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NMEROS COMPLEJOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLOFSICA ELCTRICA2015

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLOFACULTAD DE INGENIERAESCUELA DE INGENIERA DE SISTEMAS

NDICE

INTRODUCCIN3NMEROS COMPLEJOS41.ORGEN42.DEFINICIN43.APLICACIN A LA FSICA54.REPRESENTACIONES DE UN NMERO COMPLEJO54.1.NMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR54.2.NMEROS COMPLEJOS EN FORMA TRIGONOMTRICA74.3.NMEROS COMPLEJOS EN FORMA EXPONENCIAL84.4.NMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINMICA9Representacin grfica de nmeros complejos9OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS EN LA FORMA BINMICA10Suma y diferencia de nmeros complejos10Multiplicacin de nmeros complejos105.EJERCICIOS11

INTRODUCCIN

Podemos pensar en las progresivas ampliaciones de los conjuntos numricos como el mtodo necesario para resolver ecuaciones algebraicas progresivamente complicadas. As, el paso de N a Z se justificara por la necesidad de dar solucin a una ecuacin como x + 5 = 0, y el paso de Z a Q por la necesidad de dar solucin a ecuaciones de la forma 5x = 1. El paso de Q a R es ms complicado de explicar en este momento, puesto que es ms topolgico que algebraico, pero permite adems dar solucin a ecuaciones como x 2 2 = 0. El paso de R a C viene motivado histricamente por la necesidad de trabajar con las soluciones de ecuaciones como x 2 + 1 = 0, es decir, con races cuadradas de nmeros negativos. Inicialmente, se trabajaba con dichas races, llamadas nmeros imaginarios por Descartes, como paso intermedio hasta llegar a un nmero real (tpicamente elevando el nmero imaginario al cuadrado en algn momento de los razonamientos). Posteriormente, en los siglos XVIII y XIX, se formaliza la nocin de nmero complejo, lo que convierte a estas entidades algebraicas en miembros de pleno derecho de las familias numricas.

NMEROS COMPLEJOS1. ORGEN El primero en usar los nmeros complejos fue el matemtico italiano Girolamo Cardano (15011576) quien los us en la frmula para resolver las ecuaciones cbicas. El trmino nmero complejo fue introducido por el gran matemtico alemn Carl Friedrich Gauss (17771855) cuyo trabajo fue de importancia bsica en lgebra, teora de los nmeros, ecuaciones diferenciales, geometra diferencial, geometra no eucldea, anlisis complejo, anlisis numrico y mecnica terica, tambin abri el camino para el uso general y sistemtico de los nmeros complejos.2. DEFINICIN Se puede considerar C como el conjunto de los pares ordenados de nmeros reales z=(x,y) con las siguientesoperaciones:

Con estas operaciones C tiene la estructura decuerpo conmutativo Elemento neutro:

Elemento opuesto:

Elemento unidad:

Elemento inverso:

siempre que

Ntese que el complejo (0,1) verifica, es decir,(link a explicacin de extensin de R aadiendo races de ecuaciones algebraicas El cuerpo de los complejos es lo que se denomina uncuerpo algebraicamente cerrado, es decir, toda ecuacin algebraica (polinmica) con coeficientes complejos tiene siempre al menos una raz compleja (y por tanto las tiene todas).

El cuerpo de los complejosno es un cuerpo ordenado. No puede darse en C una relacin de orden total que respete las operaciones de suma y producto. No tiene por tanto sentido comparar dos nmeros complejos en la manera en que estamos acostumbrados a hacer con los reales.

3. APLICACIN A LA FSICA Los nmeros complejos se usan eningeniera electrnicay en otros campos para una descripcin adecuada de las seales peridicas variables(en el Anlisis de Fourier). En una expresin del tipopodemos pensar encomo la amplitudy encomo lafasede unaonda sinusoidalde unafrecuenciadada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una funcin de variable compleja de la formadonde representa lafrecuencia angulary el nmero complejoznos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las frmulas que rigen lasresistencias,capacidadeseinductorespueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos ltimas (verredes elctricas). Ingenieros elctricos y fsicos usan la letrajpara la unidad imaginaria en vez deique est tpicamente destinada a la intensidad de corriente.El campo complejo es igualmente importante enmecnica cunticacuya matemtica subyacente utilizaEspacios de Hilbertde dimensin infinita sobreC().En larelatividad especialy larelatividad general, algunas frmulas para la mtrica delespacio-tiemposon mucho ms simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.4. REPRESENTACIONES DE UN NMERO COMPLEJO 4.1. NMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Mdulo de un nmero complejoEl mdulo de un nmero complejo es el mdulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Argumento de un nmero complejoEl argumento de un nmero complejo es el ngulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z). .

Expresin de un nmero complejo en forma polar.z = r

4.2. NMEROS COMPLEJOS EN FORMA TRIGONOMTRICA A partir de la forma polar es muy fcil pasar a una nueva forma denominada trigonomtrica. a + bi = r = r (cos + i sen )

Ejemplos: Pasar a la forma polar y trigonomtrica:

z = 260 = 2(cos 60 + i sen 60)

z = 2120=2(cos 120 + i sen 120)

z = 2240 =2(cos 240 + i sen 240)

z = 2300=2(cos 300 + i sen 300)

z = 2

z = 20 =2(cos 0 + i sen 0)z = 2

z = 2180 =2(cos 180 + i sen 180)

z = 2i

z = 290 =2(cos 90 + i sen 90)z = 2i

z = 2270 =2(cos 270 + i sen 270)

4.3. NMEROS COMPLEJOS EN FORMA EXPONENCIALUna variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como frmula de Euler:

Para. Esto nos permite escribir un nmero complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial: Esta nueva forma es especialmente cmoda para expresar productos y cocientes ya que slo hay que tener en cuenta las propiedades de la funcin exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene. Esto nos permite dar una nueva expresin para el inverso de un complejo no nulo en la forma. 4.4. NMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINMICA Al nmero a + bi le llamamos nmero complejo en forma binmica. El nmero a se llama parte real del nmero complejo. El nmero b se llama parte imaginaria del nmero complejo. Si b = 0 el nmero complejo se reduce a un nmero real ya que a + 0i = a. Si a = 0 el nmero complejo se reduce a bi, y se dice que es un nmero imaginario puro.El conjunto de todos nmeros complejos se designa por .

Los nmeros complejos a + bi y a bi se llaman opuestos. Los nmeros complejos z = a + bi y z = a bi se llaman conjugados. Dos nmeros complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.Representacin grfica de nmeros complejosLos nmeros complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El nmero complejo a + bi se representa:Por el punto (a,b), que se llama su afijo, zLos afijos de los nmeros reales se sitan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.

OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS EN LA FORMA BINMICA Suma y diferencia de nmeros complejosLa suma y diferencia de nmeros complejos se realiza sumando y restando partes reales entre s y partes imaginarias entre s.(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i (5 + 2i) + ( 8 + 3i) (4 2i) = (5 8 4) + (2 + 3 + 2)i = 7 + 7i Multiplicacin de nmeros complejosEl producto de los nmeros complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = 1.(a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i (5 + 2i) (2 3i) =10 15i + 4i 6 i2 = 10 11i + 6 = 16 11i Divisin de nmeros complejosEl cociente de nmeros complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de ste.

5. EJERCICIOS 5.1. calcular todas las races de la ecuacin

5.2. Realiza las siguientes operaciones:

5.3. Calcula la siguiente operacin dando el resultado en forma polar

5.4. Calcula el valor de cociente, y representa los afijos de sus races cbicas.

5.5. Escribe en las formas polar y trigonomtrica, los conjugados y los opuestos de

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Solucin

5.6. Expresa en forma polar y binmica un complejo cuyo cubo sea:

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