1. Numeros Complejos

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1 1NUMEROS COMPLEJOS 1.1 Definicin y origen de los nmeros complejos.

Todonmerocomplejo(oimaginario)esunaexpresindelaforma dondeesla parte real y es la parte imaginaria. Tanto como son reales, e Losnmeroscomplejosaparecenaltratarderesolverecuacionesdeltipo . Despejando a se obtiene que se escribe

ElorigendelosnmeroscomplejosseremontaalsigloXVIenqueCardanollamraz ficticia a las races negativas de una ecuacin. Otros matemticos posteriormente las llamaron races falsas o races sordas. En1572RafaelBombellisealqueerannecesariaslascantidadesimaginariaspara resolver ecuaciones algebraicas que tuvieran la forma ., donde es cualquier nmero positivo. El brillante matemtico Leonhard Euler design por a El smbolo expresa en forma precisa una idea abstracta, ya que se puede preguntar Existe algn nmero que se multiplique por s mismo y de ? Losnmeroscomplejossepuedengraficarenelplanocomplejocreadoporelgran matemtico Gauss, quien coloc en el eje la parte , y en el eje la parte es decir, el eje o eje real (Re) representa la parte real de un nmero complejo y el eje o eje imaginario (Im) la parte imaginaria del nmero complejo. Otra forma de representar un nmero complejo es el par real . Grfica 1: Representacin del nmero complejo .

Deacuerdoalagrficaanteriorlosnmerosrealesestncontenidosenlosnmeros complejos,yaqueenelplanoelnmerocomplejo coincideconelnmeroreal, donde En el caso de los nmeros complejos de la forma son llamados imaginarios puros.2 1.2 Operaciones fundamentales con nmeros complejos.

Losnmeroscomplejoscumplenlasreglasdellgebrayaquesepuedensumar,restar, multiplicar, dividir (excepto la divisin por Antes de ver la suma de nmeros complejos escribiremos en funcin de diferentes expresiones: Con los iesultauos ue los ejeicicios y iesuelva el ejeicicio COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.

3 Suma de un nmero complejo Para sumar dos nmeros complejos se suma primero la parte real del primer nmero con la parterealdelsegundo.Luegosesumalaparteimaginariadelprimernmeroconlaparte imaginaria del segundo. En forma de ecuacin queda como sigue: Por ejemplo:

La suma anterior se realiz en tres pasos, se recomienda al principio practicar los tres pasos, con un poco de prctica podemos realizar solo los dos ltimos pasos, cuando tengamos varios ejercicios resueltos podremos aplicar directamente el ltimo paso.Veamos otros ejemplos con dos pasos: Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso a paso en forma manual, y as obtenemos un resultado exacto. Observe que el resultado anterior est en fracciones por lo que es exacto, si usamos decimales el resultado NO es exacto. Veamos el caso de: 4 En el caso anterior se puede reportar el resultado como: los cuales no son iguales y NO son exactos. Es por esto que debemos siempre tratar de dar resultados en fracciones (quebrados) y no en decimales. Resolvamos otro ejercicio.

RESUELVA EL SIGUIENTE EJERCICIO.

Resta de un nmero complejo

Para restar dos nmeros complejos hay dos formas para hacerlo: Laprimeraesqueselerestaalaparterealdelprimernmerolaparterealdelsegundo. Luegoserestaalaparteimaginariadelprimernmerolaparteimaginariadelsegundo.En forma de ecuacin queda como sigue: Resolvamos varios ejemplos: Para resolver el ejercicio anterior se aplic la ley de los signos Resolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual: 5 Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso a paso en forma manual, y as obtenemos un resultado exacto. RESUELVA EL SIGUIENTE EJERCICIO. Lasegundaformaderestarnmeroscomplejosesusarlasleyesdelossignospara cambiarelsignoalaparterealeimaginariadelsegundonmerocomplejoconloquela ecuacinsetransformaenunasumadenmeroscomplejos,estoesmuytil,enespecial cuando hay signos negativos en el segundo nmero complejo.En forma de ecuacin queda as:

Resolveremosconlasegundaformaalgunosdelosejerciciosquehicimosconlaprimera forma,observequeserequieredeunpasoadicionalparahacerelcambiodesignoenel segundonmerocomplejoquedandolaecuacincomosumadedosnmeroscomplejosen vez de resta:

RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. 6 Si comparamos las dos formas de restar nmeros complejos aunque la segunda tiene un paso adicional (que es transformar una resta en suma a travs del cambio de signo del segundo nmero complejo) puede ser ms til que la primera forma, por no tener que estar al pendiente de los signos. Multiplicacin de nmeros complejos Para multiplicar dos nmeros complejos se procede a multiplicar como si se tratase del producto de dos binomios. Uno de los trminos tendr donde es equivalente a: . En forma de ecuacin: Resolvamos algunos ejemplos: 0bseiveque se sustituyo en la ecuacion poiSiempie se uebe hacei asi Para resolver el ejercicio anterior se aplic la ley de los signos C0NPR0EBE LAS SIu0IENTES N0LTIPLICACI0NES 7 Observe que en el ejercicio anterior se inicia multiplicando los primeros dos binomios, luego se simplific el resultado hasta tener un binomio , enseguida se multiplicaron el nuevo binomio por el ltimo binomio y se simplific. Resolvamos otros ejercicios. C0NPR0EBE LAS SIu0IENTES N0LTIPLICACI0NES Resolvamos ahora una multiplicacin de fracciones de nmeros complejos Al aplicar ley de los signos y simplificando las fracciones queda: Resolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual: C0NPR0EBE LA SIu0IENTE N0LTIPLICACI0N Divisin de dos nmeros complejos Antes de tratar la divisin de dos nmeros complejos es necesario definir: El conjugado de un nmero complejo es es decir, se cambia el signo delaparteimaginariadelnmerocomplejo.Porejemplo y son conjugados. Tambin son conjugados y , observe que el signo de la parte real no cambia. Demuestre que son vlidas las proposiciones siguientes, para los nmeros complejos: y

8 Piimeio calculamos el lauo izquieiuo y luego el lauo ueiecho Piimeio calculamos el lauo izquieiuo y luego el lauo ueiecho Piimeio calculamos el lauo izquieiuo y luego el lauo ueiecho COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: Si y

Paradividirdosnmeroscomplejossemultiplicanelnumeradoryeldenominadorporel conjugado del denominador y se sustituye por . Recordemos que: para nuestro caso: Veamos varios ejemplos de divisin de nmeros complejos: 9 se vio que y Resolveremos manualmente las fracciones anteriores 10 Si y Como hay que resolver dos divisiones se harn por separado. C0NPR0EBE LAS SIu0IENTES BIvISI0NES 11 Si y Inverso multiplicativo de un nmero complejo. Inteiesa encontiai el valoi ue 75.Calcule el inverso multiplicativo de Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor 76.Calcule el inverso multiplicativo de Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor C0NPR0EBE 00E EL INvERS0 N0LTIPLICATIv0 BE ES 0BTENuA C0NPR0EBE 00E EL INvERS0 N0LTIPLICATIv0 BE ES 0BTENuA 12 79. Calcule el inverso multiplicativo de Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor C0NPR0EBE 00E EL INvERS0 N0LTIPLICATIv0 BE ES 0BTENuA 1.3 Potencias de i , mdulo o valor absoluto de un nmero complejo. Para calcular las potencias de se puede emplear la ecuacin: Si revisamos los valores anteriores podemos ver que: De acuerdo a lo anterior los valores de las potencias de