Teoria elemental de los numeros complejos ccesa007

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  • NUMEROS COMPLEJOS

    Demetrio Ccesa Rayme

  • Un numero complejo es un par ordenado de nmeros reales (a, b) a, b pertenecen a los .

    La expresin analtica del conjunto de los

    nmeros complejos es

  • Dado el complejo z = (a; b) oz

    es el vector posicin y el

    punto z de coordenadas (a; b) es el afijo.

  • Adicin:Dados los complejos z=(a;bi) y w=(c;di) se

    obtiene:

    z+w=(a+c) + ( b+d)i

    Diferencia:Sea: z=(a;bi) y w=(c;di)

    Se obtiene:

    z-w= (a c) + (b d)i

  • Multiplicacin:Sea: z=(a;bi) y w=(c;di)

    Se obtiene:

    z*w=(ac-bd) + ( ad+ bd )i

  • Si z = x + yi es un nmero complejo llamaremos

    conjugado del nmero z, al nmero z = x - yi , es decir,

    al nmero complejo que tiene la misma parte real que z

    pero la parte imaginaria de signo opuesto.

    Ejemplo:

    Si z= 3+2i , entonces

    z =3-2i

  • Sea z = (a; bi) un nmero complejo. Entonces podemos

    escribirlo en la forma:

    z= (a;b) = (a;0)+(0;b) = a(1;0) + b(0;1)

    Pero como (1;0) = 1 y (0;1) = i, entonces (a;b) = a+bi.

    En este caso se llama forma binmica o binomia del

    nmero complejo.

  • La forma trigonomtrica de un nmero complejo se establece

    observando el tringulo amarillo de la grafica.

    En este caso se tiene que r = z =

    (x;y) y que:

    Luego:

  • Ejemplo: Halle la forma trigonomtrica de

    z = 1+i .

    hallemos r =(1)+(-1)=2 y

    = tan(-1/1)= -/4

    Note que est en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:

    z = 1-i =2(cos(-/4)+isen(-/4))=2(cos(/4)- isen(/4)) =2 cos(/4)

    Por lo tanto:

    z = (x;y) = x+yi = rcos+irsen = r(cos+irsen)

  • Sea z = (a;bi) un nmero complejo cualquiera. Llamaremos

    mdulo del nmero complejo z, al nmero real dado por a+b y

    lo denotaremos por |z| . El mdulo se interpreta como la distancia

    al origen del nmero z.

    Por otra parte, llamaremos argumento del nmero complejo z =

    a+bi , al ngulo comprendido entre el eje x y el radio vector que

    determina a |z| . El argumento de z se denota por arg(z) y se

    calcula mediante la expresin:

    arg(z) = arctan(b/a)

  • Propiedad: z.z =|z|

    Demostracin:

    zz = (a+bi)(a-bi) = a - abi + abi yi =

    (a+b)+(-ab+ab)i = a+b+0i = a+b=|z|

    Frmula de Moivre

    (cos + isen) = (cos + isenh)

  • DEFINICIN. Dados un nmero complejo y un entero n, definimos la potencia n-nima de z as:

    Si n>0 y z0

    Races de un nmero complejoPara hallar las races de un nmero complejo se aplica la frmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo mdulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un mltiplo entero de 360.

    Sea Ra un nmero complejo y considrese otro complejo R'a', tal que

    Ra = (R' a) = ((R) ) a'Esto equivale a que (R) = R, o lo que es lo mismo que R = R.