Matematica Basica

UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS

MATEMATICA BASICA

presentado por:

Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado

LAMBAYEQUE– PERU

2013

Dedicatoria

Para mis padres, Martha y Elıas; para mi

adorable esposa, Flor Angela y para los

mas grandes tesoros de mi vida, mis hijas

Alessandra Anghely y Stefany Grace.

Prefacio

Vision general

Una de las situaciones mas dificiles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en

matematica es la de tratar de explicar su labor profesional.

La respuesta a esta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han sido de la mas

variable ındole: hay quienes plantean que cultivan esta ciencia por satisfaccion personal, sin

buscar sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento

consustancial a la naturaleza humana y siendo la matematica lenguaje universal, esta debe

cultivarse como contribucion al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos

pueblos comprender su propia y particular realidad. Tambien se estima necesario que todos

los paıses, especialmente aquellos en desarrollo, cultiven las disciplinas basicas para ası poder

lograr independizarse cientıfica, tecnologica y economicamente.

Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que

pese a ser la matematica la mas comun de las ciencias, en el sentido de que esta presente

y es utilizada por todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado

de popularidad; mucha gente tiene sentimientos de aprension, disgusto e incluso miedo a la

matematica.

Aun considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundido el

muy relevante papel que juega nuestra disciplina en la formacion integral de cada ciudadano;

de manera privilegiada, la matematica aporta a esta formacion capacitando a las personas para

tomar decisiones en la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar

ideas originales; esto se logra por ejemplo a traves de desarrollar la capacidad de abstraccion,

de ensenar a relacionar objetos o situaciones diversas, de desarrollar la intuicion; en fin, la

matematica ayuda a desarrollar una mentalidad crıtica y creativa.

Es entonces muy preocupante que sea la mas desconocida de las ciencias para el ciudadano

medio; es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matematico, o, mas generalmente,

el analfabetismo cientıfico.

El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una in-

troduccion, a nivel elemental y basico, de una parte de las matematicas sumamente util y de

vital importancia en la formacion academica del estudiante: La Matematica Basica.

De la experiencia de dictar cursos y ponencias en Matematica es que surgieron apuntes de

3

4 Matematica Basica Walter Arriaga D.

clase que, despues de sucesivas revisiones y ampliaciones, fueron transformandose hasta optar

la forma que ahora presentamos, con la intencion de que sirva como texto guıa que inicie al

alumno en esta fascinante rama de las matematicas.

Objetivo

El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los

estudiantes de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar porque y transmitirles el

entusiasmo y gusto por el estudio de la Matematica Basica y a la vez proporcionar al lector

una herramienta de consulta, dando la informacion basica para la resolucion de estas, ası como

reforzar la comprension de los temas y conceptos por medio de una amplia gama de interesantes

aplicaciones en el mundo real. El texto se ha disenado para brindarle una comprension solida

e intuitiva de los conceptos basicos, sin sacrificar la precision matematica.

Aplicaciones

Una de mis metas fue convencer a lo estudiantes de la importancia de la Matematica

Basical en sus campos de estudio.

Caracterısticas

Caracterısticas pedagogicas

En base a nuestra experiencia docente y en consejos de muchos colegas, hemos incluıdo

varios aspectos pedagogicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva

acerca de la Matematica Basica.

Problemas resueltos y propuestos

Un problema en matematica puede definirse como una situacion, a la que se enfrenta un

individuo o un grupo, que requiere solucion, y para lo cual no se vislumbra un camino aparente

y obvio que conduzca a la misma.

La resolucion de problemas debe apreciarse como la razon de ser del contenido matematico,

un medio poderoso de desarrollar conocimiento matematico y un logro indispensable de

una buena educacion matematica. El elemento crucial asociado con el desempeno eficaz en

matematica es que los estudiantes desarrollen diversas estrategias que le permitan resolver

problemas donde muestren cierto grado de independencia y creatividad.

La elaboracion de estrategias personales de resolucion de problemas crea en los alumnos

confianza en sus posibilidades de hacer matematica, estimula su autonomıa, ası como expresa

el grado de comprension de los conocimientos y le facilita mecanismos de transferencia a otras

situaciones.

Concebimos entonces que la resolucion de problemas es el proceso mas importante que

posibilitara a los estudiantes experimentar la utilidad y potencia de la matematica. Implicarlos

Walter Arriaga D. Matematica Basica 5

en esa labor les permitira indagar, construir, aplicar y conectar lo aprendido. De ahı que una

responsabilidad importante de los docentes del area de matematica sea elaborar, seleccionar,

proponer y discutir problemas de diverso tipo y exigencia conjuntamente con los estudiantes

y con otros colegas.

Aprender matematica significa entender y usar la matematica a traves de la resolucion

de problemas, aprender matematica no solo es memorizar formulas tecnicas para resolver

ejercicios propuestos.

Hay que hacer que los alumnos trabajen dinamicamente en actividades que permitan la

construccion del saber matematico por etapas, a partir de fenomenos y de situaciones cotidi-

anas de modo que vayan elaborando conceptos de dificultad creciente, observando claramente

y de inmediato su uso.

Todo usuario de la Matematica recopila, descubre o crea conocimiento en el curso de la

actividad que realiza con un fin. El desarrollo de las actividades debe estar organizado para

que los estudiantes comuniquen ideas oralmente y por escrito. El proceso de construccion del

lenguaje matematico no puede ser una actividad individual. Es un proceso de comunicacion:

alumno-profesor, profesor-alumno y sobre todo alumno-alumno. La capacidad de usar con

facilidad el lenguaje matematico es muy importante para comprender la matematica y por eso

las formas de comunicacion matematica deben ser cada vez mas formales y simbolicas.

El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba

su aptitud. En los ejemplos resueltos ensenamos a los estudiantes a pensar sobre los problemas

antes de que empiecen a resolverlos.

Resumenes

Al final de cada capıtulo, aparece un repaso detallado de los resultados importantes del

mismo, esto permitira una clara comprension del texto.

Uso de Software

La tendencia cada vez mayor a que el docente se convierta en un “facilitador del apren-

dizaje” mas que un “presentador de hechos” ha producido una expansion en la esfera de los

paquetes de informatica especializados como los software matematicos preparados para ayu-

dar al docente. Estos paquetes tienen por objeto suplementar el trabajo practico, permitiendo

ası ampliar la presentacion de la ciencia a los estudiantes. Estos software han adquirido tal

grado de complejidad en la ensenanza de la Ciencia que han recibido el nombre de “Tecnologıa

Educativa”.

Entre los software matematicos mas importantes podemos citar: Maple, Matlab, Derive,

Mathematica, Cabri Geometry, etc.

El software matematico Maple que se ha utilizado para la preparacion de este libro, se

caracteriza por realizar calculos con sımbolos que representan objetos matematicos.

Se trata de un sistema de calculo cientıfico (simbolico, numerico y grafico) interactivo, con


una sintaxis proxima a la notacion matematica, disponible para una amplia gama de sistemas

operativos. Algunas de sus capacidades son:

X Operaciones numericas en aritmetica racional exacta o decimal de precision arbitraria.

X Manipulacion algebraica de variables y sımbolos.

X Operaciones con polinomios, fracciones algebraicas y funciones matematicas elementales.

X Calculo de lımites, derivadas y primitivas.

X Resolucion de ecuaciones y sistemas.

X Operaciones con vectores y matrices.

X Capacidades graficas en 2 y 3 dimensiones.

X Lenguaje de programacion de alto nivel.

La historia de la matematica

La historia de la matematica esta llena de anecdotas, de problemas interesantes que pueden

motivar a los jovenes a estudiarla y desarrollar actitude positivas hacia ella. El uso de topicos

de historia de la matematica, de biografıas de matematicos, de acertijos y problemas clasicos

permite acercarnos a esta ciencia desde un punto de vista humano. Los estudiantes com-

prenden que la matematica es simplemente una actividad creada por seres humanos iguales

a ellos, quienes desarrollaron ideas creativas y resolvieron situaciones que en su tiempo er-

an importantes, pero que en otros momentos sufrieron frustracion y desengano, ya sea al no

poder resolver los problemas que se plantearon, porque la sociedad no estaba preparada para

sus ideas renovadoras, o porque sufrieron la marginacion de las comunidades cientıficas de la

epoca, como ocurrio en el caso de las mujeres matematicas.

Es sumamente util explorar con nuestros alumnos los inicios de un concepto, las dificultades

con las que tuvieron que enfrentarse estos investigadores y las ideas que surgieron al enfrentar

una situacion nueva. Todos estos hechos encarnan una verdadera aventura intelectual que

muchas veces se deja de lado en las clases tradicionales donde un tema aparece presentado de

manera acabada e inerte, sin posibilidad de descubrimiento, ni crıtica.

Introduccion

Desde los comienzos de su existencia, el hombre ha estudiado su medio ambiente con la

finalidad de mejorar su situacion. Empezo por observaciones, como hacemos hoy en dıa, y

siguio por la reunion de informacion y su aplicacion a la vida cotidiana.

La ciencia es hoy dıa algo mas compleja. Nuestra capacidad de observacion ha aumentado

enormemente gracias al desarrollo de los modernos instrumentos desde los que nos permiten

ver diminutas partıculas de materia ampliadas millones de veces hasta los que nos permiten

ver estrellas distantes en los lımites exteriores del universo tal como lo conocemos. Nuestros

procesos de acopio de datos tambien se han vuelto muy complejos. No solo disponemos de

medios muy rapidos para registrar informacion sino que, mediante el uso de calculadoras y

software, podemos recuperar la informacion en una fraccion de segundo. Sin embargo, mu-

chos de nosotros no tenemos todavıa la posibilidad de usar los ultimos inventos de la ciencia

moderna. Tenemos que trabajar con las cosas existentes en nuestro medio inmediato que van

a influir en nuestras vidas y en las de quienes nos rodean. Hay que tener en cuenta que los

cambios rapidos e incesantes del mundo de hoy hacen que tambien cambien a su compas los

conocimientos necesarios de matematica

Entre todas las disciplinas matematicas, la teorıa de las ecuaciones diferenciales conjun-

tamente con el Calculo Diferencial es la mas importante. Proporciona la explicacion de todas

esas manifestaciones elementales de la naturaleza que involucran al tiempo.

Esta obra es un intento para lograr que la ensenanza y el aprendizaje de la ciencia sean los

mas eficaces posible. Como no hay una manera perfecta de ensenar la Ciencia, esta publicacion

no pretende ser el non plus ultra de la ensenanza de la Matematica. Los profesores deben buscar

constantemente los mejores metodos para ellos mismos y para sus alumnos, ası como leer con

la mayor amplitud y profundidad posibles. Sin embargo, se espera que este trabajo sirva de

documento basico para empezar. Se ha reunido las contribuciones de docentes que se han

especializado en estos temas a fin de presentar un amplio panorama de la ensenanza de esta

Ciencia.

Es importante que el pensamiento creador en todos los niveles de educacion se centre en

crear las situaciones de aprendizaje mas eficaces para los estudiantes. En consecuencia, este

texto esta destinado tanto a estudiantes de ciencias e ingenierıa como a docentes en ejercicio

ası como tambien a los futuros docentes de varios niveles academicos para que lo utilicen

en las situaciones mas diversas. Su finalidad es mejorar la ensenanza cotidiana de la ciencia

7


examinando los numerosos temas que influyen sobre el estudiante.

Este es el compromiso que como docente de la Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo he asumido: el contribuir a la formacion integral

de los estudiantes del presente siglo.

Se tiene siempre la esperanza de que una publicacion sea tan buena que haya demanda

de una segunda edicion. Esto permite siempre corregir las inexactitudes y las equivocaciones,

ası como anadir material pertinente nuevo u omitido inadvertidamente antes. Se agradecera a

los lectores que comuniquen sus propias contribuciones y sugerencias al autor.

Indice general

INTRODUCCION 9

1. ARITMETICA 15

1.1. Sucesiones y Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1. Clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2. MCD y MCM de Numeros Fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.3. Fracciones Equivalentes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.4. Relacion entre los numeros decimales y las fracciones . . . . . . . . . . . 20

1.3. Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.1. Razon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.2. Proporcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4. Mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5. Regla de tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.1. Regla de tres simple directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.2. Regla de tres simple indirecta o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.3. Regla de tres compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6. Tanto por ciento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.7. Numero primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8. Maximo Comun Divisor y Mınimo Comun Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9. Analisis combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9.1. Principios fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9.3. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.9.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.10. Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.10.1. Proposiciones y tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.10.2. Valor de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.10.3. Tabla de valores de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9


1.10.4. Clases de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.10.5. Conectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.10.6. Simbolizacion de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.10.7. Operaciones con proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.10.8. Conjuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.10.9. Disyuncion inclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.10.10.Negacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.10.11.Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.10.12.Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.10.13.Disyuncion exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.10.14.Proposiciones Compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.10.15.Jerarquıa de los conectivos logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.10.16.Tautologıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.10.17.Contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.10.18.Contingencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.10.19.Equivalencias logicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.10.20.Leyes del Algebra Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.10.21.Simplificacion de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.11. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.12. Aplicaciones de la Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.12.1. Aplicaciones a la Medicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2. CONJUNTOS 77

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.2. Determinacion de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.3. Conjuntos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.4. Conjuntos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.4.1. Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.4.2. Conjunto vacıo o nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.4.3. Conjunto unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.4.4. Conjunto universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.5. Representacion grafica de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.5.1. Diagramas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.5.2. Diagramas Venn - Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.6. Numero de elementos o cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3. RELACIONES Y FUNCIONES 87

3.1. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.3. Relaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


3.4. Clases de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.5. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.6. Dominio y rango de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4. NUMEROS REALES 89

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2. Ley de composicion interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3. Axiomas de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4.1. Historia de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4.2. Clasificacion de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.4.3. Ecuaciones de primer grado con una variable . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.4.4. Sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4.5. Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.4.6. Ecuacion Cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.4.7. Ecuacion Cuartica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.4.8. Ecuacion Bicuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.4.9. Ecuacion Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.4.10. Planteamiento de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.5. Desigualdades e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.5.1. Desigualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5.2. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.5.3. Inecuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.5.4. Inecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.5.5. Inecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.5.6. Inecuaciones polinomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.5.7. Inecuaciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.5.8. Ecuaciones e inecuaciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.5.9. Inecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.5.10. Inecuaciones logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.5.11. Sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.6. Valor Absoluto y Maximo Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.6.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.6.2. Maximo entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5. RELACIONES Y FUNCIONES 151

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.2. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.2.1. Par Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.2.2. Igualdad de pares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153


5.2.3. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.3. Relacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.3.1. Dominio y Rango de una Relacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.3.2. Relacion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.3.3. Composicion de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.3.4. Tipos de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.4. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.5. Graficas de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.6. La Lınea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.7. Secciones conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.8. La Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.9. La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.10. La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.11. La Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6. FUNCIONES 177

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.2. Funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.3. Dominio Rango y Grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.4. Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.4.1. Funcion Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.4.2. Funcion Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.4.3. Funcion de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.4.4. Funcion Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.4.5. Funcion Raiz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.4.6. Funcion Polinomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.4.7. Funcion Seccionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.4.8. Funcion Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.4.9. Funcion Escalon Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.4.10. Funcion Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.4.11. Funcion Maximo Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.5. Tipo de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.5.1. Funcion Inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.5.2. Funcion Sobreyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.5.3. Funcion Biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.6. Caracterısticas de algunas funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.7. Funcion Trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.8. Funcion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.9. Funcion Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201


7. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LIN-

EALES 203

7.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.1.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.1.2. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

7.1.3. Orden de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.1.4. Igualdad de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7.1.5. Matrices Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7.1.6. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7.1.7. Traza de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.1.8. Transpuesta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.1.9. Matriz simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.1.10. Matriz antisimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.1.11. Matriz involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.1.12. Matriz nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7.1.13. Matriz idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7.1.14. Matriz conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7.1.15. Matriz hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

7.1.16. Matriz antihermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.1.17. Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.1.18. Matriz positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.2.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.2.2. Calculo de Determinantes por la Regla de Sarrus . . . . . . . . . . . . . 223

7.2.3. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7.2.4. Menores complementarios y Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.2.5. Calculo de Determinantes por Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

7.3. Otras matrices importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.4. Operaciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

7.4.1. Matriz escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

7.4.2. Matrices equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7.4.3. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

7.5. Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

7.5.1. Matriz de cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

7.5.2. Adjunta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

7.5.3. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

7.5.4. Metodo de Gauss Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

7.6. Criptografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.6.2. Sistema Criptografico usando Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245


7.7. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

7.7.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

7.7.2. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

7.7.3. Clasificacion de los sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . 249

7.7.4. Sistemas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

7.7.5. Metodo de Gauss-Jordan. Eliminacion Gausiana . . . . . . . . . . . . . 251

7.7.6. Metodo de Gabriel Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

7.7.7. Teorema de Rouche - Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

7.7.8. Sistemas homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

7.8. Factorizacion LU de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

7.9. Resenas Historicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Indice de Materias 267

1

ARITMETICA

1.1. Sucesiones y Series

1.1.1. Series

Proviene de SUMA primera operacion fundamental.

La notacion usual es: Σ = sigma, usando lımites superior e inferior para indicar donde empieza

y termina.

Definicion 1.1.1. Si n ∈ Z+, a1, a2, . . . , an son numeros reales entonces la suma de estos

“n” numeros ak (k ∈ Z+) se denota y se expresa por:

n∑

k=1

ak = a1 + a2 + · · ·+ an (1.1)

Donde:

k = 1 es el lımite inferior.

k = n es el lımite superior.

ak es la ley de formacion.

Propiedades

1. Numero de terminos de una sumatoria.n∑

k=r

tiene (n− r) + 1 terminos.

2.n∑

k=1

cak = cn∑

k=1

ak ; c: constante.

3.

n∑

k=r

c = c(n− r + 1) ; c: constante.

15

4.

n∑

k=r

(ak − ak−1) = an − ar−1 (Propiedad telescopica).

5.

n∑

k=1

(ak + bk − ck) =

n∑

k=1

ak +

n∑

k=1

bk −n∑

k=1

ck

6.

n∑

k=1

ak =

m∑

k=1

ak +

n∑

k=m+1

ak ; ∀n > 1

7.n∑

k=0

ak =n+h∑

k=h

ak−h; h ∈ Z

Casos:

1. Suma de los primeros “n” numeros naturales consecutivos.

n∑

k=1

k = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2

2. Suma de los primeros “n” numeros naturales pares consecutivos.

n∑

k=1

2k = 2

n∑

k=1

k = 2(1 + 2 + 3 + · · ·+ n) = n(n+ 1)

3. Suma de “n” numeros naturales impares consecutivos.

n∑

k=1

(2k − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2n − 1) = n2

4. Suma de cuadrados de los primeros “n” numeros naturales consecutivos.

n∑

k=1

k2 = 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =n(n+ 1)(2n + 1)

6

5. Suma de cubos de los primeros “n” numeros naturales consecutivos.

n∑

k=1

k3 = 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

[n(n+ 1)

2

]2

6. Suma de infinitos terminos en una Progresion Geometrica decreciente.

S = a1 + a2 + a3 + a4 + · · · + an + · · ·

S =a1

1− r

Donde:

a1 : El primer termino (maximo valor).

r : La razon entre 2 terminos consecutivos; 0 < r < 1.


7. Serie especial

n∑

k=1

k(k + 1) = 1× 2 + 2× 3 + 3× 4 + · · ·+ n(n+ 1) =n(n+ 1)(n + 2)

3

8. Serie especial

n∑

k=1

k(k+1)(k+2) = 1×2×3+2×3×4+3×4×5+· · ·+n(n+1)(n+2) =n(n+ 1)(n + 2)(n + 3)

4

9. Serie especialm∑

k=n

1

k(k + r)=

1

r

[1

n− 1

m+ r

]

10. Serie especialn∑

k=1

1

k(k + 1)=

1

1

[1

1− 1

n+ 1

]

11. Serie especialn∑

k=1

1

k(k + 1)(k + 2)=

1

2

[1

1× 2− 1

(n+ 1)(n + 2)

]

12. Serie especial

n∑

k=1

1

k(k + 1)(k + 2)(k + 3)=

1

3

[1

1× 2× 3− 1

(n+ 1)(n + 2)(n + 3)

]

1.2. Fracciones

Definicion 1.2.1. Un numero racional es el cociente de la division de dos numeros enteros

“a” y “b”, donde b 6= 0.

Al conjunto de los numeros racionales se le denota por: Q

Definicion 1.2.2. Un numero fraccionario es todo aquel numero racional que no representa

a un numero entero, si denotamos por f al numero fraccionario, tendremos:

f =a

b

donde a 6=◦b, a y b ∈ Z

Ejemplo: −5

3;2

7;−38

; etc.

No son numeros fraccionarios expresiones como:15

5;102

2;27

3; etc.

Definicion 1.2.3. Una fraccion es el numero fraccionario que presenta sus dos terminos

positivos. F =a

bfraccion con a y b ∈ Z+

donde:

a 6=◦b (a no es divisible por b), a es el numerador.

b 6= 0, b es el denominador.

1.2.1. Clasificacion

Existen diversas formas para clasificar fracciones, entre ellas estan las siguientes:

I. Por la comparacion de su valor con respecto de la unidad:

Propia: Es una Fraccion, en la cual su numerador es menor que su denominador. En

consecuencia, una fraccion propia tiene un valor menor que la unidad.

Una fraccion propia da cuenta de la idea de una porcion o parte de un todo. Por

ejemplo, en la expresion “tres cuartos superficie de la Tierra es agua”, o “solo la

mitad de los asistentes pudo participar del concurso”. De ahı se da la relacion a un

porcentaje.

El producto entre dos fracciones propias es siempre una fraccion propia.

F =a

b< 1 ⇒ a 1 ⇒ a > b

Ejemplos:3

2;7

3;5

4; etc.

Nota: Las fracciones impropias generan los llamados numeros mixtos, los cuales

estan constituidas por una parte entera y una fraccion propia.

Ejemplo:11

5= 21

5 = 2 + 15

II. Por su denominador:

Ordinaria: Llamada tambien fraccion comun, es aquella cuyo denominador es diferente

de una potencia de 10.

Ejemplos:13

7;8

15;11

24; etc.


Decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.

Ejemplos:17

10;

3

100;

11

1000; etc.

III. Por la razon de igualdad o desigualdad entre sus denominadores:

Homogeneas: Cuando tienen el mismo denominador.

Ejemplos:3

5;7

5;11

5; etc.

Heterogeneas: Cuando tienen denominadores diferentes.

Ejemplos:3

7;17

15;21

5; etc.

IV. Por los divisores de sus terminos:

Irreductibles: Son aquellas fracciones cuyos terminos son primos entre sı y por tanto

no se pueden simplificar.

Ejemplos:3

5;7

11;17

20; etc.

Reductibles: Son aquellas fracciones cuyos terminos tienen factores comunes y por

tanto se pueden simplificar.

Ejemplos:3

6;7

21;6

8; etc.

V. Otras clasificaciones:

Unitaria: Fraccion comun de numerador 1.

Egipcia: Sistema de representacion de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada

fraccion se expresa como suma de fracciones unitarias.

Continua: Es una expresion como esta:

x = a0 +1

a1 +1

a2+1

a3+...

donde los ai son enteros positivos.

Compuesta: Fraccion cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez

fracciones.

Parcial: La que puede usarse para descomponer una funcion racional.

1.2.2. MCD y MCM de Numeros Fraccionarios

1. El Maximo Comun Divisor de numeros fraccionarios esta dado por:

MCD

(a

b;c

d; . . . ;

x

y

)=

MCD(a, c, . . . , x)

MCM(b, d, . . . , y)


2. El Mınimo Comun Multiplo de numeros fraccionarios esta dado por:

MCM

(a

b;c

d; . . . ;

x

y

)=

MCM(a, c, . . . , x)

MCD(b, d, . . . , y)

Dondea

b;c

d; . . . ;

x

yson fracciones irreductibles.

1.2.3. Fracciones Equivalentes:

Una fraccion es equivalente a otra cuando tiene el mismo valor, pero sus terminos son

diferentes. Es decir numerador y denominador son multiplicados y divididos por el mismo

valor numerico k, donde k ∈ Z− {0}.a

b=

a× k

b× ko

a

b=

a÷ k

b÷ k, b 6= 0, k 6= 0

Observacion 1.2.1. Las proposiciones: De, del, de los, antepuesta a una fraccion, usualmente

indican una multiplicacion; mientras que la proposicion Por nos indica una division.

Ejemplo 1.2.1. Hallar los3

4de los

7

5de 5 por 7 de 200

Solucion:3

4× 7

5× 5

7× 200 = 150

1.2.4. Relacion entre los numeros decimales y las fracciones

Al dividir los terminos de una fraccion irreductible se obtienen numeros decimales.

Los numeros decimales son:

Numeros decimales (D)

Decimales exactos (DE)

Decimales inexactos (DI)

Decimal inexacto periodico puro (DIPP)

Decimal inexacto periodico mixto (DIPM)

I. Decimal Exacto (DE): Una fraccion irreductible dara origen a un decimal exacto

cuando el denominador sea una potencia de 2 y/o una potencia de 5.

Observacion 1.2.2. El numero de cifras decimales de un numero decimal exacto, es-

tara dado por el mayor exponente de 2 o 5 que tenga el denominador de la fraccion.

Ejemplo 1.2.2.

1

16=

1

24= 0,0625 genera 4 cifras decimales

3

40=

3

23 × 5= 0,0750 genera 3 cifras decimales


Fraccion generatriz

0, a =a

10

0, ab =ab

100

0, abc =abc

1000

II. Decimal Inexacto (DI): Estos pueden ser a su vez:

Decimal Inexacto Periodico Puro (DIPP): Una fraccion irreductible origi-

nara un decimal periodico puro cuando el valor del denominador sea diferente de:

un multiplo de 2 y/o multiplo de 5.

Ejemplo 1.2.3.1

3= 0, 333 . . . = 0, 3

Observacion 1.2.3. El numero de cifras del periodo esta dado por el menor numero

de nueves que contiene al denominador como factor.

Si el denominador es el producto de varios factores primos, el numero de cifras del

periodo esta dado por el MCM de los menores numeros de nueves que contienen a

dichos factores primos.

TABLA DE NUEVES

9 = 32

99 = 32 × 11

999 = 33 × 37

9999 = 32 × 11× 101

99999 = 32 × 41× 271

999999 = 33 × 7× 11× 13× 37

Ejemplo 1.2.4. Dada la fraccion:133

407= 0,572481572481572481 . . .

407 = 11× 37

El menor numero de nueves que contiene a 11 es el 99 (dos nueves)

El menor numero de nueves que contiene a 37 es el 999 (tres nueves)

luego El MCM(2, 3) = 6 cifras periodicas que son 572481.

Fraccion generatriz

0, aaa . . . = 0, a =a

9

0, abab . . . = 0, ab =ab

99


0, abcabc . . . = 0, abc =abc

999

Decimal Inexacto Periodico Mixto (DIPM):Una fraccion irreductible dara ori-

gen a un decimal inexacto periodico mixto cuando al descomponer el denominador

en sus factores primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y ademas, algun otro

factor diferente.

Observacion 1.2.4. La cantidad de cifras no periodicas del decimal inexacto

periodico mixto esta dado por la regla para el numero de cifras decimales de un

decimal exacto y el numero de cifras de la parte periodica esta dado por la regla del

numero de cifras de un decimal periodico puro.

Ejemplo 1.2.5. Dada la fraccion:35

88=

35

8× 11=

35

23 × 11= 0,39772727272 . . .

23 ⇒ 3 cifras no periodicas que son 397.

11⇒ 2 nueves genera 2 cifras periodicas que son 72.

Fraccion generatriz

0, abbb . . . = 0, ab =ab− a

90

0, abccc . . . = 0, abc =abc− ab

900

0, abcbcbc . . . = 0, abc =abc− a

990

0, abcdcdcd . . . = 0, abcd =abcd− ab

9900

Fraccion decimal ilimitada

Presentan un numero indefinido de cifras, pueden ser:

Numeros Irracionales.√2 = 1, 4142136 . . .√3 = 1, 7320506 . . .√5 = 2, 236067 . . .

3√2 = 1, 25992 . . .

3√3 = 1, 442249 . . .

Numeros trascendentes.

π = 3, 1416 . . .

e = 2, 718281 . . .


1.3. Razones y proporciones

1.3.1. Razon

Definicion 1.3.1. Una razon es el resultado que se obtiene al compararse dos cantidades

homogeneas mediante una determinada operacion, generalmente se expresa como “a es a b” o

a : b.

Pueden ser de dos clases:

Razon Aritmetica (RA).

Razon Geometrica (RG).

Definicion 1.3.2. Una razon aritmetica es la comparacion de dos cantidades mediante la

diferencia, dicha diferencia determina en cuantas unidades excede una magnitud a la otra. Es

decir:

antecedente − consecuente = RA

Definicion 1.3.3. Una razon geometrica es la la comparacion de dos cantidades mediante la

division, y consiste en determinar cuantas veces cada una de las cantidades contiene la unidad

de referencia. Es decir:

antecedente ÷ consecuente = RG

En general:

ra = a− b

rg = a÷ b

donde: ra = Razon Aritmetica; rg = Razon Geometrica; a = antecedente; b = consecuente

1.3.2. Proporcion

Definicion 1.3.4. Es la relacion de igualdad que se establece entre dos razones homogeneas.

Pueden ser de dos clases:

Proporcion Aritmetica.

Proporcion Geometrica.

Definicion 1.3.5. Una proporcion aritmetica es aquella que se forma al igualar dos razones

aritmeticas.


Definicion 1.3.6. Una proporcion geometrica es aquella que se forma al igualar dos razones

geometricas.

En general:

Proporcion Aritmetica: a− b = c− d

Proporcion Geometrica:a

b=

c

ddonde:

b y c : Terminos medios. a y c : antecedentes

a y d : Terminos extremos. b y d : consecuentes.

Clases de proporcion aritmetica

Proporcion aritmetica discreta: Es aquella en la que sus 4 terminos son numeros

diferentes.

a− b = c− d

Cada termino es cuarta diferencial de los demas. ası:

d es la cuarta diferencial de a, b y c. Luego: d = (b+ c)− a

Proporcion aritmetica continua: Es aquella en la que sus terminos medios son

numeros iguales.

a− b = b− c

Cada termino igual es media diferencial de los demas y cada termino diferente es tercera

diferencial. Entonces:

b es la media diferencial o aritmetica de a y c. Luego: b =a+ c

2c es la tercera diferencial de a y b. Luego: c = 2b− a

Clases de proporcion geometrica

Proporcion geometrica discreta: Es aquella en la que sus 4 terminos son numeros

diferentes.a

b=

c

d

Cada termino es cuarta proporcional de los demas. ası:

d es la cuarta proporcional de a, b y c. Luego: d =bc

a

Proporcion geometrica continua: Es aquella en la que sus terminos medios son

numeros iguales.a

b=

b

c


Cada termino igual es media proporcional de los demas y cada termino diferente es

tercera proporcional. Entonces:

b es la media proporcional o geometrica de a y c. Luego: b =√ac

c es la tercera proporcional de a y b. Luego: c =b2

a

1.4. Mezclas

Definicion 1.4.1. Consiste en determinar la variacion de proporcion de cada uno de los

componentes de una mezcla respecto del total.

En estos problemas generalmente se debe considerar que parte (fraccion) representa lo que

se saca de una mezcla, ya que de esta manera se determinara que cantidad sale o queda de

cada una de las componentes de la respectiva mezcla.

Ejemplo 1.4.1. Un recipiente contiene 20 litros de alcohol y 30 litros de agua. Si se extrae

3/5 de la mezcla. ¿Cuantos litros de alcohol y agua quedan?

Solucion

agua 30

alcohol 20

Mezcla50

litros

Luego al extraer 3/5 de la mezcla se obtiene:

Se extrae Queda

alcohol 35(20)

25 (20) = 8

agua 35(30)

25(30) = 12

Por lo tanto quedan 8 litros de alcohol y 12 litros de agua.

1.5. Regla de tres

La regla de tres es un metodo para resolver problemas donde intervienen 2 o mas magni-

tudes; es una forma de resolucion de problemas de proporcionalidad entre tres o mas valores

conocidos y una incognita. En ella se establece una relacion de linealidad (proporcionalidad)

entre los valores involucrados.


La regla de tres mas conocida es la regla de tres simple directa, si bien resulta muy practico

conocer la regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta, pues son de sencillo manejo

y pueden utilizarse para la resolucion de problemas cotidianos de manera efectiva.

1.5.1. Regla de tres simple directa

Es aquella en la cual se comparan 2 magnitudes directamente proporcionales, es decir el

aumento o disminucion en el valor de una magnitud implica el aumento o disminucion en la

otra respectivamente.

1.5.2. Regla de tres simple indirecta o inversa

Es aquella en la cual se comparan 2 magnitudes inversamente proporcionales, es decir el

incremento o disminucion en una de las magnitudes implica la disminucion o incremento en

la otra respectivamente.

Los casos mas comunes son:

Costo de una mercaderıa y cantidad de la misma: DIRECTA

Sueldo de un obrero y tiempo de su trabajo: DIRECTA

Tiempo empleado y trabajo realizado: DIRECTA

Numero de obreros y trabajo realizado. DIRECTA

Peso de cuerpos del mismo material y volumen ocupado por los mismos: DIRECTA

Distancia recorrida por un movil y tiempo empleado: DIRECTA

Tiempo empleado en hacer un trabajo y cantidad de obreros: INVERSA

Velocidad de un movil y tiempo necesario para recorrer una distancia: INVERSA

Largo y ancho de rectangulos de igual area: INVERSA

1.5.3. Regla de tres compuesta

Es aquella en la que intervienen mas de 2 magnitudes las cuales pueden ser directa o

inversamente proporcionales. Para resolver estos problemas veamos un metodo practico.

CAUSA − CIRCUNSTANCIA − EFECTO

En este metodo se agrupan las magnitudes en 3 categorıas:


Causa: Es todo aquello que realiza un trabajo, o una accion determinada, con su re-

spectiva eficacia o rendimiento (obreros, cuadrillas, rendimiento, eficiencia, etc.)

Circunstancia: Se refiere al tiempo, a la manera de desarrollar un trabajo (dıas, horas

por dıa, semanas, raciones por dıa, etc).

Efecto: Es el trabajo realizado o lo producido con su respectiva dificultad (1 obra,

longitud, altura, dificultad, etc).

Causa Circunstancia Efecto Dificultad Rapidez

IP DP DP IP

Figura 1.1: Regla de tres

1.6. Tanto por ciento

Cuando vamos a un centro comercial vemos que hay descuentos de productos ası como el

20% del 50%, en la propagandas de los bancos que dan prestamos con un interes del 1%,

ası muchos mas casos donde vemos este sımbolo%.

El calculo de porcentajes es una herramienta de gran utilidad en la vida cotidiana. Los

porcentajes tienen multiples aplicaciones en problemas de comercio, geometrıa, encuestas de

opinion, medicion de ındices de produccion, natalidad, mortalidad, etc.

Como hallar el valor que representa el porcentaje? ¿Como saber hallar un descuento o un

aumento? ¿Como hallar el interes de un prestamo? Y muchas situaciones mas conoceremos a

continuacion.

Tanto por cuanto: El “a” por “b” de una cantidad “N”, es otra cantidad “x” de la

misma especie, tal que sea a la primera como a es b.

x

N=

a

b⇒ x =

a

bN

Tanto por ciento: Es el numero de partes tomadas de cada 100 partes iguales en que

se puede dividir un todo. Se puede expresar mediante una fraccion.


1.7. Numero primo

1.8. Maximo Comun Divisor y Mınimo Comun Multiplo

1.9. Analisis combinatorio

Por Analisis Combinatorio o Combinatoria, se entiende aquella parte del algebra que se

ocupa del estudio y propiedades de los grupos que pueden formarse con elementos dados,

distinguiendose entre sı:

por el numero de elementos que entran en cada grupo.

por la clase de elementos.

por el orden de colocacion.

El numero de elementos de que se dispone para formar las distintas agrupaciones se llama

base y el numero de elementos que intervienen en cada agrupacion se denomina orden.

Las agrupaciones de orden 1 se denominan monarias, las de orden 2 binarias, las de orden

3, ternarias, etc.

Losm elementos de que se dispone para formar los grupos pueden ser distintos o bien puede

haber algunos iguales. En el primer caso, las agrupaciones formadas se llaman ordinarias, las

formadas en el segundo supuesto se denominan agrupaciones con repeticion

1.9.1. Principios fundamentales

En la mayorıa de los problemas de analisis combinatorio se observa que una operacion

o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se

puede realizar dicha operacion.

Para dichos casos es util conocer determinadas tecnicas o estrategias de conteo que facili-

taran el calculo senalado.

El analisis combinatorio tambien se define como una manera practica y abreviada de contar;

las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos.

Ejemplo:

Senalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un numero determinado

de prendas de vestir.

Ordenar 5 artıculos en 7 casilleros.

Contestar 7 preguntas de un examen de 10.


Designar 5 personas de un total de 50 para integrar una comision.

Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas.

Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales.

1. Principio de la adicion: Si un evento “A” ocurre de “m” maneras diferentes y otro evento

“B” ocurre de “n” maneras diferentes, siendo ambos mutuamente excluyentes (No pueden

ocurrir A y B simultaneamente); entonces la ocurrencia de los eventos: “A o B” sucede de

m+ n maneras diferentes.

2. Principio de la multiplicacion: Si un evento “A” puede ocurrir de “m” maneras difer-

entes y despues de haber ocurrido cualquiera de ellos, otro evento “B” puede ocurrir de

“n” maneras diferentes, entonces la ocurrencia de los eventos: “A y B” sucede de m × n

maneras diferentes.

Segun los criterios empleados para la formacion, las agrupaciones pueden ser de tres tipos:

Permutaciones

Variaciones

Combinaciones

1.9.2. Permutaciones

Es el arreglo u ordenacion de todos los elementos de un conjunto, donde un arreglo se

diferencia de otro por el orden de ubicacion de sus elementos.

Para n objetos diferentes, el numero de permutaciones Pn esta dado por:

Pn = n!

Permutacion circular

Es el arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto, distribuidos alrededor

de una curva cerrada de forma circular El numero de permutaciones circulares de n elementos,

esta dado por:

Pcn = (n− 1)!


Permutacion con repeticion

El numero de permutaciones de n objetos en el que se repiten alguno de ellos esta dado

por:

Pn{k1,k2,k3,...km} =

n!

k1!× k2!× k3!× . . . kn!

Donde:

k1, k2, k3, . . . km : Numero de veces que se repite cada elemento.

k1 + k2 + k3 + . . .+ km = n : Numero total de elementos.

1.9.3. Variaciones

Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse con “n” elementos tomados de “k” en

“k”, teniendo en cuenta el orden de sus elementos. El numero de variaciones esta dado por:

V nk =

n!

(n− k)!; n > k

Notese que una variacion es un caso particular de una permutacion.

1.9.4. Combinaciones

Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse con “n” elementos tomados de “k” en

“k”, de modo que dos arreglos cualesquiera difieren por lo menos en un elemento. El numero

de combinaciones esta dado por:

Cnk =

n!

k!(n− k)!; n > k

1.10. Logica

La estrecha relacion existente entre la matematica moderna y la logica formal es una

de sus caracterısticas fundamentales. La logica aristotelica era insuficiente para la creacion

matematica ya que la mayor parte de los argumentos utilizados en esta contienen enunciados

del tipo “si, entonces”, absolutamente extranos en aquella.

La logica proposicional utilizando una representacion primitiva del lenguaje, permite rep-

resentar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La logica proposicional permite

el estudio del razonamiento, a traves de un mecanismo que primero evalua enunciados simples

y luego enunciados complejos, formados mediante el uso de conectivos proposicionales.

Una de las mayores dificultades al analizar el rigor matematico de una demostracion se halla

en el hecho de que debemos comunicar nuestras ideas empleando el lenguaje ordinario, que


esta lleno de ambiguedades. En ocasiones es difıcil decidir si determinada lınea de razonamiento

es correcta o no. La logica elimina estas ambiguedades aclarando como se construyen las

proposiciones, hallando su valor de verdad y estableciendo reglas especıficas de inferencia por

medio de las cuales se puede determinar si un razonamiento es valido o no.

En esta primera parte estudiaremos uno de los dos niveles en los que se desenvuelve la

moderna logica formal: la logica de enunciados o de proposiciones.

1.10.1. Proposiciones y tablas de verdad

En el desarrollo de cualquier teorıa matematica se hacen afirmaciones en forma de frases

y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos

enunciados o proposiciones.

Definicion 1.10.1. En el lenguaje cientıfico, una proposicion se refiere a un enunciado que

puede ser verdadero o falso, pero no ambas cosas a la vez, generalmente una oracion enuncia-

tiva. Es el elemento unidad sobre el que se construye el lenguaje formal de la Logica.

Un enunciado linguıstico (generalmente en la forma gramatical de una oracion enunciativa)

puede ser considerado como proposicion logica cuando es susceptible de ser verdadero o falso.

Aunque existen logicas polivalentes, en orden a la claridad del concepto, aquı consideramos

unicamente el valor de Verdad o Falsedad.

Ejemplo 1.10.1. Las siguientes no son proposiciones.

(a) x+ y > 5

(b) ¿Te vas?

(c) Compra cinco azules y cuatro rojas.

(d) x = 2

Solucion

En efecto, (a) es una afirmacion pero no es una proposicion ya que sera verdadera o falsa

dependiendo de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmacion (d). Los ejemplos (b) y

(c) no son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones.

Desde el punto de vista logico carece de importancia cual sea el contenido material de los

enunciados, solamente interesa su valor de verdad.

Hay oraciones aseverativas que no son proposiciones. La oracion “El es estudioso”. No

es posible determinar si es verdadera o falsa, si no se sabe a quien se refiere. Las oraciones


de esta naturaleza se llaman enunciados abiertos. Los enunciados abiertos usan las palabras

“el”, “ella” y los sımbolos x, y, z, etc. No son proposiciones pero cuando se reemplazan estas

palabras o sımbolos por un determinado objeto o valor resultan ser proposiciones.

Ejemplo 1.10.2. Dadas las siguientes oraciones:

2 + x = 10

n es un numero primo

Se tiene que, en el primer enunciado si reemplazamos x por 5 Tendremos 2 + 5 = 10, la cual

ahora es una proposicion falsa. Si en el segundo enunciado si reemplazamos n por 7 Tendremos

“7 es un numero primo”, la cual ahora es una proposicion verdadera.

1.10.2. Valor de verdad

Definicion 1.10.2. Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposicion a su veraci-

dad o falsedad. La verdad y la falsedad son los valores de verdad que tienen las proposiciones.

Si p es una proposicion, su valor de verdad se denotara con V(p), entonces si V(p) = V decimos

que la proposicion p es verdadera, y si V(p) = F falsa. En adelante abreviaremos con “V” y

“F” los valores de verdad.

Una proposicion se representa simbolicamente por letras minusculas tales como: p, q, r,

etc (llamadas variables proposicionales). Cuando se trata de representar muchas proposiciones

similares se usan subındices para indicar cada una de ellas, esto es, p1, p2, p3, . . ., pn

Ejemplo 1.10.3.

Proposicion Valor de verdad

• Federico Villarreal es un matematico peruano. (V)

• El cuadrado es un polıgono. (V)

• 7 es un numero impar y 4 es par. (V)

• La tierra no gira alrededor del sol. (F)

• La manzana es un tuberculo. (F)

• El numero 1331 es divisible por 11. (V)

• Todos los hombres son mortales. (F)

Observacion 1.10.1.

1. Es importante notar que lo que interesa basicamente en una proposicion es su sentido de

verdad o falsedad, porque oraciones distintas pueden expresar una misma proposicion.


Por ejemplo:

� Alessandra y Leonardo son primos.

� Leonardo es primo de Alessandra.

� Alessandra es prima de Leonardo.

2. Las proposiciones no son propias de ningun lenguaje, en cambio las oraciones forman

parte de un determinado lenguaje. Por ejemplo:

� El cielo esta nublado. castellano

� The sky cloudy. ingles

� Le ciel est nugeux. frances

� Oceu esta nuvado. portugues

3. Aquellos enunciados que indican una pregunta, una orden o una exclamacion, son ex-

presiones no proposicionales. Por ejemplo:

� ¿Que hora es?.

� ¿Que edad tienes?.

� ¡Que maravilla!.

� ¡Viva el Peru!.

� Levantate temprano.

� Prohibido fumar.

1.10.3. Tabla de valores de verdad

La tabla de valores de verdad, tambien conocida como tabla de verdad, es una herramienta

desarrollada por Charles Peirce en los anos 1880, siendo sin embargo mas popular el formato

que Ludwig Wittgenstein desarrollo en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposicion molec-

ular, ası como el analisis de la misma en funcion de las proposicıones que la integran.

En realidad toda la logica esta contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta

todo lo que implican las relaciones sintacticas entre las diversas proposiciones. No obstante la

sencillez del algoritmo, aparecen una gran dificultad, la gran cantidad de operaciones que hay

que hacer para una proposicion con mas de 4 variables. Esta dificultad ha sido magnıficamente

superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.

Regla

Si tenemos dos proposiciones, como en todos los casos anteriores que hemos visto, nece-

sitaremos cuatro filas. De estas cuatro filas la primera columna tendra los valores de verdad:


V,V, y F,F, y la segunda columna V,F,V y F. Las siguientes columnas tendran los valores de

verdad segun la proposicion dada.

Si se tienen tres proposiciones, necesitaremos ocho filas, de las cuales la primera columna

se acomodaran los valores de verdad de la siguiente manera: V,V,V,V y F,F,F,F. Para la

segunda columna se reparten los valores: V,V, F,F, V,V, F,F. Y para la tercera columna

seran: V,F,V,F,V,F,V,F.

Para cuatro proposiciones, se necesitan 16 filas de las cuales en la primera columna se

reparten los valores de verdad: 8 V y 8 F. La segunda columna empezara con cuatro V,

despues cuatro F, y ası sucesivamente hasta ocupar los 16 lugares, es decir, V,V,V,V F,F,F,F

V,V,V,V y F,F,F,F. Para la tercera columna: V,V, F,F...hasta la fila numero 16.

En general: Analizando que para dos proposiciones se necesitan cuatro filas o visto de

otra manera: se necesitan 22 = 4 filas. Para tres proposiciones se necesitan ocho filas, o,

23 = 8. Para cuatro proposiciones necesitaremos 24 = 16 filas. En general para n proposiciones

necesitaremos 2n filas.

1.10.4. Clases de proposiciones

a. Simples. Llamadas tambıen atomicas o elementales, son aquellas que no contienen dentro

de sı ninguna otra proposicion. Son las proposiciones de la forma mas simple (o mas basicas),

constan de un solo sujeto y un solo predicado.

Ejemplo 1.10.4.

• Un angulo recto mide 90°.

• Jose Olaya fue un heroe de la independencia del Peru.

• La parabola es una conica.

• El numero 8 es divisible por 5.

b. Compuestas. Llamadas tambıen moleculares o coligativas, son aquellas que estan con-

stituıdas por dos o mas propopsiciones simples. Tambien se las conoce como funciones

veritativas.

En la composicion de proposiciones simples, estas estan ligadas por ciertas palabras lla-

madas conectivas tales como “y”, “o”, “si, entonces”, “si y solo si”, “no”, “pero”, etc. Estas

constantes proposicionales son llamadas Conectivos logicos.

Ejemplo 1.10.5.


El terreno es muy fertil y hay suficiente lluvia.

Esta proposicion esta compuesta de dos proposiciones simples:

p : El terreno es muy fertil.

q : Hay suficiente lluvia.

La luna no es satelite de la tierra.

Es una proposicion molecular que utiliza el conectivo “no”. En este caso, el termino

de enlace actua solo sobre una proposicion atomica:

p : La luna es satelite de la tierra.

Si estamos en diciembre entonces llegara la navidad.

p : Estamos en diciembre.

q : Llegara la navidad.

La tierra o el trabajo son factores primarios de produccion.

p : La tierra es un factor primario de produccion.

q : El trabajo es un factor primario de produccion.

Si llueve mucho y hace frıo se arruinara la cosecha de arroz.

p : Si llueve mucho se arruinara la cosecha de arroz.

q : Si hace frıo se arruinara la cosecha de arroz.

El triangulo es una figura geometrica si y solo si tiene tres lados.

p : El triangulo es una figura geometrica.

q : El triangulo tiene tres lados.

1.10.5. Conectivas

Las conectivas, conectivos logicos o terminos de enlace tienen la funcion de relacionar las

proposiciones que forman un enunciado compuesto. Son expresiones linguısticas que, aplicadas

a uno o dos enunciados, permite obtener un enunciado compuesto. Por extension, llamaremos

tambien conectivas a los signos logicos que los representan. Las expresiones linguısticas que

representan a las diferentes conectivas son: “y”, “o”, “o · · · o”, “si · · · , entonces”, “si y solo

si”, “no”. Las conectivas dadas se pueden clasificar en dos grupos:

Conectiva monadica. No enlaza dos proposiciones atomicas, afecta a una sola proposicion.

La expresion “no” es una conectiva monadica.

Conectivas diadicas o binarias. Enlazan dos proposiciones atomicas. Las expresiones “y”,

“o”, “o · · · o”, “si · · · , entonces”, “si y solo si” son conectivas diadicas.


1.10.6. Simbolizacion de proposiciones

En los ejemplos de proposiciones dadas anteriormente observamos que algunas proposi-

ciones son cortas pero tambien algunas de las proposiciones atomicas del lenguaje usual son

largas, resultando por ello pesadas y de difıcil manejo. La logica simplifica la dificultad uti-

lizando sımbolos en lugar de trabajar con todo el contenido de la proposicion, tambien utiliza

sımbolos para representar a los terminos de enlace, ası tenemos:

Para denotar a cada una de las proposiciones atomicas (en afirmativo) adoptaremos las

letras p, q, r, s, t, etc.

Para representar a las expresiones (o sus equivalentes) de enlace o conectivas utilizaremos:

∧, ∨, ∼, →, ←, ↔, ∆

Sımbolo Operacion asociada Significado

∧ Conjuncion p y q

∨ Disyuncion debil p o q (en sentido incluyente)

∼ Negacion no p

→ Implicacion o Condicional si p entonces q

↔ Bicondicional p si y solo si q

∆ Diferencia simetrica o Disyuncion fuerte o p o q

Cuadro 1.1: Conectivos logicos

Ejemplo 1.10.6. Simbolizar las siguientes proposiciones:

a. Albert Einstein no es filosofo, sino fısico.

Solucion

Forma logica: Einstein es fısico y Einstein no es filosofo.

Formula: p = Einstein es fısico.

q = Einstein es filosofo.

Simbolizacion: p∧ ∼ q

b. Sin carbono, oxıgeno, nitrogeno e hidrogeno, no hay vida.

Solucion


Forma logica:Si no hay carbono y no hay oxıgeno y no hay nitrogeno y no hay

hidrogeno, entonces no hay vida.

Formula: p = hay carbono.

q = hay oxıgeno.

r = hay hidrogeno.

s = hay nitrogeno.

t = hay vida.

Simbolizacion: (∼ p∧ ∼ q ∧ ∼ r∧ ∼ s)→∼ t

c. Si el procedimiento de la eliminacion de Gauss no puede ser completado para obtener [I/B]

de [A/I], entonces la matriz A no tiene inversa.

Solucion

Forma logica: Es clara por si misma.

Formula:p = el procedimiento de la eliminacion de Gauss puede ser completado

para obtener [I/B] de [A/I].

q = la matriz A no tiene inversa.

Simbolizacion: ∼ p →∼ q

d. El “Hospital Belen” de Lambayeque ha sido reconocido como “Hospital amigo” de la madre

y el nino, por haber puesto en practica los 10 pasos hacia una lactancia natural exitosa.

(Minsa - UNICEF, 1995)

Solucion

Forma logica:

Si el ”Hospital Belen”ha puesto en practica los 10 pasos hacia una lactan-

cia natural exitosa, entonces ha sido reconocido como “hospital amigo”

de la madre y el nino.

Formula:p = El ”Hospital Belen”de Lambayeque ha puesto en practica los 10

pasos hacia una lactancia natural exitosa.

q = El “Hospital Belen” de Lambayeque ha sido reconocido como “hos-

pital amigo” de la madre y el nino.

Simbolizacion: p → q

1.10.7. Operaciones con proposiciones

Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o mas

proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposicion

resultante a traves de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuacion el uso y

significado de los diferentes conectivos logicos.


1.10.8. Conjuncion

Se denomina conjuncion al resultado de unir dos proposiciones p y q con el conectivo logico

∧. Denotamos por “p ∧ q” y se lee “p y q”, cuya tabla de verdad es:

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Cuadro 1.2: Conjuncion

La tabla que define esta operacion, establece que la conjuncion es verdadera solo si las dos

proposiciones componentes son verdaderas. En todo otro caso, es falsa.

A las proposiciones que componen una conjuncion se las denomina conjuntivos.

Observacion 1.10.2. Las palabras “pero”, “sin embargo”, “ademas”, “aunque”, “no ob-

stante”, “tambien”, “ası como”, “a la vez”, “tal como”, “tanto como”, “al igual que”, “inclu-

so”, “ası mismo”, “a pesar que”, “obviamente”, “ahora bien”, “sino”, equivalen al conectivo de

la conjuncion. La coma tambien puede desempenar como un conectivo logico de conjuncion.

Ejemplo 1.10.7. Sea la proposicion:

r : 5 es un numero impar y 6 es un numero par

Vemos que esta compuesta de dos proposiciones:

p: 5 es un numero impar

q: 6 es un numero par

Por ser ambas verdaderas, la conjuncion es verdadera.

Ejemplo 1.10.8. Sea la proposicion:

r : Hoy es el dıa 3 de noviembre y manana es el dıa 5 de noviembre

Esta conjuncion es falsa, ya que no pueden ser simultaneamente verdaderas ambas proposi-

ciones.

Ejemplo 1.10.9. Otros ejemplos de conjuncion:

12 es multiplo de 3 y de 4.


Julio estudia no obstante tiene que trabajar.

El tetraedro tiene triangulos equilateros y el hexaedro cuadrados.

El rombo y el rectangulo son paralelogramos.

El estudiante tuvo dificultades, pero logro desarrollar el ejercicio.

El profesor gano el concurso, en la noche llamare a su casa.

15 es multiplo de 3, pero 5 no es mayor que 7.

1.10.9. Disyuncion inclusiva

Se denomina disyuncion inclusiva o disyuncion debil al resultado de unir dos proposiciones

p y q con el conectivo logico ∨. Denotamos por “p ∨ q” y se lee “p o q”, cuya tabla de verdad

es:

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F

Cuadro 1.3: Disyuncion inclusiva

La disyuncion solo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.

Las proposiciones que forman una disyuncion se denominan disyuntivos.

Observacion 1.10.3. Las palabras “u”, “salvo”, “a menos que”, “excepto”, equivalen al

conectivo logico de la disyuncion inclusiva.

Ejemplo 1.10.10. Dada la proposicion:

Alessandra es doctora o tenista

En este caso el sentido de la disyuncion es inclusiva, ya que puede ser que Alessandra sea

doctora y ademas puede ser tenista.

Ejemplo 1.10.11. Otros ejemplos de disyuncion inclusiva:

Isaac Newton invento el calculo diferencial o Grahan Bell invento el telefono.


Tiro las cosas viejas o que no me sirven.

Los profesores de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo tienen estudios de maestrıa

o doctorado.

2 es un numero primo o un numero par.

Leonardo es futbolista o ajedrecista.

El exagono es un polıgono o el rectangulo es un cuadrilatero.

1.10.10. Negacion

Dada una proposicion p, se denomina la negacion de p a otra proposicion denotada por

∼ p que se lee “no p” y que le asigna el valor veritativo opuesto al de p.

Ejemplo 1.10.12. Dada la proposicion:

P : Alessandra estudia medicina humana

entonces

∼ p : Alessandra no estudia medicina humana.

Tambien puede escribirse:

∼ p : no es cierto que Alessandra estudia medicina humana.

Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:

p ∼ p

V F

F V

Cuadro 1.4: Negacion

Observamos aquı que al valor V de p, la negacion le hace corresponder el valor F, y

viceversa. Se trata de una operacion unitaria, pues a partir de una proposicion se obtiene

otra, que es su negacion.

Observacion 1.10.4. Las palabras “es falso que”, “no es cierto que”, “es absurdo que”, “no

ocurre que”, “no es el caso que”, “no es posible que”, “nunca”, equivalen al conectivo logico

de la negacion.

Ejemplo 1.10.13. La negacion de p : “todos los alumnos estudian matematica” es: ∼ p :

no todos los alumnos estudian matematica; O bien: ∼ p : no es cierto que todos los alumnos

estudian matematica; O bien ∼ p : hay alumnos que no estudian matematica

Ejemplo 1.10.14. Otros ejemplos de negacion:

No es cierto que la cosecha de cana trae perdidas.

Es falso que el automovil es petrolero.

Nunca he visto perros de color rojo.

Ejemplo 1.10.15. Simbolizar la siguiente proposicion:

No es el caso de que 10 sea multiplo de 3 o que 5 + 2 < 10.

Solucion: Si p : 10 es multiplo de 3, y q : 5 + 2 < 10; entonces la proposicion se simboliza:

∼ (p ∨ q)

1.10.11. Condicional

La condicional lLamada tambien Implicacion de las proposiciones p y q es la proposicion

p→ q que se lee “si p entonces q” y cuya tabla de valores de verdad es:

p q p→ q

V V V

V F F

F V V

F F V

Cuadro 1.5: Condicional

La proposicion que sigue a la palabra “si”, es decir p se llama antecedente, y la proposi-

cion que sigue a la palabra “entonces” es decir q se llama consecuente de la implicacion o

condicional.

La tabla nos muestra que la implicacion solo es falsa si el antecedente es verdadero y el

consecuente es falso.

Ejemplo 1.10.16. Dada la implicacion

Si apruebo︸︷︷︸p

entonces te presto el libro︸︷︷︸q


Esta implicacion esta compuesta de las proposiciones

El antecedente p : apruebo

El consecuente q : te presto el libro

Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicacion, en relacion a la verdad o

falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condi-

cionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que

si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el

apunte la implicacion es verdadera. Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no

presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposicion es falsa. Si p y q son verdaderas,

entonces la proposicion es verdadera pues el compromiso se cumple.

Ejemplo 1.10.17. Dada la proposicion r : si 1 = −1 entonces 12 = (−1)2. Esta proposicion

resulta ser verdadera por ser el antecedente (1 = −1) falso.

Observacion 1.10.5. Las palabras “implica”, “por lo tanto”, “conclusion”, “luego”, “por

consiguiente”, “de ahi que”, “de modo que”, “deviene”, “solo si”, “es condicion suficiente

para”, “si p entonces q”, “dado p por eso q”, “cuando p ası pues q”, “de p derivamos q”,

equivalen al conectivo logico de: p→ q.

Observacion 1.10.6. Las palabras “porque”, “ya que”, “puesto que”, “si”, “cuando”, “siem-

pre que”, “dado que”, “cada vez que”, “pues”, “supone que”, “a condicion de que”, “es condi-

cion necesaria para”, “solo si”, equivalen al conectivo logico de: p← q.

Ejemplo 1.10.18. En la proposicion

te presto mi libro︸︷︷︸q

porque aprobe︸︷︷︸p

Esta implicacion sigue estando compuesta de las proposiciones

Antecedente p : aprobe

Consecuente q : te presto el libro

Lo simbolizamos (q ← p) o (p→ q), y puede reescribirse como:

si apruebo entonces te presto mi libro.

Veamos un ejemplo, el cual ayudara a comprender las maneras en que una proposicion

condicional se puede expresar:

Ejemplo 1.10.19. Cuando decimos:

Mi automovil funciona si hay gasolina en el tanque

Este enunciado es equivalente a expresarlo de las siguientes maneras:


a. Si hay gasolina en el tanque, entonces mi automovil funciona.

Observa que en este caso la proposicion condicional es del caso: “Si p, entonces q”.

b. Mi automovil solo funciona si hay gasolina en el tanque.

En este caso la proposicion condicional es del caso: “p solamente si q”.

c. Si hay gasolina en el tanque, es suficiente para que mi automovil funcione.

En este caso la condicional es de la forma: “p es suficiente par q”.

d. Para que mi automovil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque.

Para este caso la proposicion condicional es de la forma: “q es necesario para q”.

e. Que haya gasolina en el tanque implica que mi auto funcione.

En este caso la condicional es de la forma: “p implica q”.

Ejemplo 1.10.20. Otros ejemplos:

Si estudio a conciencia, entonces aprobare logica.

p→ q, donde p : estudio a conciencia, q : aprobare logica.

Si Tuman es un distrito de Chiclayo, entonces Chiclayo es provincia de Lambayeque.

p → q, donde p : Tuman es un distrito de Chiclayo, q : Chiclayo es provincia de Lam-

bayeque.

Ire al cine, si tengo dinero.

p← q, donde p : Ire al cine, q : tengo dinero.

Si 2 + 1 = 3, entonces Lambayeque tiene tres provincias.

p→ q, donde p : 2 + 1 = 3, q : Lambayeque tiene tres provincias.

8 es un numero par, si 8 es divisible por 2.

p← q, donde p : 8 es un numero par, q : 8 es divisible por 2.

Si manana voy a la playa, me levantare temprano.

En esta proposicion la palabra “entonces” no figura y en su lugar se coloca una coma.

Comprare zapatos solo si estan baratos.

Para que un numero sea impar es suficiente que no sea divisible por dos.

Ire a trabajar cuando sea bien remunerado.

La carretera se interrumpe siempre que hay huaycos.


Cada vez que hay nevada las plantas se secan.

Flor no viajo a Espana porque perdio sus documentos.

A toda condicional se le asocia otras tres proposiciones, igualmente importantes, que son:

la recıproca, la inversa y la contra recıproca.

Proposicion recıproca

Dada la proposicion condicional p→ q, se llama proposicion recıproca a la proposicion que

se denota por q → p y cuya tabla de valores de verdad es:

p q q → p

V V V

V F V

F V F

F F V

Cuadro 1.6: Recıproca

Ejemplo 1.10.21. Sea la proposicion directa p→ q:

“Si x es par, entonces, x es multiplo de 2”.

La proposicion recıproca q → p sera:

“Si x es multiplo de 2, entonces, x es par.

Proposicion inversa

Dada la proposicion condicional p → q, se llama proposicion inversa a la proposicion que

se denota por ∼ p→∼ q y cuya tabla de valores de verdad es:

p q ∼ p→∼ q

V V V

V F V

F V F

F F V

Cuadro 1.7: Inversa


“Si Flor tiene 30 anos, entonces es joven”.


La proposicion inversa ∼ p→∼ q sera:

“Si Flor no tiene 30 anos, entonces no es joven”.

Proposicion contra recıproca

Dada la proposicion condicional p→ q, se llama proposicion contra recıproca a la proposi-

cion que se denota por ∼ q →∼ p.

Esta proposicion es de mucha utilidad en la demostracion por reduccion al absurdo o falsa

suposicion.

La tabla de valores de verdad es:

p q ∼ q →∼ p

V V V

V F F

F V V

F F V

Cuadro 1.8: Contrarecıproca


“Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, entonces son paralelas”.

La proposicion contra recıproca ∼ q →∼ p sera:

“Si dos rectas no son paralelas, entonces no son perpendiculares a una misma recta”.

1.10.12. Bicondicional

La bicondicional llamada tambien doble implicacion de las proposiciones p y q es la proposi-

cion p↔ q que se lee “p si y solo si q” y cuya tabla de valores de verdad es:

p q p↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Cuadro 1.9: Bicondicional

La doble implicacion o bicondicional solo es verdadera si ambas proposiciones tienen el

mismo valor de verdad. La doble implicacion puede definirse como la conjuncion de una impli-


cacion y su recıproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p↔ q puede obtenerse

mediante la tabla de (p→ q) ∧ (q ← p), como vemos:

p q p→ q p← q (p→ q) ∧ (q ← p) p↔ q

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V

Cuadro 1.10: Una equivalencia de la Bicondicional

Los componentes del bicondicional reciben el nombre de componente izquierdo y compo-

nente derecho.

Observacion 1.10.7. Las palabras “si y solo si”, “condicion necesaria y suficiente”, “sola-

mente si”, “cuando y solo cuando”, “entonces y solo entonces”, “es identico”, “cada vez que

y solo si”, equivalen al conectivo logico de: p↔ q.

Ejemplo 1.10.24. Dada la proposicion: a = b si y solo si a2 = b2.

El enunciado esta compuesto por las proposiciones:

p : a = b

q : a2 = b2

Ejemplo 1.10.25. Otros ejemplos:

Una figura geometrica es un triangulo si y solo si tiene tres lados.

Una institucion educativa tiene Rector si y solo si es una Universidad.

Los profesionales egresados consiguen trabajo inmediatamente si y solo si la Universidad

es de calidad.

Saldremos de vacaciones cuando y solo cuando tengamos un ano trabajando.

1.10.13. Disyuncion exclusiva

La disyuncion exclusiva llamada tambien diferencia simetrica de las proposiciones p y q es

la proposicion p∆ q que se lee “p o q” en sentido excluyente o tambien “o p o q”; cuya tabla

de valores de verdad es:

La verdad de p∆ q esta caracterizada por la verdad de una y solo una de las proposiciones

componentes, es decir, la disyuncion exclusiva de dos proposiciones es falsa si y solo si los dos

disyuntivos tienen el mismo valor de verdad, y es verdadera en los demas casos.


p q p∆ q

V V F

V F V

F V V

F F F

Cuadro 1.11: Disyuncion exclusiva

Ejemplo 1.10.26. Dada la proposicion: “o vamos a Lima o vamos a Cuzco”.

Queda claro que solo podremos ir a uno de los dos lugares, y solo a uno.

Ejemplo 1.10.27. Otros ejemplos

El logico Kur Godel nacio en Checolslovaquia o nacio en Polonia.

La clase de logica empezara a las 8 o las 9 am.

El profesor esta sano o enfermo.

Alessandra viaja hoy a Canada o a Corea.

Cesar Vallejo nacio en Peru o en Francia.

Variables Negacion Conjuncion Disyuncion Condicional Bicondicional Disyuncion

inclusiva exclusiva

p q ∼ p p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q p∆ q

V V F V V V V F

V F F F V F F V

F V V F V V F V

F F V F F V V F

Cuadro 1.12: Cuadro general de los conectivos logicos

1.10.14. Proposiciones Compuestas

Usando los conectivos logicos se pueden combinar cualquier numero finito de proposiciones

simples para obtener otras cuyos valores de verdad pueden ser conocidos construyendo sus

respectivas tablas de verdad.

Los signos de agrupacion (parentesis, corchetes, llaves) se usan en logica cuando se trata

de obtener esquemas logicos mas complejos con el fin de evitar la ambiguedad de las formulas.


Ası por ejemplo, la expresion p ∨ q ∧ r es ambigua; pero asociando sus terminos: (p ∨ q) ∧ r

o p ∨ (q ∧ r), la expresion dada tiene sentido y deja de ser ambigua.

Ejemplo 1.10.28. Construir la tabla de verdad para la proposicion compuesta: [∼ p ∨ q]→(r ∧ p).

Solucion

p q r ∼ p ∼ p ∨ q r ∧ p [∼ p ∨ q]→ (r ∧ p)

V V V F V V V

V V F F V F F

V F V F F V V

V F F F F F V

F V V V V F F

F V F V V F F

F F V V V F F

F F F V V F F

1.10.15. Jerarquıa de los conectivos logicos

La jerarquıa de las conectivas, desde la mas fuerte a la mas debil es:

Bicondicional (↔)

Condicional (→)

Conjuncion (∧), Disyuncion inclusiva (∨), Disyuncion exclusiva (∆)

Negacion (∼)

En el lenguaje usual hay recursos muy variados para determinar la jerarquıa de las conectivas,

como las comas, los puntos y comas, y ciertas expresiones de refuerzo como “no es cierto que”

para negar una proposicion compuesta, y “ademas” y “tambien” para reforzar una conjuncion,

y otras. En el lenguaje oral la agrupacion o jerarquıa se realiza mediante las pausas y las

diferencias de entonacion.

En las proposiciones formalizadas o simbolizadas que hacen uso de los signos de agrupacion

(parentesis, corchetes y llaves) la jerarquıa de las conectivas es determinada por dichos signos

de agrupacion.

Para la simbolizacion o formalizacion de proposiciones compuestas es necesario saber iden-

tificar la conectiva de mayor jerarquıa y saber utilizar los signos de agrupacion correspondi-

entes.


Ejemplo 1.10.29. formalizar cada una de las siguientes proposiciones y determine la conec-

tiva de mayor jerarquıa.

a. Si no conseguimos pasaje y el tiempo es malo, entonces comprare una bicicleta o un tele-

visor.

p: conseguimos pasaje

q: el tiempo es malo

r: comprare una bicicleta

s: comprare un televisor

Formalizacion:

(∼ p ∧ q)→ (r ∨ s)

La conectiva de mayor jerarquıa es la condicional

b. No es cierto que, si 7 es un numero primo entonces 4 es un numero par y 6 no es impar.

p: 7 es un numero primo

q: 4 es un numero par

r: 6 es un numero impar

Formalizacion:

∼ [p→ (q∧ ∼ r)]

La conectiva de mayor jerarquıa es la negacion que esta delante del corchete.

c. A la vez 3 es mayor que 2 o 3 es menor que 2 y 3 es mayor que 1.

r: 3 es mayor que 2

s: 3 es menor que 2

t: 3 es mayor que 1

Formalizacion:

(r ∨ s) ∧ t

La conectiva dominante es el de la conjuncion.

La simbolizacion o formalizacion llamada tambien forma proposicional o forma logica es

toda formula que se obtiene a partir de una proposicion, reemplazando las proposiciones que

la constituyen por variables proposicionales (p, q, r, s, etc) y las conectivas por sus sımbolos

respectivos (∼, ∧, ∨, →, ↔, ∆).

Las tablas de verdad permiten clasificar las formas proposicionales en tres tipos:


1.10.16. Tautologıas

Son aquellas cuya columna resultante esta formada solamente por verdades (V). Las tau-

tologıas son las que mas interesan a la logica por ser un tipo de leyes logicas. Las leyes logicas

son formas que solo tienen interpretaciones verdaderas.

Ejemplo 1.10.30. Analizar la proposicion compuesta: w : (p → q) ↔ (∼ p ∨ q) a traves de

su tabla de verdad.

Solucion

p q ∼ p p→ q ∼ p ∨ q (p→ q)↔ (∼ p ∨ q)

V V F V V V

V F F F F V

F V V V V V

F F V V V V

A la columna resultante se le conoce con el nombre de Matriz principal

Vemos que para cualquier combinacion de las proposiciones p y q, la proposicion compuesta

w : (p→ q)↔ (∼ p ∨ q) es siempre verdadera. Entonces, la proposicion w es una tautologıa.

Ejemplo 1.10.31. Analizar la proposicion compuesta: w : [(p → q) ∧ p] → q a traves de su

tabla de verdad.

Solucion

p q p→ q (p→ q) ∧ p [(p→ q) ∧ p]→ q

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

En este caso comprobamos tambien que independientemente de la combinacion de valores

de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la formula logica es siempre V. Decimos,

aquı tambien, que esta formula es una tautologıa o ley logica.

1.10.17. Contradicciones

Son aquellas, donde la columna resultante de la tabla de verdad esta conformada solamente

por falsedades (F).

Ejemplo 1.10.32. Analizar la proposicion compuesta: w : [(p ∧ q) ∨ q]∧ ∼ q a traves de su

tabla de verdad.


Solucion

p q p ∧ q (p ∧ q) ∨ q ∼ q [(p ∧ q) ∨ q]∧ ∼ q

V V V V F F

V F F F V F

F V F V F F

F F F F V F

Obtenemos que la formula logica es siempre falsa, es entonces una Contradiccion.

Ejemplo 1.10.33. Analizar la proposicion compuesta: w : (∼ p∨ ∼ q)∆(p → ∼ q) a traves

de su tabla de verdad.

Solucion

p q ∼ p ∼ q ∼ p∨ ∼ q p→ ∼ q (∼ p∨ ∼ q)∆(p→ ∼ q)

V V F F F F F

V F F V V V F

F V V F V V F

F F V V V V F

Como los elementos de la matriz principal son falsos, entonces es una contradiccion.

1.10.18. Contingencias

Se dice que una formula logica es contingente si no es ni tautologico ni contradictorio. Su

matriz principal contiene por lo menos un V y un F.

Ejemplo 1.10.34. Analizar la proposicion compuesta: w : [p ∧ (p→ q)]→ (q∆r) a traves de

su tabla de verdad.

Solucion

p q r p→ q p ∧ (p→ q) q∆r [p ∧ (p→ q)]→ (q∆r)

V V V V V F F

V V F V V V V

V F V F F V V

V F F F F F V

F V V V F F V

F V F V F V V

F F V V F F V

F F F V F V V


Una forma proposicional es consistente cuando tiene por lo menos una interpretacion ver-

dadera, y es inconsistente cuando no tiene ninguna interpretacion verdadera. Las tautologıas y

las contingencias son formas consistentes, mientras que las contradicciones son inconsistentes.

1.10.19. Equivalencias logicas

Existen varias equivalencias de la logica proposicional, las cuales se conocen como leyes de

equivalencia. Dos formulas F1 y F2 son equivalentes (o logicamente equivalentes) si: F1 ↔ F2

resulta ser una tautologıa, o si las tablas de valores de verdad de F1 y F2 son identicos, y se

denota F1 ≡ F2

Ejemplo 1.10.35. Las proposiciones p → q y ∼ (p ∧ ∼ q) son equivalentes, como vemos

realizando la tabla de valores correspondientes:

Solucion

p q p→ q ∼ (p ∧ ∼ q) [p→ q]↔ [∼ (p∧ ∼ q)]

V V V V V

V F F F V

F V V V V

F F V F V

Podemos concluir entonces que: p→ q y ∼ (p ∧ ∼ q) son equivalentes, es decir:

p→ q ≡∼ (p ∧ ∼ q)

Otro ejemplo de equivalencia es: p↔ q ≡∼ (p∆q). Esto se verifica revisando las tablas de

verdad.

1.10.20. Leyes del Algebra Proposicional

Son ciertas equivalencias logicas que las presentamos a continuacion y cuya demostracion

es facil de realizar exhibiendo sus tablas veritativas correspondientes.

1. Idempotencia:

a) p ∧ p ≡ p

b) p ∨ p ≡ p

2. Conmutativa:

a) p ∧ q ≡ q ∧ p


b) p ∨ q ≡ q ∨ p

c) p↔ q ≡ q ↔ p

d) p ∆q ≡ q∆p

3. Asociativa:

a) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

b) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

c) (p↔ q)↔ r ≡ p↔ (q ↔ r)

d) (p ∆q)∆r ≡ p ∆(q ∆r)

4. Distributiva:

a) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

b) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

c) p→ (q ∧ r) ≡ (p→ q) ∧ (p→ r)

d) p→ (q ∨ r) ≡ (p→ q) ∨ (p→ r)

5. Identidad:

a) p ∧V ≡ V ∧ p ≡ p

b) p ∧ F ≡ F ∧ p ≡ F

c) p ∨V ≡ V ∨ p ≡ V

d) p ∨ F ≡ F ∨ p ≡ p

6. Complemento:

a) ∼∼ p ≡ p Involucion

b) p ∧ ∼ p ≡ ∼ p ∧ p ≡ F

c) p ∨ ∼ p ≡ ∼ p ∨ p ≡ V Tercio excluıdo

d) p→ p ≡ V Principio de identidad

e) p↔ p ≡ V Principio de identidad

f) ∼ (p ∧ ∼ p) ≡ V Principio de no contradiccion

g) ∼ V ≡ F

h) ∼ F ≡ V


7. Morgan:

a) ∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q

b) ∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q

8. Absorcion:

a) p ∧ (p ∨ q) ≡ p

b) p ∨ (p ∧ q) ≡ p

c) p ∧ (∼ p ∨ q) ≡ p ∧ q

d) p ∨ (∼ p ∧ q) ≡ p ∨ q

9. Implicacion:

a) p→ q ≡ ∼ p ∨ q

b) p→ q ≡ ∼ (p ∧ ∼ q)

c) p→ q ≡ ∼ q → ∼ p

10. Doble Implicacion:

a) p↔ q ≡ (p→ q) ∧ (q → p)

b) p↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q)

11. Diferencia Simetrica:

a) p ∆q ≡ ∼ (p↔ q)

b) p ∆q ≡ (p ∧ ∼ q) ∨ (q ∧ ∼ p)

12. Expansion Booleana:

a) p ≡ p ∧ (q ∨ ∼ q)

b) p ≡ p ∨ (q ∧ ∼ q)

13. Transposicion:

a) p→ q ≡ ∼ q → ∼ p

b) p↔ q ≡ ∼ q ↔ ∼ p

14. Exportacion:

a) (p ∧ q)→ r ≡ p→ (q → r)

b) (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn)→ r ≡ (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn−1)→ (pn → r)


1.10.21. Simplificacion de proposiciones

La aplicacion de las leyes de la logica proposicional permite simplificar proposiciones molec-

ulares, reducir una proposicion compuesta a una proposicion mas simple, generalmente de

menos variables proposicionales y relacionadas con los conectivos logicos ∧, ∨, o ∼. En al-

gunos casos se reduce a una tautologıa o a una contradiccion.

Ejemplo 1.10.36. Simplificar la proposicion W = [(∼ p ∧ q)→ (r ∧ ∼ r)] ∧ (∼ q)

Solucion

W ≡ [∼ (∼ p ∧ q) ∨ (r ∧ ∼ r)] ∧ (∼ q) (9.a.)

≡ [(p ∧ ∼ q) ∨ F] ∧ (∼ q) (7.a., 6.b.)

≡ [(p ∧ ∼ q)] ∧ (∼ q) (5.d.)

≡ ∼ q (8.b.)

∴ W ≡ ∼ q �

Ejemplo 1.10.37. Simplificar la proposicion W =∼ [(p→∼ q)∨ ∼ q]→ [∼ p↔ (∼ p→ q)]

Solucion

W ≡ [(p→∼ q)∨ ∼ q] ∨ [∼ p↔ (∼ p→ q)] (9.a.)

≡ [(∼ p∨ ∼ q)∨ ∼ q] ∨ [∼ p↔ (p ∨ q)] (9.a.)

≡ [∼ p ∨ (∼ q ∨ ∼ q)] ∨ [∼ p↔ (p ∨ q)] (3.b.)

≡ (∼ p∨ ∼ q) ∨ [∼ p↔ (p ∨ q)] (1.b.)

≡ ∼ p∨ ∼ q ∨[(∼ p∧(p∨q))∨(p∧ ∼ (p∨q))] (10.b.)

≡ ∼ p∨ ∼ q ∨ [(∼ p ∧ q) ∨ (p∧ ∼ p∧ ∼ q)] (8.c.)

≡ ∼ p∨ ∼ q ∨ (∼ p ∧ q) ∨ (F∧ ∼ q) (6.b.)

≡ ∼ p∨ ∼ q ∨ (∼ p ∧ q) ∨ F (5.b.)

≡ [∼ p ∨ (∼ p ∧ q)]∨ ∼ q (3.b., 5.d.)

≡ ∼ p∨ ∼ q (8.b.)

∴ W ≡ ∼ p∨ ∼ q �


1.11. Conjuntos

1.12. Aplicaciones de la Aritmetica

1.12.1. Aplicaciones a la Medicina

Regla de tres

Administracion Vıa Oral, Sublingual y Topica

Vıa Oral

La administracion de medicamentos por vıa oral es la mas segura y economica, ası como la

mas recomendable cuando no existen dificultades o contraindicaciones para su utilizacion

(ej. vomitos) no se requiere una respuesta inmediata, ya que la accion farmacologica se

inicia lentamente en comparacion con otras vıas. Ademas, la tecnica de administracion

es muy sencilla y permite que el tratamiento pueda ser efectuado por el propio enfermo.

La mayor parte de los medicamentos pueden ser administrados por vıa oral, puesto que

la mucosa digestiva permite la absorcion de sustancias muy diversas, principalmente en

el estomago, desde donde pasan a la circulacion general y actuan a nivel sistemico.

Existen muy diferentes formas de presentacion de medicamentos para la administracion

oral, ya sea solidas (capsulas, comprimidos, tabletas) o liquidas (jarabes, soluciones,

suspensiones). Cuando se trata de medicamentos que puedan resultar alteradas por el

medio acido del estomago, se emplean capsulas o grageas con proteccion enterica.

La vıa oral es el mas comun de los metodos para administrar medicamentos en la ac-

tualidad. Es frecuente que el frasco de medicina que tenga usted en las manos posea

diferentes dosificaciones a la indicada por el medico. Cuando esto pasa, el trabajador

de la salud realizara algunos calculos matematicos para dar al paciente la cantidad del

medicamento que tiene prescrito por el medico.

Los ejemplos de los ejercicios resueltos, en la parte de las aplicaciones, le ayudaran

a desarrollar un metodo para desarrollar problemas de dosificacion de medicamentos

orales.

Vıa Intramuscular. IM

Es la introduccion de una sustancia a traves de la piel hasta el tejido muscular, para

lograr la absorcion mas rapida.

Una ampolla contiene cantidad suficiente para una sola aplicacion como la morfinade


10 mg. Un frasco con dosis multiples puede contener hasta diez (10) dosis, pero especi-

ficara la cantidad de farmaco contenido en un mililitro (ml) por ejemplo Ciprofloxacina

200 mg / 100 ml.

La dosis especificada en la etiqueta de la ampolla o frasco puede ser distinta a la orde-

nada por el medico; de ser ası, realizara una operacion matematica para determinar si el

volumen por aplicar es la senalada en el manejo de las diluciones de medicamentos para

uso oral.


✍ EJERCICIOS RESUELTOS 1.

I. Sucesiones y Series

1. Calcular el termino que continua:

5; 3; 6; 5; 7; 7; 8; 9; 9; . . .

Solucion

Como la sucesion es alternada entonces:

5 3 6 5 7 7 8 9 9

+2 +2 +2 +2

luego el termino que continua es: 11

2. Una tina se encuentra en reparacion, el primer dıa da 63 goteadas y cada dıa que

transcurre da dos gotas menos que el dıa anterior. ¿Cuantos dıas goteara la tina y

cuantas goteadas dara en total?.

Solucion

63, 61, 59, . . . , 1

an = a1 + (n− 1)r

63 = 1 + (n− 1)2

entonces n = 32, luego la suma

S = (1 + 63

2) 32 = 1024

3. Evaluar:

P = 23 + 43 + 63 + 83 + . . . . . .+ 163

Solucion

an = a1 + (n− 1)r

163 = 23 + (n− 1)(20)

de donde n = 8, luego

S =

(23 + 163

2

)8 = 744

II. Fracciones


1. Calcular: E =2, 2 + 4, 4 + 6, 6 + 8, 8

2, 8 + 4, 6 + 6, 4 + 8, 2Solucion

E =22

2 +8

9+ 4 +

6

9+ 6 +

4

9+ 8 +

2

9

E =22

20 +20

9

Reduciendo se tiene que E = 0,99.

2. Hallar: a+ b, sabiendo que son naturales y quea

9+

b

5= 1, 02.

Soluciona

9+

b

5= 1 +

2

90

entonces 5a+ 9b = 46, luego a = 2, b = 4, entonces a+ b = 6.

III. Razones y proporciones

1. La media proporcional de “a” y “b” es “x”, que es lo mismo que la tercera proporcional

de “8a” y “b”; lo mismo que la cuarta proporcional de√3 a, 2 y

√3 b. El valor de

a+ b+ x es:

Solucion

a

x=

x

b⇒ x =

√ab

8a

b=

b

x⇒ x =

b2

8a√3 a

2=

√3 b

x⇒ x =

2b

a

De las dos ultimas ecuaciones se tiene que b = 16, ademas 2ba =

√ab, entonces a = 4,

luego x = 8. Por lo tanto a+ b+ x = 28

2. Los numeros x, y, z son proporcionales a los numeros 2, 3, 5, la suma de x, y, y z es

80. El numero y esta dado por la ecuacion: y = ax+ 8. El valor de a es:

Solucion

x = 2k, y = 3k, z = 5k, ahora como

x+ y + z = 80

entonces k = 8, de donde x = 16, y = 24, z = 40; luego reemplazando en y = ax+ 8

se tiene que a = 1.

IV. Mezclas


1. Un recipiente se llena con 60 litros de vino. Se consume 1/3 del contenido y se vuelve

a llenar con agua, luego se consume 2/5 del contenido y se vuelve a llenar con agua.

¿Que cantidad de agua hay en la mezcla final?.

Solucion

vino 60

Se consume 1/3 del contenido y se vuelve a llenar con agua

Se extrae Queda

vino 13 (60)

23(60) = 40

vino 40

agua 20

Se consume 2/5 del contenido.

Se extrae Queda

agua 25(20)

35(20) = 12

vino 25(40)

35(40) = 24

Ahora se tiene 36 litros de mezcla y como se tiene que llenar con agua, se necesita de 24

litros de agua. Por lo tanto la cantidad de agua hay en la mezcla final es: 12+24 = 36

litros.

2. En un recipiente de 20 litros de capacidad se vierten 10 litros de pisco, 4 litros de

gaseosa y 6 litros de tequila. Se prueba la mezcla y resulta muy fuerte por lo que se

bota la cuarta parte del contenido y se llena con gaseosa; se vuelve a probar y sigue

muy fuerte por lo que se bota la tercera parte del contenido y se vuelve a llenar con

gaseosa; se prueba nuevamente y sigue fuerte por lo que se bota la quinta parte del

contenido y se llena con gaseoasa. ¿Cual es la cantidad de gaseosa contenida en el

recipiente final?.

Solucion

Del enunciado del problema se tiene:


6 L

10 L

4 L

Total

20L

Tequila

Pisco

Gaseosa

T P G

6 10 4 se bota 1/4 de la mezcla

Queda 9/2 15/2 3 se llena con gaseosa

Queda 9/2 15/2 8 se bota 1/3 de la mezcla

Queda 3 5 16/3 se llena con gaseosa

Queda 3 5 12 se bota 1/5 de la mezcla

Queda 12/5 4 48/5 se llena con gaseosa

Queda 12/5 4 68/5

Por lo tanto, la gaseosa contenida al final es 68/5 = 13,6 litros.

Otra forma es considerando al tequila y el pisco como uno solo, ası tenemos (10+6 = 16

litros)

Queda de tequila y pisco =4

5

(2

3

(3

4(16)

))= 6,4 litros.

puesto que:

Si se saca 1/4, entonces queda 3/4.



Por lo tanto, la gaseosa contenida al final es 20− 6,4 = 13,6 litros.

V. Regla de tres

1. Un ladrillo pesa 4 kg, ¿Cuanto pesara otro ladrillo cuyas dimensiones sean la mitad

del ladrillo anterior?

Solucionlongitud ancho altura peso

l a a

x kgl2

a2

a2

4 kg

de donde: l × a× a× x =l

2× a

2× a

2× 4, luego: x = 0,5

2. Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 dıas ¿Cuantos dıas tardaran 45 carpinteros

para hacer 12 puertas iguales?

Solucion


carpinteros dıas puertas

40 9

1245 x

16

de donde: 40× 9× 12 = 45 × x× 16, luego: x = 6

VI. Aplicaciones de la Aritmetica

Aplicaciones a la Medicina

1. El medico prescribio 300 mg de Ranitidina, la etiqueta del frasco dice que

contiene tabletas de 150 mg. El problema es determinar el numero de tabletas

para obtener la dosis precisa.

Solucion

De la dosis deseada del farmaco disponible, plantearemos utilizando la regla de

tres simple.

1 tableta 150 mg

x tabletas 300 mg

luego

x =300��mg× 1 tableta

150��mg

de donde x = 2 tabletas.

2. Cama Nº: 2

Nombre: Daddy Yankee

Medicamento: Morfina

Dosis: 8 mg

Vıa: I.M.

Hora: Cada 4 horas por razon necesaria

El farmaco que hay en el servicio dice: Morfina 10mg/1ml. El farmaco disponible

es Morfina 10mg/1ml; la prescripcion indica 8 mg de Morfina. Establezca la

proporcion para conocer la cantidad de medicamento que se debe suministrar.

Solucion

Usemos la regla de tres simple.

10 mg 1 ml

8 mg x ml


luego

x =8��mg× 1 ml

10��mg

de donde x = 0,8 ml.


✍ EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

I. Series

1. Una tina se encuentra en reparacion, el primer dıa da 63 goteadas y cada dıa que

transcurre da dos gotas menos que el dıa anterior. ¿Cuantos dıas goteara la tina y

cuantas goteadas dara en total?.

2. Evaluar: P = 23 + 43 + 63 + 83 + . . . . . .+ 163.

3. Calcular: S1 + S2 + S3; si se sabe que:

S1 = 1 + 3 + 5 + . . . . . .+ 19

S2 = 1 + 4 + 9 + . . . . . .+ 100

S3 = 0,1 + 0,2 + 0,3 + . . . . . .+ 8

4. Calcular:

10∑

n=1

(2n3 − 3n2 + 2n)

5. Hallar “x”; si:√2 ·√22 ·√23 . . .

√2x = 1048576(285)

6. Del triangulo numerico:

1

2 + 4

3 + 6 + 9

4 + 8 + 12 + 16...

Calcular la suma de los elementos de la fila 30.

7. Calcular: S = 2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . . 930

8. Calcular: S = 1× 5 + 2× 6 + 3× 7 + . . . + 20× 24

9. Hallar (n+m) en:1

2× 4× 6+

1

4× 6× 8+

1

6× 8× 10+ . . . +

1

40× 42× 44=

n

m

10. Reducir: S = 1 +1

2+

2

4+

3

8+

4

16+ . . .+

10

210

11. Efectuar: S = 2 + 5 + 8 + . . . . . .+ (3n− 1).

12. Calcular (x+ 3)2, si: 1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2x+ 3) = 7 + 14 + 21 + · · · + 49

13. Sumar: S =1

101+

2

102+

3

103+

4

104+ · · ·

14. Hallar S en: S =9

20+

18

80+

36

320+

72

1280+ · · ·


15. Hallar:

∞∑

x=1

(2x + 3x

6x

)

II. Fracciones

1. Calcular: E =2, 2 + 4, 4 + 6, 6 + 8, 8

2, 8 + 4, 6 + 6, 4 + 8, 2

2. Hallar: a+ b, sabiendo que son naturales y quea

9+

b

5= 1, 02.

3. Hallar los 2/3 menos de los 4/5 mas del triple de 30.

4. Hallar a en:

(1, 6

0, 3− 0, 3

1, 6

)(a

2, 6− 2

3+ 0, 16

)= 3

5. El denominador de una fraccion excede al numerador en 6, si el denominador aumenta

en 4 el valor de la fraccion serıa 1/6. Hallar dicha fraccion.

6. Alessandra perdio 2/7 del dinero que le encargaron. ¿Que parte de lo que quede

servira para reponer lo perdido?.

7. En una fiesta la 1/5 parte del numero de hombres es igual a los 7/9 del numero de

mujeres. ¿Que parte de los reunidos representan las mujeres?.

8. Una persona ya avanzo 1/5 de su recorrido. ¿Que fraccion de lo que falta debe avanzar

para llegar a los 8/15 del recorrido?.

9. En un grupo de estudios hay 60 alumnos, las 2/5 partes tienen mochilas. ¿Que fraccion

de los que no tienen mochilas, tienen mochila?.

10. Se extraen 400 litros de un tanque que estaba lleno hasta sus 2/3, quedando hasta sus

3/5. ¿Cuantos litros falta para llenar el tanque?.

11. Un tren parte con cierto numero de pasajeros. En el primer paradero deja la tercera

parte, en el segundo suben 65 pasajeros, en el tercero bajan las 3/5 de los que lleva,

en el cuarto suben 50 pasajeros y en el trayecto al quinto paradero deja los 3/8 de los

que lleva, llegando a este con 80 pasajeros determine, con cuantos pasajeros partio.

12. Se tiene 2 cajas de fosforo; se usa de la primera 3/8 del total y de la segunda 2/7 del

total. Los fosforos usados en la primera son 13 mas que de la segunda y queda en la

segunda caja 4/7 de fosforos que queda en la primera. ¿Cuantos fosforos tiene cada

caja?.

13. Si 0, n(n − 1) = N/11, hallar: N + n.

III. Razones y proporciones


1. La media proporcional de “a” y “b” es “x”, que es lo mismo que la tercera proporcional

de “8a” y “b”; lo mismo que la cuarta proporcional de√3 a, 2 y

√3 b. Hallar el

valor de a+ b+ x.

2. Los numeros x, y, z son proporcionales a los numeros 2, 3, 5, la suma de x, y, y z es

80. El numero y esta dado por la ecuacion: y = ax+ 8. Hallar el valor de a.

3. Dos numeros estan en la relacion de 2 a 6. Si la cuarta parte del mayor es la tercera

proporcional de 4 y la mitad del otro numero. Hallar la suma de los numeros.

4. En un recipiente de 30 litros y otro de 74 litros ¿Cuantos litros deben ser transferidos

del segundo recipiente al primero de manera que los contenidos se encuentren en la

razon de 3:5?.

5. Sabiendo quea

b=

c

d,√a+√b+√c+√d = 15. Hallar: a+ b+ c+ d.

6. Hallar:a

b; si

a

b=

c

d= k. Ademas:

a+ 1

b+ 5=

c+ 3

d+ 15.

7. Si:a

b=

5

8y a2 + b2 = 712. Calcular el exceso de b sobre a.

8. Calcular la razon de una serie de razones iguales donde la suma de cuadrados de los

antecedentes es 1/2 y de los consecuentes es 1/8.

9. Si A es inversamente proporcional a B; con una constante de proporcionalidad k,

¿Cuanto vale k si la constante de proporcionalidad entre la suma y diferencia de A y

1/B vale 6?.

10. Repartir 154 en partes directamente proporcionales a: 2/3, 1/4, 1/5, 1/6, e indicar la

mayor cantidad.

11. A tiene 8 panes y B tiene 4; y deben compartirlos equitativamente con C y D. Para

recompensarlo, estos entregaron 18 soles a A y B ¿Cuanto le toco a A?.

12. Hallar el valor de A+B + C +D + E, si:

A es la tercera diferencial de 20 y 16

B es la media diferencial de 27 y 39

C es la media proporcional de 72 y 18

D es la tercera proporcional de 5 y 25

E es la cuarta proporcional de 42, 12 y 14

13. Tres cantidades son proporcionales a 6, 8 y 10 y el producto de estos 960. Hallar el

numero intermedio.

14. En una fiesta se observa por cada 5 hombres hay 7 mujeres y ademas por cada 3

hombres que fuman hay 8 mujeres que no fuman. Sabiendo que hay 10 mujeres mas


que hombres y hay 20 personas fumando. ¿Cuantos hombres fuman?

IV. Mezclas

1. Un recipiente contiene una mezcla de 50 litros de agua con 30 litros de vino y se extrae

3/10 de dicha mezcla. ¿Cuantos litros de agua y vino quedan?

2. Un recipiente contiene 60 litros de vino. Se extrae 1/3 del contenido y se reemplaza por

agua; luego se extrae 2/5 de la mezcla y tambien se reemplaza por agua. ¿Que cantidad

de agua hay en la mezcla final?.

3. Un deposito contiene 75 litros de leche pura, luego se extrae 1/3 de su contenido y se

reemplaza por agua, enseguida se extrae 1/5 de la mezcla y tambien se reemplaza por

agua y por ultimo se extrae 1/4 de la nueva mezcla y tambien se reemplaza por agua,

¿Que relacion de leche pura y agua quedan en el deposito?.

4. Un balde se llena con 54 litros de agua, se extrae 9 litros de agua reemplazandolo

con lejıa, despues se extrae 9 litros de la mezcla resultante, que son reemplazados por

lejıa; haciendo lo mismo una 3°, 4°, . . . , n-esima vez, observandose que luego de n

operaciones, la parte fraccionaria de agua en la mezcla es78125

279936. Hallar n.

5. Dos piscos A y B estan mezclados en 3 recipientes. En el primer recipiente la razon

es de 1/2 de A y 1/2 de B. En el segundo es de 1/3 de A y 2/3 de B y en el tercero

es de 1/4 de A y 3/4 de B. Si se saca el mismo volumen de todos los recipientes para

formar una mezcla que contenga 39 litros del pisco A, ¿Cuantos litros se extraen de

cada recipiente?.

V. Regla de tres

1. Un ladrillo pesa 4 kg, ¿Cuanto pesara otro ladrillo cuyas dimensiones sean la mitad

del ladrillo anterior?

2. Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 dıas ¿Cuantos dıas tardaran 45 carpinteros

para hacer 12 puertas iguales?

3. Por 8 dıas de trabajo, 12 obreros han cobrado $.640 ¿Cuanto ganaran por 16 dıas, 15

obreros con los mismos jornales?

4. Si con 120 kg de pasto se alimenta a 4 caballos durante 5 dıas ¿Cuantos kg de pasto

se necesitaran para alimentar a 9 caballos en 3 dıas?

5. Un grupo de obreros debıa entregar una obra en un determinado plazo. Luego de

algunos dıas de trabajo se accidentaron 10 obreros y no pudieron ser reemplazados


hasta dentro de 8 dıas y por ello se contrataron 30 obreros adicionales, con lo cual, se

acabo la obra en la fecha prevista ¿Cuantos dıas trabajaron los ultimos obreros?

6. Una cuadrilla de 15 obreros trabajando 6 horas diarias terminan una obra en 38 dıas.

¿Cuantos dıas tardarıan para hacer la misma obra, 19 obreros trabajando 3 horas

diarias mas que los anteriores?

7. Ocho obreros pueden hacer una obra en 3 dıas. ¿Cuantos obreros mas harıan falta

para hacer la obra en 2 dıas?.

8. Si 36 obreros para pavimentar una pista de 400 metros de largo, por 6 metros de

ancho; demoran 32 dıas. ¿Cuantos dıas tardaran, si se aumento 12 obreros mas para

pavimentar otra pista de 300 metros de largo, por 8 metros de ancho?

9. Un ciclista cubre una distancia de Lima a Trujillo en 10 dıas, corriendo 12 horas a

una velocidad de 42 km por hora ¿A que velocidad debera correr para cubrir la misma

distancia en 8 dıas de 9 horas diarias?

10. Un ejercito de 7000 hombres tienen municiones para 20 dıas a razon de 6 cargas diarias

cada hombre, pero si llegan 1850 hombres sin municiones. ¿Cuantos dıas duraran las

municiones, si cada hombre recibe ahora solo 3 cargas diarias?

11. Un grupo de 45 obreros se comprometen a hacer 900 m2 de una obra en 30 dıas,

trabajando 6 horas diarias. Si trabajaron juntos 5 dıas, al final de los cuales, se les

pidio que entreguen solo 750 m2 de la obra, pero 7 dıas antes de lo previsto. ¿Cuantos

obreros seran necesarios emplear para que trabajando 12 horas diarias puedan cumplir

la nueva orden?

12. Treinta obreros hacen una zanja de 20m de largo, 2m de ancho y 1m de profundidad

en 18 dıas a 8h/dıa, ¿En cuantos dıas, 45 obreros haran una zanja, de manera que

las dimensiones finales sean 50% mayor que las iniciales y si las horas diarias no se

alteran?

VI. Tanto porciento

1. Si el 40% de A es igual a 20% de B. ¿Que porcentaje de B es A?

2. El 20% de un numero es el 30% de otro. ¿Que porcentaje de la suma es la diferencia

de estos numeros?

3. Ayer tuve $69 y gaste el 38% de lo que no gaste. ¿Cuanto no gaste?

4. Se vendio un artıculo en $4200 ganando el 14% del precio de compra mas el 5% del

precio de venta. ¿Cuanto costo el artıculo?


5. ¿Que porcentaje habrıa que disminuir a un numero para que sea igual al 60% del

25% del 80% del 50% de los 10/3 del numero?

6. Si a un numero “N” se le aumenta 5/16 de su valor, luego 1/7 del nuevo valor. Hallar

el porcentaje total que aumento el numero “N”.

7. Si al precio de venta de un artıculo, se le hace 3 descuentos sucesivos del 20%; 10%

y 5% se observa que el descuento efectivo ha sido de 632 soles ¿Cual es el precio de

venta de dicho artıculo?

8. ¿Cual es el precio de costo de un artıculo, cuyo precio de venta es “a” soles y la

ganancia es de “b%” del precio de venta?

9. Si la arista de un cubo disminuye en un 50%. ¿En que porcentaje ha disminuido su

area?

10. Si el diametro de un cırculo aumenta en un 70%. ¿En que porcentaje aumenta su

area?

11. De un recipiente lleno de vino, se extrae el 25% de lo que no se extrae. ¿Que tanto

por ciento estara lleno el recipiente, si se agrega el 30% de lo que faltaba por llenar?

12. Si Flor se retiro del casino con 240 soles, habiendo perdido primero el 20% y luego

ganando el 50% de lo que le quedaba. ¿Con cuanto fue al casino?.

13. A una fiesta asisten hombres y mujeres, el 25% son hombres y el resto mujeres, si

se retiran el 40% de los hombres y el 50% de las mujeres. ¿Que porcentaje de las

mujeres que quedan son los hombres que quedan?.

14. Un artıculo se ha vendido en 1200 soles ganando el 20% del costo mas el 15% del

precio de venta. Hallar el precio de costo de dicho artıculo.

15. Si en la venta de un artefacto se gana el 25% del precio de costo. ¿Que tanto por

ciento es la ganancia respecto al precio de venta?.

VII. Numero primo

1.

VIII. Maximo comun divisor y mınimo comun multiplo

1.

IX. Analisis combinatorio


1. De cuantas maneras se pueden elegir dos o mas corbatas de una coleccion que contiene

ocho?

2. En la seccion de un hospital se disponen de 12 enfermeras, de cuantas maneras puede

hacerse una seleccion de 5 de modo que:

Una Enfermera se incluye siempre.

Una Enfermera se excluye siempre.

3. De cuantas maneras distintas puede ir una persona de la ciudad A a la ciudad E.

A

B

C

D

E

4. En cierto examen un estudiante debe contestar 8 de 10 preguntas.

Cuantas maneras de escoger tiene?

Cuantas maneras puede escoger, si las tres primeras son obligatorias?

5. Alessandra desea viajar de Lima a Cuzco y tiene a su disposicion 4 lıneas aereas y 6

terrestres. ¿De cuantas maneras diferentes podra viajar?

6. Si hay 5 candidatos para presidente y 4 para alcalde. ¿De cuantas maneras se pueden

elegir estos dos cargos?

7. De mi casa al CPU hay 8 caminos, de cuantas maneras puedo ir y regresar, si de

regreso no puedo usar el camino de ida?

8. Una persona tiene para vestirse 5 pantalones; 4 camisas y 3 pares de zapatos. ¿De

cuantas maneras se podra vestir?

9. Alessandra tiene para vestir; 4 blusas, 3 pantalones; 2 faldas y 6 pares de zapatos.

¿De cuantas formas se podra vestir?

10. Se quieren sentar 4 hombres y 3 mujeres en una fila de modo que los hombres y mujeres

esten intercalados. ¿De cuantas formas podran hacerlo?

11. En una reunion conmemorativa donde se celebra el nacimiento del ilustre Nishiren

Daishonin se observo 36 apretones de mano. ¿Cuantas personas hay en dicha re-

union?

12. ¿De cuantas formas se puede ubicar 6 ninos en una fila; si dos de ellos deben estar

siempre juntos.


13. En un equipo de futbol se cuenta con 8 alumnos, 5 hombres y 3 mujeres. Se desea

formar grupos mixtos de 6 alumnos. ¿Cuantos grupos se podran formar?

14. Con los dıgitos {1, 2, 3, 4, 5}, Cuantos numeros pares de 3 cifras distintas se pueden

formar?.

15. Con los dıgitos {2, 4, 6, 8, 9}, Cuantos numeros impares se pueden formar sin que se

repitan las cifras?.

16. ¿Cuantos numeros diferentes de 3 cifras pueden formarse con las cifras {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};mayores que 300 y menores que 800.

17. Alessandra y sus 9 amigos desean ordenarse para tomarse una foto. Si entre ellos

hay una pareja de enamorados que no desea separarse, ¿de cuantas maneras pueden

ordenarse?.

18. En un corral hay 10 jaulas diferentes, se han comprado 10 aves: 3 gallinas, 4 pavos y 3

patos. ¿De cuantas maneras distintas se puede colocar un ave en una jaula, de modo

que se diferencien en una especie?

19. Hallar el numero de formas diferentes en que pueden sentarse 4 hombres y 3 mujeres

en una fila de 7 sillas, si las mujeres deben ser contiguas.

20. ¿De cuantas maneras podra ser elegido el delegado y subdelegado del aula constituido

de 20 alumnos, bajo la condicion de que cada alumno pueda ser elegido solo a uno de

estos cargos?

21. Determinar el numero de permutaciones diferentes que serıan posible formarse con las

letras de la palabra “QUEQUE”

22. En un hospital se tiene 5 medicos especialistas en nefrologıa y 4 enfermeras se desea

escoger un grupo de 4 personas para una intervencion quirurgica al rinon en la sala de

cirugıa del nosocomio ¿De cuantas maneras se podra realizar esto, si en cada grupo

debe haber a lo mas 2 medicos nefrologos para realizar la intervencion?

23. • B

A•

• C

F•

• D

• E


De la figura halle la diferencia entre el numero de triangulos y el numero de rectas

que pueden trazarse.

24. Cuantos numeros de 3 cifras que sean pares existen?

25. ¿Cuantas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BEBETO, si

debe empezar con O y terminar en T?

X. Logica

1. Si se sabe que p es Verdadera; entonces el valor de: p ∨ [∼ q ∧ (r → s)]

a) Depende del valor que asume q.

b) Siempre sera Verdadera.

c) Depende del valor que asume s.

d) Siempre sera Falsa.

e) Depende del valor que asume r.

2. Si se sabe que ∼ q es Verdadera; entonces el valor de: [p ∧ (r ∨ s)]→∼ q

a) Depende del valor que asume r.

b) Depende del valor que asume p.

c) Depende del valor que asume r∨ s.d) Siempre sera Falsa.

e) Siempre sera Verdadera.

3. Si se sabe que: p∨ ∼ q es falso; q → s es verdadero. Hallar el valor de verdad de:� (∼ q ∧ ∼ r)↔ (t∨ ∼ t)� (p↔ ∼ s)∨ ∼ (t∧ ∼ s)

4. Si la proposicion: ∼ [(q → s)→ (p→ r)] es verdadera; hallar el valor de verdad de:� (∼ s→∼ q)∆ (r → p)� ∼ (q ∧ ∼ s) ∧ (p∧ ∼ r)� (p ∧ q ∧ r ∧ s) ∨ (p← r)

5. La proposicion ∼ [(p ∨ q) ↔ (r ∧ s)] es falsa teniendo r y s valores de verdad

opuestos. ¿Cual es el valor veritativo de cada una de las proposiciones siguientes?� [(∼ p∧ ∼ q) ∨ (r ∧ s)] ∧ p� [(∼ p ∨ q) ∧ (r ∨ s)] ∨ (∼ p ∧ q)� [(∼ r∧ ∼ s)→ (p∨ ∼ q)]∧ ∼ (r ∧ s)

6. Si la proposicion compuesta: ∼ (p∨ ∼ q) ∧ (q ↔ r) es verdadera. ¿Cuales de las

siguientes proposiciones son verdaderas?


I. (p ∨ s) ∧ q

II. (t ∧ q)→ r

III. (s∆ q)→ q

7. Simplificar: ∼ (∼ p∧ ∼ q)

8. Simplificar: (p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q) ∨ p

9. Simplificar el esquema: (∼ p ∧ q)→ (q → p)

10. Simplificar: ∼ [(p→∼ q)∨ ∼ q]→ [∼ p↔ (∼ p→ q)]

11. Indicar las proposiciones verdaderas:

I. (∼ p∧ ∼ q)↔ (p ∨ q) es una contradiccion.

II. [(p→ q) ∧ (q → r)]→ (p→ r) es una tautologıa.

III. [p ∧ (p→ q)]→ (q∆ r) es una contingencia.

12. ¿Cual de las siguientes proposiciones es una tautologıa?

I. [∼ (p ∧ q)→ p]∨ ∼ p

II. ∼ (p→ q)→ (p∨ ∼ q)

III. ∼ (p→ q)→ (∼ p→∼ q)

13. De las siguientes proposiciones ¿Cual es (son) contradiccion (es)?

I. ∼ [∼ (p ∨ q)→∼ q]∧ ∼ (p→ q)

II. ∼ (∼ p→ q)→ (p→ q)

14. Dados los siguientes operadores logicos:

p ♣ q ≡∼ p→∼ q

p ♠ q ≡∼ p ∧ ∼ q

Simplificar: [(p ♣ q)→ (p ♠ q)] ∨ q

15. Si se define:

p⊕

q ≡∼ p→∼ q

p⊗

q ≡ p ∧ ∼ q

Decir cuales son proposiciones equivalentes:

I. (r⊗ ∼ q)

⊕p

II. ∼ p⊕∼ (r

⊗∼ q)

III. ∼ [p⊗

(r⊗∼ q)]

16. Si se define p z q, por la tabla:

p q p z q

V V V

V F V

F V F

F F V

Simplificar:

W = {[(∼ p z q) z p]→ (q z p)}

XI. Conjuntos

1. Dado el conjunto: A = {{0}, 1, φ, {1}}. Determinar la validez logica de las siguientes

proposiciones.

1. {0} ∈ P (A) 2. φ ∈ P (A)

3. {{1}} ⊂ P (A) 4. φ ⊂ P (A)

5. 1 ∈ A 6. {1} ∈ P (A)

2. Sea el conjunto: A = {a, {a}, {b}, φ}. Indicar cual de las siguientes expresiones son

verdaderas o falsas.

1. {a} ⊂ A 2. {φ, {a}} ⊂ A

3. {b, {a}} ⊂ A 4. {{φ}, {b}} ∈ P (A)

5. {φ, {a}} ∈ P (A) 6. φ ⊂ P (A)

7. φ ∈ P (A)

3. Si: A =

{x/x =

n2 − 16

n− 4∧ 0 ≤ n ≤ 5 ∧ n ∈ Z

}. ¿Cuantos elementos tiene A?

4. Determinar la suma de los elementos del conjunto A.

A = {(7− x)/x ∈ B};B = {(x− 2)2 − 1/x ∈ Z; −3 ≤ x− 1 < 5}.

5. Dados los conjuntos unitarios: A = {a2 + 1; 3a − 1}; B = {3x + y;x− y + 8}. Hallarel mayor valor de x+ y + a.

6. Dados los conjuntos iguales: A = {a + 2 ; a + 1}; B = {7 − a ; 8 − a}; C =

{b+ 1 ; c+ 1}; D = {b+ 2 ; 4}. Calcular: a+ b+ c.

7. Dados los conjuntos: A = {x ∈ R/2x − 1 = x2}; B = φ; C = {x ∈ R/x < 1}.Hallar: (A ∪B)′ ∪ C.

8. Dados los conjuntos A y B tales que: n(A)+n(B) = 166; n(A∪B) = 148. Calcular:

n(A∆B).

9. Sean: H ={(

3n+12

)∈ Z/1 < n ≤ 9

}; I = {m ∈ Z+/m < 18 ∧ √m > 3}. Calcule:

n(H) + n(I)

10. Hallar el numero de subconjuntos propios de: A =

{√3x2 − 8x+ 5

x− 1∈ N/3 ≤ x ≤ 10

}

11. Cuantos subconjuntos cuaternarios posee un conjunto cuyo cardinal es 8.

12. Dados los conjuntos: A = {a2 + 1 ; b ; a − c}; B = {−3 ; a2 ; 5}; C = {x ∈N/b− a < x < a+ c}; Donde: a ∈ N , b ∈ N y A = B. Indique que afirmaciones son

ciertas:

I. El numero cardinal de C es 4

II. A ∩ C = {4; 5}

III. C −A = {a}

13. Si M = {x2 + 4 ; x+ 10 ; y3 + 3y − 1}. Ademas M ∪N = {13}, hallar: x+ y.

14. Si el conjunto A tiene 3 elementos ¿Cuantos subconjuntos propios tiene el conjunto

potencia de P (A)?

15. El gordito “nono” ingresa a un restaurante en el cual se venden 5 platos distintos y

piensa “me gustan todos, pero debo llevar como mınimo 2 platos y como maximo 4”.

De cuantas maneras puede escoger el gordito “nono”.

16. Considere 2 conjuntos comparables, cuyas cardinales son numeros que se diferencian

en 3; ademas la diferencia de los cardinales de sus conjuntos potencias es 112. Indique

el numero de elementos de la potencia de la interseccion.

17. Dados los conjuntos A , B y C , si:? A tiene 511 subconjuntos propios? P (B) tiene 45 elementos? C, tiene 56 subconjuntos ternarios

Hallar: E =n(B) + n(C)

n(A)

18. Dados los conjuntos A y B se tiene que: A ⊂ B; 3n(A) = 2n(B); n(A ∪B) = 18.

¿Cuantos elementos tiene A?

19. En un grupo de 100 estudiantes de la UNPRG, 49 no llevan el curso de Sociologıa

y 53 no siguen el curso de Filosofıa. Si 27 alumnos no siguen Filosofıa ni Sociologıa,

¿Cuantos alumnos llevan exactamente uno de esos cursos?.


20. En un avion hay 100 personas de las cuales 50 no fuman y 30 no beben. ¿Cuantas

personas hay que ni fuman ni beben o fuman y beben, sabiendo que hay 20 personas

que solo fuman?

21. En una encuesta sobre la preferencia de dos diarios locales Industria y Norteno, 65%

no lee Industria, el 70% no lee Norteno, 45% lee Industria o Norteno pero no ambos.

¿Que tanto por ciento lee los dos diarios?

22. De un grupo de 43 personas se sabe que:

26 hablan aleman

10 hablan ingles

15 hablan espanol

2 hablan aleman y espanol

3 hablan ingles y espanol

5 hablan ingles y aleman

1 habla los 3 idiomas mencionados? ¿Cuantos hablan espanol o ingles pero no aleman?? ¿Cuantos no hablan estos idiomas mencionados?

XII. Aplicaciones de la Aritmetica

Aplicaciones a la Medicina

1. El medico prescribio 300 mg de Ranitidina, la etiqueta del frasco dice que

contiene tabletas de 150 mg. El problema es determinar el numero de tabletas

para obtener la dosis precisa.

2. Ordenan Keflin 500 mg I.M., se dispone de Keflin 1g, disuelto en agua destilada

esteril 4 ml para su inyeccion. Para cuantas dosis rinde?.

3. Cama Nº: 3

Nombre: Andrea Bocelli

Medicamento: Garamicina

Dosis: 40 mg

Presentacion: Garamicina 80 mg × 2 ml

Vıa: I.M.

Hora: Cada 6 horas

Establezca una proporcion y determine la dosis correcta.

2

CONJUNTOS

Objetivos:

z Resolver problemas de relaciones entre conjuntos utilizando adecuadamente la repre-

sentacion en Diagramas de Venn.

z Representar graficamente las relaciones de inclusion entre un numero finito de conjun-

tos empleando los diagramas lineales.

z Distinguir con claridad la diferencia entre las relaciones de inclusion y las de perte-

nencia.

z Resolver correctamente problemas relativos con intervalos.

2.1. Introduccion

La teorıa de conjuntos es una rama de la matematica relativamente moderna cuyo proposito

es estudiar unas entidades llamadas conjuntos, aunque otra parte de esta teorıa es reconocida

como los fundamentos mismos de las matematicas. La teorıa de conjuntos fue desarrollada

por el matematico ruso Georg Cantor1 a finales del siglo XIX a partir de ciertas conclusiones

hechas por el mismo al reflexionar en unos detalles de las series trigonometricas de Fourier.

La teorıa de conjuntos fue expuesta por Cantor en una serie de artıculos y libros, de los cuales

pueden destacarse sus Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre.

El proposito de Cantor era proporcionar un metodo para lidiar con asuntos relacionados al

infinito actual, un concepto que fue rehuido y rechazado por algunos matematicos (Pitagoras,

Gauss, Kronecker) por considerarlo sin significado. Ciertamente Cantor tuvo exito, si bien

su teorıa debıa ser precisada y sometida a un sistema axiomatico, un proyecto que luego fue

llevado a cabo principalmente por Frege, Russell, Zermelo, Albert Skolem y Adolf Fraenkel.

1Georg Cantor (n. San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, m. Halle, 6 de enero de 1918 ) Matematico aleman.

77


Cantor partio de la conviccion platonista de que era posible comprimir una coleccion o

conjunto de objetos y considerarla como un todo (o mejor dicho, como una sola entidad), y al

parecer, aceptando implıcitamente los supuestos siguientes:

i. Un conjunto es una reunion de objetos que cumplen con cierta propiedad (llamados los

elementos de ese conjunto) y que, por tanto, queda definido por tal propiedad.

ii. Un conjunto es una sola entidad matematica, de modo que puede a su vez ser contenido

por otro conjunto.

iii. Dos conjuntos que tengan los mismos elementos son iguales. Ası, puede decirse que un

conjunto esta determinado por sus elementos.

De este modo, Cantor pudo desarrollar su teorıa de una forma que en aquel entonces

parecıa lo suficientemente satisfactoria. Sin embargo, el sistema de Cantor era tan permisivo

que dio lugar a resultados contradictorios. Gottlob Frege, que ideo un sistema mas preciso, in-

tento fundamentar adecuadamente la teorıa de conjuntos (y por tanto todas las matematicas),

pero, para su desaliento, Bertrand Russell descubrio una paradoja en la teorıa de aquel (hoy

llamada paradoja de Russell), con lo que el sistema de Frege parecıa desbaratarse. A princi-

pios del siglo XX, fue el matematico aleman Ernst Zermelo quien puso la teorıa de conjuntos

sobre una base aceptable reduciendola a un sistema axiomatico mas restringido que no per-

mitıa la obtencion de la Paradoja de Russell. Las ideas de Zermelo fueron despues precisadas

por Thoralf Skolem y Abraham Fraenkel, resultando de ello la primera teorıa axiomatica de

conjuntos, conocida como teorıa de Zermelo-Fraenkel, aunque serıa mas adecuada llamarla

teorıa de Zermelo-Fraenkel-Skolem. Otra teorıa de conjuntos que evitaba las paradojas de

la teorıa cantoriana fue desarrollada despues, principalmente, por John von Neumann, Paul

Bernays y Kurt Godel. Esta ultima es hoy llamada, naturalmente, la teorıa de conjuntos de

von Neumann-Bernays-Godel.

Sobre el concepto de conjunto

El concepto de conjunto se encuentra a un nivel tan elemental que no es posible dar una

definicion precisa del mismo. Palabras como coleccion, reunion, agrupacion, y algunas otras de

significado similar, se usan en un intento de describir a los conjuntos, pero no pueden constituir

una definicion, pues son simplemente un reemplazo de la palabra conjunto. Con todo, en la

teorıa intuitiva de conjuntos lo anterior es admisible, y se acepta la existencia de un universo

o dominio de objetos a partir del cual se construyen los conjuntos, ası como tambien permite

tratar conjuntos como una entidad singular. No es de importancia la naturaleza de los objetos,

sino el comportamiento de un conjunto como entidad matematica.


Idea de conjunto

Se entiende por Conjunto a una coleccion de objetos o entidades distinguibles y bien

definidas, los objetos o entidades reciben el nombre de elementos.

Notacion

Los conjuntos se denotan usualmente por letras mayusculas: A,B,C, . . . ,X, Y, Z.

y loe elementos que lo determinan se designan por letras minusculas: a, b, c, . . . , x, y, z

Si un conjunto A esta formado por los elementos 1, 2, a, b, se escribe:

A = {1, 2, a, b}

y se lee: “A es el conjunto de los elementos 1, 2, a, b”.

Observacion 2.1.1. Los elementos van separados por comas y encerrados entre llaves.

De lo dicho anteriormente, parece natural introducir una relacion diadica de pertenencia.

El sımbolo usual para representar esta relacion es el sımbolo ∈, una version de la letra griega

ǫ (epsilon). Los segundos argumentos de la relacion ∈ son llamados conjuntos, y los primeros

argumentos son llamados elementos. Ası, si la formula a ∈ A se cumple, se dice que a es un

elemento del conjunto A y se lee a pertenece al conjunto A. Si aceptamos que todo es un

conjunto, entonces los primeros y segundos argumentos de ∈ pertenecen al mismo dominio.

La negacion de a ∈ A se escribe a /∈ A y se lee a no pertenece al conjunto A.

2.2. Determinacion de conjuntos

Existen dos maneras de determinar un conjunto: Por extension y por comprension.

1° Por extension, de forma tabular o enumerativa

Un conjunto queda determinado por extension cuando se nombran a todos y cada uno de

los elemntos.

Ejemplo 2.2.1.

A = {2, 4, 6, 8}B = {a,e,i,o,u}C = {1, 8, 27, 64, . . . , 1000}


2° Por comprension o de forma constructiva

Un conjunto queda determinado por comprension, cuando se nombra una propiedad comun

que caracteriza a todos los elementos del conjunto, generalmente se emplea x/x, y se lee x

tal que x.

Ejemplo 2.2.2.

A = {x/x es par; 2 ≤ x ≤ 8}B = {x/x es una vocal}C = {x3/x ∈ N;x ≤ 10}

2.3. Conjuntos numericos

Los conjuntos numericos que se estudian en matematicas son:� El conjunto de los numeros naturales

Un numero natural es cualquiera de los numeros: 0, 1, 2, 3... (o el mismo conjunto

excluyendo el 0 segun que autores se consulten), que se pueden usar para contar los

elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizo el

ser humano para contar objetos.

Algunos matematicos (especialmente los de Teorıa de Numeros) prefieren no reconocer

el cero como un numero natural, mientras que otros, especialmente los de Teorıa de

conjuntos, Logica e Informatica, tienen la postura opuesta Se denota por N y se escribe

como:

N = {0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .}� El conjunto de los numeros enteros

El conjunto de los numeros enteros al igual que los numeros naturales sirven para contar.

Sin embargo, los numeros enteros permiten expresar cantidades negativas como un saldo

deudor en una cuenta bancaria, un ano de la era antes de Cristo, el numero de una

planta del sotano de un edificio, etc. Se denota por Z y se escribe como:

Z = {. . . ,−n, . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .}

Cuando se desea designar a los numeros enteros positivos:

Z+ = {1, 2, 3, . . . , n, . . .}Cuando se desea designar a los numeros enteros negativos:

Z− = {. . . ,−n, . . . ,−3,−2,−1}luego Z = Z− ∪ {0} ∪ Z+


El conjunto de los numeros enteros pares esta dado por: {x/x = 2k, k ∈ Z}El conjunto de los numeros enteros impares esta dado por: {x/x = 2k + 1, k ∈ Z}� El conjunto de los numeros racionales

Un numero racional o fraccion es todo numero que puede representarse como el cociente

de dos enteros con denominador distinto de cero. Se denota por Q y se escribe como:

Q = {x/ax+ b = 0, a, b ∈ Z, a 6= 0}

Todo numero racional puede ser representado mediante una expresion decimal exacta o

periodica. Por ejemplo: 1/2 = 0,5, 3/4 = 0,75, 2/3 = 0,666 . . . = 0.6.� El conjunto de los numeros irracionales

A veces se denota por I al conjunto de los numeros irracionales. Esta notacion no es uni-

versal y muchos matematicos la rechazan. Las razones son que el conjunto de numeros

irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sı lo son los naturales

(N), los enteros (Z), los racionales (Q), los reales (R) y los complejos (C), por un lado,

y que la I es tan apropiada para designar al conjunto de numeros irracionales como al

conjunto de numeros imaginarios puros, lo cual puede crear confusion.

El conjunto de los numero irracionales esta formado por los numeros que no son racionales,

es decir, aquellos numeros que no pueden expresarse en la forma b/a, a, b ∈ Z y a 6= 0.

El descubrimiento de los numeros irracionales se le atribuye a Hipaso de Metaponto, que

fue un discıpulo de Pitagoras. Demostro que la raiz de 2 es un numero irracional. Sin

embargo, Pitagoras consideraba que la raiz del numero 2 “ensuciaba” la perfeccion de

los numeros, y que por tanto no podrıa existir, por lo que intento rebatir los argumentos

de Hipaso con la logica, por lo que le expulsaron de la Escuela Pitagorica y erigieron

una tumba con su nombre, mostrando ası que para ellos, el estaba muerto.

A partir de ahı, los numeros irracionales entrarıan en un periodo de oscuridad, hasta

que volvieran a ser estudiados por los griegos gracias a Eudoxo de Cnido. El decimo

libro de la serie Los elementos de Euclides esta dedicado a la clasificacion de los numeros

irracionales.� El conjunto de los numeros reales

Los numeros reales se definen de manera axiomatica como el conjunto de numeros que

se encuentran en correspondencia biunıvoca con los puntos de una recta infinita (la recta

numerica). El conjunto de los numeros reales se simboliza con la letra R. El nombre de

numero real se propuso como antonimo de numero imaginario. Numero real Numero real

El concepto de numero real se origino cuando se constato la existencia de los numeros

irracionales. Ası, el conjunto de los numeros reales se define como la union del conjunto

de los numeros racionales y el conjunto de los irracionales.

R = Q ∪ I� El conjunto de los numeros complejos

Es el conjunto que se denota por C y cuyos elementos son de la forma: a + bi, donde

a, b ∈ R, ademas i =√−1. Se escribe como:

C = {a+ bi / a, b ∈ R, i =√−1}

2.4. Conjuntos especiales

2.4.1. Conjuntos finitos e infinitos

Un conjunto A es finito si consta de un determinado numero de elementos distintos, es

decir si consta de un primer y ultimo elementos. Caso contrario el conjunto es infinito.

Ejemplo 2.4.1.

A = {x/x es un estudiante de la UNPRG} es un conjunto finito.

B = {x/x es un numero impar} es un conjunto infinito.

2.4.2. Conjunto vacıo o nulo

El conjunto vacıo es el unico conjunto que no contiene elementos. Se denota simbolicamente

por la letra griega φ, introducida especialmente por Andre Weil2 en 1939. Otra notacion comun

para el conjunto vacıo es {}. Se define como:

φ = {x/x 6= x}

Ejemplo 2.4.2.

A = {x ∈ R/x2 + 1 = 0}, es un conjunto vacıo, pues la ecuacion x2 + 1 = 0 no tiene

raıces reales.

B = {x ∈ N/3 < x < 4}, es un conjunto vacıo, pues no existe un numero natural mayor

que 3 y menor que 4.

2Andre Weil (Parıs, Francia, 6 de mayo de 1906 - Princeton, New Jersey, Estados Unidos, 6 de agosto de

1998), matematico frances.


2.4.3. Conjunto unitario

El conjunto unitario es el conjunto que contiene uno y solo un elemento.

Ejemplo 2.4.3.

A = {0}, es un conjunto unitario.

B = {x ∈ N/x2 − 9 = 0} = {3}, es un conjunto unitario.

Observacion 2.4.1. Note que: {φ} 6= φ, puesto que el primer miembro {φ} es un conjunto

unitario, cuyo elemento es φ, mientras que el segundo miembro φ es el conjunto vacıo.

2.4.4. Conjunto universal

El universo de discurso, conjunto universal o referencial, que normalmente se denota por

las letras U , V o E, es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo.

UA

Figura 2.1: El conjunto Universal

Anteriormente se consideraba al conjunto universal como el conjunto de todas las cosas,

sin embargo esta demostrado que este conjunto no existe. Particularmente porque suponer la

existencia de dicho conjunto conduce a la paradoja de Russell3.

Actualmente se debe dejar en claro sobre cual conjunto se esta tratando. Por ejemplo, si

estamos tratando conjuntos cuyos elementos son letras, el conjunto universal serıa el conjunto

formado por todas las letras del alfabeto.

El complemento del conjunto universo es el conjunto vacıo, es decir, aquel que esta despro-

visto de elementos.

3La paradoja de Russell o paradoja del barbero, descrita por Bertrand Russell(18 de mayo de 1872 - 2 de

febrero de 1970, filosofo, matematico y escritor britanico) en 1901, demuestra que la teorıa original de conjuntos

formulada por Cantor y Frege es contradictoria.


2.5. Representacion grafica de conjuntos

2.5.1. Diagramas lineales

2.5.2. Diagramas Venn - Euler

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la teorıa de conjuntos. Estos diagramas

se usan para mostrar graficamente la relacion matematica o logica entre diferentes grupos

de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante curvas cerradas como cırculos,

elipses, cuadrados, triangulos, etc. La forma en que estas curvas cerradas se sobreponen en-

tre sı muestra todas las posibles relaciones logicas entre los conjuntos que representan. Por

ejemplo, cuando los cırculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas

caracterısticas comunes.

Diagramas Venn

Los diagramas de Venn reciben el nombre de su creador, John Venn, matematico y filosofo

britanico. Estudiante y mas tarde profesor en el Caius College de la Universidad de Cambridge,

desarrollo toda su produccion intelectual entre esas cuatro paredes.

Venn introdujo el sistema de representacion que hoy conocemos en julio de 1880 con la

publicacion de su trabajo titulado “De la representacion mecanica y diagramatica de proposi-

ciones y razonamientos” en el Philosophical Magazine and Journal of Science, provocando un

cierto revuelo en el mundo de la logica formal. Aunque la primera forma de representacion

geometrica de silogismos logicos se atribuye comunmente a Gottfried Leibniz, y fue luego am-

pliada por George Boole y Augustus De Morgan, el metodo de Venn superaba en claridad y

sencillez a los sistemas de representacion anteriores, hasta el punto de convertirse con el tiem-

po en un nuevo estandar. Venn fue el primero en formalizar su uso y en ofrecer un mecanismo

de generalizacion para los mismos.

Mas adelante desarrollo su nuevo metodo en su libro Logica simbolica, publicado en 1881

con el animo de interpretar y corregir los trabajos de Boole en el campo de la logica formal.

Aunque no tuvo demasiado exito en su empeno, su libro se convirtio en una excelente platafor-

ma de ejemplo para el nuevo sistema de representacion. Siguio usandolo en su siguiente libro

sobre logica (Los principios de la logica empırica, publicado en 1889), con lo que los diagramas

de Venn fueron a partir de entonces cada vez mas empleados como representacion de relaciones

logicas.

La primera referencia escrita al termino “diagrama de Venn” de la que se tiene constancia

es muy tardıa (1918), en el libro A Survey of Symbolic Logic, de Clarence Irving Lewis.

Los diagramas de Venn se emplean hoy dıa para ensenar matematicas elementales y para

reducir la logica y la Teorıa de conjuntos al calculo simbolico puro.


A veces se incluye un rectangulo alrededor del diagrama de Venn, que recibe el nombre de

universo de discurso (antes se creıa en la existencia de un conjunto universal pero Bertrand

Russell descubrio que con tal concepto el sistema es inconsistente vease paradoja de Russell).

Se usa para representar el conjunto de todas las cosas posibles. La definicion del universo,

al igual que la de los conjuntos, depende del diagrama sobre el que se representa. La idea

de conjunto universal, aunque fue apuntada por el propio Venn, se atribuye habitualmente a

Charles Dodgson, mas conocido como Lewis Carroll.

Los diagramas de tres conjuntos fueron los mas corrientes elaborados por Venn en su pre-

sentacion inicial. Las distintas intersecciones de los tres conjuntos A, B y C definen ocho areas

diferentes, cuyas posibles uniones suponen 256 combinaciones distintas de los tres conjuntos

iniciales.

La dificultad de representar mas de tres conjuntos mediante diagramas de Venn (o cualquier

otra representacion grafica) es evidente. Venn sentıa aficion a la busqueda de diagramas para

mas de tres conjuntos, a los que definıa como “figuras simetricas, elegantes en sı mismas”. A lo

largo de su vida diseno varias de estas representaciones usando elipses, ası como indicaciones

para la creacion de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de

tres cırculos.

Diagramas de Venn de Edwards

A. W. F. Edwards diseno representaciones para diagramas de Venn de mas de tres conjun-

tos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Se pueden representar facilmente tres conjuntos

tomando tres hemisferios en angulos adecuados (x = 0, y = 0 y z = 0). Un cuarto conjunto

se puede representar tomando una curva similar a la juntura de una pelota de tenis que suba

y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden proyectarse de nuevo sobre

el plano para mostrar diagramas de engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes.

Edwards ideo estos diagramas mientras disenaba la ventana acristalada en memoria de Venn

que hoy adorna el comedor de su colegio.

Los diagramas de Edwards son topologicamente equivalentes a los diagramas disenados

por Branko Grunbaum, que se basaban en polıgonos intersecados, con cantidades crecientes

de lados. Phillip Smith ideo diagramas similares de n conjuntos usando curvas senoidales en

ecuaciones como y =sen(2ix)

2i, 0 ≤ i ≤ n−2. Por su parte, Lewis Carroll diseno un diagrama

de cinco conjuntos.

Diagramas de Euler

Un diagrama de Euler es una manera diagramatica de representar a los conjuntos y sus

relaciones. Son una representacion moderna de los cırculos de Euler, los cuales deben su nombre


a su creador, Leonhard Euler.

Los diagramas de Euler son similares a los de Venn, pero no necesitan todas las posibles

relaciones. Los diagramas de Euler permiten representar inclusion de una clase en otra. Por

ejemplo, un conjunto A puede estar totalmente incluido en otro conjunto B, mientras que otro

conjunto C no tiene ninguna relacion con los dos anteriores.

Los diagramas de Euler anteceden a los diagramas de Venn, pero son distintos. Fueron

introducidos por Euler para ayudar en la comprension. John Venn intenta rectificar algunas

deficiencia a traves de los Diagramas de Venn.

2.6. Numero de elementos o cardinal de un conjunto

El cardinal indica el numero o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad fini-

ta o no finita. Los numeros cardinales constituyen una generalizacion interesante del concepto

de numero natural permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos.

Dado un conjunto A, el cardinal de este conjunto se lo simboliza |A|, n(A), o card(A).

El concepto de numero cardinal fue inventado por Georg Cantor, en 1874.

Primero establecio el concepto de cardinalidad como un instrumento para comparar con-

juntos finitos. Por ejemplo los conjuntos {1,2,3} y {2,3,4} no son iguales pero tienen la misma

cardinalidad, llamada tres.

Cantor definio el conteo usando la correspondencia biunıvoca, la cual mostraba facilmente

que dos conjuntos finitos tenıan la misma cardinalidad si habıa una relacion biyectiva entre

sus elementos. Esta correspondencia uno a uno, le sirvio para crear un concepto de conjunto

infinito, el cual posee todos sus elementos relacionados de forma biyectiva con el conjunto de

numeros naturales.

3

RELACIONES Y FUNCIONES

3.1. Relaciones

3.2. Producto Cartesiano

3.3. Relaciones Binarias

3.4. Clases de Relaciones

3.5. Funciones

3.6. Dominio y rango de una funcion

87

4

NUMEROS REALES

Objetivos:

z Fundamentar el conjunto de los numeros reales y sus propiedades, para que a partir de

este sistema numerico se desarrolle el Algebra como una Aritmetica generalizada, ope-

rando los procedimientos algebraicos basicos para plantear modelos matematicos senci-

llos a problemas dados.

z Aplicar las propiedades de los numeros reales y sus subconjuntos, para de mostrar al-

gunas proposiciones por medio del metodo de Induccion Matematica y para resolver

inecuaciones.

4.1. Introduccion

El sistema de los numeros reales es la estructura algebraica adecuada al proposito del

calculo diferencial e integral. Son precisamente los atributos y las relaciones expresables en

terminos de este tipo de numeros, los objetos de estudio de esa rama de las matematicas.

Las propiedades especiales del sistema de los numeros reales permiten definir los conceptos

fundamentales para la descripcion y estudio del cambio y el movimiento.

La presentacion que aquı se hace del sistema de los numeros reales, se basa en el concepto

de expansion decimal, utilizado en la vida diaria para representar y operar con numeros y

magnitudes. Ası, cada numero real se identifica con una sucesion infinita de dıgitos separados

por un punto decimal y el conjunto de tales objetos resulta ser una extension del conjunto de

los numeros racionales, los cuales quedan identificados con las llamadas expansiones periodicas.

Las operaciones de suma y multiplicacion, y la relacion de orden entre los numeros racionales se

extienden de manera natural, preservando sus propiedades algebraicas y de orden, al conjunto

89


de los numeros reales.

La propiedad que distingue al sistema de los numeros reales del sistema de los numeros

racionales es la propiedad de continuidad o completez. Esta propiedad, de caracter geometrico

o topologico, es la que permite dar un sentido preciso a los conceptos fundamentales de lımite

y continuidad, sobre los cuales se desarrolla el calculo diferencial e integral.

Complejos(C)

Reales(R)

Racionales(Q)

Enteros(Z)

Enteros positivos(Z+)

Enteros negativos(Z−)

Fraccionarios

Irracionales(I)

Imaginarios

Los numeros reales se definen de manera axiomatica como el conjunto de numeros que se

encuentran en correspondencia biunıvoca con los puntos de una recta infinita (continuum): la

recta numerica. El conjunto de los numeros reales se le simboliza con la letra R. El nombre

de numero real se propuso como antonimo de numero imaginario.

El concepto de numero real se origino cuando se constato la existencia de los numeros

irracionales. Ası, el conjunto de los numeros reales se define como la union del conjunto de los

numeros racionales y el conjunto de los irracionales.

Debido a que el conjunto de numeros reales contiene al conjunto de numeros racionales,

y este a su vez contiene a los enteros que a su vez contiene los numeros naturales, se sugiere

que el conjunto de los numeros reales contiene tambien a los numeros enteros y a los numeros

naturales. Asimismo, el conjunto de numeros reales contiene al de los numeros irracionales.

Por tanto, los numeros reales pueden ser racionales o irracionales, algebraicos o trascen-

dentes; y positivos, negativos, o cero.

Puede definirse un numero real, en estos terminos, como un numero positivo o negativo

que puede o no tener cifras de decimal finito o infinito y puede representarse mediante un

punto en la recta de numeros reales. En este sentido, el teorema fundamental de la geometrıa

analıtica establece que a cada numero real le corresponde un punto en la recta de los numeros

reales y viceversa.

Con numeros reales pueden realizarse todo tipo de operaciones basicas con dos excepciones

importantes:

No existen raıces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc) de numeros negativos

en numeros reales, razon por la que existe el conjunto de los numeros complejos donde


estas operaciones sı estan definidas.

No existe la division entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie,

es decir, no existe la operacion de dividir entre nada.

Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas mas avanzadas de las

matematicas: existen asıntotas verticales en los lugares donde una funcion se indefine, es decir,

en aquellos valores de la variable en los que se presenta una division entre cero, o no existe

grafica real en aquellos valores de la variable en que resulten numeros negativos para raıces

de orden par, por mencionar un ejemplo de construccion de graficas en geometrıa analıtica.

La principal caracterıstica del conjunto de los numeros reales es la completitud, es decir,

la existencia de lımite para dada sucesion de Cauchy de numeros reales.

Un poco de Historia

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del ano 1000 a.

C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matematicos griegos liderados por Pitagoras se dio

cuenta de la necesidad de los numeros irracionales. Los numeros negativos fueron inventados

por matematicos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco despues, y

no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler

descarto soluciones negativas para las ecuaciones porque lo consideraba irreal. En ese siglo,

en el calculo se utilizaba un conjunto de numeros reales sin una definicion concisa, cosa que

finalmente sucedio con la definicion rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construccion total de los numeros reales exige tener

amplios antecedentes de teorıa de conjuntos y logica matematica. Fue lograda la construccion

y sistematizacion de los numeros reales en el siglo XIX por dos grandes matematicos europeos

utilizando vıas distintas: la teorıa de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos,

cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el analisis matematico de Richard Dedekind

(vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matematicos lograron la sistemati-

zacion de los numeros reales en la historia no de manera espontanea, sino echando mano de

todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matematicos

como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass,

por mencionar solo a los mas sobresalientes.

En la actualidad, solamente los especialistas conocen con profundidad alguna o ambas

teorıas en relacion a la construccion total de los numeros reales, lo cual no nos impide el

trabajo con ellos.

El filosofo L. Geymonat afirma:

“El desarrollo de la teorıa de los numeros reales contribuyo a que el analisis infinitesimal

dejara de ser la tecnica imprecisa e intuitiva que habıan forjado sus descubridores del siglo

17, para erigirse en autentica ciencia y, lo que es mas, en una de la mas rigurosas y perfectas

construcciones del espıritu cientıfico modermo”.

Definicion 4.1.1. Se llama sistema de numeros reales a un conjunto R no vacıo, provisto de:

Dos operaciones, conocidas como “Leyes de composicion interna”: adicion (+) y

multiplicacion (.)

Una relacion de orden denotada por “<” y se lee “menor que”.

Un axioma llamado “axioma del supremo”.

4.2. Ley de composicion interna

Definicion 4.2.1. Ley de composicion interna u operacion binaria interna definida en un

conjunto no vacıo A, es toda aplicacion

∗ : A×A −→ A

(a, b) −→ ∗(a, b) = a ∗ b

es decir, es una aplicacion ∗ que hace corresponder a cada par (a, b) ∈ A×A un unico elemento

a ∗ b ∈ A.

Son ejemplos de leyes de composicion interna:

∩ : P (X)× P (X) −→ P (X)

(A,B) −→ ∩(A,B) = A ∩B

∪ : P (X)× P (X) −→ P (X)

(A,B) −→ ∪(A,B) = A ∪B

− : P (X) × P (X) −→ P (X)

(A,B) −→ −(A,B) = A−B

a: P (X)× P (X) −→ P (X)

(A,B) −→ a(A,B) = A

aB

Si f : T × T −→ T es una operacion, la imagen f(x, y) ∈ T del elemento (x, y) ∈T × T por la aplicacion f recibe el nombre de compuesto de x e y, en este orden. Se denota

escribiendo x e y en un orden determinado separandolos por un signo que caracteriza a la ley.


Los signos empleados son “ + ” y “.”; con estos signos el compuesto de x e y se denotan

por x+ y y x.y respectivamente.

Una ley denotada por el signo “+ ” se llama adicion, el compuesto x+ y recibe el nombre

de suma de x e y.

Una ley denotada por el signo “.” se llama multiplicacion y el compuesto x.y = xy recibe

el nombre de producto de x e y.

Tambien se usa otros signos para denotar leyes de composicion interna cualesquiera tales

como ∗, ◦, ⊕, ⊠, ⊛, z, ⋄, ⊞, ⊚,⊙

,⊗

,⊕

, etc.

Ejemplo 4.2.1. La adicion y multiplicacion en N, Z, Q, R y C son leyes de composicion

interna, ası por ejemplo en R tenemos:

Primera Ley de Composicion Interna

+ : R×R −→ R

(a, b) −→ +(a, b) = a+ b

Segunda Ley de Composicion Interna

· : R× R −→ R

(a, b) −→ ·(a, b) = a · b = ab

4.3. Axiomas de los numeros reales

1. Axiomas para la Adicion

A1 Cerradura: a+ b ∈ R ∀ a, b ∈ R

A2 Conmutatividad: a+ b = b+ a ∀ a, b ∈ R

A3 Asociatividad: (a+ b) + c = a+ (b+ c) ∀ a, b, c ∈ R

A4 Existencia del elementro neutro aditivo:

∃! 0 ∈ R / a+ 0 = 0 + a = a ∀ a ∈ R

A5 Existencia del elementro inverso aditivo:

∃! (−a) ∈ R / a+ (−a) = (−a) + a = 0 ∀ a ∈ R

2. Axiomas para la Multiplicacion

M1 Cerradura: a.b ∈ R ∀ a, b ∈ R

M2 Conmutatividad: a.b = b.a ∀ a, b ∈ R

M3 Asociatividad: (ab)c = a(bc) ∀ a, b, c ∈ R

M4 Existencia del elementro neutro multiplicativo:

∃! 1 ∈ R / a,1 = 1.a = a ∀ a ∈ R

M5 Existencia del elementro inverso multiplicativo:

∃!(1

a

)∈ R / a.

(1

a

)=

(1

a

)a = 1 ∀ a ∈ R

3. Axiomas para la Distributividad

Para todo a, b, c,∈ R se tiene:

D1 Distributividad por la izquierda: a(b+ c) = ab+ ac

D2 Distributividad por la derecha: (b+ c)a = ba+ ca

4. Axiomas para la Igualdad

Para todo a, b, c,∈ R se tiene:

I1 Dicotomıa: a = b o a 6= b

I2 Reflexividad: a = a

I3 Simetrıa: si a = b ⇒ b = a

I4 Transitividad: si a = b ∧ b = c ⇒ a = c

I5 Unicidad de la adicion: si a = b ⇒ a+ c = b+ c

I6 Unicidad de la multiplicacion: si a = b ⇒ ac = bc

5. Axiomas de Orden

O1 Ley de Tricotomıa

Para dos numeros a ∈ R y b ∈ R, uno y solo uno de los siguientes enunciados es verdadero

a b

“a es menor que b′′ , “a es igual que b′′ , “a es mayor que b′′

O2 Ley Transitiva

Si a 0 → ab < bc

c) Si a bc

O4 Existe un conjunto R+, tal que R+ ⊂ R, llamado conjunto de numeros reales positivos,

el cual satisface las siguientes propiedades:

a) Si a ∈ R+ y b ∈ R+ → (a+ b) ∈ R+ y a · b ∈ R+

b) Pra cada a 6= 0: a ∈ R+ o − a ∈ R+, pero no ambos

c) 0 no ∈ R+

6. Axioma del Supremo

Si S es un conjunto no vacıo de elementos de R superiormente acotado, entonces S tiene

el supremo en R.

Este ultimo axioma nos garantiza que los numeros reales R incluyen los numeros racionales

Q y que se puede establecer una correspondencia biunıvoca entre los puntos de una recta

y los numeros reales.

A continuacion, haciendo uso de los axiomas, probaremos algunas de las propiedades del

sistema de los numeros reales y veremos tambien sus aplicaciones en el algebra elemental.

Teoremas sobre el conjunto de los numeros reales

Teorema 4.3.1. El elemento neutro aditivo es unico.

Demostracion. Supongamos que existen dos elementos neutros aditivos 0 y 0′ tales que:

a+ 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ R

a+ 0′ = 0′ + a = a, ∀a ∈ R

Probaremos que 0 = 0′, en efecto:

0′ = 0′ + 0 (Por ser 0 el elemento neutro aditivo)

= 0 + 0′ (Conmutatividad)

= 0 (Por ser 0′ el elemento neutro aditivo)

Por lo tanto 0 = 0′ y el elemento neutro aditivo es unico. �

Teorema 4.3.2. El elemento inverso aditivo es unico.

Demostracion. Supongamos que existen dos elementos inversos aditivos (−a) y (−a)′ talesque:

a+ (−a) = (−a) + a = 0, ∀a ∈ R


a+ (−a)′ = (−a)′ + a = 0, ∀a ∈ R

Probaremos que (−a) = (−a)′, en efecto:

(−a)′ = (−a)′ + 0 (Por ser 0 el elemento neutro aditivo)

= (−a)′ + (a+ (−a)) (Por ser (−a) elemento inverso aditivo)

= ((−a)′ + a) + (−a) (Asociatividad)

= 0 + (−a) (Por ser (−a)′ elemento inverso aditivo)

= (−a) (Por ser 0 elemento neutro aditivo)

Por lo tanto (−a) = (−a)′ y el elemento inverso aditivo es unico. �

Teorema 4.3.3. El elemento neutro multiplicativo es unico.

Demostracion. Supongamos que existen dos elementos neutros multiplicativos 1 y 1′ tales

que:

a · 1 = 1 · a = a, ∀a ∈ R

a · 1′ = 1′ · a = a, ∀a ∈ R

Probaremos que 1 = 1′, en efecto:

1′ = 1′ · 1 (Por ser 1 el elemento neutro multiplicativo)

= 1 · 1′ (Conmutatividad)

= 1 (Por ser 1′ el elemento neutro multiplicativo)

Por lo tanto 1 = 1′ y el elemento neutro multiplicativo es unico. �

Teorema 4.3.4. El elemento inverso multiplicativo es unico.

Demostracion. Supongamos que existen dos elementos inversos multiplicativos (a−1) y

(a−1)′ tales que:

a · (a−1) = (a−1) · a = 1, ∀a ∈ R

a · (a−1)′ = (a−1)′ · a = 1, ∀a ∈ R

Probaremos que (a−1) = (a−1)′, en efecto:

(a−1)′ = (a−1)′ · 1 (Por ser 1 el elemento neutro multiplicativo)

= (a−1)′ · (a · (a−1)) (Por ser (a−1) elemento inverso multiplicativo)

= ((a−1)′ · a) · (a−1) (Asociatividad)

= 1 · (a−1) (Por ser (a−1)′ elemento inverso multiplicativo)

= (a−1) (Por ser 0 elemento neutro multiplicativo)


Por lo tanto (a−1) = (a−1)′ y el elemento inverso multiplicativo es unico. �

Proposicion 4.3.1.

i. a = −(−a), ∀a ∈ R

ii. Si a 6= 0, a = (a−1)−1

iii. a · 0 = 0, ∀a ∈ R

iv. − a = (−1)a, ∀a ∈ R

v. a(−b) = (−a)b = −(ab), ∀a, b ∈ R

vi. (−a)(−b) = ab, ∀a, b ∈ R

vii. Si a+ c = b+ c → a = b

viii. Si ac = bc y c 6= 0 → a = b

ix. ab = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0

x. a2 = b2 ↔ a = b ∨ a = −b

Definicion 4.3.1. Sean dos numeros reales a ∈ R y b ∈ R. Se define la diferencia de a y b

como la suma de a con el inverso aditivo de b.

a− b = a+ (−b), ∀a, b ∈ R

Definicion 4.3.2. Dados dos numeros a, b ∈ R. Se define el cociente de a entre b, como el

producto de a con el inverso multiplicativo de b.

a

b= a · b−1, ∀a, b ∈ R

Proposicion 4.3.2.

i. a− b = −(b− a)

ii. a− b = c ↔ a = b+ c

iii. c =a

b↔ bc = a, b 6= 0

iv. a(b− c) = ab− ac

v.a

b+

c

d=

ad+ bc

bd

vi.a

b− c

d=

ad− bc

bd

vii. Si a 6= 0 y ax+ b = c → x =c− b

a

Proposicion 4.3.3.

i. a2 ≥ 0, ∀a ∈ R (a2 > 0, si a 6= 0)

ii. Si a 0 → ac < bc

vi. Si a bc

vii. Si a −b

viii. Si a > 0 → a−1 > 0 (si a < 0 → a−1 < 0)

ix. Si 0 < a b−1 > 0 (si a a−1 > b−1)

x. ab > 0 ↔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)

ab ≥ 0 ↔ (a ≥ 0 ∧ b ≥ 0) ∨ (a ≤ 0 ∧ b ≤ 0)

xi. ab < 0 ↔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)

ab ≤ 0 ↔ (a ≥ 0 ∧ b ≤ 0) ∨ (a ≤ 0 ∧ b ≥ 0)

xii. Si a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 , a < b ↔ a2 < b2 (a ≤ b ↔ a2 ≤ b2)

xiii. a2 + b2 = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0

Definicion 4.3.3. Si n ∈ Z+ y b ∈ R, entonces bn, llamada n - esima potencia de b, representa

el producto de n factores iguales a b, esto es:

bn = b · b · b · b · ... · b

en donde, el exponente n indica las veces que se debe repetir la base b como factor.

Proposicion 4.3.4. Si a, b ∈ R y m,n ∈ Z+, entonces:

i. am · an = am+n

ii. (am)n = am·n


iii. (a · b)n = an · bn

iv.am

an= am−n

v.(ab

)n=

an

bn

Definicion 4.3.4. Si a, r ∈ R , n ∈ Z+, entonces r, se llama raız n - esima principal de r,se

denota por r = n

√a, si y solo si rn = a, bajo la condicion de que si n es par, entonces r ≥ 0 y

a ≥ 0.

Formalmente:

r = n

√a ↔ rn = c , n par → r ≥ 0 ∧ a ≥ 0.

4.4. Ecuaciones

4.4.1. Historia de las ecuaciones

Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los arabes, en un libro llamado

Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Algebra (del arabe algabru walmuqabalah, reduc-

cion y cotejo). La cosa era la incognita. La primera traduccion fue hecha al latın en Espana,

y como la palabra arabe la cosa suena algo parecido a la X espanola medieval (que a veces ha

dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en Mexico/Mejico, Ximenez/Jimenez),

los matematicos espanoles llamaron a la cosa X y ası sigue.

Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontro gran dificultad,

la situacion fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la

ecuacion general de tercer grado: ax3 + bx2 + cx + d = 0 requirio consideraciones bastante

profundas y resistio todos los esfuerzos de los matematicos de la antiguedad. Solo se pudieron

resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia. Aquı se presentara el

ambiente en que acontecio el descubrimiento de la solucion de las ecuaciones de tercer grado o

cubicas. Los hombres que perfeccionaron las cubicas, italianos todos, constituyeron un grupo

de matematicos tan pintoresco como nunca se ha dados en la historia. La mayorıa de ellos eran

autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de interes compuesto y de seguros.

Habiendose elevado por encima del simple calculo practico, los grandes algebristas italianos

constituıan en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento

tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban las Callejas del

Renacimiento, como en las catedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocu-

paban. Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre sı competencias

para la solucion de problemas. (Algo muy similar a lo que hacıan los hindues siglos antes).


Para hacer doblemente difıcil su deporte, algunas veces hacıan apuestas que depositaban en

manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En esta atmosfera combativa estallo la

guerra en torno a la ecuacion cubica. La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un

padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publico un compendio de algebra, la “Suma

Aritmetica”. Con ella transmitio el algebra inventada hasta la fecha y termino con la irri-

tante observacion de que los matematicos no podrıan todavıa solucionar ecuaciones cubicas

por metodos algebraicos.

El primer hombre en recoger el desafıo de Pacioli en torno a las cubicas fue, como ya dijimos

Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que llego a ser catedratico de matematicas en

la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la solucion general para todas las ecuaciones

cubicas de la forma simplificada x3 + nx = h.

Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los ad-

versarios durante las competencias. Pero en sus ultimos dıas confıo su solucion a un estudiante,

Antonio Fior, quien la utilizo en una disputa de algebra con un rival, Nıcolo Fontana, llamado

Tartaglia o tartamudo a causa de que padecıa este defecto.

En la epoca de la contienda con Fior, Tartaglia habıa pasado a ser uno de los mas sagaces

solucionadores de ecuaciones de Italia, y habıa ideado un arma secreta propia: Una solucion

general para las cubicas del tipo x3 + mx2 = h. Como resultado, cuando Fior le dio un

grupo de ejemplos especıficos del tipo x3 + px + q = 0, le respondio con ejemplos del tipo

x3 + mx2 = n. Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia

como Fior trabajaron ardorosamente, ocho dıas antes de finalizar el plazo, Tartaglia habıa

encontrado una solucion general para las ecuaciones del tipo x3 + px = q y en dos horas

resolvio todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte, cuando se acabo el tiempo y llego el

dıa de hacer el computo, Tartaglia habıa solucionado los problemas de Fior y este no habıa

solucionado los de Tartaglia. Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se

encontro con un rival mas fuerte: Gerolamo Cardano, hijo ilegıtimo de un abogado y a su

vez padre de un asesino. Cardano era un astrologo que hacia horoscopos para los reyes, un

medico que visitaba a sus enfermos y un escritor cientıfico de cuya pluma emanaron montanas

de libros. Fue tambien un jugador inveterano, siempre balanceandose al borde de la prision.

Pero Cardano siempre salıa bien parado. El Santo Padre lo pensiono solucionandole ası sus

problemas economicos y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solucion de

la ecuacion cubica.

Aunque Cardano juro mantener secreta la solucion de Tartaglia, la publico unos cuantos

anos despues, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado “Ars Magna”


(Gran Arte). Tartaglia, que habıa estado a punto de escribir su propio libro, paso el resto de

su vida maldiciendo a Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconocıa el

descubrimiento de Tartaglia. Tambien en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a

otro matematico: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que murio a la edad de 43 anos,

envenenado por su propia hermana. Ası como Tartaglia habıa solucionado la cubica, de la

misma forma Ferran, cuando todavıa estudiaba con Cardano, solucion de las de cuarto grado

o cuarticas (con formulas mas complicadas que las de tercer grado). Al descubrir la obra de

ambos hombres, Cardano en su “Ars Magna” pudo dar al mundo las soluciones generales de

las cubicas y las cuarticas, divulgando los dos avances del algebra mas trascendentales desde

la muerte de Diofanto, 1300 anos antes.

En el Ars Magna, Cardano acepto formalmente el concepto de los numeros negativos y

enuncio las leyes que los rigen. Tambien anticipo otro tipo nuevo de numero que denomino fic-

ticio o sofisticado. Tal fue la raız cuadrada de un numero negativo, que es incluso mas difıcil de

comprender que un numero negativo propiamente, ya que ningun numero real multiplicado por

sı mismo da un numero negativo. En la actualidad los matematicos llaman a la raız cuadrada

de un numero negativo numero imaginario; cuando dicha cantidad se combina con un numero

real, el resultado se llama numero complejo. Los matematicos posteriores han mostrado que

los numeros complejos pueden tener toda clase de aplicaciones.

En gran parte debido a Cardano, las Matematicas salieron de su paso por las pugnas del

Renacimiento enormemente enriquecidas. El exito de los matematicos italianos produjo un

gran efecto. Era la primera vez en que la ciencia moderna habıa sobrepasado las conquistas

de los antiguos.

Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportacion habıa consistido sola-

mente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los

antiguos no habıan tenido exito en conquistar, fueron resueltas. Y esto sucedio en el siglo

XVI, un siglo antes de la invencion de nuevas ramas de las matematicas: Geometrıa analıtica

y Calculo diferencial e Integral que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia

sobre la antigua. Despues de esto, no hubo matematico importante que no intentara exten-

der las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y mas alto grado

en forma analoga a los italianos, es decir, encontrando una formula general o como se dice

actualmente, resolverlas por radicales. El prominente algebrista del siglo XVII, Tschimhausen

(1651–1708) creyo haber encontrado un metodo general de solucion. Su metodo estaba basado

en la transformacion de una ecuacion a otra mas simple; pero esta sola transformacion requerıa

de algunas ecuaciones auxiliares.


Mas tarde, con un analisis mas profundo se demostro que el metodo de transformacion

de Tschimhausen, en efecto, da la solucion de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado,

pero para una ecuacion de quinto grado se necesita resolver primero una ecuacion auxiliar de

sexto grado, cuya solucion no era conocida.

El famoso matematico frances Lagrange en su gran trabajo “Reflexiones sobre la solucion

de ecuaciones algebraicas” publicado en 1770–1771, ( con mas de 200 paginas) crıticamente

examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas

hasta su epoca y demostro que su exito siempre se basa en propiedades que no cumplen

ecuaciones de quinto grado y superiores. Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo

de Lagrange, mas de dos siglos y medio habıan pasado y nadie durante este gran intervalo

habıa dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales,

esto es, de encontrar formulas que envuelven solo operaciones de suma, resta, multiplicacion,

division, exponenciacion y raıces con exponentes enteros positivos, que pueden expresar la

solucion de una ecuacion en terminos de los coeficientes, esto es, formulas similares a aquella

por la que se habıa resuelto la ecuacion de segundo grado en la antiguedad y a aquellas

encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Los matematicos

pensaron que sus fracasos se debıan principalmente a su propia incapacidad para encontrar

una solucion. Lagrange dice en sus memorias:

“El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es mas alto que el cuarto

es uno de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de

resolverlos”. Lagrange avanzo bastante en la teorıa de las ecuaciones algebraicas formalizando

el trabajo anterior a su epoca y descubriendo nuevas relaciones entre esta teorıa y otras como

la teorıa de las permutaciones. Sin embargo, a pesar de sus persistentes esfuerzos, el problema

permanecio sin solucion y constituıa, en palabras del mismo Lagrange, “Un reto para la mente

humana”.

Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matematicos cuando en 1824

vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 – 1829),

en el cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuacion se tomaban simple-

mente como letras, entonces no existe ninguna expresion algebraica con dichos coeficientes

que fuera solucion de la ecuacion correspondiente. Entonces, por tres siglos los esfuerzos de

los mas grandes matematicos de todos los paıses para resolver ecuaciones de grado mayor que

cuatro por radicales no fue coronado por el exito por la sencilla razon de que este problema

simplemente no tiene solucion.

Esas formulas son conocidas para ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para


ecuaciones de grado mayor no existen tales formulas Pero eso no es todo aun. Un resultado

extremadamente importante en la teorıa de las ecuaciones algebraicas esperaba todavıa ser

descubierto. El hecho es que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que

sı se pueden resolver por radicales, y muchas de ellas son exactamente las que son importantes

para resolver problemas concretos de la realidad.

Resumiendo, despues del descubrimiento de Abel la situacion era la siguiente: Aunque la

ecuacion general de grado mayor que 4 no se podıa resolver por radicales, hay un numero

ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que sı se pueden resolver por radicales.

La pregunta era ¿cuales ecuaciones sı se pueden resolver por radicales y cuales no? o en

otras palabras: ¿que condiciones debe cumplir una ecuacion para que pueda ser resuelta por

radicales? La respuesta a este problema que daba fin a todo este asunto de las ecuaciones la

dio el brillante matematico frances Evariste Galois. (1811–1832).

A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo

en muchas ramas de las matematicas y en particular dio la solucion al problema que qued-

aba pendiente en la teorıa de las ecuaciones algebraicas en un pequeno manuscrito titulado

“Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales”, que fue escrito en

treinta y un paginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue

muerto a la edad mencionada de 20 anos.

Como se puede observar, la formula de Tartaglia da la solucion de la ecuacion de tercer

grado a partir de los coeficientes y utilizando sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y

raıces. Este tipo de expresiones se denominan radicales. Desde la aparicion de la formula los

matematicos intentaron buscar que ecuaciones podıan resolverse por radicales. Muchos grandes

matematicos atacaron el problema, pero fallaron en resolverlo: Euler, Lagrange (alrededor de

1770), Leibiniz, etc.

En 1813, Ruffini intento demostrar que las ecuaciones de quinto grado no se pueden re-

solver por radicales, pero tampoco lo consiguio. Finalmente, Abel demostro en 1824 que,

efectivamente, no existe una formula que permita resolver las ecuaciones de quinto grado.

El problema mas general fue resuelto por Evariste Galois en 1832 que aporto un metodo,

conocido como la Teorıa de Galois, que permite decidir cuando una determinada ecuacion se

puede resolver por radicales.

CONCLUSION: Existen formulas que permiten resolver las ecuaciones de segundo, ter-

cer y cuarto grado. Sin embargo, no existe una formula que permita resolver todas las ecua-

ciones de quinto grado.

En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos, para resolver por radicales


cualquier ecuacion de cualquier grado. El problema resulto ser mas difıcil y mas profundo de

lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creacion de nuevos conceptos, importantes

no solo para el algebra sino tambien para las matematicas en general. Para la solucion practica

de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente:

Quedo claro que una formula general para las ecuaciones esta muy lejos de existir y aun en

los casos particulares en que existe, era de poca utilidad practica a causa de las operaciones

sumamente complicados que se tenıan que hacer. (Actualmente las computadoras facilitan

todo ese trabajo).

En vista de lo anterior, los matematicos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres

direcciones completamente diferentes, que son:

1. En el problema de la existencia de raıces (soluciones).

2. En el problema de saber algo acerca de las soluciones, solo trabajando con sus coefi-

cientes.

3. En el calculo aproximado de las raıces o soluciones de una ecuacion.

Definicion 4.4.1.

Un enunciado es una proposicion que puede ser calificada como verdadera o falsa.

Una proposicion es toda una code enunciados conectados con ciertos sımbolos matematicos.

Los enunciados abiertos son aquellos que estan formados por variables constantes y que

pueden ser verdaderos o falsos, segun la asignacion de valores a las variables.

Definicion 4.4.2. Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas o trascen-

dentales, donde existe por lo menos una variable, cada una de las expresiones comparadas por

la igualdad se denominan miembros de la ecuacion.

Definicion 4.4.3. La solucion de una ecuacion es aquel valor que toma la incognita y convierte

la ecuacion en una identidad, es decir, hace verificar la igualdad.

Ejemplo 4.4.1.

3x+ 5 = 17; es una ecuacion que se verifica para x = 4.

x2 + x− 6 = 0; es una ecuacion que se verifica para x = −3 y x = 2.


4.4.2. Clasificacion de las ecuaciones

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a sus caracterısticas, siendo las principales:

1. Segun el Grado: Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc.

En general, una ecuacion de grado n posee n raıces o soluciones.

Ejemplo 4.4.2.

2x+ 5 = 3; es una ecuacion de primer.

x2 − 6x+ 5 = 0; es una ecuacion de segundo grado.

2. Segun sus Coeficientes: Pueden ser numericas o literales.

Ejemplo 4.4.3.

7x− 3 = 5x+ 9; es una ecuacion numerica.

ax2 + bx+ c = 0; es una ecuacion literal, con coeficientes a, b, c.

3. Segun las Incognitas: Pueden ser de una, dos, tres o mas incognitas.

Ejemplo 4.4.4.

3x− 1 = x+ 3; es una ecuacion con una incognita: x.

2x− 3y = 5; es una ecuacion con dos incognitas: x, y.

x− 3y + 2z = 7 es una ecuacion con tres incognitas: x, y, z.

4. Segun la naturaleza de las expresiones: Pueden ser:

a. Ecuacion algebraica: Que a su vez puede ser:

a.1. Ecuacion algebraica racional:

a.1.1. Ecuacion algebraica racional entera: 3x− 2 = x2 − 6

a.1.2. Ecuacion algebraica racional fraccionaria: x+ 2 = 4 +3

x

a.2. Ecuacion algebraica irracional: La incognita se encuentra afectada del radi-

cal. 2x+ 1 = 3√2x+ 3− x2

b. Ecuacion no algebraica o trascendente: Cuando al menos un temino de la ex-

presion es no algebraico o trascendente. Puede ser:

Exponencial: 3x−1 = 3x+ 2


Trigonometrica: 5 sen(3x+ 5π) = cos x

Logaritmica: 7x log2(10x− 3) =√5

Matriciales:

3 5

2 −1

xy

=

145

5. Segun sus Soluciones: Pueden ser compatibles o incompatibles.

a. Ecuaciones Compatibles: son aquellas que tienen por lo menos una solucion. A

su vez estas ecuaciones se dividen en:

a.1. Ecuaciones Compatibles Determinadas: (ECD) Si tienen un numero finito

o limitado de soluciones.

Ejemplo 4.4.5.

◦ 3x− 1 = x+ 3 tiene una solucion.

◦ x2 − 4 = 5 tiene dos soluciones.

a.2. Ecuaciones Compatibles Indeterminadas: (ECI) Si tienen un numero

ilimitado de soluciones.

Ejemplo 4.4.6.

◦ 2x+ 3 = 1 + 2x+ 2.

◦ (x+ 1)2 − (x− 1)2 = 4x.

Nota 4.4.1. Todas las identidades o productos notables son ecuaciones com-

patibles indeterminadas.

b. Ecuaciones Incompatibles: (EI) Llamadas tambien absurdas, son aquellas que

no tienen o carecen de solucion.

Ejemplo 4.4.7.

•x

5+

x

2=

7x

10+ 3.

Ecuacion

Compatible

Determinada (ECD) numero finito de soluciones

Indeterminada (ECI) infinitas soluciones

Incompatible (EI) inconsistente o absurdo. No existe solucion

Definicion 4.4.4. Dos o mas ecuaciones se dicen que son Equivalentes si tienen las mismas

soluciones.

Ejemplo 4.4.8. Las ecuaciones

3x+ 3 = 8x− 2

7x

2+ 2 =

x

15+

26

3

son equivalentes


Teorema 4.4.1. Teorema Fundamental del Algebra

Todo polinomio de grado n tiene al menos una raız, que generalmente es compleja.

Corolario 4.4.1. Todo polinomio de coeficientes numericos y grado n tiene exactamente n

raıces que pueden ser reales diferentes, iguales o complejas conjugadas.

Criterios de Solucion� Si la ecuacion presenta a la incognita en el denominador. Se debera cuidar que su solucion

no anule el denominador. Por ejemplo, antes de resolver:x+ 1

x− 3+

x+ 5

x− 2=

2x2 − x− 11

x2 − 5x+ 6,

Se debera tener en cuenta que: x 6= 3 ∧ x 6= 2� Si la ecuacion presenta a la incognita afectada de algun signo radical de ındice par. Se

debe proceder de la siguiente manera:

Si 2n√

F (x) = G(x), con n ∈ N, debe cumplirse que F (x) ≥ 0 ∧ G(x) ≥ 0.

Principios Fundamentales� Si a los dos miembros de una ecuacion se le suma o se le resta una misma cantidad M ,

la igualdad no altera (se obtiene otra ecuacion equivalente).

A = B ⇒ A±M = B ±M� Si se multiplica a los dos miembros de una ecuacion por una misma cantidad M , se

obtiene otra ecuacion equivalente. Si M contiene a la incognita, entonces se infiltran

soluciones extranas.� Si ambos miembros de una ecuacion se dividen por una misma cantidad M 6= 0, la

igualdad no altera (se obtiene otra ecuacion equivalente). Si M contiene a la incognita,

entonces se pierden soluciones.� Si a los dos miembros de una ecuacion se les eleva a la n–esima potencia, entonces la

igualdad no altera, pero se infiltran soluciones extranas.� Si a los dos miembros de una ecuacion se les extrae la raız enesima, entonces la igualdad

no altera, se dice que se han perdido soluciones.

4.4.3. Ecuaciones de primer grado con una variable

Definicion 4.4.5. Las ecuaciones de primer grado con una variable son de la forma:

ax+ b = 0 (4.1)


donde a y b son co, con a 6= 0, y siendo x la incognita, por lo cual son tamben llamadas

“Ecuaciones lineales con una incognita” y que debido a las propiedades de los numeros reales

se resuelve de la siguiente manera:

ax+ b = 0 ⇐⇒ x = − b

a

Las ecuaciones lineales en el sistema cartesiano representan rectas. Una forma comun de

ecuaciones lineales es y = mx+ c, donde m representa la pendiente y el valor de c determina

la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y ).

Ejemplo 4.4.9. Resolver 6x− 5 = 2x+ 7.

Solucion

6x− 5 = 2x+ 7

4x− 5 = 7

4x = 12

x = 3

Discusion de sus raıces� Si a 6= 0 entonces la solucion es unica (ECD).� Si a = 0 y b = 0 entonces la ecuacion posee infinitas soluciones (ECI).� Si a = 0 y b 6= 0 entonces la solucion no existe (EI o absurda).

4.4.4. Sistema de ecuaciones lineales

Definicion 4.4.6. Un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones lineales sobre

el cuerpo de los numeros reales R.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales con n incognitas puede ser escrito en

forma ordinaria como:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

......

......

......

......

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

(4.2)


Donde x1, . . . , xn son las incognitas y los numeros aij ∈ K son los coeficientes del sistema

sobre el cuerpo K = R o C. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con

notacion matricial:

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...

am1 am2 · · · amn

x1

x2...

xn

=

b1

b2...

bm

(4.3)

Si representamos cada matriz con una unica letra obtenemos:

Ax = b

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector

columna de longitud m.

El problema de los sistemas de ecuaciones lineales es uno de los mas antiguos de la

matematica y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de senales,

estimacion, prediccion y mas generalmente en programacion lineal ası como en la aproximacion

de problemas no lineales de analisis numerico.

Clasificacion:

De acuerdo a la solucion los sistemas se clasifican en:

a. Sistema Compatible: Es aquel sistema que tienen por lo menos una solucion. A su

vez estos sistemas se dividen en:

a.1. Sistema Compatible determinado: (SCD) Si tienen un numero finito o limitado

de soluciones.

Ejemplo 4.4.10.

◦

3x− y = 20

x+ 5y = 12, cuya solucion es: CS = {(7, 1)}.

Las ecuaciones se corresponden graficamente con dos rectas que se interceptan

en el punto (7, 1).

◦

x2 + y2 = 17

√xy + xy = 6

, cuya solucion es: CS = {(4, 1), (1, 4), (−4,−1), (−1,−4)}.

a.2. Indeterminadas: (SCI) Si tienen un numero ilimitado de soluciones.

Ejemplo 4.4.11.


◦

3x+ y = 4

3x

2+

y

2= 2

Las ecuaciones se corresponden graficamente con dos rectas paralelas coinci-

dentes que se interceptan en infinitos puntos.

◦

x+ y + z = 3

x− y = 1

b. Incompatibles: (EI) Llamadas tambien absurdas, son aquellas que no tienen o carecen

de solucion.

Ejemplo 4.4.12.

•

4x+ 2y = 5

8x+ 4y = 3

Las ecuaciones se corresponden graficamente con dos rectas, ambas con la misma

pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningun punto, es decir, no existe ningun

valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones. Matematicamente un sistema de

estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango

de la matriz ampliada. Una condicion necesaria para que esto suceda es que el

determinante de la matriz del sistema sea cero.

•

x2 + y2 = 2

x+ y = 4

Sistema de

ecuaciones

Compatible

Determinada (SCD) numero finito de soluciones

Indeterminada (SCI) infinitas soluciones

Incompatible (SI) inconsistente o absurdo. No existe solucion

Los sistemas incompatibles geometricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas

que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un

conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un unico punto. Los sistemas compatibles

indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o

mas generalmente un hiperplano de dimension menor]. Desde un punto de vista algebraico

los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es

diferente de cero:

Sistema compatible determinado⇐⇒ det(A) 6= 0


Metodos para resolver un sistema lineal

Los sistemas lineales han sido resueltos por diferentes metodos, siendo los mas importantes:

1. Metodo de Carl Gauss:1 Este metodo consiste en ir disminuyendo ecuaciones e incog-

nitas hasta llegar a una sola ecuacion con la menor cantidad posible de incognitas.

Ejemplo 4.4.13. Resolver:

3x+ 5y = 14

2x− y = 5

Solucion:

Como 2x− y = 5, entonces despejamos y

luego y = 2x− 5 y reemplazando en la primera ecuacion se tiene:

3x+ 5(2x − 5) = 14, de donde x = 3, y ası obtenemos y = 1

∴ CS = {3; 1} �

2. Metodo de Arthur Cayley:2 Este metodo consiste en el uso de las matrices (matriz

inversa) en la resolucion de los sistemas lineales determinados.

Para resolver el sistema

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

......

......

......

......

an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

(4.4)

se lleva a la forma matricial

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...

an1 an2 · · · ann

x1

x2...

xn

=

b1

b2...

bn

(4.5)

1Johann Carl Friedrich Gauss nacio en Brunswick, Alemania el 30 de abril de 1777 y murio el 23 de febrero

de 1855, fue un matematico, astronomo y fısico aleman que contribuyo significativamente en muchos campos,

incluida la teorıa de numeros, el analisis matematico, la geometrıa diferencial, la geodesia, el magnetismo y

la optica. Considerado “el prıncipe de las matematicas” y “el matematico mas grande desde la antiguedad”,

Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matematica y de la ciencia, y es considerado

uno de los matematicos que mas influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto

de divisibilidad a otros conjuntos.2Arthur Cayley (Richmond, Reino Unido, 16 de agosto de 1821 – Cambridge, 26 de enero de 1895) fue

un matematico britanico. Es uno de los fundadores de la escuela britanica moderna de matematicas puras.

Recibio la Royal Medal en 1859 y la Medalla Copley en 1882.


y si la matriz de coeficientes es no singular, existira la inversa y sera aplicable ste metodo

y la solucion se obtiene con:

x1

x2...

xn

=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...


−1

b1

b2...

bn

luego por igualdad de matrices se obtiene la solucion del sistema.


3x+ 5y = 14

2x− y = 5

Solucion:

LLevando a una ecuacion matricial se tiene:3 5

2 −1

xy

=

145

de donde

xy

=

3 5

2 −1

−1 145

, luego

xy

=

31

entonces x = 3 y y = 1.

∴ CS = {3; 1} �

3. Metodo de Gabriel Cramer:3 Este metodo utiliza los determinantes para la resolu-

cion de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello el sistema (1.4) debe cumplir que el

determinante de la matriz de coeficientes de las incognitas debe ser distinto de cero.

Sea A la matriz del sistema, es decir:

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...


entonces la solucion viene dada por:

xi =|Ai||A| , i = 1, 2, 3, . . . , n

3Gabriel Cramer (31 de julio de 1704 – 4 de enero de 1752) fue un matematico suizo nacido en Ginebra.


con |A| 6= 0, y Ai es la matriz que se obtiene a partir de la matriz A, cambiando los

elementos de la columna i por los elementos independientes.

Denotemos por ∆S = |A| y ∆xi = |Ai|, entonces

xi =∆xi∆S


3x+ 5y = 14

2x− y = 5

Solucion:

∆S =

∣∣∣∣∣∣3 5

2 −1

∣∣∣∣∣∣= −13

∆x =

∣∣∣∣∣∣14 5

5 −1

∣∣∣∣∣∣= −39

∆y =

∣∣∣∣∣∣3 14

2 5

∣∣∣∣∣∣= −13

luego

x =∆x

∆S= 3

y =∆y

∆S= 1

∴ CS = {3; 1} �

4. Metodo de Gauss por matriz aumentada: Dado el sistema lineal:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

......

......

......

......

an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

Llamaremos matriz aumentada a la matriz

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2...

.... . .

......

an1 an2 · · · ann bn

luego mediante operaciones elementales por filas puede transformarse en una matriz

escalonada, la cual facilitara la solucion del sistema.



3x+ 5y = 14

2x− y = 5

Solucion:3 5 14

2 −1 5

F1−F2−−−−−−−−→

1 6 9

2 −1 5

F2−2F1−−−−−−−−→

1 6 9

0 −13 −13

luego el nuevo sistema sera

x+ 6y = 9

0x− 13y = −13, de donde y = 1 y x = 3

∴ CS = {3; 1} �

Teorema 4.4.2. Dado el sistema lineal (1.4), entonces se cumple lo siguiente:

Si ∆S 6= 0 entonces el sistema tiene solucion unica.

Si ∆S = 0 ∧ ∆xi = 0, para cada i, con i = 1, 2, . . . , n entonces el sistema tiene infinitas

soluciones.

Si ∆S = 0 ∧ ∆xi 6= 0, para algun i, con i = 1, 2, . . . , n entonces el sistema no tiene

solucion.

Representacion grafica

Un sistema con n, incognitas se puede representar en el n−espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incognitas, el universo de nuestro sistema sera el plano bidimensional,

mientras que cada una de las ecuaciones sera representada por una recta, si es lineal, o por

una curva, si no lo es. La solucion sera el punto (o lınea) donde intersecten todas las rectas

y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningun punto en el que intersecten

al mismo tiempo todas las lıneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene

solucion.

En el caso de un sistema con 3 incognitas, el universo sera el espacio tridimensional, siendo

cada ecuacion un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersectan en un unico punto,

las coordenadas de este seran la solucion al sistema. Si, por el contrario, la interseccion de

todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendra infinitas soluciones, que seran

las coordenadas de los puntos que forman dicha lınea o superficie.

Para sistemas de 4 o mas incognitas, la representacion grafica no es intuitiva para el ser

humano, por lo que dichos problemas no suelen enfocarse desde esta optica.


4.4.5. Ecuaciones de segundo grado

Una ecuacion de segundo grado o ecuacion cuadratica es una ecuacion polinomica donde

el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresion se refiere al caso en que solo

aparece una incognita y que se expresa en la forma canonica:

ax2 + bx+ c = 0 (4.6)

donde a es el coeficiente cuadratico o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente

lineal o de primer grado y c es el termino independiente.

La ecuacion cuadratica es de vital importancia en matematicas aplicadas, fısica e ingenierıa,

puesto que se aplica en la solucion de gran cantidad de problemas tecnicos y cotidianos.

La ecuacion de segundo grado y su solucion tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos

para resolverla en Babilonia y Egipto.

En Grecia fue desarrollada por el matematico Diofanto de Alejandrıa.4

La solucion de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matematico

judeo espanol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.

Los metodos para resolver ecuaciones cuadraticas son tres:

a. Metodo de factorizacion.

b. Metodo de completar cuadrados.

c. Por formula cuadratica.

Ejemplo 4.4.17. Resolver la ecuacion:

x2 − x− 6 = 0

Solucion

Metodo de factorizacion.

x2 − x − 6 = 0↓ ↓x −3x 2

XXXXXXXX��

4Diofanto de Alejandrıa (Diophanti Alexandrini) (nacido alrededor del 200/214 - fallecido alrededor de

284/298) fue un antiguo matematico griego. Se considera a Diofanto el padre del algebra.


Luego (x− 3)(x+ 2) = 0, de donde x1 = −2 ∨ x2 = 3

Metodo de completar cuadrados.

x2 − x− 6 = 0

x2 − x+1

4− 1

4− 6 = 0

(x− 1

2

)2

− 25

4= 0

(x− 1

2+

5

2

)(x− 1

2− 5

2

)= 0

(x− 3)(x+ 2) = 0

de donde x1 = −2 ∨ x2 = 3

Por formula cuadratica.

x2 − x− 6 = 0

con a = 1, b = −1 y c = −6, entonces usamos la formula cuadratica (1.7)

x =−b±

√b2 − 4ac

2a(4.7)

donde ∆ = b2 − 4ac es conocido con el nombre de discriminante,

luego x =1±

√1− 4(1)(−6)

2=

1±√25

2, de donde x1 = −2 ∨ x2 = 3

Propiedades de las raıces

Dada la ecuacion cuadratica: ax2 + bx + c = 0, con a 6= 0, y con raıces x1 y x2, entonces

se cumple que:

z Suma de raıces:

x1 + x2 = −b

a

z Producto de raıces:

x1.x2 =c

a

z Diferencia de raıces:

D = |x1 − x2| =√∆

a=

√b2 − 4ac

a

z Cociente de raıces:

C =x1x2

=b+√∆

b−√∆

z Suma de inversas de raıces:1

x1+

1

x2= −b

c

z Suma de cuadrados:

x21 + x22 =b2 − 2ac

a2

z Suma de cubos:

x31 + x32 =b(3ac − b2)

a3

z Identidad de Legendre:

(x1 + x2)2 − (x1 − x2)

2 = −4c

a

z Raıces simetricas: x1 + x2 = 0, es decir b = 0

z Raıces recıprocas: x1.x2 = 1, es decir a = c

z Raıces iguales: x1 − x2 = 0, es decir ∆ = 0

z Si las ecuaciones:

ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0

mx2 + nx+ p, m 6= 0tienen las mismas raıces, entonces se

cumple:a

m=

b

n=

c

p

Naturaleza de las raıces

En la ecuacion de segundo grado ax2 + bx + c = 0, a 6= 0. Se llama discriminante a la

expresion ∆ = b2 − 4ac.� Si ∆ > 0 entonces las raıces x1 y x2 son reales y diferentes.� Si ∆ = 0 entonces las raıces x1 y x2 son reales e iguales.� Si ∆ < 0 entonces las raıces x1 y x2 son complejas y conjugadas.

Formacion de una ecuacion de segundo grado

Si x1 y x2 son las raıces de una ecuacion de segundo grado, entonces: S = x1 + x2;

P = x1.x2, luego formamos la ecuacion de segundo grado como:

x2 − Sx+ P = 0


4.4.6. Ecuacion Cubica

Llamada tambien ecuacion polinomial de grado 3 cuya forma general es:

ax3 + b2 + cx+ d = 0

con a 6= 0. Mediante el teorema fundamental del algebra, la ecuacion tiene 3 raıces denotadas

por x1, x2 y x3.

Teorema 4.4.3. Teorema de Cardano5 – Viete6

En la ecuacion ax3 + bx2 + cx+ d = 0, con a 6= 0, de raıces x1, x2 y x3 se cumple:

Suma de raıces:

x1 + x2 + x3 = −b

a

Suma de productos binarios de raıces:

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =c

a

Producto de raıces:

x1.x2.x3 = −d

a

4.4.7. Ecuacion Cuartica

Llamada tambien ecuacion polinomial de cuarto grado y toma la sigiuente forma general:

ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e = 0

con a 6= 0. Mediante el teorema fundamental del algebra, la ecuacion tiene 4 raıces denotadas

por x1, x2, x3 y x4.

Teorema 4.4.4. Teorema de Cardano

En la ecuacion ax4 + b3 + cx2 + dx+ e = 0, con a 6= 0, de raıces x1, x2, x3 y x4 se cumple:

Suma de raıces:

x1 + x2 + x3 + x4 = −b

a

5Gerolamo Cardano, o Girolamo Cardan (24 de septiembre 1501 – 21 de septiembre 1576) fue un celebre

matematico italiano del Renacimiento, medico, astrologo, jugador de juegos de azar y filosofo.6Francois Viete fue un matematico frances (Fontenay le Comte, 1540 – Parıs, 1603). Se le considera uno de

los principales precursores del algebra.


Suma de productos binarios:

x1.x2 + x1.x3 + · · ·+ x3.x4 =c

a

Suma de productos ternarios:

x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + · · ·+ x2.x3.x4 = −d

a


x1.x2.x3.x4 =e

a

4.4.8. Ecuacion Bicuadrada

Es una ecuacion cuartica cuya forma general es:

ax4 + bx2 + c = 0

con abc 6= 0.

Formula general:

x = ±

√−b±

√b2 − 4ac

2a

La ecuacion bicuadrada tiene 4 raıces x1, x2, x3 y x4 que simetricas de a dos a dos, es

decir: x1 = −x2 y x3 = −x4. Dichas raıces cumplen la siguiente propiedad:

x4 − (α2 + β2)x2 + α2β2 = 0

donde α y β son las raıces x1 y x3 respectivamente.

4.4.9. Ecuacion Polinomial

Una ecuacion polinomial de grado n es de la forma:

a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an = 0

donde a0 6= 0.

La resolucion para las ecuaciones lineales, cuadraticas, cubicas, cuarticas y bicuadradas

que ya han sido estudiadas, pueden expresarse mediante formulas generales en terminos de

sus coeficientes.


Sin embargo, no ha sido posible resolver en forma general una ecuacion de quinto grado o

superior mediante formulas generales (por radicales). Mas aun el matematico Evariste Galois7

demuestra que el polinomio general de grado n ≥ 5 no es soluble por radicales, mediante

la teorıa de grupos (tratado en Algebra Moderna). Pero si los coeficientes son numericos, el

valor de cualquiera de las raıces reales puede hallarse mediante aproximaciones (visto en las

aplicaciones de la derivada).

Teorema 4.4.5. Teorema de Cardano

Dada la ecuacion polinomica a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an = 0, con a0 6= 0, de raıces x1,

x2, x3, . . . , xn se cumple:

Suma de raıces:

x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn = −a1a0

Suma de productos binarios:

x1.x2 + x1.x3 + · · · + xn−1.xn =a2a0

Suma de productos ternarios:

x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + · · · + xn−2.xn−1.xn = −a3a0

Suma de productos tomados de k en k:

x1.x2.x3 . . . xk + x2.x3 . . . xkxk+1 + · · · = (−1)k aka0


x1.x2.x3 . . . xn = (−1)n ana0

4.4.10. Planteamiento de ecuaciones

El planteamiento de ecuaciones en matematicas responde a la necesidad de expresar

simbolicamente los problemas y los pensamientos. El primero en proponer una notacion

simbolica, y no solo logica, para explicar sus proposiciones matematicas fue el griego Dio-

fanto de Alejandrıa, en el siglo III a.C., por cuya razon las primeras ecuaciones algebraicas se

dieron en llamar diofanticas.

7Evariste Galois (25 de octubre de 1811 al 31 de mayo de 1832) fue un joven matematico frances nacido

en Bourg la Reine. Ofrecio las bases fundamentales para la teorıa que lleva su nombre, una rama principal del

algebra abstracta. Fue el primero en utilizar el termino “grupo” en un contexto matematico.


Una de las mayores aportaciones a la teorıa de las ecuaciones se debe al matematico Joseph

Louis Lagrange8, fue uno de los mayores cientıficos de su epoca y destacando tambien en otras

disciplinas. Su mayor aportacion al algebra es su famosa memoria “Sobre la revolucion de las

ecuaciones numericas”, escrita en 1767.

Las ecuaciones que estudiamos anteriormente nos pueden ayudar a modelar situaciones que

pueden reflejar el comportamiento de fenomenos fısicos o problemas que es factible encontrar

en la vida diaria. Cada problema requiere el planteamiento de una ecuacion. Por tal razon, es

muy importante expresar la informacion dada en palabras en lenguaje algebraico, esto implica

traducir adecuadamente el enunciado de un problema a una expresion matematica mediante

una o mas ecuaciones.

Una de las habilidades mas importantes en la resolucion de problemas es la destreza,

para traducir un problema dado en nuestro idioma, al lenguaje matematico. Ver el siguiente

esquema:

Simbolizar

Interpretar

LeerEcuacion

(Lenguaje matematico)

Enunciado del problema

(Lenguaje comun)

Figura 4.1: Planteamiento de una ecuacion

A continuacion veremos la traduccion de ciertos enunciados dados en forma verbal a su

forma simbolica matematica.

8Joseph Louis Lagrange, nacio el 25 de Enero de 1736 en Turin, Sardinia–Piedmont (actualmente Italia) y

murio el 10 de Abril de 1813 en Paris, Francia. Joseph Louis Lagrange esta considerado generalmente como un

matematico frances, pero la Enciclopedia Italiana se refiere a el como un matematico italiano. En ambos casos

esta justificada la pretension puesto que Lagrange nacio en Turın y fue bautizado con el nombre de Giuseppe

Lodovico Lagrangia.


Enunciado (Forma verbal)Expresion Matematica (For-

ma simbolica)

⊛ La suma de tres numeros consecutivos es 69. x+ (x+ 1) + (x+ 2) = 69

⊛ El quıntuplo de un numero, aumentado en 9. 5x+ 9

⊛ El quıntuplo de un numero mas 9. 5(x+ 9)

⊛ 8 menos que 5 veces un numero. 5x− 8

⊛ En una reunion hay tantos hombres como el

triple de mujeres.Hombres: 3x Mujeres: x

⊛ El cuadrado de la suma de dos numeros. (x+ y)2

⊛ La suma de los cuadrados de dos numeros. x2 + y2

⊛ El exceso de A sobre B es 90. A−B = 90

⊛ A es excedido por B en 7. B −A = 7

⊛ La edad de Kiko es cuatro veces la edad del

Chavo.Kiko: 4x Chavo: x

⊛ La edad de Kiko es cuatro veces mas que la

edad del Chavo.Kiko: 5x Chavo: x

⊛ A es B como 5 es 6. AB = 5

6

⊛ Yo tengo la mitad de lo que tu tienes y el tiene

el triple de lo que tu tienes.Yo: x Tu: 2x El: 6x

Problemas sobre edades

En la mayor parte de problemas de la vida diaria donde se aplican las ecuaciones, vamos

a encontrar, las relacionadas a edades. Ya que es un tipo de problemas matematicos muy fre-

cuentes y dada la diversidad de situaciones que se presentan, existiendo ası metodos practicos

de resolucion, por eso le daremos una atencion especial.

Es conveniente para resolver estos problemas utilizar cuadros, tablas, graficos, dibujos,

esquemas, etc., que nos permitan visualizar e imaginar mejor la solucion de los mismos.

Evidentemente en estos problemas intervienen Sujetos, cuyas edades se relacionan a traves

del tiempo bajo una serie de condiciones. A continuacion trataremos sobre ellos.

I. Sujetos: Son los protagonistas del problema, que generalmente son las personas, pero

algunos problemas pueden ser animales, plantas, etc. Ejemplos:


1. La edad de Tom y la edad de Jerry suman tanto como la suma de los 6 primeros

numeros primos.

Edad de Tom: T

Edad de Jerry: J

T + J = 41

2. La edad de un arbol ebano, cuando fue talado era 94 anos mas que la edad de la

planta girasol.

Edad de Girasol: G

Edad de Ebano: E

E = G+ 94

II. Tiempos: Es uno de los elementos mas importantes, ya que las condiciones del prob-

lema ocurren en tiempos diferentes (pasado, presente y futuro) relacionadas con otras

expresiones las cuales deben interpretarse correctamente caso contrario complicarıan la

resolucion de los problemas.

a) Tiempo Pasado: Se reconocen porque se presentan con las siguientes palabras:

YoTenıa

Tuve

TuTenıas

Tuviste

ElTenıa

Tuvo

Pueden darse en el problema uno o mas tiempos pasados.

b) Tiempo Presente: Se reconocen porque se presentan con las siguientes palabras:

Yo Tengo

Tu Tienes

El Tiene


c) Tiempo Futuro: Se reconocen porque se le presenta con las palabras:

YoTendre

Tenga

TuTendras

Tengas

ElTendra

Tenga

III. Edades: Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto. Entre las

edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen

en un mismo tiempo o en tiempos diferentes.

Tipos de Problemas

a) Cuando interviene la edad de un solo sujeto: Cuando el enunciado de un problema

nos mencionan: “Hace...” o “Dentro de.....”, se debe tomar como punto de referencia el

tiempo presente ( hoy ); a partir de allı se cuenta el tiempo transcurrido (hace... ) o el

tiempo a transcurrir( dentro de... ). Ejemplo:

Sea “x” mi edad actual, entonces dentro de “n” anos, mi edad se expresa:

Pasado Presente Futuro

Hace m anos Hoy tengo Dentro de n anos

x−m x x+ n

b) Cuando intervienen las edades de dos o mas sujetos: Para este tipo de problemas

se recomienda utilizar un cuadro de doble entrada, con el proposito de razonar ordenada-

mente, buscando plantear un sistema de ecuaciones y luego resolverlas para encontrar

lo que me piden.

Pasado Presente Futuro

Goku a m r

Picoro b n s

Se observa:

• La diferencia de edades de dos personas es constante en cualquier tiempo (es la

misma en el presente, pasado y futuro). Esto es:

a− b = m− n = r − s


• “Lo anterior determina que la suma en aspa de valores extremos colocados simetri-

camente son iguales.

a+ n = b+m

m+ s = n+ r

a+ s = b+ r

Relacion con el ano de nacimiento

De acuerdo a esto podemos enunciar:

Cuando una persona ya cumplio anos, se cumple:

Ano Actual = Ano de nacimiento + Edad Actual

Cuando una persona aun no cumple anos, se cumple:

Ano Actual − 1 = Ano de nacimiento + Edad Actual

Problemas sobre relojes

✍ EJERCICIOS RESUELTOS 2.

Una breve historia de Tartaglia

Figura 4.2: Tartaglia

Niccolo Fontana (1500 – 13 de diciembre 1557), matematico italiano apodado Tartaglia(el tartamudo) desde que de nino recibio una herida en la toma de su ciudad natal, Brescia,


por Gaston de Foix. Huerfano y sin medios materiales para proveerse una instruccion, llego aser uno de los principales matematicos del siglo XVI. Explico esta ciencia sucesivamente enVerona, Vicenza, Brescia y finalmente Venecia, ciudad en la que fallecio en 1557 en la mismapobreza que le acompano toda su vida. Se cuenta que Tartaglia solo aprendio la mitad delalfabeto de un tutor privado antes de que el dinero se agotara, y posteriormente tuvo queaprender el resto por su cuenta. Sea como sea, su aprendizaje fue esencialmente autodidacto.

Descubridor de un metodo para resolver ecuaciones de tercer grado, estando ya en Venecia,en 1535 su colega del Fiore discıpulo de Scipione del Ferro de quien habıa recibido la formulapara resolver las ecuaciones cubicas, le propone un duelo matematico que Tartaglia acepta.A partir de este duelo y en su afan de ganarlo Tartaglia desarrolla la formula general pararesolver las ecuaciones de tercer grado. Por lo que, consigue resolver todas las cuestiones quele plantea su contrincante, sin que este logre resolver ninguna de las propuestas por Tartaglia.

El exito de Tartaglia en el duelo llega a oıdos de Gerolamo Cardano que le ruega que lecomunique su formula, a lo que accede pero exigiendole a Cardano jurar que no la publicara.Sin embargo, en vista de que Tarataglia no publica su formula, y que segun parece llegaa manos de Cardano un escrito inedito de otro matematico fechado con anterioridad al deTartaglia y en el que independiente se llega al mismo resultado, sera finalmente Cardanoquien, considerandose libre del juramento, la publique en su obra Ars Magna (1570). A pesarde que Cardano acredito la autorıa de Tartaglia, este quedo profundamente afectado, llegandoa insultar publicamente a Cardano tanto personal como profesionalmente. Las formulas deTartaglia seran conocidas como formulas de Cardano

Otras aportaciones destacables de Tartaglia fueron los primeros estudios de aplicacion delas matematicas a la artillerıa en el calculo de la trayectorias de los proyectiles (trabajosconfirmados posteriormente por los estudios acerca de la caıda de los cuerpos realizados porGalileo), ası como por la expresion matematica para el calculo del volumen de un tetraedrocualquiera en funcion de las longitudes de sus lados, la llamada formula de Tartaglia, unageneralizacion de la formula de Heron (usada para el calculo del area del triangulo):

V =

√√√√√√√√√1

288

0 1 1 1 11 0 a2 b2 c2

1 a2 0 d2 e2

1 b2 d2 0 f2

1 c2 e2 f2 0

.

Ademas de sus trabajos matematicos, Tartaglia publico las primeras traducciones al ital-iano de las obras de Arquımedes y Euclides.

4.5. Desigualdades e Inecuaciones

El criterio de desigualdad nace tan paralelamente a la nocion de igualdad desde los int-

electuales babilonicos, aunque no se trataba con tanto interes.

Las inecuaciones se convierten en la preocupacion de los intelectuales europeos, en el siglo

XVI con Leonardo de Pisa9 entre las inecuaciones simples.

9Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (1170 – 1250), tambien llamado Fibonacci, fue un

matematico italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeracion actualmente utilizado, el

Las desigualdades o relacion de orden se convierten en una caracterıstica fundamental que

diferencia al conjunto de los numeros reales del conjunto de los numeros complejos.

4.5.1. Desigualdad

Definicion 4.5.1. Una desigualdad es una comparacion que se establece entre dos numeros

reales a, b utilizando los sımbolos de la relacion de orden, el cual puede ser verdadero o falso.

a > b, a < b, a ≥ b, a ≤ b.

Desigualdades conocidas

Los matematicos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas formulas

exactas no pueden ser facilmente computadas. Algunas se usan tan a menudo que se les ha

puesto nombre, como:

Desigualdad de Azuma

Desigualdad de Bernoulli

Desigualdad de Boole

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Desigualdad de Chebyshov

Desigualdad de Chernoff

Desigualdad de Cramer-Rao

Desigualdad de Hoeffding

Desigualdad de Holder

Desigualdad de las medias aritmetica y geometrica

Desigualdad de Jensen

Desigualdad de Markov

Desigualdad de Minkowski

Desigualdad de Nesbitt

que emplea notacion posicional (de base 10, o decimal) y un dıgito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesion

de Fibonacci (surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos).

Desigualdad de Pedoe

Desigualdad triangular

4.5.2. La recta real

Es muy comun manejarse en la vida cotidiana con numeros que oscilan en ciertos rangos.

Muchos fenomenos que se producen en la naturaleza no tienen soluciones exactas, y para re-

solverlos debemos contentarnos, por ejemplo, con acotarlos entre dos valores determinados. En

esta seccion precisamente aprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones. Para ello,

en principio, daremos la nocion de inervalo, y finalizaremos con la resolucion de inecuaciones.

Definicion 4.5.2. La recta real es una representacion geometrica del conjunto de los numeros

reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido

(normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe

una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un numero real.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 R

Figura 4.3: La Recta Real

Intervalos

Definicion 4.5.3. Los intervalos numericos en R son conjuntos de numeros reales y se rep-

resentan mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados

Intervalos acotados o finitos

Definicion 4.5.4. Un Intervalo abierto es aquel conjunto formado por todos los numeros

reales x tales que a < x < b. No estan incluıdos los extremos a y b. Se denota por 〈a, b〉 otambien ]a, b[ de modo que:

〈a, b〉 = {x ∈ R / a < x < b}

a b R

Observacion 4.5.1. Si a = b, entonces 〈a, b〉 = φ.

Definicion 4.5.5. Un Intervalo cerrado es aquel conjunto formado por todos los numeros

reales x tales que a ≤ x ≤ b. Estan incluıdos los extremos a y b. Se denota por [a, b] de modo

que:

[a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}

a b R

Observacion 4.5.2. Si a = b, entonces [a, b] = {a} o {b}.

Definicion 4.5.6. Un Intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha es

aquel conjunto formado por todos los numeros reales x tales que a < x ≤ b. Se denota por

〈a, b] de modo que:

〈a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}

a b R

Definicion 4.5.7. Un Intervalo semiabierto por la derecha o semicerrado por la izquierda es

aquel conjunto formado por todos los numeros reales x tales que a ≤ x < b. Se denota por

[a, b〉 de modo que:

[a, b〉 = {x ∈ R / a ≤ x < b}

a b R

Intervalos no acotados o infinitos

Definicion 4.5.8. Los intervalo infinitos son conjuntos de numeros reales que se extienden

indefinidamente por la derecha o por la izquierda y tienen la forma:� 〈a,+∞〉 = {x ∈ R / x > a}

a R� [a,+∞〉 = {x ∈ R / x ≥ a}

a R� 〈−∞, a〉 = {x ∈ R / x < a}

a R

130 Matematica Basica Walter Arriaga D.� 〈−∞, a] = {x ∈ R / x ≤ a}

a R� 〈−∞,∞〉 = {x ∈ R / x ∈ R}

0 R

Notacion Intervalo Longitud (l) Descripcion

〈a, b〉 a < x a ∞ Intervalo infinito

[a,∞〉 x ≥ a ∞ Intervalo infinito

〈−∞, a〉 x < a ∞ Intervalo infinito

〈−∞, a] x ≤ a ∞ Intervalo infinito

〈−∞,∞〉 x ∈ R ∞ Intervalo infinito

{a} x = a 0 Intervalo cerrado. Conjunto unitario

{} 6 ∃ x 6 ∃ Conjunto vacıo

Cuadro 4.1: Clasificacion de intervalos

Operaciones con intervalos

Siendo los intervalos subconjuntos de los numeros reales, es posible realizar con ellos las

propiedades operativas de conjuntos, como son la union, interseccion, diferencia, diferencia

simetrica, y complementacion.

A ∪B = {x ∈ R / x ∈ A ∨ x ∈ B}

A ∩B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x ∈ B}

A−B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x 6∈ B}

A∆B = {x ∈ R / x ∈ (A−B) ∨ x ∈ (B −A)}

A′ = Ac = {x ∈ R / x 6∈ A}

Nota 4.5.1. A−B = A\B

4.5.3. Inecuacion

Definicion 4.5.9. Una inecuacion es toda desigualdad condicional que contiene una o mas

cantidades desconocidas, llamadas variables, y que solo es verdadera para determinados valores

de dichas variables.

Las inecuaciones de una variable son proposiciones que tienen la forma: p(x) > 0, p(x) < 0,

p(x) ≥ 0, p(x) ≤ 0.

Toda inecuacion se convierte en una desigualdad cierta o falsa cuando la incognita o

incognitas toman un valor real determinado.

4.5.4. Inecuaciones de primer grado

Definicion 4.5.10. Llamada tambien Inecuacion Lineal, es aquella inecuacion de la forma:

ax+ b > 0 ; ax+ b < 0

ax+ b ≥ 0 ; ax+ b ≤ 0

donde a 6= 0 y {a, b} ⊂ R

4.5.5. Inecuaciones de segundo grado

Definicion 4.5.11. Llamada tambien Inecuacion Cuadratica, es aquella inecuacion de la

forma:

ax2 + bx+ c > 0 ; ax2 + bx+ c < 0

ax2 + bx+ c ≥ 0 ; ax2 + bx+ c ≤ 0

donde a 6= 0 y {a, b, c} ⊂ R

4.5.6. Inecuaciones polinomicas

Definicion 4.5.12. Las inecuaciones polinomicas tienen la forma:

P (x) = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an > 0

P (x) = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an < 0

P (x) = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an ≥ 0

P (x) = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an ≤ 0

y son llamadas tambien inecuaciones de orden superior.

4.5.7. Inecuaciones racionales

Definicion 4.5.13. Una inecuacion racional es una desigualdad condicional que reducida a

su mas simple expresion tiene la forma:

P (x)

Q(x)> 0 ;

P (x)

Q(x)< 0 ;

P (x)

Q(x)≥ 0 ;

P (x)

Q(x)≤ 0

4.5.8. Ecuaciones e inecuaciones irracionales

Definicion 4.5.14. Una ecuacion irracional es aquella en que la variable aparece afectada

por un signo radical.

Propiedad 4.5.1.

√x ≥ 0, ∀x ≥ 0

√x = 0 ⇐⇒ x = 0

Teorema 4.5.1. Sean a y b numeros reales, entonces:

√a = b ⇐⇒ [ b ≥ 0 ∧ a = b2 ] (4.8)

Definicion 4.5.15. Una inecuacion irracional es aquella desigualdad en que la variable aparece

afectada por un signo radical.

Lema 4.5.1. Sean x, y, numeros reales, entonces:

0 ≤ √x ≤ √y ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ y

0 ≤ √x <√y ⇐⇒ 0 ≤ x < y

Teorema 4.5.2. Si n es un entero par positivo, entonces:

n

√x ≤ n

√y ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ y

n

√x < n

√y ⇐⇒ 0 ≤ x < y

Teorema 4.5.3. Si n es un entero impar positivo, entonces:

n

√x ≤ n

√y ⇐⇒ x ≤ y

n

√x < n

√y ⇐⇒ x < y

n

√x ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 0

n

√x < 0 ⇐⇒ x < 0

Teorema 4.5.4. Sean a y b numeros reales, entonces:

√a 0 ∧ a < b2 ]

√a ≤ b ⇐⇒ a ≥ 0 ∧ [ b ≥ 0 ∧ a ≤ b2 ]

√a > b ⇐⇒ a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a > b2 ) ]

√a ≥ b ⇐⇒ a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a ≥ b2 ) ]

4.5.9. Inecuaciones exponenciales

Las inecuaciones exponenciales son de la forma:

bP (x) ≥ bQ(x)

bP (x) ≤ bQ(x)

bP (x) > bQ(x)

bP (x) < bQ(x)

Se presentan los siguiente casos:

Caso I: Si b > 1, entonces se cumple:

bP (x) ≥ bQ(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x)

bP (x) ≤ bQ(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x)

bP (x) > bQ(x) ⇒ P (x) > Q(x)

bP (x) < bQ(x) ⇒ P (x) < Q(x)

Caso II: Si 0 bQ(x) ⇒ P (x) < Q(x)

bP (x) < bQ(x) ⇒ P (x) > Q(x)

4.5.10. Inecuaciones logarıtmicas

Las inecuaciones exponenciales son de la forma:

logb P (x) ≥ logbQ(x)

logb P (x) ≤ logbQ(x)

logb P (x) > logbQ(x)

logb P (x) < logbQ(x)

Se presentan los siguiente casos:

Caso I: Si b > 1, entonces se cumple:

logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x)

logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) ≤ Q(x)

logb P (x) > logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) > Q(x)

logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) < Q(x)

Caso II: Si 0 0 , Q(x) > 0 , P (x) ≤ Q(x)

logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) ≥ Q(x)

logb P (x) > logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) < Q(x)

logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) > Q(x)

4.5.11. Sistemas de inecuaciones

4.6. Valor Absoluto y Maximo Entero

4.6.1. Valor absoluto

El objetivo que se pretende lograr es que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones

que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ax+ b, donde a y b son

constantes reales con a 6= 0, y x es una variable real.

Definicion 4.6.1. El valor absoluto o magnitud de X ∈ R, denotado por |x| es un numero

no negativo definido por la siguiente regla:

|x| =

x x ≥ 0

−x x < 0

El concepto de valor absoluto de un numero real puede generalizarse a muchos otros objetos

matematicos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

El valor absoluto esta estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia

y norma en diferentes contextos matematicos y fısicos.

Desde un punto de vista geometrico, el valor absoluto de un numero real x corresponde

a la distancia a lo largo de la recta numerica real desde x hasta el numero cero. En general,

el valor absoluto de la diferencia de dos numeros reales es la distancia entre ellos. De hecho,

el concepto de funcion distancia o metrica se puede ver como una generalizacion del valor

absoluto de la diferencia.

Proposicion 4.6.1.

I. |a| ≥ 0, para todo a ∈ R

II. |a| = 0 ⇐⇒ a = 0

III. |a|2 = a2, para todo a ∈ R

IV. |a| =√a2, para todo a ∈ R

V. |a| = | − a|, para todo a ∈ R

VI. |ab| = |a||b|, para todo a, b ∈ R

VII.∣∣∣ab

∣∣∣ = |a||b| , para todo a, b ∈ R, b 6= 0.

VIII. |a+ b| ≤ |a|+ |b|, para todo a, b ∈ R (Desigualdad Triangular)

IX. |a− b| ≤ |a|+ |b|, para todo a, b ∈ R

X. |a| − |b| ≤ |a− b|

XI. |a| = b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ [a = b ∨ a = −b]

XII. |a| = |b| ⇐⇒ a = b ∨ a = −b

XIII. |a| ≤ b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ −b ≤ a ≤ b

XIV. |a| b ⇐⇒ a > b ∨ a < −b

XVII. |a| ≤ |b| ⇐⇒ a2 ≤ b2

XVIII. −|a| ≤ a ≤ |a|, para todo a ∈ R

4.6.2. Maximo entero

Definicion 4.6.2. En el sistema de numeros reales se define el maximo entero de un numero

real x, a la expresion denotada por JxK = n, donde n es el mayor entero, menor o igual a x;

es decir:

JxK = n ⇐⇒ JxK = max{n ∈ Z / n ≤ x}

Ejemplo 4.6.1.

x = 2,8 entonces JxK = J2,8K = 2; porque: 2 ≤ 2,8 < 3

x = −√2 entonces JxK =

q−√2y= −2; porque: −2 ≤ −

√2 < −1

x = −7 entonces JxK = J−7K = −7; porque: −7 ≤ −7 < −6x = π entonces JxK = JπK = 3; porque: 3 ≤ π < 4

Propiedades

1. JxK ∈ Z, ∀x ∈ R

2. JxK = x ⇔ x ∈ Z

3. JxK ≤ x < JxK + 1, ∀x ∈ R

4. JxK = n ⇔ n ≤ x < n+ 1, n ∈ Z

5. Jx+ nK = JxK + n, n ∈ Z

6. JxK ≤ n ⇔ x < n+ 1, n ∈ Z

7. JxK < n ⇔ x < n, n ∈ Z

8. JxK ≥ n ⇔ x ≥ n, n ∈ Z

9. JxK > n ⇔ x ≥ n+ 1, n ∈ Z

10. JxK + JyK < Jx+ yK, ∀x, y ∈ R

11. JxK + J−xK =

0 , si x ∈ Z

−1 , si x ∈ (R−Z)

12. Si x ≤ y ⇒ JxK ≤ JyK, ∀x, y ∈ R


✍ EJERCICIOS PROPUESTOS 2.

I. Resolver las siguientes ecuaciones:

1)1

2x+ 2+

3

2x− 2=

x+ 2

x2 − 1

2) 4

(x2 +

1

x2

)− 24

(x+

1

x

)+ 28 = 0

3) 333(x − 333) =1

333(x− 333) − x+ 333

4)x− a

bc+

x− b

ac+

x− c

ab= 2

(1

a+

1

b+

1

c

)con abc 6= 0,

5)2(x2 − 6x+ 9)

x4 − 12x3 + 53x2 − 102x + 72=

1

x2 − 5x+ 6+

1

x− 3

6) x−2(x2 − 3x+ 1)(x2 − x+ 1) +3

4= 0

7)x4 − 16

2− x− x5 + 32

x+ 2+ 6x3 = 0

8)6x+ 2a+ 3b+ c

6x+ 2a− 3b− c=

2x+ 6a+ b+ 3c

2x+ 6a− b− 3c

9)1

(x− 2)(x− 3)+

1

(x− 3)(x− 4)+

1

(x− 2)(x− 4)= 0

10)23x− 46

253− 3x+ 6

51=

2x− 4

34

11)

x+ 1

x− 1− x− 1

x+ 1

1− x+ 1

x− 1

=1

2

12)x2 − 4x− 5

(x− 2)2=

x2 + 6x+ 10

(x+ 3)2

13)

(x

x− 1

)2

+

(x

x+ 1

)2

=5

16

14)(x− 3)(x+ 5)

5(x− 5)(x+ 7)− (x− 4)(x+ 2)

4(x− 6)(x+ 4)=−120

II. Propiedades de las raıces de ecuaciones:

1) Que valores deben tomar p y q para que las raıces de la ecuacion x2 + px + q = 0,

sean tambien p y q?

2) Hallar el valor de “q” para tener dos raıces iguales en la ecuacion x2 − 8x+ q = 0

3) Si “r” y “s” son las raıces de la ecuacion: x2 + bx+ c = 0. Hallar el valor de√r2 + s2


4) Determinar uno de los valores de “p” en la ecuacion: x2 − (3p − 2)x + (p2 − 1) = 0.

De modo que una raız sea el triple de la otra.

5) Hallar la ecuacion de segundo grado si una de sus raıces es: −3 + 4i

6) Hallar “m” si la ecuacion:x2 − bx

ax− c=

m− 1

m+ 1tiene raıces numericamente iguales pero

de signo contrario.

7) Hallar la ecuacion de segundo grado si una de sus raıces es: x = 2+2

1 +2

3 +2

1 +2

3 + ...

8) En la ecuacion x2−px+36 = 0, determınese “p” de tal manera que se tenga1

x1+

1

x2=

5

12; x1, x2 son raıces.

9) Hallar el producto de las raıces de la ecuacion: 8Z32n − 8Z

−32n = 63

10) Que valor debe tener “C”, en la ecuacion x2 − 8x + C = 0, para que una raız sea

inversa de la otra?

11) Cual es la diferencia de los cuadrados de las raıces de la ecuacion: (x−1)2+x2 = 1,22?

12) Formar una ecuacion cuadratica que admite como raıces, la suma y el producto de

las inversas de aquella ecuacion de coeficientes racionales que tiene como una de sus

raıces:5

2+

i

2

13) Sea: (x+1)n2−(7x+5)n+2n+12x = 0, una ecuacion lineal en “x”. ¿Para que valor(es)

de n la ecuacion tiene infinitas soluciones?

14) Resuelva la ecuacion: x2 + 6px − 2k = 0. Si 3x2 + (k + a)x + 5 − k = 0 tiene raıces

recıprocas y 6x2 + (2p − 1)x+ 8 = 0 tiene raıces simetricas.

15) Si a y b son las raıces de la ecuacion x2 − 6x + c = 0; entonces hallar el valor dea2 + b2 + 2c

9

16) En la ecuacion 3k2x2 − 6kx− (k + 2) = 0, k 6= 0. Si la suma de sus raıces es igual al

doble de su producto, hallar k.

17) Para que valores de m la ecuacion:

(2√x)2 +

(3√x

)2

+ 3

(1 +

3

m

)= 0, tiene dos soluciones iguales.

18) Si {a, b} es el conjunto solucion de la ecuacion x2 − 197781x − 197771 = 0. Halle el

valor de: a2 + b2 + a2b2 + 2ab(a + b+ 1).

19) Si la ecuacion x2 + 2(n+ 3)x+ (n2 + 1) = 0 tiene raıces reales diferentes, que valores

enteros negativos debe asumir “n”.


20) Si las raıces son recıprocas, hallar la suma de las raıces de: (2n−2)x2+4x−4nx = 2−n

21) Hallar “m + n” si la ecuacion cuadratica: 1024x2 − (nm − 8)x + n10 = 0, m,n ∈ R+

tiene raıces simetricas y recıprocas.

22) Si las raıces de x2 +mx+ n = 0 difieren en 4 y la diferencia de cubos de estas raıces

es 208. Entonces hallar el menor valor que puede tomar E = m+ n

23) Si el conjunto solucion de la ecuacion x2 − 5x+ 1 = 0 es {α, β}, calcule:W =

1

α+ 2+

1

β + 2.

24) Siendo α y β las raıces de x2 − 2x+ 5 = 0, encuentre el termino independiente de la

ecuacion cuyas raıces son: x1 = 3α+ β y x2 = α+ 3β.

25) Sea la ecuacion cuadratica x2 − 3x+ 1 = 0, de raıces “x1” y “x2”, calcular:

(x1 + 4)(x2 + 6)(x1 + 6)(x2 + 4).

26) Si las ecuaciones en “x”: (m+2)x2+(n2+3)x−2 = 0 y (m+1)x2+(n+1)x−1 =

0 admiten el mismo conjunto solucion, determine mn.

27) Si la ecuacion de incognita “x”:

(m+ n− 8)x2 + (m− n+ 4)x+ 5 = 0 es incompatible, calcular el valor de m+ 3n.

28) Si la ecuacion3kx− 5

x− 1+

2kx− 3

x+ 1= k + 8 se reduce a una ecuacion de primero

grado en “x”. Hallar su solucion.

29) Resolver la ecuacion de primer grado: a2−1√

x a

√x+ a2 = a

30) Si las raıces de la ecuacion: x2− 2(m2 +4m)x+m4 = 0, son iguales. Calcular el valor

“m”.

31) Si α y β son las raıces de√x− 3 = x− 3, con α > β. Calcular el valor de: αβ

32) Si el producto de las raıces de:

4x2 − (m+ 2)x+ (n− 2) = 0 es igual a 2/3. ¿Cual es el valor de “n”?.

33) Se define la operacion z como a z b = a(a + 2b); a, b ∈ R. Hallar la suma de los

posibles valores de “x” al resolver la ecuacion: 2[x z (x− 3)] = 18.

34) Si x1 y x2 son las raıces de la ecuacion 2x2−5x+1 = 0, calcular el valor de x−11 +x−1

2 .

35) Si la ecuacion cuadratica 5x2 + (nn − 27)x + (mm + 1) = 0 tiene raıces simetricas y

recıprocas, hallar el valor de W = mn + nm.

36) Hallar la ecuacion de segundo grado que tenga por coeficiente del primer termino la

unidad, por coeficiente del segundo termino, una de sus raıces, y por ultimo termino

la otra raiz.


37) Si x1, x2, x3, x4 son raıces de la ecuacion: x4 + (n+2)x2 +9 = 0, calcular el valor de

n, sabiendo ademas que x1x2x3 = 3

38) Las cuatro raıces de la ecuacion:

x4 + 5(k − 2)x2 + 9 = 0, estan en progresion aritmetica. Hallar el valor de k.

39) Hallar la ecuacion bicuadrada si una de sus raıces es: 2−√5

40) Hallar la ecuacion bicuadrada donde dos de sus raıces son 1 y −2

41) La ecuacion ax4+bx2+c = 0, tiene raıces x1, x2, x3, x4, tales que x2 = −x1, x4 = −x3,c = a, b = 3a. Calcular: x1x2 + x3x4.

III. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

1)

5

x+

3

y=

1

2

6

x− 2

y=

1

3

2) x+ y = 5; y + z = 8; z + u = 9; u+ v = 11; v + x = 9

3) x+ y = xy; y + z = 3yz; z + u = 5zu; u+ w = 7uw; w + x = 9wx

4)

(a+ b)x− (a− b)y = 4ab

(a− b)x+ (a+ b)y = 2a2 − 2b2

5)

3x+ 2y − z = 4

2x+ 3y − 2z = 2

5x− y − 3z = −6

6)

4x−1 − 3y−1 = 14

6x−1 − 5y−1 = 18

7)

1

x+

1

y+

1

z=

1

36. . . . . . (1)

xy + yz + xz = 9 . . . . . . (2)

¿Cual es el valor de xyz?

8)x

y + z=

y

x+ z=

z

x+ y=

1

x+ y + z

9) Para que valores de “m” el sistema:

(m+ 1)x+ 3y = 4m+ 3

(m+ 4)x+ 3my = 5, tiene solucion

unica?


10) Hallar el valor de k de modo que el sistema

(k − 1)x = −yx = 2y

tenga infinitas solu-

ciones.

11) Calcular el valor de “m” si el sistema:

(2m− 1)x+my = 6

15x = 6− 8ypresenta infinitas

soluciones.

12) Si el sistema:

kx− 5 = −y

x+ ky = 8no admite solucion. Calcular la suma de los valores

que admite “k”

13) Para que valor de “n” el sistema:

(n+ 2)x+ 6y = k

2x+ (1 + n)y = 7sera compatible determinado.

14) Calcular ab sabiendo que los sistemas:

3x+ ay = 7

4x+ by = 2

ax+ 3y = 8

bx+ 4y = 7son equiv-

alentes

15) Calcular el valor de: x− y + z −w del sistema:

x+ y + z = 5

x+ y + w = −1

x+ z +w = 1

y + z + w = 4

16) Dado el sistema

x+my = 1

mx− 3my = 3para que valor de “m” el sistema no tiene solucion.

17) Para que valor de a el sistema

(a+ 3)x+ (2a+ 3)y = 18

(a− 3)x+ (a− 1)y = 6no admite solucion.

IV. Problemas de aplicacion:

1) La diferencia de las cuartas potencias de dos numeros es 369 y el cuadrado de la suma

de sus cuadrados es 1681. ¿Cual es la suma de dichos numeros?

2) Un padre va con sus hijos al estadio para comprar entradas a occidente que cuesta

S/. 30.00, le falta dinero para 3 de ellos y tiene que comprar entradas para popular

de S/. 15.00. Ası entran todos y le sobra S/. 30.00. ¿Cuanto eran los hijos?

3) El denominador de una fraccion excede al numerador en una unidad. Si se agrega a

ambos miembros de la fraccion una unidad, la nueva fraccion excede a la original en

1/72. ¿Cual es la fraccion original?


4) El producto de dos numeros impares es 925. Si se divide el numero mayor entre el

menor se obtiene un cociente 1 y residuo 12. Hallar dichos numeros.

5) La suma, el producto y el cociente de dos numeros dan un valor constante. ¿Cual es

dicho valor?

6) Carlos tiene hoy cuatro veces los anos que tenıa Mario cuando el tenıa 13 anos y

Mario tiene hoy 22 anos. ¿Cual es la edad de Carlos?

7) Cuatro hermanos tienen 45 soles. Si el dinero del primero es aumentado en 2 soles, el

del segundo reducido en 2 soles, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a

la mitad, todos los hermanos tendran tambien la misma cantidad en soles. ¿Cuanto

dinero tenıa cada uno?

8) Por participar en los examenes parciales del CPU, un Decano gana el doble del sueldo

de un Profesor Auxiliar y el triple del sueldo de un Profesor Jefe de Practicas, si los

tres juntos perciben 3300 soles. ¿Cuanto gana el Decano?

9) Alessandra le dicta una ecuacion cuadratica a sus dos primos: Leonardo se equivoca

en el termino independiente y obtiene 8 y 2; mientras que Genesis se equivoca en el

coeficiente del termino lineal y obtiene −9 y −1. ¿Cual fue la ecuacion cuadratica?.

10) Determinar una fraccion sabiendo que si al numerador se aumenta en 2 y al denom-

inador en 1 se obtiene 1/2 y que si al numerador se aumenta en 1 y el denominador

se disminuye en 2 se obtiene 3/5.

11) Una caja vacıa pesa 50 gramos, depositamos 10 esferas rojas, 5 esferas blancas y 2

esferas azules. Se sabe que una esfera blanca pesa 2 gramos mas que una roja y una

esfera blanca tiene un peso igual a los 4/5 del peso de una azul. Las esferas del mismo

color tienen igual peso. Evaluar el peso total en gramos de la caja con las esferas en

su interior.

12) Si A le da S/ 1.00 a C, ambos tienen lo mismo, si B tuviera S/ 1.00 menos, tendra lo

mismo que C y si A tuviera S/ 5.00 mas, tendra tanto como el doble de lo que tiene

C, ¿Cuanto tiene C?.

13) Cuando dos bombas actuan a la vez, tardan 15 hrs. en vaciar un pozo. Si solamente

actuara una bomba, tardarıa 16 horas mas en vaciar el pozo, que si solamente ac-

tuara la otra bomba mas potente, el vaciar el pozo. ¿Cuanto demora la bomba mas

veloz en vaciar el pozo?

14) Dos negociantes de vinos ingresan por la frontera norte, portando uno de ellos 64

botellas de vino y el otro 20. Como no tienen suficiente dinero para pagar derechos de

aduana, el primero paga con 5 botellas de vino, mas S/. 40.00 y el segundo con dos

botellas de vino, pero recibe S/. 40.00 de vuelto. ¿Cual es el precio de cada botella

de vino?

15) Un granjero amarra su caballo en la esquina de su casa. El observa que si la cuerda

fuera alargada en 10 metros el animal podrıa abarcar cuatro veces el area original,

entonces la longitud original de la cuerda (en metros) es:

16) De un juego de 32 cartas se sacan primero “x” cartas y tres mas, luego se saca la

mitad de lo que resta y todavıa quedan 10 cartas. ¿Cuantas cartas se saco la primera

vez?.

V. Resolver las siguientes inecuaciones:

1) Si a > b, resuelva: a(x+ b)− b(x−a) ≥ a2+ b2 e indique cuantas soluciones negativas

tiene la inecuacion.

2) Entre que lımites debe estar comprendido el valor de “n” para que la inecuacion

x2 + 2nx+ n >3

16, se verifique para todo valor real?.

3) Para que valor de “n” se verifica la desigualdadx2 + nx− 1

2x2 − 2x+ 3< 1, ∀x ∈ R

4) Hallar el valor de mn si la inecuacion 2x2−2mx−n < 0, tiene como conjunto solucion

〈−3, 5〉.

5) Calcular 2a+ b+ c si el intervalo solucion deax2 + (a+ b)x+ c

5x2 + 2x+ 1≤ 0, es

[3

2, 2

].

6) Si: (5x+ 1) ∈ 〈−3, 2〉 entonces a que intervalo pertenece:1

2x− 2

7) (x+ 3)(x3 + x− 2) ≤ 0

8) x3 + 3x2 + x− 1 < 0

9) 5x5 + 3x4 + 2x3 − 5x2 − 3x− 2 < 0

10)7x− 2

2<

5x+ 6

3<

9x+ 34

5

11) 3 +x− 3

6>

x+ 5

3− 2

1

3

12)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣x −(3x+ 1)

5 x+ 2

∣∣∣∣∣∣7

x2 + 3x− 2 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣> 5

VI. Hallar el menor numero M con la propiedad de que para todo x ∈ R se cumple:

1) −x2 + 3x+ 12 ≤M

2) −x2 + 2x− 5/2 ≤M

3) 4 + 6x− 3x2 ≤M

4) 4x− 2x2 ≤M

5) −x2 ≤M

6) −x2 + 4x− 10 ≤M

VII. Hallar el mayor numero M con la propiedad de que para todo x ∈ R se cumple:

1) M ≤ x2 + 14x+ 33

2) 2x2 − 4x+ 1 ≥ 2M

3) M ≤ 2x2 − 4x+ 2

4) M ≤ x2 − 10x+ 32

5) M ≤ x(x− 2)− 3

6) M ≤ 1− 6x+ x2

VIII. Resolver las siguientes inecuaciones racionales:

1)2x− 3

x− 2≥ 3

2)3x+ 4

x− 5+ 2 <

4x− 5

x− 5

3)x− 4

x− 3− x+ 4

x+ 5> 0

4)2

3<

x− 1

x+ 3<

7

9

5)4

4− x− x− 2

5<

4

x

6)6

x− 1− 3

x+ 1− 7

x+ 2< 0

7)x2 − 5x+ 6

x2 + x− 56≥ 0

8)5x2

3 + x2+

7

6 + x2≥ 4x2

3x2 + 9− 1

2x2 + 12

9)(x− 5)8(x+ 1)11(x− 2)5

(2x2 + x+ 5)(x− 3)7≥ 0

10)x5(x3 − 8)3(x− 1)2

(x+ 3)2(x2 − 25)7< 0

11)3x+ 1

x2 + 1+

x2 − 12

x2 + log 10<

1− x

x2 + tan π/4

12) [(x− 1)2 + 2]−1 < 1


IX. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:

1)√x− 3 = x− 3

2) x−√4− x2 = −1

3) x+√x+ 4 = 3x− 7

4)√x+ 1−

√x+ 6 = 1

5)3√x+ 1 + 3

√x− 1

3√x+ 1− 3

√x− 1

= 2

6) x−√4− x2 = −1

7)

√x2 − 2x+ 14

x2 + 4x+ 2+

√x2 + 4x+ 2

x2 − 2x+ 14= 2

8)√x−√x+ 1

2=√

x+ 1 + 2√x

9) x2 − 6x−√x2 − 6x− 3 = 5

10)√x+

√x−√1− x = 1

11)√3x− 2−

√x+ 3 = 1

12)√x2 − 7ax+ 10a2 −

√x2 + ax− 6a2 = x− 2a

13) x+√x+ 4 = 3x− 7

14)√2x+ 13 =

√x+ 3 +

√x+ 6

15)

√x− 2

x+ 3+

√x+ 3

x− 2=

5

2

16) x2 − 6x−√x2 − 6x− 3 = 5

17)√x2 − 7ax+ 10a2 −

√x2 + ax− 6a2 = x− 2a, a > 0

18)√2x+ 13 =

√x+ 3 +

√x+ 6

19)

√x− 2

x+ 3+

√x+ 3

x− 2=

5

2

20)√x+ 1−

√x+ 6 = 1

21)

√x2 − 2x+ 14

x2 + 4x+ 2+

√x2 + 4x+ 2

x2 − 2x+ 14= 2

22)√2x− 3 +

√x− 1 =

√3x− 2

23)√2 + x−

√2− x = x

24)√3x− 6 +

√2x+ 6 =

√9x+ 4

25)√2x+ 7−

√x− 5 =

√x

26)√x− 2a =

√x− 5a−

√x+ 3a, a > 0

27)√x+ 2a+

√x =√12x+ a, a > 0

28) 3√

14 +√x+ 3

√14−√x = 4

X. Resolver las siguientes inecuaciones con radicales:

1)√x2 − x− 6 < 6− x

2)√x2 − 7 ≥

√6x

3)√x2 − 5x+ 6 +

√2x2 − 5x+ 2 +

√5x− 4− x2 > 0

4) 10√x2 − 5x+ 4 > − 12

√9x− 14− x2

5)

√x2 − 1

9− x2+ 2 > 0

6)

√2x− 8

x− 1+

√5− x

x+ 3≥ 0

7)1√x+ 1

>√x− 1

8)1√

9− x2+

1√25− x2

> 0

9)√1− x−

√1− 3x >

√3 + x−

√3− x

10)8√4x+ 2(x2 − 25)3 5

√2x− 8

(x+ 1)2(2x+ 5)9< 0

11)(x− 6)(x3 − 8)(x + 3)3 3

√x− 1

x(x− 4)9(x+ 4)10(x3 − 64)√5− x

≥ 0

12)(x+ 1)2(x+ 2)3(x+ 3)4(x− 4)5

44√x− 1 5

√9− x 6

√x

> 0

13)4√27− x 7

√x2 − 14x− 15(x− 2)8 3

√x+ 8(x− 3)11√

x+ 9(x2 + 7x− 8)(x − 27)9(x3 − 27)≤ 0

14)8√625− x2 5

√x2 − 4(x+ 4)6(x2 − 1)4

x3 − 2x2 − x+ 2≤ 0

15)

√√x2 − x− 2− 2

2−√x+ 4

≥ x− 4

16)

√√x2 − 5x−

√3x

9− x≥ x− 10

17)

√√x2 − 4x− 5

4−√x2 − 9

≥ x− 6

18)

√√x2 + x− 2 + 3√x2 − 9− 1

> x− 4

19)

√√x2 − 5x+ 4− 2

2−√x− 2

≥ x− 6

20)

√√x+ 4 + 2

2−√x+ 4

≥ x− 4

XI. Resolver las siguientes inecuaciones exponenciales:

1) 4x − 9(2x) < −8

2)x+1√8x+3 <

x−1√322x+5

3)

(1

16

) (x−2)2

2(x−4)

>

(√2

2

)4x

4) 3√

(0,5)2x−1

2 > 6√(0,25)

x+23

5)3x+1√

4

(

2x+12x+1

)

≤2x√

8

(

3x−1

(2)(3)x+1

)

XII. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones:

1) Hallar (y/x) con x, y ∈ Z en: x+ y > 6 ; x− y < 2 ; y < 4

2) (x− 4)(−2x + 1) > 0 ;x+ 1

x− 1> 2 ; (x− 1)2(x− 3)(x+ 4)3 < 0

3) 5x− 6 > 3x− 14 ; 5x+ 6 < 2(x+ 12) ;13x− 3

4<

x

3+ 5 +

1

12

XIII. Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto:

1) |2x+ 9| = x− 1

2) |2x+ 3|+ 4 = 5x

3) |2x− 6| = |4− 5x|

4) (x− 4)2 − 2|x− 4| − 15 = 0

5) |2x− 3|+ 2 = |x− 6|

6) |x− 2|+ 2|3− x| = |x+ 1|

7) |x+ 3| − |x− 1| = x+ 1

8) ||x− 1| − 1| = 1

9) ||x| − 5| = 2x− 3

10) |11− x|+ |3x− 15|+ |4− 4x| = |2x− 10|+ 5|x− 1|+ |x− 11|

11) ||x2 − 1| − x| = x

12)

∣∣∣∣x2

x− 1

∣∣∣∣ =|x2 − 16|x+ 4

XIV. Hallar el valor de:

1)|5x− 20| − |3x− 20|

x, si x ∈ 〈−3,−2〉

2)|12 + 5x| − |12− 4x|

x, si x ∈ 〈1, 3〉

3)|7x+ 10| − |5x− 10|

2x, si x ∈ 〈0, 1〉

XV. Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto:

1) |2x− 5| < 3

2) |4x− 3| > x+ 2

3)

∣∣∣∣x+ 1

x− 2

∣∣∣∣ <x− 2

x+ 3

4) |x− 1|2 + 2|x− 1| − 3 ≤ 0

5) |x3 − 1| ≤ x2 + x+ 1

6) ||x| − 2| ≤ 1

7) |2x|2 > x+ 3

8) |2x− 6| − |x− 2| ≤ |2x− 4| − |x− 3|

9) |8x− 1| ≤ 5|x− 1|+ |3x+ 4|

10) |x+ 4| − |2x+ 3| ≤ 4

11) 2|x+ 1| − 3|x− 2|+ |x− 5| ≤ x+ 2

12)|x− 2| − |3x+ 1||2x− 1| − |x+ 1| ≤ 0

13)x− 4

|x+ 4| <x

4

14)|x|3 − 4x2 + 20

|x|+ 1≥ 4

XVI. Hallar el numero M tal que:

1)

∣∣∣∣x+ 2

x− 2

∣∣∣∣ ≤M , si x ∈[1

2,3

2

]

2)

∣∣∣∣x+ 3

x− 5

∣∣∣∣ ≤M , si x ∈ [2, 4]

3)

∣∣∣∣x− 3

x+ 4

∣∣∣∣ < M , si |x| < 2

4)

∣∣∣∣x2 − 6x+ 2

x+ 5

∣∣∣∣ ≤M , si x ∈[−9

2, 4

]

XVII. Resolver las siguientes ecuaciones con maximo entero:

1) J3xK = x+ 2

2)

s |x− 2|+ 3

2

{= 5

XVIII. Resolver las siguientes inecuaciones con maximo entero:

1)

sx2 + 1

x+ 2

{< 2

XIX. Resolver las siguientes inecuaciones logarıtmicas:

1) log5(3x− 5) > log5(7− 2x)

2) log2(|x− 2| − 1) > 1

3) log1/2 |2x− 3| > −3

4) log7

( |x2 + 4x|+ 3

x2 + |x− 5|

)≥ 0

XX. Resolver las siguientes problemas:

1) Hallar un numero de dos cifras, sabiendo que la suma de ellas es mayor que 10 y que

la diferencia entre la cifra de las decenas y el duplo de las unidades es mayor que 4.

2) Sabiendo que un lado de un triangulo es 65m, el otro 15m y el tercer lado es un numero

exacto de metros que termina en 5. Calcular cual (o cuales) puede ser la longitud de

ese tercer lado.

3) Leonardo, Alessandra y Jennifer son hermanos. Jennifer tiene 11 anos; Leonardo tiene

5 anos mas que Alessandra, y la suma de los anos de Leonardo y Alessandra no

alcanzan a los de Jennifer. ¿Cuantos anos tiene Alessandra si su edad es un numero

impar?

4) Se desea saber el mayor numero de lapiceros que hay en una caja, sabiendo que si al

doble del numero de estos se le disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y si al

triple se le disminuye en 5, el resultado es menor que el doble del numero aumentado

en 16.

5) En la librerıa de la SGI “Luchando por la Paz Mundial”, el Dr. Daisaku Ikeda obsequia

1000 libros y le quedan mas de la mitad de los que tenıa. Si luego obsequia 502 le

quedan menos de 500. Cuantos libros tenıa?.

6) Tres cazadores Ricardo, Jose, Manuel reunen mas de 8 canes. Jose piensa traer 4

canes mas, con la cual tendrıa mas canes que entre Ricardo y Manuel. Se sabe que

Jose tiene menos canes que Manuel y los que este tiene no llegan a 5. Cuantos canes

tiene cada cazador?

5

RELACIONES Y FUNCIONES

Objetivos:

z Determinar el dominio y el rango de relaciones y su inversa, como el inicio del estudio

de los fenomenos en los cuales esta presente la relacion causa – efecto.

z Trazar graficas de secciones conicas, determinando el dominio y el rango de las mismas,

como ejemplo de relaciones de gran aplicacion en el campo de la ciencia.

z Valorar el estudio de la geometrıa analıtica como pilar del pensamiento geometrico que

necesita un profesional en ciencias e ingenierıa.

5.1. Introduccion

Las relaciones entre dos o mas conjuntos son frecuentes tanto en las Matematicas como

en sus aplicaciones, especialmente en Informatica. Ejemplos practicos de relaciones son las de

orden y divisibilidad entre numeros, las relaciones de equivalencia entre los datos de entrada

de un programa en cuanto a la deteccion de posibles errores de programacion (validacion de

programas), la relacion de dependencia entre las distintas fases produccion en una industria

o la agrupacion de datos aislados en complejas bases de datos con relaciones de dependencia

entre sus campos. Desde el punto de vista matematico, estas relaciones se pueden describir

simplemente como subconjuntos de un cierto producto cartesiano.

De entre los diversos tipos de relaciones, las funciones pueden considerarse un caso especial

en donde se interpreta que uno de los campos es el resultado de realizar una cierta operacion

con el resto.

Asimismo, las relaciones de equivalencia describen similitudes entre elementos con respecto

a una propiedad particular, y las relaciones de orden establecen una jerarquıa con respecto

151


a un criterio fijado. Por ultimo, las relaciones entre multiples conjuntos son el fundamento

matematico del modelo relacional de bases de datos, que es el mas extendido hoy en dıa por

su simplicidad, su potencia y su coherencia teorica y practica.

Por esta razon, las relaciones tienen una importancia fundamental tanto en la teorıa como

en las aplicaciones a la informatica.

Una estructura de datos tales como una lista, una matriz o un arbol, se usan para repre-

sentar conjuntos e elementos junto con una relacion entre los mismos.

Las relaciones que son parte de un modelo matematico estan a menudo implıcitamente

representadas por relaciones en una estructura de datos.

Aplicaciones numericas, recuperacion de informacion y problemas de redes son algunos

ejemplos donde las relaciones ocurren como parte de la descripcion del problema, y la manip-

ulacion de relaciones es importante en la resolucion de procedimientos.

Las relaciones tambien juegan un importante papel en la teorıa de computacion, incluyendo

estructuras de programas y analisis de algoritmos.

Como concepto fundamental relacion significa conexion o correspondencia entre dos entes

u objetos. Ası por ejemplo las expresiones “padre de”, “hermano de”, etc., son relaciones entre

seres vivos, mientras expresiones como “mayor que”, “multiplo de”, etc. denotan relaciones

entre numeros. Ası de lo anterior podemos concluir que relacion es un conjunto de parejas que

satisfacen determinada condicion.

Un ejemplo de aplicacion de las relaciones binarias es la gestion de la matriculacion de

alumnos en una universidad. La estructura necesaria se puede considerar como una relacion

entre dos conjuntos de elementos: los alumnos y las asignaturas, por la que cada alumno

esta relacionado con todas las asignaturas que cursa y cada asignatura con todos los alumnos

que se han matriculado de la misma. Eventualmente, podrıamos decidir almacenar la cualifi-

cacion que el alumno ha obtenido de las asignaturas1, y entonces obtenemos relaciones binarias

etiquetadas.

CD LM LP GA TAN AL

Abad × × × ×Adrianzen × × × ×Arce × × × ×

Cuadro 5.1: Representacion de la relacion alumnos – asignaturas

Donde:

1El aspa significa que el alumno cursa la asignatura.


CD = Calculo Diferencial.

LM = Logica Matematica.

LP = Lenguaje de Programacion.

GA = Geometrıa Analıtica.

TAN = Teorıa Algebraica de los Numeros.

AL = Algebra Lıneal.

5.2. Producto Cartesiano

5.2.1. Par Ordenado

Es un conjunto de dos elementos denotado y definido por:

(a, b) = {{a}, {a, b}}

Donde:

“a”: es primera componente

“b”: segunda componente

Esta definicion tiene el nombre de par de Kuratowski2, y es bien basica, porque requiere

de apenas pocos axiomas para poder ser formulada (el axioma de extension, el axioma de

separacion y el axioma del par).

5.2.2. Igualdad de pares ordenados

Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales sı y solo sı se cumple que:

(a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c ∧ b = d

Ejemplo 5.2.1. Hallar el mayor valor posible de a+ b en:

(a2 , 9b− 1) = (6b− a , a3)

Solucion:

Si a2 = 6b− a entonces a2 + a = 6b de donde:

a(a+ 1) = 6b (5.1)

2Kazimierz Kuratowski (Varsovia, 2 de febrero de 1896 al 18 de junio de 1980) fue un matematico y logico

polaco.


Si 9b− 1 = a3 entonces 9b = a3 + 1, luego 9b = (a+ 1)(a2 − a+ 1) de donde:

(a+ 1)(a2 − a+ 1) = 9b (5.2)

Dividiendo las ecuaciones (2.1) y (2.2) se tiene:

a

a2 − a+ 1=

2

3

entonces (2a − 1)(a − 2) = 0, resolviendo se tiene: a = 2, b = 1 o a = 1/2, b = 1/8. Por lo

tanto el mayor valor de a+ b es 3.

5.2.3. Producto Cartesiano

Dados dos conjuntos no vacıos A y B se define el producto cartesiano A × B como el

conjunto de pares ordenados:

A×B = {(a, b)/a ∈ A y b ∈ B}

Observacion 5.2.1.

(a, b) ∈ A×B ⇔ a ∈ A ∧ b ∈ B

(a, b) /∈ A×B ⇔ a /∈ A ∨ b /∈ B

Para representar graficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacion carte-

siana o diagrama cartesiano que consiste en trazar unos ejes perpendiculares, en el eje horizon-

tal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B,

los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepcion que se obtienen

al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del

conjunto B paralelas al eje horizontal.

Ejemplo 5.2.2. Sea A = {1, 2, 3}, B = {a, b} entonces:

A×B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

Usando el diagrama cartesiano se tiene:

Para saber el numero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el diagrama

de arbol, cuyo resultado surge de multiplicar el numero de elementos del conjunto A por los

del conjunto B. El diagrama de arbol es una representacion grafica de los posibles resultados,

el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un numero finito de

maneras de ser llevado a cabo. Tambien se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.


B

A

b

a

1 2 3

Figura 5.1: Diagrama cartesiano

A B A×B

1b (1, b)

a (1, a)

2b (2, b)

a (2, a)

3b (3, b)

a (3, a)

Figura 5.2: Diagrama del arbol

En total se tiene 6 elementos de A×B.

Usando el diagrama sagital o diagrama de flechas se tiene:

En general, si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos respectivamente,

entonces el producto cartesiano A×B tieme mn elementos, es decir

n(A×B) = n(A) · n(B)

El concepto de producto cartesiano puede extenderse a 2 o mas conjuntos no vacıos:

A×B × C = {(a, b, c)/a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C}

extendiendo el concepto de terna ordenada:

{a, b, c} = {{a}, {a, b}, {a, b, c}}

Propiedades� Si A 6= B, entonces A×B 6= B ×A, es decir el producto cartesiano no es conmutativo.� A×B = B ×A ⇐⇒ A = B.


A B

1

2

3

a

b

Figura 5.3: Diagrama de flechas� A× φ = φ×A = φ.� A×B = φ ⇐⇒ A = φ o B = φ.� A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C)� A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)� A× (B − C) = (A×B)− (A× C)� (A×B)× C 6= A× (B × C)� A ⊂ B =⇒ (A× C) ⊂ (B × C)� A ⊂ C y B ⊂ D ⇐⇒ (A×B) ⊂ (C ×D)� (A′ ×B′) ⊂ (A×B)′� (A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D)� (A×B) ∪ (C ×D) ⊂ (A ∪ C)× (B ∪D)

5.3. Relacion

Definicion 5.3.1. Dados dos conjuntos no vacıos A y B. Un conjunto R de pares ordenados

se llama Relacion o Relacion Binaria de A en B si es un subconjunto de A×B.

R es una relacion de A en B ⇐⇒ R ⊂ A×B

Si R es una relacion de A a B entonces un elemento (a, b) ∈ R sera denotado como: aRb.

Para denotar que a no esta relacionado con b por R se escribira a��Rb.

Para representar una relacion binaria definida en un conjunto finito se puede utilizar un

diagrama sagital, de modo que si aRb entonces se dibuja una flecha desde a hasta b. La flecha

sera un bucle cuando un elemento este relacionado consigo mismo.

Por ejemplo, dado el conjunto A = {a, b, c, d}, se verifica que el diagrama sagital de la

relacion binaria R = {(a, a), (a, c), (b, b), (b, c), (c, d), (d, c)} es:

c

a

b

d

5.3.1. Dominio y Rango de una Relacion

Definicion 5.3.2. Se llama dominio de una relacion R de A en B al conjunto de todas las

primeras componentes de los pares ordenados de la relacion. Se denota por Dom(R) y se

simboliza:

R : A −→ B

Dom(R) = {x ∈ A/∃y ∈ B, (x, y) ∈ R}

Definicion 5.3.3. Se llama rango de una relacion R de A en B al conjunto de todas las

segundas componentes de los pares ordenados de la relacion. Se denota por Ran(R) y se

simboliza:

R : A −→ B

Ran(R) = {y ∈ B/∃x ∈ A, (x, y) ∈ R}

Observacion 5.3.1. Dom(R) ⊆ A, Ran(R) ⊆ B. Si A = B se dice que R es una relacion en

A.

Ejemplo 5.3.1. Sea A = {1; 2; 3} y R la relacion “menor que” en A; esto es: aRb si y solo si

a < b. Se puede ilustrar lo anterior con un diagrama:

3 (1,3) (2,3) (3,3)

2 (1,2) (2,2) (3,2)

1 (1,1) (2,1) (3,1)

1 2 3

donde cada elemento de este arreglo es un elemento de A × A y, (1,3); (2,3) y (1,2) son los

pares ordenados de la relacion R. En este ejemplo: Dom(R) = {1; 2}, Ran(R) = {2; 3}.


Propiedades: Sean R1 y R2 dos relaciones entre A y B, entonces:

D.1: Dom(R1 ∪R2) = Dom(R1) ∪Dom(R2)

D.2: Dom(R1 ∩R2) ⊂ Dom(R1) ∩Dom(R2)

D.3: Dom(R1 −R2) ⊃ Dom(R1)−Dom(R2)

R.1: Ran(R1 ∪R2) = Ran(R1) ∪ Ran(R2)

R.2: Ran(R1 ∩R2) ⊂ Ran(R1) ∩ Ran(R2)

R.3: Ran(R1 −R2) ⊃ Ran(R1)− Ran(R2)

5.3.2. Relacion inversa

Sea R una relacion de A en B, se denomina relacion inversa o recıproca de R, al conjunto

definido por:

R∗ = R

−1 = {(b, a) ∈ B ×A / (a, b) ∈ R}

esto es: (b, a) ∈ R−1 si y solo si (a, b) ∈ R

Propiedades: Dadas las relaciones R ⊂ A × B, S ⊂ A × B y sus respectivas relaciones

inversas R∗ ⊂ B ×A, S∗ ⊂ B ×A, se cumple que:

Dom(R∗) = Ran(R)

Ran(R∗) = Dom(R)

(R ∪S)∗ = R∗ ∪S∗

(R ∩S)∗ = R∗ ∩S∗

(R−S)∗ = R∗ −S∗

La grafica de R∗ es simetrica a la grafica de R con respecto a la recta y = x.

5.3.3. Composicion de relaciones

Dadas las relaciones R ⊂ A×B y S ⊂ B × C, la relacion R compuesta con S, denotada

por R ◦S, es la relacion de A en C, definida por:

R ◦S = {(x, z) ∈ A× C / ∃ y ∈ B, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}

Propiedades:


R ◦S 6= S ◦R

R ◦R∗ 6= R∗ ◦R

(R ◦S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T)

(R ◦S)∗ = S∗ ◦R∗

Ejemplo 5.3.2. Sean los conjuntos A = {1; 2; 3}, B = {4; 5; 6} y C = {2; 3; 4}, definamos la

relacion R = {(1, 4); (1, 5); (2, 6); (3, 4)} de A en B, y la relacion S = {(4, 2); (4, 3); (6, 2)} de

B en C. Luego podemos observar que:

S ◦R = {(1, 2); (1, 3); (3, 2); (3, 3); (2, 2)}

R∗ = {(4, 1); (5, 1); (6, 2); (4, 3)}

S∗ = {(2, 4); (3, 4); (2, 6)}

R∗ ◦S∗ = {(2, 1); (3, 1); (2, 3); (3, 3); (2, 2)}

(S ◦R)∗ = {(2, 1); (3, 1); (2, 3); (3, 3); (2, 2)}

(R ◦S) y (S∗ ◦R∗) no estan definidos.

5.3.4. Tipos de relaciones

Las propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son:

Relacion Reflexiva

Dado un conjunto A para el cual se define una relacion R en A, se dice que es reflexiva si

todo elemento de A esta relacionado consigo mismo mediante R.

R : A −→ A, es reflexiva ⇐⇒ ∀x ∈ A entonces (x, x) ∈ R

En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de reflexividad.

La aplicacion de cualquier relacion R sobre un conjunto A, se representa con el par orde-

nado (A,R).

Cuando una relacion es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningun elemento de A

esta relacionado consigo mismo mediante R, entonces decimos que es antirreflexiva, o irreflex-

iva, lo que denotamos formalmente por:

∀x ∈ A, ∼ (xRx)

En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de antirreflexividad.

Graficamente, R es reflexiva si todos los elementos tienen bucle. No lo es si hay algun

elemento que no tenga bucle.

R no es reflexiva

c

a

b

d

R es reflexiva

c

a

b

d

Ejemplo 5.3.3. Sea A un conjunto cualquiera:

La relacion de congruencia de figuras en geometrıa es una relacion reflexiva puesto que

toda figura es congruente a si misma.

La relacion de paralelismo ‖ entre dos rectas en el plano es reflexiva, porque toda recta

es paralela a sı misma.

La relacion de inclusion ⊂ es reflexiva, porque todo conjunto esta contenido en sı mismo.

Sea (A,≥), ≥ (“mayor o igual que”) es reflexiva, pero > (“mayor estricto que”) no

lo es.

Sea (A,≤), ≤ (“menor o igual que”) es reflexiva, pero < (“menor estricto que”) no

lo es.

Sea (A,=), = (la igualdad matematica), es reflexiva.

Sea (A,⊆), ⊆ (la inclusion de conjuntos), es reflexiva.

Sea (N\{0}, \), \ (la divisibilidad) es reflexiva.

Sea (A,>), > (“mayor estricto que”) es antirreflexiva, al igual que < (“menor estricto

que”).

La relacion de perpendicularidad ⊥ entre dos rectas en el plano es antirreflexiva, porque

una recta no puede ser perpendicular a sı misma.

Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son antirreflexivas, porque en ningun caso

alguien puede ser padre o madre de sı mismo.


Relacion Simetrica

Dado un conjunto A para el cual se define una relacion R en A, se dice que es simetrica

cuando se tiene que si un elemento esta relacionado con otro mediante R, entonces ese otro

tambien esta relacionado con el primero.

R : A −→ A, es simetrica ⇐⇒ (x, y) ∈ R entonces (y, x) ∈ R

En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de simetrıa.

La aplicacion de cualquier relacion R sobre un conjunto A, se representa con el par orde-

nado (A,R).

Cuando una relacion es lo opuesto a una simetrica, es decir, cuando se da que si un elemento

esta relacionado con otro mediante R, entonces ese otro no esta relacionado con el primero,

entonces decimos que es asimetrica, lo que denotamos formalmente por:

∀x, y ∈ A, xRy ⇒ y ∼ Rx

En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de asimetrıa.

Graficamente, R es simetrica si todos los elementos que estan relacionados entre sı tienen

doble flecha. No lo es si hay alguna flecha que no sea doble.

R no es simetrica

c

a

b

d

R es simetrica

c

a

b

d


La congruencia de triangulos es una relacion simetrica pues si un triangulo X es con-

gruente con un triangulo Y , entonces Y es congruente con X.

La relacion de paralelismo ‖ entre dos rectas en el plano es simetrica, puesto que si

L1 ‖ L2 entonces L2 ‖ L1.

La perpendicularidad entre rectas de un plano es una relacion simetrica puesto que: si

L1 ⊥ L2 entonces L2 ⊥ L1.

Sea (A,=), = (la igualdad matematica), es simetrica.

Sea (A,∪), ∪ es simetrica.

Sea (A,∩), ∩ es simetrica.

La relacion definida por “x es hermano de y” es simetrica.

“Estar casado con” es una relacion simetrica, mientras que “ser mas alto que” no lo es.

Sea (A,>), > (“mayor estricto que”) es asimetrica, al igual que < (“menor estricto

que”).

Sea (A,⊂), ⊂ (la inclusion estricta de conjuntos), es asimetrica.

Observacion 5.3.2. La simetrıa no es lo opuesto de la antisimetrıa.

Existen relaciones que son simetricas y antisimetricas al mismo tiempo (como la igualdad),

otras que no son simetricas ni antisimetricas (como la divisibilidad), otras que son simetricas

pero no antisimetricas (como la relacion de congruencia modulo n), y otras que son anti-

simetricas pero no simetricas (como la relacion “menor que”).

Relacion Transitiva

Dado un conjunto A para el cual se define una relacion R en A, se dice que:

R : A −→ A, es transitiva ⇐⇒ (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R

Esta propiedad es conocida como transitividad.

Graficamente, R es transitiva si todos los grupos de 3 elementos relacionados de la forma:

a −→ b −→ c tienen tambien la flecha de a hacia c: a −→ c. No lo es si hay alguna flecha

doble.

R no es transitiva

c

a

b

d

R es transitiva

c

a

b

d

Ejemplo 5.3.5.

La relacion de paralelismo ‖ entre dos rectas en el plano es transitiva, puesto que si

L1 ‖ L2 y L2 ‖ L3 entonces L1 ‖ L3.

La relacion binaria “menor que” en los enteros es transitiva: Si a < b y b < c entonces

a < c. Ası, puesto que 2 < 5 y 5 < 7, la transitividad implica que 2 < 7. En general

las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son

transitivas.

La relacion binaria “divide a” en los enteros tambien es transitiva. Denotando por a|ba la expresion “a divide a b”: Si a|b y b|c entonces a|c. Dado que 3|12 (3 divide a 12) y

12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).

La inclusion de conjuntos es una relacion transitiva, pues si: A ⊂ B y B ⊂ C, entonces

A ⊂ C.

La implicacion en Logica es tambien una relacion transitiva (Principio del silogismo

hipotetico): p→ q y q → r entonces p→ r.

Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relacion “no es subcon-

junto de” no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1, 2, 3}, Y = {2, 3, 4, 5}, Z = {1, 2, 3, 4}.Entonces se cumple X 6⊂ Y y Y 6⊂ Z pero no se cumple X 6⊂ Z puesto que X si es

subconjunto de Z.

Otro ejemplo de relacion binaria que no es transitiva es “ser la mitad de”: 5 es la mitad

de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.

Relacion de Equivalencia

Una relacion R definida en un conjunto A es una relacion de equivalencia, si y solo si, se

verifica que es: Reflexiva, Simetrica y Transitiva.

Ejemplo 5.3.6.

La congruencia de triangulos es una relacion de equivalencia.

La relacion de paralelismo ‖ entre dos rectas en el plano es de equivalencia.

La relacion de perpendicularidad ⊥ entre dos rectas en el plano no es de equivalencia.

Relacion Antisimetrica

Una relacion R definida en un conjunto A es una antisimetrica, cuando se da que si dos

elementos de A se relacionan entre sı mediante R, entonces estos elementos son iguales. Es

decir:

R : A −→ A, es antisimetrica ⇐⇒ (x, y) ∈ R ∧ (x, y) ∈ R entonces x = y


La antisimetrıa no es lo opuesto de la simetrıa. Existen relaciones que son simetricas y an-

tisimetricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simetricas ni antisimetricas

(como la divisibilidad para los enteros), otras que son simetricas pero no antisimetricas (como

la relacion de congruencia modulo n), y otras que son antisimetricas pero no simetricas (como

la relacion “menor que”).

Graficamente, R es antisimetrica si todos los elementos que estan relacionados entre

sı tienen flecha simple. No lo es si hay alguna flecha doble.

R no es antisimetrica

c

a

b

d

R es antisimetrica

c

a

b

d


Sea (A,≥), ≥ (“mayor o igual que”) es antisimetrica.

Sea (A,≤), ≤ (“menor o igual que”) es antisimetrica.

La relacion “x divide a y” es antisimetrica.

La relacion “ser mas alto que” es antisimetrica.

Relacion de Orden

Una relacionR definida en un conjunto A es una relacion de orden si cumple las propiedades

de: Reflexividad, Antisimetrıa y Transitividad.

Ejemplo 5.3.8.

Dado (N,≤), ≤ es una relacion de orden.

Ejemplo 5.3.9. Sea A = {1; 2; 3; 4}, definamos las siguientes realciones:

R = {(1, 2); (2, 3)}S = {(1, 1); (2, 2); (1, 2); (2, 1); (3, 4)}T = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4)}entonces:

R no es reflexiva, no es simetrica, no es transitiva, es antisimetrica.


S no es reflexiva, no es simetrica, es transitiva, no es antisimetrica.

T es reflexiva, es simetrica, es transitiva, es antisimetrica.

Se puede tambien tener una idea grafica de las propiedades anteriores. Por ejemplo, si

A = {1; 2; 3; 4}, entonces para queR sea reflexiva, debe contener al menos la diagonal principal.

4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)

3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)

2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)

1 2 3 4

si R es simetrica, entonces su grafico debe ser simetrico con respecto a la diagonal principal:

Ası, si (2,3) y (4,2) son elementos de R entonces (3,2) y (2,4) deben tambien estar en R.

5.4. Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos del espacio euclıdeo equivale a la longitud del segmento de

recta que los une, expresado numericamente.

La distancia entre los puntos P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), que se denota por d = d(P,Q)

cumple la siguiente condicion:

d2 = |x2 − x1|2 + |y2 − y1|2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2

entonces

d(P,Q) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

5.5. Graficas de Relaciones

Definicion 5.5.1. Un lugar geometrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas

propiedades geometricas. Cualquier figura geometrica se puede definir como el lugar geometrico

de los puntos que cumplen ciertas propiedades si y solo si todos los puntos de dicha figura

cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.

Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un sub-

conjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.

Ejemplo 5.5.1. Estos son varios ejemplos de lugares geometricos en el plano:


El lugar geometrico de los puntos que equidistan a dos puntos dados es una recta, llamada

mediatriz.

El lugar geometrico de los puntos que equidistan a dos rectas son las dos bisectrices de

los dos angulos determinados por dichas rectas, si estas son secantes, o la paralela media,

si estas son paralelas.

Las secciones conicas pueden ser descritas mediante sus lugares geometricos:

Una circunferencia es el lugar geometrico de los puntos cuya distancia al centro es un

valor dado (el radio).

Una elipse es el lugar geometrico de los puntos tales que, la suma de las distancias de

los puntos hasta los focos es un valor dado.

La parabola es el lugar geometrico de los puntos tales que, las distancias de los puntos

al foco y a la directriz son iguales.

La hiperbola es el lugar geometrico de los puntos tales que, la diferencia de distancias

entre los focos es un valor dado.

Figuras muy complejas pueden ser descritas mediante el lugar geometrico generado por

los ceros de una funcion o de un polinomio. Por ejemplo, las cuadricas estan definidas como el

lugar geometrico de los ceros de polinomios cuadraticos. En general, los lugares geometricos

generados por los ceros del conjunto de polinomios reciben el nombre de variedad algebraica,

las propiedades de dichas variedades se estudian en la geometrıa algebraica.

5.6. La Lınea Recta

La recta o lınea recta, es el ente ideal que solo posee una dimension y contiene infinitos

puntos; esta compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de lınea mas corto que une dos

puntos).

Segun uno de los postulados de Euclides establece que: Por dos puntos diferentes solo pasa

una lınea recta.

Ecuaciones de la recta

La forma general de la recta esta dada por:

R = {(x, y) / Ax+By +C = 0}


Definicion 5.6.1. Se llama pendiente de la recta L, al valor de la tangente de su angulo de

inclinacion α, y se le denota con la letra m.

m = tanα =y1 − y0x1 − x0

donde (x1, y1) = Q ∈ L, y (x0, y0) ∈ L. El valor de la pendiente m sera constante para cada

recta, y proporciona una medida de su inclinacion con respecto al eje X.

Y

X

L

P0

Q

P

Figura 5.4: La recta

Ası, la ecuacion de una recta no vertical L queda completamente determinada si se indican

su pendiente m, y las coordenadas del punto de paso (x0, y0).

Se puede obtener la ecuacion de la recta a partir de la formula de la pendiente:

y − y0 = m(x− x0)

Esta forma de obtener la ecuacion de una recta se le debe a Jean Baptiste Biot.3 y se

denomina la forma PUNTO – PENDIENTE.

Consideremos ahora como punto de paso al punto (0, b) en el cual L intercepta al eje Y ,

entonces

L : y = mx+ b

esta forma proporciona directamente la pendiente m como el coeficiente de la variable x,

mientras que el termino independiente b indica el punto en el eje Y donde la recta L lo corta.

3Jean-Baptiste Biott fue un fısico, astronomo y matematico frances. Nacio el 21 de abril de 1774, en Parıs

y fallecio el 3 de febrero de 1862 en la misma ciudad.


5.7. Secciones conicas

Una superficie conica de revolucion esta engendrada por la rotacion de una recta alrededor

de otra recta fija, llamada vertice, a la que corta de modo oblicuo.

La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.

El vertice es el punto central donde se cortan las generatrices.

Las hojas son las dos partes en las que el vertice divide a la superficie conica de revolucion.

Se denomina seccion conica (o simplemente conica) a la curva interseccion de un cono con

un plano que no pasa por su vertice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parabolas e hiperbolas.

La circunferencia es un caso particular de elipse.

ge

v

La primera definicion conocida de seccion conica surge en la Antigua Grecia, cerca del ano

350 (Menachmus) donde las definieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres

de hiperbola, parabola y elipse se deben a Apolonio de Perga. Actualmente, las secciones

conicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas

de la matematica (como la geometrıa analıtica, la geometrıa proyectiva, etc.)

Las curvas conicas son importantes en astronomıa: dos cuerpos masivos que interactuan

segun la ley de la gravitacion universal, sus trayectorias describen secciones conicas si su centro

de masa se considera en reposo. Si estan relativamente proximas describiran elipses, si se alejan

demasiado describiran hiperbolas o parabolas.

Tambien son importantes en aerodinamica y en su aplicacion industrial, ya que permiten

ser repetidas por medios mecanicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas

perfectas.


5.8. La Parabola

La parabola es una seccion conica generada al cortar un cono recto con un plano paralelo

a la directriz.

Figura 5.5: La parabola en el cono

Se define tambien como el lugar geometrico de los puntos que equidistan de una recta (eje

o directriz) y un punto fijo llamado foco.

La parabola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las graficas

de ecuaciones cuadraticas son parabolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de

los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.

Historia

La tradicion reza que las secciones conicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del

problema de la duplicacion del cubo, donde demuestra la existencia de una solucion mediante

el corte de una parabola con una hiperbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo

y Eratostenes.

Sin embargo, el primero en usar el termino parabola fue Apolonio de Perge en su trata-

do Conicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matematicas griegas, y donde se

desarrolla el estudio de las tangentes a secciones conicas.

Es Apolonio quien menciona que un espejo parabolico refleja de forma paralela los rayos

emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en dıa en las antenas satelitales. La parabola

tambien fue estudiada por Arquımedes, nuevamente en la busqueda de una solucion para un

problema famoso: la cuadratura del cırculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura

de la parabola.


Aplicaciones practicas

Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al

eje de la parabola en direccion al foco. Las aplicaciones practicas son muchas: las antenas

satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando senales recibidas desde un

emisor lejano en un receptor colocado en la posicion del foco.

La concentracion de la radiacion solar en un punto, mediante un reflector parabolico tiene

su aplicacion en pequenas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energıa solar.

Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviara un haz de rayos paralelos al

eje: diversas lamparas y faros tienen espejos con superficies parabolicas reflectantes para poder

enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posicion focal. Los rayos convergen

o divergen si el emisor se deplaza de la posicion focal.

La parabola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Analogamente, un emisor situado

en el foco, enviara un haz de rayos paralelos al eje.

Los radiotelescopios concentran los haces de senales en un receptor situado en el foco. El

mismo principio se aplica en una antena de radar.

Cocina solar de concentrador parabolico. El mismo metodo se emplea en las grandes cen-

trales captadoras de energıa solar.

Los faros de los automoviles envıan haces de luz paralelos, si la bombilla se situa en el foco

de una superficie parabolica.

Ecuaciones de la parabola

De forma implicita:

R = {(x, y) ∈ R2 /Ax2 +Dx+ Ey + F = 0}R = {(x, y) ∈ R2 /Cy2 +Dx+ Ey + F = 0}

De forma explicita:

R = {(x, y) ∈ R2 / y = ax2 + bx+ c}R = {(x, y) ∈ R2 /x = ay2 + by + c}

Completando trinomios cuadrados perfectos:

R = {(x, y) ∈ R2 / y − k = 4p(x− h)2}R = {(x, y) ∈ R2 /x− h = 4p(y − k)2}

Donde el vertice esta dado por V (h, k). Para la parabola y−k = 4p(x−h)2, si el parametro

4p es positivo, la parabola se abre hacia arriba y cuando es negativo se abre hacia abajo. Para

la parabola x − h = 4p(y − k)2, si el parametro 4p es positivo, la parabola se abre hacia la

derecha y cuando es negativo se abre hacia la izquierda.

0 X

Y

h

k V (h, k)

(a) Para 4p > 0

0 X

Y

h

kV (h, k)

(b) Para 4p < 0

Figura 5.6: Parabola de la forma: y − k = 4p(x− h)2

0 X

Y

h

k V (h, k)

(a) Para 4p > 0

0 X

Y

h

k V (h, k)

(b) Para 4p < 0

Figura 5.7: Parabola de la forma: x− h = 4p(y − k)2

5.9. La Circunferencia

Una circunferencia es el lugar geometrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo,

llamado centro; esta distancia se denomina radio. Solo posee longitud. Se distingue del cırculo

en que este es el lugar geometrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada,

es decir, la circunferencia es el perımetro del cırculo cuya superficie contiene.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia

unitaria. Es una curva bidimensional con infinitos ejes de simetrıa y sus aplicaciones son muy

numerosas.

La palabra circunferencia proviene del latın circumferentia que a su vez deriva de circum-

ferre, que significa llevar alrededor.

Durante mucho tiempo, se empleo el termino cırculo para designar tanto la superficie,

como a la curva que lo delimita: la circunferencia.

En castellano, se suele utilizar el termino geometrico disco, asociado al concepto cırculo, en


Figura 5.8: La circunferencia en el cono

textos de topologıa, una rama de las matematicas. En cartografıa se utiliza el termino cırculo

como sinonimo de circunferencia, en expresiones como cırculo polar artico.

No ocurre lo mismo en otros idiomas. En ingles, circle expresa el concepto de circunferencia

(curva cerrada plana equidistante del centro), mientras que circumference significa perımetro

del cırculo (la longitud de la circunferencia). Sin embargo, disk se asocia al concepto de cırculo

(superficie plana limitada por una circunferencia).

En terminos coloquiales (no estrictamente matematicos) el uso de cırculo y circunferencia

es indistinto en algunas zonas geograficas por lo arraigado que esta en la tradicion, no obstante

se encuentra que circunferencia se asocia mas frecuentemente con los conceptos de aro o anillo

en tanto que cırculo se asocia mas frecuentemente con los conceptos de disco o plato.

Elementos de la circunferencia

Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

Radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.

Diametro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y logicamente,

pasa por el centro.

Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud

maxima son los diametros.

Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos.

Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un solo punto.

Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia.


Arco, segmento curvilıneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diametro.

C

X

Y

LT

R

Figura 5.9: Circunferencia

Circunferencias ortogonales

La familia de curvas en el plano x2+ y2 = ax, x2+ y2 = by, con a y b como parametros, se

dicen ortogonales, pues en los puntos comunes, estas se cortan ortogonalmente, es decir, sus

rectas tangentes en tales puntos son perpendiculares entre sı.

–10

–5

5

10

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x

Figura 5.10: Circunferencias ortogonales


5.10. La Elipse

La elipse es el lugar geometrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias

a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva e igual a la distancia entre los

vertices.

Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano

oblicuo al eje de simetrıa con angulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolucion.

Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una

elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. Contenido

Figura 5.11: La elipse en el cono

Historia La elipse, como curva geometrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por

Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la seccion

conica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creıa que la orbita de

Marte era ovalada, aunque mas tarde descubrio que se trataba de una elipse con el Sol en

un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra “focus” y publico su descubrimiento en 1609.

Halley, en 1705, demostro que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una orbita elıptica

alrededor del Sol.

Elementos de una elipse

La elipse posee un eje mayor, trazo AB (que equivale a 2a), y un eje menor, trazo CD;

la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de semieje, de tal manera que se los

denomina semieje mayor y semieje menor, respectivamente.

Sobre el eje mayor existen dos puntos F1 y F2 que se llaman focos.

El punto Q puede estar ubicado en cualquier lugar del perımetro de la elipse.


5.11. La Hiperbola

Una hiperbola es una seccion conica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar

un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetrıa con angulo menor que el de la generatriz

respecto del eje de revolucion.

Figura 5.12: La hiperbola en el cono

Una hiperbola es el lugar geometrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia

de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a una constante positiva igual a

la distancia entre los vertices.

Hiperbola deriva de la palabra griega uperbola, y es cognado de hiperbole (la figura liter-

aria que equivale a exageracion).

Historia Debido a la inclinacion del corte, el plano de la hiperbola interseca ambas ramas

del cono.

Segun la tradicion, las secciones conicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del

problema de la duplicacion del cubo, donde demuestra la existencia de una solucion mediante

el corte de una parabola con una hiperbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo

y Eratostenes.

Sin embargo, el primero en usar el termino hiperbola fue Apolonio de Perge en su trata-

do Conicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matematicas griegas, y donde se

desarrolla el estudio de las tangentes a secciones conicas.

Ecuaciones de la hiperbola

R = {(x, y) ∈ R2 /Ax2 + Cx2 +Dx+ Ey + F = 0} donde A y C son de signos opuestos.

Resumen

Dada la ecuacion general:

Ax2 +Bxy + Cx2 +Dx+ Ey + F = 0 (5.3)� Si A = B, la grafica de la ecuacion (2.3) es una circunferencia.

Si la ecuacion general de dos variables (x, y) es de la forma:

ax2 + 2hxy + by2 + 2gx+ 2fy + c = 0 (5.4)

entonces:� Si h2 > ab, hiperbola.� Si h2 = ab, parabola.� Si h2 < ab, elipse.� Si a = b y h = 0, circunferencia (considerada un caso particular de elipse).

Figura 5.13: Conicas

6

FUNCIONES

Objetivos:

z Definir intuitiva y formalmente una funcion.

z Operar con funciones reales de variable real identificando correctamente el dominio y

rango, construyendo su grafica e interpretando las caracterısticas que ella posee.

z Modelar matematicamente un fenomeno para predecir su comportamiento en el futuro.

6.1. Introduccion

La resolucion de problemas con informacion y datos recolectados de fenomenos fısicos

adquiere dıa a dıa mayor auge como alternativa de ensenanza en los salones de clases. Las

corrientes contextualitas han contribuido a integrar otras areas (estadıstica, geometrıa, mod-

elacion y simulacion matematica, etc.) en los cursos de Precalculo y Calculo. Se ha observado

que, durante las ultimas decadas, se han incorporado nuevas estrategias en la ensenanza de

las funciones y herramientas tecnologicas en el salon de clases.

El contenido sobre funciones cubre gran parte del contenido del curso de precalculo, este

concepto permite desarrollar el proceso de la simulacion y modelacion desde situaciones fısica

y geometrica, lo que tambien permitira que se puedan exponer conocimientos matematicos

en forma agil y atractiva a los estudiantes. Hitt (2000) senalo que “a traves de las funciones

podemos modelar matematicamente un fenomeno de la vida real, describir y analizar rela-

ciones de hechos sin necesidad de hacer a cada momento una descripcion verbal o un calculo

complicado de cada uno de los sucesos que estamos describiendo”.

La modelacion relacionada con sistemas de representaciones integra: sımbolos, signos, fig-

uras, graficas y construcciones geometricas. Estos expresan el concepto y suscriben en sı mis-

177


mos el modelo con el cual es posible interpretar y predecir comportamientos de fenomenos

fısicos. La simulacion y la modelacion son representaciones de un objeto matematico que

esta vinculado a una situacion fısica o real. Cuando se logra la simulacion matematica en el

salon de clase, pueden rescatarse ideas intuitivas que la matematica formal excluye cuando

se transita de lo concreto a lo abstracto en la ensenanza del conocimiento matematico. Una

simulacion es un intento por imitar o aproximarse a algo; por su parte, modelar significa con-

struir una representacion de algo. La diferencia semantica reside en que un modelo es una

representacion de estructuras, mientras que una simulacion infiere un proceso o interaccion

entre las estructuras del modelo para crear un patron de comportamiento. El termino modelo

se refiere a la generalizacion conceptual que se abstrae de un grupo de experiencias con el

proposito de categorizar y sistematizar nuevas experiencias.

Cuando se modelan situaciones reales u otras que se enmarcan en el proceso cognitivo

de la adquisicion del concepto de funcion, se provoca que el estudiante, al aproximarse a

fenomenos reales, analice y describa los siguientes elementos matematicos: la significacion de

objetos: simbolicos, verbales, graficos, algebraicos y numericos. En el proceso de simulacion

y de modelacion se produce la distincion de variables y la relacion entre las variables, los

cuales a su vez impulsa la construccion de otros registros de representacion. Monk (1992)

considero que los modelos fısicos proveen a los estudiantes una vision del procesamiento de la

situacion funcional, la cual puede ampliar en estos las perspectivas que tienen acerca de las

funciones.

En este sentido, se considera que la ensenanza se dirige a planteamientos mas dinamicos en

la adquisicion del conocimiento. Por lo tanto, la simulacion y la modelacion son alternativas

de transferencia dinamica del conocimiento desde situaciones fısicas y geometricas hasta la es-

tructuracion mental en el proceso de aprendizaje. La simulacion y la modelacion matematicas,

la matematica en contexto y la incorporacion de la nueva tecnologıa pueden fortalecer el pro-

ceso ensenanza – aprendizaje. Los procesos matematicos son complicados en termino de aislar

el problema que se este tratando dentro de un contexto. Sin embargo, en la decada pasada y lo

que va de esta, una corriente de investigadores impulsa el uso de las matematicas planteadas

desde contextos reales en la adquisicion de conceptos. La simulacion de fenomenos fısicos a

traves del uso de la microcomputadora es imprescindible para la generacion de procesos de la

matematizacion y formacion de conceptos.

La situacion del concepto de funcion en el entorno de la modelacion Los autores de la

mayorıa de los textos de Precalculo presentan el tema de las funciones tomando como ref-

erencias situaciones de correspondencias que se dan en el contexto fısico-real. En el ambito


matematico, esta relacion se considera como una clase de correspondencia llamada funcion.

La definicion de este concepto, en muchas ocasiones, se reduce a establecer la relacion entre

dos cantidades. Callahan & Hoffman (1995) afirman que: “Una funcion describe como una

cantidad depende de otra”. De forma general este concepto se presenta en tres modalidades:

como una relacion con lo fısico–real, como representaciones y como definiciones. La utilidad de

las funciones y el estudio con distintas representaciones llevan a reflexionar sobre el potencial

didactico que se tiene cuando se aborda la realidad con determinados esquemas mentales o

modelos matematicos o a traves de una simulacion del problema real.

Como se menciono anteriormente, las estrategias que se utilizan para aprender matematicas

a partir de situaciones y fenomenos del mundo fısico han cobrado fuerza en los ultimos anos.

Estas incluyen interpretar la realidad a partir de la identificacion de las variables participantes,

la recoleccion de datos que se generan en las situaciones reales o simuladas y modelacion de las

situaciones. La perspectiva correcta se da principalmente a partir del medio ambiente hacia

las matematicas y no en la otra direccion.

El concepto de funcion responde a diferentes definiciones y etapas historicas. Las defini-

ciones han sido alteradas conforme a los avances tecnologicos que se han promovido en la

ensenanza de la matematica (calculadoras graficas, paquete de programacion de instruccion

interactiva, entre otro). En este sentido, Hitt y Torres (1994) incluyen en su trabajo cuatro

definiciones. La definicion dada en terminos de variables que senala que: “cuando dos variables

estan relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un

valor a la segunda, entonces se dice que la primera es funcion de la segunda”. Muy distinta a

la ofrecida en terminos de conjunto de pares ordenados: “una funcion es un conjunto de pares

ordenados de elementos tales que ningunos dos pares ordenados tienen tiene el mismo primer

elemento. El conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados se llama dominio y

el conjunto de los segundos elementos rango de la funcion”. La definicion como una regla de

correspondencia se explica de la siguiente manera: “una funcion f de un conjunto A un con-

junto B es una regla de correspondencia que asignan a cada valor de x de cierto subconjunto

D de A un elemento determinado de manera unica f(x) de B”. Y por ultimo, la definicion

en terminos de maquina, mas acorde con los tiempos: “una funcion es un procedimiento P

que toma una o mas entradas que salidas, y que tiene la propiedad de que cualesquiera dos

llamadas a P con las misma entrada regresa a la misma salida”. Dubinsky, Schwingendorf &

Mathews (1994) incluyeron otras categorizaciones de las funciones: funcion como expresion,

funcion como “computer function”, funcion como sucesion.


6.2. Funcion

Para hablar de una funcion, por lo tanto, sera necesario que escojamos una letra o sımbolo

con el que podamos representar cada una de las dos magnitudes. Normalmente utilizamos x

e y, pero en otras ocasiones se recurre a letras relacionadas con el nombre de las magnitudes

que entran en juego; por ejemplo, p y q para los precios (prices) y las cantidades (quantity),

respectivamente.

Cuando tratamos con funciones que relacionan dos magnitudes, una de estas se conoce

como variable independiente, a la que podemos otorgarle los valores, y otra que se denomina

variable dependiente, que, como su propio nombre indica, depende del valor que le hayamos

asignado a la independiente. Los papeles de ambas variables pueden ser, a menudo, intercam-

biables, y en determinadas ocasiones nos interesarıa intercambiarlos. Sin embargo, es preciso

fijar las ideas: podemos modificar la variable independiente x, pero la variable dependiente y

esta en funcion del valor que le hayamos dado a x.

Resulta comodo identificar la funcion con una letra. En general, para representar la funcion

escribiremos:

y = f(x)

donde x y y son las variables y f simboliza la relacion que asocia y con x.

Sean A y B dos conjuntos no vacıos y sea f una relacion binaria de A en B, esto es,

f ⊂ A×B. Se entiende por funcion de A en B a toda regla que asocia a cada elemento x del

conjunto A un unico elemento y del conjunto B.

Notacion: f : A → B y se lee “f es una funcion de A en B”

Definicion 6.2.1. f es una funcion de A en B si y solo si satisface las siguientes condiciones:

f ⊂ A×B

(x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f ⇒ y = z

Ejemplo 6.2.1. En la figura (3.1) se observa que: f , g y h son funciones, en cambio j no es

funcion.

6.3. Dominio Rango y Grafica de una funcion

Definicion 6.3.1. El dominio de una funcion f : A→ B es el conjunto de todas las primeras

componentes x ∈ A (conjunto de partida) de los pares ordenados de f , esto es:

Dom(f) = {x ∈ A / ∃y ∈ B, (x, y) ∈ f} = A


(c) (d)

(a) (b)

f g

h jA B A B

A B A B

1•

2•

3•

1•

2•

3•

1•

2•

3•

1•

2•

3•

4•

5•

6•

7•

4•

5•

6•

7•

4•

5•

6•

7•

4•

5•

6•

7•

Figura 6.1: Ejemplos

Para el calculo del dominio de funciones reales de variable real f : R → R se debe tener

en cuenta el siguiente criterio:

1. Para las funciones polinomicas: Si y = P (x), donde P (x) es un polinomio de grado n,

entonces el dominio esta dado por el conjunto de los numeros reales, es decir: Domf = R.

Por ejemplo:

La funcion f(x) = 2x5 + 3x3 − 5x2 + 1, se tiene que: Domf = R

La funcion f(x) = 3x12 + 25x3 + 17x+ 1, se tiene que: Domf = R

2. Para las funciones racionales: Si y =P (x)

Q(x), donde P (x) yQ(x) son polinomios de gradom

y n respectivamente, entonces Q(x) 6= 0; esto nos plantea el problema de tener que excluir

del dominio las raıces del polinomio denominador. Ası pues si al resolver la ecuacion

Q(x) = 0 obtenemos como raıces x1, x2, . . . , xn, entonces: Domf = R−{x1, x2, . . . , xn};en otras palabras, Domf = R− {x ∈ R/Q(x) = 0}. Por ejemplo:

Dada la funcion f(x) = x+2x2−9

. Al resolver la ecuacion x2− 9 = 0; obtenemos x1 = 3

y x2 = −3. Por lo tanto: Domf = R− {−3, 3}.

Dada la funcion f(x) = 2x2+1

. Al resolver la ecuacion x2 + 1 = 0; observamos que

no tiene solucion. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por


fA B

Dom(f) Ran(f)

x • y•

Figura 6.2: Dominio y rango de una funcion

lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio. Por lo tanto: Domf = R.

3. Para las funciones irracionales:

a) Si las funciones irracionales son de la forma f(x) = 2n+1√

P (x), donde P (x) es un

polinomio de grado n entonces el dominio el conjunto de los numeros reales, es

decir: Domf = R

b) Si f(x) = 2n√

P (x), donde P (x) es un polinomio de grado n, entonces P (x) ≥ 0, y

ası: Domf = {x ∈ R/P (x) ≥ 0}.

c) Si f(x) = 2n

√P (x)Q(x) , donde P (x) y Q(x) son polinomios de grado m y n respectiva-

mente, entonces P (x)Q(x) ≥ 0, y ası: Domf = {x ∈ R/P (x)

Q(x) ≥ 0}.

d) Si f(x) = P (x)2n√

Q(x), donde P (x) y Q(x) son polinomios de grado m y n respectiva-

mente, entonces Q(x) > 0, y ası: Domf = {x ∈ R/Q(x) > 0}.

Definicion 6.3.2. El rango de una funcion f : A → B es el conjunto de todas las segundas

componentes y ∈ B (conjunto de llegada) de los pares ordenados de f , esto es:

Ran(f) = {y ∈ B / ∃x ∈ A, y = f(x)} ⊆ B

Para calcular el rango de una funcion real de variable real y = f(x) se despeja x en terminos

de y, y luego se analiza para que valores de y, x es real.

Definicion 6.3.3. Si f es una funcion f : A → B, su grafica denotada por Gr(f) esta dada

por:

Gr(f) = {(a, f(a)) / a ∈ Domf} ⊂ A×B


6.4. Funciones especiales

A continuacion analizaremos la grafica, dominio y rango de ciertas funciones:

6.4.1. Funcion Constante

Se llama funcion constante o funcion polinomica de grado cero a la que no depende de

ninguna variable.

Es la funcion f : R −→ R, definida por:

f(x) = c

donde c es una constante real.

Su grafica es una recta paralela al eje X, veamos la figura (3.3). Si c = 0, la grafica coincide

con el eje X. Veamos la grafica:

c

Y

X0

Figura 6.3: Funcion Constante� Domf = R� Ranf = {c}

6.4.2. Funcion Identidad

Es la funcion f : R −→ R, definida por:

f(x) = x

La funcion f(x) = x de R en R tiene como representacion grafica en el eje de coordenadas

la lınea recta que cruza el origen subiendo en un angulo de 45° hacia la derecha, es decir es la

bisectriz del primer y tercer cuadrante. Veamos la grafica:


Y

X0

Figura 6.4: Funcion Identidad� Domf = R� Ranf = R

6.4.3. Funcion de primer grado

Una funcion de primer grado (se suele abusar del lenguaje y denominar funcion lineal de

una variable real) es aquella funcion f : R −→ R, definida por:

f(x) = mx+ b

Dondem y b con constantes. La denominacion correcta de este tipo de funciones es funcion

afın.

La razon de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda funcion afın

f(x) = mx + b tiene una funcion lineal asociada f(x) = mx. De hecho, una ecuacion de la

forma y = mx+ b se denomina ecuacion lineal. Toda funcion afın tiene orden de crecimiento

lineal, y se comporta asintoticamente como su funcion lineal asociada.

Una funcion lineal de una unica variable independiente x suele escribirse en la forma

y = mx+ b, que se conoce como ecuacion de la recta en el plano XY , dnde m es denominada

la pendiente de la recta y b es la ordenada en el origen, el valor de y para x = 0, es el punto

(0, b). Veamos la grafica:� Domf = R� Ranf = R

Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economıa (uso de la oferta y la

demanda), los economos se basan en la linealidad de esta funcion y las leyes de la oferta

Y

X0

b

Figura 6.5: Funcion de primer grado

y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier analisis economico. Por

ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el

artıculo este disponible. Una relacion que especifique la cantidad de un artıculo determinado

que los consumidores esten dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley

de demanda. La ley mas simple es una relacion del tipo P = mx+ b, donde P es el precio por

unidad del artıculo y m y b son constantes. La grafica de una ley de demanda se llama curva

de demanda lineal.

Muchas son las aplicaciones de la funcion lineal en el caso de la medicina. Ciertas situa-

ciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenomenos. El

resultado del experimento psicologico de Stenberg, sobre recuperacion de informacion es que

el tiempo de reaccion de una persona R, en milisegundos, es estadısticamente funcion lineal

del tamano del conjunto de memoria N en los siguientes terminos R = 38N + 397.

6.4.4. Funcion Cuadratica

Una funcion polinomica de grado dos o funcion cuadratica es la que corresponde a un

polinomio en x de segundo grado, segun la forma:

f(x) = ax2 + bx+ c

donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.

Su grafica es una parabola simetrica respecto a la recta vertical x = h, llamada eje de

simetrıa, abierta hacia arriba si a > 0 [figura 3.6(a)] y hacia abajo si a < 0 [figura 3.6(b)].

Para la figura 3.6(a)� Domf = R

� Ranf = [k,+∞〉

Para la figura 3.6(b)

0 X

Y

h

k V (h, k)

(a) Para a > 0

0 X

Y

h

kV (h, k)

(b) Para a < 0

Figura 6.6: Funcion Cuadratica� Domf = R � Ranf = 〈−∞, k]

Toda funcion cuadratica puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la

siguiente manera:

f(x) = a(x− h)2 + k

A esta forma de expresion se la llama forma canonica. Siendo a el coeficiente principal y el

par ordenado (h, k) las coordenadas del vertice de la parabola. Para llegar a esta expresion se

parte de la forma polinomica y se realiza el siguiente procedimiento:

Dado f(x) = ax2 + bx+ c se extrae a como factor comun en el termino cuadratico y en el

lineal f(x) = a

(x2 +

b

ax

)+ c

Luego se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la

igualdad: f(x) = a

(x2 +

b

ax+

b2

4a2

)+ c− b2

4a

Se factoriza formando el cuadrado de un binomio: f(x) = a

(x+

b

2a

)2

+ c− b2

4a

sustituyendo: h =−b2a

, k = c− b2

4ala expresion queda: f(x) = a(x− h)2 + k.

El estudio de las funciones cuadraticas resulta de interes no solo en matematica sino

tambien en fısica y en otras areas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una

pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un rıo al caer desde lo alto de una montana,

la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido

desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partıcula es lanzada con una

velocidad inicial.

Puede ser aplicada en la ingenierıa civil, para resolver problemas especıficos tomando como

punto de apoyo la ecuacion de segundo grado, en la construccion de puentes colgantes que se

encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.

Los biologos utilizan las funciones cuadraticas para estudiar los efectos nutricionales de

los organismos. Por ejemplo, el analisis del efecto nutricional en ratas que se alimentaron con

una dieta que contenıa cierto porcentaje de proteına. La proteına consistio en yema de huevos

y harina de maız. Al variar el porcentaje P de yema en la mezcla de proteına, el grupo de

investigadores estimo el aumento promedio en peso (en gramos) de un animal durante un

cierto periodo fue F (p) en donde: F (p) =1

50p2 + 2p+ 20, 0 < P < 100

Existen fenomenos fısicos que el hombre a traves de la historia ha tratado de explicarse.

Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus calculos

la ecuacion cuadratica. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura H de una

partıcula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo esta dada por H = v0t −1

2gt2,

donde H es la altura, v0 es la velocidad inicial de la partıcula, g es la constante de gravedad

y t es el tiempo.

6.4.5. Funcion Raiz Cuadrada

La funcion raız cuadrada es aquella funcion de la forma:

f(x) =√x

Veamos la grafica:

Y

X0

Figura 6.7: Funcion raiz cuadrada

� Domf = R+0 = [0,+∞〉� Ranf = R+0 = [0,+∞〉

6.4.6. Funcion Polinomica

Las funciones polinomicas son aquellas funciones f(x) = P (x) definidas por:

P (x) =n∑

k=0

akxk = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + · · ·+ anx

n

donde n es un entero positivo y a0, a1, a2, . . . , an son constantes reales (a0 6= 0).

Una funcion constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero, una funcion lineal

es un polinomio de primer grado, una funcion cuadratica es un polinomio de segundo grado.

La funcion P (x) = 0 se considera como un polinomio pero no se le asigna ningun grado.

6.4.7. Funcion Seccionada

Las funciones seccionadas llamadas tambien funciones por tramos, por trozos o por partes

son aquellas funciones que tienen un comporamiento distinto dependiendo de los valores del

dominio. Es decir, si una funcion esta definida por dos o mas secciones, entonces:

f(x) =

f1(x) , x ∈ D1

f2(x) , x ∈ D2

f3(x) , x ∈ D3

...

tales que D1 ∩D2 ∩D3 ∩ . . . = φ, entonces G(f) = G(f1) ∪G(f2) ∪G(f3) ∪ . . .� Domf = Domf1 ∪Domf2 ∪Domf3 ∪ . . .� Ranf = Ranf1 ∪ Ranf2 ∪ Ranf3 ∪ . . .

Ahora la funcion f(x) =

f1(x) , si x > 0

f2(x) , si x < 0puede ser expresada como:

f(x) =

f1(x) , si x > 0

f2(x) , si x < 0= f(x)

[x+ |x|2x

]+ g(x)

[x− |x|2x

]

Ejemplo 6.4.1. La funcion g(x) puede ser expresada como:

g(x) =

x2 , si x > 0

x3 , si x < 0= x2

[x+ |x|2x

]+ x3

[x− |x|2x

]

Esta expresion es util si desea graficar una funcion por tramos con una calculadora.

6.4.8. Funcion Valor Absoluto

Es aquella funcion seccionada definida por:

f(x) = |x| =

x , si x ≥ 0

−x , si x < 0

Si los numeros reales estan representados geometricamente en el eje real, el numero |x| sellama distancia o modulo de x a cero.

Veamos la grafica:

Y

X0

y = xy = −x

Figura 6.8: Funcion valor absoluto� Domf = R� Ranf = R+0 = [0,+∞〉

6.4.9. Funcion Escalon Unitario

En ingenierıa es comun encontrar funciones que corresponden a estados de sı o no, o bien

activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actua sobre un sistema mecanico o

una tension electrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse despues de cierto

tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir

una funcion especial llamada funcion escalon unitario denotada por ua. La funcion escalon

de Heaviside, tambien llamada funcion escalon unitario, debe su nombre al matematico ingles

Oliver Heaviside1 esta definido por:

f(x) = µa(x) = µ(x− a) =

0 , si x < a

1 , si x ≥ a

1Oliver Heaviside, radiotelegrafista y matematico ingles, nacio en Londres (Inglaterra) el 18 de mayo de

1850, falleciendo en Torquay (Inglaterra) el 3 de febrero de 1925.

Tiene aplicaciones en ingenierıa de control y procesamiento de senales, representando una

senal que se enciende en un tiempo especıfico, y se queda prendida indefinidamente. Veamos

su grafica:

Y

X0 a

1

Figura 6.9: Funcion escalon unitario

� Domf = R� Ranf = {0, 1}

6.4.10. Funcion Signo

Es aquella funcion denotada por sgn(x), que se lee “signo de x” y esta definida por:

f(x) = sgn(x) =

−1 , si x < 0

0 , si x = 0

1 , si x > 0

equivalentemente:

f(x) = sgn(x) =

x

|x| , si x 6= 0

0 , si x = 0

Veamos la grafica:� Domf = R� Ranf = {−1, 0, 1}

Y

X0

1

−1

Figura 6.10: Funcion signo

6.4.11. Funcion Maximo Entero

Es aquella funcion seccionada definida por:

f(x) = JxK

donde JxK es el maximo entero no mayor que x, es decir, JxK = n⇔ JxK = max{n ∈ Z /n ≤ x}

JxK = n ⇔ n ≤ x < n+ 1

Para trazar la grafica de f(x) = JxK, especificaremos f para algunos intervalos de longitud

unitaria a cada lado del origen.

[n, n+ 1〉 JxK y = f(x) = JxK...

......

−3 ≤ x < −2 −3 y = −3−2 ≤ x < −1 −2 y = −2−1 ≤ x < 0 −1 y = −10 ≤ x < 1 0 y = 0

1 ≤ x < 2 1 y = 1

2 ≤ x < 3 2 y = 2

3 ≤ x < 4 3 y = 3...

......

Veamos la grafica:

La grafica de la funcion esta constituida por un segmentos unitario faltandole a cada uno

su extremo derecho, por ser intervalo cerrado en la izquierda y abierto derecha.


Y

X0

1

2

3

4

−1−2−3−4

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

Figura 6.11: Funcion signo� Domf = R =∞⋃

n∈Z

[n, n+ 1〉� Ranf = Z

6.5. Tipo de Funciones

6.5.1. Funcion Inyectiva

Una funcion f : A→ B es inyectiva, univalente o uno a uno si para todo par de elementos

distintos del dominio, sus imagenes son distintas. Es decir:

Si x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2) ∀x1, x2 ∈ Domf

equivalentemente

Si f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 ∀x1, x2 ∈ Domf

Una funcion real f es inyectiva si no contiene dos pares ordenados con la misma segunda

componente.

geometricamente se reconoce que f es una funcion inyectiva cuando toda recta horizontal

corta a la grafica de f a lo mas en un punto.

6.5.2. Funcion Sobreyectiva

Una funcion f : A→ B es sobreyectiva, suryectiva, suprayectiva o epiyectiva si el rango de

f coincide con el conjunto de llegada B; es decir:

Ran(f) = B

donde Ranf = f(A).

De la definicion de funcion sobreyectiva, se sigue que toda funcion de la forma f : A →Ranf , siempre sera sobreyectiva.

Una funcion f : A → B es sobreyectiva si y solo si para cada elemento b ∈ B existe un

elemento a ∈ Domf = A (al menos uno), tal que b = f(a).

6.5.3. Funcion Biyectiva

Una funcion f : A→ B es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

6.6. Caracterısticas de algunas funciones reales

1. Funcion Acotada: Una funcion es acotada cuando el valor absoluto de la funcion es

menor que cierto numero real fijo, para cualquier valor de la variable. Es decir, f es

acotada si existe un numero real M > 0 tal que |f(x)| < M , para todo x ∈ Domf , M

se llama cota de la funcion.

Una funcion f se dice que esta acotada superiormente si existe un numero real M1 tal

que f(x) ≤ M1, para todo x ∈ Domf . Este numero real M1 recibe el nombre de cota

superior de la funcion f . Geometricamente significa que ninguna imagen es superior al

valor M1 y, por tanto, la grafica de la funcion f estara por debajo de la recta y = M1.

Una funcion f se dice que esta acotada inferiormente si existe un numero real M2 tal

que f(x) ≥ M2, para todo x ∈ Domf . Este numero real M2 recibe el nombre de cota

inferior de la funcion f . Geometricamente significa que ninguna imagen es inferior al

valor M2 y, por tanto, la grafica de la funcion f estara por encima de la recta y = M2.

Una funcion se dice que esta acotada si lo esta inferior y superiormente.

2. Funcion Monotona: Una funcion f se dice que es monotona en un punto x0 cuando sea

creciente, estrictamente creciente, decreciente o estrictamente decreciente en ese punto.

3. Funcion Creciente: Una funcion f es creciente en 〈a, b〉 si para todo x1, x2 ∈ 〈a, b〉con x1 < x2 se cumple que f(x1) ≤ f(x2).

4. Funcion Extrictamente Creciente: Una funcion f es creciente en 〈a, b〉 si para todo

x1, x2 ∈ 〈a, b〉 con x1 < x2 se cumple que f(x1) < f(x2).

5. Funcion Decreciente: Una funcion f es decreciente en 〈a, b〉 si para todo x1, x2 ∈〈a, b〉 con x1 < x2 se cumple que f(x1) ≥ f(x2).

6. Funcion Extrictamente Decreciente: Una funcion f es decreciente en 〈a, b〉 si paratodo x1, x2 ∈ 〈a, b〉 con x1 < x2 se cumple que f(x1) > f(x2).

7. Funcion Periodica: Se dice que f es periodica si existe un numero real, no nulo,

T , llamado periodo, tal que para todo x ∈ Domf , x + T ∈ Domf y se verifica que

f(x+ T ) = f(x). De la propia definicion se deduce que si T es un periodo de la funcion

f , tambien lo es 2T , 3T , . . ., es decir sus periodos son multiplos enteros del menor periodo

positivo T , que recibe el nombre de periodo principal o propio.

El conocimiento de la grafica de una funcion en un periodo nos permite construir por

periodicidad toda la grafica.

8. Funcion Par: Una funcion f es par si para todo x ∈ Domf se cumple que: f(−x) =f(x). La grafica de la funcion es simetrica respecto al eje Y .

9. Funcion Impar: Una funcion f es impar si para todo x ∈ Domf se cumple que:

f(−x) = −f(x). La grafica de la funcion es simetrica respecto al origen.

Teorema 6.6.1. Si una funcion f es creciente, entonces f es inyectiva.

Teorema 6.6.2. Si una funcion f es decreciente, entonces f es inyectiva.

6.7. Funcion Trigonometrica

Las funciones trigonometricas son funciones de un angulo; tienen importancia en el estudio

de la geometrıa de los triangulos y en la representacion de fenomenos periodicos, entre otras

muchas aplicaciones.

El estudio de las funciones trigonometricas se remonta a la epoca de Babilonia, y muchos

de los fundamentos del tema fueron desarrollados por matematicos de la antigua Grecia, de

la India y estudiosos musulmanes.

El primer uso de la funcion seno aparece en el Sulba Sutras escrito en India desde el

Siglo VIII AC hasta el Siglo VI AC. Las funciones trigonometricas fueron estudiadas luego

por Hiparco de Nicea (180 a 125 AC), Aryabhata (476 a 550), Varahamihira, Brahmagupta,


Muh.ammad ibn Mu-sa- al-K-wa-rizmi-, Abu’l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-

Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (c.

1400), Rheticus, y el alumno de este, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio

in analysin infinitorum (1748) fue la que establecio el tratamiento analıtico de las funciones

trigonometricas en Europa. definiendolas como series infinitas presentadas en las llamadas

“Formulas de Euler”.

Las funciones trigonometricas son conocidas tambien como funciones no algebraicas o

trascendentes. Estudiemos el comportamiento geometrico de cada una de estas funciones.

1. Funcion Seno: Es la funcion trigonometrica denotada por: f(x) = sen(x). Veamos la

grafica 3.12 y observemos que la funcion es periodica de periodo 2π.� Domf = R� Ranf = [−1, 1]

Figura 6.12: Funcion seno

2. Funcion Coseno: Es la funcion trigonometrica denotada por: f(x) = cos(x). Veamos

la grafica 3.13 y observemos que la funcion es periodica de periodo 2π.� Domf = R� Ranf = [−1, 1]

3. Funcion Tangente: Es la funcion trigonometrica denotada por: f(x) = tan(x). Veamos

la grafica 3.14(a) y observemos que la funcion es periodica de periodo π.� Domf = R−{(2k + 1)π

2

}� Ranf = R


Figura 6.13: Funcion coseno

4. Funcion Cotangente: Es la funcion trigonometrica denotada por: f(x) = cot(x).

Veamos la grafica 3.14(b) y observemos que la funcion es periodica de periodo π.� Domf = R− {kπ}� Ranf = R

5. Funcion Secante: Es la funcion trigonometrica denotada por: f(x) = sec(x). Veamos

la grafica 3.14(c) y observemos que la funcion es periodica de periodo 2π.� Domf = R−{(2k + 1)π

2

}� Ranf = 〈−∞,−1] ∪ [1,∞〉

6. Funcion Cosecante: Es la funcion trigonometrica denotada por: f(x) = csc(x). Veamos

la grafica 3.14(d) y observemos que la funcion es periodica de periodo 2π.� Domf = R− {kπ}� Ranf = 〈−∞,−1] ∪ [1,∞〉

A continuacion veamos la figura (3.15) donde podemos observar las seis funciones trigonometri-

cas.

Las razones trigonometricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triangu-

los, ası como para resolver diferentes situaciones problematicas en otras ciencias.

En Topografıa se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el angulo.

Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido

a ello esta se aparta cada ves mas de su vertical. Originalmente tenıa una altura de 54,6m,

aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre,


(a) Funcion tangente (b) Funcion cotangente

(c) Funcion secante (d) Funcion cosecante

Figura 6.14: Funcion trigonometrica

determino un angulo de elevacion de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar

al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeno, comparado con la altura de la

torre) aplico la ley del seno para determinar el angulo de inclinacion y la ley del coseno para

determinar el desplazamiento de la torre.

En Optica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de

cierto material. Se ha determinado que el rayo de salida es paralelo al de entrada.

En la Aviacion, si dos aviones parten de una base aerea a la misma velocidad formando un

angulo b y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran

entre los mismos.

El capitan de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en lınea

recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino

correcto.

6.8. Funcion Exponencial

La funcion exponencial es aquella funcion trascendental de la forma

f(x) = ax

Figura 6.15: Funciones trigonometricas

donde a > 0 y x ∈ R.

Las funciones exponenciales son una de las familias de funciones mas importantes en las

matematicas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen. Constituyen una herramienta

util para describir magnitudes que crecen o decrecen en forma muy rapida proporcionalmente

a su tamano. Se encuentran innumerables ejemplos de fenomenos que tienen este tipo de com-

portamiento, en la Administracion de Empresas se usan para interes compuesto, anualidades

y planes de ahorro entre otras. En las ciencias naturales las aplicaciones son innumerables in-

cluyendo modelos de crecimiento en biologıa, reacciones de primer orden en quımica orbitales

moleculares en quımica fısica, economıa, medicina y otras. Por ejemplo, en el crecimiento de

una poblacion; cuando se analizan los censos de poblacion humana y se buscan modelos que

permitan hacer proyecciones, frecuentemente aparecen funciones de crecimiento exponencial.

Veamos la grafica (3.16) para los casos a > 1 y 0 < a < 1� Domf = R� Ranf = 〈0,+∞〉

Propiedades:

1. Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1).

2. En la grafica 3.16(a) se puede observar que para a > 1 la funcion f es creciente.

3. En la grafica 3.16(b) se puede observar que para 0 < a < 1 la funcion f es decreciente.

(a) Para a > 1 (b) Para 0 < a < 1

Figura 6.16: Funcion exponencial

4. El eje de las x es una asıntota horizontal.

5. Las funciones exponenciales son uno a uno.

Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones en ciencias, matematicas, comercio

y en otras disciplinas. Veremos aquı algunas de esas aplicaciones.

1. Formula de interes compuesto

A = P(1 +

r

m

)nt

donde:

A es la cantidad acumulada o valor futuro.

P es el principal de la inversion.

r es la tasa de interes anual.

n es el numero de periodos de tiempo por ano.

t es el numero de anos.

2. Formula de interes contınuo

A = Peit

donde:

A es la cantidad acumulada o valor futuro.

P es el principal de la inversion.

i es el interes anual.

t es el numero de anos de la inversion.

3. Formula de crecimiento y decaimiento exponencial

A(t) = A0ekt

donde:

A es la cantidad acumulada luego de un tiempo t.

A0 es la cantidad inicial.

k es la constante de crecimiento o decaimiento.

t es el numero de anos de la inversion.

Si k > 0 hay crecimiento o aumento en el valor de A.

Si k < 0 el valor de A decae o decrece.

En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con

respecto al tiempo. Al tiempo requerido para que se produzca a la mitad la cantidad

inicial del elemento se denomina semivida.

4. Formula de enfriamiento de Newton

T (t) = Tm + (T0 − Tm)ekt

donde:

T es la temperatura del objeto en un tiempo t.

Tm es la temperatura del medio ambiente.

T0 es la temperatura inicial.

t es el tiempo.

k es una constante. Si k > 0, el cuerpo se calienta y si k < 0, el cuerpo se enfrıa.

5. Formula del crecimiento logıstico

P (t) =c

1 + ae−bt

donde:

P es la poblacion en un tiempo t.

a, b, c son constantes, c > 0, b > 0.

t es el tiempo en anos.

c es la capacidad de crecimiento.

6. Otras de la aplicacion de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio

(elemento radioactivo ) descubierto por Marie Curie en 1898 decae exponencialmente de

acuerdo a la funcion:

m = m0e−0,005t

donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el

tiempo en dıas.

7. El crecimiento poblacional (Demografıa) de una region o poblacion en anos, parece estar

sobre una curva de caracterıstica exponencial que sugiere el modelo matematico dado

por:

N = N0ekt

donde N0 es la poblacion inicial, t es el tiempo transcurrido en anos y k es una constante.

(En 1798, el economista ingles Thomas Malthus observo que la relacion N = N0ekt era

valida para determinar el crecimiento de la poblacion mundial y establecio, ademas, que

como la cantidad de alimentos crecıa de manera lineal, el mundo no podıa resolver el

problema del hambre. Esta lugubre prediccion ha tenido un impacto tan importante

en el pensamiento economico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se

conoce con el nombre de modelo Malthusiano).

8. En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera

que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminucion, si N es la cantidad

de farmaco presente en el cuerpo al tiempo t, entonces N = N0ekt, en donde k es una

constante positiva y N0 es la cantidad presente al tiempo t = 0.

6.9. Funcion Logaritmo

La funcion logaritmo es aquella funcion trascendental de la forma

f(x) = logb x

donde b > 0 y b 6= 1, ademas x ∈ R+.

Veamos la grafica (3.17) para los casos b > 1 y 0 1 la funcion f es creciente.

3. En la grafica 3.17(b) se puede observar que para 0 < b < 1 la funcion f es decreciente.

(a) Para b > 1 (b) Para 0 < b < 1

Figura 6.17: Funcion logaritmo

4. El eje de las y es una asıntota vertical.

5. Las funciones logarıtmicas son uno a uno.

La geologıa como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarıtmicas para el

calculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un

terremoto esta definida como R = log(A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y

A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismografo estandar, localizado a 100 kilometros

del epicentro del terremoto).

Los astronomos utilizan ciertos calculos de caracter logarıtmico para determinar una mag-

nitud estelar de una estrella o planeta, ellos utilizan la siguiente ecuacion:M = −(5/2) log(B/B0),

donde B es la brillantez y B0 es una constante. Se concluye que la magnitud (M) esta dada

en funcion de una ecuacion logarıtmica.

En la fısica la funcion logarıtmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede

mencionar el calculo del volumen L en decibeles de un solido, para el cual se emplea la

siguiente ecuacion L = 10 log(I/I0), donde I es la intensidad del sonido (la energıa cayendo en

una unidad de area por segundo), I0 es la intensidad de sonido mas baja que el oıdo humano

puede oır (llamado umbral auditivo). Una conversacion en voz alta tiene un ruido de fondo de

65 decibeles.

7

MATRICES, DETERMINANTES

Y SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

Objetivos

z Conocer y aplicar las principales tecnicas de calculo matricial.

z Operar con las matrices para aplicarlas en la solucion de sistemas lineales.

z Ordenar los datos adecuadamente en la formulacion de un problema.

z Manejar los determinantes como elemento de calculo en la resolucion de los sistemas

lineales.

7.1. Matrices

7.1.1. Algo de historia

El primero que empleo el termino “matriz” fue el matematico ingles James Joseph Sylvester

en el ano 1850.

Sin embargo, hace mas de dos mil anos los matematicos chinos habıan descubierto ya un

metodo de resolucion de sistemas de ecuaciones lineales equivalente al metodo de Gauss y por

lo tanto empleaban tablas con numeros.

Pero hasta el Siglo XIX no se desarrolla en las matematicas el Algebra de matrices. A

este desarrollo contribuyo de forma decisiva el matematico ingles Arthur Cayley. En 1858

publico unas “Memorias sobre la teorıa de matrices” en la que daba la definicion de matriz y

las operaciones suma de matrices, de producto de un numero real por una matriz, de producto

de matrices y de inversa de una matriz. Cayley afirma que obtuvo la idea de matriz a traves

203


de la de determinante y tambien como una forma conveniente de expresar transformaciones

geometricas.

7.1.2. Introduccion

Las matrices aparecen por primera vez hacia el ano 1850, introducidas por J.J. Sylvester.

El desarrollo inicial de la teorıa se debe al matematico W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A.

Cayley introduce la notacion matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m

ecuaciones lineales con n incognitas.

Las matrices se utilizan en el calculo numerico, en la resolucion de sistemas de ecuaciones

lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Ademas de su utilidad

para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en

geometrıa, estadıstica, economıa, informatica, fısica, etc...

La utilizacion de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lengua-

jes de programacion, ya que la mayorıa de los datos se introducen en los ordenadores como

tablas organizadas en filas y columnas: hojas de calculo, bases de datos,...

Ademas de su utilidad para el estudio de los sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen

de manera natural en geometrıa, estadıstica, economıa, etc.

Nuestra cultura esta llena de matrices de numeros: El horario de los trenes de cada una

de las estaciones es una matriz de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada

uno de los dıas de la semana es otra, etc.

Las tablas de sumar y multiplicar, la disposicion de los alumnos en clase, las casillas de un

tablero de ajedrez, las apuestas de la loto, los puntos de un monitor de ordenador, son otros

tantos ejemplos de la vida cotidiana de matrices.

Actualmente, muchos programas de ordenador utilizan el concepto de matriz. Ası, las

Hojas de Calculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y columnas en

cuyas celdas se pueden introducir datos y formulas para realizar calculos a gran velocidad.

Esto requiere utilizar las operaciones con matrices.

Definicion 7.1.1. Una matriz es un ordenamiento rectangular de elementos dispuestos en

filas y columnas.

Aquı un ejemplo en sus distintas presentaciones:

[2 0 −1a√2 π

] (2 0 −1a√2 π

) ∥∥∥∥∥2 0 −1a√2 π

∥∥∥∥∥

Esta matriz posee dos filas y tres columnas.

Es importante adquirir el habito de enunciar siempre filas antes de columnas.


Los elementos aij pueden ser numeros reales, numeros complejos o cualquier objeto no numeri-

co, como por ejemplo la posicion de las fichas en el tablero del ajedrez o los apellidos de

personas cuando son codificadas en orden alfabetico.

Notacion General: Se simboliza cada elemento con subındices de la forma aij, donde i

representa la fila donde se encuentra y j la columna.

Ası la matriz de m filas y n columnas cuyos elementos son aij es:

A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1n

a21 a22 . . . a2j . . . a2n...

......

...

ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

...

am1 am2 . . . amj . . . amn

que abreviadamente se representa por:

A = (aij)m×n , donde m,n ∈ N

siendo i = 1; 2; 3; . . . ;m ; j = 1; 2; 3; . . . ;n y podemos leer ası:

A es la matriz de m filas y n columnas. aij es un elemento de la matriz A.

Si aij ∈ K; (K = R o K = C) entonces definimos una matriz Am×n como una aplicacion de

I × J en K.

I × J −→ K

(i, j) −→ aij

con 1 ≤ i ≤ m ; 1 ≤ j ≤ n donde a cada pareja (i, j) le corresponde un solo elemento

aij ∈ K.

7.1.3. Orden de una Matriz

El orden de una matriz es la multiplicacion indicada del numero de filas por el numero de

columnas de dicha matriz, ası si la matriz tiene m filas y n columnas diremos que la matriz

es de orden m× n.

Ejemplo 7.1.1. La matriz

(4 2 −57 1 −3

)tiene 2 filas y 3 columnas, entonces decimos que es

de orden 2× 3.

El conjunto de matrices m × n con elementos aij ∈ K se denota por Km×n. Es decir

Km×n = {(aij)m×n/aij ∈ K}Si K = R, entonces Rm×n = {(aij)m×n/aij ∈ R}Si K = C, entonces Cm×n = {(aij)m×n/aij ∈ C}


7.1.4. Igualdad de Matrices

Dos matrices del mismo orden son iguales si todos sus elementos de la misma posicion son

respectivamente iguales.

Ası, sean las matrices A = (aij)m×n ∧ B = (bij)m×n

A = B ↔ aij = bij , ∀i, j , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n

Ejemplo 7.1.2. Halle el valor de: (2x− y) + (2z − w). Si las matrices:

(2x+ y 2z + w

x− 2y z − 2w

)y

(4 5

−1 0

)

son iguales.

Solucion

De la igualdad de matrices

(2x+ y 2z + w

x− 2y z − 2w

)=

(4 5

−1 0

)

Se tiene:

2x+ y = 4 ∧ x− 2y = −1 entonces x = 7/5 , y = 6/5

Ası mismo:

2z + w = 5 ∧ z − 2w = 0 entonces z = 2 , w = 1

Luego el valor de : (2x− y) + (2z −w) es:

(2

(7

5− 6

5

))+ (2(2) − 1) =

8

5+ 3 =

23

5

7.1.5. Matrices Especiales

a) Matriz Cuadrada:Una matriz A es cuadrada cuando el numero de filas es igual al numero

de columnas. Am×n es cuadrada si y solo si m = n, en este caso se dice que A es de orden

n× n o simplemente de orden n y se representa por An.

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3n...

......

. . ....

an1 an2 an3 · · · ann

(7.1)

Ejemplo 7.1.3. La matriz A =

[2 −13 5

]es cuadrada de orden 2.

Diagonal Principal: Es una matriz cuadrada A = (aij)n×n, la diagonal principal es el

conjunto de elementos aij tales que i = j. Ası en:

A =

2 3 −57 9 8

1 −4 0

la diagonal principal es la terna (2 9 0) y la diagonal secundaria es la terna (1 9 − 5).

En la matriz cuadrada 7.6, la diagonal principal es: (a11 a22 a33 . . . ann)

Tipos de matrices cuadradas:

Las matrices cuadradas pueden ser:

a.1. Matriz Triangular: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran por encima

o por debajo de la diagonal principal son ceros. Estas a su vez pueden ser:

a.1.1. Matriz Triangular Superior : Una matriz cuadrada A = (aij)n×n es triangular

superior si aij = 0 ∀i > j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por

debajo de la diagonal principal son ceros.

T =

a11 a12 a13 · · · a1n

0 a22 a23 · · · a2n

0 0 a33 · · · a3n...

......

. . ....

0 0 0 · · · ann


3 5 0

0 7 0

0 0 0

es triangular superior.

a.1.2. Matriz Triangular Inferior : Una matriz cuadrada A = (aij)n×n es triangular

inferior si aij = 0 ∀i < j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por

encima de la diagonal principal son ceros.

T =

a11 0 0 · · · 0

a21 a22 0 · · · 0

a31 a32 a33 · · · 0...

......

. . ....



16 0 0

1 16 0

3 2 π

es triangular inferior.


a.2 Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran por encima

y por debajo de la diagonal principal son ceros. Es decir aij = 0 si i 6= j.

D =

a11 0 0 · · · 0

0 a22 0 · · · 0

0 0 a33 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · ann

Ejemplo 7.1.6. Las matrices

(3 0

0 4

),

π 0 0

0 e 0

0 0 α

son diagonales.

a.3 Matriz Escalar: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diagonal

principal de toda matriz diagonal son iguales.

E =

α 0 0 · · · 0

0 α 0 · · · 0

0 0 α · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · α

En forma general:

En es escalar si aij =

α, si i = j

0, si i 6= j


(2 0

0 2

),

3 0 0

0 3 0

0 0 3

son escalares

a.4 Matriz Identidad: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diag-

onal principal de toda matriz escalar son iguales a 1.

I =

1 0 0 · · · 0

0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1

En forma general:

In es identidad si aij =

1, si i = j

0, si i 6= j


b) Matriz Rectangular: Son aquellas matrices donde el numero de filas es distinta al numero

de columnas. Esto es: la matriz A = (aij)m×n es rectangular si m 6= n.

Ejemplo 7.1.8.

3 0

2 4

1 2

3×2

;(2 3 1 −1

)1×4

c) Matriz Nula: Es aquella matriz cuadrada o rectangular en donde todos sus elementos son

nulos, es decir, una matriz A = (aij)m×n es nula si aij = 0 ∀i, j.

Ejemplo 7.1.9. (0 0

0 0

);

(0 0 0

0 0 0

)

7.1.6. Operaciones con Matrices

Ası como en cualquier conjunto numerico, en el conjunto de matrices tambien se definen

ciertas operaciones, obviamente, bajo determinadas condiciones.

a. Adicion y sustraccion de matrices

Sean las matrices A = (aij)m×n ∧ B = (bij)m×n

La suma A + B de las matrices A y B de orden m× n es una matriz C = (cij)m×n de

orden m× n, de tal modo, que cada elemento cij es igual a la suma: aij + bij.

Ası: A+B = (aij)m×n + (bij)m×n = (aij + bij)m×n

La resta A− B de las matrices A y B de orden m× n es una matriz D = (dij)m×n de

orden m× n, de tal modo, que cada elemento dij es igual a la resta: aij − bij.

Ası: A−B = (aij)m×n − (bij)m×n = (aij − bij)m×n

Ejemplo 7.1.10. Sean: A =

(2 4

3 −1

); B =

(5 7

−9 16

), entonces:

A+B =

(2 4

3 −1

)+

(5 7

−9 16

)=

(2 + 5 4 + 7

3− 9 −1 + 16

)⇒ (A+B) =

(7 11

−6 15

)

A−B =

(2 4

3 −1

)−(

5 7

−9 16

)=

(2− 5 4− 7

3− (−9) −1− 16

)⇒ (A−B) =

(−3 −312 −17

)

Definicion 7.1.2. La operacion binaria que hace corresponder a cada par de matrices

A y B una tercera matriz C llamada suma de A y B, esto es:

+ : Mm×n ×Mm×n −→ Mm×n

(A,B) −→ +(A,B) = A+B = C


Propiedades:

i. La adicion es interna o cerrada en Mm×n es decir: (A + B) ∈ Mm×n ∀ A,B ∈Mm×n, por definicion de la adicion de matrices.

ii. La adicion en Mm×n es asociativa, es decir: (A + B) + C = A + (B + C), ∀A;B;C ∈Mm×n. Veamos:

Sean A = (aij)m×n ; B = (bij)m×n ; C = (cij)m×n

⇒ (A+B) + C = ((aij)m×n + (bij)m×n + (cij)m×n)

⇒ (aij + bij + cij)m×n = (aij)m×n + (bij + cij)m×n = A+ (B + C)

iii. Existe en Mm×n una unica matriz identidad o neutro aditivo denotado por 0; lla-

mada matriz nula donde todos sus elementos son ceros; esto es: ∀ A ∈Mm×n, ∃ 0 ∈Mm×n tal que A+ 0 = 0 +A = A

iv. Toda matriz A ∈ Mm×n tiene un simetrico aditivo dado por −A ∈ Mm×n; esto

es: ∀ A ∈Mm×n , ∃ (−A) = (−aij)m×n tal que A+(−A) = (aij)m×n+(−aij)m×n =

0m×n

Con estas propiedades queda garantizado que (Mm×n ; +) tiene estructura de grupo.

Ademas:

v. La adicion en Mm×n es conmutativa, es decir: A+B = B +A, ∀ A;B ∈Mm×n,

ası: A+B = (aij)m×n + (bij)m×n ⇒ (aij + bij)m×n= (bij + aij)m×n

⇒ (bij)m×n + (aij)m×n = B +A

Mediante esta quinta propiedad diremos que (Mm×n ; +) es un grupo abelino o

conmutativo.

b. Multiplicacion de matrices

b.1. Multiplicacion de un escalar por una matriz

Cuando un escalar multiplica a una matriz, cada elemento de la matriz queda

multiplicado por dicho escalar. Ası: Sea A = (aij)m×n ⇔ αA = (αaij)m×n.

Donde “α” es un escalar

Ejemplo 7.1.11. Sea: A =

(4 3

2 1

)⇒ 5A =

(5(4) 5(3)

5(2) 5(1)

)⇒ 5A =

(20 15

10 5

)

Definicion 7.1.3. La operacion binaria que hace corresponder a cada par de ele-

mentos, un escalar α y una matriz A, una matriz C llamada producto de α y A,


esto es:· : K×Mm×n −→ Mm×n

(α,A) −→ ·(α,A) = αA

Propiedades:

i. Propiedad distributiva: α(A+B) = αA+ αB, ∀ A,B ∈ Mm×n; ∀ α ∈ K

ii. Propiedad distributiva: (α+ β)A = αA+ βA, ∀ A ∈Mm×n; ∀ α;β ∈ K

iii. Propiedad asociativa: α(βA) = (αβ)A, ∀ A ∈Mm×n; ∀ α;β ∈ K

Por tanto: Si K = R entonces (Mm×n,+, ·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo

de los numeros reales.

Si K = C entonces (Mm×n,+, ·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los

numeros complejos.

b.2. Multiplicacion de una matriz fila por una matriz columna

Sean las matrices: A =(a1 a2 a3 · · · an

)1×n

; B =

b1

b2

b3...

bn

n×1

Definimos: AB = (a1b1 + a2b2 + a3b3 + · · ·+ anbn)1×1. Es decir:

AB =

n∑

k=1

akbk

Ejemplo 7.1.12. Sean: A =(1 3 5

); B =

7

−24

entonces: AB = (1)(7) + (3)(−2) + (5)(4) = 21

b.3. Multiplicacion de dos matrices

Dados dos matrices A = (aij)m×n ; B = (bjk)n×p existe una tercera matriz

C = (cik)m×p que representa el producto de multiplicar las matrices A y B; donde

cik es el producto de multiplicar la fila i de la primera matriz por la columna k de

la segunda matriz.

Definicion 7.1.4. La operacion binaria que hace corresponder a cada par de ma-

trices A y B, una matriz C llamada producto de A y B, esto es:

· : Mm×n ×Mn×p −→ Mm×p

(A,B) −→ ·(A,B) = AB


Nota: La multiplicacion de una matriz A y la matriz B existe si y solo si el numero

de columnas de la primera matriz es igual al numero de filas de la segunda matriz.

Es decir:

AB = (cik)m×p / cik =

n∑

j=1

aij · bjk

Si el producto AB esta definido se dice que A es conformable con B para la multi-

plicacion.

Ejemplo 7.1.13. Sean las matrices: A =

(4 3 2

5 1 9

)

2×3

; B =

5 4 1

7 9 3

2 1 2

3×3La matriz C producto de A y B sera de orden 2× 3 de la siguiente forma.

C =

(c11 c12 c13

c21 c22 c23

). Hallando cada uno de los elementos:

c11 = (4)(5) + (3)(7) + (2)(2) = 45

c12 = (4)(4) + (3)(9) + (2)(1) = 45

c13 = (4)(1) + (3)(3) + (2)(2) = 17

c21 = (5)(5) + (1)(7) + (9)(2) = 50

c22 = (5)(4) + (1)(9) + (9)(1) = 38

c23 = (5)(1) + (1)(3) + (9)(2) = 26

entonces: C =

(45 45 17

50 38 26

)

Nota: La multiplicacion de matrices no necesariamente es conmutativa.

b.4. Multiplicacion de matrices por bloques

Existen situaciones en las que es conveniente manejar las matrices como bloques de

matrices mas pequenas, llamadas submatrices, y despues multiplicar bloque por

bloque en lugar de componente por componente. Resulta que la multiplicacion en

bloques es muy similar a la multiplicacion normal de matrices.

Ejemplo 7.1.14. Considere el producto:

AB =

1 −1 2 4

2 0 4 5

1 1 2 −3−2 3 5 0

1 4 3

2 −1 0

−3 2 1

0 1 2

El lector debe verificar que este producto este definido. Ahora se hace una particion


de estas matrices mediante lıneas punteadas.

1 −1 | 2 4

2 0 | 4 5

−− −− | −− −−1 1 | 2 −3−2 3 | 5 0

1 4 | 3

2 −1 | 0

−− −− | −−−3 2 | 1

0 1 | 2

=

C | D

−− | −−E | F

G | H

−− | −−J | K

Existen otras maneras de formar la particion. En este caso C =

(1 −12 0

),

K =

(1

2

), etc. Ahora suponiendo que todos los productos y las sumas de las

matrices estan definidos, se puede multiplicar normalmente para obtener

AB =

(C D

E F

)(G H

J K

)=

CG+DJ | CH +DK

−−−− | − −−−EG+ FJ | EH + FK

Ahora: CG =

(1 −12 0

)(1 4

2 −1

)=

(−1 5

2 8

)

DJ =

(2 4

4 5

)(−3 2

0 1

)=

(−6 8

−12 13

)y

CG+DJ =

(−7 13

−10 21

). De manera similar, EH =

(1 1

−2 3

)(3

0

)=

(3

−6

),

FK =

(2 −35 0

)(1

2

)=

(−45

)y EH + FK =

(−1−1

).

El lector debe verificar que CH +DK =

(13

20

)y EG+ FJ =

(−3 4

−11 −1

)

de manera que

AB =

CG+DJ | CH +DK

−−−− | − − −−EG+ FJ | EH + FK

=

−7 13 | 13

−10 21 | 20

−− −− | −−−3 4 | −1−11 −1 | −1

=

−7 13 13

−10 21 20

−3 4 −1−11 −1 −1

Esta es la misma respuesta que se obtiene si se multiplica AB directamente.

Cuando se hace una particion de dos matrices y, como ene el ejemplo anterior, todos

los productos de submatrices estan definidos, entonces se dice que la particion es

conformante.


Propiedades

i. Propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C, donde A ∈Mm×p, B ∈Mp×q, C ∈Mq×n.

En efecto:

A(BC) =

p∑

k=1

aik(BC)kj =

p∑

k=1

aik(

q∑

l=1

bklclj) =

p∑

k=1

q∑

l=1

aik(bklclj) =

p∑

k=1

q∑

l=1

(aikbkl)clj

=

q∑

l=1

p∑

k=1

(aikbkl)clj =

q∑

l=1

(

p∑

k=1

aikbkl)clj =

q∑

l=1

(AB)ilclj = (AB)C

ii. Propiedad asociativa: A(B + C) = AB +AC, donde A ∈Mm×p, B;C ∈Mp×n.

En efecto:

A(B + C) =

p∑

k=1

aik(B + C)kj =

p∑

k=1

aik(bkj + ckj) =

p∑

k=1

(aikbkj + aikckj) =

p∑

k=1

aikbkj +

p∑

k=1

aikckj = AB +AC

iii. Propiedad no conmutativa: AB 6= BA

iv. AB = 0 no implica que A = 0 o B = 0

v. AB = AC no implica que B = C

vi. Elemento neutro: ∀ A ∈Mn×n, ∃ In ∈Mn×n tal que IA = AI = A.


(3 2

4 1

); B =

(3 7

1 5

); Veamos AB y

BA. AB =

(3 2

4 1

)(3 7

1 5

)=

(11 31

13 33

)y BA =

(3 7

1 5

)(3 2

4 1

)=

(37 13

23 7

)

De donde observamos que: AB 6= BA.


(3 5

6 10

); B =

(5 10

−3 −6

);

Veamos AB.

AB =

(3 5

6 10

)(5 10

−3 −6

)=

(0 0

0 0

)

Vemos que AB = 0, pero no implica que A o B sean matrices nulas.


(1 1

0 0

), B =

(2 3

5 8

), C =

(5 8

2 3

)

Veamos AB y AC.

AB =

(1 1

0 0

)(2 3

5 8

)=

(7 11

0 0

)y AC =

(1 1

0 0

)(5 8

2 3

)=

(7 11

0 0

)

Se observa que AB = AC sin embargo B 6= C.


Definicion 7.1.5.� Si AB = BA, se dice que las matrices A y B son matrices conmutables.� Si AB = −BA , se dice que las matrices A y B son matrices anticonmutables.

Nota: Si A es una matriz cuadrada de orden n y B = aA+ bI donde a y b son escalares

entonces A y b son conmutables.

c. Potenciacion de matrices Sea A una matriz cuadrada y n ∈ N/n ≥ 2; entonces se

define:

An = A.A.A.A · · ·A︸︷︷︸“n′′ veces

Ejemplo 7.1.18. Si A =

(1 3

2 4

)entonces A2 =

(1 3

2 4

)(1 3

2 4

)=

(7 15

10 22

)

Nota: La potenciacion de matrices es conmutativa. De donde se tendra.

a. (k.A)n = kn. An

b. Si A es una matriz cuadrada entonces AmAn = AnAm/m;n ∈ N

c. Si A y B conmutan entonces Am y Bn conmutan siendo m, n naturales.

d. Si A es una matriz cuadrada (Am)n = Amn = (An)m; m; n ∈ N.

7.1.7. Traza de una matriz

Dada la matriz cuadrada A = (aij)n×n, se llama traza de A a la suma de los elementos de

la diagonal principal y se denota por:

Traz(A) =n∑

i=1

aii = a11 + a22 + a33 + · · · + ann

Ejemplo 7.1.19. Sea A =

5 9 0

0 7 4

9 −5 −2

⇒ Traz(A) = 5 + 7− 2 = 10

Teorema 7.1.1. Sean las matrices cuadradas A y B del mismo orden y λ un escalar.

Traz(A±B) = Traz(A)± Traz(B)

En efecto: Sean A = (aij)n×n ; B = (bij)n×n ⇒ A±B = (aij ± bij)n×n

Traz(A±B) =

n∑

i=1

(aii ± bii) =

n∑

i=1

(aii)±n∑

i=1

(bii) = Traz(A)± Traz(B)

Traz(λ ·A) = λTraz(A)

En efecto: Traz(λA) =

n∑

i=1

λaii = λ

n∑

i=1

aii = λ · TrazA


Traz(AB) = Traz(BA)

En efecto: Traz(AB) =

n∑

i=1

cij , donde cij =

n∑

j=1

aijbj i entonces

Traz(AB) =

n∑

i=1

n∑

j=1

aijbj i

⇒

n∑

j=1

(n∑

i=1

bjiaij

)= Traz(BA)

7.1.8. Transpuesta de una matriz

Definicion 7.1.6. Sea A ∈Mm×n, se llama transpuesta de A y se denota por At a la matriz

resultante de cambiar, ordenadamente, las filas por las columnas de la matriz A de tal manera,

que si llamamos A = (aij) y At = (a′ij) tenemos:

a′ij = aji, 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n

por lo que si A ∈Mm×n ⇒ At ∈Mn×m.

Ejemplo 7.1.20. Dada la matriz A =

(1 2 3

4 7 2

)entonces At =

1 4

2 7

3 2

Teorema 7.1.2.

(A±B)t = At ±Bt, A,B ∈Mm×n.

(n∑

i=1

Ai

)t

=n∑

i=1

Ati, donde: Ai son matrices del mismo orden, i = 1, n

(At)t = A, A ∈Mm×n.

(λA)t = λAt ; A ∈Mm×n, λ es un escalar

(AB)t = Bt · At, A ∈Mm×n, B ∈Mn×p.

(n∏

i=1

Ai

)t

=

1∏

i=n

Ati, donde: Ai son matrices conformables, i = 1, n

7.1.9. Matriz simetrica

Una matriz cuadrada diremos que es simetrica si y solo si es igual a su transpuesta, en

otras palabras es simetrica respecto a su diagonal principal.

A es simetrica ⇐⇒ A = At


(5 7

7 4

);

−10 1 2

1√2 −3

2 −3 π

son matrices simetricas


7.1.10. Matriz antisimetrica

Una matriz cuadrada sera antisimetrica si y solo si es igual al negativo de su transpuesta.

A es antisimetrica ⇐⇒ A = −At

Los elementos simetricos respecto de la diagonal principal son opuestos y su diagonal son

ceros.


(0 5

−5 0

)se tiene que

At =

(0 −55 0

)= (−1)

(0 0

−5 0

)= −A

entonces A es antisimetrica.

Observacion 7.1.1. Todos los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimetrica

son iguales a cero y los elementos simetricos respecto a la diagonal principal son opuestos o

en forma equivalente: aij = −aji

Teorema 7.1.3. Toda matriz cuadrada se puede escribir como la adicion de una matriz

simetrica y otra antisimetrica

Demostracion

Observe las matrices A+At y A−At. Veamos que:

(A+At)t = At + (At)t = At +A = A+At ⇒ A+At es simetrica

(A−At)t = At − (At)t = At −A = −(A−At) ⇒ A−At es antisimetrica

y como: A =A+At

2︸︷︷︸simetrica

+A−At

2︸︷︷︸antisimetrica

podemos expresar la matriz A como una adicion de una matriz simetrica y otra antisimetrica.

7.1.11. Matriz involutiva

Una matriz cuadrada es involutiva si y solo si su cuadrado es igual a la identidad, es decir:

A2 = I.


(−1 −10 1

). Veamos:

A2 = A.A =

(−1 −10 1

)(−1 −10 1

)=

(1 0

0 1

)= I entonces A2 = I ⇔ A es involutiva.


7.1.12. Matriz nilpotente

Una matriz cuadrada A se dice nilpotente de ındice k si Ak = Θ; donde Θ es una matriz

nula; ademas Ak−1 6= Θ.


1 1 3

5 2 6

−2 −1 −3

. Veamos:

A2 = A.A =

1 1 3

5 2 6

−2 −1 −3

1 1 3

5 2 6

−2 −1 −3

=

0 0 0

3 3 9

−1 −1 −3

A3 = A.A =

1 1 3

5 2 6

−2 −1 −3

0 0 0

3 3 9

−1 −1 −3

=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Entonces A es una matriz nilpotente de ındice de nilpotencia 3.

7.1.13. Matriz idempotente

Una matriz cuadrada A se llama idempotente si y solo si A2 = A

Ejemplo 7.1.25. Veamos la matriz A =

(3 2

−3 −2

), donde:

A2 = A.A =

(3 2

−3 −2

)(3 2

−3 −2

)=

(3 2

−3 −2

), obteniendose que A2 = A

luego diremos que A es una matriz indepotente.

7.1.14. Matriz conjugada

Sean a y b numeros reales e i =√−1; la expresion z = a + bi representa un numero

conplejo. Los numeros complejos de la forma a + bi y a − bi se llaman conjugados y cada

uno de ellos es conjugado del otro. Si z = a + bi, su complejo conjugado se representa por

z = a+ bi.

Sean z1 = a+ bi y z2 = z1 = a− bi; entonces, z2 = z1 = a− bi = a+ bi, es decir, el conjugado

del conjugado de un numero complejo z es el mismo.

Si z1 = a+ bi y z2 = c+ di se tiene

z1+ z2 = (a+ c)+ (b+d)i y z1 + z2 = (a+ c)− (b+d)i = (a− bi)+ (c−di) = z1+ z2,

es decir, el conjugado de la suma de dos numeros complejos es igual a la suma de los

conjugados.


z1 ·z2 = (ac−bd)+(ad+bc)i y z1 · z2 = (ac−bd)−(ad+bc)i = (a−bi)(c−di) = z1 ·z2,esto es, el conjugado del producto de dos numeros complejos es igual al producto de los

conjugados.

Sea A una matriz cuyos elementos son numeros complejos; la matriz obtenida a partir

de A sustituyendo cada elemento por su conjugado se llama matriz conjugada de A y se

representa por A (conjugada de A).

Ejemplo 7.1.26. Si A =

[1 + 2i i

3 2− 3i

]sera A =

[1− 2i −i

3 2 + 3i

]

Sean A y B las matrices conjugadas, respectivamente de A y B, y k un escalar cualquiera;

entonces se tiene que:

Teorema 7.1.4.

(A) = A.

(kA) = k · A

(A+B) = A+B.

(AB) = A ·B.

(A)t = (At).

donde la transpuesta de A se denota por At(y se lee transpuesta de la conjugada de A).

Algunas veces se emplea la notacion A∗.

7.1.15. Matriz hermitiana

Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama hermitiana o hermıtica si dicha

matriz es igual a la transpuesta de su matriz conjugada, es decir:

una matriz cuadrada A es hermitiana si y solo si A = At. De donde se concluye que los

elementos de la diagonal principal son necesariamente reales.

Ejemplo 7.1.27. Sea la matriz: A =

(5 4 + i

4− i 1

)⇔ A =

(5 4− i

4 + i 1

)

(A)t =

(5 4 + i

4− 1 1

), como: (A)t = A ⇒ A es una matriz hermitiana.

Propiedades

Sea A = B + iC, donde A es hermitiana y B y C reales, entonces B es simetrica y C

antisimetrica.

En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales.


7.1.16. Matriz antihermitiana

Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama antihermitiana si es igual al

negativo de la transpuesta de su matriz conjugada. Es decir:

una matriz cuadrada A es antihermitiana si y solo si A = −At.

De donde se cuncluye que los elementos de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo 7.1.28. Sea A =

(0 4 + 5i

−4 + 5i 0

)⇒ A =

(0 4− 5i

−4− 5i 0

)

⇒ (A)t =

(0 −4− 5i

4− 5i 0

)= (−1)

(0 4 + 5i

−4 + 5i 0

)= −A

luego se dira que la matriz A es antihermitiana.

Teorema 7.1.5. Sea A una matriz cuadrada de elementos complejos.

A+ (A)t es hermitiana.

A− (A)t es antihermitiana.

Teorema 7.1.6. Toda matriz cuadrada de elementos complejos se puede escribir como la

adicion de una matriz hermitiana y otra antihermitiana.

7.1.17. Matriz ortogonal

Sea la matriz cuadrada An = [aij ]. A es ortogonal sı y solo si A−1 = At, A es no singular

Propiedades

A es ortogonal ⇔ AAt = In.

Si A y B son ortogonales ⇒ AB es ortogonal.

Las matrices ortogonales, representan transformaciones en espacios vectoriales reales llamadas

justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfimos internos

del espacio vectorial en cuestion. Suelen representar rotaciones y son usadas extensivamente

en computacion grafica. Por sus propiedades tambien son usadas para el estudio de ciertos

fibrados y en fısica se las usa en la formulacion de ciertas teorıas de campos.

7.1.18. Matriz positiva

Sea A ∈ Rn×n, A es positiva sı, y solo si XAtX > 0 ∀ X ∈ Rn , X 6= 0.


7.2. Determinantes


Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antesque las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos(Hui, Liu, Jiuzhang Suanshu o Los nueve capıtulos del arte matematico.) fueron los primerosen utilizar las tablas de numeros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conocecon el nombre de Eliminacion gaussiana.

Primeros calculos de determinantes

En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solucion de un sistemade ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardan en 1545 en su obraArs Magna presentado como una regla para la resolucion de sistemas de dos ecuaciones condos incognitas. Esta primera formula lleva el nombre de regula de modo.

El japones Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma epoca queel aleman LeibnizLa aparicion de determinantes de ordenes superiores tardo aun mas de cienanos en llegar. Curiosamente el japones Kowa Seki y el aleman Leibniz otorgaron los primerosejemplos casi simultaneamente.

Leibniz estudio los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de lanotacion matricial, representaba los coeficientes de las incognitas con una pareja de ındices:ası pues escribıa ij para representar ai,j . En 1678 se intereso por un sistema de tres ecuacionescon tres incognitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la formula de desarroyo a lo largo de unacolumna. El mismo ano, escribio un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en elsigno. Leibniz no publico este trabajo, que parecio quedar olvidado hasta que los resultadosfueron redescubiertos de forma independiente cincuenta anos mas tarde

En el mismo periodo, Kowa Seki publico un manuscrito sobre los determinantes, donde sehallan formulas generales difıciles de interpretar. Parece que se dan formulas correctas paradeterminantes de tamano 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes de tamanosuperior. El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de de Japon al mundoexterior. Este aislamiento debido a los shoguns, se ve reflejado en la expulsion de los Jesuitasen 1638.

Determinantes de cualquier dimension

Gabriel Cramer obtuvo las primeras formulas generales de calculo de los determinantes.En 1748, un postumo tratado de algebra de MacLaurin recupera la teorıa de los determinantesal contener la escritura correcta de la solucion de un sistema de cuatro ecuaciones con cuatroincognitas.

En 1750, Cramer formula las reglas generales que permiten la resolucion de un sistema de necuaciones con n incognitas, aunque no ofrece demostracion alguna. Los metodos de calculo delos determinantes son hasta entonces delicados debido a que se basan en la nocion de signaturade una permutacion.

Los matematicos se familiarizan con este nuevo objeto a traves de los artıculos de Bezouten 1764, de Vandermonde en 1771 (que proporciona concretamente el calculo del determinantede la actual Matriz de Vandermonde). En 1772, Laplace establece las reglas de recurrencia


que llevan su nombre. En el ano siguiente, Lagrange descubre la relacion entre el calculo delos determinantes y el de los volumenes.

Gauss utiliza por primera vez el termino (( determinante )), en las Disquisitiones arithmeti-cae en 1801. Lo empleaba para lo que hoy dıa denominamos discriminante de una cuadricay que es un caso particular de determinante moderno. Igualmente estuvo cerca de obtener elteorema del determinante de un producto.

Aparicion de la nocion moderna de determinante

Cauchy fue el primero en emplear el termino determinante con su significado moderno. Seencargo de realizar una sıntesis de los conocimientos anteriores y publico en 1812 la formuladel determinante de un producto. Ese mismo ano Binet ofrecio una demostracion para dichaformula. Paralelamente Cauchy establece las bases del estudio de la reduccion de endomorfis-mos.

Con la publicacion de sus tres tratados sobre determinantes en 1841 en la revista Crelle,Jacobi aporta a la nocion una gran notoriedad. Por primera vez presenta metodos sistematicosde calculo bajo una forma algorıtmica. Del mismo modo, hace posible la evaluacion del deter-minante de funciones con instauracion del jacobiano.

El cuadro matricial es introducido por los tabajos de Cayley y Sylvester. Cayley es ademasel inventor de la notacion del determinante mediante dos barras verticales y es quien estable-cio la formula de calculo de la inversa.

La teorıa se ve reforzada por el estudio de determinantes que poseen propiedades desimetrıa particular y por la introduccion del determinante en los nuevos campos de lasmatematicas, como es el caso del wronskiano en las ecuaciones diferenciales lineales.

Definicion 7.2.1. El determinante es una funcion que, aplicada a una matriz cuadrada, la

transforma en un escalar.

Notacion: Sea A una matriz cuadrada, el determinante de la matriz A se representa por |A|o det(A).

Sea Mn×n el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n; entonces la definicion queda

de la siguiente manera.

| | : Mn×n −→ R o C

A −→ |A|

Determinante de una matriz de orden uno

Se llama determinante de una matriz de primer orden, formada por el elemento a11, al

propio elemento a11.

Ejemplo 7.2.1. Sea: A = (3) ⇒ |A| = 3


Determinante de una matriz de orden dos

Sea la matriz A =

(a11 a12

a21 a22

)se define el determinante de A como:

|A| = a11 · a22 − a21 · a12


(3 2

1 4

)⇒ |A| = 3(4) − 2(1) = 10

Determinante de una matriz de orden tres

Sea: A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

se define el determinante de A como:

|A| = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13)− (a31 a22 a13 + a21 a12 a33 + a32 a23 a11)


1 2 3

−1 0 4

−2 1 5

⇒ |A| = (0− 16− 3)− (0− 10 + 4) = −13

7.2.2. Calculo de Determinantes por la Regla de Sarrus

Se aplica la matriz trasladando las dos primeras filas a la parte inferior y se aplican mul-

tiplicaciones en direcciones de las diagonales, conforme se indica.

Sea: A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

entonces:

a21 a22 a23

a11 a12 a13

a31 a32 a33

a21 a22 a23

a11 a12 a13

a11a22a33

a21a32a13

a31a12a23

a13a22a31

a23a32a11

a33a12a21

DI

=|A|

donde:

D = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23


I = a13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a33 a12 a21

por lo tanto

|A| = D − I

Ejemplo 7.2.4. Halle el determinante de: A =

1 2 3

−1 0 4

−2 1 5

Solucion:

−1 0 4

1 2 3

−2 1 5

−1 0 4

1 2 3

0

−3

−16

0

4

−10−19−6

=|A|

∴ |A| = (−19) − (−6) = −13

7.2.3. Propiedades Generales

1. Dada una matriz cuadrada A, se tiene que: |A| = |At|.

2. Dadas las matrices cuadradas A y B y del mismo orden se tiene que: |AB| = |A||B|.

3. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas, respectivamente proporcionales;

se dice entonces que su determinante es cero.

4. Si una matriz cuadrada A posee una fila o una columna de ceros, su determinante es

nulo.

5. Si se intercambian dos filas o columnas consecutivas de una matriz cuadrada, su deter-

minante solo cambia de signo.

6. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma una cierta cantidad de veces

otra fila o columna, entonces la matriz resultante tiene el mismo determinante.

7. Si todos los elementos de una fila o una columna se multiplican por un numero k, todo

el determinante queda multiplicado por dicho numero.


8. El determinante de una matriz diagonal, triangular inferior o triangular superior es igual

al producto de multiplicar los elementos de la diagonal principal.

9. El determinante de una matriz antisimetrica de orden impar es igual a cero.

10. El determinante de una matriz hermitiana es un numero real.

11. El determinante de una matriz ortogonal A es +1 o −1. En efecto, de las propiedades del

determinante tenemos det(A · At) = detA detAt = detA detA = (detA)2 = det I = 1,

y por tanto, detA = ±1.

12. Si A es una matriz nilpotente entonces |A| = 0. En efecto, si A es una matriz nilpotente

de orden k, Ak = 0. Por tanto |Ak| = 0, luego |A|k = 0, y en consecuencia |A| = 0.

13. Sea A una matriz de orden n; se cumple que: |kA| = kn|A|; k es una escalar.

14. El determinante de una matriz cuadrada no varıa si a una fila o una columna se le suma

una combinacion lineal de filas o columnas paralelas.

15. Si una fila o columna de la matriz cuadrada A es combinacion lineal de otras paralelas,

su determinante es nulo.

16. Si descomponemos una fila o una columna de una matriz cuadrada en suma de dos,

podemos descomponer el determinante en suma de dos determinantes de la forma:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n...

......

ai1 + a′i1 ai2 + a′i2 · · · ain + a′in...

......


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n...

......

ai1 ai2 · · · ain...

......


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n...

......

a′i1 a′i2 · · · a′in...

......


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Observacion 7.2.1. No confundir con det(A+B) = det(A)+det(B), que esto no se cumple.

Observacion 7.2.2. Teniendo en cuenta la definicion del determinante, se pueden considerar

dos matrices cuadradas especiales mas:

a) Matriz Singular. Una matriz es singular si su determinante es cero; es decir:

detA = 0⇐⇒ A es singular

b) Matriz Regular. Una matriz es regular llamada tambien no singular si su determinante

es diferente de cero; es decir:

detA 6= 0⇐⇒ A es no singular


Ejemplo 7.2.5.� Dada la matriz: A =

(3 4

6 8

)⇒ |A| = 24− 24 = 0

∴ A es singular� Dada la matriz: B =

(4 3

1 5

)⇒ |B| = 20− 3 = 17

∴ B es no singular

7.2.4. Menores complementarios y Cofactores

Considerese la matriz cuadrada de orden n.

A =

a11 a12 · · · a1j · · · a1n

a21 a22 · · · a2j · · · a2n...

ai1 ai2 · · · aij · · · ain...

an1 an2 · · · anj · · · ann

Denotaremos por Mij a la matriz cuadrada de orden (n − 1) que resulta de eliminar la fila i

y la columna j de la matriz A luego:

I. Al determinante de la matriz Mij (|Mij |) se le llamara menor complementario del ele-

mento aij de la matriz A.

II. Se define cofactor del elemento aij denotado por Aij.

Aij = (−1)i+j |Mij |

Ejemplo 7.2.6.

Sea la matriz A =

3 1 4

−1 2 −35√2 −2

el menor de 3 es:

∣∣∣∣∣2 −3√2 −2

∣∣∣∣∣ = −4 + 3√2

el menor de 5 es:

∣∣∣∣∣1 4

2 −3

∣∣∣∣∣ = −3− 8 = −11

el menor de 2 es:

∣∣∣∣∣3 4

5 −2

∣∣∣∣∣ = −6− 20 = −26

el menor de√2 es:

∣∣∣∣∣3 4

−1 3

∣∣∣∣∣ = −9 + 4 = −5


Nota:

1. La diferencia entre el menor |Mij | y el cofactor Aij de un elemento aij es solamanete el

signo.

Ası: Aij︸︷︷︸cofactor

= (−1)i+j |Mij |︸︷︷︸menor

, de donde:

Aij =

|Mij | si i+ j es par

−|Mij | si i+ j es impar

2. El signo que relaciona a Aij y |Mij | del elemento aijde la matriz A se puede hallar en

forma practica mediante el siguiente arreglo:

+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·...

......

Ası el signo de a35 es positivo puesto que (3 + 5) es par.

El signo del elemento a25 es negativo ya que (2 + 5) es impar.

7.2.5. Calculo de Determinantes por Cofactores

Teorema de Laplace:

El determinante de una matriz A = (aij)m×n es igual a la suma de los productos obtenidos

de multiplicar los elementos de cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores:

|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . .+ ainAin =n∑

j=1

aijAij

|A| = a1jA1j + a2jA2j + . . .+ anjAnj =n∑

i=1

aijAij

Ejemplo 7.2.7.

Calcular el determinate de:

A =

3 5 7

−2 0 4

1 −3 2

Solucion:

Elegimos la fila 2, entonces:


|A| = −(−2)∣∣∣∣∣5 7

−3 2

∣∣∣∣∣+ 0

∣∣∣∣∣3 7

1 2

∣∣∣∣∣− 4

∣∣∣∣∣3 5

1 −3

∣∣∣∣∣ ⇒ |A| = 2(10 + 21) + 0− 4(−9− 5)

∴ |A| = 118

Nota: Lo mas recomendable es escoger la fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros.

7.3. Otras matrices importantes

Matriz diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en

la diagonal principal, y estas pueden ser nulas o no.

Toda matriz diagonal es tambien una matriz simetrica, triangular (superior e inferior) y

(si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.

Operaciones matriciales

Las operaciones de suma y producto de matrices son especialmente sencillas para matrices

diagonales. Vamos a emplear aquı la notacion de diag(a1, . . . , an) para una matriz diagonal

que tiene las entradas a1, . . . , an en la diagonal principal, empezando en la esquina superior

izquierda. Entonces, para la suma se tiene:

diag(a1, . . . , an) + diag(b1, . . . , bn) = diag(a1 + b1, . . . , an + bn)

y para el producto de matrices,

diag(a1, . . . , an) · diag(b1, . . . , bn) = diag(a1b1, . . . , anbn)

La matriz diagonal diag(a1, . . . , an) es invertible si y solo si las entradas a1, . . . , an son todas

distintas de 0. En este caso, se tiene

diag(a1, . . . , an)−1 = diag(a−1

1 , . . . , a−1n )

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de n×n.

Multiplicar la matriz A por la izquierda con diag(a1, . . . , an) equivale a multiplicar la fila

i-esima de A por ai para todo i. Multiplicar la matriz A por la derecha con diag(a1, . . . , an)

equivale a multiplicar la columna i-esima de A por ai para todo i.

Usos

Las matrices diagonales tienen lugar en muchas areas del algebra lineal. Debido a la sen-

cillez de las operaciones con matrices diagonales y el calculo de su determinante y de sus

valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformacion

lineal como una matriz diagonal.

De hecho, una matriz dada de n × n es similar a una matriz diagonal si y solo si tiene n

autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.

En el cuerpo de los numeros reales o complejos existen mas propiedades: toda matriz

normal es similar a una matriz diagonal (teorema espectral) y toda matriz es equivalente a

una matriz diagonal con entradas no negativas.

Matriz banda

Una matriz cuadrada se le llama Matriz Banda cuando es una matriz donde los valores no

nulos son confinados en un entorno de la diagonal principal, formando una banda de valores

no nulos que completan la diagonal principal de la matriz y mas diagonales en cada uno de

sus costados.

Escrito formalmente, una matriz A = (ai,j)n×n es una matriz banda si todos sus elementos

son cero fuera de una zona diagonal cuyo rango se determina por las constantes k1 y k2:

ai,j = 0 si j < i− k1 o j > i+ k2; k1, k2 ≥ 0

Los valores k1 y k2 son el semiancho de banda izquierdo y derecho respectivamente. El ancho

de banda de una matriz es k1+k2+1, y se puede definir como el numero menor de diagonales

adyacentes con valores no nulos.

Una matriz banda con k1 = k2 = 0 es una matriz diagonal.

Una matriz banda con k1 = k2 = 1 es una matriz tridiagonal; cuando k1 = k2 = 2 se tiene

una matriz pentadiagonal y ası sucesivamente.

Una matriz banda con k1 = k2 = p, dependiendo del numero p, se le puede llamar matriz

p-banda, formalmente se puede definir como

ai,j = 0 si |i− j| > p ; p ≥ 0

De una matriz banda con k1 = 0, k2 = n − 1, se obtiene la definicion de una matriz

triangular inferior. De forma similar, para k1 = n − 1, k2 = 0, se obtiene la definicion de una

matriz triangular superior.


Matriz normal

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y solo si

A∗A = AA∗

donde A∗ es el conjugado transpuesto de A (tambien llamado hermitiano).


(−i −i−i i

)de orden 2 es normal, debido a que:

(−i −i−i i

)(−i −i−i i

)∗

=

(−i −i−i i

)(i i

i −i

)=

(2 0

0 2

)=

(i i

i −i

)(−i −i−i i

)=

(−i −i−i i

)∗(−i −i−i i

)

Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables.

Matriz definida positiva

Una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que es analoga a los numeros reales

positivos.

Definiciones equivalentes

Sea M una matriz hermitiana cuadrada n× n, se dice definida positiva si cumple con una

(y por lo tanto, las demas) de las siguientes formulaciones equivalentes:

1. Para todos los vectores no nulos z ∈ Cn tenemos que z∗Mz > 0.

Notese que z∗Mz es siempre real.

2. Todos los autovalores λi de M son positivos. (Recordamos que los autovalores de una

matriz hermitiana o en su defecto, simetrica, son reales.)

3. La funcion 〈x,y〉 = x∗My define un producto interno en Cn.

4. Todos los menores principales de M son positivos. O lo que es equivalente; todas las

siguientes matrices tienen determinantes positivo.

la superior izquierda de M de dimension 1× 1



· · · · · ·

la superior izquierda de M de dimension (M − 1)× (M − 1)

M en sı misma

Analogamente, si M es una matriz real simetrica, se reemplaza Cn por Rn, y la conjugada

transpuesta por la transpuesta.

Propiedades

Toda matriz definida positiva es inversible (su determinante es positivo), y su inversa es

definida positiva.

Si M es una matriz definida positiva y r > 0 es un numero real, entonces rM es definida

positiva.

SiM y N son matrices definidas positivas, entonces la sumaM+N , el productoMNM y

NMN son definidas positivas, ademas si MN = NM , entonces MN es tambien definida

positiva.

Toda matriz definida positiva M , tiene al menos una matriz raız cuadrada N tal que

N2 = M .

Observacion 7.3.1. La matriz hermitiana M se dice:

definida negativa si x∗Mx < 0 para todos los vectores x ∈ Kn no nulos.

semidefinida positiva si x∗Mx ≥ 0 para todo x ∈ Kn.

semidefinida negativa si x∗Mx ≤ 0 para todo x ∈ Kn.

Una matriz hermitiana se dice indefinida si no entra en ninguna de las clasificaciones

anteriores.

Observacion 7.3.2. Caso no hermitiano. Una matriz real M puede tener la propiedad

xTMx > 0 para todo vector real no nulo sin ser simetrica. La matriz

[1 1

0 1

]es un ejem-

plo. En general, tendremos xTMx > 0 para todo vector real no nulo x si y solo si la matriz

simetrica (M +MT )/2, es definida positiva.

Matriz permutacion

La matriz permutacion es la matriz cuadrada con todos sus n × n elementos iguales a 0,

excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1. De acuerdo a esta

definicion existen n! matrices de permutacion distintas, de las cuales una mitad corresponde

a matrices de permutacion par (con el determinante igual a 1) y la otra mitad a matrices de

permutacion impar (con el determinante igual a -1).


Para n = 3 se tiene:

Matrices de permutacion par:1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

Matrices de permutacion impar:

0 0 1

0 1 0

1 0 0

0 1 0

1 0 0

0 0 1

1 0 0

0 0 1

0 1 0

Puede notarse que las matrices de permutacion conforman un grupo de orden n! respecto

al producto.

Propiedades

El elemento neutro del grupo es la matriz identidad.

El elemento inverso de cada elemento del grupo de matrices de permutacion es la matriz

traspuesta correspondiente.

Cada elemento del grupo de matrices de permutacion es una matriz ortogonal.

El producto de matrices de permutacion par siempre genera una matriz de permutacion

par.

El producto de matrices de permutacion impar siempre genera una matriz de per-

mutacion par.

El producto de matrices de permutacion de paridad distinta siempre genera una matriz

de permutacion impar.

Observe que las matrices de permutacion par conforman un semigrupo y que ademas el

grupo de matrices de permutacion no es conmutativo.

Cada elemento del grupo de matrices de permutacion fuera del semigrupo es una matriz

simetrica.

Jacobiano

El jacobiano es una abreviacion de la matriz jacobiana y su determinante, el determinante

Jacobiano. Son llamados ası en honor al matematico Carl Gustav Jacobi.


La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden

de una funcion. Una de las aplicaciones mas interesantes de esta matriz es la posibilidad de

aproximar linealmente a la funcion en un punto. En este sentido, el Jacobiano representa la

derivada de una funcion multivariable.

Supongamos F : Rn −→ Rm es una funcion que va del espacio euclidiano n-dimensional

a otro espacio euclideano m-dimensional. Esta funcion esta determinada por m funciones

reales: y1(x1, . . . , xn), . . . , ym(x1, . . . , xn). Las derivadas parciales de estas (si existen) pueden

ser organizadas en una matriz m por n, la matriz Jacobiana de F :

∂y1∂x1

· · · ∂y1∂xn

.... . .

...∂ym∂x1

· · · ∂ym∂xn

Esta matriz es denotada por JF (x1, . . . , xn) o como∂(y1, . . . , ym)

∂(x1, . . . , xn).

Cuadrado latino

Un cuadrado latino es una matriz de n× n elementos, en la que cada casilla esta ocupada

por uno de los n sımbolos de tal modo que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en

cada columna y en cada fila.

Las siguientes matrices son cuadrados latinos:

1 2 3

2 3 1

3 1 2

a b d c

b c a d

c d b a

d a c b

Los cuadrados latinos se dan como una Tabla de multiplicar (Tabla Cayley) de quasigrupos.

Estos tienen su aplicacion en el diseno de experimentos.

El nombre de Cuadrados Latinos se origina con Leonhard Euler quien utilizo caracteres

Latinos como sımbolos.

Un cuadrado latino se dice que esta reducido (o normalizado o de forma estandarizada) si

la primera fila y la primera columna estan en orden natural. Por ejemplo, el primer cuadrado

esta reducido, porque la primera fila y la primera columna son 1, 2, 3.

Es posible hacer un cuadrado latino permutando (reordenando) las filas y las columnas.

Representacion por un Arreglo Ortogonal

Si cada entrada de un cuadrado latino de n × n se escribe como una tripleta (f, c, s)

donde f es la fila, c la columna y s el sımbolo (para nuestro caso un numero), obtenemos n2


tripletas llamado arreglo ortogonal del cuadrado. Por ejemplo, para el primer cuadrado latino

de nuestros ejemplos, el arreglo ortogonal sera ası

{(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 3, 2)}

donde, por ejemplo, la tripleta (2,3,1) representa que el valor en la fila 2 columna 3 es 1.

La representacion de un cuadrado latino puede ser escrita en terminos del arreglo ortogonal

quedando ası:

Existen n2 tripletas de la forma (f, c, s), donde 1 ≤ f, c, s ≤ n.

Todos los pares (f, c) son diferentes, todos los pares (f, s) son diferentes, y todos los

pares (c, s) son diferentes.

La representacion por arreglos ortogonales muestra que las filas, columnas y sımbolos juegan

un papel muy similar, esto estara un poco mas claro conforme nos adentremos en el tema.

Muchas operaciones sobre un Cuadrado latino produce otro Cuadrado latino (por ejemplo,

alternar filas).

Si permutamos las filas, permutamos las columnas, y permutamos los sımbolos de un

Cuadrado latino obtenemos un nuevo Cuadrado latino que decimos que es isotopico del

primero. El isotopismo es una relacion de equivalencia, en base a esto se dice que todos

los Cuadrados latinos estan divididos en subgrupos, llamados clases isotopicas, segun esto dos

Cuadrados de la misma clase se dice que son isotopicos, y dos de clases diferentes son no

isotopicos.

Otro tipo de operacion es simple de explicar usando la representacion de estos por arreglos

ortogonales. Si reorganizamos consciente y sistematicamente los tres elementos de cada tripleta

(f, c, s) por (c, f, s) lo cual corresponde a una transposicion del cuadrado (reflejado en la

diagonal principal), o podemos remplazar cada tripleta (f, c, s) por (c, s, f), lo que es una

operacion mas complicada. Todas juntas nos dan 6 posibilidades, incluida no hacer nada,

dandonos 6 Cuadrados Latinos llamados conjugados del cuadrado original.

Finalmente, podemos combinar estas dos operaciones equivalentes: Dos Cuadrados Latinos

son paratopicos si uno de ellos es conjugado del otro. Esto es nuevamente una relacion de

equivalencia, con la clase de equivalencia principal llamada Clase Principal, especies o clase

paratopica. Cada clase contiene 6 clases isotopicas.

El popular rompecabezas Sudoku es un caso especial de Cuadrados Latinos; toda solucion

de un Sudoku es un Cuadrado Latino. Un Sudoku impone una restriccion adicional a los

subgrupos de 3× 3, estos solo deben contener los dıgitos del 1 al 9 (en la version estandar).

El rompecabezas conocido como Diamante 16 ilustra un concepto generalizado de la or-

togonalidad de los Cuadrados Latinos: El Cuadrado Ortogonal (A. E. Brouwer, 1991).


7.4. Operaciones Elementales

Se llaman operaciones elementales o transformaciones elementales por filas o columnas

sobre una matriz a las siguientes operaciones:

Operaciones elementales con filas

Dada la matriz A ∈ Mm×n, cuyas filas son F1, F2, . . . , Fm. Las operaciones elementales

con filas son:

FijA : Intercambia dos filas de A.

Fi(λ) : Multiplica la fila Fi de A por un escalar λ 6= 0.

F ji (λ) : Multiplica la fila Fi de A por un escalar λ 6= 0 y luego suma a la fila Fj . Esta

operacion se representa por el vector fila λFi + Fj .

Operaciones elementales con columnas

Dada la matriz A ∈ Mm×n, cuyas columnas son C1, C2, . . . , Cm. Las operaciones elemen-

tales con columnas son:

CijA : Intercambia dos columnas de A.

Ci(λ) : Multiplica la columna Ci de A por un escalar λ 6= 0.

Cji (λ) : Multiplica la columna Ci de A por un escalar λ 6= 0 y luego suma a la columna

Cj. Esta operacion se representa por el vector columna λCi + Cj .

Ejemplo 7.4.1. Sea la matriz A =

3 −1 9 2

−2 −5 1 −14 7 −8 0

, realicemos las siguientes opera-

ciones:

3 −1 9 2

−2 −5 1 −14 7 −8 0

F12−−−−−−−−→

−2 −5 1 −13 −1 9 2

4 7 −8 0

3 −1 9 2

−2 −5 1 −14 7 −8 0

C24−−−−−−−−→

3 2 9 −1−2 −1 1 −54 0 −8 7

3 −1 9 2

−2 −5 1 −14 7 −8 0

F2(5)−−−−−−−−−→

3 −1 9 2

−10 −25 5 −54 7 −8 0


3 −1 9 2

−2 −5 1 −14 7 −8 0

C3(−2)−−−−−−−−−−→

3 −1 −18 2

−2 −5 −2 −14 7 16 0

3 −1 9 2

−2 −5 1 −14 7 −8 0

F 31 (−2)−−−−−−−−−−→

3 −1 9 2

−2 −5 1 −1−2 9 −26 −4

3 −1 9 2

−2 −5 1 −14 7 −8 0

C23 (10)−−−−−−−−−−→

3 89 9 2

−2 45 1 −14 −73 −8 0

7.4.1. Matriz escalonada

Una matriz A ∈ Mm×n, de la forma:

A =

1 a12 a13 a14 a15 · · · a1n

0 0 1 a24 a25 · · · a2n

0 0 0 0 1 · · · a3n

0 0 0 0 0 · · · 0...

......

...... · · · ...

0 0 0 0 0 · · · 0

con r filas no nulas y s filas nulas. Llamaremos pivote de una fila (o columna) de A al primer

elemento no nulo de dicha fila (o columna), si lo hay. La matriz A se dice que es escalonada

por filas si verifica las siguientes condiciones:

Todas las filas nulas estan en la parte inferior de la matriz.

El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, esta a la derecha del pivote de

la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).

Ademas se dice que es escalonada reducida por filas si cumplen las siguientes condiciones:

El pivote de cada fila no nula es 1.

En cada fila, el pivote es el unico elemento no nulo de su columna

De igual forma se puede definir la matriz escalonada y escalonada reducida por columnas.

Ejemplo 7.4.2. Matrices escalonadas:1 −3 2 5

0 1 −7 4

0 0 1 10

,

1 2 0

0 1 −10 0 0

,

0 1 2 5 −70 0 1 −7 2

0 0 0 0 1


Ejemplo 7.4.3. Matrices escalonadas reducidas:

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

,

1 0 0

0 1 0

0 0 0

,

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1

Observacion 7.4.1.

Toda matriz puede llevarse por operaciones elementales de filas a la forma escalonada.

El algoritmo para hacerlo se llama metodo de Gauss o del pivote.

La forma escalonada de una matriz no es unica.

7.4.2. Matrices equivalentes

Dos matrices A y B se denominan equivalentes si una de ellas se deduce de la otra mediante

una susecion finita de transformaciones elementales de lınea (fila o columna).

El siguiente ejemplo nos muestra que toda matriz de orden m×n puede ser reducida mediante

operaciones elementales fila (columna) a una matriz en forma escalonada por filas (columnas).

Ejemplo 7.4.4. Reducir a la forma escalonada por filas la matriz: A =

2 5 3

1 2 2

3 4 1

2 3 2

Solucion

A =

2 5 3

1 2 2

3 4 1

2 3 2

F12−−−−→

1 2 2

2 5 3

3 4 1

2 3 2

F 21 (−2)−−−−−−→

1 2 2

0 1 −13 4 1

2 3 2

F 31 (−3)−−−−−−→

1 2 2

0 1 −10 −2 −52 3 2

F 41 (−2)−−−−−→

1 2 2

0 1 −10 −2 −50 −1 −2

F 32 (2)−−−−−→

1 2 2

0 1 −10 0 −70 −1 −2

F 42 (1)−−−−−→

1 2 2

0 1 −10 0 −70 0 −3

F3(−1/7)−−−−−−−→

1 2 2

0 1 −10 0 1

0 0 −3

F 43 (3)−−−−−→

1 2 2

0 1 −10 0 1

0 0 0

= B

Observacion 7.4.2. Una matriz cuadrada A ∈ Mn×n escalonada es una matriz triangular

superior, pero no todas las matrices triangulares superiores son matrices escalonadas.


Anteriormente hemos visto que una matriz triangular era inversible si y solo si todos los

terminos de la diagonal principal no son cero; esta caracterıstica es tambien valida para las

matrices escalonadas cuadradas.

Veremos a continuacion las ventajas que ofrece la reduccion de una matriz cuadrada en otra

que tenga forma escalonada.

7.4.3. Rango de una matriz

El rango de una matriz es el mayor de los ordenes de los menores no nulos que podemos

encontrar en la matriz. Por tanto, el rango no puede ser mayor al numero de filas o de columnas.

Tambien se define el rango de una matriz como el numero maximo de filas (o columnas)

linealmente independientes. esta segunda definicion nos va a permitir relacionar el concepto

de rango con conceptos relativos a espacios vectoriales.

El calculo del rango de una matriz es una cuestion importante a la hora de estudiar sistemas

de ecuaciones lineales. Ademas en teorıa de control, el rango de una matriz se puede usar para

determinar si un sistema lineal es controlable u observable.

A continuacion vamos a explicar como calcular rangos de matrices reales y veremos de que

modo podemos utilizar esta informacion para aplicarla a los espacios vectoriales.

Definicion 7.4.1. El rango de una matriz es igual al numero de filas no nulas que quedan en

la ultima interacion de las sucesivas transformaciones elementales que se hacen con la matriz.

Se deduce que para hallar el rango de una matriz es suficiente transformarla a su forma

escalonada. Como dos matrices equivalentes tienen el mismo rango, el rango de dicha matriz

sera igual al rango de la matriz escalonada. Si designamos por r el numero de filas no nulas

de la matriz escalonada, entonces el rango de la matriz se denota:

ρ(A) = r

Ejemplo 7.4.5. Hallar el rango de la matriz A =

0 2 −41 4 −53 1 7

0 1 −22 3 0

Solucion: Realizando sucesivamente las transformaciones elementales tendremos:

A =

0 2 −41 4 −53 1 7

0 1 −22 3 0

F12−−−−→

1 4 −50 2 −43 1 7

0 1 −22 3 0

F 31 (−3) y F 5

1 (−2)−−−−−−−−−−−−−−→

1 4 −50 2 −40 −11 22

0 1 −20 −5 10


F2(1/2)−−−−−−→

1 4 −50 1 −20 −11 22

0 1 −20 −5 10

F 32 (11) , F 5

2 (5) , F 42 (−1)−−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 4 −50 1 −20 0 0

0 0 0

0 0 0

= B

La ultima matriz escalonada B tiene 2 filas no nulas, luego:

ρ(B) = ρ(A) = 2

Ejemplo 7.4.6. Hallar el rango de la matriz A =

25 31 17 43

75 94 53 132

75 94 54 134

25 32 20 48

Solucion: Por el metodo de las transformaciones elementales se tiene:

25 31 17 43

75 94 53 132

75 94 54 134

25 32 20 48

≈

25 31 17 43

0 1 2 3

0 1 3 5

0 1 3 5

≈

25 31 17 43

0 1 2 3

0 0 1 2

0 0 1 2

≈

25 31 17 43

0 1 2 3

0 0 1 2

0 0 0 0

La ultima matriz escalonada tiene tres filas no nulas, por tanto

ρ(A) = 3

7.5. Matriz Inversa

Si A ∈ Mn×n, se dice que A es invertible o tiene inversa si existe una matriz B ∈ Mn×n

tal que AB = BA = I. La matriz B recibe el nombre de matriz inversa de A y se denota por

A = B−1, analogamente la matriz A es la inversa de B y se expresa por A = B−1. Entonces

se tiene:

AA−1 = A−1A = I (7.2)

Propiedades:

Si A y B son matrices cuadradas invertibles de orden n, entonces:

⊲ (A−1)−1 = A

⊲ (λA)−1 = λ−1 ·A−1; λ es escalar.

⊲ (AB)−1 = B−1A−1


⊲ (At)−1 = (A−1)t

Teorema 7.5.1. Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si es una matriz no singular, en

tal caso se dice que la matriz es invertible.

Teorema 7.5.2. Si una matriz cuadrada A es invertible entonces su inversa es unica.

Demostracion. Supongamos que B y C son dos matrices inversas de A. Debemos probar que

B = C.

En efecto. Si B es matriz inversa de A entonces AB = BA = I, ademas C es matriz inversa

de A entonces AC = CA = I. Tambien se cumple por la ley asociativa de la multiplicacion de

matrices que B(AC) = (BA)C. Entonces:

B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C

de donde se obtiene que B = C.

7.5.1. Matriz de cofactores

Sea la matriz

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a1n...

......

. . ....


Si Aij es el cofactor del elemento aij , entonces la matriz cofact(A) definida como:

cofact(A) =

A11 A12 A13 · · · A1n

A21 A22 A23 · · · A1n

......

.... . .

...

An1 An2 An3 · · · Ann

se le conoce como matriz de cofactores, donde:

Aij = (−1)i+j |Mij |

y Mij es la matriz cuadrada de orden (n − 1) que resulta de eliminar la fila i y la columna j

de la matriz A

Ejemplo 7.5.1. Dada la matriz: A =

1 2 3

3 2 5

−1 4 −3

. Hallar la matriz cofact(A)

Solucion


A11 = (−1)1+1

[2 5

4 −3

]= −26

A12 = (−1)1+2

[3 5

−1 −3

]= 4

A13 = (−1)1+3

[3 2

−1 4

]= 14

A21 = (−1)2+1

[2 3

4 −3

]= 18

A22 = (−1)2+2

[1 3

−1 −3

]= 0

A23 = (−1)2+3

[1 2

−1 4

]= −6

A31 = (−1)3+1

[2 3

2 5

]= 4

A32 = (−1)3+2

[1 3

3 5

]= 4

A33 = (−1)3+3

[1 2

3 2

]= −4

luego la matriz de cofactores es: cofact(A) =

−26 4 14

18 0 −64 4 −4

7.5.2. Adjunta de una matriz

La Adjunta de una matriz cuadrada A es la traspuesta de la matriz que se obtiene al

sustituir cada elemento aij por su cofactor Aij .

La Adjunta de A se denota por: Adj(A).

Adj(A) = [cofact(A)]t

Ejemplo 7.5.2. Sea la matriz: A =

1 2 3

3 2 5

−1 4 −3

Solucion

Por el ejemplo anterior se tiene que la matriz de cofactores esta dada por:

cofac(A) =

−26 4 14

18 0 −64 4 −4

entonces la adjunta de A estarıa dada por:

Adj(A) =

−26 18 4

4 0 4

14 −6 −4

(7.3)


Teorema 7.5.3. Sea A una matriz invertible, entonces la matriz inversa esta dada por:

A−1 =Adj(A)

|A| (7.4)

y la adjunta de una matriz estarıa por:

Adj(A) = |A|A−1 (7.5)

Ejemplo 7.5.3. Hallar la matriz inversa de A =

1 2 3

3 2 5

−1 4 −3

De (7.3) se tiene que: AdjA =

−26 18 4

4 0 4

14 −6 −4

.

Ademas

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3

3 2 5

−1 4 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣= 24, de donde:

A−1 =1

24

−26 18 4

4 0 4

14 −6 −4

7.5.3. Matrices elementales

Una matriz cuadrada E de orden n × n se llama matriz elemental si se puede obtener

a partir de la matriz identidad, In, de orden n× n mediante una sola operacion fundamental

con filas.

Notacion: Una matriz elemental se denota por E, o por Fij , λFi, Fj + λFi segun la

forma en que se obtuvo de I.

Ejemplo 7.5.4. Veamos tres matrices elementales

Matriz obtenida multiplicando la segunda fila de I por 5.1 0 0

0 1 0

0 0 1

F2(5)−−−−−→

1 0 0

0 5 0

0 0 1

= 5F2

Matriz obtenida multiplicando la primera fila de I por −3 y sumandola a la tercera fila.

1 0 0

0 1 0

0 0 1

F 31 (−3)−−−−−−→

1 0 0

0 1 0

−3 0 1

= F3 − 3F1


Matriz obtenida intercambiando la segunda y tercera fila de I.

1 0 0

0 1 0

0 0 1

F23−−−−→

1 0 0

0 0 1

0 1 0

= F23

Considere los siguientes tres productos, con λ 6= 0

1 0 0

0 λ 0

0 0 1

1 0 0

0 1/λ 0

0 0 1

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(7.6)

1 0 0

0 1 0

λ 0 1

1 0 0

0 1 0

−λ 0 1

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(7.7)

1 0 0

0 0 1

0 1 0

1 0 0

0 0 1

0 1 0

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(7.8)

Las ecuaciones 7.6, 7.7 y 7.8 sugieren que toda matriz elemental es invertible y que su

inversa es del mismo tipo (vea tabla 7.1).

Matriz ele-

mental tipo

E

Muliplicar

A por la

izquierda

Representacion

simbolica

Multiplicar

por la

izquierda,

E−1

Representacion

simbolica

Multiplicacion

Multiplique la

fila i de A por

λ 6= 0

λFi

Multiplique la

fila i de A por

1/λ

1

λFi

Suma

Multiplique la

fila i de A por λ

y sume a la fila

j

Fj + λFi

Multiplique la

fila i de A por

−λ y sume a la

fila j

Fj − λFi

PermutacionIntercambie las

filas i y jFij

Intercambie las

filas i y jFij

Cuadro 7.1: Matrices elementales

Teorema 7.5.4. Toda matriz elemental es invertible. El inverso de una matriz elemental es

una matriz del mismo tipo.

Nota: El inverso de una matriz elemental se puede encontrar por inspeccion. No es nece-

sario hacer calculos.


Teorema 7.5.5. Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matrices

elementales.

Ejemplo 7.5.5. Verificar que la matriz A =

2 4 6

4 5 6

3 1 −2

es invertible y expresarla como un

producto de matrices elementales.

7.5.4. Metodo de Gauss Jordan

El metodo de Gauss Jordan consiste en lo siguiente:� Dada la matriz cuadrada A de orden n× n, se construye la matriz rectangular de orden

n× 2n llamada matriz aumentada (A | I).� Se utiliza las transformaciones elementales por filas para poner la matriz A a su forma

escalonada reducida, obteniendose la matriz (I |B).� La matriz inversa en este caso es B = A−1.

Observacion 7.5.1. Si uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz escalonada

reducida E en (E |B) es cero, entonces la matriz A no es invertible

Ejemplo 7.5.6. Determinar si la matriz A =

2 4 6

4 5 6

3 1 −2

es invertible. Si ası lo fuera,

calcular su inversa.

Solucion

Primero efectuamos las operaciones con filas para reducir A a una matriz escalonada E. Para

ello formamos la matriz (A | I).

(A|I) =

2 4 6 | 1 0 0

4 5 6 | 0 1 0

3 1 −2 | 0 0 1

=

1 2 3 | 12 0 0

4 5 6 | 0 1 0

3 1 −2 | 0 0 1

=

1 2 3 | 12 0 0

0 −3 −6 | −2 1 0

0 −5 −11 | −32 0 1

=

1 2 3 | 1

2 0 0

0 1 2 | 23 −1

3 0

0 −5 −11 | −32 0 1

=

1 0 −1 | −5

623 0

0 1 2 | 23 −1

3 0

0 0 −1 | 116 −5

3 1

=

1 0 −1 | −56

23 0

0 1 2 | 23 −1

3 0

0 0 1 | −116

53 −1

=

1 0 0 | −83

73 −1

0 1 0 | 133 −11

3 2

0 0 1 | −116

53 −1

= (I|B)


como A se redujo a I, se tiene que:

B = A−1 =

−83

73 −1

133 −11

3 2

−116

53 −1

=

1

6

−16 14 −626 −22 12

−11 10 −6

7.6. Criptografıa

7.6.1. Introduccion

La criptografıa es la ciencia que se encarga de disenar metodos para mantener confidencial

a la informacion que es enviada por un medio inseguro.

Casi todos los medios de comunicacion son inseguros, es decir, un espıa siempre puede

intervenir una comunicacion, y en tal caso conocer su contenido, alterar el contenido, borrar

el contenido, etc.

La criptografıa entonces usa un algoritmo de cifrado con una clave. Para que el emisor de

un mensaje pueda estar seguro que este sea confidencial, y solo el receptor autorizado pueda

saber en contenido aplicando un metodo de descifrado con su respectiva clave.

La criptografıa tiene una amplia historia, ha existido desde los inicios de la civilizacion.

7.6.2. Sistema Criptografico usando Matrices

Sea A una matriz invertible n×n, y M un mensaje con forma de matriz n×m. Entonces,

C = AM es el mensaje cifrado. Para poder descifrar el mensaje solo multiplicamos por la

matriz inversa A−1 a C para obtener el mensaje original.

A−1C = A−1AM = IM = M

Ejemplo 7.6.1. Proceso de preparacion. Para cifrar un mensaje se hace lo siguiente: si el

mensaje original es “CULTURA PAZ Y EDUCACION”

El primer paso es codificar el mensaje con numeros de acuerdo a la siguiente tabla:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

– A B C D E F G H I J K L M N N O P Q R S

21 22 23 24 25 26 27

T U V W X Y Z

De tal forma que el mensaje queda codificado como:

C U L T U R A – P A Z – E D U C A C I O N

3 22 12 21 22 19 1 0 17 1 27 0 5 4 22 3 1 3 9 16 14


Ejemplo 7.6.2. Sean: A =

[−2 3

−1 1

], C =

[−45 39 47 3 19 −15 −11−23 9 14 1 0 −8 −6

]

El mensaje M fue cifrado con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encuentre el

mensaje M

Solucion:

Como A =

[−2 3

−1 1

], entonces A−1 =

[1 −31 −2

], ahora como M = A−1C se tiene que:

M =

[1 −31 −2

] [−45 39 47 3 19 −15 −11−23 9 14 1 0 −8 −6

]=

[24 12 5 0 19 9 7

1 21 19 1 19 1 1

]

luego el mensaje se lee de la siguiente manera:

24 1 12 21 5 19 0 1 19 19 9 1 7 1

por lo tanto el messaje M sera: WALTER–ARRIAGA

7.7. Sistemas de Ecuaciones Lineales


La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracter-izo por la invencion gradual de sımbolos y la resolucion de ecuaciones. Dentro de esta faseencontramos un algebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada algebra geometrica,rica en metodos geometricos para resolver ecuaciones algebraicas.

La introduccion de la notacion simbolica asociada a Viete (1540-1603), marca el inicio deuna nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollode dicha notacion. En este momento, el algebra se convierte en la ciencia de los calculossimbolicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teorıade los “calculos con cantidades de distintas clases” (calculos con numeros racionales enteros,fracciones ordinarias, raıces cuadradas y cubicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).

Para llegar al actual proceso de resolucion de la ecuacion ax+ b = c han pasado mas de3.000 anos.

Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid −1,650 a.c. y el deMoscu −1,850 a.c.) multitud de problemas matematicos resueltos. La mayorıa de ellos son detipo aritmetico y respondıan a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encon-tramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningun objetoconcreto. En estos, de una forma retorica, obtenıan una solucion realizando operaciones conlos datos de forma analoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.

Las ecuaciones mas utilizadas por los egipcios eran de la forma:x+ ax = bx+ ax+ bx = 0donde a, b y c eran numeros conocidos y x la incognita que ellos denominaban aha o monton.

Una ecuacion lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente:

“Un monton y un septimo del mismo es igual a 24”.


En notacion moderna, la ecuacion serıa: x+1

7x = 24.

La solucion la obtenıan por un metodo que hoy conocemos con el nombre de “metodode la falsa posicion” o “regula falsi”. Consiste en tomar un valor concreto para la incognita,probamos con el y si se verifica la igualdad ya tenemos la solucion, si no, mediante calculosobtendremos la solucion exacta.

Los babilonios (el mayor numero de documentos corresponde al periodo 600 a.c. a 300d.c.) casi no le prestaron atencion a las ecuaciones lineales, quizas por considerarlas demasiadoelementales, y trabajaron mas los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundogrado. Los babilonios llamaban a las incognitas con palabras tales como longitud, anchura,area, o volumen , sin que tuvieran relacion con problemas de medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla babilonica plantea la resolucion de un sistema deecuaciones en los siguientes terminos:1/4anchura + longitud = 7manoslongitud+ anchura = 10manos

Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solucionpodıa ser: anchura = 20, longitud = 30. Para comprobarlo utilizaban un metodo parecido alde eliminacion. En nuestra notacion, serıa:y + 4x = 28y + x = 10

restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18, es decir, x = 6 e y = 4.

Tambien resolvıan sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadratica.

Los matematicos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuandoa Diophante (250 d.c.), no se dedicaron mucho al algebra, pues su preocupacion era comohemos visto, mayor por la geometrıa. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VIun epigrama algebraico que constituye una ecuacion lineal y dice:

“Transeunte, esta es la tumba de Diophante: es el quien con esta sorprendente dis-tribucion te dice el numero de anos que vivio. Su juventud ocupo su sexta parte,despues durante la doceava parte su mejilla se cubrio con el primer vello. Paso aununa septima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco anos despues, tuvo unprecioso nino que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, perecio deuna muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorandole durante cuatroanos. De todo esto, deduce su edad.”

Los griegos resolvıan algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando metodos geometricos.Thymaridas (400 a.c.) habıa encontrado una formula para resolver un determinado sistemade n ecuaciones con n incognitas. Diophante resuelve tambien problemas en los que aparecıansistemas de ecuaciones, pero transformandolos en una ecuacion lineal.

Diophante solo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver prob-lemas y no ecuaciones. Utilizo ya un algebra sincopada como hemos senalado anteriormente.Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolucion de ecuaciones porDiophante es que carece de un metodo general y utiliza en cada problema metodos a vecesexcesivamente ingeniosos.

Los sistemas de ecuaciones aparecen tambien en los documentos indios. No obstante, nollegan a obtener metodos generales de resolucion, sino que resuelven tipos especiales de ecua-ciones.

El libro El arte matematico, de autor chino desconocido (siglo III a.c.), contiene algunosproblemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del metodo de las


matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale aresolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho metodo matricial.

Los primeros documentos matematicos que existen (datan del siglo III d.c.) son los Sul-vasutras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos. Enestos aparece el siguiente problema:

“Hallar el lado de un rectangulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su area es igualal area de un cuadrado dado.”

Lo resolvıan utilizando el metodo de la falsa posicion, como los egipcios.Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, como resolver

ecuaciones lineales. La incognita la representaba por la abreviatura ya , y las operaciones conla primera sılaba de las palabras.

Dada la ecuacion ax+ b = cx + d, la solucion vendra dada dividiendo la diferencia de losterminos conocidos entre la diferencia de los coeficientes de los desconocidos, esto es,

x =d− b

a− c

Estos metodos pasaron a los arabes que los extendieron por Europa. Al algebrista Abu-Kamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la solucion de ecuaciones linealespor simple y doble falsa posicion.

7.7.2. Introduccion

El objetivo general de este tema es discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales,

haciendo abstraccion del tipo de problemas que origina su planteamiento.

Discutir un sistema consiste en averiguar si tiene o no tiene solucion y, caso de tenerla,

saber si es unica o si no lo es.

Resolver un sistema es calcular su solucion (o soluciones). Los casos mas sencillos (2 ecua-

ciones con 2 incognitas, 3 ecuaciones con 3 incognitas ...) ya se han estudiado en cursos

anteriores. Aquı, an alizaremos el caso general: cualquier numero de ecuaciones y cualquier

numero de incognitas.

Definicion 7.7.1. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas es un conjunto de

expresiones algebraicas de la forma:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...

......

......

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

(7.9)

donde:

xj son las incognitas, (j = 1, 2, . . . , n).

aij son los coeficientes, (i = 1, 2, . . . ,m), (j = 1, 2, . . . , n).


bi son los terminos independientes, (i = 1, 2, . . . ,m).

Cuando n es pequeno, es usual designar a las incognitas con las letras x, y, z, t, . . . Observese

que el numero de ecuaciones no tiene por que ser igual al numero de incognitas. Cuando bi = 0

para todo i, el sistema se llama homogeneo.

Ejemplo 7.7.1. El sistema de ecuaciones

2x+ y − z = 4

x+ y + z = 6

3x− y = 4

se verifica para x = 2, y = 2, z = 2.

7.7.3. Clasificacion de los sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales de acuerdo a su posibilidad de solucion pueden ser:

I. Sistema Compatible: Es aquel sistema de ecuaciones que si admite soluciones. Estas a su

vez pueden ser:

a. Sistema Compatible Determinado: Si tienen un numero limitado de soluciones.

b. Sistema Compatible Indeterminado: Si tienen infinitas soluciones.

II. Sistema Incompatible: Es aquel sistema de ecuaciones que no admite solucion alguna.

Ejemplo 7.7.2.

El sistema

x+ 3y = 10

3x+ y = 6, es compatible. Su solucion es {1, 3} y es determinado por

que solo tienen una solucion.

El sistema

x+ 3y = 7

x+ 3y = 10, es incompatible, por que no hay ningun par de valores que

verifiquen las ecuaciones.

El sistema

x− y = 6

3x− 3y = 18, es compatible indeterminado por que tiene infinitas solu-

ciones. {0, 6}, {1, 5}, {1, 7}, {2, 4}, · · · · · · .

Notacion: El sistema de ecuaciones (7.9) se puede escribir en forma matricial de la siguiente

manera:

A.X = B (7.10)


donde: A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

am1 am2 . . . amn

, X =

x1

x2...

xn

y B =

b1

b2...

bm

Si en el sistema (7.9) consideramos las siguientes matrices:

A1 =

a11

a21...

am1

, A2 =

a12

a22...

am2

, . . . . . ., An =

a1n

a2n...

amn

, B =

b1

b2...

bm

.

El sistema se escribira en forma vectorial de la siguiente manera:

A1.X1 +A2.X2 + · · ·+An.Xn = B (7.11)

En esta notacion, las soluciones de un sistema son los elementos de la forma:

S = (s1, s2, . . . , sn) ∈ Rn

y se verifica la siguiente relacion: A1.s1 +A2.s2 + · · · +An.sn = B

Ejemplo 7.7.3. Consideremos el sistema de ecuaciones lineales:

2x− y + z = 6

x+ 4y − 2z = 0

3x− 5y + z = 4

tenemos que A =

2 −1 1

1 4 −23 −5 1

es la matriz de coeficientes de orden 3 × 3; y la matriz

A =

2 −1 1 6

1 4 −2 0

3 −5 1 4

es la matriz ampliada de orden 3× 4.

El sistema se puede escribir de las siguientes formas:

Forma matricial:

2 −1 1

1 4 −23 −5 1

x

y

z

=

6

0

4

Forma vectorial:

2

1

3

x+

−14

−5

y +

1

−21

z =

6

0

4


7.7.4. Sistemas Equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si toda solucion del primero es solucion del

segundo y viceversa. (No es necesario que tengan el mismo numero de ecuaciones).

Ejemplo 7.7.4. Los sistemas:

x+ 3y = 6

2x− y = 5

x− y = 2

y

x+ 3y = 6

3x− 2y = 7son equivalentes.

Ambos son compatibles determinados y su solucion es: x = 3, y = 1.

Definicion 7.7.2. En un sistema de ecuaciones lineales, una ecuacion es combinacion lineal

de las ecuaciones del sistema, si se obtiene como resultado de sumar las ecuaciones del mismo

previamente multiplicadas por un numero real.

A continuacion veamos el Teorema fundamental de equivalencia.

Teorema 7.7.1. Si en un sistema de ecuaciones lineales se sustituye la ecuacion i-esima por

una combinacion lineal de dicha ecuacion y las demas ecuaciones del sistema (siempre que el

coeficiente que multiplique a la ecuacion i-esima sea distinto de cero), el sistema resultante es

equivalente al primero.

7.7.5. Metodo de Gauss-Jordan. Eliminacion Gausiana

Es el metodo de resolucion de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un

sistema escalonado transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas.

Ejemplo 7.7.5. Resolver el sistema

x+ y − z = 1

2x+ 3y + z = 3

5x− y + 2z = 2

Solucion

Consideramos la matriz aumentada o ampliada asociada al sistema, separando un poco la

columna de los terminos independientes:

1 1 −1 1

2 3 1 3

5 −1 2 2

=

1 1 −1 1

0 1 3 1

0 −6 7 −3

=

1 1 −1 1

0 1 3 1

0 0 25 3

Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma:

x+ y − z = 1

y + 3z = 1

25z = 3


Resolviendo las ecuaciones, comenzando por la ultima queda: z =3

25, y =

16

25, x =

12

25.

Se trata de un sistema compatible determinado.


3x+ 3y −+11z − t = 8

2x+ 5z + 3t = 4

x− y + 2z + 2t = 2

Solucion

La matriz ampliada es:

3 3 11 −1 8

2 0 5 3 4

1 −1 2 2 2

=

1 −1 2 2 2

2 0 5 3 4

3 3 11 −1 8

=

1 −1 2 2 2

0 2 1 −1 0

0 6 5 −7 2

=

1 −1 2 2 2

0 2 1 −1 0

0 0 2 −4 2


x− y + 2z + 2t = 2

2y + z − t = 0

2z − 4t = 2

Resolvemos la ultima ecuacion, z = 1 + 2t; si hacemos t = α, queda:

z = 1 + 2α; y = −−12

+α

2; x = −−1

2+

13α

2; t = α.

Las soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al parametro α.

Es un sistema compatible indeterminado.


−y + z = −2

x+ 2y + 4z = 3

2x+ 4y + 8z = 1

Solucion

La matriz ampliada es:

0 −1 1 −21 2 4 3

2 4 8 1

=

1 2 4 3

0 −1 1 −22 4 8 1

=

1 2 4 3

0 −1 1 −20 0 0 −5


x+ 2y + 4z = 3

−y + z = −2

0 = −5

Se observa que el sistema es incompatible.


7.7.6. Metodo de Gabriel Cramer

El metodo de Gauss que acabamos de ver es sencillo y eficaz para resolver un sistema de

ecuaciones lineales. Pero tiene un inconveniente. Si de un sistema de 300 incognitas tan solo

nos interesan 7, siguiendo el metodo de Gauss, habrıamos de seguir el proceso de triangulacion

como si nos interesaran todas ellas.

La regla de Cramer, que ahora veremos, aprovecha con astucia las propiedades de las

matrices y sus determinantes para despejar, separadamente, una cualquiera de las incognitas

de un sistema de ecuaciones lineales.

Sistema de Cramer: Es un sistema de la forma (7.9) en el quem = n, y |A| 6= 0. Es decir,

La matriz A es cuadrada y regular. En tal caso, A tiene inversa A−1, por lo que multiplicando

a (7.10) por la izquierda por A−1, se tiene:

A−1AX = A−1B ⇒ X = A−1B ⇒ X =Adj(A)

|A| B.

Entonces, para usar la regla de Cramer se debe cumplir las siguientes condiciones:

El numero de ecuaciones es igual al numero de incognitas.

El determinante de la matriz de coeficientes de las incognitas debe ser distinto de cero.

Denotaremos por:

Determinante del sistema: ∆S =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Determinante de xj: ∆xj =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · b1 · · · a1n

a21 a22 · · · b2 · · · a2n

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · bn · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∆xj es el determinante que se obtiene a partir de la matriz de coeficientes A, cambiando los

elementos de la columna j por los terminos independientes.

La solucion viene dada por:

xj =∆xj∆S

(7.12)

Nota: El el caso de un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incognitas:

a1x+ b1y + c1z = d1

a2x+ b2y + c2z = d2

a3x+ b3y + c3z = d3se tiene:


∆S = Determinante del sistema.

∆x = Determinante de x.

∆y = Determinante de y.

∆z = Determinante de z.

Recordemos que:

∆S =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣; ∆x =

∣∣∣∣∣∣∣∣

d1 b1 c1

d2 b2 c2

d3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣; ∆y =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 d1 c1

a2 d2 c2

a3 d3 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣; ∆z =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 b1 d1

a2 b2 d2

a3 b3 d3

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Finalmente la solucion del sistema se obtiene ası:

x =∆x

∆S; y =

∆y

∆S; z =

∆z

∆S


2x+ 3y − 5z = 8

5x− 2y + z = 9

3x− y + 2z = 9

Solucion

El sistema es un tıpico caso en el que resulta conveniente aplicar la regla de Cramer.

Primero hallaremos los determinantes aplicando el metodo de Sarrus:

∆S =

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 3 −55 −2 1

3 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣⇒ ∆S = −32;

∆x =

∣∣∣∣∣∣∣∣

8 3 −59 −2 1

9 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣⇒ ∆x = −96

∆y =

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 8 −55 9 1

3 9 2

∣∣∣∣∣∣∣∣⇒ ∆y = −128;

∆z =

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 3 8

5 −2 9

3 −1 9

∣∣∣∣∣∣∣∣⇒ ∆z = −64

Luego: x =∆x

∆S= 3; y =

∆y

∆S= 4; z =

∆z

∆S= 2. Por lo tanto el conjunto solucion es:

C.S. = {3; 4; 2}

7.7.7. Teorema de Rouche - Frobenius

Sea el sistema dado en (7.9), donde A es la matriz de coeficientes de las incognitas y A la

matriz ampliada con los terminos independientes.

I. La condicion necesaria y suficiente para que el sistema sea compatible, es decir, para que

tenga solucion es que el rango1 de A sea igual al rango de A.

a) Si rango de A = rango de A = n, el sistema tendra solucion unica (Sistema compatible

determinado).

1El rango de una matriz es igual al numero de filas linealmente independientes

b) Si rango de A = rango de A = k < n, el sistema tendra infinitas soluciones y depen-

dera exactamente de n− k parametros (Sistema compatible indeterminado).

II. Si rango de A 6= rango de A, el sistema no tendra solucion (Sistema incompatible).

Ejemplo 7.7.9. Dado el sistema lineal

x+ y − z = 1

2x+ 3y + az = 3

x+ ay + 3z = 2

Halle el valor de “a” de tal modo que:

No tenga solucion.

Tenga mas de una solucion.

Tiene una unica solucion.

Solucion

La matriz ampliada:1 1 −1 1

2 3 a 3

1 a 3 2

=

1 1 −1 1

0 1 a+ 2 1

0 a− 1 4 1

=

1 1 −1 1

0 1 a+ 2 1

0 0 6− a− a2 2− a

No tiene solucion si:

6− a− a2 = 0 ∧ 2− a 6= 0

(a+ 3)(a − 2) = 0 ∧ a 6= 2 ⇒ a = −3

Tiene mas de una solucion si:

6− a− a2 = 0 ∧ 2− a = 0 ⇒ a = 2

Tiene solucion unica si:

6− a− a2 6= 0 ∧ 2− a 6= 0 ⇒ a 6= −3 , a 6= 2.

Por lo tanto a ∈ R− {−3; 2}

7.7.8. Sistemas homogeneos

Un sistema de ecuaciones lineales es homogeneo, si todos los terminos independientes son

nulos.

Consideremos el siguiente sistema homogeneo de m ecuaciones con n incognitas:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0...

......

......

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0

(7.13)

Aplicando el teorema de Rouche-Frobenius a este sistema, resulta que siempre tendra solu-

cion, ya que siempre se cumple que r(A) = r(B).

Si r(A) = numero de incognitas, existira una unica solucion que sera la solucion trivial:

x1 = x2 = . . . = xn = 0

Si r(A) < numero de incognitas, existiran infinitas soluciones. Podemos enunciar, pues, el

siguiente teorema:

Teorema 7.7.2. Un sistema de ecuaciones lineales homogeneo tiene solucion distinta de la

trivial si y solo si el rango de la matriz los coeficientes es menor que el numero de incognitas.

Corolario 7.7.1. Un sistema de ecuaciones lineales homogeneo con igual numero de ecua-

ciones que de incognitas tiene solucion distinta de la trivial si y solo si el determinante de la

matriz de coeficientes es nulo.

7.8. Factorizacion LU de una Matriz

En el algebra lineal, la descomposicion LU es una forma de factorizacion de una matriz

“no singular” como el producto de una matriz triangular inferior y una superior.

Esta factorizacion es util para resolver sistemas de ecuaciones lineales sobre una computa-

dora y se puede usar para probar resultados importantes sobre matrices.

En la seccion 7.7 se muestra el sistema de ecuaciones lineales dado en 7.9 que a su vez se

puede escribir como 7.10, es decir como:

Ax = b

Supongamos que se conoce como factorizar una matriz An×n en la forma

A = LU (7.14)

donde L es una matriz triangular inferior n×n y U es una matriz escalonada n×n. Entonces

el sistema 7.10 podrıa representarse en la forma

LU.x = b (7.15)

Si denominamos y a la matriz columna de n filas resultado del producto de las matrices Ux,

tenemos que la ecuacion (7.15) se puede reescribir del siguiente modo:

Ly = b (7.16)

A partir de las ecuaciones (7.15) y (7.16), es posible plantear un algoritmo para resolver

el sistema de ecuaciones lineales empleando dos etapas:


Primero obtenemos y aplicando el algoritmo de sustitucion progresiva en la ecuacion

(7.16).

Posteriormente obtenemos los valores de x aplicando el algoritmo de sustitucion regresiva

a la ecuacion

Ux = y (7.17)

El analisis anterior nos muestra lo facil que es resolver estos dos sistemas de ecuaciones

triangulares y lo util que resultarıa disponer de un metodo que nos permitiera llevar a cabo

la factorizacion A = LU . Si disponemos de una matriz A de n × n, estamos interesados en

encontrar aquellas matrices:

L =

l11 0 0 · · · 0

l21 l22 0 · · · 0

l31 l32 l33 · · · 0...

......

. . ....

ln1 ln2 ln3 · · · lnn

U =

u11 u12 u13 · · · u1n

0 u22 u23 · · · u2n

0 0 u33 · · · u3n...

......

. . ....

0 0 0 · · · unn

tales que cumplan la ecuacion (7.14). Cuando esto es posible, decimos que A tiene una de-

scomposicion LU . Se puede ver que las ecuacion anterior no determina de forma unica a Ly

a U . De hecho, para cada i podemos asignar un valor distinto de cero a lii o uii (aunque no

ambos). Por ejemplo, una eleccion simple es fijar lii = 1 para i = 1, 2, . . . , n haciendo de esto

modo que L sea una matriz triangular inferior unitaria. Otra eleccion es hacer U una matriz

triangular superior unitaria (tomando uii = 1 para cada i).

Ejemplo 7.8.1. Encuentre una factorizacion LU para la matriz A =

2 3 2 4

4 10 −4 0

−3 −2 −5 −2−2 4 4 −7

.

Reduzca por filas la matriz A a una matriz triangular superior y depues escriba A como un

producto de una matriz triangular superior.

Solucion

2 3 2 4

4 10 −4 0

−3 −2 −5 −2−2 4 4 −7

F2 → F2 − 2F1

F3 → F3 +32F1

F4 → F4 + F1−−−−−−−−−−−−−→

2 3 2 4

0 4 −8 −80 5

2 −2 4

0 7 6 −3

F3 → F3 − 58F2

F4 → F4 − 74F2

−−−−−−−−−−−−−→


2 3 2 4

0 4 −8 −80 0 3 9

0 0 20 11

F4→F4−203F3−−−−−−−−−→

2 3 2 4

0 4 −8 −80 0 3 9

0 0 0 −49

= U

Usando las matrices elementales se pude escribir

U =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 −203 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 −74 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 −58 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 032 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

−2 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

A

o tambien

A =

1 0 0 0

2 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

−32 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

−1 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 58 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 74 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 203 1

U

Se ha escrito A como un producto de seis matrices elementales y una matriz triangu-

lar superior. Sea L el producto de las matrices elementales. Debemos verificar que L =

1 0 0 0

2 1 0 0

−32

58 1 0

−1 74

203 1

, que es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal.

Despues se puede escribir A = LU , donde L es triangular inferior y U es triangular supe-

rior. Los elementos de la diagonal de L son todos iguales a 1 y los elementos de la diagonal de

U son los pivotes. Esta factorizacion se llama factorizacion LU de A.

El procedimiento usado en el ejemplo (7.8.1) se puede llevar a cabo mientras no se requieran

permutaciones paa poder reducir A a la forma triangular. Esto no siempre se puede. Por


ejemplo, el primer paso a la reduccion por filas de

0 2 3

2 −4 7

1 −2 5

es permutar(intercambiar) las filas 1 y 2 o las filas 1 y 3.

Suponga que por el momento esa permutacion no es necesaria. Entonces, igual que en el

ejemplo (7.8.1), se puede escribir A = E1E2 · · ·EnU , donde U es una matriz triangular superior

y cada matriz elemental es una matriz triangular inferior y con unos en la diagonal. Esto se

deduce del hecho de que E es de la forma Fj+λFi. (No hay permutaciones ni multiplicaciones

de filas por constantes). Mas aun, los numeros que se hacen cero en la reduccion por fils estan

siempre abajo de la diagonal de manera que en Fj + λFi siempre se cumple que j > i. Ası los

λ aparecen abajo de la diagonal.

Ejemplo 7.8.2. Resuelva el sistema Ax = b usando la factorizacion LU, donde

A =

2 3 2 4

4 10 −4 0

−3 −2 −5 −2−2 4 4 −7

y b =

4

−8−4−1

Solucion

De ejemplo anterior se puede escribir A = LU , donde

L =

1 0 0 0

2 1 0 0−32

58 1 0

−1 74

203 1

y U =

2 3 2 4

0 4 −8 −80 0 3 9

0 0 0 −49

El sistema Ly = b conduce a las ecuaciones

y1 = 4

2y1 + y2 = −8

−32 y1 +

58 y2 + y3 = −4

−y1 + 74 y2 +

203 y3 + y4 = −1

es decir

y1 = 4

y2 = −8− 2y1 = −16y3 = −4 + 3

2 y1 − 58 y2 = 12

y4 = −1 + y1 − 74 y2 − 20

3 y3 = −49


acabamos de realizar la sustitucion hacia adelante. Ahora, de Ux = y se obtiene

2x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 = 4

4x2 − 8x3 − 8x4 = −163x3 + 9x4 = 12

−49x4 = −49

es decir

x4 = 1

3x3 = 12 − 9x4 = 3 ⇒ x3 = 1

4x2 = −16 + 8x3 + 8x4 = 0 ⇒ x2 = 0

2x1 = 4− 3x2 − 2x3 − 4x4 = −2 ⇒ x1 = −1Por lo tanto la solucion es:

x =

−10

1

1

7.9. Resenas Historicas

Johann Carl Friedrich Gauss

Figura 7.1: Johann Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss, nacio el 30 de Abril de 1777 en Brunswick, Alemania. Fueun matematico, astronomo y fısico aleman de una profunda genialidad, que contribuyo sig-nificativamente en muchos campos, incluida la teorıa de numeros, el analisis matematico, lageometrıa diferencial, la geodesia, el magnetismo y la optica. Considerado “el prıncipe de lasmatematicas 2“el matematico mas grande desde la antiguedad”, Gauss ha tenido una influen-cia notable en muchos campos de la matematica y de la ciencia, y es considerado uno de losmatematicos que mas influencia ha tenido alrededor de la historia.


Gauss fue un prodigio, de quien existen muchas anecdotas acerca de su asombrosa precoci-dad siendo apenas un pequeno infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientrasera apenas un adolescente.

Completo su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiun anos (1798), aunqueno seria publicada hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teorıa de losnumeros se consolidara y ha moldeado esta area hasta los dıas presentes.

Es celebre la siguiente anecdota: con tan solo 3 anos corrigio en su cabeza un error quesu padre, mientras este realizaba un conteo de pago de sus empleados, haciendo ver su precozhabilidad para los numeros.

Tenıa Gauss 10 anos cuando un dıa en la escuela el profesor manda sumar los cien primerosnumeros naturales. El maestro querıa unos minutos de tranquilidad . . . pero transcurridospocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solucion: los cien primeros numerosnaturales suman 5.050. Y efectivamente es ası. ¿Como lo hizo Gauss? Pues mentalmente sedio cuenta de que la suma de dos terminos equidistantes era constante:

1, 2, 3, 4 . . . . . . 97, 98, 99, 100

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4 + 97 = · · · = 101

Con los 100 numeros se pueden formar 50 pares, de forma que la solucion final viene dadapor el producto

101 · 50 = 5050

Gauss habıa deducido la formula que da la suma de n terminos de una progresion aritmeticade la que se conocen el primero y el ultimo termino:

Sn =(a1 + an)n

2

donde a1 es el primer termino, an el ultimo, y n es el numero de terminos de la progresion.En 1796 descubrio el metodo de construccion del Heptadecagono, y dio el criterio necesario

y suficiente para que un polıgono pueda ser dibujado.Fue el primero en probar rigurosamente el Teorema Fundamental del Algebra (disertacion

para su tesis doctoral en 1799), aunque una prueba casi completa de dicho teorema fue hechapor Jean Le Rond d’Alembert anteriormente.

En 1801 publico el libro Disquisitiones Aritmeticae, con seis secciones dedicadas a la Teorıade numeros, dandole a esta rama de las matematicas una estructura sistematizada. En laultima seccion del libro expone su tesis doctoral. Ese mismo ano predijo la orbita del asteroideCeres aproximando parametros por mınimos cuadrados.

En 1809 fue nombrado director del Observatorio de Gottingen. En este mismo ano publi-ca Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium describiendocomo calcular la orbita de un planeta y como refinarla posteriormente. Profundiza sobre ecua-ciones diferenciales y secciones conicas.

Quizas Gauss haya sido la primera persona en intuir la independencia del postulado delas paralelas de Euclides y de esta manera anticipar una geometrıa no euclidiana. Pero estosolo se afirma, sacando conclusiones de cartas enviadas a sus amigos, Farkas Bolyai y a su hijoJanos Bolyai a quien Gauss califico como un genio de primer orden.

En 1823 publica Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae, ded-icado a la estadıstica, concretamente a la distribucion normal cuya curva caracterıstica, de-nominada Campana de Gauss, es muy usada en disciplinas no matematicas donde los datos


son susceptibles de estar afectados por errores sistematicos y casuales como por ejemplo lapsicologıa diferencial.

Hay que aclarar que Gauss no fue el primero en hacer referencia a la distribucion normal.

Mostro un gran interes en geometrıa diferencial y su trabajo Disquisitiones generales circasuperficies curva publicado en 1828 fue el mas reconocido en este campo. En dicha obra exponeel famoso Teorema Egregium. De esta obra se deriva el termino Curvatura Gaussiana.

En 1831 se asocia al fısico Wilhelm Weber durante seis fructıferos anos en los que realizaninvestigaciones sobre las Leyes de Kirchhoff, publicaciones sobre magnetismo y construyen untelegrafo electrico primitivo.

Aunque a Gauss le desagradaba dar clases, algunos de sus alumnos resultaron destaca-dos matematicos como Richard Dedekind y Bernhard Riemann. Otros matematicos contem-poraneos fueron Carl Gustav Jakob Jacobi, Dirichlet y Sophie Germain.

Gauss murio en Gottingen el 23 de febrero de 1855.

Arthur Cayley

Figura 7.2: Arthur Cayley

Arthur Cayley nacio en Richmond, Reino Unido, el 16 de agosto de 1821 y murio enCambridge, 26 de enero de 1895. Fue uno de los fundadores de la escuela britanica modernay contribuyo grandemente con el adelanto de la matematica pura.

Se graduo en 1842 en la Trinity College, Cambridge, el mas tarde entro en leyes y pos-teriormente fue admitido en la London Bar (1849). Luego paso a ser profesor en Cambridge.Cayley desarrollo la teorıa de la invarianza algebraica, y su desarrollo de la geometrıa nodimensional ha sido aplicada en la fısica al estudio del Espacio-Tiempo continuo. Introdujola multiplicacion de las matrices. Es el autor del teorema de Cayley-Hamilton que dice quecualquier matriz cuadrada es solucion de su polinomio caracterıstico. Dio la primera defini-cion moderna de la nocion de grupo. Su trabajo en las matrices del algebra sirvio como unfundamento para la Mecanica Cuantica, la cual fue desarrollada por Werner Heisenberg en1925. Cayley tambien sugirio que la Geometrıa Euclidiana y no Euclidiana son tipos especialesde geometrıa. Unio la Geometrıa Proyectiva (la cual depende de las propiedades invariantesde las figuras) y la Geometrıa Metrica (dependiente en tamanos de angulos y longitudes delıneas). Se publicaron los trabajos matematicos de Cayley en Cambridge (1889-98).

Recibio la Royal Medal en 1859 y la Medalla Copley en 1882.


En combinatoria, su nombre esta unido a la formula nn−2 que enumera los arboles deco-rados con n picos.

Se llama a veces octavas de Cayley o numeros de Cayley a los octoniones.

Gabriel Cramer

Figura 7.3: Gabriel Cramer

Gabriel Cramer (31 de julio, 1704 - 4 de enero, 1752) fue un matematico Suizo nacidoen Ginebra. Profesor de matematicas de la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-27. En 1750 ocupo la catedra de filosofıa en la citada universidad. En 1731 presento en laAcademia de las Ciencias de Parıs, una memoria sobre las causas de la inclinacion de lasorbitas de los planetas. Edito las obras de Jean Bernouilli (1742) y Jacques Bernouilli (1744)y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental es la Introduction a lanalyse descourbes algebriques (1750), en la que se desarrolla la teorıa de las curvas algegricas segun losprincipios newtonianos, demostrando que una curva de grado n viene dada por la expresion:n(n− 3)

2

Wilhelm Jordan

Wilhelm Jordan fue un geodesista aleman, nacio en 1842 y murio en 1899. Hizo encuestasen Alemania y Africa.

Es recordado entre los matematicos por su algoritmo de Eliminacion de Gauss - Jordan, conJordan mejorando la estabilidad del algoritmo de manera que se podıa aplicar para minimizarel error cuadrado en las mediciones. Esta tecnica algebraica aparecio en su Handbuch derVermessungskunde (1873).

Bibliografıa

[1] Arnaz, Jose Antonio. Iniciacion a la Logica Simbolica. Trillas, Mexico, 1980.

[2] Boyer, Mary Jo. Matematicas para enfermeras. Manual Moderno, segunda edition, 2009.

[3] Peterson, John C. Matematica Basica. CECSA, 2000.

Indice alfabetico

absorcion, 54

adjunta de una matriz, 241

axiomas de los numeros reales, 93axiomas para la

adicion, 93

distributividad, 94

igualdad, 94multiplicacion, 93

bicondicional, 45

cırculo, 171

circunferencia, 171cofactor, 227

condicional, 41

conectivas, 35

binaria, 35monadica, 35

conjuncion, 38

conjunto, 79

finito, 82infinito, 82

unitario, 83

vacıo, 82

contingencia, 51contra recıproca, 45

contradiccion, 50

criptografıa, 245

cuadrado latino, 233cuarta

proporcional, 24

diferencial, 24

cuerpo, 211

determinantes, 221

diagonal principal, 207

diagramacartesiano, 154

de flechas, 155

del arbol, 154

sagital, 157dicotomıa, 94

disyuncionexclusiva, 46

inclusiva, 39

ecuacion

bicuadrada, 119cubica, 118

cuartica, 118cuadratica, 115

de primer grado, 107lineal, 108

polinomial, 119espacio vectorial, 211

exportacion, 54

formula cuadratica, 116

fraccion, 18compuesta, 19

continua, 19decimal, 19

egipcia, 19heterogenea, 19

homogenea, 19impropia, 18

irreductible, 19ordinaria, 18

parcial, 19propia, 18

reductible, 19unitaria, 19

funcionacotada, 193

afin, 184biyectiva, 193

constante, 183creciente, 193, 194

267


cuadratica, 185decreciente, 194escalon unitario, 189

exponencial, 197identidad, 183impar, 194

inyectiva, 192lineal, 184

logaritmo, 201maximo entero, 191monotona, 193

par, 194periodica, 194polinomica, 188

raiz cuadrada, 187seccionada, 188signo, 190

sobreyectiva, 193trigonometrica, 194

univalente, 192valor absoluto, 189

funciones, 177

generatriz, 21, 168

idempotencia, 52

implicacion, 41intervalo, 128

abierto, 128

cerrado, 129semiabierto, 129semicerrado, 129

inversa, 44involucion, 53

jacobiano, 232

ley de composicionprimera, 93

segunda, 93ley de composicion interna , 92lugar geometrico, 165

matriz

antihermitiana, 220antisimetrica, 217

banda, 229conjugada, 218cuadrada, 206

de cofactores, 240de permutacion, 231definida positiva, 230diagonal, 208, 228elemental, 242equivalente, 237escalar, 208escalonada, 236escalonada reducida, 236hermıtica, 219hermitiana, 219idempotente, 218identidad, 208inversa, 239involutiva, 217jacobiana, 232nilpotente, 218normal, 230nula, 209orden de una, 205ortogonal, 220positiva, 220rectangular, 209regular, 225simetrica, 216singular, 225transpuesta, 216traza de una, 215triangular, 207triangular superior, 207

matriz principal, 50media

diferencial, 24proporcional, 25

menor complementario, 226morgan, 54

numero fraccionario, 17numero racional, 17numero

complejo, 82entero, 80irracional, 81natural, 80racional, 81real, 81

negacion, 40

operacion binaria, 92


operaciones elementales, 235orden, 92

parabola, 169pertenencia, 79pivote, 236producto cartesiano, 154proporcion, 23

aritmetica, 23geometrica, 23

proposicion, 31compuesta, 34simple, 34

rango de una matriz, 238razon, 23

aritmetica, 23geometrica, 23

recıproca, 44reflexividad, 94regla de sarrus, 223regla de tres, 25relacion binaria, 156relaciones, 151

simetrıa, 94sistema de ecuaciones, 246sistema de numeros reales, 92

tabla de verdad, 33Tartaglia, 125tautologıa, 50teorema de

Laplace, 227tercera

diferencial, 24proporcional, 25

transitividad, 94transposicion, 54

valor absoluto, 135valor de verdad, 32

Matematica Basica

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