INSTITUTO TECNOLOGICO de Lázaro Cárdenas.

ALGEBRA LINEAL

INVESTIGACION 1.

NUMEROS COMPLEJOS

NOMBRE DEL ALUMNO:

APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO NOMBRE(S)URUE MARROQUIN PATRICIA GORETTI

SEMESTRE: AGOSTO-DICIEMBRE DE 2012.

SALON: D4. CONTADOR PUBLICO.

FECHA DE ENTREGA: 29 DE AGOSTO DEL 2012.

Unidad I - Números complejos

1.1. Definición y origen de los números complejos

Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos. El avance en el tiempo de la matemática fue un proceso lento debido al carácter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron re-legadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la ´época, como fue el caso de los números complejos. Fue en Italia, durante el periodo del renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números y penetran el halo misterioso en que se hallaban envueltos desde la antigüedad. Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545. Pero ¿Cómo surge la idea de usar estos números? ¿Porqué no aparecieron antes? ¿Quién era Cardano? Trataremos de contestar a estas interrogantes remontándonos a los orígenes del ´algebra. Podemos decir que los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo la ecuación:

x² + x + 5 = 0

Los números complejos, se expresan a través de la suma de un número real y un número imaginario. Al entero real se le denomina parte real del número complejo y al número imaginario se le llama parte imaginaria del número complejo.

Una de las muchas formas de expresar a los números complejos sería:

Z = Re ( Z ) + Im( Z )

Algunos ejemplos de esta representación son:

Z₁ = 3 + 2i

Z ₂ = -5 + 7i

Donde Re ( Z ) y Im ( Z ) pueden ser racionales o irracionales.

Los números complejos existen para cubrir un aspecto que los números reales no son capaces de solventar. Por ejemplo, a través de los números reales no podemos expresar las raíces pares de un número negativo, por ejemplo:

x² +1 = 0

Fue entonces que Leonhard Euler en 1777 introdujo el concepto de numero imaginario al asignar la raíz de un número negativo:

i = -1

De esta manera, los números imaginarios son capaces de expresar todas las raíces de un polinomio, raíces reales y raíces imaginarias.

Una definición formal de un número complejo sería:

Numero complejo Sea donde Z a bi donde a, bR e i1, a esto se le denomina número complejo, para

el cual, a es la parte real de Z y b es la parte imaginaria de Z. A esta representación de un número complejo se le llama forma rectangular de un número complejo.

La forma rectangular de un número complejo tiene algunas variantes. Si se especifica que Z es un número complejo, puede ser expresado en su forma rectangular como sigue:

Z= 3 + 2i = 3 + 2j = (3, 2)

Dada esta última representación de un número complejo como par ordenado ( a, b) donde a Re Z y b Im Z podemos representar gráficamente un número complejo usando el diagrama de Argand, el cual es muy similar al plano cartesiano. En el eje horizontal escribimos la magnitud de la parte real (Re) mientras que en la parte vertical anotaremos las magnitudes de la parte imaginaria ( Im ) . En estos ejes, tendremos tanto las magnitudes positivas como negativas.

2.0 (3,2)

1.5

1.0

0.5

0.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Figura 1. Representación gráfica de Z=3+2i

Si Z = (3, 2) tendremos 3 unidades en la parte real y 2 unidades en la parte imaginaria. Si las ubicamosen el plano de Argand tendremos lo que se muestra en la Figura 1

En este plano, básicamente tenemos representados dos números complejos. Si consideramos que:

a = (3, 0)

b = ( 0, 2)

Z = a + b = 3 + 2i

Tenemos dos números a y b, donde a es un real puro (un número complejo cuya parte imaginaria es cero) y b es un imaginario puro (número complejo cuya parte real es cero).

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos

Con los números complejos somos capaces de realizar algunas operaciones fundamentales como lo son, la suma, la resta, multiplicación, división, conjugado y módulo de un número complejo.

Para realizar estas operaciones vamos a considerar que el número complejo Z está representado en su forma rectangular (también llamada forma binómica).

Suma de números complejos

La suma de números complejos sigue un método muy sencillo. Si Z1 a bi y Z2 c di la suma de Z1 Z2 dará como resultado un nuevo número complejo.

El número complejo resultante tendrá como parte real la suma de las partes reales de Z1 y Z 2 y su parte imaginaria será la suma de las partes imaginarias de Z1 y Z 2.

La suma entre números complejos se puede definir como:

Suma de números complejos

Sean Z1 a bi y Z2 c di dos números complejos. La suma Z1 Z2 Z3 resultará en

un nuevo número complejo, el cual se obtiene por:

Z3 Z1 Z 2 a bic di a cb d i

Multiplicación de números complejos

La multiplicación entre dos números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.

Para definir la multiplicación entre dos números complejos, consideremos que:

Z1 a bi y Z2 c di

La multiplicación de estos números genera un nuevo número complejo. Para obtener este númerocomplejo Z3 Z1 Z2 a bic di desarrollemos el producto de los paréntesis:

Z3 a bic di acadibicbidi

Pero, dada la definición de i = -1 tenemos que el producto bi diresulta en:

Agrupando los términos reales y los términos imaginarios:

Z3 ac bd ad bc i

Suma de números complejosSean Z1 a bi y Z2 c di dos números complejos expresados en su forma binomica o

rectangular. El producto o multiplicación Z1 Z2 se obtendrá como:

Z3 ac bd ad bc i

Conjugado de un número complejo

Sea Z1 a bi un número complejo en forma rectangular. Se define su conjugado, expresado

como Z1* a bi donde las magnitudes de las partes real e imaginaria de Z1 y de Z1* son iguales,

excepto que la parte imaginaria de Z1* tendrá signo diferente.

Conjugado de un numero complejoSea Z1 a bi un número complejo en forma rectangular, su conjugado, expresado como Z1* será: Z1* a bi

División de números conjugados

Si tenemos dos números complejos en su forma rectangular Z1 a bi y Z2 c di para realizar la división la cual dará como resultado un nuevo número complejo, debemos de multiplicar a toda la expresión por el conjugado del denominador, esto es:

1.3. Potencia de “1”, modulo o valor absoluto de un complejo.

Por definición, sabemos que y además sigue las mismas leyes de los exponentes. Para las potencias de i tenemos que:

De aquí pasaremos al concepto del módulo de un número complejo, que se representa por . Cuando representamos a un número complejo en el diagrama de Argand, ubicamos un

punto en el plano, el módulo se refiere a la distancia que existe desde el origen hasta el punto, calculándose como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes numéricos de la parte real y la parte imaginaria.

Considere un número complejo en su forma binómica , el modulo de Z representado con una se obtendrá como :

Y el resultado es un escalar, o número real puro.

1.4. Forma polar y exponencial de un número complejo.

Hemos visto la representación rectangular de un número complejo y como se definen las operaciones elementales para un número complejo en forma rectangular. Sin embargo, existen otras formas de representar al mismo número complejo que facilitan las operaciones, éstas son la forma polar y la forma exponencial.

Cuando hablamos de la forma polar de un número complejo, nos referimos a un segmento de recta que está ubicado en un plano rectangular. Este segmento de recta tiene dos características importantes, tiene un ángulo medido desde el eje horizontal positivo hasta el segmento de recta y además, el segmento de recta tiene una longitud, tal y como se muestra en la siguiente figura:

De manera que un número complejo en su forma polar se expresa como:

Por lo tanto, podemos establecer la siguiente regla de conversión polar a rectangular y rectangular a polar

Relación Rectangular - Polar

Sea un número complejo rectangular. A partir de Z , su expresión en forma polar será:

La distancia del segmento de recta se calcula igual que el modulo del número complejo expresado en forma rectangular:

Mientras que el ángulo lo obtendremos como:

El ángulo de un número complejo no es único. Si medimos el ángulo en sentido contrario a las manecillas del reloj se considera un ángulo positivo, pero si medimos el ángulo en sentido de las manecillas del reloj será un ángulo negativo, según lo muestra la Figura 2.

Y de acuerdo a la Figura 2, podemos establecer una conversión polar a rectangular usando las funciones trigonométricas:

La parte real de número complejo rectangular laobtendremos como:

Y la parte imaginaria:

Relación Polar - Rectangular

Sea un número complejo expresado en forma polar. A partir de Z , su expresión en forma rectangular está dada por:

Si expresamos al número complejo como un par ordenado:

A la última expresión se le conoce como forma trigonométrica de un número complejo. Algunos libros manejan una forma abreviada como:

Hagamos una tabla donde se resuman todas las formas que hemos visto para expresar un número complejo:

Tabla I. Resumen de las formas de expresar un número complejo

Forma exponencial de un número complejo

En la forma polar, el ángulo se mide en grados sexagesimales. Existe otra forma de expresar un

número complejo que es la forma exponencial, donde el ángulo se mide en radianes.

Recuerde que hay una equivalencia entre grados sexagesimales y radianes 180 .

La forma exponencial de un número complejo es donde r representa el módulo del numero

complejo y el ángulo en radianes.

Para ver de donde proviene esta expresión, recordemos que existe una serie infinita que representa a la cual es:

Si realizamos la sustitución la serie anterior se expresa como:

Y de acuerdo a las potencias de i :

Si agrupamos los términos semejantes:

La parte real es la serie que aproxima a la función mientras que la parte

Imaginaria es la serie que aproxima a la función . De esta manera, podemos

simplificar la expresión anterior:

Multiplicamos ambos lados por el módulo r :

Tenemos la relación entre la forma exponencial y la forma binómica trigonométrica de un número

complejo. Debemos de tener en cuenta que la forma exponencial maneja al ángulo en radianes y la forma binómica trigonométrica en grados sexagesimales.

4.5. Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

El teorema de De Moivre lo empleamos cuando queremos encontrar las enésimas potencias de un número complejo.

Para iniciar el procedimiento de deducción de la fórmula, consideremos a dos números complejos

y realicemos la multiplicación entre ellos:

En el caso en que Z1 Z2 la ecuación anterior resulta:

Ahora, si tenemos tres números complejos iguales , el producto sería:

Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por

z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2...)

Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces, como la ecuación z = rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z-1 que

zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ

Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera.

Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en

(eiθ)n = eiθn (n = 0, ±1, ±2 ...)

Cuando se expresa en la forma

(Cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ

Que se le conoce como la fórmula de Moivre.

1.6. Ecuaciones polinomicas.

Las ecuaciones en general, son igualdades entre expresiones algebraicas en las que intervienen una o más variables. Las ecuaciones constituyen una importante herramienta en el álgebra. Adquirir habilidad para resolverlas resulta de suma importancia, por cuanto ello facilita la solución a múltiples problemas que se presentan en las aplicaciones de matemática.

Cuando las expresiones algebraicas de cada miembro de la igualdad cumplen con ciertas condiciones, las ecuaciones reciben nombres particulares. De esta manera:

Ecuaciones Polinómicas: Son aquellas en las que las expresiones algebraicas que intervienen en la ecuación, son polinomios (existen otras expresiones algebraicas que no son polinomios, tales como las expresiones algebraicas racionales y otras).

Ejemplos:

1. 4x-(3x-4)=6x-(3-8x)+(-2x+29)

Solución

4x-3x+4=6x-3+29-4

4x-3x-6x-8x+2x0-3+29-4

-11x=22

X=22/-11

X=-2

2. 6x-(4x-7)=5x-(4-9x)+(-4x+35)

Solución

6x-4x+7=5x-4+9x-4x+35

6x-4x-5x-9x+4x=-4+35-7

-8x=26

X=- 13/4

BIBLIOGRAFIA

http://www.edutecne.utn.edu.ar/autovalores/num_complejos.pdf

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Numeros_complejos_operaciones/Numeros_complejos_operaciones.htm

http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad2/Ecuaciones/u2ecupr50a.pdf

http://www.fra.utn.edu.ar/catedras/algebra/lecturas/Numeros_complejos.pdf

http://algebra.materia.unsl.edu.ar/Teorias/Complejos2011.pdf