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Mat. ANDRÉS YNOÑÁN JIMÉNEZ

MATEMÁTICA BÁSICA

ECUACIONES POLINÓMICAS

ECUACIONES

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PRESENTACIÓN

El curso de Matemática Básica pertenece al plan de estudios de la escuela de Ingeniería Civil de

la Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo, estos apuntes se han redactado para

complementar las clases de la primera parte de la asignatura mencionada, de manera que se

logre profundizar en los aspectos teóricos; para el mejor aprovechamiento de las clases, se

recomienda dar una lectura al tema correspondiente antes de las mismas.

Deseándoles éxitos en su carrera de futuros ingenieros, quedo a vuestra disposición para

cualquier crítica, sugerencia, comentario que deseen hacer sobre este material.

EL AUTOR

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ÍNDICE

PRESENTACIÓN………………………………………………………………………..2

ÍNDICE…………………………………………………………………………………….3

ÍNDICE DE FIGURAS …………………………………………………………………..5

LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS………………………………………….6

INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………7

CAPÍTULO I: EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES

1.1. Los enteros y los números racionales………………………………………...8

1.2. Los Números Reales………………….………………………………………...9

1.3. Orden…………………………………….……………………………………….10

1.4. Expresiones decimales………………………………………………………...11

1.5. Valor Absoluto…………………………..……………………………………….12

1.6. EJERCICIOS PROPUESTOS……….………………………………………...14

CAPÍTULO II: NÚMEROS COMPLEJOS

2.1. Operaciones Racionales con Números Complejos………………………….17

2.2. Representación Geométrica…………………………………………………….20

2.3. Operaciones con Números Complejos en Forma Polar……………………..22

2.4. Extracción de raíces de un número Complejo……………………………...24

2.5. Raíces n-ésimas de la unidad………………………………………………...28

2.6. EJERCICIOS PROPUESTOS…………………………………………………..30

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CAPÍTULO III: ECUACIONES POLINÓMICAS

3.1. Ecuaciones…………………..…………………………………………………….34

3.2. Ecuación Lineal………………..…………………………………………………..35

3.3. Ecuación cuadrática……….………………………………………………………36

3.4. Polinomios…………….…………………………………………………………….39

3.5. Raíces Racionales de un polinomio con coeficientes enteros……………….42

3.6 EJERCICIOS PROPUESTOS…………………………………………………….51

REFERENCIAS…………………………………………………………………….........59

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ÍNDICE DE FIGURAS

1. Diagrama de Argand……………………………………………………………..17

2. Conjugado de un número complejo……………………………………………19

3. Coordenadas polares de un número complejo……………………………….20

4. Raíces cúbicas de la unidad…………………………………………………….28

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LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS

: y

: o

: entonces

: si, y sólo si

: para todo

: existe algún

! : existe un único

: es equivalente a

: es subconjunto de

: intersección

: unión

: por lo tanto

: valor absoluto, ó modulo.

1i : unidad imaginaria

)Re(z : parte real de z

)Im(z : parte imaginaria de z

R : Números reales.

C : Números complejos

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INTRODUCCIÓN

En la formación en ingeniería, la Matemática desempeña un rol capital, y el sostén de la estructura

de conocimientos a adquirir lo constituye la Matemática Básica.

Si bien el presente trabajo está basado en las clases que el autor impartió durante los semestres

2010-I y 2011-I en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Católica Santo Toribio de

Mogrovejo, se ha profundizado en algunos temas (que por falta de tiempo no se llegan a cubrir)

con el propósito de fundamentar más la teoría y que sirvan de fuente de consulta no sólo durante

el semestre en curso sino para ulteriores necesidades; ya que a lo largo de su carrera, los

estudiantes siempre encuentran algunos vacíos.

El tema central del trabajo son las Ecuaciones Polinómicas, cuya importancia estriba en que toda

ecuación algebraica puede transformarse en una de éstas. Lo mismo se aplica para las

inecuaciones que pueden reducirse a comparar una expresión algebraica con cero. Pues bien el

problema consiste en hallar los ceros de un polinomio con coeficientes racionales; aunque en

muchos problemas, los coeficientes son obtenidos por medio de mediciones, por tanto tendrán

que aproximarse a números racionales.

Se ha pretendido que la teoría presentada sea suficiente para abordar este problema y se ha

ilustrado con numerosos ejemplos tratando de sistematizar el procedimiento, combinando en un

mismo problema hasta tres recursos para hacerlo más eficiente; a ello contribuyen la Regla de

Descartes y los límites o cotas de las raíces para restringir a un intervalo la localización de esas

raíces, descartando las que caen fuera de esos límites y reduciendo el número de ensayos para

comprobar si son o no raíces racionales.

El material consta de tres capítulos. El primero trata del conjunto de los números reales dotado

con una estructura de campo y una relación de orden. El segundo, del conjunto de los números

complejos, base para el estudio de las ecuaciones Polinómicas, enfatizando en la extracción de

raíces y analizando las raíces n-ésimas de la unidad. El tercer capítulo trata de las ecuaciones

Polinómicas, donde el Teorema de las raíces racionales no proporciona las “otras raíces”; en

realidad, este problema no es sencillo, se incluye la Regla de Descartes y la acotación de raíces,

que son temas no muy tratados, pero que no son restrictivos respecto a la naturaleza de los

coeficientes y a las raíces del polinomio, y valen, por tanto, para analizar cualesquiera de éstos.

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CAPÍTULO I

EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES

Lord Kelvin afirmaba: “Cuando aquello de lo que se está hablando puede medirse y expresarse

con números, se sabe algo acerca del mismo; pero cuando no puede medirse, cuando no puede

expresarse en números, el conocimiento es de calidad pobre e insatisfactorio.”

Con esta frase Kelvin quiso destacar que los sistemas numéricos son herramientas indispensables

para comprender el mundo en que vivimos.

Se podría preguntar si contamos con un sistema numérico adecuado para satisfacer las

demandas del mundo donde nos desarrollamos.

Los conjuntos N de los números naturales, Z (del alemán zahlen) de los números enteros y Q de

los números racionales, proporcionan medios para el establecimiento de modelos en muchas

áreas de razonamiento cuantitativo como el contar, comparar, ordenar, medir codificar, etc. Si

tenemos en cuenta que N Z Q, podría pensarse que los números racionales son lo último en

sistemas numéricos, sin embargo son insuficientes para medir todas las longitudes, por lo que hay

que introducir los números irracionales I. La unión de Q e I forma el conjunto de los números

reales que se denota con R, es decir, R=Q I.

El conjunto R de los números reales representa un paso importante en el desarrollo de los

conceptos y métodos cuantitativos, siendo lo suficientemente rico para satisfacer nuestras

necesidades así como para describir y realizar razonamientos acerca de procesos de

aproximación.

1.1. Los enteros y los números racionales.

Los números más simples son los números naturales 1, 2, 3, 4, 5,6,...

Con ellos podemos contar nuestros libros, nuestros amigos, nuestro dinero; si agregamos sus inversos aditivos y el cero, obtenemos los enteros:

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...

Cuando tratamos de medir longitudes, pesos o voltajes, los enteros son inadecuados. Están

demasiado espaciados para dar la suficiente precisión. Llegamos a considerar los cocientes

(razones) de los enteros, como números, tales como

1

14,

3

15,

2

17,

4

19,

7

6,

5

4

- 9 -

Los números que se pueden escribir en la forma nm

, donde m y n son enteros y 0n , se

llaman números racionales.

¿Sirven los números racionales para medir todas las longitudes? No. Este

sorprendente hecho fue descubierto por los antiguos griegos, demostraron que a pesar de

que 2 mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos lados tienen longitudes

unitarias, no puede escribirse como cociente de dos enteros. Por tanto, 2 es un irracional

(no racional). También lo son ,2,5,3 3

.

1.2. Los Números Reales

Considérese al conjunto de todos los números (racionales e irracionales) que pueden

medir longitudes, junto con sus inversos aditivos y el cero. Esos números se llaman

números reales.

Las cuatro operaciones aritméticas: Dados dos números reales x , y podemos

sumarlos o multiplicarlos para obtener dos nuevos números reales yx y yx. .La

adición y la multiplicación tienen las siguientes propiedades de campo.

PROPIEDADES DE CAMPO

1. Conmutativas. xyyx yxxy

2. Asociativas. zyxzyx )()( zxyyzx )()(

3. Distributiva. xzxyzyx )(

4. Elementos Neutros. Hay dos números distintos, 0 y 1, que satisfacen las identidades

xx 0 y xx 1.

5. Inversos. Cada número tiene un inverso aditivo (opuesto), x , que satisface

0)( xx

Además, cada número x , excepto cero, tiene un inverso multiplicativo (recíproco), 1x , que satisface

1. 1 xx .

La sustracción y la división se definen por:

)( yxyx y

1. yxy

x

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PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN : “En cualquier proposición concerniente a los números reales,

todo número real puede ser reemplazado por su igual sin alterar el valor veritativo de tal

proposición”

Como ejemplo, para los casos de adición y multiplicación se tiene

Si a=b y c=d, entonces a+c=b+d

Si a=b y c=d, entonces ac=bd

TEOREMA: Sean a y b números reales, entonces:

000 baab

1.3. Orden. Los números reales distintos de cero se separan en forma adecuada en dos

conjuntos disjuntos –Los números reales positivos y los números reales negativos.

Esto permite introducir la relación de orden < (“es menor que”) mediante

Se acepta que yx y xy significan lo mismo.

Entonces, si –3<-1, también –1>-3.

La correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos sobre una recta

puede ser utilizada para ilustrar geométricamente la relación de orden <. La relación

yx establece que al graficar en una recta, el número x se encuentra a la izquierda

del número y.

PROPIEDADES DE ORDEN

1. Tricotomía. Si x y y son números, se cumple una y sólo una de las siguientes

propiedades:

yx o yx o yx

2. Transitividad. yx y zy zx

3. Aditiva. zyzxyx

4. Multiplicativa. Si 0z y yzxzyx

Si 0z y yzxzyx

Obsérvese que R, provisto de una relación de igualdad (=); dos operaciones: adición y

multiplicación; y una relación de orden ya no es un simple conjunto, sino lo que se conoce

como el sistema de los números reales.

xyyx es positivo

- 11 -

1.4. Expresiones decimales.

Todo número racional admite representación decimal que puede obtenerse mediante el

algoritmo de la división. Por ejemplo

...181818.1

11

13

...6666,13

5

375,08

3

También los números irracionales pueden expresarse como decimales. Por ejemplo

...7320508,13

...41421356,12

...14159265,3

La representación decimal de un número racional o bien es finita o se repite en ciclos

regulares hasta infinito. Un decimal finito puede ser considerado como uno en el que

se repiten ceros como en ...375000,0375,0

8

3

Por tanto, todo número racional puede escribirse como un decimal periódico. Es un

hecho notable que el inverso también es cierto. Todo decimal periódico representa

un número racional. Esto es obvio en el caso de un decimal finito (por ejemplo,

2,135= 1000

2135

).

EJEMPLO. Los decimales periódicos son racionales. Demuestre que

...167167167,0x y ...2434343,0y

Representan sendos números racionales.

Solución: Restamos x de 1000x para después despejar x.

1000x=167,167167...

x= 0,167167...

999x=167

999

167x

- 12 -

En forma similar,

990

241

99

1,24

24,1=99y

..0,2434343. =y

...24,3434343=100y

y

En general, el primer paso consiste en multiplicar un decimal periódico z por m10 si

los decimales que se repiten en cada ciclo constan de m dígitos.

Las representaciones decimales de números irracionales no se repiten en ciclos.

Recíprocamente, un decimal no periódico debe representar un número irracional. Por

ejemplo,

0,101001000100001...

2,010011000111...

1,20878877888777...

representan números irracionales.

R

Números racionales Q

(decimales periódicos)

Números irracionales I

(decimales no periódicos)

1.5. Valor Absoluto.

Definición Sea Ra . El valor absoluto de un número real a se denota por a y se define

0

00

0

aaa

aa

aaa

Ejemplos:

1. 1212

2. 4)4(4

3. 12)21(21

, pues 021

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PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

1. baab

2. b

a

b

a

3. baba Desigualdad triangular

Interpretación Geométrica Una de las mejores formas de pensar en el valor absoluto

consiste en hacerlo como distancia (no dirigida). En particular, a

es la distancia entre a y

el origen. En forma semejante, ax

es la distancia entre x y a .

44 44

-4 0 4

532)2(3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

xaax

a x

Definición La distancia entre dos puntos P y Q cuyas coordenadas son a y b

respectivamente se define por

baQPd ),(

EJEMPLOS

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1. Determina la distancia entre los puntos P y Q cuyas coordenadas son –2 y 5

respectivamente.

7752),( QPd

Calcula ),( PQd y compara el resultado anterior.

2. ¿Cuáles son los puntos que se encuentran a 3 unidades del punto Q cuya coordenada es

5?

Sea x la coordenada de los puntos que verifica tal condición.

Se sabe que 5),( xQPd

y esta distancia es de 3 unidades, es decir 35 x

Por definición de valor absoluto esta ecuación admite dos posibilidades:

8

35

x

x

ó 2

35

x

x

Gráficamente se trata de encontrar los puntos que distan 3 unidades del punto Q.

3 3

x 5 x

Es fácil identificar cuáles son esos números, 2 y 8 son los únicos números que distan 3

unidades del número 5.

3. Determina el conjunto de puntos que equidistan del punto 3 en menos de 2 unidades. Solución: Sean x las coordenadas de los puntos que satisfacen la condición dada,

51232232),( xxxQPd

Los números reales que verifican tal condición se encuentran en el intervalo 5;1 .

1.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Simplifique

a) )95(2)136(34

b)

5

1

3

1

2

1

5

2

3

1

c) 625,04

3

d) )11

25(572,0

- 15 -

e) 98,0

7

51

f)

8

7

4

3

2

18

7

4

3

2

1

g)

4

32

21

h) 333 16242

i)

2

22

5

2

1

j)

...0666,2...111,3

10

9...0555,0...666,05,0

k)

n

11...

6

11

5

11

4

11

3

11

l) 85072

2

2. ¿Cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles irracionales?

4 375,0

21

231

2523

25

3.

Es la suma de dos números irracionales, necesariamente irracional?

4. Cambie los decimales periódicos por una razón entre enteros 0,123123123... 0,217171717... 2,56565656... 0,39999999... 3,2272727...

5. Encuentre un número racional entre 37

17

y 111

52.

6. ¿Cuál es el cociente de dividir la fracción decimal periódica 1,0111..., entre la fracción decimal periódica 0,0909...?

7. Halle el valor de 12

12

8. Halla lo que le falta a la mitad de del triple de los 4/7 de la octava parte de 28/3 para ser igual al doble de las 2/5 partes de la cuarta parte de 35.

9. Determina el valor de 26,3691,0

10. Determina las coordenadas de los puntos que se encuentran a 5 unidades del punto Q cuya coordenada es –3.

11. Encuentra el conjunto de todos los puntos que distan a lo más en 2 unidades del punto Q cuya coordenada es 5

12. Encuentra el conjunto de todos los puntos que distan por lo menos 2 unidades del punto Q cuya coordenada es 5

13. Las edades de los alumnos de una clase oscilan entre 16 años 2 meses y 18 años 7meses. Determina un intervalo en el que estén contenidas estas edades (en meses); asimismo encuentra un intervalo en el que estén las edades de sus padres, suponiendo que éstos tienen el doble de meses de vida que sus hijos.

16

CAPÍTULO II

NÚMEROS COMPLEJOS

Las extensiones graduales de los sistemas de números permiten realizar las

operaciones racionales involucrando números y también la nueva operación de extraer

la raíz de un número positivo. Sin embargo no todas las operaciones pueden llevarse a

cabo en el dominio de los números reales. Por ejemplo es imposible extraer la raíz

cuadrada de un número negativo.

Mientras que la ecuación 012 x es resuelta en el dominio de Q: 1x , y la

ecuación 022 x es resuelta en el dominio de R: 2x , la ecuación 012 x

no tiene raíces reales. Así, ecuaciones aparentemente similares de grado dos,

01y ,01 22 xx resultan ser extremadamente diferentes en cuanto a sus

propiedades: una tiene dos soluciones, la otra no tiene solución! Esta situación puede

ser rectificada introduciendo un nuevo tipo de los así llamados números complejos que

extienden el conjunto de los números reales (así como el conjunto de números

racionales extiende el conjunto de los enteros, etcétera).

Introduciendo el símbolo i , llamado unidad imaginaria, que satisface la ecuación

012 x :

1 o 01 22 ii

Considerando el conjunto de todos los binomios de la forma

bia

donde ba , son números reales arbitrarios, conviniendo en llevar a cabo las

operaciones de adición, sustracción y multiplicación de estos binomios de acuerdo con

las reglas ordinarias del álgebra con la única condición adicional:

1. 2 iii

El conjunto 1,,/ 2 iRbabiaC es llamado el conjunto de los números

complejos. Con respecto al número complejo biaz , el número a se llama la parte

real de z y se denota a=Re(z), y el número b se llama la parte imaginaria de z y se

denota por b=Im( z ). El número complejo bia puede también ser representado por

el par ordenado ),( ba y ploteado como un punto en un plano (llamado plano de

Argand), a éste número complejo se le llama el afijo del punto. Como cada punto del

plano se determina completamente por el radio vector de este punto, a cada número

complejo le corresponde un vector determinado, situado en el plano y que va del

origen al punto que corresponde al número complejo. De esta manera, los números

complejos pueden representarse tanto por puntos como por vectores. Así el número

complejo ii .10 es identificado con el punto (0,1) y con el vector unitario en la

17

dirección del eje Y. En el plano de Argand el eje X es llamado eje real y el eje Y, eje

imaginario.

Dos números complejos bia y dic son iguales si dbca y . Para los

números complejos no existen los conceptos de “mayor” y ”menor” .

Los números reales son considerados como un caso especial de los números

complejos. Esto significa que si la parte imaginaria de un número complejo es 0, en

lugar de iaz 0 se escribe az y no se distinguirá entre este número complejo y

el número real a . En particular, un número complejo es igual a cero si y sólo sí sus

partes real e imaginaria son iguales a cero; 000 babia

Un número complejo en el que la parte real es cero puede también ser escrito como

biz y es llamado un número imaginario puro. El término “número imaginario” es

ordinariamente usado para señalar que el número complejo biaz no es real, esto

es, que tiene una parte imaginaria no nula 0b .

Fig. 1. Plano de Argand

2.1) Operaciones Racionales con Números Complejos.

La suma y la diferencia de dos números complejos se definen sumando o

sustraendo sus partes real e imaginarias

idbcadicbia

idbcadicbia

)()()()(

)()()()(

Por ejemplo: iiii 65)71()41()74()1(

El producto de números complejos es definido de modo que las leyes conmutativas y

distributivas usuales se verifican:

ibcadbdac

bdibciadiac

dicbidicadicbia

)()(

))(()())((

2

18

EJEMPLO 1.

i

ii

iiiii

1113

)1(15652

)52(3)52)(1()52)(31(

El producto de dos o más factores puede ser encontrado por multiplicación sucesiva.

Las potencias naturales de un número complejo, por ejemplo 32 )( ,)( biabia y en

general nbia )( pueden ser encontradas por medio de fórmulas para el cuadrado de

una suma, el cubo de una suma y, generalmente, por el teorema del binomio. Es

entonces conveniente hacer uso de la regla general para elevar la unidad imaginaria i

a cualquier potencia entera positiva. Puesto que:

1 , ,1 432 iiii

Y después: kkn ii 4

EJEMPLO: Encuentre (a) 98 i , (b) 259i .

(a) 98=4(24)+2, entonces 1298 ii

(b) 259=4(64)+3, y así iii 3259

EJEMPLO: Calcular 3)32( i .

Usando la fórmula para el cubo de una suma:

iiiiiii 94627543682754368)32( 323 .

Complejo conjugado Del número biaz , es biaz _

Obviamente zz

El producto de dos números complejos conjugados es un número real no negativo:

22_

))(( babiabiazz

El número zbazz 22_

es llamado el módulo del número complejo bia . El

módulo de un número complejo es su distancia al origen.

19

La división de números complejos es muy similar a la racionalización del denominador

de una expresión racional. Para encontrar el cociente de dos números complejos se

multiplica numerador y denominador ( 0 ) por el conjugado del denominador. El

procedimiento siempre funciona: 2

_

_

_

w

wz

ww

wz

w

z , 0w . En particular

2

_

_

_

1

w

w

ww

w

w

EJEMPLO 2. i

i

52

31

ii

i

i

i

i

i

i

29

11

29

13

52

1113

52

52.

52

31

52

3122

La interpretación geométrica del complejo conjugado es mostrado en la figura 2: _

z es

la reflexión de z con respecto al eje real.

Figura 2. Conjugado de un número complejo

PROPIEDADES DE LA CONJUGADA:

1. zz _

2. wzwz

3. wzzw

20

4. w

z

w

z

En conclusión, todas las operaciones racionales, excepto la división por cero puede

ser llevada a cabo con números complejos y el resultado es siempre un número

complejo. Por lo tanto los números complejos forman un campo numérico llamado el

campo de los números complejos. La diferencia esencial que presenta con relación

al campo de los números reales consiste en que no es ordenado. En efecto, si fuera

ordenado, con 0i , caben dos posibilidades: 0 0 iói .

En el primer caso, 010.0. 2 iiii , lo que es absurdo.

En el segundo caso, 010.0.0 2 iiiii , lo que también es absurdo.

2.2) Representación Geométrica.

Para obtener el vector que representa la suma o la diferencia de dos o varios números

se deben sumar o restar los vectores que representan estos números según las reglas

de las operaciones con los vectores como la regla del paralelogramo o de la poligonal.

FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA. La expresión de un número complejo

biaz se llama forma algebraica o binómica; si en lugar de las coordenadas

cartesianas del punto que representa al número complejo ),( ba , se introducen sus

coordenadas polares ),( r con 0r , se tienen las relaciones sen ,cos rbra ;

como en la figura 3.

Figura 3. Coordenadas polares de un número complejo

Por tanto irrbiaz )sen(cos , así se puede escribir cualquier número

complejo en la forma:

)sen(cos irz

donde 22 bazr y a

btan

NOTACIONES ALTERNATIVAS:

irerrcisisenr )(cos

21

El ángulo es llamado el argumento de z y se escribe )arg( z . Note que )arg( z

no es único; cualesquiera dos argumentos de z difieren en un entero múltiplo de 2 .

NOTA. Para dos números conjugados se cumple que son simétricos con respecto al

eje real, sus módulos son iguales y sus argumentos se diferencian en el signo.

EJEMPLO 3. Escribir los siguientes números en forma polar (o trigonométrica).

(a) iz 1 (b) iw 3 (c) i3 (d) -10

SOLUCIÓN:

(a) 211 22 zr y 1tan , así se puede tomar 4 .

Por lo tanto la forma polar es

44cos2

isenz

(b) 213 wr y 3/1tan . Puesto que w está en el cuarto cuadrante,

se toma 6

66cos2

isenw

(c) 3r , puesto que el afijo está en el eje Y, 2/ .

22cos33

iseni

(d) 10r , por estar en la parte negativa del eje X,

isen cos1010

EJEMPLO 4: Escribir las expresiones binomias y trigonométricas de los seis afijos

que ocupan los vértices de un exágono regular de lado 4. El primer vértice coincide

con el origen y el primer lado coincide con el eje real.

22

SOLUCIÓN: Se sugiere hacer un diagrama del exágono, los seis afijos son:

1. 0+0i 0(cos0°+isen0°)=0cis0°

2. 4+0i 4(cos0°+isen0°)

3. i326 )3030(cos34 isen

4. i344 )6060(cos8 isen = 608

5. i340 )9090(cos34 isen

6. i322 )120120(cos4 isen

2.3) Operaciones con Números Complejos en Forma Polar

La forma polar de los números complejos da una idea para multiplicar y dividir.

Sean: )(cos )(cos 22221111 isenrzisenrz dos números complejos

escritos en forma polar. Entonces

)()cos(

)coscos()cos(cos

))(cos(cos

212121

2121212121

22112121

isenrr

sensenisensenrr

isenisenrrzz

Esta fórmula dice que para multiplicar dos números complejos se multiplican los

módulos y se suman los argumentos. Geométricamente el vector que representa el

producto 21zz se obtiene haciendo girar el primer vector un ángulo igual al

argumento del segundo, en sentido anti horario, y alargándolo después por el

módulo del segundo vector. En particular, al multiplicar un número z por i , el

vector que representa al número z gira un ángulo 2/ sin alterar su longitud.

Un argumento similar muestra que para dividir dos números complejos se dividen

los módulos y se restan los argumentos. Geométricamente el vector que

23

representa el cociente 21 / zz , se obtiene haciendo girar al vector que representa al

número 1z el ángulo )arg( 2z en sentido horario, contrayéndolo después 2z veces.

0 )()cos( 22121

2

1

2

1 zisenr

r

z

z

En particular, tomando zzz 21 y 1 , (y por lo tanto 21 y 0 ), se tiene:

)(cos11

)(cos isenrz

isenrz , que se ilustra en la figura.

EJEMPLO 5: Encuentre el producto de los números i1 y i3 en forma polar.

SOLUCIÓN: Se tiene:

44cos21

iseni

66cos23

iseni

1212cos22

6464cos22)3)(1(

isen

isenii

24

El uso iterado de la fórmula para el producto muestra como calcular potencias de

un número complejo.

)33(cos y

)22(cos entonces

)(cos Si

323

22

isenrzzz

isenrz

isenrz

TEOREMA.(de De Moivre´s) Si )(cos isenrz y n es un entero positivo,

entonces:

)sen(cos)(cos ninrisenrz nnn

Para elevar a la enésima potencia de un número complejo, se eleva a la enésima

potencia el módulo y se multiplica el argumento por n . En notación compacta:

nrzrz nn ciscis

EJEMPLO 6: 215cis243)215215(cos243)4343(cos35

isenisen .

El teorema también es válido para potencias enteras negativas: )cis(- nrz nn

Si el número estuviera dado en su forma algebraica o binómica, se escribe primero

en su forma polar y se eleva a la potencia necesaria usando De Moivre´s. Esta

relación es muy importante su efectividad en la resolución de diversos problemas.

EJEMPLO 7: Hallar sen2y 2cos en términos de cosy sen

SOLUCIÓN. Por De Moivre´s: isen22cos)sen(cos 2 i

Desarrollando el primer miembro:

)sencos2(sencossensencos2cos)sen(cos 222222 iiii .

Igualando las partes reales e imaginarias:

cossen2sen2y sencos2cos 22

2.4) Extracción de raíces de un número Complejo.

El teorema de De Moivre´s puede ser usado para encontrar las n raíces de un

número complejo. Una n-raíz del número complejo z es un número complejo

w tal que zwn .

Escribiendo estos dos números en forma polar como:

)(cosy )(cos isenrzisensw

25

Usando De Moivre´s: )(cos)sen(cos isenrninsn

nn rsrs /1

sennn seny coscos

Puesto que el seno y el coseno tienen periodo 2 se sigue que:

n

kkn

22

Así

n

kisen

n

krw n 22

cos/1

Puesto que esta expresión da diferentes valores de w para k=0, 1, 2, …, n-1,

se tiene lo siguiente:

RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO: Sea )(cos isenrz y sea n un

entero positivo. Entonces z tiene las n raíces distintas:

n

kisen

n

krw n

k

22cos/1 , k=0, 1, 2, …, n-1

Note que cada una de las n raíces de z tiene módulo n

k rw /1 . Así todas las

n raíces de z caen en una circunferencia de radio nr /1 en el plano complejo.

También, puesto que los argumentos de cada raíz enésima sucesiva excede al

argumento de la raíz previa por n/2 , las n raíces de z están igualmente

espaciadas sobre esta circunferencia.

EJEMPLOS:

1. Encontrar todos los valores de las raíces (a) 4 16 , (b) 3 27 .

Solución. (a) En forma polar el número complejo -16 es:

)(cos1616 isen

Usando la fórmula con n=4:

4

2

4

2cos1616 44 k

isenk

wk , para k=0, 1, 2 y 3:

26

)1(24

7

4

7cos2

)1(24

5

4

5cos2

)1(24

3

4

3cos2

)1(244

cos2

3

2

1

0

iisenw

iisenw

iisenw

iisenw

(b) )00(cos2727 isen , con n=3 la fórmula da:

iw

iw

w

kisen

kwk

2

3

2

13

2

3

2

13

3

3

2

3

2cos327

2

1

0

3

2. Encuentre las seis raíces de -8 y grafíquelas

SOLUCIÓN: )(cos88 isen , aplicando la fórmula con n=6

6

2

6

2cos8 6/1 k

isenk

wk , para k=0,1,2,3,4,5 se tiene:

iisenw

iisenw

iisenw

iisenw

iisenw

iisenw

2

1

2

32

6

11

6

11cos8

22

3

2

3cos8

2

1

2

32

6

7

6

7cos8

2

1

2

32

6

5

6

5cos8

222

cos8

2

1

2

32

66cos8

6/1

5

6/1

4

6/1

3

6/1

2

6/1

1

6/1

0

27

3. Calcular 34 27 (b) , 388)a( ii

SOLUCION:

(a) calculando 16)38()8( 22 r ,

3

4240 ,3

8

38tan

IIIC

Así: 240240cos16388 iseni , entonces para n=4,

k=0,1,2,3.

)9060()9060cos(24

360240

4

360240cos16 4/1 kisenk

kisen

kwk

iisenw

iisenw

iisenw

iisenw

3330330cos2

31240240cos2

3150150cos2

316060cos2

3

2

1

0

(b) )9090(cos2727 iseni , con n=3, y haciendo variar k=0, 1, 2.

)12030()12030cos(3)3

36090

3

36090(cos27 3/1 kisenk

kisen

kwk

iisenw

iisenw

iisenw

3270270cos3

2

3

2

33150150cos3

2

3

2

333030cos3

2

1

0

28

2.5) Raíces n-ésimas de la unidad.

Las soluciones de la ecuación 1nx , donde Zn , se llaman las raíces n-

ésimas de la unidad y están dadas por:

)/2(22cos nki

k en

kisen

n

kw

, k=0, 1, 2,…, n-1.

Si hacemos )/2(22

cos nien

isenn

w , entonces, puesto que

k

k ww las

n raíces de la unidad son: 132

0 ,...,,,,1 nwwwww ; esto significa que todas las

raíces de la unidad son expresadas como potencias de 1ww , es decir, 1w

genera todas las n-ésimas raíces de la unidad, de aquí que 1w recibe el

nombre de raíz primitiva de la unidad de orden n. Geométricamente estas

raíces representan los n vértices de un polígono regular inscrito en una

circunferencia de radio unidad con centro en el origen.

PROPIEDAD: La suma de las n raíces de la unidad es cero:

0...1 132 nwwww

EJEMPLO 1: Resolver 013 x

Solución: 2,1,0 ),3/2()2()2(13/133 kkciskcisxkcisxx

10 00 wcisw

icisw

icisw

2

3

2

1)3/4(

2

3

2

1)3/2(

2

Fig. 4. Raíces cúbicas de la unidad

29

CONSECUENCIAS:

1. Los afijos de las raíces cúbicas de la unidad son los vértices de un

triángulo equilátero inscrito en la circunferencia de radio unitario. Fig. 4.

2. 12 ww

3. Se comprueba fácilmente que: 2

2 ww , es decir una raíz es el

cuadrado de la otra, sin considerar la solución 10 w .

4. 01 2 ww

5. 13 w , lo que implica que: 13 kw .

El ejemplo también se pudo resolver como ecuación algebraica por factorización:

0)1)(1(01 23 xxxx

01 01 2 xxx

La segunda es una ecuación cuadrática y la fórmula cuadrática arroja las mismas

soluciones que las encontradas.

EJEMPLO 2: Si 01 2 ww , hallar )1)(1)(1)(1)(1( 5432 wwwww .

Solución. Multiplicando la ecuación por 01w ,

)1.(0)1)(1( 2 wwww

013 w

13 w

En este caso, 13 w , lo cual no implica que 1w , puesto que se impuso la

condición: 1w , en este caso 1w cumple con la última ecuación pero no con la

original, ya que se tendría que 0111 2 (absurdo). Esta es una solución

“extraña” que aparece cuando se multiplica por una cantidad (en este caso 1w si

no se hubiera impuesto la condición) que es igual a cero; he ahí la razón por la que

se condiciona que el factor a multiplicar ambos lados de una ecuación sea distinto

de cero.

Ahora bien 1w no es solución de 01 2 ww , pero la siguiente relación

13 w , que se dedujo, es válida y reglas de la potenciación son válidas también,

por tanto: 254 , wwww , reemplazando en:

30

)1)(1)(1)(1)(1( 5432 wwwww

se tiene:

2

2

)0)((2

)1)(0(2

)1)(1(2

)2)(21)(21(

)2()1()1(

)1)(1)(11)(1)(1(

3

2

22

4222

422

222

22

w

ww

wwww

wwwwww

wwww

ww

wwww

Otra forma de resolver el ejercicio es utilizar el carácter cíclico o circular de las

soluciones. Se deduce de la relación 01 2 ww

ww

ww

wwwwww

2

2

2332

1

1

10

Reemplazando en: )1)(1)(1)(1)(1( 5432 wwwww , resulta

22

))()(2(

)1)(1)(11)((

3

23

22

w

www

wwww

2.6) EJERCICIOS PROPUESTOS.

1) Calcular: 32012239 ,,, iiii

2) Realice las siguientes operaciones:

a) )23)(32()23)(32( iiii

b) i

i

i

i

3

35

2

4

c) ii

4

1

4

1

31

d) i

ii

i

ii

3

)3)(1(

3

)3)(1(

e)

ii

2

12

3) Ubique en el plano complejo los afijos de los siguientes números:

iiiiii 4 ,32 ,4 ,21 ,3 ,42 ,3 ,23

4) Dados los números iwiviz 21 ,3 ,32 .

Hallar:

v

zwvwz Im ),Re(

5) Efectuar lo indicado para los números iwiviz 53 ,43

1 ,32 :

(a) vz 3 , (b) vw

z , (c) wz

6) Resuelva y justifique por qué hay más de una solución

ii

in

n

nn

1!1!16

!!

7) Calcular n: ii n 32)1(

8) Encontrar un valor para la expresión: 52 iii

9) Escriba los siguientes números complejos en su forma polar:

111sen111cos ,48cos48sen ,31 ,2 ,3 ,5 ,6 ,22 ,22 iiiiiiii

10) Efectúe:

(a) )37sen37(cos4).12sen12(cos2 ii

(b) )7

sen7

).(cos5

sen5

(cos3

ii

(c) )40sen40(cos24

1).31sen31(cos8).19sen19(cos6 iii

(d) i

i

1

232

32

11) Calcular:(a)

10

1

31

i

i, (b)

)44(cos128)1515(cos2

)1212(cos8)2323(cos47

25

isenisen

isenisenE

(c) 20)1( i , (d) 862 i , (e)

60

2

3

2

1

i , (f) 3)1( i

12) Efectuar la potencia en forma algebraica y trigonométrica:

6

2

31

i

13) Si iw )13()13( , donde 12

5)32arctan( . Hallar )Re( 12w

14) Sean los números complejos:

44cos )15(cos15 21

isenzisenz

izisenz2

2

2

2

44cos 43

Calcule: 1

2

4

3

2

41 )(

z

z

z

zz

Por la forma polar.

15) Indicar el argumento principal e interpretar geométricamente:

E=1+cos20°+isen20°

16) Calcular:

Z donde ,

)1(

)1(2

ni

iE

n

n

17) Uno de los vértices de un octógono regular coincide con el afijo del complejo

15215cos2 isenz . Hallar los vértices restantes (o una fórmula que

permita calcularlos).

18) Utilizando la fórmula de De Moivre´s demostrar lo siguiente:

xxxx

xxxx

23

32

sencos3cos3cos

sensencos33sen

19) Calcular la primera raíz de 4 81

20) Determinar y representar gráficamente las raíces que se indican:

(a) 6 1 , (b) 3 8 , (c) 3 i , (d) 4 1 i , (e) 3 22 i , (f) 3 3 i

33

21) Sabiendo que los complejos 2,,1 ww satisfacen la relación 13 x , verificar:

4)1)(1( ,)1( 2242 w-ww-w ww

22) Reducir:

100

0

kzk

i ,

100

1

k

k

iz

23) Calcular 4z ; siendo Raisensen

az

,

24) Sabiendo que n=3k, demostrar que:

22

3

2

1

2

3

2

1

nn

ii

34

CAPÍTULO III

ECUACIONES POLINÓMICAS

Las cantidades algebraicas (números o letras) que están unidas entre sí por los signos

de las operaciones algebraicas )etc , :, , ,( y por los signos del orden de sucesión

de estas operaciones (signos de agrupación) se llaman expresiones algebraicas. La

igualdad de dos expresiones algebraicas que es válida para cualesquiera valores que

se asignen a sus variables se llama identidad, y si la igualdad sólo es válida para

algunos valores, se llama ecuación.

Transformar una identidad es obtener una expresión algebraica de otra, idénticamente

igual a ella; la cual puede realizarse de diferentes maneras, según sea el fin de la

transformación. Por ejemplo, el dar a la expresión una forma más reducida y cómoda

para el reemplazo de sus valores numéricos o para las transformaciones posteriores:

reducción a una forma cómoda para la solución de ecuaciones, el cálculo de

logaritmos, etc.

Una ecuación se llama algebraica, si sus dos miembros son expresiones algebraicas

(racionales o irracionales). Uno de ellos puede ser constante.

El capítulo trata con énfasis las ecuaciones polinómicas, cuya importancia estriba en

que toda ecuación algebraica mediante transformaciones puede ser llevada a una

ecuación de la forma 0)( xP , que tiene las mismas raíces que la dada (y,

posiblemente, algunas extrañas). Aquí el primer miembro es un polinomio. Por

ejemplo, la ecuación

x

x

x

xx 31

)2(3

61 2

Se transforma sucesivamente del siguiente modo:

032472058620024

32472058020025)6(

182056

18153636

)3)(2(3)2(361

234

23422

22

2222

2

xxxx

xxxxxxx

xxxx

xxxxxxxx

xxxxxxx

3.1.- Ecuaciones en una variable.

Sea E(x) una expresión algebraica, a la igualdad E(x)=0 o a cualquier otra que se

pueda reducir a ella se le llama ecuación. Por ejemplo, si 123)( 2 xxxE .

Entonces 123 2 xx =0 es una ecuación.

35

El valor real , se llamará raíz ó solución ó cero de E(x)=0, si y sólo si E( )=0, así

por ejemplo se tiene que una raíz (un cero) de 123 2 xx es –1.

Conjunto solución de una ecuación es aquel cuyos elementos son todas las raíces

(ceros) de ella. Para nuestra ecuación 123 2 xx =0, su conjunto solución es CS={-

1;1/3}.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Por ejemplo las

ecuaciones x + 3=4 y 25)12(3 xx son equivalentes, pues ambas

tienen CS={1}.

Si una ecuación tiene CS= se dice que ésta es incompatible, de lo contrario la

ecuación es compatible. Será indeterminada, si es una identidad (la igualdad es siempre verdadera) de lo contrario se llamará ecuación determinada. Así

xx 22 =0, CS={0;2} EC. COMPATIBLE DETERMINADA

01

x, CS= EC. INCOMPATIBLE (IG. IMPOSIBLE)

1

11

2

x

xx CS=R-{-1} EC. COMPATIBLE INDETERMINADA

3.2. Ecuación lineal.

Es toda igualdad de la forma 0bax , con 0a ; o que se puede reducir a ella.

Tiene una única raíz o solución a

bx .

Ejemplos

1. Resolver: 1

23

12

xx

Solución:

78

87

6324

63)12(2

x

x

xx

xx

2. Resolver: )7)(3(1186)53)(14()2)(1( yyyyyyy

Solución:

36

1318

234

23418

231361131811

231441186517122

)214(1186)51712(2

22

222

222

y

y

yyyy

yyyyyyy

yyyyyyy

3. Al tratar de resolver 2x+8=3x-5-x, resulta un absurdo 0=-13, lo cual es falso

independientemente del valor de x, por lo tanto CS=

4. Resolver xx

4

2

32

1

Solución:

102

15 ;0 x

xx

5. La siguiente ecuación

01

x no tiene solución, pues como ;0x entonces

010.101

xx

Absurdo

3.3 Ecuación cuadrática.

Es toda igualdad que se puede reducir a la forma general:

;02 cbxax con 0a

Ejemplos:

1. 542 2 xx =0

2. 043 2 xx

3. 055 2 x

Métodos de Solución :

Por Factorización. Se basa en el Teorema 000 baab

Resuelva 06136 2 xx

Solución:

37

0)32)(23(6136 2 xxxx 023 x 032 x

32x

23x

CS={2/3;3/2}

Por la fórmula cuadrática. Se basa en el método de completar cuadrados y

permite obtener en forma inmediata las soluciones

a

bx

2

donde acb 42 es el discriminante de la ecuación 02 cbxax

Resolver 01282 xx

En este caso 12,8,1 cba

Aplicando la fórmula

2

48

2

168

2

48648

)1(2

)12)(1(4)8()8( 2

x

x

22

486

2

48

xx

CS={2,6}

EL MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS

Dada la Ecuación 0762 xx

miembros) ambosen 9 suma (se 9796

76

2

2

xx

xx

Nótese que, 22 )3(96 xxx

Luego 16)3( 2 x

38

43 x

43 43 xx

resultando 7 1 xx

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

Sean 21, xx las raíces de una ecuación cuadrática, se cumple:

a

bxx 21

y a

cxx 21.

NATURALEZA DE LAS RAÍCES

Si 0 , tiene dos raíces reales diferentes.

Si 0 , sólo tiene una raíz real.

Si 0 , tiene dos raíces complejas conjugadas.

Ejemplo. Sin resolver las ecuaciones dadas, analiza la naturaleza de sus raíces.

a) 0622 xx

En este caso 020)6)(1(4)2( 2 , en este caso la ecuación tiene dos

raíces complejas conjugadas (no tiene raíces reales)

b) 012815 2 xx

0784)12)(15(4)8( 2 , entonces la ecuación tiene dos raíces reales y

diferentes.

c) Realiza el mismo análisis con las siguientes ecuaciones

1. 09124 2 xx 2. 012 xx

FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CONOCIENDO SUS RAÍCES

Sean 21, xx sus raíces, entonces una ecuación cuadrática es:

0))(( 21 xxxx.

39

De aquí 0)( 2121

2 xxxxxx 0)(2 raícesxraícesx

Por ejemplo, si 73 21 xx son tales raíces, entonces una ecuación será:

021102 xx

3.4. Polinomios.

La expresión

n

i

i

i

n

n

n

n xaaxaxaxaxa0

01

2

2

1

1 ... es llamada

polinomio de grado n en la variable x , si el coeficiente principal 0na ,

RaZn i ;0 , 0a es llamado término independiente.

Un polinomio de grado cero es cualquier constante diferente de cero.

El número cero (0) es un polinomio cuyo grado no está definido.

NOTACIÓN: )( ),( xQxP .

Ejemplo 132)( 2 xxxP es un polinomio de segundo grado.

Evaluación:

Para 31)2(32.2)2( ,2 2 Px

Para 01)1(31.2)1( ,1 2 Px El polinomio )(xP se anula para 1x

(se hace cero), 1x es una RAÍZ o un CERO del polinomio.

Para 61)1(3)1(2)1( ,1 2 Px

Para 012/3)4/1(2)2/1( ,2/1 Px , 2/1x es otro CERO del

polinomio.

Dependiendo de su grado, un polinomio puede tener varias raíces, una o

ninguna. Expresando )(xP en su forma factorizada

)1)(12(132)( 2 xxxxxP se puede advertir: dónde se anulará?

La respuesta es obvia: Existe una relación entre la factorización de un

polinomio y el cálculo de sus raíces.

NOTA: 1)( 2 xxP no tiene raíces (reales)

40

RxxP

x

Rxx

;0)(

011

;0

2

2

TEOREMA DEL RESTO. El residuo R de dividir )(xP entre ax , es )(aPR

Ejemplo Si 132)( 2 xxxP , al dividir entre 1x , 6)1( PR

Verificando por Ruffini

2 -3 1

-1 -2 5

2 -5 6

DEFINICIÓN: Se llaman “raíces” de un polinomio )(xP a aquellos valores

0xx que hacen CERO a )(xP ; i.e. 0)( 0 xP

También se les llama CEROS de )(xP , y son las soluciones de la ecuación

0)( xP

TEOREMA DEL FACTOR. ax es un factor de )(xP si y sólo si ax es

una RAÍZ de )(xP [ 0)( aP ]

Ejercicio Demuestre que 3x es un factor del polinomio 60232 23 xxx ,

y hallar los otros factores.

OBSERVACIÓN. Existe una manera práctica de comprobar si 1x es una

raíz de 0)( xP , lo será si la suma de coeficientes del polinomio es cero.

Puesto que para que 1x sea raíz, 0)1( P

NÚMERO DE RAÍCES DE UN POLINOMIO

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA. Un polinomio de una variable

con coeficientes reales tiene tantas raíces como el grado del mismo, siempre y

cuando se recuenten adecuadamente las raíces múltiples y las complejas

(siempre aparecen conjugadas) posibles.

TEOREMA. Todo polinomio con coeficientes reales puede ser escrito como

una constante real multiplicada por un producto de factores lineales y de

factores cuadráticos irreducibles, todos ellos con coeficientes reales.

41

Ejemplo. Sabiendo que 55)( 23 xxxxP tiene a 5 como una raíz,

entonces por la división sintética )1)(5(55 223 xxxxx se advierte

que las otras dos raíces son ii y

Otra factorización del polinomio es ))()(5()1)(5( 2 ixixxxx donde

todos los factores son lineales pero los coeficientes ya no son reales.

REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES

Verifiquemos el siguiente resultado: Las raíces de la ecuación 0)( xP son

obtenidas de las raíces de 0)( xP cambiándoles de signo. Por ejemplo es

fácil comprobar que el polinomio

242636)( 234 xxxxxP tiene las raíces 1, -2, 3 y 4. Mientras que

242636)( 234 xxxxxP tiene las raíces -1, 2, -3 y -4.

ENUNCIADO DE LA REGLA

El número de raíces positivas ( n ) es igual al número de variaciones de signo

en los coeficientes de )(xP , ó es menor que esta cantidad en un número par.

El número de raíces negativas ( n ) es igual al número de variaciones de signo

en los coeficientes de )( xP , ó es menor que esta cantidad en un número par.

El polinomio con coeficientes reales debe estar ordenado para analizar las

variaciones de signo de sus coeficientes.

Ejemplo:

)segura es negativa raíz una( 1 242636)(

1 ó 3 242636)(

234

234

nxxxxxP

nxxxxxP

Ya se vio que )(xP tiene tiene exactamente tres raíces positivas y una raíz

negativa.

En general, el número de raíces complejas ( cn ) de un polinomio de grado n es

)( nnnnc

Ejemplo:

)segura es negativa raíz una( 1 201072)(

0 ó 2 201072)(

23

23

nxxxxP

nxxxxP

42

OBSERVACIONES:

a) La razón de disminuir en número par es por incluir las raíces complejas

que siempre aparecen en pares conjugados.

b) Si los coeficientes de un polinomio )(xP son reales y positivos, la

ecuación 0)( xP no tiene raíces positivas: 0 n .

c) Si los coeficientes de un polinomio completo y ordenado )(xP alternan

su signo, entonces la ecuación 0)( xP no tiene raíces negativas.

Ejemplo: Probar que la ecuación 01034 34 xxx tiene exactamente

dos raíces complejas.

Solución:

1 134)(

1 1034)(

34

34

nxxxxP

nxxxxP

2)(4 nnnc

3.5. Raíces Racionales de un polinomio con coeficientes enteros.

TEOREMA. Dado un polinomio )(xP de grado n, con coeficientes enteros, tal

que 0na y 00 a . Si )(xP tiene una raíz racional q

px , tal que p y q

son PESI (no tienen divisores comunes), entonces:

p es divisor del término independiente 0a

q es divisor del coeficiente principal na

En notación simbólica el Teorema se expresa así:

1),MCD( 0

..

0

qapaqpqpP n

Corolario. Si 1na , todas las raíces racionales son enteras.

Para resolver ecuaciones polinómicas, se empleará el método de Ruffini con el

objetivo de factorizar el polinomio, eligiendo las posibles raíces racionales

según el teorema, serán raíces aquellas cuyo residuo sea cero. Intentar con

todas las candidatas a raíces puede demandar mucho trabajo, la regla de los

signos de Descartes será útil y el número de raíces posibles irá disminuyendo

en cada aplicación de Ruffini, para ello se hará un breve análisis después de

efectuar cada división, hay que considerar que las raíces pueden repetirse, por

43

lo que a veces se debe intentar con cada valor posible más de una vez. Se

recomienda factorizar por Ruffini hasta que el cociente quede de grado dos,

puesto que como cuadrática ya se tiene el análisis completo de sus soluciones.

Después de factorizar el polinomio, las soluciones son inmediatas y resultan de

igualar cada factor a cero, según el teorema que establece:

000 baab

Se aclara que el teorema sólo proporciona las raíces racionales de un

polinomio con coeficientes enteros; pero al haber más números irracionales

que racionales, “en cierto sentido”, en general para resolver una ecuación

polinómica se deberán hacer aproximaciones numéricas –que no es el tema a

tratar aquí. Un caso excepcional es el de la ecuación cuadrática, para la que

hay una fórmula que expresa sus dos soluciones.

EJEMPLOS:

1) Resolver: 0211108 23 xxx

Solución: 1 ,211108)( 23 nxxxxP

0 ó 2 ,211108)( 23 nxxxxP

)8

1,

4

1,

2

1,2,1(

,)8,4,2,1( ,)2,1(

q

p

qp

Se ve que con seguridad existe una única raíz positiva y una vez

obtenida, se analizará la según la expresión resultante.

Debido a que la suma de coeficientes 02-11-10-8 , el valor 1 no es

raíz, intentando con el valor entero 2, se obtiene por Ruffini:

8 -10 -11 -2

2 16 12 2

8 6 1 0

el cociente es un polinomio cuadrático (cuyas raíces no son positivas:

0 n ), fácilmente factorizable por aspa:

)12)(14(168 2 xxxx .

44

Se tiene entonces

1/2- 1/4,- 2,CS

0)12)(14)(2(

0211108 23

xxx

xxx

2) Determinar si existen raíces racionales de 13)( 2 xxxP .

SOLUCIÓN: Dado que 13)( 2 xxxP , 0n , ó también debido a

que se intercalan los signos de los coeficientes del polinomio.

Entonces 0 ó 2 n .

,1 ,1 qp

10 q

pn , si fuera el caso tendría que ser raíz doble, lo cual es

falso puesto que el polinomio no es un cuadrado perfecto; por tanto las

raíces serán: o irracionales, o complejas, y no tendrá raíces racionales.

En este caso por ser la ecuación de segundo grado, el signo del

discriminante 0>5 asegura que deben ser dos raíces reales, la

fórmula cuadrática reporta las 2 soluciones irracionales.

3) Resolver 03

1012

3

19 23 xxx

SOLUCIÓN: El teorema exige que los coeficientes sean enteros.

Transformando la ecuación (multiplicando por 3) resulta la equivalente:

01036193 23 xxx

0 ,1036193)(

1 ó 3 ,1036193)(

23

23

nxxxxP

nxxxxP

Se podía deducir que no tiene raíces negativas porque los signos del

polinomio )(xP se alternan.

3

10,

3

5,

3

2,

3

1,10,5,2,10

,)3,1( ,)10,5,2,1(

q

pn

qp

Ninguno de los valores enteros anula el polinomio, intentando con 1/3,

45

3 -19 36 -10

1/3 1 -6 10

3 -18 30 0

resulta el cociente: 30183 2 xx , que es cuadrático, con 0 n . Se

tiene:

0)106(3

13

0)30183(3

1

01036193

2

2

23

xxx

xxx

xxx

Los ceros del segundo factor los da la fórmula cuadrática:

ix

32

46

i-3 i,3 1/3,CS

4) Analizar las soluciones de 06131592 234 xxxx

SOLUCIÓN: En la ecuación 0)( xP , se puede ver que 0 n

0 ó 2 ó 4 ,6131592)( 234 nxxxxxP

2

3,

2

1,6,3,2,10

,)2,1( ,)6,3,2,1(

q

pn

qp

2 9 15 13 6

-1 -2 -7 -8 -5

2 7 8 5 1

1x es una cota superior (ya que todos los coeficientes del cociente

y el residuo son positivos), las posibles raíces se reducen a las

siguientes

2

3,6,3,2

q

p

46

2 9 15 13 6

-2 -4 -10 -10 -6

2 5 5 3 0

Puede suceder que la raíz encontrada sea múltiple, para ello se sigue

intentando dividir por este mismo valor, este no es el caso, para este

ejemplo, ya que según el cociente obtenido, el conjunto de posibles

raíces racionales se reduce a

2

3,3

q

p

Al intentar con el valor -3, no cumple;

2 5 5 3

-3/2 -3 -3 -3

2 2 2 0

Por lo que:

0)222(2

3)2(

06131592

2

234

xxxx

xxxx

Las soluciones de la ecuación cuadrática son Ri

x

2

312,1

La ecuación polinómica tiene 2 soluciones reales: 2/3,2 , y las dos

soluciones complejas conjugadas mostradas.

5) Analizar los ceros de 03131917164 2345 xxxxx

SOLUCIÓN:

1 ó 3 ó 5 ,03131917164)( 2345 nxxxxxxP

Y por la alternancia de los signos de los coeficientes del polinomio completo,

4

3,

2

3,

4

1,

2

1,3 ,10

q

pn

47

4 -16 17 -19 13 -3

3 12 -12 15 -12 3

4 -4 5 -4 1 0

Según los coeficientes del cociente, se reduce el espectro de

posibilidades, y las raíces se buscaran dentro del conjunto:

,4

1,

2

10

q

pn

4 -4 5 -4 1

1/2 2 -1 2 -1

4 -2 4 -2 0

1/2 2 0 2

4 0 4 0

Luego:

i, -i

xxx

xxxxx

1/2, 3,CS

0)44(2

1)3(

03131917164

2

2

2345

6) Resolver: 03552 234 xxxx

SOLUCIÓN:

1 ,3552)(

1 ó 3 ,3552)(

234

234

nxxxxxP

nxxxxxP

Con la seguridad que hay una raíz negativa, ésta se buscará dentro del

conjunto,

)

2

3,

2

1,3 ,1(

q

p, puesto que -1 no cumple:

48

2 5 -1 5 -3

-3 -6 3 -6 3

2 -1 2 -1 0

1/2 1 0 1

2 0 2 0

Siendo -3 una raíz; y de los coeficientes obtenidos, en la división

respectiva, además de que ya no habrán raíces negativas, se deduce

que la única raíz racional posible es ½, y al hacer la división, se

comprueba que efectivamente lo es; en todos estos ejemplos se aprecia

que el conjunto de posibles ceros va disminuyendo con cada paso

dado, evitándose hacer las comprobaciones con todos los valores que

arroja el teorema, he ahí la importancia de la teoría.

Finalmente la ecuación queda factorizada así:

0)22(2

1)3(

03552

2

234

xxx

xxxx

Cuya solución es: i, -i 1/2, 3,-CS

7) Analizar los ceros de 042 2356 xxxx

SOLUCIÓN: Antes de aplicar la regla de Descartes, se separan las

raíces nulas: 0)42(42 3422356 xxxxxxxx

0420 342 xxxx

Trabajando con la segunda ecuación, sea 42)( 34 xxxxP

1 ,42)(

1 ,42)(

34

34

nxxxxP

nxxxxP

El número de raíces complejas de )(xP será 2)(4 nnnc .

Las raíces racionales (enteras por ser el polinomio mónico) se

encuentran dentro del conjunto )4,2,1( . Puesto que 1 no es, se

ensaya con 2, advirtiendo que el polinomio )(xP no es completo.

49

1 -1 0 -2 -4

2 2 2 4 4

1 1 2 2 0

Las posibilidades se reducen, debido al resultado de los coeficientes de

la división, al conjunto 2,1

1 1 2 2

-1 -1 0 -2

1 0 2 0

La ecuación se ha transformado en:

0)2)(1)(2(

042

22

2356

xxxx

xxxx

ii 2,21,- 2, 0,CS

8) Analizar los ceros del polinomio 143)( 34 xxxP

SOLUCIÓN: La suma se coeficientes es cero, por tanto 1 es una raíz.

3 -4 0 0 1

1 3 -1 -1 -1

3 -1 -1 -1 0

1 3 2 1

3 2 1 0

De la tercera fila se observa que la suma de coeficientes es cero

nuevamente, por eso nuevamente 1 es raíz, resultando:

0)123()1(

0143

22

34

xxx

xx

El segundo factor es una cuadrática con discriminante negativo, por lo

que, el polinomio presenta una raíz doble 1x y dos raíces complejas.

50

Habiendo ejemplificado bastante, para evitar el engorroso trabajo de ensayar con las

posibles raíces racionales, a continuación se presenta un método para decidir cuándo

detener la búsqueda de raíces mayores o menores que la raíz que acaba de

comprobarse, lo que aunado a las técnicas expuestas hará más eficiente el trabajo.

LÍMITES SUPERIOR E INFERIOR. Sea )(xP un polinomio con coeficientes reales

con coeficiente principal positivo. Si 01 k y los términos del tercer renglón de la

división sintética de )(xP entre 1kx son todos positivos o cero, entonces 1k es un

límite superior de las raíces reales de )(xP . Si 02 k y los términos del tercer renglón

de la división sintética de )(xP entre 2kx alternan de signo, entonces 2k es un

límite inferior de las raíces reales de )(xP .

Por ejemplo analizando el polinomio 1212582)( 234 xxxxxP , 1 ó 3n ;

1 ,1212582)( 234 nxxxxxP

)2

3,

2

1,12,6,4,3,2,1(

,)2,1( ,)12,6,4,3,2,1(

q

p

qp

Comprobando si 4 es una raíz:

2 -8 5 12 -12

4 8 0 20 128

2 0 5 32 116

Los elementos del último renglón verifican la condición, luego 4 es un límite superior,

el conjunto de posibles valores positivos se reduce a

2

3,

2

1,3,2,1 . Ensayando con -2:

2 -8 5 12 -12

-2 -4 24 -58 92

2 -12 29 -46 80

Por alternarse los signos del tercer renglón, -2 es una cota inferior; y las posibles

raíces negativas pertenecen al conjunto 2/3,2/1,1 . Al intentar con cada uno de

51

estos valores, ninguno da residuo cero, por lo que la raíz negativa será irracional. De

entre las positivas, 1 no es raíz, intentando con 2, se tiene:

2 -8 5 12 -12

2 4 -8 -6 12

2 -4 -3 6 0

2 4 0 -6

2 0 -3 0

Resultando: )32()2(1212582 22234 xxxxxx

Cuyas raíces:

2

3,

2

3 2,CS verifican Descartes, 3 n , 1 n , aunque la

raíz negativa es irracional y entre las positivas hay dos racionales (puesto que 2x

es de multiplicidad 2) y una irracional. Este ejemplo ilustra el hecho que los límites o

cotas de las raíces reales reducen el espectro de posibles raíces racionales.

3.6. EJERCICIOS PROPUESTOS.

1) Resuelva las siguientes ecuaciones

a) 12-(5x-4)=3x-(4x+1)-x

b) 332

4

12

xx

x

c) )72)(3()5)(12( xxxx

d) 2

3

22

xx

x

2) Resuelva las ecuaciones siguientes

a) (x-35)(x+8)=0

b) (2x+5)(3x-7)=(3x-7)(4x-9)

c) (x+3)(x-3)=16

52

3) Resuelva

a) 0134 2 xx

b) 020100 2 xx

c) 0212 2 xx

d) 0473 2 xx

e) 0400)3(48 2 x

4) Resolver

a) 4

1

225

1

2

1

xx

b) 3

1

1

xx

c) x

x

2

32

5) Dada la ecuación 022 2 nxx , Rn

a) ¿Cuál es el discriminante de la ecuación?

b) ¿Qué valor debe darse a n para que la ecuación admita una

sola raíz (doble)?

6) a) Si una de las raíces de la ecuación 062 xx es 2, determina la

otra raíz.

b) ¿Encuentre en la ecuación 07222 xx para que una de sus

raíces sea 3

1

?

7) Fórmese sendas ecuaciones cuadráticas si sus raíces son:

a) 3 ;5 21 xx

b) 0 ;1 21 xx

c) 53 ;53 21 xx

53

8) Si un cuerpo cambia de velocidad inicial 0v a una velocidad final fv

en

un tiempo t ; su aceleración a se calcula por t

vva

f 0

. Encuentre

fórmulas para la velocidad final, velocidad inicial y el tiempo.

9) En la siguiente fórmula V

KTP

2

, K es una constante, P es presión, T

es tiempo y V es volumen.

a) Despeja el volumen.

b) Despeja el tiempo.

c) Halla el valor de K si para T=5 y V=4, P=25

10) Un científico descubre una fórmula para calcular la fuerza F aplicada

durante un tiempo t necesaria para abrir un hoyo de área A y de masa

m, la cual es 2t

AKm

, donde K es una constante.

a) Si para m=10, A=81 y t=3 se encuentra que F=20, hallar el valor de

dicha constante.

b) Despeja A.

c) Despeja t.

11) Hallar los valores indicados del polinomio dado, por dos métodos:

usando Ruffini y usando el teorema del resto.

)), P(P(-xxxxxP 32 ;7232)( 234

12) Considere 1517)( 23 xxxxP . Determine si cada uno de los

números 2 y -5 son ceros del polinomio

13) Encuentre los ceros y sus multiplicidades respectivas de los

polinomios dados:

a) )2)(2)(1)(1()( xxxxxg

b) 1892)( 23 xxxxf

c) 45-4)( 24 xxxf

d) 23 )1)(4()5()( xxxxf

e) 32 )9()( xxf

54

f) 22 )65()( xxxf

14) Una piedra arrojada hacia abajo, con una velocidad inicial de 34.3 m/s

recorre una distancia de s metros, donde ttts 3.349.4)( 2 , donde t

está en segundos. Si una piedra es lanzada hacia abajo con esa

velocidad inicial desde una altura de 294 m , en cuanto tiempo la piedra

golpeará el suelo.

15) Use el cero dado para obtener los otros ceros del polinomio

1845285 23 xxx , un cero es -3/5

16) Probar que )2(y )1( xx son factores del polinomio:

12872)( 234 xxxxxP . Hallar los factores restantes.

17) Probar que 1-x22 2345 xxxx es divisible por:

a) 12 x

b) 2)1( x

c) 3)1( x

18) Divida para determinar si )3(y )1( xx son factores de:

652 23 xxx

19) Una viga descansa sobre dos puntos A y B y tiene una carga aplicada

concentrada en su centro. Sea y = la deflexión, en pies, de la viga a una

distancia de x pies de A. Bajo ciertas condiciones, esta deflexión es

dada por xxy14

1

13

1 3 .

Encuentre los ceros del polinomio en el intervalo [0;2].

55

20) Encuentre un polinomio de tercer grado, que tenga los siguientes

ceros: 1, 3i, y -3i

21) Encuentre un polinomio de grado 5 con -1 como un cero de

multiplicidad 3; 4 como un cero de multiplicidad 1, y 0 como un cero de

multiplicidad 1.

22) Suponga que un polinomio de grado 6 con coeficientes racionales tiene

3-1y ,2 ,52 ii como tres de sus ceros, encuentre los restantes.

23) Encuentre un polinomio de grado mínimo con coeficientes racionales

que tenga a i21 ay 2-1 como dos de sus ceros.

24) Analizar el polinomio xxx 526 26 según la regla de descartes.

25) Indicar todas las posibilidades respecto a la naturaleza de las raíces de

la ecuación siguiente, por medio de la regla de descartes.

a) 09232 246 xxx

b) 016 x

c) 015 x

d) 08464 4679 xxxx

26) Demostrar que la ecuación 08x23 45 xx tiene por lo menos

dos raíces complejas y por lo menos una raíz negativa, pero ninguna

raíz positiva.

27) Demostrar que la ecuación 06924 2367 xxxx tiene por lo

menos cuatro raíces complejas y por lo menos una raíz positiva, pero

ninguna raíz negativa.

28) Demostrar que la ecuación 08452 246 xxx tiene exactamente

cuatro raíces complejas.

29) Enumere todos los posibles ceros racionales del polinomio:

a) 832)( 34 xxxxP

b) 65310)( 614 xxxxP

30) Qué dice la regla de los signos de Descartes acerca del número de

ceros positivos, y negativos del polinomio.

a) 4526 27 xxx

56

b) 3523)( 2418 pppppF

c) 168)( 3710 zzzzzg

31) Considere 3452)( 23 xxxxf . Encuentre las soluciones de cada

ecuación: (a) 0)( xf , (b) 0)1( xf , (c) 0)2( xf , (d) 0)2( xf

32) Use el teorema de los ceros racionales y la ecuación 0124 x para

mostrar que 4 12 es irracional.

33) Resolver las siguientes ecuaciones polinómicas, haciendo uso de los

recursos dados en el presente capítulo.

a) 021220196 234567 xxxxxx

b) 06752 234 xxxx

c) 090274 23 xxx

d) 092 24 xx

e) 02414132 234 xxxx

f) 0310144 23 xxx

g) 018453444 2345 xxxxx

h) 2

3-2

6

11

3

2

3

5 234 xxxx

i) 012323236 234 xxxx

j) 030418182 2345 xxxxx

k) 063562356 234 xxxx

34) El momento flexor de una viga está dado por

dddddM 322.152.21.0)( 234 ,

donde d es la distancia uno de los extremos de la viga. Encuentre los

valores de d , donde el momento flexor es cero. (Sug. Elimine los

decimales multiplicando por 10).

57

REFERENCIAS

A. Libros

[1] L. Leithold, “Álgebra Superior”. México: CECSA, 1985.

[2] J. Stewart, “Calculus, concepts and context”. 4a ed. Thomson, 2009.

[3] V. V. Zaitsev, V. V. Ryzhkov, and M. I. Skanavi, “Elementary mathematics”. Moscú:

Mir, 1978

G. Manuales

[4] Bell Telephone Laboratories Technical Staff, Transmission System for

Communications, Bell Telephone Laboratories, 1995.

H. Apuntes de clases

[ 5] “Complementos de Álgebra”, M. Samper. Apuntes Esquemáticos. Universidad de

Piura, 1986.

[ 6] “Biomatemática”, J.A. Ynoñán. Notas de clase, Escuela preuniversitaria de

Medicina-USAT, Setiembre del 2007.