Matematica Basica
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MATEMÁTICA BÁSICA Federico Villarreal Universidad Nacional E uded Escuela Universitaria Educación a distancia GUÍA ACADÉMICA INGLÉS III CICLO CARLOS SALAS CHAN
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MATEMÁTICA BÁSICA
Federico VillarrealU n i v e r s i d a d N a c i o n a l
EudedEscuela Universitaria
Educación a distancia
GUÍA ACADÉMICA
INGLÉS III CICLO
CARLOS SALAS CHAN
Matemática I
[2]
I N D I C E
Página
Presentación……………………………………………………………….. 4
Introducción..………………………………….……………………………. 5
Orientaciones Generales del curso…………….…….………………...... 5
Cronograma…………………………………………….………………..... 6
Evaluación……………………………………………….…………...…...... 7
Medios y Recursos Didácticos……………………………………………. 8
Objetivos de la Asignatura………………………………………………… 8
PRIMERA UNIDAD: LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
1.1 Los Conjuntos Numéricos
1.1.1 El Conjunto de los Números Reales (R)………………… 10
1.1.2 Propiedades fundamentales de los Números Reales…… 12
1.1.3 Expresiones Algebraicas. Operaciones con Polinomios.. 14
1.2 Productos Notables. Factorización
1.2.1 Productos Notables……………………………………………… 18
1.2.2 Factorización de Polinomios………………………………….. 20
1.3 Expresiones Racionales
1.3.1 M.C.D. y M.C.M. de Polinomios…..………………………… 23
1.3.2 Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas……. 25
1.3.3 Adición de Fracciones Algebraicas………………….……. 27
1.3.4 Exponentes Enteros y Racionales………………….….... . 28
1.4 Expresiones Irracionales
1.4.1 Radicación y Leyes de Radicación……………..…………… 31
SEGUNDA UNIDAD: ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO
GRADO.
2.1 Ecuaciones de Primer y Segundo Grado con una variable
2.1.1 Ecuaciones de primer grado con una variable…….….. 33
Matemática I
[3]
2.1.2 Ecuaciones de segundo grado con una variable...…….. 37
2.2. Inecuaciones de Primer y Segundo Grado con una variable
2.2.1 Intervalo…………..…….………………………………….. 43
2.2.2 Inecuaciones de primer grado con una variable……… 46
2.2.3 Inecuaciones de segundo grado con una variable……. 48
2.3 Aplicaciones de las Ecuaciones e Inecuaciones………………... 52
TERCERA UNIDAD: MATRICES
3.1 Conceptos Básicos de Matrices
3.1.1 Definición, notación y orden. Matrices Especiales…….…. 58
3.2 Operaciones con Matrices
3.2.1 Adición y Sustracción de Matrices……...…………………. 62
3.2.2 Multiplicación de Matrices……….………………………….. 63
3.3. Matriz Inversa
3.3.1 Determinación de la Matriz Inversa…………………………… 67
CUARTA UNIDAD: DETERMINANTES
4.1 Determinación del valor del Determinante……………………....... 71
4.2 Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales………....….. 74
GLOSARIO………………………………………………………………….. ... 78
Matemática I
[4]
PRESENTACION
Matemática I
[5]
I N T R O D U C C I Ó N
No cabe duda de lo importante y valiosa que es la Matemática en la vida
cotidiana y profesional de cualquier persona, debido a que desde que el hombre tiene
uso de razón, utiliza esta ciencia para resolver de una manera más práctica y sencilla
toda clase de problemas, posibilitando el poder llevar una mejor organización en sus
actividades, buscando siempre el analizar, controlar y de una u otra forma llegar a
anticiparse a los hechos para así aminorar el riesgo de fracasar en la consecución de
los objetivos planteados. De otro lado si decimos que las funciones de todo
profesional de las ciencias de los negocios son la Planeación, Organización,
Integración de personal, Dirección y Control, podemos ver que en cada proceso se
aplican las matemáticas para la ejecución y desarrollo del mismo, lo que determina que
nuestra asignatura se convierta en una herramienta muy valiosa para dicho profesional.
Conociendo la teoría matemática podemos crear modelos matemáticos capaces
de administrar situaciones reales en la empresa. La creación de los modelos se orienta,
principalmente, hacia la solución de problemas que se presentan en la toma de
decisiones.
Para un estudiante de Administración de Empresas ha de ser algo muy esencial
el estudio de las matemáticas para la búsqueda de su principal objetivo, ser un
profesional capaz de enfrentarse a todos los cambios que está viviendo en el medio,
donde cada vez se hace más necesario el controlar las variables para luego tomar
decisiones acertadas, apoyado en gran parte por esta ciencia, las Matemáticas.
La Guía didáctica de Matemática I está organizada en cuatro unidades, cada
unidad está estructurada con sus respectivos objetivos, actividades, y preguntas de
autoevaluación. Además en la parte final de la guía se incluyen los solucionarios, los
cuales le permitirán al alumno poner en práctica lo aprendido en cada unidad.
En la primera unidad se presentan algunos conceptos y elementos con los
conjuntos numéricos especialmente el Conjunto de los números Reales. En la segunda
unidad se analiza las ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado. La tercera
unidad se centra el estudio de las matrices y las operaciones que se realizan con ellas.
Finalmente, en la cuarta unidad se desarrolla la teoría de los determinantes y su
aplicación en la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Esperamos que el texto constituya una guía efectiva y motive a la vez al estudio y la
dedicación adecuada que permita el logro de los objetivos. El uso de la guía requiere
ser complementada con en la profundización o ampliación de parte del alumno de los
temas contenidos en ésta con el texto base y manual de la EUDED.
Lic. Carlos Salas Chan
Matemática I
[6]
Orientaciones generales de estudio
El estudio en la modalidad que has elegido demanda un gran esfuerzo y mucha
dedicación además de responsabilidad y una buena organización.
Es por esta razón que al iniciar el estudio de nuestra asignatura me permito brindarte
algunas orientaciones buscando que se optimice tu rendimiento académico:
Busque un lugar donde se sienta cómodo para realizar la lectura de la guía didáctica así como del texto básico. En lo posible un lugar con claridad y libre de ruido.
Organice un horario de estudio en el que cada asignatura cuente con el tiempo necesario de acuerdo al grado de dificultad.
Realice una lectura comprensiva, utilizando técnicas como el subrayado, el uso de mapas conceptuales u organizadores visuales que le permitan identificar las ideas principales para reforzar los conocimientos.
Es recomendable realizar las actividades propuestas en la presente Guía Didáctica pues le permitirá verificar el logro de los aprendizajes.
Se ha optado por utilizar un texto de base para el estudio eligiéndose el libro:
Matemáticas para administración y economía de los autores Haeusssler y Paul porque
presenta aspectos importantes sobre la aplicación de la Matemática en la
administración. A este libro le denominamos Texto Básico N° 1
En la primera unidad debemos desarrollar el estudio de Los Conjuntos numéricos,
especialmente el Conjunto de los números Reales. Este tema lo podrá encontrar en el
capítulo 0 del texto básico 1.
En la segunda unidad estudiaremos las ecuaciones e inecuaciones lineales y
cuadráticas para lo cual analizaremos el capítulo 1y 2 del texto básico 1.
En la tercera unidad estudiaremos Las Matrices tema que se encuentra en el
capítulos 6 del texto básico 2.
En la cuarta unidad estudiaremos Los Determinantes que se desarrolla en los
capítulos 6 del texto básico 1.
Es importante precisar quela función de la Guía Didáctica es aclarar y reforzar los
temas tratados en el texto básico 1; por ejemplo encontrara la solución de algunos
ejercicios de cada tema propuestos en el texto básico, de esta manera esperamos
contribuir con el logro de los objetivos propuestos.
“ Si la gente no piensa que las Matemáticas son simples, es sólo porque no se dan
cuenta de lo complicada que es la vida” John Von Neumann
Matemática I
[7]
Tutorías
Las tutorías se desarrollaran mediante la programación de un calendario de tutorías. La tutoría será
presencial y virtual.
Cronograma
Tutorías presenciales
y virtuales
Cantidad de horas académicas
Horas
presenciales
Horas
virtuales
Primer mes
semana 1 2 2
semana 2 2 2
semana 3 2 2
semana 4 2 2
Segundo mes
semana 5 2 2
semana 6 2 2
semana 7 2 2
semana 8 2 2
Tercer mes
semana 9 2 2
semana 10 2 2
semana 11 2 2
semana 12 2 2
Cuarto mes
semana 13 2 2
semana 14 2 2
semana 15 2 2
semana 16 2 2
TOTAL
32 32
64 HORAS ACADEMICAS
Evaluación
El promedio final de la asignatura en la Modalidad Presencial – Virtual se obtiene aplicando los
siguientes pasos porcentuales:
Evaluación de trabajos interactivos (TI): (40%)
Evaluación parcial (IV): (20%).
Evaluación final (EF): (40%).
PF = TI (0,4) + IV (0,2) + EF (0,4)
Examen parcial será virtual y se realizará en la 8º semana; el examen final será presencial y se realizará
en la 16º semana y la presentación de un trabajo monográfico en la 16º semana del ciclo.
Matemática I
[8]
Medios y recursos didácticos
Texto Básico 1: (Capítulo 0, 1, 2, 6)
Hauessler Ernest. – Paul Richard (2003). Matemáticas para administración y economía. México: Pearson Educación Editores. Puedes encontrar este libro en la biblioteca virtual de google que es el siguiente enlace:
http://interesanteyutil.blogspot.com/2011/04/libro-de-matematicas-para-economia-y.html
Texto Básico 2: (Unidad III)
Mendo Mechan, Javier. Matemática I. (2012) Universidad Nacional Federico Villarreal. EUDED. Puede encontrar este libro en la plataforma virtual de EUDED
Textos complementarios
Salas, Carlos (2013). Guía Didáctica: Matemática I. EUDED. Puede encontrar esta guía en la plataforma virtual de EUDED
Plataforma virtual
Herramientas a emplearse en plataforma virtual: Foros, tareas, chat, enlaces, examen, elección, páginas, entre otros
Objetivos Generales
Conocer y aplicar los fundamentos teóricos de cada una de las unidades de la asignatura
Examinar la interdependencia entre el diseño organizacional y la estructura
organizacional
Desarrollar habilidades y destrezas de razonamiento para lograr manipular y
construir modelos matemáticos, que permitan resolver problemas de la vida
diaria y profesional del futuro administrador.
Los objetivos específicos se indicarán al inicio de cada unidad.
Matemática I
[9]
PRIMERA UNIDAD
CONJUNTOS NUMÉRICOS
OBJETIVOS ESPECIFICOS
1. Ejemplificar y representar el conjunto de los números reales y aplicar
eficazmente las propiedades fundamentales del algebra de los números reales
en la resolución de ejercicios.
2. Establecer diferencias en los distintos tipos de expresiones algebraicas y
polinomios, además realizar correctamente las operaciones de adición y
sustracción.
3. Aplicar los procesos de la multiplicación y división de polinomios así como
reconocer y desarrollar productos y cocientes notables.
4. Establecer semejanzas y diferencias en los distintos casos de polinomios
factorizables y aplicar correctamente el proceso de factorización de polinomios
enteros.
5. Aplicar los principios básicos de las fracciones en la adición, simplificación,
multiplicación y división de fracciones algebraicas.
6. Aplicar las leyes de los exponentes en la simplificación de expresiones que
contienen exponentes negativos, fraccionarios y con notación científica.
7. Aplicar las leyes de los radicales tanto en la simplificación de expresiones
irracionales como en la realización de las operaciones fundamentales con los
mismos
1.1 Los Conjuntos Numéricos
Matemática I
[10]
8.
9.
Lea detenidamente los fundamentos teóricos del tema en la página 2 del texto básico.
La lectura nos lleva a plantear el siguiente mapa conceptual que nos ayudará a
comprender mejor como está estructurado el conjunto de los números reales:
Así tenemos que los subconjuntos que forman el Conjunto de los Números Reales
son:
Los Números Naturales: N = { 1; 2; 3; 4; …. }
Los Números Enteros: Z = { …; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; … }
Los números Racionales: Q= Z U { x / x es una fracción }
Los números Irracionales: Q’ = { x / x no es una fracción }
En resumen podemos expresar que los números
naturales son los que nos permiten realizar el
1.1.1 El Conjunto de los Números Reales.
Matemática I
[11]
conteo, es decir empiezan en uno hasta el infinito, siempre positivos y enteros.
Dentro de los números enteros tenemos a todos los naturales además del cero y
los negativos. Los Racionales además de los enteros incluyen las fracciones
positivas y negativas; es importante advertir que el denominador no puede ser
cero, tampoco raíces inexactas. Los irracionales comprenden a las raíces
inexactas y toda expresión numérica cuya expresión decimal sea infinita no
periódica.
Por lo tanto el conjunto de los números Reales constituye la unión de los
números racionales y los irracionales: R = Q U Q’
A continuación vamos a resolver a manera de ejemplo algunas situaciones
problemáticas:
1. Indique a que conjunto numérico pertenecen los siguientes números:
– 2/7 Como es una fracción pertenece a los números racionales.
0/9 Al efectuar la división el resultado es cero, luego es un número entero.
La expresión corresponde a una raíz inexacta, luego es un número
irracional
Al resolver la raíz cuadrada, se obtienen 2 valores +9 y –9; por lo tanto
podemos afirmar que pertenece a los números enteros.
2. Dentro del paréntesis coloque V si la proposición es verdadera o F si la
proposición es falsa.
( F ) Todos número racional el entero
( V ) Los números naturales son un subconjunto de los reales.
( V ) Todo número irracional es real.
( F ) Todas la raíces inexactas son números racionales.
( V ) Los números racionales son un subconjunto de los enteros.
3. Dentro del paréntesis coloque el subconjunto de los números reales al que
pertenece cada número.
( Q ) –3/5
( N ) 135
( Z ) –10
( Q’ )
ACTIVIDADES
Matemática I
[12]
1. Escriba dentro del paréntesis una V si la proposición es verdadera y una F si es
falsa:
( ) Todas las fracciones no son números racionales.
( ) es un número irracional.
( ) Todo numero entero es real.
( ) 2/5 es un número real.
( ) Todos los números enteros también son naturales.
( ) es un número racional.
( ) 0/9 es un número irracional.
( ) es un número real.
( ) –5 > –2
( ) 0 no es entero
2. Resuelva los ejercicios impares de la página 3 del texto básico Nº 1
10.
Al revisar el texto básico desde la página 3 encontrará algunas propiedades de los
números reales, especialmente de la Adición y Multiplicación.
Conocer las propiedades de las operaciones te ayudará a resolver gran cantidad de
problemas cuantitativos que a su vez te permitirán entender mejor los modelos
matemáticos que se puedan crear o analizar.
Es importante saber diferenciar con precisión la propiedad para proceder a aplicarla
con corrección. Aquí presento algunos casos de aplicación de las propiedades básicas:
Propiedad conmutativa para la adición: 4 + 6 = 6 + 4
Propiedad conmutativa para la multiplicación: 5 . (3) = (3) . 5
Propiedad asociativa para la adición: (4 + 6) + 9 = 4 + ( 6 + 9 )
Propiedad asociativa para la multiplicación: (5 . 4) . 7 = 5 . ( 4 . 7 )
Propiedad del inverso aditivo: 5 + ( –5 ) = 0
Propiedad del inverso multiplicativo:
Propiedad distributiva: 5 ( 7 . 4 ) = 5 . 7 + 5 . 4
En la propiedad conmutativa no importa el orden
en el cual pueden ser sumados o multiplicados
dos o más números reales.
El la propiedad asociativa no interesa cuales
números se sumen o se multipliquen primero.
1.1.2 Propiedades fundamentales del Algebra de los Números Reales
Matemática I
[13]
El inverso aditivo es importante porque, nos permite convertir la sustracción en
adición [ a – b = a +(–b) ]. El inverso multiplicativo, permite convertir una división
en multiplicación [ a : b = a . b-1 ). Es importante indicar que el reciproco del 0 no
está definido.
La división entre cero no está definida.
La propiedad distributiva es muy necesaria para las operaciones algebraicas,
porque nos permite eliminar los paréntesis de una expresión.
A continuación vamos a resolver a manera de ejemplo algunas situaciones
problemáticas:
Resolver las operaciones indicadas en cada caso.
1. ( 34 ) ( 23 ) = (81) ( 8 ) = 648
2.
3.
4.
5.
6. Simplifique las siguientes expresiones:
7.
8.
9.
10.
ACTIVIDADES
I. Escriba dentro del paréntesis una V si la proposición es verdadera y una F si es
falsa:
1. ( ) 3 – 6 = 6 – 3 (propiedad conmutativa de la sustracción)
Matemática I
[14]
2. ( ) 3 (5 + 4 ) = 15 + 12 (propiedad asociativa de la adición)
3. ( ) 6 + (– 6) = 0 (propiedad del inverso aditivo)
4. ( ) (3) ( 1/3 ) = 1 (propiedad del inverso multiplicativo)
5. ( ) (propiedad conmutativa de la adición)
6. ( ) (propiedad distributiva).
II. Resuelva las siguientes operaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
III. Resuelva los ejercicios impares de la página 7 del texto básico Nº 1
Desde la página 18 del Texto Básico Nº 1 encontraras el tema a tratar y te vas a dar cuenta que trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Las expresiones algebraicas tienen como elementos básicos a los monomios. Un MONOMIO es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Por
ejemplo: donde el número que aparece multiplicando a las variables se denomina coeficiente, las letras son las variables y los exponentes son los grados relativos de las variables, si sumamos todos los exponentes obtenemos el grado absoluto del monomio. Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte
literal (incluyendo a los exponentes). Solo es posible sumar o restar monomios que son semejantes; a este procedimiento se denomina reducción de términos semejantes.
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un monomio. Realizar la adición o sustracción de dos o más polinomios consiste en formar un nuevo polinomio llamado suma que se obtiene al reducir los términos semejantes de los polinomios dados. Para multiplicar polinomios es importante aplicar la propiedad distributiva. Para dividir polinomio el método más adecuado es el de Ruffini.
1.1.3 Expresiones Algebraicas. Operaciones con Polinomios
Matemática I
[15]
Se denomina expresión algebraica a la
expresión resultante de combinar números,
representados por símbolos, mediante
operaciones de suma, resta, multiplicación,
división o extracción de raíces.
Existen dos procedimientos importantes en el manejo de las operaciones de suma y resta de polinomios: La eliminación de los signos de agrupación y la reducción de términos semejantes. La propiedad distributiva es una herramienta muy importante para multiplicar expresiones algebraicas. Para dividir un polinomio se puede utilizar el método de Rufini, de los coeficientes separados
A continuación vamos a resolver a manera de ejemplo algunas situaciones
problemáticas:
Simplifique las siguientes expresiones:
1.
2.
3.
4.
5.
6. Realizar la siguiente suma de polinomios:
7. Realizar la siguiente resta de polinomios
8. Realizar la siguiente división (10x2 - 5 - 3x4 + 2x3) : (x + 2)
Se ordena y completa el polinomio dividendo: -3x4 + 2x3 + 10x2 + 0x – 5
Tomamos los coeficientes del dividendo y el término independiente del
polinomio divisor, con el signo "cambiado": -2 y los colocamos en el
siguiente formato:
Matemática I
[16]
–3 2 10 0 –5 –2
6
–3 8
Se baja el primer coeficiente (–3); luego se multiplica por el divisor –2
el resultado se coloca debajo de 2 y se suman las dos cantidades (8).
Este resultado se vuelve a multiplicar por el divisor (–2), se coloca
debajo de 10 y se suma. El procedimiento sigue igual hasta multiplicar el último
coeficiente quedando la tabla de la siguiente forma:
–3 2 10 0 –5 –2
6 –16 12 –24
–3 8 –6 12 –29
Luego el cociente es -3x3 + 8x2 - 6x + 12 y el Resto: -29
9. Multiplique los siguientes polinomios:
ACTIVIDADES
1. Dados los polinomios:
Matemática I
[17]
Calcular:
a) P(x) + Q (x) =
b) P(x) − U (x) =P(x) + R (x) =
c) 2P(x) − R (x) =
d) S(x) + T(x) + U(x) =
2. Multiplicar:
a)
b)
c)
d)
e)
3. Dividir:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4. Halla el resto de las siguientes divisiones
a)
b)
c)
5. Resuelva los ejercicios impares de la página 22 del texto
básico Nº 1
1.2.1 Productos Notables
1.2. Productos Notables. Factorización
Matemática I
[18]
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas y cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
PRODUCTO NOTABLES
Cuadrado de Binomio (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2
Suma de un Binomio por su diferencia (a + b) x (a – b) = a2 – b2
Producto de Binomios con término común (x + a) x (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Cubo de Binomios (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3 a2 b + 3 ab2 - b3
A continuación vamos a resolver a manera de ejemplo algunos ejercicios en los que se
apliquen las relaciones estudiadas
Resolver los siguientes productos notables o especiales:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Los principales productos notables o especiales son:
El cuadrado de un Binomio que se puede presentar como una suma o como una diferencia para su solución se utiliza las siguientes fórmulas:
Matemática I
[19]
El cubo de un binomio, que se puede presentar como una suma o como una diferencia para su solución se utiliza las siguientes fórmulas:
El producto de una suma por su diferencia, se aplica la siguiente relación:
Producto de dos binomios que tiene un término común, se aplica:
El producto de dos binomios lineales que tiene la variable común:
Es importante recordar que para resolver correctamente los ejercicios debemos tener en cuenta la propiedad distributiva:
ACTIVIDADES
I. Resolver los siguientes productos notables o especiales:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
II. Resuelva los ejercicios impares de la página 23 del texto básico Nº 1
1.2.2 Factorización de Polinomios
Matemática I
[20]
Hemos visto el problema de encontrar el producto dado los factores. El proceso inverso
de encontrar los factores, dado el producto, se denomina factorización, las reglas de
la factorización la encuentras en la página 23 del texto básico Nº 1. Se llaman factores
de una expresión algebraica aquellos que multiplicados entre sí dan como resultado
expresión algebraica inicial.
Es importante, antes de empezar a resolver los ejercicios, precisar los siguientes
términos básicos:
Factorizar un polinomio consiste, en transformarlo en producto de dos o más
polinomios de grado inferior al polinomio dado.
Factorizar completamente un polinomio, se trata de descomponerlo en factores primos.
Cuando un polinomio no puede descomponerse en factores, se dice que es primo.
Los casos importantes de factorización son:
Factor Común; existe cuando en todos los términos de un polinomio se repiten una o
más letras, o los coeficientes numéricos contienen algún factor que es común para
todos ellos. Veamos algunos ejemplos:
En este caso se ha tomado el coeficiente numérico menor que es 3, porque está
contenido exactamente en los otros coeficientes, y las letras x e y de menor
exponente.
En este caso se toma como factor común la expresión (x –5) porque se repite en
los tres términos del polinomio.
Suma o diferencia de potencia iguales; se presentan los casos de diferencia de
cuadrados y suma y diferencia de cubos. (Es importante aclarar que no existe
factorización para suma de cuadrados). Veamos algunos ejemplos.
Como puedes observar corresponde a la relación contraria del producto especial
de la suma por su diferencia.
Como puedes observar corresponde a una suma de cubos
Como puedes observar corresponde a una diferencia de cubos
Factorización de trinomios cuadrados perfectos corresponden a la relación contraía
al producto especial suma o diferencia de cuadrados. Por lo tanto podemos aplicar las
dichas relaciones. Veamos algunos ejemplos;
Matemática I
[21]
Trinomios de la forma:
Estos trinomios son el resultado del producto especial:
Para resolverlos tenemos que encontrar los números que sumándolos dé el término en
x y multiplicándose den el término independiente .Veamos ejemplos:
Trinomios de la forma:
Estos trinomios son el resultado del producto especial;
Ejemplos
Los principales casos de factorización son: Factor común, en los que se aplica la propiedad distributiva (en forma inversa)
Trinomio cuadrado perfecto:
Diferencia de cuadrados:
Suma de cubos:
Diferencia de cubos: )
A continuación vamos a resolver algunos ejemplos donde se apliquen las fórmulas
estudiadas
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
Matemática I
[22]
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
ACTIVIDADES
I. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
II. Resuelva los ejercicios del la página 25 del texto básico
Matemática I
[23]
Desde la página 26 del texto básico Nº 1 se trata el tema de las expresiones algebraicas. Siendo de mucha importancia para las operaciones que se estudiarán posteriormente calcular el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de monomios procedemos a dar una explicación de cómo se realizan dichos cálculos. Para calcular el MCD en primer lugar establecemos el MCD de los coeficientes, luego se escribe la o las letras que se repiten en todas las expresiones y que tienen el menor exponente. Veamos ejemplos. Calcular el máximo común divisor de:
Para calcular el mínimo común múltiplo (MCM) de monomios, primero se determina el MCM de los coeficientes, luego se escribe las letras con su mayor exponente así no se repitan en todas las expresiones. Veamos ejemplos Calcular el mínimo común múltiplo de:
Cuando se trata de polinomios primero se factoriza y luego se procede de manera similar a lo explicado anteriormente. Veamos el siguiente ejemplo:
Hallar el MCD y MCM de: Primero factorizamos cada expresión:
Luego el MCD es: y el MCM es
Para determinar el máximo común divisor de
polinomios se descomponen cada uno de los
polinomios dados en sus factores primos. El
MCD es el producto de los factores comunes
con su menor exponente.
Para determinar el mínimo común múltiplo se descompone cada uno de los
polinomios en factores primos y se toman todos los factores (comunes o no) con
los mayores exponentes
1.3 Expresiones Racionales
1.3.1 Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de Polinomios
Matemática I
[24]
A continuación vamos a resolver algunos ejemplos donde se apliquen el tema
estudiado:
Determinar el MCD y el MCM de los siguientes polinomios
1.
El MCD de los coeficientes es 2, de la parte literal es x y z (menores exponentes).
Por lo tanto el MCD de las tres expresiones es:
El MCM es
2.
El MCD es:
El MCM es:
3.
Se factoriza cada una de las expresiones
El MCD es:
El MCM es:
4.
Factorizamos los polinomios
El MCD es:
El MCM es:
5.
Factorizamos las expresiones:
El MCD es:
El MCM es:
Matemática I
[25]
ACTIVIDADES
Determinar el MCD y el MCM de los siguientes polinomios
1.
2.
3.
4.
5.
A partir de la página 28 encontramos que para multiplicar o dividir fracciones
polinómicas basta que tengas en cuenta como se multiplican y dividen las fracciones
en general. Además debes recordar, respecto a la parte literal, que, para multiplicar
potencias de la misma base se suman los exponentes y para dividir se restan, es
suficiente.
Para multiplicar o dividir fracciones formadas por
polinomios es conveniente Factorizar primero
para proceder a una simplificación que permitirá
realizar la operación de manera más fácil.
Es importante repasar el tema anterior.
A continuación vamos a resolver algunos ejemplos donde se apliquen la multiplicación
y división de fracciones algebraicas
Simplifique las siguientes expresiones
1.3.2 Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas
Matemática I
[26]
1.
2.
3.
4. Se aplica la propiedad distributiva, se factoriza y simplifica.
Realizar las siguientes operaciones:
5.
6.
7.
8. Como puedes observar en este ejercicio primero se ha factorizado para poder
simplificar, luego se procede a realizar el producto.
ACTIVIDADES
I. Resolver las siguientes operaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
II. Resolver los ejercicios 1, 3 y 5 de la página 31 del texto básico Nº 1
Matemática I
[27]
Para realizar la adición o sustracción de fracciones algebraicas se aplica los principios
estudiados en la adición y sustracción de fracciones en general y lo explicado en la
página 28 del texto básico Nº 1
Al sumar o restar fracciones algebraicas s debe
tener en cuenta que:
Se simplifican las fracciones si es necesario.
Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores, para determinar el
común denominador.
Se divide el mínimo común denominador entre cada denominador y se
multiplica por el numerador respectivo.
Se simplifica la fracción.
A continuación vamos a resolver algunos ejemplos de adición de fracciones
algebraicas
1.
2.
3.
4.
5.
1.3.3 Adición de Fracciones Algebraicas
Matemática I
[28]
ACTIVIDADES
Resolver las siguientes operaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
Para resolver ejercicios de radicales es importante que estudie las leyes de exponentes
de la página 15 del texto básico nº 1
Es conveniente que memorices las leyes de
exponentes, que se han recordado en la
explicación del tema.
Es importante indicar que si la base es un
número negativo y la potencia es n>1 el signo del resultado de la potencia va a
depender de n. Si n es par el signo será positivo y si n es impar el valor de la
potencia será negativo.
Otro aspecto importante que destacar es que la expresión es una
indeterminación.
A continuación vamos a resolver algunos ejemplos de aplicación de la teoría de
exponentes
Simplificar las siguientes expresiones
1.3.4 Exponentes Enteros y Racionales
Matemática I
[29]
1. Efectuar:
2. Calcular:
"2n" veces
"n" veces
x.x.x. .... .xM
x.x. ... .x
3. Simplificar:
4. Reducir:
M = 2
4 x 2 3
2 2 2 x
(3 ) .(3 )
(3 ) .(3 )
5. Reducir: E =
n 3 n 2 n
n
5 5 5
5
6. Efectuar: E =
2 2x 1 3
4x 7 x 2
7 .4 .8
64 .2 16 .32
Matemática I
[30]
ACTIVIDADES
1. Simplificar: E =
5 3
4 3
x y x
y x
2. Señalar el exponente final de “x” en:
E =
52 4 3
23 4 2
x x (x )
(x ) x x
x 0
3. Calcular:
4 n n 2
3n 1 2 3n
7 .7
7 .7
4. Calcular:
23 2 3 2 2 3(4 ) .2 .8 .(2 )
5. Indicar el exponente de “x” luego de reducir:
E =
42
3
3 43 ( 2)
x
; x 0
x x .x
6. Simplificar:
15 10 9 5 10 11
20
a xb xc xa xb xc
(abc)
Matemática I
[31]
Para resolver ejercicios de radicales es importante que estudie las leyes de los
radicales de la página 15 del texto básico
A continuación vamos a resolver algunos ejemplos simplificación de radicales.
Simplificar aplicando las leyes de radicales
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Realizar las siguientes operaciones:
7.
8.
9.
10.
ACTIVIDADES
Simplificar aplicando las leyes de
radicales
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Realizar las siguientes operaciones:
7.
8.
9.
10.
1.4 Expresiones Irracionales
1.4.1 Radicación y Leyes de Radicales
Matemática I
[32]
AUTOEVALUACIÓN N° 1
1. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?
a) es un número real.
b) es la propiedad asociativa de la suma.
c) es un monomio.
d) es la aplicación de la distributividad.
e) La división entre cero no está definida.
2. Determinar el máximo común divisor de:
3. Simplificar:
4. Resolver:
5. Simplifique la respuesta en términos de exponentes positivos:
Matemática I
[33]
SEGUNDA UNIDAD
ECUACIONES E INECUACIONES
DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
OBJETIVOS ESPECIFICOS
1. Aplicar los principios de transformación de ecuaciones equivalentes en la
resolución de ecuaciones de primer grado para resolver problemas prácticos.
2. Aplicar los principios para la solución de inecuaciones de primer grado.
3. Aplicar los principios para la solución de ecuaciones de segundo grado.
4. Aplicar los principios para la solución de inecuaciones de segundo grado.
5. Identificar los tipos de ecuaciones y dar solución favoreciendo el aprendizaje
eficaz con economía de tiempo y esfuerzo.
6.
A partir de la página 36 del Texto Básico Nº 1 encontraremos el estudio de las
ecuaciones. Antes debemos recordar algunas ideas elementales estudiadas a nivel
escolar.
ECUACIÓN es una igualdad en la que hay una o más cantidades literales desconocidas llamadas incógnitas.
Ejemplos: a) 12 + x = 20 b) 3x + 5y = 6 c) 4x + 3y + 2z = 12 d) x3 + 2y2 = 18 Las incógnitas, en general, se representan por las letras minúsculas: x ; y ; z ; w ; etc.
El grado de una ecuación con una incógnita está determinado por el mayor exponente de dicha incógnita. Ejemplos:
Ecuación dada Incógnita Grado de la ecuación
2.1 Ecuaciones de Primer y Segundo
Grado con una Variable
2.1.1 Ecuaciones de primer grado con una variable
Matemática I
[34]
7x-6 = 5x+4 x Primer grado
5y2+2y = 10 y Segundo grado
2z3-4z2+6z + 6 z Tercer grado
Miembros de una Ecuación
Como toda ecuación es una igualdad de dos expresiones, comúnmente se llama primer miembro de la ecuación a lo que está a la izquierda del signo igual y segundo miembro a lo que está a la derecha, cada miembro de la ecuación puede constar de uno o más términos.
El procedimiento para encontrar el valor que satisface dicha igualdad se llama resolución de la ecuación.
TRANSPOSICION DE TERMINOS
REGLA 1 Si un elemento esta “sumando” pasa a restar’ y si esta “restando, pasa a sumar”. Es decir, podemos trasladar un término de un miembro al otro, con solo cambiar el signo de sus coeficientes. Ejemplo:
4x-5 =3x+13 4x-3x = 13+5 x = 18
REGLA 2
Si un elemento esta “multiplicando”, entonces se despeja pasando a dividir; y si está dividiendo, pasa a multiplicar. Ejemplos:
COMO RESOLVER UNA ECUACION DE PRIMER GRADO
Para esto aplicamos el siguiente procedimiento:
1. Suprimimos signos de colección o agrupación. 2. Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro. 3. Hacemos transposición de términos, escribiendo los que son independientes
en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la ecuación.
4. Volvemos a reducir términos semejantes. 5. Despejamos la incógnita.
3x 27
27x
3
x 9
x5
3
x 5(3)
x 15
Matemática I
[35]
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 7x – (2x–6) = (x+1) – (3x+2)
Solución:
PASO 1.- Suprimimos signos de colección: 7x – 2x + 6 = x + 1 – 3x – 2 PASO 2.- Reducimos términos semejantes en cada miembro: 5x + 6 = –2x –1 PASO 3.- Por transposición de términos:
5x + 2x = –6 –1 PASO 4.- Volvemos a reducir términos semejantes en cada miembro:
7x = –7 PASO 5.- Despejamos “x” x = –7/7 .
Por lo tanto la respuesta es: x = –1
Para resolver ecuaciones lineales es necesario
realizar operaciones en ella. Estas operaciones
deben realizarse correctamente, ya que si hay
errores estaremos transformando la ecuación
inicial en otra que no es equivalente.
Recordamos que dos ecuaciones son equivalentes cuando tiene exactamente
las mismas soluciones.
Revise en la página 37 del texto básico las tres operaciones que garantizan la
equivalencia.
A continuación vamos a resolver algunos ejemplos de resolución de ecuaciones.
Resolver las siguientes ecuaciones:
1. 12x - 7 = 23
Solución
12x = 23 + 7
12x = 30
30 5
12 2x
Matemática I
[36]
2. 4 3 5 4 3
75 2 4
x x
Solución
Para resolver esta ecuación es conveniente convertirla a entera, para lo cual hallamos el m. c. m. de los denominadores, en nuestro ejemplo es 20; luego dividimos el m. c. m. entre cada denominador y multiplicamos por los numeradores, de la siguiente manera:
4 (4) – 10 (3x – 5 ) = 20 (7) – 5 (4 – 3x ) Luego resolvemos la ecuación lineal que resulta: 16 – 30x + 50 =140 – 20 + 15x Transponemos términos: 16 + 50 +20 – 140 = 15x + 30x – 54 = 45x
54
45x
6
5x
3. 23 5 17 (3 5)( 4)x x x x
Solución
Para resolver esta ecuación efectuamos primero el producto notable 2 23 5 17 3 7 20x x x x
Observamos que se elimina el término cuadrático 3x2 luego la ecuación es de primer grado, y se resuelve
5 17 7 20x x
20 17 7 5x x
3
12x
1
4x
4. 4( 10) 6(2 ) 6x x x
Solución:
2 2 3 6 6
2 3 6 2 6
2 2
1
x x x
x x x
x
x
5. 2( 1) 3( 2) 6x x x
Solución:
4 40 12 40
4 28
7
x
x
x
ACTIVIDADES
I. Resolver las siguientes ecuaciones lineales:
1. xxxx 54622543
Matemática I
[37]
2. xxxx 105142659910
3. )37(3)4)(4()5( 2 xxxx
1422335
10xx
x
4.
2
68
3
6123
xxx
II. Resuelva los ejercicios impares de la página 42 del Texto Básico Nº 1
Lo referente a las ecuaciones de segundo grado con una variable lo podrás encontrar a partir de la página 47 del Texto Básico Nº 1. Sin embargo es necesario recordar algunos conceptos elementales.
Una ecuación de segundo grado llamada también cuadrática es una ecuación polinomial donde el mayor exponente es igual a dos. Generalmente la expresión se refiere al caso más común en que sólo aparece una incógnita y que puede expresarse en la forma canónica:
Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma a x2 + b x + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero. Ejemplos: x2 - 9 = 0;
X2 - x - 12 = 0; 2 x2 – 3 x - 4 = 0
La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. A continuación explico algunos métodos importantes: Factorización:
2.1.2 Ecuaciones de segundo grado con una variable
Matemática I
[38]
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:
1) 2 4 0x x
Factorizamos por factor común: ( 4) 0x x
Cuando el producto de dos factores es igual a cero, uno de ellos o los dos debe ser iguales a cero, luego 0 ( 4) 0 4x x x
2) 2 4 12 0x x
Factorizamos por la regla del aspa simple:
( 6)( 2) 0x x
6 2x x
3) 212 17 6 0x x
Factorizamos por la regla del aspa simple:
(3 2)(4 3) 0x x
32 3 4
x x
Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque
este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos. Raíz cuadrada:
Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación. Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es
equivalente a Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz cuadrada:
1) 2 9 0x
2 9 9 3x x x
2) 22 1 0x
2 1 1 1 2
2 2 22x x x x
3) 2( 3) 8x
( 3) 8 3 8x x
La ecuación no tiene respuesta real, es decir x R Completando el cuadrado:
x k .
Matemática I
[39]
Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:
x2 + bx + ?
Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son x2 + bx es :
Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación. Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado:
1) 2 6 7 0x x
2
2
6 9 7 9
( 3) 2
x x
x
3 2x
3 2x
2) 2 10 5 0x x
2
2
10 25 5 25
( 5) 20
5 20
5 2 5
x x
x
x
x
3) 22 3 4 0x x
2
2
2 3 4 0; dividimos la ecuación entre 2
32 0
2
x x
x x
2
2
3 9 92
2 16 16
3 32 9
4 16
3 41
4 16
x x
x
x
x bxb2
2
2.
Matemática I
[40]
3 41
4 4x
Fórmula cuadrática: La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:
La expresión:
Conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla
a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.
Valor de:
Tipo de solución
positivo dos soluciones reales
cero una solución real
negativo dos soluciones imaginarias
Ejemplos:
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática:
1) 2 8 6 0x x
8 64 4(1)(6)
2(1)x
8 40 8 2 10 2( 4 10)
2 2 2x
4 10x
2) 29 6 1 0x x
6 36 4(9)(1)
2(9)x
6 0 6 0 6
18 18 18x
xb b ac
a
2 4
2.
b ac2 4
b ac2 4
Matemática I
[41]
1
3x
3) 25 4 1 0x x
( 4) 16 4(5)(1) 4 4
2(10) 20x
Luego: x R
Como hemos observado existen diversos métodos para resolver una ecuación de segundo grado o cuadrática. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver.
Es importante aclarar que el método de factorización por el aspa simple, no siempre se puede aplicar, ya que, no todas las expresiones son factorizables en cambio cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la formula general. Como nuestro conjunto de trabajo es el Conjunto de los Números Reales, es importante precisar que cuando la expresión, llamada discriminante, que en la fórmula está dentro de la raíz cuadrada es menor que cero ( b2 – 4 a c < 0 ) las raíces de la ecuación no pertenecen a dicho conjunto, porque son imaginarias.
ACTIVIDADES
I. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1. Por factorización
Matemática I
[42]
2 7 12 0x x
2 30 0x x
22 11 12 0x x
26 7 5 0x x
2. Por raíz cuadrada
2 49 0x
23 75 0x
24 25 0x
23 64 0x
3. Completando cuadrados
2 8 3 0x x
2 10 5 0x x
22 5 6 0x x
23 9 7 0x x
4. Por fórmula
25 8 2 0x x
27 11 4 0x x
2 1 0x x
23 10 3 0x x
II. Resolver los ejercicios impares del 11 al 29 de la pagina 53 III. Resolver los ejercicios impares del 31 al 39 de la página 53 IV. Resolver los ejercicios impares del 45 al 53 de la página 53 V. Resolver los ejercicios impares del 55 al 73 de la página 54
2.2 Inecuaciones de Primer y
Segundo Grado con una variable
Matemática I
[43]
El tema a desarrollar se encuentra a partir de la página 73 del Texto Básic0 Nª 1. Pero
es necesario recordar con más precisión los conceptos básicos de intervalos
estudiados en la etapa escolar.
INTERVALO Es aquel subconjunto de los números reales (R), cuyos elementos “x” están comprendidos entre los extremos a y b; siendo estos también números reales que pueden estar o no incluidos en el intervalo. Clases de intervalos INTERVALO ABIERTO.- Se llaman intervalo abierto, al subconjunto de números reales, comprendidos entre a y b; en donde los extremos no pertenecen al intervalo. El intervalo abierto se representa: <a; b> o ]a; b[. Gráficamente:
x <a; b> a < x < b.
Ejemplo: Representa gráficamente: x <-1;4>
INTERVALO CERRADO.- Se llama intervalo cerrado, al subconjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluyendo a y b. El intervalo cerrado se presenta: [a; b]. Gráficamente:
x [a; b] a x b.
Ejemplo: Representar gráficamente: x [-4; 2].
INTERVALOS MIXTOS.- Los intervalos mixtos pueden ser:
5. Intervalo cerrado a la izquierda y abierto a la derecha. Es el subconjunto de los número reales “x” comprendidos entre a y b, sin incluir el extremo b, sin incluir el extremo b, se representa: [a; b> o [a; b[.
Gráficamente:
2.2.1 Intervalos
Matemática I
[44]
x [a; b> a x < b.
Ejemplo: Representar gráficamente: x [-3; 3>.
6. Intervalo cerrado a la derecha y abierto a la izquierda. Es el subconjunto de los números reales “x” comprendidos entre a y b, sin incluir el extremo a, se representa: <a; b] o ]a; b]. Gráficamente:
x <a; b] a < x b
Ejemplo: Representar gráficamente: x <-2; 1].
7. Intervalo cerrado en “a” por la izquierda.- Es el subconjunto de los números reales “x” mayores o iguales que a; se
representa: [a; + > o [a; + >. Gráficamente:
x [a; > a x < + .
Ejemplo: Representar gráficamente: x [-2; + >.
8. Intervalo abierto en “a” por la izquierda.- Es el subconjunto de los números reales “x” mayores que a, se representa:
<a; + > o ]a; + [. Gráficamente:
x <a; + > o ]a; + [
Matemática I
[45]
Ejemplo: Representar gráficamente: x <-1; + >.
9. Intervalo cerrado en b por la derecha Es el subconjunto de los números reales “x” menores o iguales que b, se
representa: <- ; b] o ]- ; b]. Gráficamente:
x <- ; b] - < x b.
Ejemplo: Representar gráficamente: x <- ; 4]
10. Intervalo abierto en “b” por la derecha.- Es el subconjunto de los números reales “x” menores que b, se representa:
<- ;b> o ]- ; b[. Gráficamente:
x <- ; b> - < x < b.
Ejemplo: Representa gráficamente: x <- ; 2>
11.
12.
Ubicación en el Texto Básico: Desde la página 70
2.2.2 Inecuaciones de primer grado con una variable
Matemática I
[46]
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Son aquellas de la forma:
ax + b > 0 ; ax + b < 0
ax + b 0 ; ax + b 0 donde a 0
PASOS A SEGUIR PARA RESOLVER UNA INECUACION
Resolver una inecuación es hallar su conjunto solución, esto es, el conjunto de todos
los valores de “x” que convierten el enunciado en una proposición verdadera.
Para resolver una inecuación de primer grado seguimos los siguientes pasos:
Se suprimen los signos de colección, si los hay
Se reduce la inecuación al común denominador, si es fraccionaria
Se reúnen las incógnitas en el primer miembro y los demás en el segundo miembro
Se reúnen los términos semejantes, si los hay
Se despeja la incógnita
Ejemplo: 3x-7 < 11 – 3x
3x + 3x < 11 + 7
6x < 18
x < 3
x < - , 3 ]
Matemática I
[47]
Es muy importante recordar las reglas para las desigualdades:
o Si un mismo número se suma o se resta en ambos lados de una desigualdad, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original.
o Si a ambos lados de una desigualdad se multiplica o divide por el mismo número positivo la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original.
o Si a ambos lados de una desigualdad se multiplica o divide por el mismo número negativo la desigualdad resultante tendrá el sentido contrario de la original.
o Cualquier lado de una desigualdad puede reemplazarse pór una expresión equivalente a ella.
o Si los lados de una desigualdad son ambos positivo o negativos, entonces sus recíprocos respectivos estarán relacionados por un símbolo de desigualdad con sentido contrario a la desigualdad original.
o Si ambos lados de un desigualdad son positivos y elevamos cada lado a la misma potencia positiva, entones la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original
A continuación vamos a resolver algunos ejemplos inecuaciones.
Resolver las siguientes inecuaciones
1. 8x – 9 < 21 – 7x
Solución:
2. 15x < 30
x < 2 < – ∞ ; 2 >
3. 3x – 8 < 5(2x – 3)
Solución:
3x – 8 < 10x –15
15 –8 < 10x –3x
7 < 7x
1 < x < 1; ∞ >
Matemática I
[48]
4. 1 (x+5)(x-2) – (x-1)(x+3)
Solución:
1 > x2 + 3x –10 – (x2 + 2x– 6 )
1 > x – 4
5 > x <- ∞; 5 >
5. Resolver:
x x 5
3 2 Solución:
2x > 3x + 15
– 15 > x <– ∞; –15 >
6. - (x+3) < 3x + 5 < x + 13
Solución:
–x –3 < 3x + 5 ⋀ 3x + 5 < x + 13
–8 < 4x ⋀ 2x < 8
–2 < x ⋀ x < 4
< –2; ∞ > ∩ < –∞ ; 4 > <–2; 4 >
ACTIVIDADES
I. Resolver las siguientes inecuaciones
1. 5x – 2 < 2x + 10
2. 3x – 4 < 2x + 6
3. 2(x+1) + 7 ≤ 17
4. 21x – 20 > 20x – 21
5. 123 – 321x ≥ 122 – 320x
6. 8 + 9x + 10 < 11 + 12x + 13
7. –2 –3x –4 ≥ -5 –6x –7
Para resolver una inecuación de segundo grado usaremos un método compuesto por una serie de pasos a seguir. Una de las cosas que se nos hará falta para este método es recordar cómo se resuelve una ecuación de segundo grado Puede ser que tengamos dos, una o ninguna solución en función del valor Método a seguir para la resolución:
2.2.3 Inecuaciones de segundo grado con una variable
Matemática I
[49]
Dada la inecuación, hacerle los cambios adecuados hasta dejar un cero en uno de los lados de la inecuación, consiguiendo una expresión de cualquiera de los siguientes tipos:
ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c > 0
donde los valores b y c son números reales que pueden ser positivos o negativos incluso cero y a es un valor positivo. En caso de encontrar un valor de a negativo, multiplicaremos por (−1) toda la inecuación, cambiando así el signo de a (y en consecuencia, el signo de los demás términos y el orden de la desigualdad). Buscaremos las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0, inducida por la inecuación, estos valores se denominan puntos críticos y servirán para hacer el análisis correspondiente.
Ejemplo:
Resolver: x2 – x – 6 0
Factorizando: (x – 3)(x + 2) 0
Respuesta: x [ –2 ; 3 ]
Luego, si P(x) 0 se tomarán los intervalos (+) y si P(x) 0 se tomarán los intervalos negativos.
Para resolver una inecuación cuadrática por el
método de los puntos críticos se procede de la
siguiente manera:
1. Se hace los cambios adecuados para que uno de los miembros de la
desigualdad se cero
2. Se determinan los puntos críticos resolviendo la ecuación inducida por la
inecuación que estamos resolviendo.
3. Se ubican los valores de los puntos críticos en la recta numérica real, de
tal manera que eta queda dividida en tres intervalos a los cuales se les
asigna de derecha a izquierda los signos ( + ) y ( – ) en forma alternada
4. Luego; para dar el conjunto solución de la inecuación aplicamos el
siguiente criterio:
Si P(x) 0 se tomarán los intervalos (+) y si P(x) 0 se tomarán los intervalos
negativos
A continuación vamos a resolver algunos ejemplos de resolución de ecuaciones.
Matemática I
[50]
Resolver las siguientes ecuaciones:
1. x2 − 6x + 8 > 0 Resolvemos la ecuación correspondiente para determinar los puntos críticos: x2 − 6x + 8 = 0
P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0 P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0 P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
CS = (-∞, 2) (4, ∞)
2. x2 + 2x +1 = 0
Determinamos los puntos críticos
(x + 1)2 ≥ 0 Todo número elevado al cuadrado es mayor o igual que cero.
Por lo tanto el conjunto solución es: CS =
3. 4x2 –16 ≥ 0
Determinamos los puntos críticos
P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0 P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0 P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0
Matemática I
[51]
CS = (-∞ , −2] [2, +∞)
4. 7x2 + 21x − 28 < 0 Simplificamos y hallamos los puntos críticos de: x2 +3x − 4 < 0
x2 +3x − 4 = 0
P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0 P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0 P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0
CS = < −4, 1 >
ACTIVIDADES
I. Resolver las siguientes inecuaciones cuadráticas y dar el intervalo solución
1. x2 + 10 7x
2. x2 – 3x – 10 < 0
3. x(x-1) > 6
4. (x-3)(x+2) (x+6)(x+3)
5. (2x+5)2 (x+4)2
6. -x2 + 7x ≥ 0
Matemática I
[52]
Lo más importante en el estudio de la matemática es establecer cómo se aplican
dichos conocimientos en los problemas que tienen incidencia con la rama profesional
en la que nos estamos preparando. En nuestro caso daremos una muestra de cómo los
conceptos estudiados en esta unidad se aplican a la administración.
En nuestro texto básico hay una cantidad importante de problemas aplicados a
situaciones administrativas que se encuentran en las siguientes paginas 42; 43; 47;
54, 55; 66, 67, 68, 78
Lo más importante es resolver algunos ejercicios que ilustren el tema.
A continuación vamos a resolver algunos ejemplos de los siguientes problemas:
En una agencia de turismo se han vendido 25 paquetes turísticos a dos precios
distintos: los de “Turismo en Grupo” a S/. 120 y los de “Lima Tours” a S/. 150 con las
que han obtenido un ingreso de S/. 3 090. ¿Cuántos paquetes turísticos se han vendido
de cada precio?
Solución:
Sea:
El número de paquetes turísticos Turismo en grupo: x
El número de paquetes Lima tours será: 25 – x
El ingreso por los paquetes Turismo en grupo es: 120x
El ingreso por los paquetes Lima Tours es 150 (25 –x )
Luego por las condiciones del problema podemos plantear:
120x + 150 (25 –x ) = 3 090
Resolviendo la ecuación tenemos:
120x + 3 750 –150x = 3 090
x = 22
Respuesta: Se vendieron 22 paquetes de Turismo en grupo y 3 de Lima Tours
2.3 Aplicaciones de las Ecuaciones e
Inecuaciones
2.3.1 Aplicaciones de las Ecuaciones e Inecuaciones
Matemática I
[53]
7. Una fábrica de camisas tiene costos fijos de S/. 6 300 mensuales y le cuesta
S/.19 producir cada camisa. Se sabe que la fábrica vende cada artículo en S/.
37.
a. Determine el punto de equilibrio de la empresa
b. ¿Cuántas camisas produjo la fábrica si tuvo un gasto de S/. 15 800?
Solución:
Determinamos las funciones de Costo total ( C) e ingresos totales (Y)
La función de costo total es la suma de los costos variables más los costos fijos.
Mientras que la función de ingreso total es el producto del precio de venta por la
cantidad vendida.
Sea: x el número de camisas producidas y vendidas.
C = 19 x + 6 300
Y = 37 x
a) El equilibrio del modelo se presenta cuando los costos son iguales a los
ingreso. En este punto no hay ni ganancias ni perdidas.
Y = C 37x = 19x + 6 300
x = 350
Reemplazando tenemos el costo total y el ingreso de equilibrio que tienen
el mismo valor: C = Y = 37 (350) = 12 950
b) Si el costo total es : C = 15 800; reemplazamos en la función de costo total y
tenemos:
15 800 = 19x + 6 300 Resolviendo X = 500
8. Se tiene expresado los costos, de la empresa “Dulce Vida”, como C= 15 x +
6500, sabiendo que el precio de cada caja de chocolate es de S/. 20.
a. Determine el punto de equilibrio de la empresa
b. ¿Cuántas cajas de chocolate debe producir y vender para obtener utilidades
de S/. 6 000?
Solución
Sea: x el numero de cajas de chocolate producidas y vendidas
La función de costo total es: C = 15x + 6 500
La función de ingreso total es: Y = 20x
La función de utilidad es : U = Y –C U = 5x – 6 500
a) Equilibrio: Y = C
20x = 15x + 6 500 x = 1 300
Matemática I
[54]
Reemplazando tenemos el costo total y el ingreso de equilibrio que tienen
el mismo valor: C = Y = 20 (1 300) = 26 000
b) Si U = 6 000 entonces reemplazando en la función de utilidad tenemos:
6 000 = 5x – 6 500 x = 2 500
Respuesta: Debe producir y vender 2 500 cajas de chocolate para tener
una utilidad de 6 000 soles.
9. A un viaje de excursión asisten 50 personas. Si el costo del viaje a los
estudiantes universitarios es de S/. 60 y el de sus familiares es de S/. 100,
¿cuántos universitarios viajan como máximo, si la recaudación no debe ser
menor de S/. 4000?
Solución
Sea x en número de estudiantes que asistieron al viaje.
50 –x es el número de familiares que asistieron al viaje
Realizamos el planteamiento de acuerdo a las condiciones del problema
60x + 100 ( 50 –x ) ≥ 4000
60x +5000 –100x ≥ 4000
1000 ≥ 40x
25 ≥ x
Respuesta: Viajan como máximo 25 estudiantes.
10. Las funciones de oferta y demanda de un producto son: ;
. Determine el precio y la cantidad de equilibrio del
mercado.
Solución:
Sabemos que el equilibrio se presenta cuando la oferta es igual a la demanda;
luego:
Resolviendo tenemos: p = 30 y p = 10; analizando las respuestas nos
damos cuenta que el valor 10 no es posible ya que la cantidad ofertada será
cero; por lo tanto se acepto solo el valor p = 30
La cantidad ofertada o demanda de equilibrio se obtiene reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones.
Q = (30)2 –100= 800
11. Mensualmente una compañía puede vender “x” unidades de cierto artículo a “p”
soles cada uno, en donde la relación entre p y x (precio y número de artículos
Matemática I
[55]
vendidos) está dada por la siguiente ecuación de demanda: P = 1400 – 40x .
¿Cuántos artículos debe vender para obtener unos ingresos de 12 000 soles?
Solución:
Sabemos que la función de ingreso es igual a precio de venta por cantidad,
luego tenemos:
Sea: x la cantidad de unidades vendidas
Y = P. x ; si reemplazamos P tenemos: Y = (1400 –40x ) x
Y = 1400x – 40x2
Si Y = 12 000 entonces 12 000 = 1400x – 40x2
Resolvemos la ecuación: 40x2 –1400x +12 000 = 0
X2 – 35x + 300 = 0
( x –20 ) ( x –15 ) = 0 x = 20 ∨ X = 15
Respuesta: para obtener 12 000 de ingresos debe vender 15 ó 20 unidades del
producto.
Para resolver un problema es importante seguir
los siguientes pasos:
1. Leer las veces que sean necesarias hasta comprender el problema.
2. Determinar la o las variables.
3. Realizar el planteamiento, en el que se establece una ecuación o inecuación
4. Resolver la ecuación o inecuación planteada.
5. Dar la respuesta.
ACTIVIDADES
1. Un hombre gasta la mitad de su sueldo mensual en el alquiler de la casa y
alimentación de su familia, y los 3/8 del sueldo en otros gastos. Al cabo de 15
meses ha ahorrado S/. 6 000. ¿Cuál es su sueldo mensual?
Respuesta : 3 200
2. Vendí un automóvil por $ 8 000 más la tercera parte de lo que me había
costado, y en esta operación gané $ 2 000. ¿Cuánto me había costado el auto?
Matemática I
[56]
3. En una peluquería el corte de cabello cuesta S/. 6 para hombre y S/. 8 para
mujer. Si se hace el corte a 50 personas en un día y pagan en total S/. 360
¿cuántos hombres y cuántas mujeres se cortaron el cabello durante el día?
4. Una fábrica de camisas tiene costos fijos de S/. 9 750 mensuales y le cuesta
S/.22 producir cada camisa. Se sabe que la fábrica vende cada artículo en S/.
35.
a. Determine el punto de equilibrio de la empresa
b. ¿Cuántas camisas produjo la fábrica si tuvo un gasto de S/. 29 550?
Respuestas: a) 750 camisas y S/ 16 500 b) 900 camisas
5. Una pequeña empresa de pantalones elabora un número determinado de
pantalones por día. Si duplica su producción y vende 60, le quedan más de 54.
Pero si elabora 10 más y vende 28, tendrá entonces a lo sumo 40 pantalones
por vender. Hallar ¿cuántos pantalones se elaboraron en un día?
6. Los vecinos del parque Los Olivos, desean remodelarlo podando algunos
árboles del parque. Si una compañía alquila a S/ 150 una sierra eléctrica, más
S/ 20 por hora ¿Qué cantidad máxima de tiempo pueden utilizar la sierra los
vecinos del parque, si no pueden gastar más de S/ 350? Respuesta: 10 horas
7. Un laboratorio que produce perfumes encuentra que el costo total C de producir
x unidades está dado por: C = 20x + 500 soles. Si cada unidad producida se
vende a S/ 25, ¿cuál debe ser el nivel mínimo de producción para obtener
alguna ganancia? Respuesta: 100 perfumes
8. Un empresario ha comprado un local cuadrangular por 259 200 soles. Sabiendo
que uno de los lados del local tiene una longitud igual a las tres cuartas partes
del otro y que el precio por metro cuadrado es de 600 soles. ¿Cuáles son las
dimensiones del local? Respuesta : 24 y 18
9. Antonio compro cierto número de relojes a $192. Si el precio de cada reloj es:
¾ del número de relojes. ¿Cuántos relojes compró? Respuesta 16
10. Semanalmente una compañía puede vender “x” unidades de cierto artículo a “p”
soles cada uno, en donde la relación entre p y x (precio y número de artículos
vendidos) está dada por la siguiente ecuación de demanda:
p = 460 – 10x . ¿Cuántos artículos debe vender para obtener unos ingresos de
5 250 soles? Respuesta: 21 ó 25
Matemática I
[57]
AUTOEVALUACIÓN N° 2
1. Resolver la siguiente ecuación
a)
b)
2. Resolver las siguientes inecuaciones
a)
b)
3. Tres personas reúnen un capital de $ 9 500 para establecer un comercio
minorista. Si la primera persona aporta 3/5 de lo que aporta la segunda, y la
tercera la mitad de lo que aporta la primera, ¿a cuánto asciende la contribución
de cada uno de ellos?
4. Una fábrica de camisas tiene costos fijos de S/. 3600 mensuales y le cuesta
S/.19 producir cada camisa. Se sabe que la fábrica vende cada artículo en S/.
37. ¿Cuántas camisas debe producir y vender la fábrica para tener una utilidad
de S/. 6120?
5. Mensualmente una compañía puede vender “x” unidades de cierto artículo a “p”
soles cada uno, en donde la relación entre p y x (precio y número de artículos
vendidos) está dada por la siguiente ecuación de demanda: P = 1400 – 40x .
¿Cuántos artículos debe vender para obtener unos ingresos de 12 000 soles?
Matemática I
[58]
TERCERA UNIDAD
MATRICES
OBJETIVOS ESPECIFICOS
1. Formular la definición de matriz.
2. Describir y reconocer las diversas clases de matrices.
3. Realizar correctamente las operaciones con matrices, y enunciar e interpretar
sus propiedades.
4. Formular las definiciones de matriz invertible y de matriz inversa de una matriz
cuadrada.
5. Determinar correctamente la inversa de una matriz, aplicando los diversos
procesos.
6. Traduce al lenguaje matricial problemas de su entorno que involucren a lo más
tres variables, utilizando las operaciones para resolver cuestiones relacionadas
a ellos
7. Utilizar las matrices como modelo matemático para resolver problemas
planteados de la realidad social
Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el
ordenamiento de datos, así como su manejo. Lo podemos ver en la página 223 del
texto básico Nº1.
Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para
clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables
Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, rojos (R) y blancos
(B). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al
precio siguiente: los rojos a 0,05; 0,08 y 0,12 y los blancos a 0,03; 0,05 y 0,09
respectivamente. Organice la información en un modelo matricial
Solución:
2u 5u 10u
3.1 Conceptos básicos sobre Matrices
3.1.1 Definición, notación y orden de una Matriz. Matrices especiales
Matemática I
[59]
Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los
datos numéricos del problema en cuestión. Otras matrices son las llamadas matrices
de relación, que indican si ciertos elementos están o no relacionados entre sí. En
general, la existencia de relación se expresa con un 1 y la ausencia de dicha relación
de expresa con un 0.
La definición de Matriz la encuentras en la página 225 del texto básico.
Sobre la notación es importante precisar que para las matrices se utiliza los
CORCHETES no debe usarse la barras pues tiene un significado diferente.
El orden es el producto indicado (sin resolver) del número de filas por el número de
columnas (en ese orden).
A continuación presente un mapa conceptual del tema
En las páginas 226, 227, 228 y 229 del texto básico se definen la igualdad de matrices,
la matriz transpuesta y las Matrices Especiales: Matriz cero, Matriz Cuadrada, Matriz
Diagonal, matrices triangulares superior e inferior. Estas definiciones son importantes
porque nos permitirán comprender mejor los modelos matriciales que se presentaran
posteriormente.
Matemática I
[60]
A continuación vamos a resolver algunos ejemplos de los siguientes problemas:
1. Determinar los elementos de la matriz según los siguientes datos:
ji
jiaaA jixji
2
3
2
23 Si
Solución:
Al indicarnos que el orden es 3x2, deducimos que la matriz está formada por 3
filas y 2 columnas. Además tenemos una relación que vincula el valor de la fila y
la columna de cada elemento, por lo que es posible encontrar el valor de cada
elemento si aplicamos dicha relación.
Por lo tanto la matriz A es:
2. Sean las matrices:
yx
xyxA
3
2
43
42 yB
Sabiendo que A = B, determinar los valores de x e y
Solución:
Si las matrices A y B son iguales entonces sus elementos correspondientes
también los son, luego tenemos:
x – 2y = 2 ; x = y + 4 ; x –y = 4
Si reemplazamos la segunda ecuación en la primera tenemos:
y + 4 –2y = 2 resolviendo: –y = –2 y = 2
Matemática I
[61]
Luego el valor de x = 6
Respuesta: los valores son x = 6 ⋀ y = 2
3. Dada la matriz cuadrada M determinar el valor de la traza.
Solución
La traza solo se puede determinar en las matrices cuadradas y es la suma de
los elementos de la diagonal principal.
4. Determine la matriz transpuesta de:
Solución
La matriz transpuesta de una matriz dada es la matriz que resulta de
intercambiar las filas por las columnas en dicha matriz.
Como puedes observar la diagonal principal en ambas matrices es la misma.
ACTIVIDADES
1. Determinar los elementos de la matriz según los siguientes datos:
jiijaaA jixji . 54 2
32 Si
2. Dada la matriz cuadrada M
Determine el valor de
3. Dadas las matrices:
Matemática I
[62]
Si P = Q. Hallar: 2x + 3y – 4z
4. ¿Cuáles de las siguientes matrices son triangulares superiores?
5. Determine la matriz transpuesta de:
6. En cada una de las siguientes proposiciones coloque dentro del paréntesis una
V si es verdadera y F si es falsa
( ) A cualquier matriz se le puede determinar su transpuesta.
( ) La traza de una matriz de orden 3x5 es la suma de sus elementos.
( ) Si todas las entradas que se encuentran fuera de la diagonal principal son
cero, la matriz se llama diagonal.
( ) Cualquier matriz puede ser triangular inferior.
( ) Todas las matrices cuadradas tienen diagonal principal
7. Resuelva los ejercicios impares de la página 229 del texto básico 1
Realizar la Adición o Sustracción de Matrices es muy sencillo. Como se indica en la
página 321 del Texto Básico Nº1
Primero se debe tener en cuenta la condición necesaria para que se pueda realizar la
operación, esta es: “Para sumar o restar dos o más matrices éstas deben ser del
mismo orden”
3.2 Operaciones con Matrices
3.2.1 Adición y sustracción de Matrices
Matemática I
[63]
La operación consiste en sumar o restar los valores de cada una de las entradas
correspondientes de cada matriz. Veamos un ejemplo:
Dadas las matrices: y
Determinar: A + B y A – B
Las dos matrices tienen el orden 2x3; luego si es posible realizar ambas operaciones.
Procedemos sumando o restando los elementos de ambas matrices que corresponden
a la misma entrada.
El producto de un escalar por una matriz consiste en multiplicar cada elementos de
la matriz por el número respectivo; no interesa el orden de la matriz. Podrán ubicar en
las siguientes paginas 233, 234, 235 de Texto básico Nº1 más sobre el tema. Veamos
algunos ejemplos:
1. Dada la Matriz: . Hallar 3 A
Solución
Se determina multiplicando cada uno de los 6 elementos de la matriz A por 3
2. Dada la Matriz: . Hallar:
Solución:
3.2.2 Producto de un número por una matriz. Multiplicación de matrices
Matemática I
[64]
3. Dada la Matriz: . Hallar:
Solución:
Para multiplicar dos matrices se debe tener en cuenta la condición necesaria para
que se pueda realizar la operación: “El número de columnas de la primera matriz debe
ser igual al número de filas de la segunda matriz”.
La matriz producto A x B se obtiene como sigue: sume los productos formados al
multiplicar, en orden, cada entrada de la fila i de la primera matriz (A) por la
correspondiente entrada de la columna j de la segunda matriz (B.). Veamos algunos
ejemplos:
1. Dada las Matrices: y
Hallar: A x B
Solución:
Analizamos si las matrices cumplen con la condición necesaria. Vemos que el
número de columnas de la matriz A es 3 y el número de filas de la matriz B es
2; no son iguales. Por lo tanto no se puede realizar la operación..
2. Con las matrices del ejercicio anterior halle: A x BT
Solución:
Analizamos la condición: el número de columnas de A es 3 y el número de filas
de BT es 3, luego si es posible realizar la operación.
Determinamos cada una de las entradas de la matriz producto:
Por lo tanto la matriz A x B es:
Recordar:
Matemática I
[65]
Es importante aclarar que el texto básico a las filas les denomina reglones.
Debes recordar las condiciones necesarias para realizar las operaciones con
matrices.
“Para sumar o restar dos o más matrices éstas deben ser del mismo orden”
“Al realizar la suma o resta se debe respetar la regla de los signos de estas
operaciones”
“Multiplicar un escalar por una matriz es multiplicar cada entrada de la matriz por
el escalar dado”
“Para multiplicar dos matrices el número de columnas de la primera matriz debe
ser igual al números de filas de la segunda matriz”
A continuación vamos a resolver algunos ejemplos de los siguientes matrices:
1. Dada: 72
3 5 A
5 7
36 B
0 3
41 C
Hallar: (a) 2A + 3B –4C (b) ( A .B ) – ( C . A )
Solución:
a) 2A + 3B –4C = =
b) ( A .B ) – ( C . A ) =
2. Resolver la ecuación: 3X + 2 (A –B ) = X + 3 A + 2B
Si : y
Solución:
Primero despejamos la ecuación respecto a X
3X + 2 A –2B = X + 3 A + 2B
2X = A + 4B
Remplazamos los v1alores de las matrices:
RECOMENDACIÓN: Resuelva los ejercicios de las páginas 237, 238, 250 y 251 del
texto básico.
ACTIVIDADES
Matemática I
[66]
1. Dada:
Hallar:
(a) 5 A + 2 B –3C (b) 7 ( B – A )
(c) (A x B ) x C (d) 2 ( AT – A ) – (B + C)T
2. Hallar el valor de la Matriz “X” en la Ecuación: A + 3 X – ( B + X ) = 4 X
Sabiendo que: 4 1
73A y
3 6
54B
3. Sean las matrices:
yx
xyxA
3
2
43
42 yB
35
04C
Sabiendo que A = B ; Hallar 2 A + 3 C – 4 B
4. Dada: 531
742B
31
72
56
C
Hallar: (a) A x B (b) B x A (c) ( B x C ) x A (d) C x A
5. Dado: yxba
yxbaA
113
39B
Hallar el valor de: ( x – a ) 2 – ( y – b ) 2 : si A = B
6. Hallar los valores de “x” e “y” en la Ecuación:
925
10 0 8
1 2
65
8 0 3
454
yxx
yx
7. Dado: TAAxAA Hallar.
523
730
451
4-2
7 3 A
5 1-
33 B
9 5-
68 C
813
642
975
A
Matemática I
[67]
8. Si: 32
11A y A . X = AT . Determinar la suma de los elementos de la matriz
X.
9. Si:
3
52
01
xb
a
ba
B es una matriz simétrica; determinar la traza de BT
En la página 268, 269 del texto básico se define la matriz inversa, como puedes
observar solo las matrices cuadradas pueden tener inversa, además si una Matriz A
tiene su inversa ( ), esta es ÚNICA..
De otro lado a pesar que la multiplicación matricial no es conmutativa se cumple:
: siendo I la matriz identidad
Para determinar la inversa de una matriz, en la página 272 se explica el método que
utiliza las operaciones elementales sobre filas que se explican en la página 270.
Como has observado en el ejemplo no es difícil
determinar la matriz inversa solo es laborioso,
requiere de mucha practica, paciencia y aplicar
correctamente las operaciones eleméntales de
filas.
Recordemos estas operaciones que están indicadas en la página 270 de nuestro
texto básico con el subtitulo de Matrices Elementales.
Primero: se puede intercambiar dos filas (reglones) en una matriz cuadrada.
Segundo: Se puede multiplicar cualquier fila (reglón) de la matriz por cualquier
número real diferente de cero.
Tercero: Se puede multiplicar cualquier fila (reglón) por un numero diferente de
cero y sumar este producto a otra fila
3.3 Matriz Inversa
3.3.1 Determinación de la matriz inversa
Matemática I
[68]
Voy a presentar un ejemplo de inversión de matrices utilizando este método
Dada la matriz: Determinar su inversa
Establecemos el modelo [ A/I ]
El objetivo que se pretende es que la matriz dada (A) se vaya transformando en una
matriz idéntica, para lo cual empleamos las operaciones elementales por fila, por
supuesto al efectuar los cambios de la matriz A, se producirán cambios en la segunda
parte del modelo que corresponde a la matriz identidad. Al finalizar el proceso en la
primera parte del modelo (donde se ubicaba la matriz A) aparecerá la matriz identidad y
en la segunda parte del modelo aparecerá la matriz inversa de A ( ). Veamos el
proceso:
Multiplicamos la fila 1 por –3 dicho producto lo
sumamos a la fila 2; así mismo multiplicamos la fila 1 por 2 y sumamos el producto a la
fila 3 , simbólicamente :
Necesitamos que la entrada se igual a cero, Luego
Ahora necesitamos que las entradas sean iguales acero
Matemática I
[69]
Solo nos falta que la entrada sea igual a cero
Por lo tanto la matriz inversa es
Comprobamos:
ACTIVIDADES
1. Utilizando las operaciones elementales de filas transforme cada una de las
siguientes matrices, en triangulares superiores:
a)
829
635
417
b) c)
2. Determine la Matriz inversa de cada una de las siguientes Matrices:
a) b)
c) d)
132
967
354
228
556
393
54
89A
614
597
071
M
5210
7914
2134
P
79
1114B
Matemática I
[70]
AUTOEVALUACIÓN N° 3
1. Determinar la matriz indicada:
2. Dadas las matrices:
Hallar:
3. Hallar la suma del valor de las entradas de la diagonal principal de la Matriz “X”
en la Ecuación: A + 3 X – ( B + X ) = 4 X
Sabiendo que: y
4. Dada:
Hallar: (a) A x B (b) B x A
5. Hallar la matriz inversa de la Matriz M:
Matemática I
[71]
CUARTA UNIDAD
DETERMINANTES
OBJETIVOS ESPECIFICOS
1. Formular la definición de determinante de una matriz cuadrada.
2. Formular las definiciones de menores y de cofactores, de los elemento de una
matriz cuadrada.
3. Aplicar el teorema que fundamenta el método de desarrollo en menores, para el
cálculo del determinante de una matriz cuadrada.
4. Enunciar y aplicar los teoremas sobre las propiedades de los determinantes.
5. Describir e interpretar el significado de la forma de representación matricial de
un sistema de ecuaciones lineales.
6. Aplicar el método de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones
lineales con el mismo número de ecuaciones que incógnitas.
7. Aplicar el concepto de matrices y de sistemas de ecuaciones en problemas
planteados de la realidad cotidiana, social y profesional.
8. Determinación del determinante de una matriz: Regla de los cofactores, Regla
de Sarrus.
El determinante de una matriz cuadrada es la función que hace corresponder a cada
matriz un número real único.
Para encontrar el valor del determinante de una matriz cuadrada existen diversos
métodos, a continuación estudiaremos el método de SARRUS y luego el de los
cofactores. En la página 278 del Texto Básico Nº 1.
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 2X2
Para hallar el valor de un determinante de una matriz de orden 2x2 se aplica la
siguiente relación o fórmula
4.1 Determinación del valor del Determinante de
una matriz
Matemática I
[72]
Sea:
Su determinante se obtiene con la siguiente fórmula:
Ejemplo: Hallar el determinante de
Solución:
METODO DE SARRUS (para matrices de cuadradas de mayor orden)
Vamos a explicar el método con un ejemplo:
Dada la matriz: Hallar el valor del determinante.
El determinante de una matriz se simboliza con las barra, tal como se indica
Pera resolver copiamos la matriz y le agregamos al final las 2 primeras filas y luego
multiplicamos, las diagonales, luego se suman los productos y se resta los resultados,
en el siguiente orden: la suma de los productos de la derecha menos la suma de los
productos de la izquierda, procedamos:
2 3 1
4 2 0
2 1 4 3 12
0 2 3 1 16
36 4 2 0 0
38 28
En nuestro texto básico el método de Sarrus lo
realizan copiando a la derecha de los elementos de
la Matriz dada la primera y segunda columna, y
luego multiplicando las diagonales, por comodidad
he utilizado la repetición de las filas.
Matemática I
[73]
METODO DE LOS COFACTORES
Primero determinamos los cofactores que se obtiene con la siguiente fórmula:
Donde representa el menor de una entrada de la matriz, que es el determinante
de la matriz que resulta de eliminarla fila y la columna correspondiente al elemento del
cual estamos hallando su menor.
Vamos a determinar los valores de los cofactores de la primera fila de la matriz del
ejemplo anterior:
Para hallar el determinante de la matriz A, multiplicamos los valores de las entradas de
la primera fila por su correspondiente cofactor.
Para nuestra matriz será:
Como podemos observar por ambos métodos el determinante de la Matriz A tiene el
mismo valor.
ACTIVIDADES
Determine el valor del determinante de las siguientes matrices:
1.
2.
3.
4.
5.
Matemática I
[74]
Resolución de sistema de ecuaciones lineales: Método de Cramer.
Como se indica en la página 289 del Texto Básico Nº1 La Regla de Cramer para
resolver sistema de ecuaciones utiliza los determinantes, para comprender el tema
vamos a resolver ejercicios explicando el procedimiento.
El método de Cramer es muy apropiado para resolver
sistema de ecuaciones lineales, solo tiene que
encontrar correctamente los valores de los
determinante.
Si el sistema tiene más de 3 variables, se procede análogamente.
Es importante analizar los problemas de aplicación que se analizan en la página 291
del texto básico.
Sistema con dos variables
Resolver el sistema:
3x – 5y = 15
4x +3y = 12
Solución:
Establecemos tres determinantes:
El primero es el determinante del sistema y se forma con los coeficientes de las
variables:
A continuación se forman los determinantes para cada variable. El determinante para x
se forma reemplazando la columna de dicha variables por los términos independiente:
El determinante para y se forma reemplazando la columna de dicha variable por los
términos independientes:
El valor de las variables se obtiene con las relaciones siguientes:
4.2 Resolución de Sistema de Ecuaciones
Lineales
Matemática I
[75]
Sistema con tres variables
Se procede de manera análoga, estableciendo esta vez cuatro determinantes el
general y uno para cada variable
Resolver:
5x + 3 y – 4 z = – 1
4 x – 5 y + 2 z = 0
3 x + 2 y + z = 10
Hallamos los determinantes
Por lo tanto los valores de las variables son:
ACTIVIDADES
Resuelva los ejercicios impares de la página 290
Matemática I
[76]
AUTOEVALUACIÓN N° 4
1. Hallar el determinante de la matriz:
6.
7.
2. Hallar el determinante de la Matriz por el método de Sarrus:
3. Halle el determinante de la matriz P por el método de los cofactores
4. Hallar los valores de “x” para que se cumpla:
5. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, empleando el método de Crammer
4 x + 3 y – 5 z = 10
3 x – 5 y + 3 z = 7
2 x + 6 y + 4 z = 16
Matemática I
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RESPUESTAS DE LAS AUTOEVALUACIONES
PREGUNTA
1 2 3 4 5
Evaluación 1
3 x – 3 –2x
Evaluación 2
a)
b) 5 y 7
a)
b) )
1º 300
2º 500
3º 150
540 15 ó 20
Evaluación 3
a) No es posible.
b)
Evaluación 4
78 71 -14
x = 1 x = 2
x = 3 y = 1 z = 1
Matemática I
[78]
G L O S A R I O
Asociativa: Las “leyes Asociativas” quieren decir que no importa cómo agrupes los números (o
sea, qué calculas primero) cuando sumas o cuando multiplicas.
Conjunto Numérico: Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan
una serie de propiedades estructurales.
Conmutativa: Las “Leyes Conmutativas” sólo quieren decir que puedes intercambiar los
números cuando sumas o cuando multiplicas y la respuesta va a ser la misma.
Determinante: Es una función que hace corresponder a una matriz cuadrada un número real
único.
Distributiva: Es la propiedad que permite eliminar los paréntesis cuando se presenta un
producto de un número por una expresión binomial.
Ecuaciones: Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas,
denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o
incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.
Elemento Inverso Multiplicativo: Es el que multiplicado por un número racional, hace que su
producto sea el elemento neutro.
Elemento Neutro: Es un elemento e del conjunto, tal que para cualquier otro elemento a del
conjunto se cumple: a * e = e * a = a. Es decir, tiene un efecto neutro al ser utilizado en la
operación.
Factor Común: Es un factor que se presenta en dos o más términos algebraicos, puede ser
numérico o literal.
Factorización: La factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número
compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños
(factores) (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que al multiplicarlos
todos, resulta el objeto original.
Inecuaciones: Una inecuación es una desigualdad (mayor o menor) que se presenta cuando
se comparan dos expresiones algebraicas.
Intervalos: Es un conjunto de números reales comprendidos entre dos números reales
llamados extremos que pueden pertenecer o no al intervalo. También podemos decir, que un
intervalo es un subconjunto de los números reales.
Matriz: Es un arreglo rectangular de números reales formado por filas y columnas. Cada
elemento de la matriz se suele llamar entrada, la que ocupa un lugar en la matriz que
corresponde al número de la fila y la columna en la que está ubicada.
Matemática I
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Método de Gauss: Es el método que se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones
lineales. Se basa en la transformación de matrices que representan sistemas de ecuaciones
equivalentes, que se realiza utilizando las operaciones elementales por filas.
Números Enteros (Z): Los números enteros son los números naturales, los negativos y el
cero. Los números enteros no tienen ni principio ni fin.
Números Racionales (q): Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los
números enteros y todos los fraccionarios. Se les designa por Q y se les denomina Conjunto de
Números Racionales.
Número Racional: Es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es
decir, en forma de fracción. Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al
comparar una cantidad con su unidad el resultado es frecuentemente fraccionario.
Números Irracionales (i): Los números irracionales son los elementos de la recta real que no
pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas
cifras decimales no periódicos.
Números Reales: Son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los
números racionales como a los números irracionales.
Regla de Sarrus: La regla de Sarrus es un método fácil para calcular el determinante de una
matriz cuadrada.
Regla de Kramer: La regla de Kramer es un método para resolver sistemas de ecuaciones
lineales utilizando los determinantes.
