NIVELAMENTO 2010/2

MATEMÁTICA BÁSICA

Núcleo Básico

da Primeira Fase

2

Instituto Superior Tupy

Nivelamento de Matemática Básica

ÍNDICE

1. Regras dos Sinais ............................................................................................................... 3

2. Operações com frações ...................................................................................................... 3 2.1 Adição e Subtração .............................................................................................. 3 2.2 Multiplicação ....................................................................................................... 3 2.3 Divisão ............................................................................................................... 4 2.4 Potenciação ........................................................................................................ 4 2.5 Radiciação .......................................................................................................... 4

3. Seqüência de Operações ..................................................................................................... 4

4. Produtos Notáveis .............................................................................................................. 4

4.1 Quadrado da soma de dois termos ....................................................................... 4 4.2 Quadrado da diferença de dois termos .................................................................. 5 4.3 Produto da soma pela diferença de dois termos ..................................................... 5

5. Fatoração .......................................................................................................................... 6

6. Equação do 1º Grau ............................................................................................................7

6.1 Resolução de uma equação do 1º grau ................................................................. 7 7. Equação do 2º Grau ............................................................................................................7

7.1 Resolução de uma equação do 2º grau ................................................................. 7 8. Equações Irracionais .......................................................................................................... 9

9. Sistemas de Equações do 1º Grau ....................................................................................... 10

9.1 Método da Substituição ........................................................................................ 10 9.2 Método da Adição ................................................................................................ 10

10. Trigonometria no Triângulo Retângulo ............................................................................... 12

10.1 Teorema de Pitágoras ........................................................................................ 12 10.2 Relações Trigonométricas ................................................................................... 13

Anotações:

Acadêmico(a): _______________________________________________ Turma: _____________ 2º semestre de 2010.

3

1. REGRAS DOS SINAIS

1.1 Adição e Subtração

Regra: Sinais iguais: Adicionamos os algarismos e mantemos o sinal. Sinais diferentes: Subtraímos os algarismos e aplicamos o sinal do maior. Exemplos:

336)

336)

936)

936)

d

c

b

a

1.2 Multiplicação e Divisão

Regra: Sinais iguais: Operamos os algarismos e aplicamos o sinal positivo. Sinais diferentes: Operamos os algarismos e aplicamos o sinal negativo. Exemplos:

1836)

1836)

1836)

1836)

d

c

b

a

236)

236)

236)

236)

h

g

f

e

2. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

2.1 Adição e Subtração

Para adicionar ou subtrair frações, devemos proceder da seguinte maneira:

Reduzimos as frações ao mesmo denominador, isto é, devemos calcular o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) dos denominadores;

Adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador comum;

Simplificamos o resultado sempre que possível.

Exemplos:

a) 10

31 =

10

15 + 16 =

2

3

5

8

b) 30

1 =

30

36 20 + 15 =

5

6

3

2 +

2

1

c) 9

2

18

4

18

389

6

1

9

4

2

1

2

2

2.2 Multiplicação

Para multiplicarmos frações, procedemos da seguinte forma:

Multiplicam-se os numeradores entre si;

Multiplicam-se os denominadores entre si;

Simplifica-se a fração resultante, sempre que possível.

Exemplos:

a) 10

21 =

5 2

7 3 =

5

7

2

3

b)

51

5- =

3

15- =

31

53-=

3

5 3

3

3

c)

27

1

3

1

1

1

9

1

6

1

7

2

9

7

6

1

7

2

9

7

27

27

Observação:

Numa multiplicação de frações, pode-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuá-la, conforme o exemplo c.

4

2.3 Divisão

Para dividir duas frações, procedemos da seguinte forma:

Multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda fração;

Simplifica-se o resultado sempre que possível.

Exemplos:

a) 2

5

3

7 =

2

5 .

7

3 =

14

15

b) 16

1 =

80

5 =

20

1 .

4

5 = 20

4

5

5

5

--

2.4 Potenciação

Para elevar uma fração a um certo expoente, eleva-se o numerador e o denominador a esse expoente.

Exemplos:

a) 9

4 =

3

2 =

3

22

22

b) 10

23 23

0

0

=

10 =

1

1 = 1

0

c) 27

8 =

3

2 =

2

33

33

d) 36

25

6

5 =

6

5 =

5

62

22-2

Observações:

Elevando um número ao expoente par, o resultado será positivo, conforme o exemplo a.

Elevando um número a um expoente ímpar, o resultado terá o sinal do próprio número, conforme o exemplo c.

2.5 Radiciação

Para obter a raiz de uma fração, extrai-se as raízes do numerador e do denominador.

Exemplos:

a) 16

25 =

16

25 =

4

5

b) 2

1 =

8

1 =

8

13

3

3

c) 9

4 ℝ

Observações:

Quando o índice da raiz for par não existirá a raiz de um número negativo, conforme o exemplo c.

ℝ conjunto dos números reais

3. SEQÜÊNCIA DE OPERAÇÕES

As expressões numéricas e algébricas devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operação:

1º Potenciação e Radiciação;

2º Multiplicação e Divisão;

3º Adição e Subtração.

Essas operações são assim realizadas:

1º Parênteses;

2º Colchetes;

3º Chaves.

4. PRODUTOS NOTÁVEIS Certos produtos aparecem com bastante freqüência no cálculo algébrico, em Geometria Analítica, por exemplo. Os Produtos Notáveis, como o próprio nome já diz, significa: produto → “resultado da multiplicação”, e

notável → “que se destaca”. O único problema é que, às

vezes, eles aparecem e a gente nem nota! Estes Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão ser calculados usando-se a propriedade distributiva (conhecida como “chuveirinho”), ou então, de forma mais direta, através de algumas regras que veremos a seguir. 4.1 Quadrado da Soma de dois Termos

bababa 2 22 bababa

5

Portanto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Logo, podemos estabelecer a seguinte regra:

“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. Exemplos:

a) (x + y)2 = (x) 2 + [ 2 . (x) . (y) ] + (y) 2

x2 + 2xy + y2

b) (3a + 2)2 = (3a) 2 + [ 2 . (3a) . (2) ] + (2) 2

9a2 + 12a + 4

4.2 Quadrado da Diferença de dois Termos

Quadrado da Diferença de dois Termos pode ser

enunciado da mesma maneira que o quadrado da soma de dois termos.

Então temos:

bababa2

22 bababa

Portanto: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Logo podemos estabelecer a seguinte regra:

“O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. Exemplos:

a) (x – y)2 = x2 – 2xy + y2

b) (3a – 5)2 = (3a)2 – [ 2.(3a).(5) ] + (5)2 =

9a2 – 30a + 25 4.3 Produto da Soma e Diferença de dois Termos

O Produto da Soma pela Diferença de dois Termos segue o mesmo raciocínio dos casos anteriores.

Veja:

baba 2222 babababa

Portanto: (a + b).(a – b) = a2 – b2 Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”. Exemplos:

a) (x + y).(x – y) = x2 – xy + yx – y2

Logo: (x + y).(x – y) = x2 – y2

b) (3a – 5).(3a + 5) = (3a)2 – (5)2 = 9a2 – 25

## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Calcule os quadrados e os produtos:

a) (a + 5)2 f) (x + 3).(x – 3)

b) (x + 1)2 g) (2x – 1).(2x + 1)

c) (2x + 3y)2 h) (7 + a).(– a + 7)

d) (a – 2)2 i) (¾ – 4y).(4y + ¾)

e) (x – 1)2 j) (m2 – ½).(m2 + ½) Respostas:

4

1)16

16

9)49)

14)9)12)44)

9124)12)2510)

422

2222

2222

mjyiah

xgxfxxeaad

yxyxcxxbaaa

2) Simplifique as expressões:

a) (a – 2)2 – 2(a + 2) =

b) (y + 5)2 – y(y + 10) =

c) (a + b)2 + (a – b) 2 =

d) (x – 3)2 + (x + 3) 2 =

e) (x + y)(x – y) + (x + y)2 – 2xy = Respostas:

22222 2)182)22)25)6) xexdbacbaaa

# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) #

1) Efetue as operações: a) (2x + 1)2 + (2x – 1)2 =

b) 3(y2 – 1)2 + 2(2y + 2)2 =

c) (2xy + 3)(x2 – 2) – (x – 1)2 =

d) (2x + 1)2 + 2x(x – 1)2 =

e) (ab + 1)2 + ab(ab + 2) =

f) (4ay – 1)2 – 4(ay – 1)2 =

Primeiro termo

Segundo termo

Quadrado do 2º termo

Quadrado do 1º termo

2 vezes o 1º pelo 2º termo

6

Respostas:

322

12)1422

2)163

2)

722

243

2)11162

24

3)22

8)

yafabbaexxd

xxxyyxcyyybxa

2) Nos exercícios abaixo, obtenha os produtos notáveis: a) (3m2 + 4n)2 = e) (3a2 – 2b6)2 =

b) (7y2 + 3y4)2 = f) (1 + x5)2 =

c) (b4 + c5)2 = g) (– x + 3)2 =

d) (x2 – 3)2 = h) (– x – 2y)2 =

Respostas:

244

2)96

2)

10521)

124

6212

49)9

26

4)

10542

8)

89

642

449)

216

224

49)

yxyxhxxg

xxfbbaaexxd

ccbbcyyybnnmma

3) Calcule os seguintes produtos notáveis:

a)

2

4

12xy d)

2

22

6

1

4

1yx

b)

22

33

bab e)

22

7

4

5

1 m

c)

2

32 23

1abba

Respostas:

4

49

162

35

8

25

1)

4

36

122

12

14

16

1)

624

43

3

424

9

1)

9

432

229)

16

1224)

mmeyyxxd

bababacb

abbabxyyxa

CURIOSIDADE:

Quando não se dispõe de uma máquina de calcular, podem-se utilizar os conceitos dos produtos notáveis para facilitar alguns cálculos específicos. Veja: Qual o produto de (41).(39)? Transformando a multiplicação para um produto notável, temos:

(40 + 1).(40 – 1) = 40² – 1² = 1600 – 1 = 1599

Agora tente você!

Calcule (101).(99) utilizando um produto notável.

RESUMINDO:

2222

2 babababa

2222

2 babababa

22.. bababababa

5. FATORAÇÃO

Fatorar uma expressão é reescrevê-la em fatores (partes) que se multiplicam. Estas partes (fatores) podem apresentar números e/ou variáveis que devem ser escritas com os menores números possíveis, e, as variáveis (letras), com o menor expoente natural possível.

Observe a igualdade abaixo:

5a + 5b = 5(a + b)

Como 5a + 5b poder escrito 5(a + b), dizemos que expressão 5a + 5b foi fatorada, tendo como fator comum o número “5”, que foi colocado em evidência.

Exemplos:

a) ab + ac = a(b + c) fator comum “a”

b) 6x2 + 2x3 = 2x2(3 + x) fator comum “2x2”

c) 10m + 20m2 = 10m(1 + 2m) fator comum “10m”

## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Fatore as expressões:

a) aaa 18126 23

b) 432 302015 xxx

c) 543 20125 aaa

d) 22 93 xyyx

e) )()(2 yxxyx

f) )(6)(3 babax

Respostas:

a) 6a(a2 – 2a + 3) b) 5x2(3 – 4x – 6x2) c) a3(5 – 12a + 20a2)

d) 3xy(x – 3y) e) (x – y)(2 – x) f) 3(a + b)(x + 2)

# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) #

1) Simplifique as expressões dadas:

a) 4

44 ba e)

2

23 1115

x

zxyx

b) a

ayax

5

2510 f)

ba

baba

37

73 322

c) 3

1812 yxy g)

2

32

2

48

yx

xyyx

d) nm

nm

77

Respostas:

a) a + b b) 2x – 5y c) 2y(2x – 3)

d) 7 e) 15xy – 11z f) a2 b g) 4xy

7

6. EQUAÇÃO DO 1 GRAU

Equação do 1 grau é toda equação que se reduz à

forma ax + b = 0, onde a e b são números reais, com a 0.

Vejamos alguns exemplos:

a) 13579 xx

0204013759 xxx

b)

2

43

6

94

3

12 xxx

0212

1299424

6

)43(3

6

)94()12(2

x

xxx

xxx

6.1 Resolução de uma Equação do 1 Grau

Resolver uma equação do 1 grau é determinar o valor

de “x” (variável) que satisfaz a igualdade. Vejamos alguns exemplos:

a) 13579 xx

54

20

204

71359

xx

x

xx

Temos então que: 5S

b) 2

43

6

94

3

12 xxx

6

1

12

2

212

2991244

6

129

6

9424

6

433

6

941122

2

2

xx

x

xxx

xxx

xxx

Logo, temos:

6

1S

## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Resolva as equações a seguir:

a) 12424 xx

b) 1932425 xxx

c) 4

1

3

2

26

1

xx

d) 4

313

2

1

8

52

mmm

e)

4

235

3

12

3

14

xxx

Respostas:

7

6)

4

3)

2

1)2)5) edcba

7. EQUAÇÃO DO 2 GRAU

Equação do 2 grau é toda equação que se apresenta na

forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais, com a 0.

Vejamos alguns exemplos: a) 3x2 – 7x + 2 = 0 a = 3; b = –7; c = 2 b) 2x2 – 10x = 0 a = 2; b = 10; c = 0 c) –x2 + 5 = 0 a = –1; b = 0; c = 5 d) 4x2 = 0 a = 4; b = 0; c = 0 7.1 Resolução de uma Equação do 2 Grau

A resolução de uma equação do 2º grau pode ser obtida através de uma fórmula, usualmente chamada Fórmula de BHÁSKARA:

02 cbxax

a

acbbx

2

42

A expressão cab 42, chamada de discriminante

da equação, é geralmente representada pela letra grega

(lê-se: delta).

Então: ac4b2

Logo, se 0 , podemos escrever:

a

bx

2

Observe que, quando 0 , a equação não admite

raízes reais.

8

Exemplo: a) Resolva a equação 2x2 + 7x + 3 = 0 Valores: a = 2; b = 7; c = 3

Fórmula: a

acbbx

2

42

Substituindo os valores, temos:

22

32477 2

x

4

24497 x

4

57

22

257

x

Então:

4

2

4

571

x

2

11 x

4

12

4

572

x 32 x

Logo, o conjunto-solução, também chamado de conjunto-verdade é:

3,2

1V

## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Determine o conjunto-verdade das equações:

a) 01522 xx

b) 0103 2 pp

c) 020122

yy

d) 0642 x

e) 0806010 2 xx

f) 1

10

2

y

y

g) yy 12159 2

h) 2

51

1

x

x

x

x

i) 332122 xx

Respostas:

3,33)

1,2)

3

2

)4,5)2,4)

8,8)10,2)

10

3

0)5,3)

Vi

VhVgVfVe

VdVc,VbVa

# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equação do 1º Grau)

1) Determine o conjunto-solução das equações abaixo:

a) 201.23.5 xx

b) 4.33.25 xxx

c) 8

7

8

3

2

11 x

d) 3

12

2

14

xx

e)

xxxx

2

1

4

3

12

3.5

3

f)

xxx

56

112.

2

5

3

3.2

2) Resolva as equações, apresentando o conjunto verdade:

a) 12

342

a b)

xx

x

x 3

4

2

1

3

1022

c) 32

4

2

3

xx

x d)

22 9

8

18

11

nnn

n

e) 12

3

4

2

xx f) 3

3

52

1

1

x

x

x

x

Respostas: 1a) S = {1} 1b) S = {3} 1c) S = {–1/4} 1d) S = {5/16}

1e) S = {4} 1f) S = {1/2} 2a) V = {3/4} 2b) V = {23/11}

2c) V = {–5/3} 2d) V = {2} 2e) V = {0} 2f) V = {7/3}

# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equação do 2º Grau)

9

1) Determine o conjunto-solução das equações:

a) 0654 2 xx b) 01710 2 xx

c) 036122 xx d) 0532 xx

e) 052 2 xx f) 07 2 xx

g) 092 xx h) 0322 2 x

i) 0624 2 x j) 0273 2 x

l) 017,01,0 2 xx

m) 0422 xx

n) 4

4

2

2

2

12

x

x

xx

x

o) 11

3

1

2

x

x

x

x

p) 012176

2

xx

q) 11

1

1

22

xx

r) 5

55

5

5

xxx

s)

4

1

7

4

16

39

7

1322

xxxx

Respostas:

a) {2, –3/4} b) {1/2, 1/5} c) {6} d) {x ℝ} e) {0, –5/2}

f) {–1/7, 0} g) {0, 9} h) { 4} i) { 2/62 } j) { 3}

l) {2, 5} m) { 22 , 2 } n) {3} o) {0, 5}

p) {2/3, 3/4} q) {0} r) S = s) {5, 11/12}

8. EQUAÇÕES IRRACIONAIS É toda equação que apresenta, pelo menos uma, variável no radicando. Veja os exemplos:

a) xx 52 b) 022 xx

Para se resolver uma equação do tipo irracional, normal–mente isolamos o termo que possui a variável no radican do e, em seguida, elevamos os 2 membros da equação a uma potência conveniente. Exemplo:

Encontre o conjunto-solução da equação irracional dada

por: xx 51 .

Resolução: Para se resolver a equação dada, deve–se

observar que todas as raízes (soluções) encontradas, de–

vem dar sentido a expressão 5x , ou seja,

05x . Pode–se dizer também que a condição de

existência (CE) da equação em questão é 05x .

Logo: CE: 5x

Continuando: xx 51

15 xx

22

15 xx

125 2 xxx

0125 2 xxx

0432 xx .( –1)

0432 xx

Aplicando a fórmula de Bháskara, encontraremos: x1 = 4 e x2 = – 1 Para garantirmos a veracidade da solução, sempre devemos fazer uma verificação de todos os valores encontrados:

11 51 xx 22 51 xx

4541 1511

491 141

143 121

33 13 (Absurdo!)

Portanto, o conjunto-solução será: S = { 4 }.

Observação Importante:

Note que: ||2 xx , e que:

0,

0,||

xsex

xsexx

Como exemplo: 7772 xouxx .

## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Determine o conjunto-verdade que satisfaz cada uma das equações:

a) 1192 xx

b) 1332 xx

c) 53 xx

d) xx 42

10

e) xx 12

f) 2

4

4

x

x

x

g) 137 xx

Respostas: 1a) V = {– 4, 5} 1b) V = {1, 2} 1c) V = {7} 1d) V = {2} 1e) V = {9} 1f) V = {2} 1g) V = {1, 4}

# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equações Irracionais)

1) Encontre o conjunto-solução das equações irracionais:

a) 71212 x

b) xx 4123

c) 6)3(.)8( xx

d) 2225 xx

e) xxx 241

f) 22147 x

g) 11224 3 x

h) 013 23 xxx

i) 4716 xxx

Respostas: 1a) S = {4} 1b) S = {9} 1c) S = {1}

1d) S = {9} 1e) S = {1} 1f) S = {1/2}

1g) S = {1} 1h) S = {±1} 1i) S = {3}

9. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Resolver um sistema de equações do 1º grau é determinar o par ordenado (x, y) para o qual, as duas equações são verdadeiras. Vamos recordar dois métodos de resolução: o método da substituição e o método da adição.

9.1 Método da Substituição

Vejamos um exemplo:

a) Resolva o sistema:

II3

I5

y = x

x + y =

Resolução:

Isolando o valor de “x” em I:

x + y = 5 x = 5 – y

Substituindo “x” por (5 – y) em II, temos:

x – y = 3

(5 – y) – y = 3 5 – y – y = 3

– y – y = 3 – 5 – 2y = –2

2y = 2 y = 2

2 y = 1

Substituindo y = 1 em x = 5 – y , temos:

x = 5 – (1) x = 5 – 1 x = 4

Então, encontramos o par ordenado que gera a solução:

S = { (4 , 1) }

9.2 Método da Adição

Vejamos um exemplo:

a) Resolva o sistema:

II 5

I 9

y = x

x + y =

Resolução:

Adicionando membro a membro as equações, de modo que a soma de uma das variáveis torne-se nula:

142

5

9

x =

y = x

y = x +

x = 14

2 x = 7

Substituindo x = 7 em I, temos:

x + y = 9

7 + y = 9

y = 9 – 7 y = 2

Assim, temos o par ordenado que gera a solução:

S = { (7 , 2) }

11

## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Determine a solução para cada um dos sistemas abaixo:

a)

1323

6

y = x

x + y =

b)

8

132

y = x

x + y =

c) y x ara p

y = x

= x + y

x

1

5

3

d) 0

43

5

ypara

y = x

= y

x

e) yx ara p

y = x

= x + y

1

2

33

f) yx ra pa

= yx

= x + y

x

24

3

1

g) 2

24

12

3

xey x para

= x + y

= x

y

h) 0

232

2 y para

y = x +

= y

x

i ) 3

1

5

7

3

12

y para

y = x

= y +

x +

Respostas:

2,3)4,8)1,1)4,2)

2

1,

2

3)2,10)2,3)1,7)1,5)

SiShSgSf

SeSdScSbSa

# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Sistemas de Equações do 1º Grau)

1) Resolva os sistemas de equações:

a)

125

832

yx

yx b)

734

2)(2

yx

yxyx

c)

1,221,3

35,05,01,0

yx

yx

2) Se o par ba, é a solução do sistema

1252

423

yx

yx , calcule o valor de ba .

3) Resolva o sistema abaixo:

122

1

3

2

6

7

3

3

2

baba

baba

4) Resolva o sistema:

23

3

02

12

yxyx

yx

5) Se o par ordenado yx, é a solução do sistema

abaixo, calcule o valor de 22 yx .

11

82

3

13

11

2

4

12

y

y

x

x

y

y

x

x

Respostas: 1a) S = {(1, 2)} 1b) S = {(1, –1)} 1c) S = {(1, 1/2)}

2) S = {0} 3) S = {(2, –1)} 4) S = {(8,2)} 5) S = {45}

# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Problemas envolvendo

Equações do 1º e 2º Graus)

1) A soma do quádruplo de um número com 63 é igual a 211. Qual é esse número? 2) Quando diminuímos 8 anos da idade de Helena,

obtemos 5

3 de sua idade. Qual é a idade de Helena?

12

3) Se adicionarmos um número natural com o seu sucessor e multiplicarmos o resultado por 5, vamos obter 635. Qual é o número natural considerado? 4) Se do número 2 subtrairmos o quíntuplo do inverso

de um número, obteremos a fração 2

3. Qual é o

número? 5) Divide-se um número pelo seu consecutivo. Soma-se ao resultado dessa divisão o dobro do inverso do número e obtém-se 1. Qual é esse número? 6) Uma sala retangular tem 3m a mais de comprimento que a largura. Se a área da sala é de 54m2, qual é o seu perímetro? 7) Juntos, dois terrenos quadrados ocupam uma área de 296 m2. O lado de um dos terrenos tem 4m a mais que o lado do outro. Qual é área de cada terreno? 8) Diminuindo 3m de cada lado de um terreno quadrado, obteremos um novo terreno de área 196m2. Qual é a área do terreno original? 9) Se do quadrado de um número subtrairmos 12, obteremos o próprio número. Qual é esse número? Respostas:

1) 37 2) 20 anos 3) 63 4)4

15 5) – 2

6) 30 m 7) 196m2 e 100m2 8) 289 m2 9) 4 ou –3

10. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

10.1 Teorema de Pitágoras

Em todo triângulo retângulo temos que: "O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos".

Podemos escrever: (hip)2 = (cat)2 + (cat)2

Ou ainda: a2 = b2 + c2

Observações: Um triângulo é dito “retângulo” quando possui um

ângulo reto (90º). A hipotenusa sempre será o maior lado de um triângulo

retângulo, figurando sempre à frente do ângulo reto.

Exemplo:

1) Calcular o valor de “x” no triângulo retângulo abaixo:

52525

16943

2

2222

xxx

xx

## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ##

1) Aplicando o Teorema de Pitágoras, calcule os valores de “x” para cada caso: a)

b) c)

13

d)

e)

f)

g)

2) Usando o teorema de Pitágoras, calcule: a) b)

c)

Respostas:

1a) 35 1b) 9 1c) 3 1d) 3 1e) 7,5 1f ) 5 1g) 38,75

2a) x = 53 , y = 52 2b) x = 6, y = 4,8 2c) x = 8, y = 4,8

10.2 Relações Trigonométricas

Num triângulo retângulo ABC, reto em Â, temos:

O cálculo do Seno (sen), Cosseno (cos) e Tangente (tg) de um ângulo agudo:

H

CO

Hipotenusa

OpostoCatetosen

H

CA

Hipotenusa

AdjacenteCatetocos

CA

CO

AdjacenteCateto

OpostoCatetotg

O que determina se o cateto é oposto ou adjacente é a sua posição em relação ao ângulo escolhido. Observações:

Num triângulo a soma dos seus ângulos internos

mede 180o.

A área (superfície) do triângulo é dada por:

2

hbS

2

altura x baseS

As razões trigonométricas podem ser obtidas através de tabelas trigonométricas ou em calculadoras.

14

ângulo seno cosseno tangente

30o

2

1= 0,500

2

3 0,866

3

3 0,577

45o 2

2 0,707

2

2 0,707 1

60o 2

3 0,866

2

1= 0,500 3 1,732

90o 1 0

Exemplos: 1) No triângulo retângulo da figura abaixo, calcular a medida x.

Dados:

o30 de ângulo ao oposto cateto = x

hipotenusa = 6

32

6 =x

62x2x = 61

6

x =

2

1

6

x = 30

30

o

x

sen

H

COsen o

2) Calcular a medida da altura do prédio, sabendo que existe um observador a 3m do prédio observando sob

um ângulo de 60º.

Dados:

o

o

60 de ângulo ao oposto cateto = x

60 de ângulo ao adjacente cateto = 3m

m 33x3

x = 3

3

x = 60 tg o

ou

m 5,196x3

x =,7321

3

x = 60 tg o

Resposta:

A altura do prédio é de .m196,5oum33

## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ##

1) Em cada caso, calcule sen , cos e tg .

a)

b)

c)

2) Uma pessoa de 1,70 m de altura vê o topo de um prédio segundo um ângulo de elevação de 60°. a) Qual a altura do prédio, se a distância da pessoa a ele for 30m? b) Qual a distância da pessoa a ele, no caso de um prédio ter 40m de altura?

15

3) A distância de uma pessoa a uma árvore é de 45m. Essa pessoa tem 1,80m de altura e o ângulo de elevação segundo o qual ela vê o topo da árvore é de 25°. Determine a altura dessa árvore.

(tg 25º = 0,466; sen 25º = 0,422; cos 25º = 0,906)

4) Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de depressão de 30°. Qual é a distância da torre até a praia?

5) Um avião levanta vôo sob um ângulo constante de 30° em relação ao plano horizontal. Quando percorrer, em linha reta, 5.000m, qual será a altura atingida pelo avião?

6) Do alto de uma torre de 50 m de altura, avista-se a praia sob um ângulo de 45° em relação ao plano horizontal. Para transportar material da praia até a torre, um carroceiro cobra R$ 0,10 por metro. Quanto

ele recebe para cada transporte que faz?

7) Na construção de um telhado, foram usadas telhas francesas e o “caimento” do telhado é de 20° em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem 3m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. (sen 20° = 0,342; cos 20° = 0,939; tg 20° = 0,363)

8) Determine o valor de “x” na figura abaixo:

9) Nas figuras abaixo, calcular o valor de “x” e “y”:

a)

16

b)

Respostas:

1a) sen = 0,45 / cos = 0,89 / tg = 0,50

1b) sen = 0,60 / cos = 0,80 / tg = 0,75

1c) sen = 0,83 / cos = 0,55 / tg = 1,50

2a) 53,66m 2b) 22,11m 3) 22,77m 4) 86,60m

5) h = 2500m 6) R$ 5,00 7) x = 5,05m 8) x = 3

9a) x = 2 , y = 4 9b) x = 28,39

Para refletir....

“Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática; os países socialmente atrasados são aqueles em que a

atividade matemática é nula ou quase nula”. (Jacques Chapellon)

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (comentadas) GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: uma nova abordagem. v.1. São Paulo: FTD, 2000.

Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios

envolvendo trigonometria no triângulo retângulo (logo no início do livro).

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito;

GIONVANNI JR, José Ruy. A Conquista da Matemática: teoria e aplicação. 7ª série. São Paulo: FTD, 1992.

Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios

envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações algébricas, equação do 1º grau e sistema de equações do 1º grau.

GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy.

Aprendizagem e Educação Matemática, 7. São Paulo: FTD, 1990.

Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios

envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações algébricas, equação do 1º grau e sistemas de equações do 1º grau.

GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy.

Aprendizagem e Educação Matemática, 8. São Paulo: FTD, 1990.

Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios

envolvendo equações do 2º grau e trigonometria no triângulo retângulo.

ANOTAÇÕES E LEMBRETES: