva de coordenadas (X1,Y1).

Q (X1,Y2) : Punto sobre la tangente de coordenadas (x1,Y2), situado sobre la

misma vertical de "P".

QP = y : Correción de pendiente. Desviación vertical respecto a la tengente de un

punto sobre la curva "P" a calcular.

BE = x : Distancia vertical entre el PCV y el punto "P" de la curva.

a : Angulo de pendiente de la tangente de entrada.

b : Angulo de pendiente de la tangente de salida.

g : Angulo entre las dos tangentes. Angulo de deflexión vertical.

m = tan a : Pendiente de la tangente de entrada.

n = tan b : Pendiente de la tangente de salida.

i = tan g : Diferencia algebráica entre las pendientes de la tangente de entrada y

salida.

Se tiene entonces una parábola de eje vertical coincidiendo con el eje "Y" y el

vertice "C" en el origen (0,0), según el sitema de coordenadas "X vs Y". La

ecuación general de la parábola es:

Y = k X 2


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Hay que tener presente que siempre la Externa va ser igual a la Flecha.

Según la gráfica y deduciendo formulas:

y = Ev ( 2x / Lv )^2

y = ( i / 2 Lv ) x^2

Ev = Lv i / 8

i = m - ( - n )

Una circunferencia en un plano cartesiano no deformado.

Esta circunferencia se transforma en una elipse mediante una anamorfosis, donde el eje Y se ha contraído y el X se ha dilatado.

En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se divide en cuadrados,

cuando dicho plano se «deforma» en sentido del eje X, el Y, o ambos, la

circunferencia se transforma en una elipse, y los cuadrados en rectángulos.


http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_001_tt.JPG

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_002_ttt.JPG

Matematica Basica Monografico 1

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