teoria-de-numeros-complejos (1)

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teoría y ejemplos de números complejos

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  • Captulo 1

    Nmeros omplejos

    1

  • 2 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

    Departamento de Matemtia Apliada E.U.P. San Sebastin

  • 1.1. CONCEPTO DE NMEROS COMPLEJOS 3

    1.1. Conepto de nmeros omplejos

    Veamos unos ejemplos que nos ayudarn a intuir la neesidad de los nmeros omplejos.

    Ejemplo 1.1 Queremos obtener la interse

    in de la urva y1 = x2

    on la reta y2 = 3x2

    (ver la gura 1.1) Resolviendo el sistema

    Figura 1.1: Ejemplo 1.1

    {y = x2

    y = 3x 2 x2 = 3x 2

    {x1 = 1

    x2 = 2

    Obtenemos una respuesta on signiado fsio y on soluin en N R

    Ejemplo 1.2 Dada la gra Espaio/tiempo denida por E =

    {0 si t < 0

    t2 si t 0 (ver lagura 1.2), en qu instante t1 hemos reorrido 2 metros? Tambin la pregunta y la respuesta

    Figura 1.2: Ejemplo 1.2

    tienen signiado fsio, estando la soluin en R:

    t21 = 2 t1 =2 R

    y si E = 0. 25 metros?

    t22 = 0. 25 t2 = 0. 5 Q R

    E.U.P. San Sebastin Departamento de Matemtia Apliada

  • 4 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

    Ejemplo 1.3 Lanzamos una pelota haia arriba, on veloidad iniial v0. Si h(t) es la alturaalanzada en el instante t, podremos esribir (segn la gura 1.3)

    h = g t2

    2+ v0t = t

    (v0 g

    2t)

    Podemos plantear algunos problemas on signiado fsio:

    Figura 1.3: Ejemplo 1.3

    En qu instante se alanza la mxima altura H?

    En t1 =v0g, H = h(t1)

    En qu instantes alanza ierta altura h1 (0 h1 H)?.

    t =v0

    v20 2gh1g

    =

    {t2

    t3

    Adems:

    t2 = t3 H = v20

    2g

    Por ejemplo: Si h1 = 0. 2m, v0 = 3m/s

    t2 = 0. 072 , t3 = 0. 53

    t1 =v0g

    = 0. 31 , H =v202g

    = 0. 46

    Somos apaes de representar en R las soluiones de este problema (ver la gura 1.4):

    Veamos ahora estas otras situaiones, similares a las anteriores:{y = x2

    y = x 1 x2 = x 1 x = 1

    32

    (ver la gura 1.5):

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  • 1.1. CONCEPTO DE NMEROS COMPLEJOS 5

    Figura 1.4: Hay soluin

    Figura 1.5: No hay orte

    Figura 1.6: Cul es el orte?

    Figura 1.7: Si h2 es mayor que H

    3? Qu es?. Donde est en la reta real? (ver la gura 1.6):

    z =3 z2 = 3 z / R

    En el aso de la pelota:

    En qu instante alanza h2? (ver la gura 1.7):

    E.U.P. San Sebastin Departamento de Matemtia Apliada

  • 6 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

    t =v0

    v20 2ghg

    , H =v202g

    Si h2 > H h2 > v20

    2g 2gh2 > v0

    Es deir v20 2gh2 < 0 otra vez raz de un nmero negativo !!

    dnde est

    v20 2gh2?

    Por ejemplo: h2 = 5 v0 = 3 ,v20 2gh2 =

    84

    Cmo puedo representar ese nmero?.Para qu me sirve?

    En el ejemplo de la interse

    in:

    x =13

    2=

    1(1)(3)2

    =113

    2=

    1

    23

    2 1

    Donde vemos que slo da problemas

    1 ya que los dems nmeros son reales.

    Si denotamos

    1 = i (i2 = 1):Cmo represento, por ejemplo,

    1

    2+

    3

    2 1 ? (ver la gura 1.8)

    Figura 1.8: Representain vetorial de un omplejo

    z = a+ b i donde

    {a = Re(z) = parte real de z

    b = Im(z) = parte imaginaria de z

    Deniin 1.1 Deniremos el onjunto C de nmeros omplejos de la forma:

    C = {z = a+ b i | a, b R}siendo

    R = {z = a+ b i | a R , b = 0}As pues, los nmeros reales son los omplejos on la omponente imaginaria nula.

    Departamento de Matemtia Apliada E.U.P. San Sebastin

  • 1.2. FORMA POLAR DE Z C 7

    1.2. Forma polar de z CSi z es un nmero omplejo, lo podemos expresar, ya que es un vetor, de la forma (ver

    la gura 1.9):

    Figura 1.9: Forma binomial

    Si a = 0 y b > 0 = pi2

    Por ejemplo :

    Figura 1.10: Ejemplo

    z = 0 + i = 1pi2

    z = 1 i =2 pi

    2=2 7pi

    2

    En general:

    = +2kpi k Z

    Figura 1.11: Expresin polar multiforme

    E.U.P. San Sebastin Departamento de Matemtia Apliada

  • 8 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

    Figura 1.12: Efeto fsio

    Representan el mismo punto sobre el plano. Sin embargo, el efeto fsio de apliar

    + 2kpi puede ser muy diferente. Ver la gura 1.12.

    Deniin 1.2 Si 0 < 2pi, llamaremos a argumento prinipal.

    Por ejemplo,

    z = 2 315pi = 2 65+1

    5pi = 26pi+pi5 = 2

    pi

    5 pi

    5= argumento prinipal de z

    1.3. Forma exponenial de z C

    Sea z = a+b i = siendo

    {a = cos b = sen z = cos + isen = ( cos + i sen )

    Ahora vamos a emplear un resultado que veremos en detalle en los temas 3 y 4:

    cos x = 1 x2

    2!+x4

    4! x

    6

    6!+x8

    8! x

    10

    10!+ x R

    senx = x x3

    3!+x5

    5! x

    7

    7!+x9

    9! x

    11

    11!+ x R

    ex = 1 +x

    1!+x2

    2!+x3

    3!+x4

    4!+x5

    5!+ x R

    La igualdad se da on la suma de innitos trminos, pero podemos onseguir aproximaiones

    ada vez mejores tomando ms y ms sumandos.

    Por ejemplo: ex 1, ex 1 + x, ex 1 + x+ x2

    2, ettera (ver la gura 1.13)

    Por otra parte, i =1, i2 = 1, i3 = i, i4 = 1, i5 = i y se repiten

    Vamos a emplear estos resultados:

    z = (cos + i sen ) =

    ((1

    2

    2!+4

    4!

    6

    6!+

    )+ i

    (

    3

    3!+5

    5!

    7

    7!+

    ))=

    =

    (1 +

    ( i)2

    2!+

    ( i)4

    4!+

    ( i)6

    6!+ + i + ( i)

    3

    3!+

    ( i)5

    5!+

    ( i)7

    7!+

    )ordenamos

    =

    =

    (1 + i +

    ( i)2

    2!+

    ( i)3

    3!+

    ( i)4

    4!+

    ( i)5

    5!+

    )= e i Forma exponenial de z

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  • 1.3. FORMA EXPONENCIAL DE Z C 9

    Figura 1.13: Aproximain mediante series

    Por ejemplo:

    z = 0 + i = 1pi2= e i

    pi

    2

    eipi = 1 (cospi + i senpi) = 1 < 0Esto no ourre jams en R, ex > 0 x R. Pero s es posible ez = 1 si z C.

    En partiular, si = 1, e i = cos + i sen que es la llamada Frmula de Euler

    Veremos enseguida las operaiones aritmtias entre omplejos, pero podemos adelantar

    que el produto se alula muy filmente empleando la forma exponenial de los omplejos:

    e i e i = ei+i = ei(+)

    por tanto = +

    Y en uanto al oiente:

    = e i

    e i=

    eii

    =

    ei(

    ) =

    (

    )

    Como aso partiular

    1 = +

    El produto por 1 representa un giro de ngulo y entro el origen de oordenadas. (ver

    la gura 1.14)

    Veamos un ejemplo. Apliar a la gura un giro =pi

    3y un esalado = 0.5 (ver las

    guras 1.15 y 1.16):

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  • 10 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

    Figura 1.14: Giro de ngulo

    Figura 1.15: Giro + ambio de esala

    Figura 1.16: Ejemplo

    z1 = 1+i =2pi

    4; z2 = 3+i =

    10arc tg 1

    3 3. 160.32; z3 = 2+6 i =

    40arc tg 6

    2 6. 321.25

    z1 = z10. 5pi3 1. 410.780. 51.05 = 0. 71.83 0. 7(cos 1. 83+i sen 1. 83) 0. 7(0. 26+0. 97 i) = 0. 18+0. 68 iz2 = z20. 5pi3 3. 160.320. 51.05 = 1. 581.37 1. 58(cos 1. 37+i sen 1. 37) 1. 58(0. 2+0. 98 i) = 0. 31+1. 55 iz3 = z30. 5pi3 6. 321.250. 51.05 = 3. 172.3 3. 17(cos 2. 3+i sen 2. 3) 3. 17(0. 67+0. 74 i) = 2. 12+2. 35 i(ver la gura 1.17)

    Veamos otro ejemplo: Apliar un giro y esalado = 2pi2, a la gura: (ver la gura 1.18)

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  • 1.3. FORMA EXPONENCIAL DE Z C 11

    Figura 1.17: Resultado del ejemplo

    Figura 1.18: Otro ejemplo

    z1 = 1 + i =2pi

    4, z2 = 2 + i =

    5arc tg 1

    2

    z1 = z1 2pi2 = 22pi

    4+pi

    2= 2

    2 5pi

    4 2,83 5pi

    4

    z2 = z2 2pi2 =5arc tg 1

    2 2pi

    2= 2

    5arc tg 1

    2+pi

    2 4. 482.03

    Deniin 1.3 Siendo el omplejo z = , llamaremos onjugado de z = z al omplejo:z =

    (ver la gura 1.19)

    Propiedad: z z = 20 = 2 R

    Ejeriio 1.1 Expresar las ondiiones que se deben umplir para que dos nmeros om-

    plejos sean iguales.

    1.3.1. Operaiones en C

    Suma: (a+ bi) + (a + bi) = (a+ a) + (b+ b)i

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  • 12 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

    Figura 1.19: Conjugado de z

    Produto: = ei ei

    = ei(+) = +

    Si los nmeros omplejos estn expresados en forma binmia:

    z1 = = a+ bi, z2 =

    = a + bi

    z1 z2 = A+Bi Cunto valen A y B para que sea ompatible on la deniin?

    z1 z2 =+ (cos( + ) + i sen( + )

    )=

    =(cos cos sen sen + i(sen cos + cos sen )) =

    = cos cos sen sen + i( sen cos + cos sen ) ==aa bb + i(ab + ba)

    Por tanto (a+ bi) (a + bi) = (aa bb) + i(ab + ba)Se multiplian igual que los binomios reales, teniendo en uenta que i2 = 1

    Divisin:

    = r Busamos r que sea ompatible on la deniin.

    =

    r def.= r+ = r r =

    + 2kpi = + = + 2kpi

    de otro modo, empleando la forma exponenial:

    ei

    ei= r ei ei = r ei(+)

    = r r =

    = + + 2kpi =

    Ejeriio 1.2 Dividir dos omplejos expresados en forma binomial.

    a+ bi

    a + bi=

    (a+ bi)(a bi)(a + bi)(a bi) =

    aa + bb + i(ab + ab)a2 + b2

    Ejeriio 1.3 Calular in n = 1, 2, 3,

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  • 1.3. FORMA EXPONENCIAL DE Z C 13

    Una primera forma de haerlo:

    n = 1 i1 = in = 2 i2 = 1n = 3 i3 = in = 4 i4 = 1.

    .

    .

    n > 4 n = 4k + r k N, r = 0, 1, 2, 3

    in = i4k+r =(i4)k ir = ir (onoido)

    Veamos una segunda forma:

    in =(1pi

    2

    )n= 1npi

    2 cosnpi2 + i sennpi