6.numeros complejos

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  • Unidad 6. Nmeros complejos 1

    Pgina 147

    REFLEXIONA Y RESUELVE

    Extraer fuera de la raz

    Saca fuera de la raz:

    a) b)

    a) = = 4 b) = 10

    Potencias de

    Calcula las sucesivas potencias de :

    a) ( )3 = ( )2( ) = b) ( )4 c) ( )5

    a) ( )3 = ( )2( ) = (1) =

    b) ( )4 = ( )2( )2 = (1) (1) = 1

    c) ( )5 = ( )4 = 1 =

    Cmo se maneja k ?

    Simplifica.

    a) 2 + 11 8

    b)5 + 2 10 + 3

    c) 8 +

    a) 2 + 11 8 = 0 = 0

    b) 5 + 2 10 + 3 = 0

    c) 8 + = + = 1385

    1)5103104108010(112131012511111

    11111

    112

    1310

    125

    1

    1111

    1111

    1

    11111

    111

    11111

    11111

    1

    1

    110011 1616

    10016

    NMEROS COMPLEJOS6

  • Expresiones del tipo a + b

    Simplifica las siguientes sumas:

    a) (3 + 5 ) + (2 4 ) (6 )

    b) (5)(5 + ) 2(1 6 )

    a) (3 + 5 ) + (2 4 ) (6 ) = 1 5

    b) (5)(5 + ) 2(1 6 ) = 3

    Efecta las siguientes operaciones combinadas:

    a) 3(2 4 ) 6(4 + 7 )

    b)8(5 3 ) + 4(3 + 2 )

    a) 3(2 4 ) 6(4 + 7 ) = 6 12 24 42 = 18 54

    b) 8(5 3 ) + 4(3 + 2 ) = 40 24 12 + 8 = 28 16

    Multiplicaciones

    Efecta las siguientes multiplicaciones:

    a) (4 3 ) b) (5 + 2 ) 8

    c) (5 + 2 )(7 3 ) d) (5 + 2 )(5 2 )

    a) (4 3 ) = 4 3( )2 = 4 3 (1) = 3 + 4

    b) (5 + 2 ) 8 = 40 + 16( )2 = 16 + 40

    c) (5 + 2 )(7 3 ) = 35 15 + 14 6( )2 = 35 + 6 = 41

    d) (5 + 2 )(5 2 ) = 25 10 + 10 4( )2 = 25 + 4 = 29

    Ecuaciones de segundo grado

    Resuelve:

    a) x2 + 10x + 29 = 0 b)x2 + 9 = 0

    a) x2 + 10x + 29 = 0 8 x = = = =

    = 5 2

    b) x2 + 9 = 0 8 x2 = 9 8 x = = 3x1 = 3

    1

    x2 = 31

    19

    x1 = 5 + 21

    x2 = 5 21

    1

    10 4 12

    10 162

    10 100 1162

    11111

    1111111

    11111

    111111

    1111

    1111

    11111

    11111

    11

    11

    111

    1111

    11

    111

    1

    Unidad 6. Nmeros complejos2

  • Pgina 149

    1. Representa grficamente los siguientes nmeros complejos y di cules sonreales, cules imaginarios y, de estos, cules son imaginarios puros:

    5 3i; + i; 5i; 7; i; 0; 1 i; 7; 4i

    Reales: 7, 0 y 7

    Imaginarios: 5 3i, + i, 5i, i, 1 i, 4i

    Imaginarios puros: 5i, i, 4i

    Representacin:

    2. Obtn las soluciones de las siguientes ecuaciones y represntalas:

    a) z2 + 4 = 0 b) z2 + 6z + 10 = 0

    c) 3z2 + 27 = 0 d) 3z2 27 = 0

    a) z = = = 2i

    z1 = 2i, z2 = 2i

    b) z = = =

    = = 3 i; z1 = 3 i, z2 = 3 + i

    3 + i

    3 i

    6 2i2

    6 42

    6 36 402

    2i

    2i

    4i2

    162

    i + i12

    54

    5 3i

    4i

    5i

    771 i

    3i

    1

    3

    354

    12

    354

    12

    Unidad 6. Nmeros complejos 3

    6UNIDAD

  • c) z2 = 9 8 z = = 3i

    z1 = 3i, z2 = 3i

    d) z2 = 9 8 z = 3

    z1 = 3, z2 = 3

    3. Representa grficamente el opuesto y el conjugado de:

    a) 3 5i b) 5 + 2i c) 1 2i d) 2 + 3i

    e) 5 f) 0 g) 2i h) 5i

    a) Opuesto: 3 + 5i

    Conjugado: 3 + 5i

    b) Opuesto: 5 2i

    Conjugado: 5 2i

    5 2i

    5 + 2i

    5 2i

    3 + 5i 3 + 5i

    3 5i

    3 3

    3i

    3i

    9

    Unidad 6. Nmeros complejos4

  • c) Opuesto: 1 + 2i

    Conjugado: 1 + 2i

    d) Opuesto: 2 3i

    Conjugado: 2 3i

    e) Opuesto: 5

    Conjugado: 5

    f) Opuesto: 0

    Conjugado: 0

    g) Opuesto: 2i

    Conjugado: 2i

    h) Opuesto: 5i

    Conjugado: 5i5i

    5i

    2i

    2i

    0

    55

    2 + 3i

    2 3i 2 3i

    1 2i

    1 + 2i 1 + 2i

    Unidad 6. Nmeros complejos 5

    6UNIDAD

  • 4. Sabemos que i2 = 1. Calcula i3, i4, i5, i6, i20, i21, i22, i23. Da un criteriopara simplificar potencias de i de exponente natural.

    i3 = i i4 = 1 i5 = i i6 = 1

    i20 = 1 i21 = i i22 = 1 i23 = i

    CRITERIO: Dividimos el exponente entre 4 y lo escribimos como sigue:

    in = i4c + r = i4c i r = (i4)c i r = 1c i r = 1 i r = i r

    Por tanto, in = i r, donde r es el resto de dividir n entre 4.

    Pgina 151

    1. Efecta las siguientes operaciones y simplifica el resultado:

    a) (6 5i) + (2 i) 2(5 + 6i)

    b) (2 3i) (5 + 4i) + (6 4i)

    c) (3 + 2i) (4 2i)

    d) (2 + 3i) (5 6i)

    e) (i + 1) (3 2i) (1 + 3i)

    f) g) h)

    i ) j ) k)

    l ) 6 3 5 + i m)

    a) (6 5i) + (2 i) 2(5 + 6i) = 6 5i + 2 i + 10 12i = 18 18i

    b) (2 3i) (5 + 4i) + (6 4i) = 2 3i 5 4i + 3 2i = 9i

    c) (3 + 2i) (4 2i) = 12 6i + 8i 4i2 = 12 + 2i + 4 = 16 + 2i

    d) (2 + 3i) (5 6i) = 10 12i + 15i 18i2 = 10 + 3i + 18 = 28 + 3i

    e) (i + 1) (3 2i) (1 + 3i) = (3i + 2i2 + 3 2i ) (1 + 3i) = (3 2 5i) (1 + 3i) =

    = (1 5i) (1 + 3i) = 1 + 3i 5i 15i2 = 1 + 15 2i = 16 2i

    f ) = = = = = i

    g) = = = = =

    = i1310

    110

    1 13i10

    3 13i 49 + 1

    3 i 12i + 4i2

    9 i2(1 4i) (3 i)(3 + i) (3 i)

    1 4i3 + i

    20i20

    20i16 + 4

    8 + 4i + 16i + 8i2

    16 4i2(2 + 4i) (4 + 2i)(4 2i) (4 + 2i)

    2 + 4i4 2i

    12

    (3i)2 (1 2i)2 + 2i)25(

    4 2ii

    1 + 5i3 + 4i

    5 + i2 i

    4 + 4i3 + 5i

    1 4i3 + i

    2 + 4i4 2i

    12

    Unidad 6. Nmeros complejos6

  • h) = = = =

    = = i = i

    i) = = = = =

    = + i

    j) = = = =

    = = + i

    k) = = = 4i 2 = 2 4i

    l) 6 3 (5 + i) = 6 15 + i = 9 + im) = = = =

    = = = =

    = = + i = + i

    2. Obtn polinomios cuyas races sean:

    a) 2 + i y 2 i b) 3i y 3i c) 1 + 2i y 3 4i

    (Observa que solo cuando las dos races son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales).

    a) [x (2 + i)] [x (2 i)] == [(x 2) i] [(x 2) + i] = (x 2)2 ( i )2 == x2 4x + 4 3i2 = x2 4x + 4 + 3 = x2 4x + 7

    b) [x (3i)] [x 3i] = [x + 3i] [x 3i] = x2 9i2 = x2 + 9

    c) [x (1 + 2i )] [x (3 4i )] = [(x 1) 2i ] [(x 3) + 4i ] =

    = (x 1) (x 3) + 4 (x 1) i 2 (x 3) i 8i2 =

    = x2 4x + 3 + (4x 4 2x + 6) i + 8 = x2 4x + 11 + (2x + 2) i =

    = x2 4x + 11 + 2ix + 2i = x2 + (4 + 2i )x + (11 + 2i )

    333

    33

    33

    274

    94

    548

    188

    18 + 54i8

    18 + 54i + 364 + 4

    18 + 18i + 36i 36i2

    4 4i2(9 + 18i) (2 2i)(2 + 2i) (2 2i)

    9 + 18i(2 + 2i)

    9 (1 2i)(2 + 2i)

    9i2 (1 2i)(2 + 2i)

    (3i)2 (1 2i)(2 + 2i)

    65

    65

    25

    4i + 2i2

    1(4 2i) (i)

    i (i)4 2i

    i

    1125

    2325

    23 + 11i25

    3 + 11i + 209 + 16

    3 4i + 15i 20i2

    9 16i2(1 + 5i) (3 4i)(3 + 4i) (3 4i)

    1 + 5i3 + 4i

    35

    115

    11 + 3i5

    10 + 3i 15

    10 + 5i 2i + i2

    4 + 1(5 + i) (2 + i)(2 i) (2 + i)

    5 + i2 i

    1617

    417

    3234

    834

    8 32i34

    12 32i + 209 + 25

    12 20i 12i 20i2

    9 25i2(4 + 4i) (3 5i)(3 + 5i) (3 5i)

    4 + 4i3 + 5i

    Unidad 6. Nmeros complejos 7

    6UNIDAD

  • 3. Cunto debe valer x, real, para que (25 xi)2 sea imaginario puro?

    (25 xi)2 = 625 + x2i2 50xi = (625 x2) 50xi

    Para que sea imaginario puro:

    625 x2 = 0 8 x2 = 625 8 x = = 25

    Hay dos soluciones: x1 = 25, x2 = 25

    4. Representa grficamente z1 = 3 + 2i, z2 = 2 + 5i, z1 + z2. Comprueba que z1 + z2 es una diagonal del paralelogramo de lados z1 y z2.

    z1 + z2 = 5 + 7i

    Pgina 153

    1. Escribe en forma polar los siguientes nmeros complejos:

    a) 1 + i b) + i c) 1 + i

    d) 5 12i e) 3i f) 5

    a) 1 + i = 260 b) + i = 230 c) 1 + i = 135

    d) 5 12i = 13292 37' e) 3i = 390 f) 5 = 5

    2. Escribe en forma binmica los siguientes nmeros complejos:

    a) 5(/6) rad b) 2135 c) 2495

    d) 3240 e) 5180 f) 490

    a) 5(/6) = 5 (cos + i sen ) = 5 ( + i ) = + ib) 2135 = 2(cos 135 + i sen 135) = 2 ( + i ) = + i222222

    52

    532

    12

    32

    6

    6

    233

    33

    7i

    i

    5i

    z1 + z2

    z1

    z2

    1 2 3 4 5

    625

    Unidad 6. Nmeros complejos8

  • c) 2495 = 2135 = + i

    d) 3240 = 3(cos 240 + i sen 240) = 3 ( i ) = ie) 5180 = 5

    f) 490 = 4i

    3. Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del nmero complejo z = ra .

    Opuesto: z = r180 + a Conjugado: z = r360 a

    4. Escribe en forma binmica y en forma polar el complejo:

    z = 8(cos 30 + i sen 30)

    z = 830 = 8 (cos 30 + i sen 30) = 8 ( + i ) = + i = 4 + 4i5. Sean los nmeros complejos z1 = 460 y z2 = 3210.

    a) Expresa z1 y z2 en forma binmica.

    b) Halla z1 z2 y z2/z1, y pasa los resultados a forma polar.

    c) Compara los mdulos y los argumentos de z1 z2 y z2/z1 con los de z1y z2 e intenta encontrar relaciones entre ellos.

    a) z1 = 460 = 4 (cos 60 + i sen 60) = 4 ( + i ) = 2 + 2 iz2 = 3210 = 3 (cos 210 + i sen 210) = 3 ( i ) = i

    b) z1 z2= (2 + 2 i ) ( i ) == 3 3i 9i 3 i2 = 3 12i + 3 = 12i = 12270

    = = =

    = = = = ( )150

    c) z1 z2 = 460 3210 = (4 3)60 + 210 = 12270

    = = ( )210 60

    = ( )150

    34

    34

    3210460

    z2z1

    34

    63 + 6i16

    33 + 6i 3

    3

    4 + 123

    3 3i + 9i + 3

    3i2

    4 12i2

    33 3( i) (2 23i)2 2

    (2 + 23i)(2 23i)

    33 3( i)2 2

    (2 + 23i)z2z1

    3333

    32

    332

    3

    32

    332

    12

    32

    332

    12

    382

    832

    12

    32

    332

    32

    32

    12

    22

    Unidad 6. Nmeros complejos 9

    6