NUMEROS COMPLEJOS

Demetrio Ccesa Rayme

Un numero complejo es un par ordenado de números reales (a, b) a, b pertenecen a los ℝ.

La expresión analítica del conjunto de los

números complejos es

Dado el complejo z = (a; b) oz

es el vector posición y el

punto z de coordenadas (a; b) es el afijo.

Adición:Dados los complejos z=(a;bi) y w=(c;di) se

obtiene:

z+w=(a+c) + ( b+d)i

Diferencia:Sea: z=(a;bi) y w=(c;di)

Se obtiene:

z-w= (a – c) + (b – d)i

Multiplicación:Sea: z=(a;bi) y w=(c;di)

Se obtiene:

z*w=(ac-bd) + ( ad+ bd )i

Si z = x + yi es un número complejo llamaremos

conjugado del número z, al número z = x - yi , es decir,

al número complejo que tiene la misma parte real que z

pero la parte imaginaria de signo opuesto.

Ejemplo:

Si z= 3+2i , entonces

z =3-2i

Sea z = (a; bi) un número complejo. Entonces podemos

escribirlo en la forma:

z= (a;b) = (a;0)+(0;b) = a(1;0) + b(0;1)

Pero como (1;0) = 1 y (0;1) = i, entonces (a;b) = a+bi.

En este caso se llama forma binómica o binomia del

número complejo.

La forma trigonométrica de un número complejo se establece

observando el triángulo amarillo de la grafica.

En este caso se tiene que r = z =

(x;y) y que:

Luego:

Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de

z = 1+i .

hallemos r =√(1)²+(-1)²=√2 y

Ɵ = tanˉ¹(-1/1)= -π/4

Note que Ɵ está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:

z = 1-i =√2(cos(-π/4)+isen(-π/4))=√2(cos(π/4)- isen(π/4)) =√2 cos(π/4)

Por lo tanto:

z = (x;y) = x+yi = rcosƟ+irsenƟ = r(cosƟ+irsenƟ)

Sea z = (a;bi) un número complejo cualquiera. Llamaremos

módulo del número complejo z, al número real dado por √a²+b² y

lo denotaremos por |z| . El módulo se interpreta como la distancia

al origen del número z.

Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo z =

a+bi , al ángulo comprendido entre el eje x y el radio vector que

determina a |z| . El argumento de z se denota por arg(z) y se

calcula mediante la expresión:

arg(z) = arctan(b/a)

Propiedad: z.z =|z|²

Demostración:

zz = (a+bi)(a-bi) = a² - abi + abi – y²i² =

(a²+b²)+(-ab+ab)i = a²+b²+0i = a²+b²=|z|²

Fórmula de Moivre

(cosƟ + isenƟ) = (cosƟ + isenhƟ)

DEFINICIÓN. Dados un número complejo y un entero n, definimos la potencia n-énima de z así:

Si n>0 y zǂ0

Raíces de un número complejoPara hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.

Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal que

Ra = (R' a‘) = ((R‘) ) a'Esto equivale a que (R) = R, o lo que es lo mismo que R = √R.