Matematica Basica II.pdf

Excelencia Académica

5

Programación General Estudio de las Matrices (Primera Parte) Definición de una matriz Elementos de una matriz Orden de una matriz Igualdad de matrices Tipos especiales de matrices

Matriz cuadrada Matriz nula Matriz diagonal Matriz escalar Matriz unidad o identidad Matriz traspuesta Matriz simétrica

Matriz hemisimetrica o antisimetrica Operaciones con matrices Suma algebraica de matrices Multiplicación de una matriz por un escalar Multiplicación de matrices

Producto de un vector fila por un vector columna Multiplicación de dos matrices

Matrices particulares Matriz triangular superior

Matriz triangular inferior Autoaprendizaje 4 horas

Fascículo 1 Estudio de las Matrices (Segunda Parte) Propiedades complementarias Casos particulares de matrices cuadradas

Matriz inversa Matriz involutiva Matriz conjugada Matriz hermítica. Matriz antihermitica

Suma directa o matriz escalonada Potenciación de matrices

Autoaprendizaje 4 horas Fascículo 2

Determinantes Definición Notación

Determinante de una matriz cuadrada de orden 2 Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 Propiedades Menores y cofactores Obtención de determinantes por cofactores

Autoaprendizaje, 4 horas Fascículo 3


6

1

Estudio de las Matrices (Tercera Parte)

Matriz de cofactores Matriz adjunta Matriz inversa Obtención de la matriz inversa por el método de la matriz adjunta Rango de una matriz Operaciones elementales Matrices equivalentes Matriz escalonada (por filas) Obtención del rango de una matriz por operaciones elementales Obtención de la inversa de una matriz por operaciones elementales


Sistema de ecuaciones lineales Rango de un sistema de ecuaciones lineales Regla de Cramer Autoaprendizaje 4 horas Fascículo 5 Sistema de ecuaciones homogéneo


Marices Diagonalizables (Primera Parte)

Valores y vectores propios Definiciones Propiedades de los valores y vectores propios Matrices semejantes Matrices diagonalizables


Marices Diagonalizables (Segunda Parte)

Aplicación de matrices a la geometría vectorial Teorema fundamental Demostración de regreso Construcción de la matriz “P” que diagonaliza a la matriz “A” Propiedades complementarias de las matrices semejantes Observaciones importantes Teorema de Cayley Hamilton Diagonalización de una matriz simétrica Proceso de Gram Schmidt Construcción de la matriz ortogonal “P” que diagonaliza ortogonalmente a a la matriz simétrica “A” (de orden n)



7

Tabla de Contenido Presentación Programa general Fascículo I Estudio de las Matrices (Primera Parte) 9 Definición de una matriz 9 Elementos de una matriz 9 Orden de una matriz 10 Igualdad de matrices 10 Tipos especiales de matrices 11 Operaciones con matrices 14 Suma algebraica de matrices Multiplicación de una matriz por un escalar Multiplicación de matrices Producto de un vector fila por un vector columna Multiplicación de dos matrices Matrices particulares 18 Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Autoevaluación formativa 22 Fascículo II Estudio de las Matrices (Segunda Parte) 25 Propiedades complementarias 25 Casos particulares de matrices cuadradas 26 Matriz inversa 28 Matriz involutiva 29 Matriz conjugada 29 Matriz hermítica. 31 Matriz antihermitica 31 Suma directa o matriz escalonada 32 Potenciación de matrices 37 Autoevaluación formativa 41 Fascículo III Determinantes 43 Definición 43 Notación 43 Determinante de una matriz cuadrada de orden 2 43 Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 44 Propiedades 45 Menores y cofactores 48 Obtención de determinantes por cofactores 49 Autoevaluación formativa 54


8

1

Fascículo IV Estudio de las Matrices (Tercera Parte) 55 Matriz de cofactores 55 Matriz adjunta 55 Matriz inversa 56 Obtención de la matriz inversa por el método de la matriz adjunta 57 Rango de una matriz 58 Operaciones elementales 59 Matrices equivalentes 59 Matriz escalonada (por filas) 60 Obtención del rango de una matriz por operaciones elementales 61 Obtención de la inversa de una matriz por operaciones elementales 62 Autoevaluación formativa 66 Fascículo V Sistema de ecuaciones lineales 67 Rango de un sistema de ecuaciones lineales 71 Regla de cramer 73 Autoevaluación formativa 79 Fascículo VI Sistema de ecuaciones homogéneo 81 Autoevaluación formativa 85 Fascículo VII Marices Diagonalizables (Primera Parte) 87 Valores y vectores propios 87 Definiciones 87 Propiedades de los valores y vectores propios 94 Matrices semejantes 96 Matrices diagolizables 98 Autoevaluación formativa 99 Fascículo VIII Matrices Diagonalizables (Segunda Parte) 101 Aplicación de matrices a la geometría vectorial 101 Teorema fundamental 102 Demostración de regreso 104 Construcción de la matriz “P” que diagonaliza a la matriz “A” 105 Propiedades complementarias de las matrices semejantes 108 Teorema de Cayley Hamilton 110 Diagonalización de una matriz simétrica 111 Proceso de Gram Schmidt 112 Construcción de la matriz ortogonal “P” que diagonaliza ortogonalmente a la matriz simétrica “A” (de orden n) 116 Autoevaluación formativa 124


9

MATRICES

DEFINICION DE UNA MATRIZ Una matriz es la ordenación de números, funciones, vectores, etc; en filas y columnas, encerradas entre corchetes. Ejemplo:

28 5 4 / 31 2 6

, 3 6 3 , 7 54 7 6

10 7 2 2 1 4

x x

x

x x

La primera matriz puede ser, matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales

2 5 0

4 7 6 0

x y z

x y z

La segunda matriz podría considerar a sus filas como las coordenadas ciertos puntos (8, 5, 4), (3, 6, 3), (10, 7, -2), en el espacio. Otras de las muchas aplicaciones será determinar si estos puntos pertenecen a un plano o recta.

Opcionalmente las matrices pueden ser encerradas por paréntesis ( ) o por barras

Las matrices de denotan por letras mayúsculas (A, B, C, D, etc.) y en general vienen representadas por el siguiente arreglo:

11 12 1j 1n

21 22 2 j 2n

iji1 i2 ij in

m1 m2 mj mn

a a a a

a a a a

A aa a a a

a a a a

ELEMENTOS DE UNA MATRIZ

Los elementos: 11 12 13 1n 21 ij mna ,a ,a , a , a ..., a ..., a ; se denotan por funciones ija .

i-ésima fila

j-ésima columna


10

1

El primero de los subíndices indica la fila y el segundo la columna al que pertenece dicho elemento. Ejemplo: Sea la matriz:

5 3 0

B 1 1 0

2 3 1

entonces b11 = 5; b21 = 1; b53 = no tiene.

El conjunto de números i1 i2 i3 ina ,a ,a ,....,a , en la matriz A anterior se denomina i-

ésima fila.

El conjunto de números 1j 2 j 3 j mja ,a ,a ,....,a , de la matriz A anterior constituye j-ésima

columna. ORDEN DE UNA MATRIZ. El orden de una matriz viene dada mediante el número de filas por el número de columnas. En el caso de nuestra matriz A el orden será: mxn . Esquemáticamente y tomando como base la matriz A, toda matriz se representa por:

matriz ija ,mxn

- matriz ijA a ,mxn

- matriz A (si el orden esta sobreentendido o no interesa.)

mxnA

ij mxnA a

ijA a , i 1, 2, 3,...,m

j 1, 2, 3,...,n

Para todos los casos se lee la matriz A de orden mxn generado por los elementos ija

La matriz no tiene valor numérico o sea no puede identificarse como un número.

IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A y B serán iguales si solo si el orden es el mismo y sus respectivos elementos sean iguales. Sea:


11

ij mxnA a ; y ij rxs

B b .

ij ijA B m r, n s, a b

Para cada “i” y para cada “j". Ejemplo:

2 0 1 1 2 0 1 1

A 1 5 1 2 B= 1 5 1 2

3 4 1 7 3 4 1 7

34 34a =b

7 7 TIPOS ESPECIALES DE MATRICES

MATRIZ CUADRADA Una matriz cuadrada será aquella que posee igual número de filas y columnas.

Esquemáticamente se representa por nA y se lee: matriz cuadrada de orden n

Ejemplo:

1 0 5

A 3 2 1

5 1 4

Representación 3 ij 3A ,A a

En una matriz cuadrada “la diagonal principal” se forma con los elementos

11 22 33 nna ,a ,a , a

A la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz se le llama “Traza”. Ejemplo:

1 1A

2 3

; Traza(A) = 1 + 3 = 4

MATRIZ NULA

Es aquella cuyos elementos son ceros. Algunos autores la representan por: Ejemplo:

0 0A

0 0

A = 0

A =

(matriz nula) MATRIZ DIAGONAL

Es aquella matriz cuadrada en la cual los elementos fuera de la diagonal principal son ceros. Ejemplo:


12

1

1 0 0 0

0 0 0 3 0 0A B =

0 1 0 0 -1 0

0 0 0 4

11

22

ij

nn

c 0 0 0

0 c 0 0

0C

0 0 c 0

0 0 0 c

Esquemáticamente C = diagonal 11 22 33 nn(c ,c ,c , c )

MATRIZ ESCALAR

Es una matriz diagonal, donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo:

k 0 0 0

0 k 0 0A

0 0 k 0

0 0 0 k

MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD Es una matriz escalar en la que los elementos de la diagonal principal son unos

(1) y el resto de los elementos son ceros se representa por nI ;

A 1; 1I o I

3

1 0 0

B 0 1 0 = I

0 0 1

MATRIZ TRASPUESTA

La matriz traspuesta de una matriz A de orden mxn es la matriz tA , se obtiene

permutando las filas por las columnas.


13

Ejemplo:

t

3 1 43 5 4 7

5 3 21 3 7 5 A =

4 7 44 2 4 1

7 5 1

A

MATRIZ SIMÉTRICA

Si tA A , entonces la matriz se llama simétrica. Para esto debe cumplir lo

siguiente: - la matriz “A“ debe ser cuadrada - los elementos de la diagonal principal permanecen fijos al efectuar la

transposición de términos. - aij es igual a aji, para todo “i” y para todo “j”. Ejemplo:

31 13

5 1 7 5 1 7

A 1 3 4 A 1 3 4

7 4 2 7 4 2

A A a a

A es simetrica

Para determinar si una matriz es simétrica no es necesario hallar su traspuesta solo será necesario comprobar la simetría de sus elementos respecto a su diagonal principal; esto significa que al doblar la matriz por la diagonal principal los elementos opuestos son iguales..

Ejemplo:

1 1 0 1 1 1 0 1

1 3 8 7 1 3 8 7B B

0 8 4 5 0 8 4 5

1 7 5 5 1 7 5 5


14

1

MATRIZ HEMISIMETRICA O ANTISIMETRICA

Si tA A , entonces la matriz A es antisimétrica. Para ello debe cumplir lo

siguiente: - la matriz A debe ser cuadrada. - Los elementos de la diagonal principal deben ser ceros. - ai j = -aji, para todo i y j .

Ejemplo:

0 5 1 0 5 1

A 5 0 8 A 5 0 8

1 8 0 1 8 0

A es antisimétrico

Para construir una matriz antisimétrica los elementos de la diagonal principal se hacen ceros y los simétricos respecto a ella deben ser de signo contrario.

1.1

1. Representen dos matrices de orden 5x4, cuyos elementos sumados nos den

una matriz identidad 2. Halle la matriz traspuesta de la matriz identidad, de orden 23 3. Presente una matriz simétrica y otra antisimétrica de orden cualquiera

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA ALGEBRAICA DE MATRICES Sean las matrices A = [ aij] y B = [ bij] ambas de orden mxn, la suma o diferencia de ambas A B es otra matriz C =[ cij] de orden mxn, en la que cada elemento de C es igual a la suma o diferencia de los elementos correspondientes de A y B .

ij ijA B a b

Siendo:


15

0 1 2 3

A 2 3 B 5 4

1 4 -3 1

0 2 1 3 2 4

A B 2 5 3 4 A B 7 7

1 3 4 1 4 5

Las matrices se llaman conformes respecto a la suma si son del mismo orden eso significa que matrices de orden diferente no se pueden suma o restar.

PROPIEDADES 1) A + B = B + A; ( Prop. Comutativa)

2) (A +B ) + C = A + (B + C); (Prop. Asociativa)

3) k(A +B) = kA +kB ; Donde k : cte. (Prop. Distributiva)

4) (k +m)A = kA + mA ( k, m : escalares)

5) (km)A=k(mA) (k, m = escalares)

6) lA = A

7) (-1) A = -A ( -A es llamado inversa ó matriz opuesta de A)

8) Existe una matriz D tal que A + D = B

1.2

1. Que significa sumar dos matrices conformes respecto a la suma algebraica. 2. Demuestre matricialmente las propiedades anteriores con matrices de orden 3

MATRIZ FILA.- Se llama matriz fila a aun matriz de orden 1xn de la forma:

11 12 13 1nA a a a a

MATRIZ COLUMNA.- Viene a ser una matriz de orden nx1 de la forma:

11

21t

n1

a

aA

a

VECTOR: Una cantidad ordenada de números, si seguimos a la matriz por ejemplo:

11 21 31 n1a ,a ,a , a se llama Vector de “n” componentes, Tanto una matriz fila como una


16

1

matriz columna se denomina vector, fila y vector columna respectivamente. Por convención a la matriz columna se le llama vector.

MULTIPLICACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

El multiplicar una matriz por un escalar significa sumar la matriz tantas veces como sea el número escalar. Ejemplo: Hallar 3A si:

2A 3A=A+A+A

1

2 3x2 63A=3

1 3x1 3

Por tanto, se deduce:

ijkA ka

MULTIPLICACION DE MATRICES

PRODUCTO DE UN VECTOR FILA POR UN VECTOR COLUMNA Sean:

11 12 13 1nA a a a a

11

21

n1

b

bB

b

11 11 12 21 13 31 1n n1

n

1k k1k 1

AB a b a b a b a b

AB a b

Para hallar AB se multiplica la fila por la columna, cada elemento de la fila se multiplica por el correspondiente de la columna y finalmente se suman los productos obtenidos.

MULTIPLICACIÓN DE DOS MATRICES El producto AB en esa secuencia de la matriz A de orden mxp, siendo A = [aij]mxp por otra B de orden pxn, siendo B = [bij]pxn, da como resultado otra matriz C de orden mxn siendo C = [cij], tal que ;

ij i1 1j i2 2 j i3 3 j ip pj

p

ij ik kjk 1

c a b a b a b a b

c a b (i 1,2,3,...,m; j 1,2,3,...,n)


17

Para halla C = AB, se multiplica cada fila de “A” por todas y cada una de las columnas de “B”. El elemento cij será la sumatoria de los elementos correspondientes a la fila i-esima de “A” multiplicado por los respectivos elementos de la columna j-esima de B. Ejemplo:

11 1211 12 13 14

21 2221 22 23 24 2x4

31 32 3x2

a ab b b b

A a a Bb b b b

a a

11 11 12 21 11 12 12 22 11 13 12 23 11 14 12 24

21 11 22 21 21 12 22 22 21 13 22 23 21 14 22 24

31 11 32 21 31 12 32 22 31 13 32 23 31 14 32 24 3x 4

a b a b a b a b a b a b a b a b

AB a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b a b a b

Ejemplo:

2x53x2

3x5

2 20 0 0 1 0

A 3 1 ; B0 0 0 1 0

1 1

0 0 0 4 0

AB 0 0 0 4 0

0 0 0 2 0

El producto AB está definido, o sea A es conforme con B, respecto de la multiplicación, cuando el número de columnas de A es igual al de filas de B.

PROPIEDADES Suponiendo que A, B y C son matrices conformes respecto a la suma algebraica y producto, se tienen: 1) A(B + C) = AB + AC (1ª Prop. Distributiva) 2) (A + B)C = AC + BC (2ª Prop. Distributiva) 3) A(BC) = (AB)C (Prop. Asociativa) 4) AB BA por lo general 5) AB = 0 no implica necesariamente que:

A = 0 ó B = 0 6) AB = AC no implica necesariamente que B = C 7) A = 8) 0A =


18

1

1.3

1. Que significa multiplicar dos matrices conformes respecto al producto

algebraico. 2. Demuestre matricialmente las propiedades anteriores con matrices de

orden 3 Ejercicio de aplicación:

Sean las matrices:

0 1 2 3A ; B

3 2 0 1

x – 2y = -A ; x – y = B

Donde x e y son matrices de orden 2, entonces X, es:

Solución:

Resolviendo la ecuación: x – 2y = -A

-2x + 2y = - 2B

Obtenemos: - x = - 2B – A

Reemplazando, obtenemos:

2 3 0 1

x 20 1 3 2

4 7x

3 0

MATRICES PARTICULARES

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Es una matriz cuadrada A = [aij], se llama triangular superior si aij= 0 para i > j.


19

11 12 1j 1n

22 2 j 2n

ij in

nn nxn

a a a a

0 a a a

A0 0 a a

0 0 0 a

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

Es una matriz cuadrada A = [aij], se llama triangular inferior si aij = 0 para i < j.

11

21 22

j1 j2 ij

n1 n2 nj nn nxn

a 0 0 0

a a 0 0

Aa a a 0

a a a a

1.4

1. Represente una matriz triangular superior y otra triangular inferior, del mismo

orden. 2. Sume las matrices anteriores. 3. Multiplique las matrices anteriores

Ejercicios de aplicación:

Si:

2 2

2

3 2 3 2 0 1 1 0A ;B ;AB ;BA

1 3 1 3 1 0 1 1

Calcule : (A B)


20

1

Solución: 2 2 2

2

2

(A B) A AB BA B

3 2 0 1 1 0 3 2(A B)

1 3 1 0 |1 1 1 3

1 1(A B)

0 1

Dada las matrices: 1 3

A2 5

y 4 1

B2 6

Halle “x” de: (AB)t + x = 2(Bt +A) Solución:

t

t

2 19 2 18AB AB

18 28 19 28

4 2B

1 6

Hallando “x”

2 18 4 2 1 3x 2

19 28 1 6 2 5

12 20x

21 6

Halle el valor del polinomio f(A) de la matriz A.

f(x) = 3x2 – 2x + 5

1 2 3

A 2 4 1

3 5 2

Solución:

2

1 2 3 1 2 3 6 9 7

A AA 2 4 1 2 4 1 3 7 4

3 5 2 3 5 2 1 4 8

Reemplazando: f(A) = 3A2 – 2A + 5


21

6 9 7 1 2 3

f(A) 3 3 7 4 2 2 4 1 5

1 4 8 3 5 2

21 23 15

f(A) 13 34 10

9 22 25

Sean las matrices

1 2 1 1 1 1 1 0

0 1 1 2 1 0 1 0A y B

1 3 1 0 2 1 1 1

0 1 1 2 1 0 1 0

Si C = (AB)t + A . Halle la suma S = C21 + C32 + C33 Solución:

t

2 0 3 1 2 3 2 5

3 1 4 1 0 1 0 1AB (AB)

2 0 3 1 3 4 3 2

5 1 2 1 1 1 1 1

Reemplazando: C = (AB)t + A

2 3 2 5 1 2 1 1 1 5 3 6

0 1 0 1 0 1 1 2 0 2 1 3C

3 4 3 2 1 3 1 0 2 7 4 2

1 1 1 1 0 1 1 2 1 2 0 1

S = C21 + C32 + C33 = 0 + 7 + 4 = 11

Las matrices son representaciones, conjunto de números o símbolos algebraicos colocados en líneas horizontales y verticales y dispuestos en forma de rectángulo.


22

1

Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa

11 12 1j 1n

21 22 2 j 2n

iji1 i2 ij in

m1 m2 mj mn

a a a a

a a a a

A aa a a a

a a a a

Se estudiará en este fascículo los diversos tipos de matrices, sus características, con aplicación de ejemplos directos. Se estudiaran las principales operaciones con matrices, llamase suma de matrices conformes y multiplicación de matrices conformes.

R. Figueroa . G. “MATEMÁTICAS BÁSICAS

Editorial America 2001

C. Saal R, “MATEMÁTICAS BÁSICAS II”,

Editorial GOMEZ, Perú, 1998.

Frank Ayres JR, “MATRICES”,

Editorial McGraw-HILL, México, 1998.

Espinosa R, “MATRICES Y DETERMINANTE”,

Ediciones UNI, Perú, 1992.

En el siguiente fascículo, continuaremos con el estudio de las propiedades importantes de

las matrices, estudiaremos otras matrices importantes en relación a su aplicación directa

con sendos ejercicios resueltos totalmente.

Nº 1

Nombre_________________________________________________________

Apellidos ______________________________Fecha ____________________


23

Ciudad _______________________________Semestre__________________

1. Dado las matrices 1 3

A2 5

y 4 1

B2 6

Halle “x” en t t(AB) x 2(B A)

2. Halle “x” de la ecuación matricial:

2 18 4 2 1 3x 2

19 28 1 6 2 5

3. Halle el valor del polinomio f(A) de la matriz A.

f(x) = 3x2 – 2x + 5 , si:

1 2 3

A 2 4 1

3 5 2

4. Sean las matrices

1 2 1 1 1 1 1 0

0 1 1 2 1 0 1 0A y B

1 3 1 0 2 1 1 1

0 1 1 2 1 0 1 0

Si:tC (AB) A Halle la suma 21 32 33c + c + c

5. Si

3 0 1 6 3 2

A 1 4 1 y B 2 4 0

2 2 1 1 5 2

ytC (BA) 2A .

Halle la suma de los elementos de la segunda fila de la matriz C.


24

1


25

ESTUDIO DE LAS MATRICES En este fascículo, se complementará el estudio de las matrices más importantes, y sus

diversas aplicaciones con ejercicios totalmente resueltos, brindando a los estudiantes el

desarrollo de métodos para enfrentar problemas.

Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Define matrices especiales Interpreta matrices cuadradas Estudia matriz inversa Aplica matrices al desarrollo de ejercicios.

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS

a) t t tA B A B

b) ttA A

c) t tcA cA ; c es real.

d) El producto de dos matrices diagonales es otra matriz diagonal. e) La multiplicación de “n” veces una matriz diagonal se representa por

n

n veces

D.D.D.D D D

n

n

n

n

nnxn

a 0 0 0

0 b 0 0

D0 0 h 0

0 0 0 s

f) Si A es de orden mxn, entonces:

AI = A, con In IA = A con Im,


26

1

no obstante si A es de orden “n” entonces

AI = IA = A. con In

Ejemplo: sea

3x2

1 0

A 2 2

3 1

Halle: AI

2

2x23x2 3x2

1 0 1 01 0 1 0

I ; AI 2 2 2 2 A0 1 0 1

3 1 3 1

Halle: IA

3

3x2

1 0 0 1 0 0 1 0 1 0

I 0 1 0 ; IA 0 1 0 2 2 2 2 A

0 0 1 0 0 1 3 1 3 1

g) Si A es una matriz cuadrada, entonces la matriz tA A es simétrica

Demostración:

t tt t t tA A A A A A

h) Si A es una matriz cuadrada, entonces la matriz tA A es antisimétrica

Demostración:

t tt t t t tA A A A A A A A

i) Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y

otra antisimétrica.

1 1A A A A A

2 2

CASOS PARTICULARES DE MATRICES CUADRADAS

a) Siendo A y B dos matrices cuadradas se llaman permutables, conmutativas

o que conmutan si se verifica que:

AB = BA


27

Es fácil entender que si A es una matriz cuadrada de orden “n” conmuta consigo mismo y además con In.

b) En las condiciones del caso anterior si AB = - BA, las matrices A y B se llaman antipermutables o anticonmutativas.

Decir que A y B no conmutan no es lo mismo decir que A y B son

anticonmutativas ya que en el primer caso AB BA y en el segundo

caso AB BA .

DEFINICIÓN.- Si A es una matriz cuadrada de orden “n” y B aA bI .

Donde: a y b son escalares entonces A y B conmutan, B aA bI Esta definición nos indica como construir matrices conmutativas, pero no indica que todas las matrices conmutables con A sean de la forma: B aA bI . DEMOSTRACIÓN

B

AB A aA bI

AB AaA AbI

AB aAA bAI

AB aAA b IA

AB aA bI A

AB BA

Ejemplo: Sea

1 0A

3 2

Halle una matriz conmutativa de A

Asumiendo: a = 2, b = 3 B = 2A + 3I

1 0 1 0 2 0 3 0 5 0B 2 3

3 2 0 1 6 4 0 3 6 7


28

1

1 0 5 0 5 0 0 0 5 0AB

3 2 6 7 15 12 0 14 27 14

5 0 1 0 5 0 0 0 5 0BA

6 7 3 2 6 21 0 14 27 14

DEFINICIÓN.- Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden, A y B

conmutaran siempre y cuando: A rI y B rI conmuten, donde “r” es un

escalar.

c) Una matriz A de manera que: r 1A A ,siendo r un numero entero positivo, de

llama PERIÓDICA. Si “r” es el menor numero entero y positivo para el cual: r 1A A , la matriz A tiene periodo “r”.

Siendo r = 1 osea A2 = A, tal matriz A se denomina IDEMPOTENTE.

d) Una matriz A tal que Ap = 0, siendo “p” un entero positivo, tal matriz A se denomina matriz NILPOTENTE. Si “p” es el menor número entero y positivo para el cual Ap = 0, entonces la matriz A es Nilpotente de índice p.

2.1

4. Elabore dos matrices de orden 3 que sean permutables 5. Elabore dos matrices de orden 3 que sean antipermutables

6. Dado:

4 0 0 0

0 2 0 0D

0 0 1 0

0 0 0 3

. Halle 9D

MATRIZ INVERSA

Sean A y B dos matrices cuadradas de forma que

AB = BA = I , la matriz B se llama inversa de A y se representa por B = A-1,

leyéndose B es igual a la inversa de A. Recíprocamente la matriz A es la inversa de B y se escribe A = B-1. Ejemplo: Verificar si A y B son matrices inversas, si:


29

1 2 3 3 2 1

A 2 5 7 ; B 4 1 1

2 4 5 2 0 1

1 0 0

AB 0 1 0 BA I

0 0 1

Posteriormente veremos que no toda matriz tiene inversa, no obstante toda inversa es única.

PROPIEDAD: Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden, cuyas inversas son A-1 y B-1 respectivamente, se compilara que: (AB)-1 = B-1.A-1 ; lo anterior es único.

MATRIZ INVOLUTIVA

Una matriz cuadrada A, tal que 2A I , se llama involutiva.

Una matriz unidad por ejemplo es involutiva. Una matriz unidad por ejemplo es involutiva. La inversa de una matriz involutiva es ella misma.

MATRIZ CONJUGADA

Dado el número complejo: z = a + bi , donde “a”, “b” son constantes; i es un

imaginario i 1

Complejos conjugados

Z a bi

Z a bi a bi

Sean: 1

2

Z a bi

Z c di

Sumando:


30

1

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

Z +Z = (a+c)+(b+d)i

Z +Z (a+c)-(b+d)i

Z +Z (a-bi)+(c-di)

Z +Z Z Z

Multiplicando:

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

Z Z (a+bi)+(c+di)

Z Z (ac bd) (ad bc)i

Z Z (ac bd) (ad bc)i

Z Z (a-bi)(c-di)

Z Z Z .Z

Por tanto:

La conjugada de una matriz, se halla sustituyendo cada elemento de la matriz

original por su conjugada respectiva y se representa por: A Ejemplo: sean

i 1 i 1

A A2 i i 4 2 i i 4

PROPIEDADES:

A A

kA kA , k: escalar no imaginario

A+B A B

AB A.B

A la transpuesta de la conjugada de A, se escribe como t

A (se lee transpuesta de la conjugada de A) y a veces se le representa por A*

La matriz transpuesta de la conjugada de A es igual a la conjugada de la

traspuesta ttA A

Ejemplo: sea


31

t

t t

i 3 i i 3 iA ; A ;

i 1 4 i 1 4

i i 1A

3 i 4

i i 1 i i 1A ; A

3 i 4 3 i 4

MATRIZ HERMITICA.

Una matriz cuadrada A = [aij], se llama hermítica o autoadjunta siempre que

tA A . Es lógico pensar que los elementos de la diagonal principal de una

matriz hermítica serán números reales:

Ejemplo: sea 1 i 2

Ai 2 0

t t1 i 2 1 i 2A ; A

i 2 0 i 2 0

Los elementos simétricos respecto a la diagonal principal deben ser conjugados.

MATRIZ ANTIHERMITICA

Una matriz cuadrada A se llama hemihermítica siempre que:tA A . Se entiende

que los elementos de la diagonal principal deben de ser nulos o números imaginarios puros. Ejemplo: sea

i i 2 i 1

A i 2 0 i

i 1 i 0


32

1

t t

i i+2 i-1 i i 2 i 1

A i-2 0 -i A i 2 0 i

i+1 -i 0 i 1 i 0

kA es hemihermítica, si k es real o imaginario puro

PROPIEDADES:

t(A A ) es hermítica

t(A A ). es hemihermítica

Toda matriz A cuyos elementos sean números complejos, se puede descomponerse en la suma de una matriz hermítica y otra hemihermítica de la siguiente forma:

t t1 1A (A A ) (A A )

2 2

SUMA DIRECTA O MATRIZ ESCALONADA

Teniendo A1, A2, A3,..., An, matrices cuadradas de ordenes crecientes m1,m2, m3,...,ms, respectivamente; se puede generalizar del siguiente modo:

1

2

31 2 3 n

n

A 0 0 0

0 A 0 0

A 0diag(A ,A ,A ,...,A )

0 0 0

0 0 0 A

Y es llamada suma directa o matriz escalonada de las matrices Ai

1 2 3

0 1 22 5

A 1 ; A ; A 1 1 14 3

3 1 1


33

1 2 s

1 0 0 0 0 0

0 2 5 0 0 0

0 4 3 0 0 0A diag(A ,A , ,A )

0 0 0 0 1 2

0 0 0 1 1 1

0 0 0 3 1 1

PROPIEDAD: Si: A = diag(A1, A2,...,A5) y B = diag(B1, B2, B3, ..., Bs) donde A y B son del mismo orden, se verifica que: AB = diag(A1B1, A2B2, A3B3,...,AsBs)

Ejercicio: Siendo:

2 2

2

2

2 2

3 2 1 3 2 3A B , AB , BA

1 0 2 2 1 0

Halle: (A+B) ; (A B)(A B)

(A+B) (A B)(A B)

(A AB BA B )

3 2 1 3 2 3 3 2

1 0 2 2 1 0 1 0

9 10

3 2

(A B)

2 2(A B) A AB BA B

3 2 1 3 2 3 3 2

1 0 2 2 1 0 1 0

1 0

3 2

Ejercicio:


34

1

Sea una matriz A de 3x3, tal que A = aI + bD, en donde D es una matriz tal que todos sus elementos de la diagonal principal son ceros y todos los demás son unos. Hallar a y b de modo que A2 = I. Solución: se entiende que:

0 1 1 1 0 0

D 1 0 1 I 0 1 0

1 1 0 0 0 1

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

1 0 0 0 1 1

A a 0 1 0 b 1 0 1

0 0 1 1 1 0

a 0 0 0 b b

A 0 a 0 b 0 b

0 0 a b b 0

a b b a b b a b b

A b a b A b a b b a b

b b a b b a b b a

a 2b b 2ab b 2ab

A b 2ab a 2b b 2ab

b 2ab b 2ab a

2

2 2

2

2

2

1

2 22

2 2

1 0 0

0 1 0

2b 0 0 1

a 2b 1.......(1)

b 2ab 0.......(2)

de la ec. (2) :

b 2ab 0 0

2a 4a 4(1)0 2a 2ab

2 2b 0, a 1

b 2a a 2( 2a) 1

a 8a 1

2

2

9a 1

a 1 3

2 b 3


35

Ejercicio Hallar todas las matrices de orden dos que conmutan con:

1 1A

0 2

Solución: Sea B una matriz conmutable con A: osea AB = BA sea:

a bB

c d

AB BA

1 1 a b a b 1 1

0 2 c d c d 0 2

a c b d a a 2b

2c 2d c c 2d

a c a c 0

b d a 2b a d b

2d=-c+2d c 0

2c c no tiene aplicacion

d b bB d, b R

0 d

Ejercicio

Si A y B son matrices involutivas y

5 8 0

(AB) (BA) 3 5 0

1 2 1

Halle la traza de la matriz H = (A+B)2 Solución Son involutivas cuando: A2 = I y B2 = I de esto se tiene que: A2 + B2 = 2I también que A2B2 = (AB)(AB) = I2 = I Reemplazando en H = A2 + B2 + (AB) + (BA)

H = 2I + 2(AB) 1 0 0 5 8 0 8 16 0

H 2 0 1 0 2 3 5 0 6 12 0

0 0 1 1 2 1 2 4 0


36

1

la traza de H será 4 Ejercicio Siendo

i 0A

0 i

Deduce una formula para las potencias enteras positivas de A Solución:

1

22

3 2

3

A A

i 0 i 0 1 0A I

0 i 0 i 0 1

A A A A

1 0 i 0 i 0A A

0 1 0 i 0 i

4 2 22

42

A A A I

1 0 1 0 1 0A I

0 1 0 1 0 1

5 4

5

6 4 22 2 2

7 62

8 4 42 2 2

9 82

A A A A

1 0 i 0 i 0A A

0 1 0 i 0 i

A A A I ( I ) I

A A A I (A) A

A A A I (I ) I

A A A I (A) A

10 8 22 2 2

11 102

12 10 22 2 2

13 122

A A A I ( I ) I

A A A I (A) A

A A A I ( I ) I

A A A I (A) A


37

1 5 9

2 6 102

3 7 11

4 8 122

n2 2

A ,A ,A ,..., A

A ,A ,A ,..., I

A ,A ,A ,..., A

A ,A ,A ,..., I

A A, I , A, I

Para: n=4k+1,4k+2, 4k+3,4k+4

Donde: k N POTENCIACION DE MATRICES

Se define por inducción matemática: A0=I A2=AA A3= AA2

An= AAn-1=An-1A PROPIEDADES La potenciación de matrices es conmutable: - Si A es una matriz cuadrada, entonces:

Am.An = An.Am, donde “m” y “n” son enteros positivos - Si A y B conmutan, Am y Bn conmutan siendo “m” y “n” enteros positivos

PROPIEDADES DE LA TRAZA DE UNA MATRIZ 1) Traza(A + B) = Traza (A) + Traza (B) 2) Traza(kA) = kTraza(A), donde k: escalar 3) Traza (AB) = Traza (BA) Ejemplo: Sea

2 1 1 1A ; B

0 2 0 2

2 0 2 1AB ; BA

0 4 0 4

Traza (AB) = 6 Traza (BA) = 6 Ejercicio Sea A=[aij] una matriz triangular superior de orden “n” tal que: aij = 1, si i j . De la matriz: A3 = [bij]

Halle el elemento bij si: a) i = 3, j = n


38

1

b) i = n, j = 3 c) i = 3, j = n – 3 d) i = j Solución:

nxn

1 1 1 1 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

A

0 0 0 1 1

0 0 0 0 1

2

nxn nxn

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

A AA

0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

2

nxn

1 2 3 i n

0 1 2 i 1 n 1

0 0 1 i 2 n 2

A

0 0 0 1 n (i 1)

0 0 0 0 1

3 2

nxn nxn

1 2 3 i n 1 1 1 1 1

0 1 2 i 1 n 1 0 1 1 1 1

0 0 1 i 2 n 2 0 0 1 1 1

A A A

0 0 0 1 n (i 1) 0 0 0 1 1

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1


39

3

i(i 1) (n 2)(n 1) n(n 1) n(n 1)1 3 6

2 2 2 2i(i 1) (n 3)(n 2) (n 2)(n 1) n(n 1)

0 1 32 2 2 2

(i 2)(i 1) (n 4)(n 3) (n 3)(n 2) (n 2)(n 1)0 0 1

2 2 2 2A 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 3 6

0 0 0 0 0 0 1 3

0 0 0 0 0 0 0 0 1

(n 2)(n 1)

(a) 2

(b) 0

(n 5)(n 4)(c)

2(d) 1

2.1

4. Elabore una matriz de orden 3 y demuestre que es hermética 5. Construya una matriz de orden 3 y halle su inversa.

El estudio de las propiedades complementarias y sus aplicaciones dotará al estudiante de

las herramientas necesarias para enfrentar problemas.

El estudio de matrices permutables, define conceptos necesarios para el entendimiento de

las matrices.

A.B = B.A Matrices conmutativas

AB BA Matrices no conmutan

AB BA Matrices anticonmutativas


40

1

El estudio de la matriz inversa AB = BA = I , es uno de los casos mas importantes en el

estudio de las matrices, ya que el entendimiento y calculo de ella genera la aplicación de

esfuerzos y deformaciones en el campo de ingeniería y otras aplicaciones.









Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas.

Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998.

En la siguiente fascículo, continuaremos con el estudio de algunas propiedades

importantes de las matrices, al aplicarlas en el desarrollo de determinantes.

Aprenderemos métodos directos de evaluación de determinantes de matrices cuadradas de

ordenes varios.


41


Nº 2

Nombre_________________________________________________________

Apellidos ______________________________Fecha ____________________

Ciudad _______________________________Semestre__________________

01 Si A =

0 1 0

1 1 1

0 0 1

, Hallar A100

02 Si A =

2 3 5

1 4 5

1 3 4

y B=

1 3 5

1 3 5

1 3 4

,

Halle A5.B7

03 Determine si la matriz A =

1 1 3

5 2 6

2 1 3

es nilpotente

04 Sean las matrices:

A =

1 2 1

4 0 5

3 1 2

y B =

1 0 0213 05

0 0 1

Si (AB)t + x = 2(Bt + A)

Halle la traza de la matriz “x”.


42

1


43

DETERMINANTES

En este fascículo comenzamos con el estudio de los determinantes y sus diversos métodos

de solución, dependiendo del orden de la matriz. Se utilizarán métodos directos para

matrices de ordenes menores.

Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Resuelve determinantes de orden 2, 3 Resuelve determinantes por el método de los cofactores Interpreta propiedades de los determinantes.

DEFINICIÓN.-

Viene a ser una función que aplicada a una matriz cuadrada da solo un valor numérico.

NOTACIÓN

Sea una matriz A y su determinante se expresa como: |A|, det(A), detA

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 2 Sea:

11 12 11 1211 22 21 12

21 22 21 22

a a a aA | A | a a a a

a a a a

Ejemplo: Sea:

1 1 1 1A | A | 1( 4) (3)( 1) 1

3 4 3 4


44

1

Para este caso se utilizará la diferencia del producto de la diagonal principal y la diagonal secundaria.

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 3 Sea:

11 12 13

21 22 2311 12 13 11 12 13 11 12

31 32 3321 22 23 21 22 23 21 22

31 32 33 31 32 33 31 32 11 12 13

21 22 23

11 22 33 31 12 23 13 21 32 31 22 13 11 32 23 33 21 12

a a a

a a aa a a a a a a a

a a aA a a a | A | a a a a a

a a a a a a a a a a a

a a a

| A | a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Para este caso utilizaremos la diferencia de producto a derechas e izquierdas, como en el caso de la determinante de orden 2.

Ejemplo: Sea las matriz:

1 2 3

A 0 0 2

2 3 4

Su determinante es:

A (1x0x4 + 2x2x2 + 3x0x3) – (2x0x3 + 2x3x1 + 2x0x4)

A (0 + 8 + 0) – (0 + 6 +0) = ( 8 ) – ( 6 ) =


45

PROPIEDADES

1) DetA = DetAt Ejemplo:

t t1 2 1 3A | A | 2; A | A | -2

3 4 2 4

2) El determinante de una matriz cambia de signo cuando dos filas y dos columnas no

necesariamente adyacentes se intercambian.

Ejemplo: Sea

1 3

1 3 1

A 0 2 0 |A|=-2

2 1 1

si se intercambian C xC mutuamente se halla la matriz:

1 3 1

B= 0 2 0 |B|=2

1 1 2

|B|=-|A|

3) Si la matriz B se obtiene trasladando una de sus filas (o columnas) k lugares a partir

de una matriz original A, entonces :

kB 1 A ; número de lugares desplazados

1 0 2

A 3 4 1 |A|=8

0 0 2

Si B se halla, trasladando la 1ª fila dos lugares, se tiene:

2

3 4 1 3 4 1

B= 0 0 2 | B | 0 0 2 8

1 0 2 1 0 2

| B | ( 1) | 8 8


46

1

4) Si una matriz A de orden nxn es multiplicada por el escalar k (esto significa que

todas las filas son multiplicadas por dicho escalar o en forma equivalente todas las

columnas son multiplicadas por k), entonces el determinante de la matriz A queda

multiplicada por kn, por tanto, se tendrá que:

n| kA | k | A | Ejemplo: Sea

n

2

1 2A ; k 2

4 5

1 2 2 4 2 4kA 2A 2 | kA | 12

4 5 8 10 8 6

Ademas: n=2

1 2|A|= 3

4 3

| kA | k | A |

12 2 ( 3)

12 12

5) Si en una matriz se tiene que una fila o columna es múltiplo de otra fila o columna

respectivamente, entonces la determinante de dicha matriz vale cero.

Ejemplo: Sea

1 2 1 2A | A | 0

5 10 5 10

La 1ª fila es múltiplo de la 2ª fila

6) Si en una fila (o columna) de una matriz, todos sus elementos valen cero,

entonces su determinante valdrá cero.

Ejemplo:

1 2 1 2A | A | 0

0 0 0 0

7) Si en una matriz todos los elementos de una fila (o columna) son multiplicados por

un escalar k entonces el valor del determinante también queda multiplicado por k.

Ejemplo:


47

3 4 3 4A | A | 2

1 2 1 2

B se halla de A, al multiplicar la 1ª fila por 3

3(3) 3(4) 9 12B=

1 2 1 2

| B | 3 | A | 3(2) 6

B k A

8) Si ha una fila (columna) de una matriz dada, se le suma el múltiplo de otra fila (o

columna), la determinante de la matriz no varia Ejemplo:

1 3 4 1 3 4

A 0 0 2 | A | 0 0 2 10

2 1 1 2 1 1

Hallando B a partir de A, donde: 3ºFB = 3ºFA + 2x1ºFA

1 2 3 1 2 3

B 0 0 2 | B | 0 0 2 10

2 2 1 6 1 8 4 7 9

9) Si los elementos de una fila (o columna) de una matriz constan de dos términos, el

determinante puede ser expresado como la suma de otros dos determinantes.

Ejemplo:

10 4 10 4A | A | 0

5 2 5 2

8+2 3 1 8 3 2 1| A | 1 1 0

5 2 5 2 5 2

10) El determinante de una matriz identidad es la unidad.

El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de la

diagonal principal.

11) El determinante de una matriz triangular superior o inferior es igual al producto de

los elementos de la diagonal principal.


48

1

Ejemplo:

1 2 3 1 2 3

A 0 4 2 | B | 0 4 2 1x4x3 12

0 0 3 0 0 3

12) |A+B| |A| + |B| por lo general

|AB|=|A||B| (Ay B sean cuadradas y del mismo orden)

3.1

Construya matrices de orden 3 y 1. Compruebe las primeras seis propiedades 2. Compruebe las 6 últimas propiedades

MENORES Y COFACTORES Teniendo el siguiente arreglo.

11 12 1j 1n

21 22 2 j 2n

i1 i2 ij in

m1 m2 mj nn

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a

i1 i2 ij in

1j 2 j ij nj

la fila i esta dada por: a a a a

la culumna j esta dada por: a a a a

Sea Mij la submatriz cuadrada de orden (n – 1), que resulta de eliminar la fila “i” y la

columna “j” de A, entonces:

1) El determinante de Mij se llama “menor complementario” del elemento aij de A

2) El cofactor del elemento aij que se simboliza por Aij, se define por:

i j

ij ijA 1 M


49

Ejemplo: Sea

3 0 5 1

4 2 4 0A=

2 3 0 1

1 4 1 0

12 12

4 4 0 4 4 0

M 2 0 1 | M | 2 0 1 0

1 1 0 1 1 0

34 34

3 0 5 3 0 5

M 4 2 4 | M | 4 2 4 28

1 4 1 1 4 1

Hallando los cofactores: 1 2

12 12

12

3 434 34

34

A ( 1) | M |

A ( 1)0 0

A ( 1) | M |

A ( 1)28 28

OBTENCIÓN DE DETERMINATES POR COFACTORES

El determinante de una matriz cuadrada A = [aij]nxn, es igual a la suma de los productos

de los elementos de cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores.

Por definición:

Si se eligiera la fila “k” el determinante valdría

n

kj kjj 1

| A | a A

Si se eligiera la columna “j” el valor de la determinante sería:


50

1

n

kj kjk 1

| A | a A

Ejemplo: Sea:

1 3 0 1 3 0

A 0 1 2 | A | 0 1 2 5

2 4 1 2 4 1

31 31 32 32 33 33

3

kj kjj 1

| A | a A a A a A ...(1)

| A | a A

3 131

3 232

3 333

3 0A ( 1) 6

1 2

1 0A ( 1) 2

0 2

1 3A ( 1) 1

0 1

En (1): |A|=2(6)+4(-2)+1(1)=5

Ejercicio: Halle el determinante de:

0 1 1 6 2

2 1 3 1 0 0

3 3 4 - 8 4B =10 2 0 35

0 1 5 3 1

Solución:

5

k1 k1k 1

11 11 21 21 31 31 41 41 51 51

| B | b B

| B | b B b B b B b B b B ...(1)

2 1 3 121 31

C D

1 1 6 2 1 1 6 2

3 4 8 4 1 3 10 0B ( 1) ; B ( 1)1 12 0 3 2 0 35 5

1 5 3 1 1 5 3 1


51

31 31 32 32 33 33 34 34

1 1 6 2

3 4 8 4| C | |C|=c C c C c C c C12 0 35

1 5 3 1

1 6 2 1 1 2 1 1 61

| C | 2 4 8 4 3 4 4 3 3 4 85

5 3 1 1 5 1 1 5 3

1| C | 2(180) (7) 3(101)

5| C | 58,4

14 14 24 24 34 34 44 44| D | d D d D d D d D

1 3 10 1 1 6 1 1 61| D | 2 2 0 31 3 10 1 1 3 105

1 5 3 13 01 5 3 5| D | 2(81,6) 3( 22) ( 23,6)

| D | 120,8

2 1 3 1| B | ( 1) | C | ( 1) | D |

| B | ( 1)(58,4) ( 120,8)

| B | 179,2

3.2

1. Construya una matriz de orden 4 y halle su determinante por cofactores 2. Halle el determinante de la matriz

2 3 4

1 3 0

6 8 3

3. Halle la suma de los determinantes de las matrices

1 3 4

6 0 0

8 3 2

+

9 0 2

6 5 0

2 3 1

+

10 1 3

0 0 0

81 3 2


52

1

En este fascículo se estudió los conceptos fundamentales sobre las aplicaciones de los

determinantes así como sus diversos métodos de solución.

Se presentaron los casos de prácticos para hallar determinantes de orden 2 y 3, de forma

directa.

Así como hallar el determinante de matrices de orden superior por el método de cofactores.

Se desarrollaron ejercicios a aplicación a las diversas propiedades analizadas, para

proponer las actividades al estudiante.











En el siguiente fascículo se continuará con el estudio de las matrices especiales. Buscando

obtener un método para hallar matrices inversas por el método de la matriz adjunta.


53


Se analizaran el método de las operaciones elementales para hallar matriz inversa, el

rango de una matriz, matriz escalonada entre otros.

Nº 3

Nombre_________________________________________________________

Apellidos ______________________________Fecha ____________________

Ciudad _______________________________Semestre__________________

1. Halle el determinante de: 12 1

4 1

:

2 8 0

4 3 0

5 1 4

(aplique método directo)

2. Halle el determinante de (1) por cofactores 3. Halle el determinante de: (aplique cofactores)

1 6 3 2

3 2 0 0

4 0 5 2

1 0 1 1

4. Halle : 44M , 23M , 42M del problema anterior

5. Halle el determinante de:

2 7 6 8

0 3 8 9A

0 0 1 32

0 0 0 7


54

1


55

Estudio de las Matrices

En el presente fascículo continuaremos con el estudio de las matrices

especiales.

Se estudiaran métodos para hallar el determinante de matrices de ordenes

superiores, así como hallar el matricial inverso y el rango de una matriz de

orden “n”

Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Reconoce matrices especiales Halla determinantes de orden “n” Halla el matricial inverso

MATRIZ DE COFACTORES

Si A es una matriz cuadrada de orden “n” y Aij, es el cofactor del elemento aij, entonces

la matriz de cofactores en A, viene dada por el siguiente arreglo.

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

A A A

A A ACofact A Cofact A

A A A

MATRIZ ADJUNTA La matriz adjunta A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A.

tadjA cofactA

Ejemplo: Sea:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

3 3 1 A A A

A 2 2 1 cofactA A A A

1 4 1 A A A


56

1

2 1 2 1 2 2

4 1 1 1 1 4

3 1 3 1 3 3cofactA

4 1 1 1 1 4

3 1 3 1 3 3

2 1 2 1 2 2

2 1 6 2 1 1

cofactA 1 2 9 adjA 1 2 1 L

1 1 0 6 9 0

MATRIZ INVERSA

Sea A una matriz cuadrada de orden “n” y si existe otra matriz B tal que:

AB BA I

La matriz B se llama inversa de A y se denota por :

B = A-1

Características: 1.- La inversa de una matriz es única. 2.- Si B es inversa de A, se puede decir que también que A es

inversa de B. 3.- No toda matriz cuadrada tiene inversa.

.

Definiciones: 1) Una matriz cuadrada se dice que es “no singular” si su determinante es

distinto de cero (|A| 0), una matriz de este tipo tiene inversa.

2)

3) Una matriz cuadrada A se dice que es “singular” si su determinante es cero

(|A| = 0), una matriz de este tipo no tiene inversa.


57

OBTENCION DE LA MATRIZ INVERSA POR EL METODO DE LA MATRIZ ADJUNTA

1 adjA

A| A |

Ejemplo: Hallar A-1 de: 1 3 1

A 0 1 1

2 2 0

Solución:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

A A A

cofactA A A A

A A A

1 1 0 1 0 1

2 0 2 0 2 2

3 1 1 1 1 3cofactA

2 0 2 0 2 2

3 1 1 1 1 3

1 1 0 1 0 1

2 2 2 2 2 4

cofactA 2 2 4 adjA 2 2 1

4 1 1 2 4 1

1

| A | 6

1 1 2

3 3 32 2 41 1 1 1

A 2 2 16 3 3 6

2 4 11 2 1

3 3 6


58

1

4.1

1. Halle la matriz inversa de:

5 2 1

2 5 3

1 3 5

2. Halle la inversa de:

2 3 1

6 9 3

1 3 5

RANGO DE UNA MATRIZ

SUBMATRICES CUADRADAS

Dada una matriz A de orden m x n, se pueden construir diferentes submatrices

cuadradas de orden k x k contenidas en A.

Ejemplo: Construir la submatrices de:

2x3

1 0 2A

2 1 3

Solucion:

1 0 1 2 0 2; ;

2 1 2 3 1 3

1 ; 0 ; 2 ; 2 ; 1 ; 3

El rango de una matriz A de orden mxn es el orden de la submatriz cuadrada más grande contenida en A, cuyo determinante es no nula y se simboliza por “r(A)”.


59

Ejemplo:

Para el problema anterior el rango de A es igual a 2 porque los determinantes de

cualquier submatriz de orden 2 es diferente de cero.

OPERACIONES ELEMENTALES

Son transformaciones elementales, que se dan entre filas o columnas de una matriz:

Intercambio de dos filas o dos columnas. Se representa por:

fi x fk ; Ci x Ck

Multiplicación de una fila o una columna, por un escalar no nulo. Se representa

por:

kfi ; kCj.

A una fila o columna se le suma el múltiplo de otra fila o columna. Se representa por:

fi +kfj ; Ci + kCj.

MATRICES EQUIVALENTES Se dice que una matriz A de orden mxn es equivalente (por filas) a matriz B de orden

mxn, si se puede obtener B a partir de A por medio de un número finito de operaciones

elementales (por filas). Se simboliza por:

A B

Ejemplo:

Por operaciones elementales llevar si es posible a la matriz I, a la matriz dada:

3 31 12 2 2 2

2 1 2112

3 1

2 3 1 1 1f 4f 1f

A 4 5 1 f 4 5 1 0 1 3f 2f

2 0 2 2 0 2 0 3 3


60

1

3 12 2

3 2 1363

1 22

1 3

2 3

1 1 0 4 1 0 4f 3f

0 1 3 0 1 3 f 0 1 3f f

0 3 3 0 0 6 0 0 1

1 0 0f 4f

0 1 0 If 3f

0 0 1

A I

MATRIZ ESCALONADA (por filas)

Una matriz escalonada E = [eij], de orden mxn, es escalonada si se presenta la

siguiente estructura:

1) Las primeras “k” filas son no nulas y las restantes

(m - k) filas son nulas.

2) El primer elemento no nulo de cada una de las primeras “k” filas es la unidad.

3) En cada una de las “k” filas, el número de ceros anteriores a la unidad crece de fila

en fila

Una fila (o una columna) es nula si todos sus elementos son ceros.

Ejemplo: matrices escalonadas:

1

mxn

2

4x5

1 0 2 1k Si: k=2 y m=5 (m k) 3

0 1 3 2

E 0 0 0 0

0 0 0 0 (m k)

0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 2 3E k Si: k=4 y m=4 m-k=0

0 0 0 1 1

0 0 0 0 1


61

Ejemplo: Por operaciones elementales llevar A a su forma escalonada:

54

1 1 0 1 1 0

A 1 2 2 O.E 0 1

1 2 3 0 0 0

A B

OBTENCION DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR OPERACIONES ELEMENTALES

Propiedad: Las matrices equivalentes tiene el mismo rango, es decir:

A B r(A) = r (B)

Para hallar el rango de una matriz es necesario llevar a dicha matriz a su forma

escalonada.

Luego el rango de dicha matriz será igual al rango de su matriz escalonada.

El rango de la matriz escalonada será “k”, donde “k” es el número de filas no nulas.

Esta regla será aplicable por lo general en matrices de orden mxn (m diferente de n).

En el caso de matrices cuadradas se debe tener bastante cuidado.

Ejemplo importante:

para el ejercicio anterior vemos:

A E

Obsérvese que la submatriz mayor contenida en A es:

3x3

1 1 0

A 1 2 2

1 2 3

Y su determinante es diferente de cero, por lo tanto r(A) = 3

También se nota que k = 2 (en su equivalente matriz escalonada), por lo que r(E) = 2

Sin embargo para este caso r(A) r(EA)


62

1

OBTENCION DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR OPERACIONES ELEMENTALES

Se aplica el método de GAUSS – JORDAN.

Sea : A = [aij]mxn , => el método es:

-1(A:I) 0.E. (I:B) => B = A

Donde I es de orden “n”.

Si A es singular (|A| = 0) ocurre que uno de los elementos de la diagonal principal de “I”

que aparece en (I:B) es cero, por lo que dicha matriz nunca será identidad, ya que no

existe A-1

Propiedades:

1) (AB)-1 = B-1A-1

2) (A-1)t = (At)-1 , Es de una matriz cuadrada no singular.

Ejercicio: Hallar A-1 si:

3 5A

2 4

Solución:

1 2 2 1

3 5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1f f f 2f

2 4 0 1 2 4 0 1 0 2 2 3

3 52 21

1x 2 1 1 22

5 52 2

2 1 13 32 2

1

0 2 2 3 0 1 1 1 0 2f f f f f

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 2 1 0 2f f 1f

0 1 1 0 1 1

2 5 / 2A

1 3 / 2

Ejercicio de aplicación: Hallar el determinante de la matriz A de orden “n”


63

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 3 2 2A

2 2 2 4 2

2 2 2 2 n

Solución:

Hacemos 3 2 4 2 5 2 n 2(f f ),(f f ),(f f ), (f f )

1 1 2multiplicamos por (-2) a la f y sumamos f a la f

1 2 2 2 2

0 2 2 2 2

0 0 1 0 0

0 0 0 2 0

0 0 0 0 (n 2)

como |A| es una matriz triangular superior

| A | 1( 2).1x2x3x...x(n 2)

| A | 2(n 2)!

Ejercicio de aplicación: Hallar el determinante de :

nxn

2 1 0 0 0

1 2 1 0 0

0 1 2 1 0A

0 0 0 0 1 2

Solución: Multiplicando: 1 2 3 n1xf ,2xf ,3xf ,..., nxf


64

1

2

3

n 1

nxn

*2 2 1

* *3 3

* *4 4

* *n n

2 1 0 0 0

2 4 2 0 0

0 3 6 3 01| A |

1x2x3...xn

0 0 0 0 2n

hallando las nuevas filas en la forma siquiente: (*)=nueva fila.

f f f

f f f

f f f

f f f

| A |

nxn

2 1 0 0 0

0 3 2 0 0

0 0 4 3 01

n!

0 0 0 (n 1)

0 0 0 (n 1)

2x3x4x...x(n 1) (n 1)!| A | (n 1)

n! n!

A n 1

1.-Halle el rango de la matriz:

1 7 6 5

1 2 5 4

1 2 3 1

4 0 0 4

2.-Halle el equivalente de matriz dada a su forma escalonada (si es posible)

3 1 6

5 0 2

6 2 12

4.2


65

En el presente fascículo se abordaron los conceptos fundamentales para hallar

determinantes de orden superior (orden “n”)

Se presentó el método de operaciones elementales por filas o columnas, para resolver

problemas selectos.

Se puede hallar matrices equivalentes por operaciones elementales. Este entendimiento

ayudará a encontrar matrices escalonadas las cuales son la base para resolver sistemas

de ecuaciones lineales.











En el próximo fascículo comenzaremos con el estudio de los sistemas de ecuaciones

lineales.

Veremos el caso de ecuaciones matriciales y sus posibles soluciones, para ello será

necesario evaluar el tipo de ecuación asociado.


66

1

Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa Nº 4

Nombre_________________________________________________________

Apellidos______________________________Fecha ____________________

Ciudad _______________________________Semestre__________________ 1. Calcular el determinante:

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 3 2 2

2 2 2 4 2

2 2 2 2 5

2. Calcular la determinante de orden n.

1 2 3 n

1 0 3 n

A 1 2 0 n

1 2 3 0

3. Calcular la determinante de la siguiente matriz de orden n.

n

3 2 0 0

1 3 2 0

A 0 1 3 0

0 0 0 3


67

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

En este fascículo estudiaremos a las ecuaciones lineales, dándole la forma de una

ecuación matricial.

Para ello debemos analizar el tipo de ecuación lineal y sus posibles soluciones; en general

estudiares los casos:

a) Sistema consistente con una sola solución:

b) Sistema consistente con infinitas soluciones:

c) Sistema inconsistente sin solución alguna:

Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Comprende y analiza ecuaciones lineales Identifica tipos de soluciones Resuelve ecuaciones

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Dado el sistema de ecuaciones lineales de “m” ecuaciones y “n” incognitas:

11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2 23 3 2n n 2

m1 1 m2 2 m3 3 mn n m

a x a x a x .... a x b

a x a x a x .... a x b(1)


Es equivalente a la ecuación matricial


68

1

11 12 1j 1n 1 1

21 22 2 j 2n 2 2

i1 i2 ij in i i

m1 m2 mj mn n m

a a a a x b

a a a a x b

(2)a a a a x b

a a a a x b

O también: AX = b A es de orden mxn

X es de orden nx1

B es de orden mx1

OBSERVACIONES:

1) Como (1) es equivalente a (2) entonces cualquier solución de (1) lo será también

de (2) y viceversa

2) Una solución del sistema es una determinada cantidad de números

1 2 3 nx ,x ,x , ,x , para los que se satisfacen las ecuaciones propuestas.

3) La matriz A se denomina matriz de coeficientes del sistema.

4) La matriz Aa = [A:b] de orden mx(n+1) se denomina “matriz aumentada” o “matriz

ampliada” del sistema, y obedece a la siguiente estructura.

11 12 1j 1n 1

21 22 2 j 2n 2

ai1 i2 ij in i

m1 m2 mj mn m

a a a a b

a a a a b

A A ba a a a b

a a a a b

5) Si el sistema (1) tiene uno o mas soluciones se le denomina consistente, caso

contrario será inconsistente.

CASOS:

a) Sistema consistente con una sola solución:

2 3 5

3 8 2

x y

x y


69

OE

b) Sistema consistente con infinitas soluciones:

2 3 2

6 9 6

x y

x y

c) Sistema inconsistente sin solución alguna:

2 2

2 5

x y

x y

Si en el sistema (1) b1 = b2 = b3 == bn = 0 , el sistema se llamará

homogéneo, si por lo menos uno de los bi es distinto de cero se

llamará no homogéneo.

PROPIEDADES:

1) Los sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si sus respectivas matrices

aumentadas son equivalentes. O sea el sistema AX = b es al sistema BX = c si y

solo si:

bAAa cBBa

2) Dado el sistema de ecuaciones lineales (2) o sea AX = b la matriz aumentada de

coeficientes es: Aa = [A|b] y la matriz escalonada correspondiente a Aa es:

Ea = [EA|Eb] (matriz escalonada de la matriz aumentada de la matriz de coeficientes

del sistema).

Por lo tanto se tendrá que los sistemas de ecuaciones AX = b y EAX = Eb , son

equivalentes; lo que quiere decir que posee las mismas soluciones.

Esta propiedad sugiere que para resolver un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo debe llevarse a la matriz ampliada y luego a


70

1

la forma escalonada de esta, y a partir de dicha forma deducir las soluciones.

Ejercicio:

Aplicando la teoría anterior. Halle las soluciones del sistema de ecuaciones lineales:

3x 2y z 5

2x 3y 2z 4

y 3z 6

Solución: AX = b EAX = Eb

a a A

3 2 1 5

A 2 3 2 4 llevando A a E por O.E

0 1 3 6

1 2 1 2

3 2 3

2 1 55 111 2 3 3 3 33 31 35 8 2f 2 3 2 4 f 2f 0 f3 3 33 5

0 1 3 6 0 1 3 6

2 1 5 2 1 51 13 3 3 33 358 82 20 1 f f 0 1 f5 5 5 5 7

0 1 3 6 7 280 1 5 5

2 11 3 380 1

bA

EE

2y z 5x+5 3 3 33 z=4

8z2 2 y y=-65 5 55x=70 0 1 4 z 4

5.1

1. Resuelve las siguiente ecuaciones:

5x y z 1

5x 2y 8z 2

2x 3y z 3


71

2. Resuelve 2x 3y z 1

4x 6y 2z 2

7x 3y 3z 3

RANGO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

1) Una condición necesaria y suficiente para que el sistema (1) sea consistente es que

el rango de la matriz de coeficientes sea igual al rango de la matriz aumentada, o

sea:

ar(A) = r(A )

2) Si el sistema es consistente se presenta los siguientes casos:

a) Que el sistema tenga una única solución para cada incógnita. Ello ocurre si

el número de incógnitas es igual la rango de la matriz aumentada, es decir,

como el sistema tiene “n” incógnitas y es consistente:

b) ar(A) = r(A ) = n (una solución)

c) Que el sistema tenga infinitas soluciones ello ocurre si el número de

incógnitas es mayor que el rango de la matriz aumentada. Es decir como el

sistema tiene “n” incógnitas es consistente (se supone que r(A) = r(Aa) = k,

tendrá mas de una solución si:

ar(A) = r(A ) = k < n (más de una solución)

(n – k ) incógnitas tomarán valores arbitrios, llamándoseles variables

libres, variables independientes o parámetros.

3) Si: r(A) diferente r(Aa) el sistema es consistente .

Ejercicio:

Resolver con la teoría dada en el ejercicio anterior:


72

1

3 2 5

2 3 2 4

3 6

x y z

x y z

y z

Solución:

A

2 11 3 33 2 18A 2 3 2 E 0 1 5

0 1 3 0 0 1

A

a a

a

r(E ) r(A) 3

ademas se tiene:

r(A ) r(E ) 3 n 3

r A r A n 3

Entonces el sistema tendrá solución única

Ejercicio: Resolver el sistema: 6 4 2 2

5 3 3 2

7x+4 5 2

x y z

x y z

y z Solución:

Ax b

1 2 2 1a

12 3 12

6 4 2 2 1 1 1 0

5 3 3 2 f f 5 3 3 2 f 5fA

7 4 5 3 7 4 5 3

1 1 1 0 1 1 1 0

0 2 8 2 f 0 1 4 1 f 7f

7 4 5 3 7 4 5 3

3 3 a

1 1 1 0 1 1 1 0

0 1 4 1 f 3f 0 1 4 1 E

0 3 12 3 0 0 0 0

ar(A) r(A ) 2 k n 3


73

Sistema consistente con “n” soluciones. (n – k) = 3 – 2 = 1 (Una variable será parámetro “t”)

A b

AX b

E X E

1 1 1 x 0

0 1 4 y 1

0 0 0 z 0

x y z 0 x 1 3t y 4z 1

y 4t 1

z t

REGLA DE CRAMER

En el sistema de ecuaciones lineales con “n” ecuaciones y “n” incognitas.

11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2 23 3 2n n 2

n1 1 n2 2 n3 3 nn n n




Equivalente a la ecuación matricial: Ax b

Si A es no singular ( A 0 ) entonces existe A-1 y el sistema tiene solución única, dada

por: 1x A b

Forma Práctica:

El sistema sólo tiene solución si: A 0 , y la solución viene dada por:

ii

Ax , i 1,2,3, ,n

A

Ai es la matriz obtenida con origen en A reemplazando la columna “i” de A por la matriz

“b”.

Así:


74

1

1

2

12 1n

22 2n1

n2 nnn

a a

a a

b

a a

bA

b

11 12

21 22

1

2

n

n

n1 n2

a a

a aA

a

b

b

ba

Utilice la forma práctica para resolver ecuaciones cuyas variables no sean mayores a 4 incógnitas; en caso contrario realizará demasiadas operaciones.

Ejercicio de aplicación:

2x y 3z 6

x y 4z 10

y z 2

Solución: (aplicando regla de cramer )

1) det(A)=

2 1 3

1 1 4

0 1 1

2 1 3

1 1 4

(-2-3+0) - (0-8+1) = -5 - (-7) = 2

A 2

detc1=

6 1 3

10 1 4

2 1 1

6 1 3

10 1 4

detc2=

2 6 3

1 10 4

0 2 1

2 6 3

1 10 4


75

(-6-30+8) - (-6-24+10) = -28 - (-20)= -8 (20+6+0)-(0+16+6) = 26 - (22) = 4

detC3=

2 1 6

1 1 10

0 1 2

2 1 6

1 1 10

= (-4-6+0) - (0-20+2) = -10 - (-18) = 8

Luego:

1 2 3

8X -4, x 2, x 4

24

X 2

1

5.2

1. Aplicando la regla de cramer, resuelve:

2x y 5z w 5

x y 3z 4w 1

3x 6y 2z w 8

2x 2y 2z 3w 2

Ejercicios de aplicación: Hallar la solución del sistema:

x y 2z 3

x 5y z 4

3x 2y z 5

2x y 3z 2

Solución: Por matriz aumentada:


76

1

2 1

3 1

4 1 1

5 1 2 5

F FF 3FF F ( 1)FF 2F F F

a

1 . 1 2 2 1 1 2 3 1 1 2 3

1 5 1 4 0 4 3 7 0 1 10 11

A 3 2 1 5 0 1 5 4 0 1 5 4

1 3 5 6 0 2 7 9 0 2 7 9

2 1 3 2 0 3 7 4 0 3 7 4

43

5 24 2

11FF

1315F 3FF 2F

1 1 2 3 1 1 2 3

0 1 10 11 0 1 10 11

0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 13 13 0 0 1 1

0 3 7 4 0 0 37 37

del sistema tenemos: z 1 ; y 10z 11 y 10 11 y 1 y

x y 2z 3 x 1 2 3 x 2 Resolver el sistema de ecuaciones

-x1 + x2 + 2x3 + x4 = 4 2x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 2 3x1 - 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 - x2 + x3 - x4 = 5

Solución:

2 1

3 1

4 1

1 1 2 1 4 1 1 2 1 4F 2F2 2 1 3 2 0 0 5 5 10

F 3F3 3 1 3 3 0 0 7 6 15

F F1 1 1 1 5 0 0 3 0 9

2 1

1 3 1

4 1

1 1 2 1 4 1 1 2 1 4F 2F0 0 5 5 10 0 0 5 5 10

( 1) F F 3F0 0 7 6 15 0 0 1 6 3

F F0 0 3 0 9 0 0 3 0 9

2 43

4 3

1 1 2 1 4 1 1 2 1 4F 5FF ( 1/ 3) 0 0 5 5 10 0 0 0 5 5

0 0 1 6 3 0 0 0 6 6F F

0 0 1 0 3 0 0 1 0 3


77

1 4

3 2

1 1 0 1 2F (F )2 0 0 0 5 5

0 0 0 1 1F F

0 0 1 0 3

x3 = 3 x4 = -1 x1 - x2 – x4 =2 x1 = 1 + x2 Asignando x2 = r x1 = 1 + r x2 = r x3 = 3 x4 = -1 Resolver el sistema de ecuaciones x1 - 2x2 + 2x3 - x4 = -14 3x1 - 2x2 - x3 + 2x4 = 17 2x1 + 3x2 - x3 - x4 = 18 2x1 - 5x2 + 3x3 - 3x4 = -26 Solución:

2 1

3 1

4 1

1 2 2 1 14 1 2 2 1 14F 3F3 2 1 2 17 0 8 7 5 59

F 2F2 3 1 1 18 0 7 5 1 46

F 2F2 5 3 3 26 0 1 1 5 2

2 3 3 4

1 2 2 1 14 1 2 2 1 14

0 1 2 4 13 0 1 2 4 13F F F 7F

0 7 5 1 46 0 0 12 36 60

0 1 1 5 2 0 1 1 5 2

1 2

3 2 132

142

1 2 2 1 14 1 1 0 3 1F FF F 0 1 2 4 13 0 1 2 4 13

F0 0 12 36 60 0 0 1 3 5

F0 0 3 9 13 0 0 1 3 5

2 4

1 4

1 1 1 0 6F 2F 0 1 0 2 3

0 0 1 3 5F F0 0 1 3 5


78

1

4 3

1 1 1 0 6

0 1 0 2 3F F

0 0 1 3 5

0 0 0 0 0

x1 - x2 + x3 = -6 x1 = -x4 + 2 x2 - 2x4 = 3 x2 = 2x4 + 3 x3 -3 x4 = -5 x3 = 3x4 - 5 Asignando un valor para x4 = r x1 = 2 - r x2 = 3 + 2r x3 = 3r - 5 x4 = r

En este fascículo se estudio las ecuaciones lineales no homogéneas.

Además se utiliza el procedimiento de la matriz equivalente para hallar su matriz ampliada

y luego su forma escalonada para resolver cualquier matriz (ecuación) de “n” variables.

Se busca demostrar si es una ecuación consistente o inconsistente.












79


En el siguiente fascículo se continuará con el estudio de las ecuaciones, pero se analizará

el caso de las matrices homogéneas, es decir los términos bij = 0.

Nº 5 Nombre_________________________________________________________

Apellidos______________________________Fecha ____________________

Ciudad _______________________________Semestre__________________ 1. Resolver e indicar el número de soluciones

3x + 2y + z = 5

2x + 3y + z = 1

2x + y + 3z = 1

2. Resolver el sistema:

9

1

7

0

1300

1221

3213

1111

4

3

2

1

x

x

x

x

3. Calcular el valor de “k” para que el sistema:

x (1 k)y 0

(1 k)x ky 1 k

(1 k)x (12 k)y (1 k)

Sea compatible 4. Resolver el sistema

x y 3z 1

2x y 2z 1

x y z 3

x 2y 3z 1


80

1


81

SISTEMA DE ECUACIONES HOMOGENEO

En el fascículo anterior se definió los conceptos sobre ecuaciones lineales no homogéneas.

Estos principios básicos rigen también para ecuaciones homogéneas debido a que sólo

cambian los bij, los cuales se hacen cero.

En este fascículo estudiaremos sus aplicaciones más importantes y sus métodos de

desarrollo.

Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Reconoce ecuaciones lineales homogéneas. Resuelve ecuaciones homogéneas Interpreta métodos de solución

Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneos En el sistema de “m” ecuaciones, con “n” incógnitas:

11 1 12 2 13 3 1n n

21 1 22 2 23 3 2n n

m 1 1 m 2 2 m 3 3 m n n

a x a x a x .... a x 0

a x a x a x .... a x 0

a x a x a x .... a x 0

Es equivalente a la ecuación matricial: Ax 0 OBSERVACIONES: 1) El sistema siempre tiene por lo menos una solución (denominada solución trivial),

de la forma:

1 2 nx x x 0


82

1

Por ello es consistente y ar A r A

2) Una condición para que el sistema tenga más que una solución es:

ar A r A k , en este caso el sistema posee soluciones diferentes de la nula

llamadas no triviales. Para hallarlas se aplica el método utilizado en las ecuaciones

lineales no homogéneas.

3) Si: ar A r A k n , el sistema posee una única solución, la cual es la

trivial.

4) Si en el sistema: m = n, una condición para que el sistema tenga soluciones no

triviales es que A 0 , ya que en este caso: r A n.

Dado que siempre ar A r A , en un sistema homogéneo

entonces para solucionarlo se aplica el mismo método utilizado en un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo, con la diferencia de que en lugar de trabajar con Aa se hace con A.

Ejercicio de aplicación: Resolver 6x 4y 2z 0

5x 3y 3z 0

x y z 0

Solución: A 0

A

1 2 2 1

12 3 12

E

6 4 2 1 1 1

A 5 3 3 f f 5 3 3 f 5 f

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 2 8 f 0 1 4 f f 0 1 4

1 1 1 1 1 1 0 0 0

x y z 0

y 4z 0


83

Como: Ar A r E 2 n 3

Sea: z = t

z t

y 4t

x 3t


Hallar el valor de k, de manera que el siguiente sistema lineal homogéneo tenga

soluciones no triviales:

(1- k)x y - z 0

2x - ky - 2z 0

x - y - (1 k)z 0

Solución:

Para que tenga soluciones no triviales, el determinante de la matriz de los coeficientes

debe valer cero

1 k 1 1 k 1 1k 2 1 1

2 k 2 0 k 2 k k1 (1 k) k 2

1 1 (1 k) k 1 (1 k)

= - k [k + k2 – 2] – k [– 2 – k] = 0

- k [k + k2 – 2 – 2 – k] = - k [k2 – 4] = 0 k = 0, k = 2; k = -2


Indicar un valor irracional de “a” para el sistema homogéneo

ax y z 0

x (a 1)y z 0

x y az 0

Tiene soluciones no triviales


84

1

SOLUCION Usando sólo la matriz de coeficientes:

2 11 3

23 1

a 1 1 1 1 a f f 1 1 af xf

1 a 1 1 1 a 1 1 0 a 1 a

1 1 a a 1 1 f af 0 1 a 1 a

1 2

2

2 2 23 2

a 11 0 a

1 1 a af f1f 1 a 1 a

0 1 0 1aa a

f (a 1)f0 1 a 1 a 1 a (a 1)

0 0a

Si el sistema homogéneo de tres variables (n=3) tiene soluciones distintas de la trivial entonces la características de la matriz de coeficientes debe ser: r < 3 y para esto:

2

2 2(a 1)1 a 0 (a 1)(a 2a 1) 0

a

Luego 2a 1 a 2a 1 0

Como a Q (irracionales), entonces de: 2a 2a 1 0

a 1 2

6.1

Resolver

1.

x y z w 0

x 3y 2z 4w 0

2x z w 0

Existen dos tipos de soluciones, en forma escalonada: m=n, Esto es, hay tantas ecuaciones como incógnitas. Entonces el sistema tiene solución única.


85


m<n, Esto es, hay menos ecuaciones que incognitas. Entonces podemos asigna arbitrariamente a las (n - m) variables libres y obtener una solución del sistema

En este fascículo se estudió los sistemas de ecuaciones homogéneos, los cuales por su

forma los elementos ijb 0 .

Sus métodos de resolución son similares a las ecuaciones lineales no homogéneos.











En el siguiente fascículo se abordarán las aplicaciones de las matrices, buscando definir

los valores propios para hallar vectores propios linealmente independientes. Estos generan

espacios vectoriales unidimensionales

Nº 6

Nombre_________________________________________________________


86

1

Apellidos______________________________Fecha ____________________

Ciudad _______________________________Semestre__________________ 1. Resolver

x 2y 3z 2w 0

3x 7y 2z 4w 0

4x 3y 5z 2w 0

2. Resolver

x 2y z 0

2x 5y 2z 0

x 4y 7z 0

x 3y 3z 0

3. Dado el sistema de ecuaciones lineales: y + az + bt = 0 -x + cz + dt = 0 ax + cy – et = 0 bx + dy + ez = 0

que condiciones deben satisfacer las constantes a, b, c, d y e para que el sistema tenga

dos variables arbitrarias o libres.


87

MATRICES

DIAGONALIZABLES En este fascículo estudiaremos las matrices susceptibles a ser diagonalizadas y sus

diversas aplicaciones para hallar espacios vectoriales.

Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Halla valores y vectores propios Reconoce matriz semejante

Matrices Diagonalizables

VALORES Y VECTORES PROPIOS

La definición de valores y vectores propios, se obtiene a partir del siguiente problema

general:

“Dada una matriz A de orden nxn, encontrar todos los números reales tal que la

ecuación matricial: AX = X tenga soluciones X diferentes a la trivial (no nulas).

Solución:

AX = X……….(1) AX - X = 0 (A - I)X = 0…….(2)

11 12 1n 1 1

21 22 nn 2 2

n1 n2 nn n n

a a a x x

a a a x x......................(1 )

a a a x x

Equivalente a:


88

1

11 12 1n 1

21 22 nn 2

n1 n2 nn n

a a a x

a a a x0......(2 )

a a a x

Debe obtenerse X de orden nx1.

La ecuación 2 es una ecuación homogénea, que tendrá soluciones diferentes a la

trivial, si y solo si: |A – I| = 0, es decir:

11 12 1n

21 22 nn

n1 n2 nn

a a a

a a aA I 0..........(3)

a a a

De todo lo anterior se obtiene las siguientes conclusiones:

Se observa que una solución inmediata (trivial) del sistema

AX = X es X = 0, en cuyo caso es cualquier número real.

El determinante de la matriz es (A – I) es un polinomio de grado “n” en , (ya

que siendo la matriz A de orden “n”, aparece en cada fila y columna de la

diagonal de (A – I). Desarrollando |A – I| se obtiene el llamado polinomio

característico y viene representado por :

n n-1 n11 22 33 nn|A- I| = P( ) = - (a +a +a + + a ) + +(-1) |A|

A la ecuación |A - I| = 0, aparecida anteriormente se le conoce por “ecuación

característica de A” y viene representado por:

n n-1 n11 22 33 nn - (a +a +a + + a ) + +(-1) |A|=0

Como la ecuación característica es de grado “n”, entonces se tendrá en total

“n” raíces: 1, 2, 3,… n. Para cada una de estas raíces el sistema 2

tendrá soluciones distintas de la trivial, donde las “n” raíces

1, 2, 3,… n, son reales.

A los valores de que satisfacen la ecuación característica se les llama valores

propios de la matriz A.

A las soluciones asociadas a cada valor propio según 2 se les llama vectores

propios correspondientes a dicho valor propio.


89

DEFINICIONES:

1) Asociados con cada vector propio se tiene un “conjunto de vectores propios” de los

cuales nos interesan aquellos que son linealmente independientes, ya que ellos

generan un espacio vectorial y por lo tanto, constituyen una base para dicho

espacio vectorial.

2) En realidad se puede decir que el número de variables libres o independientes que

existen al resolver la ecuación (A – I) X = 0, para cierto valor de , nos dará el

número de vectores propios linealmente independientes, y por lo tanto indicara la

dimensión del espacio vectorial asociado.


Hallar los valores y vectores propios de:

0 0 0

A 0 0 0

0 0 0

Solución:

1

2

3

0 0 0 0 0

| A I | 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

Respuesta:

Se tiene por valor propio único 0 (de multiplicidad 3)

Entonces hallando los vectores propios:

(A – I) X = 0

AX = 0

(A – 0I) X = 0

AX = 0

r(A) = 0 < n = 3 (infitas soluciones)

número de variables libres = 3 – 0 = 3

tomando el sistema: AX = 0 ……..(1)


90

1

sea:

1

2

3

x

X x

x

Entonces de la ecuación (1) se obtiene:

1

2

3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 0 0 x

0 0 0 x 0

0 0 0 x

0x 0x 0x 0

0x 0x 0x 0

0x 0x 0x 0

0x 0x 0x 0

Como hay tres variables independientes se puede hacer que sean:

1

2

3

x r

x s r,s, t R

x t

Entonces se tendrá:

r r 0 0

x s 0 s 0

t 0 0 t

Se tiene entonces que el vector propio solución es:

r

x s

t

De ella encontramos los vectores propios linealmente independientes.

Ejemplo: sea


91

1 2 3

r=1, s=t=0; s=1, r=t=0; t=1, r=s=0

1 0 0

x 0 ; x 1 ; x 0

0 0 t

Los cuales generan un espacio vectorial tridimensional (R3)

Cualquier vector que sea combinación de la base encontrada 1 2 3x rx sx tx ,

también será un vector propio.

Ejercicio:

Hallar los valores y vectores propios, si:

2 4A

4 8

Solución:

2 4 0A I 0

4 8 0

1

2

2 40

4 8

(2 )(8 ) 16 0

0valores propios

10

Con: 1 = 0

(A - I)X = 0

AX = 0

1

2

11 2 1 A2

2 4 x0

4 8 x

2 4 1 2 1 2A f f 4f E

4 8 4 8 0 0

r(A) = r (EA) = 1 < n = 2

variables independientes = 2 – 1 = 1

EAX = 0


92

1

1

2

x1 20

x0 0

x1 + 2x2 = 0 0x1 + 0x2 = 0

x1 + 2x2 = 0 sea: x2 = t

=> x1 = -2t El vector propio será:

1

2

2t 2xx t

t 1x

Para t = 1, hallamos el vector propio independiente:

2x

1

Para hallar los vectores linealmente independientes se hace:

2 0x

0 1

Esto genera un espacio vectorial unidimensional. Geométricamente será una recta que pasa por el origen y que tiene como vector

direccional a( 2,1) ya que:

x = 0 + t(-2,1)

Con 2 = 10

1

2

1

2

x2 40

x4 8

x8 40

x4 2


93

2

2

1 12 21

2 1 2 1 (A I)8

(A I)

8 4 1 1(A I) f f 4f E

4 2 4 2 0 0

E X 0

r(A – 2I) = r(

2(A )E ) = 1 < n = 2

variables independientes =2 – 1 = 1

1

2

1 2

11 x2 0x0 0

1x x 0

2

Si: x1 = t x2= 2t el vector propio será:

1

2

x t 1X t

x 2t 2

Para t = ½ hallamos el vector propio independiente:

12X1

Ello genera un espacio vectorial unidimensional. Geométricamente será una recta que pasa por el origen de coordenadas y que tiene

por vector direccional 1

a( ,1)2

Espacio vectorial unidimensional.

Si X es un vector propio asociado a un valor propio , entonces tX (t ≠ 0) es también un vector propio asociado al mismo valor propio .


94

1

PROPIEDADES DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS Sea A una matriz con valores propios i , entonces:

1) Los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes, son linealmente

independientes.

2) La traspuesta de A tiene los mismos valores propio que A

3) La matriz kA tiene los valores propios k i.

4) La matriz Ak, donde k Z+ tiene los valores propios ki .

5) Si A es una matriz no singular (|A| 0), entonces A-1 tienes valores propios 1

i .

6) La matriz (A + kI) tiene los valores propios ( i + k).

7) Si f(x) es un polinomio en X, entonces f(A) denota la matriz obtenida al remplazar X

por la matriz cuadrada A.

Si i es un valor propio de A entonces f( i ) es un valor propio de f(A).

8) Si i es un valor propio de A, entonces i

| A |

es un valor propio de la matriz adj(A)

Demuestre propiedad (7)

Sea n n 1

n n 1 1 0f (x) a x a x ... a x a , un polinomio de coeficientes reales,

entonces n n 1

n n 1 1 0f (x) a A a A ... a A a I

Como: AX = iX

n n 1n n 1 1 0

n n 1n n 1 1 0

n n 1n i n 1 i i 0

n n 1n i n 1 i 1 i 0

i

[f (A)]X [a A a A ... a A a I]X

[f (A)]X a A X a A X ... a AX a IX

[f (A)]X a X a X ... a X a X

[f (A)]X a a ... a a X

[f (A)]X f ( )X

La matriz f(A) tiene los valores propios f( i) (con el mismo vector propio de A)

Ejercicio: Calcule los valores y vectores propios de A y f(A) si

Si : 35 6A ;f (A) A 3A 2

3 2

Solución: AX = X

AX –X = 0


95

(A – I))X = 0 ……….(1)

| A – I | = 0

5 60

3 2

(5 – )(2 – ) – 18 = 0

2 - 7 – 8 = 0

(8– )( + 1) = 0

1 = 8 ; 2 = -1

Con 1 = 8

(A – 8I)X = 0

E(A – 8I)X = 0 …………..(2)

11 2 1 (A 8I)3

3 6 1 2 1 2[A-8I]= f f 3f E

3 6 3 6 0 0

1(A I)r E 1 2 n (una variable libre)

En la ecuación (2):

1

2

x1 20

x0 0

x1 – 2x2 = 0

sea: x1 = t x 2 = t/2

tx t

2

Con: t = 1 1

x 1

2

Con: 2 = -1

En la ecuación (1)

(A + I)X = 0

E(A+I)X = 0……….(3)

1

1 2 16 A I

6 6 1 1 1 1A I f f 3f E

3 3 3 3 0 0

En la ecuación (3)


96

1

1

2

x1 10

x0 0

x1 + x2 = 0 x1 = -x2 Sea : x1 = t; x2 = -t

tX

t

para : t 1

1X

1

Valores y vectores propios de f(A) f(A)X = f( i)X 1 = 8 f( 1) = 83+3(8) – 2 = 534 2 = -1 f( 2) = (-1)3+3(-1) – 2 = -6

Respuesta:

Valores propios

1= 534

2= -6

cuyos vectores propios son los mismos que A:

1 2

1 1x ; x1 12

MATRICES SEMEJANTES Definición.-

Dos matrices cuadradas A y B de orden “n”, son semejantes si existe una matriz no

singular “P” tal que:

-1B = P AP

Ejercicio:

Las matrices

1 0 0

A 1 2 0

1 0 3

y

1 0 0

B 0 2 0

0 0 3

Son semejantes, ya que cumple con la condición anterior


97

Con

2 0 0

P 2 1 0

1 0 1

y 1

1/ 2 0 0

P 1 1 0

1/ 2 0 1

7.1

1. Demuestre el ejercicio anterior

Si A y B son de orden “n”. Traza (AB) = Traza(BA)

PROPIEDADES:

1) Si A es semejante a B, entonces Traza (A) = Traza(B)

2) Si A es semejante a B, entonces |A| = |B|

a) Si no se sabe nada acerca de las matrices A y B, y ocurre que la

Traza (A) = Traza(B); entonces no puede asegurarse que A es

semejante a B.

b) De igual modo, si |A| = |B|, no puede asegurarse que A es semejante

a B.

c) El uso de las propiedades (1) y (2) es por negación. Si Traza (A)

(B) ó |A| |B|; A no es semejante a B.

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS

Sean A, B y C de orden “n”, entonces:

1) Toda matriz A es semejante consigo misma.


98

1

2) Si A es semejante a B, entonces B es semejante a A.

3) Si A es semejante a B y B a C, entonces A es semejante a C.

MATRICES DIAGONALIZABLES Definición.-

Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz P no

singular, tal que:

P-1AP = D; donde D es una matriz diagonal. En este caso se dice que P

diagonaliza a A y A es semejante a D.

Continúa fascículo siguiente.

En este fascículo estudiamos la forma de obtener valores y vectores propios. Así como

matrices semejantes. Los cuales Generan espacios vectoriales.

LARSON, Roland E., HOSTETLER, Robert P. y EDWARDS, Bruce H.

Cálculo y Geometría Analítica,

Volumen 1 y 2, 6ª edición, Editorial McGraw-Hill.










Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998..


99


STEIN, Sherman K., BARCELLOS, Anthony, Cálculo y Geometría Analítica, Volumen 1 y 2,

Editorial McGraw-Hill.

PURCELL, Edwin J., VARBERG, Dale, Cálculo con Geometría Analítica, Sexta Edición,

Edición actualizada, Prentice-Hall Hispanoamericana, SA.

En el siguiente fascículo definiremos la forma de diagonalizar matrices y casos

aplicativos a las formas cuadráticas.

Nª 7

Nombre_________________________________________________________

Apellidos______________________________Fecha ____________________

Ciudad _______________________________Semestre_____________________

1. Dados las matrices

1 2A

3 4

y

1 0 2

B 3 2 5

6 7 2

Demostrar si son semejantes

2. Halle los valores y vectores propios de

5 4A

1 1


5 6B

3 2


3 10C

1 3


100

1


101

Matrices Diagonalizables (Segunda Parte)

Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Diagonaliza matrices Aplica matrices a la Geometría Vectorial

APLICACIÓN DE MATRICES A LA GEOMETRIA VECTORIAL Sea: 1 2 3 nv , v , v ,..., v

un conjunto de “n” vectores, donde cada vector iv

esta en Rm, o

sea, cada vector iv

, tiene “m” componentes y por lo tanto será de la forma:

i 1 2 3 nv v , v , v ,..., v

, donde 1 i n . Se presentan los siguientes casos, en la

construcción de matrices a partir de vectores:

a) Si los vectores iv

, se consideran como vectores columnas de una matriz A,

entonces se tiene: b)

11 12 1n

21 22 2n1 2 n mxn

m1 m2 mn mxn

v v v

v v vv v v

v v v

(Notese que cada vector representa una columna de la matriz A)

b) Si los vectores iv

se consideran como vectores fila de una matriz de una matriz B,

entonces se tiene:

111 12 m1

21 22 m2 2

1n 2n mn nxm n nxm

vv v v

v v v v

v v v v


102

1

TEOREMA FUANDAMENTAL Una matriz A se orden nxn es diagonalizable (y por lo tanto semejante a una matriz

diagonal), si y solo si tiene “n” vectores propios linealmente independientes.

DEMOSTRACION:

Si A es una matriz diagonalizable, entonces existe una matriz P no singular tal que P-

1AP = D, donde D es una matriz diagonal.

Sean:

11 12 1n 1

21 22 nn 2

n1 n2 nn n

P P P d 0 0

P P P 0 dP y D

P P P 0 0 d

De: P-1AP = D se llega a: AP = PD………..(1)

11 12 1n 1

21 22 2n 2

n1 n2 nn n

P P P d 0 0

P P P 0 dPD

P P P 0 0 d

1 11 2 12 n 1n

1 21 2 22 n 2n

1 n1 2 n2 n nn

d P d P d P

d P d P d PPD

d P d P d P

Sean: 1 2 nP ,P , ,P

, los vectores columna de P (matrices columna), entonces ( )

puede expresarse como :

1 1 2 2 n nPD d P d P d P

Asimismo sean: 1 2 na ,a , ,a

, los vectores fila de A (matrices fila), entonces:


103

11 12 1n 11 12 1n

21 22 2n 21 22 2n

n1 n2 nn n1 n2 nn

1

21 2 n

n

a a a P P P

a a a P P PAP

a a a P P P

a

aAP p p p

a

1 1 1 2 1 n

2 1 2 2 2 n

n 1 n 2 n n

a P a P a P

a P a P a PAP

a P a P a P

Como 1 2 na ,a , ,a

, son los vectores fila de la matriz A, vemos que los vectores

columna de ( ), se pueden expresarse como:

1ervector columna : AP1

2do vector columna : AP2

sucesivamente.

Luego ( ) puede expresarse como:

1 2 nAD = [AP AP AP ]

Llevando los equivalentes de y en (1)

AP = PD

1 2 n 1 1 2 2 n nAP AP AP d P d P d P

De donde:

A 1P

= d1 1P

; A 2P

= d2 2P

; …; A nP

= dn nP

; …..

Como P es no singular |P| 0, implica que los vectores columnas de P son diferentes

de cero. Deduciendo que los di de , son valores propios de A, y 1 2 nP ,P , ,P

son

los vectores propios correspondientes. NOTA:


104

1

1. Semejanza de matrices, si:

B = P-1AP => A es semejante con B

2. Si : A ~ B y

B ~ C, donde C = D (matriz diagonal)

A ~ C

3. A es diagonal si:

P-1AP = D

A y D son semejantes

B es diagonal si:

P-1AP = D;

B y D son semejantes.

Igualmente |A| 0 implica que ninguno es múltiplo o combinación lineal de las otras,

en consecuencia 1 2 nP ,P , ,P

, son vectores propios linealmente independientes.

DEMOSTRACION DE REGRESO

Si A tiene “n” vectores propios linealmente independientes; 1 2 nP ,P , ,P

, las columnas

del producto AP son: 1 2 3 nAP , AP , AP ,..., AP

, pero: i i iAP P , i 1,2,3,..., n

, cuya:

1 2 3 n

1 1 2 2 3 3 n n

AP AP ,AP ,AP ,...,AP

AP P , P , P ,..., P

1 11 2 12 n 1n

1 21 2 22 n 2n

1 n1 2 n 2 n nn

11 12 1n 1

21 22 2n 2

n1 n2 nn n

P P P

P P PAP

P P P

P P P 0 0

P P P 0AP

P P P 0 0

AP PD

D es una matriz diagonal cuyos elementos son los valores propios de A, y como los

vectores propios de la columna de P, son linealmente independientes.

=> |P| 0


105

AP = PD

P-1AP = D

A (matriz diagonalizable y semejante a D)

COSNTRUCCION DE LA MATRIZ “P” QUE DIAGONALIZA A LA MATRIZ “A” 1. Calcular los valores propios de A (A de orden n).

2. Obtener los respectivas “n” vectores propios linealmente independientes (para

asegurar que exista

P-1)

3. Construir P (de orden nxn) de modo que cada vector propio encontrado en (2) es

una matriz columna de P.

4. Tendrá sus elementos (que en realidad son los valores propios) en el mismo orden

que aparecen los vectores propios.


Averiguar si son semejantes A y B.

3 4 4 2A B

5 6 11 5

Solución: Con la matriz A Paso I (A – I)X = 0 por lo tanto |A - I| = 0

1

2

3 40

5 6

(3 )(6 ) 20 0

9 89

2

9 89

2

Paso II


106

1

Con: 1 = 9 89

2

(A – I)X = 0

1

9 893 4

2| A I |6 9 89

52

1

1

|A I|

(A I)

81

E 3 890 0

R 1 2 n

Número de variables libres = 2 - 1 = 1

1

2

21

1 2

1

81 x 0

3 89x 0

0 0

8xx 0

3 89

3 89Si : x t x t

8 sea : t 8

18

x t x3 893 89

8

2

2 2

9 89con :

2(A I)X 0 | A I | 0

Resolviendo queda:

2(A I)

81

E 3 890 0


107

Número de variables libres = 2 – 1 = 1

1

2

21

1

2

81 x

03 89x

0 0

8xx 0

3 89Si : x t

89 3x t

8

Sea t = 8

1 2

18

x t x85 389 3

8

Paso III

8 8P

3 89 89 3

Hallando P-1

1

89 3 1

48 6P89 3 1

48 6

P-1AP = D

3 89 18 83448 6 D

56 3 89 89 33 89 1

48 6

49 3 89 15 898 848 12 D

3 89 89 349 3 89 15 89

48 12

A y D son semejantes con la matriz B B y D son semejantes: si D = D1 =>A y B son semejantes


108

1

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS DE LAS MATRICES SEMEJANTES

Sean A, B, P matrices de nxn.

1. Sean A ~ B, entonces A y B tienen los mismos valores propios.

2. Si una matriz A tiene “n” vectores propios diferentes, entonces es diagonalizable.

3. Dos matrices A y B que tiene los mismos valores propios no son semejantes si una

de ellas es diagonalizable y la otra no.

4. Si A es semejante a B y si X es un vector propio de B; entonces PX es un vector

propio de A.

Los valores propios repetidos (de una multiplicidad dada) no generan vectores propios linealmente independientes


Siendo A semejante a B. Halle los vectores propios de A aplicando la propiedad

complementaria (4). Si:

1

1 12 1 2 4 1 1 2 2B A P P0 7 5 3 1 1 1 1

2 2

Solución:

Hallando los vectores propios de B.

|B – I| = 0

1

2

2 10

0 7

( 2 )(7 ) 0

2 0 2

7 0 7

Con: 1 = -2

1(B - I)E = 0


109

( B I )1

1 1 2 1

E

2 2 1 0 1 0 1 0 1B I f x( 1) f 9f

0 7 2 0 9 0 9 0 0

r(1(B I)E ) = 1 < 2 = n

Una variable libre (n – k)

1

2

x0 1 0

x0 0 0

1 20x 0x 0

1

2

x tx

x 0

Sea: 1

2

x t

x 0

Para: t 1

1

1x

0

Con: 2 = 7

2(B I)E X 0

B I2

2 1

E

112 7 1 9 1 1 9B I f0 7 7 0 0 9 0 0

r(2(B I)E ) = 1 < 2 = n

Una variable libre

1

2

11 x 09x 00 0

21

xx 0

9

sea: x1 = t; x2= -9t

1

2

x tX

x 9t

Para: t = 1

2

1x

9

Hallando los vectores propios de A para 1 = -2


110

1

1

1 1 1 1Px

1 1 0 1

para 2 = 7

2

1 1 1 8Px

1 1 9 10

TEOREMA DE CAYLEY – HAMILTON

Se basa en la ecuación característica de una matriz A y establece: Si A es una matriz

cuadrada P( ) = 0 es una ecuación característica, entonces P(A) = 0 (matriz nula)

donde: 0A I

Ejercicio: Comprobar el teorema dado para A:

3 2A

1 5

Solución: |A - I| = 0

3 20

1 5

(3 – )(5- ) - 2 = 0 , P( ) = 0 P( ) = 2 – 8 + 13 = 0 P(A) = 0

P(A) = A2 – 8A + 13

0

I

A = 0

3 2 3 2 3 2 1 08 13 0

1 5 1 5 1 5 0 1

11 16 24 16 13 0 0 0

8 27 8 40 0 13 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0



111

Halle A-1 para el A anterior, usando el A anterior usando el teorema en mención.

Solución:

P(A) = A2 – 8A + 13I

A2 – 8A = -13I

A-1A(A – 8I) = -13IA-1

(A – 8I) = -13A-1

A-1 = 1

13 (A - 8I)

1

5 213 131

3113 13

3 2 8 01A

1 5 0 813

5 21A

1 313

DIAGONALIZACION DE UNA MATRIZ SIMETRICA

Definiciones.- MATRIZ ORTOGONAL. Se llama matriz ortogonal a toda matriz que cumple:

tA.A = I

BASE ORTONORMAL. Los vectores columna (o fila) de una matriz ortogonal forman

una base ortonormal. Se llamará base ortonormal en definitiva a aquellos cuyos

vectores son ortogonales y normales (o sea unitarios).

DIAGONALIZACION ORTOGONAL. Una matriz cuadrada A es diagonalizable

ortogonalmente si existe una matriz P, ortogonal, tal que :

tP AP D

Donde: D es una matriz diagonal. En este caso se dirá que P diagonaliza a la matriz A

ya que A es semejante a D.

Debe observarse que una matriz diagonalizable ortogonalmente, únicamente si es

simétrica, tA A

Demuestre:

t t t tP AP D P(P AP)P PDP

Solo si A es simétrica:


112

1

t

tt t

t tt t

t t t

A PDP

A PDP

A P PD

A PD P

PROPIEDADES 1) Si A es una matriz simétrica los vectores propios asociados a valores propios

diferentes, son ortogonales entre si. Por ejemplo si en la resolución de un problema

dado se halla tres valores propios diferentes los cuales generan sendos vectores

propios x1 x2 y x3 respectivamente; ellos serán ortogonales entre si, puesto que:

t t t1 2 2 3 2 3x x 0, x x 0, x x 0

2) Si una matriz simétrica tiene valores propios de multiplicidad “k”, entonces

asociados con dicho valor propio se encuentran “k2 vectores propios linealmente

independientes

Una matriz simétrica A de orden nxn siempre tiene “n” vectores propios linealmente independientes. Si uno de sus valores propios es de multiplicidad k < n y los otros valores propios son diferentes, entonces asociados con el valor propio de multiplicidad k, existen k vectores propios linealmente independientes, mientras que asociados con los otros valores propios diferentes existen vectores que son ortogonales entre si y ortogonales a los vectores propios que provienen del valor propio de multiplicidad k. Para soslayar cualquier problema inherente a lo explicado, estudiaremos lo siguiente:

PROCESO DE GRAM – SCHMIDT

Este proceso llevará a la construcción de un conjunto de vectores mutuamente

ortonormales (ortogonales y unitario), dado un conjunto de vectores linealmente

independientes. Como consecuencia ayudará a obtener siempre los “n” vectores

propios en una matriz simétrica que sean mutuamente ortogonales.


113

TEOREMA (Ortogonalización de GRAM – SCHMIDT)

Sea: {x1, x2, x3,…, xn} un conjunto de vectores linealmente independientes en Rn, con

el producto escalar definido en la forma usual. Entonces se puede construir un

conjunto ortonormal de vectores {U1, U2, U3,…, Un}, tal que para cada i con 1 i n ,

generan todo espacio de una dimensión Rn , al igual que el conjunto {x1, x2, x3,…, xn}.

Primero se forma un conjunto ortogonal de vectores {v1, v2, v3,…, vn} y luego se las

normaliza; porque:

11

1

vU

| v |

PASOS: 1) Vi debe se un múltiplo de xi para que genere el mismo espacio, así: v1 = x1

Luego: 11

1

vU

| v |

2) Se elige el segundo vector x2 y se le extrae un múltiplo de v1 , así por ejemplo:

v2 = x2 – r1u1, donde r1,es elegido de forma U1 y v2 sean ortogonales. Luego:

0 = U1 v2 = U1(x2 – r1U1)

= U1 x1 - r1U1 U1

r1 = U1 x2

v2 = x2 – (U1x2)U1

22

2

vU

| v |

Como x1 y x2 son combinaciones lineales de de U1 y U2; y viceversa entonces generan el mismo espacio

3) Análogamente se construye v3 , sustrayendo un múltiplo de v1 y v2 del tercer vector

dado x3 , así :

v3 = x3 – r2U2 – r1U1 donde r2 y r1 se determinan de forma que v3 sea ortogonal a

v2 y v1.


114

1

Luego: 0 = U2v3

0 = U2(x3 – r2U2 – r1U1)

0 = U2x3 – r2 (U2 U2) – r1(U2U1)

0 = U2x3 – r2

U2 U1 = 0 ; U2 U2 = 1

r2 = U2x3

Luego:

0 = U1v3

0 = U1(x3 – r2U2 – r1U1)

0 = U1x3 – r2(U1 U2) – r1(U1U1)

0 = U1x3 – r1

r1 = U1x3

v3 = x3 – (U2x1)U2 – (U1x3)U1

33

3

vU

| v |

4) Generalizando:

Vk = xk(Uk -1xk)Uk – 1 – (Uk-2xk)Uk – 2 - … -(U1xk)U1

kk

k

vU

| v |


Obtener un conjunto ortonormal de vectores a partir del conjunto de vectores:

1 2 3

1 2 1

1 1 2x x x

1 1 2

1 1 1

Solución:

1) Se toma: v1 = 1

1

1x

1

1

2) Se hace 2v = x2 – r1v1


115

de modo que: v1 2v = 0 = v1 (x2 – r1v1)

v1 v2 = 0 = v1x2 – r1(v1 v1)

1 21

1 1

v x 1r

v v 4

Donde: t

1 2 1 2

t1 1 1 1

v x se interpreta como v x (producto matricial)

v v v v

2 2 1

94

31 4v x v

344

34

2

3

1v

1

1

(v2 sigue la dirección de 2v , ya que para la construcción del conjunto ortonormal, lo

que interesa son los vectores unitarios; y, v2 y2

2v y tienen el mismo vector unitario)

3) Sea 3v = x3 – r2v2 – r1v1, de modo que:

v2 3v = 0 = v 2x3 – r2(v2v2) – r1(2 1

0

v v )

2 32

2 2

v x 1r

v v 2

v1 3v = 0 = v 1x3 – r2(1 2

0

v v

) – r1(v1 v1)

1 31

1 1

v x 1r

v v 2


116

1

3 3 2 1

3 3

1 1v x v v

2 20

1v v

1

2

v1, v2 y v3 son ortogonales. Para formar lo pedido de normaliza

1 21 2

1 2

33

3

1 3

1 1v 1 v 1U ; U ;

1 1| v | 2 | v | 2 3

1 1

0

1v 1U ;

1| v | 6

2

Conjunto ortonormal {U1, U2 , U3} CONSTRUCCION DE LA MATRIZ ORTOGONAL P QUE DIAGONALIZA ORTOGONALMENTE A LA MATRIZ SIMÉTRICA A (de orden n)

tP AP = D

D es matriz diagonal Como P es una matriz ortogonal, sus vectores columna forman una base ortonormal.

Para construir la matriz P, se sigue el proceso dado para construir la matriz que

diagonaliza a la matriz A, cuidando que de que los vectores columna P, sean

ortogonales entre si y unitarios. (normales).

a) Si la matriz simétrica A de orden “n” tiene “n” valores propios diferentes, entonces

los vectores propios que se obtienen son ortogonales entre si. Para construir la

matriz ortogonal P, lo único que falta es normalizar a dichos vectores propios. Los

elementos de la diagonal de la matriz D son los valores propios de A, en el mismo

orden en que aparecen los vectores columna que fueron originados por los vectores

propios.


117

b) Si la matriz simétrica A (de orden n) tiene un valor propio (o mas) de multiplicidad k

(k < n), y los otros valores propios son diferentes se tiene que:

1.- Para cada valor propio de multiplicidad k se obtiene k vectores propios

linealmente independientes, los cuales se ortogonalizan (o si se desea se

ortonormalizan) de acuerdo al proceso de Gram Schmitt.

2. Para valores propios diferentes se obtienen vectores propios ortogonales entre

si (y ortogonales a los vectores propios de uno). Se procede a normalizar los

vectores propios obtenidos y se construye la matriz ortogonal P.

Ejercicio: Diagonalizar ortogonalmente la siguiente matriz.

3 1 0 0 0

3 1 0 0 0

A 0 0 2 1 1

0 0 1 2 1

0 0 1 1 2

I. Calculo de valores propios 3 1 0 0 0

3 1 0 0 0

| A I | 0 0 2 1 1

0 0 1 2 1

0 0 1 1 2

2

3 0 0 0 1 0 0 0

0 2 1 1 0 2 1 1| A I | (3 )

0 1 2 1 0 1 2 1

0 1 1 2 0 1 1 2

2 1 1 2 1 1

| A I | (3 ) 1 2 1 1 2 1

1 1 2 1 1 2

|A – I| = 2 3 33 2 2 3(2 ) 2 2 3(2 )

|A – I| = 2 33 1 (2 ) 2 3(2 )


118

1

|A – I| =2 3(4 )(2 )(4 9 6 )

|A – I| = 2 3 2

Factorizando(Rufinni)

( 4) (2 )( 6 9 4)

2 2A I ( 4) (2 )( 1)

Valores propios:

1

2

3

4

1

2

II. Calculo de vectores propios

Con: 1 = 4 (de multiplicidad de 2)

1

2 1

1

3

14 13

4

5 3

1 1 0 0 0( 1)f1 1 0 0 00 0 0 0 0f f *1 1 0 0 0

1 10 0 1(A I) 0 0 2 1 1 1 2 2f

3 30 0 1 2 1 2 0 0 0 2 20 0 1 1 2 f f * 0 0 1 1 2

1 1 0 0 0

0 0 0 0 03

f 1 10 0 12 2 2f f

5 4

2 3 3 4

1 1 0 0 0

0 0 0 0 03 1 1f f 0 0 1 2 22

0 0 0 1 1 0 0 0 1 13 30 0 0 0 0 0 0 02 2

1 1 0 0 0

1 10 0 1 2 2f xf f xf0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 0 0 0

(A I)

1 1 0 0 0

1 10 0 1 2 2E0 0 0 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

R(A – I)= 3 < 5 = n Número de variables libres = 5 – 3 = 2 E(A – I)X= 0


119

1

2

3

4

5

1 2

3 4 5

4 5

1 1 0 0 0 x1 10 0 1 x2 2

x 00 0 0 1 1x0 0 0 0 0x0 0 0 0 0

x x 0.................(1)

1 1x x x 0..........(2)

2 2x x 0.....................(3)

Sea x1 = r => x2 = r de (1) Sea x4 = s x4 = x5 = s de (3) De (2)

3

3

1 1x s s

2 2x s

r r 0

r r 0

X s 0 s

s 0 s

s 0 s

1 0

1 0

X r s0 1

0 1

0 1

Con r = 1, s = 0 Con r = 0, s = 1

1 2

1 0

1 0

x ; x0 1

0 1

0 1

Con: 2 = 1(de multiplicidad 2)


120

1

1

2

2 1

2

4 3

5 3

1 1 2 0 0 02 1 0 0 031 0 0 0 01 2 0 0 0 2f

2(A I) 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1f f *0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

11 0 0 02 2f3 0 1 0 0 0

f f * 0 0 1 1 1

f f * 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

2(A I)E

r(A – 2I) = 3 < 5 = n número de variables libres = 5 – 3 = 2 E(A – I)X = 0

1

2

3

4

5

11 0 0 0 0 x2x0 1 0 0 0 0x 00 0 1 1 1 1x0 0 0 0 0 0x0 0 0 0 0 0

1 2

2

3 4 5

1x x 0...........(1)

2x 0...................(2)

x x x 0..........(3)

(2) en (1)

x1 = 0

sea x4 = r; x5 = s

de (3)

x3 = - (r+s)

0 0

0 0

x (r s) r s

r r

s s

0 0

0 0

x r s1 1

1 0

0 1


121

Con r = 1, S = 0 Con r = 0, s = 1

3 4

0 0

0 0

x x1 1

1 0

0 1

Ortogonalizando por Gram Schnitt

4 4 3

3 4 3 4 3

3 4 3 33 3

t3 4 3 4

t3 3 3 3

v x rv0

v v v (x rv ) 00

v x rv v 0v x 1

1 v x v xr

0 v v v v

t3 4

0

0

v x 0 0 1 1 0 11

0

1

t3 3

0

0

v v 0 0 1 1 0 21

1

0

1r

2

4 4 3

4

v x rv

00 000 0

1 1v 1 1 220 1 1

21 0 1

Por (2)

4

0

0

v 1

1

2


122

1

Con 3 = 2

3 2 1 2 4

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

(A I) f f f xf0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

0 0 1 0 1 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 0 1 1 0

5 3 3 2

4 5

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0 1

f xf f f0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 1 1 0

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 1

f xf f0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

4 3

4

f

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 0 11

f0 0 0 1 1 0 0 0 1 12

0 0 0 0 2 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

r(A – 3I) = 4 < 5 = n número de variables libres 5 – 4 = 1

3A IE X 0

1

2

3

4

5

1 2 4 5

3 5 3

4 5 1

5 2

x1 1 0 0 0

x0 0 1 0 1

x 00 0 0 1 1

x0 0 0 0 1

x0 0 0 0 0

x x 0 x x 0

x x 0 x 0

x x 0 sea : x s

x 0 x s


123

con : s 1s

1s

1x 0

x 00

00

0

Como: x1 = v1; x2 = v2; no fue necesario ortogonal izar pues son independientes uno del otro

P = [U1 U2 U3 U4 U5 ]

2 2 2 2 2i

1

2ii

i 3

4

5

v 1 1 0 0 0

| v | 2

| v | 3vU

| v | | v | 2

| v | 6

| v | 2

1 10 0 02 2

1 10 0 02 2

1 1 10 0P3 2 6

1 1 10 03 2 6

1 20 0 03 6

PtAP = D

En el presente fascículo se abordaron los conceptos fundamentales sobre la diagonalización de matrices. Para ello se definió valores y vectores propios, además de presentar espacios vectoriales.


124

1


En este fascículo se da por finalizado el estudio de las matemáticas básicas que involucran

el cálculo matricial y sus diversas aplicaciones en el campo de la ingeniería.

Nº 8

Nombre_________________________________________________________

Apellidos______________________________Fecha ____________________

Ciudad _______________________________Semestre__________________ 1. Diagonal izar ortogonalmente la siguiente matriz

3 1 0 0 0

1 3 0 0 0

A 0 0 2 1 1

0 0 1 2 1

0 0 1 1 2

2. Obtener un conjunto orto normal de vectores, a partir del conjunto de vectores

( 1, 1, 1, -1 )t ; ( 2, -1, -1, 1 )t ; ( -1, 2, 2, 1 )t

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