Matematica Basica i

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  • MATEMATICA BASICA I

    1

    UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL PER

    Vicerrectorado de Investigacin

    MATEMTICA BSICA I

    TINS Bsicos

    INGENIERA INDUSTRIAL, INGENIERA DE SISTEMAS, INGENIERA ELECTRNICA, INGENIERA MECATRNICA,

    INGENIERA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERA AUTOMOTRIZ, INGENIERA AERONUTICA,

    INGENIERA MARTIMA, INGENIERA TEXTIL, INGENIERA NAVAL, INGENIERA DE SOFTWARE, INGENIERA ECONMICA,

    INGENIERA MECNICA

    TEXTOS DE INSTRUCCIN BSICOS (TINS) / UTP

    Lima - Per

  • MATEMATICA BASICA I

    2

    MATEMTICA BSICA I Desarrollo y Edicin : Vicerrectorado de Investigacin

    Modificacin y Complementacin : Dr. Jos Reategui Canga

    Diseo y Diagramacin : Julia Saldaa Balandra

    Fiorella Espinoza Villafuerte

    Soporte acadmico : Instituto de Investigacin Produccin : Imprenta Grupo IDAT

    Tiraje 3 A / 1600 / 2008-II

    Queda prohibida cualquier forma de reproduccin, venta, comunicacin pblica y

    transformacin de esta obra.

  • MATEMATICA BASICA I

    3

    El presente material contiene una compilacin de contenidos

    de obras de Matemticas publicadas lcitamente,

    acompaadas de resmenes de los temas a cargo del

    profesor; constituye un material auxiliar de enseanza para ser

    empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institucin.

    ste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes

    de la Universidad Tecnolgica del Per, preparado para fines

    didcticos en aplicacin del Artculo 41 inc. C y el Art. 43 inc.

    A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de

    Autor.

  • MATEMATICA BASICA I

    4

  • MATEMATICA BASICA I

    5

    PRESENTACIN

    La matemtica, ciencia de la ms alta jerarqua, en el concierto de las

    Ciencias, desde los albores de la civilizacin humana sigue siendo la

    base del desarrollo cientfico y tecnolgico de nuestro mundo.

    La Ingeniera como expresin de la tecnologa, se erige sobre la base de

    los diferentes espacios de la creacin matemtica y del pensamiento de

    la humanidad.

    De all que, en la formacin acadmica de Ingenieros, se debe privilegiar

    el estudio de la matemtica, en la conviccin de dotar a sus estudiantes

    firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.

    En esta proyeccin se ha desarrollado el presente texto de instruccin,

    dirigido a estudiantes de Ingeniera, de las Carreras de Ingeniera de:

    Sistemas, Industriales, Electrnica, Mecatrnica, Telecomunicaciones,

    Automotriz, Aeronutica, Martima, Textil, Naval y de Software; para la

    Asignatura de Matemtica Bsica I.

    El texto en mencin plasma la preocupacin institucional de innovacin

    de la enseanza-aprendizaje en educacin universitaria, que en

    acelerada continuidad promueve la produccin de materiales educativos,

    actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos.

  • MATEMATICA BASICA I

    6

    Esta segunda edicin modificada y complementada por el Dr. Jos

    Reategui Canga, prolijamente recopilada de diversas fuentes

    bibliogrficas de uso frecuente en la enseanza-aprendizaje de la

    Matemtica, est ordenada en funcin del sillabus de la Asignatura arriba

    mencionada; presenta la siguiente estructura temtica:

    Conjuntos y Lgica Matemtica Bsica. Conjuntos numricos que permiten aclarar las nociones de nmeros y su clasificacin en naturales,

    enteros, racionales, irracionales hasta completar los reales.

    Ecuaciones e Inecuaciones que son bsicas para el estudio del lgebra.

    Relaciones Binarias que son fundamentales para la comprensin de las funciones bsicas al estudio de la Geometra Analtica.

    Los Lugares Geomtricos: rectas y circunferencias conectan a nociones algebraicas que permiten entrar en los delicados temas de las

    cnicas: parbolas, elipses e hiprbolas; y de las familias bsicas de

    rectas y circunferencias.

  • MATEMATICA BASICA I

    7

    Se completa el texto con una Introduccin a las Coordenadas Polares.Todo este material permitir conectar a problemas varios dentro de la carrera.

    Finalmente el reconocimiento Institucional al Dr. Jos Reategui Canga

    por su meritoria dedicacin, a la preparacin de esta segunda edicin.

    Su esfuerzo y dedicacin acadmica ser identificada al glosar las

    pginas del texto, en el camino de entendimiento de la matemtica

    universitaria.

    Lucio Heraclio Huamn Ureta

    VICERRECTORADO DE INVESTIGACIN

  • MATEMATICA BASICA I

    8

  • MATEMATICA BASICA I

    9

    NDICE

    I. Conjuntos y Lgica .............................................................. 15

    II. Breve presentacin de los Conjuntos Numricos ................. 43

    III. Nmeros Reales................................................................... 67

    IV. Recta y Circunferencia ......................................................... 109

    V. Cnicas................................................................................. 141

    VI. Miscelanias de Ejercicios...................................................... 187

    VII. Coordenadas Polares........................................................... 201

    Bibliografa ...................................................................................... 233

  • MATEMATICA BASICA I

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  • MATEMATICA BASICA I

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    DISTRIBUCIN TEMTICA

    CLASE N CONTENIDO SEMANA

    1

    Captulo I. CONJUNTOS Y LGICA 1.1 DEFINICIN 1.2 IGUALDAD 1.3 SUB-CONJUNTOS 1.4 CONJUNTO DE LAS PARTES 1.5 UNIVERSOS 1.6 FAMILIA COLECCIN SISTEMA CLASE 1.7 OPERACIONES DE CONJUNTOS 1.7.1 Unin 1.7.2 Interseccin 1.7.3 Complemento 1.7.4 Diagramas 1.7.5 Grafos

    1

    2

    1.8 LGEBRA DE CONJUNTOS 1.9 LGICA 1.9.1 Enunciados 1.9.2 Proposiciones 1.9.3 Conectivos 1.9.4 Valor de la verdad 1.9.5 Tautologa y Contradiccin 1.9.6 Relaciones del lgebra Proposicional 1.9.7 Funciones Proposicionales 1.9.8 Cuantificadores EJERCICIOS PROPUESTOS N01 Captulo II. BREVE PRESENTACIN DE LOS CONJUNTOS NUMRICOS 2.1. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS NATURALES: N 2.2. CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS: Z 2.3 EL CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES: Q 2.4. EL CONJUNTO DE NMEROS IRRACIONALES: Q II

    2

    3

    2.4.1 Irracionales algebraicos 2.4.2 Nmeros trascendentales 2.5. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES: IR 2.6 RELACIONES 2.6.1 Las relaciones se presentan en todas las reas del

    conocimieno 2.6.2 Relaciones binarias 2.6.3 Propiedades 2.6.4 Relaciones de equivalencia 2.6.5 Clases de equivalencias 2.6.6 Relaciones de orden 2.6.7 Buena ordenacin 2.6.8 Relaciones funcionales 2.6.9 Funcin

    3

  • MATEMATICA BASICA I

    12

    EJERCICIOS PROPUESTOSN02 Captulo III. NMEROS REALES 3.1. EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES 3.1.1 Definicin 1 3.1.2 Proposicin 1 3.1.3 Proposicin 2 3.1.4 Proposicin 3 3.1.5 Colorario 1 3.1.6 Proposicin 4 3.1.7 Ejercicios 3.1.8 Proposicin 5 3.1.9 Proposicin 6 3.1.10 Proposicin 7 3.1.11 Ejercicio 3.1.12 Proposicin 8 3.1.13 Proposicin 9

    4

    EJERCICIOS RESUELTOS N01 EJERCICIOS PROPUESTOS N03 3.2. DESIGUALDADES E INTERVALOS 3.3. PROPIEDADES GENERALES

    4

    5

    3.4. INTERVALOS EN R 3.5 OPERACIONES CON INTERVALOS EJERCICIOS RESUELTOS N02 3.6. INECUACIONES DE 2 GRADO

    3.6.1 Mtodo de factorizacin 3.6.2 Mtodo por complementacin de cuadros

    EJERCICIOS RESUELTOS N03 EJERCICIOS RESUELTOS N04

    5

    6

    3.7. VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO REAL 3.7.1 Definicin 3.7.2 Propiedades generales de valor absoluto

    EJERCICIOS RESUELTOS N05 3.8. INTRODUCCIN A LA GEOMETRA ANALTICA

    6

    7

    3.9. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 3.10. SISTEMA CARTESIANO DEL PLANO EJERCICIOS PROPUESTOS N04 3.11. DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZN DADA EJERCICIOS PROPUESTOS N05 EJERCICIO PROPUESTOS N06 EJERCICIOS RESUELTOS N06

    7

    8 3.12. NGULO DE INCLINACIN DE UNA RECTA Y

    PENDIENTE DE UNA RECTA EJERCICIOS PROPUESTOS N07

    8

    9

    Captulo IV. RECTA Y CIRCUNFERENCIA 4.1 LA ECUACIN DE LA RECTA: DIVERSAS FORMAS

    DE SU ECUACIN 4.2 ECUACIN GENERAL DE UNA RECTA

    9

  • MATEMATICA BASICA I

    13

    CLASE

    N CONTENIDO SEMANA

    10 EXAMEN PARCIAL 10

    11

    4.3 FAMILIAS DE RECTAS 4.4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EJERCICIOS PROPUESTOS N08 EJERCICIOS RESUELTOS N07 EJERCICIOS PROPUESTOS N09 EJERCICIOS PROPUESTOS N10

    11

    12

    4.5 LA CIRCUNFERENCIA 4.5.1 Definicin 4.5.2 Elementos 4.5.3 Ecuaciones de la circunferencia 4.5.4 Familias de circunferencias EJERCICIOS PROPUESTOS N11

    12

    13

    Captulo V. CNICAS 5.1 SECCIN CNICA O CNICA 5.2 PARBOLA 5.2.1 Elementos 5.2.2 Ecuaciones de una parbola 5.2.3 bservaciones 5.2.4 Ecuaciones general de la parbola

    13

    14

    5.3 LA HIPRBOLA 5.3.1 Definicin 5.3.2 Observaciones 5.3.3 Ecuaciones de la hiprbola 5.3.4 Hiprbolas conjugadas 5.3.5 Ecuacin general de la hiprbola

    14

    15

    5.4 LA ELIPSE 5.4.1 Definicin 5.4.2 Elementos 5.4.3 Ecuaciones de la elipse 5.4.4 Observaciones 5.4.5 Forma general 5.4.6 Casos que se presentan 5.4.7 Ejercicios propuestos

    15

    16 y 17

    Captulo VI. MISCELANEA DE EJERCICIOS 6.1 LNEAS RECTAS. EJERCICIOS RESUELTOS 6.2 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.3 CIRCUNFERENCIA 6.4 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.5 PARBOLA

    16 y 17

  • MATEMATICA BASICA I

    14

    Captulo VII. COORDENADAS POLARES 7.1 CONCEPTO 7.2 REPRESENTACIN DE PUNTOS EN COORDENADAS

    POLARES 7.3 DEFINICIN 7.4 PASAR DE UN SISTEMA DE COORDENADAS A

    OTRO 7.5. ECUACIN DE LA TRAYECTORIA

    18

    7.6 GRAFICAS DE FUNCIONES EN COORDENADAS POLARES

    18

    19 EXAMEN FINAL 19

    4

  • MATEMATICA BASICA I

    15

    I. CONJUNTOS Y LGICA

    1.1 DEFINICIN.- Un conjunto se describe como una lista o coleccin de objetos llamados elementos o miembros, siendo nmeros;

    letras; funciones, etc.

    De la nominacin ya sea de la lista o coleccin se desprende un

    criterio de pertenencia que permite establecer una relacin

    denotada , escribindose: aA si a es elemento o miembro de A o de lo contrario: aA si a no es miembro de A

    Ejemplos:

    A = {a, b, c, d, e}; aA, bA, etc. B = {b1 , b2 , ....... , b12}; b1B, b2B, etc. C = {p es un nmero primo}; 5C, 7C, 8C, 12C, etc.

    De ordinario los conjuntos se denotan con letras maysculas A, B,

    X, Y, Z, ... y los elementos con minsculas a, b, x, y, t, u, v, ..

    1.2 IGUALDAD.- Dos conjuntos A y B son iguales:

    A = B

    Si consisten de los mismos elementos. De lo contrario:

  • MATEMATICA BASICA I

    16

    A B

    1.3 SUB-CONJUNTOS.- A es subconjunto de B o es parte de B, (o

    est contenido) se denota: A B B A si cada elemento de A es tambin elemento de B. De lo contrario A B B A.

    Podemos observar que:

    i) La relacin es de contenido amplio de modo que todo conjunto est en la relacin consigo mismo: A A. Esto es, una relacin reflexiva.

    ii) Cuando B A pero B A se restringe a la relacin contenido restringido o propio : B A. Luego A es sub-conjunto impropio de si mismo.

    iii) (A B y B A) A = B propiedad antisimtrica iv) (A B y B C) A C propiedad transitiva v) Es conveniente introducir el conjunto vaco que se

    considera sub-conjunto de cualquier otro: A: A

    1.4 CONJUNTO DE LAS PARTES.- Todas las partes de un conjunto A son elementos de un nuevo conjunto P(A) que se llama el

    conjunto de las partes de A o conjunto potencia.

    Esto es:

    B A B P(A)

  • MATEMATICA BASICA I

    17

    En particular:

    A A A P(A) A es elemento de P(A)

    Lo que nos dice que todo conjunto es elemento de alguno otro.

    Esta restriccin se conoce como el axioma de las partes: A todo

    conjunto A le corresponde otro conjunto, sea P(A) cuyos

    elementos son todas las partes de A

    La inoperabilidad de esto da lugar a las Clases.

    Ejemplos

    1. Si A={a,b}:

    { } { }{ }

    P(A) a , b

    a, b

    =

    Hay 22 = 4 sub-conjuntos de A que forman P(A).

    2. B={, , } :

    {}, {}, {}

    P(B) ={,}, {, }, {, }{,, } = A

    Hay 23 = 8 sub-conjuntos de B que forman P(B).

  • MATEMATICA BASICA I

    18

    1.5 UNIVERSOS. Para las aplicaciones los conjuntos concernientes a un estudio o proceso son mirados como sub conjuntos de uno

    mayor U X que contiene a todos los del estudio, al que se le

    llama el Universo del discurso o simplemente un universo.

    Ejemplo:

    Cuando se trabaja con nmeros y conjuntos naturales, el universo

    apropiado es N. Cuando entran los enteros positivos y negativos

    tomamos a Z (todos los nmeros enteros). Para procesos

    discretos se suele tomar como universo a Q (los racionales) y a

    veces a R (los reales).

    Es decir, para un mismo sistema se puede considerar ms de un

    universo. Veremos como en cada universo se puede hablar de un

    lgebra de conjuntos con propiedades de inters.

    1.6 FAMILIA COLECCIN SISTEMA CLASE. Cuando los miembros de un conjunto S son a su vez conjuntos se suele usar

    el trmino de familia, de sistema, coleccin o an clase.

    Ejemplo:

    La familia de topologas separadas, la coleccin de

    circunferencias de centro ; el sistema de intervalos semi-

    cerrados.

  • MATEMATICA BASICA I

    19

    Aunque la clase, se reserva para una extensin de los conjuntos,

    sin embargo se puede usar para determinar algunas colecciones.

    As, se puede decir: la clase de los espacios Rn, la clase de los

    conjuntos finitos, etc.

    1.7 OPERACIONES DE CONJUNTOS. Se tienen 3 operaciones bsicas:

    Unin con smbolo Interseccin Complemento C

    1.7.1 Unin: A B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A a B

    Ejemplo:

    A = los nmeros impares

    B = los pares

    A B = {impares o pares} = {todos los nmeros enteros}

    1.7.2 Interseccin: A B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B al mismo tiempo.

    En el ejemplo anterior de impares y pares A B = se dice en este caso que los conjuntos son disjuntos.

  • MATEMATICA BASICA I

    20

    Las operaciones de unin e interseccin pueden

    extenderse a familias de conjuntos.

    Si {Ai}iJ es una familia finita o infinita se define: iJi

    A = conjunto de elementos que pertenecen a uno por lo menos de los Ai

    iJiA = conjunto de los elementos que pertenecen a todos los Ai

    Ejemplo:

    Sea Bi = intervalo abierto ( )i1i1 2, i 2 Aqu J = los enteros 2

    Se tiene:

    iJiB =(0, 2) intervalo abierto

    ( )2321iJi ,B = intervalo abierto

    1.7.3 Complemento. Supongamos que el conjunto A est dentro de un universo X. Se define el complemento:

    CA=A=XA los elementos de X que no pertenecen a A

    Ejemplo:

    Tomemos como universo X: los habitantes de una regin y

    por A los analfabetos. Su complemento es: A=X-A est

    formado por los que saben leer.

  • MATEMATICA BASICA I

    21

    Ejercicios para Resolver

    1. Sea A el conjunto de los rabes, C el de los chinos.

    Determinar un universo X en el cual esten sumegidos

    A y B. Cul seran A, C, AC y AC? 2. Sea L el conjunto de leones, T los tigres y A las

    guilas. Dar un universo X que no contenga los peces

    ni las aves de corral. Cul es L, TA?

    3. Dar dos universos diferentes donde se pueda incluir a

    los enteros Z.

    1.7.4 Diagramas. Para tener un esquema visual Venn ide diagramas: los conjuntos A, B, ..., del discurso dentro de

    un rectngulo grande que represente un universo:

    X X

    X

    A B A B

    A AB B

    A

    A

  • MATEMATICA BASICA I

    22

    1.7.5 Grafos: Cuando se trata de los sub conjuntos o partes de un conjunto A, el universo puede ser el conjunto potencia P(A)=B, el

    cual con las operaciones , y complemento forman una Algebra de Boole, con representacin de grafo de Hasse. (Ver ejemplos).

    Si el nmero de elementos de A es pequeo, su Algebra de

    Boole P(A) puede representarse por un grafo de Hasse

    simple. (Ver ejemplos).

    Ejemplos:

    2. A={1} tiene un solo elemento:

    B=P(A)=P{1} tiene 2 elementos: y A={1}. Su Hasse es el par 0 que representa a y 1: 1

    0| B es el soporte bsico de la lgica bivalente

    2. A={a, b} tiene 2 elementos

    B2=P{a, b}={, {a}, {b}, A={a, b}} tiene 4=22 elementos... Los tomos son 2: a y b que cubren a

    =0. Su Hasse es:

    a y b son elementos complementarios.

    A 1

    a b

  • MATEMATICA BASICA I

    23

    B2 es isomorfo a B2 el cuadrado de B:

    (1, 1)

    (0, 1) (1, 0)

    (0, 0)

    3. A={, , } ejemplo 1.4.2 B3=P(, , )={, , , , {, }, {, }, {, }, {, , }=A} Los tomos son los subconjuntos de 1 elemento

    {, , }=A. El nmero de elementos de B3 es 2|A|=23= 8. El grafo de Hasse:

    {, }{, }{}

    {}{}0

    {,}

    1 ={, , }

    Son complementarios los elementos diametralmente

    opuestos como {} con {, }, etc.

    B3 es isomorfo al producto B3.

  • MATEMATICA BASICA I

    24

    1.8 LGEBRA DE CONJUNTOS. La igualdad =; las operaciones , y el complemento hacen de todo universo X un lgebra que satisface las leyes o propiedades:

    Dual

    1) A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Asociatividad

    2) A B = B A A B = B A Commutatividad

    3) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) Distributividad

    4) A=A AX=A Unidades: y X (el universo usado).

    5) =X X= Complemento de unidades (Recprocas)

    6) AX=X A= Accin de recprocas

    7) AA=X AA= Complementos. Accin doble y rgida.

  • MATEMATICA BASICA I

    25

    8) AA=A AA=A dem potencia

    9) AJiiJi

    B =

    (ABi) y AJiiJi

    B =

    (ABi) Distributividad generalizada de la propiedad 3

    10) jLjjLj'A'A =

    jLjjLj 'A'A =

    Leyes de Morgan.- Para 2 conjuntos dan:

    (A1A2)=A1A2 (A1A2)=A1A2

    1.8.1 Dualidad. Toda expresin tiene su dual que se obtiene

    intercambiando las operaciones, y el universo X con y viceversa.

    Esto aparece a derecha en la Leyes de 1.8.

    Ejercicios para Resolver

    Si A B : Probar por diagramas 1. AB=A 2. AB=B 3. BA 4. AB= 5. AB=B; AB=A

  • MATEMATICA BASICA I

    26

    1.9 LGICA Los conjuntos emplean la lgica clsica o bivalente cuyo soporte o

    rango es el par:

    L2 = {0, 1}

    Donde 1 representa la verdad o validez y 0 la falsedad o

    contradiccin.

    La matemtica exige un razonamiento vlido deductivo o inductivo

    de absoluta claridad de modo a comprender y aplicar

    debidamente las definiciones, proposiciones y teoremas libres de

    complicaciones y ambigedades.

    En esta seccin vamos a revisar elementos bsicos de la Lgica

    simblica y el Calculo Proposicional.

    1.9.1 Enunciados Son fraces que sirve para comunicarnos.

    Ejemplos:

    1. Dnde estuviste?

    2. Sintate a ver la televisin.

    3. Los nios son traviesos.

    4. 51 es un nmero primo.

    Las 2 primeras no son verdaderas ni falsas: i es una

    pregunta y ii es una indicacin. Las 2 ltimas pueden ser

    verdaderas o falsas; frases de este tipo se conoce como:

  • MATEMATICA BASICA I

    27

    1.9.2 Proposiciones Una proposicin es toda frase sobre la cual podemos

    afirmar que es verdadera o falsa. Las representaremos con

    letras minsculas p1, p2, ., q1 , r, s, t,

    Ejemplos:

    p1. Los alumnos de la U.T.P son estudiosos.

    p2. Los nmeros primos terminan en 2 como: 12, 32,

    q1. Rosa es bella.

    r. Est garuando.

    s. 2 1.5=

    Cada una es una proposicin pues podemos afirmar su

    verdad o falsedad.

    Negacin de proposiciones. La negacin de la

    proposicin p es p que se lee no p (Se denota tambin por 7p).

    Ejemplos:

    q : Rosa es bella.

    q : Rosa no es bella. s : =2 1.5 s : 2 no es 1.5 o simplemente 2 1.5 .

  • MATEMATICA BASICA I

    28

    Ejercicios para Resolver

    1. Dar 10 enunciados.

    2. Cules son proposiciones? Representar con letras.

    3. Negar las que son proposiciones. Cul es la negacin

    de q?

    Proposiciones Compuestas.- Las proposiciones se enlazan

    o relacionan unas con otras para generar las llamadas

    proposiciones compuestas mediante los elementos de

    enlace llamados conectivos.

    1.9.3 Conectivos Para relacionar 2 o ms proposiciones se emplean los

    llamandos enlaces conectivos entre los cuales estn:

    1. Conjuncin con smbolo y que enlaza proposiciones con la letra y. Por ejemplo:

    p : Juan estudia msica.

    1. q : Juan es menor de edad.

    p q: Juan estudia msica y es menor de edad.

    r : Est nevando.

    2. s : Hace mucho fro.

    r s: Est nevando y hace mucho fro.

  • MATEMATICA BASICA I

    29

    2. Disyuncin con smbolo , enlaza proposicones con la letra o.

    Ejemplos: t : Compro diez cuadernos.

    1. u : Compro un pantaln.

    v : Voy al concierto.

    tuv: Compro diez cuadernos o compro un pantaln o voy al concierto.

    p1 : tomas t

    2. p2 : tomas caf

    p1p2 : tomas t o tomas caf

    3. Implicacin o condicional con smbolo ; enlaza 2 proposiciones p y q con las palabras: si p entonces

    q.

    Ejemplos:

    p : =4 2.5 1. q : 7 + 3 = 11

    p q: Si =4 2.5 entonces 7 + 3 = 11

    r : Maana va llover.

    2. s : No iremos al campo.

    r s: Si maana va llover entonces no iremos al campo.

  • MATEMATICA BASICA I

    30

    4. Biconcional o doble implicacin o equivalencia con

    smbolo ; enlaza las proposiciones p y q con las palabras: p si y slo q; lo cual se puede expresar

    tambin por la frase: si p entonces q y si q entonces

    p, esto es:

    p q = (p q) (q p) Ejemplos:

    p: m > n

    q: n < m

    p q = m > n n < m : m > n si y slo si n < m.

    EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. Dadas las proposiciones:

    p : Estamos en primavera

    q : Las uvas son dulces

    r : Pedro es deportista

    s : Berta es hermosa

    Relacionar con oraciones las siguientes

    composiciones:

    1. p q 2. p q 3. q r 4. p s 5. p r 6. p q

    7. p s 8. r q 9. p (q r) 10. q (r s) 11. q r 12. r s

  • MATEMATICA BASICA I

    31

    2. Indicar 7 ejemplos de proposiciones simples y

    compuestas

    3. Negar las proposiciones anteriores.

    4. Se da las proposiciones:

    p: El mundo es amplio

    q: Las frutas son agradables

    r: La demostracin es interesante

    s: Fany es bella

    t: 32 + 42 < (3 + 4)2

    Representar con oraciones las proposiciones:

    a) pr ; q s ; t r b) q r ; p s ; r t c) r (q s) ; p (s) t d) r t ; (s t) r

    1.9.4 Valor de la verdad Para evaluar el valor de verdad de una proposicin

    compuesta, es decir, de un enlace de proposiciones

    simples s, q, v, por medio de los conectivos, se emplea

    la tabla de verdad con 3 o ms columnas, tomando las

    primeras columnas para poner los valores de verdad V y F,

    , 1 0. lo que diremos verdadero y falso de las

    proposiciones simples, y las dems columnas para los

    valores resultantes de las proposiciones compuestas, como

    sigue:

  • MATEMATICA BASICA I

    32

    p q pq

    1. Conjuncin

    V

    V

    F

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    F

    F

    F

    pq es verdadero slo en el caso en que las 2 p

    y q son verdadero.

    p q pq

    2. Disyuncin

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    pq es verdadero o valido en todos los casos

    de validez de p q salvo

    cuando los 2 son falsos

    en cuyo caso pq es falso.

    p q pq

    3. Implicacin

    V

    V

    F

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    V

    pq es verdadero en todos los casos a

    excepcin de aquel en

    que p es valido y q falso.

    p q pq

    4. Bicondicional

    V

    V

    F

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    F

    F

    V

    pq es verdadero en los 2 casos en que ambos p

    y q son iguales validos o

    ambos falsos. En los 2

    casos desiguales el

    bicondicional es falso.

  • MATEMATICA BASICA I

    33

    EJERCICIOS 1. Construir la tabla de verdad de las proposiciones

    compuestas:

    a) p (q s) ; (r t) s b) (p s) (r t) ; (r t) q c) (q s) (s q) ; (p r) (p r)

    2. Dar las tablas de verdad de las proposiciones:

    1. p (q r) 2. q r p 3. (p q) (p r) 4. r s r s 5. (p s) (q r) p 6. (r s) (p q s) 7. (p s) (p s) 8. (r q s) (r q s) 9. (q s) (p r)

    10. (q s) (q s)

    1.9.5 Tautologa y Contradiccin 1. Una proposicin compuesta es tautolgica o es una

    tautologa si en su tabla de verdad para todas las

    combinaciones V F de sus proposiciones simples,

    resulta ella siempre vlida.

  • MATEMATICA BASICA I

    34

    Ejemplos:

    p q pq p(pq) 1. p(pq) 1

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    2. El silogismo: (pq) (qr) (p r) tambin es tautolgica

    3. El modus ponens: (pq) p q y el modus tolens o principio de inferencia

    negativa: (pq) q p son tautologas.

    Los 3: el silogismo, el modus ponens y el modus

    tolens son bsicas en las pruebas matemticas.

    2. Una contradiccn es lo opuesto a una tautologa

    esto es: siempre falsa para todas las combinaciones

    de las proposiciones simples.

    Ejemplo:

    p p p p

    P p 1 0

    0

    1

    0

    0

    [p(pq)] ; etc., son contradicciones.

  • MATEMATICA BASICA I

    35

    1.9.6 Relaciones del lgebra Proposicional. Ejercicios para Resolver

    1. Por medio de las tablas de verdad verificar las

    siguientes relaciones: (muestre las tautologas):

    1.1. Idempotencia : p p pr r r

    1.2. Involucin : (p) p

    1.3. Asociatividad : (p q) r p (q r)(p q) r p (q r)

    1.4. Conmutatividad : p q q pp q q p

    1.5. Distributividad : (p q) r (p r) (q r)(p q) r (p r) (q r)

    1.6. Identidad : p F F ; p F pq V V ; q V q

    1.7. Complemento : p p V ; p p F

    ( q) q ; F V

    2. Dar ejemplos verbales de las 7 relaciones.

    3. Verificar las 2 Leyes de Morgan:

    a) (r s) r s(r s) r s

    b) (p q) p q 4. Verificar tambin que:

    i) (p q) (q q) ii) (p q) (q p)

  • MATEMATICA BASICA I

    36

    5. Dar ejemplos verbales de 1, 2, 3, 4

    6. Construir 5 ejemplos de tautologas y 5 ejemplos de

    contradicciones.

    Si T es una tautologa y C una contradiccin, que da:

    a) T C b) T C c) T C d) C T e) (T C) C f) C T

    1.9.7 Funciones Proposicionales Las proposiciones en general expresan alguna

    caracterstica o cualidad.

    Ejemplos

    1. Pedro es deportista

    2. Mara es bella

    3. 41 es un nmero primo

    El primero da la caracterstica o cualidad deportista; la

    segunda la belleza; la tercera la caracterstica de ser

    divisible slo por la unidad y por si mismo.

  • MATEMATICA BASICA I

    37

    La caracterstica o cualidad genera una funcin de un

    dominio de sujetos en el conjunto {V, F} que se representa

    por una mayscula como funcin de una variable como la

    x, r, s, t, . en la forma P(x), Q(r), . Por ejemplo: el ser

    deportista: P(x): x es deportista, R(t): t es primo, etc., en

    P(x) el dominio son los seres humanos: x: juan es

    deportista; x=Berta es deportista, etc. En R(t) el dominio

    son los nmeros enteros t=25, es primo; t=37, es primo, .

    etc.

    1.9.8 Cuantificadores Hay 2 smbolos que permiten transformar las funciones

    proposicionales en proposiciones, es decir: suceptibles de

    ser verdaderas o falsas.

    I. Operador Universal: que expresa: para todo y que debe traducirse segn las caractersticas de la funcin.

    Por ejemplo:

    P(x): (ser hombre mortal)

    x.P(x): todos los hombres son mortales Q(y): (mujer hermosa)

    y.Q(y): todas las mujeres son hermosas R(t): (ser nmero entero primo)

    t.R(t): todos los nmeros son primos

  • MATEMATICA BASICA I

    38

    II. Operador Existencial: que expresa: existe uno o algunos y que debe traducirse segn la caracterstica

    de la funcin. As, en los ejemplos anteriores:

    x.P(x): existen hombres mortales y.Q(x): existen, o algunas mejeres son hermosas t.R(t): existen o hay enteros que son primos

    Negacin de Cuantificadores

    I. La negacin del cuantificador universal es: existencial

    con la funcin proposicional negada:

    [x.P(x)] x: P(x) ()

    Si P(x) es: ser hombre mortal, la negacin () dice: Es falso que todos los hombres sean mortales equivale

    a: existe un hombre que no es mortal.

    Si R(t) es ser nmero entero primo la negacin de:

    t.R(t) es: [t.R(t)] t: R(t)

    Es falso que todo entero sea primo, equivale a existe

    uno o varios enteros que no son primos.

    II. La negacin del cuantificador existencial es: universal

    con la funcin proposicional negada:

  • MATEMATICA BASICA I

    39

    [x. P(x)] x: P(x) En los ejemplos anteriores: es falso que existan

    hombres mortales equivale a todo hombre no es

    mortal.

    En: t. R(t) t: R(t) Es falso que exista un nmero entero primo equivale

    a: todo entero no es primo.

    Ejercicios

    1. Dada las proposiciones:

    p: El da est clido

    q: El profesor viene hoy

    r: La luna est llena

    s: 9 3= t: 32 + 52 = (3 + 5)2

    formar proposiciones compuestas con los conectivos:

    , y . 2. Formar 5 funciones proposicionales y

    cuantificarlas.

    3. Negar las proposiciones cuantificadas anteriores.

    Para concluir la lgica proposicional veamos la

    importancia del:

  • MATEMATICA BASICA I

    40

    Razonamiento Deductivo.- Es un razonamiento muy importante en la Matemtica con el cual se establecen

    numerosos teoremas, llamados tasmbin

    Proposiciones.

    Estos se enuncian mediante una implicacin cuyo

    antecedente es la hiptesis y el consecuente es la

    tesis.

    Por ejemplo la proposicin: si la raz cuadrada de un

    nmero natural n, no es un entero, entonces no es un

    racional o fraccin, si no un irracional.

    Aqu la hiptesis o antecedente es: si la raz cuadrada

    del natural n, no es entero. La tesis, implicacin o

    conclusin es: la raz cuadrada es irracional y no

    racional.

    A lo largo del TINS se tendr diversos razonamientos.

    Completemos los conjuntos y pasemos en el captulo II

    a los conjuntos numricos.

    Los conjuntos emplean la lgica clsica o bivalente

    cuyo soporte o rango es el par:

    L2={0, 1}

  • MATEMATICA BASICA I

    41

    Donde 1 representa la verdad o validez y 0 la falsedad

    o contradiccin.

    Las relaciones 7 de 1.8:

    A A = X ; A A = Expresan que un punto pertenece a un conjunto o a su

    complemento pero no a ambos.

    En esta lgica es valido el tercio excluido, as como el

    principio de contradiccin:

    p 7 p 1 y p 7 p 0 7 p= no p

    El primero expresa que una proposicin o es

    verdadera o es falsa pero no hay una tercera

    posibilidad. El segundo completa al anterior

    expresando que la proposicin no puede ser verdadera

    y falsa a la vez.

    Igualmente son vlidos:

    (p q) (q r) . . (p r) silogismo y el caso que genera algunas pruebas por

    absurdo

    ( p p) p Se sugiere hacer el anlisis de tablas y valuaciones.

  • MATEMATICA BASICA I

    42

    EJERCICIOS PARA RESOLVER

    1. Si un conjunto finito tiene k-elementos Cuntos tiene su conjunto

    potencia?

    2. Si A={, , }, cmo es el grfico o grafo de P(A)

    3. Y si G={a, b, c, d} , cmo es el grafo de P(G)

    4. Por medio de un grfico cmo el que se muestra:

    A B

    Verificar la Ley de Morgan: (A B) = A B donde A, B son los complementos.

    5. Verificar las leyes de distributividad 3) de 1.8

    6. Si 2 conjuntos son infinitos: son ambos isomorfos? Es decir:

    Tienen el mismo nmero de elementos?

    7. Probar que el silogismo es siempre vlido en la lgica de los

    conjuntos.- Igualmente probar el modus ponens: p(p q)..q

    8. Por tablas verificar si la equivalencia: (pq) ( q p) es vlida.

    (A B)

  • MATEMATICA BASICA I

    43

    II. BREVE PRESENTACIN DE LOS CONJUNTOS NUMRICOS

    2.1 CONJUNTO DE LOS NMEROS NATURALES: N Se ha convenido en llamar nmeros naturales a cada elemento

    del siguiente conjunto:

    N = {0, 1, 2, 3, , n .}

    2.1.1. Observaciones: o En N existen dos subconjuntos notables: el conjunto de

    los nmeros pares y el conjunto de los nmeros

    impares.

    Pares = {2,4,6,8,} Impares = {1,3,5,7,9,.}

    o Si n N 2n: representa un nmero par 2n 1: representa um nmero impar

    o En N se definen las operaciones de adicin y multiplicacin, donde si x, y N (x + y) N (x . y) N (Ley de Clausura)

    o La sustraccin no siempre es posible en N. La sustraccin no est totalmente definida en N xN tal que 7+ x = 3? No! Pues x = 4 N por esta razn se amplian los naturales en un nuevo conjunto de

    nmeros, el cual ser definido seguidamente.

  • MATEMATICA BASICA I

    44

    2.2 CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS: Z Z = {., 3, 2, 1, 0, 1, 2,3, .}

    2.2.1. Observaciones: o En Z se tienen los siguientes subconjuntos notables Enteros positivos Z+ = {1,2,3,.} = N+ Enteros negativos Z- = {1,2,-3,.} = N+ Enteros no negativos ,...}3,2,1,0{Z 0 =+ Enteros no positivos ,.....}3,2,1,0{Z

    0=

    Z = Z- {0} Z+ o En Z siempre es posible restar, veamos una manera

    prctica de interpolar la adiccin y/o sustraccin de

    nmeros enteros

    Nmeros positivos ganancia Nmeros negativos prdida Ejemplos:

    1. N N ?pierdooganonegociodelluego131gano3pierde

    +

    2132pierdo2

    =+

    2. -9 -3 = -12

    o En Z no siempre se puede dividir, i.e. la divisin no

    est totalmente definida en Z

    xZ tal que 3. x = 1? No! Pues Zx =

    31

  • MATEMATICA BASICA I

    45

    Por esta razn se amplian los enteros en el siguiente

    conjunto de nmeros.

    2.3 CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES: Q

    = 0bZb,a/baQ

    { }aQ . a,b Z b 0b=

    Todo y nmero que puede escribirse en forma de fraccin se llama

    nmero racional.

    EJEMPLOS

    1. ; ; , ; ;= = =8 3 1 1 24 3 0 52 1 2 3 5

    son racionales

    2.

    = ...,

    nm,2,

    45,

    21,

    31,...,

    21,1,

    nm...,Q

    3. 0,666 , 0,75 , 0,78888 , -3.452 , -36 , +100, Q Propiedad 1: Los nmeros racionales abarcan a los N y a los Z,

    pues nn N1

    = y aa Z1

    = Propiedad 2: Si el nmero dado es decimal peridico, su transformacin a fraccin es por el siguiente cociente:

  • MATEMATICA BASICA I

    46

    Sea: N=a1 ,, am b1 ,, bn c1 ,, cjci ,, cj ,,

    donde c1 ..cj es elperodo decimal, a1, am estn a la izquierda del

    punto decimal y b1, , bn estn a la derecha del punto. Entonces el

    siguiente cociente da el nmero N:

    NNn1 m 1 1 j 1 m 1

    nj

    a ..a b ..b c ..c a ..a b ..bq..q 0..0

    Para simplificar la prueba supondremos m=n=1, j=2:

    N1 2 1 224

    N a bc c c c ...=

    Multipliquemos N por N N4 2

    1000 10 :

    abc1c2c1c2c1c2X(1000-10)

    = abc1c2c1c2...c1c2...-abc1c2c1c2

    = abc1c2-ab

    Despejando N tendremos:

    abc c abN = 1 2

    1000 10

    es decir: N=abc1c2c1c2=NN1 2

    j n

    abc c ab990

    que da la prueba.

    Para cualquier otrol N la prueba es semejante.

  • MATEMATICA BASICA I

    47

    Ejemplos

    1. 999abcabco, = donde abc abc= es el entero o producto por

    1000 (3 ceros)

    2. 999

    eeabcabce, = donde eabc eabc=

    3. 0,abcbc= abc a0,abcbc990

    = aqu J=2, n=1, m=0

    4. m,abcbc.. = mabc mam,abcbc990

    = anloga a la prueba

    5. 32

    966,0...666,0 === m=n=0, j=1

    6. 1,222= 12 1 119 9 = m=1, n=0, j=1

    7. 99

    36499

    3367...6767,3 ==

    8. 3013

    9039

    90443...4333,0 ===

    9. 99

    36499

    3367...6767,3 ==

    10. 0,34747= 347 3 344990 990

    =

    11. 4,32121= 4321 43 4278990 990

    = Para m=1, j=2, n=2

    12. 1,234545 = 12345 123 122229900 9900

    = Para m=1, j=2, n=3

  • MATEMATICA BASICA I

    48

    13. 3,1235454= 312354 3123 30923199000 99000

    =

    Todos los nmeros pueden escribirse en forma de fraccin? No!

    Pues no existe xQ/x2 = 2 por tal motivo se crea el siguiente conjunto de nmeros.

    2.4. CONJUNTO DE NMEROS IRRACIONALES: Q II Se da el nombre de nmero irracional a todo nmero que no es

    racional.

    i.e. I = {x / x nm , m, n ; n 0}

    Veamos por que, por ejemplo 2 no es un racional mn

    Supongamos que lo fuera: 2 = mn

    , donde mn

    ha sido reducido y

    no tienen factores comunes.

    Tendremos elevando al cuadrado:

    22

    22

    m2 m 2nn

    = = lo que nos dice que m2 y por lo tanto m es par o mltiplo de 2.

    Sea m=2r, r un entero. Reemplazando: 2 2 2 2 2m 4r 2n n 2r= = =

    lo que muestra que n es tambin par.

  • MATEMATICA BASICA I

    49

    Luego m y n siendo pares tienen un factor comn, el 2, contrario a

    la hiptesis.

    Por consiguiente 2 no puede ser racional.

    De modo semejante se puede probar que todo radical: 3 , 5 ,

    ..., 3 32, 3, ..., de un nmero que no es una potencia, no es

    racional.

    Ejemplos:

    1. 2 = 1,4142

    2. 3 = 1,73 205

    3. 5 = 2,23 606

    4. 21 + 5. 32

    6. 32

    ,21

    ,32 +

    Propiedad 3. Un nmero irracional se caracteriza por tener parte decimal no peridica, con infinitas cifras decimales. Por qu?

    En efecto: si el nmero tuviera parte decimal peridica, por

    propiedad 2 de 2.3 podra expresarse como el cociente de 2

    enteros, esto sera un racional.

  • MATEMATICA BASICA I

    50

    IN Z IR II IR

    Los nmeros irracionales son de dos tipos:

    2.4.1 Irracionales algebraicos. Son races de polinomios de coeficientes enteros.

    * ,...32,7,2 3

    2.4.2 Nmeros trascendentales. No son races de ningn polinomio de coeficientes enteros.

    * ...718281,2

    ...14159,3==

    e

    = 3,141592 infinito no peridicas. -=-3.141592... e = 2,7182 81 82 infinito no peridicas. e=-2.71828...

    2 = 1,4142 1356 infinito no peridicas. - 2 =-1.4142135

    2.5. CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES: IR Es el conjunto delos nmeros racionales y el de los irracionales.

    Las propiedades y/o relaciones se desarrollan en el Captulo III.

    IR : Q I , IR = IR+ {0} IR IR+ : Reales positivos.

    IR : Reales negativos.

    Graficamente:

  • MATEMATICA BASICA I

    51

    1) IN Z Q 2) Q I = IR 3) Q I =

    EJERCICIOS RESUELTOS Transformar a Radicales Simples

    1. 8410 + A=10 ; B=84

    Solucin:

    Cmo se sabe: A2 B es un cuadrado perfecto = C2, entonces:

    22CACABA +=

    En nuestro caso: C2 = 102 84 = 16 cuadrado perfecto

    C = 4 asumiendo C = 4

    372

    4102

    4108410 +=++=+

    2. 13 160 Solucin:

    Como en el caso anterior: C2 = 132 160 = 9 cuadrado perfecto

    C = 3 asumiendo C = 3

    13 3 13 313 160 8 5 2 2 52 2+ = + = + = +

  • MATEMATICA BASICA I

    52

    3. Si 80945214 +=n ; hallar le menor valor de x cuando: x2 nx + n +1 = 0

    Solucin:

    Como: 535945214 +=+=+

    252

    192

    1918081809 2 =+== c

    52553 =++ = n x2 5n + 6 = (x-3) (x-2)=0 que da x=3 y x = 2

    Luego el menor valor de x es 2.

    4. Si 33 5252 ++=x . Hallar el valor numrico de 5186 3 ++ xx Solucin:

    Como: ( ) ( )baabbaba +++=+ 3333 Entonces:

    3333 5252

    ++=x

    ( ) +++++= 333 5252135252x

    ++= 333 525234x

    55252185252346 3333 +

    ++++

    +++

    29552521852521824 3333 =+

    ++++

    +++

  • MATEMATICA BASICA I

    53

    5. Si a > 0; a R 21 +a

    a

    Solucin: Cmo a > 0 010 >a

    a

    aa

    2

    10

    21021 ++a

    aa

    a l.q.q.d.

    6. Si a, b > 0 ( ) 411 +

    + baba

    Solucin: Como a, b > 0 a b 0 a b ( ) 020 222 + bababa abba 222 + 2

    22

    +abb

    aba

    4112 ++++ab

    ba

    ab

    ba

    Lo que implica:

    44 ++++++a

    bab

    baaa

    ab

    bb

    ba

    ( ) 411 +

    + baab

    l.q.q.d.

    7. Si x 71;

    111

    3214,2 + x

    Solucin: Como x 424,2

  • MATEMATICA BASICA I

    54

    71

    321

    111

  • MATEMATICA BASICA I

    55

    Entonces: P = 25,20261012 ++ und. 9. El punto medio del segmento entre P1 (x1; y1) y P2(x2, y2) es:

    ++2

    ;2

    2121 yyxx

    1) Se pide hallar las coordenadas (x, y) del punto P en trminos de

    las coordenadas de P1; P2.

    Para ello traemos desde los puntos P1; P2 segmentos paralelos al

    eje y y corten al eje x en los puntos A, B, C.

    2) Por la geometra plana elemental; se sabe que la ruta paralela al

    eje y que pasa por el punto P biseca el segmento AC en el punto

    B; esto es; B es punto medio del segmento AC.

    Si B es punto medio del segmento AC entonces se cumple que:

    x x1 = x2 x d (A a B) = d (B a C) luego:

    x = 2

    21 xx +

    de manera similar por los puntos P1;P; P2 trazamos segmentos

    paralelos al eje x, obtenindose y2 y = y y1

    P2(x2; y2)

    P1(x1; y1) P(x; y)

    A(x1; 0) B(x; 0) C(x2; 0) x

    y

  • MATEMATICA BASICA I

    56

    2

    21 yyy +=

    Luego la frmula del punto medio es x x y y,+ + 1 2 1 2

    2 2

    10. Hallar los puntos de triseccin del segmento cuyos extremos son

    los puntos (-2, 3) (6, -3)

    Solucin:

    Se pide hallar las coordenadas

    de P; Q que dividen al segmento

    Cmo:

    ______

    21PP en tres segmentos de igual

    longitud.

    rPP

    PP ==21

    _____

    2

    _____

    1

    Entonces: p1 p2px rx

    x1 r+= + ,

    p1 p2p

    y ryy

    1 r+= +

    p12 6 22x 1 312

    += =

    +;

    ( )p

    13 32y 111

    2

    + = =

    +

    ( )23p ,1=

    Clculo del Q

    P1 P2

    (-2, 3) P Q (6, -3)

    P1 P2

    (-2, 3) P (6, -3)

    1 2

  • MATEMATICA BASICA I

    57

    1 6 1 3 103Q ; ; 12 2 3

    + = =

    EJERCICIOS PARA RESOLVER [1] Probar las siguientes desigualdades:

    1) a2 + b2 +c2 ab + ac + bc; a,b,cR 2) a,bR+ a b ab

    2+

    3) Si a2+b2=1; c2+d2 = 1 entonces 1 ac+bd; a,b,c,d R 4) Si a+b+c=1, donde a,b,c > 0 (1-a)(1b)(1c) 8abc 5) a4 + b4 + c4 + d2 4abcd; a,b,c,d R 6) Si a > 0; aR a+ 1a 2

    7) Si a,b,c R+ + + + +bc ac ab a b ca b c

    8) Si a > 0, b > 0 tal que a + b = 1 ab 9) Si a, b, c R a2 + b2 + c2 + 3 2 (a + b+ c)

    10) Si a, b > 0 /a b 2

    2

    a 3b b 3b a a

    + +

    11) Si a, b, c > 0 ( )1 1 1 a b c 9a b c

    + + + +

    12) si a > 0 ; a 1; a R 3 23 21 1a aa a+ > +

    13) ( ) ( )( )2 2 2 2 2a by a b y ; a,b, ,y R+ + + x x x 14) (a + b + c+ d)2 4(a2 + b2 + c2 + d2) ; a, b, c, d R 15) (a x + by + cz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2)

    16) Si x 5 2,2 x 3,7

  • MATEMATICA BASICA I

    58

    17) Si x 2 1 1 11,3 ,x 3x 1 19 5 + +

    [2] Resolver las siguientes inecuaciones

    1) 3(3x 17) + 5 (5 3x) 3(3x 11) 2(4x 3) 2) 13 (2x 3) 7 (3x 5) < 3 (2x 11) + 13x

    3) 3x 2 3x 7 3x 5 7 x5 2 2 3 + <

    4) ( ) ( )3x 7 8 43 x 7 2x4 3 7 < <

    5) 9x 5 3x 1 5x 44 2 3 +

    6) 7x 2 5x 6 9x 342 3 5 ++ <

    7) 2x 1 3x 2 2x 1 2>5 6 2 3 ++ +

    8) 2 2x 3x 5 ;a>b>0

    a b a b a b+ 5 512 6 3

    x>3

  • MATEMATICA BASICA I

    59

    2.6. RELACIONES

    2.6.1 Las relaciones se presentan en todas la reas del conocimiento. Por ejmplo: San Isdro es mas grande que San Borja; Pedro es menor que Pablo; es congruente

    con etc.

    En matemtica nos interesan las relaciones entre 2

    conjuntos.

    2.6.2 Relacin Binaria Dados 2 conjuntos no vacios A y B, una realcin binarias

    de A y B es dado por todo conjunto R del producto A x B.

    Al conjunto A se le denomina: Dominio o primera

    proyeccin y al B el rango o segunda proyeccin.

    Si invertimos: B x A se obtiene la relacin inversa R-1 entre

    B y A.

    Cuando el conjunto B = A es una relacin en el conjunto A.

    2.6.3 Propiedades Una relacin R en un conjunto A puede tener las siguientes

    propiedades:

    1) Reflexiva : x A R 2) No reflexiva : x A R 3) Simtrica : R R 4) No simtrica : R R 5) Asimtrica : R R 6) Anti simtrica : [ R] a = b

  • MATEMATICA BASICA I

    60

    7) Transitiva : [ R R] R 8) No trasitiva : [ R R] R 9) Intransitiva : [ R R] R

    Las relaciones en un conjunto A pueden cumplir algunas

    propiedades. Las ms importantes relaciones son:

    2.6.4 Relaciones de equivalencia Son las reflexivas, simtricas y transitivas.- Si R

    denotamos simplemente por , debe cumplir: E1 a A a a .............................reflexiva E2 a, b A : si a b b a......... simtrica E3 a b b c a c ................... transitiva

    Ejemplos:

    1. A = conjunto de las circunferencias en el plano c, si

    tienen igual radio. Es una relacin de equivalencia.

    (se trata de las circunferencias. Ver Captulo IV)

    2. Relaciones de congruencias mdulo m en los

    enteros Z. Por ejemplo m = 5

    a, b Z son cogruentes a b mod 5 si: a b es multiplo de 5. As:

    1 6 mod 5; 2 7, 3 8 13, 4 9 14 19, etc

  • MATEMATICA BASICA I

    61

    3. Rectas en el plano de igual pendiente:

    y x = 0 2y 2x 3 = 0; y 1 = 0 y + = 0 etc. x (se tratar las rectas y propiedades. Ver Captulo

    IV).

    2.6.5 Clases de Equivalencias Toda relacin de equivalencia en un conjunto A, lo separa

    en sub-conjuntos A1, A2, formado por los conjuntos

    equivalentes. Es lo que denominamos una particin de A.

    Por ejemplo, en Z los enteros congruentes modulo m, sea

    m=5 forma m=5 clases de equivalencia:

    Z0={.., -10, -5, 0, 5, 10, 15, ..}

    Z1={.., -9, -4, 1, 6, 11, ..}

    Z2={.., -8, -9, 2, 7, 12, ..}

    Z3={.., -7, -2, 3, 8, 13, ..}

    Z4={.., -6, -1, 4, 9, 14, ..}

    2.6.6 Relaciones de Orden Son las que cumplen la reflexividad, la antisimetra y la

    transitividad.

    Si la relacin la denotamos por

  • MATEMATICA BASICA I

    62

    Ejemplos:

    1. En los nmeros enteros o reales el orden se denota

    por y se define:

    a b si cR+ (si existe un real positivo o cero c) tal que a+c=b

    2. En una circunferencia

    centrada en el origen

    del plano cartesiano, un

    punto , si partiendo del punto horizontal a

    en sentido contrario al

    reloj est antes que .

    2.6.7 Buena Ordenacin

    Una relacin de orden en un conjunto A se dice que da una buena ordenacin, o que A, queda bien ordenado, si

    cada subconjunto Ai no vaco posee primer elemento, es

    decir:

    aA xA (ax) Ejemplos:

    1. El conjunto N de nmeros naturales con el orden es bien ordenado. Todo subconjunto de N posee primer

    elemento.

    2. El conjunto R de los reales con el orden no es bien ordenado. Los subconjuntos 0

  • MATEMATICA BASICA I

    63

    mltiplos de 5, 7, etc.; los irracionales positivos y

    numerosos otros ms no poseen primer elemento.

    EJERCICIOS PARA RESOLVER

    1. Los pares y los impares determinan una relacin de

    equivalencia en los nmeros enteros Z?

    2. Los tringulos de igual rea dan una relacin de

    equivalencia en el conjunto de triangulos de un

    plano?

    3. Y otras figuras?

    4. Dar 3 relaciones de equivalencia diferentes a los ya

    visto.

    5. La relacin de las letras del alfabeto es de orden?,

    de buen orden?

    6. En un saln en elque no hay nios con el mismo

    apellido la lista que se confecciona es de orden?

    7. Dar relaciones de orden en conjuntos finitos e

    infinitos.

    2.6.8 Relaciones Funcionales Una relacin F entre 2 conjuntos A y B se dice ser funcional

    si para cada elemento aA hay a lo ms un elemento bB tal que F(a,b).

    Por ejemplo si A es el conjunto de los nios de un pas y B

    el de los hombres mayores, la relacin ser padre P:

    aA bB b es padre de a, P(a,b), es una relacin funcional.

  • MATEMATICA BASICA I

    64

    El sub conjunto A1 A de los elementos de A que estn relacionados constituye el dominio de la relacin y el B1 B que estn relacionados forma el co-dominio o rango de la

    relacin.

    Cuando B=A la relacin F se dice ser funcional en A.

    Ejemplos:

    1. El ser madre es tambin funcional.

    2. La relacin ser duplo de p en los nmeros enteros Z

    es funcional:

    pZ: F(p)=2p El dominio es todo Z y el rango es el conjunto de los

    elementos pares.

    3. El cuadrado de p es tambin una relacin funcional

    en Z.

    2.6.9 Funcin Se denomina as a toda relacin funcional de un conjunto A

    en el conjunto B.

    Por ejemplo el ser padre es funcin. Las relaciones

    F(p)=2p, G(p)=p2 son funciones en Z.

    En los captulos siguientes veremos otros ejemplos de

    inters.

  • MATEMATICA BASICA I

    65

    EJERCICIOS PARA RESOLVER

    1. Dar 2 relaciones de orden en el conjunto N de los

    naturales.

    2. Qu propiedades tienen la relacin de vecindad?

    3. La relacin xR x , valor absoluto, es funcional? 4. Hermana, hermana de padre y madre que clase de

    relaciones son?

    5. Cul es el dominio y rango de las relaciones 3x , x ; sen; cos?

    6. La relacin en los enteros Z es de buen orden?

  • MATEMATICA BASICA I

    66

  • MATEMATICA BASICA I

    67

    III. NMEROS REALES

    Hemos visto en 2.5 que el conjunto R de los nmeros reales est

    formado por la unin de los racionales o fraccionarios y de los

    irracionales. Los naturales y enteros quedan includos por estarlo dentro

    de los racionales.

    Las operaciones de adicin y multiplicacin e inversas y la relacin de

    orden < se extienden a todo R formando el Algebra de los Reales.

    En este captulo vamos a introducir los reales y propiedades desde un

    punto de vista formal.

    3.1 EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES

    3.1.1. Definicin 1: El sistema de los nmeros reales es un conjunto R, provisto de dos operaciones: adicin y multiplicacin,

    y una relacin de orden, denotada por

  • MATEMATICA BASICA I

    68

    A5) Existe un nico elemento al que denotamos por -a tal

    que a+(-a)=(-a)+a=0; aR (existencia y unicidade del elemento inverso aditivo)

    De la multiplicacin:

    M1) a, bR ; a.bR (clausura) M2) a, bR ; ab = ba (ley conmutativa) M3) a,b,cR : (ab)c = a(bc) (ley asociativa) M4) Existe um nico elemento al que denotamos por 1 diferente

    de 0 tal que: a.1 = 1.a = a; aR (existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo)

    M5) Existe um nico elemento al que denotamos por a-1 tal que:

    aR; a 0; a.a-1 = a-1.a = 1 (existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo)

    D) a,b,cR ; a (b + c) = ab + ac (ley distributiva) En R, existe definida la relacin menor

  • MATEMATICA BASICA I

    69

    3.1.2. Proposicin 1: a R , a.0 = 0

    Prueba:

    a 0 = a 0 + 0 (A4) = a 0 + [a + (-a)] (A5) = [a 0 + a] + (-a) (A3) = (a 0 + a 1) + (-a) (M4) = a (0 + 1) + (-a) (D)

    = a . 1 + (-a) (A4)

    = a + (-a) (M4)

    a 0 = 0 (A5)

    3.1.3. Proposicin 2: a R , a + a = 2a Demostracin

    a + a = a . 1 + a . 1 (M4)

    = a (1 + 1) (D)

    = a . 2 (A1)

    = 2a (M2)

    3.1.4. Proposicin 3: a R , a = (1) a

    Prueba:

    Si demostramos que a+(1)a = 0, el teorema quedar probado,

    puesto que (a) y (1)a resultan ambos el inverso aditivo de a,

    que como sabemos es nico (A5).

    i.e. a + (1) a = 1.a + (-1) a (M4)

    = (1+(1)) a (D)

  • MATEMATICA BASICA I

    70

    = 0.a (A5)

    = 0 (Prop. 1)

    Luego: -a = (1) a (A5)

    3.1.5. Corolario 1: a, b R , a (-b) = (ab) = (a) b En efecto: a (b) = a ((1) b) (Prop. 3)

    = a (b (1)) (M2)

    = (ab) (1) (M3)

    = (1) (ab) (M2)

    = (ab)

    3.1.6. Proposicin 4:

    (Sustraccin) a, b R , a-b = a + (-b) (Multiplicacin) a, b R; (-a)(-b)=ab

    (Divisin) a, b R , b 0 ; 1a abb

    =

    3.1.7. Proposicin 5: a, b R ; a 0 ; b 0 ; (ab)-1 = a-1 b-1

    Prueba:

    Si probamos que (ab) (a-1 b-1) = 1, la tesis queda demostrada

    puesto que (ab)-1 y (a-1 b-1) resultan ambos el inverso

    multiplicativo de (ab), que como sabemos debe ser nico por (M4)

  • MATEMATICA BASICA I

    71

    (ab) (a-1 b-1) = (ab) (b-1 a-1) (M2)

    = a [b (b-1 a-1)] (M3)

    = a [((bb-1) a-1] (M3)

    = a (1.a-1) (M5)

    = a . a-1 (M4)

    = 1 (M5)

    Por lo tanto (ab)-1 = a-1b-1 (M5)

    3.1.8. Proposicin 6:

    1) a, b, c, d R ; b, d 0 se tiene a c ad bcb d bd

    ++ =

    2) a c ac.b d bd

    =

    3)

    aadb

    c bcd

    =

    En efecto:

    1) a cb d

    + = ab-1 + cd-1 (definicin cociente) = (ab-1) (dd-1) + (cd-1) (bb-1) (M1)

    = (ab-1) (d-1d) + (cd-1) (b-1b) (M2)

    = a (b-1 d-1) d + c (d-1 b-1) b (M3)

    = (ad) (bd)-1 + (cb) (bd)-1 (M2)

    = (ad + bc) (bd)-1 (D)

    = ad bcbd+ (definicin cociente)

  • MATEMATICA BASICA I

    72

    2) a c.b d

    = (ab-1) (cd-1) (definicin cociente)

    = a (b-1c) d-1 (M3)

    = a (cb-1) d-1 (M2)

    = (ac) (b-1 d-1) (M3)

    = (ac) (bd)-1 (Prop. 6)

    = acbd

    (definicin cociente)

    3.1.9. Proposicin 7: Si a, b, c R ; a + c = b + c a = b

    Se tiene:

    1) a + c = b + c (hiptesis)

    2) (a + c) + (-c) = (b + c) + (-c) (1)

    3) a + [c + (-c)] = b + [c + (-c)] (A3)

    4) a + 0 = b + 0 (A5)

    5) a = b (A4)

    3.1.10. Proposicin 8: a, b, x R ; b 0 x . b = a x = a.b-1

    Implicacin directa:

    (=>) 1. x . b = a (hiptesis)

    2. (x.b)b-1 = ab-1

    3. x (bb-1) = ab-1 (M3)

    4. x.1 = a.b-1 (M5)

    5. x = a.b-1 (M4)

  • MATEMATICA BASICA I

    73

    Implicacin inversa:

    ()

    1. ab = 0 (hiptesis)

    2. Supongamos que b 0 (hiptesis auxiliar) 3. Existe b1 (M5)

    4. (ab)b1 = 0b1 (3, Prop. 1)

    5. a (bb1) = 0 (M3)

    6. a.1 = 0 (5, M5)

    7. a = 0 (M4)

    8. Supongamos que a 0 (hiptesis auxiliar) 9. Existe a1 (M5)

    10. (ab)a1 = 0a1 (3, Prop. 8)

    11. a (ba1) = 0 (M3, Prop. 1)

    12. a (a1) b = 0 (M2)

  • MATEMATICA BASICA I

    74

    13. (a.a1) b = 0 (M3)

    14. 1.b = 0 (I3, M5)

    15. b = 0 (I4, M4)

    (

  • MATEMATICA BASICA I

    75

    23

    2 + x = 2 = ( )22

    x 3 32 22 2

    < > + = + = x

    -3 32 22 2

    < > = + = x x EJERCICIOS PARA RESOLVER

    1. Demostrar las siguientes propiedades de nmeros reales:

    a) ab = (a + b)

    b) Si a 0 ; ac = ab c = b

    c) Si a = b y a, b 0 1 1a b

    =

    d) (a b)c = ac bc

    e) (a b) = a + b

    f) Si b 0 , a c a bcb

    = =

    2. Resolver las siguientes ecuaciones:

    a) 13x 7 = 5x + 3

    b) 3x + 7 = 11x + 3

    c) (x + 2)2 + (x 4)2 = (x 3)2 + (x 7)2

    d) (2x + 1) (3x 4) + x + 3 = (x 3) (6x + 5) 3x + 7

    e) x2 4x 21 = 0

    f) 3x2 11x+ 6 = 0

    g) 5x2 + 3x + 2 = 0

    h) 9x2 + 54x + 9 = 0

  • MATEMATICA BASICA I

    76

    ALGEBRA DE LOS REALES A continuacin trataremos algunos problemas ms bsicos de los reales

    R desde un punto de vista algebraico:

    3.2. DESIGUALDADES E INTERVALOS La correspondencia entre los nmeros reales y los puntos de una

    recta permite observar otra propiedad fundamental del conjunto de

    los nmeros reales referentes a la existencia de un ordenamiento

    en este conjunto.

    Este concepto de orden se introduce en el sistema de los

    nmeros reales mediante la definicin siguiente:

    3.2.1 Definicin 1: Si a y b son nmeros reales, diremos que a es menor que b si y slo si b-a es un nmero positivo.

    Simblicamente:

    a < b b a R+ donde: R+ = {xR/ x>0}

    Equivalencias de las relaciones y . 1) a < b b > a 2) a b a < b a = b 3) a b b a 4) - a es negativo si a > 0

    a es positivo si -a < 0

    3.2.2 Definicin 2: Una proposicin de la forma ab, ab, ab; es una desigualdad.

  • MATEMATICA BASICA I

    77

    3.3. PROPIEDADES GENERALES DE DESIGUALDADES 3.3.1. Si a < b y c < d entonces a + c < b + d 3.3.2. Si a < b entonces a > b 3.3.3. Si a 0 3.3.5. Si 0 a < b y 0 c < d entonces ac 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0) 2) ab < 0 (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0)

    3.3.7. a1 tiene el mismo signo que a 3.3.8. Si a y b tienen el mismo signo y ab-1

    En efecto:

    Si a < b a.a1 < b.a1 (O4) a.a-1b1 < ba1b1 (O4)

    (aa1)b1 < (bb1)a1 (M3)

    1.b1 < 1.a1 (M5)

    b-1 < a1 (M4)

    a-1 > b1

    3.3.9. Proposicin 10: Si a 0 b 0 entonces a2 > b2 a > b 3.3.10 Proposicin 11:Si a2 > b ; b 0 a > b a b = ( )2b a > b 2) Si a < 0 a > 0

  • MATEMATICA BASICA I

    78

    Hemos demostrado que si aba b a > b a 0 entonces a2 < b b < a < b

    3.4. INTERVALOS EN R

    Sean a, b R; a < b , definimos: 3.4.1 Intervalo abierto de extremos a y b; y se denota al

    conjunto de nmero reales: = {x R / a < x < b}

    3.4.2. Intervalo cerrado de extremos a y b, y se denota [a,b] al

    conjunto: [a,b]={xR / a x b}

    a b

    3.4.3. Intervalo semiabierto de extremos a y b y se denotan: a los conjuntos:

    ={xR / a x < b}

    a b

  • MATEMATICA BASICA I

    79

    Ejemplos:

    1. = {xR / x > a}

    2. [a, +>={xR / x a}

    a

    3. =R

    3.5 OPERACIONES CON INTERVALOS. Se tiene las siguientes:

    3.5.1 = {b} 3.5.2

  • MATEMATICA BASICA I

    80

    Ejercicios Resueltos

    Resolver las inecuaciones:

    1) 7x 10 < 4

    (7x 10) + 10 < 4 + 10

    7x < 14

    x < 2

    Solucin: =

    2) (x + 1)2 + (x+4)2 (x+3)2 + (x+5)2 (x2+2x+1) + (x2+8x+16) x2+6x+9+x2+10x+25 2x2 + 10x + 17 2x2 + 16x + 34 10x + 17 16x + 34 -17 6x 17

    6 x

    x 176

    conjunto solucin x 17 ,6

    +

    3) Resolver:

    7 4x 3x + 5 < 9x + 11 Primero resolveremos 7 4x 3x + 5 4x 3x 5 7 7x 2 7x 2 x 2

    7

  • MATEMATICA BASICA I

    81

    Solucin: 12s ,7

    = +

    Ahora resolveremos 3x + 5 < 9x + 11

    3x 9x < 11 5 6x < 6 6x > 6 x > 1

    Solucin 2s 1,= +

    Solucin general: s = s1s2 = 2 ,7 +

    3.6. INECUACIONES DE 2 GRADO 3.6.1. Mtodo de Factorizacin. Consideramos los 2 casos

    siguientes:

    Proposicin 12. Dados a, b R 1. ab > 0 a > 0 b > 0 a < 0 b < 0 2. a.b < 0 a > 0 b < 0 a < 0 b > 0

    Ejemplo:

    Resolver:

    1. 4x2 11x 12 > 0

    Factorizando (4x + 3) (x 4) > 0

    (4x + 3 > 0 x 4 > 0) (4x + 3 < 0 x 4 < 0) (x > 3

    4 x > 4) (x < 3

    4 x < 4)

  • MATEMATICA BASICA I

    82

    x > 4 x < 34

    3.6.2 Mtodo por Completacin de Cuadrados Recordemos los siguientes 2 casos:

    Dado a, b R; b > 0

    I. a2 < b < > ia b a b II. a2 > b > < a b a b

    Ejemplos:

    Resolver:

    1. 4x2 + 12x 3 > 0

    x2 + 3x > 0 x2 + 3x > x2 + 3x + 9/4 > + 9/4 (x + 3/2)2 > 3 3 33 3

    2 2+ > + < x o x

    3 33 32 2

    + > + < x o x

    2. 4x2 16x + 13 < 0

    x2 4x + 13/4 < 0 x2 4x < 13/4 x2 4x + 4 < 4 13/4

  • MATEMATICA BASICA I

    83

    (x - 2)2 < 3

    ( 2)2 3 3

    2 22 2

    3( 2)

    2

    < < > >

    x

    y x x

    x

    3. Resolver 4x2 4x + 7 0 x2 x + 7/4 0 x2 x 7/4 x2 x + 7/4 + (x )2 3/2 Conjunto Solucin: R

    Pues xR: 21 3

    02 2

    x : (todo cuadrado 0)

    3.7. VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO REAL 3.7.1. Definicin: El valor absoluto de un nmero real a se

    define como aquel nmero real no negativo que se denota

    por:

    |a|

    donde: |a|=a si a0 |a|=-a si a

  • MATEMATICA BASICA I

    84

    3.7.2. Propiedades generales de valor absoluto

    1. | a | 0 ; a R | a | = 0 a = 0 2. | a |2 = a2 ; a R 3. | a | = | a | ; a R 4. | a b | = | b a | ; a, b R 5. | a b | = | a | | b | ; a, b R 6. | a | = | b | a = b a = b 7. | a | = b b 0 ( a = b a = b ) 8. a | a | ; a R 9. | a | < b b > 0 (b < a < b ) 10. | a | b b 0 (b a b ) 11. | a | > b a > b a < -b 12. | a | b a b a b 13. | a + b | | a | + | b | ; a, b R 14. || a | | b || | a b | ; a, b R 15. || a || = | a |; a R

    Prueba de 13 y 14:

    | a + b | 2 = ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    = a2 + b2 + 2ab

    | a |2 + | b |2 + 2| a b | = | a |2 + 2 | a | | b | + | b |2 = (| a | + | b |)2

    | a + b |2 ( | a | + | b | )2 | a + b | | a | + | b |

  • MATEMATICA BASICA I

    85

    | a | = | b + (a b) | | b | + |a b| | a | | b | |a b| (I) | b | = | a + (b a) | | a | + | a b | | b | | a | |(a b)| (| a | | b |) | a b | (II) De (I) y (II)

    | a | | b | | a b | (| a | | b |) | a b | a b} Ejemplos: 1. | 3x + 4 | = | 7x 3 |

    3x + 4 = 7x 3 3x + 4 = (7x 3) 4x = 7 10x = 1 x = 7

    4 x = 1

    10

    1 7,10 4

    2. | 10x + 7 | = 17

    10x + 7 = 17 10x + 7 = -17 10x = 10 10x = -24 x = 1 x = 12

    5

    12,15

    3. | 5 3x | < 7

    7 < 5 3x < 7 12 < 3x < 7 12 > 3x > 7

  • MATEMATICA BASICA I

    86

    7 < 3x < 12

    73

    < x < 4

    x 7 ,43

    4. | 7x + 3 | > 17

    7x + 3 > 17 7x + 3 < 17 7x > 14 7x < 20

    x > 2 x < 207

    5. | x2 16 | > 9

    x2 16 > 9 x2 16 < -9 x2 > 25 x2 < 7 (x > 5 x < 5) o ( )7 7 < 0

    5) 3x2 10x + 3 < 0

    6) x(3x + 2) < (x + 2)2

    7) 5x2 14x + 9 > 0

    8) 1 2x 3x2 0 9) 3x2 5x 2 0

  • MATEMATICA BASICA I

    87

    2. Resolver las siguientes inecuaciones: (3er grupo)

    1) x4 4x3 x2 + 4x 6 < 0

    2) 2 x3 + 3 x2 11 x 6 0 3) x 3 3 x2 13x + 5 > 0

    4) x4 4x3 x2 + 16x 12 > 0

    5) x 5 + 3x4 5x3 15x2 4x + 12 > 0

    6) x4 3x2 6x 2 < 0

    7) ( )( )( )3x 1 x 1

    02x 1 (x 8)

    + +

    8) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )23 2

    2 7

    3 x x 1 1 5 x0

    6x 3 3x 5

    >+

    9) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )7 8 103 2

    4 2

    x 8 x x 1 x 10

    x 3 x 25 7

    + + +

    10) ( )( ) ( )72

    4 2 8

    x 2x 1 x 3 x 90

    x 2x + + >

    11) x4 2x2 + 8x 3 > 0

    12) (x 7) (x + 3) (x + 5) (x + 1) 1680

    3. Resolver las siguientes inecuaciones: (4to grupo)

    1) ( )( )22x 3x 3 1

    x 2 2x 3 2 + > +

    2) x 4 x 2x 5 x 3

    +

  • MATEMATICA BASICA I

    88

    5) 2

    2

    x 2x 3 3x 4x 3

    + > +

    6) 27 6 5

    x 1 x 1

  • MATEMATICA BASICA I

    89

    10) 2

    2x 3x 4 1x 3x 2

    + +

    11) |2x3 3| |4x + 1|

    5. Resolver la siguiente inecuacin: (6to Grupo)

    1) Dados los conjuntos A = {4x + 7 > 17}

    B = {4x2 13 |x| + 9 0}, hallar CA B ; A CB. 2) Si D={3x2-(x+9)>0} ; E={x2+4x-2

  • MATEMATICA BASICA I

    90

    7. Hallar el mayor valor de la expresin dada en el intervalo indicado.

    (8vo Grupo)

    1) 4 1 1

    E si 0,1+ = x x x

    x R. 5

    2) 7 2 3 2

    E si 0,3+ += x x x

    x R. 4

    3) 3 3 8 5 24

    E si 5, 42

    += x x xx

    4) Hallar el menor valor de m que satisface:

    i) 2x 1 1 mx 2 2

    + donde [ ]x 4,7 . ii) 3 2x m

    x 1 donde

    2 1 1,x 6 2

    R. i) 4 ii) 2111

    5) Para los siguientes conjuntos hallar A B a) x 2 2x 3A x R /

    x 2 4x 1 = > +x x x x x 4B R /

    1 X =

    xxx

    R. 2, 0,13

    =

  • MATEMATICA BASICA I

    91

    d) 2 6 7 2A R /

    1 1 + =

    x xxx x

    2 3B R /4 6

    += + x xxx x

    R ] { }, 3 6 + .

    e) 3 3

    2 2

    2 4A R /1 2

    =

  • MATEMATICA BASICA I

    92

    Los sistemas de coordenadas fueron introducidos por el filsofo-

    matemtico francs Ren Descartes en 1637. Por ello es que

    tambin se llama la Geometra Analtica como la Geometra

    Cartesiana.

    Para introducir esta rama matemtica a un problema geomtrico,

    un buen plan es primero, trazar un sistema apropiado de

    coordenadas.

    A continuacin trataremos algunos problemas bsicos

    geomtricos con ayuda de la Geometra Analtica.

    3.9. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 3.9.1 Proposicin 12. La distancia d entre 2 puntos P1(x1 , y1) y

    P2(x2 , y2) est dado por la frmula:

    ( ) ( )2 22 1 2 1d y y x x= +

    En efecto:

    En el tringulo recto P1 Q P2,

    El teorema de Pitgoras

    asegura que:

    ( ) ( )2 22 2 1 2 1d y y x x= +

    x2-x1

  • MATEMATICA BASICA I

    93

    Sacando la raz cuadrada positiva:

    ( ) ( )2 22 1 2 1d y y x x= +

    3.10 SISTEMA CARTESIANO DEL PLANO Hemos estado viendo problemas sobre rectas. Para analizar

    diversas relaciones sobre el plano debemos introducir un sistema

    apropiado.

    El sistema cartesiano plano es la interseccin de 2 rectas

    orientadas perpendiculares de conformidad a la figura:

    Cada punto del plano tiene 2

    coordenadas: una sobre el eje

    horizontal X, la abcisa, y otra sobre

    el vertical Y, la ordenada. Pasemos a

    ver diversos casos:

    EJERCICIOS PROPUESTOS N04

    1. Verificar que los puntos A(3,8) , B(11,3) y C(8, 2) son los

    vrtices de un tringulo issceles.

    2. Verificar que los puntos A(7,5) , B(2,3) y C(6,7) son los vrtices

    de un tringulo rectngulo.

    3. Determinar un punto que equidiste de los puntos A(1,7), B(8,6) y

    C(7,1).

    4. Verificar que los puntos A(2,4) , B(8,6) y D(4,8) son los vrtices de

    un paralelogramo.

    y

  • MATEMATICA BASICA I

    94

    3.11. DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZN DADA 3.11.1 Proposicin 13. Si P1(x1 , y1) y P2(x2, y2) son los extremos

    de un segmento ; las coordenadas (x,y) de un punto P que

    divide a este segmento en la razn dada.

    2

    1

    PPPPr = son 1r;

    r1ryyy,

    r1rx 2121 +

    +=++= xx

    Prueba:

    - Por los puntos P1, P2 , P tracemos perpendiculares a los

    ejes coordenados.

    - Por Geometra Elemental, las tres paralelas P1 A1, PA y

    P2 A2 interceptan segmentos proporcionales sobre las dos

    transversales P1P2 y A1A2. Por lo tanto:

    )(AAAA

    PPPPr

    2

    1

    2

    1 ==

    Las coordenadas de los pies de la

    perpendicular al eje X son A1(x1,0),

    A(x,0) y A2(x2,0).

    Luego: xxxx == 2211 AA;AA En:

    ( ) 1r;r1r

    xr 212

    1 ++=

    = xxxx

    xx

    P

  • MATEMATICA BASICA I

    95

    De manera similar, podemos comprobar

    1r;r1ryyy 21 +

    +=

    3.11.2 Observaciones: 1. Si r > 0, el punto P es interno al segmento dirigido .

    2. Si r < 0, el punto P es externo al segmento dirigido

    (pero siempre en la recta que contiene al segmento).

    a) Estar ms cerca al punto P1 si | r | < 1.

    b) Estar ms cerca al punto P2 si | r | > 1.

    3. En el caso particular en que r = 1, tenemos el siguiente

    corolario:

    Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido

    cuyos puntos extremos son: (x1 , y1) y (x2 , y2) esta dado

    por:

    1 2 1 2y y, y .2 2+ += =x xx

    EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. El lado desigual de un tringulo issceles tiene por extremo los

    puntos A(2,-1) y B(-1,2), y los lados iguales miden 17 unidades.

    Hallar el vrtice opuesto al lado desigual.

    2. Hallar las coordenadas de los vrtices de un tringulo sabiendo

    que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son

    (-2,1), (5,2) y (2, -3).

    3. Dos vrtices de un tringulo equiltero son los puntos A(1,0) y

    B(1, 32 ). Hallar las coordenadas del tercer vrtice C(x,y).

  • MATEMATICA BASICA I

    96

    4. Hallar las coordenadas de un punto P(x,y) que divida al segmento

    P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en la razn 2

    1

    PPPPr = .

    donde:

    a) P1(4,3) , P2(1,4) , r = 2

    b) P1(5,3) , P2(-3,3) , r = 1/3

    c) P1(0,3) , P2(7,4) , r = 2/7

    d) P1(5,2) , P2(1,4) , r = -5/3

    e) P1(2,1) , P2(3,-4) , r = 8/3

    3.11.3 rea de Polgonos de lados rectos. Los vrtices de un tringulo orientados en sentido antihorario son (x1,y1),

    (x2,y2) y (x3,y3). Entonces el rea del tringulo cuyos

    vrtices son dados es:

    yA y

    y =

    x

    x

    x

    1 1

    2 2

    3 3

    12

    ; la mitad del valor del arrego.

    El valor dado de arreglo se obtienen adjuntado x, y, luego hay 3

    flechas hacia abajo positivas y las 3 flechas hacia arriba

  • MATEMATICA BASICA I

    97

    (punteadas) negativas. Se hace las operaciones y al final se toma

    la mitad del valor absoluto:

    = ( ) ( )x y x y x y x y x y x y+ + + +1 2 2 3 3 1 1 3 3 2 2 1

    Ejemplo: Los vrtives de un tringulo son , y

    Cul es su rea? El valor del rea es:

    12

    ( ) ( )= + + + +1 21 0 0 0 56 02

    .= =1 21 56 17 52

    Slo se ponen las flechas a la derecha.

    Nota.- En esta forma, la frmula se puede generalizar para hallar el rea de cualquier polgono. Se puede comenzar de cualquier

    vrtice y en cualquier sentido teniendo cuidado de no saltarnos.

    Para 4 lados o cuadrilteros:

    1 1

    2 2

    3 3

    4 4

    x yx y1Ax y2x y

    =,

  • MATEMATICA BASICA I

    98

    Ejemplos:

    1. Determinar el rea:

    Del tringulo DCE:

    A = 12

    = [ ]+ + + + =( ) u21 3 30 9 6 9 15 62

    (3 obticuas)

    Del rectngulo ABCD:

    A = 12

    = ( ) + + + + + + = u21 1 15 15 1 3 3 5 5 82 (4 obticuas)

    Del pentgono ABCED

    A = 12

    = ( ) + + + + + + + + = u21 1 15 30 9 1 3 6 9 5 5 142 (5 obticuas)

  • MATEMATICA BASICA I

    99

    2. rea de la figura ABCDE que debe dar aproximadamente 14

    de

    circulo de radio1: aprox. 4

    .

    rea de polgono = Ap inscrito en el 14

    de crculo.

    Ap = 12

    = + + = = 1 1 3 1 1 6 32 2 4 2 4 8 4

    = .3 0 754

    = .0 7854

    rea 14

    de crculo

    de radio 1

    EJERCICIOS PARA RESOLVER

    1. Hallar el rea de los polgonos cuyas coordenadas de los vrtices son:

    a) (2,5) , (7,1) , (3,-4) y (-2,3) R. 39.5u2

    b) (0,4) , (1,-6) , (-2,-3) y (-4,2) R. 25.5u2

    c) (1,5) , (-2,4) , (-3,-1) , (2,-3) y (5,1) R. 40u2

    d) (1,1), (7,1), (7,3), (7,6) y (1,3) R. 21u2

    e) (-4,2), (-6,-2), (-2,-8), (5,-9), (10,-2) y (5,6) R. 153u2

    132

    12

    00

    0 0012

    3210

  • MATEMATICA BASICA I

    100

    EJERCICIOS RESUELTOS

    1. Hallar las coordenadas del baricentro de un tringulo cuyos

    vrtices son A(x1 , y1), B(x2 , y2), C(x3, y3)

    Solucin Las medianas de un tringulo se cortan en un punto P(x,y)

    llamado baricentro, situado de los vrtices a 2/3 de la distancia de

    cada uno de ellos al punto medio del lado opuesto.

    Consideramos la mediana APD, siendo D el punto medio de BC.

    Las coordenadas de D son 2 3 2 3x x y y,2 2+ +

    Como AP 2AD 3

    =

    resulta AP 2r 2PD 1

    = = =

    2 31

    1 2 3

    22

    1 2 3

    + + + + = =+

    x xxx x xx

    2 31

    1 2 3

    y yy 2y y y2y

    1 2 3

    + + + + = =+ ,

    luego las coordenadas del baricentro son

    1 2 3 1 2 3y y yP ,3 3

    + + + + x x x

    D P

    A(x1,y1)

  • MATEMATICA BASICA I

    101

    2. Hallar las coordenadas del baricentro de los tringulos cuyos

    vrtices son:

    a) (5,7) , (1 ,3) y (5,1)

    b) (2,1) , (6,7) y (4,3)

    c) (3,6) , (5,2) y (7,6)

    d) (7,4) , (3,6) y (5,2)

    e) (-3,1) , (2,4) y (6,2)

    3. Demostrar que los 3 puntos siguientes son colineales:

    A(3,2) , B(5,2) y C(9,4)

    Debe de verificar que el rea de los 3 puntos es 0.

    3.12. NGULO DE INCLINACIN DE UNA RECTA Y PENDIENTE DE

    UNA RECTA 3.12.1 Definicin. Si L es una recta que pasa por el punto

    P0(x0,y0), entonces el ngulo formado por la recta L y el eje x positivo en sentido antihorario se llama ngulo de

    inclinacin de L. Variacin de es 1800 . Llamaremos pendiente de una recta L a la tangente de su

    ngulo de inclinacin y denotaremos por mL = tan . 3.12.2 Observaciones:

    Si 90 0 < >L m Si 90 0 >

  • MATEMATICA BASICA I

    102

    Proposicin 14. La pendiente de una recta L que pasa por los

    puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) est dado por =

    2 1L 2 1

    2 1

    y ym ; x xx x

    .

    La prueba de deja como ejercicio.

    3.12.3 Rectas paralelas; perpendiculares: 1. Dos rectas L1 y L2 no verticales son

    paralelas si y slo si m1 = m2.

    En efecto:

    Si L1 // L2 1 2 1 2 = =tan tan i e = m1 = m2.

    2. Dos rectas son perpendiculares . 1 2m ,m 1 = Esto es, si los ngulos de inclinacin son x y , se tiene:

    90 = + - ( )90 = +tan tan - 1= =tan cot

    tan

    tan tan = 1 esto es: m1 . m2 = 1

  • MATEMATICA BASICA I

    103

    3.12.4 ngulo entre 2 rectas Supongamos que tenemos 2 rectas

    L1 y L2 que se cortan y queremos la

    medida del ngulo que forman.

    Sean las pertinentes segn figura:

    m1 = tan m2 = tan

    tg tgtg1 tg tg

    = + = = +

    2 12 1

    2 1

    m mi e tg ; m m 11 m m

    = + . (Suponemos que las

    rectas no son perpendiculares, este es 2

    )

    EJERCICIOS RESUELTOS 1) El rea de un tringulo es 8 und2 y los vrtices son los puntos A(1, -2),

    B(2, 3) y el tener vrtice C esta en la recta 2x + y 2 = 0.

    Determinar las coordenadas del vrtice C.

    Solucin: Cmo:

    B(2, 3)

    A(1, -2)

    C(x, -2x + 2)

    L: 2x + y 2 = 0

  • MATEMATICA BASICA I

    104

    Se tiene:

    =+

    = 8

    111

    2232

    21

    21

    xxArea

    41

    ==

    yx

    x = (-1, 4)

    2) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por los vrtices del

    tringulo A (5, -4) B(-1, 3) C(-3, -2) y son paralelas a los lados

    opuestos.

    Solucin:

    Calculo de L1

    Cmo L1 // =____

    ABAB m mL1

    mL1 = mB-A = ( ) = = 3 4 7 7

    1 5 6 6

    Punto de paso: (-3, -2)

    Ecuacin L1 Ecuacin punto pendiente: + = +

    yx

    2 73 6

    B (-1, 3)

    A (5, -4) C (-3, -2)

    L1

    L3

    L2

  • MATEMATICA BASICA I

    105

    Se tendr: ( )+ = +y x72 36

    7x + 6y + 33 = 0

    Clculo de L2

    Como L2 // 2____

    ____ mLmBCBC

    = ( )( ) 4

    531

    23=

    == BCBC mm

    Ecuacin punto pendiente: yx

    + = 4 55 4

    Entonces: ( )5454 +=+ xy ;

    Es decir: 0945 =+ yx

    Clculo de L3

    Como L3 // 3____

    _____ mLmACAC

    = ( )

    41

    82

    5342

    ____ ==== CA

    ACmm

    Ecuacin punto pendiente: yx

    = +3 11 4

    Entonces: ( )1413 += xy

    x + 4y 11 = 0

    3) Dadas las ecuaciones de dos lados de un paralelogramo

    8x+3y+1=0; 2x+y-1=0 y la ecuacin de una de sus diagonales

  • MATEMATICA BASICA I

    106

    3x+2y+3 = 0; determinar las coordenadas de las vrtices de este

    paralelogramo.

    Solucin:

    Calculo vrtice A1 L1= L2: 8x + 3y + 1 = 0

    3x + 2y + 3 = 0

    Clculo vrtice B:

    L1 L3: 3x + 2y + 3 = 0 2x + 0y - 1 = 0

    Clculo vrtice C:

    L1 L3: 8x + 3y + 1 = 0 2x + y - 1 = 0

    Para calcular D: se recurre ________CBAD =

    ( ) ( ) ( )5,29,53,1____ +=+== CBACBAD D = (8, -17)

    L1: 3x + 2y + 3 = 0

    L2: 8x + 3y + 1 = 0

    L3: 2x + y - 1 = 0

    C

    B

    A

    D

    (x, y) = (1, -3)

    (x, y) = (5, -9)

    (x, y) = (-2, 5)

  • MATEMATICA BASICA I

    107

    4) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por los vrtices del

    tringulo A(-4, 3) B(6, -4) C (-8, -2) y son paralelas a los lados

    opuestos.

    Solucin:

    Calculo de L1:

    Como: L1 // ____AC mL = = +1

    2 3 58 4 4

    Ecuacin punto de paso pendiente: y y0 = (x x0)

    donde: (x0, y0) = (6, -4) mL1; 5/4

    ( ) 046456454 ==+ yxxy

    y (x ) x y+ = =54 6 5 4 46 04

    Calculo de L2:

    Como: L2 // ( )

    107

    6443

    2

    ____

    == mLBC

    ( )y x x y = + + + =72 8 7 10 36 010

    A(-4, 3)

    C(-8, -2) B(6, -4)

    L2

    L3

    L1

  • MATEMATICA BASICA I

    108

    Calculo de L3:

    Como: L3 // ( )

    71

    142

    6842

    3

    ____ === mLBC

    ( ) 017741013 =++= yxxy

    EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. Dado el tringulo de vrtices A(-2,5) , B(-6,-3) y C(4,7). Hallar el

    ngulo que forma la mediatriz del lado AB con la mediana trazada

    desde C.

    2. Hallar el radio de la circunferencia inscrita al tringulo issceles

    ABC sabiendo que A(-7,-1), B(5,4) y C(5,-6). R. 10/3 3. Tres rectas L1, L2 y L3 se interceptan en el punto M(-6,4). Si L1 y L2

    contienen los puntos (2,2) , (0,0) respectivamente y L2 es bisectriz

    del ngulo que hacen L1 con L3. Hallar la pendiente de L3. R. 3/2 , 19/2

    4. Encuentre los ngulos interiores del tringulo ABC cuyos vrtices

    son A(2,3), B(5,4) y C(6,1).

    5. Si P(3,6) y Q(3,4) son los puntos de triseccin del segmento AB,

    hallar el ngulo ACB donde C = (7,3).

    6. Hallar el rea del exgono regular inscrito en una circunferencia

    de radio 1.

  • MATEMATICA BASICA I

    109

    IV. RECTA Y CIRCUNFERENCIA 4.1 LA ECUACIN DE LA RECTA: DIVERSAS FORMAS DE SU

    ECUACIN Forma punto pendiente.

    La ecuacin de la recta L que pasa por el

    punto P0(x0,y0) y cuya pendiente es m

    esta dado por:

    L : y y0 = m(x - x 0)

    Forma pendiente-ordenada en el origen.

    La ecuacin de la recta L de pendiente m

    y que corta al eje Y en el punto P0(o,b)

    (siendo b la ordenada en el origen) est

    dado por L: y = mx + b.

    Forma cartesiana.

    La ecuacin de la recta que pasa por 2

    puntos P1(x1,y1) y P2(x2, y2) est dado por:

    1 2 1

    1 2 1

    y y y yx x x x

    =

  • MATEMATICA BASICA I

    110

    Ecuacin simtrica de la recta.

    La ecuacin de la recta L corta a los

    ejes coordenados X e Y en los puntos

    A(a,o) y B(o,b) est dado:

    L : y 1a b

    + =x

    4.2 ECUACIN GENERAL DE UNA RECTA.

    La forma general de la ecuacin de la recta L est dado por L :

    Ax + By + C = 0, A, B, C son constantes con la condicin que A, B

    y C no son simultneamente nulas.

    4.2.1 Observaciones:

    1. Si A = 0, B 0, C 0 CyB

    = , que es una recta // al eje x.

    2. Si A 0, B = 0, C 0 CxA

    = , que es una recta // al eje Y.

    3. Si A 0, B 0 A CyB B

    = x , que es la ecuacin

    de la recta con pendiente AmB

    = , sigue de las relaciones vistas:

    4.2.2 Consideremos 2 rectas:

    L 1: A1 x + B1y + C1 = O; L 2 : A2x + B2 y + C2 = 0

  • MATEMATICA BASICA I

    111

    las relaciones siguientes son condiciones necesarias y

    suficientes para:

    1. L1, sea paralela a L 2:

    L 1// L 2 1 12 2

    A BA B

    = en efecto: las pendientes

    deben ser iguales o: A A A BB B A B

    = =1 2 1 11 2 2 2

    2. L 1, sea perpendicular a L 2:

    L 1 L 2 A1A2 + B1B1 = 0 aqu las pendientes perpendiculares o:

    A B A A B BAB AB

    = = + =

    1 21 2 1 2

    21 2

    2

    10

    4.3 FAMILIAS DE RECTAS Todo conjunto de rectas que satisfacen una nica condicin

    geomtrica se llama familia de rectas o haz de rectas.

    Sean las rectas L 1 : = A1x , B1 y + C1 = 0 ,

    L 2 : = A2x , B2 y + C2 = 0 que se cortan en el punto P0(x0 , y0) = 0 . La familia de rectas. Que pasan por el punto

    de interseccin de L 1 y L 2 es L 1 + k L 2 = O; K se denomina

    un parmetro: es un valor constante para cada recta, variando de

    una recta a otra.

  • MATEMATICA BASICA I

    112

    En efecto:

    Si ( )x y y es el punto de interseccin de L1 y L2 tendremos: A x B y C yA x B y C

    + + =+ + =

    1 1 1

    2 2 2

    0

    0

    Luego, para cada valor de K, la recta:

    L1+KL2 = [A1 x + B1 y + C1 + K (A2 x + B2 y + C2)] =0

    pasar por ( )x,y puesto que:

    L KL A x B y C K A x B y C + = + + + + +

    1 2 1 1 1 2 2 2

    0 0

    0

  • MATEMATICA BASICA I

    113

    Ejemplos

    1. Dar la familia de rectas que pasan por el punto (2,2)

    Tomemos 2 rectas que se cortan en (2,2): sean y=x y y=2

    La familia solicitada puede darse por: y-x+K(y-2)=0

    2. Familia de rectas paralelas de pendiente 3:

    Daremos 2 rectas paralelas de pendiente 3 y con ellas

    formamos la familia pedida:

    y = 3x

    y = 3x + 2

    Estas dos rectas paralelas se intersectan en el , luego la familia pedida puede ser dada por:

    y - 3x + (y - 3x - 2) = 0

  • MATEMATICA BASICA I

    114

    Nota. En un sistema coordenado lineal la distancia no dirigida entre 2 puntos se define como el valor absoluto de la longitud del

    segmento rectilneo que une estos dos puntos.

    EJERCICIOS PARA RESOLVER 1) Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje y

    disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje x.

    Hallar la ecuacin del lugar geomtrico:

    Resp. x 2y 3 = 0

    2) Hallar la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se mueve

    de tal manera que la suma de sus distancia a los dos puntos A

    (3, 0) y B (-3,0) es siempre igual a 8.

    Resp. 7x2+ 16y2 = 112

    4.4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 4.4.1 La distancia no-dirigida de un punto

    Q(x0,y0) a una recta:

    L : Ax + By + C = 0 est dado por la frmula

    d (Q , L ) = 0 02 2

    A By C

    A B

    + ++

    x

  • MATEMATICA BASICA I

    115

    4.4.2 Observacin: Si dos rectas L 1 : = Ax + By + C = 0 ,

    L 2 : = Ax + By + D = 0

    Son paralelas entonces la distancia entre estas dos rectas,

    esta dado por:

    d (L 1, L 2) =2 2

    C D

    A B

    +

    Verifiquemnos en la forma siguiente:

    Distancia de un punto a una recta Preposicin 15: Si L: Ax + By + C = 0 es una recta y P1 = (x1; y1) es un punto de R2; entonces la distancia de P1 a L es:

    1 1

    2 2

    + +=+

    Ax By Cd

    A B

    Prueba:

    [: RQP1 d = PR.cos (porque)es un segmento vertical

    Como RL Ax1+By0+C=0

    y

    x1

    x

    R (x1; y0)

    P (x1; y1)

    d

    L: Ax + By + C = 0 Q

  • MATEMATICA BASICA I

    116

    Cmo B

    CAxByBCx

    BAyRP

    ++=++= 11111

    cos11B

    CAxByd

    ++=

    Ahora: BAtg = pero = (porque los lados de son

    perpendiculares a los lados de ) B

    ABAtg ==

    ; A > 0

    Tambin:

    Si B < 0 > 90 y cos > 0 0cos22

    >+

    =BA

    B

    Si B > 0 < 90 y cos > 0 0cos22

    >+

    =BA

    B

    Ax By CdA B

    + +=+

    1 1

    2 2

    A

    B

  • MATEMATICA BASICA I

    117

    EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2,4) y es

    perpendicular a la recta que pasa por los puntos (7,3) y (5,1).

    2. Los vrtices de un tringulo ABC son A(2,1) , B(4,7) y C(6,3).

    Hallar la ecuacin de sus lados.

    3. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por e