Matematica basica

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    22-Nov-2014
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  • 1. Anlise CombinatriaFatorial de um nmero:n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1Definies especiais: 0!=1 1!=1100!+101!1) Calcule o valor da expresso . 99!100!+101! 100.99!+101.100.99! == 100 + 101.100 = 100 + 10100 = 10200 99!99!( x + 1)!2) Resolva a equao = 56.( x 1)!( x + 1)!( x + 1)( x)( x 1)!= 56 = 56 ( x + 1)( x) = 56 x 2 + x = 56 ( x 1)!( x 1)! 1 225 1 15 x = 7 x 2 + x 56 = 0 x = x= 2 2 x = -8Resposta : x = 7, pois no existe fatorial de um nmero negativo.3) Quatro times de futebol (Grmio, Santos, So Paulo e Flamengo) disputam o torneio doscampees do mundo. Quantas so as possibilidades para os trs primeiros lugares?R : Existem 4 possibilidades para o 1 lugar, sobrando 3 possibilidades para o 2 lugar e 2possibilidades para o 3 lugar 4.3.2 = 24 possibilidades.Arranjo simples: n!An , p =(n p )! A6, 2 + A4,3 A5, 24) Calcule.A9, 2 + A8,1 6! 4!5! + A6, 2 + A4,3 A5, 2 (6 2)! (4 3)! (5 2)! 30 + 24 20 34 17== = = A9, 2 + A8,19! 8!72 + 8 80 40+(9 2)! (8 1)!1

2. 5) Quantos nmeros de 3 algarismos distintos podemos formar com o algarismos dosistema decimal (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) sem os repetir, de modo que :a) COMECEM COM 1. R : O nmero pode possuir trs algarismos, sendo que para o primeiro existe apenas 1possibilidade (1) e para os outros dois ainda existem 9 nmeros disponveis : 9!9! 9.8.7! 1. A9, 2 = = == 9.8 = 72 nmeros.(9 2)! 7!7!b) COMECEM COM 2 E TERMINEM COM 5. R : Para o primeiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (2), e para o terceiro tambmexiste apenas 1 possibilidade (5). Para o segundo ainda existem 8 possibilidades : 8!8! 8.7!1.1. A8,1 = = == 8 nmeros.(8 1)! 7! 7!c) SEJAM DIVISVEIS POR 5. R : Para um nmero ser divisvel 5, ele deve terminar com 0 ou com 5. Primeiramentevamos calcular o nmero de divisveis por 5 que terminam com 0 : Para o terceiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (0), e para os dois primeiros aindaexistem 9 nmeros disponveis. Portanto o nmero de divisveis por 5 que terminam com 0 :9!9! 9.8.7!1. A9, 2 = = == 9.8 = 72 nmeros. (9 2)! 7! 7! Agora calculamos quantos divisveis por 5 terminam com 5 : para o terceiro algarismoexiste apenas uma possibilidade (5). Para o primeiro algarismo existem ainda 8 possibilidades,pois o nmero no pode comear com 0 (seno seria um nmero de 2 algarismos). E para osegundo algarismo tambm existem 8 possibilidades (o segundo algarismo pode ser 0).8! 8!8! 8! 8.7! 8.7!1. A8,1 . A8,1 = .= . =. = 8.8 = 64 nmeros. (8 1)! (8 1)! 7! 7! 7! 7!Resposta : O nmero de divisveis por 5 72 + 64 = 136 nmeros.6) Quantos so os nmeros compreendidos entre 2000 e 3000 formados por algarismosdistintos escolhidos entre 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9?R : O nmero deve ter quatro algarismos (pois est entre 2000 e 3000). Para o primeiroalgarismo existe apenas uma possibilidade (2), e para os outros trs ainda existem 8 nmerosdisponveis, ento : 8!8! 8.7.6.5!1. A8,3 = = = = 8.7.6 = 336 nmeros.(8 3)! 5! 5! 2 3. Permutao Simples: um caso particular de arranjo simples. o tipo de agrupamento ordenado ondeentram todos os elementos. Pn = n!7) Quantos nmeros de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1,2,3,5 e 8?P5 = 5!= 5.4.3.2.1 = 120 nmeros.8) Quantos anagramas da palavra EDITORA :a) COMEAM POR A.Para a primeira letra existe apenas uma possibilidade (A), e para as outras 6 letrasexistem 6 possibilidades. Ento o total :1.P6 = 1.6!= 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas.b) COMEAM POR A e terminam com E.Para a primeira letra existe 1 possibilidade (A), e para ltima tambm s existe 1 (E),e para as outras 5 letras existem 5 possibilidades. Ento o total :1.1.P5 = 1.1.5!= 5.4.3.2.1 = 120 anagramas.8) Calcule de quantas maneiras podem ser dipostas 4 damas e 4 cavalheiros, numa fila, deforma que no fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas. R :Existem duas maneiras de fazer isso : C - D - C - D - C - D - C - D ou D - C - D - C - D - C - D - CColocando um cavalheiro na primeira posio temos como nmero total de maneiras :P4 .P4 = 4!.4!= 24.24 = 576 maneiras.Colocando uma dama na primeira posio temos tambm :P4 .P4 = 4!.4!= 24.24 = 576 maneiras.Portanto o total 576 + 576 = 1152 maneiras.Combinao Simples: o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela naturezados elementos componentes.n!Cn, p =p!(n p )! 3 4. 9) Resolver a equao C m,3 C m , 2 = 0.m! m! =03!(m 3)! 2!(m 2)!m.(m 1).(m 2).(m 3)! m.(m 1).(m 2)! =03!(m 3)! 2!(m 2)!m.(m 1).(m 2) m.(m 1) =03!2!m 3 2m 2 m 2 + 2 m m 2 m=0 62m 3 3m 2 + 2m 3m 2 + 3m= 0 m 3 6 m 2 + 5m = 06 6 16m= 5m 2 6m + 5 = 0 m = 2 m = 1Resposta : m = 5.obs : m = 1 no a resposta porque no pode haver C1,3 .10) Com 10 espcies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espcies diferentespodem ser feitas?10! 10.9.8.7.6! 5040 5040C10, 6 ==== = 210 tipos de saladas. 6!.(10 6)!6!.4! 4! 2411) Numa reunio com 7 rapazes e 6 moas, quantas comisses podemos formar com 3rapazes e 4 moas?RAPAZES - C 7 ,3MOAS - C 6, 4O resultado o produto C 7 ,3 .C 6, 4 .7! 6! 7.6.5.4! 6.5.4! 210 30. = .= . = 35.15 = 525 comisses.3!(7 3)! 4!(6 4)! 3!.4! 4!.2!3! 2 4 5. TEORIA DOS CONJUNTOSSmbolos : pertence: existe : no pertence : no existe: est contido : para todo (ou qualquer que seja): no est contido: conjunto vazio : contm N: conjunto dos nmeros naturais : no contm Z : conjunto dos nmeros inteiros/ : tal que Q: conjunto dos nmeros racionais : implica queQ= I: conjunto dos nmeros irracionais : se, e somente se R: conjunto dos nmeros reaisVeja tambm: Smbolos das operaes - Conceitos sobre conjuntos5 6. TABELA TRIGONOMTRICAngulo sencostgngulosencostg10,017452 0,9998480,017455460,719340,694658 1,0355320,034899 0,9993910,034921470,731354 0,681998 1,07236930,052336 0,99863 0,052408480,743145 0,669131 1,11061340,069756 0,9975640,069927490,754710,656059 1,15036850,087156 0,9961950,087489500,766044 0,642788 1,19175460,104528 0,9945220,105104510,777146 0,629321,23489770,121869 0,9925460,122785520,788011 0,615661 1,27994280,139173 0,9902680,140541530,798636 0,601815 1,32704590,156434 0,9876880,158384540,809017 0,587785 1,37638210 0,173648 0,9848080,176327550,819152 0,573576 1,42814811 0,190809 0,9816270,19438 560,829038 0,559193 1,48256112 0,207912 0,9781480,212557570,838671 0,544639 1,53986513 0,224951 0,97437 0,230868580,848048 0,529919 1,60033514 0,241922 0,9702960,249328590,857167 0,515038 1,66427915 0,258819 0,9659260,267949600,866025 0,51,73205116 0,275637 0,9612620,286745610,874620,484811,80404817 0,292372 0,9563050,305731620,882948 0,469472 1,88072618 0,309017 0,9510570,32492 630,891007 0,453991,96261119 0,325568 0,9455190,344328640,898794 0,438371 2,05030420 0,342020,9396930,36397 650,906308 0,422618 2,14450721 0,358368 0,93358 0,383864660,913545 0,406737 2,24603722 0,374607 0,9271840,404026670,920505 0,390731 2,35585223 0,390731 0,9205050,424475680,927184 0,374607 2,47508724 0,406737 0,9135450,445229690,933580,358368 2,60508925 0,422618 0,9063080,466308700,939693 0,342022,74747726 0,438371 0,8987940,487733710,945519 0,325568 2,90421127 0,453990,8910070,509525720,951057 0,309017 3,07768428 0,469472 0,8829480,531709730,956305 0,292372 3,27085329 0,484810,87462 0,554309740,961262 0,275637 3,48741430 0,50,8660250,57735 750,965926 0,258819 3,73205131 0,515038 0,8571670,600861760,970296 0,241922 4,01078132 0,529919 0,8480480,624869770,974370,224951 4,33147633 0,544639 0,8386710,649408780,978148 0,207912 4,7046334 0,559193 0,8290380,674509790,981627 0,190809 5,14455435 0,573576 0,8191520,700208800,984808 0,173648 5,67128236 0,587785 0,8090170,726543810,987688 0,156434 6,31375237 0,601815 0,7986360,753554820,990268 0,139173 7,1153738 0,615661 0,7880110,781286830,992546 0,121869 8,14434639 0,629320,7771460,809784840,994522 0,104528 9,5143646 7. 400,642788 0,7660440,8391850,996195 0,08715611,43005 410,6560590,754710,869287860,997564 0,06975614,30067 420,669131 0,7431450,900404870,998630,05233619,08114 430,681998 0,7313540,932515880,999391 0,03489928,63625 440,6946580,719340,965689890,999848 0,01745257,28996 450,707107 0,7071071 901 0 -VetoresReta Orientada - EixoUma reta r orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por umaseta.Segmento orientadoUm segmento orientado determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem dosegmento, o segundo chamado extremidade.Segmento NuloUm segmento nulo aquele cuja extremidade coincide com a origem.Segmentos OpostosSe AB um segmento orientado, o segmento orientado BA oposto de AB.Medida de um SegmentoFixada uma unidade de comprimento, cada segmento orientado pode-se associar um nmero real, nonegativo, que a medida do segmento em relao aquela unidade. A medida do segmento orientado o seucomprimento ou seu mdulo. O comprimento do segmento AB indicado por .Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo de 5 unidades de comprimento: = 5 u.c.Observaes a. Os segmentos nulos tm comprimento igual a zero b.=.7 8. VetoresDireo e SentidoDois segmentos orientados no nulos AB e CD tm a mesma direo se as retas suportes dessessegmentos so paralelas:ou coincidentesObservaes a. S se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles tm mesma direo. b. Dois Segmentos orientados opostos tm sentidos contrrios.Segmentos Equipolentes Dois segmentos orientados AB e CD so equipolentes quando tm a mesma direo, o mesmo sentido e omesmo comprimento.Se os segmentos orientados AB e CD no pertencem mesma reta. Na segunda figura abaixo, para que ABseja equipolente a CD necessrio que AB//CD e AC/BD, isto , ABCD deve ser um paralelogramo.8 9. Observaesa. Dois segmentos nulos so sempre equipolentes.b. A equipolncia dos segmentos AB e CD representada por AB ~ CD.Propriedades da Equipolncia I.AB ~ AB (reflexiva).II.Se AB ~ CD, CD ~ AB (simtrica). III.Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva). IV. Dado o segmento orientado AB e um ponto C, existe um nico ponto D tal que AB ~ CD. Vetor Vetor determinado por um segmento orientado AB o conjunto de todos os segmentos orientadosequipolentes a AB.Se indicarmos comeste conjunto,