TINS - Matematica Basica II.pdf

7/26/2019 TINS - Matematica Basica II.pdf

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UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL PER

Vicerrectorado de Investigacin

"MATEMTICA BSICA II"

TINS Bsicos

INGENIERA INDUSTRIAL, INGENIERA DE SISTEMAS, INGENIERAELECTRNICA, INGENIERA MECATRNICA, INGENIERA DE

TELECOMUNICACIONES, INGENIERA AUTOMOTRIZ, INGENIERAAERONUTICA, INGENIERA MARTIMA, INGENIERA DE SOFTWARE

TEXTOS DE INSTRUCCIN BSICOS (TINS) / UTP

Lima - Per


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MATEMTICA BSICA II

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MATEMTICA BSICA IIDesarrollo y Edicin: Vicerrectorado de Investigacin

Elaboracin del TINS: Lic. Primitivo Crdenas Torres

Lic. Carlos Bravo Quispe

Diseo y Diagramacin: Julia Saldaa Balandra

Soporte acadmico: Instituto de Investigacin

Produccin: Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproduccin, venta, comunicacin pblica ytransformacin de esta obra.


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MATEMTICA BSICA II

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El presente material contiene una compilacin de contenidos de obras deMATEMTICA BSICA publicadas lcitamente, resmenes de los temas acargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseanza para serempleado en el desarrollo de las clases en nuestra institucin.

ste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de laUniversidad Tecnolgica del Per, preparado para fines didcticos enaplicacin del Artculo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo822, Ley sobre Derechos de Autor.


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PRESENTACIN

La matemtica, ciencia de la ms alta jerarqua, en el concierto de lasciencias, desde los albores de la civilizacin humana sigue siendo la base deldesarrollo cientfico y tecnolgico de nuestro mundo.

La Ingeniera como expresin de la tecnologa, se erige sobre la base delos diferentes espacios de la creacin matemtica, del sentimiento y del

pensamiento de la humanidad.

De all, que en la formacin acadmica de Ingenieros, a nivel universitariose privilegia el estudio de la matemtica, en la conviccin de dotar a losestudiantes firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.

En esta dimensin se ha desarrollado el presente texto de instruccin, ensu primera edicin dirigido a estudiantes de Ingeniera de las Carreras deIngeniera de: Sistemas, Industriales, Electrnica y Mecatrnica,Telecomunicaciones, Automotriz, Aeronutica, Martima y Software; para laAsignatura de Matemtica Bsica II.

Plasma la preocupacin institucional de la innovacin de la enseanza-aprendizaje en educacin universitaria, que en acelerada continuidad promueve la

produccin de materiales educativos, actualizados en concordancia a lasexigencias de estos tiempos.

La estructura del contenido del texto permitir lograr conocimientos deMatemtica, progresivamente modelada en funcin del sillabus de la Asignaturaacotada lneas arriba; contenido elaborado mediante un proceso cuidadoso derecopilacin de temas, desarrollados en diferentes fuentes bibliogrficas.

La conformacin del texto ha sido posible gracias al esfuerzo y dedicacinacadmica del profesor: Lic. Primitivo Crdenas Torres.

La recopilacin aludida de temas pertinentes, consistentes y actualizados,para estudiantes de segundo ciclo, tiene el siguiente ordenamiento temtico:

Capitulo I : MatricesCapitulo II: DeterminantesCapitulo III: Sistema de Ecuaciones Lineales


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Capitulo IV: sistema de coordenadas Tridimensionales y VectoresCapitulo V: Rectas y planos en el EspacioCapitulo VI: Sistema de Nmeros ComplejosCapitulo VII: Polinomios y Ecuaciones de tercer y cuarto grados

Al cerrar esta presentacin la gratitud institucional al esfuerzo y trabajodel profesor Lic. Primitivo Crdenas Torres que ha permitido la elaboracin del

presente texto en su primera edicin. As mismo la Institucin agradece al Dr.Jos Reategui Canga por la revisin del texto y al profesor Lic. Carlos BravoQuispe, por sus valiosos comentarios al contexto del presente material deestudios.

LUCIO HERACLIO HUAMN URETAVicerrector de Investigacin


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NDICE

Capitulo IMatrices ......................................................................................................... 11

Capitulo IIDeterminantes ............................................................................................... 35

Capitulo IIISitema de Ecuaciones Lineales...................................................................... 57

Capitulo IVSistema de coordenadas Tridimensionales y Vectores ................................ 77

Capitulo VRectas y planos en el Espacio ....................................................................... 111

Capitulo VISistema de Nmeros Complejos ................................................................... 131

Capitulo VIIPolinomios y Ecuaciones de tercer y cuarto grados ...................................... 153

Bibliografa ................................................................................................... 173


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DISTRIBUCIN TEMTICA

ClaseN

Tema Semana Horas

1Matrices, tipos de Matrices, igualdad de matrices, Sumay diferencia de Matrices. Propiedades, Multiplicacin deun Escalar por una matriz.

1 03

2

Producto de Matrices. propiedades. Matrices especiales:conmutativa, indepotente, involutiva y nilpotente decierto orden. Matriz transpuesta, simtrica yantisimtrica. Propiedades.

2 03

3

Determinantes. Definicin para matrices de orden 2 y 3.

propiedades de los determinantes. Matriz no singular.Definicin de Matriz inversa. Propiedades. Rango deuna matriz.

3 03

4Menores y cofactores de una matriz. Adjunta de unamatriz. Propiedades de la inversa de una matriz por elmtodo de la adjunta.

4 03

5Determinante de una matriz de orden 4 pos cofactores.Generalizacin a Matrices de orden n. 5 03

6

Operaciones elementales con filas y columnas de unamatriz. Equivalencia de matrices. Matriz escalonada,aplicacin al clculo del rango de una matriz y al clculode la inversa una matriz.

6 03

7Sistema de ecuaciones lineales. Solucin por mtodosmatriciales utilizando: Regla de Cramer y operacioneselementales.

7 03

8

Sistemas de Coordenadas Tridimensionales. Distanciaentre dos puntos. Vectores en R3. Suma de vectores.Propiedades. Producto de un vector por un escalar.Propiedades. Producto escalar. Propiedades. Norma deun vector. Vectores ortogonales. Proyeccin ortogonal ycomponentes.

8 03

9 Revisin de Semanas 1 8 9 03

10 EXAMEN PARCIAL 10

11

ngulos entre dos vectores. Combinacin lineal devectores, independencia lineal de vectores. ProductoVectorial. Propiedades e interpretacin geomtrica.Triple producto escalar, propiedades e interpretacingeomtrica.

11 03


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ClaseN Tema Semana Horas

12Recta en R3. Ecuacin vectorial de la recta. Ecuacinsimtrica de la recta. Distancia de un punto a una recta,ngulo entre dos rectas.

12 03

13Planos, ecuacin vectorial, normal y general de un

plano, distancia de un punto a un plano. Interseccin deuna recta y un plano. Interseccin de planos.

13 03

14

Sistema de los nmeros Complejos. Representacin eigualdad de complejos. Conjugado de un complejo,suma, resta, multiplicacin y divisin de nmeros

complejos. Propiedades.

14 03

15

Mdulo de un nmero complejo. Propiedades.Argumento de un Complejo. Forma polar de uncomplejo. Forma exponencial de un complejo.Propiedades, Frmula de Moivre. Potencias enteras yraces n-esimas de un nmero complejo.

15 03

16

Polinomios de grado n definidos en . Igualdad depolinomios. Races de polinomios. Teoremafundamental del lgebra y dems Teoremasrelacionados a la solucin de ecuacin polinmica.

16 03

17

Mtodos para encontrar las races racionales,irracionales y Complejas. Polinomio caracterstico,

valores propios y vectores propios de una matrizsimtrica real.

17 03

18 Revisin de las semanas 11-17 18 03

19 EXAMEN FINAL 19

20 EXAMEN SUSTITUTORIO 20


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CAPTULO 1

MATRICES

INTRODUCCINLas matrices representan herramientas tan importantes para la sistematizacin declculos laboriosos, puesto que proveen una notacin compacta para almacenarinformacin y describir un conjunto de relaciones muy complicadas.

En este captulo nuestra meta es estudiar las matrices reales y dar a conocer las

matrices y aquellas operaciones algebraicas bsicas que el estudiante debeentender por completo antes de seguir adelante .Es importante practicar la adiciny multiplicacin de matrices hasta que estas operaciones se vuelvan automticas.Se proporciona detalles y teoremas bsicos para mtodos computacionales

posteriores.

Definicin.- Una matriz de tamao m n (orden m n ) es un arreglo rectangularA de m n nmeros (objetos o smbolos que representan nmeros) encerrados encorchetes cuadrados, estos objetos o nmeros se llaman elementos de la matriz yestn colocados o dispuestos en m filas (renglones horizontales) y n-columnasverticales.

El elemento ( , )i j se denota por i ja R y es lo que se encuentra en la

interseccin de i- sima fila con la j- sima columna .

Las matrices se denotan con letras maysculas A, B, C, M, P, Q, sucesivamente.

Mediante el ltimo dispositivo Nemnico las matrices de orden m n se escribe

en forma abreviada como

11 12 13 1

21 22 23 ... 2

1 2 3

...

....... ....... ........ ..........

n

n

i j

m n

m m m m n m n

a a a a

a a a aA a

a a a a

= =

El orden de una matriz esta definido por producto del nmero de filas ycolumnas.


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Ejemplos

Las matrices2 3

2 1 3

4 5 0A

=

y

3 2

1 2

3 0

2 3

B

=

, [ ]1 4

4 8 3 90B

=

[ ]1 54 8 3 90 12B =

3 3

0 1 3

4 6 9

10 31 32

M

=

5 4

1 2 5 9

2 0 0 4

3 5 7 11

12 15 16 10

7 8 9 0

P

=

,

3 1

22

19

90

T

=

son matrices de orden 2 3 , 3 2 , 3 3 y 5 4 , 1 4 ,1 5 y 3 1 respectivamente.

MATRICES ESPECIALES O TIPOS DE MATRICES

MATRIZ CUADRADA.- Una matriz A es cuadrada, cuando tiene el nmero

de filas igual al nmero de columnas y se denota por i j n n

A a

= .

2 1

1 1A

=

,

3 2 1

7 0 1

4 3 1

B

=

, [ ]2C= ,

3 3

0 1 3

4 6 9

10 31 32

Q

=

, son matrices

cuadradas

MATRIZ FILA.- A las matrices de orden 1 n se llama matriz de una fila y

n-columnas 11 12 1 1n nA a a a = .Tambin se denomina vector fila.

MATRIZ COLUMNA.- A las matrices de orden 1n se les denomina matriz

columna , es denota por

11

21

1 1n n

a

aA

a

=

,llamado tambin como vector columna.


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13

MATRIZ NULA Una matriz que tiene todos sus elementos nulos Matriz Nula yse denota por

Ejemplo: =[ ]1 1

0

,2 2

0 0

0 0

=

,

2 3

0 0 0

0 0 0

=

OPERACIONES CON MATRICESEn esta seccin estudiaremos las propiedades de las operaciones bsicas y masusuales con matrices: suma de matrices; producto de un numero por una matriz(producto de un escalar por un matriz ) y producto de matrices .

SUMA DE MATRICES

Definicin.- Seani j m n

A a

= , i j m nB b = dos matrices desorden m n ,

entonces la sunaA B+ es otra matriz del mismo orden m n , definido por

i j i j i jm n m nC A B a b c

= + = + =

Es importante observar que solo se pueden sumar matrices del mismo orden.

Ejemplo

1.- Hallar la suma de

2 1

3 2

4 1

A

=

y

7 0

1 2

3 1

B

=

SolucinDe acuerdo con la definicin de suma de matrices

2 1 7 0 2 7 1 0 5 1

3 2 1 2 3 1 2 2 4 44 1 3 1 4 3 1 1 1 0

A B

+

+ = + = + + = +

2.- Hallar a, b, c y d para que1 3 2

2 2 1 2

a c d

b c

+ =

SolucinSumando las matrices del primer termino de la igualdad se tiene


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3 41 3 2 1 2 1

2 2 1 2 2 1 1

2 2 0

a c aa c d d d

c b c c

b b

+ = = + + + = =

= + + + = = + = =

3.- Demostrar la propiedad conmutativa de la suma de matrices, es decir

si i j m n

A a

= i j m nB a = son dos matrices del mismo orden m n

entoncesA B B A+ = + Solucin.

De la definicin de suma de matrices se tienei j i j i j i j i j i j i j i j

A B a b a b b a b a B A + = + = + = + = + = +

La tercera igualdad se debe a la propiedad conmutativa de la suma denmeros reales.

PRODUCTO POR UN ESCALAR

Definicin 4.Sii j m n

A a

= es una matriz de orden m n y k es un nmero

real, se llama producto del escalar k por la matriz A, a la matrizi j m n

k A k a

=

Ejemplos

1.- Si2 1

0 1A

=

y

1 3

2 1B

=

son dos matrices .Calcular4 ,1

2B ,

3 5A B+

Solucin

Operando directamente se obtiene

8 4

4 0 4A

= ,

12

1 2

12 12

B

=

,

6 3 5 15 11 123 2

0 3 10 5 10 2A B

+ = + =

En particular i j m n

A a

= , se llama matriz opuesta a A y representa

la matriz que se obtiene al multiplicar cada uno de sus elementos por elescalar -1


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2.- Si 2 8 0 2 8 02 6 7 2 6 7

1 3 5 1 3 5

B B = =

3.- Si2 1

1 3A

=

, calcular ( )A B+

SolucinAhora, de la definicin de suma de matrices,

2 1 2 3 0 2( )

1 3 1 0 0 3

A B

+ = + =

.

En lugar de ( )A B+ suele escribirse A B y se le llama diferencia dematrices

4.- Hallar la matriz X tal que2 1 3 1 2 0

0 1 2 1 2 1X

+ =

Solucin

Sea 11 12 13

21 22 23

x x xX

x x

=

una matriz de orden 2 3 , por lo tanto

2 1 3

0 1 2

+

11 12 13

21 22 23

x x

x x

=1 2 0

1 2 1

de donde se deduce que

1 1 3

1 3 1X

=

El siguiente Teorema recoge las propiedades de la suma de matrices yproducto de un escalar por una matriz.

Teorema.- Sean i jm n

A a

= , i j m nB b = , i j m nC c

= tres matrices de

orden m n y sean ,p q R arbitrarios. Entonces se cumplen:

i) A B B A+ = + , propiedad conmutativa

ii) ( ) ( )A B C A B C+ + = + + , propiedad asociativaiii) A A A + = = + , existencia y unicidad del elemento neutro para la

suma de matrices.


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iv) ( )A A A A+ = = + , existenci y unicidad del opuesto para la suma dematrices.

v) ( )A B A B + = + , propiedad distributiva del producto por un escalarrespecto a la suma de matrices.

vi) ( ) A A + = + , propiedad distributiva del producto de una matrizrespecto a la suma de escalares.

vii) ( ) ( )pq A p qA= , propiedad asociativa del producto escalares por unamatriz.

vii) 1 A = , existencia del elemento neutro multiplicativo para la matriz .

DemostracinDemostracin de (v).

Seani j

A a = y i jB b = entonces:

( ) ( ) ( )i j i j i j i j i j i j i j i jA B a b a b a b a b + = + = + = + = + ,

por otra arte, i j i j i j i j i j i jA B a b a b a b + = + = + = +

Ejemplo1.- Calcular [ ]2(3 ) 3( 2 ) 4 2( ) (4 3 )A B B C A B C A C + + + , si

2 1 0

0 1 3A

=

,

1 1 2

0 2 1B

=

y2 3 1

0 1 0C

=

Solucin

De acuerdo con las propiedades dadas en el teorema1

[ ]2(3 ) 3( 2 ) 4 2( ) (4 3 )A B B C A B C A C + + + =

[ ]6 2 3 6 4 2 2 2 4 3 2 3 14A B B C A B C A C A B C + + + = + =

4 2 0 3 3 6 28 42 14 29 41 8

0 2 6 0 6 3 0 14 0 0 22 3

+ =

2.- Si3 1 4

7 1 5X Y

+ =

,

4 3 22 3

6 2 5X Y

=

. Hallar la matriz

X Y


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18

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

... ...... ...

. . ... . ... .

. . ... . ... .

. . ... . ... .

... ...

. . ... . ... .

. . ... . . .

. . ... . ... .

... ...

j r

j r

i i i j i r

m m m j m r

c c c cc c c c

c c c c

c c c c

Ejemplos

1.- [ ] [ ] [ ]

1

2 3 1 1 2 3 2 1

2

AB

= = + =

2.- [ ] [ ] [ ]12

3 1 4 0 3 2 12 173

1

PQ

= = + + =

3.-

1 1 0 2 11 41

0 1 4 1 12 44

2 0 3 1 13 81

4 2 0 0 20 20

MN

= =

4.- [ ]

1 0 1 2 4 2 3

2 0 2 4 8 4 6

0 1 2 4 2 31 0 1 2 4 2 3

0 0 0 0 0 0 0

3 0 3 6 12 6 9

AB

= =


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20

Ejemplos

1.- [ ] [ ]

2

3 1 4 6 6 6 12

3

= + =

, sin embargo cada matriz que

intervienen en el producto son diferentes de la matriz nula .

2.- Dadas las siguientes matrices

1 3 2

2 1 3

4 3 1

A

=

,

1 4 1 0

2 1 1 1

1 2 1 2

B

=

,

2 1 1 2

3 2 1 1

2 5 1 0

C

=

, se tiene

que

3 3 0 1

1 15 0 5

3 15 0 5

AB

=

y

3 3 0 1

1 15 0 5

3 15 0 5

AC

=

, tenemos que

AB AC= , sin embargo B C

3.- Se quiere comparar el costo total de ciertos comestibles, la siguienteMatriz muestra el costo en soles de un kilo de cada uno de los productos

de los tres supermercados carne pan papa manzana caf

70 40 13 30 330

85 38 10 28 310

75 42 12 30 325

Supermercado X

Supermercado Y

Supermercado Z

=

Si se compran 15 kilos de carne, 10 de pan, 13 de papas, 14 de manzanas,

10 de caf representamos las cantidades compradas por la

matriz ,

10

14

13

1015

N

= hallar el ingreso total de cada uno de los

mercados.


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MATEMTICA BSICA II

21

Solucin

15

70 40 13 30 330 533910

85 38 10 28 310 527713

75 42 12 30 325 537114

10

M

= =

Vemos que el costo total en el supermercado Z es 32 soles ms que elsupermercado X y 94 soles mas que el supermercado Y.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Dado las matrices

1 2 3

5 0 2

1 1 1

A

=

,

3 1 2

4 2 5

2 0 3

B

=

y

4 1 2

0 3 2

1 2 3

C

=

.

Hallar ,A B+ ,A B 2A , 3B , ( ) ( )A B C A B C+ = + ,A D B+ =

2.- Si

1 1 1

3 2 1

2 1 0

A

=

y

1 2 3

2 4 6

1 2 3

B

=

, hallar ,AB BA

3.- Dadas las matrices

1 3 2

2 1 3

4 3 1

A

=

,

1 4 1 0

2 1 1 1

1 2 1 2

B

=

y

2 1 1 23 2 1 1

2 5 1 0

C =

, verificar que AB AC= .


1 1 1

2 0 3

3 1 2

A

=

,

1 3

0 2

1 4

B

=

y1 2 3 4

2 0 2 1C

=

Probar que ( ) ( )AB C A BC= .


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5.- Escribir explcitamente las siguientes matrices 3 2 / 2i j i jxA a a i j = = + ,

3 3/ 2 i

i j i jxB b b j = = , { }3 4 / m x ,ij i jxC c c a i j = = y

4 3/ 2 ( 1)i Ji j i j

xD d d = =


1 2

3 4

5 6

A

=

,

3 2

1 5

4 3

B

=

. Determinar la matriz

p q

D r s

z u

=

, tal queA B D + = .

7.- Sean las matrices

2 1 2 1

2 1 2

1 8 2

x z

A x y

y x z

+ = +

y

3 2 2

3 1 2

5 8 1

y x y

B z z x

z

+ = +

Si B= . Calcular 2 yz+ .

8.- Sean

34 2 3 0

3 4 1

2 1

y x x

A

z x

+

= +

,

1 14 2(3 ) 0

3 0 3

4 2 3

y x

B

z y

+

=

,

22 5(2 ) 5

6 4 4

6 3 6 3

xy

C

z x

+

=

tal que A B C+ = . Hallar , ,y z.

9.- Calcular , , ,a b c d , si

1 0 2 0

0 0 1 1

1 4 9 2 0 1 0 0

0 0 1 0

a b c d

=1 0 6 6

1 9 8 4


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23

10.- Si las matrices 5 1 53 6 3

2 4 2

A =

y 1 3 16 2 0

5 6 8

B =

satisfacen la

ecuacin 2(3 2 ) 4 3( 3 )A B X A B X + = . Determinar la suma de loselementos de la tercera fila de la matriz X .

11.- Sean las matrices40 3

/i j i jx

A a a i j = = + , 3 12 /ij i jxB b b i j = =

C AB= . Determina el elemento i jc , si 11, 11i j= =

MATRICES PERMUTABLES

Definicin.- Decimos que dos matrices A y B son permutables o conmutativassi se cumple AB BA=

Ejemplo.

Las matrices

1 2 3

3 2 0

1 1 1

A

=

y

2 1 6

3 2 9

1 1 4

B

=

son permutables.

Solucin

1 2 3

3 2 0

1 1 1

AB

=

2 1 6

3 2 9

1 1 4

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

y

2 1 6

3 2 9

1 1 4

BA

=

1 2 3

3 2 0

1 1 1

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

.

Luego, A y B son matrices permutables.

TRASPOSICION DE MATRICES

Definicin.- Sii j m n

A a

= , la matriz Transpuesta de A ,se denota por tA y

e define como la matriz tj i n m

A a

= .


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MATEMTICA BSICA II

24

De acuerdo con la definicin anterior la columna i-sima de

t

A es la fila i-simade A.

Ejemplos

Hallar la transpuesta de las matrices2 3 1

0 2 5A

=

y

4 1

2 3

5 0

1 2

B

=

Solucin

Por definicin

2 0

3 2

1 5

tA

=

y4 2 5 1

1 3 0 2tB

=

El teorema siguiente recoge algunas propiedades de la transpuesta de una matriz

Teorema.- Seani j m n

A a

= y i j m nB b = , i j n pC c

= y R .

Entonces

a) ( )t tA A= , b) ( ) t t tA B A B+ = + , c) ( ) t tA A = , d) ( ) t t tAC C A=

Demostracin.Es fcil comprobar que en todos los casos las matrices de ambos miembros de laigualdad tienen el mismo orden.

a) El elemento ( , )j i de tA es i ja , por tanto el elemento ( , )i j de ( )t tA

esi j

a

b) El elemento ( , )j i de ( ) tA B+ es i j i ja b+ . Por otra parte el

elemento ( , )j i de TA es i ja y el det

B es i jb . Por tanto el elemento( , )j i de t tA B+ es i j i ja b+

c) El elemento ( , )j i de ( ) tA es i ja . Como es el elemento ( , )j i

de tA , resulta quei j

a es el elemento ( , )j i de tA

d) El elemento ( , )k i de ( ) tAC es1

n

i j j k

j

a c=


26/172

MATEMTICA BSICA II

25

Por otra parte el elemento ( , )k i de

t

C es j kc y el ( , )j i de

t

A es i ja . Luego elelemento ( , )k i de t tC A es

1 1

n n

j k i j i j j k

j j

c a a c= =

= .

MATRIZ SIMETRICA Y MATRIZ ANTISIMETRICA

Definicin.- Una matriz i j n n

A a

= es simtricat

i j j iA A a a = =

Ejemplos

Las siguientes matrices son simtricas1 2

2 3

,

1 1 0

1 2 3

0 3 5

,

2 1 7

1 3 4

7 4 5

Son simtricas.

Definicin.- Una matriz i j n n

A a

= se dice que es antisimetrica

t

ij jiA A a a = =

Teoremas

1.- El producto de toda matriz por su transpuesta es una matriz simtricaEs decir, ( ) ( )t t t t t t AA A A AA= =

Luego, por ser igual a su transpuesta, tAA es simtrica.Observamos que no es necesario que A sea cuadrada para que existan tAA y tA A , los que son, en todos los casos, matrices cuadradas.

2.- Sii j n n

A a

= , entoncestA A+ simtrica.

( ) ( )t t t t t t t A A A A A A A A+ = + = + = + , es decir, tA A+ es simtrica.

3.- Si i j n nA a = , entonces tA A es una matriz antisimetrica

En efecto, seai j n n

A a

= una matriz cuadrada

( ) ( ) ( )t t t t t t t A A A A A A A A = = =

En consecuencia, tA A es antisimetrica.4.- Toda matriz cuadrada es la suma de una matriz simtrica y de una matriz

antisimtrica.


27/172

MATEMTICA BSICA II

26

En efecto, sea i j n nA a = una matriz cuadrada, entonces, t

A A+ es simtrica ytA A es antisimetrica, luego

1( )

2TA A+ es simtrica y ( )

1

2TA A es

antisimetrica A = 1

( )2

tA A+ + ( )1

2tA A es la suma de una matriz simtrica

y de una antisimetrica.

Observacin.- Los teoremas 1 y 2 nos permite fabricar matrices simtricas yantisimtricas de cualquier orden que uno desee.

MATRICES TRIANGULARES

Definicin.-La matrizi j n n

A a

= es triangular superior si y solo si

0i ji j a> = .

Ejemplo

1 2 3

0 0 2

0 0 5

A

=

Anlogamente i j n nA a = es triangular inferior si y solo si 0i ji j a

< =

Ejemplo

Dadas las matrices3 3

0 ,/

,i j i ji j

A a ai j i j

> = = +

y

3 3

0 ,/

2 ,i j i ji j

B b bi j i j

> = =

. Hallar AB

Solucin

Tenemos

2 3 4 1 3 5 2 12 34

0 4 5 0 2 4 0 8 31

0 0 0 0 0 3 0 0 18

AB

= =

Observamos que el producto de matrices triangulares es una matriz triangular.

MATRICES DIAGONALES

Definicin.- La matrizi j n n

A a

= es diagonal si y solo si 0i ji j a = .

Toda matriz diagonal tiene nulos los elementos que no figuren en la diagonal.


28/172

MATEMTICA BSICA II

27

Para denotar que A es una matriz diagonal, escribimos:

1

2

0 0

0 0

0

0 0 n

a

aA

a

=

= 1 2( , , , )ndiag a a a

Ejemplos

Las siguientes matrices2 0

0 1

,

1 0 0

0 6 00 0 1

,

3 0 0 0

0 7 0 0

0 0 0 0

0 0 0 6

son diagonales

MATRICES IDEMPOTENTES E INVOLUTIVAS

Definicin.- Una matriz cuadrada es idempotente si y solo si es igual a su

cuadrado, es decir,i j n n

A a

= es idempotente2A A =

Definicin.- Una matriz cuadrada es involutiva si y solo si su cuadrado es laidentidad, es decir,

ij nxnA a = es involutiva

2A I =

Ejemplos

1.- La matriz

1 1 1

3 3 31 1 1

3 3 31 1 1

3 3 3

A

=

es una matriz idempotente, pues 2A A=

2.- La matriz1 0

0 1A

=

es involutiva, pues 21 0

0 1A I

= =

Ejemplo

Si las matrices ,A B son involutivas tal que0 1

1 2AB

=

y

5 3

1 0BA

=

,

calcular 2( )A B+ .


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MATEMTICA BSICA II

28

Solucin

Tenemos 2 2 21 0 0 1 5 3

( ) 20 1 1 2 1 0

A B A AB BA B

+ = + + + = + + =

7 2

0 4

POTENCIACION DE MATRICES

Definicin.-La potenciacin de matrices la definimos por induccin Matemtica,como sigue 0 2 3 2 1, , , n nA I A AA A AA A AA = = = = , n +Z

Ejemplo

Dada la matriz

1 1 1

0 1 1

0 0 1

A

=

, calcular nA , n +Z

Solucin

2

1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1

0 0 1 0 0 1

A AA

= =

=

2(2 1)1 21 2 3 2

0 1 2 0 1 2

0 0 1 0 0 1

+ =

3 2

1 1 1 1 2 3

0 1 1 0 1 2

0 0 1 0 0 1

A AA

= =

=

3(3 1)1 3

1 3 6 20 1 3 0 1 3

0 0 1 0 0 1

+ =

4 3

1 1 1 1 3 6

0 1 1 0 1 30 0 1 0 0 1

A AA

= = =

4(4 1)1 4

1 4 10 2

0 1 4 0 1 40 0 1 0 0 1

+

=

1

( 1)1

20 1

0 0 1

n n

n nn

A AA n

+

= =

.


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MATEMTICA BSICA II

29

TRAZA DE UNA MATRIZ

Definicin.- Sii j n n

A a

= es una matriz cuadrada, entonces la suma de los

elementos de la diagonal principal se llama traza de la matriz y se denota por

( )Tr A y se define1

( )n

ii

i

Tr A a=

= .

Tenemos las siguientes propiedades

1.- ( )Tr A B+ = ( ) ( ) ( )Tr A B Tr A Tr B+ = +

2.- ( ) ( )Tr A Tr A = 3.- ( ) ( )Tr A B Tr BA=

Ejemplos

1.- Si

1 2 3

5 6 7

2 1 2

A

=

, entonces ( ) 6 2 7Tr A = + + =

2.- Determinar la matriz A sabiendo que ( )TTr AA = , donde

a b c

A d e f

g h i

=

Solucin

T

a b c a d g

AA d e f b e h

g h i c f i

= =

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c

d e fg h i

+ +

+ + + +

Por hiptesis, ( )TTraz AA = 2 2 2a b c+ + + 2 2 2d e f+ + + 2 2 2g h i+ + =0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

a b c d e f g h i A

= = = = = = = = = =


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MATEMTICA BSICA II

30

INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA

Definicin.-La matriz cuadrada i j n n

A a

= es invertible o regular o no singular

si y solo si existe una matriz cuadradai j n n

B b

= , tal queAB BA I = = .

A la inversa de la matriz A si existe, se la denota por B , esto es 1B A = .

EjemploDemostrar que si

i jn n

A a

= posee inversa1A , entonces 1A es nica.

SolucinSean ,B Cdos inversas A es decir B BA I = = y AC CA I= =

Luego, ( ) ( )B BI B AC BA C IC C B C= = = = = =

Observamos que A y 1A son inversas entre si, y en consecuencia 1 1( )A A =

EjemploSi dos matrices son invertibles, entonces la inversa del producto es igual al

producto de las inversas en orden permutado.

SolucinSean A y B dos matrices invertibles, entonces

1 1 1 1 1 1( )( )AB B A ABB A AIA AA I = = = =

1 1 1 1 1 1( )( )B A AB B A AB B IB B B I = = = = 1 1 1( )AB B A =

MATRICES ORTOGONALES

Definicin.-Una matriz cuadradai j n n

A a

= no singular es ortogonal si y solo

si su inversa es igual a su transpuesta.

Es decir, ij n x n

A a = no singular entoncesA es ortogonal1 tA A =

Teorema.- Una matriz cuadradai j

n nA a

= es ortogonal si y solo si el producto

de dicha matriz por su transpuesta es la identidad.


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MATEMTICA BSICA II

31

DemostracinA es ortogonal 1 1 1t t tA A AA AA A A A A = = = T TAA A A I = =

Teorema.-El producto de dos matrices ortogonales es ortogonal.

Ejemplo

Probar que la matriz

cos 0

cos 0

0 0 1

sen

A sen

=

, R es ortogonal.

Solucin

Tenemoscos 0 cos 0 1 0 0

cos 0 cos 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

t

sen sen

AA sen sen

= =

Por tanto, la matriz A es ortogonal.

Definicin.- Una matrizij n x n

A a = es nilpotente sinA = . n +Z .Si n +Z

es el menor entero tal que nA = , pero 1nA , se dice que ij n x nA a = es

una matriz nilpotentede ndice n .

Definicin.- Una matrizij n x n

A a = tal que1nA A+ = siendo n +Z se llama

matriz peridica y si n +Z es el menor entero / 1nA A+ = , la matriz A tieneperiodo n.


1.- Demostrar que

2 3 5

1 4 51 3 4

,

1 3 5

1 3 51 3 5

y

2 2 4

1 3 41 2 3

son

matrices idempotentes.

2.- Demostrar que si AB A= BA B= , las matrices ,A B son idempotentes


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MATEMTICA BSICA II

32

3.- Verificar que:

a)

1 1 3

5 2 6

2 1 3

A

=

es una matriz nilpotente de ndice 3.

b)

1 3 4

1 3 4

1 3 4

B

=

es una matriz nilpotente

4.- Demostrar que 1 1 1( )AB B A =

5.- Si A es una matriz idempotente, demostrar que tambin lo es la matrizB I A= y que AB BA = =

6.- a) Si

1 2 2

2 1 2

2 2 1

A

=

, verificar que 2 4 5A A I =

b) Si

2 1 3

1 1 2

1 2 1

A

=

, probar que 3 22 9A A A = , pero

2 2 9A A I

7.- Probar que

2 10

3 33 2 1

5 5 57 1 1

15 5 15

A

=

y

1 1 2

2 3 1

1 2 4

B

=

son matrices

permutables.

8.- Verificar que si

3 2 1

4 1 1

2 0 1

A

=

11 2 3

2 5 7

2 4 5

A =

y que si

1 0 0 0

2 1 0 0

0 2 1 0

8 1 1 1

B

=

es 1

1 0 0 0

2 1 0 0

0 2 1 0

8 1 1 1

B

=


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MATEMTICA BSICA II

33

9.- Verificar que 4 3 31 0 1

4 4 3

B =

es involutiva.

10.- Sii j

n x nA a = y i j n x nB b

= son dos matrices y ij n x nA a = posee

inversa, probar que 1 1( ) ( ) ( ) ( )A B A A B A B A A B + = +

11.- Demostrar que la inversa de una matriz diagonal A, cuyos elementos de ladiagonal principal son todos distintos de cero, es una matriz diagonal

cuyos elementos de la diagonal principal son el reciproco de loscorrespondientes de A y en el mismo orden.

12.- Sii j n x n

A a = es una matriz involutiva, probar que1

( )2

I A+ y

1( )

2 I A son matrices idempotentes y que

1 1( ) ( )

2 2I A I A + = .


35/172

MATEMTICA BSICA II

34


36/172

MATEMTICA BSICA II

35

CAPTULO II

DETERMINANTES

Asociamos con cada matriz cuadradai j n x n

A a = un nmero llamado

Determinante y denotamos por det ( )A A=

Definicin.- Sii j n x n

A a = ,el determinante es una funcin det:M R donde

{ }/i j i jn nM a a = R es el conjunto de las matrices cuadradas .

Definimos inductivamente el determinante de una matriz i j n x n

A a = con respecto

a su orden n.

Si 1n= , 11 1 1xA a = , entonces definimos 11det ( )A a=

Si 2n= , 11 1 2 11 1 2 11 2 2 1 2 2 12 1 2 2 2 1 2 22 2

a a a aA A a a a a

a a a a

= = =

Si 3n= ,11 12 13

21 22 23

31 32 33 3 3

a a a

A a a a

a a a

=

entonces tenemos que

11 12 13

22 23 21 23 21 2221 22 23 11 12 13

32 332 31 33 31 32

31 32 33

a a a

a a a a a aA a a a a a aa a a a a a

a a a

= = +

denominado mtodo de los menores complementarios

En general

11 12 1

21 22 2

1

1 2

...

...det ( ) ( 1)

. . ... .

...

n

nn i n

i n i n

i

n n n n

a a a

a a aA A a M

a a a

+

=

= = =


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38/172

MATEMTICA BSICA II

37

3.- El determinante de una matriz que tenga dos filas o dos columnas iguales

es cero11 12 13

11 12 13

31 32 33

0

a a a

a a a

a a a

= ,11 11 13

21 21 23

31 31 33

0

a a a

a a a

a a a

=

4.- El determinante de una matriz que tenga una fila o una columna de ceros es

cero11 13

21 23

31 33

0

0 0

0

a a

a a

a a

= ,11 11 13

31 31 33

0 0 0 0

a a a

a a a

=

5.- El determinante de una matriz es invariante cuando a una columna se lesuma una combinacin lineal de otras,

11 12 13 12 13 11 12 13

21 22 23 22 23 21 22 23

31 32 33 32 33 31 32 33

a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a a

+ +

+ + =

+ +

6.- Si a una fila o una columna de una matriz se multiplica por un R ,

entonces

11 12 13 11 21 31

21 22 23 12 22 32

31 32 33 13 23 33

a a a a a a

a a a a a aa a a a a a

= y

11 12 13 11 21 313

21 22 23 12 22 32

31 32 33 13 23 33

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

=

7.- El determinante del producto es producto de determinantes,AB A B=

8.- tA A=

9.- Si3 3i j x

A a = es una matriz ortogonal en R entonces 1A =


39/172


40/172

MATEMTICA BSICA II

39

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

( 2) ( 4) 4 4 8 16( 2) ( 4) ( 6) ( 2) 4 12 8 32

( 4) ( 6) ( 8) ( 4) 4 20 8 48

a a a a a aa a a a a a

a a a a a a

+ + + ++ + + = + + + =

+ + + + + +

2 2

9

4 4 8 16 4 4 8 16

4 4 8 16 (4)(8) 1 2 4 32( 16) 2

8 ` 16 16 32 2 2 4

a a a a a a

a a

a a

+ + + +

+ = + = =

+ +

4.- Si 0 + + = , calcular

1 cos cos

cos 1 cos

cos cos 1

=

Solucin

Como:0 cos( ) cos cos cossen sen + + = + = + = =

2

2

1 cos cos 1 cos coscos 1 cos 0 1 cos cos cos cos

cos cos 1 0 cos cos cos 1 cos

= = =

2 2

2 2

cos cos cos0

cos cos cos

sen sen sen sen

sen sen sen sen

= =

EJERCICIOS

1.- Probar que

1 3

2 3

2 3

2 3

1

1( )( )( )( )( )( )

1

1

x x x

y y yy y z z w x z x w y w

z z z

w w w

=


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MATEMTICA BSICA II

40

2.- Hallar el valor de

3 2

2 23 3 1( 1) 1 2 1 1

2 1 2 1

1 3 3 1

a a aa a a

a a a

+ + =

+ +

3.- Si1 2

1 2

1 2

x x x

y y y

z z z

= , calcular1 1 2 2

1 1 1 2 2

1 1 2 2

z y z y z

z x z x z x

x y x y x y

+ + +

= + + +

+ + +

4.- Computar

a b b b

a b a a

a b b a

b a a a

=

5.- Verificar que 42 3 2 4 3 2

3 6 3 10 6 3

m n r s

m m n m n r m n r sm

m m n m n r m n r s

m m n m n r m n r s

+ + + + + + = =

+ + + + + +

+ + + + + +

MATRICES NO SINGULARES

Definicin.- Sea una i jn x n

A a = .Una matriz i j n x nB b = que tiene la propiedad

de quen

AB BA I= = se denomina inversa multiplicativade la matriz A .

Una matrizi j n x n

A a = que posee una inversa multiplicativa se llama

Matriz no Singular y una matriz que no posee inversa se llama Matriz

Singular.

Matriz de Cofactores.- El cofactordel elementoi j

a de una matrizi j

n x nA a =

se denota por i j

A y est definido por ( 1)i ji j i j

A M+= .

Si11 12 13

21 22 23

31 32 33 3 3

a a a

A a a a

a a a

=

, entonces 22 231132 33

a aA

a a= ,

21 23

1 231 33

a aA

a a=


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MATEMTICA BSICA II

41

21 221 3

31 32

a aAa a= ,

12 1321

32 33

a aAa a= ,

11 1322

31 33

a aAa a= ,

11 1223

31 32

a aAa a=

12 13

3122 23

a aA

a a= ,

12 13

3221 33

a aA

a a= ,

12 12

3321 22

a aA

a a= , entonces la matriz

11 12 13

21 22 23

31 32 33

( )

A A A

T c A A A A

A A A

= =

, se llama matriz de cofactoresde la matrizA .

Matriz Adjunta.- La matriz11 21 31

12 22 32

13 23 33

t

A A A

T A A A

A A A

=

se llama matriz adjunta de la

matriz A y se denota por ( ) tadj A T = = 11 21 31

12 22 32

13 23 33

A A A

A A A

A A A

.

INVERSA DE UNA MATRIZ

Si2 2i j x

A a = es tal que 0A . Entonces22 121

21 11

1 a aA

a aA

=

Este mtodo es solo vlido para matrices de orden 2 2 .

Seai j n x n

A a = tal que 0A , entonces la inversa de la matriz A est dado por

1 1 1( ) tA adj A TA A

= = .

1.- Hallar la matriz inversa de

1 3 2

1 2 0

2 4 1

A

=

Solucin


43/172

MATEMTICA BSICA II

42

11 2 0 24 1A = = , 12 1 0 12 1

A

= = , 13 1 2 82 4A

= = ,

21

3 25

4 1A = =

22

1 23

2 1A = = , 23

1 32

2 4A = = ,

31

3 24

2 0A = = , 32

1 22

1 0A = =

33

1 35

1 2A = =

, como 11A = ,

1

2 5 4

11 11 111 1 3 2

( )11 11 118 2 5

11 11 11

A adj AA

= =

2.- Invertir la matriz

2 3 1

1 2 3

3 1 2

M

=

Solucin

18M = , 112 3

11 2

A = = , 1 21 3

73 2

A = = , 1 31 2

53 1

A = =

2 1

3 1 51 2

A = = , 2 22 1 13 2

A = = , 2 32 3 73 1

A = =

31

3 17

2 3A = =


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MATEMTICA BSICA II

43

3 2

2 1 51 3

A = = , 3 32 3 11 2

A = = , luego 1 7 55 1 7

7 5 1

T =

,

entonces

1

1 5 7

18 18 181 5 71 7 1 5

( ) 7 1 5 ( )18 18 18 18

5 7 1

5 7 118 18 18

tadj M T M adj M

= = = =

Teoremas

1.- Si A y ( ) ( ) ( )B adj AB adj B adj A =

2.- i)1

( ) n

adj A A

= ,

ii)1

( ) ( )nn nadj A A

= ,

iii)2( 1)

( ( ) n

adj adj A A

=

3.- a) Si 0A , 1 1( ) ( ( ))adj A adj A = ,

b) ( ) ( ( ))n nadj A adj A= ,c)2 1

( ) nn nadj A A

=

EJERCICIO

Si

2 1 1 0

0 2 0 1( )

0 6 1 5

0 2 0 1

adj A

=

, hallar 1A


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MATEMTICA BSICA II

45

Propiedades

1.- Toda matriz no nulai j m x n

A a = tiene ( ) 0A >

2.- Si { }0 ( ) ,i j m x nA a A Min m n = <

3.- Si 0 ( )i j

n x nA a A n = <

4.- Si / 0 ( )i j n x n

A a A A n = =

5.- Sii j m x n

A a = , i j n x pB b = , entonces { }( ) ( ) , ( )AB Min A B =

6.- ( ) ( )tA A =

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

Definicin.-Una transformacin elemental es un conjunto de operaciones oprocesos con matrices que no modifican su orden ni su caracterstica y quepermite obtener una segunda matriz a partir de la matriz dada en una de lasformas siguientes:

i) Intercambiando o permutando la fila i-sima y la fila j-sima:i jF F

ii) Intercambiando o permutando la columna i-sima y la columna j-sima

i jH H

iii) Multiplicando la i-sima fila por una constante 0k : i jF kF

iv) Reemplazar la fila i-sima por 0k veces la fila j-sima ms la fila i

F :

i j iF kF F +

v) Reemplazar la columna i-sima por 0k veces la columna j-sima ms lacolumna i-sima: i j iH kH H + .

Las operaciones elementales por filas son las mas usuales en la mayora de losproblemas como: Clculo de rango e inversa de una matriz.

Matrices Equivalentes.- Dos matrices yB se denominan equivalentes, si unade ellas se deduce de la otra mediante las transformaciones elementales de lnea yse de nota por A B .


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MATEMTICA BSICA II

46

Las matrices equivalentes tienen el mismo orden e igual rango.

Se dice que una matriz A es equivalente por filasa una matriz B , si B se puedeobtener de por medio de una sucesin finita de operaciones llamadasoperaciones elementales.

Matrices Escalonadas.- Una matrizi j

m x nA a = cuyas filas estn en forma

escalonada se denomina matriz escalonada, es decir cuando es de la forma:

11 12 13 14 1

23 24 2

34 3

...0 0 ...

0 0 0 ...

0 0 0 0 ... 0

. . . . ... .

. . . . ... .

. . . . ... .

0 0 0 0 00

n

n

n

m x n

a a a a a

a a a

a a

A

=

.

Mediante una serie de operaciones elementales sobre sus filas, una matriz puedeser reducida a la forma matriz escalonada reducida si se cumplen las siguientescondiciones:

i) Si una fila no consta todos de ceros, entonces el primer elemento distinto decero es la unidad.

ii) Si existen filas que constan exclusivamente de ceros, entonces estnagrupados en la parte inferior de la matriz

iii) Si las filas , 1j j + arbitrarias y sucesivas que no constan exclusivamente deceros, entonces el primer nmero diferente de cero en la fila 1j + aparecea la derecha del primer nmero diferente de cero en la fila j .

iv) Todas las columnas que contienen el primer elemento diferente de cero dealguna fila tiene ceros en todas posiciones restantes.

Toda matriz que cumple con i), ii), iii) estn en forma escalonada.


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MATEMTICA BSICA II

48

2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3 40 1 13 6 0 1 13 6 0 1 13 6

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 3 1 0 0 0 2 0 0 0 2

0 0 5 2 0 0 0 3 0 0 0 0

( ) 4M = (Seale paso por paso las operaciones elementales aplicadas).

3.-

2 1 1 2

4 2 2 45 2 3 2

1 1 2 8

8 3 2 1

T

=

Solucin

2 1 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0

4 2 2 4 2 4 2 4 2 0 0 0

5 2 3 2 2 5 3 2 2 1 1 2

1 1 2 8 1 1 2 8 1 3 3 68 3 2 1 3 8 2 1 3 2 1 7

T

=

1 0 0 0 1 0 0 0

2 0 0 0 2 0 0 0

( ) 32 1 0 0 2 1 0 0

1 3 0 0 1 3 0 0

3 2 3 3 3 2 3 0

T

=

Observar que se ha aplicado operaciones elementales por columnas.

4.- De los ejemplos 1) , 2 ) y 3) ,tenemos las siguientes matrices equivalentes

a)

2 3 1 1 0

0 1 7 1 4

1 2 4 0 2

2 2 6 2 4

A

=

1 2 4 0 2

0 1 7 1 4

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

B

=


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MATEMTICA BSICA II

49

b)

3 2 2 32 3 3 4

2 4 2 3

5 2 4 2

3 4 2 3

M

=

2 3 3 40 1 13 6

0 0 1 1

0 0 0 2

0 0 0 0

S

=

c)

2 1 1 2

4 2 2 4

5 2 3 2

1 1 2 88 3 2 1

T

=

1 0 0 0

2 0 0 0

2 1 0 0

1 3 0 03 2 3 0

H

=

5.- Las siguientes matrices son escalonadas:

2 3 2 0 4 5 6

0 0 7 1 3 2 0

0 0 0 0 0 6 2

0 0 0 0 0 0 0

T

=

,

0 1 0 0 0 4 0

0 0 0 1 0 3 0

0 0 0 0 1 2 0

0 0 0 0 0 0 1

M

=

Inversin de Matices por el mtodo de Gauss Jordan (Mtodo dePivote)

Este mtodo permite determinar la inversa de una matriz no singulari j

n x nA a = ,

para ello a su derecha dei j n x n

A a = se escribe la matriz identidad n x nI I=

, que tambin se denota por ( , )A I esta matriz es de orden 2n n y a ella se aplica el mtodo de Gauss Jordan hasta lograr que A se

transforme en la matriz identidad y la matriz identidad que figura en el esquema

anterior queda transformado de una matrizi j n x n

B b = que justamente viene a

ser la inversa de la matriz 1B A= .

A I

A I

I B


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MATEMTICA BSICA II

51

2.- Invertir la matriz y generalizar el resultado

1 11 2 31 1 1

2 3 41 1 1

3 4 5

T

=

Solucin

1 1/ 2 1/ 3 . 1 0 0 1 1/ 2 1/ 3 . 1 0 0

1/ 2 1/ 3 1/ 4 . 0 1 0 0 1/12 1/12 . 1/ 2 1 0

1/ 3 1/ 4 1/ 5 . 0 0 1 0 1/12 4 / 45 . 1/ 3 0 1

1 1/ 2 1/ 3 . 1 0 0 1 1/ 2 1/ 3 . 1 0 0

0 1/12 1/12 . 1/ 2 1 0 0 1 1 . 6 12 0

0 0 1/180 . 1/ 6 1 1 0 0 1 . 30 180 180

1 1/ 2 0 . 9 60 60 1 0 0 . 9 36 30

0 1 0 . 36 192 180 0 1 0 . 36 192 180

0 0 1 . 30 180 180 0 0 1 . 30 180 180

Por tanto 19 36 30

36 192 180

30 180 180

T

=


1.- Aplicando las propiedades enunciados, determinar 5 ejemplos de matricessimtricas y antisimtricas de ordenes 3 3 , 4 4 , 5 5

2.- Si

=

34

23A , hallar una matriz B tal que B2= A


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MATEMTICA BSICA II

52

3.-

=

4xaxb

b32 1ba1A es una matriz simtrica, hallar A2 4.- Si

=

100

110

111

A , hallar nA

5.- Si 0k y

=

cos1cos

sen

k

ksenA , hallar nA

6.- Si

=

100

110

111

A , hallar nA

7.- Un hiper-mercado vende una marca de refrigeradoras R y lavadoras L. La

matriz M muestra las ventas de R y L en los dos primeros meses del ao,

la matriz P los precios y de costos del distribuidor de dichos artculos.

Hallar una matriz que muestre el total de ventas y de costos deldistribuidor .

En. Feb.

L

R

=

2321

4332M ,

todeprecio

ventaunitprec

cos

..

180310

250445P

=

8.- Supongamos que queremos calcular la cantidad de dinero que se tiene al

cabo de n aos. Si invertimos$100 a un inters compuesto anual del

5%,6%y 7% .

Si colocamos P dlares durante un ao a un inters r, entonces el valor

que se tiene al final del ao es Capital final (1 )P rP r P= + = + ( Monto)


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MATEMTICA BSICA II

53

Si 1,05 0 00 1,06 0

0 0 1,07

A =

, 100100

100

B =

el producto

1,05 0 0 100 105

0 1,06 0 100 106

0 0 1,07 100 107

AB

= =

de la cantidad que se tiene al

invertir$100 por un ao a los intereses 5%,6% y 7% respectivamente.

Hallar el monto al final del segundo ao y generalizar .

9.- Reducir a la forma escalonada y luego a su forma cannica las siguientesmatrices:

1 2 1 2 1

2 4 1 2 3

3 6 2 6 5

T

=

,

2 3 2 5 1

3 1 2 0 4

4 5 6 5 7

S

=

,

0 1 3 2

0 4 1 3

0 0 2 10 5 3 4

D

=

10.- Hallar el rango de las siguientes matrices

1 3 2 5 4

1 4 1 3 5

1 4 2 4 3

2 7 3 6 13

T

=

,

2 1

3 7

6 1

5 8

C

=

,

1 2 3 2 31 3 2 0 4

3 8 7 2 11

2 1 9 10 3

R

=


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MATEMTICA BSICA II

54

1 3 2 2 31 4 3 4 2

2 3 1 2 9

M =

, 1 3 0 2 11 5 6 6 3

2 5 3 2 1

A =

,

1 3 2 2 3

1 4 3 4 2

2 3 1 2 9

1 3 0 2 1

1 5 6 6 3

2 5 3 2 1

B

=

11.- Por el mtodo de adjuntas y de Gauss, invertir las siguientes matrices:

2 3 4

4 3 1

1 2 4

A

=

,

2 1 0 0

1 0 1 1

0 1 1 1

1 0 0 3

B

=

,

1 2 0 0

1 3 0 0

0 0 2 1

0 0 0 3

C

=

,

1 2 1

1 1 2

2 1 1

D

=

1 1 1 1

1 2 3 4

2 3 5 5

3 4 5 8

E

=

,

3 4 2 7

2 3 3 2

5 7 3 9

2 3 2 3

D

=

,

1 2 1 2

2 2 1 1

1 1 1 1

2 1 1 2

F

=

12.- Verificar que la matriz

0 1 1 0 1

0 0 1 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0

M

=

es nilpotente de ndice 2.

13.- Las siguientes matrices son ortogonales, calcular sus inversas:


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MATEMTICA BSICA II

55

1 1 1 12 2 2 21 2 2 1

3 33 2 3 21 1 1 1

2 2 2 22 1 1 2

3 33 2 3 2

M

=

,

2 1 1 210 10 10 101 1 1 1

2 2 2 21 2 2 1

10 10 10 101 1 1 1

2 2 2 2

S

=

14.- Si las matrices , , ,A B C D son matrices ortogonales de orden n n y

n n es la matriz nula verificar que las matrices

AM

B

=

y

A

BT

C

D

=

son ortogonales.


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MATEMTICA BSICA II

56


58/172

MATEMTICA BSICA II

57

CAPTULO III

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Un Sistema rectangular de m-ecuaciones y n-incgnitas es un conjunto de

ecuaciones lineales de la forma :

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

.

( ) ..

...

n n

n n

m m m n n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + = + + =

+ + =

11 1 2 1

2 1 2 2 2 1

1 2

...

...

. . . .

...

n

m m m n

a a a

a a aA

a a a

=

, se llama matriz de coeficientes del sistema ( )

1

2

1

.

.

.

nn

xx

X

x

=

, se denomina matriz columna de las n-incgnitas del sistema ( )

1

2

1

.

.

.

nm

b

b

B

b

=

, es la matriz de los trminos independiente del sistema ( )


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MATEMTICA BSICA II

58

[ ]

11 1 2 1 1

2 1 2 2 2 1 2

1 2

... .... .

. . . . ..

... .

n

a

m m m n m

a a a ba a a b

M A B

a a a b

= =

, es la matriz aumentada o ampliada

del sistema( )

El sistema ( ) en forma matricial se escribe como AX B=

Si B = es la matriz nula, AX = se llama sistema homogneo y si B se

llama sistema no homogneo.

Para el tratamiento del sistema ( ) de ecuaciones lineales por su importancia enlas aplicaciones en todas las ramas de las ciencias, tenemos el siguiente esquema.

Si m n= el sistema se llama sistema cuadrado, es decir sistema n n

Sistema ()Incompatible oInconsistente

Sistema ()Compatible o

Consistente

No existe

solucin

Fin InfinitasSoluciones

Solucin nica

Determinacinde Soluciones

SISTEMA (

Admite Solucin


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MATEMTICA BSICA II

59

Sin prdida de tiempo, haremos uso de las matrices para resolver sistemascomo ( )

Mtodo de Gauss (Pivote)Se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

1.- Si ( ) ( )aA M el sistema ( ) es incompatible o inconsistente (no

existe solucin)2.- Si ( ) ( )

aA M = = el sistema ( ) es compatible o consistente

(existe solucin)

3.- Si ( )A = y n= nmero de incgnitas, entonces si ( )A n = = ,existe solucin nica y se resuelve la ecuacin directamente.4.- Si ( )A n = < existen infinitas soluciones

Observacin 1.- n = es el nmero de parmetros que tendr el sistema

Observacin 2.- Cuando el sistema ( ) es de n-ecuaciones con n-incgnitas,tambien se aplica la regla de Cramer que es muy comn desde la educacinsecundaria , ahora es el momento que el estudiante debe familiarizarse con elmtodo de Pivote.

Ejemplos

1.- Resolver el sistema

3 5

2 4 11

0 3

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ = + =

Solucin

1 2 1 2

1 2 3 . 5 1 2 3 . 5 1 2 3 . 5

2 1 4 . 11 2 0 3 2 . 1 ( 3 ) 0 3 2 . 1

0 1 1 . 3 0 1 1 . 3 0 0 5 . 8

aM F F F F

= + +

Entonces8

5 85

z z = = ,7

5y= ,

8

58 7

5 58

5

x X

= =

es el vector

solucin.


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MATEMTICA BSICA II

61

3.- Estudiar la compatibilidad o incompatibilidad del sistema2 2 4 6 4

3 6 3 15 3

5 8 17 9

11 7 7

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

+ = + + =

+ = + + + =

Solucin

Multiplicando la primera fila por (1

2 ) tenemos la matriz

1 2

1 2 2

1 3

1 1 2 3 . 2 1 1 2 3 . 233 6 3 15 . 3 0 3 9 6 . 3 1

55 8 1 17 . 9 0 3 11 2 . 1 3

1 1 11 7 . 7 0 2 9 4 . 5

a

F F

F F F

F F

+ = + +

2 3

32 3

1 1 2 3 . 2 1 1 2 3 . 230 1 3 2 . 1 0 1 3 2 . 1 1

0 3 11 2 . 1 2 0 0 2 4 . 2 2

0 2 9 4 . 5 0 0 3 8 . 3

F FF

F F

+ +

3 4

1 1 2 3 . 2 1 1 2 3 . 2

0 1 3 2 . 1 0 1 3 2 . 13

0 0 1 2 . 1 0 0 1 2 . 1

0 0 3 8 . 3 0 0 0 2 . 6

F F

+

, luego

tenemos que ( ) 4 ( )aM n = = = , entonces existe una nica

solucin, por tanto 2 6 3w w= = , 2 1 7z w z+ = = , 28y= ,

35x= { }( 35, 28, 7,3)X= , conjunto solucin.

4.- Determinar la compatibilidad o incompatibilidad del sistema7

3 2 3 2

0 2 2 6 23

5 4 3 3 12

x y z w t

x y z w t

x y z w t

x y z w

+ + + + = + + + =

+ + + + = + + + =


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MATEMTICA BSICA II

62

Solucin

1 2

1 4

1 1 1 1 1 . 7 1 1 1 1 1 . 733 2 1 1 3 . 2 0 1 2 2 6 . 23

0 1 2 2 6 . 23 5 0 1 2 2 6 . 23

5 4 3 3 1 . 12 0 1 2 2 6 . 23

a

F FM

F F

+ = +

2 3

2 4

1 1 1 1 1 . 7 1 1 1 1 1 . 7

0 1 2 2 6 . 23 0 1 2 2 6 . 23

0 1 2 2 6 . 23 0 0 0 0 0 . 0

0 1 2 2 6 . 23 0 0 0 0 0 . 0

F F

F F

+

+

Tenemos que 5 ( ) 3A = es la dimensin del espacio solucin y como

( ) ( ) 2 5a

A M = = < , 5n= nmero de incgnitas, haciendo

, ,z w t = = = , obtenemos que:

16 5

23 2 2 65

, , ,

x

y

zw

t

= + + + =

= =

=

R

16 1 1 5

23 2 2 6

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

X

= + + +

, vector solucin.

5.- Discutir la compatibilidad o incompatibilid del sistema2 2 3 4 3

2 4 5 6 5 1

2 0 3 11 15

x y z w t

x y z w t

x y z w t

+ + =

+ + = + + =


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MATEMTICA BSICA II

63

Solucin

1 2

1 3

1 2 2 3 4 . 3 1 2 2 3 4 . 322 4 5 6 5 . 1 0 0 1 0 3 . 5

21 2 0 3 11 . 15 0 0 2 0 7 . 12

a

F FM

F F

+ = +

1 2 2 3 4 . 3

0 0 1 0 3 . 5

0 0 0 0 1 . 2

( ) ( ) 3 5a

A M = = < ,

entonces existen infinitas soluciones y haciendo y = , w = , 2t= ,3 5 1z t z + = = , 7 2 3x =

7 2 3

, ,1

2

x

y

z

w

t

= =

= =

=

R y

7 2 3

0 1 0

1 0 0

0 0 1

2 0 0

X

= + +

EJERCICIOS

1.- a) Determinar la consistencia o inconsistencia del sistema segn elvalor de m

2 5

2 3 2 2

4 5 3 7

x y z w

x y z w

x y z mw

+ + + =

+ = + + + =

2.- Dado el sistema

=++

=+

+=+

13

1

12

zyx

zmyx

mzymx

, hallar el valor o valores de m

para que:

a) El sistema admita solucin nica

b) El sistema admita infinitas soluciones

c) El sistema no tenga solucin


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MATEMTICA BSICA II

64

3.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por cualquier

mtodo:

=+

=++

=++

=+

=++

=++

=++

=+

=++

522

64

31253

)

4

4

0

)

43

1132

0

)

zy

zyx

zyx

c

zyx

zyx

zyx

b

zyx

zyx

zyx

a

4.- Hallar los valores de bya para que el sistema

=++

=++

=++

1

1

azbyx

bzabyx

zbyax

, tenga

solucin nica .

5.- Analizar la consistencia o inconsistencia del siguiente sistema de

ecuaciones:

a )

=++

=++

=++

53333

4223

1322

wzyx

wzyx

wzyx

b )

=++

=++

=++

12118105

54342

2322

wzyx

wzyx

wzyx

c )

=++

=+++

=++

10863

93442

332

wzyx

wzyx

wzyx

d )

=+

=++

=++

151132

156542

34322

twyx

twzyx

twzyx

6.- Analizar la compatibilidad o incompatibilidad de los siguientes sistemasde ecuaciones y hallar todas las soluciones si existen:

a)

2 2

3 2 4 50 2 3 2

x y z

x y zx y z

+ =

+ = + =

, b)

5 26

2 43 7 34

x y z

x y zx y z

+ =

+ + = + + =

,

c)

3 2 3

2 2 2

3 4

x y z

x y z

x y z

+ =

+ + = + =


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MATEMTICA BSICA II

65

d)2 3 02 4 0

3 3 2 0

6 3 0 73 0

x y z wx y z w

x y z w

x y z w

+ = =

+ + = + + =

, e)2 32 1

5 4 5 7

4 5 5 3

x y z wx y z w

x y z w

x y z w

+ + = + + =

+ = + + =

,

f)

2 10 4 0

3 0 0 0

2 5 4 5

6 0 12

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

+ = + + =

+ + + = + + =

g)

3 2 3 2 4

3 4 4 4 1

3 4 4 2

2 6 10 9 4 1

x y z w t

x y z w t

x y z w t

y z w t

+ + = + + =

+ + = + + + =

, h)

2 3 0

2 4 3 1

2 3 2 3 6

0 2 3 8

0 2 2 3 7

3 4 5 2 0

x y z w t

x y z w t

x y z w t

x y z w t

x y z w t

x y z w t

+ + + =

+ + + = + + =

+ + + = + + + + =

+ + =

7.- En un circuito cerrado la suma de los cambios de voltaje es igual a la sumade las fuerzas electromotrices. Considerando la red de la figura:

El sistema que gobierna al circuito est dado por

=+

=

=+=

3686

2448

12460

21

32

31

321

ii

ii

iiiii

, hallar las

corrientes 321 ,i,i i e interpretar 3i .

6 ohmios 8 ohmios

24 voltios12 voltios

4 ohmios

i1

i2

i2i

1

i3


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MATEMTICA BSICA II

67

Valores Propios y Vectores Propios de una Matriz CuadradaComentarios.- Para el estudio de este captulo es conveniente conocer:1.- Estructuras Algebraicas: Espacios Vectoriales y Transformaciones

Lineales entre espacios vectoriales, estos tpicos deben ser incluidos en laasignatura de lo contrario el desarrollo seria incompleto y pococonsistente.

2.- Por qu no se ensea el Teorema de Cayley-Hamilton desde inicio delcurso para invertir matrices? .Para ello solo se requiere saber multiplicarmatrices cuadradas y se obviara el mtodo de cofactores - adjuntas y elmtodo de Gauss o de Pivote.

Polinomio Caracterstico de una matriz Cuadrada

Seai j n n

M m

= una matriz cuadrada, nI la matriz identidad de orden n n ,

k donde =k R o =k C , entonces [ ]c n n nM I M = se llama matriz

caracterstica de donde:

[ ]

11 12 13 14 1

21 22 23 24 2

1 2 3 4

...

...

. . . . ... .

. . . . ... .

. . . . . .

...

n

n

c n n n

n n n n n n

m m m m m

m m m m m

M I M

m m m m m

= =

( ) det ( )M n n

I M I M = = , se denomina polinomio caracterstico de

la matriz y ( ) det ( ) 0M n n

I M I M = = = se llama ecuacin

caracterstica .

Nomenclatura.- Por simplicidad denotaremos ( ) np I M = al polinomio

caracterstico de y ( ) 0n

p I M = = ecuacin caracterstico.

Teorema (Cayley-Hamilton).- Sii j n n

M m

= tiene polinomio caracterstico

( ) ( )p p M = , esto es, toda matriz es cero o raz de su polinomiocaracterstico .


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MATEMTICA BSICA II

68

Este teorema es muy til para invertir matrices.

Ejemplos

1.- Hallar el polinomio caracterstico de la matriz

1 3 3

3 5 3

6 6 4

M

=

y las

racesde la ecuacin caracterstica.

Solucin

33

1 3 3

( ) 3 5 3 12 166 6 4

p I M

= = + =

3 2( ) 12 16 0 ( 2) ( 4) 0 2 4p y = = + = = =

2.- Halla el polinomio caracterstico de la matriz

1 1 1

1 0 1

0 1 2

M

=

Solucin

3 23

1 1 1( ) 1 1 3 2 2

0 1 2

p I M

= = = + +

Definicin.- Dado i j

n nM m

= podemos formar siempre la ecuacin

polinmica ( ) 0np I M = = y hallar las n races. Estas races son los

valores propios o autovalores de la matriz .

Un escalar R es valor propio, si existe un 0v

,

1

2

.

.

.

v

v

v

v

=

tal que

v v=

, todo vector que satisface esta relacin se llama un vector propio

perteneciente al valor propio y v

tambin es un vector propio.


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MATEMTICA BSICA II

69

Definicin.- Se dice que dos matrices i j n nM m = y i j n nD d = sonsemejantes.

Si solamente si existe una matrizi j n n

P p

= tal que1D P M P= es una

matriz diagonal.

Teorema.- Una matriz i j n n

M m

= es similar o equivalente a una matriz

diagonali j n n

D d

= tiene n-vectores propios linealmente

independientes. En este caso o los elementos de la diagonal de D son los valorespropios correspondientes.

Si P es una matriz cuyas columnas son los n-vectores propios linealmenteindependiente de 1D P MP = .

Ejercicios

1.- a) Hallar el polinomio caracterstico de la matriz

1 3 3

3 5 3

6 6 4

M

=

b) Hallar los valores y vectores propios dec) Hallar la matriz 1/P D P MP= Solucin

a) Del ejemplo (1) ,tenemos

33

1 3 3

( ) 3 5 3 12 16

6 6 4

p I M

= = + =

b)3 2

( ) 12 16 0 ( 2) ( 4) 0 2 4p y = = + = = = son los valores propios.

Si 2= [ ]3 3 3

3 3 3

3 3 3

6 6 6c

M I M

= =

sea v y

z

=

vectores propios, entonces:3 3 3 0 3 3 3 0

3 3 3 0 3 3 3 0

6 6 6 0 6 6 6 0

x x y z

y x y y

z x y z

+ = = + = + =

sumando tenemos


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71

2 1

2 0 4 2 0 4 3 3 3 2 0 01

1 0 3 ( 1 0 3 3 0 3 0 2 0 )2

1 2 3 1 2 3 0 3 6 0 0 2

P P = = + =

1 1

1 3 1 1 3 12 0 02 2 2 2 2 2

1 1 0 1 1 0 0 2 0

1 1 1 1 1 1 0 0 4

2 2 2 2 2 2

P D P MP

= = =

2.- Dado la matriz

2 2 1

1 3 1

1 2 2

M

=

a) Hallar 1 aplicando el teorema de Cayley-Hamiltonb) Diagonalizar la matriz

Solucin

[ ]

2 2 1 2 2 1

1 3 1 ( ) 1 3 1

1 2 2 1 2 2c

M I M p

= = = =

3 2 2( ) 7 11 5 ( 5)( 1)p = + = , entonces los valores propios

son 1 5 = , 2 3 1 = =

Si 5=

3 2 1

1 2 1

1 2 3c

M

=

, sea

v y

z

=

3 2 1 0

1 2 1 0

1 2 3 0

x

y

z

=


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72

3 2 02 0 1, 1, 1

2 3 0

x y zy z x y z

x y z

= + = = = = + =

, entonces 11

1

v =

es un vector

propio.

Si 1=

1 2 1

1 2 1

1 2 1c

M

=

,

r

w s

t

=

1 2 1 0

1 2 1 01 2 1 0

x

y

z

=

2 0

2 0 2 0

2 0

r s t

r s t r s t

r s t

=

= + + = =

es un plano que pasa por el origen de

coordenadas, existen infinitas soluciones

1 2

2 1 1 2 12, 1, 0

1 , 0 1 1 01, 0, 1

0 1 1 0 1

r s tw w P

r s t

= = = = = = = = =

3 2 3 21( ) 7 11 5 ( 7 11 )5

p M M M M I I M M M= + = = + ,

multiplicando por 1 ,1 2 1 21 1( 7 11 ) ( 7 11 )

5 5I M M I M M M I = + = + =

4 2 1

5 5 51 3 1

5 5 51 2 4

5 5 5


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73

Ahora 1

1 1 14 2 41 1 1

4 2 41 1 3

4 2 4

P

=

1

5 0 0

0 1 0

0 0 1

D P MP = =

la diagonal de

la matriz son los valores propios.

Ejercicios

1.- Hallar los polinomios caractersticos de cada una de las matrices

2 3 2

0 5 4 ,

1 0 1

M

=

1 1 0

0 2 0

0 0 1

T

=

,

2 0 0

0 2 2

0 0 1

R

=

,

8 12 0

0 8 12

0 0 8

W

=

2 5 0 0 00 2 0 0 0

0 0 4 2 0

0 0 3 5 0

0 0 0 0 7

S

=

,

3 1 0 0 00 3 0 0 0

0 0 3 1 0

0 0 0 3 1

0 0 0 0 3

U

=

2.- Para toda matrizi j

n nM m

= , probar que

1 1( )n nP MP P M P = ,

donde P es una matriz invertible, en forma ms general1 1

( ) ( )p P MP P p M P

= donde ( )p es el polinomio caracterstico.

3.- Como una aplicacin de (2) si1 0

0 2M

=

y

1 4

1 5P

=

encuentre

1D P MP= y 5D .


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8.- Dado la matriz9 1 8 96 1 5 5

5 1 4 5

4 0 5 4

Q

=

a) Hallar el polinomio caracterstico de Q b) Determinar los valores y vectores propiosc) Hallar la matriz de los vectores propiosQ

d) Hallar 1P aplicando el teorema de Cayley - Hamiltone) Hallar la matriz diagonal 1D P QP= y 3 1 3D P Q P=


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CAPTULO IV

SISTEMA DE COORDENADASTRIDIMENSIONALES Y VECTORES

As como los puntos de un plano 2R pueden colocarse en unacorrespondencia uno-a-uno con parejas de nmeros reales usando dos rectas

coordenadas perpendiculares, tambin los puntos del espacio tridimensional

{ }3 ( x , y , z ) / x , y , z = R R pueden ponerse en una correspondencia uno-a-

uno con ternas de nmeros reales empleando tres rectas coordenadas

mutuamente perpendiculares y se obtiene esta correspondencia en sus orgenesllamados : Eje X , Eje Y y , Eje Z .

Los tres ejes coordenados forman un Sistema Tridimensional deCoordenadas Cartesianas o Rectangulares o simplemente el EspacioEuclidiano 3R y el punto de interseccin de los ejes coordenados se llamaorigen del sistema. Cada pareja de ejes coordenados determinan un plano

llamado un plano coordenado.

Estos planos se denominan planos coordenados: Plano X Y , Plano X Z ,Plano Y Z .

A cada punto P de 3R se le asigna una terna de nmeros ( x , y , z ) llamadas

lascoordenadas deP .

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN 3R

Teorema.- Sean1 1 1

P ( x , y , z ) y 32 2 2

Q ( x , y , z ) , entonces la

distancia d entrelos puntosP y Q es dado por:2 2 2

2 1 2 1 2 10d ( P , Q ) P Q ( x x ) ( y y ) ( z z )= = + +

Demostracin:Hacemos la construccin dada en la figura 3.Por el teorema de Pitgoras,tenemos que:

2 22 2 2 2

2 1 2 1 2 1d ( P , Q ) P R R Q ( x x ) ( y y ) ( z z )= + = + +


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3.- Encuentre la ecuacin de la esfera para la cual el segmento que une los

puntos 2 3 1P ( , , ) , 4 5 3Q ( , , ) es un dimetro.SolucinEl centro de la esfera es el punto medio

11 4 2

2C ( P Q ) ( , , )= + =

y radio de la esfera es 1 1r d ( C , P ) d ( C ,Q )= = = , por tantola ecuacin de la esfera, para un puntoP ( x , y , z ) en ella est dado

por: 2 2 21 4 2 1 1( x ) ( y ) ( z ) + + + =

VECTORES

Introduccin.- Algunas cantidades en las matemticas y otras ciencias, talescomo el rea, volumen, longitud de arco, la temperatura y el tiempo, slo tiene

magnitud y se pueden caracterizar completamente con un solo nmero real (con

una unidad de medida apropiada como 2 3 0cm,cm ,cm , C, mnimo, supremo

etc.) Una cantidad de este tipo es una cantidad escalar y el nmero realcorrespondiente se denomina escalar.

Conceptos como el de velocidad o fuerza poseen tanto magnitud comodireccin y a menudo se representan con flechas o segmentos dirigidos, esdecir, segmentos en los que se seala un sentidoy representan una direccin.A un segmento dirigido se lellama tambin vector.

Sea el conjunto { }1 2 2 1 2 3n n i( v , v , v , ... , v ) / v , i , , , .. ., n= =V R ,

donde sus elementos1 2 2 n

( v ,v ,v ,...,v ) se denomina n-ada de nmeros reales y el

nmeroi

v se llama i-simo componente de1 2 2 n

( v ,v ,v ,...,v ) .

Tenemos las siguientes operaciones ennV :

i) Si 1 2 2 nv ( v ,v ,v , ...,v )= , 1 2 2 n n nw ( w ,w ,w ,...,w ) v w= + V V ii) Si

1 2 2 n nv ( v ,v ,v , ...,v )= V y

nv R V

El conjuntonV provisto de estas dos operaciones tiene estructura de Espacio

Vectorial sobre R , por este motivonV es el Espacio Vectorial n-dimensional y

a sus elementos se les denominan vectores. ( nnV R )


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Cuando 2n= , 2V

es el Espacio Vectorial Bidimensional, cuando 3n= , 3V

esel Espacio Vectorial Tridimensional.

Por tanto un vector denV es una n-ada de nmeros reales que denotaremos por

1 2 2 nv ( v ,v ,v , ...,v )=

, un vector de2V es un par ordenado de nmeros reales

1 2v ( v ,v )=

y un vector de3V es una terna de nmeros reales 1 2 3v ( v ,v , v )=

.

Nuestro trabajo estar centrado para los casos2V y

3V donde se dan todas las

aplicaciones reales y concretas.

Si un vector va de un punto P (punto inicial) a un punto Q (punto final) ,ladireccin se indica colocando una flecha sobre el segmento PQ y el vector se

denota y se define por v PQ Q P = =

.

Figura 1

Paradeterminar un vector aplicado v PQ=

ser necesario precisar lo siguiente:

1.- Su punto de aplicacin, que es el origen P.

2.- Su direccin, es aquella con el que se recorre el segmento PQ cuando

se va desde el origen Phasta el extremo Q .

3.- Su magnitud de v PQ=

es la longitud de PQ y se denota por

v PQ=

Se dice que dos vectores aplicados v PQ=

y v PQ=

son paralelos, cuando

estn contenidos en una misma recta o en rectas paralelas.


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Figura 2

Dos vectores aplicados v PQ=

y w RS=

son equipolentes o equivalentes, sitienen el mismo mdulo (magnitud) y la misma direccin (pueden tener

distintos puntos de aplicacin) y se expresa esta relacin escribiendo v=

w

.

Radio Vector.- Es el vector aplicado cuyo punto inicial u origen coincide conel origen de coordenadas del sistema en referencia. Al radio vector se

denomina tambin Vector de Posicin.

Figura 3

IGUALDAD DE VECTORES

a) Dos vectores 1 2v ( v ,v )=

, 1 2w ( w ,w )=

2V , 1 2i iv w v w ,i ,= = =

b) Dos vectores

1 2 3v ( v ,v ,v )=

,1 2 3

w ( w ,w ,w )=

3V ,

1 2 3i i

v w v w ,i , ,= = =

Adicin de Vectores.- Si1 2 2 n

v ( v ,v ,v , ...,v )=

,1 2 2 n n

w ( w ,w ,w , ...,w )= V ,

entonces1 1 2 2 n n

v w ( v w ,v w ,...,v w )+ = + + +

. El punto inicial de wse coloca en

el punto final de v

, entonces la suma o resultante v w+

es el vector cuyo punto

inicial est dado en el punto inicial de v

y su punto final est dado en el

extremo de w

.


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MATEMTICA BSICA II

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Figura4

La adicin de vectores tiene las siguientes propiedades:

1.- Conmutativa: v w w v+ = +

(Figura 5)

2.- Asociativa: ( v w ) u v ( w u )+ + = + +

(Figura6)

3.- Para cualquier vector v

, existe un nico vector0

tal que

0 0v v v+ = + =

4.- Para cada vector v

, existe un nico vector v

tal que 0v ( v )+ =

(Figura 7)

Figura 5 Figura 6 Figura 7

Diferencia de Vectores.- Si1 2 2 n

v ( v ,v ,v , ...,v )=

,1 2 2 n n

w ( w ,w ,w , ...,w )= V .

Entonces 1 1 2 2 n nv w ( v w ,v w ,...,v w ) =

.Geomtricamente v w

es el

vector cuyo origen es el punto final de w

y cuyo extremo es el punto final de

v

.


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Figura 8

Multiplicacin de un vector por un nmero real.- Si

1 2 2 n nv ( v ,v ,v ,...,v )=

V y 1 2 2 n n

v ( v , v , v ,..., v ) =

V .

Figura 9

Vectores Paralelos.- Dos vectores:

1 2 2 nv ( v ,v ,v , ...,v )=

,1 2 2 n n

w ( w ,w ,w , ...,w )=

V son paralelos, si uno de ellos

es igual al producto del otro por un nmero real. Esto es:

v // w ,k / v w w k v = = , para algunos ,k .

Figura 10


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Geomtricamente los vectores nv ,w

V son ortogonales, si las diagonales delparalelogramo formado por v y w

son de igual magnitud, es decir el

paralelogramo es un rectngulo.

Figura 12

Como el vector nulo 0

tiene direccin arbitraria, entonces 0

es perpendicular a

cualquier vector.

Teorema1.- Para dos vectores1 2 2 1 2n n n

v ( v ,v ,v ,...,v ) , w ( w , w ,..., w )= =

V ,

tiene que

2 2

4v w v w ( v .w )+ =

.

Teorema 2.- Dos vectores1 2 2 1 2n n n

v ( v ,v ,v ,...,v ) , w ( w , w ,..., w )= =

V son

ortogonales 0v .w =

Teorema 3.- Dos vectores1 2 2 1 2n n n

v ( v ,v ,v ,...,v ) , w ( w , w ,..., w )= =

V son

ortogonales v w v w + = +

(Teorema de Pitgoras)

Demostracin

2 2 2

2 2v w ( v w ).( v w ) v .v v .w w .w v w v .w+ = + + = + + = + +

Entonces2 2 2

2 0 0v w v w v .w v .w v w+ = + = =

Por consiguiente v w 2 2 2

v w v w + = +

.


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88

Figura 13

PROYECCIN ORTOGONAL DE UN VECTOR

Definicin.- Sean 1 2 2 1 2n n nv ( v ,v ,v ,...,v ) , w ( w , w ,..., w )= =

V , con 0w

,

entonces la proyeccin ortogonal v

sobre w

(o proyeccin de v

en la

direccin de w

) es el vectorw

Pr oy v

definido por2w

v .wPr oy v w

w=

Figura 14

COMPONENTE

Definicin.- Sean 1 2 2 1 2n n nv ( v ,v ,v ,...,v ) , w ( w , w ,..., w )= =

V , con 0w

,

entonces el componente (o proyeccin escalar) del vector v

en la direccin del


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MATEMTICA BSICA II

89

vectorw

, es el nmero real denotado por wComp v

y definido como

w

v .wComp v

w=

.

Adems la relacin que existe entrew

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