Teoria numeros complejos

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Matematica Cuarta Etaoa

Origen de los nmeros complejosLa primera referencia conocida a races cuadradas de nmeros negativos proviene del trabajo de los matemticos griegos, como Hern de Alejandra en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible seccin de una pirmide. Los complejos se hicieron ms patentes en el Siglo XVI, cuando la bsqueda de frmulas que dieran las races exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemticos italianos como Tartaglia, Cardano.Aunque slo estaban interesados en las races reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con races de nmeros negativos. El trmino imaginario para estas cantidades fue acuado por Descartes en el Siglo XVII y est en desuso. La existencia de nmeros complejos no fue completamente aceptada hasta la ms abajo mencionada interpretacin geomtrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos aos despus y popularizada por Gauss. La implementacin ms formal, con pares de nmeros reales fue dada en el Siglo XIX.

Partes de un nmero complejo

a es la parte real de zb es la parte imaginaria de zN Parte realParte imaginarialasificacin-2+3i-23Complejo0+2i02Imaginario puro5+0i50RealSi z es un nmero complejo:z = a + bi

Ejemplos:

DivisinLa divisin de nmeros complejos se basa en que i2 = -1, y que es vlida la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la suma y de la resta.Ejemplo:Sean z1= 3+2i y z2=2-4i.Para hacer z1: z2 , multiplicamos z1 y z2 por el conjugado del divisor (z2) aplicando la propiedad distributiva:

Opuesto de un nmero complejoz-z5+i-5-i3-6i-3+6i-9+2i9-2i-1-3i1+3iEl complejo opuesto de z = a + bi es z y tiene opuestas las componentes real e imaginaria de z.-z = - a bi.Ejemplos:Nmero realUnidad imaginariaConjugado de un nmero complejo

zz5+i5-i3-6i3+6i-9+2i-9-2i-1-3i-1+3iDado un complejo z = a + bi , su conjugado (z) tiene la misma parte real y opuesta la parte imaginaria. z= a biEjemplos:

PotenciasForma de representar un nmero complejoAlgunas aplicaciones de los nmeros complejosLos nmeros complejos se usan eningeniera electrnicay en otros campos para una descripcin adecuada de las seales peridicas variablesIngenieros elctricos y fsicos usan la letrajpara la unidad imaginaria en vez deique est tpicamente destinada a la intensidad de corriente.Losfractalesson diseos artsticos de infinita complejidad. En su versin original, se los define a travs de clculos con nmeros complejos en el plano.SumaLa suma de nmeros complejos se realiza sumando las partes reales e imaginarias por separado.Ejemplo: Para sumar z1 = 1 + 4i y z2 = 2 - 2i se suman las partes reales 1 y 2, y a continuacin las partes imaginarias 4 y -2, dando como resultado z1+ z2 = 3 + 2i. En general decimos que para la suma se cumple siempre que: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

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