Historia y fundamentos de los numeros complejos ccesa007

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  • C soluciona

    el defecto algebraico

    de R de que existan

    ecuaciones polinmicas

    con coeficientes reales

    que no tienen soluciones

    reales.

    Ej. x2 + 1 = 0.

    N Z Q R C

  • Girolamo Cardano

    (1501-1576)Ars Magna (1545)

    Considerada como la fecha de

    nacimiento de los nmeros

    complejos.

    Resolucin de ecuaciones de

    tercer y cuarto grado.

    Divide 10 en dos partes,

    de modo que una por la otra

    d 40.

    x(10-x)=40 155

    Solucin intrigante.

  • Rafael Bombelli (1526-1572) resolvi la situacin operando

    como lo hacemos hoy con nmeros complejos.

    3

    32

    3

    32

    3

    322322

    ,

    pqqpqqx

    qpqpxx

    Forma general de la ecuacin cbica y solucin:

    Funcionaba bien en algunos casos, como:

    333 1010810108;206 xxx

    Pero en otros ... : 333 21212121;415 xxx

    Cardano saba que x = 4 es solucin de esta ecuacin.

  • Ren Descartes

    (1596-1650)

    60 aos despus de Bombelli:

    A pesar de que podemos pensar

    que la ecuacin

    x3 - 6x2 + 13x - 10 = 0 tiene tres

    races, nicamente una de ellas es

    real, la cual es 2, y las otras dos

    son simplemente

    imaginarias.

    Ren Descartes

    "La Gomtrie" (1637)

    04-historia.wmv

  • Los nmeros imaginarios

    son un excelente y

    maravilloso refugio del

    Espritu Santo, una especie de

    anfibio entre ser y no ser

    Gottfried von Leibnitz

    (1.646 1.716)

    Otros trminos que han sido

    usados para referirse a los

    nmeros complejos incluyen :

    Sofisticados (Cardano)

    Sin sentido (Nper)

    Inexplicables (Girard)

    Incomprensibles (Huygens)

    Imposibles (Diversos autores)

  • Estos nmeros no son nada, ni menos que nada, lo cual

    necesariamente los hace

    imaginarios, o imposibles.

    formulam littera i Leonhard Euler (1777)

    1

    Leonhard Euler(1.707 1.783)

    Con Euler los imaginarios se

    incorporan definitivamente en la

    Matemtica.

    i2 = -1; introdujo la notacin binmica.

    Demostr que el conjunto de los nmeros

    imaginarios era cerrado para las

    cuatro operaciones bsicas, as como

    para la potenciacin y la radicacin.

  • Karl Friedrich Gauss (1777-1855)

    Nmeros ntegros complexos

    K. F. Gauss (1831)

    A los nmeros enteros se

    han agregado las fracciones;

    a las cantidades racionales,

    las irracionales;

    a las positivas, las negativas;

    y a las reales, las imaginarias.

    Qu es un nmero complejo? Gauss dio la respuesta

    satisfactoria definitiva en 1831 al establecer la

    interpretacin geomtrica: x+iy (x,y).

  • Miguel de Guzmn

    (1936-2004)

    La visualizacin de los nmeros

    reales mediante los puntos de una

    recta o de los nmeros complejos

    mediante los puntos del plano no

    solamente penetr sin gran resistencia

    en el anlisis, sino que se puede decir

    con razn que, en el caso de los

    nmeros complejos, esta

    visualizacin (Argand, Gauss) fue

    lo que hizo posible vencer la fuerte

    oposicin de la comunidad

    matemtica al dar carta de ciudadana

    a los nmeros complejos.El rincn de la pizarra: ensayos de

    visualizacin en anlisis matemtico.

  • Un nmero complejo z es un par ordenado de

    nmeros reales a y b, escrito como:

    z = (a,b)(Notacin en componentes o coordenadas cartesianas).

    a se llama la parte real de z: Re(z) := a

    b se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=b

    Dos nmeros complejos son iguales si y slo si sus partes reales e

    imaginarias son iguales:

    (x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2

    , :),(: babaCEl conjunto de nmeros complejos, se denota por C

  • (0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:

    Si a= 0, se dice que es un imaginario puro.

    Si b= 0, z se comporta como un nmero real.

    z = a + bi

    Un nmero complejo z = (a,b) se escribe comnmente

    como :

    )10( , i (Los ingenieros elctricos a menudo usan j para evitar confusiones con el

    smbolo i, que asocian a la intensidad elctrica).

    (notacin algebraica o binmica, afijo en textos de antao)

  • z = a + bi

    z = (a,b)

    )10( , i

  • El plano complejo(Plano z, de Argand o de Gauss)

    z

    x

    y

    r

    Eje real

    Eje imaginario

    z = (x,y)

  • x

    y

    3

    2

    Ejemplo:

    Dibujar el nmero complejo z = -3-2i en el plano complejo

    i23

  • conjugadoEl conjugado de un nmero complejo z = x + i y

    se define como:

    z

    iyxz

    x

    zy

    zy

    Grficamente el conjugado

    es una reflexin respecto

    al eje real.

  • conjugado

    Es sencillo

    demostrar

    que:21212121

    21212121

    // zzzzzzzz

    zzzzzzzz

    iyxz

    zz

    22 ))(( yxiyxiyxzz

  • opuestoEl opuesto de un nmero complejo

    z = x + i y se define como:

    z

    iyx

    x

    zy

    z

    Grficamente el

    opuesto

    es una reflexin

    respecto al punto (0,0)

  • Suma y producto

    Suma

    )()( 212121 yyixxzz

    )()( 1221212121 yxyxiyyxxzz

    Producto

    Sean:

    222

    111

    iyxz

    iyxz

    Parte real Parte imaginaria

    En la facultad tenamos un profesor

    cojo al que llambamos el complejo.

    Tena una pierna real y otra imaginaria.

    Memorias de un estudiante

    de matemticas

  • ii

    iiiiii

    223)1012()158(

    ]2)5(34[]3)5(24[)32)(54(

    1)00()10()0)(0(2 iiii(1)

    (2)

    Ejemplos:

    De modo que podemos sustituir siempre:

    12 i

    Ejemplo:

    1111 2 ii

    http://www.vaxasoftware.com/cal/cj47.html

  • Potencias de i

    1)1(1)( 2634254 iii

    1

    1

    1

    6

    5

    4

    3

    2

    i

    ii

    i

    ii

    i

    11

    i

    i

    Por ejemplo:

    http://www.vaxasoftware.com/cal/cj47.html

  • Resta

    Divisin

    (operacin inversa a la suma)

    (operacin inversa al producto)

    )()( 2121 yyixxz

    El cociente de dos nmeros

    complejos se halla multiplicando el numerador y

    denominador por el conjugado del denominador

  • Suma y resta de nmeros complejos

    en el plano complejo

    x

    y

    1z

    2z21 zz

    12 zz En la suma (y la resta)

    los nmeros complejos

    se comportan como vectores

  • ii

    i

    i

    ii

    1

    11

    (1)

    (2)

    Ejemplos:

    Sean: z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i

    )27)(27(

    )27)(318(

    z

    z

    2

    1

    ii

    ii

    53

    57120

    27

    )27)(318(22

    i--

    i--i

    Hallar el inverso de i:

    http://www.vaxasoftware.com/cal/cj47.html

  • Calcular:

    Re(z1) = 18, Re(z2) = -7

    Im(z1) = 3, Im(z2) = 2

    z1+z2 = 11 + 5i, z1-z2 = 25+i

    z1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i

    Ejemplo:

    Sean z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i

    ms ejercicios

    http://www.vaxasoftware.com/cal/cj47.html

  • Ley de clausura:

    z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C.

    Ley asociativa:

    (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

    (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)

    Ley distributiva:

    z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3

    Propiedades algebraicas

    La suma y el producto dotan

    a C de estructura de cuerpo.

    Ley conmutativa:

    z1 + z2 = z2 + z1

    z1 z2 = z2 z1

  • 0+z = z+0 = z (Neutro para la suma)

    z +(-z) = (-z)+z = 0 (Opuesto para la suma)

    z 1 = 1 z = z (Identidad para el producto)

    z z-1 = z-1 z = 1 (Inverso para el producto)

    {C,+,} es un cuerpo.

    No es posible ordenar el conjunto de los nmeros complejos.

    Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2

    (Para todo z distinto de 0)

  • Falacia

    1=-1?

    11;1;111

    ;1)1)(1(;1)1)(1(

    2

    i

  • 22: yxzr

    x

    yz arctanarg:

    El plano complejo(Plano z, de Argand o de Gauss)

    Mdulo:

    Tambin llamado valor absoluto

    (el mdulo de un real es su valor absoluto)

    Argumento:

    z

    x

    y

    r

    Eje real

    Eje imaginario

    Para z = 0, el ngulo no est definido.

    El 0 no tiene forma polar

    z = (x,y)

    Con calculadora: Teclas RP, PolRec, r,

  • z

    x

    y

    r

    sin

    cos

    ry

    rx

    sincos irr

    iyxz

    sincos irz

    rz Forma polar

    Forma trigonomtrica

  • x

    y

    iz 11

    1

    12

    1r

    4sin

    4cos21

    iz

    2)1()1( 2211 zr

    argumento:

    4/1

    1arctanarg 1

    z

    Ejemplo:

    Escribir el siguiente nmero complejo z1=1+i,

    en forma polar y trigonomtrica:

    mdulo:

    4/1 2zsolucin

    http://www.vaxasoftware.com/cal/cj47.html

  • x

    y

    r

    13

    )2()3( 22

    zr

    },7.213,7.33,3.146{

    3

    2arctan

    3

    2arctanarg

    z

    3

    2

    rad73.3

    Ejemplo:

    Dibujar el nmero complejo z = -3-2i en el plano complejo y

    evaluar mdulo y argumento

    Mdulo:

    Argumento:

    i23

    La calculadora

    no distingue

    El argumento est multivaluado.

    http://www.vaxasoftware.com/cal/cj47.html

  • )]sin()[cos(

    ]sincoscossin

    sinsincoscos[

    sincossincos

    21

    21

    2121

    irr

    i

    rr

    irirzzz

    mmmm

    Multiplicacin

    )]sin()[cos(2121 irrzz

  • x

    y

    z

    1r 1z

    2z

    2r

    21rrr

    21zzz

    Producto de nmeros complejos en el plano complejo

  • Multiplicar por i es

    equivalente a

    girar 90 grados

    )]2/sin()2/[cos(

    )cossin(

    )sin(cos

    ir

    ir

    iiriz

    x

    y

    1z

    1

    2 zi 13zi

    1iz

  • Potencias

    nnn mm

    )]sin()[cos( ninrz nn

  • Frmula de Moivre

    Potencias enteras de complejos

    en forma polar:

    ...,1,0sincos

    )2sin()2cos(

    )sin()cos(

    2sin2cos

    sincos

    22

    11

    22

    nninrz

    irz

    irz

    irz

    irz

    nn

    )sin()cos(sincos nini n

    Abraham de Moivre (1667 - 1754)

  • 3223

    3

    sinsincos3sincos3cos

    )sin(cos3sin3cos

    ii

    ii

    El teorema de Moivre es una mquina de

    generar identidades trigonomtricas. Por ejemplo:

    Igualando las partes reales e imaginarias:

    32

    23

    sinsincos33sin

    sincos3cos3cos

  • Potencias iguales

    4011204

    280

    40760

    4

    190

    40400

    4

    100

    40

    4

    10

    16162

    16162

    16162

    162

    1902

    2802

    1002

    102

    4016

    Distintos nmeros complejos pueden llevar al mismo

    resultado al realizarles una misma potencia

    Esto nos lleva al clculo de races

  • Potencias repetidas

    Races

    Un nmero complejo tiene tantas races como su ndice

    Sus afijos son los vrtices de un polgono regular

  • n zw

    1,0,1,k 360

    nknn

    rR n

    Races

    se llama la raz ensima de z a cualquier nmero

    w que cumple: wn = z, y se escribe como

    Mdulo de w

    ngulo de w

    rz Partimos de un nmero complejo z

  • Sean w= R(cos+ i sin)

    z = r(cos + i sin)

    Por el teorema de Moivre:

    wn = Rn[cos(n ) + i sin(n )]= r(cos + i sin)

    Igualando los mdulos y los ngulos obtenemos

    Races

    La frmula para el clculo de las races se basa en

    el teorema de Moivre

    1,0,1,k 2

    kn

    k

    rR n

  • Raz cuarta

    280

    190

    100

    10

    440

    2

    2

    2

    2

    16

    1902

    2802

    1002

    102

    104

    40

    904

    360

    4016

    Primer ngulo

    ngulo a aadir

  • Ejemplo: races de la unidad

    5

    84

    5

    63

    5

    42

    5

    21

    00

    2055

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    4,1,011

    11

    w

    w

    w

    w

    w

    kn

    k

    1nz

    http://www.vaxasoftware.com/cal/cj47.html

  • Divisin

    )]sin()[cos(2

    1

    2

    1 ir

    r

    z

    z

    m

    m

    m

    m

  • 1z

    Divisin de nmeros complejos en el plano complejo

    x

    y

    z

    2z

    2r

    1r

    2

    1

    r

    rr

    2

    1

    z

    zz

  • Benoit

    Mandelbrot

    public en 1975

    su primer ensayo

    sobre fractales

    Su construccin se basa en la iteracin de un nmero

    complejo, es decir se hace una operacin y sta se repite

    con el resultado .

    z z2 + C. (conjunto de Mandelbrot)

    Un fractal es un objeto geomtrico cuya

    estructura bsica se repite en diferentes escalas

    Su dimensin es

    fraccionaria

    http://math.bu.edu/DYSYS/applets/franimate.htmlfractales.pdf

  • Benoit Mandelbrot (Polonia-1924)

    retom los trabajos de Juli en 1970

    Mandelbrot y esposa

    Madrid-ICM 2006

    El trabajo pionero en el juego de hacer

    iteraciones con nmeros complejos fue

    desarrollado por dos matemticos

    franceses, Gaston Julia (a la izquierda)

    y Pierre Fatou (a la derecha), a

    principios del siglo XX.

  • El fsico-matemtico Antonio Br ha modelado

    matemticamente el crecimiento de los tumores, o

    al menos, eso es lo que defiende. En 1998 publica

    la primera ecuacin de crecimiento tumoral en la

    mejor revista del mundo de fsica. Este fsico

    espaol ha logrado curar un cncer de hgado

    terminal con una ecuacin .http://www.periodistadigital.com/salud/object.php?o=82957

    En el cuerpo humano existen estructuras con

    geometra fractal, como son la red vascular,

    las ramificaciones bronquiales, la red

    neuronal, la disposicin de las glndulas, etc.

  • Muchas antenas que en apariencia parecen constituir una sola unidad gran parte de

    las antenas de radar, entre ellas- estn en realidad compuestas por una formacin de

    hasta un millar de pequeas antenas.

    Uno de los ingenieros de T&M afirma que el rendimiento de las antenas fractales es un 25 por

    ciento mayor que el de las habituales antenas romas, revestidas de goma, con que van equipadas

    muchos telfonos mviles o inalmbricos. Amn de ser ms baratas de fabricar, operan en

    mltiples bandas, lo que permite incorporar un receptor GPS al telfono, al tiempo que la antena

    puede quedar oculta en el interior del aparato.

    http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/3_1.html

    http://www-tsc.upc.es/eef/research_lines/antennas/fractals/fractal_antennas.htm

    (Visita la Web de los Ingenieros de la Universidad politcnica de Catalua)

    http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/3_1.htmlhttp://www-tsc.upc.es/eef/research_lines/antennas/fractals/fractal_antennas.htm

  • Los fractales han estado siendo usados

    comercialmente en la industria

    cinematogrfica, en pelculas como Star Wars

    y Star Trek.

    http://starwars.ya.com/

    http://www.trekminal.com/newvoyages/web/descargas.php

    epiii_jediaction1_480_dl.mov

  • Otros programas:Xaos

    IfsAttrActoR

    Fractal hecho con el programa apophysis.

    www.apophysis.org

    http://www.arrakis.es/~sysifus/software.html

    Visita la web de un artista:

    http://home.wanadoo.nl/

    laurens.lapre/

    escucha msica fractal

  • flower.movtopview.movcpoundlf.mov

  • "La vibracin de las alas

    de una mariposa en Brasil

    pue-de desencadenar un

    cicln en Tejas?".

    (Poincar)

  • Causas pequeas

    producen grandes efectos

    A comienzos de la dcada del 60, Lorenz se puso a elaborar un modelo matemtico para predecir fenmenos atmosfricos, y por

    casualidad descubri que la misma herramienta matemtica que

    utilizaba estaba fallando:

    pequeos cambios en las condiciones iniciales producian diferencias

    asombrosas

  • los fractales son la

    representacin grafica

    del caos.

    Ejemplos de sistemas

    caticos incluyen la

    atmsfera terrestre, el

    Sistema Solar, las placas

    tectnicas, los fluidos en

    rgimen turbulento y los

    crecimientos de

    poblacin.

    En la dcada del 70 se empezaron a investigar comportamientos

    caticos en el ritmo cardaco, las reaccines qumicas, el

    mercado burstil .

    http://ciencias.huascaran.edu.pe/modulos/m_caos/index.html

  • Sir William Rowan

    Hamilton (1805 - 1865)

    Los cuaterniones son nmeros

    complejos en cuatro dimensiones

    en lugar de dos (Hamilton 1843).

    As un cuaternin q se expresa

    como: q = a+ib+jc+kd donde

    a,b,c,d son nmeros reales.

    Cuaterniones e

    hipercomplejos

  • !La propiedad

    conmutativa no se

    cumple para el producto

    de cuaterniones.

    Los cuaterniones se emplean para

    describir dinmicas en 3

    dimensiones, en fsica y en grficos por ordenador (para hacer pelculas y

    juegos).

    El software de vuelo del

    Space Shuttle usaba

    cuaterniones para el

    control de navegacin y

    vuelo

  • Ccesa