Carrera: Ingeniera en Sistemas Computacionales Alumna: Katherine Cabrera Martinz Catedrtico: Ing. Jorge Abraham Aguirre Mixtega Materia: Algebra Lineal Tema: Nmeros Complejos Grado: 2do semestre Grupo: A21/04/12 28/04/12 Sabatino

1 NUMEROS COMPLEJOS ndice1 Nmeros complejos. 1.1 Definicin y origen de los nmeros complejos. 1.2 Operaciones fundamentales con nmeros complejos. 1.3 Potencias de i, mdulo o valor absoluto de un nmero complejo. 1.4 Forma polar y exponencial de un nmero complejo. 1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extraccin de races de un nmero complejo. 1.6 Ecuaciones polinmicas.

1.1 Definicin y origen de los nmeros complejos.Todo nmero complejo (o imaginario) es una expresin de la forma a+bi donde a es la parte real y bi es la parte imaginaria. Tanto a como b son reales, e i=-1. Los nmeros complejos aparecen al tratar de resolver ecuaciones del tipo x2+ 1=0. Despejando a x se obtiene x=-1, que se escribe x=i. El origen de los nmeros complejos se remonta al siglo XVI en que Cardano llam raz ficticia a las races negativas de una ecuacin. Otros matemticos posteriormente las llamaron races falsas o races sordas. En 1572 Rafael Bombelli seal que eran necesarias las cantidades imaginarias para resolver ecuaciones algebraicas que tuvieran la forma x2+c=0., donde c es cualquier nmero positivo. El brillante matemtico Leonhard Euler design por i a -1. El smbolo i expresa en forma precisa una idea abstracta, ya que se puede preguntar Existe algn nmero que se multiplique por s mismo y de -1? Los nmeros complejos se pueden graficar en el plano complejo creado por el gran matemtico Gauss, quien coloc en el eje x la parte a, y en el eje y la parte bi, es decir, el eje x o eje real (Re) representa la parte real de un nmero complejo y el eje y o eje imaginario (Im) la parte imaginaria bi del nmero complejo. Otra forma de representar un nmero complejo es el par real a,b. De acuerdo a la grfica anterior los nmeros reales estn contenidos en los nmeros complejos, ya que en el plano R2 el nmero complejo a,0 coincide con el nmero real a, donde aR. En el caso de los nmeros complejos de la forma 0,b son llamados imaginarios puros.

1.2 Operaciones fundamentales con nmeros complejos.Los nmeros complejos cumplen las reglas del lgebra ya que se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir (excepto la divisin por 0+0i). Antes de ver la suma de nmeros complejos escribiremos en funcin de i diferentes expresiones: 1. -9=9-1=9-1=3i, recordar que -1=i 2. -4-4=-8=8(-1)=4(2)(-1)=42-1=22i Es 2i NO 2i 3. -104+23=-81=81(-1)=81-1=9i 4. 5-16=516-1=516-1=54i=20i 5. -36+9-49 =36-1+949-1=36-1+949-1=6i+97i -36+9-49 =6i+63i=69i 6. -3-32=-316(2)-1=-3162-1=-342i=-122i Es 2i NO 2i

7. 4-50=450-1=425(2)-1=4252-1=452i=202i Es 2i NO 2i 8. 6-18=618-1=69(2)-1=692-1=632i=182i Es 2i NO 2i 9. -9-128=-9128-1=-964(2)-1=-9642-1=-982i=-722i Con los resultados de los ejercicios 7, 8 y 9 resuelva el ejercicio 10. 10. 4-50+6-18-9-128=202i+182i-722i=20+18-722i=-342i COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. 11. -125=55i 12. -310-200=-32i 13. -12=22i 14. 8-49100-9-1625=-165i 15. -8+3-82=2i-1 Suma de un nmero complejo Para sumar dos nmeros complejos se suma primero la parte real del primer nmero con la parte real del segundo. Luego se suma la parte imaginaria del primer nmero con la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuacin queda como sigue: a+bi+ c+di=a+c+ bi+di a+bi+ c+di=a+c+ b+di Por ejemplo: 16. 3+7i+ 2+4i=3+2+ 7i+4i=5+7+4i=5+ 11i La suma anterior se realiz en tres pasos, se recomienda al principio practicar los tres pasos, con un poco de prctica podemos realizar solo los dos ltimos pasos, cuando tengamos varios ejercicios resueltos podremos aplicar directamente el ltimo paso. Veamos otros ejemplos con dos pasos: 17. 8-11i+13+2i=8+13+ -11+2i=21-9i 18. -6+9i+5-3i=-6+5+ 9-3i=-1+6i 19. -4-6i+-7+8i=-4-7+ -6+8i=-11+2i 20. -10-4i+-1-9i=-10-1+ -4-9i=-11-13i 21. 23+67i+-13-47i=23-13+ 67-47i=13+ 27i 22. 67+58i+23-49i=67+23+ 58-49i Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso a paso en forma manual, y as obtenemos un resultado exacto. 67+23=18+1421=3221 58-49i=45-3272i=1372i 22. 67+58i+23-49i=3221+1372i

Observe que el resultado anterior est en fracciones por lo que es exacto, si usamos decimales el resultado NO es exacto. Veamos el caso de: 3221=1.523809523809523809. En el caso anterior se puede reportar el resultado como: 1.5238095 1.5238 1.52 los cuales no son iguales y NO son exactos. Es por esto que debemos siempre tratar de dar resultados en fracciones (quebrados) y no en decimales. Resolvamos otro ejercicio. RESUELVA EL SIGUIENTE EJERCICIO. 23. 310-14i+-67-811i= 24. 4a+7bi+-4a-5bi=4a-4a+ 7b-5bi=2bi 25. -10a+3bi+4a-3bi=-10a+4a+ 3b-3bi=-6a 26. 7+-20+-11--125=7+45(-1)+-11-255(-1) 7+-20+ -11--125 =7+45-1+-11-255-1 7+-20+ -11--125=7+25i+-11-55i 26. 7+-20+ -11--125=7-11+2-55i=-4-35i Resta de un nmero complejo Para restar dos nmeros complejos hay dos formas para hacerlo: La primera es que se le resta a la parte real del primer nmero la parte real del segundo. Luego se resta a la parte imaginaria del primer nmero la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuacin queda como sigue: a+bi-c+di=a-c+bi-di a+bi-c+di=a-c+b-di Resolvamos varios ejemplos: 27. 4+7i-6+3i=4-6+7i-3i=-2+7-3i=-2+4i 28. 15+4i-9-i=15-9+4-(-1)i=6+5i Para resolver el ejercicio anterior se aplic la ley de los signos --=(+) 29. -11+2i-4-14i=-11-4+2-(-14)i=-15+16i 30. -9-8i--13+i=-9-(-13)+-8-1i=4-9i 31. -17-15i-(-12-19i)=-17-(-12)+-15-(-19)i=-5+4i 32. 4+35i-67-2i=4-67+35--2i Resolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual: 4-67=41-67=28-67=227 35--2i=35+21i= 3+105i=135 i 32. 4+35i- 67-2i=227+135 i 33. 32+57i-25-49i=32-25+57--49i=32-25+57+49i

Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso a paso en forma manual, y as obtenemos un resultado exacto. 32-25=15-410=1110 57+49i=45+2863i=7363i 33. 32+57i-25-49i=1110+7363i RESUELVA EL SIGUIENTE EJERCICIO. 34. -89+1011i- -34-56i= La segunda forma de restar nmeros complejos es usar las leyes de los signos para cambiar el signo a la parte real e imaginaria del segundo nmero complejo con lo que la ecuacin se transforma en una suma de nmeros complejos, esto es muy til, en especial cuando hay signos negativos en el segundo nmero complejo. En forma de ecuacin queda as: a+bi-c+di=a+bi+-c-di a+bi-c+di=a-c+b-di Resolveremos con la segunda forma algunos de los ejercicios que hicimos con la primera forma, observe que se requiere de un paso adicional para hacer el cambio de signo en el segundo nmero complejo quedando la ecuacin como suma de dos nmeros complejos en vez de resta: 35. 4+7i-6+3i=4+7i+-6-3i=(4-6)+7-3i=-2+4i 36. 15+6i-9-i=15+6i+-9+i=15-9+6+1i=6+7i 37. -11+2i-4-14i=-11+2i+-4+14)i=-11-4+2+14i=-15+16i RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. 38. -2-8i--15+4i= 39. -12-17i-(6-9i)= 40. 5+27i-913-4i= 41. -14-67i- -1316-511i= Si comparamos las dos formas de restar nmeros complejos aunque la segunda tiene un paso adicional (que es transformar una resta en suma a travs del cambio de signo del segundo nmero complejo) puede ser ms til que la primera forma, por no tener que estar al pendiente de los signos. Multiplicacin de nmeros complejos Para multiplicar dos nmeros complejos se procede a multiplicar como si se tratase del producto de dos binomios. Uno de los trminos tendr i2, donde i2 es equivalente a: i2=ii=-1 -1 =-112 -112=-112 +12=-122=-1. En forma de ecuacin: a+bic+di=ac+adi+bci+bdi2 a+bic+di=ac+bd-1+adi+bci=ac-bd+ad+bci

Resolvamos algunos ejemplos: 42. 1+2i5+4i=5+4i+10i+8i2=5+8-1+4i+10i 1+2i5+4i=5-8+(4+10)i=-3+14i Observe que i2 se sustituyo en la ecuacin por -1. Siempre se debe hacer asi. 43. 3+4i6-5i=18-15i+24i-20i2=18-20-1-15i+24i 3+4i6-5i=18+20+(-15+24)i=38+9i Para resolver el ejercicio anterior se aplic la ley de los signos --=(+) 44. 2-7i-1+4i=-2+8i+7i-28i2=-2-28-1+8i+7i 2-7i-1+4i=-2+28+(8+7)i=26+15i COMPRUEBE LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES 45. -4-8i-3+9i=84-12i 46. -5-3i-4-7i=-1+47i 47. -1-4i-3+5i2+3i=3-5i+12i-20i22+3i -1-4i-3+5i2+3i=3-20-1-5i+12i2+3i -1-4i-3+5i2+3i=3+20+(-5+12)i2+3i=23+7i2+3i -1-4i-3+5i2+3i=46+69i+14i+21i2=46+21-1+69i+14i -1-4i-3+5i2+3i=46-21+69+14i=25+83i Observe que en el ejercicio anterior se inicia multiplicando los primeros dos binomios, luego se simplific el resultado hasta tener un binomio a+bi=23+7i, enseguida se multiplicaron el nuevo binomio 23+7i por el ltimo binomio y se simplific. Resolvamos otros ejercicios. COMPRUEBE LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES 48. -2-i9-2i6-5i=-145+70i 49. 1-i2+2i-3+4i-4-6i=144+8i Resolvamos ahora una multiplicacin de fracciones de nmeros complejos 50. 38+47i23-12i=3823+38-12i+47i23+47i-12i 38+47i23-12i=624-316i+821i-414i2=624-414(-1)-316i+821i Al aplicar ley de los signos --=+ y simplificando las fracciones queda: 38+47i23-12i=14+27-316i+821i=14+27+-316+821i Resolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual: 14+27=7+828=1528 -316+821i=-63+128336i=65336i 50. 38+47i23-12i=1528+65336i COMPRUEBE LA SIGUIENTE MULTIPLICACION 51. -23+45i-67+89i=-44315-1,208945i

Divisin de dos nmeros complejos Antes de tratar la divisin de dos nmeros complejos es necesario definir: El conjugado de un nmero complejo Z=a+bi es Z=a-bi, es decir, se cambia el signo de la parte imaginaria del nmero complejo. Por ejemplo Z=7-9i y Z=7+9i son conjugados. Tambin son conjugados W=-5+14i y W=-5-14i, observe que el signo de la parte real a no cambia. Demuestre que son vlidas las proposiciones siguientes, para los nmeros complejos: Z=7-9i, Z=7+9i, W=-5+14i y W=-5-14i 52. Z+W=Z+W Primero calculamos el lado izquierdo y luego el lado derecho. Z+W=7-9i+-5+14i=7-5+-9i+14i2+5i=2-5i Z+W=7+9i+-5-14i=7-5+9i-14i=2-5i Z+W=Z+W= 2-5i 53. Z-W=Z-W Primero calculamos el lado izquierdo y luego el lado derecho. Z-W= 7-9i--5+14i =7-9i+5-14i=7+5+-9i-14i=12-23i Z-W= 12+23i Z-W=7+9i--5-14i=7+9i+5+14i=7+5+9i+14i= 12+23i Z-W=Z-W=12+23i 54. ZW=ZW Primero calculamos el lado izquierdo y luego el lado derecho. ZW=7-9i-5+14i=-35+98i+45i-126i2=-35-126-1+143i ZW=-35+126+143i=91+143i=91-143i ZW=7+9i-5-14i =-35-98i-45i-126i2=-35-126-1-143i ZW=-35+126-143i=91-143i ZW=ZW=91-143i COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: Si Z=2+3i, Z=2-3i, W=4-8i y W=4+8i 55. Z-W=Z-W=12+23i 56. ZW=ZW=32+4i Para dividir dos nmeros complejos se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador y se sustituye i2 por -1. Recordemos que: a+ba-b= a2-ab+ab-b2= a2-b2 para nuestro caso: a+bia-bi= a2-abi+abi-b2i2=a2-b2i2= a2-b2-1=a2+b2 Veamos varios ejemplos de divisin de nmeros complejos: 57. 10i2=5i 58. 62i=62i-2i-2i=-12i-4i2=-12i-4(-1)=-12i4=-3i

59. -43-5i=-43-5i3+5i3+5i=-12-20i9-25i2=-12-20i9-25(-1)=-12-20i9+25=-12- 20i34 59. -43-5i =-1234-2034i=-617-1017i 60. 21+6i=21+6i1-6i1-6i=2-12i1-36i2=2-12i1-36(-1)=2-12i1+36=2-12i37=237- 1237i 61. -43-5i+21+6i= se vio que -43-5i=-617-1017i y 21+6i=237-1237i -43-5i+21+6i= -617-1017i+237-1237i=-617+237+ -1017i-1237i Resolveremos manualmente las fracciones anteriores -617+237=-222+34629=-222+34629=-188629 -1017i-1237i=-1017-1237i=-370-204629i=-574629i 61. -43-5i+21+6i=-188629-574629i 62. 3+4i2+5i=3+4i2+5i2-5i2-5i=6-15i+8i-20i24-25i2=6-20(-1)-15i+8i4-25(1)=26+(-15+8)i4+25 62. 3+4i2+5i =26-7i29=2629-729i 63. 8-i6+7i=8-i6+7i6-7i6-7i=48-56i-6i+7i236-49i2=48+7(-1)-56i-6i36-49(-1)=41+ (-56-6)i36+49 63. 8-i6+7i =41-62i85=4185-6285i 64. -642+-81=64-12+81-1=64-12+81-1=8i2+9i2-9i2-9i=16i-72i24-81i2=16i-72-14-81-1 64. -642+-81=72+16i4+81=72+16i85=7285+1685i 65. 32-23i32+23i=32-23i32+23i32-23i32-23i=32-23i( 32-23i)322-232i2 65. 32-23i32+23i =94-66i-66i+49i292-(43)i2=92-126i+43(-1)18-12(-1) 65. 32-23i32+23i= 18-126i-1218+12=6-126i30=630-126i30i=210-66i15i 66. ZW=ZW Si Z=7-9i, Z=7+9i, W=-5+14i y W=-5-14i Como hay que resolver dos divisiones se harn por separado. ZW=7-9i-5+14i=7-9i-5+14i-5-14i-5-14i =-35-98i+45i+126i225-196i2=-3553i+126(-1)25-196(-1) ZW=-35-126-53i25+196=-161-53i221=-161221-53i221=-161221+53221i ZW=7-9i-5+14i=7+9i-5-14i-5+14i-5+14i=-35+98i-45i+126i225-196i2=35+53i+126-125-196-1 ZW=7+9i-5-14i=-35-126+53i25+196=-161+53i221=-161221+53i221 66. ZW=ZW=-161221+53i221

COMPRUEBE LAS SIGUIENTES DIVISIONES. 67. 12-3i=4i 68. -3i4-7i=2165-1265i 69. -4+2i3-9i=-13-13i 70. 5+i-7-6i=-4185+2385i 71. 2-8i-9-4i=1497+8097i 72. -7-4i-10-3i=82109+19109i 73. -1003+-49=3529+1529i 74. ZW=ZW=-2341+241i Si Z=2+3i, Z=2-3i, W=-4-5i y W=-4+5i Inverso multiplicativo de un nmero complejo. a+bi1a+bi=1 Interesa encontrar el valor de 1a+bi 1a+bi=1a+bia-bia-bi=a-bia2-bi2=a-bia2-b2i2=a-bia2-b2-1=a-bia2+b2 1a+bi=aa2+b2-bia2+b2 75. Calcule el inverso multiplicativo de 1+2i 11+2i=112+22-2i12+22=11+4-2i1+4=15-2i5 Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor 1+2i 1+2i15-2i5=15-2i5+2i5-4i25=15-4-15=15--45=15+45=55=1 76. Calcule el inverso multiplicativo de 2-3i 12-3i=222+-32--3i22+-32=24+9--3i4+9=213+3i13 Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor 2-3i 2-3i213+3i13=413+6i13-6i13-9i213=413-9-113=413--913=413+913=1313=1 77. COMPRUEBE QUE EL INVERSO MULTIPLICATIVO DE -4+5i ES -441-5i41, OBTENGA 1. 78. COMPRUEBE QUE EL INVERSO MULTIPLICATIVO DE -3-i ES -310+i10, OBTENGA 1. 79. Calcule el inverso multiplicativo de 1+3i 11+3i =112+32-3i12+32=11+3-3i1+3=14-3i4 Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor 1+3i 1+3i14-3i4=14-3i4+3i4-3i24=14-3-14=14 +34=44=1 80. COMPRUEBE QUE EL INVERSO MULTIPLICATIVO DE -3+2i ES -35-2i5, OBTENGA 1.

1.3 Potencias de i , mdulo o valor absoluto de un nmero complejo.Para calcular las potencias de i se puede emplear la ecuacin: i=-1 i2=ii=-1-1=(-1)12(-1)12=(-1)1+12=(-1)22=-1 i3=iii=i2i=(-1)i=-i i4=iiii=i2i2=-1-1=1 i5=iiiii=i4i=1i=i i6=iiiiii=i4i2=1-1=-1 i7=iiiiiii=i4i2i=1-1i=-i i8=iiiiiiii=i4i4=11=1 i9=iiiiiiiii=i4i4i=11i=i Si revisamos los valores anteriores podemos ver que: i= i5=i9 ; i2=i6 = -1 ; i3=i7=-i ; i4=i8=1 De acuerdo a lo anterior los valores de las potencias de i tienen valores cclicos de 4 en 4 de acuerdo a la siguiente tabla: i=i5=i9=i13=i17=i21=i25=i29=i33=i37=i41=i45=i49=i i2=i6=i10=i14=i18=i22=i26=i30=i34=i38=i42=i46=i50=-1 i3=i7=i11=i15=i19=i23=i27=i31=i35=i39=i43=i47=i51=-i i4=i8=i12=i16=i20=i24=i28=i32=i36=i40=i44=i48=i52=1 Aunque la tabla anterior puede resultar prctica para potencias menores a 20, para valores como i89 i552 i1,789 i58,127 resulta insuficiente. Como los valores son cclicos de 4 en 4, dividamos las potencias entre 4. Iniciemos con valores del primer rengln, usemos los valores de potencias de i 1, 5, 9, 13, 17, 37, 49 14=0.25 ; 54=1.25 ; 94=2.25 ; 134=3.25 ; 174=4.25 ; 374=10.25 ; 494=12.25 Si observamos los resultados anteriores vemos que el valor despus del punto decimal es.25 en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de i que se divida entre 4 y de decimales de .25 tendr un valor de: i=i5=i9=i13=i17=i37=i49=i Dividiendo entre 4 potencias de i del segundo rengln como 2, 6, 10, 14, 18, 30, 42. 24=0.50 ; 64=1.50 ; 104=2.50 ; 144=3.50 ; 184=4.50 ; 304=7.50 ; 424=10.50 Ahora podemos ver que el valor despus del punto decimal es .50 en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de i que se divida entre 4 y de decimales de .50 tendr un valor de: i2=i6=i10=i14=i18=i30=i42=-1 Si repetimos lo anterior con potencias de i del tercer rengln como 3, 7, 11, 15, 31, 43, veremos que el valor despus del punto decimal es .75 en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de i que se divida entre 4 y de una fraccin de .75 tendr un valor de: i3=i7=i11=i15=i31=i43=-i

En el caso de potencias de i del cuarto rengln como 4, 8, 12, 16, 32, 44, 52 veremos que el valor despus del punto decimal es .00 en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de i que se divida entre 4 y de una fraccin de .00 tendr un valor de: i4=i8=i12=i16=i32=i44=i52=1 Como sntesis podemos decir: si la divisin de una potencia de i entre 4 tiene como fraccin .25 el valor de in=i. En el caso de que la divisin de una potencia de i entre 4 tenga como fraccin .50 el valor de im=-1. Cuando la divisin de una potencia de i entre 4 tiene como fraccin .75 el valor de ip=-i. Por ltimo si la divisin de una potencia de i entre 4 tiene como fraccin .00 el valor de iq=1. Veamos varios ejemplos: 1. i177 1774=44.25 i177=i 2.i898 8984=224.50 i898=-1 3. i7,683 7,6834=1,920.75 i7,683=-i 4. i11,544 11,5444=2,886.00 i11,544=1 COMPRUEBE LAS SIGUIENTES POTENCIAS DE i. 5. i349=i 6. i3,466=-1 7. i39,263=-i 8. i123,736=1 Como ltimo punto es til saber que todas y cada una de las siguientes potencias de i:11, 111, 211, 311, 411, 511, 611, 711, 811, 911, 1,011, 1,111, 1,211, 1,311, 1,411, 1,511 al ser divididas entre 4 tienen como fraccin .75, la importancia de lo anterior es que cuando deseamos calcular la potencia de i de cualquier valor de 2, 3, 4, 5 ms dgitos, solo ocupamos al dividir entre 4 tener en cuenta los ltimos 2 dgitos. En todas las potencias de i arriba sealadas el valor es -i. NOTA: Lo anterior no se cumple para un solo dgito, por ejemplo si i es 1 al dividir entre 4 se obtiene .25 y no .75. Si aplicamos lo escrito en el prrafo anterior a los ocho ejercicios anteriores veremos que la fraccin obtenida es la misma, con lo que el valor de la potencia de i no cambia. 9. i177 774=19.25 i177=i 10. i898 984=24.50 i898=-1 11. i7,683 834=20.75 i7,683=-i 12. i11,544 444=11.00 i11,544=1 COMPRUEBE LAS SIGUIENTES POTENCIAS DE i, DIVIDIENDO SOLO LOS ULTIMOS DOS DIGITOS. 13. i349=i 14. i3,466=-1 15. i39,263=-i

16. i123,736=1 Calcule: 17. 5i899+i7,681-2i177+4i11,546=5-i+i-2i+4-1=-4-6i 18. 2i23= 234=5.75 2i23=223i23=223-i=8,388,608-i=- 8,388,608i 19. 2i23=2i23=2-i=-2i COMPRUEBE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES. 20. 4i250-5i795+3i181+2i11,538=-6+8i 21. 3i14=- 4,782,969 22. 3i14=-2 Con lo que tenemos visto ya estamos en condiciones de abordar ejercicios ms complicados de multiplicacin y divisin de nmeros complejos. Vamos a resolver binomios elevados a potencias como -1+5i3 por tres mtodos distintos. Primer Mtodo: Se inicia multiplicando dos binomios, luego simplificamos el resultado hasta a+bi, enseguida multiplicamos el nuevo binomio por el tercero, llevando otra vez el resultado a que quede a+bi. 23. -1+5i3=-1+5i-1+5i-1+5i=1-5i-5i+25i2-1+5i -1+5i3=1+25(-1)-10i-1+5i=(-24-10i)-1+5i 23. -1+5i3=24-120i+10i-50i2=24-50-1-110i=74-110i El binomio de Newton y el tringulo de Pascal se usan para resolver binomios elevados a cualquier potencia. Los primeros 5 renglones de cada uno de ellos son: Tringulo de Pascal Binomio de Newton

a+b0= 1 a+b0= 1 a+b1= 1 1 a+b1= a+b a+b2= 1 2 1 a+b2= a2+2ab+ b2 a+b3= 1 3 3 1 a+b3= a3+3a2b+3ab2+b3 a+b4=1 4 6 4 1 a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 24. Construya el tringulo de Pascal y el Binomio de Newton para las potencias 5, 6, 7 y 8. Segundo Mtodo: Usamos el Binomio de Newton. 25. -1+5i3=-13+3-125i+3-15i2+5i3 -1+5i3=-1+315i-325i2+125i3 pero i3= -i porque 34=.75 25. -1+5i3=-1+15i-75-1-125i=-1+75+15-125i=74-110i Observe que al desarrollar el binomio de Newton si sumamos las potencias de cada trmino se obtiene la potencia a resolver, en este caso 3. Tercer Mtodo: Lo hacemos usando la ley de las potencias y el binomio de Newton. 26. -1+5i3=-1+5i2-1+5i=-12+2-15i+5i2-1+5i -1+5i3=1-25i+25i2-1+5i=1-10i+25(-1)-1+5i -1+5i3=-24-10i-1+5i=24-120i+10i-50i2 26. -1+5i3=24-50-1-110i=74-110i

27. COMPRUEBE QUE 2-i4=-7-24i USANDO EL Primer Mtodo. 28. COMPRUEBE QUE 2-i4=-7-24i USANDO EL Segundo Mtodo. 29. COMPRUEBE QUE 2-i4=-7-24i USANDO EL Tercer Mtodo. Resolver 1-2i5 por los tres mtodos ya vistos. Primer Mtodo: Se inicia multiplicando dos binomios, luego simplificamos el resultado hasta a+bi, enseguida multiplicamos el nuevo binomio por el tercero, llevando otra vez el resultado a que quede a+bi, y as continuamos hasta terminar. 30. 1-2i5=1-2i1-2i1-2i1-2i1-2i 1-2i5=1-2i-2i+4i21-2i1-2i1-2i 1-2i5=1-4i+4(-1)1-2i1-2i1-2i=-3-4i1-2i1-2i1-2i 1-2i5=-3+6i-4i+8i21-2i1-2i=-3+2i+8(-1)1-2i1-2i 1-2i5=-11+2i1-2i1-2i=-11+22i+2i-4i21-2i 1-2i5=-11+24i-4(-1)1-2i=-7+24i1-2i=-7+14i+24i-48i2 30. 1-2i5=-7+14i+24i-48i2=-7+38i-48(-1)=41+38i Segundo Mtodo: Resolvamos ahora usando el mtodo del Binomio de Newton. Podemos observar que: -i=-1i , i2=-1 , i3=-i , i4=1 , i5=i 31. 1-2i5=15+514-2i+1013-2i2+1012-2i3+51-2i4+-2i5 1-2i5=1+5-2i+104i2+10-8i3+516i4-32i5 1-2i5=1-10i+40-1-80-i+801-32i=1-40+80-10i+80i-32i 31. 1-2i5= 41+38i Tercer Mtodo: Lo hacemos usando la ley de las potencias y el binomio de Newton. 32. 1-2i5=1-2i221-2i=12+21-2i+-2i221-2i 1-2i5=1-4i+4i221-2i=1-4i+4(-1)21-2i 1-2i5=1-4-4i21-2i=-3-4i21-2i 1-2i5=-32+2-3-4i+-4i21-2i=9+24i+16i21-2i 1-2i5=9+24i+16(-1)1-2i=9-16+24i1-2i 1-2i5=-7+24i1-2i=-7+14i+24i-48i2 32. 1-2i5=-7+38i-48-1=-7+48+38i= 41+38i Nuevamente el resultado es el mismo por los tres mtodos. En este ltimo ejercicio es ms sencillo resolver por el mtodo de Newton y por la ley de las potencias que multiplicando cada binomio. 33. COMPRUEBE QUE 1-3i8=-8432+5376i USANDO EL Tercer Mtodo. 1-3i8=1-3i222 Vamos a ver divisiones un poco ms complicadas. 34. Calcule 3+i77-2-6i125, 774=19.25 i77=i, 254=6.25 i25=i 3+i77-2-6i125=3+i-2-6i-2+6i-2+6i=-6+18i-2i+6i24-36i2=-6+6(-1)+16i4-36(-1) 34. 3+i-2-6i =-12+16i4+36=-12+16i40=-310+25i 35. Calcule 5+i-7-6i3 Ya se calculo en el ejercicio 70 del subtema 1.2 5+i-7-6i = 4185+2385i

5+i-7-6i3=-4185+2385i3=-41853+3-418522385i+3-41852385i2+2385i3 5+i-7-6i3=-68,921614,125+115,989614,125i-65,067614,125i2+12,167614,125i3 5+i-7-6i3=-68,921614,125+115,989614,125i-65,067614,125-1+12,167614,125-i 5+i-7-6i3=-68,921614,125+65,067614,125+115,989614,125i-12,167614,125i=3,854614,125+103,822614,125i 36. DEMUESTRE QUE 8-i6536+7i1,781=4185-6285i 37. DEMUESTRE QUE -4+2i3-9i5212=29i 38. DEMUESTRE QUE 4-2i26i3+5i=-6481224+2641224i Resuelva primero el binomio al cuadrado y resuelva el denominador.Simplifique y resuelva la division.

1.4 Forma polar y Exponencial de un nmero complejo.Forma polar de los Nmeros Complejos. En la grfica que est enseguida se tiene: cos =CAH=xr x=rcos =rcos sen =COH=yr y=rsen =rsen x+yi La forma rectangular (binmica) de un nmero complejo es: Z=a+bi=x+yi, pero x+yi=rcos+risen x+yi=rcos+isen=rcis

Donde r(cos+isen) es la forma polar de un nmero complejo. En la expresin anterior r representa la longitud, la cual es siempre positiva y se conoce como mdulo o valor absoluto del nmero complejo. Con el teorema de Pitgoras se obtiene z=r=x2+y2 El ngulo se denomina amplitud o argumento, se puede dar su valor en forma positiva si est en los primeros dos cuadrantes y en forma negativa si est en los cuadrantes tres y cuatro, sin embargo podemos equivocarnos al omitir el signo. Para obtenerlo siempre con valor positivo se usan dos ecuaciones la primera es =tan-1yx , donde y es el valor absoluto de y sin el trmino i, x es el valor absoluto de x. El ngulo est entre los valores x y r para los cuatro cuadrantes. El ngulo inicia en el eje x del lado positivo con el valor 00 (est en el nmero 3 de un reloj), y aumenta en sentido contrario a las manecillas del reloj. Veamos las grficas de ngulos en los cuatro cuadrantes.

Grfica 2. Muestra los ngulos y , as como la relacin entre ellos en cada cuadrante. (a) Primer cuadrante, (b) segundo cuadrante, (c) tercer cuadrante, (d) cuarto cuadrante. Para la segunda ecuacin que relaciona a y se tiene la siguiente tabla.

Demos ejemplos de argumentos en los diferentes cuadrantes en forma positiva y negativa: Primero =600=-3000, Segundo =1100=-2500, Tercero =2250=-1350, Cuarto =3100=-500. Encuentre el lector los ngulos anteriores en hoja cuadriculada con ayuda de un transportador de preferencia de 3600. Los nmeros complejos no se pueden sumar o restar en forma polar, por lo que en este caso se deben pasar de forma polar a forma binmica. Vamos a ver como pasar un nmero complejo de forma binmica a forma polar. Sern cuatro ejemplos, uno por cada cuadrante. Luego habr cuatro ejemplos, que coincidan con los ejes x, o y, despus veremos ejemplos de nmeros complejos que pasan de forma polar a forma binmica. 1. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del nmero complejo: 1. Z1=3+3i Z1 est en el primer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) en grados con la expresin =tan-133 teniendo la calculadora en DEG (D). =tan-133=tan-11=450 Como est en el primer cuadrante (ver la tabla) = = =450 El argumento en radianes se calcula con =tan-133 teniendo la calculadora en RAD (R). =tan-133=tan-11=0.785398163=0.785398163=0.25=14=4 rad Observe que el valor 0.785398163 est en radianes pero no contiene a . Para introducir a , se multiplic y dividi por el nmero 0.785398163, pero solo se hizo la divisin en la calculadora, por lo que , qued escrito en el numerador y 0.25 es exacto. Como est en el primer cuadrante (ver la tabla) = . = =4 rad Calculemos el mdulo o valor absoluto: r=x2+y2=32+32=9+9=18=9(2)=92=32 Como x+yi=r(cos+isen) =rcis se tiene que 1. Z1=3+3i=32cos450+isen450=32cos4+isen4

o 1. Z1=3+3i=32cis450=32cis4 2. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del nmero complejo: 2. Z2=-1+3i=2cos1200+isen1200=2cos23+isen23 o 2. Z2=-1+3i=2cis1200=2cis23 3. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del nmero complejo: 3. Z3=-123-12i Z3 est en el tercer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) en grados con la expresin =tan-1-12-123 teniendo la calculadora en DEG (D). =tan-1-12-123=tan-10.577350269=300 Como est en el tercer cuadrante (ver la tabla) =1800+ =1800+= 1800+300=2100 El argumento en radianes se calcula con =tan-1-12-123 teniendo la calculadora en RAD (R). =tan-1-12-123=tan-10.577350269=0.523598775=0.523598775 =tan-1-12-123=0.166666666=16=6 rad Observe que el valor 0.523598775 est en radianes pero no contiene a . Para introducir a , se multiplic y dividi por el nmero 0.523598775, pero solo se hizo la divisin en la calculadora, por lo que qued escrito en el numerador y 16 es exacto. Como est en el tercer cuadrante (ver la tabla) =1800+= + pues 1800=. =+=+6=66+6=76 rad Otra forma de obtener en radianes a partir de en grados es con 1800=. =21001800=21001800= 76 rad Enseguida obtenemos el mdulo o valor absoluto: r=-1232+-122=34+14=44=1=1 Como x+yi=r(cos+isen)=rcis se tiene que: 3. Z3=-123-12i =1cos2100+isen2100=1cos76+isen76 o 3. Z3=-123-12i =1cis2100=1cis76 4. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del nmero complejo: 4. Z4=4-3i=5cos323.130+isen323.130=5cos1.7952+isen1.7952 o 4. Z4=4-3i=5cis323.130=5cis1.7952 5. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del nmero complejo. 5. Z5=8 Z5 est en el eje x (en el nmero 3 de un reloj), para este caso la amplitud es: =00 =001800 =001800=0 rad

Enseguida obtenemos el mdulo o valor absoluto: x=8, y=0, r=x2+y2=82+02=64=8 Como x+yi=r(cos+isen)=rcis se tiene que: 5. Z5=8=8cos00+isen00=8cos0+isen0 o 5. Z5=8=8cis00=8cis0 6. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del nmero complejo: 6. Z6=7i=7cos900+isen900=7cos2+isen2 o 6. Z6=7i=7cos900+isen900=7cos2+isen2 7. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del nmero complejo: 7. Z7=-4 Z7 est en el eje x (en el nmero 9 de un reloj), para este caso la amplitud es: =1800 =18001800 =18001800=1= rad Enseguida obtenemos el mdulo o valor absoluto: x=-4, y=0, r=x2+y2=(-4)2+02=16=4 Como x+yi=r(cos+isen)=rcis se tiene que: 7. Z7=-4=4cos1800+isen1800=4cos+isen o 7. Z7=-4=4cis1800=4cis 8. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del nmero complejo. 8. Z8=-53i=53cos2700+isen2700=53cos32+isen32 o 8. Z8=-53i=53cis2700=53cis32 Para escribir un nmero complejo en forma binmica (rectangular) a partir de la forma polar, solo es necesario calcular el coseno y el seno del argumento y multiplicarlo por el mdulo r. Calculemos 8 ejercicios en grados y luego 8 ejercicios en radianes. 9. Encontremos la forma binmica del nmero complejo: 9. Z9=4cos300+isen300 Al calcular cos300 la calculadora debe estar en DEG (D). Z9=4cos300+isen300=40.866025403+0.5i=40.8660254032+0.5i 9. Z9=40.75+12i=434+12i=434+12i=432+12i=23+2i Observe que 0.866025403 no es un valor exacto, para tratar de hacerlo un valor exacto se elev al cuadrado y sac raz cuadrada al nmero 0.866025403, pero solo se desarroll el cuadrado con la calculadora y entonces se escribi la raz cuadrada 0.75 que es un valor exacto. 9. Z9=4cos300+isen300=23+2i

10. Demuestre que la forma binmica del nmero complejo: 10. Z10=8cos1350+isen1350=-42+42i 11. Encontremos la forma binmica del nmero complejo: 11. Z11=10cos2500+isen2500 Al calcular cos2500 la calculadora debe estar en DEG (D). Z11=10cos2500+isen2500=10-0.342020143-0.93969262i Z11=-3.42020143-9.3969262i=-3.4202-9.3969i 11. Z11=10cos2500+isen2500=-3.4202-9.3969i Los valores -0.342020143 y -0.93969262i no son exactos, y no es posible hacerlos exactos elevando al cuadrado o al cubo, por lo que se dejan con todas sus cifras significativas en los clculos y solo al ltimo se redondean a 5 cifras significativas. 12. Demuestre que la forma binmica del nmero complejo: 12. Z12=2cos3150+isen3150=2-2i 13. Encontremos la forma binmica del nmero complejo: 13. Z13=17cos00+isen00 Al calcular cos00 la calculadora debe estar en DEG (D). 13. Z13=17cos00+isen00=171+0i=17 14. Demuestre que la forma binmica del nmero complejo: 14. Z14=2cos900+isen900=2i 15. Encontremos la forma binmica del nmero complejo: 15. Z15=57cos1800+isen1800 Al calcular cos1800 la calculadora debe estar en DEG (D). 15. Z15=57cos1800+isen1800=57-1+0i=-57 16. Demuestre que la forma binmica del nmero complejo: 16. Z16=23cos2700+isen2700=-23i Los ltimos 8 nmeros estaban en grados, vamos a pasar de forma Polar a forma binmica, cuando estn en radianes. 17. Encontremos la forma binmica del nmero complejo: 17. Z17=14cos6+isen6 Al calcular 6 la calculadora debe estar en RAD (R). Z17=14cos6+isen6=140.866025403+0.5i=140.8660254032+0.5i Z17=140.75+12i=1434+12i=1434+12i=1432+12i=73+7i

Observe que 0.866025403 no es un valor exacto, para tratar de hacerlo un valor exacto se elev al cuadrado y sac raz cuadrada, pero slo se desarroll el cuadrado con la calculadora y entonces se escribi la raz cuadrada 0.75 que es un valor exacto. 17. Z17=14cos6+isen6= 73+7i 18. Demuestre que la forma binmica del nmero complejo: 18. Z18=2cos34+isen34=-1+i 19. Encontremos la forma binmica del nmero complejo: 19. Z19=20cos98+isen98 Al calcular cos98 la calculadora debe estar en RAD (R). Z19=20cos98+isen98=20-0.923879532-0.382683432i Z19=-18.47759064-7.65366864i=-18.478-7.6537i 19. Z19=20cos98+isen98=-18.478-7.6537i Los valores -0.923879532 y -0.382683432 no son exactos, y no es posible hacerlos exactos elevando al cuadrado o al cubo, por lo que se dejan con todas sus cifras significativas en los clculos y solo al ltimo se redondean a 5 cifras significativas. 20. Demuestre que la forma binmica del nmero complejo: 20. Z20=42cos116+isen116=26-22i 21. Encontremos la forma binmica del nmero complejo: 21. Z21=3cos0+isen0 Al calcular cos0 la calculadora debe estar en RAD (R). Z21=3cos0+isen0=31+0i=3 22. Demuestre que la forma binmica del nmero complejo: 22. Z22=5cos2+isen2i=5i 23. Encontremos la forma binmica del nmero complejo: 23. Z23=38cos+isen Al calcular cos la calculadora debe estar en RAD (R). 23. Z23=38cos+isen=38-1+0i=-38 24. Demuestre que la forma binmica del nmero complejo: Z24=711cos32+isen32i=-711i Ya sabemos pasar de forma binmica a forma polar y viceversa. Se mencion que los nmeros complejos no se pueden sumar ni restar en forma polar, en este caso se pasan de forma polar a forma binmica, se realiza la suma y se regresan a forma polar. Realizaremos una suma y una resta usando algunos de los nmeros complejos con los que ya trabajamos. Calcule: 25. Z10+Z12=Z25 y 26. Z9-Z11=Z26

Z10+Z12=8cos1350+isen1350+2cos3150+isen3150 Al calcular la forma binmica de Z10 y Z12 se obtuvo Z10=-42+42i Z12=2-2i al sumar se obtiene Z25=Z10+Z12=-42+42i+2-2i=-42+2+42i-2i 25. Z25=Z10+Z12=-4+12+4-12i=-32+32i 25. (a) Encontremos la forma polar del nmero complejo en grados y radianes: 25. (a) Z25=-32+32i Z25 est en el segundo cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) en grados Con la expresion tan-132-32 teniendo la calculadora en DEG (D). =tan-132-32=tan-11=450 Como est en el segundo cuadrante (ver la tabla) =1800- =1800-= 1800-450=1350 El argumento en radianes se calcula con =tan-132-32 teniendo la calculadora en RAD. =tan-132-32=tan-11=0.785398163=0.785398163=0.25=14=4 rad Observe que el valor 0.785398163 est en radianes pero no contiene a . Para introducir a , se multiplic y dividi por el nmero 0.785398163, pero solo se hizo la divisin en la calculadora, por lo que qued escrito en el numerador y 14 es exacto. Como est en el segundo cuadrante (ver la tabla) =1800-= pues 1800=. =-=-4=44-4=34 rad Otra forma de obtener en radianes a partir de en grados es con 1800=. 18001350=13501800=0.75=34=34 rad Calculemos el mdulo o valor absoluto: r=x2+y2=(-32)2+(32)2=92+92=18+18=36=6 Como x+yi=r(cos+isen) =rcis se tiene que Z25=Z10+Z12=-32+32i 25. a Z25=6cos1350+isen1350= 6cis1350 25. a Z25=6cos34+isen34=6cis34 26. Demuestre que la resta 26. Z26=Z9-Z11=6.8843+11.397 26. (a) Demuestre que la forma polar del nmero complejo en grados y radianes: Z26=6.884303045+11.3969262i es

26. a Z26=13.315cos58.8660+isen58.8660=13.315cis58.8660 26. a Z26=13.315cos0.32703 +isen0.32703 =13.315cis0.32703 La multiplicacin de nmeros complejos en forma polar es relativamente sencilla. Los mdulos se multiplican y los argumentos se suman. r1(cos1+isen1)r2(cos2+isen2)=r1r2cos(1+2)isen(1+2) Veamos algunas multiplicaciones. 27. Z1Z2= Z27. Se tiene que Z1=32cos450+isen450=32cos4+isen4 Z2=2cos1200+isen1200=2cos23+isen23 Vamos a multiplicar primero en grados y luego en radianes. Z27=Z1Z2= 32cos450+isen4502cos1200+isen1200 Z27=Z1Z2=322cos450+1200+isen450+1200 27. Z27=Z1Z2=62cos1650+isen1650=62cis1650 Z27=Z1Z2=32cos4+isen42cos23+isen23 Z27=Z1Z2=322cos4+23+isen4+23 Vamos a resolver paso a paso la suma de fracciones: 4+23=14+23=3+812=1112 rad 27. Z27=Z1Z2=62cos1112+isen1112=62cis1112 28. Demuestre que 28. Z28=Z3Z4=5cos533.130+isen533.130=5cis533.130 28. Z28=Z3Z4=5cos(2.9618)+isen(2.9618)=5cis(2.9618) 29. Calcule Z29=Z5Z6. Se tiene que Z5=8cos00+isen00=8cos0+isen0 Z6=7cos900+isen900=7cos2+isen2 Vamos a resolver primero en grados y luego en radianes. Z29=Z5Z6=8cos00+isen007cos900+isen900 Z29=Z5Z6=87cos00+900+isen00+900 29. Z29=Z5Z6=56cos900+isen900=56(cis900) Z29=Z5Z6=8cos0+isen07cos2+isen2 Z29=Z5Z6=87cos0+2+isen0+2=56cos2+isen2 29. Z29=Z5Z6=56cos2+isen2=56cis2

30. Demuestre que 30. Z30=Z7Z8=203(cos4500+isen4500)=203(cis4500) 30. Z30=Z7Z8=203cos52+isen52=203cis52 La divisin de nmeros complejos en forma polar es relativamente sencilla. Los mdulos se dividen y los argumentos se restan. r1(cos1+isen1)r2(cos2+isen2)=r1r2cos1-2+isen(1-2) Resolvamos algunas divisiones 31. Z1Z2=Z31 Se tiene que Z1=32cos450+isen450=32cos4+isen4 Z2=2cos1200+isen1200=2cos23+isen23 Vamos a resolver primero en grados y luego en radianes. Z31=Z1Z2=32cos450+isen4502cos1200+isen1200=322cos(450-1200)+isen(4501200) Z31=Z1Z2=322cos(-750)+isen(-750) En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos 3600. -750+3600=2850 31. Z31=Z1Z2=322cos2850+isen2850=322cis2850 Z31=Z1Z2=32cos4+isen42cos23+isen23=322cos4-23+isen4-23 Vamos a resolver paso a paso la resta en radianes 4-23=14-23=3-812=-512 rad Z31=Z1Z2=322cos-512+isen-512 En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos 2. -512+2=-512+2=-512+2412=1912 31. Z31=Z1Z2=322cos1912+isen1912=322cis1912 32. Demuestre que 32. Z32= Z3Z4=15cos(246.870)+isen(246.870)=15cis(246.870) 32. Z32=Z3Z4=15cos-0.62850+isen-0.62850=15cis-0.62850 33. Z5Z6=Z33 Se tiene que Z5=8cos00+isen00=8cos0+isen0

Z6=7cos900+isen900=7cos2+isen2 Vamos a resolver primero en grados y luego en radianes. Z33=Z5Z6=8cos00+isen007cos900+isen900 Z33=Z5Z6=87cos(00-900)+isen(00-900 Z33=Z5Z6=87cos(-900)+isen(-900) En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos 3600. -900+3600=2700 33. Z33=Z5Z6=87cos2700+isen2700=87cis2700 Z33=Z5Z6=8cos0+isen07cos2+isen2 Z33=Z5Z6=87cos0-2+isen0-2 Z33=Z5Z6=87cos-2+isen-2 En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos 2. La suma en radianes paso a paso es: -2+2=-12+2=-12+42=32 33. Z33=Z5Z6=87cos32 +isen32 =87cis32 34. Demuestre que 34. Z34=Z7Z8=4315cos2700+isen2700=4315cis2700 34. Z34=Z7Z8=4315cos32 +isen32 =4315cis32 Forma Exponencial de un nmero complejo Con las leyes de los exponentes tenemos que: anam=an+m y anam=an-m en particular si en lugar de a tomamos el valor e, entonces exey=ex+y y exey=ex-y con x, y R. Se tiene que Z , Z=a+bi. Qu pasa con eZ=ea+bi ? Sabemos que ea+bi=eaebi como aR conocemos el valor de ea, pero con ebi tenemos el problema de la i, ya que no sabemos cunto vale e porque ebi=eib tambin ebi=ebi. La frmula de Euler nos dice que el desarrollo de ei=(cos+isen), de acuerdo con esto un nmero complejo Z=a+bi se podr escribir con la notacin de Euler como Z=es+i=esei=es(cos+isen), donde es=r Z=rei=r(cos+isen). La ecuacin Z=rei es la forma Exponencial de los nmeros complejos. Los nmeros complejos no se pueden sumar o restar en forma Exponencial, por lo que en este caso primero se pasan a forma Polar, luego se pasan a forma rectangular, se hace la suma o resta y se regresa el resultado primero a forma Polar y luego a forma binmica. Pasar de forma Exponencial a forma Polar es muy sencillo ya que Z=rei=r(cos+isen)

35. Determinemos la forma polar en grados y radianes de 35. Z35=4ei1500 35. Z35=4rei1500=4(cos1500+isen1500)=4(cis1500) =1800 (1500)1800=15001800=56=56 35. Z35=4rei1500=4cos56+isen150056=4cis56 36. Determinemos la forma polar en grados y radianes de 36. Z36=4ei2400 36. Z36=4ei2400=4(cos2400+isen2400)=4(cis2400) =1800 (2400)1800=24001800=43=43 36. Z36=4ei2400=4cos43+isen150043=4cis43 Es igual de sencillo pasar de forma Polar a forma Exponencial 37. Determinemos la forma Exponencial en grados y radianes de 37. Z37=3ei1200 37. Z37=3ei1200=3(cos1200+isen1200)=3(cis1200) =1800 (1200)1800=12001800=23=23 37. Z37=3ei23=3cos23+isen23=3cis23 38. Determinemos la forma Exponencial en grados y radianes de 38. Z38=63ei3000 38. Z38=63ei3000=63(cos3000+isen3000)=63(cis3000) =1800 (3000)1800=30001800=53=53 38. Z38=63ei3000=63cos53+isen53=63cis53 Ya se mencion que los nmeros complejos no se pueden sumar o restar en forma Exponencial. En este caso se pasan a forma Polar, luego a forma rectangular, se hace la operacin de suma o resta y luego se pasa el resultado a forma polar y finalmente a forma Exponencial. Vamos a resolver una suma y una resta de nmeros complejos en forma Exponencial. 39. Suma en forma Exponencial Z39=Z35+Z36. Ya se vi que: Z35=4ei1500=4(cos1500+isen1500) Z35=4-0.866025403+0.5i=4-0.8660254032+12i=4-0.75+12i Z35=-434+42i=-432+2i=-23+2i Z36=4ei2400=4(cos2400+isen2400)=4-0.5+-0.866025403i Z36=4-12-0.75i=-2-434i=-2-23i

Z39=Z35+Z36=-23+2i+-2-23i=-23-2+2i-23i 39. Z39=Z35+Z36=-23-2+2-23i=-5.464101615-1.464101615i El valor Z39=Z35+Z36 es en forma rectangular, pasemos a forma Polar y Exponencial. Z39=-5.464101615-1.464101615i Z39 est en el tercer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) en grados con la expresion =tan-1-1.464101615-5.464101615 teniendo la calculadora en DEG. =tan-1-1.464101615-5.464101615=tan-10.267949192=150 El valor 150 es exacto, como est en el tercer cuadrante (ver la tabla) =1800+. =1800+=1800+150=1950 El argumento en radianes se calcula con =tan-1-1.464101615-5.464101615 con la calculadora en RAD =tan-1-1.464101615-5.464101615=tan10.267949192=0.261799387=0.083333333 rad =112=12rad Como est en el tercer cuadrante (ver la tabla) =1800+= + pues 1800=. =+12=1212+12=1312 rad Otra forma de obtener en radianes a partir de en grados es con 1800=. =19501800=19501800= 1312 rad Enseguida obtenemos el mdulo o valor absoluto: r=(-5.464101615)2+(-1.464101615)2=29.85640646+2.143593539=32 r=162=162=42 Como x+yi=rcos+isen=rcis=rei se tiene que: 39. Z39=Z35+Z36=-5.464101615-1.464101615i 39. Z39=42cos1950+isen1950=42cis1950 39. Z39= 42cos1312+isen1312=42cis1312 39. Z39=42ei1500=42ei1312 40. Demuestre que la resta en forma Exponencial 40. Z40=Z37-Z38=-732+212i donde Z37=3ei1200 y Z38=63ei3000 40. Z40=73cos1200+isen1200=73cis1200 40. Z40= 73cos23+isen150023=73cis23 40. Z40=73ei1200=73ei23

La multiplicacin de nmeros complejos en forma Exponencial es relativamente sencilla. Los mdulos se multiplican y los argumentos se suman. r1ei1r2ei2=r1r2ei1+2 Multipliquemos 41. Z39Z40= Z41 Se tiene que: Z39=42ei1950=42ei1312 y Z40=73ei1200=73ei23 Z41=Z39Z40= 42ei195073ei1200=4723ei(1950+1200)=2823ei3150 41. Z41=Z39Z40=286ei3150 Z41=Z39Z40= 42ei131273ei23=4723ei1312+23=2823ei2112 41. Z41=Z39Z40=286ei2112 42. Demuestre que si Z42 =5ei450=5ei4 y Z43=43ei2400=43ei43 42. Z44= Z42Z43=203ei2850 42. Z44= Z42Z43=203ei2850 La divisin de nmeros complejos en forma Exponencial es relativamente sencilla. Los mdulos se dividen y los argumentos se restan r1ei1r2ei2=r1r2ei1-2 Dividamos 43. Z39Z40=Z45 Se tiene que: Z39=42ei1950=42ei1312 y Z40=73ei1200=73ei23 43. Z45=Z39Z40=42ei195073ei1200=4273ei1950-1200=4273ei750 43. Z45=Z39Z40=42ei131273ei23=4273ei1312-23=4273ei13812=4273ei512 44. Demuestre que si Z42 =5ei450=5ei4 y Z43=43ei2400=43ei43 44. Z46= Z42Z43=154ei1650 44. Z46= Z42Z43=154ei1112

1.5 Teorema de Moivre, potencias y extraccin de races de un nmero complejo.El Teorema de De Moivre dice que cuando se eleva a la n un nmero complejo en forma Exponencial se obtiene una ecuacin que recibe el nombre de Frmula de De Moivre. Sea Z=rei. Entonces Zn=rein=rnein=rnein=rncos n+isen n

Formula de De Moivre rncos +isen n=rncos n+isen n Potencias de un nmero complejo en forma Polar. 1. Calcule Z18 ya se vi que: Z1=3+3i=32cos450+isen450=32cos4+isen4 Z18=3+3i8=32cos450+isen4508=32cos4+isen48 Resolvamos primero en grados y luego en radianes usando la Frmula de De Moivre rncos +isen n=rncos n+isen n Z18=32cos450+isen4508=328cos450+isen4508 Z18=3828cos8450+isen8450=6,56116cos3600+isen3600 Con la calculadora en DEG D se calcula cos3600 1. Z18=104,976cos3600+isen3600=104,9761+0=104,976 Z18=32cos4+isen48=328cos4+isen48 Z18=3828cos84+isen84=6,56116cos2+isen2 Con la calculadora en RAD R se calcula cos2 1. Z18=104,976cos2+isen2=104,9761+0=104,976 2. Demuestre que si Z2=-1+3i 2. Z211=-1,024-1,0243i 3. Calcule Z315 ya se vi que Z3=-123-12i =1cos2100+isen2100=1cos76+isen76 Z315=-123-12i15=1cos2100+isen210015=1cos76+isen7615 Resolvamos primero en grados y luego en radianes usando la Frmula de De Moivre rncos +isen n=rncos n+isen n Z315=-123-12i15=115cos2100+isen210015 Z315=1cos152100+isen152100=1cos3,1500+isen3,1500 Con la calculadora en DEG D se calcula cos3,1500 3. Z315=1cos3,1500+isen3,1500=10-i=-i Z315=1cos76+isen7615=115cos76+isen7615 Z315=1cos1576+isen1576=1cos1056+isen1056=1cos352+isen352 Con la calculadora en RAD R se calcula cos352 3. Z315=1cos352+isen352=10-i=-i

4. Demuestre que si Z4=4-3i 4. Z420=9.10045 X 1013-2.85155 X 1013i 5. Calcule Z3513 ya se vi que Z35=4ei1500 5. Z3513=4ei150013= 413ei131500=67,108,864ei1,9500 =1800 (1500)1800=15001800=56=56 Z35=4ei56 5. Z3513=4ei5613= 413ei1356=67,108,864ei656 6. Demuestre que si Z36=4ei2400 6. Z3611=4,194,304ei2,6400 6. Z3611=4,194,304ei443 7. Calcule Z3714 ya se vi que Z37=3ei1200 7. Z3714=3ei120014= 314ei141200=2,187ei1,6800 =1800 (1200)1800=12001800=23=23 Z37=3ei23 7. Z3714=3ei2314= 314ei(14)23=2,187ei283 Races de un nmero complejo en forma Polar. Si k es un entero con valores sucesivos k=0, 1, 2, 3, ,n-1, cos =cos +k3600 y sen =sen +k3600 Luego x+yi1n=rcos +isen 1n nx+yi=nr(cos+isen) x+yi1n=rcos +k3600+isen +k36001n x+yi1n=r1ncos +k3600n+isen +k3600n En el caso de radianes se tiene lo siguiente para 3600=2 x+yi1n=rcos +k2+isen +k21n x+yi1n=r1ncos +k2n+isen +k2n Las ecuaciones en letras negritas nos indican que un nmero cualquiera tanto real como complejo, tiene n races ensimas distintas, donde la primera raz ser para k=0, la segunda raz ser para k=1, la tercera raz ser para k=2, y as hasta llegar a la raz n que ser para k=n-1. Aunque todas las operaciones con nmeros complejos son importantes es necesario que la solucin de races con nmeros complejos quede bien comprendida, ya que al resolver ecuaciones polinmicas con nmeros complejos se tendr que resolver races. Es debido a esto que antes de resolver una raz con nmeros complejos vamos a desarrollar las ecuaciones para raz cuadrada, para raz cbica y para raz cuarta. Raz cuadrada de un nmero complejo. Se resuelven dos races Z1 y Z2 pero ya hemos usado Z1 y Z2 como los dos primeros nmeros complejos para pasar de forma binmica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugar de Z1 y Z2, para las dos races; Z1 y Z2. x+yi12=2x+yi=2r(cos+isen)=x+yi=r(cos+isen) x+yi12=r12cos +k36002+isen +k36002

Para raz cuadrada n=2, k=0 para la raz Z1 y k=1 para la raz Z2 En grados las dos races son: Z1 k=0=rcos +036002+isen +036002 Z2 k=1=rcos +136002+isen +136002 En radianes las dos races son: Z1 k=0=rcos +022+isen +022 Z2 k=1=rcos +122+isen +122 Raz cbica de un nmero complejo. Se resuelven tres races Z1, Z2 y Z3 pero ya hemos usado Z1, Z2 y Z3 como los tres primeros nmeros complejos para pasar de forma binmica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugar de Z1, Z2 y Z3, para las tres races; Z1, Z2 y Z3. x+yi13=3x+yi=3r(cos+isen) x+yi13=r13cos +k 36003+isen +k 36003 Para raz cbica n=3, k=0 para la raz Z1, k=1 para la raz Z2 y k=2 para la raz Z3 En grados las tres races son: Z1 k=0=3rcos +036003+isen +036003 Z2 k=1=3rcos +136003+isen +136003 Z3 k=2=3rcos +236003+isen +236003 En radianes las tres races son: Z1 k=0=3rcos +023+isen +023 Z2 k=1=3rcos +123+isen +123 Z3 k=2=3rcos +223+isen +223 Raz cuarta de un nmero complejo. Se resuelven cuatro races Z1, Z2, Z3y Z4 pero ya hemos usado Z1, Z2, Z3y Z4 como los cuatro primeros nmeros complejos para pasar de forma binmica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugar de Z1, Z2, Z3y Z4 para las cuatro races; Z1, Z2, Z3y Z4. x+yi14=4x+yi=4r(cos+isen) x+yi14=r14cos +k 36004+isen +k 36004 Para raz cuarta n=4, k=0 para la raz Z1, k=1 para la raz Z2, k=2 para la raz Z3 y k=3 para la raz Z4. En grados las cuatro races son: Z1 k=0=4rcos +036004+isen +036004 Z2 k=1=4rcos +136004+isen +136004

Z3 k=2=4rcos +236004+isen +236004 Z4 k=3=4rcos +336004+isen +336004 En radianes las cuatro races son: Z1 k=0=4rcos +024+isen +024 Z2 k=1=4rcos +124+isen +124 Z3 k=2=4rcos +224+isen +224 Z4 k=3=4rcos +324+isen +324 Todas las races sern resueltas paso a paso, con la prctica ser posible omitir varios pasos. 8. Vamos a resolver la raz cuadrada de: 4cos300+isen300 Z47=4cos300+isen300=4cos 300+k36002+isen 300+k36002 Z471 k=0=4cos 300+036002+isen 300+036002=2(cos150+isen150) Z471 k=0=20.965925826+0.258819045i=1.931851653+0.51763809i 8. Z471 k=0=2(cos150+isen150)=1.9319+0.51764i Solo hasta el final se redondea a 5 cifras significativas. Z472 k=1=4cos 300+136002+isen 300+136002 Z472 k=1=2cos1950+isen1950=2-0.965925826-0.258819045i Z472 k=1=-1.931851653-0.51763809i 8. Z472 k=1=2cos1950+isen1950=-1.9319-0.51764i Solo hasta el final se redondea a 5 cifras significativas. Las dos races son: 8. Z471 k=0=2cos150+isen150=1.9319+0.51764i primer cuadrante 8. Z472 k=1=2cos1950+isen1950=-1.9319-0.51764i tercer cuadrante Al graficar las races quedan como lnea que pasa por el origen, 1950-150=1800 9. Demuestre que si Z48=64cos600+isen600 al calcular la raz cuadrada se obtiene: 9. Z481 k=0=8cos300+isen300=43+4i 9. Z482 k=1=8cos2100+isen2100=-43-4i 10. Vamos a resolver la raz cuadrada de: Z6 donde Z6=7i se tiene que Z6=7i=7cos900+isen900=7cos2+isen2 Z49=Z6=7i=7cos900+isen900=7cos2+isen2

Resolvamos primero en grados las dos races y despus en radianes: Z49=7cos900+isen900=7cos 900+k36002+isen 900+k36002 Z491 k=0=7cos 900+036002+isen 900+036002 10. Z491 k=0=7cos450+isen450=7(0.707106781+0.707106781i) cos450=0.707106781=0.7071067812=0.5=12=12 =12 y sen450=0.707106781=12 Z491 k=0=712+12i=72+72i Veamos la simplificacion de 72 72=2272=2722=2722=144=142 10. Z491 k=0=142+142i Z492 k=1=7cos 900+136002+isen 900+136002 Z492 k=1=7cos2250+isen2250 cos2250=-0.707106781=-0.7071067812=-0.5=-12=-12=-12 y sen2250=-0.707106781=-12 10. Z492 k=1=7-12-12i=-72-72i=-142-142i Las dos races son: 10. Z491 k=0=7cos450+isen450=142+142i primer cuadrante 10. Z492 k=1=7cos2250+isen2250=-142-142i tercer cuadrante Al graficar las races quedan como lnea que pasa por el origen, 2250-450=1800 Resolvamos en radianes las dos races: Z49=Z6=7i =7cos2+isen2 Z49=7cos2+isen2=7cos 2+k22+isen 2+k22 Z491 k=0=7cos 2+022+isen 2+022 10. Z491 k=0=7cos4+isen4 primer cuadrante Z492 k=1=7cos 2+122+isen 2+122 Nota: 222=42 Z492 k=1=7cos 2+422+isen 2+422=7cos 522+isen 522 10. Z492 k=1=7cos54+isen54 tercer cuadrante Al graficar las races quedan como lnea que pasa por el origen, 54-4= Podemos observar que las races son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes. Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las races obtenidas en grados por: 1800 4501800=4501800=4, 22501800=22501800=54 11. Demuestre que si Z7=-4 al calcular la raz cuadrada se obtiene:

11. Z501 k=0=2cos900+isen900=2i=2cos2+isen2 11. Z502 k=1=2cos2700+isen2700=-2i=2cos 32+isen 32 12. Vamos a resolver la raz cuadrada de: Z2 donde Z2=-1+3i se tiene que Z2=-1+3i=2cos1200+isen1200=2cos23+isen23 Z51=Z2=-1+3i =2cos1200+isen1200=2cos23+isen23 Resolvamos primero en grados las dos races y despus en radianes: Z51=2cos1200+k36002+isen1200+k36002 Z511 k=0=2cos 1200+036002+isen 1200+036002 12. Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i cos600=0.5=12 y sen600=0.866025404=0.8660254042=0.75=34=34=32 Z511 k=0=212+32i=22+232i=22+232i=22+62i Veamos la simplificacin de 62 62=322=3222=3222=3222=32 12. Z511 k=0=22+62i=22+32i Z512 k=1=2cos 1200+136002+isen 1200+136002 12. Z512 k=1=2cos2400+isen2400=2-0.5-0.866025404i cos2400=-0.5=-12 y sen2400=-0.866025404=-0.8660254042=-0.75=-34=-34=-32 Z512 k=1=2-12-32i=-22-232i=-22-232i=-22-62i Se vio que 62 =32 Las dos races son: 12. Z511 k=0=2cos600+isen600=22+32i primer cuadrante 12. Z512 k=1=2cos2400+isen2400=-22-32i tercer cuadrante Al graficar las races quedan como lnea que pasa por el origen, 2400-600=1800 Resolvamos en radianes las dos races: Z51=Z2=2cos23+isen23 Z51=2cos 23+k22+isen 23+k22 Z511 k=0=2cos 23+022+isen 23+022 Nota:232=26=3 12. Z511 k=0=2cos3+isen3=20.5+0.866025404i

Se vio que: Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i 12. Z511 k=0=212+32i=22+32i Z512 k=1=2cos 23+122+isen 23+122 Nota:332=63 Z512 k=1=2cos 23+632+isen 23+632=2cos 832+isen 832 12. Z512 k=1=2cos86+isen86=2cos43+isen43 Z512 k=1=2(-0.5-0.866025404i) Se vio que: Z512 k=1=2cos2400+isen2400=2(-0.5-0.866025404i) Z512 k=1=2-12-32i=-22-32i Las dos races son: 12. Z511 k=0=2cos3+isen3=22+32i primer cuadrante 12. Z512 k=1=2cos43+isen43=-22-32i tercer cuadrante Al graficar las raices quedan como linea que pasa por el origen, 43-3= Podemos observar que las races son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes. Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las races obtenidas en grados por: 1800 6001800=6001800=3, 24001800=24001800=43 13. Demuestre que si Z5=8 al calcular la raz cuadrada se obtiene: 13. Z521 k=0=22cos00+isen00=22=22cos 0+isen 0 13. Z522 k=1=22cos1800+isen1800=-22=22cos +isen 14. Vamos a resolver la raz cuadrada de: -36i el valor -36i esta en 2700, r=36 -36i=36cos2700+isen2700 -36i=36cos32+isen32 Z53=-36i =36cos2700+isen2700=36cos32+isen32 Resolvamos primero en grados las dos races y despus en radianes: Z53=36cos 2700+k36002+isen 2700+k36002 Z531 k=0=36cos 2700+036002+isen 2700+036002 14. Z531 k=0=6cos1350+isen1350=6(-0.707106781+0.707106781i) cos1350=-0.707106781=-0.7071067812=-0.5=-12=-12=-12 y sen1350=0.707106781=12 Z531 k=0=6-12+12i=-62+62i Se vio que:

62=32 14. Z531 k=0=-32+32i Z532 k=1=36cos 2700+136002+isen 2700+136002 14. Z532 k=1=6cos3150+isen3150=6(0.707106781-0.707106781i) cos3150=0.707106781=0.7071067812=0.5=12=12=12 y sen3150=-0.707106781=-12 Z532 k=1=612-12i=62-62i 62=32 14. Z532 k=1=32-32i Las dos races son: 14. Z531 k=0=6cos1350+isen1350=-32+32i segundo cuadrante 14. Z532 k=1=6cos3150+isen3150=32-32i cuarto cuadrante Al graficar las races quedan como lnea que pasa por el origen, 3150-1350=1800 Resolvamos en radianes las dos races: Z53=36cos32+isen32 Z53=36cos 32+k22+isen 32+k22 Z531 k=0=36cos 32+022+isen 32+022 14. Z531 k=0=6cos34+isen34=6(-0.707106781+0.707106781i) Se vio que: Z531 k=0=6cos1350+isen1350=6-0.707106781+0.707106781i Z531 k=0=6-12+12i=-62+62i=-32+32i Z532 k=1=36cos 32+122+isen 32+122 Z532 k=1=6cos 32+422+isen 32+422=6cos 722+isen 722 14. Z532 k=1=6cos74+isen74=6(0.707106781-0.707106781i) Se vio que: Z532 k=1=6cos3150+isen3150=60.707106781-0.707106781i Z532 k=1=612-12i=62-62i=32-32i Las dos races son: 14. Z532 k=0=6cos34+isen34=-32+32i segundo cuadrante 14. Z532 k=1=6cos74+isen74=32-32i cuarto cuadrante Al graficar las raices quedan como linea que pasa por el origen, 74-34= Podemos observar que las races son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes. Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las races obtenidas en grados por: 1800 13501800=13501800=34, 31501800=31501800=74

15. Vamos a resolver la raz cbica de: 8 el valor 8 esta en 00, r=8 8=8cos00+isen00=8cos0+isen0 Z54=38=38cos00+isen00=38cos0+isen0 Resolvamos primero en grados las tres races y despus en radianes: Z54=38cos00+isen00=38cos 00+k36003+isen 00+k36003 Z541 k=0=38cos 00+036003+isen 00+036003 15. Z541 k=0=2cos00+isen00=21+0i=2 Z542 k=1=38cos 00+136003+isen 00+136003 15. Z542 k=1=2cos1200+isen1200=2-0.5+0.866025404i Se vio que: Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i Z511 k=0=212+32i 15. Z542 k=1=2-12+ 32i=-22+ 232i=-1+3i Z543 k=2=38cos 00+236003+isen 00+236003 15. Z543 k=2=2cos2400+isen2400=2-0.5-0.866025404i Se vio que: Z512 k=1=2cos2400+isen2400=2-0.5-0.866025404i Z512 k=1=2-12-32i 15. Z543 k=2=2-12- 32i=-22- 232i=-1-3i Las tres races son: 15. Z541 k=0=2cos00+isen00=2 esta en el eje x positivo 15. Z542 k=1=2cos1200+isen1200=-1+3i segundo cuadrante 15. Z543 k=2= 2cos2400+isen2400=-1-3i tercer cuadrante Al graficar las races quedan como un crculo dividido en tres secciones iguales con: 1200 entre cada raz. Resolvamos en radianes las tres races: Z54=38cos0+isen0=38cos 0+k23+isen 0+k23 Z541 k=0=38cos 0+023+isen 0+023 15. Z541 k=0=2cos0+isen0=21+0i=2 Z542 k=1=38cos0+123+isen0+122 15. Z542 k=1=2cos 23 +isen 23=2-0.5+0.866025404i Se vio que: Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i Z511 k=0=212+32i=22+62i

Z542 k=1=2-12+ 32i=-22+ 232i=-1+3i Z543 k=2=38cos 0+223+isen 0+223 15. Z543 k=2=2cos 43 +isen 43=2-0.5-0.866025404i Se vio que: Z512 k=1=2cos2400+isen2400=2-0.5-0.866025404i Z512 k=1=2-12-32i Z543 k=2=2-12- 32i=-22- 232i=-1-3i Las tres races son: 15. Z541 k=0=2cos0+isen0=2 esta en el eje x positivo 15. Z542 k=1=2cos 23 +isen 23=-1+3i segundo cuadrante 15. Z543 k=2= 2cos 43 +isen 43=-1-3i tercer cuadrante Al graficar las races quedan como un crculo dividido en tres secciones iguales con: 1200 entre cada raz. Podemos observar que las races son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes. Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las races obtenidas en grados por: 1800 001800=001800=0, 12001800=12001800=23, 24001800=24001800=43 16. Demuestre que la raiz cubica de 27i es 16. Z551 k=0=3cos300+isen300=332+32i=3cos6+isen6 16. Z552 k=1=3cos1500+isen1500=-332+32i=3cos 56 +isen 56 16. Z553 k=2= 3cos2700+isen2700=-3i = 3cos 96 +isen 96 17. Vamos a resolver la raz cbica de: -64 el valor -64 esta en 1800, r=64 -64=64cos1800+isen1800=64cos+isen Z56=3-64=364cos1800+isen1800=364cos+isen Resolvamos primero en grados las tres races y despus en radianes: Z56=364cos1800+isen1800=364cos 1800+k36003+isen 1800+k36003 Z561 k=0=364cos 1800+036003+isen 1800+036003 17. Z561 k=0=4cos600+isen600=4(0.5+0.866025404i) Se vio que: Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i Z511 k=0=212+32i 17. Z561 k=0=412+32 i=42+432 i=2+23 i Z562 k=1=364cos 1800+136003+isen 1800+136003

17. Z562 k=1=4cos1800+isen1800=4-1+0i=-4 Z563 k=2=364cos 1800+236003+isen 1800+236003 17. Z563 k=2=4cos3000+isen3000=40.5-0.866025404i Se vio que: Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i Z511 k=0=212+32i 17. Z563 k=2=412- 32i=42-432 i=2-23i Las tres races son: 17. Z561 k=0=4cos600+isen600=2+23i primer cuadrante 17. Z562 k=1=4cos1800+isen1800=-4 esta en el eje x negativo 17. Z563 k=2= 4cos3000+isen3000=2-23i cuarto cuadrante Al graficar las races quedan como un crculo dividido en tres secciones iguales con: 1200 entre cada raz. Resolvamos en radianes las tres races: Z56=364cos+isen=364cos +k23+isen +k23 Z561 k=0=364cos +023+isen +023 17. Z561 k=0=4cos3+isen3=4(0.5+0.866025404i) Se vio que: Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i Z511 k=0=212+32i 17. Z561 k=0=412+32 i=42+432 i=2+23 i Z562 k=1=364cos+123+isen+123 17. Z562 k=1=4cos 33 +isen 33=4cos +isen =4-1+0i=-4 Z563 k=2=364cos +223+isen +223 17. Z563 k=2=4cos 53 +isen 53=40.5-0.866025404i Se vio que: Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i Z511 k=0=212+32i 17. Z563 k=2=412- 32i=42-432 i=2-23i Las tres races son: 17. Z561 k=0=4cos 3 +isen 3=2+23i primer cuadrante 17. Z562 k=1=4cos +isen =-4 esta en el eje x negativo 17. Z563 k=2= 4cos 53 +isen 53=2-23i cuarto cuadrante Al graficar las races quedan como un crculo dividido en tres secciones iguales con: 1200 entre cada raz.

Podemos observar que las races son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes. Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las races obtenidas en grados por: 1800 6001800=6001800=3, 18001800=18001800=, 30001800=53 18. Demuestre que la raiz cubica de -125i es 18. Z571 k=0=5cos900+isen900=5i=5cos2+isen2 18. Z572 k=1=5cos2100+isen2100=-532-52i =5cos 76 +isen 76 18. Z573 k=2=5cos3300+isen3300=532-52i=5cos 116 +isen 116 19. Vamos a resolver la raz cbica de: -1+i -1+i tiene como argumento 1350, r=2 -1+i=2cos1350+isen1350 -1+i=2cos34+isen34 Z58=3-1+i=32cos1350+isen1350=32cos34+isen34 Resolvamos primero en grados las tres races y despus en radianes: Z58=32cos1350+isen1350 Z58=32cos 1350+k36003+isen 1350+k36003 32=21213=21213=216=62 Z581 k=0=62cos 1350+036003+isen 1350+036003 19. Z581 k=0=62cos450+isen450=620.707106781+0.707106781i Se vio que: Z491 k=0=7cos450+isen450=7(0.707106781+0.707106781i) Z491 k=0=712+12i Z581 k=0=6212+12i=622+622i Vamos a simplificar 622 622=216212=216 - 12=22-612=2-412=213=1213=132=32323232132=3223222 622=3438=342 19. Z581 k=0=342+342i Z582 k=1=62cos 1350+136003+isen 1350+136003 19. Z582 k=1=62cos1650+isen1650=62-0.965925826+0.258819045i No es posible simplificar elevando al cuadrado o al cubo, el cos1650o sen1650 Z582 k=1=1.122462048-0.965925826+0.258819045i

19. Z582 k=1=-1.084215081+0.290514555i=-1.0842+0.29051i Se redonde a 5 cifras significativas solo hasta el final de los clculos. Z583 k=2=62cos 1350+236003+isen 1350+236003 19. Z583 k=2=62cos2850+isen2850=620.258819045-0.965925826i No es posible simplificar elevando al cuadrado o al cubo, el cos2850o sen2850 Z583 k=2=1.1224620480.258819045-0.965925826i 19. Z583 k=2=0.290514555-1.084215081i=0.29051-1.0842i Se redonde a 5 cifras significativas solo hasta el final de los clculos. Las tres races son: 19. Z581 k=0=62cos450+isen450=342+342i primer cuadrante 19. Z582 k=1=62cos1650+isen1650=-1.0842+0.29051i segundo cuadrante 19. Z583 k=2= 62cos2850+isen2850=0.29051-1.0842i cuarto cuadrante Al graficar las races quedan como un crculo dividido en tres secciones iguales con: 1200 entre cada raz. Resolvamos en radianes las tres races: Z58=32cos34+isen34=62cos 34+k23+isen 34+k23 Z581 k=0=62cos 34+023+isen 34+023 19. Z581 k=0=62cos312+isen312=62cos4+isen4 Z581 k=0=62(0.707106781+0.707106781i) Se vio que: Z491 k=0=7cos450+isen450=7(0.707106781+0.707106781i) Z491 k=0=712+12i Z581 k=0=6212+12i=622+622i Se vio que: Z581 k=0=62cos450+isen450=62(0.707106781+0.707106781i) Z581 k=0=6212+12i=622+622i=342+342i 19. Z581 k=0=342+342i Z582 k=1=62cos34+123+isen34+123 Z582 k=1=62cos34+843+isen34+843=62cos1143+isen1143 19. Z582 k=1=62cos 1112 +isen 1112=62-0.965925826+0.258819045i No es posible simplificar elevando al cuadrado o al cubo, el cos1112o sen1112 Z582 k=1=1.122462048-0.965925826+0.258819045i 19. Z582 k=1=-1.084215081+0.290514555i=-1.0842+0.29051i

Se redonde a 5 cifras significativas solo hasta el final de los clculos. Z583 k=2=62cos34+223+isen34+223 Z583 k=2=62cos34+1643+isen34+1643 Z583 k=2=62cos1943+isen1943 19. Z583 k=2=62cos 1912 +isen 196=620.258819045-0.965925826i Z582 k=1=1.1224620480.258819045-0.965925826i 19. Z582 k=1=0.290514555-1.084215081i=0.29051-1.0842i Se redonde a 5 cifras significativas solo hasta el final de los clculos. Las tres races son: 19. Z581 k=0=62cos4+isen4=342+342i primer cuadrante 19. Z582 k=1=62cos 1112 +isen 1112=-1.0842+0.29051i 2o. cuadrante 19. Z583 k=2= 62cos 1912 +isen 196=0.29051-1.0842i cuarto cuadrante Al graficar las races quedan como un crculo dividido en tres secciones iguales con: 1200 entre cada raz. Podemos observar que las races son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes. Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las races obtenidas en grados por: 1800 4501800=4501800=4, 16501800=16501800=1112, 28501800=1912 20. Vamos a resolver la raz cuarta de: -16 -16 tiene como argumento 1800, r=16 -16=16cos1800+isen1800 -16=16cos +isen Z59=4-16=416cos1800+isen1800=416cos +isen Resolvamos primero en grados las cuatro races y despus en radianes: Z59=416cos1800+isen1800 Z59=416cos 1800+k36004+isen 1800+k36004 Z591 k=0=416cos 1800+036004+isen 1800+036004 20. Z591 k=0=2cos450+isen450=2(0.707106781+0.707106781i) Se vio que: Z491 k=0=7cos450+isen450=70.707106781+0.707106781i Z491 k=0=712+12i Z591 k=0=212+12i=22+22i Veamos la simplificacin de 22 22=2222=2222=2222=224=222=2

20. Z591 k=0=2+2i Z592 k=1=416cos 1800+136004+isen 1800+136004 20. Z592 k=1=2cos1350+isen1350=2-0.707106781+0.707106781i Se vio que: Z531 k=0=6cos1350+isen1350=6-0.707106781+0.707106781i Z531 k=0=6-12+12i Z592 k=1=2-12+12i=-22+22i Se vio que: Z591 k=0=2cos450+isen450=20.707106781+0.707106781i Z591 k=0=212+12i=22+22i =2+2i 20. Z592 k=1=-2+2i Z593 k=2=2cos 1800+236004+isen 1800+236004 20. Z593 k=2=2cos2250+isen2250=2-0.707106781-0.707106781i Se vio que: Z492 k=1=7cos2250+isen2250=7-0.707106781-0.707106781i Z492 k=1=7-12-12i Z593 k=2=2-12-12i=-22-22i Veamos la simplificacin de -22 -22=-2222=-2222=-2222=-224=-222=-2 20. Z593 k=2=-2-2i Z594 k=3=2cos 1800+336004+isen 1800+336004 20. Z594 k=3=2cos3150+isen3150=20.707106781-0.707106781i Se vio que: Z532 k=1=6cos3150+isen3150=60.707106781-0.707106781i Z492 k=1=612-12i Se vio que: 20. Z594 k=3=212-12i=22-22i=2-2i ya que Z492 k=1=212-12i=22+22i=2-2i Las cuatro races son: 20. Z591 k=0=2cos450+isen450=2+2i primer cuadrante 20. Z592 k=1=2cos1350+isen1350=-2+2i segundo cuadrante 20. Z593 k=2= 2cos2250+isen2250=-2-2i tercer cuadrante 20. Z594 k=3=2cos3150+isen3150=2-2i cuarto cuadrante Al graficar las races quedan como un crculo dividido en cuatro secciones iguales con: 900 entre cada raz. Resolvamos en radianes las cuatro races:

Z59=416cos +isen =416cos +k24+isen +k24 Z591 k=0=416cos +024+isen +024 20. Z591 k=0=2cos4+isen4=20.707106781+0.707106781i Se vio que: Z491 k=0=7cos450+isen450=70.707106781+0.707106781i Z531 k=0=712+12i 20. Z591 k=0=212+12i=22+22i =2+2i Z592 k=1=416cos+124+isen+124 20. Z592 k=1=2cos34+isen34=2-0.707106781+0.707106781i Se vio que: Z531 k=0=6cos1350+isen1350=6-0.707106781+0.707106781i Z531 k=0=6-12+12i 20. Z592 k=1=2-12+12i=-22+22i=-2+2i Z593 k=2=416cos+224+isen+224 20. Z593 k=2=2cos54+isen54=2-0.707106781-0.707106781i Se vio que: Z492 k=1=7cos2250+isen2250=7-0.707106781-0.707106781i Z492 k=1=7-12-12i 20. Z593 k=2=2-12-12i=-22-22i=-2-2i Z594 k=3=416cos+324+isen+324 20. Z594 k=3=2cos74+isen74=20.707106781-0.707106781i 20. Z594 k=3=212-12i=22-22i=2-2i Las cuatro races son: 20. Z591 k=0=2cos4+isen4=2+2i primer cuadrante 20. Z592 k=1=2cos34+isen34=-2+2i segundo cuadrante 20. Z593 k=2= 2cos54+isen54=-2-2i tercer cuadrante 20. Z594 k=3=2cos74+isen74=2-2i cuarto cuadrante Al graficar las races quedan como un crculo dividido en cuatro secciones iguales con: 900 entre cada raz. Podemos observar que las races son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes. Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las races obtenidas en grados por: 1800 4501800=4, 13501800=34, 22501800=54, 31501800=74 21. Demuestre que la raiz cuarta de 81cos3200+isen3200 es 21. Z601 k=0=3cos800+isen800=3cos49+isen49=0.52094+2.9544i 21. Z602 k=1=3cos1700+isen1700=3cos1718+isen1718 21. Z602 k=1=-2.9544+0.52094i

21. 21. 21. 21. 22. 22. 22. 22. 22. 22. 22. 22. 22.

Z603 k=2= 3cos2600+isen2600= 3cos 139+isen 139 Z603 k=2=-0.52094-2.9544i Z604 k=3=3cos3500+isen3500=3cos3518+isen3518 Z604 k=3=2.9544-0.52094i Demuestre que la raiz cuarta de -4-3i es Z611 k=0=45cos54.2170+isen54.2170=0.87435+ 1.2131i Z611 k=0=45cos 0.30121+isen 0.30121 Z612 k=1=45cos144.220+isen144.220=-1.2131+0.87435i Z612 k=1=45cos0.80121+isen0.80121 Z613 k=2= 45cos234.220+isen234.220=- 0.87435- 1.2131i Z613 k=2= 45cos1.30121+isen1.30121 Z614 k=3=45cos324.220+isen324.220=1.2131-0.87435i Z614 k=3=45cos1.80121+isen1.80121

1.6 Ecuaciones polinmicas.Las ecuaciones polinmicas con nmeros complejos aparecen con relativa frecuencia en algunas reas de la ciencia, es por ello que se hace necesario el estudiar este tema. 1. Resolvamos la siguiente ecuacin polinmica. Z2+2i-3Z+5-i=0 en esta ecuacin a=1, b=2i-3, c=5-i Z=-b}b2-4ac2a Z=-2i-3}2i-32-415-i21 Z=3-2i}4i2-12i+9-45-i2=3-2i}4-1-12i+9-20+4i2 Z=3-2i}-4-12i+9-20+4i2=3-2i}5-12i-20+4i2 Z=3-2i}-15-8i2 Calculemos la raz cuadrada de -15-8i. Con la calculadora en DEG (D) =tan-1-8-15=28.072486940 Como est en el tercer cuadrante =1800+ =1800+=1800+28.072486940=208.072486940 Enseguida obtenemos el mdulo o valor absoluto: r=(-15)2+(-8)2=225+64=289=17 Como x+yi=r(cos+isen) se tiene que: -15-8i =17cos208.072486940+isen208.072486940 Z=-15-8i=17cos208.072486940+isen208.072486940 Z1 k=0=17cos208.072486940+036002+isen208.072486940+036002 Z1 k=0=17cos104.03624350+isen104.03624350 Z1 k=0=4.123105626-0.242535625+0.9701425i

Z1 k=0=-1+4i Podemos ver que al usar todas las cifras significativas a+bi fueron enteros. Z2 k=1=17cos208.072486940+136002+isen208.072486940+136002 Z2 k=1=17cos284.03624350+isen284.03624350 Z2 k=1=170.242535624-0.9701425i Z2 k=1=1-4i=--1+4i Podemos ver que al usar todas las cifras significativas a+bi fueron enteros. Z=3-2i}-15-8i2=3-2i}(-1+4i)2 Lo anterior da como resultado dos valores de Z. Z1=3-2i+(-1+4i)2= = 3-2i-1+4i2==2+2i2=1+i Z2=3-2i-(-1+4i)2= 3-2i+1-4i2=4-6i2=2-3i Z1= 1+i y Z2=2-3i son las dos races de la ecuacin polinmica. Para comprobar basta con sustituir las races en la ecuacin. Z2+2i-3Z+5-i=0. Iniciamos con Z1= 1+i 1+i2+2i-31+i+5-i=0 1+2i+i2+2i+2i2-3-3i+5-i=0 1+2i+-1+2i+2-1-3-3i+5-i=0 1+2i-1+2i-2-3-3i+5-i=0 1-1-2-3+5+2i+2i-3i-i=0 1-1-2-3+5=0 y 2i+2i-3i-i=0 0+0=0 Si Z2=2-3i 2-3i2+2i-32-3i+5-i=0 4-12i+9i2+4i-6i2-6+9i+5-i=0 4-12i+9-1+4i-6-1-6+9i+5-i=0 4-12i-9+4i+6-6+9i+5-i=0 51 4-9+6-6+5-12i+4i+9i-i=0 4-9+6-6+5=0 y -12i+4i+9i-i=0 0+0=0 2. Demuestre que Z1= 3+2i y Z2=4+i son las dos races de la ecuacin polinmica Z2-7+3iZ+(10+11i)=0