UNIDAD 1

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INSTITUTO TECNOLOGICO

DE LAZARO CARDENAS

ALGEBRA LINEAL

INVESTIGACION UNIDAD I

(NUMEROS COMPLEJOS)

NOMBRE DEL ALUMNO(A)

APELLIDO

PATERNO

APELLIDO

MATERNO

NOMBRE(S)

Díaz

Martínez

Katia

SEMESTRE: ENERO-JUNIO 2013

CARRERA: Ing. En sistemas computacionales

GRUPO: 21T

FECHA DE ENTREGA: 8 de febrero del 2013

UNIDAD 1

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INDICE …………………………………..2 UNIDAD 1.- NUMEROS COMPLEJOS

1.1 Definición y origen de los números complejos. …………………………………..3

Ejercicios …………………………………..3

1.2 Operaciones fundamentales con los números complejos. …………………………………..4

Ejercicios …………………………………..4 1.3 Potencias de “i”, modulo o valor absoluto de

un número complejo. …………………………………..6

Ejercicios …………………………………..7

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo. …………………………………..8

Ejercicios ………………………………..…9 1.5 Teorema de Moivre, potencial y extracción

de raíces de un número complejo. …………………………………11

Ejercicios …………………………………..12

1.6 Ecuaciones polinómicas. …………………………………..12 Ejercicios …………………………………..14

UNIDAD 1

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1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.

Debido a que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, una simple

ecuación como x2 = -4 no tiene solución en el conjunto de los números reales.

Para poder tratar con este tipo de situaciones tenemos que extender el conjunto

de los números reales a un conjunto mayor, el conjunto de los números complejos.

Para poder obtener una solución de la ecuación x2 + 1 = 0, utilizamos el número i,

tal que i2=1. Este número i no es un número real y se llama la unidad imaginaria,

pero i2 si es un número real. La unidad imaginaria se utiliza en la siguiente

definición de los números complejos.

Definición. Un número complejo z es una combinación lineal de la forma en donde a y b son números reales.

Al número a se le llama la parte real de z, a = Re(z), y al número o b la parte

imaginaria de z, b = Im(z). A la expresión a + b i de un número complejo z se le conoce como la forma estándar de z.

Ejemplos:

Z Re(z) Im(z)

7 + 5 i 7 5

-4 –3 i = -4 + (-3) i -4 -3

-9 i = 0 + (-9) i 0 -9

4 = 4 + 0 i 4 0

Ejercicios:

1.- 5-9i= real 5 e imaginario es 9

2.- 8-90i= real 8 imaginario es 90

3.- -34i= real 0 imaginario (-34)

UNIDAD 1

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1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS.

S uma y d i fe renc i a de números comp le jos : La suma y d i fe renc i a de números comp le jos se rea l i za sumando y res tando pa rtes rea les

entre s í y pa rtes i mag i na r i as entre s í .

( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i

( a + b i ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d ) i

Mult i p l i cac i ón de números comp le jos : E l p roduc to de los números

comp le jos se rea l i za ap l i cando la p rop i edad d i s tr i but i va de l p roduc to respec to de la suma y teni endo en cuenta que i 2 = −1 .

( a + b i ) · ( c + d i ) = ( a c − bd ) + ( a d + bc ) i

D i vi s i ón de números comp le jos : E l coc i ente de números comp le jos se hace rac i ona l i zando e l denomi nador ; es to es , mult i p l i cando numerador y denomi nador po r e l conjugado de és te .

Ejercicios:

1.- Dado Z1=7+8i y Z2=6-9i

Calcular: Z=Z1+Z2

Z= (7+8i) + (6-9i) = (7+6) + (8-9)i = 13 + (-i)=13-i respuesta

2. - Dado Z1=2-9i y Z2=6-3i

Calcular: Z=Z1-Z2

Z= Z1-Z2= (2+9i) – (6-3i) = (2-6) + (9+3)i = -4 + 12i respuesta

UNIDAD 1

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3.-Dado Z1= 2+5i, Z2= 5 y Z3= 1-2i

Calcular: 𝑍 =𝑍1+𝑍3

𝑍2𝑍3

𝑍 =(2 + 5𝑖) + (1 − 2𝑖)

(5)(1 − 2𝑖)=

(2 + 1) + (5 − 2)𝑖

5 − 10𝑖=

3 + 3𝑖

5 − 10𝑖

𝑍 =3 + 3𝑖

5 − 10𝑖=

(3 + 3𝑖)(5 + 10𝑖)

(5 − 10𝑖)(5 + 10𝑖)=

15 + 30𝑖 + 15𝑖 + 30𝑖 2

25 − 100𝑖 2=

15 + 45𝑖 + 30(−1)

25 − 100(−1)

𝑍 =15 + 45𝑖 − 30

25 + 100=

−45 + 15𝑖

125=

−3 + 9𝑖

25 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎

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1.3 POTENCIAS DE “I”, MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO

COMPLEJO.

Potencias de la Unidad Imaginaria:

NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA CARTESIANA REPRESENTACIÓN

CARTESIANA:

Utilizando los dos ejes cartesianos, el eje vertical corresponde a la parte

imaginaria y el eje horizontal corresponde a la parte real. Los números complejos

se pueden representar como puntos del par ordenado.

Z 1 = a + b i = (a,b)

MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO COMPLEJO:

Sea “z” un número complejo, se define el módulo de “z”, y lo notamos por |z|,

como la raíz cuadrada positiva del producto de z por su conjugado, es decir:

El módulo de z= |z| =+ (z · z´)1/2

Si el número complejo en forma binómica viene dado por “z = a + bi”, se tiene que |z|2 = (a + b·i) · (a - b·i) = a2 - b2 i2 = a2 + b2, de la que se obtiene la llamada expresión analítica del módulo de un número complejo:

El módulo de z=|z| = (a2 + b2)1/2

UNIDAD 1

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Ejercicios:

1.- Dado Z=4+3i

Calcular:

a) Modulo y ángulo Ɵ

Z=|Z|=√𝑎2 + 𝑏2 =√(4)2 + (3)2 = √16 + 9 = √25 = 5

Ɵ=arc tan ¾=36°52°11.63°

2.- Dado Z=6+i

Calcular:

a) Modulo y ángulo Ɵ

Z=|Z|=√𝑎2 + 𝑏2 = √(6)2 + (𝑖)2 = √(6)2 + 𝑖 2 = √36 + (−1) = √36 − 1 = √35

Ɵ=arc tan -1/6=-9°27°44.36°

3.- Dado Z=3+2i

Calcular:

a) Modulo y ángulo Ɵ

Z=|Z|=√𝑎2 + 𝑏2 = √(3)2 + (2)2 = √9 + 4 = √13

Ɵ=arc tan 2/3=33°41°24.24°

UNIDAD 1

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1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO

Forma Polar

Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número

complejo no nulo z = x + iy. Como

x = r cos θ e y = r sen θ

z puede ser expresado en forma polar como

z = r(cosθ + i senθ).

En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.

Forma exponencial

La ecuación

eiθ = cos θ + i sen θ

que define el símbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar

z = r(cos θ + i sen θ),

la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:

z = reiθ

UNIDAD 1

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Ejercicios:

1.- Z = 3-2i

Determinar forma polar de Z:

a) Módulo de Z b) El ángulo Ɵ

Z=|Z|=√𝑎2 + 𝑏2 = √(3)2 + (−2)2 = √9 + 4 = √13

x y

3 2

Ɵ= arc tan -2/3 = -33°41°24.24°

Z=𝑟(cos Ɵ + isenƟ)

Z=√13(cos−33°41°24.24° + isen − 33°41°24.24°)

y

x=3

𝜃 = −33°41°24.24° x

y=-2

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2.- Z=3 + 3√8𝑖

Determinar forma exponencial de Z:

a) Módulo de Z b) El ángulo Ɵ

Z=|Z|=√𝑎2 + 𝑏2 = √(3)2 + (3)2 = √9 + (9)(8) = √81 = 9

x y

3 3√8

Ɵ= arc tan 3√8)

3 = 70.5287°

𝑍 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 = 9𝑒70.5287𝑖

y

y=3√8

Ɵ=70.5287°

x=3 x

UNIDAD 1

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1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAL Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN

NÚMERO COMPLEJO

Fórmula para calcular las potencias z^n de un número complejo z. El teorema de Moivre establece que si un número complejo z = r(cos x + i sin x) , entonces z^n = r^n(cos nx + i sin nx), x= al ángulo, en donde n puede ser

enteros positivos, enteros negativos, y exponentes

fraccionarios.

Ejemplo:

Elevar el número √3 + 𝑖 a la quinta potencia.

El modulo del número es: 𝑟 = √3 + 1 = 2

El ángulo Ɵ: 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛1

3= 30

(√3 + 𝑖)5

= (2)2(cos(5)(30°) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (5)(30°))

(√3 + 𝑖)5

= 32(cos 150 ° + 𝑖𝑠𝑒𝑛 150°)

Ejercicios:

1.-𝑍 = (1 + 𝑖)6

El modulo

Z = |Z| = √(1)2 + (1)2 = √1 + 1 = √2

El ángulo Ɵ

Ɵ= arc tan 1/1 = 45°

Teorema Moivre: z^n = r^n(cos nx + i sin nx),

(1 + 𝑖)6 = (√2)6(cos(6)(45°) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(6)(45°)) = 8(cos 270° + 𝑖𝑠𝑒𝑛270°)

UNIDAD 1

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2.- 𝑍 = (√3 + 4𝑖)4

El módulo de Z

Z = |Z| = √(3)2 + (4)2 = √3 + 16 = √19

El ángulo de Ɵ

Ɵ= arc tan 4

√3 =66.5867°

Teorema Moivre z^n = r^n(cos nx + i sin nx)

(√3 + 4𝑖)4

= (√19)4(cos(4)(66.5867°) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(4)(66.5867°))

= 361(cos 266.3468° + 𝑖𝑠𝑒𝑛266.3468°)

1.6 ECUACIONES POLINÓMICAS.

La forma general de la ecuación polinómica de grado n

es: a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an = 0

Las ecuaciones de grado n tienen siempre n soluciones (o raíces). En casos particulares, algunas o todas estas n soluciones pueden ser iguales entre sí.

Si los coeficientes ai son números reales, entonces las soluciones pueden ser

números reales o complejos. (Cualquier combinación, con la siguiente restricción: si una de las soluciones es compleja, su conjugada también es solución. Esto implica que las soluciones complejas vienen por parejas y por tanto las ecuaciones

de grado impar tienen al menos una solución real).

Ecuaciones de primer grado:

ax + b = 0

Una solución:

Ecuaciones de segundo grado:

ax2 + bx + c = 0

UNIDAD 1

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Dos soluciones:

y

Ecuaciones de tercer grado:

ax3 + bx2 + cx + d = 0

Primera solución (de tres):

Segunda solución (de tres):

Tercera solución (de tres):

Ecuaciones de cuarto grado:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

UNIDAD 1

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Ejercicios:

1.- 7x+9x-7+8 = 5x-2x+1

7x+9x-5x+2x = 1+7-8

16x-5x+2x = 8-8

11x+2x= 0

13x=0

x=-13

2.- 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0

a b c

x =−b ± √b2 − 4ac

2a=

−(−3) ± √(−3)2 − 4(1)(2)

2(1)=

3 ± √9 − 8

2=

3 ± √1

2=

3 ± 1

2

𝑥1 =3 + 1

2=

4

2= 2

𝑥2 =3 − 1

2=

2

2= 1