Matematica Basica

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  • UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO

    FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

    ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS

    MATEMATICA BASICA

    presentado por:

    Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado

    LAMBAYEQUE PERU

    2013

  • Dedicatoria

    Para mis padres, Martha y Elas; para mi

    adorable esposa, Flor Angela y para los

    mas grandes tesoros de mi vida, mis hijas

    Alessandra Anghely y Stefany Grace.

  • Prefacio

    Vision general

    Una de las situaciones mas dificiles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en

    matematica es la de tratar de explicar su labor profesional.

    La respuesta a esta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han sido de la mas

    variable ndole: hay quienes plantean que cultivan esta ciencia por satisfaccion personal, sin

    buscar sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento

    consustancial a la naturaleza humana y siendo la matematica lenguaje universal, esta debe

    cultivarse como contribucion al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos

    pueblos comprender su propia y particular realidad. Tambien se estima necesario que todos

    los pases, especialmente aquellos en desarrollo, cultiven las disciplinas basicas para as poder

    lograr independizarse cientfica, tecnologica y economicamente.

    Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que

    pese a ser la matematica la mas comun de las ciencias, en el sentido de que esta presente

    y es utilizada por todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado

    de popularidad; mucha gente tiene sentimientos de aprension, disgusto e incluso miedo a la

    matematica.

    Aun considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundido el

    muy relevante papel que juega nuestra disciplina en la formacion integral de cada ciudadano;

    de manera privilegiada, la matematica aporta a esta formacion capacitando a las personas para

    tomar decisiones en la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar

    ideas originales; esto se logra por ejemplo a traves de desarrollar la capacidad de abstraccion,

    de ensenar a relacionar objetos o situaciones diversas, de desarrollar la intuicion; en fin, la

    matematica ayuda a desarrollar una mentalidad crtica y creativa.

    Es entonces muy preocupante que sea la mas desconocida de las ciencias para el ciudadano

    medio; es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matematico, o, mas generalmente,

    el analfabetismo cientfico.

    El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una in-

    troduccion, a nivel elemental y basico, de una parte de las matematicas sumamente util y de

    vital importancia en la formacion academica del estudiante: La Matematica Basica.

    De la experiencia de dictar cursos y ponencias en Matematica es que surgieron apuntes de

    3

  • 4 Matematica Basica Walter Arriaga D.

    clase que, despues de sucesivas revisiones y ampliaciones, fueron transformandose hasta optar

    la forma que ahora presentamos, con la intencion de que sirva como texto gua que inicie al

    alumno en esta fascinante rama de las matematicas.

    Objetivo

    El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los

    estudiantes de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar porque y transmitirles el

    entusiasmo y gusto por el estudio de la Matematica Basica y a la vez proporcionar al lector

    una herramienta de consulta, dando la informacion basica para la resolucion de estas, as como

    reforzar la comprension de los temas y conceptos por medio de una amplia gama de interesantes

    aplicaciones en el mundo real. El texto se ha disenado para brindarle una comprension solida

    e intuitiva de los conceptos basicos, sin sacrificar la precision matematica.

    Aplicaciones

    Una de mis metas fue convencer a lo estudiantes de la importancia de la Matematica

    Basical en sus campos de estudio.

    Caractersticas

    Caractersticas pedagogicas

    En base a nuestra experiencia docente y en consejos de muchos colegas, hemos includo

    varios aspectos pedagogicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva

    acerca de la Matematica Basica.

    Problemas resueltos y propuestos

    Un problema en matematica puede definirse como una situacion, a la que se enfrenta un

    individuo o un grupo, que requiere solucion, y para lo cual no se vislumbra un camino aparente

    y obvio que conduzca a la misma.

    La resolucion de problemas debe apreciarse como la razon de ser del contenido matematico,

    un medio poderoso de desarrollar conocimiento matematico y un logro indispensable de

    una buena educacion matematica. El elemento crucial asociado con el desempeno eficaz en

    matematica es que los estudiantes desarrollen diversas estrategias que le permitan resolver

    problemas donde muestren cierto grado de independencia y creatividad.

    La elaboracion de estrategias personales de resolucion de problemas crea en los alumnos

    confianza en sus posibilidades de hacer matematica, estimula su autonoma, as como expresa

    el grado de comprension de los conocimientos y le facilita mecanismos de transferencia a otras

    situaciones.

    Concebimos entonces que la resolucion de problemas es el proceso mas importante que

    posibilitara a los estudiantes experimentar la utilidad y potencia de la matematica. Implicarlos

  • Walter Arriaga D. Matematica Basica 5

    en esa labor les permitira indagar, construir, aplicar y conectar lo aprendido. De ah que una

    responsabilidad importante de los docentes del area de matematica sea elaborar, seleccionar,

    proponer y discutir problemas de diverso tipo y exigencia conjuntamente con los estudiantes

    y con otros colegas.

    Aprender matematica significa entender y usar la matematica a traves de la resolucion

    de problemas, aprender matematica no solo es memorizar formulas tecnicas para resolver

    ejercicios propuestos.

    Hay que hacer que los alumnos trabajen dinamicamente en actividades que permitan la

    construccion del saber matematico por etapas, a partir de fenomenos y de situaciones cotidi-

    anas de modo que vayan elaborando conceptos de dificultad creciente, observando claramente

    y de inmediato su uso.

    Todo usuario de la Matematica recopila, descubre o crea conocimiento en el curso de la

    actividad que realiza con un fin. El desarrollo de las actividades debe estar organizado para

    que los estudiantes comuniquen ideas oralmente y por escrito. El proceso de construccion del

    lenguaje matematico no puede ser una actividad individual. Es un proceso de comunicacion:

    alumno-profesor, profesor-alumno y sobre todo alumno-alumno. La capacidad de usar con

    facilidad el lenguaje matematico es muy importante para comprender la matematica y por eso

    las formas de comunicacion matematica deben ser cada vez mas formales y simbolicas.

    El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba

    su aptitud. En los ejemplos resueltos ensenamos a los estudiantes a pensar sobre los problemas

    antes de que empiecen a resolverlos.

    Resumenes

    Al final de cada captulo, aparece un repaso detallado de los resultados importantes del

    mismo, esto permitira una clara comprension del texto.

    Uso de Software

    La tendencia cada vez mayor a que el docente se convierta en un facilitador del apren-

    dizaje mas que un presentador de hechos ha producido una expansion en la esfera de los

    paquetes de informatica especializados como los software matematicos preparados para ayu-

    dar al docente. Estos paquetes tienen por objeto suplementar el trabajo practico, permitiendo

    as ampliar la presentacion de la ciencia a los estudiantes. Estos software han adquirido tal

    grado de complejidad en la ensenanza de la Ciencia que han recibido el nombre de Tecnologa

    Educativa.

    Entre los software matematicos mas importantes podemos citar: Maple, Matlab, Derive,

    Mathematica, Cabri Geometry, etc.

    El software matematico Maple que se ha utilizado para la preparacion de este libro, se

    caracteriza por realizar calculos con smbolos que representan objetos matematicos.

    Se trata de un sistema de calculo cientfico (simbolico, numerico y grafico) interactivo, con

  • 6 Matematica Basica Walter Arriaga D.

    una sintaxis proxima a la notacion matematica, disponible para una amplia gama de sistemas

    operativos. Algunas de sus capacidades son:

    X Operaciones numericas en aritmetica racional exacta o decimal de precision arbitraria.

    X Manipulacion algebraica de variables y smbolos.

    X Operaciones con polinomios, fracciones algebraicas y funciones matematicas elementales.

    X Calculo de lmites, derivadas y primitivas.

    X Resolucion de ecuaciones y sistemas.

    X Operaciones con vectores y matrices.

    X Capacidades graficas en 2 y 3 dimensiones.

    X Lenguaje de programacion de alto nivel.

    La historia de la matematica

    La historia de la matematica esta llena de anecdotas, de problemas interesantes que pueden

    motivar a los jovenes a estudiarla y desarrollar actitude positivas hacia ella. El uso de topicos

    de historia de la matematica, de biografas de matematicos, de acertijos y problemas clasicos

    permite acercarnos a esta ciencia desde un punto de vista humano. Los estudiantes com-

    prenden que la matematica es simplemente una actividad creada por seres humanos iguales

    a ellos, quien