UNIDAD 25

Números complejos

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Docente: Ma. Belén Platero

INDICE

Origen de los números complejo

Definición

Partes de un número complejo

Opuesto de un número complejo

Conjugado de un número complejo

Potencias

Regla para elevar (i) a cualquier potencia

Operaciones

Representación gráfica

Módulo y argumento

Forma de representar los números complejos

Algunas aplicaciones de los números complejos

Origen de los números complejos

• La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.

• Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

Definición

Llamamos números complejos a los números de

la forma Z= a + bi, donde a y b son números reales

e i es la unidad imaginaria

Número real

Conjunto formado por los números racionales y los

irracionales.

Se representa con la letra ℝ

Unidad imaginaria

Definimos el número i, al que llamamos unidad imaginaria, de un número complejo al número

−1 → 𝑖2 = ( −1)2= -1

¡recuerda!

i2 = -1

Partes de un número complejo

a es la parte real de z b es la parte imaginaria de z

Nº Parte realParte

imaginarialasificación

-2+3i -2 3 Complejo

0+2i 0 2Imaginario

puro

5+0i 5 0 Real

Si z es un número complejo:

z = a + bi

Ejemplos:

Opuesto de un número complejo

z -z

5+i -5-i

3-6i -3+6i

-9+2i 9-2i

-1-3i 1+3i

El complejo opuesto de z = a + bi es –z y tiene

opuestas las componentes real e imaginaria de z.

-z = - a – bi.

Ejemplos:

Conjugado de un número complejo

z z

5+i 5-i

3-6i 3+6i

-9+2i -9-2i

-1-3i -1+3i

Dado un complejo z = a + bi , su conjugado (z) tiene

la misma parte real y opuesta la parte imaginaria.

z= a – bi

Ejemplos:

Potencias

• 𝑖0 = 1 (Como cualquier número elevado a la

cero)

• 𝑖2 = −1 (Por definición de la unidad imaginaria)

• 𝑖3 = 𝑖 ∙ 𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑖2 ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝑖

• 𝑖4 = 𝑖 ∙ 𝑖 ∙ 𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑖2 ∙ 𝑖2 = −1 ∙ −1 = 1

Regla para elevar (i) a cualquier potencia

• Hay que dividir la potencia de i por 4 y luego

elevamos la i al resto de la división:

Ejemplo: 𝑖322 = 𝑖𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛 = 𝑖2 = −1

322 4

02 80

2

Operaciones

En el conjunto de los números complejos (C) están

bien definidas las cuatro operaciones básicas:

Suma

Resta

Multiplicación

División

Suma

La suma de números complejos se realiza sumando las partes reales e imaginarias por separado.

Ejemplo:

Para sumar z1 = 1 + 4i y z2 = 2 - 2i se suman las partes reales 1 y 2, y a continuación las partes imaginarias 4 y

-2, dando como resultado z1+ z2 = 3 + 2i.

En general decimos que para la suma se cumple siempre que:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Resta

Definimos a la resta z1- z2 como la suma entre z1

y el opuesto de z2.

Ejemplo:

Para restar z1 = 1 + 4i y z2 = 2 - 2i se suman z1

y - z2. Hacemos (1+4i)+(-2+2i), luego sumamos las partes reales 1 y -2, y a continuación las partes imaginarias 4 y 2, dando como resultado z1- z2 = -1 + 6i.

En general decimos que para la resta se cumple siempre que:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Multiplicación

La multiplicación de números complejos se basa en que i2 = -1, y que es válida la propiedad distributiva respecto de la suma y de la resta.

Ejemplo:

Sean z1 = 3+2i y z2 = 2-4i.

Para hacer z1* z2 , aplicamos la propiedad distributiva:

(3+2i).(2-4i) = 6 – 12i + 4i – 8i2

= 6 – 12i + 4i – 8.(-1)

= 6 – 12i + 4i + 8

= 14 – 8i

División

La división de números complejos se basa en que i2 = -1, y que es válida la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y de la resta.

Ejemplo:

Sean z1= 3+2i y z2=2-4i.

Para hacer z1: z2 , multiplicamos z1 y z2 por el conjugado del divisor (z2) aplicando la propiedad distributiva:

2

2

16884

84126

42

42

42

23

iii

iii

i

i

i

i

ii

i

ii

5

4

10

1

20

162

164

8166

)1(164

)1(84126

Representación gráfica

Los números complejos se representan en el plano mediante un sistema de ejes de coordenadas cartesianas, donde el eje horizontal será el eje real y el vertical el eje imaginario.

El número quedará representado por un par ordenado (a ; b) o bien mediante un vector que une el origen con el punto (a ; b).

Ejemplo:

Eje real

Eje imaginario

4

2Z = 4 + 2i

Módulo y Argumento

• El módulo de un número complejo 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es la longitud del vector posición.

• El módulo se designa entre barras y se calcula con el Teorema

de Pitágoras: 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝑍 = 𝑎2 + 𝑏2

• El Argumento 𝜶 de un número complejo 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , es el ángulo que forma el semieje positivo de X con el vector posición de Z. Se calcula la expresión:

𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑏

𝑎

Módulo y Argumento

• Ejemplo

Calcula el Módulo y el argumento de 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖

𝑍 = 4 − 3𝑖 → 𝑍 = 42 + −3 2 = 16 + 9 = 25 = 5

𝑍 = 4 − 3𝑖 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 −3

4= −36°52′11′′

Módulo y Argumento

Forma de representar un número complejo

• Forma binómica Z= a + bi

• Forma Vectorial Z = (a, b)

• Forma Polar Z =|Z|𝛼

• Forma Trigonométrica 𝑍 = 𝑍 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼

Forma binómica y vectorial

Ejemplos

• Forma binómica Z= 2 + 3i

• Forma Vectorial Z= (2, 3)

Nota: Forma vectorial o también se lo llama forma cartesiana

Forma polar y trigonométrica

• Forma polar 𝑍 = 445° es un número cuyo

módulo vale 4 y su argumento es 45°

• Forma trigonométrica

Z= 4 (cos45° + i . sen45°)

es un número cuyo módulo vale 4 y su argumento

es 45°Nota: o sea que cuando quiero pasar un número complejo de la forma

cartesiana o binómica a la forma polar o a la trigonométrica primero

deberán calcular el Módulo y el Argumento.

Algunas aplicaciones de los números complejos

• Los números complejos se usan en ingeniería

electrónica y en otros campos para una descripción

adecuada de las señales periódicas variables

• Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la

unidad imaginaria en vez de i que está típicamente

destinada a la intensidad de corriente.

• Los fractales son diseños artísticos de infinita

complejidad. En su versión original, se los

define a través de cálculos con números

complejos en el plano.