DESARROLLO DE PROCESOS ALGEBRAICOS Y CÁLCULO DE ÁREAS, PERÍMETROS Y VOLÚMENES

UNIDAD II. UNIDAD II.

NÚMEROS COMPLEJOSNÚMEROS COMPLEJOS

Resultado de Aprendizaje:Operar números complejos en forma Binómica

El conjunto de números Reales

Definición de números complejos

Los números complejos expresan la suma entre un número real y un número imaginario. Un número real es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a √-1 el nombre de i (de “imaginario”).

La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de expresar las raíces de orden par de los números negativos. Los números complejos pueden expresar todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.

De esta forma, los números complejos se usan en diversos campos de las matemáticas, en la física y en la ingeniería. Gracias a su capacidad para representar la corriente eléctrica y las ondas electromagnéticas, son utilizados con frecuencia por la electrónica y las telecomunicaciones.

El cuerpo de los números reales está formado por pares ordenados (a, b). El primer componente (a) es la parte real, mientras que el segundo componente (b) es la parte imaginaria. Los números imaginarios puros son aquellos que sólo están formados por la parte imaginaria (por lo tanto, a=0).

Los números complejos forman el cuerpo complejo (C). Cuando el componente real a es identificado con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales (R) aparece como un subcuerpo de C. Por otra parte, C forma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R. Esto demuestra que los números complejos no pueden ser ordenados, a diferencia de los números reales.

Potencias de la unidad imaginaria i0 = 1 i1 = i i2 = −1 i3 = −i

i4 = 1 i5 = i i6 = −1 i7 = −i Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

EJEMPLO: EJERCICIOS (Pág 38)Manual del estudiantes :

Calcular el valor de las siguientes potencias de i. 

1) i25

 2) i101

3) i42

Números complejos en forma binómica Al número a + bi le llamamos número complejo en forma

binómica . El número a se llama parte real del número complejo. El número b se llama par te imaginaria del número complejo

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi , y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por : Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos. Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman

conjugados. Dos números complejos son iguales cuando t tienen la misma

componente real y la misma componente imaginaria.

 Sea a+bi, un numero complejo, entonces su conjugado es el complejo a-bi.En concreto para obtener el conjugado de un complejo basta cambiarle al complejo el signo de su parte imaginaria.  EJMPLOS:Hallar el conjugado de los siguientes complejos.1) 2+3i = 2-3i2) -5-4i = -5+4i3) -8i = 8iEjercicio: Hallar el conjugado de los siguientes complejos. -3-3i =_____________ 4-8i =_____________

CONJUGADO DE UN COMPLEJO

Representación gráfica de números complejos

Los números complejos se representan en unos ejes car tesianos. El eje X se l lama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa:Por el punto (a,b) , que se llama su afijo ,

Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b)

Representación gráfica de números complejos

Representación gráfica de números complejos

Recordar: Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real , X. Los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.

Suma y diferencia de números complejos La suma y diferencia de números complejos

se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí .

( a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i ( a + bi ) − (c + di ) = (a − c) + (b − d)iEjemplo: ( 5 + 2 i ) + ( − 8 + 3 i ) − (4 − 2i ) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2) i = −7 + 7i

Operaciones de números Operaciones de números complejos encomplejos en

la forma binómicala forma binómica

Multiplicación de números complejos El producto de los números complejos se realiza

aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que :

i 2 = −1. ( a + bi ) · (c + di ) = (ac − bd) + (ad + bc)

i ( 5 + 2 i ) · ( 2 − 3 i ) = =10 − 15i + 4i − 6 i 2 = 10 − 11i + 6 = 16 −

11i

Operaciones de números Operaciones de números complejos encomplejos en

la forma binómicala forma binómica

División de números complejos El cociente de números complejos se hace

racionali zando el denominador ; esto es, multiplicando numer

Dividir:

Operaciones de números Operaciones de números complejos encomplejos en

la forma binómicala forma binómica

Forma polar de un Forma polar de un complejocomplejo ¿Que es un sistema de coordenadas

polares? El sistema de coordenadas polares es un

sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia.

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia.

Coordenadas polares

Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica , todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

Localización de un punto en una coordenada polar

Sistema de coordenadas polares con varios ángulos medidos en grados.

Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares.

Repasamos de nuevo: Otra definición de coordenadas polares Es un plano en el cual se localiza un punto fijo

“0” llamado: ORIGEN o POLO, a partir del cual se dibuja un segmento de línea o recta horizontal dirigido hacia la derecha llamado: EJE POLAR.

Un punto cualquiera “P”en este plano se

ubica por el par ordenado(r, θ), donde “r”

es una longitud que se mide sobre el eje polar

y “θ” indica el desplazamiento del eje polar.

Forma polar de un Forma polar de un complejocomplejo

Circulo unitarioEn el circulo unitario se pueden apreciar los valores del seno y del coseno para los ángulos notables así como también de los ángulos equivalentes en los otros cuadrantes,. En los pares indicados, la primera componente es el valor del coseno y la segunda componente el valor del seno para cada valor expresado tanto en radianes como en grados.

Ejercicios de aplicación pág. .45

CONVERSIÓN DE LA FORMA RECTANGULAR A POLAR Y VICEVERSA.

Consideremos el siguiente diagrama

Es la representación simultanea del punto P, tanto en el plano cartesiano (x, y), como en el plano polar (r, θ).A partir del gráfico podemos obtener la relación de ambos sistemas de coordenadas. Al observar el grafico, podemos expresar que:

Ejemplo: Convertir (2,5) a forma polar

Desarrolle el siguiente ejercicio convirtiendo a forma polar : ( -3,4 )

Luego (-3,4) equivale a (5,126.870)

Tu turno …

Convertir las siguientes coordenadas polares a su equivalente rectangular.

1. (2,2π/3)2. (10,5/4π)3. (9,-π/3)

Solución …

2

120º60º

y

x

Para hallar “ y”Sen α = cat. op. Hip.Sen α = y y = r sen α r y = 2 sen 60º y = 1.73

Para hallar “x”Cos α = cat. Ady. Hip.Cos α = x x = r cos α r x = 2 cos 60º x = 1 Ojo: como el punto en x esta en el cuadrante II, por lo tanto es negativo

)73.1,1()3/2,2(

Solución …

Conversión de un Conversión de un complejo a Polarcomplejo a Polar

Módulo de un complejo …

Ejercicio …

Para los siguientes complejos en forma estándar, o rectangular a su forma polar equivalente. a) z1=8-2i b) z2=6+5i c) z3=-2+4i

z1=8 - 2i

z1=8+ 2i

Números complejos en su forma polar a su equivalente en forma estándar o rectangular

a)z1=10cis1200

b)z2 =15 ‹ 2250

c)z3=36e-π/3i

Solución a) z1=10cis1200

Ir al circulo unitario y encontrar el equivalente de 120º

Ya recordaste que 120º = 2/3 π = (-1/2, √3/2)Entonces sustituye =Z1= 10 ( cos 120º+isen120ª)= 10(-1/2+ √3/2)

z1?= -5 + 8.66 i

Tu turno

Continua ….