Matematica Basica

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Matematica Basica

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  • UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA

    FAUSTO PINHEIRO DA SILVA

    Matematica Basica

    Medianeira - PR

    2013

  • Sumario

    Introducao 2

    1 Soma, Adicao, Multiplicacao e Divisao de numeros Racionais 3

    1.1 Mnimo Multiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2 Adicao e Subtracao de numeros Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.3 Multiplicacao e Divisao de fracoes por fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.4 Tabela de Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2 Classificacao dos numeros reais 8

    2.1 Numeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.2 Numeros Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.3 Numeros Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.4 Numeros Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.5 Numeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    3 Notacoes 11

    3.1 Formas de representar um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    3.2 Conjunto unitario, vazio e igualdade de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3.3 Subconjunto e Inclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    4 Intervalos reais 14

    4.1 Eixo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    4.2 Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    ii

  • 5 Potenciacao 17

    5.1 Definicao de Potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    5.2 Raiz n-esima de a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    6 Equacao e Inequacao do 1o Grau 21

    6.1 Resolucao de equacao do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    6.2 Inequacao do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    7 Produto Notaveis 24

    7.1 Produto da soma pela diferenca de dois numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    7.2 Quadrado da soma e quadrado da diferenca de dois numeros . . . . . . . . . . . . . 24

    7.3 Racionalizacao de denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    7.4 Fatoracao de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    8 Equacao do 2o Grau 27

    8.1 Resolucao de equacao do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    8.2 Completar Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    8.3 Fatoracao de Polinomios do Terceiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    9 Modulo 32

    9.1 Definicao de Modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    9.2 Propriedades dos Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    9.3 Desigualdades e Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    10 Equacao Exponencial 37

    10.1 Resolucao de equacao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    10.2 Inequacao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    11 Logaritmo 41

    11.1 Definicao de Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    11.2 Propriedades dos Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    11.3 Equacao Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    iii

  • 11.4 Inequacao Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    12 Trigonometria 48

    12.1 Trigonometria no Triangulo Retangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    12.2 O radiano, unidade de medida de arco e angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    12.3 A medida da circunferencia em radianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    12.4 Extensoes dos conceitos de seno e co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    12.5 Metodo grafico para a resolucao de uma equacao Trigonometrica . . . . . . . . . . . 55

    12.6 Metodo grafico para a resolucao de inequacoes de seno e co-seno . . . . . . . . . . . 57

    12.7 Extensao do conceito de Tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    12.8 Metodo grafico para a resolucao de equacao de tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    12.9 Metodo grafico para a resolucao de inequacoes de tangente . . . . . . . . . . . . . . 66

    13 Respostas 69

    Bibliografia 71

  • Introducao

    2

  • Captulo 1

    Soma, Adicao, Multiplicacao e Divisao

    de numeros Racionais

    Vamos relembrar algumas operacoes basicas como adicao, substracao, multiplicacao e divisao

    de fracoes e para isto comecamos determinando a mnimo multiplo comum.

    1.1 Mnimo Multiplo Comum

    Definicao 1.1. Dados dois ou mais numeros, diferentes de zero, denomina-se mnimo multiplo

    comum (m.m.c.) desses numeros o menor de seus multiplos comuns, diferente de zero.

    Tecnicas para o calculo do M.M.C.

    1o) Decompoe-se cada numero em seus fatores primos.

    2o) Calcula-se o produto dos fatores comuns e nao comuns, cada um deles elevado ao maiorexpoente.

    O produto assim obtido sera o m.m.c. procurado.

    Exemplo 1.2. Calcular m.m.c.(60,24).

    Resolucao

    3

  • 60 2 24 2 60 = 22 3 530 2 12 2 24 = 23 315 3 6 2

    5 5 3 3 m.m.c(60, 24) = 23 3 5 =1 1 = 8 3 5 = 120

    De modo pratico, as decomposicoes podem ser feitas simultaneamente, pois desta maneira ja

    se obtem os fatores comuns e os fatores nao comuns com o maior expoente.

    Exemplo 1.3. Calcular m.m.c.(8,10).

    Resolucao

    8, 10 2

    4, 5 2

    2, 5 2

    1, 5 5

    1, 1

    m.m.c.(8, 10) = 23 5 = 8 5 = 40

    Definicao 1.4. Quando as fracoes tem o mesmo denominador, mantem-se o denominador comum

    e somam-se ou subtraem-se os numeradores.

    Exemplo 1.5. Efetue adicao:

    a)5

    8+

    2

    8b)11

    4 5

    4Resolucao

    a)5

    8+

    2

    8=

    5 + 2

    8=

    7

    8

    b)11

    4 5

    4=

    11 54

    =6

    4=

    3

    2

    1.2 Adicao e Subtracao de numeros Racionais

    Definicao 1.6. Quando as fracoes tem denominadores diferentes, devemos, em primeiro lugar,

    reduzilos ao menor denominador comum, calculando o m.m.c. para, em seguida, efetuar a adicao

    ou a subtracao.

    4

  • Exemplo 1.7. Efetue adicao:

    a)3

    5+

    1

    4b)7

    8 1

    4Resolucao

    a)3

    5+

    1

    4=

    12

    20+

    5

    20=

    12 + 5

    20=

    17

    20

    b)7

    8 1

    4=

    7

    8 2

    8=

    7 28

    =5

    8

    Observacao 1.8. Quando tivermos a expressao mista da forma 3 +5

    2podemos reescreva-la da

    seguinte forma3

    1+5

    2e calculamos o m.m.c. de 1 e 2 para podermos efetuar a adicao ou subtracao.

    1.3 Multiplicacao e Divisao de fracoes por fracoes

    Definicao 1.9. Para multiplicar uma fracao por outra, deve-se multiplicar o numerador da pri-

    meira fracao com o numerador da segunda e o denominador da primeira fracao com o denominador

    da segunda fracao.

    Exemplo 1.10. Efetue a multiplicacao:

    a)4

    3 14

    b)4 35

    Resolucao

    a)4

    3 14=

    4 13 4 =

    4

    12b)4 3

    5=

    4

    1 35=

    4 31 5 =

    12

    5

    Definicao 1.11. Para se dividir uma fracao por outra, deve-se multiplicar o dividendo pelo inverso

    do divisor.

    Exemplo 1.12. Simplifique as seguintes expressoes numericas:

    a)

    5

    83

    4

    b)

    3

    52

    c)34

    5Resolucao

    a)

    5

    83

    4

    =5

    8 3

    4=

    5

    8 43=

    5

    6

    b)

    3

    52=

    3

    5 2 = 3

    5 12=

    3

    10

    c)34

    5

    = 3 45=

    3 54

    =15

    4

    5

  • Exemplo 1.13. Determinar o valor da expressao numerica

    1

    2+

    2

    3

    1 18

    .

    Resolucao1

    2+

    2

    3

    1 18

    =

    3

    6+

    4

    68

    8 1

    8

    =

    7

    67

    8

    =7

    6 7

    8=

    7

    6 8

    7=

    8

    6=

    4

    3.

    1.4 Tabela de Sinal

    O quociente de dois numeros inteiros, com o segundo diferente de zero, e obtido dividindo-se o

    modulo do dividendo pelo modulo do divisor e:

    se o dividendo e o divisor tem o mesmo sinal, o quociente e positivo,

    Dividendo Divisor Quociente

    + + +

    +se o dividendo e o divisor tem sinais diferentes, o quociente e negativo.

    Dividendo Divisor Quociente

    + +

    1)O m.m.c dos numeros 12,24 e 144 e:

    a)12 b)288 c)144 d)24

    2)Dados tres numeros mpares, distintos, pode-

    se afirmar que:

    a)o m.m.c. entre eles e sempre par;

    b)o m.m.c. entre eles pode ser par;

    c)o m.m.c. entre eles e sempre o produto dos

    tres;

    d)o m.m.c. entre eles e sempre mpar.

    3)Sejam os numeros A = 23 32 5 e B =2 33 52; entao, m.m.c.(A,B) e igual a:a)2 32 5 c)23 33 52b)23 33 5 d)23 32 524)Calcule (resolver de preferencia sem usar cal-

    culadora):

    6

  • a)1

    4 1 f)3

    4 1

    b)2

    3+

    4

    5+

    1

    5g)1

    2+

    3

    4