Tema numeros complejos

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  • 1. DESARROLLO DE PROCESOS ALGEBRAICOS Y CLCULO DEREAS, PERMETROS Y VOLMENESUNIDAD II.NMEROS COMPLEJOS Resultado de Aprendizaje: Operar nmeros complejos en forma Binmica

2. El conjunto de nmeros Reales 3. Definicin de nmeros complejosLos nmeros complejos expresan la suma entreun nmero real y un nmero imaginario. Unnmero real es aquel que puede ser expresadopor un nmero entero (4, 15, 2686) o decimal(1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, unnmero imaginario es un nmero cuyo cuadradoes negativo. El concepto de nmero imaginariofue desarrollado por Leonhard Euler en 1777,cuando le otorg a -1 el nombre de i (deimaginario). 4. La nocin de nmero complejo aparece ante laimposibilidad de los nmeros reales de expresarlas races de orden par de los nmeros negativos.Los nmeros complejos pueden expresar todas lasraces de los polinomios, algo que los nmerosreales no estn en condiciones de hacer. De esta forma, los nmeros complejos se usan endiversos campos de las matemticas, en la fsica yen la ingeniera. Gracias a su capacidad pararepresentar la corriente elctrica y las ondaselectromagnticas, son utilizados con frecuenciapor la electrnica y las telecomunicaciones. 5. El cuerpo de los nmeros reales est formado por paresordenados (a, b). El primer componente (a) es la partereal, mientras que el segundo componente (b) es laparte imaginaria. Los nmeros imaginarios puros sonaquellos que slo estn formados por la parteimaginaria (por lo tanto, a=0). Los nmeros complejos forman el cuerpo complejo (C).Cuando el componente real a es identificado con elcomplejo (a, 0), el cuerpo de los nmeros reales (R)aparece como un subcuerpo de C. Por otra parte, Cforma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R.Esto demuestra que los nmeros complejos no puedenser ordenados, a diferencia de los nmeros reales. 6. Potencias de la unidad imaginariai0 = 1i1 = ii2 = 1i3 = i i4 = 1 i5 = ii6 = 1i7 = iLos valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cunto vale unadeterminada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponentede la potencia equivalente a la dada. 7. EJEMPLO: EJERCICIOS (Pg 38)Manual del estudiantes : Calcular el valor de las siguientes potencias de i. 1) i25 2) i101 3) i42 8. Nmeros complejos en forma binmica Al nmero a + bi le llamamos nmero complejo en forma binmica . El nmero a se llama parte real del nmero complejo. El nmero b se llama par te imaginaria del nmero complejo Si b = 0 el nmero complejo se reduce a un nmero real ya que a + 0i =a. Si a = 0 el nmero complejo se reduce a bi , y se dice que es un nmeroimaginario puro.El conjunto de todos nmeros complejos se designa por : Los nmeros complejos a + bi y a bi se llaman opuestos. Los nmeros complejos z = a + bi y z = a bi se llaman conjugados. Dos nmeros complejos son iguales cuando t tienen la misma componentereal y la misma componente imaginaria. 9. CONJUGADO DE UN COMPLEJOSeaa+bi,unnumerocomplejo,entoncessuconjugadoeselcomplejoa-bi.Enconcretoparaobtenerelconjugadodeuncomplejobastacambiarlealcomplejoelsignodesuparteimaginaria.EJMPLOS:Hallarelconjugadodelossiguientescomplejos.1)2+3i=2-3i2)-5-4i=-5+4i10)-8i=8iEjercicio:Hallarelconjugadodelossiguientescomplejos.-3-3i=_____________4-8i=_____________ 10. Representacin grfica de nmeros complejosLos nmeros complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se l lama eje real y el Y, ejeimaginario. El nmero complejo a + bi serepresenta:Por el punto (a,b) , que se llama su afijo , 11. Representacin grfica de nmeros complejos Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b) 12. Representacin grfica de nmeros complejosRecordar:Los afijos de los nmeros reales se sitan sobre el ejereal , X.Los imaginarios sobre el eje imaginario, Y. 13. Operaciones de nmeros complejos en la forma binmicaSuma y diferencia de nmeros complejos La suma y diferencia de nmeros complejos serealiza sumando y restando partes reales entre s ypartes imaginarias entre s . ( a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i ( a + bi ) (c + di ) = (a c) + (b d)iEjemplo: ( 5 + 2 i ) + ( 8 + 3 i ) (4 2i )= (5 8 4) + (2 + 3 + 2) i= 7 + 7i 14. Operaciones de nmeros complejos en la forma binmica Multiplicacin de nmeros complejos El producto de los nmeros complejos se realizaaplicando la propiedad distributiva del productorespecto de la suma y teniendo en cuenta que : i 2 = 1. ( a + bi ) (c + di ) = (ac bd) + (ad + bc) i (5+2i)(23i)= =10 15i + 4i 6 i 2 = 10 11i + 6 = 16 11i 15. Operaciones de nmeros complejos en la forma binmica Divisin de nmeros complejos El cociente de nmeros complejos se hace racionalizando el denominador ; esto es, multiplicando numer Dividir: 16. Forma polar de un complejo Que es un sistema de coordenadas polares? El sistema de coordenadas polares es unsistema de coordenadas bidimensional en el cualcada punto del plano se determina por un ngulo yuna distancia. De manera ms precisa, se toman: un punto O delplano, al que se le llama origen o polo, y una rectadirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O,llamada eje polar (equivalente al eje x del sistemacartesiano), como sistema de referencia. 17. Coordenadas polares Con este sistema de referencia y una unidad demedida mtrica , todo punto P del planocorresponde a un par ordenado (r, ) donde r es ladistancia de P al origen y es el ngulo formadoentre el eje polar y la recta dirigida OP que va deO a P. El valor crece en sentido antihorario ydecrece en sentido horario. La distancia r (r0) seconoce como la coordenada radial o radiovector, mientras que el ngulo es la coordenadaangular o ngulo polar. 18. Localizacin de un punto en una coordenada polar 19. Sistema de coordenadas polares con varios ngulosmedidos en grados. 20. Los puntos (3,60) y (4,210) en un sistema de coordenadaspolares. 21. Forma polar de un complejo Repasamos de nuevo: Otra definicin de coordenadas polares Es un plano en el cual se localiza un punto fijo 0llamado: ORIGEN o POLO, a partir del cual se dibuja unsegmento de lnea o recta horizontal dirigido hacia laderecha llamado: EJE POLAR. Un punto cualquiera Pen este plano seubica por el par ordenado(r, ), donde r es una longitud que se mide sobre el eje polar y indica el desplazamiento del eje polar. 22. Circulo unitarioEnelcirculounitariosepuedenapreciarlosvaloresdelsenoydelcosenoparalosngulosnotablesascomotambindelosngulosequivalentesenlosotroscuadrantes,.Enlosparesindicados,laprimeracomponenteeselvalordelcosenoylasegundacomponenteelvalordelsenoparacadavalorexpresadotantoenradianescomoengrados. 23. Ejerciciosdeaplicacinpg..45 24. CONVERSIN DE LA FORMA RECTANGULARA POLAR Y VICEVERSA.ConsideremoselsiguientediagramaEslarepresentacinsimultaneadelpuntoP,tantoenelplanocartesiano(x,y),comoenelplanopolar(r,).Apartirdelgrficopodemosobtenerlarelacindeambossistemasdecoordenadas.Alobservarelgrafico,podemosexpresarque: 25. Ejemplo:Convertir(2,5)aformapolarDesarrolle el siguiente ejercicio convirtiendo a forma polar : (-3,4) 26. Luego(-3,4)equivalea(5,126.870) 27. Tu turno Convertir las siguientes coordenadas polares a su equivalente rectangular.2. (2,2/3)3. (10,5/4)4. (9,-/3) 28. Solucin ParahallarySen=cat.op.Hip.Sen=yy=rsenry=2sen60 xy=1.73 2Parahallarx yCos=cat.Ady. 120Hip. 60Cos=xx=rcosrx=2cos60x=1Ojo:comoelpuntoenxestaenelcuadranteII,porlotantoesnegativo (2,2 / 3) = (1,1.73) 29. Solucin 30. Conversin de un complejo aPolar 31. Mdulo de un com plejo 32. Ejemplo: 33. Cmo expresar el complejo en su equivalente polar As sea, z=a+bi un complejo cualquiera, se puede entonces expresar el complejo z en su equivalente polar de la siguiente manera: Si x = r cos , y= r sen Luego, z = a+bi z = rcos + rseni z = r(cos + isen) forma polar de un complejo Luego tambin se puede expresar as: Z= a+bi = rcis = r=rei 34. Ejercicio Paralossiguientescomplejosenformaestndar,orectangularasuformapolarequivalente.a)z1=8-2ib)z2=6+5ic)z3=-2+4iz1=8+ 2iz1=8 - 2i 35. Nmeros complejos en su forma polar a suequivalente en forma estndar o rectangular a)z1=10cis1200 b)z2 =15 2250 c)z3=36e-/3i Solucin a) z1=10cis1200Ir al circulo unitario y encontrar el equivalente de 120Ya recordaste que 120 = 2/3 = (-1/2, 3/2)Entonces sustituye =Z1= 10 ( cos 120+isen120)= 10(-1/2+ 3/2)z1?= -5 + 8.66 i 36. Tu turno Continua .