NUMEROS COMPLEJOS

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NUMEROS COMPLEJOS

AMPLIANDO EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES (ℝ)

Existen ecuaciones que no tienen soluciones reales. Es en estos casos cuando tenemos que hacer uso de los números complejos.

Al intentar resolver 𝑥! + 4 = 0 obtenemos 𝑥 = √−4 . Normalmente diremos que no tiene solución la ecuación que estamos calculando, pero gracias a los números complejos, podemos buscar una solución:

√−4 = )4 ⋅ (−1) = √4 ⋅ √−1 = 2√−1

Si, se perfectamente que para vosotros hasta este momento hacer la raíz de un numero negativo no tiene ningún sentido. Pero ahora cada vez que veamos la raíz de menos uno diremos lo siguiente:

2√−1 = 2𝑖

Es decir, hemos cambiado 𝑖 = √−1 . Para que empecéis a familiarizaros con los números complejos, 𝑖 es la parte imaginaria de un numero complejos, pero tranquilos, mas adelante entraremos en profundidad con este tema.

NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA

Lo primero que vamos a analizar es, ¿Cómo son los números complejos? Todo numero complejos tiene esta forma:

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖

Donde 𝑎 es la parte real del numero complejo y 𝑏 es la parte imaginaria.

Cuando la parte real de un numero complejo es cero, los numero reciben el nombre de imaginarios puros.

Los números complejos se representan por la letra; ℂ.

Para que dos números complejos sean iguales tienen que coincidir tanto en parte real como imaginaria.

Si dos números complejos tienes la misma parte real pero la parte imaginaria de signo contrario reciben el nombre de conjugados. Es decir 3 − 2𝑖𝑦3 + 2𝑖 son conjugados.

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REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Se representan en el plano, la parte real se representa en el eje x y la parte imaginaria se representa en el eje y.

A cada numero complejos le corresponde un punto en el plano que recibe el nombre de afijo. El vector que une el origen y el afijo representa el numero complejo.

OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS

SUMA Y RESTAS

Para hacer la suma y resta entre números complejos, se sumarán o restaran las partes reales por un lado y por otro lado se harán la suma o resta de las partes imaginarias. Es decir,

𝑧" = 2 − 3𝑖𝑦𝑧! = 3 + 4𝑖

𝑧" + 𝑧! = (2 − 3𝑖) + (3 + 4𝑖)

5 + 𝑖

MULTIPLICACIÓN

La multiplicación entre números complejos se hace como si fuesen binomios de primer grado, es decir, primero por primero, primero por segundo, segundo por primero y segundo por segundo.

Lo único que debemos tener claro es lo siguiente: 𝑖! = −1.

𝑧" = 2 − 3𝑖𝑦𝑧! = 3 + 4𝑖

𝑧" ⋅ 𝑧! = (2 − 3𝑖) ⋅ (3 + 4𝑖)

6 + 8𝑖 − 9𝑖 − 12𝑖! = 6 + 8𝑖 − 9𝑖 − 12 ⋅ (−1) = 18 − 𝑖

DIVISIÓN

La división la tenemos que hacer multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador. Las operaciones se continúan hasta llegar a la forma 𝑎 + 𝑏𝑖.

Sean los complejos: 𝑧" = 2 − 3𝑖𝑦𝑧! = 3 + 4𝑖 vamos a realizar la división de la forma siguiente:

𝑧"𝑧!=2 − 3𝑖3 + 4𝑖

=(2 − 3𝑖)(3 − 4𝑖)(3 + 4𝑖)(3 − 4𝑖)

=18 − 𝑖

3! − (4𝑖)!=18 − 𝑖25

=1825

−125𝑖

Eje imaginario

Eje real

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POTENCIACIÓN

Estudiaremos previamente las potencias de la unidad imaginaria.

𝑖# = 1

𝑖" = 𝑖

𝑖! = −1

𝑖$ = 𝑖! ⋅ 𝑖 = −𝑖

𝑖% = 𝑖! ⋅ 𝑖! = (−1)(−1) = 1

𝑖& = 𝑖% ⋅ 𝑖 = 1 ⋅ 𝑖 = 𝑖

𝑖' = 𝑖% ⋅ 𝑖! = 1 ⋅ (−1) = −1

𝑖( = 𝑖' ⋅ 𝑖 = −1 ⋅ 𝑖 = −𝑖

Si observamos el proceso se repite cada cuatro pasos. Por tanto, para calcular 𝑖),utilizaremos la siguiente regla:

Se divide el exponente entre 4 y se toma como nuevo exponente el resto de la división.

𝑖"* = 𝑖$ = −𝑖

Si, lo se, ahora te estarás preguntando: ¿Cómo has hecho eso? Muy sencillo, dividimos "*%→ el

resto de esta división es 3 y será el nuevo exponente.

El cálculo de potencias de números complejos se realiza de la misma manera que la potencia de cualquier binomio teniendo en cuenta lo estudiado para las potencias de unidad imaginaria.

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NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

Para poder transformar un número complejo en forma binomica en otro igual, pero en forma polar, previamente tenemos que calcular el modulo y el argumento de.

El argumento es el ángulo que forma el complejo con el eje OX. Lo llamaremos 𝛼. El modulo es la distancia del complejo. Se expresa por 𝑟.

Según vemos en el gráfico |𝑧| = 𝑟 = √𝑎! + 𝑏!

Aplicando la trigonometría, concretamente la tangente de 𝛼 , podemos determinar el

argumento: 𝑡𝑔𝛼 = +,

.

Finalmente, cuando ya tenemos calculado los dos valores; argumento y modulo, el numero complejo en forma polar se expresa:

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝑧 = 𝑟-

𝛼

r

ATENCIÓN: Si el ángulo no esta en el cuadrante que corresponde, según los signos de la parte real e imaginaria, se suman 180# al valor obtenido con la calculadora.

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NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA TRIGONOMÉTRICA

Observando nuevamente la figura, según la definición de seno y coseno, podemos escribir:

𝑎 = 𝑟 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝛼; 𝑏 = 𝑟 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝛼

Entonces obtenemos:

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑟 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝛼 ⋅ 𝑖 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼)

Resumiendo todo lo que hemos estudiado hasta ahora:

OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA POLAR

MULTIPLICACÓN

Para multiplicar complejos en forma polar, se multiplican los módulos (𝑟) y se suman los argumentos (𝛼)

DIVISIÓN

Se dividen los módulos y se restan los argumentos.

POTENCIACIÓN

Para elevar un complejo a una potencia, elevamos el modulo a la potencia y el argumento lo multiplicamos por el exponente.

RADICACIÓN (RAICES)

Para hallar la raíz de un numero complejo, tenemos que hacer la raíz del modulo y dividir el argumento entre el índice de la raíz. Recuerda que tienes que tener tantas soluciones como el radical que estés calculando, es decir, raíz cuadrada, dos soluciones, raíz cubica, tres soluciones.

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟- = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼)

Forma biónica

Forma polar Forma trigonométrica