Post on 20-Jan-2016
UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS
MATEMATICA BASICA
presentado por:
Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado
LAMBAYEQUE– PERU
2013
Dedicatoria
Para mis padres, Martha y Elıas; para mi
adorable esposa, Flor Angela y para los
mas grandes tesoros de mi vida, mis hijas
Alessandra Anghely y Stefany Grace.
Prefacio
Vision general
Una de las situaciones mas dificiles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en
matematica es la de tratar de explicar su labor profesional.
La respuesta a esta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han sido de la mas
variable ındole: hay quienes plantean que cultivan esta ciencia por satisfaccion personal, sin
buscar sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento
consustancial a la naturaleza humana y siendo la matematica lenguaje universal, esta debe
cultivarse como contribucion al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos
pueblos comprender su propia y particular realidad. Tambien se estima necesario que todos
los paıses, especialmente aquellos en desarrollo, cultiven las disciplinas basicas para ası poder
lograr independizarse cientıfica, tecnologica y economicamente.
Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que
pese a ser la matematica la mas comun de las ciencias, en el sentido de que esta presente
y es utilizada por todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado
de popularidad; mucha gente tiene sentimientos de aprension, disgusto e incluso miedo a la
matematica.
Aun considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundido el
muy relevante papel que juega nuestra disciplina en la formacion integral de cada ciudadano;
de manera privilegiada, la matematica aporta a esta formacion capacitando a las personas para
tomar decisiones en la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar
ideas originales; esto se logra por ejemplo a traves de desarrollar la capacidad de abstraccion,
de ensenar a relacionar objetos o situaciones diversas, de desarrollar la intuicion; en fin, la
matematica ayuda a desarrollar una mentalidad crıtica y creativa.
Es entonces muy preocupante que sea la mas desconocida de las ciencias para el ciudadano
medio; es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matematico, o, mas generalmente,
el analfabetismo cientıfico.
El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una in-
troduccion, a nivel elemental y basico, de una parte de las matematicas sumamente util y de
vital importancia en la formacion academica del estudiante: La Matematica Basica.
De la experiencia de dictar cursos y ponencias en Matematica es que surgieron apuntes de
3
4 Matematica Basica Walter Arriaga D.
clase que, despues de sucesivas revisiones y ampliaciones, fueron transformandose hasta optar
la forma que ahora presentamos, con la intencion de que sirva como texto guıa que inicie al
alumno en esta fascinante rama de las matematicas.
Objetivo
El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los
estudiantes de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar porque y transmitirles el
entusiasmo y gusto por el estudio de la Matematica Basica y a la vez proporcionar al lector
una herramienta de consulta, dando la informacion basica para la resolucion de estas, ası como
reforzar la comprension de los temas y conceptos por medio de una amplia gama de interesantes
aplicaciones en el mundo real. El texto se ha disenado para brindarle una comprension solida
e intuitiva de los conceptos basicos, sin sacrificar la precision matematica.
Aplicaciones
Una de mis metas fue convencer a lo estudiantes de la importancia de la Matematica
Basical en sus campos de estudio.
Caracterısticas
Caracterısticas pedagogicas
En base a nuestra experiencia docente y en consejos de muchos colegas, hemos incluıdo
varios aspectos pedagogicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva
acerca de la Matematica Basica.
Problemas resueltos y propuestos
Un problema en matematica puede definirse como una situacion, a la que se enfrenta un
individuo o un grupo, que requiere solucion, y para lo cual no se vislumbra un camino aparente
y obvio que conduzca a la misma.
La resolucion de problemas debe apreciarse como la razon de ser del contenido matematico,
un medio poderoso de desarrollar conocimiento matematico y un logro indispensable de
una buena educacion matematica. El elemento crucial asociado con el desempeno eficaz en
matematica es que los estudiantes desarrollen diversas estrategias que le permitan resolver
problemas donde muestren cierto grado de independencia y creatividad.
La elaboracion de estrategias personales de resolucion de problemas crea en los alumnos
confianza en sus posibilidades de hacer matematica, estimula su autonomıa, ası como expresa
el grado de comprension de los conocimientos y le facilita mecanismos de transferencia a otras
situaciones.
Concebimos entonces que la resolucion de problemas es el proceso mas importante que
posibilitara a los estudiantes experimentar la utilidad y potencia de la matematica. Implicarlos
Walter Arriaga D. Matematica Basica 5
en esa labor les permitira indagar, construir, aplicar y conectar lo aprendido. De ahı que una
responsabilidad importante de los docentes del area de matematica sea elaborar, seleccionar,
proponer y discutir problemas de diverso tipo y exigencia conjuntamente con los estudiantes
y con otros colegas.
Aprender matematica significa entender y usar la matematica a traves de la resolucion
de problemas, aprender matematica no solo es memorizar formulas tecnicas para resolver
ejercicios propuestos.
Hay que hacer que los alumnos trabajen dinamicamente en actividades que permitan la
construccion del saber matematico por etapas, a partir de fenomenos y de situaciones cotidi-
anas de modo que vayan elaborando conceptos de dificultad creciente, observando claramente
y de inmediato su uso.
Todo usuario de la Matematica recopila, descubre o crea conocimiento en el curso de la
actividad que realiza con un fin. El desarrollo de las actividades debe estar organizado para
que los estudiantes comuniquen ideas oralmente y por escrito. El proceso de construccion del
lenguaje matematico no puede ser una actividad individual. Es un proceso de comunicacion:
alumno-profesor, profesor-alumno y sobre todo alumno-alumno. La capacidad de usar con
facilidad el lenguaje matematico es muy importante para comprender la matematica y por eso
las formas de comunicacion matematica deben ser cada vez mas formales y simbolicas.
El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba
su aptitud. En los ejemplos resueltos ensenamos a los estudiantes a pensar sobre los problemas
antes de que empiecen a resolverlos.
Resumenes
Al final de cada capıtulo, aparece un repaso detallado de los resultados importantes del
mismo, esto permitira una clara comprension del texto.
Uso de Software
La tendencia cada vez mayor a que el docente se convierta en un “facilitador del apren-
dizaje” mas que un “presentador de hechos” ha producido una expansion en la esfera de los
paquetes de informatica especializados como los software matematicos preparados para ayu-
dar al docente. Estos paquetes tienen por objeto suplementar el trabajo practico, permitiendo
ası ampliar la presentacion de la ciencia a los estudiantes. Estos software han adquirido tal
grado de complejidad en la ensenanza de la Ciencia que han recibido el nombre de “Tecnologıa
Educativa”.
Entre los software matematicos mas importantes podemos citar: Maple, Matlab, Derive,
Mathematica, Cabri Geometry, etc.
El software matematico Maple que se ha utilizado para la preparacion de este libro, se
caracteriza por realizar calculos con sımbolos que representan objetos matematicos.
Se trata de un sistema de calculo cientıfico (simbolico, numerico y grafico) interactivo, con
6 Matematica Basica Walter Arriaga D.
una sintaxis proxima a la notacion matematica, disponible para una amplia gama de sistemas
operativos. Algunas de sus capacidades son:
X Operaciones numericas en aritmetica racional exacta o decimal de precision arbitraria.
X Manipulacion algebraica de variables y sımbolos.
X Operaciones con polinomios, fracciones algebraicas y funciones matematicas elementales.
X Calculo de lımites, derivadas y primitivas.
X Resolucion de ecuaciones y sistemas.
X Operaciones con vectores y matrices.
X Capacidades graficas en 2 y 3 dimensiones.
X Lenguaje de programacion de alto nivel.
La historia de la matematica
La historia de la matematica esta llena de anecdotas, de problemas interesantes que pueden
motivar a los jovenes a estudiarla y desarrollar actitude positivas hacia ella. El uso de topicos
de historia de la matematica, de biografıas de matematicos, de acertijos y problemas clasicos
permite acercarnos a esta ciencia desde un punto de vista humano. Los estudiantes com-
prenden que la matematica es simplemente una actividad creada por seres humanos iguales
a ellos, quienes desarrollaron ideas creativas y resolvieron situaciones que en su tiempo er-
an importantes, pero que en otros momentos sufrieron frustracion y desengano, ya sea al no
poder resolver los problemas que se plantearon, porque la sociedad no estaba preparada para
sus ideas renovadoras, o porque sufrieron la marginacion de las comunidades cientıficas de la
epoca, como ocurrio en el caso de las mujeres matematicas.
Es sumamente util explorar con nuestros alumnos los inicios de un concepto, las dificultades
con las que tuvieron que enfrentarse estos investigadores y las ideas que surgieron al enfrentar
una situacion nueva. Todos estos hechos encarnan una verdadera aventura intelectual que
muchas veces se deja de lado en las clases tradicionales donde un tema aparece presentado de
manera acabada e inerte, sin posibilidad de descubrimiento, ni crıtica.
Introduccion
Desde los comienzos de su existencia, el hombre ha estudiado su medio ambiente con la
finalidad de mejorar su situacion. Empezo por observaciones, como hacemos hoy en dıa, y
siguio por la reunion de informacion y su aplicacion a la vida cotidiana.
La ciencia es hoy dıa algo mas compleja. Nuestra capacidad de observacion ha aumentado
enormemente gracias al desarrollo de los modernos instrumentos desde los que nos permiten
ver diminutas partıculas de materia ampliadas millones de veces hasta los que nos permiten
ver estrellas distantes en los lımites exteriores del universo tal como lo conocemos. Nuestros
procesos de acopio de datos tambien se han vuelto muy complejos. No solo disponemos de
medios muy rapidos para registrar informacion sino que, mediante el uso de calculadoras y
software, podemos recuperar la informacion en una fraccion de segundo. Sin embargo, mu-
chos de nosotros no tenemos todavıa la posibilidad de usar los ultimos inventos de la ciencia
moderna. Tenemos que trabajar con las cosas existentes en nuestro medio inmediato que van
a influir en nuestras vidas y en las de quienes nos rodean. Hay que tener en cuenta que los
cambios rapidos e incesantes del mundo de hoy hacen que tambien cambien a su compas los
conocimientos necesarios de matematica
Entre todas las disciplinas matematicas, la teorıa de las ecuaciones diferenciales conjun-
tamente con el Calculo Diferencial es la mas importante. Proporciona la explicacion de todas
esas manifestaciones elementales de la naturaleza que involucran al tiempo.
Esta obra es un intento para lograr que la ensenanza y el aprendizaje de la ciencia sean los
mas eficaces posible. Como no hay una manera perfecta de ensenar la Ciencia, esta publicacion
no pretende ser el non plus ultra de la ensenanza de la Matematica. Los profesores deben buscar
constantemente los mejores metodos para ellos mismos y para sus alumnos, ası como leer con
la mayor amplitud y profundidad posibles. Sin embargo, se espera que este trabajo sirva de
documento basico para empezar. Se ha reunido las contribuciones de docentes que se han
especializado en estos temas a fin de presentar un amplio panorama de la ensenanza de esta
Ciencia.
Es importante que el pensamiento creador en todos los niveles de educacion se centre en
crear las situaciones de aprendizaje mas eficaces para los estudiantes. En consecuencia, este
texto esta destinado tanto a estudiantes de ciencias e ingenierıa como a docentes en ejercicio
ası como tambien a los futuros docentes de varios niveles academicos para que lo utilicen
en las situaciones mas diversas. Su finalidad es mejorar la ensenanza cotidiana de la ciencia
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8 Matematica Basica Walter Arriaga D.
examinando los numerosos temas que influyen sobre el estudiante.
Este es el compromiso que como docente de la Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas
de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo he asumido: el contribuir a la formacion integral
de los estudiantes del presente siglo.
Se tiene siempre la esperanza de que una publicacion sea tan buena que haya demanda
de una segunda edicion. Esto permite siempre corregir las inexactitudes y las equivocaciones,
ası como anadir material pertinente nuevo u omitido inadvertidamente antes. Se agradecera a
los lectores que comuniquen sus propias contribuciones y sugerencias al autor.
Indice general
INTRODUCCION 9
1. ARITMETICA 15
1.1. Sucesiones y Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1. Clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2. MCD y MCM de Numeros Fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3. Fracciones Equivalentes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.4. Relacion entre los numeros decimales y las fracciones . . . . . . . . . . . 20
1.3. Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1. Razon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2. Proporcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4. Mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5. Regla de tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1. Regla de tres simple directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2. Regla de tres simple indirecta o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.3. Regla de tres compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6. Tanto por ciento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7. Numero primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8. Maximo Comun Divisor y Mınimo Comun Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.9. Analisis combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.9.1. Principios fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.9.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.9.3. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.9.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.10. Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.10.1. Proposiciones y tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.10.2. Valor de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10.3. Tabla de valores de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
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10 Matematica Basica Walter Arriaga D.
1.10.4. Clases de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.10.5. Conectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.10.6. Simbolizacion de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.10.7. Operaciones con proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.10.8. Conjuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.10.9. Disyuncion inclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.10.10.Negacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.10.11.Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.10.12.Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.10.13.Disyuncion exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.10.14.Proposiciones Compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.10.15.Jerarquıa de los conectivos logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.10.16.Tautologıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.10.17.Contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.10.18.Contingencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.10.19.Equivalencias logicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.10.20.Leyes del Algebra Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.10.21.Simplificacion de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.11. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.12. Aplicaciones de la Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.12.1. Aplicaciones a la Medicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2. CONJUNTOS 77
2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2. Determinacion de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3. Conjuntos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.4. Conjuntos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4.1. Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4.2. Conjunto vacıo o nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4.3. Conjunto unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4.4. Conjunto universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.5. Representacion grafica de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.5.1. Diagramas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.5.2. Diagramas Venn - Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.6. Numero de elementos o cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3. RELACIONES Y FUNCIONES 87
3.1. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3. Relaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Walter Arriaga D. Matematica Basica 11
3.4. Clases de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.6. Dominio y rango de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4. NUMEROS REALES 89
4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2. Ley de composicion interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3. Axiomas de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.1. Historia de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.2. Clasificacion de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.3. Ecuaciones de primer grado con una variable . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4.4. Sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4.5. Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4.6. Ecuacion Cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4.7. Ecuacion Cuartica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4.8. Ecuacion Bicuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4.9. Ecuacion Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4.10. Planteamiento de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.5. Desigualdades e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.5.1. Desigualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5.2. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5.3. Inecuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.5.4. Inecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.5.5. Inecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.5.6. Inecuaciones polinomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.5.7. Inecuaciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.5.8. Ecuaciones e inecuaciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.5.9. Inecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5.10. Inecuaciones logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.5.11. Sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.6. Valor Absoluto y Maximo Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.6.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.6.2. Maximo entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5. RELACIONES Y FUNCIONES 151
5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2.1. Par Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2.2. Igualdad de pares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12 Matematica Basica Walter Arriaga D.
5.2.3. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3. Relacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3.1. Dominio y Rango de una Relacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.3.2. Relacion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3.3. Composicion de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3.4. Tipos de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.4. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.5. Graficas de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.6. La Lınea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.7. Secciones conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.8. La Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.9. La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.10. La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.11. La Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6. FUNCIONES 177
6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.2. Funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.3. Dominio Rango y Grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.4. Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.4.1. Funcion Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.4.2. Funcion Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.4.3. Funcion de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.4.4. Funcion Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.4.5. Funcion Raiz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.4.6. Funcion Polinomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.4.7. Funcion Seccionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.4.8. Funcion Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.4.9. Funcion Escalon Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.4.10. Funcion Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.4.11. Funcion Maximo Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.5. Tipo de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.5.1. Funcion Inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.5.2. Funcion Sobreyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.5.3. Funcion Biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.6. Caracterısticas de algunas funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.7. Funcion Trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.8. Funcion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.9. Funcion Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Walter Arriaga D. Matematica Basica 13
7. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LIN-
EALES 203
7.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.1.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.1.2. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.1.3. Orden de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.1.4. Igualdad de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.1.5. Matrices Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.1.6. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.1.7. Traza de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.1.8. Transpuesta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.1.9. Matriz simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.1.10. Matriz antisimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.1.11. Matriz involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.1.12. Matriz nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.1.13. Matriz idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.1.14. Matriz conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.1.15. Matriz hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.1.16. Matriz antihermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.1.17. Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.1.18. Matriz positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.2.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.2.2. Calculo de Determinantes por la Regla de Sarrus . . . . . . . . . . . . . 223
7.2.3. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.2.4. Menores complementarios y Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.2.5. Calculo de Determinantes por Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.3. Otras matrices importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.4. Operaciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.4.1. Matriz escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.4.2. Matrices equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.4.3. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.5. Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.5.1. Matriz de cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7.5.2. Adjunta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.5.3. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.5.4. Metodo de Gauss Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
7.6. Criptografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.6.2. Sistema Criptografico usando Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
14 Matematica Basica Walter Arriaga D.
7.7. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.7.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.7.2. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.7.3. Clasificacion de los sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . 249
7.7.4. Sistemas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7.7.5. Metodo de Gauss-Jordan. Eliminacion Gausiana . . . . . . . . . . . . . 251
7.7.6. Metodo de Gabriel Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.7.7. Teorema de Rouche - Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.7.8. Sistemas homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.8. Factorizacion LU de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
7.9. Resenas Historicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Indice de Materias 267
1
ARITMETICA
1.1. Sucesiones y Series
1.1.1. Series
Proviene de SUMA primera operacion fundamental.
La notacion usual es: Σ = sigma, usando lımites superior e inferior para indicar donde empieza
y termina.
Definicion 1.1.1. Si n ∈ Z+, a1, a2, . . . , an son numeros reales entonces la suma de estos
“n” numeros ak (k ∈ Z+) se denota y se expresa por:
n∑
k=1
ak = a1 + a2 + · · ·+ an (1.1)
Donde:
k = 1 es el lımite inferior.
k = n es el lımite superior.
ak es la ley de formacion.
Propiedades
1. Numero de terminos de una sumatoria.n∑
k=r
tiene (n− r) + 1 terminos.
2.n∑
k=1
cak = cn∑
k=1
ak ; c: constante.
3.
n∑
k=r
c = c(n− r + 1) ; c: constante.
15
16 Matematica Basica Walter Arriaga D.
4.
n∑
k=r
(ak − ak−1) = an − ar−1 (Propiedad telescopica).
5.
n∑
k=1
(ak + bk − ck) =
n∑
k=1
ak +
n∑
k=1
bk −n∑
k=1
ck
6.
n∑
k=1
ak =
m∑
k=1
ak +
n∑
k=m+1
ak ; ∀n > 1
7.n∑
k=0
ak =n+h∑
k=h
ak−h; h ∈ Z
Casos:
1. Suma de los primeros “n” numeros naturales consecutivos.
n∑
k=1
k = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)
2
2. Suma de los primeros “n” numeros naturales pares consecutivos.
n∑
k=1
2k = 2
n∑
k=1
k = 2(1 + 2 + 3 + · · ·+ n) = n(n+ 1)
3. Suma de “n” numeros naturales impares consecutivos.
n∑
k=1
(2k − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2n − 1) = n2
4. Suma de cuadrados de los primeros “n” numeros naturales consecutivos.
n∑
k=1
k2 = 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =n(n+ 1)(2n + 1)
6
5. Suma de cubos de los primeros “n” numeros naturales consecutivos.
n∑
k=1
k3 = 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =
[n(n+ 1)
2
]2
6. Suma de infinitos terminos en una Progresion Geometrica decreciente.
S = a1 + a2 + a3 + a4 + · · · + an + · · ·
S =a1
1− r
Donde:
a1 : El primer termino (maximo valor).
r : La razon entre 2 terminos consecutivos; 0 < r < 1.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 17
7. Serie especial
n∑
k=1
k(k + 1) = 1× 2 + 2× 3 + 3× 4 + · · ·+ n(n+ 1) =n(n+ 1)(n + 2)
3
8. Serie especial
n∑
k=1
k(k+1)(k+2) = 1×2×3+2×3×4+3×4×5+· · ·+n(n+1)(n+2) =n(n+ 1)(n + 2)(n + 3)
4
9. Serie especialm∑
k=n
1
k(k + r)=
1
r
[1
n− 1
m+ r
]
10. Serie especialn∑
k=1
1
k(k + 1)=
1
1
[1
1− 1
n+ 1
]
11. Serie especialn∑
k=1
1
k(k + 1)(k + 2)=
1
2
[1
1× 2− 1
(n+ 1)(n + 2)
]
12. Serie especial
n∑
k=1
1
k(k + 1)(k + 2)(k + 3)=
1
3
[1
1× 2× 3− 1
(n+ 1)(n + 2)(n + 3)
]
1.2. Fracciones
Definicion 1.2.1. Un numero racional es el cociente de la division de dos numeros enteros
“a” y “b”, donde b 6= 0.
Al conjunto de los numeros racionales se le denota por: Q
Definicion 1.2.2. Un numero fraccionario es todo aquel numero racional que no representa
a un numero entero, si denotamos por f al numero fraccionario, tendremos:
f =a
b
donde a 6=◦b, a y b ∈ Z
Ejemplo: −5
3;2
7;−38
; etc.
No son numeros fraccionarios expresiones como:15
5;102
2;27
3; etc.
18 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Definicion 1.2.3. Una fraccion es el numero fraccionario que presenta sus dos terminos
positivos. F =a
bfraccion con a y b ∈ Z+
donde:
a 6=◦b (a no es divisible por b), a es el numerador.
b 6= 0, b es el denominador.
1.2.1. Clasificacion
Existen diversas formas para clasificar fracciones, entre ellas estan las siguientes:
I. Por la comparacion de su valor con respecto de la unidad:
Propia: Es una Fraccion, en la cual su numerador es menor que su denominador. En
consecuencia, una fraccion propia tiene un valor menor que la unidad.
Una fraccion propia da cuenta de la idea de una porcion o parte de un todo. Por
ejemplo, en la expresion “tres cuartos superficie de la Tierra es agua”, o “solo la
mitad de los asistentes pudo participar del concurso”. De ahı se da la relacion a un
porcentaje.
El producto entre dos fracciones propias es siempre una fraccion propia.
F =a
b< 1 ⇒ a < b
Ejemplos:2
3;3
7;4
5; etc.
Impropia: Es aquella cuyo valor es mayor a la unidad; es decir el numerador es mayor
que el denominador. Ası:
F =a
b> 1 ⇒ a > b
Ejemplos:3
2;7
3;5
4; etc.
Nota: Las fracciones impropias generan los llamados numeros mixtos, los cuales
estan constituidas por una parte entera y una fraccion propia.
Ejemplo:11
5= 21
5 = 2 + 15
II. Por su denominador:
Ordinaria: Llamada tambien fraccion comun, es aquella cuyo denominador es diferente
de una potencia de 10.
Ejemplos:13
7;8
15;11
24; etc.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 19
Decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.
Ejemplos:17
10;
3
100;
11
1000; etc.
III. Por la razon de igualdad o desigualdad entre sus denominadores:
Homogeneas: Cuando tienen el mismo denominador.
Ejemplos:3
5;7
5;11
5; etc.
Heterogeneas: Cuando tienen denominadores diferentes.
Ejemplos:3
7;17
15;21
5; etc.
IV. Por los divisores de sus terminos:
Irreductibles: Son aquellas fracciones cuyos terminos son primos entre sı y por tanto
no se pueden simplificar.
Ejemplos:3
5;7
11;17
20; etc.
Reductibles: Son aquellas fracciones cuyos terminos tienen factores comunes y por
tanto se pueden simplificar.
Ejemplos:3
6;7
21;6
8; etc.
V. Otras clasificaciones:
Unitaria: Fraccion comun de numerador 1.
Egipcia: Sistema de representacion de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada
fraccion se expresa como suma de fracciones unitarias.
Continua: Es una expresion como esta:
x = a0 +1
a1 +1
a2+1
a3+...
donde los ai son enteros positivos.
Compuesta: Fraccion cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez
fracciones.
Parcial: La que puede usarse para descomponer una funcion racional.
1.2.2. MCD y MCM de Numeros Fraccionarios
1. El Maximo Comun Divisor de numeros fraccionarios esta dado por:
MCD
(a
b;c
d; . . . ;
x
y
)=
MCD(a, c, . . . , x)
MCM(b, d, . . . , y)
20 Matematica Basica Walter Arriaga D.
2. El Mınimo Comun Multiplo de numeros fraccionarios esta dado por:
MCM
(a
b;c
d; . . . ;
x
y
)=
MCM(a, c, . . . , x)
MCD(b, d, . . . , y)
Dondea
b;c
d; . . . ;
x
yson fracciones irreductibles.
1.2.3. Fracciones Equivalentes:
Una fraccion es equivalente a otra cuando tiene el mismo valor, pero sus terminos son
diferentes. Es decir numerador y denominador son multiplicados y divididos por el mismo
valor numerico k, donde k ∈ Z− {0}.a
b=
a× k
b× ko
a
b=
a÷ k
b÷ k, b 6= 0, k 6= 0
Observacion 1.2.1. Las proposiciones: De, del, de los, antepuesta a una fraccion, usualmente
indican una multiplicacion; mientras que la proposicion Por nos indica una division.
Ejemplo 1.2.1. Hallar los3
4de los
7
5de 5 por 7 de 200
Solucion:3
4× 7
5× 5
7× 200 = 150
1.2.4. Relacion entre los numeros decimales y las fracciones
Al dividir los terminos de una fraccion irreductible se obtienen numeros decimales.
Los numeros decimales son:
Numeros decimales (D)
Decimales exactos (DE)
Decimales inexactos (DI)
Decimal inexacto periodico puro (DIPP)
Decimal inexacto periodico mixto (DIPM)
I. Decimal Exacto (DE): Una fraccion irreductible dara origen a un decimal exacto
cuando el denominador sea una potencia de 2 y/o una potencia de 5.
Observacion 1.2.2. El numero de cifras decimales de un numero decimal exacto, es-
tara dado por el mayor exponente de 2 o 5 que tenga el denominador de la fraccion.
Ejemplo 1.2.2.
1
16=
1
24= 0,0625 genera 4 cifras decimales
3
40=
3
23 × 5= 0,0750 genera 3 cifras decimales
Walter Arriaga D. Matematica Basica 21
Fraccion generatriz
0, a =a
10
0, ab =ab
100
0, abc =abc
1000
II. Decimal Inexacto (DI): Estos pueden ser a su vez:
Decimal Inexacto Periodico Puro (DIPP): Una fraccion irreductible origi-
nara un decimal periodico puro cuando el valor del denominador sea diferente de:
un multiplo de 2 y/o multiplo de 5.
Ejemplo 1.2.3.1
3= 0, 333 . . . = 0, 3
Observacion 1.2.3. El numero de cifras del periodo esta dado por el menor numero
de nueves que contiene al denominador como factor.
Si el denominador es el producto de varios factores primos, el numero de cifras del
periodo esta dado por el MCM de los menores numeros de nueves que contienen a
dichos factores primos.
TABLA DE NUEVES
9 = 32
99 = 32 × 11
999 = 33 × 37
9999 = 32 × 11× 101
99999 = 32 × 41× 271
999999 = 33 × 7× 11× 13× 37
Ejemplo 1.2.4. Dada la fraccion:133
407= 0,572481572481572481 . . .
407 = 11× 37
El menor numero de nueves que contiene a 11 es el 99 (dos nueves)
El menor numero de nueves que contiene a 37 es el 999 (tres nueves)
luego El MCM(2, 3) = 6 cifras periodicas que son 572481.
Fraccion generatriz
0, aaa . . . = 0, a =a
9
0, abab . . . = 0, ab =ab
99
22 Matematica Basica Walter Arriaga D.
0, abcabc . . . = 0, abc =abc
999
Decimal Inexacto Periodico Mixto (DIPM):Una fraccion irreductible dara ori-
gen a un decimal inexacto periodico mixto cuando al descomponer el denominador
en sus factores primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y ademas, algun otro
factor diferente.
Observacion 1.2.4. La cantidad de cifras no periodicas del decimal inexacto
periodico mixto esta dado por la regla para el numero de cifras decimales de un
decimal exacto y el numero de cifras de la parte periodica esta dado por la regla del
numero de cifras de un decimal periodico puro.
Ejemplo 1.2.5. Dada la fraccion:35
88=
35
8× 11=
35
23 × 11= 0,39772727272 . . .
23 ⇒ 3 cifras no periodicas que son 397.
11⇒ 2 nueves genera 2 cifras periodicas que son 72.
Fraccion generatriz
0, abbb . . . = 0, ab =ab− a
90
0, abccc . . . = 0, abc =abc− ab
900
0, abcbcbc . . . = 0, abc =abc− a
990
0, abcdcdcd . . . = 0, abcd =abcd− ab
9900
Fraccion decimal ilimitada
Presentan un numero indefinido de cifras, pueden ser:
Numeros Irracionales.√2 = 1, 4142136 . . .√3 = 1, 7320506 . . .√5 = 2, 236067 . . .
3√2 = 1, 25992 . . .
3√3 = 1, 442249 . . .
Numeros trascendentes.
π = 3, 1416 . . .
e = 2, 718281 . . .
Walter Arriaga D. Matematica Basica 23
1.3. Razones y proporciones
1.3.1. Razon
Definicion 1.3.1. Una razon es el resultado que se obtiene al compararse dos cantidades
homogeneas mediante una determinada operacion, generalmente se expresa como “a es a b” o
a : b.
Pueden ser de dos clases:
Razon Aritmetica (RA).
Razon Geometrica (RG).
Definicion 1.3.2. Una razon aritmetica es la comparacion de dos cantidades mediante la
diferencia, dicha diferencia determina en cuantas unidades excede una magnitud a la otra. Es
decir:
antecedente − consecuente = RA
Definicion 1.3.3. Una razon geometrica es la la comparacion de dos cantidades mediante la
division, y consiste en determinar cuantas veces cada una de las cantidades contiene la unidad
de referencia. Es decir:
antecedente ÷ consecuente = RG
En general:
ra = a− b
rg = a÷ b
donde: ra = Razon Aritmetica; rg = Razon Geometrica; a = antecedente; b = consecuente
1.3.2. Proporcion
Definicion 1.3.4. Es la relacion de igualdad que se establece entre dos razones homogeneas.
Pueden ser de dos clases:
Proporcion Aritmetica.
Proporcion Geometrica.
Definicion 1.3.5. Una proporcion aritmetica es aquella que se forma al igualar dos razones
aritmeticas.
24 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Definicion 1.3.6. Una proporcion geometrica es aquella que se forma al igualar dos razones
geometricas.
En general:
Proporcion Aritmetica: a− b = c− d
Proporcion Geometrica:a
b=
c
ddonde:
b y c : Terminos medios. a y c : antecedentes
a y d : Terminos extremos. b y d : consecuentes.
Clases de proporcion aritmetica
Proporcion aritmetica discreta: Es aquella en la que sus 4 terminos son numeros
diferentes.
a− b = c− d
Cada termino es cuarta diferencial de los demas. ası:
d es la cuarta diferencial de a, b y c. Luego: d = (b+ c)− a
Proporcion aritmetica continua: Es aquella en la que sus terminos medios son
numeros iguales.
a− b = b− c
Cada termino igual es media diferencial de los demas y cada termino diferente es tercera
diferencial. Entonces:
b es la media diferencial o aritmetica de a y c. Luego: b =a+ c
2c es la tercera diferencial de a y b. Luego: c = 2b− a
Clases de proporcion geometrica
Proporcion geometrica discreta: Es aquella en la que sus 4 terminos son numeros
diferentes.a
b=
c
d
Cada termino es cuarta proporcional de los demas. ası:
d es la cuarta proporcional de a, b y c. Luego: d =bc
a
Proporcion geometrica continua: Es aquella en la que sus terminos medios son
numeros iguales.a
b=
b
c
Walter Arriaga D. Matematica Basica 25
Cada termino igual es media proporcional de los demas y cada termino diferente es
tercera proporcional. Entonces:
b es la media proporcional o geometrica de a y c. Luego: b =√ac
c es la tercera proporcional de a y b. Luego: c =b2
a
1.4. Mezclas
Definicion 1.4.1. Consiste en determinar la variacion de proporcion de cada uno de los
componentes de una mezcla respecto del total.
En estos problemas generalmente se debe considerar que parte (fraccion) representa lo que
se saca de una mezcla, ya que de esta manera se determinara que cantidad sale o queda de
cada una de las componentes de la respectiva mezcla.
Ejemplo 1.4.1. Un recipiente contiene 20 litros de alcohol y 30 litros de agua. Si se extrae
3/5 de la mezcla. ¿Cuantos litros de alcohol y agua quedan?
Solucion
agua 30
alcohol 20
Mezcla50
litros
Luego al extraer 3/5 de la mezcla se obtiene:
Se extrae Queda
alcohol 35(20)
25 (20) = 8
agua 35(30)
25(30) = 12
Por lo tanto quedan 8 litros de alcohol y 12 litros de agua.
1.5. Regla de tres
La regla de tres es un metodo para resolver problemas donde intervienen 2 o mas magni-
tudes; es una forma de resolucion de problemas de proporcionalidad entre tres o mas valores
conocidos y una incognita. En ella se establece una relacion de linealidad (proporcionalidad)
entre los valores involucrados.
26 Matematica Basica Walter Arriaga D.
La regla de tres mas conocida es la regla de tres simple directa, si bien resulta muy practico
conocer la regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta, pues son de sencillo manejo
y pueden utilizarse para la resolucion de problemas cotidianos de manera efectiva.
1.5.1. Regla de tres simple directa
Es aquella en la cual se comparan 2 magnitudes directamente proporcionales, es decir el
aumento o disminucion en el valor de una magnitud implica el aumento o disminucion en la
otra respectivamente.
1.5.2. Regla de tres simple indirecta o inversa
Es aquella en la cual se comparan 2 magnitudes inversamente proporcionales, es decir el
incremento o disminucion en una de las magnitudes implica la disminucion o incremento en
la otra respectivamente.
Los casos mas comunes son:
Costo de una mercaderıa y cantidad de la misma: DIRECTA
Sueldo de un obrero y tiempo de su trabajo: DIRECTA
Tiempo empleado y trabajo realizado: DIRECTA
Numero de obreros y trabajo realizado. DIRECTA
Peso de cuerpos del mismo material y volumen ocupado por los mismos: DIRECTA
Distancia recorrida por un movil y tiempo empleado: DIRECTA
Tiempo empleado en hacer un trabajo y cantidad de obreros: INVERSA
Velocidad de un movil y tiempo necesario para recorrer una distancia: INVERSA
Largo y ancho de rectangulos de igual area: INVERSA
1.5.3. Regla de tres compuesta
Es aquella en la que intervienen mas de 2 magnitudes las cuales pueden ser directa o
inversamente proporcionales. Para resolver estos problemas veamos un metodo practico.
CAUSA − CIRCUNSTANCIA − EFECTO
En este metodo se agrupan las magnitudes en 3 categorıas:
Walter Arriaga D. Matematica Basica 27
Causa: Es todo aquello que realiza un trabajo, o una accion determinada, con su re-
spectiva eficacia o rendimiento (obreros, cuadrillas, rendimiento, eficiencia, etc.)
Circunstancia: Se refiere al tiempo, a la manera de desarrollar un trabajo (dıas, horas
por dıa, semanas, raciones por dıa, etc).
Efecto: Es el trabajo realizado o lo producido con su respectiva dificultad (1 obra,
longitud, altura, dificultad, etc).
Causa Circunstancia Efecto Dificultad Rapidez
IP DP DP IP
Figura 1.1: Regla de tres
1.6. Tanto por ciento
Cuando vamos a un centro comercial vemos que hay descuentos de productos ası como el
20% del 50%, en la propagandas de los bancos que dan prestamos con un interes del 1%,
ası muchos mas casos donde vemos este sımbolo%.
El calculo de porcentajes es una herramienta de gran utilidad en la vida cotidiana. Los
porcentajes tienen multiples aplicaciones en problemas de comercio, geometrıa, encuestas de
opinion, medicion de ındices de produccion, natalidad, mortalidad, etc.
Como hallar el valor que representa el porcentaje? ¿Como saber hallar un descuento o un
aumento? ¿Como hallar el interes de un prestamo? Y muchas situaciones mas conoceremos a
continuacion.
Tanto por cuanto: El “a” por “b” de una cantidad “N”, es otra cantidad “x” de la
misma especie, tal que sea a la primera como a es b.
x
N=
a
b⇒ x =
a
bN
Tanto por ciento: Es el numero de partes tomadas de cada 100 partes iguales en que
se puede dividir un todo. Se puede expresar mediante una fraccion.
28 Matematica Basica Walter Arriaga D.
1.7. Numero primo
1.8. Maximo Comun Divisor y Mınimo Comun Multiplo
1.9. Analisis combinatorio
Por Analisis Combinatorio o Combinatoria, se entiende aquella parte del algebra que se
ocupa del estudio y propiedades de los grupos que pueden formarse con elementos dados,
distinguiendose entre sı:
por el numero de elementos que entran en cada grupo.
por la clase de elementos.
por el orden de colocacion.
El numero de elementos de que se dispone para formar las distintas agrupaciones se llama
base y el numero de elementos que intervienen en cada agrupacion se denomina orden.
Las agrupaciones de orden 1 se denominan monarias, las de orden 2 binarias, las de orden
3, ternarias, etc.
Losm elementos de que se dispone para formar los grupos pueden ser distintos o bien puede
haber algunos iguales. En el primer caso, las agrupaciones formadas se llaman ordinarias, las
formadas en el segundo supuesto se denominan agrupaciones con repeticion
1.9.1. Principios fundamentales
En la mayorıa de los problemas de analisis combinatorio se observa que una operacion
o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se
puede realizar dicha operacion.
Para dichos casos es util conocer determinadas tecnicas o estrategias de conteo que facili-
taran el calculo senalado.
El analisis combinatorio tambien se define como una manera practica y abreviada de contar;
las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos.
Ejemplo:
Senalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un numero determinado
de prendas de vestir.
Ordenar 5 artıculos en 7 casilleros.
Contestar 7 preguntas de un examen de 10.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 29
Designar 5 personas de un total de 50 para integrar una comision.
Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas.
Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales.
1. Principio de la adicion: Si un evento “A” ocurre de “m” maneras diferentes y otro evento
“B” ocurre de “n” maneras diferentes, siendo ambos mutuamente excluyentes (No pueden
ocurrir A y B simultaneamente); entonces la ocurrencia de los eventos: “A o B” sucede de
m+ n maneras diferentes.
2. Principio de la multiplicacion: Si un evento “A” puede ocurrir de “m” maneras difer-
entes y despues de haber ocurrido cualquiera de ellos, otro evento “B” puede ocurrir de
“n” maneras diferentes, entonces la ocurrencia de los eventos: “A y B” sucede de m × n
maneras diferentes.
Segun los criterios empleados para la formacion, las agrupaciones pueden ser de tres tipos:
Permutaciones
Variaciones
Combinaciones
1.9.2. Permutaciones
Es el arreglo u ordenacion de todos los elementos de un conjunto, donde un arreglo se
diferencia de otro por el orden de ubicacion de sus elementos.
Para n objetos diferentes, el numero de permutaciones Pn esta dado por:
Pn = n!
Permutacion circular
Es el arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto, distribuidos alrededor
de una curva cerrada de forma circular El numero de permutaciones circulares de n elementos,
esta dado por:
Pcn = (n− 1)!
30 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Permutacion con repeticion
El numero de permutaciones de n objetos en el que se repiten alguno de ellos esta dado
por:
Pn{k1,k2,k3,...km} =
n!
k1!× k2!× k3!× . . . kn!
Donde:
k1, k2, k3, . . . km : Numero de veces que se repite cada elemento.
k1 + k2 + k3 + . . .+ km = n : Numero total de elementos.
1.9.3. Variaciones
Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse con “n” elementos tomados de “k” en
“k”, teniendo en cuenta el orden de sus elementos. El numero de variaciones esta dado por:
V nk =
n!
(n− k)!; n > k
Notese que una variacion es un caso particular de una permutacion.
1.9.4. Combinaciones
Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse con “n” elementos tomados de “k” en
“k”, de modo que dos arreglos cualesquiera difieren por lo menos en un elemento. El numero
de combinaciones esta dado por:
Cnk =
n!
k!(n− k)!; n > k
1.10. Logica
La estrecha relacion existente entre la matematica moderna y la logica formal es una
de sus caracterısticas fundamentales. La logica aristotelica era insuficiente para la creacion
matematica ya que la mayor parte de los argumentos utilizados en esta contienen enunciados
del tipo “si, entonces”, absolutamente extranos en aquella.
La logica proposicional utilizando una representacion primitiva del lenguaje, permite rep-
resentar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La logica proposicional permite
el estudio del razonamiento, a traves de un mecanismo que primero evalua enunciados simples
y luego enunciados complejos, formados mediante el uso de conectivos proposicionales.
Una de las mayores dificultades al analizar el rigor matematico de una demostracion se halla
en el hecho de que debemos comunicar nuestras ideas empleando el lenguaje ordinario, que
Walter Arriaga D. Matematica Basica 31
esta lleno de ambiguedades. En ocasiones es difıcil decidir si determinada lınea de razonamiento
es correcta o no. La logica elimina estas ambiguedades aclarando como se construyen las
proposiciones, hallando su valor de verdad y estableciendo reglas especıficas de inferencia por
medio de las cuales se puede determinar si un razonamiento es valido o no.
En esta primera parte estudiaremos uno de los dos niveles en los que se desenvuelve la
moderna logica formal: la logica de enunciados o de proposiciones.
1.10.1. Proposiciones y tablas de verdad
En el desarrollo de cualquier teorıa matematica se hacen afirmaciones en forma de frases
y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos
enunciados o proposiciones.
Definicion 1.10.1. En el lenguaje cientıfico, una proposicion se refiere a un enunciado que
puede ser verdadero o falso, pero no ambas cosas a la vez, generalmente una oracion enuncia-
tiva. Es el elemento unidad sobre el que se construye el lenguaje formal de la Logica.
Un enunciado linguıstico (generalmente en la forma gramatical de una oracion enunciativa)
puede ser considerado como proposicion logica cuando es susceptible de ser verdadero o falso.
Aunque existen logicas polivalentes, en orden a la claridad del concepto, aquı consideramos
unicamente el valor de Verdad o Falsedad.
Ejemplo 1.10.1. Las siguientes no son proposiciones.
(a) x+ y > 5
(b) ¿Te vas?
(c) Compra cinco azules y cuatro rojas.
(d) x = 2
Solucion
En efecto, (a) es una afirmacion pero no es una proposicion ya que sera verdadera o falsa
dependiendo de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmacion (d). Los ejemplos (b) y
(c) no son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones.
Desde el punto de vista logico carece de importancia cual sea el contenido material de los
enunciados, solamente interesa su valor de verdad.
Hay oraciones aseverativas que no son proposiciones. La oracion “El es estudioso”. No
es posible determinar si es verdadera o falsa, si no se sabe a quien se refiere. Las oraciones
32 Matematica Basica Walter Arriaga D.
de esta naturaleza se llaman enunciados abiertos. Los enunciados abiertos usan las palabras
“el”, “ella” y los sımbolos x, y, z, etc. No son proposiciones pero cuando se reemplazan estas
palabras o sımbolos por un determinado objeto o valor resultan ser proposiciones.
Ejemplo 1.10.2. Dadas las siguientes oraciones:
2 + x = 10
n es un numero primo
Se tiene que, en el primer enunciado si reemplazamos x por 5 Tendremos 2 + 5 = 10, la cual
ahora es una proposicion falsa. Si en el segundo enunciado si reemplazamos n por 7 Tendremos
“7 es un numero primo”, la cual ahora es una proposicion verdadera.
1.10.2. Valor de verdad
Definicion 1.10.2. Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposicion a su veraci-
dad o falsedad. La verdad y la falsedad son los valores de verdad que tienen las proposiciones.
Si p es una proposicion, su valor de verdad se denotara con V(p), entonces si V(p) = V decimos
que la proposicion p es verdadera, y si V(p) = F falsa. En adelante abreviaremos con “V” y
“F” los valores de verdad.
Una proposicion se representa simbolicamente por letras minusculas tales como: p, q, r,
etc (llamadas variables proposicionales). Cuando se trata de representar muchas proposiciones
similares se usan subındices para indicar cada una de ellas, esto es, p1, p2, p3, . . ., pn
Ejemplo 1.10.3.
Proposicion Valor de verdad
• Federico Villarreal es un matematico peruano. (V)
• El cuadrado es un polıgono. (V)
• 7 es un numero impar y 4 es par. (V)
• La tierra no gira alrededor del sol. (F)
• La manzana es un tuberculo. (F)
• El numero 1331 es divisible por 11. (V)
• Todos los hombres son mortales. (F)
Observacion 1.10.1.
1. Es importante notar que lo que interesa basicamente en una proposicion es su sentido de
verdad o falsedad, porque oraciones distintas pueden expresar una misma proposicion.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 33
Por ejemplo:
� Alessandra y Leonardo son primos.
� Leonardo es primo de Alessandra.
� Alessandra es prima de Leonardo.
2. Las proposiciones no son propias de ningun lenguaje, en cambio las oraciones forman
parte de un determinado lenguaje. Por ejemplo:
� El cielo esta nublado. castellano
� The sky cloudy. ingles
� Le ciel est nugeux. frances
� Oceu esta nuvado. portugues
3. Aquellos enunciados que indican una pregunta, una orden o una exclamacion, son ex-
presiones no proposicionales. Por ejemplo:
� ¿Que hora es?.
� ¿Que edad tienes?.
� ¡Que maravilla!.
� ¡Viva el Peru!.
� Levantate temprano.
� Prohibido fumar.
1.10.3. Tabla de valores de verdad
La tabla de valores de verdad, tambien conocida como tabla de verdad, es una herramienta
desarrollada por Charles Peirce en los anos 1880, siendo sin embargo mas popular el formato
que Ludwig Wittgenstein desarrollo en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.
Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposicion molec-
ular, ası como el analisis de la misma en funcion de las proposicıones que la integran.
En realidad toda la logica esta contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta
todo lo que implican las relaciones sintacticas entre las diversas proposiciones. No obstante la
sencillez del algoritmo, aparecen una gran dificultad, la gran cantidad de operaciones que hay
que hacer para una proposicion con mas de 4 variables. Esta dificultad ha sido magnıficamente
superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.
Regla
Si tenemos dos proposiciones, como en todos los casos anteriores que hemos visto, nece-
sitaremos cuatro filas. De estas cuatro filas la primera columna tendra los valores de verdad:
34 Matematica Basica Walter Arriaga D.
V,V, y F,F, y la segunda columna V,F,V y F. Las siguientes columnas tendran los valores de
verdad segun la proposicion dada.
Si se tienen tres proposiciones, necesitaremos ocho filas, de las cuales la primera columna
se acomodaran los valores de verdad de la siguiente manera: V,V,V,V y F,F,F,F. Para la
segunda columna se reparten los valores: V,V, F,F, V,V, F,F. Y para la tercera columna
seran: V,F,V,F,V,F,V,F.
Para cuatro proposiciones, se necesitan 16 filas de las cuales en la primera columna se
reparten los valores de verdad: 8 V y 8 F. La segunda columna empezara con cuatro V,
despues cuatro F, y ası sucesivamente hasta ocupar los 16 lugares, es decir, V,V,V,V F,F,F,F
V,V,V,V y F,F,F,F. Para la tercera columna: V,V, F,F...hasta la fila numero 16.
En general: Analizando que para dos proposiciones se necesitan cuatro filas o visto de
otra manera: se necesitan 22 = 4 filas. Para tres proposiciones se necesitan ocho filas, o,
23 = 8. Para cuatro proposiciones necesitaremos 24 = 16 filas. En general para n proposiciones
necesitaremos 2n filas.
1.10.4. Clases de proposiciones
a. Simples. Llamadas tambıen atomicas o elementales, son aquellas que no contienen dentro
de sı ninguna otra proposicion. Son las proposiciones de la forma mas simple (o mas basicas),
constan de un solo sujeto y un solo predicado.
Ejemplo 1.10.4.
• Un angulo recto mide 90°.
• Jose Olaya fue un heroe de la independencia del Peru.
• La parabola es una conica.
• El numero 8 es divisible por 5.
b. Compuestas. Llamadas tambıen moleculares o coligativas, son aquellas que estan con-
stituıdas por dos o mas propopsiciones simples. Tambien se las conoce como funciones
veritativas.
En la composicion de proposiciones simples, estas estan ligadas por ciertas palabras lla-
madas conectivas tales como “y”, “o”, “si, entonces”, “si y solo si”, “no”, “pero”, etc. Estas
constantes proposicionales son llamadas Conectivos logicos.
Ejemplo 1.10.5.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 35
El terreno es muy fertil y hay suficiente lluvia.
Esta proposicion esta compuesta de dos proposiciones simples:
p : El terreno es muy fertil.
q : Hay suficiente lluvia.
La luna no es satelite de la tierra.
Es una proposicion molecular que utiliza el conectivo “no”. En este caso, el termino
de enlace actua solo sobre una proposicion atomica:
p : La luna es satelite de la tierra.
Si estamos en diciembre entonces llegara la navidad.
p : Estamos en diciembre.
q : Llegara la navidad.
La tierra o el trabajo son factores primarios de produccion.
p : La tierra es un factor primario de produccion.
q : El trabajo es un factor primario de produccion.
Si llueve mucho y hace frıo se arruinara la cosecha de arroz.
p : Si llueve mucho se arruinara la cosecha de arroz.
q : Si hace frıo se arruinara la cosecha de arroz.
El triangulo es una figura geometrica si y solo si tiene tres lados.
p : El triangulo es una figura geometrica.
q : El triangulo tiene tres lados.
1.10.5. Conectivas
Las conectivas, conectivos logicos o terminos de enlace tienen la funcion de relacionar las
proposiciones que forman un enunciado compuesto. Son expresiones linguısticas que, aplicadas
a uno o dos enunciados, permite obtener un enunciado compuesto. Por extension, llamaremos
tambien conectivas a los signos logicos que los representan. Las expresiones linguısticas que
representan a las diferentes conectivas son: “y”, “o”, “o · · · o”, “si · · · , entonces”, “si y solo
si”, “no”. Las conectivas dadas se pueden clasificar en dos grupos:
Conectiva monadica. No enlaza dos proposiciones atomicas, afecta a una sola proposicion.
La expresion “no” es una conectiva monadica.
Conectivas diadicas o binarias. Enlazan dos proposiciones atomicas. Las expresiones “y”,
“o”, “o · · · o”, “si · · · , entonces”, “si y solo si” son conectivas diadicas.
36 Matematica Basica Walter Arriaga D.
1.10.6. Simbolizacion de proposiciones
En los ejemplos de proposiciones dadas anteriormente observamos que algunas proposi-
ciones son cortas pero tambien algunas de las proposiciones atomicas del lenguaje usual son
largas, resultando por ello pesadas y de difıcil manejo. La logica simplifica la dificultad uti-
lizando sımbolos en lugar de trabajar con todo el contenido de la proposicion, tambien utiliza
sımbolos para representar a los terminos de enlace, ası tenemos:
Para denotar a cada una de las proposiciones atomicas (en afirmativo) adoptaremos las
letras p, q, r, s, t, etc.
Para representar a las expresiones (o sus equivalentes) de enlace o conectivas utilizaremos:
∧, ∨, ∼, →, ←, ↔, ∆
Sımbolo Operacion asociada Significado
∧ Conjuncion p y q
∨ Disyuncion debil p o q (en sentido incluyente)
∼ Negacion no p
→ Implicacion o Condicional si p entonces q
↔ Bicondicional p si y solo si q
∆ Diferencia simetrica o Disyuncion fuerte o p o q
Cuadro 1.1: Conectivos logicos
Ejemplo 1.10.6. Simbolizar las siguientes proposiciones:
a. Albert Einstein no es filosofo, sino fısico.
Solucion
Forma logica: Einstein es fısico y Einstein no es filosofo.
Formula: p = Einstein es fısico.
q = Einstein es filosofo.
Simbolizacion: p∧ ∼ q
b. Sin carbono, oxıgeno, nitrogeno e hidrogeno, no hay vida.
Solucion
Walter Arriaga D. Matematica Basica 37
Forma logica:Si no hay carbono y no hay oxıgeno y no hay nitrogeno y no hay
hidrogeno, entonces no hay vida.
Formula: p = hay carbono.
q = hay oxıgeno.
r = hay hidrogeno.
s = hay nitrogeno.
t = hay vida.
Simbolizacion: (∼ p∧ ∼ q ∧ ∼ r∧ ∼ s)→∼ t
c. Si el procedimiento de la eliminacion de Gauss no puede ser completado para obtener [I/B]
de [A/I], entonces la matriz A no tiene inversa.
Solucion
Forma logica: Es clara por si misma.
Formula:p = el procedimiento de la eliminacion de Gauss puede ser completado
para obtener [I/B] de [A/I].
q = la matriz A no tiene inversa.
Simbolizacion: ∼ p →∼ q
d. El “Hospital Belen” de Lambayeque ha sido reconocido como “Hospital amigo” de la madre
y el nino, por haber puesto en practica los 10 pasos hacia una lactancia natural exitosa.
(Minsa - UNICEF, 1995)
Solucion
Forma logica:
Si el ”Hospital Belen”ha puesto en practica los 10 pasos hacia una lactan-
cia natural exitosa, entonces ha sido reconocido como “hospital amigo”
de la madre y el nino.
Formula:p = El ”Hospital Belen”de Lambayeque ha puesto en practica los 10
pasos hacia una lactancia natural exitosa.
q = El “Hospital Belen” de Lambayeque ha sido reconocido como “hos-
pital amigo” de la madre y el nino.
Simbolizacion: p → q
1.10.7. Operaciones con proposiciones
Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o mas
proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposicion
resultante a traves de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuacion el uso y
significado de los diferentes conectivos logicos.
38 Matematica Basica Walter Arriaga D.
1.10.8. Conjuncion
Se denomina conjuncion al resultado de unir dos proposiciones p y q con el conectivo logico
∧. Denotamos por “p ∧ q” y se lee “p y q”, cuya tabla de verdad es:
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Cuadro 1.2: Conjuncion
La tabla que define esta operacion, establece que la conjuncion es verdadera solo si las dos
proposiciones componentes son verdaderas. En todo otro caso, es falsa.
A las proposiciones que componen una conjuncion se las denomina conjuntivos.
Observacion 1.10.2. Las palabras “pero”, “sin embargo”, “ademas”, “aunque”, “no ob-
stante”, “tambien”, “ası como”, “a la vez”, “tal como”, “tanto como”, “al igual que”, “inclu-
so”, “ası mismo”, “a pesar que”, “obviamente”, “ahora bien”, “sino”, equivalen al conectivo de
la conjuncion. La coma tambien puede desempenar como un conectivo logico de conjuncion.
Ejemplo 1.10.7. Sea la proposicion:
r : 5 es un numero impar y 6 es un numero par
Vemos que esta compuesta de dos proposiciones:
p: 5 es un numero impar
q: 6 es un numero par
Por ser ambas verdaderas, la conjuncion es verdadera.
Ejemplo 1.10.8. Sea la proposicion:
r : Hoy es el dıa 3 de noviembre y manana es el dıa 5 de noviembre
Esta conjuncion es falsa, ya que no pueden ser simultaneamente verdaderas ambas proposi-
ciones.
Ejemplo 1.10.9. Otros ejemplos de conjuncion:
12 es multiplo de 3 y de 4.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 39
Julio estudia no obstante tiene que trabajar.
El tetraedro tiene triangulos equilateros y el hexaedro cuadrados.
El rombo y el rectangulo son paralelogramos.
El estudiante tuvo dificultades, pero logro desarrollar el ejercicio.
El profesor gano el concurso, en la noche llamare a su casa.
15 es multiplo de 3, pero 5 no es mayor que 7.
1.10.9. Disyuncion inclusiva
Se denomina disyuncion inclusiva o disyuncion debil al resultado de unir dos proposiciones
p y q con el conectivo logico ∨. Denotamos por “p ∨ q” y se lee “p o q”, cuya tabla de verdad
es:
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Cuadro 1.3: Disyuncion inclusiva
La disyuncion solo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.
Las proposiciones que forman una disyuncion se denominan disyuntivos.
Observacion 1.10.3. Las palabras “u”, “salvo”, “a menos que”, “excepto”, equivalen al
conectivo logico de la disyuncion inclusiva.
Ejemplo 1.10.10. Dada la proposicion:
Alessandra es doctora o tenista
En este caso el sentido de la disyuncion es inclusiva, ya que puede ser que Alessandra sea
doctora y ademas puede ser tenista.
Ejemplo 1.10.11. Otros ejemplos de disyuncion inclusiva:
Isaac Newton invento el calculo diferencial o Grahan Bell invento el telefono.
40 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Tiro las cosas viejas o que no me sirven.
Los profesores de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo tienen estudios de maestrıa
o doctorado.
2 es un numero primo o un numero par.
Leonardo es futbolista o ajedrecista.
El exagono es un polıgono o el rectangulo es un cuadrilatero.
1.10.10. Negacion
Dada una proposicion p, se denomina la negacion de p a otra proposicion denotada por
∼ p que se lee “no p” y que le asigna el valor veritativo opuesto al de p.
Ejemplo 1.10.12. Dada la proposicion:
P : Alessandra estudia medicina humana
entonces
∼ p : Alessandra no estudia medicina humana.
Tambien puede escribirse:
∼ p : no es cierto que Alessandra estudia medicina humana.
Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:
p ∼ p
V F
F V
Cuadro 1.4: Negacion
Observamos aquı que al valor V de p, la negacion le hace corresponder el valor F, y
viceversa. Se trata de una operacion unitaria, pues a partir de una proposicion se obtiene
otra, que es su negacion.
Observacion 1.10.4. Las palabras “es falso que”, “no es cierto que”, “es absurdo que”, “no
ocurre que”, “no es el caso que”, “no es posible que”, “nunca”, equivalen al conectivo logico
de la negacion.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 41
Ejemplo 1.10.13. La negacion de p : “todos los alumnos estudian matematica” es: ∼ p :
no todos los alumnos estudian matematica; O bien: ∼ p : no es cierto que todos los alumnos
estudian matematica; O bien ∼ p : hay alumnos que no estudian matematica
Ejemplo 1.10.14. Otros ejemplos de negacion:
No es cierto que la cosecha de cana trae perdidas.
Es falso que el automovil es petrolero.
Nunca he visto perros de color rojo.
Ejemplo 1.10.15. Simbolizar la siguiente proposicion:
No es el caso de que 10 sea multiplo de 3 o que 5 + 2 < 10.
Solucion: Si p : 10 es multiplo de 3, y q : 5 + 2 < 10; entonces la proposicion se simboliza:
∼ (p ∨ q)
1.10.11. Condicional
La condicional lLamada tambien Implicacion de las proposiciones p y q es la proposicion
p→ q que se lee “si p entonces q” y cuya tabla de valores de verdad es:
p q p→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Cuadro 1.5: Condicional
La proposicion que sigue a la palabra “si”, es decir p se llama antecedente, y la proposi-
cion que sigue a la palabra “entonces” es decir q se llama consecuente de la implicacion o
condicional.
La tabla nos muestra que la implicacion solo es falsa si el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso.
Ejemplo 1.10.16. Dada la implicacion
Si apruebo︸ ︷︷ ︸p
entonces te presto el libro︸ ︷︷ ︸q
42 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Esta implicacion esta compuesta de las proposiciones
El antecedente p : apruebo
El consecuente q : te presto el libro
Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicacion, en relacion a la verdad o
falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condi-
cionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que
si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el
apunte la implicacion es verdadera. Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no
presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposicion es falsa. Si p y q son verdaderas,
entonces la proposicion es verdadera pues el compromiso se cumple.
Ejemplo 1.10.17. Dada la proposicion r : si 1 = −1 entonces 12 = (−1)2. Esta proposicion
resulta ser verdadera por ser el antecedente (1 = −1) falso.
Observacion 1.10.5. Las palabras “implica”, “por lo tanto”, “conclusion”, “luego”, “por
consiguiente”, “de ahi que”, “de modo que”, “deviene”, “solo si”, “es condicion suficiente
para”, “si p entonces q”, “dado p por eso q”, “cuando p ası pues q”, “de p derivamos q”,
equivalen al conectivo logico de: p→ q.
Observacion 1.10.6. Las palabras “porque”, “ya que”, “puesto que”, “si”, “cuando”, “siem-
pre que”, “dado que”, “cada vez que”, “pues”, “supone que”, “a condicion de que”, “es condi-
cion necesaria para”, “solo si”, equivalen al conectivo logico de: p← q.
Ejemplo 1.10.18. En la proposicion
te presto mi libro︸ ︷︷ ︸q
porque aprobe︸ ︷︷ ︸p
Esta implicacion sigue estando compuesta de las proposiciones
Antecedente p : aprobe
Consecuente q : te presto el libro
Lo simbolizamos (q ← p) o (p→ q), y puede reescribirse como:
si apruebo entonces te presto mi libro.
Veamos un ejemplo, el cual ayudara a comprender las maneras en que una proposicion
condicional se puede expresar:
Ejemplo 1.10.19. Cuando decimos:
Mi automovil funciona si hay gasolina en el tanque
Este enunciado es equivalente a expresarlo de las siguientes maneras:
Walter Arriaga D. Matematica Basica 43
a. Si hay gasolina en el tanque, entonces mi automovil funciona.
Observa que en este caso la proposicion condicional es del caso: “Si p, entonces q”.
b. Mi automovil solo funciona si hay gasolina en el tanque.
En este caso la proposicion condicional es del caso: “p solamente si q”.
c. Si hay gasolina en el tanque, es suficiente para que mi automovil funcione.
En este caso la condicional es de la forma: “p es suficiente par q”.
d. Para que mi automovil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque.
Para este caso la proposicion condicional es de la forma: “q es necesario para q”.
e. Que haya gasolina en el tanque implica que mi auto funcione.
En este caso la condicional es de la forma: “p implica q”.
Ejemplo 1.10.20. Otros ejemplos:
Si estudio a conciencia, entonces aprobare logica.
p→ q, donde p : estudio a conciencia, q : aprobare logica.
Si Tuman es un distrito de Chiclayo, entonces Chiclayo es provincia de Lambayeque.
p → q, donde p : Tuman es un distrito de Chiclayo, q : Chiclayo es provincia de Lam-
bayeque.
Ire al cine, si tengo dinero.
p← q, donde p : Ire al cine, q : tengo dinero.
Si 2 + 1 = 3, entonces Lambayeque tiene tres provincias.
p→ q, donde p : 2 + 1 = 3, q : Lambayeque tiene tres provincias.
8 es un numero par, si 8 es divisible por 2.
p← q, donde p : 8 es un numero par, q : 8 es divisible por 2.
Si manana voy a la playa, me levantare temprano.
En esta proposicion la palabra “entonces” no figura y en su lugar se coloca una coma.
Comprare zapatos solo si estan baratos.
Para que un numero sea impar es suficiente que no sea divisible por dos.
Ire a trabajar cuando sea bien remunerado.
La carretera se interrumpe siempre que hay huaycos.
44 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Cada vez que hay nevada las plantas se secan.
Flor no viajo a Espana porque perdio sus documentos.
A toda condicional se le asocia otras tres proposiciones, igualmente importantes, que son:
la recıproca, la inversa y la contra recıproca.
Proposicion recıproca
Dada la proposicion condicional p→ q, se llama proposicion recıproca a la proposicion que
se denota por q → p y cuya tabla de valores de verdad es:
p q q → p
V V V
V F V
F V F
F F V
Cuadro 1.6: Recıproca
Ejemplo 1.10.21. Sea la proposicion directa p→ q:
“Si x es par, entonces, x es multiplo de 2”.
La proposicion recıproca q → p sera:
“Si x es multiplo de 2, entonces, x es par.
Proposicion inversa
Dada la proposicion condicional p → q, se llama proposicion inversa a la proposicion que
se denota por ∼ p→∼ q y cuya tabla de valores de verdad es:
p q ∼ p→∼ q
V V V
V F V
F V F
F F V
Cuadro 1.7: Inversa
Ejemplo 1.10.22. Sea la proposicion directa p→ q:
“Si Flor tiene 30 anos, entonces es joven”.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 45
La proposicion inversa ∼ p→∼ q sera:
“Si Flor no tiene 30 anos, entonces no es joven”.
Proposicion contra recıproca
Dada la proposicion condicional p→ q, se llama proposicion contra recıproca a la proposi-
cion que se denota por ∼ q →∼ p.
Esta proposicion es de mucha utilidad en la demostracion por reduccion al absurdo o falsa
suposicion.
La tabla de valores de verdad es:
p q ∼ q →∼ p
V V V
V F F
F V V
F F V
Cuadro 1.8: Contrarecıproca
Ejemplo 1.10.23. Sea la proposicion directa p→ q:
“Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, entonces son paralelas”.
La proposicion contra recıproca ∼ q →∼ p sera:
“Si dos rectas no son paralelas, entonces no son perpendiculares a una misma recta”.
1.10.12. Bicondicional
La bicondicional llamada tambien doble implicacion de las proposiciones p y q es la proposi-
cion p↔ q que se lee “p si y solo si q” y cuya tabla de valores de verdad es:
p q p↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Cuadro 1.9: Bicondicional
La doble implicacion o bicondicional solo es verdadera si ambas proposiciones tienen el
mismo valor de verdad. La doble implicacion puede definirse como la conjuncion de una impli-
46 Matematica Basica Walter Arriaga D.
cacion y su recıproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p↔ q puede obtenerse
mediante la tabla de (p→ q) ∧ (q ← p), como vemos:
p q p→ q p← q (p→ q) ∧ (q ← p) p↔ q
V V V V V V
V F F V F F
F V V F F F
F F V V V V
Cuadro 1.10: Una equivalencia de la Bicondicional
Los componentes del bicondicional reciben el nombre de componente izquierdo y compo-
nente derecho.
Observacion 1.10.7. Las palabras “si y solo si”, “condicion necesaria y suficiente”, “sola-
mente si”, “cuando y solo cuando”, “entonces y solo entonces”, “es identico”, “cada vez que
y solo si”, equivalen al conectivo logico de: p↔ q.
Ejemplo 1.10.24. Dada la proposicion: a = b si y solo si a2 = b2.
El enunciado esta compuesto por las proposiciones:
p : a = b
q : a2 = b2
Ejemplo 1.10.25. Otros ejemplos:
Una figura geometrica es un triangulo si y solo si tiene tres lados.
Una institucion educativa tiene Rector si y solo si es una Universidad.
Los profesionales egresados consiguen trabajo inmediatamente si y solo si la Universidad
es de calidad.
Saldremos de vacaciones cuando y solo cuando tengamos un ano trabajando.
1.10.13. Disyuncion exclusiva
La disyuncion exclusiva llamada tambien diferencia simetrica de las proposiciones p y q es
la proposicion p∆ q que se lee “p o q” en sentido excluyente o tambien “o p o q”; cuya tabla
de valores de verdad es:
La verdad de p∆ q esta caracterizada por la verdad de una y solo una de las proposiciones
componentes, es decir, la disyuncion exclusiva de dos proposiciones es falsa si y solo si los dos
disyuntivos tienen el mismo valor de verdad, y es verdadera en los demas casos.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 47
p q p∆ q
V V F
V F V
F V V
F F F
Cuadro 1.11: Disyuncion exclusiva
Ejemplo 1.10.26. Dada la proposicion: “o vamos a Lima o vamos a Cuzco”.
Queda claro que solo podremos ir a uno de los dos lugares, y solo a uno.
Ejemplo 1.10.27. Otros ejemplos
El logico Kur Godel nacio en Checolslovaquia o nacio en Polonia.
La clase de logica empezara a las 8 o las 9 am.
El profesor esta sano o enfermo.
Alessandra viaja hoy a Canada o a Corea.
Cesar Vallejo nacio en Peru o en Francia.
Variables Negacion Conjuncion Disyuncion Condicional Bicondicional Disyuncion
inclusiva exclusiva
p q ∼ p p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q p∆ q
V V F V V V V F
V F F F V F F V
F V V F V V F V
F F V F F V V F
Cuadro 1.12: Cuadro general de los conectivos logicos
1.10.14. Proposiciones Compuestas
Usando los conectivos logicos se pueden combinar cualquier numero finito de proposiciones
simples para obtener otras cuyos valores de verdad pueden ser conocidos construyendo sus
respectivas tablas de verdad.
Los signos de agrupacion (parentesis, corchetes, llaves) se usan en logica cuando se trata
de obtener esquemas logicos mas complejos con el fin de evitar la ambiguedad de las formulas.
48 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Ası por ejemplo, la expresion p ∨ q ∧ r es ambigua; pero asociando sus terminos: (p ∨ q) ∧ r
o p ∨ (q ∧ r), la expresion dada tiene sentido y deja de ser ambigua.
Ejemplo 1.10.28. Construir la tabla de verdad para la proposicion compuesta: [∼ p ∨ q]→(r ∧ p).
Solucion
p q r ∼ p ∼ p ∨ q r ∧ p [∼ p ∨ q]→ (r ∧ p)
V V V F V V V
V V F F V F F
V F V F F V V
V F F F F F V
F V V V V F F
F V F V V F F
F F V V V F F
F F F V V F F
1.10.15. Jerarquıa de los conectivos logicos
La jerarquıa de las conectivas, desde la mas fuerte a la mas debil es:
Bicondicional (↔)
Condicional (→)
Conjuncion (∧), Disyuncion inclusiva (∨), Disyuncion exclusiva (∆)
Negacion (∼)
En el lenguaje usual hay recursos muy variados para determinar la jerarquıa de las conectivas,
como las comas, los puntos y comas, y ciertas expresiones de refuerzo como “no es cierto que”
para negar una proposicion compuesta, y “ademas” y “tambien” para reforzar una conjuncion,
y otras. En el lenguaje oral la agrupacion o jerarquıa se realiza mediante las pausas y las
diferencias de entonacion.
En las proposiciones formalizadas o simbolizadas que hacen uso de los signos de agrupacion
(parentesis, corchetes y llaves) la jerarquıa de las conectivas es determinada por dichos signos
de agrupacion.
Para la simbolizacion o formalizacion de proposiciones compuestas es necesario saber iden-
tificar la conectiva de mayor jerarquıa y saber utilizar los signos de agrupacion correspondi-
entes.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 49
Ejemplo 1.10.29. formalizar cada una de las siguientes proposiciones y determine la conec-
tiva de mayor jerarquıa.
a. Si no conseguimos pasaje y el tiempo es malo, entonces comprare una bicicleta o un tele-
visor.
p: conseguimos pasaje
q: el tiempo es malo
r: comprare una bicicleta
s: comprare un televisor
Formalizacion:
(∼ p ∧ q)→ (r ∨ s)
La conectiva de mayor jerarquıa es la condicional
b. No es cierto que, si 7 es un numero primo entonces 4 es un numero par y 6 no es impar.
p: 7 es un numero primo
q: 4 es un numero par
r: 6 es un numero impar
Formalizacion:
∼ [p→ (q∧ ∼ r)]
La conectiva de mayor jerarquıa es la negacion que esta delante del corchete.
c. A la vez 3 es mayor que 2 o 3 es menor que 2 y 3 es mayor que 1.
r: 3 es mayor que 2
s: 3 es menor que 2
t: 3 es mayor que 1
Formalizacion:
(r ∨ s) ∧ t
La conectiva dominante es el de la conjuncion.
La simbolizacion o formalizacion llamada tambien forma proposicional o forma logica es
toda formula que se obtiene a partir de una proposicion, reemplazando las proposiciones que
la constituyen por variables proposicionales (p, q, r, s, etc) y las conectivas por sus sımbolos
respectivos (∼, ∧, ∨, →, ↔, ∆).
Las tablas de verdad permiten clasificar las formas proposicionales en tres tipos:
50 Matematica Basica Walter Arriaga D.
1.10.16. Tautologıas
Son aquellas cuya columna resultante esta formada solamente por verdades (V). Las tau-
tologıas son las que mas interesan a la logica por ser un tipo de leyes logicas. Las leyes logicas
son formas que solo tienen interpretaciones verdaderas.
Ejemplo 1.10.30. Analizar la proposicion compuesta: w : (p → q) ↔ (∼ p ∨ q) a traves de
su tabla de verdad.
Solucion
p q ∼ p p→ q ∼ p ∨ q (p→ q)↔ (∼ p ∨ q)
V V F V V V
V F F F F V
F V V V V V
F F V V V V
A la columna resultante se le conoce con el nombre de Matriz principal
Vemos que para cualquier combinacion de las proposiciones p y q, la proposicion compuesta
w : (p→ q)↔ (∼ p ∨ q) es siempre verdadera. Entonces, la proposicion w es una tautologıa.
Ejemplo 1.10.31. Analizar la proposicion compuesta: w : [(p → q) ∧ p] → q a traves de su
tabla de verdad.
Solucion
p q p→ q (p→ q) ∧ p [(p→ q) ∧ p]→ q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
En este caso comprobamos tambien que independientemente de la combinacion de valores
de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la formula logica es siempre V. Decimos,
aquı tambien, que esta formula es una tautologıa o ley logica.
1.10.17. Contradicciones
Son aquellas, donde la columna resultante de la tabla de verdad esta conformada solamente
por falsedades (F).
Ejemplo 1.10.32. Analizar la proposicion compuesta: w : [(p ∧ q) ∨ q]∧ ∼ q a traves de su
tabla de verdad.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 51
Solucion
p q p ∧ q (p ∧ q) ∨ q ∼ q [(p ∧ q) ∨ q]∧ ∼ q
V V V V F F
V F F F V F
F V F V F F
F F F F V F
Obtenemos que la formula logica es siempre falsa, es entonces una Contradiccion.
Ejemplo 1.10.33. Analizar la proposicion compuesta: w : (∼ p∨ ∼ q)∆(p → ∼ q) a traves
de su tabla de verdad.
Solucion
p q ∼ p ∼ q ∼ p∨ ∼ q p→ ∼ q (∼ p∨ ∼ q)∆(p→ ∼ q)
V V F F F F F
V F F V V V F
F V V F V V F
F F V V V V F
Como los elementos de la matriz principal son falsos, entonces es una contradiccion.
1.10.18. Contingencias
Se dice que una formula logica es contingente si no es ni tautologico ni contradictorio. Su
matriz principal contiene por lo menos un V y un F.
Ejemplo 1.10.34. Analizar la proposicion compuesta: w : [p ∧ (p→ q)]→ (q∆r) a traves de
su tabla de verdad.
Solucion
p q r p→ q p ∧ (p→ q) q∆r [p ∧ (p→ q)]→ (q∆r)
V V V V V F F
V V F V V V V
V F V F F V V
V F F F F F V
F V V V F F V
F V F V F V V
F F V V F F V
F F F V F V V
52 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Una forma proposicional es consistente cuando tiene por lo menos una interpretacion ver-
dadera, y es inconsistente cuando no tiene ninguna interpretacion verdadera. Las tautologıas y
las contingencias son formas consistentes, mientras que las contradicciones son inconsistentes.
1.10.19. Equivalencias logicas
Existen varias equivalencias de la logica proposicional, las cuales se conocen como leyes de
equivalencia. Dos formulas F1 y F2 son equivalentes (o logicamente equivalentes) si: F1 ↔ F2
resulta ser una tautologıa, o si las tablas de valores de verdad de F1 y F2 son identicos, y se
denota F1 ≡ F2
Ejemplo 1.10.35. Las proposiciones p → q y ∼ (p ∧ ∼ q) son equivalentes, como vemos
realizando la tabla de valores correspondientes:
Solucion
p q p→ q ∼ (p ∧ ∼ q) [p→ q]↔ [∼ (p∧ ∼ q)]
V V V V V
V F F F V
F V V V V
F F V F V
Podemos concluir entonces que: p→ q y ∼ (p ∧ ∼ q) son equivalentes, es decir:
p→ q ≡∼ (p ∧ ∼ q)
Otro ejemplo de equivalencia es: p↔ q ≡∼ (p∆q). Esto se verifica revisando las tablas de
verdad.
1.10.20. Leyes del Algebra Proposicional
Son ciertas equivalencias logicas que las presentamos a continuacion y cuya demostracion
es facil de realizar exhibiendo sus tablas veritativas correspondientes.
1. Idempotencia:
a) p ∧ p ≡ p
b) p ∨ p ≡ p
2. Conmutativa:
a) p ∧ q ≡ q ∧ p
Walter Arriaga D. Matematica Basica 53
b) p ∨ q ≡ q ∨ p
c) p↔ q ≡ q ↔ p
d) p ∆q ≡ q∆p
3. Asociativa:
a) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
b) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
c) (p↔ q)↔ r ≡ p↔ (q ↔ r)
d) (p ∆q)∆r ≡ p ∆(q ∆r)
4. Distributiva:
a) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
b) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
c) p→ (q ∧ r) ≡ (p→ q) ∧ (p→ r)
d) p→ (q ∨ r) ≡ (p→ q) ∨ (p→ r)
5. Identidad:
a) p ∧V ≡ V ∧ p ≡ p
b) p ∧ F ≡ F ∧ p ≡ F
c) p ∨V ≡ V ∨ p ≡ V
d) p ∨ F ≡ F ∨ p ≡ p
6. Complemento:
a) ∼∼ p ≡ p Involucion
b) p ∧ ∼ p ≡ ∼ p ∧ p ≡ F
c) p ∨ ∼ p ≡ ∼ p ∨ p ≡ V Tercio excluıdo
d) p→ p ≡ V Principio de identidad
e) p↔ p ≡ V Principio de identidad
f) ∼ (p ∧ ∼ p) ≡ V Principio de no contradiccion
g) ∼ V ≡ F
h) ∼ F ≡ V
54 Matematica Basica Walter Arriaga D.
7. Morgan:
a) ∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q
b) ∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q
8. Absorcion:
a) p ∧ (p ∨ q) ≡ p
b) p ∨ (p ∧ q) ≡ p
c) p ∧ (∼ p ∨ q) ≡ p ∧ q
d) p ∨ (∼ p ∧ q) ≡ p ∨ q
9. Implicacion:
a) p→ q ≡ ∼ p ∨ q
b) p→ q ≡ ∼ (p ∧ ∼ q)
c) p→ q ≡ ∼ q → ∼ p
10. Doble Implicacion:
a) p↔ q ≡ (p→ q) ∧ (q → p)
b) p↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q)
11. Diferencia Simetrica:
a) p ∆q ≡ ∼ (p↔ q)
b) p ∆q ≡ (p ∧ ∼ q) ∨ (q ∧ ∼ p)
12. Expansion Booleana:
a) p ≡ p ∧ (q ∨ ∼ q)
b) p ≡ p ∨ (q ∧ ∼ q)
13. Transposicion:
a) p→ q ≡ ∼ q → ∼ p
b) p↔ q ≡ ∼ q ↔ ∼ p
14. Exportacion:
a) (p ∧ q)→ r ≡ p→ (q → r)
b) (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn)→ r ≡ (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn−1)→ (pn → r)
Walter Arriaga D. Matematica Basica 55
1.10.21. Simplificacion de proposiciones
La aplicacion de las leyes de la logica proposicional permite simplificar proposiciones molec-
ulares, reducir una proposicion compuesta a una proposicion mas simple, generalmente de
menos variables proposicionales y relacionadas con los conectivos logicos ∧, ∨, o ∼. En al-
gunos casos se reduce a una tautologıa o a una contradiccion.
Ejemplo 1.10.36. Simplificar la proposicion W = [(∼ p ∧ q)→ (r ∧ ∼ r)] ∧ (∼ q)
Solucion
W ≡ [∼ (∼ p ∧ q) ∨ (r ∧ ∼ r)] ∧ (∼ q) (9.a.)
≡ [(p ∧ ∼ q) ∨ F] ∧ (∼ q) (7.a., 6.b.)
≡ [(p ∧ ∼ q)] ∧ (∼ q) (5.d.)
≡ ∼ q (8.b.)
∴ W ≡ ∼ q �
Ejemplo 1.10.37. Simplificar la proposicion W =∼ [(p→∼ q)∨ ∼ q]→ [∼ p↔ (∼ p→ q)]
Solucion
W ≡ [(p→∼ q)∨ ∼ q] ∨ [∼ p↔ (∼ p→ q)] (9.a.)
≡ [(∼ p∨ ∼ q)∨ ∼ q] ∨ [∼ p↔ (p ∨ q)] (9.a.)
≡ [∼ p ∨ (∼ q ∨ ∼ q)] ∨ [∼ p↔ (p ∨ q)] (3.b.)
≡ (∼ p∨ ∼ q) ∨ [∼ p↔ (p ∨ q)] (1.b.)
≡ ∼ p∨ ∼ q ∨[(∼ p∧(p∨q))∨(p∧ ∼ (p∨q))] (10.b.)
≡ ∼ p∨ ∼ q ∨ [(∼ p ∧ q) ∨ (p∧ ∼ p∧ ∼ q)] (8.c.)
≡ ∼ p∨ ∼ q ∨ (∼ p ∧ q) ∨ (F∧ ∼ q) (6.b.)
≡ ∼ p∨ ∼ q ∨ (∼ p ∧ q) ∨ F (5.b.)
≡ [∼ p ∨ (∼ p ∧ q)]∨ ∼ q (3.b., 5.d.)
≡ ∼ p∨ ∼ q (8.b.)
∴ W ≡ ∼ p∨ ∼ q �
56 Matematica Basica Walter Arriaga D.
1.11. Conjuntos
1.12. Aplicaciones de la Aritmetica
1.12.1. Aplicaciones a la Medicina
Regla de tres
Administracion Vıa Oral, Sublingual y Topica
Vıa Oral
La administracion de medicamentos por vıa oral es la mas segura y economica, ası como la
mas recomendable cuando no existen dificultades o contraindicaciones para su utilizacion
(ej. vomitos) no se requiere una respuesta inmediata, ya que la accion farmacologica se
inicia lentamente en comparacion con otras vıas. Ademas, la tecnica de administracion
es muy sencilla y permite que el tratamiento pueda ser efectuado por el propio enfermo.
La mayor parte de los medicamentos pueden ser administrados por vıa oral, puesto que
la mucosa digestiva permite la absorcion de sustancias muy diversas, principalmente en
el estomago, desde donde pasan a la circulacion general y actuan a nivel sistemico.
Existen muy diferentes formas de presentacion de medicamentos para la administracion
oral, ya sea solidas (capsulas, comprimidos, tabletas) o liquidas (jarabes, soluciones,
suspensiones). Cuando se trata de medicamentos que puedan resultar alteradas por el
medio acido del estomago, se emplean capsulas o grageas con proteccion enterica.
La vıa oral es el mas comun de los metodos para administrar medicamentos en la ac-
tualidad. Es frecuente que el frasco de medicina que tenga usted en las manos posea
diferentes dosificaciones a la indicada por el medico. Cuando esto pasa, el trabajador
de la salud realizara algunos calculos matematicos para dar al paciente la cantidad del
medicamento que tiene prescrito por el medico.
Los ejemplos de los ejercicios resueltos, en la parte de las aplicaciones, le ayudaran
a desarrollar un metodo para desarrollar problemas de dosificacion de medicamentos
orales.
Vıa Intramuscular. IM
Es la introduccion de una sustancia a traves de la piel hasta el tejido muscular, para
lograr la absorcion mas rapida.
Una ampolla contiene cantidad suficiente para una sola aplicacion como la morfinade
Walter Arriaga D. Matematica Basica 57
10 mg. Un frasco con dosis multiples puede contener hasta diez (10) dosis, pero especi-
ficara la cantidad de farmaco contenido en un mililitro (ml) por ejemplo Ciprofloxacina
200 mg / 100 ml.
La dosis especificada en la etiqueta de la ampolla o frasco puede ser distinta a la orde-
nada por el medico; de ser ası, realizara una operacion matematica para determinar si el
volumen por aplicar es la senalada en el manejo de las diluciones de medicamentos para
uso oral.
58 Matematica Basica Walter Arriaga D.
✍ EJERCICIOS RESUELTOS 1.
I. Sucesiones y Series
1. Calcular el termino que continua:
5; 3; 6; 5; 7; 7; 8; 9; 9; . . .
Solucion
Como la sucesion es alternada entonces:
5 3 6 5 7 7 8 9 9
+2 +2 +2 +2
luego el termino que continua es: 11
2. Una tina se encuentra en reparacion, el primer dıa da 63 goteadas y cada dıa que
transcurre da dos gotas menos que el dıa anterior. ¿Cuantos dıas goteara la tina y
cuantas goteadas dara en total?.
Solucion
63, 61, 59, . . . , 1
an = a1 + (n− 1)r
63 = 1 + (n− 1)2
entonces n = 32, luego la suma
S = (1 + 63
2) 32 = 1024
3. Evaluar:
P = 23 + 43 + 63 + 83 + . . . . . .+ 163
Solucion
an = a1 + (n− 1)r
163 = 23 + (n− 1)(20)
de donde n = 8, luego
S =
(23 + 163
2
)8 = 744
II. Fracciones
Walter Arriaga D. Matematica Basica 59
1. Calcular: E =2, 2 + 4, 4 + 6, 6 + 8, 8
2, 8 + 4, 6 + 6, 4 + 8, 2Solucion
E =22
2 +8
9+ 4 +
6
9+ 6 +
4
9+ 8 +
2
9
E =22
20 +20
9
Reduciendo se tiene que E = 0,99.
2. Hallar: a+ b, sabiendo que son naturales y quea
9+
b
5= 1, 02.
Soluciona
9+
b
5= 1 +
2
90
entonces 5a+ 9b = 46, luego a = 2, b = 4, entonces a+ b = 6.
III. Razones y proporciones
1. La media proporcional de “a” y “b” es “x”, que es lo mismo que la tercera proporcional
de “8a” y “b”; lo mismo que la cuarta proporcional de√3 a, 2 y
√3 b. El valor de
a+ b+ x es:
Solucion
a
x=
x
b⇒ x =
√ab
8a
b=
b
x⇒ x =
b2
8a√3 a
2=
√3 b
x⇒ x =
2b
a
De las dos ultimas ecuaciones se tiene que b = 16, ademas 2ba =
√ab, entonces a = 4,
luego x = 8. Por lo tanto a+ b+ x = 28
2. Los numeros x, y, z son proporcionales a los numeros 2, 3, 5, la suma de x, y, y z es
80. El numero y esta dado por la ecuacion: y = ax+ 8. El valor de a es:
Solucion
x = 2k, y = 3k, z = 5k, ahora como
x+ y + z = 80
entonces k = 8, de donde x = 16, y = 24, z = 40; luego reemplazando en y = ax+ 8
se tiene que a = 1.
IV. Mezclas
60 Matematica Basica Walter Arriaga D.
1. Un recipiente se llena con 60 litros de vino. Se consume 1/3 del contenido y se vuelve
a llenar con agua, luego se consume 2/5 del contenido y se vuelve a llenar con agua.
¿Que cantidad de agua hay en la mezcla final?.
Solucion
vino 60
Se consume 1/3 del contenido y se vuelve a llenar con agua
Se extrae Queda
vino 13 (60)
23(60) = 40
vino 40
agua 20
Se consume 2/5 del contenido.
Se extrae Queda
agua 25(20)
35(20) = 12
vino 25(40)
35(40) = 24
Ahora se tiene 36 litros de mezcla y como se tiene que llenar con agua, se necesita de 24
litros de agua. Por lo tanto la cantidad de agua hay en la mezcla final es: 12+24 = 36
litros.
2. En un recipiente de 20 litros de capacidad se vierten 10 litros de pisco, 4 litros de
gaseosa y 6 litros de tequila. Se prueba la mezcla y resulta muy fuerte por lo que se
bota la cuarta parte del contenido y se llena con gaseosa; se vuelve a probar y sigue
muy fuerte por lo que se bota la tercera parte del contenido y se vuelve a llenar con
gaseosa; se prueba nuevamente y sigue fuerte por lo que se bota la quinta parte del
contenido y se llena con gaseoasa. ¿Cual es la cantidad de gaseosa contenida en el
recipiente final?.
Solucion
Del enunciado del problema se tiene:
Walter Arriaga D. Matematica Basica 61
6 L
10 L
4 L
Total
20L
Tequila
Pisco
Gaseosa
T P G
6 10 4 se bota 1/4 de la mezcla
Queda 9/2 15/2 3 se llena con gaseosa
Queda 9/2 15/2 8 se bota 1/3 de la mezcla
Queda 3 5 16/3 se llena con gaseosa
Queda 3 5 12 se bota 1/5 de la mezcla
Queda 12/5 4 48/5 se llena con gaseosa
Queda 12/5 4 68/5
Por lo tanto, la gaseosa contenida al final es 68/5 = 13,6 litros.
Otra forma es considerando al tequila y el pisco como uno solo, ası tenemos (10+6 = 16
litros)
Queda de tequila y pisco =4
5
(2
3
(3
4(16)
))= 6,4 litros.
puesto que:
Si se saca 1/4, entonces queda 3/4.
Si se saca 1/3, entonces queda 2/3.
Si se saca 1/5, entonces queda 4/5.
Por lo tanto, la gaseosa contenida al final es 20− 6,4 = 13,6 litros.
V. Regla de tres
1. Un ladrillo pesa 4 kg, ¿Cuanto pesara otro ladrillo cuyas dimensiones sean la mitad
del ladrillo anterior?
Solucionlongitud ancho altura peso
l a a
x kgl2
a2
a2
4 kg
de donde: l × a× a× x =l
2× a
2× a
2× 4, luego: x = 0,5
2. Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 dıas ¿Cuantos dıas tardaran 45 carpinteros
para hacer 12 puertas iguales?
Solucion
62 Matematica Basica Walter Arriaga D.
carpinteros dıas puertas
40 9
1245 x
16
de donde: 40× 9× 12 = 45 × x× 16, luego: x = 6
VI. Aplicaciones de la Aritmetica
Aplicaciones a la Medicina
1. El medico prescribio 300 mg de Ranitidina, la etiqueta del frasco dice que
contiene tabletas de 150 mg. El problema es determinar el numero de tabletas
para obtener la dosis precisa.
Solucion
De la dosis deseada del farmaco disponible, plantearemos utilizando la regla de
tres simple.
1 tableta 150 mg
x tabletas 300 mg
luego
x =300��mg× 1 tableta
150��mg
de donde x = 2 tabletas.
2. Cama Nº: 2
Nombre: Daddy Yankee
Medicamento: Morfina
Dosis: 8 mg
Vıa: I.M.
Hora: Cada 4 horas por razon necesaria
El farmaco que hay en el servicio dice: Morfina 10mg/1ml. El farmaco disponible
es Morfina 10mg/1ml; la prescripcion indica 8 mg de Morfina. Establezca la
proporcion para conocer la cantidad de medicamento que se debe suministrar.
Solucion
Usemos la regla de tres simple.
10 mg 1 ml
8 mg x ml
Walter Arriaga D. Matematica Basica 63
luego
x =8��mg× 1 ml
10��mg
de donde x = 0,8 ml.
64 Matematica Basica Walter Arriaga D.
✍ EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
I. Series
1. Una tina se encuentra en reparacion, el primer dıa da 63 goteadas y cada dıa que
transcurre da dos gotas menos que el dıa anterior. ¿Cuantos dıas goteara la tina y
cuantas goteadas dara en total?.
2. Evaluar: P = 23 + 43 + 63 + 83 + . . . . . .+ 163.
3. Calcular: S1 + S2 + S3; si se sabe que:
S1 = 1 + 3 + 5 + . . . . . .+ 19
S2 = 1 + 4 + 9 + . . . . . .+ 100
S3 = 0,1 + 0,2 + 0,3 + . . . . . .+ 8
4. Calcular:
10∑
n=1
(2n3 − 3n2 + 2n)
5. Hallar “x”; si:√2 ·√22 ·√23 . . .
√2x = 1048576(285)
6. Del triangulo numerico:
1
2 + 4
3 + 6 + 9
4 + 8 + 12 + 16...
Calcular la suma de los elementos de la fila 30.
7. Calcular: S = 2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . . 930
8. Calcular: S = 1× 5 + 2× 6 + 3× 7 + . . . + 20× 24
9. Hallar (n+m) en:1
2× 4× 6+
1
4× 6× 8+
1
6× 8× 10+ . . . +
1
40× 42× 44=
n
m
10. Reducir: S = 1 +1
2+
2
4+
3
8+
4
16+ . . .+
10
210
11. Efectuar: S = 2 + 5 + 8 + . . . . . .+ (3n− 1).
12. Calcular (x+ 3)2, si: 1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2x+ 3) = 7 + 14 + 21 + · · · + 49
13. Sumar: S =1
101+
2
102+
3
103+
4
104+ · · ·
14. Hallar S en: S =9
20+
18
80+
36
320+
72
1280+ · · ·
Walter Arriaga D. Matematica Basica 65
15. Hallar:
∞∑
x=1
(2x + 3x
6x
)
II. Fracciones
1. Calcular: E =2, 2 + 4, 4 + 6, 6 + 8, 8
2, 8 + 4, 6 + 6, 4 + 8, 2
2. Hallar: a+ b, sabiendo que son naturales y quea
9+
b
5= 1, 02.
3. Hallar los 2/3 menos de los 4/5 mas del triple de 30.
4. Hallar a en:
(1, 6
0, 3− 0, 3
1, 6
)(a
2, 6− 2
3+ 0, 16
)= 3
5. El denominador de una fraccion excede al numerador en 6, si el denominador aumenta
en 4 el valor de la fraccion serıa 1/6. Hallar dicha fraccion.
6. Alessandra perdio 2/7 del dinero que le encargaron. ¿Que parte de lo que quede
servira para reponer lo perdido?.
7. En una fiesta la 1/5 parte del numero de hombres es igual a los 7/9 del numero de
mujeres. ¿Que parte de los reunidos representan las mujeres?.
8. Una persona ya avanzo 1/5 de su recorrido. ¿Que fraccion de lo que falta debe avanzar
para llegar a los 8/15 del recorrido?.
9. En un grupo de estudios hay 60 alumnos, las 2/5 partes tienen mochilas. ¿Que fraccion
de los que no tienen mochilas, tienen mochila?.
10. Se extraen 400 litros de un tanque que estaba lleno hasta sus 2/3, quedando hasta sus
3/5. ¿Cuantos litros falta para llenar el tanque?.
11. Un tren parte con cierto numero de pasajeros. En el primer paradero deja la tercera
parte, en el segundo suben 65 pasajeros, en el tercero bajan las 3/5 de los que lleva,
en el cuarto suben 50 pasajeros y en el trayecto al quinto paradero deja los 3/8 de los
que lleva, llegando a este con 80 pasajeros determine, con cuantos pasajeros partio.
12. Se tiene 2 cajas de fosforo; se usa de la primera 3/8 del total y de la segunda 2/7 del
total. Los fosforos usados en la primera son 13 mas que de la segunda y queda en la
segunda caja 4/7 de fosforos que queda en la primera. ¿Cuantos fosforos tiene cada
caja?.
13. Si 0, n(n − 1) = N/11, hallar: N + n.
III. Razones y proporciones
66 Matematica Basica Walter Arriaga D.
1. La media proporcional de “a” y “b” es “x”, que es lo mismo que la tercera proporcional
de “8a” y “b”; lo mismo que la cuarta proporcional de√3 a, 2 y
√3 b. Hallar el
valor de a+ b+ x.
2. Los numeros x, y, z son proporcionales a los numeros 2, 3, 5, la suma de x, y, y z es
80. El numero y esta dado por la ecuacion: y = ax+ 8. Hallar el valor de a.
3. Dos numeros estan en la relacion de 2 a 6. Si la cuarta parte del mayor es la tercera
proporcional de 4 y la mitad del otro numero. Hallar la suma de los numeros.
4. En un recipiente de 30 litros y otro de 74 litros ¿Cuantos litros deben ser transferidos
del segundo recipiente al primero de manera que los contenidos se encuentren en la
razon de 3:5?.
5. Sabiendo quea
b=
c
d,√a+√b+√c+√d = 15. Hallar: a+ b+ c+ d.
6. Hallar:a
b; si
a
b=
c
d= k. Ademas:
a+ 1
b+ 5=
c+ 3
d+ 15.
7. Si:a
b=
5
8y a2 + b2 = 712. Calcular el exceso de b sobre a.
8. Calcular la razon de una serie de razones iguales donde la suma de cuadrados de los
antecedentes es 1/2 y de los consecuentes es 1/8.
9. Si A es inversamente proporcional a B; con una constante de proporcionalidad k,
¿Cuanto vale k si la constante de proporcionalidad entre la suma y diferencia de A y
1/B vale 6?.
10. Repartir 154 en partes directamente proporcionales a: 2/3, 1/4, 1/5, 1/6, e indicar la
mayor cantidad.
11. A tiene 8 panes y B tiene 4; y deben compartirlos equitativamente con C y D. Para
recompensarlo, estos entregaron 18 soles a A y B ¿Cuanto le toco a A?.
12. Hallar el valor de A+B + C +D + E, si:
A es la tercera diferencial de 20 y 16
B es la media diferencial de 27 y 39
C es la media proporcional de 72 y 18
D es la tercera proporcional de 5 y 25
E es la cuarta proporcional de 42, 12 y 14
13. Tres cantidades son proporcionales a 6, 8 y 10 y el producto de estos 960. Hallar el
numero intermedio.
14. En una fiesta se observa por cada 5 hombres hay 7 mujeres y ademas por cada 3
hombres que fuman hay 8 mujeres que no fuman. Sabiendo que hay 10 mujeres mas
Walter Arriaga D. Matematica Basica 67
que hombres y hay 20 personas fumando. ¿Cuantos hombres fuman?
IV. Mezclas
1. Un recipiente contiene una mezcla de 50 litros de agua con 30 litros de vino y se extrae
3/10 de dicha mezcla. ¿Cuantos litros de agua y vino quedan?
2. Un recipiente contiene 60 litros de vino. Se extrae 1/3 del contenido y se reemplaza por
agua; luego se extrae 2/5 de la mezcla y tambien se reemplaza por agua. ¿Que cantidad
de agua hay en la mezcla final?.
3. Un deposito contiene 75 litros de leche pura, luego se extrae 1/3 de su contenido y se
reemplaza por agua, enseguida se extrae 1/5 de la mezcla y tambien se reemplaza por
agua y por ultimo se extrae 1/4 de la nueva mezcla y tambien se reemplaza por agua,
¿Que relacion de leche pura y agua quedan en el deposito?.
4. Un balde se llena con 54 litros de agua, se extrae 9 litros de agua reemplazandolo
con lejıa, despues se extrae 9 litros de la mezcla resultante, que son reemplazados por
lejıa; haciendo lo mismo una 3°, 4°, . . . , n-esima vez, observandose que luego de n
operaciones, la parte fraccionaria de agua en la mezcla es78125
279936. Hallar n.
5. Dos piscos A y B estan mezclados en 3 recipientes. En el primer recipiente la razon
es de 1/2 de A y 1/2 de B. En el segundo es de 1/3 de A y 2/3 de B y en el tercero
es de 1/4 de A y 3/4 de B. Si se saca el mismo volumen de todos los recipientes para
formar una mezcla que contenga 39 litros del pisco A, ¿Cuantos litros se extraen de
cada recipiente?.
V. Regla de tres
1. Un ladrillo pesa 4 kg, ¿Cuanto pesara otro ladrillo cuyas dimensiones sean la mitad
del ladrillo anterior?
2. Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 dıas ¿Cuantos dıas tardaran 45 carpinteros
para hacer 12 puertas iguales?
3. Por 8 dıas de trabajo, 12 obreros han cobrado $.640 ¿Cuanto ganaran por 16 dıas, 15
obreros con los mismos jornales?
4. Si con 120 kg de pasto se alimenta a 4 caballos durante 5 dıas ¿Cuantos kg de pasto
se necesitaran para alimentar a 9 caballos en 3 dıas?
5. Un grupo de obreros debıa entregar una obra en un determinado plazo. Luego de
algunos dıas de trabajo se accidentaron 10 obreros y no pudieron ser reemplazados
68 Matematica Basica Walter Arriaga D.
hasta dentro de 8 dıas y por ello se contrataron 30 obreros adicionales, con lo cual, se
acabo la obra en la fecha prevista ¿Cuantos dıas trabajaron los ultimos obreros?
6. Una cuadrilla de 15 obreros trabajando 6 horas diarias terminan una obra en 38 dıas.
¿Cuantos dıas tardarıan para hacer la misma obra, 19 obreros trabajando 3 horas
diarias mas que los anteriores?
7. Ocho obreros pueden hacer una obra en 3 dıas. ¿Cuantos obreros mas harıan falta
para hacer la obra en 2 dıas?.
8. Si 36 obreros para pavimentar una pista de 400 metros de largo, por 6 metros de
ancho; demoran 32 dıas. ¿Cuantos dıas tardaran, si se aumento 12 obreros mas para
pavimentar otra pista de 300 metros de largo, por 8 metros de ancho?
9. Un ciclista cubre una distancia de Lima a Trujillo en 10 dıas, corriendo 12 horas a
una velocidad de 42 km por hora ¿A que velocidad debera correr para cubrir la misma
distancia en 8 dıas de 9 horas diarias?
10. Un ejercito de 7000 hombres tienen municiones para 20 dıas a razon de 6 cargas diarias
cada hombre, pero si llegan 1850 hombres sin municiones. ¿Cuantos dıas duraran las
municiones, si cada hombre recibe ahora solo 3 cargas diarias?
11. Un grupo de 45 obreros se comprometen a hacer 900 m2 de una obra en 30 dıas,
trabajando 6 horas diarias. Si trabajaron juntos 5 dıas, al final de los cuales, se les
pidio que entreguen solo 750 m2 de la obra, pero 7 dıas antes de lo previsto. ¿Cuantos
obreros seran necesarios emplear para que trabajando 12 horas diarias puedan cumplir
la nueva orden?
12. Treinta obreros hacen una zanja de 20m de largo, 2m de ancho y 1m de profundidad
en 18 dıas a 8h/dıa, ¿En cuantos dıas, 45 obreros haran una zanja, de manera que
las dimensiones finales sean 50% mayor que las iniciales y si las horas diarias no se
alteran?
VI. Tanto porciento
1. Si el 40% de A es igual a 20% de B. ¿Que porcentaje de B es A?
2. El 20% de un numero es el 30% de otro. ¿Que porcentaje de la suma es la diferencia
de estos numeros?
3. Ayer tuve $69 y gaste el 38% de lo que no gaste. ¿Cuanto no gaste?
4. Se vendio un artıculo en $4200 ganando el 14% del precio de compra mas el 5% del
precio de venta. ¿Cuanto costo el artıculo?
Walter Arriaga D. Matematica Basica 69
5. ¿Que porcentaje habrıa que disminuir a un numero para que sea igual al 60% del
25% del 80% del 50% de los 10/3 del numero?
6. Si a un numero “N” se le aumenta 5/16 de su valor, luego 1/7 del nuevo valor. Hallar
el porcentaje total que aumento el numero “N”.
7. Si al precio de venta de un artıculo, se le hace 3 descuentos sucesivos del 20%; 10%
y 5% se observa que el descuento efectivo ha sido de 632 soles ¿Cual es el precio de
venta de dicho artıculo?
8. ¿Cual es el precio de costo de un artıculo, cuyo precio de venta es “a” soles y la
ganancia es de “b%” del precio de venta?
9. Si la arista de un cubo disminuye en un 50%. ¿En que porcentaje ha disminuido su
area?
10. Si el diametro de un cırculo aumenta en un 70%. ¿En que porcentaje aumenta su
area?
11. De un recipiente lleno de vino, se extrae el 25% de lo que no se extrae. ¿Que tanto
por ciento estara lleno el recipiente, si se agrega el 30% de lo que faltaba por llenar?
12. Si Flor se retiro del casino con 240 soles, habiendo perdido primero el 20% y luego
ganando el 50% de lo que le quedaba. ¿Con cuanto fue al casino?.
13. A una fiesta asisten hombres y mujeres, el 25% son hombres y el resto mujeres, si
se retiran el 40% de los hombres y el 50% de las mujeres. ¿Que porcentaje de las
mujeres que quedan son los hombres que quedan?.
14. Un artıculo se ha vendido en 1200 soles ganando el 20% del costo mas el 15% del
precio de venta. Hallar el precio de costo de dicho artıculo.
15. Si en la venta de un artefacto se gana el 25% del precio de costo. ¿Que tanto por
ciento es la ganancia respecto al precio de venta?.
VII. Numero primo
1.
VIII. Maximo comun divisor y mınimo comun multiplo
1.
IX. Analisis combinatorio
70 Matematica Basica Walter Arriaga D.
1. De cuantas maneras se pueden elegir dos o mas corbatas de una coleccion que contiene
ocho?
2. En la seccion de un hospital se disponen de 12 enfermeras, de cuantas maneras puede
hacerse una seleccion de 5 de modo que:
Una Enfermera se incluye siempre.
Una Enfermera se excluye siempre.
3. De cuantas maneras distintas puede ir una persona de la ciudad A a la ciudad E.
A
B
C
D
E
4. En cierto examen un estudiante debe contestar 8 de 10 preguntas.
Cuantas maneras de escoger tiene?
Cuantas maneras puede escoger, si las tres primeras son obligatorias?
5. Alessandra desea viajar de Lima a Cuzco y tiene a su disposicion 4 lıneas aereas y 6
terrestres. ¿De cuantas maneras diferentes podra viajar?
6. Si hay 5 candidatos para presidente y 4 para alcalde. ¿De cuantas maneras se pueden
elegir estos dos cargos?
7. De mi casa al CPU hay 8 caminos, de cuantas maneras puedo ir y regresar, si de
regreso no puedo usar el camino de ida?
8. Una persona tiene para vestirse 5 pantalones; 4 camisas y 3 pares de zapatos. ¿De
cuantas maneras se podra vestir?
9. Alessandra tiene para vestir; 4 blusas, 3 pantalones; 2 faldas y 6 pares de zapatos.
¿De cuantas formas se podra vestir?
10. Se quieren sentar 4 hombres y 3 mujeres en una fila de modo que los hombres y mujeres
esten intercalados. ¿De cuantas formas podran hacerlo?
11. En una reunion conmemorativa donde se celebra el nacimiento del ilustre Nishiren
Daishonin se observo 36 apretones de mano. ¿Cuantas personas hay en dicha re-
union?
12. ¿De cuantas formas se puede ubicar 6 ninos en una fila; si dos de ellos deben estar
siempre juntos.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 71
13. En un equipo de futbol se cuenta con 8 alumnos, 5 hombres y 3 mujeres. Se desea
formar grupos mixtos de 6 alumnos. ¿Cuantos grupos se podran formar?
14. Con los dıgitos {1, 2, 3, 4, 5}, Cuantos numeros pares de 3 cifras distintas se pueden
formar?.
15. Con los dıgitos {2, 4, 6, 8, 9}, Cuantos numeros impares se pueden formar sin que se
repitan las cifras?.
16. ¿Cuantos numeros diferentes de 3 cifras pueden formarse con las cifras {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};mayores que 300 y menores que 800.
17. Alessandra y sus 9 amigos desean ordenarse para tomarse una foto. Si entre ellos
hay una pareja de enamorados que no desea separarse, ¿de cuantas maneras pueden
ordenarse?.
18. En un corral hay 10 jaulas diferentes, se han comprado 10 aves: 3 gallinas, 4 pavos y 3
patos. ¿De cuantas maneras distintas se puede colocar un ave en una jaula, de modo
que se diferencien en una especie?
19. Hallar el numero de formas diferentes en que pueden sentarse 4 hombres y 3 mujeres
en una fila de 7 sillas, si las mujeres deben ser contiguas.
20. ¿De cuantas maneras podra ser elegido el delegado y subdelegado del aula constituido
de 20 alumnos, bajo la condicion de que cada alumno pueda ser elegido solo a uno de
estos cargos?
21. Determinar el numero de permutaciones diferentes que serıan posible formarse con las
letras de la palabra “QUEQUE”
22. En un hospital se tiene 5 medicos especialistas en nefrologıa y 4 enfermeras se desea
escoger un grupo de 4 personas para una intervencion quirurgica al rinon en la sala de
cirugıa del nosocomio ¿De cuantas maneras se podra realizar esto, si en cada grupo
debe haber a lo mas 2 medicos nefrologos para realizar la intervencion?
23. • B
A•
• C
F•
• D
• E
72 Matematica Basica Walter Arriaga D.
De la figura halle la diferencia entre el numero de triangulos y el numero de rectas
que pueden trazarse.
24. Cuantos numeros de 3 cifras que sean pares existen?
25. ¿Cuantas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BEBETO, si
debe empezar con O y terminar en T?
X. Logica
1. Si se sabe que p es Verdadera; entonces el valor de: p ∨ [∼ q ∧ (r → s)]
a) Depende del valor que asume q.
b) Siempre sera Verdadera.
c) Depende del valor que asume s.
d) Siempre sera Falsa.
e) Depende del valor que asume r.
2. Si se sabe que ∼ q es Verdadera; entonces el valor de: [p ∧ (r ∨ s)]→∼ q
a) Depende del valor que asume r.
b) Depende del valor que asume p.
c) Depende del valor que asume r∨ s.d) Siempre sera Falsa.
e) Siempre sera Verdadera.
3. Si se sabe que: p∨ ∼ q es falso; q → s es verdadero. Hallar el valor de verdad de:� (∼ q ∧ ∼ r)↔ (t∨ ∼ t)� (p↔ ∼ s)∨ ∼ (t∧ ∼ s)
4. Si la proposicion: ∼ [(q → s)→ (p→ r)] es verdadera; hallar el valor de verdad de:� (∼ s→∼ q)∆ (r → p)� ∼ (q ∧ ∼ s) ∧ (p∧ ∼ r)� (p ∧ q ∧ r ∧ s) ∨ (p← r)
5. La proposicion ∼ [(p ∨ q) ↔ (r ∧ s)] es falsa teniendo r y s valores de verdad
opuestos. ¿Cual es el valor veritativo de cada una de las proposiciones siguientes?� [(∼ p∧ ∼ q) ∨ (r ∧ s)] ∧ p� [(∼ p ∨ q) ∧ (r ∨ s)] ∨ (∼ p ∧ q)� [(∼ r∧ ∼ s)→ (p∨ ∼ q)]∧ ∼ (r ∧ s)
6. Si la proposicion compuesta: ∼ (p∨ ∼ q) ∧ (q ↔ r) es verdadera. ¿Cuales de las
siguientes proposiciones son verdaderas?
Walter Arriaga D. Matematica Basica 73
I. (p ∨ s) ∧ q
II. (t ∧ q)→ r
III. (s∆ q)→ q
7. Simplificar: ∼ (∼ p∧ ∼ q)
8. Simplificar: (p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q) ∨ p
9. Simplificar el esquema: (∼ p ∧ q)→ (q → p)
10. Simplificar: ∼ [(p→∼ q)∨ ∼ q]→ [∼ p↔ (∼ p→ q)]
11. Indicar las proposiciones verdaderas:
I. (∼ p∧ ∼ q)↔ (p ∨ q) es una contradiccion.
II. [(p→ q) ∧ (q → r)]→ (p→ r) es una tautologıa.
III. [p ∧ (p→ q)]→ (q∆ r) es una contingencia.
12. ¿Cual de las siguientes proposiciones es una tautologıa?
I. [∼ (p ∧ q)→ p]∨ ∼ p
II. ∼ (p→ q)→ (p∨ ∼ q)
III. ∼ (p→ q)→ (∼ p→∼ q)
13. De las siguientes proposiciones ¿Cual es (son) contradiccion (es)?
I. ∼ [∼ (p ∨ q)→∼ q]∧ ∼ (p→ q)
II. ∼ (∼ p→ q)→ (p→ q)
14. Dados los siguientes operadores logicos:
p ♣ q ≡∼ p→∼ q
p ♠ q ≡∼ p ∧ ∼ q
Simplificar: [(p ♣ q)→ (p ♠ q)] ∨ q
15. Si se define:
p⊕
q ≡∼ p→∼ q
p⊗
q ≡ p ∧ ∼ q
Decir cuales son proposiciones equivalentes:
I. (r⊗ ∼ q)
⊕p
II. ∼ p⊕∼ (r
⊗∼ q)
III. ∼ [p⊗
(r⊗∼ q)]
74 Matematica Basica Walter Arriaga D.
16. Si se define p z q, por la tabla:
p q p z q
V V V
V F V
F V F
F F V
Simplificar:
W = {[(∼ p z q) z p]→ (q z p)}
XI. Conjuntos
1. Dado el conjunto: A = {{0}, 1, φ, {1}}. Determinar la validez logica de las siguientes
proposiciones.
1. {0} ∈ P (A) 2. φ ∈ P (A)
3. {{1}} ⊂ P (A) 4. φ ⊂ P (A)
5. 1 ∈ A 6. {1} ∈ P (A)
2. Sea el conjunto: A = {a, {a}, {b}, φ}. Indicar cual de las siguientes expresiones son
verdaderas o falsas.
1. {a} ⊂ A 2. {φ, {a}} ⊂ A
3. {b, {a}} ⊂ A 4. {{φ}, {b}} ∈ P (A)
5. {φ, {a}} ∈ P (A) 6. φ ⊂ P (A)
7. φ ∈ P (A)
3. Si: A =
{x/x =
n2 − 16
n− 4∧ 0 ≤ n ≤ 5 ∧ n ∈ Z
}. ¿Cuantos elementos tiene A?
4. Determinar la suma de los elementos del conjunto A.
A = {(7− x)/x ∈ B};B = {(x− 2)2 − 1/x ∈ Z; −3 ≤ x− 1 < 5}.
5. Dados los conjuntos unitarios: A = {a2 + 1; 3a − 1}; B = {3x + y;x− y + 8}. Hallarel mayor valor de x+ y + a.
6. Dados los conjuntos iguales: A = {a + 2 ; a + 1}; B = {7 − a ; 8 − a}; C =
{b+ 1 ; c+ 1}; D = {b+ 2 ; 4}. Calcular: a+ b+ c.
7. Dados los conjuntos: A = {x ∈ R/2x − 1 = x2}; B = φ; C = {x ∈ R/x < 1}.Hallar: (A ∪B)′ ∪ C.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 75
8. Dados los conjuntos A y B tales que: n(A)+n(B) = 166; n(A∪B) = 148. Calcular:
n(A∆B).
9. Sean: H ={(
3n+12
)∈ Z/1 < n ≤ 9
}; I = {m ∈ Z+/m < 18 ∧ √m > 3}. Calcule:
n(H) + n(I)
10. Hallar el numero de subconjuntos propios de: A =
{√3x2 − 8x+ 5
x− 1∈ N/3 ≤ x ≤ 10
}
11. Cuantos subconjuntos cuaternarios posee un conjunto cuyo cardinal es 8.
12. Dados los conjuntos: A = {a2 + 1 ; b ; a − c}; B = {−3 ; a2 ; 5}; C = {x ∈N/b− a < x < a+ c}; Donde: a ∈ N , b ∈ N y A = B. Indique que afirmaciones son
ciertas:
I. El numero cardinal de C es 4
II. A ∩ C = {4; 5}
III. C −A = {a}
13. Si M = {x2 + 4 ; x+ 10 ; y3 + 3y − 1}. Ademas M ∪N = {13}, hallar: x+ y.
14. Si el conjunto A tiene 3 elementos ¿Cuantos subconjuntos propios tiene el conjunto
potencia de P (A)?
15. El gordito “nono” ingresa a un restaurante en el cual se venden 5 platos distintos y
piensa “me gustan todos, pero debo llevar como mınimo 2 platos y como maximo 4”.
De cuantas maneras puede escoger el gordito “nono”.
16. Considere 2 conjuntos comparables, cuyas cardinales son numeros que se diferencian
en 3; ademas la diferencia de los cardinales de sus conjuntos potencias es 112. Indique
el numero de elementos de la potencia de la interseccion.
17. Dados los conjuntos A , B y C , si:? A tiene 511 subconjuntos propios? P (B) tiene 45 elementos? C, tiene 56 subconjuntos ternarios
Hallar: E =n(B) + n(C)
n(A)
18. Dados los conjuntos A y B se tiene que: A ⊂ B; 3n(A) = 2n(B); n(A ∪B) = 18.
¿Cuantos elementos tiene A?
19. En un grupo de 100 estudiantes de la UNPRG, 49 no llevan el curso de Sociologıa
y 53 no siguen el curso de Filosofıa. Si 27 alumnos no siguen Filosofıa ni Sociologıa,
¿Cuantos alumnos llevan exactamente uno de esos cursos?.
76 Matematica Basica Walter Arriaga D.
20. En un avion hay 100 personas de las cuales 50 no fuman y 30 no beben. ¿Cuantas
personas hay que ni fuman ni beben o fuman y beben, sabiendo que hay 20 personas
que solo fuman?
21. En una encuesta sobre la preferencia de dos diarios locales Industria y Norteno, 65%
no lee Industria, el 70% no lee Norteno, 45% lee Industria o Norteno pero no ambos.
¿Que tanto por ciento lee los dos diarios?
22. De un grupo de 43 personas se sabe que:
26 hablan aleman
10 hablan ingles
15 hablan espanol
2 hablan aleman y espanol
3 hablan ingles y espanol
5 hablan ingles y aleman
1 habla los 3 idiomas mencionados? ¿Cuantos hablan espanol o ingles pero no aleman?? ¿Cuantos no hablan estos idiomas mencionados?
XII. Aplicaciones de la Aritmetica
Aplicaciones a la Medicina
1. El medico prescribio 300 mg de Ranitidina, la etiqueta del frasco dice que
contiene tabletas de 150 mg. El problema es determinar el numero de tabletas
para obtener la dosis precisa.
2. Ordenan Keflin 500 mg I.M., se dispone de Keflin 1g, disuelto en agua destilada
esteril 4 ml para su inyeccion. Para cuantas dosis rinde?.
3. Cama Nº: 3
Nombre: Andrea Bocelli
Medicamento: Garamicina
Dosis: 40 mg
Presentacion: Garamicina 80 mg × 2 ml
Vıa: I.M.
Hora: Cada 6 horas
Establezca una proporcion y determine la dosis correcta.
2
CONJUNTOS
Objetivos:
z Resolver problemas de relaciones entre conjuntos utilizando adecuadamente la repre-
sentacion en Diagramas de Venn.
z Representar graficamente las relaciones de inclusion entre un numero finito de conjun-
tos empleando los diagramas lineales.
z Distinguir con claridad la diferencia entre las relaciones de inclusion y las de perte-
nencia.
z Resolver correctamente problemas relativos con intervalos.
2.1. Introduccion
La teorıa de conjuntos es una rama de la matematica relativamente moderna cuyo proposito
es estudiar unas entidades llamadas conjuntos, aunque otra parte de esta teorıa es reconocida
como los fundamentos mismos de las matematicas. La teorıa de conjuntos fue desarrollada
por el matematico ruso Georg Cantor1 a finales del siglo XIX a partir de ciertas conclusiones
hechas por el mismo al reflexionar en unos detalles de las series trigonometricas de Fourier.
La teorıa de conjuntos fue expuesta por Cantor en una serie de artıculos y libros, de los cuales
pueden destacarse sus Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre.
El proposito de Cantor era proporcionar un metodo para lidiar con asuntos relacionados al
infinito actual, un concepto que fue rehuido y rechazado por algunos matematicos (Pitagoras,
Gauss, Kronecker) por considerarlo sin significado. Ciertamente Cantor tuvo exito, si bien
su teorıa debıa ser precisada y sometida a un sistema axiomatico, un proyecto que luego fue
llevado a cabo principalmente por Frege, Russell, Zermelo, Albert Skolem y Adolf Fraenkel.
1Georg Cantor (n. San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, m. Halle, 6 de enero de 1918 ) Matematico aleman.
77
78 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Cantor partio de la conviccion platonista de que era posible comprimir una coleccion o
conjunto de objetos y considerarla como un todo (o mejor dicho, como una sola entidad), y al
parecer, aceptando implıcitamente los supuestos siguientes:
i. Un conjunto es una reunion de objetos que cumplen con cierta propiedad (llamados los
elementos de ese conjunto) y que, por tanto, queda definido por tal propiedad.
ii. Un conjunto es una sola entidad matematica, de modo que puede a su vez ser contenido
por otro conjunto.
iii. Dos conjuntos que tengan los mismos elementos son iguales. Ası, puede decirse que un
conjunto esta determinado por sus elementos.
De este modo, Cantor pudo desarrollar su teorıa de una forma que en aquel entonces
parecıa lo suficientemente satisfactoria. Sin embargo, el sistema de Cantor era tan permisivo
que dio lugar a resultados contradictorios. Gottlob Frege, que ideo un sistema mas preciso, in-
tento fundamentar adecuadamente la teorıa de conjuntos (y por tanto todas las matematicas),
pero, para su desaliento, Bertrand Russell descubrio una paradoja en la teorıa de aquel (hoy
llamada paradoja de Russell), con lo que el sistema de Frege parecıa desbaratarse. A princi-
pios del siglo XX, fue el matematico aleman Ernst Zermelo quien puso la teorıa de conjuntos
sobre una base aceptable reduciendola a un sistema axiomatico mas restringido que no per-
mitıa la obtencion de la Paradoja de Russell. Las ideas de Zermelo fueron despues precisadas
por Thoralf Skolem y Abraham Fraenkel, resultando de ello la primera teorıa axiomatica de
conjuntos, conocida como teorıa de Zermelo-Fraenkel, aunque serıa mas adecuada llamarla
teorıa de Zermelo-Fraenkel-Skolem. Otra teorıa de conjuntos que evitaba las paradojas de
la teorıa cantoriana fue desarrollada despues, principalmente, por John von Neumann, Paul
Bernays y Kurt Godel. Esta ultima es hoy llamada, naturalmente, la teorıa de conjuntos de
von Neumann-Bernays-Godel.
Sobre el concepto de conjunto
El concepto de conjunto se encuentra a un nivel tan elemental que no es posible dar una
definicion precisa del mismo. Palabras como coleccion, reunion, agrupacion, y algunas otras de
significado similar, se usan en un intento de describir a los conjuntos, pero no pueden constituir
una definicion, pues son simplemente un reemplazo de la palabra conjunto. Con todo, en la
teorıa intuitiva de conjuntos lo anterior es admisible, y se acepta la existencia de un universo
o dominio de objetos a partir del cual se construyen los conjuntos, ası como tambien permite
tratar conjuntos como una entidad singular. No es de importancia la naturaleza de los objetos,
sino el comportamiento de un conjunto como entidad matematica.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 79
Idea de conjunto
Se entiende por Conjunto a una coleccion de objetos o entidades distinguibles y bien
definidas, los objetos o entidades reciben el nombre de elementos.
Notacion
Los conjuntos se denotan usualmente por letras mayusculas: A,B,C, . . . ,X, Y, Z.
y loe elementos que lo determinan se designan por letras minusculas: a, b, c, . . . , x, y, z
Si un conjunto A esta formado por los elementos 1, 2, a, b, se escribe:
A = {1, 2, a, b}
y se lee: “A es el conjunto de los elementos 1, 2, a, b”.
Observacion 2.1.1. Los elementos van separados por comas y encerrados entre llaves.
De lo dicho anteriormente, parece natural introducir una relacion diadica de pertenencia.
El sımbolo usual para representar esta relacion es el sımbolo ∈, una version de la letra griega
ǫ (epsilon). Los segundos argumentos de la relacion ∈ son llamados conjuntos, y los primeros
argumentos son llamados elementos. Ası, si la formula a ∈ A se cumple, se dice que a es un
elemento del conjunto A y se lee a pertenece al conjunto A. Si aceptamos que todo es un
conjunto, entonces los primeros y segundos argumentos de ∈ pertenecen al mismo dominio.
La negacion de a ∈ A se escribe a /∈ A y se lee a no pertenece al conjunto A.
2.2. Determinacion de conjuntos
Existen dos maneras de determinar un conjunto: Por extension y por comprension.
1° Por extension, de forma tabular o enumerativa
Un conjunto queda determinado por extension cuando se nombran a todos y cada uno de
los elemntos.
Ejemplo 2.2.1.
A = {2, 4, 6, 8}B = {a,e,i,o,u}C = {1, 8, 27, 64, . . . , 1000}
80 Matematica Basica Walter Arriaga D.
2° Por comprension o de forma constructiva
Un conjunto queda determinado por comprension, cuando se nombra una propiedad comun
que caracteriza a todos los elementos del conjunto, generalmente se emplea x/x, y se lee x
tal que x.
Ejemplo 2.2.2.
A = {x/x es par; 2 ≤ x ≤ 8}B = {x/x es una vocal}C = {x3/x ∈ N;x ≤ 10}
2.3. Conjuntos numericos
Los conjuntos numericos que se estudian en matematicas son:� El conjunto de los numeros naturales
Un numero natural es cualquiera de los numeros: 0, 1, 2, 3... (o el mismo conjunto
excluyendo el 0 segun que autores se consulten), que se pueden usar para contar los
elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizo el
ser humano para contar objetos.
Algunos matematicos (especialmente los de Teorıa de Numeros) prefieren no reconocer
el cero como un numero natural, mientras que otros, especialmente los de Teorıa de
conjuntos, Logica e Informatica, tienen la postura opuesta Se denota por N y se escribe
como:
N = {0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .}� El conjunto de los numeros enteros
El conjunto de los numeros enteros al igual que los numeros naturales sirven para contar.
Sin embargo, los numeros enteros permiten expresar cantidades negativas como un saldo
deudor en una cuenta bancaria, un ano de la era antes de Cristo, el numero de una
planta del sotano de un edificio, etc. Se denota por Z y se escribe como:
Z = {. . . ,−n, . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .}
Cuando se desea designar a los numeros enteros positivos:
Z+ = {1, 2, 3, . . . , n, . . .}Cuando se desea designar a los numeros enteros negativos:
Z− = {. . . ,−n, . . . ,−3,−2,−1}luego Z = Z− ∪ {0} ∪ Z+
Walter Arriaga D. Matematica Basica 81
El conjunto de los numeros enteros pares esta dado por: {x/x = 2k, k ∈ Z}El conjunto de los numeros enteros impares esta dado por: {x/x = 2k + 1, k ∈ Z}� El conjunto de los numeros racionales
Un numero racional o fraccion es todo numero que puede representarse como el cociente
de dos enteros con denominador distinto de cero. Se denota por Q y se escribe como:
Q = {x/ax+ b = 0, a, b ∈ Z, a 6= 0}
Todo numero racional puede ser representado mediante una expresion decimal exacta o
periodica. Por ejemplo: 1/2 = 0,5, 3/4 = 0,75, 2/3 = 0,666 . . . = 0.6.� El conjunto de los numeros irracionales
A veces se denota por I al conjunto de los numeros irracionales. Esta notacion no es uni-
versal y muchos matematicos la rechazan. Las razones son que el conjunto de numeros
irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sı lo son los naturales
(N), los enteros (Z), los racionales (Q), los reales (R) y los complejos (C), por un lado,
y que la I es tan apropiada para designar al conjunto de numeros irracionales como al
conjunto de numeros imaginarios puros, lo cual puede crear confusion.
El conjunto de los numero irracionales esta formado por los numeros que no son racionales,
es decir, aquellos numeros que no pueden expresarse en la forma b/a, a, b ∈ Z y a 6= 0.
El descubrimiento de los numeros irracionales se le atribuye a Hipaso de Metaponto, que
fue un discıpulo de Pitagoras. Demostro que la raiz de 2 es un numero irracional. Sin
embargo, Pitagoras consideraba que la raiz del numero 2 “ensuciaba” la perfeccion de
los numeros, y que por tanto no podrıa existir, por lo que intento rebatir los argumentos
de Hipaso con la logica, por lo que le expulsaron de la Escuela Pitagorica y erigieron
una tumba con su nombre, mostrando ası que para ellos, el estaba muerto.
A partir de ahı, los numeros irracionales entrarıan en un periodo de oscuridad, hasta
que volvieran a ser estudiados por los griegos gracias a Eudoxo de Cnido. El decimo
libro de la serie Los elementos de Euclides esta dedicado a la clasificacion de los numeros
irracionales.� El conjunto de los numeros reales
Los numeros reales se definen de manera axiomatica como el conjunto de numeros que
se encuentran en correspondencia biunıvoca con los puntos de una recta infinita (la recta
numerica). El conjunto de los numeros reales se simboliza con la letra R. El nombre de
numero real se propuso como antonimo de numero imaginario. Numero real Numero real
El concepto de numero real se origino cuando se constato la existencia de los numeros
irracionales. Ası, el conjunto de los numeros reales se define como la union del conjunto
82 Matematica Basica Walter Arriaga D.
de los numeros racionales y el conjunto de los irracionales.
R = Q ∪ I� El conjunto de los numeros complejos
Es el conjunto que se denota por C y cuyos elementos son de la forma: a + bi, donde
a, b ∈ R, ademas i =√−1. Se escribe como:
C = {a+ bi / a, b ∈ R, i =√−1}
2.4. Conjuntos especiales
2.4.1. Conjuntos finitos e infinitos
Un conjunto A es finito si consta de un determinado numero de elementos distintos, es
decir si consta de un primer y ultimo elementos. Caso contrario el conjunto es infinito.
Ejemplo 2.4.1.
A = {x/x es un estudiante de la UNPRG} es un conjunto finito.
B = {x/x es un numero impar} es un conjunto infinito.
2.4.2. Conjunto vacıo o nulo
El conjunto vacıo es el unico conjunto que no contiene elementos. Se denota simbolicamente
por la letra griega φ, introducida especialmente por Andre Weil2 en 1939. Otra notacion comun
para el conjunto vacıo es {}. Se define como:
φ = {x/x 6= x}
Ejemplo 2.4.2.
A = {x ∈ R/x2 + 1 = 0}, es un conjunto vacıo, pues la ecuacion x2 + 1 = 0 no tiene
raıces reales.
B = {x ∈ N/3 < x < 4}, es un conjunto vacıo, pues no existe un numero natural mayor
que 3 y menor que 4.
2Andre Weil (Parıs, Francia, 6 de mayo de 1906 - Princeton, New Jersey, Estados Unidos, 6 de agosto de
1998), matematico frances.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 83
2.4.3. Conjunto unitario
El conjunto unitario es el conjunto que contiene uno y solo un elemento.
Ejemplo 2.4.3.
A = {0}, es un conjunto unitario.
B = {x ∈ N/x2 − 9 = 0} = {3}, es un conjunto unitario.
Observacion 2.4.1. Note que: {φ} 6= φ, puesto que el primer miembro {φ} es un conjunto
unitario, cuyo elemento es φ, mientras que el segundo miembro φ es el conjunto vacıo.
2.4.4. Conjunto universal
El universo de discurso, conjunto universal o referencial, que normalmente se denota por
las letras U , V o E, es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo.
UA
Figura 2.1: El conjunto Universal
Anteriormente se consideraba al conjunto universal como el conjunto de todas las cosas,
sin embargo esta demostrado que este conjunto no existe. Particularmente porque suponer la
existencia de dicho conjunto conduce a la paradoja de Russell3.
Actualmente se debe dejar en claro sobre cual conjunto se esta tratando. Por ejemplo, si
estamos tratando conjuntos cuyos elementos son letras, el conjunto universal serıa el conjunto
formado por todas las letras del alfabeto.
El complemento del conjunto universo es el conjunto vacıo, es decir, aquel que esta despro-
visto de elementos.
3La paradoja de Russell o paradoja del barbero, descrita por Bertrand Russell(18 de mayo de 1872 - 2 de
febrero de 1970, filosofo, matematico y escritor britanico) en 1901, demuestra que la teorıa original de conjuntos
formulada por Cantor y Frege es contradictoria.
84 Matematica Basica Walter Arriaga D.
2.5. Representacion grafica de conjuntos
2.5.1. Diagramas lineales
2.5.2. Diagramas Venn - Euler
Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la teorıa de conjuntos. Estos diagramas
se usan para mostrar graficamente la relacion matematica o logica entre diferentes grupos
de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante curvas cerradas como cırculos,
elipses, cuadrados, triangulos, etc. La forma en que estas curvas cerradas se sobreponen en-
tre sı muestra todas las posibles relaciones logicas entre los conjuntos que representan. Por
ejemplo, cuando los cırculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas
caracterısticas comunes.
Diagramas Venn
Los diagramas de Venn reciben el nombre de su creador, John Venn, matematico y filosofo
britanico. Estudiante y mas tarde profesor en el Caius College de la Universidad de Cambridge,
desarrollo toda su produccion intelectual entre esas cuatro paredes.
Venn introdujo el sistema de representacion que hoy conocemos en julio de 1880 con la
publicacion de su trabajo titulado “De la representacion mecanica y diagramatica de proposi-
ciones y razonamientos” en el Philosophical Magazine and Journal of Science, provocando un
cierto revuelo en el mundo de la logica formal. Aunque la primera forma de representacion
geometrica de silogismos logicos se atribuye comunmente a Gottfried Leibniz, y fue luego am-
pliada por George Boole y Augustus De Morgan, el metodo de Venn superaba en claridad y
sencillez a los sistemas de representacion anteriores, hasta el punto de convertirse con el tiem-
po en un nuevo estandar. Venn fue el primero en formalizar su uso y en ofrecer un mecanismo
de generalizacion para los mismos.
Mas adelante desarrollo su nuevo metodo en su libro Logica simbolica, publicado en 1881
con el animo de interpretar y corregir los trabajos de Boole en el campo de la logica formal.
Aunque no tuvo demasiado exito en su empeno, su libro se convirtio en una excelente platafor-
ma de ejemplo para el nuevo sistema de representacion. Siguio usandolo en su siguiente libro
sobre logica (Los principios de la logica empırica, publicado en 1889), con lo que los diagramas
de Venn fueron a partir de entonces cada vez mas empleados como representacion de relaciones
logicas.
La primera referencia escrita al termino “diagrama de Venn” de la que se tiene constancia
es muy tardıa (1918), en el libro A Survey of Symbolic Logic, de Clarence Irving Lewis.
Los diagramas de Venn se emplean hoy dıa para ensenar matematicas elementales y para
reducir la logica y la Teorıa de conjuntos al calculo simbolico puro.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 85
A veces se incluye un rectangulo alrededor del diagrama de Venn, que recibe el nombre de
universo de discurso (antes se creıa en la existencia de un conjunto universal pero Bertrand
Russell descubrio que con tal concepto el sistema es inconsistente vease paradoja de Russell).
Se usa para representar el conjunto de todas las cosas posibles. La definicion del universo,
al igual que la de los conjuntos, depende del diagrama sobre el que se representa. La idea
de conjunto universal, aunque fue apuntada por el propio Venn, se atribuye habitualmente a
Charles Dodgson, mas conocido como Lewis Carroll.
Los diagramas de tres conjuntos fueron los mas corrientes elaborados por Venn en su pre-
sentacion inicial. Las distintas intersecciones de los tres conjuntos A, B y C definen ocho areas
diferentes, cuyas posibles uniones suponen 256 combinaciones distintas de los tres conjuntos
iniciales.
La dificultad de representar mas de tres conjuntos mediante diagramas de Venn (o cualquier
otra representacion grafica) es evidente. Venn sentıa aficion a la busqueda de diagramas para
mas de tres conjuntos, a los que definıa como “figuras simetricas, elegantes en sı mismas”. A lo
largo de su vida diseno varias de estas representaciones usando elipses, ası como indicaciones
para la creacion de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de
tres cırculos.
Diagramas de Venn de Edwards
A. W. F. Edwards diseno representaciones para diagramas de Venn de mas de tres conjun-
tos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Se pueden representar facilmente tres conjuntos
tomando tres hemisferios en angulos adecuados (x = 0, y = 0 y z = 0). Un cuarto conjunto
se puede representar tomando una curva similar a la juntura de una pelota de tenis que suba
y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden proyectarse de nuevo sobre
el plano para mostrar diagramas de engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes.
Edwards ideo estos diagramas mientras disenaba la ventana acristalada en memoria de Venn
que hoy adorna el comedor de su colegio.
Los diagramas de Edwards son topologicamente equivalentes a los diagramas disenados
por Branko Grunbaum, que se basaban en polıgonos intersecados, con cantidades crecientes
de lados. Phillip Smith ideo diagramas similares de n conjuntos usando curvas senoidales en
ecuaciones como y =sen(2ix)
2i, 0 ≤ i ≤ n−2. Por su parte, Lewis Carroll diseno un diagrama
de cinco conjuntos.
Diagramas de Euler
Un diagrama de Euler es una manera diagramatica de representar a los conjuntos y sus
relaciones. Son una representacion moderna de los cırculos de Euler, los cuales deben su nombre
86 Matematica Basica Walter Arriaga D.
a su creador, Leonhard Euler.
Los diagramas de Euler son similares a los de Venn, pero no necesitan todas las posibles
relaciones. Los diagramas de Euler permiten representar inclusion de una clase en otra. Por
ejemplo, un conjunto A puede estar totalmente incluido en otro conjunto B, mientras que otro
conjunto C no tiene ninguna relacion con los dos anteriores.
Los diagramas de Euler anteceden a los diagramas de Venn, pero son distintos. Fueron
introducidos por Euler para ayudar en la comprension. John Venn intenta rectificar algunas
deficiencia a traves de los Diagramas de Venn.
2.6. Numero de elementos o cardinal de un conjunto
El cardinal indica el numero o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad fini-
ta o no finita. Los numeros cardinales constituyen una generalizacion interesante del concepto
de numero natural permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos.
Dado un conjunto A, el cardinal de este conjunto se lo simboliza |A|, n(A), o card(A).
El concepto de numero cardinal fue inventado por Georg Cantor, en 1874.
Primero establecio el concepto de cardinalidad como un instrumento para comparar con-
juntos finitos. Por ejemplo los conjuntos {1,2,3} y {2,3,4} no son iguales pero tienen la misma
cardinalidad, llamada tres.
Cantor definio el conteo usando la correspondencia biunıvoca, la cual mostraba facilmente
que dos conjuntos finitos tenıan la misma cardinalidad si habıa una relacion biyectiva entre
sus elementos. Esta correspondencia uno a uno, le sirvio para crear un concepto de conjunto
infinito, el cual posee todos sus elementos relacionados de forma biyectiva con el conjunto de
numeros naturales.
3
RELACIONES Y FUNCIONES
3.1. Relaciones
3.2. Producto Cartesiano
3.3. Relaciones Binarias
3.4. Clases de Relaciones
3.5. Funciones
3.6. Dominio y rango de una funcion
87
88 Matematica Basica Walter Arriaga D.
4
NUMEROS REALES
Objetivos:
z Fundamentar el conjunto de los numeros reales y sus propiedades, para que a partir de
este sistema numerico se desarrolle el Algebra como una Aritmetica generalizada, ope-
rando los procedimientos algebraicos basicos para plantear modelos matematicos senci-
llos a problemas dados.
z Aplicar las propiedades de los numeros reales y sus subconjuntos, para de mostrar al-
gunas proposiciones por medio del metodo de Induccion Matematica y para resolver
inecuaciones.
4.1. Introduccion
El sistema de los numeros reales es la estructura algebraica adecuada al proposito del
calculo diferencial e integral. Son precisamente los atributos y las relaciones expresables en
terminos de este tipo de numeros, los objetos de estudio de esa rama de las matematicas.
Las propiedades especiales del sistema de los numeros reales permiten definir los conceptos
fundamentales para la descripcion y estudio del cambio y el movimiento.
La presentacion que aquı se hace del sistema de los numeros reales, se basa en el concepto
de expansion decimal, utilizado en la vida diaria para representar y operar con numeros y
magnitudes. Ası, cada numero real se identifica con una sucesion infinita de dıgitos separados
por un punto decimal y el conjunto de tales objetos resulta ser una extension del conjunto de
los numeros racionales, los cuales quedan identificados con las llamadas expansiones periodicas.
Las operaciones de suma y multiplicacion, y la relacion de orden entre los numeros racionales se
extienden de manera natural, preservando sus propiedades algebraicas y de orden, al conjunto
89
90 Matematica Basica Walter Arriaga D.
de los numeros reales.
La propiedad que distingue al sistema de los numeros reales del sistema de los numeros
racionales es la propiedad de continuidad o completez. Esta propiedad, de caracter geometrico
o topologico, es la que permite dar un sentido preciso a los conceptos fundamentales de lımite
y continuidad, sobre los cuales se desarrolla el calculo diferencial e integral.
Complejos(C)
Reales(R)
Racionales(Q)
Enteros(Z)
Enteros positivos(Z+)
Enteros negativos(Z−)
Fraccionarios
Irracionales(I)
Imaginarios
Los numeros reales se definen de manera axiomatica como el conjunto de numeros que se
encuentran en correspondencia biunıvoca con los puntos de una recta infinita (continuum): la
recta numerica. El conjunto de los numeros reales se le simboliza con la letra R. El nombre
de numero real se propuso como antonimo de numero imaginario.
El concepto de numero real se origino cuando se constato la existencia de los numeros
irracionales. Ası, el conjunto de los numeros reales se define como la union del conjunto de los
numeros racionales y el conjunto de los irracionales.
Debido a que el conjunto de numeros reales contiene al conjunto de numeros racionales,
y este a su vez contiene a los enteros que a su vez contiene los numeros naturales, se sugiere
que el conjunto de los numeros reales contiene tambien a los numeros enteros y a los numeros
naturales. Asimismo, el conjunto de numeros reales contiene al de los numeros irracionales.
Por tanto, los numeros reales pueden ser racionales o irracionales, algebraicos o trascen-
dentes; y positivos, negativos, o cero.
Puede definirse un numero real, en estos terminos, como un numero positivo o negativo
que puede o no tener cifras de decimal finito o infinito y puede representarse mediante un
punto en la recta de numeros reales. En este sentido, el teorema fundamental de la geometrıa
analıtica establece que a cada numero real le corresponde un punto en la recta de los numeros
reales y viceversa.
Con numeros reales pueden realizarse todo tipo de operaciones basicas con dos excepciones
importantes:
No existen raıces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc) de numeros negativos
en numeros reales, razon por la que existe el conjunto de los numeros complejos donde
Walter Arriaga D. Matematica Basica 91
estas operaciones sı estan definidas.
No existe la division entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie,
es decir, no existe la operacion de dividir entre nada.
Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas mas avanzadas de las
matematicas: existen asıntotas verticales en los lugares donde una funcion se indefine, es decir,
en aquellos valores de la variable en los que se presenta una division entre cero, o no existe
grafica real en aquellos valores de la variable en que resulten numeros negativos para raıces
de orden par, por mencionar un ejemplo de construccion de graficas en geometrıa analıtica.
La principal caracterıstica del conjunto de los numeros reales es la completitud, es decir,
la existencia de lımite para dada sucesion de Cauchy de numeros reales.
Un poco de Historia
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del ano 1000 a.
C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matematicos griegos liderados por Pitagoras se dio
cuenta de la necesidad de los numeros irracionales. Los numeros negativos fueron inventados
por matematicos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco despues, y
no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler
descarto soluciones negativas para las ecuaciones porque lo consideraba irreal. En ese siglo,
en el calculo se utilizaba un conjunto de numeros reales sin una definicion concisa, cosa que
finalmente sucedio con la definicion rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construccion total de los numeros reales exige tener
amplios antecedentes de teorıa de conjuntos y logica matematica. Fue lograda la construccion
y sistematizacion de los numeros reales en el siglo XIX por dos grandes matematicos europeos
utilizando vıas distintas: la teorıa de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos,
cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el analisis matematico de Richard Dedekind
(vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matematicos lograron la sistemati-
zacion de los numeros reales en la historia no de manera espontanea, sino echando mano de
todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matematicos
como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass,
por mencionar solo a los mas sobresalientes.
En la actualidad, solamente los especialistas conocen con profundidad alguna o ambas
teorıas en relacion a la construccion total de los numeros reales, lo cual no nos impide el
trabajo con ellos.
92 Matematica Basica Walter Arriaga D.
El filosofo L. Geymonat afirma:
“El desarrollo de la teorıa de los numeros reales contribuyo a que el analisis infinitesimal
dejara de ser la tecnica imprecisa e intuitiva que habıan forjado sus descubridores del siglo
17, para erigirse en autentica ciencia y, lo que es mas, en una de la mas rigurosas y perfectas
construcciones del espıritu cientıfico modermo”.
Definicion 4.1.1. Se llama sistema de numeros reales a un conjunto R no vacıo, provisto de:
Dos operaciones, conocidas como “Leyes de composicion interna”: adicion (+) y
multiplicacion (.)
Una relacion de orden denotada por “<” y se lee “menor que”.
Un axioma llamado “axioma del supremo”.
4.2. Ley de composicion interna
Definicion 4.2.1. Ley de composicion interna u operacion binaria interna definida en un
conjunto no vacıo A, es toda aplicacion
∗ : A×A −→ A
(a, b) −→ ∗(a, b) = a ∗ b
es decir, es una aplicacion ∗ que hace corresponder a cada par (a, b) ∈ A×A un unico elemento
a ∗ b ∈ A.
Son ejemplos de leyes de composicion interna:
∩ : P (X)× P (X) −→ P (X)
(A,B) −→ ∩(A,B) = A ∩B
∪ : P (X)× P (X) −→ P (X)
(A,B) −→ ∪(A,B) = A ∪B
− : P (X) × P (X) −→ P (X)
(A,B) −→ −(A,B) = A−B
a: P (X)× P (X) −→ P (X)
(A,B) −→ a(A,B) = A
aB
Si f : T × T −→ T es una operacion, la imagen f(x, y) ∈ T del elemento (x, y) ∈T × T por la aplicacion f recibe el nombre de compuesto de x e y, en este orden. Se denota
escribiendo x e y en un orden determinado separandolos por un signo que caracteriza a la ley.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 93
Los signos empleados son “ + ” y “.”; con estos signos el compuesto de x e y se denotan
por x+ y y x.y respectivamente.
Una ley denotada por el signo “+ ” se llama adicion, el compuesto x+ y recibe el nombre
de suma de x e y.
Una ley denotada por el signo “.” se llama multiplicacion y el compuesto x.y = xy recibe
el nombre de producto de x e y.
Tambien se usa otros signos para denotar leyes de composicion interna cualesquiera tales
como ∗, ◦, ⊕, ⊠, ⊛, z, ⋄, ⊞, ⊚,⊙
,⊗
,⊕
, etc.
Ejemplo 4.2.1. La adicion y multiplicacion en N, Z, Q, R y C son leyes de composicion
interna, ası por ejemplo en R tenemos:
Primera Ley de Composicion Interna
+ : R×R −→ R
(a, b) −→ +(a, b) = a+ b
Segunda Ley de Composicion Interna
· : R× R −→ R
(a, b) −→ ·(a, b) = a · b = ab
4.3. Axiomas de los numeros reales
1. Axiomas para la Adicion
A1 Cerradura: a+ b ∈ R ∀ a, b ∈ R
A2 Conmutatividad: a+ b = b+ a ∀ a, b ∈ R
A3 Asociatividad: (a+ b) + c = a+ (b+ c) ∀ a, b, c ∈ R
A4 Existencia del elementro neutro aditivo:
∃! 0 ∈ R / a+ 0 = 0 + a = a ∀ a ∈ R
A5 Existencia del elementro inverso aditivo:
∃! (−a) ∈ R / a+ (−a) = (−a) + a = 0 ∀ a ∈ R
2. Axiomas para la Multiplicacion
M1 Cerradura: a.b ∈ R ∀ a, b ∈ R
M2 Conmutatividad: a.b = b.a ∀ a, b ∈ R
94 Matematica Basica Walter Arriaga D.
M3 Asociatividad: (ab)c = a(bc) ∀ a, b, c ∈ R
M4 Existencia del elementro neutro multiplicativo:
∃! 1 ∈ R / a,1 = 1.a = a ∀ a ∈ R
M5 Existencia del elementro inverso multiplicativo:
∃!(1
a
)∈ R / a.
(1
a
)=
(1
a
)a = 1 ∀ a ∈ R
3. Axiomas para la Distributividad
Para todo a, b, c,∈ R se tiene:
D1 Distributividad por la izquierda: a(b+ c) = ab+ ac
D2 Distributividad por la derecha: (b+ c)a = ba+ ca
4. Axiomas para la Igualdad
Para todo a, b, c,∈ R se tiene:
I1 Dicotomıa: a = b o a 6= b
I2 Reflexividad: a = a
I3 Simetrıa: si a = b ⇒ b = a
I4 Transitividad: si a = b ∧ b = c ⇒ a = c
I5 Unicidad de la adicion: si a = b ⇒ a+ c = b+ c
I6 Unicidad de la multiplicacion: si a = b ⇒ ac = bc
5. Axiomas de Orden
O1 Ley de Tricotomıa
Para dos numeros a ∈ R y b ∈ R, uno y solo uno de los siguientes enunciados es verdadero
a < b , a = b , a > b
“a es menor que b′′ , “a es igual que b′′ , “a es mayor que b′′
O2 Ley Transitiva
Si a < b ∧ b < c → a < c
O3 Leyes de Monotonıa
a) Si a < b → ∀c ∈ R, a+ c < b+ c
b) Si a < b y c > 0 → ab < bc
Walter Arriaga D. Matematica Basica 95
c) Si a < b y c < 0 → ab > bc
O4 Existe un conjunto R+, tal que R+ ⊂ R, llamado conjunto de numeros reales positivos,
el cual satisface las siguientes propiedades:
a) Si a ∈ R+ y b ∈ R+ → (a+ b) ∈ R+ y a · b ∈ R+
b) Pra cada a 6= 0: a ∈ R+ o − a ∈ R+, pero no ambos
c) 0 no ∈ R+
6. Axioma del Supremo
Si S es un conjunto no vacıo de elementos de R superiormente acotado, entonces S tiene
el supremo en R.
Este ultimo axioma nos garantiza que los numeros reales R incluyen los numeros racionales
Q y que se puede establecer una correspondencia biunıvoca entre los puntos de una recta
y los numeros reales.
A continuacion, haciendo uso de los axiomas, probaremos algunas de las propiedades del
sistema de los numeros reales y veremos tambien sus aplicaciones en el algebra elemental.
Teoremas sobre el conjunto de los numeros reales
Teorema 4.3.1. El elemento neutro aditivo es unico.
Demostracion. Supongamos que existen dos elementos neutros aditivos 0 y 0′ tales que:
a+ 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ R
a+ 0′ = 0′ + a = a, ∀a ∈ R
Probaremos que 0 = 0′, en efecto:
0′ = 0′ + 0 (Por ser 0 el elemento neutro aditivo)
= 0 + 0′ (Conmutatividad)
= 0 (Por ser 0′ el elemento neutro aditivo)
Por lo tanto 0 = 0′ y el elemento neutro aditivo es unico. �
Teorema 4.3.2. El elemento inverso aditivo es unico.
Demostracion. Supongamos que existen dos elementos inversos aditivos (−a) y (−a)′ talesque:
a+ (−a) = (−a) + a = 0, ∀a ∈ R
96 Matematica Basica Walter Arriaga D.
a+ (−a)′ = (−a)′ + a = 0, ∀a ∈ R
Probaremos que (−a) = (−a)′, en efecto:
(−a)′ = (−a)′ + 0 (Por ser 0 el elemento neutro aditivo)
= (−a)′ + (a+ (−a)) (Por ser (−a) elemento inverso aditivo)
= ((−a)′ + a) + (−a) (Asociatividad)
= 0 + (−a) (Por ser (−a)′ elemento inverso aditivo)
= (−a) (Por ser 0 elemento neutro aditivo)
Por lo tanto (−a) = (−a)′ y el elemento inverso aditivo es unico. �
Teorema 4.3.3. El elemento neutro multiplicativo es unico.
Demostracion. Supongamos que existen dos elementos neutros multiplicativos 1 y 1′ tales
que:
a · 1 = 1 · a = a, ∀a ∈ R
a · 1′ = 1′ · a = a, ∀a ∈ R
Probaremos que 1 = 1′, en efecto:
1′ = 1′ · 1 (Por ser 1 el elemento neutro multiplicativo)
= 1 · 1′ (Conmutatividad)
= 1 (Por ser 1′ el elemento neutro multiplicativo)
Por lo tanto 1 = 1′ y el elemento neutro multiplicativo es unico. �
Teorema 4.3.4. El elemento inverso multiplicativo es unico.
Demostracion. Supongamos que existen dos elementos inversos multiplicativos (a−1) y
(a−1)′ tales que:
a · (a−1) = (a−1) · a = 1, ∀a ∈ R
a · (a−1)′ = (a−1)′ · a = 1, ∀a ∈ R
Probaremos que (a−1) = (a−1)′, en efecto:
(a−1)′ = (a−1)′ · 1 (Por ser 1 el elemento neutro multiplicativo)
= (a−1)′ · (a · (a−1)) (Por ser (a−1) elemento inverso multiplicativo)
= ((a−1)′ · a) · (a−1) (Asociatividad)
= 1 · (a−1) (Por ser (a−1)′ elemento inverso multiplicativo)
= (a−1) (Por ser 0 elemento neutro multiplicativo)
Walter Arriaga D. Matematica Basica 97
Por lo tanto (a−1) = (a−1)′ y el elemento inverso multiplicativo es unico. �
Proposicion 4.3.1.
i. a = −(−a), ∀a ∈ R
ii. Si a 6= 0, a = (a−1)−1
iii. a · 0 = 0, ∀a ∈ R
iv. − a = (−1)a, ∀a ∈ R
v. a(−b) = (−a)b = −(ab), ∀a, b ∈ R
vi. (−a)(−b) = ab, ∀a, b ∈ R
vii. Si a+ c = b+ c → a = b
viii. Si ac = bc y c 6= 0 → a = b
ix. ab = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0
x. a2 = b2 ↔ a = b ∨ a = −b
Definicion 4.3.1. Sean dos numeros reales a ∈ R y b ∈ R. Se define la diferencia de a y b
como la suma de a con el inverso aditivo de b.
a− b = a+ (−b), ∀a, b ∈ R
Definicion 4.3.2. Dados dos numeros a, b ∈ R. Se define el cociente de a entre b, como el
producto de a con el inverso multiplicativo de b.
a
b= a · b−1, ∀a, b ∈ R
Proposicion 4.3.2.
i. a− b = −(b− a)
ii. a− b = c ↔ a = b+ c
iii. c =a
b↔ bc = a, b 6= 0
iv. a(b− c) = ab− ac
v.a
b+
c
d=
ad+ bc
bd
98 Matematica Basica Walter Arriaga D.
vi.a
b− c
d=
ad− bc
bd
vii. Si a 6= 0 y ax+ b = c → x =c− b
a
Proposicion 4.3.3.
i. a2 ≥ 0, ∀a ∈ R (a2 > 0, si a 6= 0)
ii. Si a < b ∧ b < c → a < c
iii. Si a < b → a+ c < b+ c, ∀c ∈ R
iv. Si a < b ∧ c < d → a+ c < b+ d
v. Si a < b ∧ c > 0 → ac < bc
vi. Si a < b ∧ c < 0 → ac > bc
vii. Si a < b → −a > −b
viii. Si a > 0 → a−1 > 0 (si a < 0 → a−1 < 0)
ix. Si 0 < a < b → a−1 > b−1 > 0 (si a < b < 0 → 0 > a−1 > b−1)
x. ab > 0 ↔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)
ab ≥ 0 ↔ (a ≥ 0 ∧ b ≥ 0) ∨ (a ≤ 0 ∧ b ≤ 0)
xi. ab < 0 ↔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)
ab ≤ 0 ↔ (a ≥ 0 ∧ b ≤ 0) ∨ (a ≤ 0 ∧ b ≥ 0)
xii. Si a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 , a < b ↔ a2 < b2 (a ≤ b ↔ a2 ≤ b2)
xiii. a2 + b2 = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0
Definicion 4.3.3. Si n ∈ Z+ y b ∈ R, entonces bn, llamada n - esima potencia de b, representa
el producto de n factores iguales a b, esto es:
bn = b · b · b · b · ... · b
en donde, el exponente n indica las veces que se debe repetir la base b como factor.
Proposicion 4.3.4. Si a, b ∈ R y m,n ∈ Z+, entonces:
i. am · an = am+n
ii. (am)n = am·n
Walter Arriaga D. Matematica Basica 99
iii. (a · b)n = an · bn
iv.am
an= am−n
v.(ab
)n=
an
bn
Definicion 4.3.4. Si a, r ∈ R , n ∈ Z+, entonces r, se llama raız n - esima principal de r,se
denota por r = n
√a, si y solo si rn = a, bajo la condicion de que si n es par, entonces r ≥ 0 y
a ≥ 0.
Formalmente:
r = n
√a ↔ rn = c , n par → r ≥ 0 ∧ a ≥ 0.
4.4. Ecuaciones
4.4.1. Historia de las ecuaciones
Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los arabes, en un libro llamado
Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Algebra (del arabe algabru walmuqabalah, reduc-
cion y cotejo). La cosa era la incognita. La primera traduccion fue hecha al latın en Espana,
y como la palabra arabe la cosa suena algo parecido a la X espanola medieval (que a veces ha
dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en Mexico/Mejico, Ximenez/Jimenez),
los matematicos espanoles llamaron a la cosa X y ası sigue.
Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontro gran dificultad,
la situacion fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la
ecuacion general de tercer grado: ax3 + bx2 + cx + d = 0 requirio consideraciones bastante
profundas y resistio todos los esfuerzos de los matematicos de la antiguedad. Solo se pudieron
resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia. Aquı se presentara el
ambiente en que acontecio el descubrimiento de la solucion de las ecuaciones de tercer grado o
cubicas. Los hombres que perfeccionaron las cubicas, italianos todos, constituyeron un grupo
de matematicos tan pintoresco como nunca se ha dados en la historia. La mayorıa de ellos eran
autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de interes compuesto y de seguros.
Habiendose elevado por encima del simple calculo practico, los grandes algebristas italianos
constituıan en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento
tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban las Callejas del
Renacimiento, como en las catedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocu-
paban. Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre sı competencias
para la solucion de problemas. (Algo muy similar a lo que hacıan los hindues siglos antes).
100 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Para hacer doblemente difıcil su deporte, algunas veces hacıan apuestas que depositaban en
manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En esta atmosfera combativa estallo la
guerra en torno a la ecuacion cubica. La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un
padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publico un compendio de algebra, la “Suma
Aritmetica”. Con ella transmitio el algebra inventada hasta la fecha y termino con la irri-
tante observacion de que los matematicos no podrıan todavıa solucionar ecuaciones cubicas
por metodos algebraicos.
El primer hombre en recoger el desafıo de Pacioli en torno a las cubicas fue, como ya dijimos
Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que llego a ser catedratico de matematicas en
la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la solucion general para todas las ecuaciones
cubicas de la forma simplificada x3 + nx = h.
Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los ad-
versarios durante las competencias. Pero en sus ultimos dıas confıo su solucion a un estudiante,
Antonio Fior, quien la utilizo en una disputa de algebra con un rival, Nıcolo Fontana, llamado
Tartaglia o tartamudo a causa de que padecıa este defecto.
En la epoca de la contienda con Fior, Tartaglia habıa pasado a ser uno de los mas sagaces
solucionadores de ecuaciones de Italia, y habıa ideado un arma secreta propia: Una solucion
general para las cubicas del tipo x3 + mx2 = h. Como resultado, cuando Fior le dio un
grupo de ejemplos especıficos del tipo x3 + px + q = 0, le respondio con ejemplos del tipo
x3 + mx2 = n. Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia
como Fior trabajaron ardorosamente, ocho dıas antes de finalizar el plazo, Tartaglia habıa
encontrado una solucion general para las ecuaciones del tipo x3 + px = q y en dos horas
resolvio todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte, cuando se acabo el tiempo y llego el
dıa de hacer el computo, Tartaglia habıa solucionado los problemas de Fior y este no habıa
solucionado los de Tartaglia. Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se
encontro con un rival mas fuerte: Gerolamo Cardano, hijo ilegıtimo de un abogado y a su
vez padre de un asesino. Cardano era un astrologo que hacia horoscopos para los reyes, un
medico que visitaba a sus enfermos y un escritor cientıfico de cuya pluma emanaron montanas
de libros. Fue tambien un jugador inveterano, siempre balanceandose al borde de la prision.
Pero Cardano siempre salıa bien parado. El Santo Padre lo pensiono solucionandole ası sus
problemas economicos y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solucion de
la ecuacion cubica.
Aunque Cardano juro mantener secreta la solucion de Tartaglia, la publico unos cuantos
anos despues, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado “Ars Magna”
Walter Arriaga D. Matematica Basica 101
(Gran Arte). Tartaglia, que habıa estado a punto de escribir su propio libro, paso el resto de
su vida maldiciendo a Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconocıa el
descubrimiento de Tartaglia. Tambien en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a
otro matematico: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que murio a la edad de 43 anos,
envenenado por su propia hermana. Ası como Tartaglia habıa solucionado la cubica, de la
misma forma Ferran, cuando todavıa estudiaba con Cardano, solucion de las de cuarto grado
o cuarticas (con formulas mas complicadas que las de tercer grado). Al descubrir la obra de
ambos hombres, Cardano en su “Ars Magna” pudo dar al mundo las soluciones generales de
las cubicas y las cuarticas, divulgando los dos avances del algebra mas trascendentales desde
la muerte de Diofanto, 1300 anos antes.
En el Ars Magna, Cardano acepto formalmente el concepto de los numeros negativos y
enuncio las leyes que los rigen. Tambien anticipo otro tipo nuevo de numero que denomino fic-
ticio o sofisticado. Tal fue la raız cuadrada de un numero negativo, que es incluso mas difıcil de
comprender que un numero negativo propiamente, ya que ningun numero real multiplicado por
sı mismo da un numero negativo. En la actualidad los matematicos llaman a la raız cuadrada
de un numero negativo numero imaginario; cuando dicha cantidad se combina con un numero
real, el resultado se llama numero complejo. Los matematicos posteriores han mostrado que
los numeros complejos pueden tener toda clase de aplicaciones.
En gran parte debido a Cardano, las Matematicas salieron de su paso por las pugnas del
Renacimiento enormemente enriquecidas. El exito de los matematicos italianos produjo un
gran efecto. Era la primera vez en que la ciencia moderna habıa sobrepasado las conquistas
de los antiguos.
Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportacion habıa consistido sola-
mente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los
antiguos no habıan tenido exito en conquistar, fueron resueltas. Y esto sucedio en el siglo
XVI, un siglo antes de la invencion de nuevas ramas de las matematicas: Geometrıa analıtica
y Calculo diferencial e Integral que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia
sobre la antigua. Despues de esto, no hubo matematico importante que no intentara exten-
der las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y mas alto grado
en forma analoga a los italianos, es decir, encontrando una formula general o como se dice
actualmente, resolverlas por radicales. El prominente algebrista del siglo XVII, Tschimhausen
(1651–1708) creyo haber encontrado un metodo general de solucion. Su metodo estaba basado
en la transformacion de una ecuacion a otra mas simple; pero esta sola transformacion requerıa
de algunas ecuaciones auxiliares.
102 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Mas tarde, con un analisis mas profundo se demostro que el metodo de transformacion
de Tschimhausen, en efecto, da la solucion de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado,
pero para una ecuacion de quinto grado se necesita resolver primero una ecuacion auxiliar de
sexto grado, cuya solucion no era conocida.
El famoso matematico frances Lagrange en su gran trabajo “Reflexiones sobre la solucion
de ecuaciones algebraicas” publicado en 1770–1771, ( con mas de 200 paginas) crıticamente
examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas
hasta su epoca y demostro que su exito siempre se basa en propiedades que no cumplen
ecuaciones de quinto grado y superiores. Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo
de Lagrange, mas de dos siglos y medio habıan pasado y nadie durante este gran intervalo
habıa dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales,
esto es, de encontrar formulas que envuelven solo operaciones de suma, resta, multiplicacion,
division, exponenciacion y raıces con exponentes enteros positivos, que pueden expresar la
solucion de una ecuacion en terminos de los coeficientes, esto es, formulas similares a aquella
por la que se habıa resuelto la ecuacion de segundo grado en la antiguedad y a aquellas
encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Los matematicos
pensaron que sus fracasos se debıan principalmente a su propia incapacidad para encontrar
una solucion. Lagrange dice en sus memorias:
“El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es mas alto que el cuarto
es uno de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de
resolverlos”. Lagrange avanzo bastante en la teorıa de las ecuaciones algebraicas formalizando
el trabajo anterior a su epoca y descubriendo nuevas relaciones entre esta teorıa y otras como
la teorıa de las permutaciones. Sin embargo, a pesar de sus persistentes esfuerzos, el problema
permanecio sin solucion y constituıa, en palabras del mismo Lagrange, “Un reto para la mente
humana”.
Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matematicos cuando en 1824
vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 – 1829),
en el cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuacion se tomaban simple-
mente como letras, entonces no existe ninguna expresion algebraica con dichos coeficientes
que fuera solucion de la ecuacion correspondiente. Entonces, por tres siglos los esfuerzos de
los mas grandes matematicos de todos los paıses para resolver ecuaciones de grado mayor que
cuatro por radicales no fue coronado por el exito por la sencilla razon de que este problema
simplemente no tiene solucion.
Esas formulas son conocidas para ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para
Walter Arriaga D. Matematica Basica 103
ecuaciones de grado mayor no existen tales formulas Pero eso no es todo aun. Un resultado
extremadamente importante en la teorıa de las ecuaciones algebraicas esperaba todavıa ser
descubierto. El hecho es que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que
sı se pueden resolver por radicales, y muchas de ellas son exactamente las que son importantes
para resolver problemas concretos de la realidad.
Resumiendo, despues del descubrimiento de Abel la situacion era la siguiente: Aunque la
ecuacion general de grado mayor que 4 no se podıa resolver por radicales, hay un numero
ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que sı se pueden resolver por radicales.
La pregunta era ¿cuales ecuaciones sı se pueden resolver por radicales y cuales no? o en
otras palabras: ¿que condiciones debe cumplir una ecuacion para que pueda ser resuelta por
radicales? La respuesta a este problema que daba fin a todo este asunto de las ecuaciones la
dio el brillante matematico frances Evariste Galois. (1811–1832).
A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo
en muchas ramas de las matematicas y en particular dio la solucion al problema que qued-
aba pendiente en la teorıa de las ecuaciones algebraicas en un pequeno manuscrito titulado
“Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales”, que fue escrito en
treinta y un paginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue
muerto a la edad mencionada de 20 anos.
Como se puede observar, la formula de Tartaglia da la solucion de la ecuacion de tercer
grado a partir de los coeficientes y utilizando sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y
raıces. Este tipo de expresiones se denominan radicales. Desde la aparicion de la formula los
matematicos intentaron buscar que ecuaciones podıan resolverse por radicales. Muchos grandes
matematicos atacaron el problema, pero fallaron en resolverlo: Euler, Lagrange (alrededor de
1770), Leibiniz, etc.
En 1813, Ruffini intento demostrar que las ecuaciones de quinto grado no se pueden re-
solver por radicales, pero tampoco lo consiguio. Finalmente, Abel demostro en 1824 que,
efectivamente, no existe una formula que permita resolver las ecuaciones de quinto grado.
El problema mas general fue resuelto por Evariste Galois en 1832 que aporto un metodo,
conocido como la Teorıa de Galois, que permite decidir cuando una determinada ecuacion se
puede resolver por radicales.
CONCLUSION: Existen formulas que permiten resolver las ecuaciones de segundo, ter-
cer y cuarto grado. Sin embargo, no existe una formula que permita resolver todas las ecua-
ciones de quinto grado.
En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos, para resolver por radicales
104 Matematica Basica Walter Arriaga D.
cualquier ecuacion de cualquier grado. El problema resulto ser mas difıcil y mas profundo de
lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creacion de nuevos conceptos, importantes
no solo para el algebra sino tambien para las matematicas en general. Para la solucion practica
de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente:
Quedo claro que una formula general para las ecuaciones esta muy lejos de existir y aun en
los casos particulares en que existe, era de poca utilidad practica a causa de las operaciones
sumamente complicados que se tenıan que hacer. (Actualmente las computadoras facilitan
todo ese trabajo).
En vista de lo anterior, los matematicos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres
direcciones completamente diferentes, que son:
1. En el problema de la existencia de raıces (soluciones).
2. En el problema de saber algo acerca de las soluciones, solo trabajando con sus coefi-
cientes.
3. En el calculo aproximado de las raıces o soluciones de una ecuacion.
Definicion 4.4.1.
Un enunciado es una proposicion que puede ser calificada como verdadera o falsa.
Una proposicion es toda una code enunciados conectados con ciertos sımbolos matematicos.
Los enunciados abiertos son aquellos que estan formados por variables constantes y que
pueden ser verdaderos o falsos, segun la asignacion de valores a las variables.
Definicion 4.4.2. Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas o trascen-
dentales, donde existe por lo menos una variable, cada una de las expresiones comparadas por
la igualdad se denominan miembros de la ecuacion.
Definicion 4.4.3. La solucion de una ecuacion es aquel valor que toma la incognita y convierte
la ecuacion en una identidad, es decir, hace verificar la igualdad.
Ejemplo 4.4.1.
3x+ 5 = 17; es una ecuacion que se verifica para x = 4.
x2 + x− 6 = 0; es una ecuacion que se verifica para x = −3 y x = 2.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 105
4.4.2. Clasificacion de las ecuaciones
Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a sus caracterısticas, siendo las principales:
1. Segun el Grado: Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc.
En general, una ecuacion de grado n posee n raıces o soluciones.
Ejemplo 4.4.2.
2x+ 5 = 3; es una ecuacion de primer.
x2 − 6x+ 5 = 0; es una ecuacion de segundo grado.
2. Segun sus Coeficientes: Pueden ser numericas o literales.
Ejemplo 4.4.3.
7x− 3 = 5x+ 9; es una ecuacion numerica.
ax2 + bx+ c = 0; es una ecuacion literal, con coeficientes a, b, c.
3. Segun las Incognitas: Pueden ser de una, dos, tres o mas incognitas.
Ejemplo 4.4.4.
3x− 1 = x+ 3; es una ecuacion con una incognita: x.
2x− 3y = 5; es una ecuacion con dos incognitas: x, y.
x− 3y + 2z = 7 es una ecuacion con tres incognitas: x, y, z.
4. Segun la naturaleza de las expresiones: Pueden ser:
a. Ecuacion algebraica: Que a su vez puede ser:
a.1. Ecuacion algebraica racional:
a.1.1. Ecuacion algebraica racional entera: 3x− 2 = x2 − 6
a.1.2. Ecuacion algebraica racional fraccionaria: x+ 2 = 4 +3
x
a.2. Ecuacion algebraica irracional: La incognita se encuentra afectada del radi-
cal. 2x+ 1 = 3√2x+ 3− x2
b. Ecuacion no algebraica o trascendente: Cuando al menos un temino de la ex-
presion es no algebraico o trascendente. Puede ser:
Exponencial: 3x−1 = 3x+ 2
106 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Trigonometrica: 5 sen(3x+ 5π) = cos x
Logaritmica: 7x log2(10x− 3) =√5
Matriciales:
3 5
2 −1
xy
=
145
5. Segun sus Soluciones: Pueden ser compatibles o incompatibles.
a. Ecuaciones Compatibles: son aquellas que tienen por lo menos una solucion. A
su vez estas ecuaciones se dividen en:
a.1. Ecuaciones Compatibles Determinadas: (ECD) Si tienen un numero finito
o limitado de soluciones.
Ejemplo 4.4.5.
◦ 3x− 1 = x+ 3 tiene una solucion.
◦ x2 − 4 = 5 tiene dos soluciones.
a.2. Ecuaciones Compatibles Indeterminadas: (ECI) Si tienen un numero
ilimitado de soluciones.
Ejemplo 4.4.6.
◦ 2x+ 3 = 1 + 2x+ 2.
◦ (x+ 1)2 − (x− 1)2 = 4x.
Nota 4.4.1. Todas las identidades o productos notables son ecuaciones com-
patibles indeterminadas.
b. Ecuaciones Incompatibles: (EI) Llamadas tambien absurdas, son aquellas que
no tienen o carecen de solucion.
Ejemplo 4.4.7.
•x
5+
x
2=
7x
10+ 3.
Ecuacion
Compatible
Determinada (ECD) numero finito de soluciones
Indeterminada (ECI) infinitas soluciones
Incompatible (EI) inconsistente o absurdo. No existe solucion
Definicion 4.4.4. Dos o mas ecuaciones se dicen que son Equivalentes si tienen las mismas
soluciones.
Ejemplo 4.4.8. Las ecuaciones
3x+ 3 = 8x− 2
7x
2+ 2 =
x
15+
26
3
son equivalentes
Walter Arriaga D. Matematica Basica 107
Teorema 4.4.1. Teorema Fundamental del Algebra
Todo polinomio de grado n tiene al menos una raız, que generalmente es compleja.
Corolario 4.4.1. Todo polinomio de coeficientes numericos y grado n tiene exactamente n
raıces que pueden ser reales diferentes, iguales o complejas conjugadas.
Criterios de Solucion� Si la ecuacion presenta a la incognita en el denominador. Se debera cuidar que su solucion
no anule el denominador. Por ejemplo, antes de resolver:x+ 1
x− 3+
x+ 5
x− 2=
2x2 − x− 11
x2 − 5x+ 6,
Se debera tener en cuenta que: x 6= 3 ∧ x 6= 2� Si la ecuacion presenta a la incognita afectada de algun signo radical de ındice par. Se
debe proceder de la siguiente manera:
Si 2n√
F (x) = G(x), con n ∈ N, debe cumplirse que F (x) ≥ 0 ∧ G(x) ≥ 0.
Principios Fundamentales� Si a los dos miembros de una ecuacion se le suma o se le resta una misma cantidad M ,
la igualdad no altera (se obtiene otra ecuacion equivalente).
A = B ⇒ A±M = B ±M� Si se multiplica a los dos miembros de una ecuacion por una misma cantidad M , se
obtiene otra ecuacion equivalente. Si M contiene a la incognita, entonces se infiltran
soluciones extranas.� Si ambos miembros de una ecuacion se dividen por una misma cantidad M 6= 0, la
igualdad no altera (se obtiene otra ecuacion equivalente). Si M contiene a la incognita,
entonces se pierden soluciones.� Si a los dos miembros de una ecuacion se les eleva a la n–esima potencia, entonces la
igualdad no altera, pero se infiltran soluciones extranas.� Si a los dos miembros de una ecuacion se les extrae la raız enesima, entonces la igualdad
no altera, se dice que se han perdido soluciones.
4.4.3. Ecuaciones de primer grado con una variable
Definicion 4.4.5. Las ecuaciones de primer grado con una variable son de la forma:
ax+ b = 0 (4.1)
108 Matematica Basica Walter Arriaga D.
donde a y b son co, con a 6= 0, y siendo x la incognita, por lo cual son tamben llamadas
“Ecuaciones lineales con una incognita” y que debido a las propiedades de los numeros reales
se resuelve de la siguiente manera:
ax+ b = 0 ⇐⇒ x = − b
a
Las ecuaciones lineales en el sistema cartesiano representan rectas. Una forma comun de
ecuaciones lineales es y = mx+ c, donde m representa la pendiente y el valor de c determina
la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y ).
Ejemplo 4.4.9. Resolver 6x− 5 = 2x+ 7.
Solucion
6x− 5 = 2x+ 7
4x− 5 = 7
4x = 12
x = 3
Discusion de sus raıces� Si a 6= 0 entonces la solucion es unica (ECD).� Si a = 0 y b = 0 entonces la ecuacion posee infinitas soluciones (ECI).� Si a = 0 y b 6= 0 entonces la solucion no existe (EI o absurda).
4.4.4. Sistema de ecuaciones lineales
Definicion 4.4.6. Un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones lineales sobre
el cuerpo de los numeros reales R.
En general, un sistema con m ecuaciones lineales con n incognitas puede ser escrito en
forma ordinaria como:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...
......
......
......
......
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
(4.2)
Walter Arriaga D. Matematica Basica 109
Donde x1, . . . , xn son las incognitas y los numeros aij ∈ K son los coeficientes del sistema
sobre el cuerpo K = R o C. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con
notacion matricial:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
am1 am2 · · · amn
x1
x2...
xn
=
b1
b2...
bm
(4.3)
Si representamos cada matriz con una unica letra obtenemos:
Ax = b
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector
columna de longitud m.
El problema de los sistemas de ecuaciones lineales es uno de los mas antiguos de la
matematica y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de senales,
estimacion, prediccion y mas generalmente en programacion lineal ası como en la aproximacion
de problemas no lineales de analisis numerico.
Clasificacion:
De acuerdo a la solucion los sistemas se clasifican en:
a. Sistema Compatible: Es aquel sistema que tienen por lo menos una solucion. A su
vez estos sistemas se dividen en:
a.1. Sistema Compatible determinado: (SCD) Si tienen un numero finito o limitado
de soluciones.
Ejemplo 4.4.10.
◦
3x− y = 20
x+ 5y = 12, cuya solucion es: CS = {(7, 1)}.
Las ecuaciones se corresponden graficamente con dos rectas que se interceptan
en el punto (7, 1).
◦
x2 + y2 = 17
√xy + xy = 6
, cuya solucion es: CS = {(4, 1), (1, 4), (−4,−1), (−1,−4)}.
a.2. Indeterminadas: (SCI) Si tienen un numero ilimitado de soluciones.
Ejemplo 4.4.11.
110 Matematica Basica Walter Arriaga D.
◦
3x+ y = 4
3x
2+
y
2= 2
Las ecuaciones se corresponden graficamente con dos rectas paralelas coinci-
dentes que se interceptan en infinitos puntos.
◦
x+ y + z = 3
x− y = 1
b. Incompatibles: (EI) Llamadas tambien absurdas, son aquellas que no tienen o carecen
de solucion.
Ejemplo 4.4.12.
•
4x+ 2y = 5
8x+ 4y = 3
Las ecuaciones se corresponden graficamente con dos rectas, ambas con la misma
pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningun punto, es decir, no existe ningun
valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones. Matematicamente un sistema de
estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango
de la matriz ampliada. Una condicion necesaria para que esto suceda es que el
determinante de la matriz del sistema sea cero.
•
x2 + y2 = 2
x+ y = 4
Sistema de
ecuaciones
Compatible
Determinada (SCD) numero finito de soluciones
Indeterminada (SCI) infinitas soluciones
Incompatible (SI) inconsistente o absurdo. No existe solucion
Los sistemas incompatibles geometricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas
que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un
conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un unico punto. Los sistemas compatibles
indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o
mas generalmente un hiperplano de dimension menor]. Desde un punto de vista algebraico
los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es
diferente de cero:
Sistema compatible determinado⇐⇒ det(A) 6= 0
Walter Arriaga D. Matematica Basica 111
Metodos para resolver un sistema lineal
Los sistemas lineales han sido resueltos por diferentes metodos, siendo los mas importantes:
1. Metodo de Carl Gauss:1 Este metodo consiste en ir disminuyendo ecuaciones e incog-
nitas hasta llegar a una sola ecuacion con la menor cantidad posible de incognitas.
Ejemplo 4.4.13. Resolver:
3x+ 5y = 14
2x− y = 5
Solucion:
Como 2x− y = 5, entonces despejamos y
luego y = 2x− 5 y reemplazando en la primera ecuacion se tiene:
3x+ 5(2x − 5) = 14, de donde x = 3, y ası obtenemos y = 1
∴ CS = {3; 1} �
2. Metodo de Arthur Cayley:2 Este metodo consiste en el uso de las matrices (matriz
inversa) en la resolucion de los sistemas lineales determinados.
Para resolver el sistema
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...
......
......
......
......
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
(4.4)
se lleva a la forma matricial
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
x1
x2...
xn
=
b1
b2...
bn
(4.5)
1Johann Carl Friedrich Gauss nacio en Brunswick, Alemania el 30 de abril de 1777 y murio el 23 de febrero
de 1855, fue un matematico, astronomo y fısico aleman que contribuyo significativamente en muchos campos,
incluida la teorıa de numeros, el analisis matematico, la geometrıa diferencial, la geodesia, el magnetismo y
la optica. Considerado “el prıncipe de las matematicas” y “el matematico mas grande desde la antiguedad”,
Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matematica y de la ciencia, y es considerado
uno de los matematicos que mas influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto
de divisibilidad a otros conjuntos.2Arthur Cayley (Richmond, Reino Unido, 16 de agosto de 1821 – Cambridge, 26 de enero de 1895) fue
un matematico britanico. Es uno de los fundadores de la escuela britanica moderna de matematicas puras.
Recibio la Royal Medal en 1859 y la Medalla Copley en 1882.
112 Matematica Basica Walter Arriaga D.
y si la matriz de coeficientes es no singular, existira la inversa y sera aplicable ste metodo
y la solucion se obtiene con:
x1
x2...
xn
=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
−1
b1
b2...
bn
luego por igualdad de matrices se obtiene la solucion del sistema.
Ejemplo 4.4.14. Resolver:
3x+ 5y = 14
2x− y = 5
Solucion:
LLevando a una ecuacion matricial se tiene:3 5
2 −1
xy
=
145
de donde
xy
=
3 5
2 −1
−1 145
, luego
xy
=
31
entonces x = 3 y y = 1.
∴ CS = {3; 1} �
3. Metodo de Gabriel Cramer:3 Este metodo utiliza los determinantes para la resolu-
cion de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello el sistema (1.4) debe cumplir que el
determinante de la matriz de coeficientes de las incognitas debe ser distinto de cero.
Sea A la matriz del sistema, es decir:
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
entonces la solucion viene dada por:
xi =|Ai||A| , i = 1, 2, 3, . . . , n
3Gabriel Cramer (31 de julio de 1704 – 4 de enero de 1752) fue un matematico suizo nacido en Ginebra.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 113
con |A| 6= 0, y Ai es la matriz que se obtiene a partir de la matriz A, cambiando los
elementos de la columna i por los elementos independientes.
Denotemos por ∆S = |A| y ∆xi = |Ai|, entonces
xi =∆xi∆S
Ejemplo 4.4.15. Resolver:
3x+ 5y = 14
2x− y = 5
Solucion:
∆S =
∣∣∣∣∣∣3 5
2 −1
∣∣∣∣∣∣= −13
∆x =
∣∣∣∣∣∣14 5
5 −1
∣∣∣∣∣∣= −39
∆y =
∣∣∣∣∣∣3 14
2 5
∣∣∣∣∣∣= −13
luego
x =∆x
∆S= 3
y =∆y
∆S= 1
∴ CS = {3; 1} �
4. Metodo de Gauss por matriz aumentada: Dado el sistema lineal:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...
......
......
......
......
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
Llamaremos matriz aumentada a la matriz
a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2...
.... . .
......
an1 an2 · · · ann bn
luego mediante operaciones elementales por filas puede transformarse en una matriz
escalonada, la cual facilitara la solucion del sistema.
114 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Ejemplo 4.4.16. Resolver:
3x+ 5y = 14
2x− y = 5
Solucion:3 5 14
2 −1 5
F1−F2−−−−−−−−→
1 6 9
2 −1 5
F2−2F1−−−−−−−−→
1 6 9
0 −13 −13
luego el nuevo sistema sera
x+ 6y = 9
0x− 13y = −13, de donde y = 1 y x = 3
∴ CS = {3; 1} �
Teorema 4.4.2. Dado el sistema lineal (1.4), entonces se cumple lo siguiente:
Si ∆S 6= 0 entonces el sistema tiene solucion unica.
Si ∆S = 0 ∧ ∆xi = 0, para cada i, con i = 1, 2, . . . , n entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
Si ∆S = 0 ∧ ∆xi 6= 0, para algun i, con i = 1, 2, . . . , n entonces el sistema no tiene
solucion.
Representacion grafica
Un sistema con n, incognitas se puede representar en el n−espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incognitas, el universo de nuestro sistema sera el plano bidimensional,
mientras que cada una de las ecuaciones sera representada por una recta, si es lineal, o por
una curva, si no lo es. La solucion sera el punto (o lınea) donde intersecten todas las rectas
y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningun punto en el que intersecten
al mismo tiempo todas las lıneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene
solucion.
En el caso de un sistema con 3 incognitas, el universo sera el espacio tridimensional, siendo
cada ecuacion un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersectan en un unico punto,
las coordenadas de este seran la solucion al sistema. Si, por el contrario, la interseccion de
todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendra infinitas soluciones, que seran
las coordenadas de los puntos que forman dicha lınea o superficie.
Para sistemas de 4 o mas incognitas, la representacion grafica no es intuitiva para el ser
humano, por lo que dichos problemas no suelen enfocarse desde esta optica.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 115
4.4.5. Ecuaciones de segundo grado
Una ecuacion de segundo grado o ecuacion cuadratica es una ecuacion polinomica donde
el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresion se refiere al caso en que solo
aparece una incognita y que se expresa en la forma canonica:
ax2 + bx+ c = 0 (4.6)
donde a es el coeficiente cuadratico o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente
lineal o de primer grado y c es el termino independiente.
La ecuacion cuadratica es de vital importancia en matematicas aplicadas, fısica e ingenierıa,
puesto que se aplica en la solucion de gran cantidad de problemas tecnicos y cotidianos.
La ecuacion de segundo grado y su solucion tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos
para resolverla en Babilonia y Egipto.
En Grecia fue desarrollada por el matematico Diofanto de Alejandrıa.4
La solucion de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matematico
judeo espanol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.
Los metodos para resolver ecuaciones cuadraticas son tres:
a. Metodo de factorizacion.
b. Metodo de completar cuadrados.
c. Por formula cuadratica.
Ejemplo 4.4.17. Resolver la ecuacion:
x2 − x− 6 = 0
Solucion
Metodo de factorizacion.
x2 − x − 6 = 0↓ ↓x −3x 2
XXXXXXXX��������
4Diofanto de Alejandrıa (Diophanti Alexandrini) (nacido alrededor del 200/214 - fallecido alrededor de
284/298) fue un antiguo matematico griego. Se considera a Diofanto el padre del algebra.
116 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Luego (x− 3)(x+ 2) = 0, de donde x1 = −2 ∨ x2 = 3
Metodo de completar cuadrados.
x2 − x− 6 = 0
x2 − x+1
4− 1
4− 6 = 0
(x− 1
2
)2
− 25
4= 0
(x− 1
2+
5
2
)(x− 1
2− 5
2
)= 0
(x− 3)(x+ 2) = 0
de donde x1 = −2 ∨ x2 = 3
Por formula cuadratica.
x2 − x− 6 = 0
con a = 1, b = −1 y c = −6, entonces usamos la formula cuadratica (1.7)
x =−b±
√b2 − 4ac
2a(4.7)
donde ∆ = b2 − 4ac es conocido con el nombre de discriminante,
luego x =1±
√1− 4(1)(−6)
2=
1±√25
2, de donde x1 = −2 ∨ x2 = 3
Propiedades de las raıces
Dada la ecuacion cuadratica: ax2 + bx + c = 0, con a 6= 0, y con raıces x1 y x2, entonces
se cumple que:
z Suma de raıces:
x1 + x2 = −b
a
z Producto de raıces:
x1.x2 =c
a
z Diferencia de raıces:
D = |x1 − x2| =√∆
a=
√b2 − 4ac
a
z Cociente de raıces:
C =x1x2
=b+√∆
b−√∆
Walter Arriaga D. Matematica Basica 117
z Suma de inversas de raıces:1
x1+
1
x2= −b
c
z Suma de cuadrados:
x21 + x22 =b2 − 2ac
a2
z Suma de cubos:
x31 + x32 =b(3ac − b2)
a3
z Identidad de Legendre:
(x1 + x2)2 − (x1 − x2)
2 = −4c
a
z Raıces simetricas: x1 + x2 = 0, es decir b = 0
z Raıces recıprocas: x1.x2 = 1, es decir a = c
z Raıces iguales: x1 − x2 = 0, es decir ∆ = 0
z Si las ecuaciones:
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
mx2 + nx+ p, m 6= 0tienen las mismas raıces, entonces se
cumple:a
m=
b
n=
c
p
Naturaleza de las raıces
En la ecuacion de segundo grado ax2 + bx + c = 0, a 6= 0. Se llama discriminante a la
expresion ∆ = b2 − 4ac.� Si ∆ > 0 entonces las raıces x1 y x2 son reales y diferentes.� Si ∆ = 0 entonces las raıces x1 y x2 son reales e iguales.� Si ∆ < 0 entonces las raıces x1 y x2 son complejas y conjugadas.
Formacion de una ecuacion de segundo grado
Si x1 y x2 son las raıces de una ecuacion de segundo grado, entonces: S = x1 + x2;
P = x1.x2, luego formamos la ecuacion de segundo grado como:
x2 − Sx+ P = 0
118 Matematica Basica Walter Arriaga D.
4.4.6. Ecuacion Cubica
Llamada tambien ecuacion polinomial de grado 3 cuya forma general es:
ax3 + b2 + cx+ d = 0
con a 6= 0. Mediante el teorema fundamental del algebra, la ecuacion tiene 3 raıces denotadas
por x1, x2 y x3.
Teorema 4.4.3. Teorema de Cardano5 – Viete6
En la ecuacion ax3 + bx2 + cx+ d = 0, con a 6= 0, de raıces x1, x2 y x3 se cumple:
Suma de raıces:
x1 + x2 + x3 = −b
a
Suma de productos binarios de raıces:
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =c
a
Producto de raıces:
x1.x2.x3 = −d
a
4.4.7. Ecuacion Cuartica
Llamada tambien ecuacion polinomial de cuarto grado y toma la sigiuente forma general:
ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e = 0
con a 6= 0. Mediante el teorema fundamental del algebra, la ecuacion tiene 4 raıces denotadas
por x1, x2, x3 y x4.
Teorema 4.4.4. Teorema de Cardano
En la ecuacion ax4 + b3 + cx2 + dx+ e = 0, con a 6= 0, de raıces x1, x2, x3 y x4 se cumple:
Suma de raıces:
x1 + x2 + x3 + x4 = −b
a
5Gerolamo Cardano, o Girolamo Cardan (24 de septiembre 1501 – 21 de septiembre 1576) fue un celebre
matematico italiano del Renacimiento, medico, astrologo, jugador de juegos de azar y filosofo.6Francois Viete fue un matematico frances (Fontenay le Comte, 1540 – Parıs, 1603). Se le considera uno de
los principales precursores del algebra.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 119
Suma de productos binarios:
x1.x2 + x1.x3 + · · ·+ x3.x4 =c
a
Suma de productos ternarios:
x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + · · ·+ x2.x3.x4 = −d
a
Producto de raıces:
x1.x2.x3.x4 =e
a
4.4.8. Ecuacion Bicuadrada
Es una ecuacion cuartica cuya forma general es:
ax4 + bx2 + c = 0
con abc 6= 0.
Formula general:
x = ±
√−b±
√b2 − 4ac
2a
La ecuacion bicuadrada tiene 4 raıces x1, x2, x3 y x4 que simetricas de a dos a dos, es
decir: x1 = −x2 y x3 = −x4. Dichas raıces cumplen la siguiente propiedad:
x4 − (α2 + β2)x2 + α2β2 = 0
donde α y β son las raıces x1 y x3 respectivamente.
4.4.9. Ecuacion Polinomial
Una ecuacion polinomial de grado n es de la forma:
a0xn + a1x
n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an = 0
donde a0 6= 0.
La resolucion para las ecuaciones lineales, cuadraticas, cubicas, cuarticas y bicuadradas
que ya han sido estudiadas, pueden expresarse mediante formulas generales en terminos de
sus coeficientes.
120 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Sin embargo, no ha sido posible resolver en forma general una ecuacion de quinto grado o
superior mediante formulas generales (por radicales). Mas aun el matematico Evariste Galois7
demuestra que el polinomio general de grado n ≥ 5 no es soluble por radicales, mediante
la teorıa de grupos (tratado en Algebra Moderna). Pero si los coeficientes son numericos, el
valor de cualquiera de las raıces reales puede hallarse mediante aproximaciones (visto en las
aplicaciones de la derivada).
Teorema 4.4.5. Teorema de Cardano
Dada la ecuacion polinomica a0xn + a1x
n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an = 0, con a0 6= 0, de raıces x1,
x2, x3, . . . , xn se cumple:
Suma de raıces:
x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn = −a1a0
Suma de productos binarios:
x1.x2 + x1.x3 + · · · + xn−1.xn =a2a0
Suma de productos ternarios:
x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + · · · + xn−2.xn−1.xn = −a3a0
Suma de productos tomados de k en k:
x1.x2.x3 . . . xk + x2.x3 . . . xkxk+1 + · · · = (−1)k aka0
Producto de raıces:
x1.x2.x3 . . . xn = (−1)n ana0
4.4.10. Planteamiento de ecuaciones
El planteamiento de ecuaciones en matematicas responde a la necesidad de expresar
simbolicamente los problemas y los pensamientos. El primero en proponer una notacion
simbolica, y no solo logica, para explicar sus proposiciones matematicas fue el griego Dio-
fanto de Alejandrıa, en el siglo III a.C., por cuya razon las primeras ecuaciones algebraicas se
dieron en llamar diofanticas.
7Evariste Galois (25 de octubre de 1811 al 31 de mayo de 1832) fue un joven matematico frances nacido
en Bourg la Reine. Ofrecio las bases fundamentales para la teorıa que lleva su nombre, una rama principal del
algebra abstracta. Fue el primero en utilizar el termino “grupo” en un contexto matematico.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 121
Una de las mayores aportaciones a la teorıa de las ecuaciones se debe al matematico Joseph
Louis Lagrange8, fue uno de los mayores cientıficos de su epoca y destacando tambien en otras
disciplinas. Su mayor aportacion al algebra es su famosa memoria “Sobre la revolucion de las
ecuaciones numericas”, escrita en 1767.
Las ecuaciones que estudiamos anteriormente nos pueden ayudar a modelar situaciones que
pueden reflejar el comportamiento de fenomenos fısicos o problemas que es factible encontrar
en la vida diaria. Cada problema requiere el planteamiento de una ecuacion. Por tal razon, es
muy importante expresar la informacion dada en palabras en lenguaje algebraico, esto implica
traducir adecuadamente el enunciado de un problema a una expresion matematica mediante
una o mas ecuaciones.
Una de las habilidades mas importantes en la resolucion de problemas es la destreza,
para traducir un problema dado en nuestro idioma, al lenguaje matematico. Ver el siguiente
esquema:
Simbolizar
Interpretar
LeerEcuacion
(Lenguaje matematico)
Enunciado del problema
(Lenguaje comun)
Figura 4.1: Planteamiento de una ecuacion
A continuacion veremos la traduccion de ciertos enunciados dados en forma verbal a su
forma simbolica matematica.
8Joseph Louis Lagrange, nacio el 25 de Enero de 1736 en Turin, Sardinia–Piedmont (actualmente Italia) y
murio el 10 de Abril de 1813 en Paris, Francia. Joseph Louis Lagrange esta considerado generalmente como un
matematico frances, pero la Enciclopedia Italiana se refiere a el como un matematico italiano. En ambos casos
esta justificada la pretension puesto que Lagrange nacio en Turın y fue bautizado con el nombre de Giuseppe
Lodovico Lagrangia.
122 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Enunciado (Forma verbal)Expresion Matematica (For-
ma simbolica)
⊛ La suma de tres numeros consecutivos es 69. x+ (x+ 1) + (x+ 2) = 69
⊛ El quıntuplo de un numero, aumentado en 9. 5x+ 9
⊛ El quıntuplo de un numero mas 9. 5(x+ 9)
⊛ 8 menos que 5 veces un numero. 5x− 8
⊛ En una reunion hay tantos hombres como el
triple de mujeres.Hombres: 3x Mujeres: x
⊛ El cuadrado de la suma de dos numeros. (x+ y)2
⊛ La suma de los cuadrados de dos numeros. x2 + y2
⊛ El exceso de A sobre B es 90. A−B = 90
⊛ A es excedido por B en 7. B −A = 7
⊛ La edad de Kiko es cuatro veces la edad del
Chavo.Kiko: 4x Chavo: x
⊛ La edad de Kiko es cuatro veces mas que la
edad del Chavo.Kiko: 5x Chavo: x
⊛ A es B como 5 es 6. AB = 5
6
⊛ Yo tengo la mitad de lo que tu tienes y el tiene
el triple de lo que tu tienes.Yo: x Tu: 2x El: 6x
Problemas sobre edades
En la mayor parte de problemas de la vida diaria donde se aplican las ecuaciones, vamos
a encontrar, las relacionadas a edades. Ya que es un tipo de problemas matematicos muy fre-
cuentes y dada la diversidad de situaciones que se presentan, existiendo ası metodos practicos
de resolucion, por eso le daremos una atencion especial.
Es conveniente para resolver estos problemas utilizar cuadros, tablas, graficos, dibujos,
esquemas, etc., que nos permitan visualizar e imaginar mejor la solucion de los mismos.
Evidentemente en estos problemas intervienen Sujetos, cuyas edades se relacionan a traves
del tiempo bajo una serie de condiciones. A continuacion trataremos sobre ellos.
I. Sujetos: Son los protagonistas del problema, que generalmente son las personas, pero
algunos problemas pueden ser animales, plantas, etc. Ejemplos:
Walter Arriaga D. Matematica Basica 123
1. La edad de Tom y la edad de Jerry suman tanto como la suma de los 6 primeros
numeros primos.
Edad de Tom: T
Edad de Jerry: J
T + J = 41
2. La edad de un arbol ebano, cuando fue talado era 94 anos mas que la edad de la
planta girasol.
Edad de Girasol: G
Edad de Ebano: E
E = G+ 94
II. Tiempos: Es uno de los elementos mas importantes, ya que las condiciones del prob-
lema ocurren en tiempos diferentes (pasado, presente y futuro) relacionadas con otras
expresiones las cuales deben interpretarse correctamente caso contrario complicarıan la
resolucion de los problemas.
a) Tiempo Pasado: Se reconocen porque se presentan con las siguientes palabras:
YoTenıa
Tuve
TuTenıas
Tuviste
ElTenıa
Tuvo
Pueden darse en el problema uno o mas tiempos pasados.
b) Tiempo Presente: Se reconocen porque se presentan con las siguientes palabras:
Yo Tengo
Tu Tienes
El Tiene
124 Matematica Basica Walter Arriaga D.
c) Tiempo Futuro: Se reconocen porque se le presenta con las palabras:
YoTendre
Tenga
TuTendras
Tengas
ElTendra
Tenga
III. Edades: Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto. Entre las
edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen
en un mismo tiempo o en tiempos diferentes.
Tipos de Problemas
a) Cuando interviene la edad de un solo sujeto: Cuando el enunciado de un problema
nos mencionan: “Hace...” o “Dentro de.....”, se debe tomar como punto de referencia el
tiempo presente ( hoy ); a partir de allı se cuenta el tiempo transcurrido (hace... ) o el
tiempo a transcurrir( dentro de... ). Ejemplo:
Sea “x” mi edad actual, entonces dentro de “n” anos, mi edad se expresa:
Pasado Presente Futuro
Hace m anos Hoy tengo Dentro de n anos
x−m x x+ n
b) Cuando intervienen las edades de dos o mas sujetos: Para este tipo de problemas
se recomienda utilizar un cuadro de doble entrada, con el proposito de razonar ordenada-
mente, buscando plantear un sistema de ecuaciones y luego resolverlas para encontrar
lo que me piden.
Pasado Presente Futuro
Goku a m r
Picoro b n s
Se observa:
• La diferencia de edades de dos personas es constante en cualquier tiempo (es la
misma en el presente, pasado y futuro). Esto es:
a− b = m− n = r − s
Walter Arriaga D. Matematica Basica 125
• “Lo anterior determina que la suma en aspa de valores extremos colocados simetri-
camente son iguales.
a+ n = b+m
m+ s = n+ r
a+ s = b+ r
Relacion con el ano de nacimiento
De acuerdo a esto podemos enunciar:
Cuando una persona ya cumplio anos, se cumple:
Ano Actual = Ano de nacimiento + Edad Actual
Cuando una persona aun no cumple anos, se cumple:
Ano Actual − 1 = Ano de nacimiento + Edad Actual
Problemas sobre relojes
✍ EJERCICIOS RESUELTOS 2.
Una breve historia de Tartaglia
Figura 4.2: Tartaglia
Niccolo Fontana (1500 – 13 de diciembre 1557), matematico italiano apodado Tartaglia(el tartamudo) desde que de nino recibio una herida en la toma de su ciudad natal, Brescia,
126 Matematica Basica Walter Arriaga D.
por Gaston de Foix. Huerfano y sin medios materiales para proveerse una instruccion, llego aser uno de los principales matematicos del siglo XVI. Explico esta ciencia sucesivamente enVerona, Vicenza, Brescia y finalmente Venecia, ciudad en la que fallecio en 1557 en la mismapobreza que le acompano toda su vida. Se cuenta que Tartaglia solo aprendio la mitad delalfabeto de un tutor privado antes de que el dinero se agotara, y posteriormente tuvo queaprender el resto por su cuenta. Sea como sea, su aprendizaje fue esencialmente autodidacto.
Descubridor de un metodo para resolver ecuaciones de tercer grado, estando ya en Venecia,en 1535 su colega del Fiore discıpulo de Scipione del Ferro de quien habıa recibido la formulapara resolver las ecuaciones cubicas, le propone un duelo matematico que Tartaglia acepta.A partir de este duelo y en su afan de ganarlo Tartaglia desarrolla la formula general pararesolver las ecuaciones de tercer grado. Por lo que, consigue resolver todas las cuestiones quele plantea su contrincante, sin que este logre resolver ninguna de las propuestas por Tartaglia.
El exito de Tartaglia en el duelo llega a oıdos de Gerolamo Cardano que le ruega que lecomunique su formula, a lo que accede pero exigiendole a Cardano jurar que no la publicara.Sin embargo, en vista de que Tarataglia no publica su formula, y que segun parece llegaa manos de Cardano un escrito inedito de otro matematico fechado con anterioridad al deTartaglia y en el que independiente se llega al mismo resultado, sera finalmente Cardanoquien, considerandose libre del juramento, la publique en su obra Ars Magna (1570). A pesarde que Cardano acredito la autorıa de Tartaglia, este quedo profundamente afectado, llegandoa insultar publicamente a Cardano tanto personal como profesionalmente. Las formulas deTartaglia seran conocidas como formulas de Cardano
Otras aportaciones destacables de Tartaglia fueron los primeros estudios de aplicacion delas matematicas a la artillerıa en el calculo de la trayectorias de los proyectiles (trabajosconfirmados posteriormente por los estudios acerca de la caıda de los cuerpos realizados porGalileo), ası como por la expresion matematica para el calculo del volumen de un tetraedrocualquiera en funcion de las longitudes de sus lados, la llamada formula de Tartaglia, unageneralizacion de la formula de Heron (usada para el calculo del area del triangulo):
V =
√√√√√√√√√1
288
0 1 1 1 11 0 a2 b2 c2
1 a2 0 d2 e2
1 b2 d2 0 f2
1 c2 e2 f2 0
.
Ademas de sus trabajos matematicos, Tartaglia publico las primeras traducciones al ital-iano de las obras de Arquımedes y Euclides.
4.5. Desigualdades e Inecuaciones
El criterio de desigualdad nace tan paralelamente a la nocion de igualdad desde los int-
electuales babilonicos, aunque no se trataba con tanto interes.
Las inecuaciones se convierten en la preocupacion de los intelectuales europeos, en el siglo
XVI con Leonardo de Pisa9 entre las inecuaciones simples.
9Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (1170 – 1250), tambien llamado Fibonacci, fue un
matematico italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeracion actualmente utilizado, el
Walter Arriaga D. Matematica Basica 127
Las desigualdades o relacion de orden se convierten en una caracterıstica fundamental que
diferencia al conjunto de los numeros reales del conjunto de los numeros complejos.
4.5.1. Desigualdad
Definicion 4.5.1. Una desigualdad es una comparacion que se establece entre dos numeros
reales a, b utilizando los sımbolos de la relacion de orden, el cual puede ser verdadero o falso.
a > b, a < b, a ≥ b, a ≤ b.
Desigualdades conocidas
Los matematicos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas formulas
exactas no pueden ser facilmente computadas. Algunas se usan tan a menudo que se les ha
puesto nombre, como:
Desigualdad de Azuma
Desigualdad de Bernoulli
Desigualdad de Boole
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Desigualdad de Chebyshov
Desigualdad de Chernoff
Desigualdad de Cramer-Rao
Desigualdad de Hoeffding
Desigualdad de Holder
Desigualdad de las medias aritmetica y geometrica
Desigualdad de Jensen
Desigualdad de Markov
Desigualdad de Minkowski
Desigualdad de Nesbitt
que emplea notacion posicional (de base 10, o decimal) y un dıgito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesion
de Fibonacci (surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos).
128 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Desigualdad de Pedoe
Desigualdad triangular
4.5.2. La recta real
Es muy comun manejarse en la vida cotidiana con numeros que oscilan en ciertos rangos.
Muchos fenomenos que se producen en la naturaleza no tienen soluciones exactas, y para re-
solverlos debemos contentarnos, por ejemplo, con acotarlos entre dos valores determinados. En
esta seccion precisamente aprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones. Para ello,
en principio, daremos la nocion de inervalo, y finalizaremos con la resolucion de inecuaciones.
Definicion 4.5.2. La recta real es una representacion geometrica del conjunto de los numeros
reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido
(normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe
una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un numero real.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 R
Figura 4.3: La Recta Real
Intervalos
Definicion 4.5.3. Los intervalos numericos en R son conjuntos de numeros reales y se rep-
resentan mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados
Intervalos acotados o finitos
Definicion 4.5.4. Un Intervalo abierto es aquel conjunto formado por todos los numeros
reales x tales que a < x < b. No estan incluıdos los extremos a y b. Se denota por 〈a, b〉 otambien ]a, b[ de modo que:
〈a, b〉 = {x ∈ R / a < x < b}
a b R
Observacion 4.5.1. Si a = b, entonces 〈a, b〉 = φ.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 129
Definicion 4.5.5. Un Intervalo cerrado es aquel conjunto formado por todos los numeros
reales x tales que a ≤ x ≤ b. Estan incluıdos los extremos a y b. Se denota por [a, b] de modo
que:
[a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
a b R
Observacion 4.5.2. Si a = b, entonces [a, b] = {a} o {b}.
Definicion 4.5.6. Un Intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha es
aquel conjunto formado por todos los numeros reales x tales que a < x ≤ b. Se denota por
〈a, b] de modo que:
〈a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}
a b R
Definicion 4.5.7. Un Intervalo semiabierto por la derecha o semicerrado por la izquierda es
aquel conjunto formado por todos los numeros reales x tales que a ≤ x < b. Se denota por
[a, b〉 de modo que:
[a, b〉 = {x ∈ R / a ≤ x < b}
a b R
Intervalos no acotados o infinitos
Definicion 4.5.8. Los intervalo infinitos son conjuntos de numeros reales que se extienden
indefinidamente por la derecha o por la izquierda y tienen la forma:� 〈a,+∞〉 = {x ∈ R / x > a}
a R� [a,+∞〉 = {x ∈ R / x ≥ a}
a R� 〈−∞, a〉 = {x ∈ R / x < a}
a R
130 Matematica Basica Walter Arriaga D.� 〈−∞, a] = {x ∈ R / x ≤ a}
a R� 〈−∞,∞〉 = {x ∈ R / x ∈ R}
0 R
Notacion Intervalo Longitud (l) Descripcion
〈a, b〉 a < x < b b− a Intervalo abierto
[a, b] a ≤ x ≤ b b− a Intervalo cerrado
[a, b〉 a ≤ x < b b− a Intervalo semiabierto o semicerrado
〈a, b] a < x ≤ b b− a Intervalo semiabierto o semicerrado
〈a,∞〉 x > a ∞ Intervalo infinito
[a,∞〉 x ≥ a ∞ Intervalo infinito
〈−∞, a〉 x < a ∞ Intervalo infinito
〈−∞, a] x ≤ a ∞ Intervalo infinito
〈−∞,∞〉 x ∈ R ∞ Intervalo infinito
{a} x = a 0 Intervalo cerrado. Conjunto unitario
{} 6 ∃ x 6 ∃ Conjunto vacıo
Cuadro 4.1: Clasificacion de intervalos
Operaciones con intervalos
Siendo los intervalos subconjuntos de los numeros reales, es posible realizar con ellos las
propiedades operativas de conjuntos, como son la union, interseccion, diferencia, diferencia
simetrica, y complementacion.
A ∪B = {x ∈ R / x ∈ A ∨ x ∈ B}
A ∩B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x ∈ B}
A−B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x 6∈ B}
A∆B = {x ∈ R / x ∈ (A−B) ∨ x ∈ (B −A)}
A′ = Ac = {x ∈ R / x 6∈ A}
Nota 4.5.1. A−B = A\B
Walter Arriaga D. Matematica Basica 131
4.5.3. Inecuacion
Definicion 4.5.9. Una inecuacion es toda desigualdad condicional que contiene una o mas
cantidades desconocidas, llamadas variables, y que solo es verdadera para determinados valores
de dichas variables.
Las inecuaciones de una variable son proposiciones que tienen la forma: p(x) > 0, p(x) < 0,
p(x) ≥ 0, p(x) ≤ 0.
Toda inecuacion se convierte en una desigualdad cierta o falsa cuando la incognita o
incognitas toman un valor real determinado.
4.5.4. Inecuaciones de primer grado
Definicion 4.5.10. Llamada tambien Inecuacion Lineal, es aquella inecuacion de la forma:
ax+ b > 0 ; ax+ b < 0
ax+ b ≥ 0 ; ax+ b ≤ 0
donde a 6= 0 y {a, b} ⊂ R
4.5.5. Inecuaciones de segundo grado
Definicion 4.5.11. Llamada tambien Inecuacion Cuadratica, es aquella inecuacion de la
forma:
ax2 + bx+ c > 0 ; ax2 + bx+ c < 0
ax2 + bx+ c ≥ 0 ; ax2 + bx+ c ≤ 0
donde a 6= 0 y {a, b, c} ⊂ R
4.5.6. Inecuaciones polinomicas
Definicion 4.5.12. Las inecuaciones polinomicas tienen la forma:
P (x) = a0xn + a1x
n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an > 0
P (x) = a0xn + a1x
n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an < 0
P (x) = a0xn + a1x
n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an ≥ 0
P (x) = a0xn + a1x
n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an ≤ 0
y son llamadas tambien inecuaciones de orden superior.
132 Matematica Basica Walter Arriaga D.
4.5.7. Inecuaciones racionales
Definicion 4.5.13. Una inecuacion racional es una desigualdad condicional que reducida a
su mas simple expresion tiene la forma:
P (x)
Q(x)> 0 ;
P (x)
Q(x)< 0 ;
P (x)
Q(x)≥ 0 ;
P (x)
Q(x)≤ 0
4.5.8. Ecuaciones e inecuaciones irracionales
Definicion 4.5.14. Una ecuacion irracional es aquella en que la variable aparece afectada
por un signo radical.
Propiedad 4.5.1.
√x ≥ 0, ∀x ≥ 0
√x = 0 ⇐⇒ x = 0
Teorema 4.5.1. Sean a y b numeros reales, entonces:
√a = b ⇐⇒ [ b ≥ 0 ∧ a = b2 ] (4.8)
Definicion 4.5.15. Una inecuacion irracional es aquella desigualdad en que la variable aparece
afectada por un signo radical.
Lema 4.5.1. Sean x, y, numeros reales, entonces:
0 ≤ √x ≤ √y ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ y
0 ≤ √x <√y ⇐⇒ 0 ≤ x < y
Teorema 4.5.2. Si n es un entero par positivo, entonces:
n
√x ≤ n
√y ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ y
n
√x < n
√y ⇐⇒ 0 ≤ x < y
Teorema 4.5.3. Si n es un entero impar positivo, entonces:
n
√x ≤ n
√y ⇐⇒ x ≤ y
n
√x < n
√y ⇐⇒ x < y
n
√x ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 0
Walter Arriaga D. Matematica Basica 133
n
√x < 0 ⇐⇒ x < 0
Teorema 4.5.4. Sean a y b numeros reales, entonces:
√a < b ⇐⇒ a ≥ 0 ∧ [ b > 0 ∧ a < b2 ]
√a ≤ b ⇐⇒ a ≥ 0 ∧ [ b ≥ 0 ∧ a ≤ b2 ]
√a > b ⇐⇒ a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a > b2 ) ]
√a ≥ b ⇐⇒ a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a ≥ b2 ) ]
4.5.9. Inecuaciones exponenciales
Las inecuaciones exponenciales son de la forma:
bP (x) ≥ bQ(x)
bP (x) ≤ bQ(x)
bP (x) > bQ(x)
bP (x) < bQ(x)
Se presentan los siguiente casos:
Caso I: Si b > 1, entonces se cumple:
bP (x) ≥ bQ(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x)
bP (x) ≤ bQ(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x)
bP (x) > bQ(x) ⇒ P (x) > Q(x)
bP (x) < bQ(x) ⇒ P (x) < Q(x)
Caso II: Si 0 < b < 1, entonces se cumple:
bP (x) ≥ bQ(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x)
bP (x) ≤ bQ(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x)
bP (x) > bQ(x) ⇒ P (x) < Q(x)
bP (x) < bQ(x) ⇒ P (x) > Q(x)
134 Matematica Basica Walter Arriaga D.
4.5.10. Inecuaciones logarıtmicas
Las inecuaciones exponenciales son de la forma:
logb P (x) ≥ logbQ(x)
logb P (x) ≤ logbQ(x)
logb P (x) > logbQ(x)
logb P (x) < logbQ(x)
Se presentan los siguiente casos:
Caso I: Si b > 1, entonces se cumple:
logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x)
logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) ≤ Q(x)
logb P (x) > logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) > Q(x)
logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) < Q(x)
Caso II: Si 0 < b < 1, entonces se cumple:
logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) ≤ Q(x)
logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) ≥ Q(x)
logb P (x) > logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) < Q(x)
logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) > Q(x)
4.5.11. Sistemas de inecuaciones
4.6. Valor Absoluto y Maximo Entero
4.6.1. Valor absoluto
El objetivo que se pretende lograr es que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones
que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ax+ b, donde a y b son
constantes reales con a 6= 0, y x es una variable real.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 135
Definicion 4.6.1. El valor absoluto o magnitud de X ∈ R, denotado por |x| es un numero
no negativo definido por la siguiente regla:
|x| =
x x ≥ 0
−x x < 0
El concepto de valor absoluto de un numero real puede generalizarse a muchos otros objetos
matematicos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto esta estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia
y norma en diferentes contextos matematicos y fısicos.
Desde un punto de vista geometrico, el valor absoluto de un numero real x corresponde
a la distancia a lo largo de la recta numerica real desde x hasta el numero cero. En general,
el valor absoluto de la diferencia de dos numeros reales es la distancia entre ellos. De hecho,
el concepto de funcion distancia o metrica se puede ver como una generalizacion del valor
absoluto de la diferencia.
Proposicion 4.6.1.
I. |a| ≥ 0, para todo a ∈ R
II. |a| = 0 ⇐⇒ a = 0
III. |a|2 = a2, para todo a ∈ R
IV. |a| =√a2, para todo a ∈ R
V. |a| = | − a|, para todo a ∈ R
VI. |ab| = |a||b|, para todo a, b ∈ R
VII.∣∣∣ab
∣∣∣ = |a||b| , para todo a, b ∈ R, b 6= 0.
VIII. |a+ b| ≤ |a|+ |b|, para todo a, b ∈ R (Desigualdad Triangular)
IX. |a− b| ≤ |a|+ |b|, para todo a, b ∈ R
X. |a| − |b| ≤ |a− b|
XI. |a| = b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ [a = b ∨ a = −b]
XII. |a| = |b| ⇐⇒ a = b ∨ a = −b
XIII. |a| ≤ b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ −b ≤ a ≤ b
136 Matematica Basica Walter Arriaga D.
XIV. |a| < b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ −b < a < b
XV. |a| ≥ b ⇐⇒ a ≥ b ∨ a ≤ −b
XVI. |a| > b ⇐⇒ a > b ∨ a < −b
XVII. |a| ≤ |b| ⇐⇒ a2 ≤ b2
XVIII. −|a| ≤ a ≤ |a|, para todo a ∈ R
4.6.2. Maximo entero
Definicion 4.6.2. En el sistema de numeros reales se define el maximo entero de un numero
real x, a la expresion denotada por JxK = n, donde n es el mayor entero, menor o igual a x;
es decir:
JxK = n ⇐⇒ JxK = max{n ∈ Z / n ≤ x}
Ejemplo 4.6.1.
x = 2,8 entonces JxK = J2,8K = 2; porque: 2 ≤ 2,8 < 3
x = −√2 entonces JxK =
q−√2y= −2; porque: −2 ≤ −
√2 < −1
x = −7 entonces JxK = J−7K = −7; porque: −7 ≤ −7 < −6x = π entonces JxK = JπK = 3; porque: 3 ≤ π < 4
Propiedades
1. JxK ∈ Z, ∀x ∈ R
2. JxK = x ⇔ x ∈ Z
3. JxK ≤ x < JxK + 1, ∀x ∈ R
4. JxK = n ⇔ n ≤ x < n+ 1, n ∈ Z
5. Jx+ nK = JxK + n, n ∈ Z
6. JxK ≤ n ⇔ x < n+ 1, n ∈ Z
7. JxK < n ⇔ x < n, n ∈ Z
8. JxK ≥ n ⇔ x ≥ n, n ∈ Z
9. JxK > n ⇔ x ≥ n+ 1, n ∈ Z
Walter Arriaga D. Matematica Basica 137
10. JxK + JyK < Jx+ yK, ∀x, y ∈ R
11. JxK + J−xK =
0 , si x ∈ Z
−1 , si x ∈ (R−Z)
12. Si x ≤ y ⇒ JxK ≤ JyK, ∀x, y ∈ R
138 Matematica Basica Walter Arriaga D.
✍ EJERCICIOS PROPUESTOS 2.
I. Resolver las siguientes ecuaciones:
1)1
2x+ 2+
3
2x− 2=
x+ 2
x2 − 1
2) 4
(x2 +
1
x2
)− 24
(x+
1
x
)+ 28 = 0
3) 333(x − 333) =1
333(x− 333) − x+ 333
4)x− a
bc+
x− b
ac+
x− c
ab= 2
(1
a+
1
b+
1
c
)con abc 6= 0,
5)2(x2 − 6x+ 9)
x4 − 12x3 + 53x2 − 102x + 72=
1
x2 − 5x+ 6+
1
x− 3
6) x−2(x2 − 3x+ 1)(x2 − x+ 1) +3
4= 0
7)x4 − 16
2− x− x5 + 32
x+ 2+ 6x3 = 0
8)6x+ 2a+ 3b+ c
6x+ 2a− 3b− c=
2x+ 6a+ b+ 3c
2x+ 6a− b− 3c
9)1
(x− 2)(x− 3)+
1
(x− 3)(x− 4)+
1
(x− 2)(x− 4)= 0
10)23x− 46
253− 3x+ 6
51=
2x− 4
34
11)
x+ 1
x− 1− x− 1
x+ 1
1− x+ 1
x− 1
=1
2
12)x2 − 4x− 5
(x− 2)2=
x2 + 6x+ 10
(x+ 3)2
13)
(x
x− 1
)2
+
(x
x+ 1
)2
=5
16
14)(x− 3)(x+ 5)
5(x− 5)(x+ 7)− (x− 4)(x+ 2)
4(x− 6)(x+ 4)=−120
II. Propiedades de las raıces de ecuaciones:
1) Que valores deben tomar p y q para que las raıces de la ecuacion x2 + px + q = 0,
sean tambien p y q?
2) Hallar el valor de “q” para tener dos raıces iguales en la ecuacion x2 − 8x+ q = 0
3) Si “r” y “s” son las raıces de la ecuacion: x2 + bx+ c = 0. Hallar el valor de√r2 + s2
Walter Arriaga D. Matematica Basica 139
4) Determinar uno de los valores de “p” en la ecuacion: x2 − (3p − 2)x + (p2 − 1) = 0.
De modo que una raız sea el triple de la otra.
5) Hallar la ecuacion de segundo grado si una de sus raıces es: −3 + 4i
6) Hallar “m” si la ecuacion:x2 − bx
ax− c=
m− 1
m+ 1tiene raıces numericamente iguales pero
de signo contrario.
7) Hallar la ecuacion de segundo grado si una de sus raıces es: x = 2+2
1 +2
3 +2
1 +2
3 + ...
8) En la ecuacion x2−px+36 = 0, determınese “p” de tal manera que se tenga1
x1+
1
x2=
5
12; x1, x2 son raıces.
9) Hallar el producto de las raıces de la ecuacion: 8Z32n − 8Z
−32n = 63
10) Que valor debe tener “C”, en la ecuacion x2 − 8x + C = 0, para que una raız sea
inversa de la otra?
11) Cual es la diferencia de los cuadrados de las raıces de la ecuacion: (x−1)2+x2 = 1,22?
12) Formar una ecuacion cuadratica que admite como raıces, la suma y el producto de
las inversas de aquella ecuacion de coeficientes racionales que tiene como una de sus
raıces:5
2+
i
2
13) Sea: (x+1)n2−(7x+5)n+2n+12x = 0, una ecuacion lineal en “x”. ¿Para que valor(es)
de n la ecuacion tiene infinitas soluciones?
14) Resuelva la ecuacion: x2 + 6px − 2k = 0. Si 3x2 + (k + a)x + 5 − k = 0 tiene raıces
recıprocas y 6x2 + (2p − 1)x+ 8 = 0 tiene raıces simetricas.
15) Si a y b son las raıces de la ecuacion x2 − 6x + c = 0; entonces hallar el valor dea2 + b2 + 2c
9
16) En la ecuacion 3k2x2 − 6kx− (k + 2) = 0, k 6= 0. Si la suma de sus raıces es igual al
doble de su producto, hallar k.
17) Para que valores de m la ecuacion:
(2√x)2 +
(3√x
)2
+ 3
(1 +
3
m
)= 0, tiene dos soluciones iguales.
18) Si {a, b} es el conjunto solucion de la ecuacion x2 − 197781x − 197771 = 0. Halle el
valor de: a2 + b2 + a2b2 + 2ab(a + b+ 1).
19) Si la ecuacion x2 + 2(n+ 3)x+ (n2 + 1) = 0 tiene raıces reales diferentes, que valores
enteros negativos debe asumir “n”.
140 Matematica Basica Walter Arriaga D.
20) Si las raıces son recıprocas, hallar la suma de las raıces de: (2n−2)x2+4x−4nx = 2−n
21) Hallar “m + n” si la ecuacion cuadratica: 1024x2 − (nm − 8)x + n10 = 0, m,n ∈ R+
tiene raıces simetricas y recıprocas.
22) Si las raıces de x2 +mx+ n = 0 difieren en 4 y la diferencia de cubos de estas raıces
es 208. Entonces hallar el menor valor que puede tomar E = m+ n
23) Si el conjunto solucion de la ecuacion x2 − 5x+ 1 = 0 es {α, β}, calcule:W =
1
α+ 2+
1
β + 2.
24) Siendo α y β las raıces de x2 − 2x+ 5 = 0, encuentre el termino independiente de la
ecuacion cuyas raıces son: x1 = 3α+ β y x2 = α+ 3β.
25) Sea la ecuacion cuadratica x2 − 3x+ 1 = 0, de raıces “x1” y “x2”, calcular:
(x1 + 4)(x2 + 6)(x1 + 6)(x2 + 4).
26) Si las ecuaciones en “x”: (m+2)x2+(n2+3)x−2 = 0 y (m+1)x2+(n+1)x−1 =
0 admiten el mismo conjunto solucion, determine mn.
27) Si la ecuacion de incognita “x”:
(m+ n− 8)x2 + (m− n+ 4)x+ 5 = 0 es incompatible, calcular el valor de m+ 3n.
28) Si la ecuacion3kx− 5
x− 1+
2kx− 3
x+ 1= k + 8 se reduce a una ecuacion de primero
grado en “x”. Hallar su solucion.
29) Resolver la ecuacion de primer grado: a2−1√
x a
√x+ a2 = a
30) Si las raıces de la ecuacion: x2− 2(m2 +4m)x+m4 = 0, son iguales. Calcular el valor
“m”.
31) Si α y β son las raıces de√x− 3 = x− 3, con α > β. Calcular el valor de: αβ
32) Si el producto de las raıces de:
4x2 − (m+ 2)x+ (n− 2) = 0 es igual a 2/3. ¿Cual es el valor de “n”?.
33) Se define la operacion z como a z b = a(a + 2b); a, b ∈ R. Hallar la suma de los
posibles valores de “x” al resolver la ecuacion: 2[x z (x− 3)] = 18.
34) Si x1 y x2 son las raıces de la ecuacion 2x2−5x+1 = 0, calcular el valor de x−11 +x−1
2 .
35) Si la ecuacion cuadratica 5x2 + (nn − 27)x + (mm + 1) = 0 tiene raıces simetricas y
recıprocas, hallar el valor de W = mn + nm.
36) Hallar la ecuacion de segundo grado que tenga por coeficiente del primer termino la
unidad, por coeficiente del segundo termino, una de sus raıces, y por ultimo termino
la otra raiz.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 141
37) Si x1, x2, x3, x4 son raıces de la ecuacion: x4 + (n+2)x2 +9 = 0, calcular el valor de
n, sabiendo ademas que x1x2x3 = 3
38) Las cuatro raıces de la ecuacion:
x4 + 5(k − 2)x2 + 9 = 0, estan en progresion aritmetica. Hallar el valor de k.
39) Hallar la ecuacion bicuadrada si una de sus raıces es: 2−√5
40) Hallar la ecuacion bicuadrada donde dos de sus raıces son 1 y −2
41) La ecuacion ax4+bx2+c = 0, tiene raıces x1, x2, x3, x4, tales que x2 = −x1, x4 = −x3,c = a, b = 3a. Calcular: x1x2 + x3x4.
III. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
1)
5
x+
3
y=
1
2
6
x− 2
y=
1
3
2) x+ y = 5; y + z = 8; z + u = 9; u+ v = 11; v + x = 9
3) x+ y = xy; y + z = 3yz; z + u = 5zu; u+ w = 7uw; w + x = 9wx
4)
(a+ b)x− (a− b)y = 4ab
(a− b)x+ (a+ b)y = 2a2 − 2b2
5)
3x+ 2y − z = 4
2x+ 3y − 2z = 2
5x− y − 3z = −6
6)
4x−1 − 3y−1 = 14
6x−1 − 5y−1 = 18
7)
1
x+
1
y+
1
z=
1
36. . . . . . (1)
xy + yz + xz = 9 . . . . . . (2)
¿Cual es el valor de xyz?
8)x
y + z=
y
x+ z=
z
x+ y=
1
x+ y + z
9) Para que valores de “m” el sistema:
(m+ 1)x+ 3y = 4m+ 3
(m+ 4)x+ 3my = 5, tiene solucion
unica?
142 Matematica Basica Walter Arriaga D.
10) Hallar el valor de k de modo que el sistema
(k − 1)x = −yx = 2y
tenga infinitas solu-
ciones.
11) Calcular el valor de “m” si el sistema:
(2m− 1)x+my = 6
15x = 6− 8ypresenta infinitas
soluciones.
12) Si el sistema:
kx− 5 = −y
x+ ky = 8no admite solucion. Calcular la suma de los valores
que admite “k”
13) Para que valor de “n” el sistema:
(n+ 2)x+ 6y = k
2x+ (1 + n)y = 7sera compatible determinado.
14) Calcular ab sabiendo que los sistemas:
3x+ ay = 7
4x+ by = 2
ax+ 3y = 8
bx+ 4y = 7son equiv-
alentes
15) Calcular el valor de: x− y + z −w del sistema:
x+ y + z = 5
x+ y + w = −1
x+ z +w = 1
y + z + w = 4
16) Dado el sistema
x+my = 1
mx− 3my = 3para que valor de “m” el sistema no tiene solucion.
17) Para que valor de a el sistema
(a+ 3)x+ (2a+ 3)y = 18
(a− 3)x+ (a− 1)y = 6no admite solucion.
IV. Problemas de aplicacion:
1) La diferencia de las cuartas potencias de dos numeros es 369 y el cuadrado de la suma
de sus cuadrados es 1681. ¿Cual es la suma de dichos numeros?
2) Un padre va con sus hijos al estadio para comprar entradas a occidente que cuesta
S/. 30.00, le falta dinero para 3 de ellos y tiene que comprar entradas para popular
de S/. 15.00. Ası entran todos y le sobra S/. 30.00. ¿Cuanto eran los hijos?
3) El denominador de una fraccion excede al numerador en una unidad. Si se agrega a
ambos miembros de la fraccion una unidad, la nueva fraccion excede a la original en
1/72. ¿Cual es la fraccion original?
Walter Arriaga D. Matematica Basica 143
4) El producto de dos numeros impares es 925. Si se divide el numero mayor entre el
menor se obtiene un cociente 1 y residuo 12. Hallar dichos numeros.
5) La suma, el producto y el cociente de dos numeros dan un valor constante. ¿Cual es
dicho valor?
6) Carlos tiene hoy cuatro veces los anos que tenıa Mario cuando el tenıa 13 anos y
Mario tiene hoy 22 anos. ¿Cual es la edad de Carlos?
7) Cuatro hermanos tienen 45 soles. Si el dinero del primero es aumentado en 2 soles, el
del segundo reducido en 2 soles, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a
la mitad, todos los hermanos tendran tambien la misma cantidad en soles. ¿Cuanto
dinero tenıa cada uno?
8) Por participar en los examenes parciales del CPU, un Decano gana el doble del sueldo
de un Profesor Auxiliar y el triple del sueldo de un Profesor Jefe de Practicas, si los
tres juntos perciben 3300 soles. ¿Cuanto gana el Decano?
9) Alessandra le dicta una ecuacion cuadratica a sus dos primos: Leonardo se equivoca
en el termino independiente y obtiene 8 y 2; mientras que Genesis se equivoca en el
coeficiente del termino lineal y obtiene −9 y −1. ¿Cual fue la ecuacion cuadratica?.
10) Determinar una fraccion sabiendo que si al numerador se aumenta en 2 y al denom-
inador en 1 se obtiene 1/2 y que si al numerador se aumenta en 1 y el denominador
se disminuye en 2 se obtiene 3/5.
11) Una caja vacıa pesa 50 gramos, depositamos 10 esferas rojas, 5 esferas blancas y 2
esferas azules. Se sabe que una esfera blanca pesa 2 gramos mas que una roja y una
esfera blanca tiene un peso igual a los 4/5 del peso de una azul. Las esferas del mismo
color tienen igual peso. Evaluar el peso total en gramos de la caja con las esferas en
su interior.
12) Si A le da S/ 1.00 a C, ambos tienen lo mismo, si B tuviera S/ 1.00 menos, tendra lo
mismo que C y si A tuviera S/ 5.00 mas, tendra tanto como el doble de lo que tiene
C, ¿Cuanto tiene C?.
13) Cuando dos bombas actuan a la vez, tardan 15 hrs. en vaciar un pozo. Si solamente
actuara una bomba, tardarıa 16 horas mas en vaciar el pozo, que si solamente ac-
tuara la otra bomba mas potente, el vaciar el pozo. ¿Cuanto demora la bomba mas
veloz en vaciar el pozo?
14) Dos negociantes de vinos ingresan por la frontera norte, portando uno de ellos 64
botellas de vino y el otro 20. Como no tienen suficiente dinero para pagar derechos de
144 Matematica Basica Walter Arriaga D.
aduana, el primero paga con 5 botellas de vino, mas S/. 40.00 y el segundo con dos
botellas de vino, pero recibe S/. 40.00 de vuelto. ¿Cual es el precio de cada botella
de vino?
15) Un granjero amarra su caballo en la esquina de su casa. El observa que si la cuerda
fuera alargada en 10 metros el animal podrıa abarcar cuatro veces el area original,
entonces la longitud original de la cuerda (en metros) es:
16) De un juego de 32 cartas se sacan primero “x” cartas y tres mas, luego se saca la
mitad de lo que resta y todavıa quedan 10 cartas. ¿Cuantas cartas se saco la primera
vez?.
V. Resolver las siguientes inecuaciones:
1) Si a > b, resuelva: a(x+ b)− b(x−a) ≥ a2+ b2 e indique cuantas soluciones negativas
tiene la inecuacion.
2) Entre que lımites debe estar comprendido el valor de “n” para que la inecuacion
x2 + 2nx+ n >3
16, se verifique para todo valor real?.
3) Para que valor de “n” se verifica la desigualdadx2 + nx− 1
2x2 − 2x+ 3< 1, ∀x ∈ R
4) Hallar el valor de mn si la inecuacion 2x2−2mx−n < 0, tiene como conjunto solucion
〈−3, 5〉.
5) Calcular 2a+ b+ c si el intervalo solucion deax2 + (a+ b)x+ c
5x2 + 2x+ 1≤ 0, es
[3
2, 2
].
6) Si: (5x+ 1) ∈ 〈−3, 2〉 entonces a que intervalo pertenece:1
2x− 2
7) (x+ 3)(x3 + x− 2) ≤ 0
8) x3 + 3x2 + x− 1 < 0
9) 5x5 + 3x4 + 2x3 − 5x2 − 3x− 2 < 0
10)7x− 2
2<
5x+ 6
3<
9x+ 34
5
11) 3 +x− 3
6>
x+ 5
3− 2
1
3
12)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣x −(3x+ 1)
5 x+ 2
∣∣∣∣∣∣7
x2 + 3x− 2 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣> 5
VI. Hallar el menor numero M con la propiedad de que para todo x ∈ R se cumple:
1) −x2 + 3x+ 12 ≤M
Walter Arriaga D. Matematica Basica 145
2) −x2 + 2x− 5/2 ≤M
3) 4 + 6x− 3x2 ≤M
4) 4x− 2x2 ≤M
5) −x2 ≤M
6) −x2 + 4x− 10 ≤M
VII. Hallar el mayor numero M con la propiedad de que para todo x ∈ R se cumple:
1) M ≤ x2 + 14x+ 33
2) 2x2 − 4x+ 1 ≥ 2M
3) M ≤ 2x2 − 4x+ 2
4) M ≤ x2 − 10x+ 32
5) M ≤ x(x− 2)− 3
6) M ≤ 1− 6x+ x2
VIII. Resolver las siguientes inecuaciones racionales:
1)2x− 3
x− 2≥ 3
2)3x+ 4
x− 5+ 2 <
4x− 5
x− 5
3)x− 4
x− 3− x+ 4
x+ 5> 0
4)2
3<
x− 1
x+ 3<
7
9
5)4
4− x− x− 2
5<
4
x
6)6
x− 1− 3
x+ 1− 7
x+ 2< 0
7)x2 − 5x+ 6
x2 + x− 56≥ 0
8)5x2
3 + x2+
7
6 + x2≥ 4x2
3x2 + 9− 1
2x2 + 12
9)(x− 5)8(x+ 1)11(x− 2)5
(2x2 + x+ 5)(x− 3)7≥ 0
10)x5(x3 − 8)3(x− 1)2
(x+ 3)2(x2 − 25)7< 0
11)3x+ 1
x2 + 1+
x2 − 12
x2 + log 10<
1− x
x2 + tan π/4
12) [(x− 1)2 + 2]−1 < 1
146 Matematica Basica Walter Arriaga D.
IX. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:
1)√x− 3 = x− 3
2) x−√4− x2 = −1
3) x+√x+ 4 = 3x− 7
4)√x+ 1−
√x+ 6 = 1
5)3√x+ 1 + 3
√x− 1
3√x+ 1− 3
√x− 1
= 2
6) x−√4− x2 = −1
7)
√x2 − 2x+ 14
x2 + 4x+ 2+
√x2 + 4x+ 2
x2 − 2x+ 14= 2
8)√x−√x+ 1
2=√
x+ 1 + 2√x
9) x2 − 6x−√x2 − 6x− 3 = 5
10)√x+
√x−√1− x = 1
11)√3x− 2−
√x+ 3 = 1
12)√x2 − 7ax+ 10a2 −
√x2 + ax− 6a2 = x− 2a
13) x+√x+ 4 = 3x− 7
14)√2x+ 13 =
√x+ 3 +
√x+ 6
15)
√x− 2
x+ 3+
√x+ 3
x− 2=
5
2
16) x2 − 6x−√x2 − 6x− 3 = 5
17)√x2 − 7ax+ 10a2 −
√x2 + ax− 6a2 = x− 2a, a > 0
18)√2x+ 13 =
√x+ 3 +
√x+ 6
19)
√x− 2
x+ 3+
√x+ 3
x− 2=
5
2
20)√x+ 1−
√x+ 6 = 1
21)
√x2 − 2x+ 14
x2 + 4x+ 2+
√x2 + 4x+ 2
x2 − 2x+ 14= 2
22)√2x− 3 +
√x− 1 =
√3x− 2
23)√2 + x−
√2− x = x
24)√3x− 6 +
√2x+ 6 =
√9x+ 4
25)√2x+ 7−
√x− 5 =
√x
26)√x− 2a =
√x− 5a−
√x+ 3a, a > 0
27)√x+ 2a+
√x =√12x+ a, a > 0
Walter Arriaga D. Matematica Basica 147
28) 3√
14 +√x+ 3
√14−√x = 4
X. Resolver las siguientes inecuaciones con radicales:
1)√x2 − x− 6 < 6− x
2)√x2 − 7 ≥
√6x
3)√x2 − 5x+ 6 +
√2x2 − 5x+ 2 +
√5x− 4− x2 > 0
4) 10√x2 − 5x+ 4 > − 12
√9x− 14− x2
5)
√x2 − 1
9− x2+ 2 > 0
6)
√2x− 8
x− 1+
√5− x
x+ 3≥ 0
7)1√x+ 1
>√x− 1
8)1√
9− x2+
1√25− x2
> 0
9)√1− x−
√1− 3x >
√3 + x−
√3− x
10)8√4x+ 2(x2 − 25)3 5
√2x− 8
(x+ 1)2(2x+ 5)9< 0
11)(x− 6)(x3 − 8)(x + 3)3 3
√x− 1
x(x− 4)9(x+ 4)10(x3 − 64)√5− x
≥ 0
12)(x+ 1)2(x+ 2)3(x+ 3)4(x− 4)5
44√x− 1 5
√9− x 6
√x
> 0
13)4√27− x 7
√x2 − 14x− 15(x− 2)8 3
√x+ 8(x− 3)11√
x+ 9(x2 + 7x− 8)(x − 27)9(x3 − 27)≤ 0
14)8√625− x2 5
√x2 − 4(x+ 4)6(x2 − 1)4
x3 − 2x2 − x+ 2≤ 0
15)
√√x2 − x− 2− 2
2−√x+ 4
≥ x− 4
16)
√√x2 − 5x−
√3x
9− x≥ x− 10
17)
√√x2 − 4x− 5
4−√x2 − 9
≥ x− 6
18)
√√x2 + x− 2 + 3√x2 − 9− 1
> x− 4
19)
√√x2 − 5x+ 4− 2
2−√x− 2
≥ x− 6
20)
√√x+ 4 + 2
2−√x+ 4
≥ x− 4
148 Matematica Basica Walter Arriaga D.
XI. Resolver las siguientes inecuaciones exponenciales:
1) 4x − 9(2x) < −8
2)x+1√8x+3 <
x−1√322x+5
3)
(1
16
) (x−2)2
2(x−4)
>
(√2
2
)4x
4) 3√
(0,5)2x−1
2 > 6√(0,25)
x+23
5)3x+1√
4
(
2x+12x+1
)
≤2x√
8
(
3x−1
(2)(3)x+1
)
XII. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones:
1) Hallar (y/x) con x, y ∈ Z en: x+ y > 6 ; x− y < 2 ; y < 4
2) (x− 4)(−2x + 1) > 0 ;x+ 1
x− 1> 2 ; (x− 1)2(x− 3)(x+ 4)3 < 0
3) 5x− 6 > 3x− 14 ; 5x+ 6 < 2(x+ 12) ;13x− 3
4<
x
3+ 5 +
1
12
XIII. Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto:
1) |2x+ 9| = x− 1
2) |2x+ 3|+ 4 = 5x
3) |2x− 6| = |4− 5x|
4) (x− 4)2 − 2|x− 4| − 15 = 0
5) |2x− 3|+ 2 = |x− 6|
6) |x− 2|+ 2|3− x| = |x+ 1|
7) |x+ 3| − |x− 1| = x+ 1
8) ||x− 1| − 1| = 1
9) ||x| − 5| = 2x− 3
10) |11− x|+ |3x− 15|+ |4− 4x| = |2x− 10|+ 5|x− 1|+ |x− 11|
11) ||x2 − 1| − x| = x
12)
∣∣∣∣x2
x− 1
∣∣∣∣ =|x2 − 16|x+ 4
XIV. Hallar el valor de:
1)|5x− 20| − |3x− 20|
x, si x ∈ 〈−3,−2〉
2)|12 + 5x| − |12− 4x|
x, si x ∈ 〈1, 3〉
Walter Arriaga D. Matematica Basica 149
3)|7x+ 10| − |5x− 10|
2x, si x ∈ 〈0, 1〉
XV. Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto:
1) |2x− 5| < 3
2) |4x− 3| > x+ 2
3)
∣∣∣∣x+ 1
x− 2
∣∣∣∣ <x− 2
x+ 3
4) |x− 1|2 + 2|x− 1| − 3 ≤ 0
5) |x3 − 1| ≤ x2 + x+ 1
6) ||x| − 2| ≤ 1
7) |2x|2 > x+ 3
8) |2x− 6| − |x− 2| ≤ |2x− 4| − |x− 3|
9) |8x− 1| ≤ 5|x− 1|+ |3x+ 4|
10) |x+ 4| − |2x+ 3| ≤ 4
11) 2|x+ 1| − 3|x− 2|+ |x− 5| ≤ x+ 2
12)|x− 2| − |3x+ 1||2x− 1| − |x+ 1| ≤ 0
13)x− 4
|x+ 4| <x
4
14)|x|3 − 4x2 + 20
|x|+ 1≥ 4
XVI. Hallar el numero M tal que:
1)
∣∣∣∣x+ 2
x− 2
∣∣∣∣ ≤M , si x ∈[1
2,3
2
]
2)
∣∣∣∣x+ 3
x− 5
∣∣∣∣ ≤M , si x ∈ [2, 4]
3)
∣∣∣∣x− 3
x+ 4
∣∣∣∣ < M , si |x| < 2
4)
∣∣∣∣x2 − 6x+ 2
x+ 5
∣∣∣∣ ≤M , si x ∈[−9
2, 4
]
XVII. Resolver las siguientes ecuaciones con maximo entero:
1) J3xK = x+ 2
2)
s |x− 2|+ 3
2
{= 5
XVIII. Resolver las siguientes inecuaciones con maximo entero:
150 Matematica Basica Walter Arriaga D.
1)
sx2 + 1
x+ 2
{< 2
XIX. Resolver las siguientes inecuaciones logarıtmicas:
1) log5(3x− 5) > log5(7− 2x)
2) log2(|x− 2| − 1) > 1
3) log1/2 |2x− 3| > −3
4) log7
( |x2 + 4x|+ 3
x2 + |x− 5|
)≥ 0
XX. Resolver las siguientes problemas:
1) Hallar un numero de dos cifras, sabiendo que la suma de ellas es mayor que 10 y que
la diferencia entre la cifra de las decenas y el duplo de las unidades es mayor que 4.
2) Sabiendo que un lado de un triangulo es 65m, el otro 15m y el tercer lado es un numero
exacto de metros que termina en 5. Calcular cual (o cuales) puede ser la longitud de
ese tercer lado.
3) Leonardo, Alessandra y Jennifer son hermanos. Jennifer tiene 11 anos; Leonardo tiene
5 anos mas que Alessandra, y la suma de los anos de Leonardo y Alessandra no
alcanzan a los de Jennifer. ¿Cuantos anos tiene Alessandra si su edad es un numero
impar?
4) Se desea saber el mayor numero de lapiceros que hay en una caja, sabiendo que si al
doble del numero de estos se le disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y si al
triple se le disminuye en 5, el resultado es menor que el doble del numero aumentado
en 16.
5) En la librerıa de la SGI “Luchando por la Paz Mundial”, el Dr. Daisaku Ikeda obsequia
1000 libros y le quedan mas de la mitad de los que tenıa. Si luego obsequia 502 le
quedan menos de 500. Cuantos libros tenıa?.
6) Tres cazadores Ricardo, Jose, Manuel reunen mas de 8 canes. Jose piensa traer 4
canes mas, con la cual tendrıa mas canes que entre Ricardo y Manuel. Se sabe que
Jose tiene menos canes que Manuel y los que este tiene no llegan a 5. Cuantos canes
tiene cada cazador?
5
RELACIONES Y FUNCIONES
Objetivos:
z Determinar el dominio y el rango de relaciones y su inversa, como el inicio del estudio
de los fenomenos en los cuales esta presente la relacion causa – efecto.
z Trazar graficas de secciones conicas, determinando el dominio y el rango de las mismas,
como ejemplo de relaciones de gran aplicacion en el campo de la ciencia.
z Valorar el estudio de la geometrıa analıtica como pilar del pensamiento geometrico que
necesita un profesional en ciencias e ingenierıa.
5.1. Introduccion
Las relaciones entre dos o mas conjuntos son frecuentes tanto en las Matematicas como
en sus aplicaciones, especialmente en Informatica. Ejemplos practicos de relaciones son las de
orden y divisibilidad entre numeros, las relaciones de equivalencia entre los datos de entrada
de un programa en cuanto a la deteccion de posibles errores de programacion (validacion de
programas), la relacion de dependencia entre las distintas fases produccion en una industria
o la agrupacion de datos aislados en complejas bases de datos con relaciones de dependencia
entre sus campos. Desde el punto de vista matematico, estas relaciones se pueden describir
simplemente como subconjuntos de un cierto producto cartesiano.
De entre los diversos tipos de relaciones, las funciones pueden considerarse un caso especial
en donde se interpreta que uno de los campos es el resultado de realizar una cierta operacion
con el resto.
Asimismo, las relaciones de equivalencia describen similitudes entre elementos con respecto
a una propiedad particular, y las relaciones de orden establecen una jerarquıa con respecto
151
152 Matematica Basica Walter Arriaga D.
a un criterio fijado. Por ultimo, las relaciones entre multiples conjuntos son el fundamento
matematico del modelo relacional de bases de datos, que es el mas extendido hoy en dıa por
su simplicidad, su potencia y su coherencia teorica y practica.
Por esta razon, las relaciones tienen una importancia fundamental tanto en la teorıa como
en las aplicaciones a la informatica.
Una estructura de datos tales como una lista, una matriz o un arbol, se usan para repre-
sentar conjuntos e elementos junto con una relacion entre los mismos.
Las relaciones que son parte de un modelo matematico estan a menudo implıcitamente
representadas por relaciones en una estructura de datos.
Aplicaciones numericas, recuperacion de informacion y problemas de redes son algunos
ejemplos donde las relaciones ocurren como parte de la descripcion del problema, y la manip-
ulacion de relaciones es importante en la resolucion de procedimientos.
Las relaciones tambien juegan un importante papel en la teorıa de computacion, incluyendo
estructuras de programas y analisis de algoritmos.
Como concepto fundamental relacion significa conexion o correspondencia entre dos entes
u objetos. Ası por ejemplo las expresiones “padre de”, “hermano de”, etc., son relaciones entre
seres vivos, mientras expresiones como “mayor que”, “multiplo de”, etc. denotan relaciones
entre numeros. Ası de lo anterior podemos concluir que relacion es un conjunto de parejas que
satisfacen determinada condicion.
Un ejemplo de aplicacion de las relaciones binarias es la gestion de la matriculacion de
alumnos en una universidad. La estructura necesaria se puede considerar como una relacion
entre dos conjuntos de elementos: los alumnos y las asignaturas, por la que cada alumno
esta relacionado con todas las asignaturas que cursa y cada asignatura con todos los alumnos
que se han matriculado de la misma. Eventualmente, podrıamos decidir almacenar la cualifi-
cacion que el alumno ha obtenido de las asignaturas1, y entonces obtenemos relaciones binarias
etiquetadas.
CD LM LP GA TAN AL
Abad × × × ×Adrianzen × × × ×Arce × × × ×
Cuadro 5.1: Representacion de la relacion alumnos – asignaturas
Donde:
1El aspa significa que el alumno cursa la asignatura.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 153
CD = Calculo Diferencial.
LM = Logica Matematica.
LP = Lenguaje de Programacion.
GA = Geometrıa Analıtica.
TAN = Teorıa Algebraica de los Numeros.
AL = Algebra Lıneal.
5.2. Producto Cartesiano
5.2.1. Par Ordenado
Es un conjunto de dos elementos denotado y definido por:
(a, b) = {{a}, {a, b}}
Donde:
“a”: es primera componente
“b”: segunda componente
Esta definicion tiene el nombre de par de Kuratowski2, y es bien basica, porque requiere
de apenas pocos axiomas para poder ser formulada (el axioma de extension, el axioma de
separacion y el axioma del par).
5.2.2. Igualdad de pares ordenados
Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales sı y solo sı se cumple que:
(a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c ∧ b = d
Ejemplo 5.2.1. Hallar el mayor valor posible de a+ b en:
(a2 , 9b− 1) = (6b− a , a3)
Solucion:
Si a2 = 6b− a entonces a2 + a = 6b de donde:
a(a+ 1) = 6b (5.1)
2Kazimierz Kuratowski (Varsovia, 2 de febrero de 1896 al 18 de junio de 1980) fue un matematico y logico
polaco.
154 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Si 9b− 1 = a3 entonces 9b = a3 + 1, luego 9b = (a+ 1)(a2 − a+ 1) de donde:
(a+ 1)(a2 − a+ 1) = 9b (5.2)
Dividiendo las ecuaciones (2.1) y (2.2) se tiene:
a
a2 − a+ 1=
2
3
entonces (2a − 1)(a − 2) = 0, resolviendo se tiene: a = 2, b = 1 o a = 1/2, b = 1/8. Por lo
tanto el mayor valor de a+ b es 3.
5.2.3. Producto Cartesiano
Dados dos conjuntos no vacıos A y B se define el producto cartesiano A × B como el
conjunto de pares ordenados:
A×B = {(a, b)/a ∈ A y b ∈ B}
Observacion 5.2.1.
(a, b) ∈ A×B ⇔ a ∈ A ∧ b ∈ B
(a, b) /∈ A×B ⇔ a /∈ A ∨ b /∈ B
Para representar graficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacion carte-
siana o diagrama cartesiano que consiste en trazar unos ejes perpendiculares, en el eje horizon-
tal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B,
los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepcion que se obtienen
al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del
conjunto B paralelas al eje horizontal.
Ejemplo 5.2.2. Sea A = {1, 2, 3}, B = {a, b} entonces:
A×B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
Usando el diagrama cartesiano se tiene:
Para saber el numero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el diagrama
de arbol, cuyo resultado surge de multiplicar el numero de elementos del conjunto A por los
del conjunto B. El diagrama de arbol es una representacion grafica de los posibles resultados,
el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un numero finito de
maneras de ser llevado a cabo. Tambien se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 155
B
A
b
a
1 2 3
Figura 5.1: Diagrama cartesiano
A B A×B
1b (1, b)
a (1, a)
2b (2, b)
a (2, a)
3b (3, b)
a (3, a)
Figura 5.2: Diagrama del arbol
En total se tiene 6 elementos de A×B.
Usando el diagrama sagital o diagrama de flechas se tiene:
En general, si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos respectivamente,
entonces el producto cartesiano A×B tieme mn elementos, es decir
n(A×B) = n(A) · n(B)
El concepto de producto cartesiano puede extenderse a 2 o mas conjuntos no vacıos:
A×B × C = {(a, b, c)/a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C}
extendiendo el concepto de terna ordenada:
{a, b, c} = {{a}, {a, b}, {a, b, c}}
Propiedades� Si A 6= B, entonces A×B 6= B ×A, es decir el producto cartesiano no es conmutativo.� A×B = B ×A ⇐⇒ A = B.
156 Matematica Basica Walter Arriaga D.
A B
1
2
3
a
b
Figura 5.3: Diagrama de flechas� A× φ = φ×A = φ.� A×B = φ ⇐⇒ A = φ o B = φ.� A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C)� A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)� A× (B − C) = (A×B)− (A× C)� (A×B)× C 6= A× (B × C)� A ⊂ B =⇒ (A× C) ⊂ (B × C)� A ⊂ C y B ⊂ D ⇐⇒ (A×B) ⊂ (C ×D)� (A′ ×B′) ⊂ (A×B)′� (A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D)� (A×B) ∪ (C ×D) ⊂ (A ∪ C)× (B ∪D)
5.3. Relacion
Definicion 5.3.1. Dados dos conjuntos no vacıos A y B. Un conjunto R de pares ordenados
se llama Relacion o Relacion Binaria de A en B si es un subconjunto de A×B.
R es una relacion de A en B ⇐⇒ R ⊂ A×B
Si R es una relacion de A a B entonces un elemento (a, b) ∈ R sera denotado como: aRb.
Para denotar que a no esta relacionado con b por R se escribira a��Rb.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 157
Para representar una relacion binaria definida en un conjunto finito se puede utilizar un
diagrama sagital, de modo que si aRb entonces se dibuja una flecha desde a hasta b. La flecha
sera un bucle cuando un elemento este relacionado consigo mismo.
Por ejemplo, dado el conjunto A = {a, b, c, d}, se verifica que el diagrama sagital de la
relacion binaria R = {(a, a), (a, c), (b, b), (b, c), (c, d), (d, c)} es:
c
a
b
d
5.3.1. Dominio y Rango de una Relacion
Definicion 5.3.2. Se llama dominio de una relacion R de A en B al conjunto de todas las
primeras componentes de los pares ordenados de la relacion. Se denota por Dom(R) y se
simboliza:
R : A −→ B
Dom(R) = {x ∈ A/∃y ∈ B, (x, y) ∈ R}
Definicion 5.3.3. Se llama rango de una relacion R de A en B al conjunto de todas las
segundas componentes de los pares ordenados de la relacion. Se denota por Ran(R) y se
simboliza:
R : A −→ B
Ran(R) = {y ∈ B/∃x ∈ A, (x, y) ∈ R}
Observacion 5.3.1. Dom(R) ⊆ A, Ran(R) ⊆ B. Si A = B se dice que R es una relacion en
A.
Ejemplo 5.3.1. Sea A = {1; 2; 3} y R la relacion “menor que” en A; esto es: aRb si y solo si
a < b. Se puede ilustrar lo anterior con un diagrama:
3 (1,3) (2,3) (3,3)
2 (1,2) (2,2) (3,2)
1 (1,1) (2,1) (3,1)
1 2 3
donde cada elemento de este arreglo es un elemento de A × A y, (1,3); (2,3) y (1,2) son los
pares ordenados de la relacion R. En este ejemplo: Dom(R) = {1; 2}, Ran(R) = {2; 3}.
158 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Propiedades: Sean R1 y R2 dos relaciones entre A y B, entonces:
D.1: Dom(R1 ∪R2) = Dom(R1) ∪Dom(R2)
D.2: Dom(R1 ∩R2) ⊂ Dom(R1) ∩Dom(R2)
D.3: Dom(R1 −R2) ⊃ Dom(R1)−Dom(R2)
R.1: Ran(R1 ∪R2) = Ran(R1) ∪ Ran(R2)
R.2: Ran(R1 ∩R2) ⊂ Ran(R1) ∩ Ran(R2)
R.3: Ran(R1 −R2) ⊃ Ran(R1)− Ran(R2)
5.3.2. Relacion inversa
Sea R una relacion de A en B, se denomina relacion inversa o recıproca de R, al conjunto
definido por:
R∗ = R
−1 = {(b, a) ∈ B ×A / (a, b) ∈ R}
esto es: (b, a) ∈ R−1 si y solo si (a, b) ∈ R
Propiedades: Dadas las relaciones R ⊂ A × B, S ⊂ A × B y sus respectivas relaciones
inversas R∗ ⊂ B ×A, S∗ ⊂ B ×A, se cumple que:
Dom(R∗) = Ran(R)
Ran(R∗) = Dom(R)
(R ∪S)∗ = R∗ ∪S∗
(R ∩S)∗ = R∗ ∩S∗
(R−S)∗ = R∗ −S∗
La grafica de R∗ es simetrica a la grafica de R con respecto a la recta y = x.
5.3.3. Composicion de relaciones
Dadas las relaciones R ⊂ A×B y S ⊂ B × C, la relacion R compuesta con S, denotada
por R ◦S, es la relacion de A en C, definida por:
R ◦S = {(x, z) ∈ A× C / ∃ y ∈ B, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}
Propiedades:
Walter Arriaga D. Matematica Basica 159
R ◦S 6= S ◦R
R ◦R∗ 6= R∗ ◦R
(R ◦S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T)
(R ◦S)∗ = S∗ ◦R∗
Ejemplo 5.3.2. Sean los conjuntos A = {1; 2; 3}, B = {4; 5; 6} y C = {2; 3; 4}, definamos la
relacion R = {(1, 4); (1, 5); (2, 6); (3, 4)} de A en B, y la relacion S = {(4, 2); (4, 3); (6, 2)} de
B en C. Luego podemos observar que:
S ◦R = {(1, 2); (1, 3); (3, 2); (3, 3); (2, 2)}
R∗ = {(4, 1); (5, 1); (6, 2); (4, 3)}
S∗ = {(2, 4); (3, 4); (2, 6)}
R∗ ◦S∗ = {(2, 1); (3, 1); (2, 3); (3, 3); (2, 2)}
(S ◦R)∗ = {(2, 1); (3, 1); (2, 3); (3, 3); (2, 2)}
(R ◦S) y (S∗ ◦R∗) no estan definidos.
5.3.4. Tipos de relaciones
Las propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son:
Relacion Reflexiva
Dado un conjunto A para el cual se define una relacion R en A, se dice que es reflexiva si
todo elemento de A esta relacionado consigo mismo mediante R.
R : A −→ A, es reflexiva ⇐⇒ ∀x ∈ A entonces (x, x) ∈ R
En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de reflexividad.
La aplicacion de cualquier relacion R sobre un conjunto A, se representa con el par orde-
nado (A,R).
Cuando una relacion es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningun elemento de A
esta relacionado consigo mismo mediante R, entonces decimos que es antirreflexiva, o irreflex-
iva, lo que denotamos formalmente por:
∀x ∈ A, ∼ (xRx)
160 Matematica Basica Walter Arriaga D.
En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de antirreflexividad.
Graficamente, R es reflexiva si todos los elementos tienen bucle. No lo es si hay algun
elemento que no tenga bucle.
R no es reflexiva
c
a
b
d
R es reflexiva
c
a
b
d
Ejemplo 5.3.3. Sea A un conjunto cualquiera:
La relacion de congruencia de figuras en geometrıa es una relacion reflexiva puesto que
toda figura es congruente a si misma.
La relacion de paralelismo ‖ entre dos rectas en el plano es reflexiva, porque toda recta
es paralela a sı misma.
La relacion de inclusion ⊂ es reflexiva, porque todo conjunto esta contenido en sı mismo.
Sea (A,≥), ≥ (“mayor o igual que”) es reflexiva, pero > (“mayor estricto que”) no
lo es.
Sea (A,≤), ≤ (“menor o igual que”) es reflexiva, pero < (“menor estricto que”) no
lo es.
Sea (A,=), = (la igualdad matematica), es reflexiva.
Sea (A,⊆), ⊆ (la inclusion de conjuntos), es reflexiva.
Sea (N\{0}, \), \ (la divisibilidad) es reflexiva.
Sea (A,>), > (“mayor estricto que”) es antirreflexiva, al igual que < (“menor estricto
que”).
La relacion de perpendicularidad ⊥ entre dos rectas en el plano es antirreflexiva, porque
una recta no puede ser perpendicular a sı misma.
Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son antirreflexivas, porque en ningun caso
alguien puede ser padre o madre de sı mismo.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 161
Relacion Simetrica
Dado un conjunto A para el cual se define una relacion R en A, se dice que es simetrica
cuando se tiene que si un elemento esta relacionado con otro mediante R, entonces ese otro
tambien esta relacionado con el primero.
R : A −→ A, es simetrica ⇐⇒ (x, y) ∈ R entonces (y, x) ∈ R
En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de simetrıa.
La aplicacion de cualquier relacion R sobre un conjunto A, se representa con el par orde-
nado (A,R).
Cuando una relacion es lo opuesto a una simetrica, es decir, cuando se da que si un elemento
esta relacionado con otro mediante R, entonces ese otro no esta relacionado con el primero,
entonces decimos que es asimetrica, lo que denotamos formalmente por:
∀x, y ∈ A, xRy ⇒ y ∼ Rx
En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de asimetrıa.
Graficamente, R es simetrica si todos los elementos que estan relacionados entre sı tienen
doble flecha. No lo es si hay alguna flecha que no sea doble.
R no es simetrica
c
a
b
d
R es simetrica
c
a
b
d
Ejemplo 5.3.4. Sea A un conjunto cualquiera:
La congruencia de triangulos es una relacion simetrica pues si un triangulo X es con-
gruente con un triangulo Y , entonces Y es congruente con X.
La relacion de paralelismo ‖ entre dos rectas en el plano es simetrica, puesto que si
L1 ‖ L2 entonces L2 ‖ L1.
La perpendicularidad entre rectas de un plano es una relacion simetrica puesto que: si
L1 ⊥ L2 entonces L2 ⊥ L1.
Sea (A,=), = (la igualdad matematica), es simetrica.
162 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Sea (A,∪), ∪ es simetrica.
Sea (A,∩), ∩ es simetrica.
La relacion definida por “x es hermano de y” es simetrica.
“Estar casado con” es una relacion simetrica, mientras que “ser mas alto que” no lo es.
Sea (A,>), > (“mayor estricto que”) es asimetrica, al igual que < (“menor estricto
que”).
Sea (A,⊂), ⊂ (la inclusion estricta de conjuntos), es asimetrica.
Observacion 5.3.2. La simetrıa no es lo opuesto de la antisimetrıa.
Existen relaciones que son simetricas y antisimetricas al mismo tiempo (como la igualdad),
otras que no son simetricas ni antisimetricas (como la divisibilidad), otras que son simetricas
pero no antisimetricas (como la relacion de congruencia modulo n), y otras que son anti-
simetricas pero no simetricas (como la relacion “menor que”).
Relacion Transitiva
Dado un conjunto A para el cual se define una relacion R en A, se dice que:
R : A −→ A, es transitiva ⇐⇒ (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R
Esta propiedad es conocida como transitividad.
Graficamente, R es transitiva si todos los grupos de 3 elementos relacionados de la forma:
a −→ b −→ c tienen tambien la flecha de a hacia c: a −→ c. No lo es si hay alguna flecha
doble.
R no es transitiva
c
a
b
d
R es transitiva
c
a
b
d
Ejemplo 5.3.5.
La relacion de paralelismo ‖ entre dos rectas en el plano es transitiva, puesto que si
L1 ‖ L2 y L2 ‖ L3 entonces L1 ‖ L3.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 163
La relacion binaria “menor que” en los enteros es transitiva: Si a < b y b < c entonces
a < c. Ası, puesto que 2 < 5 y 5 < 7, la transitividad implica que 2 < 7. En general
las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son
transitivas.
La relacion binaria “divide a” en los enteros tambien es transitiva. Denotando por a|ba la expresion “a divide a b”: Si a|b y b|c entonces a|c. Dado que 3|12 (3 divide a 12) y
12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).
La inclusion de conjuntos es una relacion transitiva, pues si: A ⊂ B y B ⊂ C, entonces
A ⊂ C.
La implicacion en Logica es tambien una relacion transitiva (Principio del silogismo
hipotetico): p→ q y q → r entonces p→ r.
Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relacion “no es subcon-
junto de” no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1, 2, 3}, Y = {2, 3, 4, 5}, Z = {1, 2, 3, 4}.Entonces se cumple X 6⊂ Y y Y 6⊂ Z pero no se cumple X 6⊂ Z puesto que X si es
subconjunto de Z.
Otro ejemplo de relacion binaria que no es transitiva es “ser la mitad de”: 5 es la mitad
de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.
Relacion de Equivalencia
Una relacion R definida en un conjunto A es una relacion de equivalencia, si y solo si, se
verifica que es: Reflexiva, Simetrica y Transitiva.
Ejemplo 5.3.6.
La congruencia de triangulos es una relacion de equivalencia.
La relacion de paralelismo ‖ entre dos rectas en el plano es de equivalencia.
La relacion de perpendicularidad ⊥ entre dos rectas en el plano no es de equivalencia.
Relacion Antisimetrica
Una relacion R definida en un conjunto A es una antisimetrica, cuando se da que si dos
elementos de A se relacionan entre sı mediante R, entonces estos elementos son iguales. Es
decir:
R : A −→ A, es antisimetrica ⇐⇒ (x, y) ∈ R ∧ (x, y) ∈ R entonces x = y
164 Matematica Basica Walter Arriaga D.
La antisimetrıa no es lo opuesto de la simetrıa. Existen relaciones que son simetricas y an-
tisimetricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simetricas ni antisimetricas
(como la divisibilidad para los enteros), otras que son simetricas pero no antisimetricas (como
la relacion de congruencia modulo n), y otras que son antisimetricas pero no simetricas (como
la relacion “menor que”).
Graficamente, R es antisimetrica si todos los elementos que estan relacionados entre
sı tienen flecha simple. No lo es si hay alguna flecha doble.
R no es antisimetrica
c
a
b
d
R es antisimetrica
c
a
b
d
Ejemplo 5.3.7. Sea A un conjunto cualquiera:
Sea (A,≥), ≥ (“mayor o igual que”) es antisimetrica.
Sea (A,≤), ≤ (“menor o igual que”) es antisimetrica.
La relacion “x divide a y” es antisimetrica.
La relacion “ser mas alto que” es antisimetrica.
Relacion de Orden
Una relacionR definida en un conjunto A es una relacion de orden si cumple las propiedades
de: Reflexividad, Antisimetrıa y Transitividad.
Ejemplo 5.3.8.
Dado (N,≤), ≤ es una relacion de orden.
Ejemplo 5.3.9. Sea A = {1; 2; 3; 4}, definamos las siguientes realciones:
R = {(1, 2); (2, 3)}S = {(1, 1); (2, 2); (1, 2); (2, 1); (3, 4)}T = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4)}entonces:
R no es reflexiva, no es simetrica, no es transitiva, es antisimetrica.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 165
S no es reflexiva, no es simetrica, es transitiva, no es antisimetrica.
T es reflexiva, es simetrica, es transitiva, es antisimetrica.
Se puede tambien tener una idea grafica de las propiedades anteriores. Por ejemplo, si
A = {1; 2; 3; 4}, entonces para queR sea reflexiva, debe contener al menos la diagonal principal.
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
1 2 3 4
si R es simetrica, entonces su grafico debe ser simetrico con respecto a la diagonal principal:
Ası, si (2,3) y (4,2) son elementos de R entonces (3,2) y (2,4) deben tambien estar en R.
5.4. Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos del espacio euclıdeo equivale a la longitud del segmento de
recta que los une, expresado numericamente.
La distancia entre los puntos P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), que se denota por d = d(P,Q)
cumple la siguiente condicion:
d2 = |x2 − x1|2 + |y2 − y1|2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)
2
entonces
d(P,Q) =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
5.5. Graficas de Relaciones
Definicion 5.5.1. Un lugar geometrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas
propiedades geometricas. Cualquier figura geometrica se puede definir como el lugar geometrico
de los puntos que cumplen ciertas propiedades si y solo si todos los puntos de dicha figura
cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un sub-
conjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.
Ejemplo 5.5.1. Estos son varios ejemplos de lugares geometricos en el plano:
166 Matematica Basica Walter Arriaga D.
El lugar geometrico de los puntos que equidistan a dos puntos dados es una recta, llamada
mediatriz.
El lugar geometrico de los puntos que equidistan a dos rectas son las dos bisectrices de
los dos angulos determinados por dichas rectas, si estas son secantes, o la paralela media,
si estas son paralelas.
Las secciones conicas pueden ser descritas mediante sus lugares geometricos:
Una circunferencia es el lugar geometrico de los puntos cuya distancia al centro es un
valor dado (el radio).
Una elipse es el lugar geometrico de los puntos tales que, la suma de las distancias de
los puntos hasta los focos es un valor dado.
La parabola es el lugar geometrico de los puntos tales que, las distancias de los puntos
al foco y a la directriz son iguales.
La hiperbola es el lugar geometrico de los puntos tales que, la diferencia de distancias
entre los focos es un valor dado.
Figuras muy complejas pueden ser descritas mediante el lugar geometrico generado por
los ceros de una funcion o de un polinomio. Por ejemplo, las cuadricas estan definidas como el
lugar geometrico de los ceros de polinomios cuadraticos. En general, los lugares geometricos
generados por los ceros del conjunto de polinomios reciben el nombre de variedad algebraica,
las propiedades de dichas variedades se estudian en la geometrıa algebraica.
5.6. La Lınea Recta
La recta o lınea recta, es el ente ideal que solo posee una dimension y contiene infinitos
puntos; esta compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de lınea mas corto que une dos
puntos).
Segun uno de los postulados de Euclides establece que: Por dos puntos diferentes solo pasa
una lınea recta.
Ecuaciones de la recta
La forma general de la recta esta dada por:
R = {(x, y) / Ax+By +C = 0}
Walter Arriaga D. Matematica Basica 167
Definicion 5.6.1. Se llama pendiente de la recta L, al valor de la tangente de su angulo de
inclinacion α, y se le denota con la letra m.
m = tanα =y1 − y0x1 − x0
donde (x1, y1) = Q ∈ L, y (x0, y0) ∈ L. El valor de la pendiente m sera constante para cada
recta, y proporciona una medida de su inclinacion con respecto al eje X.
Y
X
L
P0
Q
P
Figura 5.4: La recta
Ası, la ecuacion de una recta no vertical L queda completamente determinada si se indican
su pendiente m, y las coordenadas del punto de paso (x0, y0).
Se puede obtener la ecuacion de la recta a partir de la formula de la pendiente:
y − y0 = m(x− x0)
Esta forma de obtener la ecuacion de una recta se le debe a Jean Baptiste Biot.3 y se
denomina la forma PUNTO – PENDIENTE.
Consideremos ahora como punto de paso al punto (0, b) en el cual L intercepta al eje Y ,
entonces
L : y = mx+ b
esta forma proporciona directamente la pendiente m como el coeficiente de la variable x,
mientras que el termino independiente b indica el punto en el eje Y donde la recta L lo corta.
3Jean-Baptiste Biott fue un fısico, astronomo y matematico frances. Nacio el 21 de abril de 1774, en Parıs
y fallecio el 3 de febrero de 1862 en la misma ciudad.
168 Matematica Basica Walter Arriaga D.
5.7. Secciones conicas
Una superficie conica de revolucion esta engendrada por la rotacion de una recta alrededor
de otra recta fija, llamada vertice, a la que corta de modo oblicuo.
La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
El vertice es el punto central donde se cortan las generatrices.
Las hojas son las dos partes en las que el vertice divide a la superficie conica de revolucion.
Se denomina seccion conica (o simplemente conica) a la curva interseccion de un cono con
un plano que no pasa por su vertice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parabolas e hiperbolas.
La circunferencia es un caso particular de elipse.
ge
v
La primera definicion conocida de seccion conica surge en la Antigua Grecia, cerca del ano
350 (Menachmus) donde las definieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres
de hiperbola, parabola y elipse se deben a Apolonio de Perga. Actualmente, las secciones
conicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas
de la matematica (como la geometrıa analıtica, la geometrıa proyectiva, etc.)
Las curvas conicas son importantes en astronomıa: dos cuerpos masivos que interactuan
segun la ley de la gravitacion universal, sus trayectorias describen secciones conicas si su centro
de masa se considera en reposo. Si estan relativamente proximas describiran elipses, si se alejan
demasiado describiran hiperbolas o parabolas.
Tambien son importantes en aerodinamica y en su aplicacion industrial, ya que permiten
ser repetidas por medios mecanicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas
perfectas.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 169
5.8. La Parabola
La parabola es una seccion conica generada al cortar un cono recto con un plano paralelo
a la directriz.
Figura 5.5: La parabola en el cono
Se define tambien como el lugar geometrico de los puntos que equidistan de una recta (eje
o directriz) y un punto fijo llamado foco.
La parabola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las graficas
de ecuaciones cuadraticas son parabolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de
los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.
Historia
La tradicion reza que las secciones conicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del
problema de la duplicacion del cubo, donde demuestra la existencia de una solucion mediante
el corte de una parabola con una hiperbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo
y Eratostenes.
Sin embargo, el primero en usar el termino parabola fue Apolonio de Perge en su trata-
do Conicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matematicas griegas, y donde se
desarrolla el estudio de las tangentes a secciones conicas.
Es Apolonio quien menciona que un espejo parabolico refleja de forma paralela los rayos
emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en dıa en las antenas satelitales. La parabola
tambien fue estudiada por Arquımedes, nuevamente en la busqueda de una solucion para un
problema famoso: la cuadratura del cırculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura
de la parabola.
170 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Aplicaciones practicas
Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al
eje de la parabola en direccion al foco. Las aplicaciones practicas son muchas: las antenas
satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando senales recibidas desde un
emisor lejano en un receptor colocado en la posicion del foco.
La concentracion de la radiacion solar en un punto, mediante un reflector parabolico tiene
su aplicacion en pequenas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energıa solar.
Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviara un haz de rayos paralelos al
eje: diversas lamparas y faros tienen espejos con superficies parabolicas reflectantes para poder
enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posicion focal. Los rayos convergen
o divergen si el emisor se deplaza de la posicion focal.
La parabola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Analogamente, un emisor situado
en el foco, enviara un haz de rayos paralelos al eje.
Los radiotelescopios concentran los haces de senales en un receptor situado en el foco. El
mismo principio se aplica en una antena de radar.
Cocina solar de concentrador parabolico. El mismo metodo se emplea en las grandes cen-
trales captadoras de energıa solar.
Los faros de los automoviles envıan haces de luz paralelos, si la bombilla se situa en el foco
de una superficie parabolica.
Ecuaciones de la parabola
De forma implicita:
R = {(x, y) ∈ R2 /Ax2 +Dx+ Ey + F = 0}R = {(x, y) ∈ R2 /Cy2 +Dx+ Ey + F = 0}
De forma explicita:
R = {(x, y) ∈ R2 / y = ax2 + bx+ c}R = {(x, y) ∈ R2 /x = ay2 + by + c}
Completando trinomios cuadrados perfectos:
R = {(x, y) ∈ R2 / y − k = 4p(x− h)2}R = {(x, y) ∈ R2 /x− h = 4p(y − k)2}
Donde el vertice esta dado por V (h, k). Para la parabola y−k = 4p(x−h)2, si el parametro
4p es positivo, la parabola se abre hacia arriba y cuando es negativo se abre hacia abajo. Para
la parabola x − h = 4p(y − k)2, si el parametro 4p es positivo, la parabola se abre hacia la
derecha y cuando es negativo se abre hacia la izquierda.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 171
0 X
Y
h
k V (h, k)
(a) Para 4p > 0
0 X
Y
h
kV (h, k)
(b) Para 4p < 0
Figura 5.6: Parabola de la forma: y − k = 4p(x− h)2
0 X
Y
h
k V (h, k)
(a) Para 4p > 0
0 X
Y
h
k V (h, k)
(b) Para 4p < 0
Figura 5.7: Parabola de la forma: x− h = 4p(y − k)2
5.9. La Circunferencia
Una circunferencia es el lugar geometrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo,
llamado centro; esta distancia se denomina radio. Solo posee longitud. Se distingue del cırculo
en que este es el lugar geometrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada,
es decir, la circunferencia es el perımetro del cırculo cuya superficie contiene.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia
unitaria. Es una curva bidimensional con infinitos ejes de simetrıa y sus aplicaciones son muy
numerosas.
La palabra circunferencia proviene del latın circumferentia que a su vez deriva de circum-
ferre, que significa llevar alrededor.
Durante mucho tiempo, se empleo el termino cırculo para designar tanto la superficie,
como a la curva que lo delimita: la circunferencia.
En castellano, se suele utilizar el termino geometrico disco, asociado al concepto cırculo, en
172 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Figura 5.8: La circunferencia en el cono
textos de topologıa, una rama de las matematicas. En cartografıa se utiliza el termino cırculo
como sinonimo de circunferencia, en expresiones como cırculo polar artico.
No ocurre lo mismo en otros idiomas. En ingles, circle expresa el concepto de circunferencia
(curva cerrada plana equidistante del centro), mientras que circumference significa perımetro
del cırculo (la longitud de la circunferencia). Sin embargo, disk se asocia al concepto de cırculo
(superficie plana limitada por una circunferencia).
En terminos coloquiales (no estrictamente matematicos) el uso de cırculo y circunferencia
es indistinto en algunas zonas geograficas por lo arraigado que esta en la tradicion, no obstante
se encuentra que circunferencia se asocia mas frecuentemente con los conceptos de aro o anillo
en tanto que cırculo se asocia mas frecuentemente con los conceptos de disco o plato.
Elementos de la circunferencia
Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
Radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.
Diametro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y logicamente,
pasa por el centro.
Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud
maxima son los diametros.
Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos.
Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un solo punto.
Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 173
Arco, segmento curvilıneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diametro.
C
X
Y
LT
R
Figura 5.9: Circunferencia
Circunferencias ortogonales
La familia de curvas en el plano x2+ y2 = ax, x2+ y2 = by, con a y b como parametros, se
dicen ortogonales, pues en los puntos comunes, estas se cortan ortogonalmente, es decir, sus
rectas tangentes en tales puntos son perpendiculares entre sı.
–10
–5
5
10
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x
Figura 5.10: Circunferencias ortogonales
174 Matematica Basica Walter Arriaga D.
5.10. La Elipse
La elipse es el lugar geometrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias
a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva e igual a la distancia entre los
vertices.
Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano
oblicuo al eje de simetrıa con angulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolucion.
Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una
elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. Contenido
Figura 5.11: La elipse en el cono
Historia La elipse, como curva geometrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por
Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la seccion
conica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creıa que la orbita de
Marte era ovalada, aunque mas tarde descubrio que se trataba de una elipse con el Sol en
un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra “focus” y publico su descubrimiento en 1609.
Halley, en 1705, demostro que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una orbita elıptica
alrededor del Sol.
Elementos de una elipse
La elipse posee un eje mayor, trazo AB (que equivale a 2a), y un eje menor, trazo CD;
la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de semieje, de tal manera que se los
denomina semieje mayor y semieje menor, respectivamente.
Sobre el eje mayor existen dos puntos F1 y F2 que se llaman focos.
El punto Q puede estar ubicado en cualquier lugar del perımetro de la elipse.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 175
5.11. La Hiperbola
Una hiperbola es una seccion conica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar
un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetrıa con angulo menor que el de la generatriz
respecto del eje de revolucion.
Figura 5.12: La hiperbola en el cono
Una hiperbola es el lugar geometrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia
de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a una constante positiva igual a
la distancia entre los vertices.
Hiperbola deriva de la palabra griega uperbola, y es cognado de hiperbole (la figura liter-
aria que equivale a exageracion).
Historia Debido a la inclinacion del corte, el plano de la hiperbola interseca ambas ramas
del cono.
Segun la tradicion, las secciones conicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del
problema de la duplicacion del cubo, donde demuestra la existencia de una solucion mediante
el corte de una parabola con una hiperbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo
y Eratostenes.
Sin embargo, el primero en usar el termino hiperbola fue Apolonio de Perge en su trata-
do Conicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matematicas griegas, y donde se
desarrolla el estudio de las tangentes a secciones conicas.
176 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Ecuaciones de la hiperbola
R = {(x, y) ∈ R2 /Ax2 + Cx2 +Dx+ Ey + F = 0} donde A y C son de signos opuestos.
Resumen
Dada la ecuacion general:
Ax2 +Bxy + Cx2 +Dx+ Ey + F = 0 (5.3)� Si A = B, la grafica de la ecuacion (2.3) es una circunferencia.
Si la ecuacion general de dos variables (x, y) es de la forma:
ax2 + 2hxy + by2 + 2gx+ 2fy + c = 0 (5.4)
entonces:� Si h2 > ab, hiperbola.� Si h2 = ab, parabola.� Si h2 < ab, elipse.� Si a = b y h = 0, circunferencia (considerada un caso particular de elipse).
Figura 5.13: Conicas
6
FUNCIONES
Objetivos:
z Definir intuitiva y formalmente una funcion.
z Operar con funciones reales de variable real identificando correctamente el dominio y
rango, construyendo su grafica e interpretando las caracterısticas que ella posee.
z Modelar matematicamente un fenomeno para predecir su comportamiento en el futuro.
6.1. Introduccion
La resolucion de problemas con informacion y datos recolectados de fenomenos fısicos
adquiere dıa a dıa mayor auge como alternativa de ensenanza en los salones de clases. Las
corrientes contextualitas han contribuido a integrar otras areas (estadıstica, geometrıa, mod-
elacion y simulacion matematica, etc.) en los cursos de Precalculo y Calculo. Se ha observado
que, durante las ultimas decadas, se han incorporado nuevas estrategias en la ensenanza de
las funciones y herramientas tecnologicas en el salon de clases.
El contenido sobre funciones cubre gran parte del contenido del curso de precalculo, este
concepto permite desarrollar el proceso de la simulacion y modelacion desde situaciones fısica
y geometrica, lo que tambien permitira que se puedan exponer conocimientos matematicos
en forma agil y atractiva a los estudiantes. Hitt (2000) senalo que “a traves de las funciones
podemos modelar matematicamente un fenomeno de la vida real, describir y analizar rela-
ciones de hechos sin necesidad de hacer a cada momento una descripcion verbal o un calculo
complicado de cada uno de los sucesos que estamos describiendo”.
La modelacion relacionada con sistemas de representaciones integra: sımbolos, signos, fig-
uras, graficas y construcciones geometricas. Estos expresan el concepto y suscriben en sı mis-
177
178 Matematica Basica Walter Arriaga D.
mos el modelo con el cual es posible interpretar y predecir comportamientos de fenomenos
fısicos. La simulacion y la modelacion son representaciones de un objeto matematico que
esta vinculado a una situacion fısica o real. Cuando se logra la simulacion matematica en el
salon de clase, pueden rescatarse ideas intuitivas que la matematica formal excluye cuando
se transita de lo concreto a lo abstracto en la ensenanza del conocimiento matematico. Una
simulacion es un intento por imitar o aproximarse a algo; por su parte, modelar significa con-
struir una representacion de algo. La diferencia semantica reside en que un modelo es una
representacion de estructuras, mientras que una simulacion infiere un proceso o interaccion
entre las estructuras del modelo para crear un patron de comportamiento. El termino modelo
se refiere a la generalizacion conceptual que se abstrae de un grupo de experiencias con el
proposito de categorizar y sistematizar nuevas experiencias.
Cuando se modelan situaciones reales u otras que se enmarcan en el proceso cognitivo
de la adquisicion del concepto de funcion, se provoca que el estudiante, al aproximarse a
fenomenos reales, analice y describa los siguientes elementos matematicos: la significacion de
objetos: simbolicos, verbales, graficos, algebraicos y numericos. En el proceso de simulacion
y de modelacion se produce la distincion de variables y la relacion entre las variables, los
cuales a su vez impulsa la construccion de otros registros de representacion. Monk (1992)
considero que los modelos fısicos proveen a los estudiantes una vision del procesamiento de la
situacion funcional, la cual puede ampliar en estos las perspectivas que tienen acerca de las
funciones.
En este sentido, se considera que la ensenanza se dirige a planteamientos mas dinamicos en
la adquisicion del conocimiento. Por lo tanto, la simulacion y la modelacion son alternativas
de transferencia dinamica del conocimiento desde situaciones fısicas y geometricas hasta la es-
tructuracion mental en el proceso de aprendizaje. La simulacion y la modelacion matematicas,
la matematica en contexto y la incorporacion de la nueva tecnologıa pueden fortalecer el pro-
ceso ensenanza – aprendizaje. Los procesos matematicos son complicados en termino de aislar
el problema que se este tratando dentro de un contexto. Sin embargo, en la decada pasada y lo
que va de esta, una corriente de investigadores impulsa el uso de las matematicas planteadas
desde contextos reales en la adquisicion de conceptos. La simulacion de fenomenos fısicos a
traves del uso de la microcomputadora es imprescindible para la generacion de procesos de la
matematizacion y formacion de conceptos.
La situacion del concepto de funcion en el entorno de la modelacion Los autores de la
mayorıa de los textos de Precalculo presentan el tema de las funciones tomando como ref-
erencias situaciones de correspondencias que se dan en el contexto fısico-real. En el ambito
Walter Arriaga D. Matematica Basica 179
matematico, esta relacion se considera como una clase de correspondencia llamada funcion.
La definicion de este concepto, en muchas ocasiones, se reduce a establecer la relacion entre
dos cantidades. Callahan & Hoffman (1995) afirman que: “Una funcion describe como una
cantidad depende de otra”. De forma general este concepto se presenta en tres modalidades:
como una relacion con lo fısico–real, como representaciones y como definiciones. La utilidad de
las funciones y el estudio con distintas representaciones llevan a reflexionar sobre el potencial
didactico que se tiene cuando se aborda la realidad con determinados esquemas mentales o
modelos matematicos o a traves de una simulacion del problema real.
Como se menciono anteriormente, las estrategias que se utilizan para aprender matematicas
a partir de situaciones y fenomenos del mundo fısico han cobrado fuerza en los ultimos anos.
Estas incluyen interpretar la realidad a partir de la identificacion de las variables participantes,
la recoleccion de datos que se generan en las situaciones reales o simuladas y modelacion de las
situaciones. La perspectiva correcta se da principalmente a partir del medio ambiente hacia
las matematicas y no en la otra direccion.
El concepto de funcion responde a diferentes definiciones y etapas historicas. Las defini-
ciones han sido alteradas conforme a los avances tecnologicos que se han promovido en la
ensenanza de la matematica (calculadoras graficas, paquete de programacion de instruccion
interactiva, entre otro). En este sentido, Hitt y Torres (1994) incluyen en su trabajo cuatro
definiciones. La definicion dada en terminos de variables que senala que: “cuando dos variables
estan relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un
valor a la segunda, entonces se dice que la primera es funcion de la segunda”. Muy distinta a
la ofrecida en terminos de conjunto de pares ordenados: “una funcion es un conjunto de pares
ordenados de elementos tales que ningunos dos pares ordenados tienen tiene el mismo primer
elemento. El conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados se llama dominio y
el conjunto de los segundos elementos rango de la funcion”. La definicion como una regla de
correspondencia se explica de la siguiente manera: “una funcion f de un conjunto A un con-
junto B es una regla de correspondencia que asignan a cada valor de x de cierto subconjunto
D de A un elemento determinado de manera unica f(x) de B”. Y por ultimo, la definicion
en terminos de maquina, mas acorde con los tiempos: “una funcion es un procedimiento P
que toma una o mas entradas que salidas, y que tiene la propiedad de que cualesquiera dos
llamadas a P con las misma entrada regresa a la misma salida”. Dubinsky, Schwingendorf &
Mathews (1994) incluyeron otras categorizaciones de las funciones: funcion como expresion,
funcion como “computer function”, funcion como sucesion.
180 Matematica Basica Walter Arriaga D.
6.2. Funcion
Para hablar de una funcion, por lo tanto, sera necesario que escojamos una letra o sımbolo
con el que podamos representar cada una de las dos magnitudes. Normalmente utilizamos x
e y, pero en otras ocasiones se recurre a letras relacionadas con el nombre de las magnitudes
que entran en juego; por ejemplo, p y q para los precios (prices) y las cantidades (quantity),
respectivamente.
Cuando tratamos con funciones que relacionan dos magnitudes, una de estas se conoce
como variable independiente, a la que podemos otorgarle los valores, y otra que se denomina
variable dependiente, que, como su propio nombre indica, depende del valor que le hayamos
asignado a la independiente. Los papeles de ambas variables pueden ser, a menudo, intercam-
biables, y en determinadas ocasiones nos interesarıa intercambiarlos. Sin embargo, es preciso
fijar las ideas: podemos modificar la variable independiente x, pero la variable dependiente y
esta en funcion del valor que le hayamos dado a x.
Resulta comodo identificar la funcion con una letra. En general, para representar la funcion
escribiremos:
y = f(x)
donde x y y son las variables y f simboliza la relacion que asocia y con x.
Sean A y B dos conjuntos no vacıos y sea f una relacion binaria de A en B, esto es,
f ⊂ A×B. Se entiende por funcion de A en B a toda regla que asocia a cada elemento x del
conjunto A un unico elemento y del conjunto B.
Notacion: f : A → B y se lee “f es una funcion de A en B”
Definicion 6.2.1. f es una funcion de A en B si y solo si satisface las siguientes condiciones:
f ⊂ A×B
(x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f ⇒ y = z
Ejemplo 6.2.1. En la figura (3.1) se observa que: f , g y h son funciones, en cambio j no es
funcion.
6.3. Dominio Rango y Grafica de una funcion
Definicion 6.3.1. El dominio de una funcion f : A→ B es el conjunto de todas las primeras
componentes x ∈ A (conjunto de partida) de los pares ordenados de f , esto es:
Dom(f) = {x ∈ A / ∃y ∈ B, (x, y) ∈ f} = A
Walter Arriaga D. Matematica Basica 181
(c) (d)
(a) (b)
f g
h jA B A B
A B A B
1•
2•
3•
1•
2•
3•
1•
2•
3•
1•
2•
3•
4•
5•
6•
7•
4•
5•
6•
7•
4•
5•
6•
7•
4•
5•
6•
7•
Figura 6.1: Ejemplos
Para el calculo del dominio de funciones reales de variable real f : R → R se debe tener
en cuenta el siguiente criterio:
1. Para las funciones polinomicas: Si y = P (x), donde P (x) es un polinomio de grado n,
entonces el dominio esta dado por el conjunto de los numeros reales, es decir: Domf = R.
Por ejemplo:
La funcion f(x) = 2x5 + 3x3 − 5x2 + 1, se tiene que: Domf = R
La funcion f(x) = 3x12 + 25x3 + 17x+ 1, se tiene que: Domf = R
2. Para las funciones racionales: Si y =P (x)
Q(x), donde P (x) yQ(x) son polinomios de gradom
y n respectivamente, entonces Q(x) 6= 0; esto nos plantea el problema de tener que excluir
del dominio las raıces del polinomio denominador. Ası pues si al resolver la ecuacion
Q(x) = 0 obtenemos como raıces x1, x2, . . . , xn, entonces: Domf = R−{x1, x2, . . . , xn};en otras palabras, Domf = R− {x ∈ R/Q(x) = 0}. Por ejemplo:
Dada la funcion f(x) = x+2x2−9
. Al resolver la ecuacion x2− 9 = 0; obtenemos x1 = 3
y x2 = −3. Por lo tanto: Domf = R− {−3, 3}.
Dada la funcion f(x) = 2x2+1
. Al resolver la ecuacion x2 + 1 = 0; observamos que
no tiene solucion. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por
182 Matematica Basica Walter Arriaga D.
fA B
Dom(f) Ran(f)
x • y•
Figura 6.2: Dominio y rango de una funcion
lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio. Por lo tanto: Domf = R.
3. Para las funciones irracionales:
a) Si las funciones irracionales son de la forma f(x) = 2n+1√
P (x), donde P (x) es un
polinomio de grado n entonces el dominio el conjunto de los numeros reales, es
decir: Domf = R
b) Si f(x) = 2n√
P (x), donde P (x) es un polinomio de grado n, entonces P (x) ≥ 0, y
ası: Domf = {x ∈ R/P (x) ≥ 0}.
c) Si f(x) = 2n
√P (x)Q(x) , donde P (x) y Q(x) son polinomios de grado m y n respectiva-
mente, entonces P (x)Q(x) ≥ 0, y ası: Domf = {x ∈ R/P (x)
Q(x) ≥ 0}.
d) Si f(x) = P (x)2n√
Q(x), donde P (x) y Q(x) son polinomios de grado m y n respectiva-
mente, entonces Q(x) > 0, y ası: Domf = {x ∈ R/Q(x) > 0}.
Definicion 6.3.2. El rango de una funcion f : A → B es el conjunto de todas las segundas
componentes y ∈ B (conjunto de llegada) de los pares ordenados de f , esto es:
Ran(f) = {y ∈ B / ∃x ∈ A, y = f(x)} ⊆ B
Para calcular el rango de una funcion real de variable real y = f(x) se despeja x en terminos
de y, y luego se analiza para que valores de y, x es real.
Definicion 6.3.3. Si f es una funcion f : A → B, su grafica denotada por Gr(f) esta dada
por:
Gr(f) = {(a, f(a)) / a ∈ Domf} ⊂ A×B
Walter Arriaga D. Matematica Basica 183
6.4. Funciones especiales
A continuacion analizaremos la grafica, dominio y rango de ciertas funciones:
6.4.1. Funcion Constante
Se llama funcion constante o funcion polinomica de grado cero a la que no depende de
ninguna variable.
Es la funcion f : R −→ R, definida por:
f(x) = c
donde c es una constante real.
Su grafica es una recta paralela al eje X, veamos la figura (3.3). Si c = 0, la grafica coincide
con el eje X. Veamos la grafica:
c
Y
X0
Figura 6.3: Funcion Constante� Domf = R� Ranf = {c}
6.4.2. Funcion Identidad
Es la funcion f : R −→ R, definida por:
f(x) = x
La funcion f(x) = x de R en R tiene como representacion grafica en el eje de coordenadas
la lınea recta que cruza el origen subiendo en un angulo de 45° hacia la derecha, es decir es la
bisectriz del primer y tercer cuadrante. Veamos la grafica:
184 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Y
X0
Figura 6.4: Funcion Identidad� Domf = R� Ranf = R
6.4.3. Funcion de primer grado
Una funcion de primer grado (se suele abusar del lenguaje y denominar funcion lineal de
una variable real) es aquella funcion f : R −→ R, definida por:
f(x) = mx+ b
Dondem y b con constantes. La denominacion correcta de este tipo de funciones es funcion
afın.
La razon de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda funcion afın
f(x) = mx + b tiene una funcion lineal asociada f(x) = mx. De hecho, una ecuacion de la
forma y = mx+ b se denomina ecuacion lineal. Toda funcion afın tiene orden de crecimiento
lineal, y se comporta asintoticamente como su funcion lineal asociada.
Una funcion lineal de una unica variable independiente x suele escribirse en la forma
y = mx+ b, que se conoce como ecuacion de la recta en el plano XY , dnde m es denominada
la pendiente de la recta y b es la ordenada en el origen, el valor de y para x = 0, es el punto
(0, b). Veamos la grafica:� Domf = R� Ranf = R
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economıa (uso de la oferta y la
demanda), los economos se basan en la linealidad de esta funcion y las leyes de la oferta
Walter Arriaga D. Matematica Basica 185
Y
X0
b
Figura 6.5: Funcion de primer grado
y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier analisis economico. Por
ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el
artıculo este disponible. Una relacion que especifique la cantidad de un artıculo determinado
que los consumidores esten dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley
de demanda. La ley mas simple es una relacion del tipo P = mx+ b, donde P es el precio por
unidad del artıculo y m y b son constantes. La grafica de una ley de demanda se llama curva
de demanda lineal.
Muchas son las aplicaciones de la funcion lineal en el caso de la medicina. Ciertas situa-
ciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenomenos. El
resultado del experimento psicologico de Stenberg, sobre recuperacion de informacion es que
el tiempo de reaccion de una persona R, en milisegundos, es estadısticamente funcion lineal
del tamano del conjunto de memoria N en los siguientes terminos R = 38N + 397.
6.4.4. Funcion Cuadratica
Una funcion polinomica de grado dos o funcion cuadratica es la que corresponde a un
polinomio en x de segundo grado, segun la forma:
f(x) = ax2 + bx+ c
donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.
Su grafica es una parabola simetrica respecto a la recta vertical x = h, llamada eje de
simetrıa, abierta hacia arriba si a > 0 [figura 3.6(a)] y hacia abajo si a < 0 [figura 3.6(b)].
Para la figura 3.6(a)� Domf = R
� Ranf = [k,+∞〉
Para la figura 3.6(b)
186 Matematica Basica Walter Arriaga D.
0 X
Y
h
k V (h, k)
(a) Para a > 0
0 X
Y
h
kV (h, k)
(b) Para a < 0
Figura 6.6: Funcion Cuadratica� Domf = R � Ranf = 〈−∞, k]
Toda funcion cuadratica puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la
siguiente manera:
f(x) = a(x− h)2 + k
A esta forma de expresion se la llama forma canonica. Siendo a el coeficiente principal y el
par ordenado (h, k) las coordenadas del vertice de la parabola. Para llegar a esta expresion se
parte de la forma polinomica y se realiza el siguiente procedimiento:
Dado f(x) = ax2 + bx+ c se extrae a como factor comun en el termino cuadratico y en el
lineal f(x) = a
(x2 +
b
ax
)+ c
Luego se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la
igualdad: f(x) = a
(x2 +
b
ax+
b2
4a2
)+ c− b2
4a
Se factoriza formando el cuadrado de un binomio: f(x) = a
(x+
b
2a
)2
+ c− b2
4a
sustituyendo: h =−b2a
, k = c− b2
4ala expresion queda: f(x) = a(x− h)2 + k.
El estudio de las funciones cuadraticas resulta de interes no solo en matematica sino
tambien en fısica y en otras areas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una
pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un rıo al caer desde lo alto de una montana,
la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido
desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partıcula es lanzada con una
velocidad inicial.
Puede ser aplicada en la ingenierıa civil, para resolver problemas especıficos tomando como
punto de apoyo la ecuacion de segundo grado, en la construccion de puentes colgantes que se
Walter Arriaga D. Matematica Basica 187
encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.
Los biologos utilizan las funciones cuadraticas para estudiar los efectos nutricionales de
los organismos. Por ejemplo, el analisis del efecto nutricional en ratas que se alimentaron con
una dieta que contenıa cierto porcentaje de proteına. La proteına consistio en yema de huevos
y harina de maız. Al variar el porcentaje P de yema en la mezcla de proteına, el grupo de
investigadores estimo el aumento promedio en peso (en gramos) de un animal durante un
cierto periodo fue F (p) en donde: F (p) =1
50p2 + 2p+ 20, 0 < P < 100
Existen fenomenos fısicos que el hombre a traves de la historia ha tratado de explicarse.
Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus calculos
la ecuacion cuadratica. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura H de una
partıcula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo esta dada por H = v0t −1
2gt2,
donde H es la altura, v0 es la velocidad inicial de la partıcula, g es la constante de gravedad
y t es el tiempo.
6.4.5. Funcion Raiz Cuadrada
La funcion raız cuadrada es aquella funcion de la forma:
f(x) =√x
Veamos la grafica:
Y
X0
Figura 6.7: Funcion raiz cuadrada
� Domf = R+0 = [0,+∞〉� Ranf = R+0 = [0,+∞〉
188 Matematica Basica Walter Arriaga D.
6.4.6. Funcion Polinomica
Las funciones polinomicas son aquellas funciones f(x) = P (x) definidas por:
P (x) =n∑
k=0
akxk = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x3 + · · ·+ anx
n
donde n es un entero positivo y a0, a1, a2, . . . , an son constantes reales (a0 6= 0).
Una funcion constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero, una funcion lineal
es un polinomio de primer grado, una funcion cuadratica es un polinomio de segundo grado.
La funcion P (x) = 0 se considera como un polinomio pero no se le asigna ningun grado.
6.4.7. Funcion Seccionada
Las funciones seccionadas llamadas tambien funciones por tramos, por trozos o por partes
son aquellas funciones que tienen un comporamiento distinto dependiendo de los valores del
dominio. Es decir, si una funcion esta definida por dos o mas secciones, entonces:
f(x) =
f1(x) , x ∈ D1
f2(x) , x ∈ D2
f3(x) , x ∈ D3
...
tales que D1 ∩D2 ∩D3 ∩ . . . = φ, entonces G(f) = G(f1) ∪G(f2) ∪G(f3) ∪ . . .� Domf = Domf1 ∪Domf2 ∪Domf3 ∪ . . .� Ranf = Ranf1 ∪ Ranf2 ∪ Ranf3 ∪ . . .
Ahora la funcion f(x) =
f1(x) , si x > 0
f2(x) , si x < 0puede ser expresada como:
f(x) =
f1(x) , si x > 0
f2(x) , si x < 0= f(x)
[x+ |x|2x
]+ g(x)
[x− |x|2x
]
Ejemplo 6.4.1. La funcion g(x) puede ser expresada como:
g(x) =
x2 , si x > 0
x3 , si x < 0= x2
[x+ |x|2x
]+ x3
[x− |x|2x
]
Esta expresion es util si desea graficar una funcion por tramos con una calculadora.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 189
6.4.8. Funcion Valor Absoluto
Es aquella funcion seccionada definida por:
f(x) = |x| =
x , si x ≥ 0
−x , si x < 0
Si los numeros reales estan representados geometricamente en el eje real, el numero |x| sellama distancia o modulo de x a cero.
Veamos la grafica:
Y
X0
y = xy = −x
Figura 6.8: Funcion valor absoluto� Domf = R� Ranf = R+0 = [0,+∞〉
6.4.9. Funcion Escalon Unitario
En ingenierıa es comun encontrar funciones que corresponden a estados de sı o no, o bien
activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actua sobre un sistema mecanico o
una tension electrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse despues de cierto
tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir
una funcion especial llamada funcion escalon unitario denotada por ua. La funcion escalon
de Heaviside, tambien llamada funcion escalon unitario, debe su nombre al matematico ingles
Oliver Heaviside1 esta definido por:
f(x) = µa(x) = µ(x− a) =
0 , si x < a
1 , si x ≥ a
1Oliver Heaviside, radiotelegrafista y matematico ingles, nacio en Londres (Inglaterra) el 18 de mayo de
1850, falleciendo en Torquay (Inglaterra) el 3 de febrero de 1925.
190 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Tiene aplicaciones en ingenierıa de control y procesamiento de senales, representando una
senal que se enciende en un tiempo especıfico, y se queda prendida indefinidamente. Veamos
su grafica:
Y
X0 a
1
Figura 6.9: Funcion escalon unitario
� Domf = R� Ranf = {0, 1}
6.4.10. Funcion Signo
Es aquella funcion denotada por sgn(x), que se lee “signo de x” y esta definida por:
f(x) = sgn(x) =
−1 , si x < 0
0 , si x = 0
1 , si x > 0
equivalentemente:
f(x) = sgn(x) =
x
|x| , si x 6= 0
0 , si x = 0
Veamos la grafica:� Domf = R� Ranf = {−1, 0, 1}
Walter Arriaga D. Matematica Basica 191
Y
X0
1
−1
Figura 6.10: Funcion signo
6.4.11. Funcion Maximo Entero
Es aquella funcion seccionada definida por:
f(x) = JxK
donde JxK es el maximo entero no mayor que x, es decir, JxK = n⇔ JxK = max{n ∈ Z /n ≤ x}
JxK = n ⇔ n ≤ x < n+ 1
Para trazar la grafica de f(x) = JxK, especificaremos f para algunos intervalos de longitud
unitaria a cada lado del origen.
[n, n+ 1〉 JxK y = f(x) = JxK...
......
−3 ≤ x < −2 −3 y = −3−2 ≤ x < −1 −2 y = −2−1 ≤ x < 0 −1 y = −10 ≤ x < 1 0 y = 0
1 ≤ x < 2 1 y = 1
2 ≤ x < 3 2 y = 2
3 ≤ x < 4 3 y = 3...
......
Veamos la grafica:
La grafica de la funcion esta constituida por un segmentos unitario faltandole a cada uno
su extremo derecho, por ser intervalo cerrado en la izquierda y abierto derecha.
192 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Y
X0
1
2
3
4
−1−2−3−4
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
Figura 6.11: Funcion signo� Domf = R =∞⋃
n∈Z
[n, n+ 1〉� Ranf = Z
6.5. Tipo de Funciones
6.5.1. Funcion Inyectiva
Una funcion f : A→ B es inyectiva, univalente o uno a uno si para todo par de elementos
distintos del dominio, sus imagenes son distintas. Es decir:
Si x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2) ∀x1, x2 ∈ Domf
equivalentemente
Si f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 ∀x1, x2 ∈ Domf
Una funcion real f es inyectiva si no contiene dos pares ordenados con la misma segunda
componente.
geometricamente se reconoce que f es una funcion inyectiva cuando toda recta horizontal
corta a la grafica de f a lo mas en un punto.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 193
6.5.2. Funcion Sobreyectiva
Una funcion f : A→ B es sobreyectiva, suryectiva, suprayectiva o epiyectiva si el rango de
f coincide con el conjunto de llegada B; es decir:
Ran(f) = B
donde Ranf = f(A).
De la definicion de funcion sobreyectiva, se sigue que toda funcion de la forma f : A →Ranf , siempre sera sobreyectiva.
Una funcion f : A → B es sobreyectiva si y solo si para cada elemento b ∈ B existe un
elemento a ∈ Domf = A (al menos uno), tal que b = f(a).
6.5.3. Funcion Biyectiva
Una funcion f : A→ B es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
6.6. Caracterısticas de algunas funciones reales
1. Funcion Acotada: Una funcion es acotada cuando el valor absoluto de la funcion es
menor que cierto numero real fijo, para cualquier valor de la variable. Es decir, f es
acotada si existe un numero real M > 0 tal que |f(x)| < M , para todo x ∈ Domf , M
se llama cota de la funcion.
Una funcion f se dice que esta acotada superiormente si existe un numero real M1 tal
que f(x) ≤ M1, para todo x ∈ Domf . Este numero real M1 recibe el nombre de cota
superior de la funcion f . Geometricamente significa que ninguna imagen es superior al
valor M1 y, por tanto, la grafica de la funcion f estara por debajo de la recta y = M1.
Una funcion f se dice que esta acotada inferiormente si existe un numero real M2 tal
que f(x) ≥ M2, para todo x ∈ Domf . Este numero real M2 recibe el nombre de cota
inferior de la funcion f . Geometricamente significa que ninguna imagen es inferior al
valor M2 y, por tanto, la grafica de la funcion f estara por encima de la recta y = M2.
Una funcion se dice que esta acotada si lo esta inferior y superiormente.
2. Funcion Monotona: Una funcion f se dice que es monotona en un punto x0 cuando sea
creciente, estrictamente creciente, decreciente o estrictamente decreciente en ese punto.
3. Funcion Creciente: Una funcion f es creciente en 〈a, b〉 si para todo x1, x2 ∈ 〈a, b〉con x1 < x2 se cumple que f(x1) ≤ f(x2).
194 Matematica Basica Walter Arriaga D.
4. Funcion Extrictamente Creciente: Una funcion f es creciente en 〈a, b〉 si para todo
x1, x2 ∈ 〈a, b〉 con x1 < x2 se cumple que f(x1) < f(x2).
5. Funcion Decreciente: Una funcion f es decreciente en 〈a, b〉 si para todo x1, x2 ∈〈a, b〉 con x1 < x2 se cumple que f(x1) ≥ f(x2).
6. Funcion Extrictamente Decreciente: Una funcion f es decreciente en 〈a, b〉 si paratodo x1, x2 ∈ 〈a, b〉 con x1 < x2 se cumple que f(x1) > f(x2).
7. Funcion Periodica: Se dice que f es periodica si existe un numero real, no nulo,
T , llamado periodo, tal que para todo x ∈ Domf , x + T ∈ Domf y se verifica que
f(x+ T ) = f(x). De la propia definicion se deduce que si T es un periodo de la funcion
f , tambien lo es 2T , 3T , . . ., es decir sus periodos son multiplos enteros del menor periodo
positivo T , que recibe el nombre de periodo principal o propio.
El conocimiento de la grafica de una funcion en un periodo nos permite construir por
periodicidad toda la grafica.
8. Funcion Par: Una funcion f es par si para todo x ∈ Domf se cumple que: f(−x) =f(x). La grafica de la funcion es simetrica respecto al eje Y .
9. Funcion Impar: Una funcion f es impar si para todo x ∈ Domf se cumple que:
f(−x) = −f(x). La grafica de la funcion es simetrica respecto al origen.
Teorema 6.6.1. Si una funcion f es creciente, entonces f es inyectiva.
Teorema 6.6.2. Si una funcion f es decreciente, entonces f es inyectiva.
6.7. Funcion Trigonometrica
Las funciones trigonometricas son funciones de un angulo; tienen importancia en el estudio
de la geometrıa de los triangulos y en la representacion de fenomenos periodicos, entre otras
muchas aplicaciones.
El estudio de las funciones trigonometricas se remonta a la epoca de Babilonia, y muchos
de los fundamentos del tema fueron desarrollados por matematicos de la antigua Grecia, de
la India y estudiosos musulmanes.
El primer uso de la funcion seno aparece en el Sulba Sutras escrito en India desde el
Siglo VIII AC hasta el Siglo VI AC. Las funciones trigonometricas fueron estudiadas luego
por Hiparco de Nicea (180 a 125 AC), Aryabhata (476 a 550), Varahamihira, Brahmagupta,
Walter Arriaga D. Matematica Basica 195
Muh.ammad ibn Mu-sa- al-K-wa-rizmi-, Abu’l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-
Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (c.
1400), Rheticus, y el alumno de este, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio
in analysin infinitorum (1748) fue la que establecio el tratamiento analıtico de las funciones
trigonometricas en Europa. definiendolas como series infinitas presentadas en las llamadas
“Formulas de Euler”.
Las funciones trigonometricas son conocidas tambien como funciones no algebraicas o
trascendentes. Estudiemos el comportamiento geometrico de cada una de estas funciones.
1. Funcion Seno: Es la funcion trigonometrica denotada por: f(x) = sen(x). Veamos la
grafica 3.12 y observemos que la funcion es periodica de periodo 2π.� Domf = R� Ranf = [−1, 1]
Figura 6.12: Funcion seno
2. Funcion Coseno: Es la funcion trigonometrica denotada por: f(x) = cos(x). Veamos
la grafica 3.13 y observemos que la funcion es periodica de periodo 2π.� Domf = R� Ranf = [−1, 1]
3. Funcion Tangente: Es la funcion trigonometrica denotada por: f(x) = tan(x). Veamos
la grafica 3.14(a) y observemos que la funcion es periodica de periodo π.� Domf = R−{(2k + 1)π
2
}� Ranf = R
196 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Figura 6.13: Funcion coseno
4. Funcion Cotangente: Es la funcion trigonometrica denotada por: f(x) = cot(x).
Veamos la grafica 3.14(b) y observemos que la funcion es periodica de periodo π.� Domf = R− {kπ}� Ranf = R
5. Funcion Secante: Es la funcion trigonometrica denotada por: f(x) = sec(x). Veamos
la grafica 3.14(c) y observemos que la funcion es periodica de periodo 2π.� Domf = R−{(2k + 1)π
2
}� Ranf = 〈−∞,−1] ∪ [1,∞〉
6. Funcion Cosecante: Es la funcion trigonometrica denotada por: f(x) = csc(x). Veamos
la grafica 3.14(d) y observemos que la funcion es periodica de periodo 2π.� Domf = R− {kπ}� Ranf = 〈−∞,−1] ∪ [1,∞〉
A continuacion veamos la figura (3.15) donde podemos observar las seis funciones trigonometri-
cas.
Las razones trigonometricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triangu-
los, ası como para resolver diferentes situaciones problematicas en otras ciencias.
En Topografıa se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el angulo.
Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido
a ello esta se aparta cada ves mas de su vertical. Originalmente tenıa una altura de 54,6m,
aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre,
Walter Arriaga D. Matematica Basica 197
(a) Funcion tangente (b) Funcion cotangente
(c) Funcion secante (d) Funcion cosecante
Figura 6.14: Funcion trigonometrica
determino un angulo de elevacion de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar
al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeno, comparado con la altura de la
torre) aplico la ley del seno para determinar el angulo de inclinacion y la ley del coseno para
determinar el desplazamiento de la torre.
En Optica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de
cierto material. Se ha determinado que el rayo de salida es paralelo al de entrada.
En la Aviacion, si dos aviones parten de una base aerea a la misma velocidad formando un
angulo b y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran
entre los mismos.
El capitan de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en lınea
recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino
correcto.
6.8. Funcion Exponencial
La funcion exponencial es aquella funcion trascendental de la forma
f(x) = ax
198 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Figura 6.15: Funciones trigonometricas
donde a > 0 y x ∈ R.
Las funciones exponenciales son una de las familias de funciones mas importantes en las
matematicas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen. Constituyen una herramienta
util para describir magnitudes que crecen o decrecen en forma muy rapida proporcionalmente
a su tamano. Se encuentran innumerables ejemplos de fenomenos que tienen este tipo de com-
portamiento, en la Administracion de Empresas se usan para interes compuesto, anualidades
y planes de ahorro entre otras. En las ciencias naturales las aplicaciones son innumerables in-
cluyendo modelos de crecimiento en biologıa, reacciones de primer orden en quımica orbitales
moleculares en quımica fısica, economıa, medicina y otras. Por ejemplo, en el crecimiento de
una poblacion; cuando se analizan los censos de poblacion humana y se buscan modelos que
permitan hacer proyecciones, frecuentemente aparecen funciones de crecimiento exponencial.
Veamos la grafica (3.16) para los casos a > 1 y 0 < a < 1� Domf = R� Ranf = 〈0,+∞〉
Propiedades:
1. Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1).
2. En la grafica 3.16(a) se puede observar que para a > 1 la funcion f es creciente.
3. En la grafica 3.16(b) se puede observar que para 0 < a < 1 la funcion f es decreciente.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 199
(a) Para a > 1 (b) Para 0 < a < 1
Figura 6.16: Funcion exponencial
4. El eje de las x es una asıntota horizontal.
5. Las funciones exponenciales son uno a uno.
Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones en ciencias, matematicas, comercio
y en otras disciplinas. Veremos aquı algunas de esas aplicaciones.
1. Formula de interes compuesto
A = P(1 +
r
m
)nt
donde:
A es la cantidad acumulada o valor futuro.
P es el principal de la inversion.
r es la tasa de interes anual.
n es el numero de periodos de tiempo por ano.
t es el numero de anos.
2. Formula de interes contınuo
A = Peit
donde:
A es la cantidad acumulada o valor futuro.
P es el principal de la inversion.
i es el interes anual.
t es el numero de anos de la inversion.
200 Matematica Basica Walter Arriaga D.
3. Formula de crecimiento y decaimiento exponencial
A(t) = A0ekt
donde:
A es la cantidad acumulada luego de un tiempo t.
A0 es la cantidad inicial.
k es la constante de crecimiento o decaimiento.
t es el numero de anos de la inversion.
Si k > 0 hay crecimiento o aumento en el valor de A.
Si k < 0 el valor de A decae o decrece.
En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con
respecto al tiempo. Al tiempo requerido para que se produzca a la mitad la cantidad
inicial del elemento se denomina semivida.
4. Formula de enfriamiento de Newton
T (t) = Tm + (T0 − Tm)ekt
donde:
T es la temperatura del objeto en un tiempo t.
Tm es la temperatura del medio ambiente.
T0 es la temperatura inicial.
t es el tiempo.
k es una constante. Si k > 0, el cuerpo se calienta y si k < 0, el cuerpo se enfrıa.
5. Formula del crecimiento logıstico
P (t) =c
1 + ae−bt
donde:
P es la poblacion en un tiempo t.
a, b, c son constantes, c > 0, b > 0.
t es el tiempo en anos.
c es la capacidad de crecimiento.
6. Otras de la aplicacion de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio
(elemento radioactivo ) descubierto por Marie Curie en 1898 decae exponencialmente de
acuerdo a la funcion:
m = m0e−0,005t
Walter Arriaga D. Matematica Basica 201
donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el
tiempo en dıas.
7. El crecimiento poblacional (Demografıa) de una region o poblacion en anos, parece estar
sobre una curva de caracterıstica exponencial que sugiere el modelo matematico dado
por:
N = N0ekt
donde N0 es la poblacion inicial, t es el tiempo transcurrido en anos y k es una constante.
(En 1798, el economista ingles Thomas Malthus observo que la relacion N = N0ekt era
valida para determinar el crecimiento de la poblacion mundial y establecio, ademas, que
como la cantidad de alimentos crecıa de manera lineal, el mundo no podıa resolver el
problema del hambre. Esta lugubre prediccion ha tenido un impacto tan importante
en el pensamiento economico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se
conoce con el nombre de modelo Malthusiano).
8. En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera
que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminucion, si N es la cantidad
de farmaco presente en el cuerpo al tiempo t, entonces N = N0ekt, en donde k es una
constante positiva y N0 es la cantidad presente al tiempo t = 0.
6.9. Funcion Logaritmo
La funcion logaritmo es aquella funcion trascendental de la forma
f(x) = logb x
donde b > 0 y b 6= 1, ademas x ∈ R+.
Veamos la grafica (3.17) para los casos b > 1 y 0 < b < 1� Domf = 〈0,+∞〉� Ranf = R
Propiedades:
1. Las funciones exponenciales pasan por el punto (1,0).
2. En la grafica 3.17(a) se puede observar que para b > 1 la funcion f es creciente.
3. En la grafica 3.17(b) se puede observar que para 0 < b < 1 la funcion f es decreciente.
202 Matematica Basica Walter Arriaga D.
(a) Para b > 1 (b) Para 0 < b < 1
Figura 6.17: Funcion logaritmo
4. El eje de las y es una asıntota vertical.
5. Las funciones logarıtmicas son uno a uno.
La geologıa como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarıtmicas para el
calculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un
terremoto esta definida como R = log(A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y
A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismografo estandar, localizado a 100 kilometros
del epicentro del terremoto).
Los astronomos utilizan ciertos calculos de caracter logarıtmico para determinar una mag-
nitud estelar de una estrella o planeta, ellos utilizan la siguiente ecuacion:M = −(5/2) log(B/B0),
donde B es la brillantez y B0 es una constante. Se concluye que la magnitud (M) esta dada
en funcion de una ecuacion logarıtmica.
En la fısica la funcion logarıtmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede
mencionar el calculo del volumen L en decibeles de un solido, para el cual se emplea la
siguiente ecuacion L = 10 log(I/I0), donde I es la intensidad del sonido (la energıa cayendo en
una unidad de area por segundo), I0 es la intensidad de sonido mas baja que el oıdo humano
puede oır (llamado umbral auditivo). Una conversacion en voz alta tiene un ruido de fondo de
65 decibeles.
7
MATRICES, DETERMINANTES
Y SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
Objetivos
z Conocer y aplicar las principales tecnicas de calculo matricial.
z Operar con las matrices para aplicarlas en la solucion de sistemas lineales.
z Ordenar los datos adecuadamente en la formulacion de un problema.
z Manejar los determinantes como elemento de calculo en la resolucion de los sistemas
lineales.
7.1. Matrices
7.1.1. Algo de historia
El primero que empleo el termino “matriz” fue el matematico ingles James Joseph Sylvester
en el ano 1850.
Sin embargo, hace mas de dos mil anos los matematicos chinos habıan descubierto ya un
metodo de resolucion de sistemas de ecuaciones lineales equivalente al metodo de Gauss y por
lo tanto empleaban tablas con numeros.
Pero hasta el Siglo XIX no se desarrolla en las matematicas el Algebra de matrices. A
este desarrollo contribuyo de forma decisiva el matematico ingles Arthur Cayley. En 1858
publico unas “Memorias sobre la teorıa de matrices” en la que daba la definicion de matriz y
las operaciones suma de matrices, de producto de un numero real por una matriz, de producto
de matrices y de inversa de una matriz. Cayley afirma que obtuvo la idea de matriz a traves
203
204 Matematica Basica Walter Arriaga D.
de la de determinante y tambien como una forma conveniente de expresar transformaciones
geometricas.
7.1.2. Introduccion
Las matrices aparecen por primera vez hacia el ano 1850, introducidas por J.J. Sylvester.
El desarrollo inicial de la teorıa se debe al matematico W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A.
Cayley introduce la notacion matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m
ecuaciones lineales con n incognitas.
Las matrices se utilizan en el calculo numerico, en la resolucion de sistemas de ecuaciones
lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Ademas de su utilidad
para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en
geometrıa, estadıstica, economıa, informatica, fısica, etc...
La utilizacion de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lengua-
jes de programacion, ya que la mayorıa de los datos se introducen en los ordenadores como
tablas organizadas en filas y columnas: hojas de calculo, bases de datos,...
Ademas de su utilidad para el estudio de los sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen
de manera natural en geometrıa, estadıstica, economıa, etc.
Nuestra cultura esta llena de matrices de numeros: El horario de los trenes de cada una
de las estaciones es una matriz de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada
uno de los dıas de la semana es otra, etc.
Las tablas de sumar y multiplicar, la disposicion de los alumnos en clase, las casillas de un
tablero de ajedrez, las apuestas de la loto, los puntos de un monitor de ordenador, son otros
tantos ejemplos de la vida cotidiana de matrices.
Actualmente, muchos programas de ordenador utilizan el concepto de matriz. Ası, las
Hojas de Calculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y columnas en
cuyas celdas se pueden introducir datos y formulas para realizar calculos a gran velocidad.
Esto requiere utilizar las operaciones con matrices.
Definicion 7.1.1. Una matriz es un ordenamiento rectangular de elementos dispuestos en
filas y columnas.
Aquı un ejemplo en sus distintas presentaciones:
[2 0 −1a√2 π
] (2 0 −1a√2 π
) ∥∥∥∥∥2 0 −1a√2 π
∥∥∥∥∥
Esta matriz posee dos filas y tres columnas.
Es importante adquirir el habito de enunciar siempre filas antes de columnas.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 205
Los elementos aij pueden ser numeros reales, numeros complejos o cualquier objeto no numeri-
co, como por ejemplo la posicion de las fichas en el tablero del ajedrez o los apellidos de
personas cuando son codificadas en orden alfabetico.
Notacion General: Se simboliza cada elemento con subındices de la forma aij, donde i
representa la fila donde se encuentra y j la columna.
Ası la matriz de m filas y n columnas cuyos elementos son aij es:
A =
a11 a12 . . . a1j . . . a1n
a21 a22 . . . a2j . . . a2n...
......
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain...
......
...
am1 am2 . . . amj . . . amn
que abreviadamente se representa por:
A = (aij)m×n , donde m,n ∈ N
siendo i = 1; 2; 3; . . . ;m ; j = 1; 2; 3; . . . ;n y podemos leer ası:
A es la matriz de m filas y n columnas. aij es un elemento de la matriz A.
Si aij ∈ K; (K = R o K = C) entonces definimos una matriz Am×n como una aplicacion de
I × J en K.
I × J −→ K
(i, j) −→ aij
con 1 ≤ i ≤ m ; 1 ≤ j ≤ n donde a cada pareja (i, j) le corresponde un solo elemento
aij ∈ K.
7.1.3. Orden de una Matriz
El orden de una matriz es la multiplicacion indicada del numero de filas por el numero de
columnas de dicha matriz, ası si la matriz tiene m filas y n columnas diremos que la matriz
es de orden m× n.
Ejemplo 7.1.1. La matriz
(4 2 −57 1 −3
)tiene 2 filas y 3 columnas, entonces decimos que es
de orden 2× 3.
El conjunto de matrices m × n con elementos aij ∈ K se denota por Km×n. Es decir
Km×n = {(aij)m×n/aij ∈ K}Si K = R, entonces Rm×n = {(aij)m×n/aij ∈ R}Si K = C, entonces Cm×n = {(aij)m×n/aij ∈ C}
206 Matematica Basica Walter Arriaga D.
7.1.4. Igualdad de Matrices
Dos matrices del mismo orden son iguales si todos sus elementos de la misma posicion son
respectivamente iguales.
Ası, sean las matrices A = (aij)m×n ∧ B = (bij)m×n
A = B ↔ aij = bij , ∀i, j , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n
Ejemplo 7.1.2. Halle el valor de: (2x− y) + (2z − w). Si las matrices:
(2x+ y 2z + w
x− 2y z − 2w
)y
(4 5
−1 0
)
son iguales.
Solucion
De la igualdad de matrices
(2x+ y 2z + w
x− 2y z − 2w
)=
(4 5
−1 0
)
Se tiene:
2x+ y = 4 ∧ x− 2y = −1 entonces x = 7/5 , y = 6/5
Ası mismo:
2z + w = 5 ∧ z − 2w = 0 entonces z = 2 , w = 1
Luego el valor de : (2x− y) + (2z −w) es:
(2
(7
5− 6
5
))+ (2(2) − 1) =
8
5+ 3 =
23
5
7.1.5. Matrices Especiales
a) Matriz Cuadrada:Una matriz A es cuadrada cuando el numero de filas es igual al numero
de columnas. Am×n es cuadrada si y solo si m = n, en este caso se dice que A es de orden
n× n o simplemente de orden n y se representa por An.
A =
a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
a31 a32 a33 · · · a3n...
......
. . ....
an1 an2 an3 · · · ann
(7.1)
Ejemplo 7.1.3. La matriz A =
[2 −13 5
]es cuadrada de orden 2.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 207
Diagonal Principal: Es una matriz cuadrada A = (aij)n×n, la diagonal principal es el
conjunto de elementos aij tales que i = j. Ası en:
A =
2 3 −57 9 8
1 −4 0
la diagonal principal es la terna (2 9 0) y la diagonal secundaria es la terna (1 9 − 5).
En la matriz cuadrada 7.6, la diagonal principal es: (a11 a22 a33 . . . ann)
Tipos de matrices cuadradas:
Las matrices cuadradas pueden ser:
a.1. Matriz Triangular: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran por encima
o por debajo de la diagonal principal son ceros. Estas a su vez pueden ser:
a.1.1. Matriz Triangular Superior : Una matriz cuadrada A = (aij)n×n es triangular
superior si aij = 0 ∀i > j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por
debajo de la diagonal principal son ceros.
T =
a11 a12 a13 · · · a1n
0 a22 a23 · · · a2n
0 0 a33 · · · a3n...
......
. . ....
0 0 0 · · · ann
Ejemplo 7.1.4. La matriz
3 5 0
0 7 0
0 0 0
es triangular superior.
a.1.2. Matriz Triangular Inferior : Una matriz cuadrada A = (aij)n×n es triangular
inferior si aij = 0 ∀i < j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por
encima de la diagonal principal son ceros.
T =
a11 0 0 · · · 0
a21 a22 0 · · · 0
a31 a32 a33 · · · 0...
......
. . ....
an1 an2 an2 · · · ann
Ejemplo 7.1.5. La matriz
16 0 0
1 16 0
3 2 π
es triangular inferior.
208 Matematica Basica Walter Arriaga D.
a.2 Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran por encima
y por debajo de la diagonal principal son ceros. Es decir aij = 0 si i 6= j.
D =
a11 0 0 · · · 0
0 a22 0 · · · 0
0 0 a33 · · · 0...
......
. . ....
0 0 0 · · · ann
Ejemplo 7.1.6. Las matrices
(3 0
0 4
),
π 0 0
0 e 0
0 0 α
son diagonales.
a.3 Matriz Escalar: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diagonal
principal de toda matriz diagonal son iguales.
E =
α 0 0 · · · 0
0 α 0 · · · 0
0 0 α · · · 0...
......
. . ....
0 0 0 · · · α
En forma general:
En es escalar si aij =
α, si i = j
0, si i 6= j
Ejemplo 7.1.7. Las matrices
(2 0
0 2
),
3 0 0
0 3 0
0 0 3
son escalares
a.4 Matriz Identidad: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diag-
onal principal de toda matriz escalar son iguales a 1.
I =
1 0 0 · · · 0
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0...
......
. . ....
0 0 0 · · · 1
En forma general:
In es identidad si aij =
1, si i = j
0, si i 6= j
Walter Arriaga D. Matematica Basica 209
b) Matriz Rectangular: Son aquellas matrices donde el numero de filas es distinta al numero
de columnas. Esto es: la matriz A = (aij)m×n es rectangular si m 6= n.
Ejemplo 7.1.8.
3 0
2 4
1 2
3×2
;(2 3 1 −1
)1×4
c) Matriz Nula: Es aquella matriz cuadrada o rectangular en donde todos sus elementos son
nulos, es decir, una matriz A = (aij)m×n es nula si aij = 0 ∀i, j.
Ejemplo 7.1.9. (0 0
0 0
);
(0 0 0
0 0 0
)
7.1.6. Operaciones con Matrices
Ası como en cualquier conjunto numerico, en el conjunto de matrices tambien se definen
ciertas operaciones, obviamente, bajo determinadas condiciones.
a. Adicion y sustraccion de matrices
Sean las matrices A = (aij)m×n ∧ B = (bij)m×n
La suma A + B de las matrices A y B de orden m× n es una matriz C = (cij)m×n de
orden m× n, de tal modo, que cada elemento cij es igual a la suma: aij + bij.
Ası: A+B = (aij)m×n + (bij)m×n = (aij + bij)m×n
La resta A− B de las matrices A y B de orden m× n es una matriz D = (dij)m×n de
orden m× n, de tal modo, que cada elemento dij es igual a la resta: aij − bij.
Ası: A−B = (aij)m×n − (bij)m×n = (aij − bij)m×n
Ejemplo 7.1.10. Sean: A =
(2 4
3 −1
); B =
(5 7
−9 16
), entonces:
A+B =
(2 4
3 −1
)+
(5 7
−9 16
)=
(2 + 5 4 + 7
3− 9 −1 + 16
)⇒ (A+B) =
(7 11
−6 15
)
A−B =
(2 4
3 −1
)−(
5 7
−9 16
)=
(2− 5 4− 7
3− (−9) −1− 16
)⇒ (A−B) =
(−3 −312 −17
)
Definicion 7.1.2. La operacion binaria que hace corresponder a cada par de matrices
A y B una tercera matriz C llamada suma de A y B, esto es:
+ : Mm×n ×Mm×n −→ Mm×n
(A,B) −→ +(A,B) = A+B = C
210 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Propiedades:
i. La adicion es interna o cerrada en Mm×n es decir: (A + B) ∈ Mm×n ∀ A,B ∈Mm×n, por definicion de la adicion de matrices.
ii. La adicion en Mm×n es asociativa, es decir: (A + B) + C = A + (B + C), ∀A;B;C ∈Mm×n. Veamos:
Sean A = (aij)m×n ; B = (bij)m×n ; C = (cij)m×n
⇒ (A+B) + C = ((aij)m×n + (bij)m×n + (cij)m×n)
⇒ (aij + bij + cij)m×n = (aij)m×n + (bij + cij)m×n = A+ (B + C)
iii. Existe en Mm×n una unica matriz identidad o neutro aditivo denotado por 0; lla-
mada matriz nula donde todos sus elementos son ceros; esto es: ∀ A ∈Mm×n, ∃ 0 ∈Mm×n tal que A+ 0 = 0 +A = A
iv. Toda matriz A ∈ Mm×n tiene un simetrico aditivo dado por −A ∈ Mm×n; esto
es: ∀ A ∈Mm×n , ∃ (−A) = (−aij)m×n tal que A+(−A) = (aij)m×n+(−aij)m×n =
0m×n
Con estas propiedades queda garantizado que (Mm×n ; +) tiene estructura de grupo.
Ademas:
v. La adicion en Mm×n es conmutativa, es decir: A+B = B +A, ∀ A;B ∈Mm×n,
ası: A+B = (aij)m×n + (bij)m×n ⇒ (aij + bij)m×n= (bij + aij)m×n
⇒ (bij)m×n + (aij)m×n = B +A
Mediante esta quinta propiedad diremos que (Mm×n ; +) es un grupo abelino o
conmutativo.
b. Multiplicacion de matrices
b.1. Multiplicacion de un escalar por una matriz
Cuando un escalar multiplica a una matriz, cada elemento de la matriz queda
multiplicado por dicho escalar. Ası: Sea A = (aij)m×n ⇔ αA = (αaij)m×n.
Donde “α” es un escalar
Ejemplo 7.1.11. Sea: A =
(4 3
2 1
)⇒ 5A =
(5(4) 5(3)
5(2) 5(1)
)⇒ 5A =
(20 15
10 5
)
Definicion 7.1.3. La operacion binaria que hace corresponder a cada par de ele-
mentos, un escalar α y una matriz A, una matriz C llamada producto de α y A,
Walter Arriaga D. Matematica Basica 211
esto es:· : K×Mm×n −→ Mm×n
(α,A) −→ ·(α,A) = αA
Propiedades:
i. Propiedad distributiva: α(A+B) = αA+ αB, ∀ A,B ∈ Mm×n; ∀ α ∈ K
ii. Propiedad distributiva: (α+ β)A = αA+ βA, ∀ A ∈Mm×n; ∀ α;β ∈ K
iii. Propiedad asociativa: α(βA) = (αβ)A, ∀ A ∈Mm×n; ∀ α;β ∈ K
Por tanto: Si K = R entonces (Mm×n,+, ·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo
de los numeros reales.
Si K = C entonces (Mm×n,+, ·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los
numeros complejos.
b.2. Multiplicacion de una matriz fila por una matriz columna
Sean las matrices: A =(a1 a2 a3 · · · an
)1×n
; B =
b1
b2
b3...
bn
n×1
Definimos: AB = (a1b1 + a2b2 + a3b3 + · · ·+ anbn)1×1. Es decir:
AB =
n∑
k=1
akbk
Ejemplo 7.1.12. Sean: A =(1 3 5
); B =
7
−24
entonces: AB = (1)(7) + (3)(−2) + (5)(4) = 21
b.3. Multiplicacion de dos matrices
Dados dos matrices A = (aij)m×n ; B = (bjk)n×p existe una tercera matriz
C = (cik)m×p que representa el producto de multiplicar las matrices A y B; donde
cik es el producto de multiplicar la fila i de la primera matriz por la columna k de
la segunda matriz.
Definicion 7.1.4. La operacion binaria que hace corresponder a cada par de ma-
trices A y B, una matriz C llamada producto de A y B, esto es:
· : Mm×n ×Mn×p −→ Mm×p
(A,B) −→ ·(A,B) = AB
212 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Nota: La multiplicacion de una matriz A y la matriz B existe si y solo si el numero
de columnas de la primera matriz es igual al numero de filas de la segunda matriz.
Es decir:
AB = (cik)m×p / cik =
n∑
j=1
aij · bjk
Si el producto AB esta definido se dice que A es conformable con B para la multi-
plicacion.
Ejemplo 7.1.13. Sean las matrices: A =
(4 3 2
5 1 9
)
2×3
; B =
5 4 1
7 9 3
2 1 2
3×3La matriz C producto de A y B sera de orden 2× 3 de la siguiente forma.
C =
(c11 c12 c13
c21 c22 c23
). Hallando cada uno de los elementos:
c11 = (4)(5) + (3)(7) + (2)(2) = 45
c12 = (4)(4) + (3)(9) + (2)(1) = 45
c13 = (4)(1) + (3)(3) + (2)(2) = 17
c21 = (5)(5) + (1)(7) + (9)(2) = 50
c22 = (5)(4) + (1)(9) + (9)(1) = 38
c23 = (5)(1) + (1)(3) + (9)(2) = 26
entonces: C =
(45 45 17
50 38 26
)
Nota: La multiplicacion de matrices no necesariamente es conmutativa.
b.4. Multiplicacion de matrices por bloques
Existen situaciones en las que es conveniente manejar las matrices como bloques de
matrices mas pequenas, llamadas submatrices, y despues multiplicar bloque por
bloque en lugar de componente por componente. Resulta que la multiplicacion en
bloques es muy similar a la multiplicacion normal de matrices.
Ejemplo 7.1.14. Considere el producto:
AB =
1 −1 2 4
2 0 4 5
1 1 2 −3−2 3 5 0
1 4 3
2 −1 0
−3 2 1
0 1 2
El lector debe verificar que este producto este definido. Ahora se hace una particion
Walter Arriaga D. Matematica Basica 213
de estas matrices mediante lıneas punteadas.
1 −1 | 2 4
2 0 | 4 5
−− −− | −− −−1 1 | 2 −3−2 3 | 5 0
1 4 | 3
2 −1 | 0
−− −− | −−−3 2 | 1
0 1 | 2
=
C | D
−− | −−E | F
G | H
−− | −−J | K
Existen otras maneras de formar la particion. En este caso C =
(1 −12 0
),
K =
(1
2
), etc. Ahora suponiendo que todos los productos y las sumas de las
matrices estan definidos, se puede multiplicar normalmente para obtener
AB =
(C D
E F
)(G H
J K
)=
CG+DJ | CH +DK
−−−− | − −−−EG+ FJ | EH + FK
Ahora: CG =
(1 −12 0
)(1 4
2 −1
)=
(−1 5
2 8
)
DJ =
(2 4
4 5
)(−3 2
0 1
)=
(−6 8
−12 13
)y
CG+DJ =
(−7 13
−10 21
). De manera similar, EH =
(1 1
−2 3
)(3
0
)=
(3
−6
),
FK =
(2 −35 0
)(1
2
)=
(−45
)y EH + FK =
(−1−1
).
El lector debe verificar que CH +DK =
(13
20
)y EG+ FJ =
(−3 4
−11 −1
)
de manera que
AB =
CG+DJ | CH +DK
−−−− | − − −−EG+ FJ | EH + FK
=
−7 13 | 13
−10 21 | 20
−− −− | −−−3 4 | −1−11 −1 | −1
=
−7 13 13
−10 21 20
−3 4 −1−11 −1 −1
Esta es la misma respuesta que se obtiene si se multiplica AB directamente.
Cuando se hace una particion de dos matrices y, como ene el ejemplo anterior, todos
los productos de submatrices estan definidos, entonces se dice que la particion es
conformante.
214 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Propiedades
i. Propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C, donde A ∈Mm×p, B ∈Mp×q, C ∈Mq×n.
En efecto:
A(BC) =
p∑
k=1
aik(BC)kj =
p∑
k=1
aik(
q∑
l=1
bklclj) =
p∑
k=1
q∑
l=1
aik(bklclj) =
p∑
k=1
q∑
l=1
(aikbkl)clj
=
q∑
l=1
p∑
k=1
(aikbkl)clj =
q∑
l=1
(
p∑
k=1
aikbkl)clj =
q∑
l=1
(AB)ilclj = (AB)C
ii. Propiedad asociativa: A(B + C) = AB +AC, donde A ∈Mm×p, B;C ∈Mp×n.
En efecto:
A(B + C) =
p∑
k=1
aik(B + C)kj =
p∑
k=1
aik(bkj + ckj) =
p∑
k=1
(aikbkj + aikckj) =
p∑
k=1
aikbkj +
p∑
k=1
aikckj = AB +AC
iii. Propiedad no conmutativa: AB 6= BA
iv. AB = 0 no implica que A = 0 o B = 0
v. AB = AC no implica que B = C
vi. Elemento neutro: ∀ A ∈Mn×n, ∃ In ∈Mn×n tal que IA = AI = A.
Ejemplo 7.1.15. Sean las matrices: A =
(3 2
4 1
); B =
(3 7
1 5
); Veamos AB y
BA. AB =
(3 2
4 1
)(3 7
1 5
)=
(11 31
13 33
)y BA =
(3 7
1 5
)(3 2
4 1
)=
(37 13
23 7
)
De donde observamos que: AB 6= BA.
Ejemplo 7.1.16. Sean las matrices: A =
(3 5
6 10
); B =
(5 10
−3 −6
);
Veamos AB.
AB =
(3 5
6 10
)(5 10
−3 −6
)=
(0 0
0 0
)
Vemos que AB = 0, pero no implica que A o B sean matrices nulas.
Ejemplo 7.1.17. Sean las matrices: A =
(1 1
0 0
), B =
(2 3
5 8
), C =
(5 8
2 3
)
Veamos AB y AC.
AB =
(1 1
0 0
)(2 3
5 8
)=
(7 11
0 0
)y AC =
(1 1
0 0
)(5 8
2 3
)=
(7 11
0 0
)
Se observa que AB = AC sin embargo B 6= C.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 215
Definicion 7.1.5.� Si AB = BA, se dice que las matrices A y B son matrices conmutables.� Si AB = −BA , se dice que las matrices A y B son matrices anticonmutables.
Nota: Si A es una matriz cuadrada de orden n y B = aA+ bI donde a y b son escalares
entonces A y b son conmutables.
c. Potenciacion de matrices Sea A una matriz cuadrada y n ∈ N/n ≥ 2; entonces se
define:
An = A.A.A.A · · ·A︸ ︷︷ ︸“n′′ veces
Ejemplo 7.1.18. Si A =
(1 3
2 4
)entonces A2 =
(1 3
2 4
)(1 3
2 4
)=
(7 15
10 22
)
Nota: La potenciacion de matrices es conmutativa. De donde se tendra.
a. (k.A)n = kn. An
b. Si A es una matriz cuadrada entonces AmAn = AnAm/m;n ∈ N
c. Si A y B conmutan entonces Am y Bn conmutan siendo m, n naturales.
d. Si A es una matriz cuadrada (Am)n = Amn = (An)m; m; n ∈ N.
7.1.7. Traza de una matriz
Dada la matriz cuadrada A = (aij)n×n, se llama traza de A a la suma de los elementos de
la diagonal principal y se denota por:
Traz(A) =n∑
i=1
aii = a11 + a22 + a33 + · · · + ann
Ejemplo 7.1.19. Sea A =
5 9 0
0 7 4
9 −5 −2
⇒ Traz(A) = 5 + 7− 2 = 10
Teorema 7.1.1. Sean las matrices cuadradas A y B del mismo orden y λ un escalar.
Traz(A±B) = Traz(A)± Traz(B)
En efecto: Sean A = (aij)n×n ; B = (bij)n×n ⇒ A±B = (aij ± bij)n×n
Traz(A±B) =
n∑
i=1
(aii ± bii) =
n∑
i=1
(aii)±n∑
i=1
(bii) = Traz(A)± Traz(B)
Traz(λ ·A) = λTraz(A)
En efecto: Traz(λA) =
n∑
i=1
λaii = λ
n∑
i=1
aii = λ · TrazA
216 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Traz(AB) = Traz(BA)
En efecto: Traz(AB) =
n∑
i=1
cij , donde cij =
n∑
j=1
aijbj i entonces
Traz(AB) =
n∑
i=1
n∑
j=1
aijbj i
⇒
n∑
j=1
(n∑
i=1
bjiaij
)= Traz(BA)
7.1.8. Transpuesta de una matriz
Definicion 7.1.6. Sea A ∈Mm×n, se llama transpuesta de A y se denota por At a la matriz
resultante de cambiar, ordenadamente, las filas por las columnas de la matriz A de tal manera,
que si llamamos A = (aij) y At = (a′ij) tenemos:
a′ij = aji, 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n
por lo que si A ∈Mm×n ⇒ At ∈Mn×m.
Ejemplo 7.1.20. Dada la matriz A =
(1 2 3
4 7 2
)entonces At =
1 4
2 7
3 2
Teorema 7.1.2.
(A±B)t = At ±Bt, A,B ∈Mm×n.
(n∑
i=1
Ai
)t
=n∑
i=1
Ati, donde: Ai son matrices del mismo orden, i = 1, n
(At)t = A, A ∈Mm×n.
(λA)t = λAt ; A ∈Mm×n, λ es un escalar
(AB)t = Bt · At, A ∈Mm×n, B ∈Mn×p.
(n∏
i=1
Ai
)t
=
1∏
i=n
Ati, donde: Ai son matrices conformables, i = 1, n
7.1.9. Matriz simetrica
Una matriz cuadrada diremos que es simetrica si y solo si es igual a su transpuesta, en
otras palabras es simetrica respecto a su diagonal principal.
A es simetrica ⇐⇒ A = At
Ejemplo 7.1.21. Las matrices
(5 7
7 4
);
−10 1 2
1√2 −3
2 −3 π
son matrices simetricas
Walter Arriaga D. Matematica Basica 217
7.1.10. Matriz antisimetrica
Una matriz cuadrada sera antisimetrica si y solo si es igual al negativo de su transpuesta.
A es antisimetrica ⇐⇒ A = −At
Los elementos simetricos respecto de la diagonal principal son opuestos y su diagonal son
ceros.
Ejemplo 7.1.22. Dada la matriz A =
(0 5
−5 0
)se tiene que
At =
(0 −55 0
)= (−1)
(0 0
−5 0
)= −A
entonces A es antisimetrica.
Observacion 7.1.1. Todos los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimetrica
son iguales a cero y los elementos simetricos respecto a la diagonal principal son opuestos o
en forma equivalente: aij = −aji
Teorema 7.1.3. Toda matriz cuadrada se puede escribir como la adicion de una matriz
simetrica y otra antisimetrica
Demostracion
Observe las matrices A+At y A−At. Veamos que:
(A+At)t = At + (At)t = At +A = A+At ⇒ A+At es simetrica
(A−At)t = At − (At)t = At −A = −(A−At) ⇒ A−At es antisimetrica
y como: A =A+At
2︸ ︷︷ ︸simetrica
+A−At
2︸ ︷︷ ︸antisimetrica
podemos expresar la matriz A como una adicion de una matriz simetrica y otra antisimetrica.
7.1.11. Matriz involutiva
Una matriz cuadrada es involutiva si y solo si su cuadrado es igual a la identidad, es decir:
A2 = I.
Ejemplo 7.1.23. Dada la matriz A =
(−1 −10 1
). Veamos:
A2 = A.A =
(−1 −10 1
)(−1 −10 1
)=
(1 0
0 1
)= I entonces A2 = I ⇔ A es involutiva.
218 Matematica Basica Walter Arriaga D.
7.1.12. Matriz nilpotente
Una matriz cuadrada A se dice nilpotente de ındice k si Ak = Θ; donde Θ es una matriz
nula; ademas Ak−1 6= Θ.
Ejemplo 7.1.24. Dada la matriz A =
1 1 3
5 2 6
−2 −1 −3
. Veamos:
A2 = A.A =
1 1 3
5 2 6
−2 −1 −3
1 1 3
5 2 6
−2 −1 −3
=
0 0 0
3 3 9
−1 −1 −3
A3 = A.A =
1 1 3
5 2 6
−2 −1 −3
0 0 0
3 3 9
−1 −1 −3
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Entonces A es una matriz nilpotente de ındice de nilpotencia 3.
7.1.13. Matriz idempotente
Una matriz cuadrada A se llama idempotente si y solo si A2 = A
Ejemplo 7.1.25. Veamos la matriz A =
(3 2
−3 −2
), donde:
A2 = A.A =
(3 2
−3 −2
)(3 2
−3 −2
)=
(3 2
−3 −2
), obteniendose que A2 = A
luego diremos que A es una matriz indepotente.
7.1.14. Matriz conjugada
Sean a y b numeros reales e i =√−1; la expresion z = a + bi representa un numero
conplejo. Los numeros complejos de la forma a + bi y a − bi se llaman conjugados y cada
uno de ellos es conjugado del otro. Si z = a + bi, su complejo conjugado se representa por
z = a+ bi.
Sean z1 = a+ bi y z2 = z1 = a− bi; entonces, z2 = z1 = a− bi = a+ bi, es decir, el conjugado
del conjugado de un numero complejo z es el mismo.
Si z1 = a+ bi y z2 = c+ di se tiene
z1+ z2 = (a+ c)+ (b+d)i y z1 + z2 = (a+ c)− (b+d)i = (a− bi)+ (c−di) = z1+ z2,
es decir, el conjugado de la suma de dos numeros complejos es igual a la suma de los
conjugados.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 219
z1 ·z2 = (ac−bd)+(ad+bc)i y z1 · z2 = (ac−bd)−(ad+bc)i = (a−bi)(c−di) = z1 ·z2,esto es, el conjugado del producto de dos numeros complejos es igual al producto de los
conjugados.
Sea A una matriz cuyos elementos son numeros complejos; la matriz obtenida a partir
de A sustituyendo cada elemento por su conjugado se llama matriz conjugada de A y se
representa por A (conjugada de A).
Ejemplo 7.1.26. Si A =
[1 + 2i i
3 2− 3i
]sera A =
[1− 2i −i
3 2 + 3i
]
Sean A y B las matrices conjugadas, respectivamente de A y B, y k un escalar cualquiera;
entonces se tiene que:
Teorema 7.1.4.
(A) = A.
(kA) = k · A
(A+B) = A+B.
(AB) = A ·B.
(A)t = (At).
donde la transpuesta de A se denota por At(y se lee transpuesta de la conjugada de A).
Algunas veces se emplea la notacion A∗.
7.1.15. Matriz hermitiana
Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama hermitiana o hermıtica si dicha
matriz es igual a la transpuesta de su matriz conjugada, es decir:
una matriz cuadrada A es hermitiana si y solo si A = At. De donde se concluye que los
elementos de la diagonal principal son necesariamente reales.
Ejemplo 7.1.27. Sea la matriz: A =
(5 4 + i
4− i 1
)⇔ A =
(5 4− i
4 + i 1
)
(A)t =
(5 4 + i
4− 1 1
), como: (A)t = A ⇒ A es una matriz hermitiana.
Propiedades
Sea A = B + iC, donde A es hermitiana y B y C reales, entonces B es simetrica y C
antisimetrica.
En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales.
220 Matematica Basica Walter Arriaga D.
7.1.16. Matriz antihermitiana
Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama antihermitiana si es igual al
negativo de la transpuesta de su matriz conjugada. Es decir:
una matriz cuadrada A es antihermitiana si y solo si A = −At.
De donde se cuncluye que los elementos de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo 7.1.28. Sea A =
(0 4 + 5i
−4 + 5i 0
)⇒ A =
(0 4− 5i
−4− 5i 0
)
⇒ (A)t =
(0 −4− 5i
4− 5i 0
)= (−1)
(0 4 + 5i
−4 + 5i 0
)= −A
luego se dira que la matriz A es antihermitiana.
Teorema 7.1.5. Sea A una matriz cuadrada de elementos complejos.
A+ (A)t es hermitiana.
A− (A)t es antihermitiana.
Teorema 7.1.6. Toda matriz cuadrada de elementos complejos se puede escribir como la
adicion de una matriz hermitiana y otra antihermitiana.
7.1.17. Matriz ortogonal
Sea la matriz cuadrada An = [aij ]. A es ortogonal sı y solo si A−1 = At, A es no singular
Propiedades
A es ortogonal ⇔ AAt = In.
Si A y B son ortogonales ⇒ AB es ortogonal.
Las matrices ortogonales, representan transformaciones en espacios vectoriales reales llamadas
justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfimos internos
del espacio vectorial en cuestion. Suelen representar rotaciones y son usadas extensivamente
en computacion grafica. Por sus propiedades tambien son usadas para el estudio de ciertos
fibrados y en fısica se las usa en la formulacion de ciertas teorıas de campos.
7.1.18. Matriz positiva
Sea A ∈ Rn×n, A es positiva sı, y solo si XAtX > 0 ∀ X ∈ Rn , X 6= 0.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 221
7.2. Determinantes
7.2.1. Algo de historia
Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antesque las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos(Hui, Liu, Jiuzhang Suanshu o Los nueve capıtulos del arte matematico.) fueron los primerosen utilizar las tablas de numeros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conocecon el nombre de Eliminacion gaussiana.
Primeros calculos de determinantes
En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solucion de un sistemade ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardan en 1545 en su obraArs Magna presentado como una regla para la resolucion de sistemas de dos ecuaciones condos incognitas. Esta primera formula lleva el nombre de regula de modo.
El japones Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma epoca queel aleman LeibnizLa aparicion de determinantes de ordenes superiores tardo aun mas de cienanos en llegar. Curiosamente el japones Kowa Seki y el aleman Leibniz otorgaron los primerosejemplos casi simultaneamente.
Leibniz estudio los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de lanotacion matricial, representaba los coeficientes de las incognitas con una pareja de ındices:ası pues escribıa ij para representar ai,j . En 1678 se intereso por un sistema de tres ecuacionescon tres incognitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la formula de desarroyo a lo largo de unacolumna. El mismo ano, escribio un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en elsigno. Leibniz no publico este trabajo, que parecio quedar olvidado hasta que los resultadosfueron redescubiertos de forma independiente cincuenta anos mas tarde
En el mismo periodo, Kowa Seki publico un manuscrito sobre los determinantes, donde sehallan formulas generales difıciles de interpretar. Parece que se dan formulas correctas paradeterminantes de tamano 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes de tamanosuperior. El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de de Japon al mundoexterior. Este aislamiento debido a los shoguns, se ve reflejado en la expulsion de los Jesuitasen 1638.
Determinantes de cualquier dimension
Gabriel Cramer obtuvo las primeras formulas generales de calculo de los determinantes.En 1748, un postumo tratado de algebra de MacLaurin recupera la teorıa de los determinantesal contener la escritura correcta de la solucion de un sistema de cuatro ecuaciones con cuatroincognitas.
En 1750, Cramer formula las reglas generales que permiten la resolucion de un sistema de necuaciones con n incognitas, aunque no ofrece demostracion alguna. Los metodos de calculo delos determinantes son hasta entonces delicados debido a que se basan en la nocion de signaturade una permutacion.
Los matematicos se familiarizan con este nuevo objeto a traves de los artıculos de Bezouten 1764, de Vandermonde en 1771 (que proporciona concretamente el calculo del determinantede la actual Matriz de Vandermonde). En 1772, Laplace establece las reglas de recurrencia
222 Matematica Basica Walter Arriaga D.
que llevan su nombre. En el ano siguiente, Lagrange descubre la relacion entre el calculo delos determinantes y el de los volumenes.
Gauss utiliza por primera vez el termino (( determinante )), en las Disquisitiones arithmeti-cae en 1801. Lo empleaba para lo que hoy dıa denominamos discriminante de una cuadricay que es un caso particular de determinante moderno. Igualmente estuvo cerca de obtener elteorema del determinante de un producto.
Aparicion de la nocion moderna de determinante
Cauchy fue el primero en emplear el termino determinante con su significado moderno. Seencargo de realizar una sıntesis de los conocimientos anteriores y publico en 1812 la formuladel determinante de un producto. Ese mismo ano Binet ofrecio una demostracion para dichaformula. Paralelamente Cauchy establece las bases del estudio de la reduccion de endomorfis-mos.
Con la publicacion de sus tres tratados sobre determinantes en 1841 en la revista Crelle,Jacobi aporta a la nocion una gran notoriedad. Por primera vez presenta metodos sistematicosde calculo bajo una forma algorıtmica. Del mismo modo, hace posible la evaluacion del deter-minante de funciones con instauracion del jacobiano.
El cuadro matricial es introducido por los tabajos de Cayley y Sylvester. Cayley es ademasel inventor de la notacion del determinante mediante dos barras verticales y es quien estable-cio la formula de calculo de la inversa.
La teorıa se ve reforzada por el estudio de determinantes que poseen propiedades desimetrıa particular y por la introduccion del determinante en los nuevos campos de lasmatematicas, como es el caso del wronskiano en las ecuaciones diferenciales lineales.
Definicion 7.2.1. El determinante es una funcion que, aplicada a una matriz cuadrada, la
transforma en un escalar.
Notacion: Sea A una matriz cuadrada, el determinante de la matriz A se representa por |A|o det(A).
Sea Mn×n el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n; entonces la definicion queda
de la siguiente manera.
| | : Mn×n −→ R o C
A −→ |A|
Determinante de una matriz de orden uno
Se llama determinante de una matriz de primer orden, formada por el elemento a11, al
propio elemento a11.
Ejemplo 7.2.1. Sea: A = (3) ⇒ |A| = 3
Walter Arriaga D. Matematica Basica 223
Determinante de una matriz de orden dos
Sea la matriz A =
(a11 a12
a21 a22
)se define el determinante de A como:
|A| = a11 · a22 − a21 · a12
Ejemplo 7.2.2. Sea: A =
(3 2
1 4
)⇒ |A| = 3(4) − 2(1) = 10
Determinante de una matriz de orden tres
Sea: A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
se define el determinante de A como:
|A| = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13)− (a31 a22 a13 + a21 a12 a33 + a32 a23 a11)
Ejemplo 7.2.3. Sea: A =
1 2 3
−1 0 4
−2 1 5
⇒ |A| = (0− 16− 3)− (0− 10 + 4) = −13
7.2.2. Calculo de Determinantes por la Regla de Sarrus
Se aplica la matriz trasladando las dos primeras filas a la parte inferior y se aplican mul-
tiplicaciones en direcciones de las diagonales, conforme se indica.
Sea: A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
entonces:
a21 a22 a23
a11 a12 a13
a31 a32 a33
a21 a22 a23
a11 a12 a13
a11a22a33
a21a32a13
a31a12a23
a13a22a31
a23a32a11
a33a12a21
DI
=|A|
donde:
D = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23
224 Matematica Basica Walter Arriaga D.
I = a13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a33 a12 a21
por lo tanto
|A| = D − I
Ejemplo 7.2.4. Halle el determinante de: A =
1 2 3
−1 0 4
−2 1 5
Solucion:
−1 0 4
1 2 3
−2 1 5
−1 0 4
1 2 3
0
−3
−16
0
4
−10−19−6
=|A|
∴ |A| = (−19) − (−6) = −13
7.2.3. Propiedades Generales
1. Dada una matriz cuadrada A, se tiene que: |A| = |At|.
2. Dadas las matrices cuadradas A y B y del mismo orden se tiene que: |AB| = |A||B|.
3. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas, respectivamente proporcionales;
se dice entonces que su determinante es cero.
4. Si una matriz cuadrada A posee una fila o una columna de ceros, su determinante es
nulo.
5. Si se intercambian dos filas o columnas consecutivas de una matriz cuadrada, su deter-
minante solo cambia de signo.
6. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma una cierta cantidad de veces
otra fila o columna, entonces la matriz resultante tiene el mismo determinante.
7. Si todos los elementos de una fila o una columna se multiplican por un numero k, todo
el determinante queda multiplicado por dicho numero.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 225
8. El determinante de una matriz diagonal, triangular inferior o triangular superior es igual
al producto de multiplicar los elementos de la diagonal principal.
9. El determinante de una matriz antisimetrica de orden impar es igual a cero.
10. El determinante de una matriz hermitiana es un numero real.
11. El determinante de una matriz ortogonal A es +1 o −1. En efecto, de las propiedades del
determinante tenemos det(A · At) = detA detAt = detA detA = (detA)2 = det I = 1,
y por tanto, detA = ±1.
12. Si A es una matriz nilpotente entonces |A| = 0. En efecto, si A es una matriz nilpotente
de orden k, Ak = 0. Por tanto |Ak| = 0, luego |A|k = 0, y en consecuencia |A| = 0.
13. Sea A una matriz de orden n; se cumple que: |kA| = kn|A|; k es una escalar.
14. El determinante de una matriz cuadrada no varıa si a una fila o una columna se le suma
una combinacion lineal de filas o columnas paralelas.
15. Si una fila o columna de la matriz cuadrada A es combinacion lineal de otras paralelas,
su determinante es nulo.
16. Si descomponemos una fila o una columna de una matriz cuadrada en suma de dos,
podemos descomponer el determinante en suma de dos determinantes de la forma:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n...
......
ai1 + a′i1 ai2 + a′i2 · · · ain + a′in...
......
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n...
......
ai1 ai2 · · · ain...
......
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n...
......
a′i1 a′i2 · · · a′in...
......
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Observacion 7.2.1. No confundir con det(A+B) = det(A)+det(B), que esto no se cumple.
Observacion 7.2.2. Teniendo en cuenta la definicion del determinante, se pueden considerar
dos matrices cuadradas especiales mas:
a) Matriz Singular. Una matriz es singular si su determinante es cero; es decir:
detA = 0⇐⇒ A es singular
b) Matriz Regular. Una matriz es regular llamada tambien no singular si su determinante
es diferente de cero; es decir:
detA 6= 0⇐⇒ A es no singular
226 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Ejemplo 7.2.5.� Dada la matriz: A =
(3 4
6 8
)⇒ |A| = 24− 24 = 0
∴ A es singular� Dada la matriz: B =
(4 3
1 5
)⇒ |B| = 20− 3 = 17
∴ B es no singular
7.2.4. Menores complementarios y Cofactores
Considerese la matriz cuadrada de orden n.
A =
a11 a12 · · · a1j · · · a1n
a21 a22 · · · a2j · · · a2n...
ai1 ai2 · · · aij · · · ain...
an1 an2 · · · anj · · · ann
Denotaremos por Mij a la matriz cuadrada de orden (n − 1) que resulta de eliminar la fila i
y la columna j de la matriz A luego:
I. Al determinante de la matriz Mij (|Mij |) se le llamara menor complementario del ele-
mento aij de la matriz A.
II. Se define cofactor del elemento aij denotado por Aij.
Aij = (−1)i+j |Mij |
Ejemplo 7.2.6.
Sea la matriz A =
3 1 4
−1 2 −35√2 −2
el menor de 3 es:
∣∣∣∣∣2 −3√2 −2
∣∣∣∣∣ = −4 + 3√2
el menor de 5 es:
∣∣∣∣∣1 4
2 −3
∣∣∣∣∣ = −3− 8 = −11
el menor de 2 es:
∣∣∣∣∣3 4
5 −2
∣∣∣∣∣ = −6− 20 = −26
el menor de√2 es:
∣∣∣∣∣3 4
−1 3
∣∣∣∣∣ = −9 + 4 = −5
Walter Arriaga D. Matematica Basica 227
Nota:
1. La diferencia entre el menor |Mij | y el cofactor Aij de un elemento aij es solamanete el
signo.
Ası: Aij︸︷︷︸cofactor
= (−1)i+j |Mij |︸ ︷︷ ︸menor
, de donde:
Aij =
|Mij | si i+ j es par
−|Mij | si i+ j es impar
2. El signo que relaciona a Aij y |Mij | del elemento aijde la matriz A se puede hallar en
forma practica mediante el siguiente arreglo:
+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·...
......
Ası el signo de a35 es positivo puesto que (3 + 5) es par.
El signo del elemento a25 es negativo ya que (2 + 5) es impar.
7.2.5. Calculo de Determinantes por Cofactores
Teorema de Laplace:
El determinante de una matriz A = (aij)m×n es igual a la suma de los productos obtenidos
de multiplicar los elementos de cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores:
|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . .+ ainAin =n∑
j=1
aijAij
|A| = a1jA1j + a2jA2j + . . .+ anjAnj =n∑
i=1
aijAij
Ejemplo 7.2.7.
Calcular el determinate de:
A =
3 5 7
−2 0 4
1 −3 2
Solucion:
Elegimos la fila 2, entonces:
228 Matematica Basica Walter Arriaga D.
|A| = −(−2)∣∣∣∣∣5 7
−3 2
∣∣∣∣∣+ 0
∣∣∣∣∣3 7
1 2
∣∣∣∣∣− 4
∣∣∣∣∣3 5
1 −3
∣∣∣∣∣ ⇒ |A| = 2(10 + 21) + 0− 4(−9− 5)
∴ |A| = 118
Nota: Lo mas recomendable es escoger la fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros.
7.3. Otras matrices importantes
Matriz diagonal
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en
la diagonal principal, y estas pueden ser nulas o no.
Toda matriz diagonal es tambien una matriz simetrica, triangular (superior e inferior) y
(si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.
Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.
Operaciones matriciales
Las operaciones de suma y producto de matrices son especialmente sencillas para matrices
diagonales. Vamos a emplear aquı la notacion de diag(a1, . . . , an) para una matriz diagonal
que tiene las entradas a1, . . . , an en la diagonal principal, empezando en la esquina superior
izquierda. Entonces, para la suma se tiene:
diag(a1, . . . , an) + diag(b1, . . . , bn) = diag(a1 + b1, . . . , an + bn)
y para el producto de matrices,
diag(a1, . . . , an) · diag(b1, . . . , bn) = diag(a1b1, . . . , anbn)
La matriz diagonal diag(a1, . . . , an) es invertible si y solo si las entradas a1, . . . , an son todas
distintas de 0. En este caso, se tiene
diag(a1, . . . , an)−1 = diag(a−1
1 , . . . , a−1n )
En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de n×n.
Multiplicar la matriz A por la izquierda con diag(a1, . . . , an) equivale a multiplicar la fila
i-esima de A por ai para todo i. Multiplicar la matriz A por la derecha con diag(a1, . . . , an)
equivale a multiplicar la columna i-esima de A por ai para todo i.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 229
Usos
Las matrices diagonales tienen lugar en muchas areas del algebra lineal. Debido a la sen-
cillez de las operaciones con matrices diagonales y el calculo de su determinante y de sus
valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformacion
lineal como una matriz diagonal.
De hecho, una matriz dada de n × n es similar a una matriz diagonal si y solo si tiene n
autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.
En el cuerpo de los numeros reales o complejos existen mas propiedades: toda matriz
normal es similar a una matriz diagonal (teorema espectral) y toda matriz es equivalente a
una matriz diagonal con entradas no negativas.
Matriz banda
Una matriz cuadrada se le llama Matriz Banda cuando es una matriz donde los valores no
nulos son confinados en un entorno de la diagonal principal, formando una banda de valores
no nulos que completan la diagonal principal de la matriz y mas diagonales en cada uno de
sus costados.
Escrito formalmente, una matriz A = (ai,j)n×n es una matriz banda si todos sus elementos
son cero fuera de una zona diagonal cuyo rango se determina por las constantes k1 y k2:
ai,j = 0 si j < i− k1 o j > i+ k2; k1, k2 ≥ 0
Los valores k1 y k2 son el semiancho de banda izquierdo y derecho respectivamente. El ancho
de banda de una matriz es k1+k2+1, y se puede definir como el numero menor de diagonales
adyacentes con valores no nulos.
Una matriz banda con k1 = k2 = 0 es una matriz diagonal.
Una matriz banda con k1 = k2 = 1 es una matriz tridiagonal; cuando k1 = k2 = 2 se tiene
una matriz pentadiagonal y ası sucesivamente.
Una matriz banda con k1 = k2 = p, dependiendo del numero p, se le puede llamar matriz
p-banda, formalmente se puede definir como
ai,j = 0 si |i− j| > p ; p ≥ 0
De una matriz banda con k1 = 0, k2 = n − 1, se obtiene la definicion de una matriz
triangular inferior. De forma similar, para k1 = n − 1, k2 = 0, se obtiene la definicion de una
matriz triangular superior.
230 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Matriz normal
Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y solo si
A∗A = AA∗
donde A∗ es el conjugado transpuesto de A (tambien llamado hermitiano).
Ejemplo 7.3.1. La matriz
(−i −i−i i
)de orden 2 es normal, debido a que:
(−i −i−i i
)(−i −i−i i
)∗
=
(−i −i−i i
)(i i
i −i
)=
(2 0
0 2
)=
(i i
i −i
)(−i −i−i i
)=
(−i −i−i i
)∗(−i −i−i i
)
Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables.
Matriz definida positiva
Una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que es analoga a los numeros reales
positivos.
Definiciones equivalentes
Sea M una matriz hermitiana cuadrada n× n, se dice definida positiva si cumple con una
(y por lo tanto, las demas) de las siguientes formulaciones equivalentes:
1. Para todos los vectores no nulos z ∈ Cn tenemos que z∗Mz > 0.
Notese que z∗Mz es siempre real.
2. Todos los autovalores λi de M son positivos. (Recordamos que los autovalores de una
matriz hermitiana o en su defecto, simetrica, son reales.)
3. La funcion 〈x,y〉 = x∗My define un producto interno en Cn.
4. Todos los menores principales de M son positivos. O lo que es equivalente; todas las
siguientes matrices tienen determinantes positivo.
la superior izquierda de M de dimension 1× 1
la superior izquierda de M de dimension 2× 2
la superior izquierda de M de dimension 3× 3
· · · · · ·
la superior izquierda de M de dimension (M − 1)× (M − 1)
Walter Arriaga D. Matematica Basica 231
M en sı misma
Analogamente, si M es una matriz real simetrica, se reemplaza Cn por Rn, y la conjugada
transpuesta por la transpuesta.
Propiedades
Toda matriz definida positiva es inversible (su determinante es positivo), y su inversa es
definida positiva.
Si M es una matriz definida positiva y r > 0 es un numero real, entonces rM es definida
positiva.
SiM y N son matrices definidas positivas, entonces la sumaM+N , el productoMNM y
NMN son definidas positivas, ademas si MN = NM , entonces MN es tambien definida
positiva.
Toda matriz definida positiva M , tiene al menos una matriz raız cuadrada N tal que
N2 = M .
Observacion 7.3.1. La matriz hermitiana M se dice:
definida negativa si x∗Mx < 0 para todos los vectores x ∈ Kn no nulos.
semidefinida positiva si x∗Mx ≥ 0 para todo x ∈ Kn.
semidefinida negativa si x∗Mx ≤ 0 para todo x ∈ Kn.
Una matriz hermitiana se dice indefinida si no entra en ninguna de las clasificaciones
anteriores.
Observacion 7.3.2. Caso no hermitiano. Una matriz real M puede tener la propiedad
xTMx > 0 para todo vector real no nulo sin ser simetrica. La matriz
[1 1
0 1
]es un ejem-
plo. En general, tendremos xTMx > 0 para todo vector real no nulo x si y solo si la matriz
simetrica (M +MT )/2, es definida positiva.
Matriz permutacion
La matriz permutacion es la matriz cuadrada con todos sus n × n elementos iguales a 0,
excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1. De acuerdo a esta
definicion existen n! matrices de permutacion distintas, de las cuales una mitad corresponde
a matrices de permutacion par (con el determinante igual a 1) y la otra mitad a matrices de
permutacion impar (con el determinante igual a -1).
232 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Para n = 3 se tiene:
Matrices de permutacion par:1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
Matrices de permutacion impar:
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 1 0
1 0 0
0 0 1
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Puede notarse que las matrices de permutacion conforman un grupo de orden n! respecto
al producto.
Propiedades
El elemento neutro del grupo es la matriz identidad.
El elemento inverso de cada elemento del grupo de matrices de permutacion es la matriz
traspuesta correspondiente.
Cada elemento del grupo de matrices de permutacion es una matriz ortogonal.
El producto de matrices de permutacion par siempre genera una matriz de permutacion
par.
El producto de matrices de permutacion impar siempre genera una matriz de per-
mutacion par.
El producto de matrices de permutacion de paridad distinta siempre genera una matriz
de permutacion impar.
Observe que las matrices de permutacion par conforman un semigrupo y que ademas el
grupo de matrices de permutacion no es conmutativo.
Cada elemento del grupo de matrices de permutacion fuera del semigrupo es una matriz
simetrica.
Jacobiano
El jacobiano es una abreviacion de la matriz jacobiana y su determinante, el determinante
Jacobiano. Son llamados ası en honor al matematico Carl Gustav Jacobi.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 233
La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden
de una funcion. Una de las aplicaciones mas interesantes de esta matriz es la posibilidad de
aproximar linealmente a la funcion en un punto. En este sentido, el Jacobiano representa la
derivada de una funcion multivariable.
Supongamos F : Rn −→ Rm es una funcion que va del espacio euclidiano n-dimensional
a otro espacio euclideano m-dimensional. Esta funcion esta determinada por m funciones
reales: y1(x1, . . . , xn), . . . , ym(x1, . . . , xn). Las derivadas parciales de estas (si existen) pueden
ser organizadas en una matriz m por n, la matriz Jacobiana de F :
∂y1∂x1
· · · ∂y1∂xn
.... . .
...∂ym∂x1
· · · ∂ym∂xn
Esta matriz es denotada por JF (x1, . . . , xn) o como∂(y1, . . . , ym)
∂(x1, . . . , xn).
Cuadrado latino
Un cuadrado latino es una matriz de n× n elementos, en la que cada casilla esta ocupada
por uno de los n sımbolos de tal modo que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en
cada columna y en cada fila.
Las siguientes matrices son cuadrados latinos:
1 2 3
2 3 1
3 1 2
a b d c
b c a d
c d b a
d a c b
Los cuadrados latinos se dan como una Tabla de multiplicar (Tabla Cayley) de quasigrupos.
Estos tienen su aplicacion en el diseno de experimentos.
El nombre de Cuadrados Latinos se origina con Leonhard Euler quien utilizo caracteres
Latinos como sımbolos.
Un cuadrado latino se dice que esta reducido (o normalizado o de forma estandarizada) si
la primera fila y la primera columna estan en orden natural. Por ejemplo, el primer cuadrado
esta reducido, porque la primera fila y la primera columna son 1, 2, 3.
Es posible hacer un cuadrado latino permutando (reordenando) las filas y las columnas.
Representacion por un Arreglo Ortogonal
Si cada entrada de un cuadrado latino de n × n se escribe como una tripleta (f, c, s)
donde f es la fila, c la columna y s el sımbolo (para nuestro caso un numero), obtenemos n2
234 Matematica Basica Walter Arriaga D.
tripletas llamado arreglo ortogonal del cuadrado. Por ejemplo, para el primer cuadrado latino
de nuestros ejemplos, el arreglo ortogonal sera ası
{(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 3, 2)}
donde, por ejemplo, la tripleta (2,3,1) representa que el valor en la fila 2 columna 3 es 1.
La representacion de un cuadrado latino puede ser escrita en terminos del arreglo ortogonal
quedando ası:
Existen n2 tripletas de la forma (f, c, s), donde 1 ≤ f, c, s ≤ n.
Todos los pares (f, c) son diferentes, todos los pares (f, s) son diferentes, y todos los
pares (c, s) son diferentes.
La representacion por arreglos ortogonales muestra que las filas, columnas y sımbolos juegan
un papel muy similar, esto estara un poco mas claro conforme nos adentremos en el tema.
Muchas operaciones sobre un Cuadrado latino produce otro Cuadrado latino (por ejemplo,
alternar filas).
Si permutamos las filas, permutamos las columnas, y permutamos los sımbolos de un
Cuadrado latino obtenemos un nuevo Cuadrado latino que decimos que es isotopico del
primero. El isotopismo es una relacion de equivalencia, en base a esto se dice que todos
los Cuadrados latinos estan divididos en subgrupos, llamados clases isotopicas, segun esto dos
Cuadrados de la misma clase se dice que son isotopicos, y dos de clases diferentes son no
isotopicos.
Otro tipo de operacion es simple de explicar usando la representacion de estos por arreglos
ortogonales. Si reorganizamos consciente y sistematicamente los tres elementos de cada tripleta
(f, c, s) por (c, f, s) lo cual corresponde a una transposicion del cuadrado (reflejado en la
diagonal principal), o podemos remplazar cada tripleta (f, c, s) por (c, s, f), lo que es una
operacion mas complicada. Todas juntas nos dan 6 posibilidades, incluida no hacer nada,
dandonos 6 Cuadrados Latinos llamados conjugados del cuadrado original.
Finalmente, podemos combinar estas dos operaciones equivalentes: Dos Cuadrados Latinos
son paratopicos si uno de ellos es conjugado del otro. Esto es nuevamente una relacion de
equivalencia, con la clase de equivalencia principal llamada Clase Principal, especies o clase
paratopica. Cada clase contiene 6 clases isotopicas.
El popular rompecabezas Sudoku es un caso especial de Cuadrados Latinos; toda solucion
de un Sudoku es un Cuadrado Latino. Un Sudoku impone una restriccion adicional a los
subgrupos de 3× 3, estos solo deben contener los dıgitos del 1 al 9 (en la version estandar).
El rompecabezas conocido como Diamante 16 ilustra un concepto generalizado de la or-
togonalidad de los Cuadrados Latinos: El Cuadrado Ortogonal (A. E. Brouwer, 1991).
Walter Arriaga D. Matematica Basica 235
7.4. Operaciones Elementales
Se llaman operaciones elementales o transformaciones elementales por filas o columnas
sobre una matriz a las siguientes operaciones:
Operaciones elementales con filas
Dada la matriz A ∈ Mm×n, cuyas filas son F1, F2, . . . , Fm. Las operaciones elementales
con filas son:
FijA : Intercambia dos filas de A.
Fi(λ) : Multiplica la fila Fi de A por un escalar λ 6= 0.
F ji (λ) : Multiplica la fila Fi de A por un escalar λ 6= 0 y luego suma a la fila Fj . Esta
operacion se representa por el vector fila λFi + Fj .
Operaciones elementales con columnas
Dada la matriz A ∈ Mm×n, cuyas columnas son C1, C2, . . . , Cm. Las operaciones elemen-
tales con columnas son:
CijA : Intercambia dos columnas de A.
Ci(λ) : Multiplica la columna Ci de A por un escalar λ 6= 0.
Cji (λ) : Multiplica la columna Ci de A por un escalar λ 6= 0 y luego suma a la columna
Cj. Esta operacion se representa por el vector columna λCi + Cj .
Ejemplo 7.4.1. Sea la matriz A =
3 −1 9 2
−2 −5 1 −14 7 −8 0
, realicemos las siguientes opera-
ciones:
3 −1 9 2
−2 −5 1 −14 7 −8 0
F12−−−−−−−−→
−2 −5 1 −13 −1 9 2
4 7 −8 0
3 −1 9 2
−2 −5 1 −14 7 −8 0
C24−−−−−−−−→
3 2 9 −1−2 −1 1 −54 0 −8 7
3 −1 9 2
−2 −5 1 −14 7 −8 0
F2(5)−−−−−−−−−→
3 −1 9 2
−10 −25 5 −54 7 −8 0
236 Matematica Basica Walter Arriaga D.
3 −1 9 2
−2 −5 1 −14 7 −8 0
C3(−2)−−−−−−−−−−→
3 −1 −18 2
−2 −5 −2 −14 7 16 0
3 −1 9 2
−2 −5 1 −14 7 −8 0
F 31 (−2)−−−−−−−−−−→
3 −1 9 2
−2 −5 1 −1−2 9 −26 −4
3 −1 9 2
−2 −5 1 −14 7 −8 0
C23 (10)−−−−−−−−−−→
3 89 9 2
−2 45 1 −14 −73 −8 0
7.4.1. Matriz escalonada
Una matriz A ∈ Mm×n, de la forma:
A =
1 a12 a13 a14 a15 · · · a1n
0 0 1 a24 a25 · · · a2n
0 0 0 0 1 · · · a3n
0 0 0 0 0 · · · 0...
......
...... · · · ...
0 0 0 0 0 · · · 0
con r filas no nulas y s filas nulas. Llamaremos pivote de una fila (o columna) de A al primer
elemento no nulo de dicha fila (o columna), si lo hay. La matriz A se dice que es escalonada
por filas si verifica las siguientes condiciones:
Todas las filas nulas estan en la parte inferior de la matriz.
El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, esta a la derecha del pivote de
la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).
Ademas se dice que es escalonada reducida por filas si cumplen las siguientes condiciones:
El pivote de cada fila no nula es 1.
En cada fila, el pivote es el unico elemento no nulo de su columna
De igual forma se puede definir la matriz escalonada y escalonada reducida por columnas.
Ejemplo 7.4.2. Matrices escalonadas:1 −3 2 5
0 1 −7 4
0 0 1 10
,
1 2 0
0 1 −10 0 0
,
0 1 2 5 −70 0 1 −7 2
0 0 0 0 1
Walter Arriaga D. Matematica Basica 237
Ejemplo 7.4.3. Matrices escalonadas reducidas:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
,
1 0 0
0 1 0
0 0 0
,
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
Observacion 7.4.1.
Toda matriz puede llevarse por operaciones elementales de filas a la forma escalonada.
El algoritmo para hacerlo se llama metodo de Gauss o del pivote.
La forma escalonada de una matriz no es unica.
7.4.2. Matrices equivalentes
Dos matrices A y B se denominan equivalentes si una de ellas se deduce de la otra mediante
una susecion finita de transformaciones elementales de lınea (fila o columna).
El siguiente ejemplo nos muestra que toda matriz de orden m×n puede ser reducida mediante
operaciones elementales fila (columna) a una matriz en forma escalonada por filas (columnas).
Ejemplo 7.4.4. Reducir a la forma escalonada por filas la matriz: A =
2 5 3
1 2 2
3 4 1
2 3 2
Solucion
A =
2 5 3
1 2 2
3 4 1
2 3 2
F12−−−−→
1 2 2
2 5 3
3 4 1
2 3 2
F 21 (−2)−−−−−−→
1 2 2
0 1 −13 4 1
2 3 2
F 31 (−3)−−−−−−→
1 2 2
0 1 −10 −2 −52 3 2
F 41 (−2)−−−−−→
1 2 2
0 1 −10 −2 −50 −1 −2
F 32 (2)−−−−−→
1 2 2
0 1 −10 0 −70 −1 −2
F 42 (1)−−−−−→
1 2 2
0 1 −10 0 −70 0 −3
F3(−1/7)−−−−−−−→
1 2 2
0 1 −10 0 1
0 0 −3
F 43 (3)−−−−−→
1 2 2
0 1 −10 0 1
0 0 0
= B
Observacion 7.4.2. Una matriz cuadrada A ∈ Mn×n escalonada es una matriz triangular
superior, pero no todas las matrices triangulares superiores son matrices escalonadas.
238 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Anteriormente hemos visto que una matriz triangular era inversible si y solo si todos los
terminos de la diagonal principal no son cero; esta caracterıstica es tambien valida para las
matrices escalonadas cuadradas.
Veremos a continuacion las ventajas que ofrece la reduccion de una matriz cuadrada en otra
que tenga forma escalonada.
7.4.3. Rango de una matriz
El rango de una matriz es el mayor de los ordenes de los menores no nulos que podemos
encontrar en la matriz. Por tanto, el rango no puede ser mayor al numero de filas o de columnas.
Tambien se define el rango de una matriz como el numero maximo de filas (o columnas)
linealmente independientes. esta segunda definicion nos va a permitir relacionar el concepto
de rango con conceptos relativos a espacios vectoriales.
El calculo del rango de una matriz es una cuestion importante a la hora de estudiar sistemas
de ecuaciones lineales. Ademas en teorıa de control, el rango de una matriz se puede usar para
determinar si un sistema lineal es controlable u observable.
A continuacion vamos a explicar como calcular rangos de matrices reales y veremos de que
modo podemos utilizar esta informacion para aplicarla a los espacios vectoriales.
Definicion 7.4.1. El rango de una matriz es igual al numero de filas no nulas que quedan en
la ultima interacion de las sucesivas transformaciones elementales que se hacen con la matriz.
Se deduce que para hallar el rango de una matriz es suficiente transformarla a su forma
escalonada. Como dos matrices equivalentes tienen el mismo rango, el rango de dicha matriz
sera igual al rango de la matriz escalonada. Si designamos por r el numero de filas no nulas
de la matriz escalonada, entonces el rango de la matriz se denota:
ρ(A) = r
Ejemplo 7.4.5. Hallar el rango de la matriz A =
0 2 −41 4 −53 1 7
0 1 −22 3 0
Solucion: Realizando sucesivamente las transformaciones elementales tendremos:
A =
0 2 −41 4 −53 1 7
0 1 −22 3 0
F12−−−−→
1 4 −50 2 −43 1 7
0 1 −22 3 0
F 31 (−3) y F 5
1 (−2)−−−−−−−−−−−−−−→
1 4 −50 2 −40 −11 22
0 1 −20 −5 10
Walter Arriaga D. Matematica Basica 239
F2(1/2)−−−−−−→
1 4 −50 1 −20 −11 22
0 1 −20 −5 10
F 32 (11) , F 5
2 (5) , F 42 (−1)−−−−−−−−−−−−−−−−−→
1 4 −50 1 −20 0 0
0 0 0
0 0 0
= B
La ultima matriz escalonada B tiene 2 filas no nulas, luego:
ρ(B) = ρ(A) = 2
Ejemplo 7.4.6. Hallar el rango de la matriz A =
25 31 17 43
75 94 53 132
75 94 54 134
25 32 20 48
Solucion: Por el metodo de las transformaciones elementales se tiene:
25 31 17 43
75 94 53 132
75 94 54 134
25 32 20 48
≈
25 31 17 43
0 1 2 3
0 1 3 5
0 1 3 5
≈
25 31 17 43
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 1 2
≈
25 31 17 43
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 0
La ultima matriz escalonada tiene tres filas no nulas, por tanto
ρ(A) = 3
7.5. Matriz Inversa
Si A ∈ Mn×n, se dice que A es invertible o tiene inversa si existe una matriz B ∈ Mn×n
tal que AB = BA = I. La matriz B recibe el nombre de matriz inversa de A y se denota por
A = B−1, analogamente la matriz A es la inversa de B y se expresa por A = B−1. Entonces
se tiene:
AA−1 = A−1A = I (7.2)
Propiedades:
Si A y B son matrices cuadradas invertibles de orden n, entonces:
⊲ (A−1)−1 = A
⊲ (λA)−1 = λ−1 ·A−1; λ es escalar.
⊲ (AB)−1 = B−1A−1
240 Matematica Basica Walter Arriaga D.
⊲ (At)−1 = (A−1)t
Teorema 7.5.1. Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si es una matriz no singular, en
tal caso se dice que la matriz es invertible.
Teorema 7.5.2. Si una matriz cuadrada A es invertible entonces su inversa es unica.
Demostracion. Supongamos que B y C son dos matrices inversas de A. Debemos probar que
B = C.
En efecto. Si B es matriz inversa de A entonces AB = BA = I, ademas C es matriz inversa
de A entonces AC = CA = I. Tambien se cumple por la ley asociativa de la multiplicacion de
matrices que B(AC) = (BA)C. Entonces:
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C
de donde se obtiene que B = C.
7.5.1. Matriz de cofactores
Sea la matriz
A =
a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a1n...
......
. . ....
an1 an2 an3 · · · ann
Si Aij es el cofactor del elemento aij , entonces la matriz cofact(A) definida como:
cofact(A) =
A11 A12 A13 · · · A1n
A21 A22 A23 · · · A1n
......
.... . .
...
An1 An2 An3 · · · Ann
se le conoce como matriz de cofactores, donde:
Aij = (−1)i+j |Mij |
y Mij es la matriz cuadrada de orden (n − 1) que resulta de eliminar la fila i y la columna j
de la matriz A
Ejemplo 7.5.1. Dada la matriz: A =
1 2 3
3 2 5
−1 4 −3
. Hallar la matriz cofact(A)
Solucion
Walter Arriaga D. Matematica Basica 241
A11 = (−1)1+1
[2 5
4 −3
]= −26
A12 = (−1)1+2
[3 5
−1 −3
]= 4
A13 = (−1)1+3
[3 2
−1 4
]= 14
A21 = (−1)2+1
[2 3
4 −3
]= 18
A22 = (−1)2+2
[1 3
−1 −3
]= 0
A23 = (−1)2+3
[1 2
−1 4
]= −6
A31 = (−1)3+1
[2 3
2 5
]= 4
A32 = (−1)3+2
[1 3
3 5
]= 4
A33 = (−1)3+3
[1 2
3 2
]= −4
luego la matriz de cofactores es: cofact(A) =
−26 4 14
18 0 −64 4 −4
7.5.2. Adjunta de una matriz
La Adjunta de una matriz cuadrada A es la traspuesta de la matriz que se obtiene al
sustituir cada elemento aij por su cofactor Aij .
La Adjunta de A se denota por: Adj(A).
Adj(A) = [cofact(A)]t
Ejemplo 7.5.2. Sea la matriz: A =
1 2 3
3 2 5
−1 4 −3
Solucion
Por el ejemplo anterior se tiene que la matriz de cofactores esta dada por:
cofac(A) =
−26 4 14
18 0 −64 4 −4
entonces la adjunta de A estarıa dada por:
Adj(A) =
−26 18 4
4 0 4
14 −6 −4
(7.3)
242 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Teorema 7.5.3. Sea A una matriz invertible, entonces la matriz inversa esta dada por:
A−1 =Adj(A)
|A| (7.4)
y la adjunta de una matriz estarıa por:
Adj(A) = |A|A−1 (7.5)
Ejemplo 7.5.3. Hallar la matriz inversa de A =
1 2 3
3 2 5
−1 4 −3
De (7.3) se tiene que: AdjA =
−26 18 4
4 0 4
14 −6 −4
.
Ademas
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3
3 2 5
−1 4 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣= 24, de donde:
A−1 =1
24
−26 18 4
4 0 4
14 −6 −4
7.5.3. Matrices elementales
Una matriz cuadrada E de orden n × n se llama matriz elemental si se puede obtener
a partir de la matriz identidad, In, de orden n× n mediante una sola operacion fundamental
con filas.
Notacion: Una matriz elemental se denota por E, o por Fij , λFi, Fj + λFi segun la
forma en que se obtuvo de I.
Ejemplo 7.5.4. Veamos tres matrices elementales
Matriz obtenida multiplicando la segunda fila de I por 5.1 0 0
0 1 0
0 0 1
F2(5)−−−−−→
1 0 0
0 5 0
0 0 1
= 5F2
Matriz obtenida multiplicando la primera fila de I por −3 y sumandola a la tercera fila.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
F 31 (−3)−−−−−−→
1 0 0
0 1 0
−3 0 1
= F3 − 3F1
Walter Arriaga D. Matematica Basica 243
Matriz obtenida intercambiando la segunda y tercera fila de I.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
F23−−−−→
1 0 0
0 0 1
0 1 0
= F23
Considere los siguientes tres productos, con λ 6= 0
1 0 0
0 λ 0
0 0 1
1 0 0
0 1/λ 0
0 0 1
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(7.6)
1 0 0
0 1 0
λ 0 1
1 0 0
0 1 0
−λ 0 1
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(7.7)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 0 1
0 1 0
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(7.8)
Las ecuaciones 7.6, 7.7 y 7.8 sugieren que toda matriz elemental es invertible y que su
inversa es del mismo tipo (vea tabla 7.1).
Matriz ele-
mental tipo
E
Muliplicar
A por la
izquierda
Representacion
simbolica
Multiplicar
por la
izquierda,
E−1
Representacion
simbolica
Multiplicacion
Multiplique la
fila i de A por
λ 6= 0
λFi
Multiplique la
fila i de A por
1/λ
1
λFi
Suma
Multiplique la
fila i de A por λ
y sume a la fila
j
Fj + λFi
Multiplique la
fila i de A por
−λ y sume a la
fila j
Fj − λFi
PermutacionIntercambie las
filas i y jFij
Intercambie las
filas i y jFij
Cuadro 7.1: Matrices elementales
Teorema 7.5.4. Toda matriz elemental es invertible. El inverso de una matriz elemental es
una matriz del mismo tipo.
Nota: El inverso de una matriz elemental se puede encontrar por inspeccion. No es nece-
sario hacer calculos.
244 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Teorema 7.5.5. Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matrices
elementales.
Ejemplo 7.5.5. Verificar que la matriz A =
2 4 6
4 5 6
3 1 −2
es invertible y expresarla como un
producto de matrices elementales.
7.5.4. Metodo de Gauss Jordan
El metodo de Gauss Jordan consiste en lo siguiente:� Dada la matriz cuadrada A de orden n× n, se construye la matriz rectangular de orden
n× 2n llamada matriz aumentada (A | I).� Se utiliza las transformaciones elementales por filas para poner la matriz A a su forma
escalonada reducida, obteniendose la matriz (I |B).� La matriz inversa en este caso es B = A−1.
Observacion 7.5.1. Si uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz escalonada
reducida E en (E |B) es cero, entonces la matriz A no es invertible
Ejemplo 7.5.6. Determinar si la matriz A =
2 4 6
4 5 6
3 1 −2
es invertible. Si ası lo fuera,
calcular su inversa.
Solucion
Primero efectuamos las operaciones con filas para reducir A a una matriz escalonada E. Para
ello formamos la matriz (A | I).
(A|I) =
2 4 6 | 1 0 0
4 5 6 | 0 1 0
3 1 −2 | 0 0 1
=
1 2 3 | 12 0 0
4 5 6 | 0 1 0
3 1 −2 | 0 0 1
=
1 2 3 | 12 0 0
0 −3 −6 | −2 1 0
0 −5 −11 | −32 0 1
=
1 2 3 | 1
2 0 0
0 1 2 | 23 −1
3 0
0 −5 −11 | −32 0 1
=
1 0 −1 | −5
623 0
0 1 2 | 23 −1
3 0
0 0 −1 | 116 −5
3 1
=
1 0 −1 | −56
23 0
0 1 2 | 23 −1
3 0
0 0 1 | −116
53 −1
=
1 0 0 | −83
73 −1
0 1 0 | 133 −11
3 2
0 0 1 | −116
53 −1
= (I|B)
Walter Arriaga D. Matematica Basica 245
como A se redujo a I, se tiene que:
B = A−1 =
−83
73 −1
133 −11
3 2
−116
53 −1
=
1
6
−16 14 −626 −22 12
−11 10 −6
7.6. Criptografıa
7.6.1. Introduccion
La criptografıa es la ciencia que se encarga de disenar metodos para mantener confidencial
a la informacion que es enviada por un medio inseguro.
Casi todos los medios de comunicacion son inseguros, es decir, un espıa siempre puede
intervenir una comunicacion, y en tal caso conocer su contenido, alterar el contenido, borrar
el contenido, etc.
La criptografıa entonces usa un algoritmo de cifrado con una clave. Para que el emisor de
un mensaje pueda estar seguro que este sea confidencial, y solo el receptor autorizado pueda
saber en contenido aplicando un metodo de descifrado con su respectiva clave.
La criptografıa tiene una amplia historia, ha existido desde los inicios de la civilizacion.
7.6.2. Sistema Criptografico usando Matrices
Sea A una matriz invertible n×n, y M un mensaje con forma de matriz n×m. Entonces,
C = AM es el mensaje cifrado. Para poder descifrar el mensaje solo multiplicamos por la
matriz inversa A−1 a C para obtener el mensaje original.
A−1C = A−1AM = IM = M
Ejemplo 7.6.1. Proceso de preparacion. Para cifrar un mensaje se hace lo siguiente: si el
mensaje original es “CULTURA PAZ Y EDUCACION”
El primer paso es codificar el mensaje con numeros de acuerdo a la siguiente tabla:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
– A B C D E F G H I J K L M N N O P Q R S
21 22 23 24 25 26 27
T U V W X Y Z
De tal forma que el mensaje queda codificado como:
C U L T U R A – P A Z – E D U C A C I O N
3 22 12 21 22 19 1 0 17 1 27 0 5 4 22 3 1 3 9 16 14
246 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Ejemplo 7.6.2. Sean: A =
[−2 3
−1 1
], C =
[−45 39 47 3 19 −15 −11−23 9 14 1 0 −8 −6
]
El mensaje M fue cifrado con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encuentre el
mensaje M
Solucion:
Como A =
[−2 3
−1 1
], entonces A−1 =
[1 −31 −2
], ahora como M = A−1C se tiene que:
M =
[1 −31 −2
] [−45 39 47 3 19 −15 −11−23 9 14 1 0 −8 −6
]=
[24 12 5 0 19 9 7
1 21 19 1 19 1 1
]
luego el mensaje se lee de la siguiente manera:
24 1 12 21 5 19 0 1 19 19 9 1 7 1
por lo tanto el messaje M sera: WALTER–ARRIAGA
7.7. Sistemas de Ecuaciones Lineales
7.7.1. Algo de historia
La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracter-izo por la invencion gradual de sımbolos y la resolucion de ecuaciones. Dentro de esta faseencontramos un algebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada algebra geometrica,rica en metodos geometricos para resolver ecuaciones algebraicas.
La introduccion de la notacion simbolica asociada a Viete (1540-1603), marca el inicio deuna nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollode dicha notacion. En este momento, el algebra se convierte en la ciencia de los calculossimbolicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teorıade los “calculos con cantidades de distintas clases” (calculos con numeros racionales enteros,fracciones ordinarias, raıces cuadradas y cubicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).
Para llegar al actual proceso de resolucion de la ecuacion ax+ b = c han pasado mas de3.000 anos.
Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid −1,650 a.c. y el deMoscu −1,850 a.c.) multitud de problemas matematicos resueltos. La mayorıa de ellos son detipo aritmetico y respondıan a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encon-tramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningun objetoconcreto. En estos, de una forma retorica, obtenıan una solucion realizando operaciones conlos datos de forma analoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.
Las ecuaciones mas utilizadas por los egipcios eran de la forma:x+ ax = bx+ ax+ bx = 0donde a, b y c eran numeros conocidos y x la incognita que ellos denominaban aha o monton.
Una ecuacion lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente:
“Un monton y un septimo del mismo es igual a 24”.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 247
En notacion moderna, la ecuacion serıa: x+1
7x = 24.
La solucion la obtenıan por un metodo que hoy conocemos con el nombre de “metodode la falsa posicion” o “regula falsi”. Consiste en tomar un valor concreto para la incognita,probamos con el y si se verifica la igualdad ya tenemos la solucion, si no, mediante calculosobtendremos la solucion exacta.
Los babilonios (el mayor numero de documentos corresponde al periodo 600 a.c. a 300d.c.) casi no le prestaron atencion a las ecuaciones lineales, quizas por considerarlas demasiadoelementales, y trabajaron mas los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundogrado. Los babilonios llamaban a las incognitas con palabras tales como longitud, anchura,area, o volumen , sin que tuvieran relacion con problemas de medida.
Un ejemplo tomado de una tablilla babilonica plantea la resolucion de un sistema deecuaciones en los siguientes terminos:1/4anchura + longitud = 7manoslongitud+ anchura = 10manos
Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solucionpodıa ser: anchura = 20, longitud = 30. Para comprobarlo utilizaban un metodo parecido alde eliminacion. En nuestra notacion, serıa:y + 4x = 28y + x = 10
restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18, es decir, x = 6 e y = 4.
Tambien resolvıan sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadratica.
Los matematicos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuandoa Diophante (250 d.c.), no se dedicaron mucho al algebra, pues su preocupacion era comohemos visto, mayor por la geometrıa. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VIun epigrama algebraico que constituye una ecuacion lineal y dice:
“Transeunte, esta es la tumba de Diophante: es el quien con esta sorprendente dis-tribucion te dice el numero de anos que vivio. Su juventud ocupo su sexta parte,despues durante la doceava parte su mejilla se cubrio con el primer vello. Paso aununa septima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco anos despues, tuvo unprecioso nino que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, perecio deuna muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorandole durante cuatroanos. De todo esto, deduce su edad.”
Los griegos resolvıan algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando metodos geometricos.Thymaridas (400 a.c.) habıa encontrado una formula para resolver un determinado sistemade n ecuaciones con n incognitas. Diophante resuelve tambien problemas en los que aparecıansistemas de ecuaciones, pero transformandolos en una ecuacion lineal.
Diophante solo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver prob-lemas y no ecuaciones. Utilizo ya un algebra sincopada como hemos senalado anteriormente.Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolucion de ecuaciones porDiophante es que carece de un metodo general y utiliza en cada problema metodos a vecesexcesivamente ingeniosos.
Los sistemas de ecuaciones aparecen tambien en los documentos indios. No obstante, nollegan a obtener metodos generales de resolucion, sino que resuelven tipos especiales de ecua-ciones.
El libro El arte matematico, de autor chino desconocido (siglo III a.c.), contiene algunosproblemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del metodo de las
248 Matematica Basica Walter Arriaga D.
matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale aresolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho metodo matricial.
Los primeros documentos matematicos que existen (datan del siglo III d.c.) son los Sul-vasutras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos. Enestos aparece el siguiente problema:
“Hallar el lado de un rectangulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su area es igualal area de un cuadrado dado.”
Lo resolvıan utilizando el metodo de la falsa posicion, como los egipcios.Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, como resolver
ecuaciones lineales. La incognita la representaba por la abreviatura ya , y las operaciones conla primera sılaba de las palabras.
Dada la ecuacion ax+ b = cx + d, la solucion vendra dada dividiendo la diferencia de losterminos conocidos entre la diferencia de los coeficientes de los desconocidos, esto es,
x =d− b
a− c
Estos metodos pasaron a los arabes que los extendieron por Europa. Al algebrista Abu-Kamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la solucion de ecuaciones linealespor simple y doble falsa posicion.
7.7.2. Introduccion
El objetivo general de este tema es discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales,
haciendo abstraccion del tipo de problemas que origina su planteamiento.
Discutir un sistema consiste en averiguar si tiene o no tiene solucion y, caso de tenerla,
saber si es unica o si no lo es.
Resolver un sistema es calcular su solucion (o soluciones). Los casos mas sencillos (2 ecua-
ciones con 2 incognitas, 3 ecuaciones con 3 incognitas ...) ya se han estudiado en cursos
anteriores. Aquı, an alizaremos el caso general: cualquier numero de ecuaciones y cualquier
numero de incognitas.
Definicion 7.7.1. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas es un conjunto de
expresiones algebraicas de la forma:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...
......
......
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
(7.9)
donde:
xj son las incognitas, (j = 1, 2, . . . , n).
aij son los coeficientes, (i = 1, 2, . . . ,m), (j = 1, 2, . . . , n).
Walter Arriaga D. Matematica Basica 249
bi son los terminos independientes, (i = 1, 2, . . . ,m).
Cuando n es pequeno, es usual designar a las incognitas con las letras x, y, z, t, . . . Observese
que el numero de ecuaciones no tiene por que ser igual al numero de incognitas. Cuando bi = 0
para todo i, el sistema se llama homogeneo.
Ejemplo 7.7.1. El sistema de ecuaciones
2x+ y − z = 4
x+ y + z = 6
3x− y = 4
se verifica para x = 2, y = 2, z = 2.
7.7.3. Clasificacion de los sistemas de ecuaciones lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales de acuerdo a su posibilidad de solucion pueden ser:
I. Sistema Compatible: Es aquel sistema de ecuaciones que si admite soluciones. Estas a su
vez pueden ser:
a. Sistema Compatible Determinado: Si tienen un numero limitado de soluciones.
b. Sistema Compatible Indeterminado: Si tienen infinitas soluciones.
II. Sistema Incompatible: Es aquel sistema de ecuaciones que no admite solucion alguna.
Ejemplo 7.7.2.
El sistema
x+ 3y = 10
3x+ y = 6, es compatible. Su solucion es {1, 3} y es determinado por
que solo tienen una solucion.
El sistema
x+ 3y = 7
x+ 3y = 10, es incompatible, por que no hay ningun par de valores que
verifiquen las ecuaciones.
El sistema
x− y = 6
3x− 3y = 18, es compatible indeterminado por que tiene infinitas solu-
ciones. {0, 6}, {1, 5}, {1, 7}, {2, 4}, · · · · · · .
Notacion: El sistema de ecuaciones (7.9) se puede escribir en forma matricial de la siguiente
manera:
A.X = B (7.10)
250 Matematica Basica Walter Arriaga D.
donde: A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...
am1 am2 . . . amn
, X =
x1
x2...
xn
y B =
b1
b2...
bm
Si en el sistema (7.9) consideramos las siguientes matrices:
A1 =
a11
a21...
am1
, A2 =
a12
a22...
am2
, . . . . . ., An =
a1n
a2n...
amn
, B =
b1
b2...
bm
.
El sistema se escribira en forma vectorial de la siguiente manera:
A1.X1 +A2.X2 + · · ·+An.Xn = B (7.11)
En esta notacion, las soluciones de un sistema son los elementos de la forma:
S = (s1, s2, . . . , sn) ∈ Rn
y se verifica la siguiente relacion: A1.s1 +A2.s2 + · · · +An.sn = B
Ejemplo 7.7.3. Consideremos el sistema de ecuaciones lineales:
2x− y + z = 6
x+ 4y − 2z = 0
3x− 5y + z = 4
tenemos que A =
2 −1 1
1 4 −23 −5 1
es la matriz de coeficientes de orden 3 × 3; y la matriz
A =
2 −1 1 6
1 4 −2 0
3 −5 1 4
es la matriz ampliada de orden 3× 4.
El sistema se puede escribir de las siguientes formas:
Forma matricial:
2 −1 1
1 4 −23 −5 1
x
y
z
=
6
0
4
Forma vectorial:
2
1
3
x+
−14
−5
y +
1
−21
z =
6
0
4
Walter Arriaga D. Matematica Basica 251
7.7.4. Sistemas Equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si toda solucion del primero es solucion del
segundo y viceversa. (No es necesario que tengan el mismo numero de ecuaciones).
Ejemplo 7.7.4. Los sistemas:
x+ 3y = 6
2x− y = 5
x− y = 2
y
x+ 3y = 6
3x− 2y = 7son equivalentes.
Ambos son compatibles determinados y su solucion es: x = 3, y = 1.
Definicion 7.7.2. En un sistema de ecuaciones lineales, una ecuacion es combinacion lineal
de las ecuaciones del sistema, si se obtiene como resultado de sumar las ecuaciones del mismo
previamente multiplicadas por un numero real.
A continuacion veamos el Teorema fundamental de equivalencia.
Teorema 7.7.1. Si en un sistema de ecuaciones lineales se sustituye la ecuacion i-esima por
una combinacion lineal de dicha ecuacion y las demas ecuaciones del sistema (siempre que el
coeficiente que multiplique a la ecuacion i-esima sea distinto de cero), el sistema resultante es
equivalente al primero.
7.7.5. Metodo de Gauss-Jordan. Eliminacion Gausiana
Es el metodo de resolucion de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un
sistema escalonado transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas.
Ejemplo 7.7.5. Resolver el sistema
x+ y − z = 1
2x+ 3y + z = 3
5x− y + 2z = 2
Solucion
Consideramos la matriz aumentada o ampliada asociada al sistema, separando un poco la
columna de los terminos independientes:
1 1 −1 1
2 3 1 3
5 −1 2 2
=
1 1 −1 1
0 1 3 1
0 −6 7 −3
=
1 1 −1 1
0 1 3 1
0 0 25 3
Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma:
x+ y − z = 1
y + 3z = 1
25z = 3
252 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Resolviendo las ecuaciones, comenzando por la ultima queda: z =3
25, y =
16
25, x =
12
25.
Se trata de un sistema compatible determinado.
Ejemplo 7.7.6. Resolver el sistema
3x+ 3y −+11z − t = 8
2x+ 5z + 3t = 4
x− y + 2z + 2t = 2
Solucion
La matriz ampliada es:
3 3 11 −1 8
2 0 5 3 4
1 −1 2 2 2
=
1 −1 2 2 2
2 0 5 3 4
3 3 11 −1 8
=
1 −1 2 2 2
0 2 1 −1 0
0 6 5 −7 2
=
1 −1 2 2 2
0 2 1 −1 0
0 0 2 −4 2
Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma:
x− y + 2z + 2t = 2
2y + z − t = 0
2z − 4t = 2
Resolvemos la ultima ecuacion, z = 1 + 2t; si hacemos t = α, queda:
z = 1 + 2α; y = −−12
+α
2; x = −−1
2+
13α
2; t = α.
Las soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al parametro α.
Es un sistema compatible indeterminado.
Ejemplo 7.7.7. Resolver el sistema
−y + z = −2
x+ 2y + 4z = 3
2x+ 4y + 8z = 1
Solucion
La matriz ampliada es:
0 −1 1 −21 2 4 3
2 4 8 1
=
1 2 4 3
0 −1 1 −22 4 8 1
=
1 2 4 3
0 −1 1 −20 0 0 −5
Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma:
x+ 2y + 4z = 3
−y + z = −2
0 = −5
Se observa que el sistema es incompatible.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 253
7.7.6. Metodo de Gabriel Cramer
El metodo de Gauss que acabamos de ver es sencillo y eficaz para resolver un sistema de
ecuaciones lineales. Pero tiene un inconveniente. Si de un sistema de 300 incognitas tan solo
nos interesan 7, siguiendo el metodo de Gauss, habrıamos de seguir el proceso de triangulacion
como si nos interesaran todas ellas.
La regla de Cramer, que ahora veremos, aprovecha con astucia las propiedades de las
matrices y sus determinantes para despejar, separadamente, una cualquiera de las incognitas
de un sistema de ecuaciones lineales.
Sistema de Cramer: Es un sistema de la forma (7.9) en el quem = n, y |A| 6= 0. Es decir,
La matriz A es cuadrada y regular. En tal caso, A tiene inversa A−1, por lo que multiplicando
a (7.10) por la izquierda por A−1, se tiene:
A−1AX = A−1B ⇒ X = A−1B ⇒ X =Adj(A)
|A| B.
Entonces, para usar la regla de Cramer se debe cumplir las siguientes condiciones:
El numero de ecuaciones es igual al numero de incognitas.
El determinante de la matriz de coeficientes de las incognitas debe ser distinto de cero.
Denotaremos por:
Determinante del sistema: ∆S =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Determinante de xj: ∆xj =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · b1 · · · a1n
a21 a22 · · · b2 · · · a2n
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · bn · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∆xj es el determinante que se obtiene a partir de la matriz de coeficientes A, cambiando los
elementos de la columna j por los terminos independientes.
La solucion viene dada por:
xj =∆xj∆S
(7.12)
Nota: El el caso de un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incognitas:
a1x+ b1y + c1z = d1
a2x+ b2y + c2z = d2
a3x+ b3y + c3z = d3se tiene:
254 Matematica Basica Walter Arriaga D.
∆S = Determinante del sistema.
∆x = Determinante de x.
∆y = Determinante de y.
∆z = Determinante de z.
Recordemos que:
∆S =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣; ∆x =
∣∣∣∣∣∣∣∣
d1 b1 c1
d2 b2 c2
d3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣; ∆y =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 d1 c1
a2 d2 c2
a3 d3 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣; ∆z =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 b1 d1
a2 b2 d2
a3 b3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Finalmente la solucion del sistema se obtiene ası:
x =∆x
∆S; y =
∆y
∆S; z =
∆z
∆S
Ejemplo 7.7.8. Resolver el sistema
2x+ 3y − 5z = 8
5x− 2y + z = 9
3x− y + 2z = 9
Solucion
El sistema es un tıpico caso en el que resulta conveniente aplicar la regla de Cramer.
Primero hallaremos los determinantes aplicando el metodo de Sarrus:
∆S =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 3 −55 −2 1
3 −1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣⇒ ∆S = −32;
∆x =
∣∣∣∣∣∣∣∣
8 3 −59 −2 1
9 −1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣⇒ ∆x = −96
∆y =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 8 −55 9 1
3 9 2
∣∣∣∣∣∣∣∣⇒ ∆y = −128;
∆z =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 3 8
5 −2 9
3 −1 9
∣∣∣∣∣∣∣∣⇒ ∆z = −64
Luego: x =∆x
∆S= 3; y =
∆y
∆S= 4; z =
∆z
∆S= 2. Por lo tanto el conjunto solucion es:
C.S. = {3; 4; 2}
7.7.7. Teorema de Rouche - Frobenius
Sea el sistema dado en (7.9), donde A es la matriz de coeficientes de las incognitas y A la
matriz ampliada con los terminos independientes.
I. La condicion necesaria y suficiente para que el sistema sea compatible, es decir, para que
tenga solucion es que el rango1 de A sea igual al rango de A.
a) Si rango de A = rango de A = n, el sistema tendra solucion unica (Sistema compatible
determinado).
1El rango de una matriz es igual al numero de filas linealmente independientes
Walter Arriaga D. Matematica Basica 255
b) Si rango de A = rango de A = k < n, el sistema tendra infinitas soluciones y depen-
dera exactamente de n− k parametros (Sistema compatible indeterminado).
II. Si rango de A 6= rango de A, el sistema no tendra solucion (Sistema incompatible).
Ejemplo 7.7.9. Dado el sistema lineal
x+ y − z = 1
2x+ 3y + az = 3
x+ ay + 3z = 2
Halle el valor de “a” de tal modo que:
No tenga solucion.
Tenga mas de una solucion.
Tiene una unica solucion.
Solucion
La matriz ampliada:1 1 −1 1
2 3 a 3
1 a 3 2
=
1 1 −1 1
0 1 a+ 2 1
0 a− 1 4 1
=
1 1 −1 1
0 1 a+ 2 1
0 0 6− a− a2 2− a
No tiene solucion si:
6− a− a2 = 0 ∧ 2− a 6= 0
(a+ 3)(a − 2) = 0 ∧ a 6= 2 ⇒ a = −3
Tiene mas de una solucion si:
6− a− a2 = 0 ∧ 2− a = 0 ⇒ a = 2
Tiene solucion unica si:
6− a− a2 6= 0 ∧ 2− a 6= 0 ⇒ a 6= −3 , a 6= 2.
Por lo tanto a ∈ R− {−3; 2}
7.7.8. Sistemas homogeneos
Un sistema de ecuaciones lineales es homogeneo, si todos los terminos independientes son
nulos.
Consideremos el siguiente sistema homogeneo de m ecuaciones con n incognitas:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0...
......
......
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0
(7.13)
256 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Aplicando el teorema de Rouche-Frobenius a este sistema, resulta que siempre tendra solu-
cion, ya que siempre se cumple que r(A) = r(B).
Si r(A) = numero de incognitas, existira una unica solucion que sera la solucion trivial:
x1 = x2 = . . . = xn = 0
Si r(A) < numero de incognitas, existiran infinitas soluciones. Podemos enunciar, pues, el
siguiente teorema:
Teorema 7.7.2. Un sistema de ecuaciones lineales homogeneo tiene solucion distinta de la
trivial si y solo si el rango de la matriz los coeficientes es menor que el numero de incognitas.
Corolario 7.7.1. Un sistema de ecuaciones lineales homogeneo con igual numero de ecua-
ciones que de incognitas tiene solucion distinta de la trivial si y solo si el determinante de la
matriz de coeficientes es nulo.
7.8. Factorizacion LU de una Matriz
En el algebra lineal, la descomposicion LU es una forma de factorizacion de una matriz
“no singular” como el producto de una matriz triangular inferior y una superior.
Esta factorizacion es util para resolver sistemas de ecuaciones lineales sobre una computa-
dora y se puede usar para probar resultados importantes sobre matrices.
En la seccion 7.7 se muestra el sistema de ecuaciones lineales dado en 7.9 que a su vez se
puede escribir como 7.10, es decir como:
Ax = b
Supongamos que se conoce como factorizar una matriz An×n en la forma
A = LU (7.14)
donde L es una matriz triangular inferior n×n y U es una matriz escalonada n×n. Entonces
el sistema 7.10 podrıa representarse en la forma
LU.x = b (7.15)
Si denominamos y a la matriz columna de n filas resultado del producto de las matrices Ux,
tenemos que la ecuacion (7.15) se puede reescribir del siguiente modo:
Ly = b (7.16)
A partir de las ecuaciones (7.15) y (7.16), es posible plantear un algoritmo para resolver
el sistema de ecuaciones lineales empleando dos etapas:
Walter Arriaga D. Matematica Basica 257
Primero obtenemos y aplicando el algoritmo de sustitucion progresiva en la ecuacion
(7.16).
Posteriormente obtenemos los valores de x aplicando el algoritmo de sustitucion regresiva
a la ecuacion
Ux = y (7.17)
El analisis anterior nos muestra lo facil que es resolver estos dos sistemas de ecuaciones
triangulares y lo util que resultarıa disponer de un metodo que nos permitiera llevar a cabo
la factorizacion A = LU . Si disponemos de una matriz A de n × n, estamos interesados en
encontrar aquellas matrices:
L =
l11 0 0 · · · 0
l21 l22 0 · · · 0
l31 l32 l33 · · · 0...
......
. . ....
ln1 ln2 ln3 · · · lnn
U =
u11 u12 u13 · · · u1n
0 u22 u23 · · · u2n
0 0 u33 · · · u3n...
......
. . ....
0 0 0 · · · unn
tales que cumplan la ecuacion (7.14). Cuando esto es posible, decimos que A tiene una de-
scomposicion LU . Se puede ver que las ecuacion anterior no determina de forma unica a Ly
a U . De hecho, para cada i podemos asignar un valor distinto de cero a lii o uii (aunque no
ambos). Por ejemplo, una eleccion simple es fijar lii = 1 para i = 1, 2, . . . , n haciendo de esto
modo que L sea una matriz triangular inferior unitaria. Otra eleccion es hacer U una matriz
triangular superior unitaria (tomando uii = 1 para cada i).
Ejemplo 7.8.1. Encuentre una factorizacion LU para la matriz A =
2 3 2 4
4 10 −4 0
−3 −2 −5 −2−2 4 4 −7
.
Reduzca por filas la matriz A a una matriz triangular superior y depues escriba A como un
producto de una matriz triangular superior.
Solucion
2 3 2 4
4 10 −4 0
−3 −2 −5 −2−2 4 4 −7
F2 → F2 − 2F1
F3 → F3 +32F1
F4 → F4 + F1−−−−−−−−−−−−−→
2 3 2 4
0 4 −8 −80 5
2 −2 4
0 7 6 −3
F3 → F3 − 58F2
F4 → F4 − 74F2
−−−−−−−−−−−−−→
258 Matematica Basica Walter Arriaga D.
2 3 2 4
0 4 −8 −80 0 3 9
0 0 20 11
F4→F4−203F3−−−−−−−−−→
2 3 2 4
0 4 −8 −80 0 3 9
0 0 0 −49
= U
Usando las matrices elementales se pude escribir
U =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 −203 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 −74 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 −58 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 032 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
−2 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
A
o tambien
A =
1 0 0 0
2 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
−32 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
−1 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 58 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 74 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 203 1
U
Se ha escrito A como un producto de seis matrices elementales y una matriz triangu-
lar superior. Sea L el producto de las matrices elementales. Debemos verificar que L =
1 0 0 0
2 1 0 0
−32
58 1 0
−1 74
203 1
, que es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal.
Despues se puede escribir A = LU , donde L es triangular inferior y U es triangular supe-
rior. Los elementos de la diagonal de L son todos iguales a 1 y los elementos de la diagonal de
U son los pivotes. Esta factorizacion se llama factorizacion LU de A.
El procedimiento usado en el ejemplo (7.8.1) se puede llevar a cabo mientras no se requieran
permutaciones paa poder reducir A a la forma triangular. Esto no siempre se puede. Por
Walter Arriaga D. Matematica Basica 259
ejemplo, el primer paso a la reduccion por filas de
0 2 3
2 −4 7
1 −2 5
es permutar(intercambiar) las filas 1 y 2 o las filas 1 y 3.
Suponga que por el momento esa permutacion no es necesaria. Entonces, igual que en el
ejemplo (7.8.1), se puede escribir A = E1E2 · · ·EnU , donde U es una matriz triangular superior
y cada matriz elemental es una matriz triangular inferior y con unos en la diagonal. Esto se
deduce del hecho de que E es de la forma Fj+λFi. (No hay permutaciones ni multiplicaciones
de filas por constantes). Mas aun, los numeros que se hacen cero en la reduccion por fils estan
siempre abajo de la diagonal de manera que en Fj + λFi siempre se cumple que j > i. Ası los
λ aparecen abajo de la diagonal.
Ejemplo 7.8.2. Resuelva el sistema Ax = b usando la factorizacion LU, donde
A =
2 3 2 4
4 10 −4 0
−3 −2 −5 −2−2 4 4 −7
y b =
4
−8−4−1
Solucion
De ejemplo anterior se puede escribir A = LU , donde
L =
1 0 0 0
2 1 0 0−32
58 1 0
−1 74
203 1
y U =
2 3 2 4
0 4 −8 −80 0 3 9
0 0 0 −49
El sistema Ly = b conduce a las ecuaciones
y1 = 4
2y1 + y2 = −8
−32 y1 +
58 y2 + y3 = −4
−y1 + 74 y2 +
203 y3 + y4 = −1
es decir
y1 = 4
y2 = −8− 2y1 = −16y3 = −4 + 3
2 y1 − 58 y2 = 12
y4 = −1 + y1 − 74 y2 − 20
3 y3 = −49
260 Matematica Basica Walter Arriaga D.
acabamos de realizar la sustitucion hacia adelante. Ahora, de Ux = y se obtiene
2x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 = 4
4x2 − 8x3 − 8x4 = −163x3 + 9x4 = 12
−49x4 = −49
es decir
x4 = 1
3x3 = 12 − 9x4 = 3 ⇒ x3 = 1
4x2 = −16 + 8x3 + 8x4 = 0 ⇒ x2 = 0
2x1 = 4− 3x2 − 2x3 − 4x4 = −2 ⇒ x1 = −1Por lo tanto la solucion es:
x =
−10
1
1
7.9. Resenas Historicas
Johann Carl Friedrich Gauss
Figura 7.1: Johann Carl Friedrich Gauss
Johann Carl Friedrich Gauss, nacio el 30 de Abril de 1777 en Brunswick, Alemania. Fueun matematico, astronomo y fısico aleman de una profunda genialidad, que contribuyo sig-nificativamente en muchos campos, incluida la teorıa de numeros, el analisis matematico, lageometrıa diferencial, la geodesia, el magnetismo y la optica. Considerado “el prıncipe de lasmatematicas 2“el matematico mas grande desde la antiguedad”, Gauss ha tenido una influen-cia notable en muchos campos de la matematica y de la ciencia, y es considerado uno de losmatematicos que mas influencia ha tenido alrededor de la historia.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 261
Gauss fue un prodigio, de quien existen muchas anecdotas acerca de su asombrosa precoci-dad siendo apenas un pequeno infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientrasera apenas un adolescente.
Completo su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiun anos (1798), aunqueno seria publicada hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teorıa de losnumeros se consolidara y ha moldeado esta area hasta los dıas presentes.
Es celebre la siguiente anecdota: con tan solo 3 anos corrigio en su cabeza un error quesu padre, mientras este realizaba un conteo de pago de sus empleados, haciendo ver su precozhabilidad para los numeros.
Tenıa Gauss 10 anos cuando un dıa en la escuela el profesor manda sumar los cien primerosnumeros naturales. El maestro querıa unos minutos de tranquilidad . . . pero transcurridospocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solucion: los cien primeros numerosnaturales suman 5.050. Y efectivamente es ası. ¿Como lo hizo Gauss? Pues mentalmente sedio cuenta de que la suma de dos terminos equidistantes era constante:
1, 2, 3, 4 . . . . . . 97, 98, 99, 100
1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4 + 97 = · · · = 101
Con los 100 numeros se pueden formar 50 pares, de forma que la solucion final viene dadapor el producto
101 · 50 = 5050
Gauss habıa deducido la formula que da la suma de n terminos de una progresion aritmeticade la que se conocen el primero y el ultimo termino:
Sn =(a1 + an)n
2
donde a1 es el primer termino, an el ultimo, y n es el numero de terminos de la progresion.En 1796 descubrio el metodo de construccion del Heptadecagono, y dio el criterio necesario
y suficiente para que un polıgono pueda ser dibujado.Fue el primero en probar rigurosamente el Teorema Fundamental del Algebra (disertacion
para su tesis doctoral en 1799), aunque una prueba casi completa de dicho teorema fue hechapor Jean Le Rond d’Alembert anteriormente.
En 1801 publico el libro Disquisitiones Aritmeticae, con seis secciones dedicadas a la Teorıade numeros, dandole a esta rama de las matematicas una estructura sistematizada. En laultima seccion del libro expone su tesis doctoral. Ese mismo ano predijo la orbita del asteroideCeres aproximando parametros por mınimos cuadrados.
En 1809 fue nombrado director del Observatorio de Gottingen. En este mismo ano publi-ca Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium describiendocomo calcular la orbita de un planeta y como refinarla posteriormente. Profundiza sobre ecua-ciones diferenciales y secciones conicas.
Quizas Gauss haya sido la primera persona en intuir la independencia del postulado delas paralelas de Euclides y de esta manera anticipar una geometrıa no euclidiana. Pero estosolo se afirma, sacando conclusiones de cartas enviadas a sus amigos, Farkas Bolyai y a su hijoJanos Bolyai a quien Gauss califico como un genio de primer orden.
En 1823 publica Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae, ded-icado a la estadıstica, concretamente a la distribucion normal cuya curva caracterıstica, de-nominada Campana de Gauss, es muy usada en disciplinas no matematicas donde los datos
262 Matematica Basica Walter Arriaga D.
son susceptibles de estar afectados por errores sistematicos y casuales como por ejemplo lapsicologıa diferencial.
Hay que aclarar que Gauss no fue el primero en hacer referencia a la distribucion normal.
Mostro un gran interes en geometrıa diferencial y su trabajo Disquisitiones generales circasuperficies curva publicado en 1828 fue el mas reconocido en este campo. En dicha obra exponeel famoso Teorema Egregium. De esta obra se deriva el termino Curvatura Gaussiana.
En 1831 se asocia al fısico Wilhelm Weber durante seis fructıferos anos en los que realizaninvestigaciones sobre las Leyes de Kirchhoff, publicaciones sobre magnetismo y construyen untelegrafo electrico primitivo.
Aunque a Gauss le desagradaba dar clases, algunos de sus alumnos resultaron destaca-dos matematicos como Richard Dedekind y Bernhard Riemann. Otros matematicos contem-poraneos fueron Carl Gustav Jakob Jacobi, Dirichlet y Sophie Germain.
Gauss murio en Gottingen el 23 de febrero de 1855.
Arthur Cayley
Figura 7.2: Arthur Cayley
Arthur Cayley nacio en Richmond, Reino Unido, el 16 de agosto de 1821 y murio enCambridge, 26 de enero de 1895. Fue uno de los fundadores de la escuela britanica modernay contribuyo grandemente con el adelanto de la matematica pura.
Se graduo en 1842 en la Trinity College, Cambridge, el mas tarde entro en leyes y pos-teriormente fue admitido en la London Bar (1849). Luego paso a ser profesor en Cambridge.Cayley desarrollo la teorıa de la invarianza algebraica, y su desarrollo de la geometrıa nodimensional ha sido aplicada en la fısica al estudio del Espacio-Tiempo continuo. Introdujola multiplicacion de las matrices. Es el autor del teorema de Cayley-Hamilton que dice quecualquier matriz cuadrada es solucion de su polinomio caracterıstico. Dio la primera defini-cion moderna de la nocion de grupo. Su trabajo en las matrices del algebra sirvio como unfundamento para la Mecanica Cuantica, la cual fue desarrollada por Werner Heisenberg en1925. Cayley tambien sugirio que la Geometrıa Euclidiana y no Euclidiana son tipos especialesde geometrıa. Unio la Geometrıa Proyectiva (la cual depende de las propiedades invariantesde las figuras) y la Geometrıa Metrica (dependiente en tamanos de angulos y longitudes delıneas). Se publicaron los trabajos matematicos de Cayley en Cambridge (1889-98).
Recibio la Royal Medal en 1859 y la Medalla Copley en 1882.
Walter Arriaga D. Matematica Basica 263
En combinatoria, su nombre esta unido a la formula nn−2 que enumera los arboles deco-rados con n picos.
Se llama a veces octavas de Cayley o numeros de Cayley a los octoniones.
Gabriel Cramer
Figura 7.3: Gabriel Cramer
Gabriel Cramer (31 de julio, 1704 - 4 de enero, 1752) fue un matematico Suizo nacidoen Ginebra. Profesor de matematicas de la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-27. En 1750 ocupo la catedra de filosofıa en la citada universidad. En 1731 presento en laAcademia de las Ciencias de Parıs, una memoria sobre las causas de la inclinacion de lasorbitas de los planetas. Edito las obras de Jean Bernouilli (1742) y Jacques Bernouilli (1744)y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental es la Introduction a lanalyse descourbes algebriques (1750), en la que se desarrolla la teorıa de las curvas algegricas segun losprincipios newtonianos, demostrando que una curva de grado n viene dada por la expresion:n(n− 3)
2
Wilhelm Jordan
Wilhelm Jordan fue un geodesista aleman, nacio en 1842 y murio en 1899. Hizo encuestasen Alemania y Africa.
Es recordado entre los matematicos por su algoritmo de Eliminacion de Gauss - Jordan, conJordan mejorando la estabilidad del algoritmo de manera que se podıa aplicar para minimizarel error cuadrado en las mediciones. Esta tecnica algebraica aparecio en su Handbuch derVermessungskunde (1873).
264 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Bibliografıa
[1] Arnaz, Jose Antonio. Iniciacion a la Logica Simbolica. Trillas, Mexico, 1980.
[2] Boyer, Mary Jo. Matematicas para enfermeras. Manual Moderno, segunda edition, 2009.
[3] Peterson, John C. Matematica Basica. CECSA, 2000.
266 Matematica Basica Walter Arriaga D.
Indice alfabetico
absorcion, 54
adjunta de una matriz, 241
axiomas de los numeros reales, 93axiomas para la
adicion, 93
distributividad, 94
igualdad, 94multiplicacion, 93
bicondicional, 45
cırculo, 171
circunferencia, 171cofactor, 227
condicional, 41
conectivas, 35
binaria, 35monadica, 35
conjuncion, 38
conjunto, 79
finito, 82infinito, 82
unitario, 83
vacıo, 82
contingencia, 51contra recıproca, 45
contradiccion, 50
criptografıa, 245
cuadrado latino, 233cuarta
proporcional, 24
diferencial, 24
cuerpo, 211
determinantes, 221
diagonal principal, 207
diagramacartesiano, 154
de flechas, 155
del arbol, 154
sagital, 157dicotomıa, 94
disyuncionexclusiva, 46
inclusiva, 39
ecuacion
bicuadrada, 119cubica, 118
cuartica, 118cuadratica, 115
de primer grado, 107lineal, 108
polinomial, 119espacio vectorial, 211
exportacion, 54
formula cuadratica, 116
fraccion, 18compuesta, 19
continua, 19decimal, 19
egipcia, 19heterogenea, 19
homogenea, 19impropia, 18
irreductible, 19ordinaria, 18
parcial, 19propia, 18
reductible, 19unitaria, 19
funcionacotada, 193
afin, 184biyectiva, 193
constante, 183creciente, 193, 194
267
268 Matematica Basica Walter Arriaga D.
cuadratica, 185decreciente, 194escalon unitario, 189
exponencial, 197identidad, 183impar, 194
inyectiva, 192lineal, 184
logaritmo, 201maximo entero, 191monotona, 193
par, 194periodica, 194polinomica, 188
raiz cuadrada, 187seccionada, 188signo, 190
sobreyectiva, 193trigonometrica, 194
univalente, 192valor absoluto, 189
funciones, 177
generatriz, 21, 168
idempotencia, 52
implicacion, 41intervalo, 128
abierto, 128
cerrado, 129semiabierto, 129semicerrado, 129
inversa, 44involucion, 53
jacobiano, 232
ley de composicionprimera, 93
segunda, 93ley de composicion interna , 92lugar geometrico, 165
matriz
antihermitiana, 220antisimetrica, 217
banda, 229conjugada, 218cuadrada, 206
de cofactores, 240de permutacion, 231definida positiva, 230diagonal, 208, 228elemental, 242equivalente, 237escalar, 208escalonada, 236escalonada reducida, 236hermıtica, 219hermitiana, 219idempotente, 218identidad, 208inversa, 239involutiva, 217jacobiana, 232nilpotente, 218normal, 230nula, 209orden de una, 205ortogonal, 220positiva, 220rectangular, 209regular, 225simetrica, 216singular, 225transpuesta, 216traza de una, 215triangular, 207triangular superior, 207
matriz principal, 50media
diferencial, 24proporcional, 25
menor complementario, 226morgan, 54
numero fraccionario, 17numero racional, 17numero
complejo, 82entero, 80irracional, 81natural, 80racional, 81real, 81
negacion, 40
operacion binaria, 92
Walter Arriaga D. Matematica Basica 269
operaciones elementales, 235orden, 92
parabola, 169pertenencia, 79pivote, 236producto cartesiano, 154proporcion, 23
aritmetica, 23geometrica, 23
proposicion, 31compuesta, 34simple, 34
rango de una matriz, 238razon, 23
aritmetica, 23geometrica, 23
recıproca, 44reflexividad, 94regla de sarrus, 223regla de tres, 25relacion binaria, 156relaciones, 151
simetrıa, 94sistema de ecuaciones, 246sistema de numeros reales, 92
tabla de verdad, 33Tartaglia, 125tautologıa, 50teorema de
Laplace, 227tercera
diferencial, 24proporcional, 25
transitividad, 94transposicion, 54
valor absoluto, 135valor de verdad, 32