Matematica Basica II.pdf

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  • Excelencia Acadmica

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    Programacin General Estudio de las Matrices (Primera Parte) Definicin de una matriz Elementos de una matriz Orden de una matriz Igualdad de matrices Tipos especiales de matrices

    Matriz cuadrada Matriz nula Matriz diagonal Matriz escalar Matriz unidad o identidad Matriz traspuesta Matriz simtrica

    Matriz hemisimetrica o antisimetrica Operaciones con matrices Suma algebraica de matrices Multiplicacin de una matriz por un escalar Multiplicacin de matrices

    Producto de un vector fila por un vector columna Multiplicacin de dos matrices

    Matrices particulares Matriz triangular superior

    Matriz triangular inferior Autoaprendizaje 4 horas

    Fascculo 1 Estudio de las Matrices (Segunda Parte) Propiedades complementarias Casos particulares de matrices cuadradas

    Matriz inversa Matriz involutiva Matriz conjugada Matriz hermtica. Matriz antihermitica

    Suma directa o matriz escalonada Potenciacin de matrices

    Autoaprendizaje 4 horas Fascculo 2

    Determinantes Definicin Notacin

    Determinante de una matriz cuadrada de orden 2 Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 Propiedades Menores y cofactores Obtencin de determinantes por cofactores

    Autoaprendizaje, 4 horas Fascculo 3

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    6 1

    Estudio de las Matrices (Tercera Parte)

    Matriz de cofactores Matriz adjunta Matriz inversa Obtencin de la matriz inversa por el mtodo de la matriz adjunta Rango de una matriz Operaciones elementales Matrices equivalentes Matriz escalonada (por filas) Obtencin del rango de una matriz por operaciones elementales Obtencin de la inversa de una matriz por operaciones elementales

    Autoaprendizaje, 4 horas Fascculo 4

    Sistema de ecuaciones lineales Rango de un sistema de ecuaciones lineales Regla de Cramer Autoaprendizaje 4 horas Fascculo 5 Sistema de ecuaciones homogneo

    Autoaprendizaje, 4 horas Fascculo 6

    Marices Diagonalizables (Primera Parte)

    Valores y vectores propios Definiciones Propiedades de los valores y vectores propios Matrices semejantes Matrices diagonalizables

    Autoaprendizaje, 4 horas Fascculo 7

    Marices Diagonalizables (Segunda Parte)

    Aplicacin de matrices a la geometra vectorial Teorema fundamental Demostracin de regreso Construccin de la matriz P que diagonaliza a la matriz A Propiedades complementarias de las matrices semejantes Observaciones importantes Teorema de Cayley Hamilton Diagonalizacin de una matriz simtrica Proceso de Gram Schmidt Construccin de la matriz ortogonal P que diagonaliza ortogonalmente a a la matriz simtrica A (de orden n)

    Autoaprendizaje, 4 horas Fascculo 8

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    Tabla de Contenido Presentacin Programa general Fascculo I Estudio de las Matrices (Primera Parte) 9 Definicin de una matriz 9 Elementos de una matriz 9 Orden de una matriz 10 Igualdad de matrices 10 Tipos especiales de matrices 11 Operaciones con matrices 14 Suma algebraica de matrices Multiplicacin de una matriz por un escalar Multiplicacin de matrices Producto de un vector fila por un vector columna Multiplicacin de dos matrices Matrices particulares 18 Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Autoevaluacin formativa 22 Fascculo II Estudio de las Matrices (Segunda Parte) 25 Propiedades complementarias 25 Casos particulares de matrices cuadradas 26 Matriz inversa 28 Matriz involutiva 29 Matriz conjugada 29 Matriz hermtica. 31 Matriz antihermitica 31 Suma directa o matriz escalonada 32 Potenciacin de matrices 37 Autoevaluacin formativa 41 Fascculo III Determinantes 43 Definicin 43 Notacin 43 Determinante de una matriz cuadrada de orden 2 43 Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 44 Propiedades 45 Menores y cofactores 48 Obtencin de determinantes por cofactores 49 Autoevaluacin formativa 54

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    Fascculo IV Estudio de las Matrices (Tercera Parte) 55 Matriz de cofactores 55 Matriz adjunta 55 Matriz inversa 56 Obtencin de la matriz inversa por el mtodo de la matriz adjunta 57 Rango de una matriz 58 Operaciones elementales 59 Matrices equivalentes 59 Matriz escalonada (por filas) 60 Obtencin del rango de una matriz por operaciones elementales 61 Obtencin de la inversa de una matriz por operaciones elementales 62 Autoevaluacin formativa 66 Fascculo V Sistema de ecuaciones lineales 67 Rango de un sistema de ecuaciones lineales 71 Regla de cramer 73 Autoevaluacin formativa 79 Fascculo VI Sistema de ecuaciones homogneo 81 Autoevaluacin formativa 85 Fascculo VII Marices Diagonalizables (Primera Parte) 87 Valores y vectores propios 87 Definiciones 87 Propiedades de los valores y vectores propios 94 Matrices semejantes 96 Matrices diagolizables 98 Autoevaluacin formativa 99 Fascculo VIII Matrices Diagonalizables (Segunda Parte) 101 Aplicacin de matrices a la geometra vectorial 101 Teorema fundamental 102 Demostracin de regreso 104 Construccin de la matriz P que diagonaliza a la matriz A 105 Propiedades complementarias de las matrices semejantes 108 Teorema de Cayley Hamilton 110 Diagonalizacin de una matriz simtrica 111 Proceso de Gram Schmidt 112 Construccin de la matriz ortogonal P que diagonaliza ortogonalmente a la matriz simtrica A (de orden n) 116 Autoevaluacin formativa 124

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    MATRICES DEFINICION DE UNA MATRIZ Una matriz es la ordenacin de nmeros, funciones, vectores, etc; en filas y columnas, encerradas entre corchetes. Ejemplo:

    28 5 4 / 31 2 6 , 3 6 3 , 7 54 7 6 10 7 2 2 1 4

    x xx

    x x

    La primera matriz puede ser, matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales

    2 5 04 7 6 0x y zx y z

    La segunda matriz podra considerar a sus filas como las coordenadas ciertos puntos (8, 5, 4), (3, 6, 3), (10, 7, -2), en el espacio. Otras de las muchas aplicaciones ser determinar si estos puntos pertenecen a un plano o recta. Opcionalmente las matrices pueden ser encerradas por parntesis ( ) o por barras Las matrices de denotan por letras maysculas (A, B, C, D, etc.) y en general vienen representadas por el siguiente arreglo:

    11 12 1j 1n

    21 22 2 j 2n

    iji1 i2 ij in

    m1 m2 mj mn

    a a a aa a a a

    A aa a a a

    a a a a

    ELEMENTOS DE UNA MATRIZ Los elementos: 11 12 13 1n 21 ij mna ,a ,a , a , a ..., a ..., a ; se denotan por funciones ija .

    i-sima fila

    j-sima columna

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    El primero de los subndices indica la fila y el segundo la columna al que pertenece dicho elemento. Ejemplo: Sea la matriz:

    5 3 0B 1 1 0

    2 3 1

    entonces b11 = 5; b21 = 1; b53 = no tiene.

    El conjunto de nmeros i1 i2 i3 ina ,a ,a ,....,a , en la matriz A anterior se denomina i-sima fila. El conjunto de nmeros 1j 2 j 3 j mja ,a ,a ,....,a , de la matriz A anterior constituye j-sima columna. ORDEN DE UNA MATRIZ. El orden de una matriz viene dada mediante el nmero de filas por el nmero de columnas. En el caso de nuestra matriz A el orden ser: mxn . Esquemticamente y tomando como base la matriz A, toda matriz se representa por: matriz ija ,mxn - matriz ijA a ,mxn - matriz A (si el orden esta sobreentendido o no interesa.)

    mxnA ij mxnA a ijA a , i 1, 2, 3,...,m

    j 1, 2, 3,...,n

    Para todos los casos se lee la matriz A de orden mxn generado por los elementos ija

    La matriz no tiene valor numrico o sea no puede identificarse como un nmero.

    IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A y B sern iguales si solo si el orden es el mismo y sus respectivos elementos sean iguales. Sea:

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    11

    ij mxnA a ; y ij rxsB b . ij ijA B m r, n s, a b

    Para cada i y para cada j". Ejemplo:

    2 0 1 1 2 0 1 1A 1 5 1 2 B= 1 5 1 2

    3 4 1 7 3 4 1 7

    34 34a =b 7 7 TIPOS ESPECIALES DE MATRICES

    MATRIZ CUADRADA Una matriz cuadrada ser aquella que posee igual nmero de filas y columnas. Esquemticamente se representa por nA y se lee: matriz cuadrada de orden n Ejemplo:

    1 0 5A 3 2 1

    5 1 4

    Representacin 3 ij 3A ,A a

    En una matriz cuadrada la diagonal principal se forma con los elementos

    11 22 33 nna ,a ,a , a A la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz se le llama Traza. Ejemplo:

    1 1A 2 3

    ; Traza(A) = 1 + 3 = 4

    MATRIZ NULA Es aquella cuyos elementos son ceros. Algunos autores la representan por: Ejemplo:

    0 0A 0 0A = 0 A =

    (matriz nula) MATRIZ DIAGONAL

    Es aquella matriz cuadrada en la cual los elementos fuera de la diagonal principal son ceros. Ejemplo:

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    12 1

    1 0 0 00 0 0 3 0 0A B =0 1 0 0 -1 0

    0 0 0 4

    11

    22

    ij

    nn

    c 0 0 00 c 0 0

    0C 0 0 c 0

    0 0 0 c

    Esquemticamente C = diagonal 11 22 33 nn(c ,c ,c , c )

    MATRIZ ESCALAR

    Es una matriz diagonal, donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo:

    k 0 0 00 k 0 0A 0 0 k 00 0 0 k

    MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD Es una matriz escalar en la que los elementos de la diagonal principal son unos (1) y el resto de los elementos son ceros se representa por nI ; A 1 ; 1I o I

    3

    1 0 0B 0 1 0 = I

    0 0 1

    MATRIZ TRASPUESTA

    La matriz traspuesta